exercicios resolvidos

Exerc cios de Clculo Diferencial e Integral de Funes a co Denidas em RnDiogo Aguiar Gomes, Joo Palhoto Matos e Joo Paulo Santos a a 24 de Janeiro de 2000

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Conte do u1 Introduo ca 1.1 Explicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Futura introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2 Complementos de Clculo Diferencial a 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exerc cios suplementares . . . . 2.1.2 Sugestes para os exerc o cios . . 2.2 Clculo diferencial elementar . . . . . a 2.2.1 Exerc cios suplementares . . . . 2.2.2 Sugestes para os exerc o cios . . 2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` a 2.3.1 Exerc cios suplementares . . . . 2.3.2 Sugestes para os exerc o cios . . 2.4 Polinmio de Taylor . . . . . . . . . . o 2.4.1 Exerc cios suplementares . . . . 2.4.2 Sugestes para os exerc o cios . . 3 Extremos 3.1 Extremos . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Exerc cios suplementares . . 3.1.2 Sugestes para os exerc o cios 3.2 Testes de Segunda Ordem . . . . . 3.2.1 Exerc cios suplementares . . 3.2.2 Sugestes para os exerc o cios 5 5 5 7 7 10 11 12 17 18 19 22 22 23 25 26 27 28 33 34 34 43 43 47 47 50 51 52 53 60 61 62 67 67 69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Teoremas da Funo Inversa e da Funo Impl ca ca cita 4.1 Invertibilidade de funes . . . . . . . . . . . . . . . co 4.1.1 Exerc cios Suplementares . . . . . . . . . . . 4.1.2 Sugestes para os exerc o cios . . . . . . . . . . 4.2 Teorema do valor mdio para funes vectoriais . . . e co 4.3 Teorema da Funo Inversa . . . . . . . . . . . . . . ca 4.3.1 Exerc cios Suplementares . . . . . . . . . . . 4.3.2 Sugestes para os exerc o cios . . . . . . . . . . 4.4 Teorema da Funo Impl ca cita . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Exerc cios suplementares . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Sugestes para os exerc o cios . . . . . . . . . . Bibliograa

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CONTEUDO

24 de Janeiro de 2000

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Cap tulo 1

Introduo ca1.1 Explicao ca

Est a ler uma verso parcial e preliminar de um texto em elaborao. Os autores agradecem a a ca quaisquer noticaes de erros, sugestes,. . . , para [email protected]. Estima-se que o texto co o nal ter uma extenso cerca de trs a quatro vezes maior e incluir cap a a e a tulos que nesta verso a foram exclu dos. A seco seguinte desta introduo tem carcter preliminar e tem como pressuposto a existncia ca ca a e do material que aqui ainda no foi inclu a do. Partes deste texto foram distribu das separadamente por cada um dos autores no passado. Tendo descoberto que os diversos textos tinham carcter algo complementar decidimos reuni-los. a A presente verso idealmente no mostra de uma maneira bvia as adaptaes e correces que a a o co co foram necessrias para chegar ao formato actual. a Novas verses deste texto iro aparecendo sempre que os autores considerarem oportuno em o a http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/AMIII/temp.pdf. Para evitar a proliferao de textos ca obsoletos a maioria das pginas apresenta a data de reviso corrente em p de pgina. a a e a

1.2

Futura introduo ca

Este texto nasce da nossa experincia a leccionar a disciplina de Anlise Matemtica III no Instituto e a a Superior Tcnico. Por um lado reune um nmero considervel de enunciados de problemas de e u a exame e por outro serve de propaganda ` nossa maneira de ver os assuntos aqui tratados. Anlise a a Matemtica III uma disciplina do primeiro semestre do segundo ano de todos os curr a e culos de licenciatura leccionados no Instituto Superior Tcnico (IST) excepto Arquitectura. e Se se perguntar a um aluno de um dos dois primeiros anos do IST que tipo de folhas mais deseja que lhe sejam disponibilizadas pelos seus professores temos como resposta mais que provvel: a folhas de exerc cios resolvidos de Anlise Matemtica. No entanto tal resposta costuma suscitar a a como reaco da parte dos docentes essencialmente preocupao. De facto a resoluo de exerc ca ca ca cios de Anlise Matemtica no geralmente unica e o processo de aprendizagem est mais ligado ` a a a e a a tentativa de resoluo dos mesmos quando se possui um conjunto de conhecimentos m ca nimo do que ` absoro acfala de um nmero nito de receitas. a ca e u O que se segue uma tentativa de compromisso entre a procura e a oferta neste mercado e sui generis. So inclu a dos exerc cios de exame dos ultimos anos com modicaes do enunciado co quando tal foi julgado conveniente e muitos outros com um carcter mais ou menos trivial, ou de a complemento de resultados citados, ou de comentrio de uma resoluo de um exerc a ca cio, sugesto a de extenses, etc. Por vezes um exerc o cio embora inclu numa seco inclui uma questo que do ca a s tratada numa seco posterior. Tais exerc oe ca cios esto assinalados com um asterisco *. Foram a inclu dos esboos de resoluo e sugestes em nmero considervel. c ca o u a 5

CAP ITULO 1. INTRODUCAO O leitor dever ter em considerao que o programa de Anlise Matemtica III tem variado a ca a a ao longo do tempo. E consensual no Departamento de Matemtica do IST e na escola em geral a que a introduo ` anlise em Rn e o clculo diferencial em Rn devero ser tratados em grande ca a a a a parte no primeiro ano do curso. Da a existncia de seces correspondentes a reviso de material e co a coberto no primeiro ano do curso. Outro facto a ter em conta a diferena de programa para os cursos de Matemtica Aplicada e c a e Computao e Engenharia F ca sica Tecnolgica. Nestes cursos so introduzidos o formalismo das o a formas diferenciais e a respectiva verso do teorema fundamental do clculo em vez da formulao a a ca clssica do teorema de Stokes. Aconselha-se os alunos destes dois cursos a comparar os enuncia ados de exerc cios deste tema com as formulaes clssicas dos mesmos. Tais comparaes esto co a co a indicadas em nota de p de pgina. e a A notao utilizada clssica tanto quanto poss ca e a vel, embora obviamente no universal, e nem a sempre ser isenta de incoerncias. Por exemplo: usaremos a notao de Leibniz para derivadas a e ca 2 parciais mas de acordo com a notao geral para operadores, isto , xy = x u ; usaremos ca e u y sempre que tal for considerado sugestivo. Citaremos os resultados essenciais de cada tema mas no necessariamente com a sua formulao a ca mais geral remetida por vezes para observaes marginais ou problemas. O enunciado de tais resulco tados por vezes seguido de uma demonstrao que mais no faz que relembrar sinteticamente e ca a a dependncia em relao a outros resultados e os mtodos utilizados. e ca e Faz-se notar que no seguimos a ordenao de material geralmente adoptada durante a exa ca posio dos cursos no IST devido devido a razes como a convenincia em apresentar problemas ca o e sobre a introduo do conceito de variedade como complemento do estudo do teorema da funo ca ca impl cita. Um ultimo aviso: este texto no pretende substituir os excelentes livros de texto dispon a veis sobre os assuntos aqui abordados. Diria mesmo que provavelmente incompreens e vel se um ou mais desses livros no for consultado. Os textos adoptados no IST so [6, 3, 5]. a a Lisboa, Outubro de 1999 DG, JPM, JPS ,


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Cap tulo 2

Complementos de Clculo a DiferencialO conceito de funo diferencivel uma das noes chave da anlise. Por exemplo, se f : R R ca a e co a for diferencivel em x0 , o clculo de f (x0 ) permite aproximar f pela frmula de Taylor perto de a a o x0 , i.e., f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x x0 ) + o(x x0 ), o ca e e onde limxx0 o(xx00 ) = 0. Esta frmula tem a seguinte interpretao geomtrica: f (x0 ) o xx declive da recta tangente a f em x0 e y = f (x0 ) + f (x0 )(x x0 ) a equao dessa recta. e ca Outras aplicaes do conceito de derivada familiares a um estudante que conhea Anlise co c a Matemtica ao n a vel de um primeiro ano de licenciatura so, por exemplo, a determinao de a ca pontos de extremo: se f : R R for diferencivel, os seus mximos ou m a a nimos so zeros de f 1 . a Outra aplicao que deve ser familiar a mudana de coordenadas na integrao atravs de: ca e c ca eb f 1 (b)

g(x)dx =a f 1 (a)

g(f (y))f (y)dy.

Esta presena ub c qua da diferenciao no estudo de funes reais de varivel real faz com que ca co a seja natural, quando se estudam funes de vrias variveis, generalizar a noo de derivada. Para co a a ca funes de Rn em R, a interpretao geomtrica da derivada ser o declive do plano tangente co ca e a ao grco da funo, mais precisamente y = f (x0 ) + Df (x0 )(x x0 ) a equao desse plano a ca e ca tangente2 . Neste cap tulo resumiremos alguns resultados de clculo diferencial, para funes reais de mais a co do que uma varivel real. Em particular trataremos questes importantes sobre a continuidade e a o diferenciabilidade de funes de Rn em Rm . Para alm disso estudaremos a frmula de Taylor. co e o

2.1

Preliminares

Esta seco relembra alguns dos conceitos e resultados sobre funes de Rn em Rm que se supem ca co o conhecidos nas seces seguintes. Aconselha-se o leitor a consultar [1] para relembrar, com detalhe, co os resultados, supostos j conhecidos, que a seguir se enumeram de uma forma necessariamente a breve. Tanto a denio de continuidade como a de diferenciabilidade dependem do conceito de disca tncia entre dois pontos, denida por sua vez ` custa da noo de norma: a a cano entanto, que o facto de a derivada se anular num ponto, no implica que este seja um mximo ou a a m nimo; pode ser ponto de sela! Veja o cap tulo 3. 2 Designaes tcnicas para um tal conjunto so de um subespao am de dimenso n de Rn+1 ou hiperplano co e a c a1 Note,

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CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Denio 2.1.1 Seja : Rn R. Diz-se que uma norma se vericar as seguintes proprieca e dades: i) (x) > 0 se x = 0 e (0) = 0; ii) (x) = ||(x), x Rn , R; iii) (x + y) (x) + (y), x, y Rn . Para designarmos uma norma genrica utilizaremos a notao x = (x). Em Rn usual e ca e considerar a norma euclideana, denida por (x1 , . . . , xn ) = x2 + . . . + x2 . n 1

Porm, em certas situaes, pode ser util trabalhar com normas diferentes. e co Exerc cio 2.1.1 Prove que as seguintes funes so normas em R2 : co a 1. (x, y) = |x| + |y| 2. (x, y) = mx {|x|, |y|} a 3. (x, y) = 2 x2 + y 2 y2 + z2 .

4. (x, y, z) = |x| +

Exerc cio 2.1.2 Mostre que (x, y) = |x + y| no uma norma mas satisfaz ii e iii em 2.1.1. a e Denio 2.1.2 Em Rn , a bola (aberta) centrada em x e de raio r, relativa ` norma ca a conjunto B(x, r) (ou Br (x)) denido por B(x, r) = {y Rn : x y < r}. Se a norma em questo for a norma euclideana as bolas sero redondas, caso contrrio podero a a a a ter formatos mais ou menos inesperados, como se pode ver no exerc seguinte. cio Exerc cio 2.1.3 Esboce as bolas B1 (0) em R2 para as seguintes normas: 1. (x, y) = x2 + y 2 ,o e

2. (x, y) = |x| + |y| 3. (x, y) = mx{|x|, |y|} a Exerc cio 2.1.4 Mostre que uma bola ser sempre um conjunto convexo, isto , dados dois quaisa e quer dos seus pontos, o segmento de recta que os une est contido na bola. a Daqui para a frente vamos sempre supor que a norma em Rn a norma euclideana, a no ser e a que seja dito algo em contrrio. Alm disso a notao no distinguir as normas euclidianas em a e ca a a diferentes espaos Rn para n 2. c Denio 2.1.3 Diz-se que um conjunto A Rn aberto se vericar a seguinte propriedade: ca e x A, r > 0 : B(x, r) A. Exemplo 2.1.1 O conjunto ]0, 1[ R aberto. Com efeito, para qualquer nmero real 0 < x < 1 e u temos x > 1/2 ou x 1/2. No primeiro caso B(x, x/2) ]0, 1[, no segundo B(x, (1x)/2) ]0, 1[. Exerc cio 2.1.5 Mostre que as bolas abertas so conjuntos abertos. a24 de Janeiro de 2000

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2.1. PRELIMINARES Temos reunidos todos os ingredientes ncessrios ` denio de funo cont a a ca ca nua: Denio 2.1.4 Diz-se que uma funo f : A Rn Rm cont ca ca e nua num ponto x A se: > 0 > 0 tal que x y < , y A f (x) f (y) < .

Diz-se que f cont e nua num subconjunto do seu dom nio se for cont nua em todos os pontos desse conjunto. Exemplo 2.1.2 Suponhamos f (x, y) = x + y. Provemos que f cont e nua. Seja Reparemos que, para todo o (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), se tem |x1 + y1 x2 y2 | |x1 x2 | + |y1 y2 |, sendo que |x1 x2 | (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) e |y1 y2 | (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) . Portanto, xando > 0, e escolhendo < 2 teremos: |x1 + y1 x2 y2 | 2 < , se (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) < . Logo f cont e nua. Exerc cio 2.1.6 Mostre que a funo denida por ca f (x, y) = no cont a e nua. Muitas vezes, para mostrar continuidade (ou a falta dela), utiliza-se a caracterizao de contica nuidade atravs de sucesses: e o Teorema 2.1.1 (Continuidade ` Heine) a Seja f : A Rn Rm . f cont e nua em x0 A se e somente se para toda a sucesso (xk )kN A a que converge para x0 (isto , limk+ xk x0 = 0) a sucesso (f (xk ))kN converge para f (x0 ). e a Exemplo 2.1.3 Seja f : Rn Rm , g : Rm Rp , f e g cont nuas. Provemos que g f e cont nua. Seja x0 Rn e (xk ) Rn uma sucesso convergente para x0 . Denindo yk = f (xk ) a obtemos uma sucesso (yk ) Rm que converge para y0 = f (x0 ), uma vez que f cont a e nua. A sucesso (zk ) Rp , denida por zk = g(yk ), converge para z0 = g(y0 ), uma vez que g cont a e nua. Resta observar que zk = g f (xk ) z0 = g f (x0 ), pelo que g f cont e nua. Exerc cio 2.1.7 Refaa o exemplo anterior usando a denio 2.1.4. c ca Exerc cio 2.1.8 Prove o teorema 2.1.1. Exerc cio 2.1.9 Seja f : Rn Rm . Prove que f cont e nua se e somente se para todo o aberto m A R se tem f 1 (A) Rn aberto, onde o conjunto f 1 (A) denido como sendo: e f 1 (A) = {x Rn : f (x) A}. Generalize este resultado para funes denidas num subconjunto arbitrrio de Rn . co a Denio 2.1.5 Diz-se que um conjunto F Rn fechado se o seu complementar F c for aberto. ca e Teorema 2.1.2 (Caracterizao dos fechados via sucesses) ca o F Rn fechado se e s se dada uma qualquer sucesso convergente de termos em F esta converge e o a para um elemento de F . 924 de Janeiro de 2000

> 0 arbitrrio. a

1, 0,

se x + y > 0, se x + y 0

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Exerc cio 2.1.10 D dois exemplos distintos de subconjuntos de Rn que sejam, cada um deles, e simultaneamente aberto e fechado (isto s se verica para dois conjuntos muito especiais!). o Denio 2.1.6 A unio de todos os abertos contidos num conjunto A ser designada por interior ca a a ` de A e abrevia-se int A. A interseco de todos os fechados contendo A chamar-se- fecho de A e ca a abrevia-se A. A fronteira de A, A, denida por A = A \ int A. e Denio 2.1.7 Diz-se que um conjunto K Rn compacto se dada uma qualquer sucesso de ca e a termos em K esta possui uma subsucesso convergente para um elemento de K. a Teorema 2.1.3 (Caracterizao dos compactos de Rn ) ca K Rn compacto se e s se K limitado e fechado. e o e Exerc cio 2.1.11 O conjunto vazio compacto? E o conjunto dos nmeros racionais de valor e u absoluto menor que 1? Exerc cio 2.1.12 D um exemplo de uma funo f : Rn R tal que e ca 1. {x Rn : f (x) 1} seja um conjunto compacto. 2. {x Rn : f (x) < 1} seja um conjunto compacto no vazio. Observao: se f for cont a ca nua ento este conjunto necessariamente aberto (porqu?) portanto se escolher f cont a e e nua o conjunto ser necessariamente vazio (porqu?). a e 3. Seja K um conjunto compacto. Construa uma funo f tal que K = {x : f (x) = 1}. ca Escolhendo f no cont a nua o problema trivial. No entanto pode tornar o problema bem e mais interessante tentando construir f cont nua!

2.1.1

Exerc cios suplementares

Exerc cio 2.1.13 Diz-se que duas normas em Rn , constantes positivas, a e b tais que a x

e

,

so equivalentes se existirem a

x

b x

para todo o x Rn . Prove que as seguintes normas so todas equivalentes entre si: a 1. (x1 , . . . , xn ) 2. (x1 , . . . , xn ) 3. (x1 , . . . , xn )1 2

= |x1 | + . . . + |xn | = |x1 |2 + . . . + |xn |2

= mx{|x1 |, . . . , |xn |} a

Exerc cio 2.1.14 Prove que as seguintes funes so cont co a nuas: 1. f (x) = 1 se < x 1 e f (x) = x se x 1; 2. qualquer polinmio em n variveis. o a Exerc cio 2.1.15 Prove que f (x) = no cont a e nua. Exerc cio 2.1.16 Diz-se que uma funo f : J Rn R semicont ca e nua inferior se para toda a sucesso xk x J se tem lim inf j+ f (xk ) f (x) (recorde que o lim inf de uma sucesso a a (yk )kN denido como sendo lim inf k+ yk = limn+ inf k>n {yk }). e24 de Janeiro de 2000

0, 1,

se x < 0, se x 0,

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2.1. PRELIMINARES 1. Mostre que o lim inf existe sempre (eventualmente pode ser igual a , quando?). 2. Mostre que qualquer funo cont ca nua semicont e nua inferior. 3. D um exemplo de uma funo semicont e ca nua inferior que no seja cont a nua. 4. Mostre que qualquer funo semicont ca nua inferior f denida num compacto K limitada e inferiormente, isto C R tal que f (x) C sempre que x K. e 5. Mostre que uma funo semicont ca nua inferior denida num compacto tem sempre m nimo. 6. Utilizando as ideias das al neas anteriores mostre que qualquer funo cont ca nua denida num compacto tem mximo e m a nimo. Exerc cio 2.1.17 As denies de aberto e funo cont co ca nua dependem aparentemente de usarmos a norma euclidiana. Uma dvida leg u tima saber se tivessemos usado outra norma chegar e amos `s a mesmas concluses relativamente a que conjuntos so abertos e que funes so cont o a co a nuas. Mostre que: 1. Todas as normas em Rn so cont a nuas. 2. Qualquer norma em Rn tem um m nimo positivo na fronteira da bola B(0, 1). 3. Todas as normas em Rn so equivalentes. a 4. Conclua que as noes de aberto e funo cont co ca nua so independentes da norma utilizada. a

2.1.21. x 2. x

Sugestes para os exerc o cios x x n x ; n x .

2.1.13 Observe que x Rn 1 2

Usando 1 e 2 deduza as restantes desigualdades. 2.1.14 Utilize a denio 2.1.4 e o teorema 2.1.1. ca 1 2.1.15 Note que f n 0 = f (0). 2.1.16 1. Note que a sucesso zn = inf k>n {yk } montona crescente. a e o 2. Se f cont e nua e xk x ento f (xk ) f (x). a 3. Por exemplo f (x) = 0 1 se x 0, se x > 0.

4. Se f no fosse limitada inferiormente existiria uma sucesso xk K tal que f (xk ) a a . Como K compacto poder-se-ia extrair uma subsucesso convergente xkj x e a K. Consequentemente ter-se-ia = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) f (x) > o que e absurdo. 5. Seja f : K R, onde K Rn compacto, semicont e nua inferior. Note que, pela al nea anterior, f minorada. Dena-se m = inf yK f (y). Ento existe uma sucesso xk K tal e a a que f (xk ) m. Como K compacto, existe uma subsucesso xkj que converge para algum e a x K. Por semicontinuidade inferior tem-se m = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) f (x)j+ j+

mas por outro lado f (x) inf yK f (y) = m portanto f (x) = m. 1124 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALy y = f(x)

b

y = b + f'(a)(x-a) x

a

Figura 2.1: A interpretao geomtrica de derivada para funes reais de varivel real. ca e co a 6. Se f cont e nua ento f e f so semicont a a nuas inferiores.

2.2

Clculo diferencial elementar a

Vamos comear por denir funo diferencivel . c ca a Denio 2.2.1 Seja U Rn um aberto. Diz-se que uma funo f : U Rm diferencivel no ca ca e a ponto x0 U se existir uma aplicao linear A de Rn em Rm , para a qual se tem cah0,hRn

lim

f (x0 + h) f (x0 ) Ah = 0. h

Ser ` aplicao linear A na denio anterior que chamaremos derivada3 de f no ponto x0 . aa ca ca No entanto poderia existir mais do que uma aplicao linear nestas condies. . . ca co Problema 2.2.1 Mostre que a aplicao linear A da denio 2.2.1 se existir unica. ca ca e Denio 2.2.2 A aplicao linear A da denio 2.2.1 designa-se por derivada de f em x0 ca ca ca escrevendo-se Df (x0 ). Esta denio de derivada coincide com a denio usual de derivada para funes reais de ca ca co varivel real. Para este caso, a aplicao linear A referida na denio anterior simplesmente a ca ca e multiplicao por um escalar. ca Exerc cio 2.2.1 Suponha f : U Rn Rm diferencivel num ponto x0 int U . Prove que e a f (x0 + h) = f (h0 ) + Df (x0 )(h) + o(h), onde limh0,hRm o(h) = 0. h Denio 2.2.3 Diz-se que uma funo f : U Rn Rm . Se U for aberto dizemos que f ca ca e diferencivel em U se o for em todos os pontos do dom a nio U . Se U no for aberto dizemos que a f diferencivel em U se existir um prolongamento f de f a um aberto V contendo U tal que f e a seja diferencivel em V . a3 Tal aplicao ser muitas vezes identicada com a matriz real m n que a representa ou com um vector se n ca a ou m for igual a 1. Se n = 1 comum usar f (x0 ) em vez de Df (x0 ). e


12

2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTAR Exemplo 2.2.1 Seja f denida em R por f (x) = x3 . Mostremos que ela diferencivel em e a qualquer ponto de x R e que a sua derivada 3x2 . e Com efeito temos |(x + h)3 x3 3x2 h| |3xh2 + h3 | = lim = 0. h0 h0 |h| |h| lim A vericao da diferenciabilidade usando directamente a denio pode ser, mesmo em casos ca ca simples, penosa. Isso no acontece, no entanto, no caso ilustrado no prximo exerc a o cio. Exerc cio 2.2.2 Mostre que uma transformao linear f : Rm Rn , dada por f (x) = M x, onde ca M uma matriz n m, diferencivel e que Df = M . e e a As funes diferenciveis formam um subconjunto estrito das funes cont co a co nuas. Com efeito: Exerc cio 2.2.3 Mostre que qualquer funo diferencivel cont ca a e nua. Consideremos uma funo f : U Rn Rm e xemos um vector v Rn . Dado um ponto ca x0 U , podemos restringir a funo f ` recta que passa por x0 e com sentido denido por v. A ca a derivada ao longo desta recta chama-se derivada dirigida: Denio 2.2.4 Dene-se a derivada dirigida da funo f : U Rn Rm no ponto x0 U , ca ca segundo o vector v Rn como sendo Dv f (x0 ) = lim se o limite existir. Este uma relao simples entre derivadas dirigidas relativamente a vectores com a mesma ca direco (qual?). Da normalizarmos as derivadas dirigidas considerando muitas vezes v como ca sendo unitrio. Nesse caso designamos a derivada dirigida como derivada direccional . a A denio de derivada dirigida mais fraca do que a denio de funo diferencivel. Com ca e ca ca a efeito h funes que no so diferenciveis num determinado ponto mas que admitem derivadas a co a a a dirigidas. Pode mesmo acontecer que uma funo admita algumas (ou todas!) as derivadas ca dirigidas num determinado ponto mas que no seja sequer cont a nua nesse ponto. Exemplo 2.2.2 Consideremos a funo denida por ca f (x, y) = 1, 0, se x Q, / se x Q. f (x0 + v) f (x0 ) .

0

Claramente esta funo no cont ca a e nua. No entanto, ela admite derivada dirigida na direco ca (0, 1). Fixemos um ponto (x0 , y0 ). Se x0 for racional teremos f (x0 , y0 + h) = 0, para qualquer h R. Deste modo D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0. Analogamente se x0 for irracional teremos f (x0 , y0 + h) = 1, para todo o h R. Pelo que tambm e se ter a D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0. As derivadas direccionais de funes f : U Rn R na direco dos eixos coordenados e no co ca sentido crescente da coordenada so frequentemente utilizadas e por isso tm um nome especial: a e derivadas parciais. 1324 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Denio 2.2.5 Seja f : U Rn R. A derivada parcial de f em relao a xi denida, caso ca ca e o limite exista, por f (x + ei ) f (x) f (x) = Dei f (x) = lim , h0 xi com x = (x1 , . . . , xn ) e sendo ei o versor da direco i. Por vezes usaremos a notao Di f em ca ca f vez de xi . Analisando a denio facilmente se conclui que, em termos prticos, a derivada parcial de f ca a em ordem a xi calculada coordenada a coordenada se m > 1, o que permite lidar s com funes e o co escalares, e, para cada uma destas, xando todas as variveis excepto xi e derivando cada fj em a ordem a xi como se esta fosse uma funo real de varivel real. ca a Exemplo 2.2.3 Seja g(x, y) = (x2 y 2 , x). As derivadas parciais de g em ordem a x e y so a g = (2xy 2 , 1) x g = (2x2 y, 0). y

Exerc cio 2.2.4 Calcule a derivada parcial em ordem a y das seguintes funes co 1. f (x, y, z) = xyz; 2. f (x, y) = x2 + sen(xy); 3. f (x, y, z, w) = 0. Se uma funo diferencivel as derivadas parciais permitem construir facilmente a matriz ca e a representando a derivada. Proposio 2.2.1 ca Se uma funo f : U Rn Rm diferencivel em a ento a derivada Df (a) satisfaz Df (a)(h) = ca e a a Jf (a)h em que a matriz jacobiana de f no ponto a denida por e f1 Jf (a) = x1 (a)

...

. . . fn x1 (a) . . .

f1 xm (a) . . .fn xm (a)

.

A diferenciabilidade de uma funo pode ser estabelecida facilmente ` custa da continuidade ca a das derivadas parciais: Denio 2.2.6 Diz-se que uma funo f : U Rn Rm com U aberto de classe C 1 (U ) se ca ca e existirem as derivadas parciais fj , xi 1 j m, 1 i n

e forem cont nuas. Se U no fr aberto dizemos que f C 1 (U ) se existir um aberto V U e uma a o funo g : V Rm tal que g|U = f e g C 1 (V ). ca Exemplo 2.2.4 A funo f (x, y) = x2 y 2 de classe C 1 pois as suas derivadas parciais so ca e a cont nuas (veja exemplo 2.2.3). Exemplo 2.2.5 Calculemos a derivada da funo ca f (x, y, z, w) = (f1 , f2 , f3 ) = (x + y, x + y + z 2 , w + z).24 de Janeiro de 2000

14

2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTAR Aplicando os resultados e observaes anteriores temos co f f1 f1 f1 1 1 x y z w Jf = f2 f2 f2 f2 = 1 x y z w f3 f3 f3 f3 0x y z w

1 1 0

0 2z 1

0 0 1

pelo que a funo C 1 , logo diferencivel e a derivada representada pela matriz Jf . ca e a e Proposio 2.2.2 (C 1 implica diferenciabilidade) ca Uma funo f : U Rn Rm de classe C 1 (U ) com U aberto diferencivel em U . ca e a Ideia da demonstrao. Claro que basta supor m = 1. Alm disso consideramos n = 2 pois tal ca e permite usar notao mais simples e quando terminarmos ser bvio como generalizar para n > 2. ca ao Seja (x, y) U . Basta provar que lim(h,k)(0,0)

f (x + h, y + k) f (x, y) h f (x, y) k f (x, y) x y (h2 + k 2 )1/2

= 0.

Para tal decompomos a diferena f (x+h, y +k)f (x, y) como uma soma de parcelas de diferenas c c de valores de f em que em cada parcela os argumentos de f s diferem numa coordenada. Uma o escolha poss vel e f (x + h, y + k) f (x, y) = [f (x + h, y + k) f (x, y + k)] + [f (x, y + k) f (x, y)]. Podemos assim lidar separadamente com cada coordenada reduzindo o nosso objectivo a provar lim(h,k)(0,0)

f (x + h, y + k) f (x, y + k) h f (x, y) x (h2 + k 2 ) (h2 + k 2 )1/2 1/2

= 0,

(2.1) (2.2)

lim(h,k)(0,0)

f (x, y + k) f (x, y) k f (x, y) y

= 0.

Para lidar com (2.1) use o teorema de Lagrange, aplicado a g(t) = f (x + t, y + k) f (x, y + k), para obter que existe , 0 < < 1, tal que f (x + h, y + k) f (x, y + k) = h f (x + h, y + k) e x use a continuidade da derivada parcial. Para lidar com (2.2) pode usar um racioc nio anlogo ou a simplesmente a denio de derivada parcial. ca Problema 2.2.2 Verique que a demonstrao da proposio 2.2.2 permite enunciar o resultado ca ca sob hipteses mais gerais. D um exemplo de uma funo que satisfaa tais hipteses e no seja o e ca c o a C 1 . Altere a demonstrao para obter o caso n > 2. ca Exerc cio 2.2.5 Mostre que so diferenciveis e calcule a derivada das seguintes funes: a a co 1. f (x, y, z) = (x2 y 2 , xy) 2. f (x, y) = (x y, x + y, 2x + 3y) 3. f (x, y) = (sen(x + y), cos(x y)) 4. f (x, y) = (ex+y+z , log(1 + ey ), z 2 + x) No caso de funes escalares (m = 1) a derivada representada por uma matriz linha que co e se identica a um vector de Rn que merece um nome especial pela sua importncia no clculo a a diferencial e nas aplicaes. co 1524 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Denio 2.2.7 Suponha que uma funo f : U Rn R possui todas as derivadas parciais ca ca num ponto a U . Dene-se o gradiente de f em a, f (a), via f (a) = f f (a), . . . , (a) . x1 xn

Exerc cio 2.2.6 Verique que se f : U Rn R diferencivel em a U ento: e a a 1. Df (a)(h) = Dh f (a) = 2. suph =1

f (a) h; f (a) .

Dh f (a) =

Exerc cio 2.2.7 Mostre que a derivada da composio f g das transformaes lineares f (y) = ca co Ay, g(x) = Bx, onde f : Rn Rm , g : Rp Rn e A, B so matrizes reais m n e n p, a respectivamente, a matriz AB. e O prximo teorema fornece um mtodo de clculo da derivada de funoes obtidas por como e a c posio. Note que para aplicaes lineares a demonstrao trivial (exerc ca co ca e cio 2.2.7) e sugere o resultado geral: a derivada da composta a composta das derivadas. Mais precisamente: e Teorema 2.2.3 (Derivao da Funo Composta ou Regra da Cadeia) ca ca Sejam f : V Rn Rm e g : U Rp Rn , funes diferenciveis, a U, f (a) V com U e V co a abertos. Ento f g : U f 1 (V ) Rm diferencivel em a e verica-se: a e a D(f g)(a) = Df (g(a)) Dg(a). Se f e g forem de classe C 1 ento h de classe C 1 . a e De um ponto de vista de clculo as derivadas parciais da composta so calculveis em termos das a a a derivadas parciais das funes que denem a composio usando o resultado anterior e o facto de ` co ca a composio de aplicaes lineares corresponder o produto de matrizes que as representam. Assim ca co importante compreender exemplos cujo prottipo mais simples do tipo seguinte: e o e Exemplo 2.2.6 Seja f : R2 R e g = (g1 , g2 ) : R R2 . Se f e g forem diferenciveis ento a a f dg1 f dg2 d(f g) (t) = (g1 (t), g2 (t)) (t) + (g1 (t), g2 (t)) (t). dt x1 dt x1 dt Um outro exemplo do mesmo gnero : e e Exemplo 2.2.7 Seja f (x, y) = (x + y, x y) e g(t1 , t2 , t3 ) = (t1 + 2t2 , t2 + 2t3 ). f e g so a diferenciveis. A derivada de f g a e D(f g)(t1 , t2 , t3 ) =Df (g(t1 , t2 , t3 ))Dg(t1 , t2 , t3 ) = = 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 3 2 = . 2 1 1 2

Quando no h risco de confuso sobre os pontos em que se calculam as diversas derivadas a a a parciais comum abreviar uma frmula como a do exemplo 2.2.6 como segue: e o d f dg1 f dg2 (f g) = + dt x1 dt x2 dt ou d f dx1 f dx2 (f g) = + . dt x1 dt x2 dt

H risco de confuso em situaes como a seguinte: a a co24 de Janeiro de 2000

16

2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTAR Exerc cio 2.2.8 Suponha que f : R2 R diferencivel, f (0, 1) = 0 e f (1, 0) = 0. Seja e a g(x, y) = f (f (x, y), f (y, x)). Calcule g (0, 1) x em termos de derivadas parciais de f em pontos convenientes. Convir-lhe- usar a notao Di f a ca para evitar ambiguidades. Exerc cio 2.2.9 Calcule a derivada da composio h = f g nos seguintes casos: ca 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (t, 2t, 3t) 2. f (x, y) = (xy 5 + y ch y 2 , x tg(sh x2 ) + 3y, x y) e g(t) = (3, 4). Exerc cio 2.2.10 Seja f : U Rn R e g : [a, b] U diferenciveis tais que f constante no a e contradom nio de g. Mostre que f (g(t)) g (t) = 0 para todo o t [a, b]. Interprete este resultado como signicando que, para funes diferenciveis, o gradiente ortogonal aos conjuntos de n co a e vel da funo. ca O teorema de derivao da funo composta permite generalizar alguns resultados com facilica ca dade ` custa de resultados j conhecidos para funes reais de varivel real. Por exemplo o teorema a a co a de Lagrange para funes escalares em que se relaciona a diferena entre os valores de uma funo co c ca em dois pontos e a derivada no segmento de recta4 que os une. Teorema 2.2.4 (do valor mdio ou de Lagrange) e Sejam U Rn um aberto e f : U R uma funo diferencivel. Se x, y U e L(x, y) U ento ca a a existe ]0, 1[ tal que f (y) f (x) = f (x + (y x)) (y x).

Exerc cio 2.2.11 Prove o teorema do valor mdio. Sugesto: considere a funo de varivel real e a ca a g(t) = f (x + t(y x)) e aplique o teorema do valor mdio para funes a uma varivel. e co a

2.2.1

Exerc cios suplementaresxy 2 x2 +y 4 ,

Exerc cio 2.2.12 Seja f : R2 R denida por f (x, y) = se (x, y) = (0, 0) se (x, y) = (0, 0).

0,

a) Determine justicadamente o maior subconjunto do dom nio de f em que esta funo ca e cont nua. b) Uma funo H : R2 R2 verica H(0, 1) = (1, 1) diferencivel em (0, 1) sendo a matriz ca e a jacobiana de H nesse ponto dada por JH (0, 1) = Calcule a derivada dirigida D(1,1) (f H)(0, 1). *Exerc cio 2.2.13 Se f : R2 R est denida por a f (x, y) =x3 y 3 x2 +y 2 ,

1 1 . 1 2

0,

se (x, y) = (0, 0) se (x, y) = (0, 0).

4 Dados x, y Rn dene-se o segmento de recta unindo x a y como sendo o conjunto L(x, y) = {z = x+t(yx) : t [0, 1]}.

17


CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL a) Calcule o valor mximo de Dh f (1, 2) quando h um vector unitrio. a e a b) Calcule a equao do plano tangente ao grco de f no ponto (x, y, z) = (1, 2, 7/5). ca a *c) Decida justicadamente se o grco de f constitui ou no uma variedade diferencivel. Se a a a optar pela negativa determine o maior subconjunto do grco de f que efectivamente constitui a uma variedade diferencivel. Em qualquer caso determine justicadamente a dimenso da a a variedade e o espao normal no ponto (1, 2, 7/5). c Exerc cio 2.2.14 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 2. f (x, y) = sen(sen(sen(sen(x + y)))) 3. f (x, y) =x+y 0

es dsf x (0, 0).

2

Exerc cio 2.2.15 Seja f (x, y) = y sen(x2 + arctg(y cos(x))) + 2. Calcule

Exerc cio 2.2.16 Moste que as seguintes funes so diferenciveis e calcule as suas derivadas: co a a 1. f (x, y) = (x2 + y, x y) 2. f (x, y) = (xy 0

ecos(s) ds, y

x cos(s) e ds) 0

Exerc cio 2.2.17 Calcule a derivada de f g nos seguintes casos: 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (sen(t), cos(t), 0); 2. f (x, y) = (x + y, x y) e g(u, v) = (v, u); 3. f (x, y, z, w) = cos(e(x2

+y 2 )

z w) e g(p, q) = (0, 1, 2, 3).

2.2.22.2.14 a)

Sugestes para os exerc o cios

= 2x, f = 2y e f = 2z. Observe que o vector (2x, 2y, 2z) ortogonal ` fronteira e a y z 2 2 2 das bolas centradas em 0, isto `s esferas de equao da forma x + y + z = c. Isto no e a ca a uma coincidncia mas sim uma consequncia do que foi aorado no exerc e e e cio 2.2.10 e que retomaremos!f x f x

f x

b) c)

= =

f y f y

= cos(sen(sen(sen(x + y)))) cos(sen(sen(x + y))) cos(sen(x + y)) cos(x + y); = e(x+y) (observe que no necessrio calcular o integral). a e a2

2.2.15 Observe que f (x, 0) = 2. 2.2.16 Ambas as funes so de classe C 1 , pois as derivadas parciais so cont co a a nuas. Portanto: 1. Df = 2. Df = 2x 1 . 1 1y 0

ecos(s) ds yecos(x)

xecos(y)x cos(s) e ds 0

2.2.1724 de Janeiro de 2000

18

` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA 1. Observe que (f g)(t) = 1 para qualquer t. 2. Pela regra da cadeia temos: D(f g) = Df Dg = 3. Note que Dg = 0 pelo que D(f g) = 0. 1 1 1 1 0 1 1 1 1 = . 0 1 1

2.3

Derivadas parciais de ordem superior ` primeira a

Vamos considerar com derivadas parciais de ordem superior ` primeira que, no essencial, se denem a recursivamente. Denio 2.3.1 Seja f : Rn R. As derivadas parciais de segunda ordem, com respeito a xi e ca xj , 1 i, j n, so denidas por a f 2f = , xi xj xi xj caso a expresso da direita esteja denida. Se i = j escreve-se a anlogo para derivadas parciais de ordem superior ` segunda. a a Exemplo 2.3.1 Uma notao como ca 4u xy 2 z indica que a funo u foi derivada sucessivamente em ordem ` varivel z, duas vezes em ordem a ca a a y e nalmente em ordem a x. Exemplo 2.3.2 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Temos 2f = xy x f y = (4y + x) = 1. x2f xi xi

=

2f . x2 i

Procede-se de modo

Exemplo 2.3.3 Seja f (x, y, z) = sen(x + y + z) 5f 4 3 = 2 (cos(x + y + z)) = 2 (sen(x + y + z)) = x2 yzy x yz x y 2 = 2 (cos(x + y + z)) = (sen(x + y + z)) = cos(x + y + z). x x Exerc cio 2.3.1 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Calcule do exemplo 2.3.2.2f yx ;

observe que o resultado o mesmo e

O resultado deste ultimo exerc cio ser o mesmo do exemplo 2.3.2 no uma coincidncia mas a e e sim a consequncia de um facto mais geral o Teorema de Schwarz. Antes de o enunciarmos e precisamos de uma denio: ca Denio 2.3.2 Considere uma funo f : U Rn R. ca ca Se U for aberto diz-se que f de classe C k em U , k N, ou abreviadamente f C k (U ), se e todas as derivadas parciais de ordem k de f existirem e forem cont nuas em U . 1924 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL y

y

+k

y

x

x

+h

x

Figura 2.2: Convenes na demonstrao da Proposio 2.2.2 e do Teorema 2.3.1. co ca ca Se U no for aberto escrevemos f C k (U ), k N, se existir V aberto com V U e uma a funo g C k (V ) tal que a restrio de g a U seja igual a f . ca ca f diz-se de classe C 0 (U ) se for cont nua em U . Adicionalmente, para U aberto, denimos C (U ) = kN C k (U ) e para um conjunto no a necessariamente aberto procedemos como anteriormente. Na maior parte das aplicaes do clculo diferencial a hiptese de uma funo ser de classe C k co a o ca para um certo k natural. Certos resultados a citar a seguir sero vlidos sob hipteses mais gerais e a a o mas abstermo-nos-emos de dar importncia especial a tais hipteses. Por vezes sero remetidas a o a para problemas. Exerc cio 2.3.2 Seja p(x1 , . . . xn ) um polinmio em n variveis. Mostre que sen(p(x1 , . . . xn )) o a e uma funo C (Rn ). ca Problema 2.3.1 Verique que se j < k ento C k C j . a O prximo teorema um resultado muito importante que permite reduzir o nmero de clculos o e u a necessrios para determinar as derivadas parciais de ordem superior primeira. Ele diz-nos que, a a sob certas condies, a ordem pela qual se deriva uma funo irrelevante. co ca e Teorema 2.3.1 (Schwarz) Seja f : U Rn R, a um ponto interior a U , f C 2 (U ). Ento a quaisquer ndices 1 i, j n.2f xi xj (a) 2f xj xi (a)

=

para

Ideia da demonstrao. Basta considerar n = 2 e convencionamos a = (x, y). Notamos que ca 2f [f (x + h, y + k) f (x + h, y)] [f (x, y + k) f (x, y)] (x, y) = lim lim h0 k0 xy hk 2f [f (x + h, y + k) f (x, y + k)] [f (x + h, y) f (x, y)] (x, y) = lim lim k0 h0 yx hk (2.3) (2.4)

Designemos o numerador das fraces dos segundos membros de (2.3-2.4) por D(h, k). Aplicando co o teorema de Lagrange ` funo g(t) = f (x + t, y + k) f (x + t, y) no intervalo [0, h] obtemos que a ca24 de Janeiro de 2000

20

` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA existe 1 , 0 < 1 < 1, tal que D(h, k) = h f f (x + 1 h, y + k) (x + 1 h, y) . x x

Uma segunda aplicao do teorema de Lagrange permite obter que existe 2 , 0 < 2 < 1, tal que ca D(h, k) = hk 2f (x + 1 h, y + 2 k). yx

Substituio em (2.3) e justicao de que ambos os limites iterados igualam lim(h,k)(0,0) D(h, k) ca ca permitem obter a igualdade pretendida. Problema 2.3.2 O ultimo passo da demonstrao da Proposio 2.3.1 merece alguns comentri ca ca a os. Por um lado 1 e 2 so funes de h e k. Por outro a relao entre um limite e um limite a co ca iterado , em geral, mais complexa do que o leitor pode imaginar. Seja f : U R2 R e (x0 , y0 ) e um ponto interior de U . Mostre que: a) Pode existir lim(x,y)(x0 ,y0 ) f (x, y) sem que exista limxx0 limyy0 f (x, y). b) Se lim(x,y)(x0 ,y0 ) f (x, y) e limxx0 limyy0 f (x, y) existirem ento so iguais. a a o Problema 2.3.3 E bvio da demonstrao da Proposio 2.3.1 que a hiptese f C 2 pode ser ca ca o aligeirada. Isto pode ser feito de vrias formas. Formule e demonstre pelo menos dois resultados a deste tipo com hipteses m o nimas no equivalentes. a Exemplo 2.3.4 Seja f = 2xy. f de classe C 2 uma vez que um polinmio, portanto temos a e e o seguinte igualdade 2f 2f = =2 xy yx Exemplo 2.3.5 Se f de classe C 3 tm-se as seguintes igualdades: e e 3f 3f 3f = = x2 y xyx yx2 e 3f 3f 3f = = . 2 x y yxy xy 2

Exerc cio 2.3.3 Calcule as derivadas de todas as ordens de f (x, y, z) = 2x3 z+xyz+x+z (observe que s h um nmero nito de derivadas no nulas. Porqu?). o a u a e O conceito de derivada dirigida de ordem superior ` primeira permite formalizar o enunciado da a frmula de Taylor de uma forma anloga ao resultado j conhecido para funes reais de varivel o a a co a real. Denio 2.3.3 Seja f : U Rn R. As derivadas dirigidas de ordem superior ` primeira de ca a (1) f num ponto x U segundo h denem-se recursivamente, se existirem, por Dh f (x) = Dh f (x) e (j) (j1) Dh f (x) = Dh (Dh f (x)), se j > 1. Relembra-se que para funes diferenciveis, e em particular de classe C 1 , temos Dh f (x) = co a h f (x). 2124 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Problema 2.3.4 Verique que para funes de classe C j num aberto o clculo da derivada dirico a (j) j a ca gida Dh f corresponde a aplicar ` funo f o operador diferencial (h ) e consequentemente (j) Dh f um polinmio homogneo5 de grau j nas componentes do vector h. Se h = (h1 , h2 ) e o e verique que para n = 2 e j = 2 temos Dh f = h2 1 Em geral obtenhan n (2) 2 2f 2f 2 f 2 + 2h1 h2 x x + h2 x2 . x1 1 2 2

Dh f =i1 =1

(j)

ij =1

hi1 . . . h ij

j f . xi1 . . . xij

Note que existem termos repetidos na frmula anterior. Calcular o nmero de repeties o u co e um problema de clculo combinatrio cuja soluo no caso n = 2 bem conhecida. a o ca e

2.3.1


Exerc cio 2.3.4 Seja f : R2 R denida por: f (x, y) = Mostre que: 2f (0, 0) = 0 xy 2f (0, 0) = 1. yx xy, 0, se |y| > |x|, caso contrrio. a

Explique porque que isto no contradiz o teorema 2.3.1. e a Exerc cio 2.3.5 Seja f : R2 R uma funo limitada (no necessariamente cont ca a nua). Mostre que g(x, y) = x + y + (x2 + y 2 )f (x, y) diferencivel na origem. Calcule a sua derivada. D um exemplo de uma funo f tal que g no e a e ca a seja cont nua no complementar da origem. Exerc cio 2.3.6 Suponha f : Rn Rn , f bijectiva, diferencivel e f 1 tambm diferencivel. a e a 1 Mostre que Df 1 (f (x)) = [Df (x)] . Use esta observao para, por exemplo, rededuzir a frmula ca o da derivada de arcsen.

2.3.2


2.3.4 O teorema 2.3.1 s se aplicaria se a funo f fosse de classe C 2 . o ca 2.3.5 Use a denio de derivada para mostrar que g diferencivel com derivada representada ca e a por g(0, 0) = (1, 1). Para a segunda parte um exemplo poss vel e f (x, y) = 1, se x Q, 0, caso contrrio. a

2.3.6 Observe que f (f 1 (x)) = x. Diferencie esta expresso. a5 Um

d dy (arcsen y)

=

1 . 1y 2

polinmio P de grau k diz-se homogneo se P (x) = k P (x) para todo o R. o e


22

2.4. POLINOMIO DE TAYLOR

2.4

Polinmio de Taylor o

Tal como no caso de funes reais de varivel real podemos construir aproximaes polinomiais de co a co funes de classe C k . co Teorema 2.4.1 (Taylor) Seja f : U Rn R uma funo de classe C k (U ) com U um aberto e x0 U . Para cada j k ca existe um polinmio em n variveis de grau j, unico, Pj : Rn R tal que o a lim f (x) Pj (x) |x x0 |j

xx0

= 0.

(2.5)

O polinmio Pj designado por polinmio de Taylor de ordem j de f relativo ao ponto x0 e o e o e dado porj

Pj (x) = f (x0 ) +l=1

1 (l) D f (x0 ). l! xx0

(2.6)

O erro Ej (x) da frmula de Taylor dado por o e Ej (x) = f (x) Pj (x). Ideia da demonstrao. Decorre do resultado j conhecido para n = 1 e do teorema de derivao ca a ca da funo composta por considerao da funo auxiliar g : [0, 1] R denida por g(t) = f (t(x ca ca ca x0 ) + x0 ) em que x Br (x0 ) U . Problema 2.4.1 Use o problema 2.3.4 para obter a frmula de Taylor na forma: ok

f (x) =p=0 i1 +...+in

1 pf (x0 ) (x1 x01 )i1 . . . (xn x0n )in + Ek (x x0 ). i i p! y11 . . . ynn =p

(2.7)

O leitor aconselhado a pensar no polinmio de Taylor via a propriedade (2.5) e no simplese o a mente como um polinmio calculvel via (2.6) ou (2.7). o a Problema 2.4.2 Formule o Teorema de Taylor explicitando o resto da frmula de Taylor numa o forma anloga a uma das conhecidas para funes reais de varivel real. a co a Poder pensar-se que o clculo do polinmio de Taylor para funes de vrias variveis e a a o co a a para uma ordem relativamente elevada um pesadelo computacional. Nem sempre ser assim se e a tirarmos partido, quando poss vel, de resultados j conhecidos para funes de uma varivel. a co a Frequentemente em vez de escrevermos o termo de erro Ek (x y), escrevemos o( x y k ), com o mesmo signicado. Exemplo 2.4.1 Se f (x, y) = xy + sen x, a frmula de Taylor de segunda ordem em torno de o (, 0) : e f (x, y) =f (, 0) + + ou seja f (x, y) = x + xy + o( (x , y) 2 ). 2324 de Janeiro de 2000

f x

(x ) +(,0)

f y

y++(,0)

1 2f 2 x2

(x )2(,0)

2f xy

(x )y +(,0)

1 2f 2 y 2

y 2 + o( (x , y) 2 ),(,0)

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL Exemplo 2.4.2 Se f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ento a sua expanso em frmula de Taylor at ` a a o e a segunda ordem, em torno de qualquer ponto, x2 +2xy+y 2 . Com efeito, f (x, y)x2 +2xy+y 2 = 0 e pelo que (2.8) vale. Repare que isto evitou termos de calcular 5 derivadas! Exerc cio 2.4.1 Calcule a frmula de Taylor at ` terceira ordem das seguintes funes: o ea co 1. f (x, y, z) = x + y 2 + z; 2. f (x, y, z) = 1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz; 3. f (x, y) = ex + xyz. Exerc cio 2.4.2 Mostre que a frmula de Taylor de ordem k para um polinmio de grau k coincide o o com o polinmio. o Exerc cio 2.4.3 Demonstre a parte correspondente a unicidade do teorema de Taylor. [Suponha que existe um polinmio p(x) para o qual (2.8) vale. Mostre que se existisse outro polinmio o o q(x) = p(x), de grau menor ou igual ao grau de p obter amos uma contradio.] ca Em certos casos podemos utilizar o conhecimento da expanso em potncias de uma funo a e ca real de varivel real para calcularmos a expanso em potncias de expresses mais complicadas: a a e o Exemplo 2.4.3 Queremos calcular a expanso de Taylor da funo sen(x2 + y 4 ) at ` ordem 6 a ca ea em torno da origem. Sabemos que sen t = t Deste modo temos sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 pelo que x6 + o( (x, y) 6 ), 6 em que na ultima igualdade tivemos em ateno que (x2 + y 4 )3 = x6 + 3x4 y 4 + 3x2 y 8 + y 12 = ca x6 + o( (x, y) 6 ) e x2 + y 4 x2 + y 2 para (x, y) sucientemente pequeno. sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 Exemplo 2.4.4 Seja g(x, y) = sen(x2 y 2 ). e suponhamos que pretendemos obter o polinmio de Taylor de stima ordem de g relativo a (0, 0). o e Sabemos que o seno uma funo inteira cuja srie de Taylor relativa a 0 (srie de Mac e ca e e Laurin) e 2k1 3 5 k+1 sen = + + (1) + ... 3! 5! (2k 1)! Tal permite-nos ter um palpite `cerca do polinmio de Taylor pretendido simplesmente por substia o tuio formal de por x2 y 2 na igualdade anterior e s considerando os termos de grau menor ca o ou igual a sete. Obtem-se um polinmio o Q(x, y) = (x2 y 2 ) (x2 y 2 ) 3!3

t3 + o(|t|3 ). 6 (x2 + y 4 )3 + o((x2 + y 4 )3 ) 6

Resta provar que efectivamente se trata do polinmio de Taylor pretendido. Para tal usa-se a o caracterizao (2.5) do polinmio de Taylor. De facto ca o sen + 0 4 lim24 de Janeiro de 20003 3!

=0

24

2.4. POLINOMIO DE TAYLOR donde resulta lim(x,y)(0,0)

g(x, y) Q(x, y) (x2 y 2 )4

=0

e usando |x2 y 2 | x2 + y 2 obtm-se e lim(x,y)(0,0)

g(x, y) Q(x, y) (x2 + y 2 )4

= 0.

Assim Q de facto o polinmio de Taylor pretendido e inclusivamente idntico ao polinmio e o e e o de Taylor de oitava ordem. Note que obtivemos, por exemplo, que todas as derivadas parciais de ordens 1, 3, 4, 5, 7 e 8 de g em (0, 0) so nulas. a Exerc cio 2.4.4 Desenvolva em frmula de Taylor f (x, y) = ex +y at ` terceira ordem. Tente o ea no calcular as derivadas directamente mas sim usar o facto de que o polinmio de Taylor de a o ordem k o unico polinmio de grau k tal que e o limxy2 2

|f (x) p(x)| = 0. xy k 0

(2.8)

Exerc cio 2.4.5 Calcule a expanso em potncias de x 1 e y 2 de a e sen(x + y 3) at ` quarta ordem. ea

2.4.1


Exerc cio 2.4.6 Calcule a expanso de Taylor em torno do ponto (1, 1, 1), at ` quinta ordem de a ea xy + xyz + x2 + y 2 + xyz. Exerc cio 2.4.7 Seja f uma funo C . Desenvolva ca 0.x 0

f (s)ds em srie de Taylor em torno de e

Exerc cio 2.4.8 Calcule a expanso em srie de Taylor da funo ex a e ca ordem em torno de x = 0 e y = 1. Exerc cio 2.4.9 Calcule a expanso em srie de Taylor de a e sen x1000 + y 1000 + z 1000 at ` ordem 999 em torno da origem. ea

2

+sen((y1)2 )

at ` quarta e a

Exerc cio 2.4.10 Suponha que f : R R e v : R2 R so de classe C e satisfazem a = xv 2 v(x, 0) = f (x). v t2

Desenvolva v em srie de Taylor em torno da origem. e 2524 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

2.4.2


2.4.6 Neste caso a frmula de Taylor coincide com o prprio polinmio xy + xyz + x2 + y 2 + xyz o o o (veja o teorema 2.4.1). 2.4.7x 0

f (s)ds = f (0)x + f (0) x + . . . + f (n1) (0) x + . . .. 2 n!6

2

n

2.4.8 Note que sen((y 1)2 ) = (y 1)2 + (y1) + o(|y 1|6 ) e que et = 1 + t + 6 2 2 2 que ex +sen((y1) ) = 1 + x2 + (y 1)2 + x2 + (y 1)2 + o( (x, y 1) 4 ). 2.4.9 Repare que sen(t) = t + o(t2 ) para t numa vizinhana da origem. c 2.4.10 Note que, utilizando a equao, se tem ca mtodo de induo. e cav t (0, 0)

t2 2

+ o(t3 ) pelo

=

2f 2v x2 (0), tx (0, 0)

=

3f x3 (0).

Use o


26

Cap tulo 3

ExtremosProblemas envolvendo maximizao ou minimizao de funes envolvendo diversos parmetros ca ca co a esto entre os mais importantes em Matemtica. Aparecem frequentemente em f a a sica (por exemplo a mecnica lagrangeana), engenharia (maximizar a resistncia de um mecanismo ou ecincia a e e de um motor) ou economia (minimizar custos de produao ou optimizar investimentos). Neste c cap tulo vamos estudar mtodos para determinar mximos e m e a nimos de funes denidas em co subconjuntos de Rn com valores em R. O leitor j deve conhecer que, para funes reais de varivel real, os candidatos a pontos de a co a extremo de entre os pontos interiores onde a funo diferencivel so exactamente aqueles onde a ca e a a derivada se anula, chamados pontos de estacionaridade. A generalizao deste facto para funes ca co de mais de uma varivel, a discutir mais ` frente, so os pontos onde o gradiente da funo se a a a ca anula. Tal condio estabelece o chamado sistema de estacionaridade cujas solues sero ainda ca co a conhecidas por pontos de estacionaridade. O teorema de Taylor ser utilizado para a classicao de pontos de estacionaridade de uma a ca funo de classe C 2 quanto a serem pontos de m ca nimo, mximo ou pontos de sela. Quanto a a este ultimo ponto de notar que, num caso concreto, os critrios baseados na frmula de Taylor e e o podero ser insucientes por diversas razes e tal abundantemente exemplicado nos exerc a o e cios1 Uma funo pode ter um extremo num ponto onde no esto denidas algumas das derivadas ca a a parciais de primeira ordem. Uma funo pode ter um extremo num ponto fronteiro do seu dom ca nio. Uma funo pode ter um extremo num ponto de estacionaridade no sendo de classe C 2 ca a numa qualquer vizinhana desse ponto. c Os critrios baseados na frmula de Taylor podem ser inconclusivos. e o Adicionalmente tais mtodos pressupem que o sistema de estacionaridade da funo explie o ca e citamente resolvel o que, dado a sua no linearidade, algo que em geral no se vericar. u a e a a Em tais casos uma sistematizao de todos os poss ca veis mtodos de ataque ao problema de e determinao dos pontos de extremo local de uma funo imposs ca ca e vel. Cremos no entanto que os racioc nios mais interessantes esto bem exemplicados a seguir. a Alguns dos mtodos a utilizar pressupem alguns conhecimentos de Algebra Linear. Como e o referncia sugere-se [4]. et picos para funes reais de varivel real com o dom co a nio da funo o intervalo [1, 1]: x |x|, ca 2 e1/x se x = 0, x x, x |x|3/2 , x 0 caso contrrio. a1 Exemplos

27

CAP ITULO 3. EXTREMOS

0.2

0.3 0.2

0.1 0.1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-2

-1 -0.1

1

2

-0.1 -0.2

Figura 3.1: Os grcos de f (x) = a

x2 +x4 4

x3 6

e g(x) = x4 x2 .

3.1

Extremos

Provavelmente o leitor ter uma ideia intuitiva do que um ponto de extremo de uma funo, ou a e ca seja, um ponto de mximo ou de m a nimo. Comearemos portanto por formalizar estas ideias do c ponto de vista matemtico. A primeira denio a de mximo e m a ca e a nimo local de uma funo ca real. Denio 3.1.1 Seja f : A R, com A Rn . Um ponto x0 A um ponto de mximo (resp. ca e a m nimo) local e f (x0 ) mximo (resp. m a nimo) local de f se existir uma vizinhana2 V de x0 tal c que , x V A, f (x) f (x0 ), (resp. f (x) f (x0 )). Note que, de acordo com a denio anterior, uma funo pode ter vrios extremos locais cada ca ca a um deles ocorrendo em vrios pontos de extremo local. a Exemplo 3.1.1 Seja f a funo denida em R, constante igual a 1. Ento qualquer nmero real ca a u um ponto de mximo (e tambm m e a e nimo) de f . O ultimo exemplo ilustra a necessidade de distinguir estes casos degenerados de outros mais inte ressantes. Assim temos a seguinte denio. ca Denio 3.1.2 O mximo (resp. m ca a nimo) estrito se a igualdade na denio anterior s se e ca o vericar para x = x0 . O mximo (resp. m a nimo) global (ou absoluto) se, x A e f (x) f (x0 ), (resp. f (x) f (x0 )).

Exemplo 3.1.2 A funo f (x) = x 4+x x tem um mximo local em x = 0, um m ca a nimo local 6 1 em x = 2 e um m nimo absoluto em x = 1, como se pode observar na gura 3.1. A funo ca g(x) = x4 x2 tem um m nimo absoluto para x = 1. No entanto, este m nimo no unico pois a e x = 1 outro ponto de m e nimo absoluto tendo-se g(1) = g(1). Veja a gura 3.1. Exemplo 3.1.3 Provemos que a funo f (x) = x2 tem um m ca nimo absoluto estrito na origem. Tal decorre de f (0) = 0 < x2 = f (x) para x = 0. Exerc cio 3.1.1 Seja f : A R, com A = {a}, o conjunto s com um ponto. Justique que o x = a ponto de m e nimo e ponto de mximo estrito simultaneamente. a Nem sempre dada uma funo podemos garantir a existncia de mximos ou m ca e a nimos, como se pode ver pelos exemplos seguintes:2 Por

2

4

3

exemplo, uma bola de raio

centrada em x0 .


28

3.1. EXTREMOS7.5 5 2.5 -15 -10 -5 -2.5 -5 -7.5 5 10 15

Figura 3.2: O grco de f (x) = a

x 2

+ sen x

Exemplo 3.1.4 Seja f : ]0, 1[ R denida por f (x) = x. Note que f no tem m a nimo nem mximo pois no fazem parte do dom a a nio os pontos 0 e 1 onde a funo denida pela mesma ca frmula mas cujo dom o nio fosse o intervalo fechado [0, 1] atinge os seus valores extremos. Exemplo 3.1.5 Seja f : R R denida por f (x) = x + sen x. Embora f tenha mximos e a 2 m nimos locais (ver gura 3.2) f no tem nenhum mximo ou m a a nimo global pois limx+ f (x) = + e limx f (x) = . Exemplo 3.1.6 Seja f (x) = x2 se x R \ {0}, f (0) = 1. Esta funo no tem nenhum m ca a nimo pois f nunca se anula embora f tome valores positivos arbitrariamente pequenos. Exerc cio 3.1.2 Seja f a funo do exemplo 3.1.6. Mostre que f (0) um mximo local mas no ca e a a global. Antes de prosseguirmos convm sumarizar informalmente o que aprendemos nos 3 ultimos e exemplos. A funo do exemplo 3.1.4 no tem mximo nem m ca a a nimo porque retirmos os extremos a a um intervalo limitado e fechado fazendo com que os valores extremos da funo no sejam ca a atingidos nesses pontos. No exemplo seguinte no encontramos extremos absolutos pois a funo a ca ilimitada o que poss graas para uma funo cont e e vel c ca nua se o dom nio no compacto (neste a e caso no limitado). Finalmente no ultimo destes exemplos a funo no tem m a e ca a nimo porque ocorre uma descontinuidade no ponto onde o m nimo deveria ocorrer. Estes exemplos sugerem que, para garantir a existncia de extremos, seja usual tentar lidar com e funes cont co nuas denidas em conjuntos limitados e fechados (compactos). O prximo teorema o mostra que estas condies so efectivamente sucientes para garantir a existncia de extremos: co a e Teorema 3.1.1 (Weierstrass) Seja f : A Rn R cont nua com A compacto. Ento f tem mximo e m a a nimo (globais) em A. Ideia da demonstrao.Veja o exerc 2.1.16. ca cio Ficamos assim com um critrio abstracto para garantir a existncia de mximos e m e e a nimos, independentemente da aparncia mais ou menos complicada da denio da funo: e ca ca Exemplo 3.1.7 A funo f : [0, 1] R dada por f (x) = e 1+100x2 ca cont e nua e [0, 1]. Portanto tem pelo menos um ponto de mximo e um ponto de m a nimo globais em [0, 1]. Exemplo 3.1.8 Consideremos o subconjunto K R2 denido pela condio |x| + |y| 1. Seja ca f a funo a denida por f (x, y) = x2 + y 2 . Como K compacto (porque limitado e fechado), ca e e f tem de ter mximo e m a nimo. Reparando que f o quadrado da distncia ` origem conclu e a a mos que ocorre um m nimo (global) na origem. Os pontos de mximo sero os pontos do conjunto mais a a afastados da origem, que neste caso so (1, 0) e (0, 1). a 2924 de Janeiro de 2000sen(x+log(x+1))

CAP ITULO 3. EXTREMOS

z = f (x , y)

y0

y

x0

x

Figura 3.3: Fixar todas as variveis excepto uma dene uma funo de uma varivel. Se f tiver um a ca a mximo local em (x0 , y0 ) e xarmos a segunda varivel em y0 ento tal funo tem um mximo em x0 . a a a ca a Exerc cio 3.1.3 Diga em quais dos seguintes subconjuntos de R2 pode garantir a existncia de e m nimos para qualquer funo cont ca nua f . No caso de a resposta ser negativa apresente um exemplo. 1. mx{|x|, |y|} = 1 a 2. mx{|x|, |y|} 1 a 3. mx{|x|, |y|} 1 a 4. mx{|x|, |y|} > 1 a 5. mx{|x|, |y|} < 1 a Exerc cio 3.1.4 Mostre que a funo f (x) = x4 tem m ca nimo e no tem mximo no intervalo a a ] 1, 1[. Porque que isto no contradiz o teorema de Weierstrass? e a Em casos simples poss seleccionar os candidatos a extremos utilizando racioc e vel nios ad hoc. No exemplo 3.1.8, a funo em questo a distncia ` origem e por isso tem um m ca a e a a nimo em 0. No entanto, convm ter um critrio, de aplicao fcil, que permita reduzir o nmero de candidatos a e e ca a u pontos de mximo ou m a nimo a serem analisados. O resultado do prximo teorema permite fazer o isto, da a sua importncia. a Denio 3.1.3 Seja f : A Rn R uma funo diferencivel num ponto a int A. Diz-se ca ca a que a um ponto de estacionaridade (ou ponto cr e tico) de f se f (a) = 0. Teorema 3.1.2 Seja f : A Rn R uma funo diferencivel num ponto x int A. Se x ponto de extremo de ca a e f ento ponto de estacionaridade, ou seja f (x) = 0. a e Ideia da demonstrao. Seja (x1 , . . . , xn ) um ponto de extremo duma funo f e considere ca ca gi (t) = f (x1 , . . . , t, . . . , xn ). gi tem um extremo em t = xi . Aplique o resultado conhecido em dimenso 1 a gi no ponto xi . a24 de Janeiro de 2000

30

3.1. EXTREMOS Exemplo 3.1.9 Suponhamos que pretendemos encontrar os extremos da funo f (x, y) = x2 + y 2 ca no conjunto x2 + y 2 < 1. Como o conjunto aberto todos os pontos de extremo de f (se existirem) e sero interiores, pelo que nestes pontos o gradiente de f ser nulo, isto a a e f= Deste modo, resolvendo a equao ca f = (2x, 2y) = (0, 0), podemos determinar todos os poss veis extremos de f . Conclu mos portanto, que o unico ponto em que pode ocorrer um extremo (x, y) = (0, 0). Como f (0, 0) = 0 e a funo sempre positiva em e ca e todos os outros pontos este ser necessariamente um m a nimo (absoluto) de f . O teorema anterior e o teorema de Weierstrass implicam um critrio de deteco de pontos de e ca extremo que sumarizamos no seguinte corolrio: a Corolrio 3.1.3 a Seja f : A R, A compacto (limitado e fechado) e f cont nua. Ento f tem pelo menos um a ponto de mximo e um ponto de m a nimo global. Para alm disso, os unicos pontos que podem ser e extremos de f so a 1. pontos na fronteira de A; 2. pontos onde f = 0; f f , x y = (0, 0).

3. pontos onde f no diferencivel. a e a Exerc cio 3.1.5 Determine (se existirem) os mximos e m a nimos das seguintes funes: co 1. f (x, y) = x4 + y 4 em |x| + y 2 < 1. 2. f (x, y) = x2 y 2 no conjunto x2 + y 2 < 1. 3. f (x, y) = xy em |x| + |y| < 1. 4. f (x, y) = x2 + y 2 em x2 + y 2 < 1.

Porm nem todos os pontos cr e ticos de uma funo so mximos ou m ca a a nimos. Isto motiva a seguinte denio: ca Denio 3.1.4 Diz-se que um ponto de estacionaridade a um ponto de sela de uma funo ca e ca f se qualquer que seja a vizinhana de a existirem pontos nessa vizinhana onde a funo toma c c ca valores inferiores e superiores a f (a). Exemplo 3.1.10 Seja f (x) = x3 ento 0 um ponto de sela de f pois embora seja um ponto a e cr tico de f (f (x) = 3x2 anula-se na origem) no se trata de um ponto de mximo ou m a a nimo (porque f (x) < f (0) para x < 0 e f (x) > f (0) para x > 0). Exerc cio 3.1.6 Verique que (0, 0) um ponto de sela3 de x2 y 2 . e No exemplo 3.1.9 e no exerc cio 3.1.5 os conjuntos onde as funes estavam denidas eram co abertos. Consequentemente todos os pontos de extremo eram pontos de estacionaridade. No a e este o caso do prximo exemplo, onde nos temos de preocupar com a possibilidade de haver mxio a mos ou m nimos que, por estarem na fronteira do dom nio, no sejam pontos de estacionaridade. a3 A expresso ponto de sela motivada pelos grcos de funoes em exemplos como este. Claro que acabamos a e a ca por usar a expresso em situaes mais gerais. a co

31


CAP ITULO 3. EXTREMOS Exemplo 3.1.11 Suponhamos que queremos determinar os extremos da funo ca f (x, y) = xy(1 x2 y 2 ) no quadrado [1, 1] [1, 1]. O gradiente de f dado por e f = (y(1 x2 y 2 ) 2x2 y, x(1 x2 y 2 ) 2xy 2 ). Os pontos de estacionaridade estaro entre as solues de a co y 3x2 y y 3 = 0 x 3xy 2 x3 = 0 (3.1)

no interior do quadrado, isto , vericando simultaneamente 1 < x < 1 e 1 < y < 1. O sistema e (3.1) admite como solues: co 1. (x, y) = (0, 0); 2. x = 0, y = 0 e portanto 1 y 2 = 0, ou seja (x, y) = (0, 1); 3. x = 0, y = 0 e portanto 1 x2 = 0, ou seja (x, y) = (1, 0); 4. pontos que veriquem x = 0, y = 0 e 3x2 + y 2 = 1 x2 + 3y 2 = 1. O sistema 3.2 no linear em (x, y) mas linear em (x2 , y 2 ) e tem como soluo a e e ca x2 = 1 4 y2 = 1 . 4 (3.2)

Deste modo (1/2, 1/2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) e (1/2, 1/2) satisfazem o sistema de estacionaridade. De entre as solues de (3.1) as que so pontos interiores do dom co a nio fornecem a lista de poss veis candidatos a extremos locais em pontos interiores: (0, 0), (1/2, 1/2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) e (1/2, 1/2). Avaliando a funo f nestes pontos obtemos f (0, 0) = f (1, 0) = f (0, 1) = 0, ca f (1/2, 1/2) = 1/8 e f (1/2, 1/2) = 1/8. Para avaliar o que se passa sobre a fronteira do dom nio consideramos f (1, y) = y 3 para 3 3 y [1, 1], f (1, y) = y para y [1, 1], f (x, 1) = x para x [1, 1], f (x, 1) = x3 para x [1, 1]. Todas estas funes de uma varivel real so estritamente montonas de maneira co a a o que basta considerar os valores da funo nos vrtices do quadrado: f (1, 1) = f (1, 1) = 1 e ca e f (1, 1) = f (1, 1) = 1. Portanto (1, 1) e (1, 1) so pontos de m a nimo global e (1, 1) e (1, 1) so pontos de mximo a a global. Temos agora de estudar o que acontece nos outros pontos pois podem ser mximos ou m a nimos locais ou apenas pontos de sela. Quanto ao ponto (0, 0) fcil de vericar que xy assume valores e a positivos e negativos numa vizinhana da origem. Por outro lado se (x, y) estiver sucientemente c prximo de (0, 0) a funo 1 x2 y 2 positiva. Portanto f numa vizinhana da origem assume o ca e c valores positivos e negativos. Logo (0, 0) um ponto de sela. e Quanto ao ponto (1/2, 1/2) classicamo-lo usando um racioc nio ad hoc baseado na utilizao ca do teorema de Weierstrass. Note-se que (1/2, 1/2) um ponto interior do conjunto compacto e A = {(x, y) R2 : x2 + y 2 1, x 0, y 0}, que f vale 0 sobre A e f > 0 no interior de A. O teorema de Weierstrass garante que f ter um mximo em A (global relativamente a A) que a a ocorrer necessariamente num ponto interior. Tal ponto ento um ponto de estacionaridade. O a e a24 de Janeiro de 2000

32

3.1. EXTREMOSy 1

A1/2

x -1 1/2 1

0.2 0 -0.2 -1 -0.5 0-1

1 0.5 0 -0.5 0.5 1 -1

Figura 3.4: Estudo de f (x, y) = xy(1 x2 y 2 ) quanto a existncia de pontos de extremo em [1, 1] e[1, 1]. Tente identicar as propriedades deduzidas para a funo com o que evidenciado no grco ca e a gerado numericamente ` direita. a

unico ponto de estacionaridade em int A (1/2, 1/2) logo este ponto um ponto de mximo local de e e a f (relativamente ao quadrado [1, 1] [1, 1]). Este racioc nio vale para (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) e (1/2, 1/2) chegando-se de maneira anloga ` concluso que (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) so a a a a pontos de m nimo local e (1/2, 1/2) um ponto de mximo local (ou use o facto de a funo ser a ca mpar em cada uma das variveis). a Exerc cio 3.1.7 Determine, se existirem, os pontos de mximo e m a nimo local da funo (x, y) ca xy no quadrado mx{|x|, |y|} 1. a Para terminar esta seco vamos apresentar um exemplo em que usamos propriedades de ca simetria e uma mudana de varivel para determinar extremos c a2 Exemplo 3.1.12 Seja f (x, y, z, w) = x2 + y 2 z 2 w2 + (x2 + y 2 )2 . Denindo r1 = x2 + y 2 e 2 2 2 2 2 4 r2 = z + w temos f (x, y, z, w) = r1 r2 + r1 . Portanto, determinando os mximos e m a nimos 2 2 4 de g(r1 , r2 ) = r1 r2 + r1 , podemos recuperar os mximos e m a nimos de f . 2 2 4 Exerc cio 3.1.8 Determine os extremos de g(r1 , r2 ) = r1 r2 + r1 . Utilize este resultado para calcular os extremos de f (x, y, z, w) = x2 + y 2 z 2 w2 + (x2 + y 2 )2 .

3.1.1


Exerc cio 3.1.9 Determine os pontos de extremo de: 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 com |x| + |y| + |z| 1. 2. f (x, y) = x + y com x2 + y 2 1. 3. f (x, y) = x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 . 4. f (x, y) = x3 y 3 (1 x6 y 6 ) para (x, y) [1, 1] [1, 1]. 3324 de Janeiro de 2000

CAP ITULO 3. EXTREMOS Exerc cio 3.1.10 Seja f : R R, cont nua, satisfazendox

lim f (x) = +.

Prove que f tem pelo menos um m nimo. Exerc cio 3.1.11 (M nimos quadrados) O mtodo dos m e nimos quadrados tem como objectivo determinar a recta y = ax + b que melhor aproxima certos dados experimentais (xi , yi ), com 1 i n. Uma funo que permite medir quanto que uma dada recta na forma y = ax + b ca e aproxima os pontos experimentais en

g(a, b) =i=1

(axi + b yi )2 .

Calcule os pontos de estacionariade de g para determinar que equaes que a e b satisfazem co e (a prova de que o ponto de estacionaridade mesmo um m e nimo deixada para um exerc e cio posterior).

3.1.23.1.9


1. Note que f o quadrado da distncia ` origem. e a a 2. Como f no tem pontos de estacionaridade em x2 + y 2 < 1 os seus extremos (que existem a pelo teorema de Weirstrass) tm de se encontrar na fronteira. Escreva os pontos da fronteira e com x = cos() e y = sen(). Determine os extremos de cos() + sen() com [0, 2]. 3. Determine os extremos de r2 r4 com r 0. Faa r2 = x2 + y 2 . c 4. Recorde o exemplo 3.1.11 substituindo x x3 e y y 3 .

3.1.10 Utilize o teorema do valor mdio. e 3.1.11 Se g tiver m nimo em (a, b) verica-sen 2 i=1 xi n i=1 xi n i=1

g = 0. Portanto a e b satisfazem as equaes co xi a = bn i=1 xi yi n i=1 yi

n

.

3.2

Testes de Segunda Ordem

Nesta seco vamos estudar um mtodo que permite classicar os pontos de estacionaridade de ca e funes. No caso unidimensional, quando a segunda derivada no se anula, um ponto de estacionaco a ridade de uma funo de mximo ou de m ca e a nimo dependendo do sinal da segunda derivada. Para funes f de Rn em R a segunda derivada de f representada por uma forma blinear denida por co e uma matriz chamada hessiana. Classicando a forma quadrtica denida pela hessiana quanto a a ser denida positiva, negativa, indenida, semidenida,. . . , ou de forma equivalente determinando o sinal dos seus valores prprios, poss o e vel estudar a classicao de pontos de estacionaridade ca ` quanto a serem pontos de mximo ou m a nimo. A semelhana do caso unidimensional quando a c derivada nula, este teste pode no ser conclusivo se a forma quadrtica for semidenida, isto e a a e todos os valores prprios tiverem o mesmo sinal excepto alguns nulos. o Comecemos por precisar alguns dos termos usados no pargrafo anterior. a24 de Janeiro de 2000

34

3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM Denio 3.2.1 Seja A uma matriz simtrica, ou seja A = AT e considere-se a forma quadrtica ca e a QA denida por A via QA (x) = x Ax para x Rn . 1. Diz-se que A denida positiva (resp. negativa) se a forma quadrtica QA for deninida e a positiva (resp. negativa), isto , QA (x) > 0 (resp. QA (x) < 0) para todo o x Rn \ {0}. e 2. Diz-se que A semi-denida positiva4 (resp. negativa) se a forma quadrtica QA for semie a deninida positiva (resp. negativa), isto , QA (x) 0 (resp. QA (x) 0) para todo o x Rn e e existe algum y = 0 tal que QA (y) = 0. 3. Caso nenhuma destas situaes se verique diz-se que a matriz indenida esta situao co e ca corresponde a QA ser indenida, isto , existirem y, z Rn tais que QA (y) < 0 e QA (z) > 0. e A denio anterior poderia ter sido feita em termos de valores prprios (consultar por exemplo ca o [4] ou resolver o exerc 3.2.2) graas ao seguinte resultado bsico de Algebra Linear. cio c a Proposio 3.2.1 ca Seja QA uma forma quadrtica denida por uma matriz simtrica A via QA (x) = x Ax para a e x Rn . Ento: a 1. QA denida positiva (resp. negativa) se e s se todos os valores prprios de A forem e o o positivos (resp. negativos). 2. QA semi-denida positiva (resp. negativa) se e s se todos os valores prprios de A forem e o o no negativos (resp. positivos) e pelo menos um nulo. a 3. QA indenida se existir um valor prprio positivo e um valor prprio negativo. e o o Exemplo 3.2.1 Seja 1 A = 2 0 2 0 4 0 . 0 1

Os valores prprios de A so denidos pela equao o a ca 1 2 0 4 0 = (1 )(5 ) = 0, det(A I) = 2 0 0 1 que tem como solues = 0, 1, 5. Portanto conclu co mos que A semi-denida positiva. e Exerc cio 3.2.1 Mostre que a unica matriz simultaneamente semidenida positiva e semidenida negativa a matriz nula. e Que basta considerar matrizes simtricas ao lidar com formas quadrticas uma das concluses e a e o do exerc seguinte. cio Exerc cio 3.2.2 Em geral podemos denir forma quadrtica QA associada a uma matriz A via a QA (x) = x Ax. 1. Mostre que QA = QA , onde A = A+A em que A chamada a simetrizao de A. e ca 2 Portanto substituir A pela sua simetrizao no altera QA . Sugere-se que antes de provar o ca a caso geral, convena-se que este facto verdadeiro com o exemplo c e A= 1 0 2 . 1T

4 Esta denio de forma semidenida no a mesma de, por exemplo, [4] aonde uma forma ou matriz denida ca a e necessariamente semidenida. Assim denida, indenida e semidenida so termos mutuamente exclusivos. e a

35


CAP ITULO 3. EXTREMOS 2. Demonstre a proposio 3.2.1. ca Calcular valores prprios no uma tarefa trivial e conveniente dispor de critrios mais fceis o a e e e a de aplicar. Proposio 3.2.2 ca Seja a11 . A= . . an1 a1n . . . ann

uma matriz n n. Consideremos as submatrizes Ak que consistem nos elementos das primeiras k linhas e k colunas de A, isto , e A1 = a11 Ento, a 1. A denida positiva se e s se det Ai > 0 para todo o i. e o 2. A denida negativa se e s se det Ai < 0 para i e o mpar e det Ai > 0 para i par. Exemplo 3.2.2 Seja 1 0 A = 0 2 1 0 Portanto A1 = 1 e temos det A1 = 1 det A2 = 2 det A3 = 6. Como todos estes valores so positivos conclu a mos que A denida positiva. e Exerc cio 3.2.3 Prove a proposio para matrizes diagonais. ca Para o caso de matrizes semi-denidas o critrio ligeiramente mais complexo. Dada uma e e matriz A uma submatriz principal de A qualquer matriz que se obtm de A suprimindo linhas e e e colunas em pares correspondentes (e.g. a primeira e a terceira linhas e colunas). Exemplo 3.2.3 Seja 1 6 A = 11 16 21 2 7 12 17 22 3 4 5 8 9 10 13 14 15 18 19 20 23 24 25 A2 = 1 0 0 2 A3 = A 1 0 . 4 A2 = a11 a21 a12 a22

Suprimindo a primeira linha e primeira coluna obtemos a submatriz principal 7 8 9 10 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25 Suprimindo a segunda e terceira linhas e colunas obtemos a submatriz principal 1 4 5 16 19 20 . 21 24 2524 de Janeiro de 2000

36

3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM Proposio 3.2.3 ca Uma matriz A semi-denida positiva se e s se todas as submatrizes principais de A tm detere o e minantes no negativos e pelo menos um nulo. Uma matriz A semi-denida negativa se e s se a e e o todas as submatrizes principais de A tm determinantes no negativos ou no positivos conforme e a a o nmero de linhas ou colunas da submatriz par ou u e mpar e pelo menos um nulo. e Exemplo 3.2.4 Seja 0 A = 0 0 0 0 2 1 . 1 5

Retirando a primeira e terceira linhas e colunas obtemos a submatriz 2 cujo determinante e positivo. Retirando a primeira e segunda linhas e colunas obtemos a submatriz 5 cujo determinante negativo. Portanto conclu e mos que a matriz no pode ser nem semidenida positiva nem a semidenida negativa pelo que indenida. e Exemplo 3.2.5 Seja 0 A = 0 0 0 0 2 1 . 1 5

O determinante de A zero pelo que a matriz no pode ser nem denida positiva nem denida e a negativa. O mesmo acontece ao determinante de qualquer submatriz obtida de A no retirando a a primeira linha e coluna. Portanto basta analisar 3 submatrizes; retirando a primeira e segunda linhas e colunas obtemos a submatriz 5 cujo determinante positivo; retirando a primeira e e terceira linhas e colunas obtemos a submatriz 2 cujo determinante positivo; retirando a primeira e linha e coluna obtemos a submatriz 2 1 1 5 cujo determinante 9 e portanto tambm positivo. Portanto conclu e e mos que a matriz semidee nida positiva. Exerc cio 3.2.4 Classique a matriz A dada por 3 0 A = 0 2 0 1

0 1 5

quanto a ser denida ou semidenida positiva, negativa ou indenida Exerc cio 3.2.5 Classique a matriz A dada por 0 2 A = 0 2 0 1

1 1 5

quanto a ser denida ou semidenida positiva, negativa ou indenida Depois destas denies preliminares vamos denir a matriz hessiana5 . co Denio 3.2.2 Seja f : Rn R de classe C 2 . A matriz hessiana de f , H(f ), dada por ca e 2f 2f x1 xn x2 1 . . . H(f ) = . . . . 2f 2f xn x1 x2n

matriz hessiana H dene uma forma bilinear (x, y) x Hy que desempenha o papel de segunda derivada de uma funo de Rn em R. No desenvolveremos este assunto neste texto. ca a

5A

37


CAP ITULO 3. EXTREMOS Exemplo 3.2.6 Seja f (x, y) = x2 + y 2 . A sua matriz hessiana e H(f ) = 2 0 0 . 2

Exerc cio 3.2.6 Calcule a matriz hessiana de f (x, y, z) = xyz. Exerc cio 3.2.7 1. Dena uma funo cuja matriz hessiana seja, em qualquer ponto ca a b . b c 2. Ser que a funo que encontrou na al a ca nea anterior unica? Se no for tente encontrar uma e a frmula geral para esta fam de funes. o lia co 3. Em que condies que a matriz co e a b d c a hessiana de alguma funo de classe C 2 ? e ca O resultado bsico para classicar pontos de estacionaridade usando o termo de segunda ordem a da frmula de Taylor o e Teorema 3.2.4 Sejam U Rn um aberto, f : U R uma funo de classe C 2 (U ) e x0 U um ponto de ca estacionaridade de f . i) Se Dh f (x0 ) > 0 para todo o h = 0 ento x0 um ponto de m a e nimo local; ii) Se Dh f (x0 ) 0 para todo o vector h e existe um vector k = 0 tal que Dk f (x0 ) = 0 ento a x0 no um ponto de mximo local; a e a iii) Se Dh f (x0 ) < 0 para todo o h = 0 ento x0 um ponto de mximo local; a e a iv) Se Dh f (x0 ) 0 para todo o vector h e existe um vector k = 0 tal que Dk f (x0 ) = 0 ento a x0 no um ponto de m a e nimo local; v) Se existem h, k Rn tais que Dh f (x0 ) < 0 e Dk f (x0 ) > 0 ento x0 um ponto de sela. a e Ideia da demonstrao. Para provar (ii), (iv) e (v) basta considerar as restries de f `s rectas ca co a passando por x0 e nas direces de h ou k e usar os resultados conhecidos6 para dimenso 1. Para co a provar (i) ou (iii) devemos estudar o sinal de f (x) f (x0 ) provando que se mantm constante e numa bola de raio sucientemente pequeno centrada em x0 . Isto equivalente a estudar o sinal e de 1 (2) f (x0 + h) f (x0 ) Ef (x0 , h) = Dh/|h| f (x0 ) + 2 2 2 |h| |h| em que a ultima parcela do segundo membro tende para 0 quando h 0 de acordo com o teorema de Taylor. Para completar a demonstrao, por exemplo no caso (i), basta mostrar que para ca (2) h = 0 temos Dh/|h| f (x0 ) minorado por um nmero m > 0 e que existe uma bola centrada em x0 u tal que a f |h|0 > m. O ultimo destes dois factos segue da denio de limite e o primeiro ca 2 pode ser justicado usando resultados de lgebra linear sobre formas quadrticas ou o teorema de a a (2) Weierstrass aplicado ` funo7 S n1 D f (x0 ). a capode refazer-se a demonstrao mas queremos acentuar que no existe nenhuma ideia essencialca a mente nova em jogo. 7 S n1 {x Rn : |x| = 1}.6 Obviamente

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

E (x ,h)


38

3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM O teorema anterior pode ser enunciado usando a terminologia de lgebra linear referente a a (2) formas quadrticas. Com efeito Dh f (x0 ) a forma quadrtica denida pela matriz hessiana de a e a f no ponto x0 , Hf (x0 ) 2f xi xj (x0 ) i,j=1,...,n

, isto , Dh f (x0 ) = h Hf (x0 )h. As situaes e co

(2)

(i-v) no enunciado do teorema correspondem respectivamente a esta forma quadrtica8 ser dea nida positiva, semidenida positiva no nula, denida negativa, semidenida negativa no nula e a a indenida. Corolrio 3.2.5 a Seja f : U Rn R uma funo de classe C 2 numa vizinhana um ponto de estacionaridade em ca c x0 . Ento: a 1. Se H(f )(x0 ) = 0 o teste inconclusivo. e 2. Se H(f )(x0 ) for denida positiva (resp. negativa) ento x0 um ponto de m a e nimo (resp. mximo) local. a 3. Se H(f )(x0 ) for semi-denida positiva (resp. negativa) mas no nula ento x0 no um a a a e ponto de mximo (resp. m a nimo) local, isto , pode ser ponto de m e nimo (resp. mximo) a local ou ponto de sela. 4. Se H(f )(x0 ) for indenida ento x0 um ponto de sela. a e O teorema e o corolrio no podem ser melhorados, atravs de informao s relativa a derivadas a a e ca o de segunda ordem e de maneira a fornecer informao adicional para os casos em que a forma ca quadrtica semidenida, devido aos exemplos triviais que se seguem (3.2.8, 3.2.9). a e Exemplo 3.2.7 Seja f (x, y) = x2 +y 2 . O ponto (0, 0) um ponto de estacionaridade (verique!). e A matriz hessiana de f no ponto (0, 0) e H(f ) = 2 0 0 , 2

que denida positiva (os valores prprios so positivos). Portanto (0, 0) um ponto de m e o a e nimo local. Exemplo 3.2.8 Seja f (x, y) = x2 +y 4 . O ponto (0, 0) um ponto de estacionaridade (verique!). e A matriz hessiana de f no ponto (0, 0) e H(f ) = 2 0 0 , 0

que semi-denida positiva (os valores prprios so no negativos). Portanto (0, 0) no um e o a a a e a ponto de mximo local. E fcil vericar que (0, 0) um ponto de m a e nimo local e no um ponto de a sela. Com efeito, basta observar que, se (x, y) = (0, 0), se tem f (x, y) > f (0, 0) = 0. Exemplo 3.2.9 Seja f (x, y) = x2 y 4 . O ponto (0, 0) um ponto de estacionaridade (verique!). e A matriz hessiana de f no ponto (0, 0) e H(f ) = 2 0 0 , 0

que semi-denida positiva (os valores prprios so no negativos). Portanto (0, 0) no um e o a a a e ponto de mximo local. No entanto (0, 0) no um ponto de m a a e nimo local; com efeito, temos f (0, 0) = 0 mas f (0, y) = y 4 < 0 para y = 0 pelo que conclu mos que (0, 0) um ponto de sela. e8 Esta

terminologia relativa a formas quadrticas usa-se tambm para as matrizes que as denem. a e

39


CAP ITULO 3. EXTREMOS Exemplo 3.2.10 Seja f (x, y) = x2 y 2 . O ponto (0, 0) um ponto de estacionaridade (verie que!). A matriz hessiana de f no ponto (0, 0) e H(f ) = 2 0 , 0 2

que indenida (um dos valores prprios positivo e outro negativo). Portanto (0, 0) um e o e e e ponto de sela. Exerc cio 3.2.8 Prove que (0, 0) um ponto de estacionaridade de f e classique-o quanto a ser e ponto de mximo, ponto de m a nimo ou ponto de sela quando f denida em R2 por: e 1. f (x, y) = 2x2 + y 2 ; 2. f (x, y) = xy; 3. f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ; 4. f (x, y) = y 4 x4 ; 5. f (x, y) = x3 ; 6. f (x, y) = y 2 . Problema 3.2.1 Elabore um critrio para classicar formas quadrticas denidas por uma matriz e a b 2 2 da forma a c em funo do sinal de d = ac b2 e do sinal de a. ca b Os exemplos de aplicao do critrio de segunda ordem at agora apresentados so no essencial ca e e a triviais e poderiam ser analisados por outros processos. Destinavam-se a denir situaes t co picas e balizar as limitaes do resultado. O exemplo seguinte j tem um carcter menos trivial. co a a Exemplo 3.2.11 Considere-se a funo f : R2 R denida por f (x, y) = xy + x2 y 3 x3 y 2 . ca Tentemos estud-la quanto ` existncia de extremos. a a e Comeamos por notar que graas a f ser um polinmio reconhecemos imediatamente que f c c o coincide com o seu desenvolvimento de Taylor de ordem igual ou superior ao seu grau. Tal vere dadeiro em particular relativamente a (0, 0) que reconhecemos como um ponto de estacionaridade (ausncia de termos de primeira ordem) que um ponto de sela (termo de segunda ordem xy). e e Para determinar outros pontos de estacionaridade consideramos o sistema de estacionaridade f y + 2xy 3 3x2 y 2 = 0 x f x + 3x2 y 2 2x3 y = 0 y que pode ser escrito de forma equivalente como y(1 + 2xy 2 3x2 y) = 0 x(1 + 3xy 2 2x2 y) = 0. Da decorre que a unica soluo sobre os eixos coordenados (0, 0) que j foi estudada. Podemos ca e a ento limitarmo-nos a analisar a 1 + 2xy 2 3x2 y = 0 1 + 3xy 2 2x2 y = 0. Subtraindo termo a termo obtemos xy 2 + x2 y = 0 ou seja xy(y + x) = 0. Assim eventuais solues co adicionais do sistema de estacionaridade encontrar-se-iam ou sobre os eixos coordenados (hiptese o j estudada) ou sobre a recta y = x. Substituindo y por x na primeira equao obtemos a ca24 de Janeiro de 2000

40

3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM 1 + 5x3 = 0 o que fornece um segundo e ultimo ponto de estacionaridade: (51/3 , 51/3 ). Para classic-lo calculamos a 2f = 2y 3 6xy 2 x2 2f = 6x2 y 2x3 y 2 2f = 1 + 6xy 2 6x2 y xy pelo que Hf (51/3 , 51/3 ) = 8/5 7/5 7/5 8/5

uma matriz denida positiva pelo que este ponto de estacionaridade um ponto de m e nimo local sendo o m nimo local f (51/3 , 51/3 ) = 3 52/3 . 5 Considerando, por exemplo, lim+ f (1, ) = +, lim+ f (, 1) = verica-se que esta funo no tem extremos absolutos. ca a O teorema 3.2.4 pass de vrias generalizaes. Aconselha-se no entanto o aluno a comear e vel a co c por dominar o critrio de segunda ordem e as ideias na sua demonstrao pois so a base de e ca a qualquer uma dessas generalizaes. Mais geralmente um polinmio homogneo de grau k designaco o e se por forma de grau k. Uma generalizao imediata do resultado anterior ca e Problema 3.2.2 Seja f : D Rn R uma funo de classe C k (D) e x0 um ponto interior a D ca (j) (k) n tal que Dh f (x0 ) = 0 para j < k e h R e a forma de grau k Q denida por Q(h) = Dh f (x0 ) denida positiva. Prove que x0 um ponto de m e e nimo local de f . Formule e demonstre outras generalizaes do mesmo tipo do teorema 3.2.4. co Generalizaes deste tipo podero ser encontradas por exemplo em [2] (ver tambm o exerc co a e cio 3.2.12 e o problema 3.2.4). Factos triviais mas muito uteis so a Problema 3.2.3 a) Seja Q uma forma no nula de grau a mpar. Prove que Q uma forma indenida. e b) Seja P um polinmio de grau o mpar. Prove que P no limitado superior ou inferiormente. a e Exemplo 3.2.12 Considere-se a funo g : R2 R denida por ca g(x, y) = ex2

y 2

+ y2 .

e tentemos classicar o ponto de estacionaridade (0, 0). De maneira anloga ao exemplo 2.4.4 obtemos a partir da srie de Taylor da exponencial a e

g(x, y) = 1 + x2 +j=2

(x2 y 2 )j j!

para todo o (x, y) R2 . Note-se que a anlise atravs do termo de segunda ordem da frmula de a e o Taylor s nos permite armar que (0, 0) no um ponto de mximo devido ` forma quadrtica se o a e a a a anular na direco do eixo dos ys. Podemos tentar compreender o que se passa usando os termos ca de ordem superior da frmula de Taylor naquela direco. O primeiro desses termos que no se o ca a anula de ordem 4, mais precisamente, e g(x, y) = 1 + x2 + (x2 y 2 ) + E(x, y) 2 4124 de Janeiro de 20002

CAP ITULO 3. EXTREMOSE(x,y) em que (x2 +y2 )2 0 quando (x, y) 0. E de suspeitar que (0, 0) um ponto de m e nimo e tentaremos prov-lo usando o mesmo racioc a nio da demonstrao do teorema 3.2.4 em que a ca minimizao do termo de segunda ordem por um nmero positivo substitu pela minimizao ca u e da ca simultnea dos termos de segunda e quarta ordem. A ideia natural usar o termo de quarta a e ordem para direces prximas da do eixo dos ys e o termo de segunda ordem para as restantes. co o Como o termo de quarta ordem se anula para |x| = |y| e o de segunda ordem para x = 0 tentamos caracterizar tais direces respectivamente por |x| < 1 |y| e |x| 1 |y|. co 2 2 1 Seja ento |x| < 2 |y|. Obtemos a

1 (x2 + y 2 ) =2

1 (4) 1 (2) D g(0, 0) + D(x,y) g(0, 0) 2 (x,y) 4! 12 y2 )

(x2 +

x2 +

(x2 y 2 ) 2

2

>

12 ( 5 y2 ) 4

8 x4 1 y 4 + y 4 4 (x4 2x2 y 2 + y 4 ) 2 > > . 2 25 y4 25

1 e Por outro lado para |x| 2 |y| obtm-se

1 (x2 +2 y2 )

1 (2) 1 (4) D(x,y) g(0, 0) + D(x,y) g(0, 0) 2 4! = 1 (x2 +2 y2 )

x2 +

(x2 y 2 ) 2

2

>

x2 (x2 +2 y2 )

x2 + y 2 4(x2 + y 2 )2

=

1 . 4(x2 + y 2 )

Agora j poss aplicar um racioc ae vel nio idntico ao do teorema 3.2.4 para concluir que (0, 0) e e efectivamente um ponto de m nimo. O leitor poder ter considerado a resoluo do exerc a ca cio 3.2.12 algo ad hoc e suspeitado que existe um resultado abstracto que poderia ter sido usado. De facto assim embora a maior parte e das ideias relevantes j conste da resoluo do exerc a ca cio. Problema 3.2.4 Sejam f : D Rn R, f C k (D), x0 um ponto interior a D. Suponha-se (j) que existe l < k tal que Dh f (x0 ) = 0 para todo o j < l e todo o h Rn , e que h Ql (h) (l) Dh f (x0 ) semidenida positiva. Designamos os vectores unitrios que anulam Ql como direces e a co (j) singulares. Suponha-se ainda que D f (x0 ) = 0 para toda a direco singular e l < j < k e que ca (k) Qk () D f (x0 ) > 0 para toda a direco singular . Mostre que: ca a) O conjunto formado por todas as direces singulares um subconjunto fechado de S n1 que co e desigamos por F . b) Qk tem um m nimo m1 > 0 sobre F e um m nimo m2 sobre S n1 . c) Existe um aberto A F tal que Qk () >m1 2

para todo o S n1 A.

d) Ql tem um m nimo m3 > 0 sobre S n1 \ A. e) Valem as estimativas f (x) f (x0 ) |x x0 | em queEf (x0 ,xx0 ) |xx0 |k k

E (x0 ,xx ) m3 + m2 + f|xx |k 0 k! l!|xx0 |kl 0 E (x0 ,xx ) m1 + f|xx |k 0 2k! 0

se se

xx0 |xx0 | xx0 |xx0 |

A, A,

0 quando x x0 .

f ) x0 um ponto de m e nimo local de f . Para terminar convm referir mais uma vez que os testes baseados na frmula de Taylor podem e o ser inconclusivos devido `s razes apontadas na introduo a este cap a o ca tulo e a exemplicadas com funes reais de varivel real. co a24 de Janeiro de 2000

42

3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM

3.2.1

Exerc cios suplementares2 3

Exerc cio 3.2.9 Considere a funo f : R3 R denida por ca f (x, y, z) = 2 z x2 + y 2 + z x2 + y 2 .

a) Determine os respectivos pontos de extremo local e absoluto e, se tais pontos existirem, classique-os quanto a serem pontos de mximo ou de m a nimo. b) Determine um polinmio de grau menor ou igual a dois, P (x, y, z), tal que o lim(x,y,z)

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