Exercícios resolvidos de geometria plana triângulos retângulos - celso brasil

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA – TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(01)

Solução


2

(02) Determine os valores de x e y nas figuras planas abaixo:

Solução

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)


3

(03)

Solução

(c) (d)


4

(04) Um ponto interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância desse ponto à bissetriz desse ângulo? Solução

(05)

Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, √ m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução

(06) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução


5

(07) Um ponto P, interno de um ângulo de 60°, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo. Solução

(08)

Um ponto P, interno de um ângulo de 30°, dista 3 m de um lado e √ m do vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo? Solução

6 m

A

O C B

D

6 m

30°60°

3 m

x

𝑆𝑒𝑛 30° =𝐶𝐷

𝐵𝐷→

1

2=

3

𝐵𝐷→ 𝐵𝐷 = 6 𝑚;𝐴𝐵 = 12 𝑚

∆𝐴𝑂𝐵:𝑇𝑎𝑛𝑔 60° = 𝐴𝐵

𝐴𝑂→ √3 =

12

𝐴𝑂→ 𝐴𝑂 = 4√3

∆𝐴𝑂𝐷: 𝑥² = 𝐴𝑂 2 𝐴𝐷 2 → 𝑥2 = 48 + 36 → 𝒙 = 𝟐√𝟐𝟏 𝒎

Prolongando o segmento de medida 6 m, obtemos o

triângulo BCD com 𝐶𝐵 𝐷 = 30°. Daí:


6

(09)

Um ponto P, externo de um ângulo de 60°, dista √ √ dos lados do ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo? Solução Na figura abaixo precisamos determinar a distância PT. Assim, temos:

a

30°

3√13

x

w

y z

60°

3

90°

9√3

30°

30°

P

R S

x

x

60°

T

60°

60°

W

90°

90°

y

𝑦2 + 33 = 3√13 2→ 𝒚 = 𝟔√𝟑𝒎

𝑡𝑎𝑛𝑔 60° =3

𝑧→ √3 =

3

𝑧→ 𝒛 = √𝟑𝒎

𝑆𝑒𝑛 60° =3

𝑤→

√3

2=

3

𝑤→ 𝒘 = 𝟐√𝟑

∆𝐴𝐵𝐶: 𝑆𝑒𝑛 30° = 𝑥 +𝑤

𝑦 + 𝑧→

1

2=𝑥 + 2√3

7√3→

𝒙 =𝟑√𝟑

𝟐𝒎

Prolongamos o segmento cuja medida vamos determinar e obtemos o triângulo ABC. Temos:

A

B

C

𝟏 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑸𝑾:

𝑠𝑒𝑛 60° =3√3

𝑦→

√3

2=

3√3

𝑦→ 𝒚 = 𝟔 𝒎

𝟐 𝑵𝒐 ∆𝑷𝑹𝑺:

𝑠𝑒𝑛 60° =9√3

𝑃𝑆→

√3

2=

9√3

𝑃𝑆→ 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖 𝒎

𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑷𝑺 = 𝟏𝟖

𝑦 + 2𝑥 = 18 → 6 + 2𝑥 = 18 → 𝒙 = 𝟔 𝒎

𝑷𝑻 = 𝒙+ 𝒚 → 𝑃𝑇 = 6 + 6 → 𝑷𝑻 = 𝟏𝟐 𝒎


7

(10) Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média

multiplicada por √ . Solução

(11) Determine a tangente do ângulo “â”, sabendo que “E” é o ponto médio do lado ̅̅ ̅̅ do quadrado ABCD.

2a

AB

CD

E

Solução


8

(12) Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° e 6 dm de raio. Solução

(13) Seja AB = 3r, tangente em “A” a uma circunferência de centro “O” e raio “r”. Traça-se por “B” a tangente ̅̅ ̅̅ , que tem “C” por ponto de contato. Calcule a

distância “C” à reta ⃡ . Solução


9

(14) Consideremos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo agudo é . Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de e da hipotenusa “a”. Solução

(15) Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm. Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120°, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos. Solução


10

(16)

Solução

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