Exercícios Propostos - Funções Trigonométricas

Fabiano Nader & Kenji Chung


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SOLUÇÃO – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS NÍVEL 1 E1. SOLUÇÃO: sen(4 π/3) = - sen(4π/3 - π) = - sen(π/3) = -√3/2; Cos(5π/6) = - cos( π - 5π/6) = - cos( π/6) = - √3/2; Sen(7π/4) = - sen(2π - 7π/4) = - sen(π/4) = -√2/2.

Então sen 24 5 7

.cos sen3 6 4π π π +

= (-√3/2)·(√3/2) + (-√2/2)² = ¾ + 2/4 = 5/4.

RESPOSTA: 5/4. E2. SOLUÇÃO: Sabemos que a medida do seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complementar. Port anto, sen ( ππππ/2 - x) = cos x. RESPOSTA: LETRA D. E3. SOLUÇÃO: A forma da curva representada no gráfico é da função seno. Porém, está deslocada em 1 unidad e ‘para cima’. Ou seja, a função representada no gráfico é dada por: f(x) = 1 + sen x . RESPOSTA: LETRA B. E4. SOLUÇÃO: Pelo gráfico, temos que f( π) = sen(π/k) = 1. Como sen( π/2) = 1, então k = 2. Também pelo gráfico, temos que g( π/2) = cos(m ·π/2) = -1. Como cos| π| = -1, então m π/2 = |π| �� |m| = 2. Portanto, |m| = k. RESPOSTA: LETRA B. E5. SOLUÇÃO: Se f(x) = 2 – cos x, com 0 ≤ x ≤ 2π, então o valor máximo de f(x) é M = 2 – (– 1) = 3 e o valor mínimo de f(x) é m = 2 – 1 = 1. Logo, M/2m = 3/2. RESPOSTA: LETRA A. E6. SOLUÇÃO: ( π/3 , π/6, π/12, ..) formam uma P.G. infinita de razão ½. Assim , sua soma é dada por: S = ( π/3)/(1 – ½) = 2π/3. Como tg (2 π/3) = - tg (π/3) = - √3, então cotg (2 π/3) = 1/tg(2π/3) = - 1/√3 = - √3/3. RESPOSTA: LETRA D. E7. SOLUÇÃO: Como -1 ≤ sem [ π/90 · (t – 105)] ≤ 1, temos 2 possibildades:

(1) fmáx(t) = A + B e f mím(t) = A – B � A + B = 14, 4 (i) e A – B = 9,6 (ii)

Somando (i) e (ii), obtemos: 2A = 24 �� A = 12; e B = 14,4 – 12 �� B = 2,4.

(2) fmáx(t) = A – B e f mín(t) = A + B � A – B = 14,4 (i) e A + B = 9,6 (ii)

Somando (i) e (ii), temos: 2A = 24 �� A = 12; e B = 9,6 – 12 �� B = -2,4. Assim, o valor de A é 12 e B ± 2,4. RESPOSTA: 12 e ± 2,4. E8. SOLUÇÃO: sen (t - π/2) varia de -1 a 1. Então, seu valor mínimo é -1. A ssim, a pressão mínima é: P = 50 + 50·(-1) = 50 – 50 = 0. Mas sen (3 π/2) = -1. Então t – π/2 = 3π/2 �� t = 4π/2 = 2π. RESPOSTA: LETRA D.



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E9. SOLUÇÃO: O gráfico da função seno está representa do na figura abaixo:

Como podemos observar pelo gráfico, sen ( π/2) > sen (π/3) > sen (π/4) > .... Ou seja, essa sequência é estritamente decrescente. RESPOSTA: LETRA B. E10. SOLUÇÃO: y = a ·sen(bx) a�� amplitude; bx �� período.

Pelo gráfico, a variação de y é de -3 a +3. Na funçã o y’ = sen x, seria de -1 a 1. Ou seja, no caso da questão a amplitude é 3 (a = 3). Ainda pelo gráfico, o período da função va ria de - π/2 a π/2 , portanto o período é π/2 – (- π/2) = π/2 + π/2 = π. A constante "b" representa uma relação inversamente proporcional , isto é, quanto maior a freqüência, menor o período. Periodo da função sen(x) = 2 π; Periodo da função sen(bx) = π; Logo, 2 π – x π – bx �� π/2π = x/bx �� ½ = 1/b �� b = 2. Portanto, a = 3 e b = 2. RESPOSTA: LETRA B. E11. SOLUÇÃO: O ponto Q está na função f(x) localizad o no ponto y = 0. Então cos x = 0 �� x = π/2 ou 3π/2. Pelo gráfico, sabemos que Q( π/2 , 0), pois é o “primeiro y = 0”, ou seja, o de m enor valor. Já o ponto P tem abscissa x = 0, ou seja , f(0)=cos 0 = 1. Assim, o ponto P tem coordenadas (0 , 1). Logo, a área do triângulo é A = ( π/2 ·1)/2 = π/4. RESPOSTA: LETRA B. E12. SOLUÇÃO: ( π/2 + π/4 + π/8 + ...) = π/2 / (1 – ½) = 2π/2 = π, pois trata-se da soma de uma P.G. infinita de razã o ½ e primeiro termo a 1 = π/2. Assim, sen ( π/2 + π/4 + ..) = sen π = 0. RESPOSTA: LETRA B. E13. SOLUÇÃO: Se janeiro é o mês 1 (t = 1), então outu bro é o mês 10 (t = 10). Assim, em outubro, a quant idade de peixes, em toneladas, foi P(10) = 720 + 250 ·sen (10π/4) = 720 + 250 · sen(π/2) = 720 + 250 · 1 = 720 + 250 = 970. RESPOSTA: LETRA A. E14. SOLUÇÃO:



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Como podemos notar pela figura, o ângulo αααα é a soma do ângulo reto com um ângulo agudo y. Entã o cos αααα = cos ( π/2 + y) = cos ( π/2)· cos y – sen ( π/2)· sen y �� -1/5 = - sen y �� Sen y = 1/5. Pelo triângulo, temos: sen y = x/10 = 1 /5 �� x = 2 cm. RESPOSTA: 02. E15. SOLUÇÃO: 2cos²x + cosx – 1 = 0. Sendo cos x = y, temos: 2y² + y – 1 = 0. ∆ = 1 - 4·2·(-1) = 1 + 8 = 9. y = (-1 ± 3)/2 ·2 �� y = (-1 + 3)/4 = 2/4 = 1/2 ou y’ = (-1 – 3)/4 = -4 /4 = -1. Então cos x = ½ �� x = π/3 ou x = 2 π – π/3 = 5π/3; ou cos x = -1 �� x = π. Logo, o conjunto solução para a equação é x = { π/3, π, 5π/3}. RESPOSTA: LETRA A. E16. SOLUÇÃO: 9 - cos x+ = 1/3 �� (3²)- cos x = 3-1 �� -2cos x = -1 �� cos x = ½. A menor solução é x = π/3. RESPOSTA: LETRA C. E17. SOLUÇÃO: O período das duas funções é igual a 3 π/2, e estão defasadas em meio período: 3π/2 = 2π/ααααx �� αααα = 4x/3. Logo, f 1(y) = k + sen y �� sen y = 1; f 1(3π/8) = 3; Então k = 2. Assim f 1(x) = 2 + sen (4x/3). Da mesma forma, f 2(y) = k – sen y �� sen y = 1; f 2(3π/8) = 3; Então k = 4. Assim f 2(x) = 4 – sen (4x/3). RESPOSTA: LETRA B. E18. SOLUÇÃO: cos 2(x – ππππ) ≥≥≥≥ ππππ �� cos(x – π) ≥ ±√π. Mas o cosseno de qualquer ângulo vai de -1 a 1 e √π > 1 e -√π < -1. Logo, não existe solução real para essa inequação. Conjunto solução: ∅∅∅∅. RESPOSTA: LETRA D. E19. SOLUÇÃO: Temos sen x = (n² + 4n + 4 – 4)/n = n + 4; e existirá solução se e somente se -1 ≤ n + 4 ≤ 1 �� -5 ≤ n ≤ -3, ou seja, n pode ser igual a -5, -4 ou -3. (3 soluções) . RESPOSTA: LETRA C. E20. SOLUÇÃO: 1. FALSA. p = 2 π/|e| = 2π/(2π/365) = 365. 2. VERDADEIRA. sen (2 π/365 · t) = 1 �� 2π/365 · t = π/2 �� t = 365/4 = 91,25. Considerando que 3 meses são 90 dias, esse resultado ocorreu no 92º dia, que já é o mês 4, ou seja, o mês de abril. 3. VERDADEIRA. f(t) = 18,8 – 1,3 · sen (2π/365 · l) = 18,8 – 1,3 · 1 = 17,5 horas = 17h30. Logo, estão verdadeiras apenas as alternativas 2 e 3, RESPOSTA: LETRA D. QUESTÕES DE PERNAMBUCO P1. SOLUÇÃO: Dividindo a equação sen²x - 3 ·senx ·cosx + 2 ·cos²x = 0 por cos²x, temos? tg²x - 3 ·tgx + 2 = 0. Sendo tgx = y, temos: y² - 3y + 2 = 0 �� y = 1 ou y = 2. Ou seja, tgx = 1 ou tgx = 2. RESPOSTA: LETRA C. P2. SOLUÇÃO: Seja x a distância percorrida pelo barco, como representada na figura:



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Então sen 30º = 100/x = ½ �� x = 200m. RESPOSTA: LETRA B. P3. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADDEIRO. sec x = 1/cos x. Se sec x = cos x, então 1/cos x = cos x �� cos²x = 1. Mas sen²x + cos²x = 1. Logo, sen²x + 1 = 1 �� sen²x = 0. (1)(1) FALSO. Se tg x = 1, então x = 45º (para x no p rimeiro quadrante). Então sec x = 1/cos x = 1/cos 45 º = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2 ≠ 2. (2)(2) VERDADEIRO. cossec x = 1/sen x. Se cossec x = se n x, então 1/sen x = sen x �� sen²x = 1 �� sen x = ± 1. Logo, x = π/2 + kπ, com z pertencente aos inteiros. (3)(3) VERDADEIRO. Pois tg π/4 = 1, e a tangente é positiva no primeiro e no te rceiro quadrantes (ou seja, variando π). (4)(4) FALSO. sen ( π + x) = sen π · cos x + sen x · cos π = - sen x. RESPOSTA: VFVVF. P4. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADEIRO. 5 horas da tarde são 17 horas após 0 hora. Assim: T(5) = 6· cos((17 – 13) π/12) + 31 = 6· cos( π/3) + 31 = 6· (1/2) + 31 = 3 + 31 = 34º. (1)(1) VERDADEIRO. A temperatura é máxima quando o cos seno atinge seu valor máximo, ou seja, cos (x – 13) π/12 = 1. Logo, (x – 13) π/12 = 0 �� x – 13 = 0 �� x = 13h. (2)(2) FALSO. A menor temperatura é atingida quando o cosseno tem seu valor mínimo, ou seja, -1. Então a temperatura é dada por: T = 6 ·(-1) + 31 = -6 + 31 = 25º. (3)(3) FALSO. Um dos motivos para o gráfico estar er rado é que a menor temperatura atingida é 25º, e o gráfico já começa em 20º. (4)(4) FALSO. A temperatura é mínima quando cos (x – 13)π/12 = -1, ou seja: (x – 13) π/12 = π �� x – 13 = 12 �� x = 25. Ou seja, após 25 horas (1 dia e 1 hora). Assim é mínim a às 1 da manhã. RESPOSTA: VVFFF. P5. SOLUÇÃO:

sen 60º = x/(2,4) = √3/2 �� 2x = √3 ·2,4 �� x ≈ 1,7 · 1,2 = 2,04 m. RESPOSTA: LETRA A. P6. SOLUÇÃO: a) CORRETO. sen ( π + x) = - sen x. �� Pois se x é um ângulo agudo, π + x está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo. b) CORRETO. sen (x – π) = - senx. �� sen (x – π) = sen (x + π). c) CORRETO. sen (x + 2 π) = - sen (x + π). �� sen (x + 2 π) = sen x e - sen (x + π) = -(-sen x) = sen x. d) INCORRETO. sen (x + π/4) = sen (x – π/4), só se x = π/4. ��Substituindo x = π/4 temos: sen π/2 = sen 0 �� 1 = 0. e) CORRETO. sen (–x) = - sen x. �� sen (-x) está no quarto quadrante, onde o seno é n egativo. RESPOSTA: LETRA D.



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P7. SOLUÇÃO: P(t) = 96 + 18 cos(2πt) (0)(0) VERDADEIRO. O valor máximo da pressão arterial é quando o cosseno tem seu valor máximo: 1. Então P(t) = 96 + 18·1 = 96 + 18 = 114. (1)(1) VERDADEIRO. O valor mínimo é quando o cosseno é -1: P(t) = 96 + 18 ·(-1) = 96 – 18 = 78. (2)(2) VERDADEIRO. Cos 2 πt = cos 2 π(t+1), pois 2 π multiplicado por qualquer número sempre dará um ar co côngruo a 2 π multiplicado pelo sucessor desse número, ou seja, t erá sempre o mesmo cosseno. (3)(3) FALSO. P(1/3) = 96 + 18 · cos (2 π/3) = 96 + 18· (-1/2) = 96 – 9 = 87. (4)(4) FALSO. Um dos motivos para o gráfico estar er rado é que a pressão mínima é atingida quando cos ( 2πt) = -1, ou seja, 2πt = π �� 2t = 1 �� t = ½, o que não consta no gráfico. RESPOSTA: VVVFF. P8. SOLUÇÃO: Se o diâmetro é 4, o raio é 2:

Pela lei dos cossenos, temos: (2 √3)² = 2² + 2² - 2·2·2· cos AÔC �� 12 = 4 + 4 - 8· cos AOC �� 4 = - 8· cos AOC �� cosAOC = -½. Assim, AOC = 120º. Logo, BOC = 180 – 120 = 60º. RESPOSTA: 60. P9. SOLUÇÃO: Os triângulos ACP e BDP são semelhantes. A ssim, o ângulo BPD também mede 30º:

De acordo com a figura, temos: sen 30º = 500/x = ½ �� x = 1000 m; sen 30º = 600/y = ½ �� y = 1200 m. Assim, a distância total percorrida por Joana foi d e 1000 + 1200 = 2200 m = 2,2 km. RESPOSTA: LETRA B. P10. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. O valor mínimo e o máximo da função, é quando cos x = -1 e cos x = 1, respec tivamente. Então temos: mínimo �� f(x) = 3 + 2 ·(-1) = 3 – 2 = 1. Máximo �� f(x) = 3 + 2 ·1 = 3 + 2 = 5. Logo, a imagem de f é [1, 5]. (1)(1) VERDADEIRO. O período é calculado dividindo 2é calculado dividindo 2 π pelo número que multiplica x. Assim, o período de f é 2 π/3. (2)(2) FALSO. 3 + 2 cos(3x) = 0 �� cos(3x) = -2/3. O cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrantes, logo apresenta duas soluções. (3)(3) VERDADEIRO. O valor mínimo da função é 1. (4)(4)FALSO. f(x) é sempre maior que zero. RESPOSTA: FVFVF. P11. SOLUÇÃO: Seja x a altura do prédio, a partir do p onto de medição:



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Então tg 60º = x/50 = √3 �� x = 50√3 ≈50 · 1,73 = 86,5. Como o ponto de medição tem 1 metro, a altura do prédio é aproximadamente 86,5 + 1 = 87,5 metros. RESPOSTA: LETRA B. P12. SOLUÇÃO: O período da função é 2 π/m = π �� m = 2; f(0) = A + B · sen 0 �� 3 = A + 0 �� A = 3; Im = [1,5]. A – B = 5 �� 3 – B = 5 �� B = -2; Assim, A = 3, B = -2 e m = 2. RESPOSTA: LETRA D. P13. SOLUÇÃO: Como a função tem período 2, temos que (2π)/(bπ) = 2 �� b = 1. Uma vez que a função passa pelo ponto (0,3), temos b = a · sen 0 + c = 3 �� c = 3. Assim, a função é do tipo y = a · sen(πx) + 3 e, como passa pelo ponto (½, 5), temos a = 2. A função é y = 2 · sen(πx) + 3. Assim, (a + b + c)² = (2 + 1 + 3)² = 6² = 3 6. RESPOSTA: 36. P14. SOLUÇÃO: 2cos x - sec x = 1 �� 2 cos x – 1/cos x = 1 �� 2 cos²x – 1 = cos x �� 2 cos²x – cos x -1 = 0. Raízes: cos x = 1 �� x = 0 e cos x = -1/2 �� x = 120º ou x = 240º. Ou seja, formam um triangulo eqüilátero (pois os pontos estão marcados de 120º em 120º):

Como o raio do círculo trigonométrico é 1, então o lado do triângulo eqüilátero inscrito a ele é √3. Logo, sua área é √3²·√3/4 = 3√4/4. RESPOSTA: LETRA C. P15. SOLUÇÃO: S = 1 + sen a + sen² a + sen³ a +... 1, sen a, sen²a, sen³a.. formam uma P.G. infinita d e primeiro termo 1 e razão sen a. Assim, sua soma é dada por:

)tgaa.(secasecS

asec.tgaasecacos

sena

acos

1

acos

sena1

asen1

sena1sena1sena1

.sena11

S

:teremos,sena1poradormindenooenumeradorormosmultiplicase,sena11

q1a

S

22222

1

++++====

++++====++++====++++====

−−−−++++====

++++++++

−−−−====

++++−−−−

====−−−−

====

RESPOSTA: LETRA A.



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P16. SOLUÇÃO: Como a função tem período 8, temos 2 ππππ/(ππππ/c) = 8 e c = 4. De f(0) = 12 segue que a + b = 12; de f(4) = 8 segue que a + bcos ππππ = 2 ou a – b = 2. Resolvendo o sistema, obtemos a = 7 e b = 5. Então abc/10 = 7 ·5·4/10 = 14. RESPOSTA: 14. P17. SOLUÇÃO: (0)(0) VERDADEIRO. Por definição de cálculo do período. (1)(1) VERDADEIRO. Pois o cosseno de qualquer ângulo é no mínimo -1 e no máximo 1. (2)(2) VERDADEIRO. f(π/2) = cos(3 π/2) = 0. (3)(3) FALSO. Não necessariamente. Por exemplo, x = - π/9 �� f(-π/9) = cos(- π/3) = cos( π/3) = ½ > 0 e x < 0. (4)(4) FALSO. UM exemplo que contradiz a afirmativa é o do item anterior. RESPOSTA: VVVFF. P18. SOLUÇÃO: Pelo formato da função vemos que trata-s e de uma função seno, que corta o eixo dos y no pon to 3, então é uma função do tipo: f(x) = 3 - sen(mx). Como pode mos ver no gráfico, período da função é π, ou seja: π = 2π/m �� m = 2. Logo, a função representada no gráfico é f(x) = 3 – sen (2x). RESPOSTA: LETRA C. P19. SOLUÇÃO: 2 – sen t = 8 – 6y �� sen t = 6y – 6. Sabemos que -1 ≤ sen t ≤ 1. Então -1 ≤ 6y – 6 ≤ 1 �� 5 ≤ 6y ≤ 7 �� 5/6 ≤ y ≤ 7/6. Assim, o comprimento do intervalo é: c = 7/6 – 5/6 = 2/6. Logo, 6c = 6 · 2/6 = 2. RESPOSTA: 02. P20. SOLUÇÃO: Pela expansão do binômio de Newton, temo s: (1 + sen x – 1) 5 = 1/32 �� sen5 x = 1/32 �� sen x = ½ �� x = π/6 ou x = 5 π/6. RESPOSTA: LETRA C. APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: Os valores da expressão vão se anular, pois tg 1º = - tg 89º; tg 2º = - tg 88º; Só restará log tg 45º = log 1 = 0. RESPOSTA: 00. A2. SOLUÇÃO:O domínio de y = log (sen x) é sen x > 0 . Isso ocorre quando 0 < x < π; ou 2 π < x < 3π ... ou seja, 2kπ < x < (2k + 1)π, pois o seno é positivo no primeiro e no segundo q uadrantes. RESPOSTA: LETRA E. A3. SOLUÇÃO: f(π/4) = sen π/4 + cos π/4 = √2/2 + √2/2 = √2; f(2π/4 = π/2) = sen π/2 + cos π/2 = 1 + 0 = 1; f(3π/4) = sen 3π/4 + cos 3 π/4 = √2/2 - √2/2 = 0; f(4π/4 = π) = sen π + cos π = 0 -1 = -1; f(5π/4) = sen 5π/4 + cos 5 π/4 = -√2/2 - √2/2 = - √2; …… f(6π/4 = 3π/2) = sen 3π/2 + cos 3 π/2 = -1 + 0 = -1; f(7π/4) = sen 7π/4 + cos 7 π/4 = - √2/2 + √2/2 = 0; f(8π/4 = 2π = 0) = sen 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1; A partir daí, os valores vão se repetindo: f(9π/4) = f(π/4); f(10π/4) = f(π/2) ... Logo, a imagem da função possui 5 elementos. (- √2, -1, 0, 1, √2) RESPOSTA: LETRA C.



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A4. SOLUÇÃO: 2secx - senx. tgx = 2 · 1/cosx – senx · senx/cosx = 2/cosx – sen²x/cosx = (2 – sen²x)/cosx . Substituindo sen²x por 1 – cos²x, temos: (2 – (1 – cos²x))/cosx = (1 + cos²x)/cosx = 1/cosx + cos²x/cosx = 1/cosx + cosx. Percebe-se, pelo gráfico, que a fnção é crescente e o menor valor estabelecido por ela é para x = 0. Te m-se: No intervalo de [0, 2 π], para x = 0 tem-se: f(0) = 1/cos0 + cos0 = 1/1 + 1 = 2. Logo, no interv alo [0, π/2] o menor valor assumido pela função f é 2,0. RESPOSTA: LETRA A. A5. SOLUÇÃO: A população atinge seu valor máximo qua ndo o cosseno atinge seu valor máximo, que é 1. Ou seja, cos(6 πt) = 1 �� 6πt = 2kπ �� t = k/3, onde k = 0, 1, 2.. Assim, t = 0 (0 anos); t = 1/3 (4 meses); t = 2/3 (8 meses).. Então P será máxima 4 meses depois de começar o ano, ou seja, de pois de abril, no começo de maio; ou no começo de s etembro (depois de 8 meses, quando acaba agosto) e assim po r diante. RESPOSTA: LETRA B. A6. SOLUÇÃO: Sabemos que sen²y + cos²y = 1. Então x 3 + 7x2 + x + 1 = x 3 + 5x2 + 2 �� 2x² + x – 1 = 0. Raízes: x = 1 ou x = -1/2. RESPOSTA: LETRA A. A7. SOLUÇÃO: Sabemos que a zero hora a onda tem valor máximo de altura 3 metros e novamente será alta as 12 horas, sendo assim o período é 12. Como a maré baixa tem u ma altura de 0,03 metros que ocorre às 6 horas, enc ontramos: h(0) = 3 h(6) = 0,03 h(12) = 3 Isso só ocorre na função da letra A. RESPOSTA: LETRA A. A8. SOLUÇÃO: Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, então : α + β = 90º �� cos β = sen α. sen 2 2β − 2 cos 2 β = 0 �� 1 – cos²2 β – 2 cos 2 β = 0 �� 1 – (2 cos² β – 1)² - 2·(2·cos² β – 1) = 0 ��

1 - 4·cos 4β + 4·cos² β -1 - 4·cos² β + 2 = 0 �� cos 4β = ½ �� cos β = 1/ = /2. Portanto, sen α = cos β = /2. RESPOSTA: LETRA C. A9. SOLUÇÃO: B é o conjunto das raízes de f. f(x) = √77 · sen(5x + 5 π/6) = 0 �� 5x + 5π/6 = kπ, k ∈∈∈∈ Z. �� x = -π/6 + kπ/5 (k ∈∈∈∈ Z). Sejam M = B ∩ (- ∞∞∞∞ ,0) e N = B ∩ (+ ∞∞∞∞ ,0). Isto significa que M é o conjunto dos element os negativos de B, e N é o conjunto dos elementos positivos de B. Além disso: -π/6 + kπ/5 < 0 �� k/5 < 1/6 �� k < 5/6, para que x pertença a M; - π/6 + kπ/5 > 0 �� k > 5/6, para que x pertença a N. Como x é função crescente de k, tem-se que: (maior elemento de M) = m = - π/6 + 0 · π/5 = - π/6 (pois k < 5/6 e k ∈∈∈∈ Z) (menor elemento de N) = n = - π/6 + 1 · π/5 = π/30 (pois k > 5/6 e k ∈∈∈∈ Z) Portanto, m + n = - π/6 + π/30 = -2π/15. RESPOSTA: LETRA E. A10. SOLUÇÃO: (tg²x – 1)(1 – cotg²x) = 4 �� (tg²x – 1)(1 – 1/tg²x) = 4 �� (tg²x – 1)² = 4tg²x �� [2tgx/(1 – tg²x)]² = 1 �� tg²2x = 1 �� tg 2x = ±1. Assim: 2x = π/4 + kπ/2, �� x = π/8 + kπ/4, k ∈∈∈∈ Z. O conjunto solução é { ππππ /12 + kππππ /4, k ∈∈∈∈ Z } RESPOSTA: LETRA D.

Exercícios Propostos - Funções Trigonométricas

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