exercicios progressões

12
Resolução das atividades complementares Matemática M10 — Progressões p. 46 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é: a a a,n IN 1 n n n * 5 5 12 ? 1 1 18 18 1 1 1 ( ) a) 236 c) 0 e) 36 b) 218 d) 18 2 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 1 10, x 2 , ...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é: a) 94 c) 101 e) 105 b) 95 d) 104 Resolução: a a a,n IN 1 n n n * 5 5 12 ? 1 1 18 18 1 1 1 ( ) a 2 5 18 1 (21) 2 ? a 1 5 18 1 18 5 36 a 3 518 1 (21) 3 ? a 2 5 18 2 36 5 218 a 4 5 18 1 (21) 4 2 a 3 5 18 2 18 5 0 a 3 1 a 4 5 218 1 0 5 218 Resolução: (x, x 1 10, x 2 , ...) PA de números positivos 2(x 1 10) 5 x 1 x 2 x 2 2 x 2 20 5 0 x 9 2 x x 4 (não convém) 5 5 52 1 5 PA: (5, 15, 25, ...) a 1 5 5; r 5 10 a 10 5 a 1 1 9r 5 5 1 9 ? 10 [ a 10 5 95

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P.A e P.G

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Resolução das atividades complementares

MatemáticaM10 — Progressões p. 46

1 (UFBA) A soma dos 3o e 4o termos da seqüência abaixo é:a

a a , n IN1

nn

n*

5

5 1 2 ?1

1

18

18 111( )

a) 236 c) 0 e) 36b) 218 d) 18

2 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 1 10, x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é:a) 94 c) 101 e) 105b) 95 d) 104

Resolução:a

a a , n IN1

nn

n*

5

5 1 2 ?1

1

18

18 111( )

a2 5 18 1 (21)2 ? a1 5 18 1 18 5 36a3 518 1 (21)3 ? a2 5 18 2 36 5 218a4 5 18 1 (21)4 2 a3 5 18 2 18 5 0a3 1 a4 5 218 1 0 5 218

Resolução:(x, x 1 10, x2, ...) → PA de números positivos2(x 1 10) 5 x 1 x2

x2 2 x 2 20 5 0

x 92

x

x 4 (não convém)5

5

5 2

1 5

PA: (5, 15, 25, ...)a1 5 5; r 5 10a10 5 a1 1 9r 5 5 1 9 ? 10 [ a10 5 95

Page 2: exercicios progressões

3 (UFJF-MG) Em 2004, foi realizada, em Atenas, a 28o Olimpíada da era moderna, evento esportivo que acontece de quatro em quatro anos.Com base nessas informações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 1948 e o ano de 50a Olimpíada da era moderna, supondo que não haja interrupção, são, respectivamente:a) 14a e 2200 c) 15a e 2086 e) 17a e 2092b) 15a e 2204 d) 14a e 2092

4 (UFG) Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 10 m. Por causa de um vazamento, a cada hora perde-se 5% do volume total do reservatório.a) Se o reservatório estiver completamente cheio no início do vazamento, em quanto tempo ele estará

vazio? b) Se o vazamento permanecer por 12 horas, quantos litros de água restarão no reservatório?

Resolução:Do enunciado, temos:a28 5 2004 e r 5 4

Logo:a28 5 a1 1 27 r → 2004 5 a1 1 27 ? 4 → a1 5 1896

Daí, vem:1948 5 1896 1 (n 2 1) ? 4 → 52 5 4n 2 4 → n 5 14a50 5 a1 1 49 r → a50 5 1896 1 49 ? 4 → a50 5 2092

Resolução:a) O volume total é igual a: v 5 a3 → v 5 103 → v 5 1 000 m3

A cada hora perde-se 5%: V 5 0,05 ? 1 000 5 50 m3

Portanto, temos a PA:

1 9502 9003 850

0

509501

hhh

n h

ra

→→→

→ 5 25

Assim: an 5 a1 1 (n 2 1) r → 0 5 950 1 (n 2 1) (250) 50n 5 1 000 n 5 20 horasb) a12 5 a1 1 11r → a12 5 950 1 11 ? (250) a12 5 400 m3

Em litros, temos 400 000 litrosResposta: a) 20 h b) 400 000 ,

20 h400 000 ,

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5 (UFPel-RS) A Matemática está presente em cada momento do nosso cotidiano, desde a criação do mundo. Como exemplo, podemos citar a origem da vida por meio de divisão celular, a divisão do tempo em milênios, séculos, anos etc.A aplicabilidade dessa ciência, no dia-a-dia, é comprovada até mesmo pelas pessoas que não tiveram muita escolaridade e que, contudo, são capazes de administrar esse conhecimento muito bem. Numa área reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas – dispostas em fileiras – deve ser de 2,5 m, e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno.Baseando-se no texto, em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:a) a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são x 1 3 e x 1 5 e

cuja área é igual a 899 m2; b) a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.

Resolução:a) A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo:

( )( )

(x 3 x 5 x 8x

x

x não ser21 1 5 1 2 5

5

5 2899 884 0

26

34→

vve)

Os lados do terreno medem: x 1 3 5 26 1 3 5 29 m x 1 5 5 26 1 5 5 31 m Sendo n, o número de plantas e fazendo os cálculos para os lados, temos: an 5 a1 1 (n 2 1) r → 31 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5 n 5 13 an 5 a1 1 (n 2 1) r → 29 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5 n5 12,2

Como as fileiras têm o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, o número de plantas considerado por fileira é 12, o que resulta num total de 144 mudas.

b) A menor área possível é a de um terreno quadrado de lado ,, então n2 5 289, sendo n o número de mudas. Logo:

n2 5 289 → n 5 17 ou n 5 217 (não serve) Portanto, devemos ter 17 mudas em cada fileira. Daí, vem: an 5 1 1 (17 2 1) ? 2,5 → an 5 41 menor área do terreno 5 ,2 5 412 5 1 681 m2

menor perímetro do terreno 5 41 ? 4 5 164 mResposta:a) 144 mudasb) 1 681 m2 e 164 m

144 mudas

1 681 m2 e 164 m

Page 4: exercicios progressões

6 (UFPB) Uma escada foi feita com 210 blocos cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha apenas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura ao lado.A quantidade de degraus dessa escada é:a) 50 c) 30 e) 10b) 40 d) 20

7 (UFMT) Em uma clínica ortodôntica são atendidos 30 clientes diários de segunda a sexta-feira. Para redimensionar a estrutura física, a clínica passará a atender da seguinte maneira: dois clientes no primeiro dia do mês, quatro no segundo, seis no terceiro, oito no quarto e assim sucessivamente. Considerando que essa clínica atende 20 dias por mês, o número de clientes atendidos, em um mês, será reduzido em:a) 35% c) 40% e) 70%b) 30% d) 25%

Resolução:A progressão aritmética que representa os blocos é:PA (1, 2, 3, 4, ..., n, ...)an 5 a1 1 (n 2 1) r → an 5 1 1 (n 2 1) ? 1 → an 5 n

S(a a )n

2210 (1 n)n

2

n n 420n

n

n1 n

2

51

51

1 2 55

5 2

020

21 (( )não serve

O número de degraus é 20.

Resolução:No primeiro caso, temos:30 ? 20 5 600 clientesNo redimensionamento, temos:2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 ...No 20o dia, o número de clientes será:a20 5 a1 1 19r → a20 5 2 1 19 ? 2 a20 5 40 clientes

Logo:

Sa a n

2S (2 )

2S 420 c

201 20

20

20

51

51 ?

5

( ) → 40 20

llientesA redução é de:

420 180600

0,6006002

5 5 330 30%5

Page 5: exercicios progressões

8 (UFBA) As medidas dos lados de um triângulo ABC formam uma PA de razão igual a 1.Determine a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB, sabendo que AC AB BC e cos(ABC)

^, , 5 3

5.

9 (MACK-SP) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25 000 litros, contém, em determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo, e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é:a) 11 c) 14 e) 10b) 13 d) 12

Resolução:

Considerando n, n 1 1 e n 1 2 as medidas dos lados AC, AB e BC, respectivamente, do triângulo ABC e usando a lei dos cossenos nesse triângulo, tem-se:

n n 12n2 2 2 25 1 1 1 2 1 1 ? 2 2 5( ) ( ) ( )( )n n n n1 2 2 1 2 35

13 0→nn

n

5

5 2

13

1

Sendo n a medida do lado AC do triângulo ABC, o valor a ser considerado é 13.Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos DAC e BDC e considerando a medida de DC igual a h, tem-se o sistema:

h x

h x

2 2 2

2 2 2

13

14 15

1 5

1 2 5( )

Subtraindo as duas equações, tem-se: x2 2 (14 2 x)2 5 169 2 225 → x 5 5.Substituindo-se o valor de x na equação h2 1 x2 5 132, obtém-se h2 5 169 2 25 5 144.Logo, h 5 12u.c.

n � 1

n � 2

B

hx

n

D

A C

Resolução:Sendo V o volume em litros que falta para a caixa atingir a capacidade total antes de se contratar a empresa, do enunciado temos:V 5 25 000 2 9 600 [ V 5 15 400Seja n a quantidade de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total. Devemos ter:400 1 600 1 800 1 ... 1 an 5 15 400 (I)Ainda, an 5 400 1 (n 2 1) ? 200 [ an 5 200n 1 200 (II)

De (I) e (II), vem:(400 200n n

n 3nn 1

n 142

1 1 ?5

1 2 55

5 2

2002

15 400

154 01

)

(não convém)n[ 5 11

12

Page 6: exercicios progressões

10 (Unifor-CE) As distâncias que seis trabalhadores percorrem diariamente para ir de suas casas à fábrica onde trabalham são numericamente iguais aos termos de uma PA. Se a casa mais próxima da fábrica fica a 1 km dela e a mais distante, a 8,5 km, a soma das distâncias que os seis percorrem diariamente para ir de suas casas até a fábrica, em quilômetros, é igual a:a) 20 c) 25 e) 30b) 22,5 d) 28,5

Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

11 (UFPR) Uma empresa de autopeças vem sofrendo sucessivas quedas em suas vendas a partir de julho de 2002. Naquele mês, ela vendeu 100 000 peças e, desde então, a cada mês tem vendido 2 000 peças a menos. Para reverter essa tendência, o departamento de marketing da empresa resolveu lançar uma campanha cuja meta é aumentar o volume de vendas à razão de 10% a.m. nos próximos seis meses, a partir de janeiro de 2004. A respeito das vendas dessa empresa, é correto afirmar:(01) Neste mês de dezembro, se for confirmada a tendência de queda, serão vendidas 66 000 peças.(02) O total de peças vendidas nos últimos 12 meses, até novembro de 2003, inclusive, é de 900 000 peças.(04) Se a meta da campanha for atingida, os números de peças vendidas mês a mês, a partir do seu

lançamento, formarão uma PA de razão 10.(08) Se a meta da campanha for atingida, o número de peças a serem vendidas no mês de março de 2004

será superior a 80 000.(16) Se a campanha não for lançada e as vendas continuarem na mesma tendência de queda, daqui a 24

meses a empresa não estará mais vendendo peça alguma.

Resolução:Do enunciado, temos a seguinte PAde seis termos:1; ___; ___; ___; ___; 8,5Daí, vem:an 5 a1 1 (n 2 1) r → 8,5 5 1 1 (6 2 1) ? r 7,5 5 5r r 5 1,5

A soma dos termos dessa PA é igual a:

Sa a n

S8,5)6

S 28,5 km

nn

6

6

51

51

5

( ) (1

21

2→ →

1 1 8 5 9

Resposta:01. (Verdadeira) Pelos dados, temos a PA (100 000, 98 000, 96 000, ...),

com a1 5 julho de 2002 (100 000) e a18 5 dezembro de 2003.

Logo, an 5 a1 1 (n 2 1) ? r a18 5 an 5 100 000 1 (18 2 1) ? 22 000

a18 5 66 000 peças

02. (Falsa) a6 5 novembro de 2002 → a6 5 a1 1 (6 2 1) ? r a6 5 100 000 1 5 ? 22 000 a6 5 90 000 peças a17 5 novembro de 2003 → a17 5 100 000 1 (17 2 1) ? 22 000 a17 5 68 000 peças

Sa a n

S8 000)

S 948 000 p

nn5

1 ?5

1 ?

5

( ) (1

290 000 6 12

2→

eeças

04. (Falsa) A proposição é falsa, pois a PG

será de razão 1,1.08. (Verdadeira) an 5 a1 ? q

n 2 1, em que a1 5 66 000, q 5 1,1 e n 5 3. Logo, a3 5 66 000 ? (1,1)3

a3 5 66 000 ? 1,331 a3 5 87 846 peças

16. (Falsa) a24 5 a1 1 (24 2 1) ? r a24 5 100 000 1 23 ? (22 000) a24 5 100 000 2 46 000 5 54 000

Page 7: exercicios progressões

12 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):

(01) Se f(x) 5 3x 1 a e a função inversa

de f é g(x)x3

1,5 1 então a 5 23.

(02) Se (an) e (bn) são duas progressões

aritméticas, então (an 1 bn) é uma PA.

(04) A equação x x 1 não tem

solução real.

2 1 5 21

13 (Unifor-CE) O número de termos da progressão 1

125,

125

15

3 125 é:, , ...,

a) 5 c) 7 e) 9b) 6 d) 8

p. 54

(08) 4 4

4 464 para todo real.

3 x x 3

x x 3

1 2

2

2

15 x

(16) nn

n para todo número inteiro .2 2

15 2

11

1 n

Resolução:01. (Verdadeira)

y 3x a x 3y a yx a

3

yx3

a3

f (x)x3

a3

f (

5 1 5 1 52

5 2

5 22

2

→ →

1

1 xx) g(x)x3

a3

x3

1

a3

1

a 3

5 2 5 1

2 5

52

02. (Verdadeira) Sejam: an → a1, a2, a3, a4, ... 5

5 a1, a1 1 r1, a1 1 2r1, a1 1 3r1, ...

bn → b1, b2, b3, b4, ... 5 5 b1, b1 1 r2, b1 1 2r2, b1 1 3r2, ...

an 1 bn 5 a1 1 b1 1 a1 1 b1 1 r1 1 r2 1 1 a1 1 b1 1 2r1 1 2r2, a1 1 b1 1 3r1 1 3r2, ...

an 1 bn 5 (a1 1 b1) 1 (a1 1 b1 1 r) 1 1 (a1 1 b1 1 2r) 1 (a1 1 b1 1 3r), ...

A seqüência é uma PA de 1o termo (a1 1 b1) e razão r 5 r1 1 r2

Resolução:

a a 3 125; q a a q 3 1251 n n 1n5 5 5 5 5 ? 521

125

1251

125

5 1; → 11125

5 5

1

5 3 1

?

5 ?

5

2

2 2

5

5n 9

n

n

1 1 2 1 4 5 7

04. (Verdadeira)

x

x x

x

2

2 2 2

1 1

1 1

1 2 1

1 5 2

1 5 2

1 5 2 1

2 5

x

x x2x

2 2

→→ →→

( ) ( )

00 0

1 0 1

1 11 1

→ x

Verificação: 02

5

1 5 2

5 2

2 5 [ S

08. (Falsa) 4 4

4 44 4 4

4 4

64

3 3

3

3

3

1 2

2

2

2

2

15

? 2 ?

1 ?5

5?

x x

x x

x x

x4

4

3

x

44 464

4 464

4 096 4 464

64 4 464

4

xx

xx

x x

x x

x

2

1

5

? 2

? 15

5(44 096 1

4 64 1 652

15 5

)( )x

4 095 63 para todo realx ..

16. (Falsa)

nn

n 1 não se define para n2 1

112

15 2 5 2 .

Page 8: exercicios progressões

15 (Unitau-SP) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (3x 1 1, 34 2 x, 33x 1 1) seja uma progressão geométrica.

16 (UFOP-MG) Numa progressão geométrica, a1 5 1 e a2 5 9. Determine n, sabendo que an 5 6 561.

17 (UFRGS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, será lançado juro de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será:a) zero c) (0,88)12x e) (1,1)12x

b) x

12 d) (0,92)12x

14 Os números x, x e log (10x)2 são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calcule:

a) o 1o termo x b) o 5o termo

Resolução:

33

33

8 2 14

4

2

1

1

25 2 5 1 5

x

x 1

3x 1

x 2x 4x x→ →

Resolução:

a a q91

a a q 6 561 9

3

1 2

n 1n n

5 5 5 5

5 ? 5 ?

5

2 2

1 9 9

1

3

1 1

8

; →

→22(n 2n n2 5 2 51 8 2 5) → →

Resolução:Sendo x o saldo devedor, a cada mês serão acrescidos a esse saldo 10% de juros e, em seguida, descontados 20% a título de pagamento, gerando um novo saldo devedor de x ? 1,1 ? 0,8 5 0,88 x. Como a cada mês o procedimento se repete, cada novo saldo devedor corresponderá ao anterior multiplicado por 0,88, gerando uma seqüência do tipo x; 0,88x; (0,88)2x; (0,88)3x; ..., que é uma PG de 1o termo x e razão 0,88, na qual cada novo saldo devedor é dado por (0,88)n 2 1x, sendo n o no de termos da seqüência.Após 12 pagamentos, estaremos no 13o termo da seqüência, ou seja, A13 5 (0,88)13 2 1 x 5 (0,88)12x.

Resolução:

a)x

xlog (10x)

x, onde x 0 log (10x)

x

b)

225 . 5

5

[ 1

15

aa15

; a5

; a q

a 5 a 5

1 2 3

4 5

5 5 5 5

5 ? 5 5 ? 5

51 5

1 5 5 5

[

x15

5 5

1

5

Page 9: exercicios progressões

19 (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em PA. Somando-se, respectivamente, 4, 24 e 29 ao 1o, 2o e 3o termos dessa PA, obtemos três números em PG. Então, um dos termos da PA é:a) 9 c) 12 e) 15b) 11 c) 13

18 (UEM-PR) Os números x, y e z formam uma PA crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8 unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma PG. Calcule o valor de z.

20 (UENF-RJ) Numa reserva florestal foram computados 3 645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica.a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21o dia.b) Calcule o número mínimo de dias necessários para que toda a população de coelhos esteja infectada.

24

Resolução:Considerando as duas afirmações:a) (x, y, z) é uma PA crescente de soma 48; logo:

Sx z 3

2x z x 32 z

x z2

y y2

y

3 51 ?

5 1 5 2 5

15 5 5

( )48 32

32

→ →

→ → 116

b) (x, y, z 1 8) é uma PG, daí:y x z 8 16 x (32 x ) 40x x x 40x2 2 2 25 ? 1 5 ? 2 1 5 2 2( ) → → →8 256 11 5

5 2

5

5

5 5

5

256

1 600 1 024

576

x2

x 32

x

0

40 248

CComo a PA é crescente, x 8: (8, 16, 24)

z

5

5[ 224

Resolução:Seja (x 2 r, x, x 1 r) a PA. Se a soma dos termos é igual a 30, temos: x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 30 → 3x 5 30 → x 5 10Somando-se 4, 24 e 29, nessa ordem, aos termos da PA, temos a PG (10 2 r 1 4, 10 2 4, 10 1 r 2 9), ou ainda (14 2 r, 6, 1 1 r).

Na PG, teremos: 6 (14 r) (1 r) 36 14 14r2 5 2 ? 1 5 1 2→ r 22

2 1 5

5 2 5

5

5 5

rr 13r 22

169 88

r 92

r (nã

2 →2 0

81

13 11 oo convém)

r 2 r 2 e a PA procurada é (8, 1 5 5[ 00, 12).

Resolução:a) an 5 no de coelhos infectados na n-ésima etapa bn 5 dia em que ocorre an

an 5 5 ? 3n 2 1 e bn 5 1 1 (n 2 1) ? 5

Sendo bn 5 21, temos: 21 5 1 1 (n 2 1) ? 5 → n 5 5Portanto:a5 5 5 ? 35 2 1 → a5 5 405 coelhos

405 coelhos

31 dias

b) Sendo an 5 3 645, temos: 3 645 5 5 ? 3n 2 1 → 3n 2 1 5 729 3n 2 1 5 36

n 5 7Portanto:b7 5 1 1 (7 2 1) ? 5 → b7 5 31 dias

Page 10: exercicios progressões

�0

21 (UFPB) Socorro, apaixonada por Matemática, propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de presente, no final do ano, se suas notas, em todas as disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos comuns nas progressões geométricas (1, 2, 4, ..., 4 096) e (1, 4, 16, ..., 4 096)”. De acordo com a proposta, João ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:a) 6 c) 8 e) 10b) 7 d) 9

22 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):(01) O 20o termo da PA (x, x 1 10, x2, ...)

com x , 0 é 186.(02) A soma dos n primeiros números

naturais ímpares é n2 1 1.

(04) O termo1 024

encontra-se na

12 posição naa_

1

PG 2, 1,12

, ...

.

(08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy 5 12.

(16) O valor de x na igualdade xx3

x9

12,1 1 1 5...

na qual o 1o membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

Resolução:PG (1, 2, 4, 8, 16, ..., 4 096)PG (1, 4, 16, ..., 4 096)Os termos iguais são os termos da PG(1, 4, 16, ..., 4 096). Logo:an 5 a1 ? q

n 2 1

4 096 5 1 ? 4n 2 1

212 5 4n 2 1

212 5 22(n 2 1)

212 5 22n 2 2

1 1 4 1 8 5 13

12 5 2n 2 22n 5 14n 5 7A nota deverá ser maior ou igual a 7.

Resolução:01. (Verdadeira) x 1 10 2 x 5 x2 2 (x 1 10) → → 10 5 x2 2 x 2 10 x2 2 x 2 20 5 0 → x 5 5 (não serve) ou x 5 24 A progressão aritmética é (24, 6, 16, ...). Logo: a20 5 a1 1 19r → a20 5 24 1 19 ? 10 5 186

02. (Falsa) Os números ímpares são (1, 3, 5, 7, ...). an 5 a1 1 (n 2 1)r → an 5 1 1 (n 2 1) ? 2 → an 5 2n 2 1

Logo: S(a a )n

2

S(1 2n 1)n

2n

n1 n

n2

51

51 2

5

04. (Verdadeira)

a a q a

a2 048 1

12 111

12

12

5 5 ?

5 ? 5

→ →

212

21 1

11

024

08. (Verdadeira)(x, y, 10) é uma PA 10 y y x

x y y x 2y[ 2 5 2

5 1 2 5

→→ →10 22

5 5 5

10 (I)

(x, y, 18) é uma PGyx

18y

y 18x x2[ → → yy18

(II)

Fazendo (I) (II), teremos:

y18

2

2

2

5

5 yy y 36y 180

y 36y 180

y

2

2

2 5 2

2 1 5

5

5

10

0576

36 576

→ →

2236 24

230

62 6 10 2

5

55

5

5 5 ? 2 5

y

ySe y 6, então xSSe y 30, então x

Como a PA e a P

5 5 ? 2 52 30 10 50

GG são crescentes, teremosx 2 e y 6, conseq5 5 üüentemente, x y? 5 ? 52 6 12.

16. (Falsa)

xx3

x9

x

113

x3 1

3

x23

3x2

1 1 1 5

2

52

5 5

5

...

→ 33x2

3x x 85 5 512 24→ →

Page 11: exercicios progressões

��

Em questões como a 23, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.

23 (UFSE) Verifique a veracidade das afirmações que seguem:V – F0 – 0 Os termos da seqüência (a1, a2, a3, ..., an 2 1, an, an 1 1, ...), em que a1 5 a2 5 1 e an 1 1 5 an 1 an 2 1,

; n IN e n . 1, são chamados números de Fibonacci. Assim sendo, o 8o número de Fibonacci é 21.1 – 1 A seqüência (22x, 22x 1 1, 3 ? 22x, 22x 1 2, ...) é uma PA de razão 4x.2 – 2 A soma de todos os números pares compreendidos entre 57 e 217 é 10 980.3 – 3 Podem ser inseridos cinco meios geométricos reais entre os números 23 e 96.4 – 4 Se a seqüência (40, a, b, 5,...) é uma PG, então a soma de seus dez primeiros termos é igual a

5 11564

.

24 (UFSC) Se a, b, c são termos consecutivos de uma PA de razão 5 e (a 1 2), b, (c 2 1) são termos consecutivos de uma PG, qual o valor de a 1 b 1 c?

Resolução:00. (Verdadeira) n 5 2 → a3 5 a2 1 a1 → a3 5 2 n 5 3 → a4 5 a3 1 a2 → a4 5 3 n 5 4 → a5 5 a4 1 a3 → a5 5 5 n 5 5 → a6 5 a5 1 a4 → a6 5 8 n 5 6 → a7 5 a6 1 a5 → a7 5 13 n 5 7 → a8 5 a7 1 a6 → a8 5 2111. (Verdadeira) 22x, 2 ? 22x, 3 ? 22x, 4 ? 22x, ... A razão é: r 5 2 ? 22x 2 22x 5 1 ? 22x 5 (22)x 5 4x

22. (Falsa) A seqüência é (58, 60, 62, ..., 216) an 5 a1 1 (n 2 1) r → 216 5

5 58 1 (n 2 1) ? 2 → n 5 80

S(a a )n

2

S(58 216) 80

2S 10 960

n1 n

n

n

51

51 ?

5

→ →

Resolução:(a, b, c): PA com r (a 2, b, c ): PG

b a 55 1 2

5 1

5 1((I)

c a 10 (II)b

a 2c

b(III)

Substitui

5 1 15

2

1

nndo as expressões (I) e (II) na expressão ((III):aa

aa

a b 12; c

Logo,

1

15

1 2

15 5 5

52

10 15

7 17→ [

a b c

a b c 36

1 1 5 1 1

1 1 5

7 12 17

36

33. (Falsa) a7 5 a1 q

6 → 96 5 23 ? q6 → q6 5 232 → ∃⁄ raiz real

44. (Verdadeira)(40, a, b, 5, ...) é uma PG; portanto,

a a4 15 ?? 5 ? 5 5

5 5

q , ou seja, 5 q q540

18

q q

3 3 340

18

13

→ →

→ →22

12

1

12

1

1 1 0241

10

.

S

40 40

10 5

? 2

2

5

?2

00241 2

2

5 11564

25

Page 12: exercicios progressões

��

25 (UFPA) A soma da série infinita 115

125

1125

é:1 1 1 1 ...

26 (UFPel-RS) O lado de um quadrado mede , unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados opostos, obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos quadrados cada vez menores, conforme a figura, que mostra parte de uma seqüência infinita. Determine a soma dos perímetros de todos os quadrados coloridos dessa seqüência.

a) c) e)

b) d)

65

54

74

75

2

�4

�2

�8�

Resolução:

a 1; a15

q

Sa

1 qS

15

54

1 2

n1

n

5 5 5

52

5

2

5

151

1

Resolução:

a 4 ; a42

; a44

q

Sa

1 qS

412

1 2 3

n1

n

5 5 5 5

52

5

2

5

,, ,

,

12

188 ,

8 ,