Exercícios Resolvidos de Mola

5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola

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Lista de Exerccios: solues - Unidade 2

2.1 Uma lmina de ao de espessura (ou altura) t= 3 mm, comprimento L= 300 mm, largura b= 20 mm, mdulode elasticidade E= 210 x 109Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e usada como uma molasimplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento.(a)Determinar a constante de mola para a fora e deslocamento na direo vertical, na posio da massa.(b)Quais as modificaes que se fariam nas dimenses da viga para duplicar a sua constante de mola?(c)Determinar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra com lubrificante entre

elas (no h atrito).(d)Encontrar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra e soldadas juntas.Dados: t= 3 mm,L= 300 mm, b= 20 mm,E= 210 x 109Pa

(a) Viga bi-apoiada sob flexo3

48

L

EIk

com 41233

m104512

003,002,0

12

bt

I

N/m108,163,0

1045102104848 33

129

3

L

EIk

(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes solues:1. Diminuir o comprimento para

m238,0108,162

10451021048

2

483

3

129

3

k

EIL

2. Aumento do momento de inrcia (dimenses da seo transversal)

411

9

333

m1091021048

3,0108,162

48

2

E

klI

(c) A configurao proposta consitui-se em uma associao em paralelo, implicando na duplicao da rigidez,de forma que N/m106,33108,162 33 k

(d) Desta forma a espessura da viga duplicada t= 6 mm412

33

m1036012

006,002,0

12

bt

I

N/m101343,0

10360102104848 33

129

3

L

EI

k

2.2 Uma mquina de massa m= 500 kg montada em uma viga de ao bi-apoiada, de comprimento L= 2 m, quepossui uma seo transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Parareduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar ovalor de knecessrio para reduzir a flecha da viga para um tero do seu valor original (sem a mola). Assumirque a massa da viga desprezvel.

m

k

Figura 2.1

Dados: m= 500 kg,L= 2 m, t= 0,1 m, b= 1,2 m eE= 206 x 109N/m2.

Como o momento de inrcia (em relao linha elstica) de uma viga

4433

m1000,112

1,02,1

12

tb

I

A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro

N/m101262

1000,1102104848 63

49

3

L

EIkv


2/51

A mola de rigidez kse associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flechaseja reduzida para um tero de seu valor inicial tem-se

33

v

eq

viga

fina l

kP

k

P

De onde

N/m10252106,123223 66 vvveq kkkkkk

2.3 O eixo de um elevador em uma mina est suspenso por dois cabos de comprimento L= 150 m e dimetro d =20 mm cada. Os cabos so feitos de ao com mdulo de elasticidadeE= 210 x 109Pa.(a)Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do

eixo para deslocamento na direo vertical.(b)Determinar como a constante de mola ir variar se o nmero de cabos for aumentado para quatro.(c)Determinar como a constante de mola ir variar se o dimetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos).Dados:L= 150 m, d = 20 mm,E= 210 x 109Pa.

(a) N/m104401504

02,010210

4

3292

L

Ed

L

EAk

Com dois cabos em paralelo

N/m108802 3 kkeq

(b) N/m1076,14 6 kkeq

(c) N/m109901504

03,010210

4

3292

L

Ed

L

EAk

N/m1098,12 6 kkeq

Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variao de 2,25 vezes na rigidez para umaampliao de 50% no dimetro do cabo.

2.4 Um sistema de barra de toro de uma suspenso automotiva possui comprimentoL= 1,5 m e dimetro d= 18mm. O mdulo de elasticidade transversal G= 85 GPa.(a)Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades.(b)Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G= 41 GPa.Dados: l= 1,5 m, d= 18 mm, G= 85 GPa(a)

4944

m103,1032

018,0

32

d

J

N.m/rad5845,1

103,101085 99

L

GJkt

(b) Com G= 41 GPa

N.m/rad2825,1

103,101041 99

L

GJkt

2.5 Uma mola de lminas mltiplas consiste de trs lminas de ao de comprimentoL= 0,3 m, largura b= 0,10 me espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexo vertical se o mdulo deelasticidade E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexo rgido. Notar que as extremidades das lminas

permanecem sempre horizontais.


3/51

Figura 2.2

Dados:L= 0,3 m, b= 0,10 m, t= 0,005 m eE= 210 GPaUma viga bi-engastada, com carregamentoPconcentrado no seu centro, possui uma deformao igual a

EI

PLviga

192

3

Cada uma das 3 lminas uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformaovertical, sem girar. Desta forma ela pode, em funo da simetria, ser considerada como a metade de uma

viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que ser necessrioo dobro da carga para produzir uma igual deformao em uma viga bi-engastada com o dobro docomprimento de cada lmina.

EI

LF

k

F

192

23

23

3

de onde

N/m102,973,0

12

005,01,01021012

123 33

39

3

L

EI

F

k

Como so trs lminas que sofrem a mesma deformao, esto associadas em paralelo de forma que arigidez equivalente

N/m102923 3 kkeq

2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d= 8 mm, conectadas como mostrado,em um crculo de um raio R= 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento l = 250 mm e o mdulo deelasticidade do material na mola E= 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barraest carregada em flexo com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos.

Figura3Dados: d= 8 mm,R= 100 mm, l= 250 mmE= 210 GPa,Cada barra se comporta como as lminas do exerccio anterior, submetidas a flexo, de forma que sua rigidez


4/51

3

12

l

EIPk

barra

A rigidez torsional proporcionada por cada barra determinada por

N.m/rad32425,0

1,064

008,01021012

123

24

9

3

2

2

l

REIRk

R

RPMk barra

t

t

Como so 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associao em paralelo(mesma deformao), a rigidez torsional equivalente

N.m/rad1059,232488 3 teqt kk

2.7 Uma barra de toro consiste de trs segmentos com dimetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400,600, e 500 mm, respectivamente, conectados em srie de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa,determinar a constante de mola torsional.

Dados: d1= 30 mm, d2= 40 mm, d3= 50 mm, l1= 400 mm, l2= 600 mm, l3= 500 mm, G= 105 GPa.

N.m/rad109,204,032

03,010105

32

3

49

1

4

1

1

1

1

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad100,44

6,032

04,010105

32

3

49

2

4

2

2

2

2

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad101295,032

05,010105

32

3

49

3

4

3

3

3

3

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad108,12

10129

1

100,44

1

109,20

1

1

111

1 3

333

321

ttt

eq

kkk

k

2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmisso de caminho tem dimetro do arame d= 10 mm, dimetro D= 100 mm e tem 15 espiras, mdulo de elasticidade transversal G= 81 GPa.(a)Encontrar a constante de mola axial.(b)Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o nmero de espiras.(c)Encontrar a constante de mola se duas molas esto conectadas em paralelo.(d)Encontrar a constante de mola se duas molas so conectadas em srie.Dados: d= 10 mm,D= 100 mm, n= 15 espiras e G= 81 GPa.

(a) N/m1075,61,0158

01,01081

8

3

3

49

3

4

nD

Gdk

(b) N/m1038,31,0308

01,01081

8

3

3

49

3

4

nD

Gdk

(c) N/m105,132 3 kkeq

(d) N/m1038,32

4k

keq

2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e feita de ao comE= 2,1 x 1011

Pa, d=3 mm e deDi= 30 mm. Determinar a constante torsional da mola.

Dados:E= 210 GPa, d= 3 mm,Di= 30 mm e n= 6.

D=Di+ d= 3 + 30 = 33 mm

N.m/rad895033,0632

003,010210

32

393

nD

Edk

t


5/51

Figura 2.4

2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direo de

Figura 2.5

2

2

1

eqkU

2323

2

12121

2

23

2

121

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1 lklkkkklklkkkkU

tttt

223

2

12121 lklkkkkk

tteq

2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6Os trs segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, esto submetidos toro esto associados em srie,

possuindo rigidez equivalente:

313221

321

321

1 111

1

kkkkkk

kkk

kkk

keq

Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4,ocorre uma associao em paralelo:

412 kkkeqeq

As duas molas de rigidezes k5e k6esto associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente

653 kkk

eq


6/51

Figura 2.6

As duas molas de rigidezes k7e k8esto associadas em srie, possuindo rigidez equivalente

87

87

87

4 11

1

kk

kk

kk

keq

Os segmentos de eixo esto submetidos toro , enquanto que as molas esto submetas a uma deformaolinear igual a

Rx A energia potencial total igual soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementosdeformados (segmentos de eixos e molas)

224

2

32

2

4

2

3

2

22

1

2

1

2

1

2

1 RkRkkxkxkkU

eqeqeqeqeqeq

Substituindo os termos das rigidezes

22

87

87

65

313221

321

42

1

R

kk

kkkk

kkkkkk

kkkkU

De forma que a rigidez torcional equivalente 2

87

87

65

313221

321

4 R

kk

kkkk

kkkkkk

kkkkk

eq

2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de dimetro interno de espessura tque possui a mesmaconstante de mola axial que o eixo slido cnico mostrado na Fig. 2.7.

D d

l Figura 2.7

1

2

1

22

1

22

1 4

44

4

24

4 l

tdtE

l

dtdE

l

ddE

l

EA

l

EDdk

ie

Dd

tdltl

41


7/51

2.13 Determinar a massa equivalente referente coordenadaxpara o balancim mostrado na Fig. 2.8.

Figura 2.8

A massa m2se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angularb

x e a massa m1

com velocidade linear xb

aa .

A energia cintica total igual soma das energias cinticas de cada uma das inrcias (massas emtranslao e balancim em rotao), dada por

2

2

2

2

2

2

1

2

2

22

2

12

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1xmx

bJx

b

amxmJx

b

amT

OO

2

2

22

1

1

2

1xm

bJ

b

amT

O

De forma que a massa equivalente

22

2

1 mb

Jamm O

eq

2.14 Duas massas, com momentos de inrcia de massa J1 e J2, so colocadas em eixos rgidos rotativos que soligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o nmero de dentes nas engrenagens 1 e 2 so n1e n2,respectivamente, determinar o momento de inrcia de massa equivalente correspondente a 1.

Figura 2.9

Energia cintica

2

22

2

112

1

2

1 JJEC

Relao de transmisso

2211 nn

Ento


8/51

2

12

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

112

1

2

1

2

1

J

n

nJ

n

nJJEC

Momento de inrcia equivalente

2

2

2

1

1 Jn

nJJ

eq

2.15 Determinar o momento de inrcia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, comreferncia ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Jie niso os momentos de inrcia de massa e os nmeros dedentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N.

Figura 2.10

Energia cintica

N

i

iiJEC

2

1

2

2

1

Relaes de transmisso

11 iiii nn

N

i

iii

i

n

n

n

n

nJJEC

0

2

1

2

12

4

3

2

1122

22

1

Ento

21

0

2

12

4

3

2

1122

22

1

N

i

iii

i

n

n

n

n

nJJEC


N

i

iiieq

i

n

n

n

n

nJJJ

0

2

12

4

3

2

1122

2

2.16 Um oscilador harmnico possui massa m= 1,2 kg e constante de rigidez k= 8,5 kN/m. Determinar a freqncianatural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto).Dados: m= 1,2 kg, k= 8,5 kN/m

rad/s2,842,1

8500

m

kn

cpm804cpm60)(13,4Hz4,132

2,84

2

f


9/51

2.17 Um oscilador harmnico possui massa m= 10 kg e perodo de vibrao natural, medido em um osciloscpio,igual a 35 ms. Determinar a constante de mola.

Dados: m= 10 kg, Tn= 35 ms.

N/m10322035,0

10442 3

2

2

2

222

n

nnT

mfmmk

2.18 Um automvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspenso 0,02 m sob condies estticas.Determinar a freqncia natural do automvel na direo vertical assumindo que o amortecimento sejadesprezvel.

Dados: m= 2000 kg, st= 0,02 m

rad/s1,2202,0

81,9

st

n

g

m

k

2.19 Uma prensa industrial est montada sobre uma camada de borracha para isol-la de sua base. Se a borracha estcomprimida 5 mm pelo peso prprio da prensa, determinar a freqncia natural do sistema.

st

st

g

m

kkmg

rad/s3,44005,0

81,9

st

n

g

m

k

Hz05,72

3,44

2

n

nf

2.20 Um sistema massa-mola possui um perodo natural de 0,21 seg. Qual ser o perodo se a constante de mola (a)aumentada em 50 % ?(b)reduzida em 50 % ?Dados: Tn= 0,21 seg

s21,022

k

mT

n

n

(a)Rigidez aumentada em 50 % ?s171,021,0

5,1

1

5,12

k

mT

n

(b)Rigidez reduzida em 50 % ?s297,021,0

5,0

1

5,02

k

mT

n

2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqncia natural de 10 Hz. Quando a constante de mola reduzida em 800N/m, a freqncia natural alterada em 45 % (a diferena). Determinar a massa e a constante de mola dosistema original.

Dados:fn= 10 Hz, k= 800 N/m.

rad/s201022 nn f

m

k

22 20 mmkn

2055,0

8002080055,0

2

m

m

m

kn

Resolvendo


10/51

kg291,0

2055,01

80022

m

N/m1015,1202905,020 322 mk

2.22 Um oscilador harmnico de massa m= 1 kg e rigidez k= 40 kN/m possui uma freqncia natural prxima freqncia excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqncia naturalem 30% (a diferena). Determinar as possveis mudanas requeridas.

Dados: m= 1 kg e k= 40 kN/m

rad/s2001

40000

m

kn

rad/s1402007,07,01

nn

Mantendo a massa

kN/m6,191401 2211

n

mk

Mantendo a rigidez

kg04,2140

4000022

1

1

n

km

ou uma infinita combinao de parmetros garantido que

rad/s1401n

2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma fora de 100 N paraproduzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola esto agora rigidamente fixadas e uma massa de10 kg colocada no ponto mdio de seu comprimento. Determinar o tempo necessrio para completar um ciclode vibrao quando a massa vibra.

Dados:F= 100 N, = 10 mm e m = 10 kg.

kN/m0,10010,0

100

Fk

Quando dividida em duas a constante de mola se torna

10000

1111

11

kkk

kN/m0,2010000

121

1

kk

Na nova configurao, as duas metades esto associadas em paralelokN/m0,402000022

1 kk

eq

O tempo para cumprir um ciclo

ms3,9940000

1022

k

mT

n

2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pisto com m= 0,3 kg e est suportadopor uma mola helicoidal de d= 1 mm, D= 10 mm, 10 espiras eG= 105 GN/m2. Determinar a freqncianatural da vibrao do pisto se no h leo no cilindro.

Figura 2.11


11/51

Dados: m= 0,3 kg, d= 1 mm,D= 10 mm, n= 10 espiras eG= 105 GN/m2.

kN/m31,101,0108

001,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

rad/s1,663,0

1031,1 3

m

kn

Hz5,10

2

1,66

2

n

nf

2.25 O cilindro de uma vlvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pisto com m= 0,2 kg e suportado por uma molahelicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqncia natural devibrao do pisto se no h fluido na vlvula.

Figura 2.12

Dados: m= 0,2 kg, n= 6 espiras, d= 2 mm,D= 30 mm e G= 105 GN/m2.

kN/m30,103,068

002,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

rad/s5,802,0

1030,1 3

m

kn

Hz8,122

5,80

2

n

nf

2.26 Uma unidade de ar-condicionado est ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade 300kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixapermissvel da constante de cada mola.

Dados: m= 300 kg,fn= entre 32 e 40 Hz.rad/s80a642

nn f

Rigidez24n

mk

MN/m03,3

4

64300 2

min

k

MN/m74,4

4

80300 2

max

k

2.27 Um desumidificador de ar est suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadasfixamente. A massa da unidade de 200 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical sejamaior do que 30 Hz e para vibrao horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissvel para osdimetros das barras.E= 210 GN/m2.

Dados: 4 barras, l= 0,5 m, m= 200 kg,fn> 30 Hz (vertical), 10 Hz fn 15 Hz (horizontal) eE= 210 GN/m2.

rad/s302

rad/s202

maxmax

minmin

nn

nn

f

f

Limites para a rigidez horizontal (flexo)


12/51

MN/m78,130200

kN/m7902020022

maxmax

22

minmin

n

n

mk

mk

Rigidez horizontalflexo (assumindo viga em balano)

49

3

4

9

3 10990

5,0

641021034

34 d

d

l

EIk

mm6,3610990

1078,1

10990

mm9,2910990

10790

10990

49

6

49

max

max

49

3

49

min

min

kd

kd

Rigidez horizontalflexo (assumindo duplo engaste)

412

3

4

9

3 1096,3

5,0

6410210124

124 d

d

l

EIk

mm9,251096,3

1078,1

1096,3

mm1,211096,3

10790

1096,3

412

6

412

max

max

412

3

412

min

min

kd

kd

Rigidez verticaltrao-compressorad/s602

minmin

nn f

MN/m11,760200 22minmin

n

mk

212

2

9

1032,15,0

4102104

4 d

d

l

EAk

mm32,21032,1

1011,7

1032,1 12

6

12

min

min

kd

2.28 Um coletor de lixo limpo est fixado no solo por 4 colunas de seo tubular retangular de espessura 5 cm ecomprimento 0,5 m. A massa da unidade 500 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao horizontalesteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissvel para a largura da sesso tubular.E= 210 GN/m2.

Dados: 4 colunas de seo retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz fn 40 Hz (horizontal) e E =210 GN/m2.

rad/s802

rad/s642

maxmax

minmin

nn

nn

f

f

Limites para a rigidez horizontal (flexo)

MN/m6,3180500

MN/m2,206450022

maxmax

22

minmin

n

n

mk

mk

Rigidez horizontalflexo (assumindo viga em balano)

bb

l

btE

k 63

39

3

3

102105,0

05,010210123

4


13/51

mm15010210

104,31

10210

mm3,9610210

102,20

10210

6

6

6

max

max

6

6

6

min

min

kb

kb

Rigidez horizontalflexo (assumindo duplo engaste)

b

b

l

btE

k 6

3

39

3

3

108405,0

05,01021041212

4

mm6,3710840

104,31

10840

mm1,2410840

102,20

10840

6

6

6

max

max

6

6

6

min

min

kb

kb

2.29 Um purificador de ar est fixado no solo por 6 pilares slidos de ferro de forma retangular, com 100 mm delargura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa daunidade 800 kg. Determinar as freqncias naturais horizontais nas duas direes.E= 210 GN/m2.

Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2.

Rigidez horizontalprimeira direoflexo (assumindo viga em balano)

kN/m492212

05,01,01021036123

63

39

3

3

l

btE

k

rad/s8,24800

10492 3

m

kn

Rigidez horizontalsegunda direoflexo (assumindo viga em balano)

MN/m97,1212

1,005,01021036123

63

39

3

3

l

tbE

k

rad/s

6,49800

1097,1 6

m

kn

Rigidez horizontalprimeira direoflexo (assumindo duplo engaste)

MN/m97,12

05,01,01021061212

63

39

3

3

l

btE

k

rad/s6,49800

1097,1 6

m

kn

Rigidez horizontalsegunda direoflexo (assumindo duplo engaste)

MN/m88,72

1,005,01021061212

63

39

3

3

l

tbE

k

rad/s2,99800

1088,7 6

m

kn


14/51

2.30 Um pequeno compressor est apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0kN/m cada uma, na direo vertical, e 4,0 kN/m na direo horizontal. A massa da unidade 30 kg.Determinar as freqncias naturais para vibraes horizontal e vertical.

Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg.Direo horizontal

rad/s1,23

30

400044

m

kh

nh

Hz68,3

2

09,23

2

nh

nhf

Direo vertical

rad/s0,2030

300044

m

khv

nv

Hz18,32

0,20

2

nh

nhf

2.31 O ncleo mvel de um rel eletromagntico mostrado na Fig. 2.13 possui massa m= 12 gr, e est suportado poruma mola com k= 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que esto montados em lminasflexveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lmina mvel possui comprimento de 20 mm e as

estacionrias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqncia natural com o rel aberto efechado.E= 210 GN/m2.

Figura 2.13

Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2.Com o rel aberto:

rad/s500012,0

3000

m

kn

ou

Hz6,792

500

2

n

nf Com o rel fechado

a) lmina mveldupla viga engastadakN/m161

202,0

12

0008,0006,0102103

2

33

3

9

3

1

1

l

EIk

b) lmina fixaviga engastada


15/51

kN/m8,47015,0

12

0008,0006,0102103

33

3

9

3

2

2

l

EIk

De cada lado ocorre associao em srie de k1e k2

kN/m9,36108,4710161

108,471016133

33

21

21

1

kk

kkk

eq

Estes dois conjuntos esto associados em paralelo

kN/m7,73109,3622 31

eqeq

kk

A freqncia natural com rel fechado ser

rad/s1053,2012,0

300073728 3

m

keq

n ou

Hz4022

1053,2

2

3

n

nf

2.32 Achar a freqncia natural de vibrao do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, comomostrado na Fig. 2.14.

Figura 2.14

xmmgxkxk sin21

sendox1medido a partir da posio de equilbrio esttico 11211

sin xmmgxkxkstst

0sin121121

xkkxmmgkkst

pela condio de equilbrio esttico.A freqncia natural

m

kkn

21

2.33 Determinar a expresso para a freqncia natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezveisas massas das plataformas.

Figura 2.15


16/51

Viga engastada

3

1

11

1

3

l

IEk

Viga bi-apoiada

3

2

22

2

48

l

IEk

Constante de mola equivalente, associao em paralelo

21 kkkeq

Freqncia natural

3

2

22

3

1

1121 483

l

IE

l

IE

W

g

W

kkg

m

keq

n

2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k cortada em duas metades e uma massa m conectada s duas metades comomostra a Fig. 2.16(a). O perodo natural deste sistema 0,5 seg. Se uma mola idntica cortada de forma queuma das partes tenha de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha , com a massa sendo conectadas duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual ser o perodo natural do sistema?

Figura 2.16

Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em srie, de forma quekk 2

1 cada metade

As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidezkkk

eq 42

1

Freqncia natural

5,02224

n

nTm

km

k

2m

k

Para a diviso mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4kk 4

2

Associando 3 em srie

3

4

111

1

222

3

k

kkk

k

Associando k2e k3

316

344

32kkkkkk

eq

Freqncia natural

rad/s5,1423

4

3

4

3

161

m

k

m

kn

Perodo

s433,05,14

221

n

nT


17/51

2.35 Trs molas e uma massa esto presas a uma barra rgida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar afreqncia natural de vibrao do sistema.

Figura 2.17

Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezvel, a 2 Lei de Newton paramovimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relao ao pontoPcomo

03332

22

2

11 xllklklk

De onde se tem que

xlklklk

lk

2

33

2

22

2

11

33

Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2 Lei de Newton pode ser escrita para as foras atuantes namassa

xmxlk 33

Substituindo a segunda expresso na terceira chega-se equao do movimento em x

0

2

33

2

22

2

11

2

22

2

113

x

lklklkm

lklkkx

De onde se extrai a freqncia natural como sendo

2

33

2

22

2

11

2

22

2

113

lklklkm

lklkkn

2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um rel eletro-mecnico.(a)Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv.(b)De determinar o valor da rigidez kque resultar em duas vezes a sua freqncia natural.

Figura 2.18

Equao do movimento

2

22

22a

l

g

WI

lk

O


18/51

022

2

2

2

lka

l

g

W

a) Freqncia natural

222

22

2

4

4

4

4

alW

gkl

al

g

W

lk

n

b) Como a rigidez proporcional ao quadrado da freqncia natural, necessrio quadruplic-la para dobrara freqncia natural.

2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o brao de um mecanismo de elevao de peso. Determinar suafreqncia natural de oscilao em torno do ponto A.

Figura 2.19

Equaes do movimento

xmLxkxLLklk

2

2

2

1 0

Da primeira

Lk

Lklkx

2

2

2

2

1

e

Lk

Lklkx

2

2

2

2

1

substituindo na segunda

02

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

L

Lk

Lklkk

Lk

Lklkm

resultando em

0212

2

2

2

1 lkkLklkm

ou ento

0

2

2

2

1

2

21

Lklkm

lkk

Freqncia natural

22

2

1

2

21

Lklkmlkk

n

2.38 Para o pndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismgrafo:(a)Determinar a freqncia natural.(b)Se a mola k1 removida para que o valor da constante de mola k2a freqncia natural ser zero?


19/51

Figura 2.20

a) Freqncia natural

2211

2

22 mLhkhkmgL

0222

2

11

2 mgLhkhkmL

2

2

22

2

11

mL

mgLhkhkn

b) Com k1= 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que

2

2

2

2

22h

mgLkmgLhk

2.39 Para o pndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relgio:(a)Determinar a freqncia natural.(b)Para que valor da massa m2a freqncia natural ser zero?

Figura 2.21

(a) Equao do movimento

222

2

111122 LmLmgLmgLm

02211

2

22

2

11 gLmgLmLmLm

Freqncia natural

2

22

2

11

2211

LmLm

gLmLmn

(b)

0022112

22

2

11

2211

LmLm

LmLm

gLmLmn

2

1

12L

Lmm


20/51

2.40 Uma barra uniforme rgida de massa me comprimento lest articulada no pontoAe ligada a cinco molas comomostra a Fig. 2.22. Achar a freqncia natural do sistema se k= 2 kN/m, kt= 1 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.

Figura 2.22

Dados: k= 2,0 kN/m, kt= 1,0 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.Momento de inrcia da barra

12

2ml

IG

em relao a A

mllml

mdIIGA

22

2

23

2

12

936

3

612

22222 mlmlmlm

lmlI

A

Equao do movimento

At

Ikl

kl

k

22

3

22

32

09

10

9

22

klk

mlt

Freqncia natural

rad/s1,45510

5200010100091092

2

2

2

ml

klkt

n

2.41 Um cilindro de massa me momento de inrciaJ0rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restritopor duas molas de rigidez k1e k2como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqncia natural de vibrao e o valor de aque maximiza a freqncia natural.


21/51

Figura 2.23

Rotao pura em torno do ponto de contato

222

2

1 mRJaRkaRk

O

0221

2 aRkkmRJO

Freqncia natural

2

21

2

2

21

mRJ

kkaR

mRJ

aRkk

OO

n

Para maximizara=R

2.42 Achar a equao do movimento da barra rgida uniforme AO, de comprimento le massa mmostrada na Fig.2.24. Achar tambm sua freqncia natural.

Figura 2.24

3212

222 mllm

mlJ

O

3

2

2

2

2

1

mlklkak

t

03

2

2

2

1

2

t

klkakml

2

2

2

2

13

ml

klkakt

n

2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, pivotado no ponto Ocomo mostra a Fig. 2.25. Achar a freqncia

natural do sistema.Momento de inrcia em relao ao centro do disco

2

2maJ

C


22/51

Figura 2.25

Equao do movimento

2

2

2mb

mamgb

02

2

2

gbb

a

Freqncia natural

22

2

2

ba

gbn

2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o brao de um sismgrafo vertical.(a)Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv.(b)Determinar o valor da rigidez kque resultar no dobro da sua freqncia natural

Figura 2.26

Equao do movimento

022

22

kamL

mLka

a) Freqncia natural

2

2

mL

kan

b) Rigidez para dobrar a freqncia naturalkk 4

1

2.45 Uma massa m montada na extremidade de uma barra de massa desprezvel e pode assumir trs diferentesconfiguraes como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configurao que proporciona a maior freqncia natural.


23/51

Figura 2.27

a)l

gn

b) 22 mlakmgl

022 akmglml

2

2

2

2

ml

ka

l

g

ml

mglkan

c) 22 mlakmgl

022 mglakml

l

g

ml

ka

ml

mglkan

2

2

2

2

A configurao que proporciona a maior freqncia natural a b).

2.46 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .

Figura 2.28

Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu centro

2212

bam

J

Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro

6

2

1

1

amJ

Massa do quadrado sem o furoespessura unitria2

1 am

Momento de inrcia do crculo em relao ao centro


24/51

822

1 22

2

22

DmDmJ

Massa do crculo (a ser retirada)

4

2

2

Dm

Massa total

4

2

2

21

Dammm

Momento de inrcia total em relao ao centro

442

1

6

1 222221

DDaaJJJ

O

326

44 DaJ

O

Momento de inrcia em relao ao pivTeorema dos eixos paralelos (Steiner)

443262

22

2

442 DDa

DaDmJJ

OP

32

3

46

4224 DDaa

JP

Equao do movimento

P

JD

mg 2

02432

3

46

2

2

4224

DDag

DDaa

Freqncia natural

4224

22

92416

412

DDaa

DagDn


Figura 2.29

Momento de inrcia do crculo externo em relao ao seu centro

8

2

11

DmJ

Momento de inrcia do crculo interno em relao ao seu centro

8

2

22

dmJ

Massa do crculo externoespessura unitria

4

2

1

Dm


25/51

Massa do crculo interno (a ser retirada)

4

2

2

dm

Massa do crculo (a ser retirada)

4

2

2

Dm

Massa total

22214

dDmmm

Momento de inrcia total em relao ao centro

4421

32

1dDJJJ

O

Momento de inrcia em relao ao pivTeorema dos eixos paralelos (Steiner)

4432

1

2

222

44

2

ddDdD

dmJJ

OP

2

3

216

4

22

4 ddD

DJ

P

Equao do movimento

P

Jdmg 2

02

3

22

1 224

22

4

dDgd

ddD

D

Freqncia natural

4224

22

32

4

ddDD

dDgdn


Figura 2.30

Momento de inrcia do crculo externo em relao ao piv

2

2

11

RmJ

Momento de inrcia do crculo interno em relao ao piv

2

2

2

2

2

228

3

48Rm

Rm

RmJ

Massa do crculo externoespessura unitria2

1 Rm

Massa do crculo interno (a ser retirada)

4

2

2

Rm


26/51

Massa total

4

3 2

21

Rmmm

Novo centride

2

0

2

1

2211 Rr

r

mrrmrmc

6

4

3

24

22

Rr

rRRR

c

c

Momento de inrcia total em relao ao piv

32

13

48

3

2

4

2

22

2

21

RR

RRRJJJ

P

Equao do movimento

Pc

Jmgr

064

3

32

13 24

Rg

RR

04

13 gR

Freqncia natural

R

gn

13

4


Figura 2.31

Momento de inrcia do disco superior em relao ao seu centro2

1

11 22

1

d

mJ com massa

4

2

1

1

dm

Momento de inrcia da barra em relao ao piv

2

1

2

222

22212

dlmbl

mJ

com massablm

2


27/51

Momento de inrcia do disco inferior em relao ao piv2

12

3

2

2

33

2222

1

dl

dm

dmJ

com massa

4

2

2

3

dm

Massa total

bldd

dbl

dmmmm 2

2

2

1

2

2

2

1

321444

Novo centride

22

22

0

21

3

1

2

1

332211

dl

dr

ldr

r

mrrmrmrmc

cr

dbl

ddl

ddldbl

4422422

2

2

2

121

2

21

2

2

2

1

21

2

21

42

24

dbld

dlddldblr

c

Momento de inrcia total em relao ao piv

2

12

2

2

2

1224

2

4

1321 2

16221232dld

ddlblbl

blddJJJJ

P

Equao do movimento

0442

24

216221232

0

2

2

2

12

2

2

1

21

2

21

2

12

2

2

2

1224

2

4

1

bldddbld

dlddldbl

dldddl

blblbl

dd

mgrJcP

Freqncia natural

2

12

2

2

2

1224

2

4

1

2

2

2

12

2

2

1

21

2

21

216221232

442

24

dldddl

blblbl

dd

bldddbld

dlddldbl

n


Figura 2.32


28/51

Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro

6

2

1am

JG

Massa do quadradoespessura unitria2

1 am

Momento de inrcia em relao ao piv

3

2

262

4442

1

aaaamJJ

GP

Equao do movimento

0223

2

2

2

2

22

4

2

1

kaa

gaa

Ja

ka

gmP

Freqncia natural

222

)22(3

a

kagn

2.51 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e as massas das barras vertical e horizontal so iguais a m.

Figura 2.33

Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao

2

22

1212

LmbL

mJ

Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao

2222

12mLbL

mJ

Momento de inrcia da total em relao articulao

22221

4

5

6mLbL

mJJJ

P

Novo centride

Lr

Lrmrrmrm

c

2

1

2211 2

Lr

mrmLL

m

c

c

4

3

22

Equao do movimento


29/51

04

32

4

5

6

02

222

LmgmLbLm

mgrJcP

Freqncia natural

22 172

18

Lb

gLn

2.52 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e largura desprezvel.

Figura 2.34

Momento de inrcia da barra em relao articulao

2

22

6

5

2

3

12mLLm

mLJ

Equao do movimento

02

3

6

5

02

3

2

LmgmL

LmgrJ

Freqncia natural

L

gn

5

33

2.53 A velocidade mxima atingida pela massa de um oscilador harmnico simples 10 cm/s, e o perodo deoscilao 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar:(a)a velocidade inicial;(b)a amplitude do deslocamento;(c)a acelerao mxima e(d)o ngulo de fase.Dados: vmax= 10 cm/s, Tn= 2 s,x0= 2 cm.

(a) rad/s2

22 n

nT

tv

txxn

n

n

sincos 0

0

tvtxxnnn

cossin00

20

2

max0

2

0

2

0max xvvvxv

nn

mm/s8,7702,01,0 220 v


30/51

(b) rad/s2

22

n

nT

mm8,310778,0

02,0

2

2

2

02

0

n

vxA

(c) 22

222

max mm/s314

0778,002,08,31

Aan

(d) rad891,002,0

0778,0tantan

1

0

01

nx

v

2.54 Uma mquina possui massa m= 250 kg e seu suporte tem rigidez k= 130 kN/m. Se a mquina em sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:(a)a freqncia natural e(b)a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.Dados: m= 250 kg, k= 130 kN/m ex0= 1 mm.(a) Freqncia natural

rad/s8,22250

130000

m

kn

(b) Equao do movimentomm1

0xA

m8,22cos001,0 tx

2.55 Uma mquina possui massa m= 250 kg e possui freqncia natural para vibrao vertical n= 5140 rad/s. Sea mquina em sua fundao modelada como sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)a rigidez kdo suporte elstico e(b)a equao do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical provocada por

um impacto.

Dados: m= 250 kg, n= 5140 rad/s e v0= 1 mm/s.(a) Rigidez

GN/m60,65140250 22

nmk

(b) mm1095,15140

001,0 40 n

vA

mm5140sin1095,1 4 tx

2.56 Uma mquina possui uma rigidez dos suportes k= 5,5 x 104N/m e tem freqncia natural de vibrao vertical

n= 550 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como um sistema de um grau de liberdade emvibrao vertical, determinar:(a)a massa da mquina e(b)a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130

mm/s na direo vertical.

Dados: k= 5,5 x 104N/m, n= 550 rad/s,x0= 1 mm e v0= 130 mm/s.(a) Massa da mquina

kg182,0550

5500022

n

km

(b) Equao do movimento

mm03,1550

1301

2

2

2

02

00

n

vxX


31/51

rad232,01550

130tantan

1

0

01

x

v

n

tXxn

cos0

mm232,0550cos03,1 tx

2.57 Um instrumento eletrnico tem massa m= 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com uma rigidez k= 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade paravibrao vertical, determinar:(a)a freqncia natural e(b)se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se mxima amplitude de vibrao do

movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente aps o impactoda ferramenta.

Dados: 4 coxins, k= 5400 N/m cada,m= 3,4 kg, w1= 0,5 kgf,X0= 1,7 mm.(a) Freqncia natural

rad/s7,794,3

540044

m

kn

(b) Velocidade

m0017,0

2

1

02

00

n

vxX

m10227,054004

81,95,0 310

k

gmx

rad/s4,745,04,3

540044

1

1

mm

kn

mm/s1254,74227,070,1 221

2

0

2

00

nxXv

2.58 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com rigidezdesconhecida. O instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade paravibrao vertical. Durante um teste, uma massa m1= 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O

impacto foi plstico e a amplitude de vibrao medida foi 2,2 mm com freqncia do movimento verticalresultante igual a 325 rad/s. Determinar:(a)a rigidez de cada um dos quatro coxins elsticos e(b)a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto.Dados: 4 coxins,m= 3,4 kg, m1= 0,5 kg,X0= 2,2 mm e n1= 325 rad/s.(a) Rigidez

kN/m103

4

3255,04,3

4

22

11

nmm

k

(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto

mm0119,0411900

81,95,01

0

k

gmx

mm/s715325100119,00022,0 2322

0200 nxXv

mm/s55777155,0

5,04,30

1

1

0

v

m

mmv

2.59 A massa mcai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezvel, como mostra a Fig. 2.35, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.


32/51

Figura 2.35

k

mgx

0

ghv 20

m

kn

k

mgh

k

mg

m

k

gh

k

m gvxX

n

22 2

2

22

02

00

mg

hk

m

k

k

mg

gh 2tan

2tan 11

Resposta do sistema

mg

hkt

m

k

k

mgh

k

mgx

2tancos

2 12

2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a coliso plstica.Determinar a resposta do sistema.

Figura 2.36

Conservao da quantidade de movimento

010 vmmvm

ghv 20

ghmm

mv 2

1

0

Condies iniciais


33/51

1

0

0

2mm

mghv

k

mgx

Freqncia natural

1mm

k

n

Amplitude do movimento

1

222

1

1

22

02

00

22

mmk

ghm

k

mg

k

mm

mm

ghm

k

mgvxX

n

ngulo de fase

1

1

1

11

0

01 2

tan

2

tantanmmg

hk

k

mg

mm

k

mm

mgh

x

v

n

A resposta do sistema ser tXtx

ncos

0

1

1

11

22 2tancos

2

mmg

hkt

mm

k

mmk

ghm

k

mgx

2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Mtodo de Rayleigh.Dados: m= 0,3 kg, d= 1 mm,D= 10 mm, n= 10 espiras eG= 105 GN/m2.

kN/m31,1

01,0108

001,010105

8

3

49

3

4

nD

Gdk

tXx

tXx

nn

n

sin

cos

0

0

2

max

2

max

maxmax

2

1

2

1kxxm

UT

2

0

2

0

2

2

1

2

1kXXm

n

rad/s1,663,0

1031,1 3

m

kn

Hz5,102

1,66

2

n

nf

2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Mtodo de Rayleigh.Dados: m= 0,2 kg, n= 6 espiras, d= 2 mm,D= 30 mm e G= 105 GN/m2.

kN/m30,103,068

002,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

tXx

tXx

nn

n

sin

cos

0

0


34/51

2

max

2

max

maxmax

2

1

2

1kxxm

UT

2

0

2

0

2

2

1

2

1kXXm

n

rad/s5,80

2,0

1030,1 3

m

kn

Hz8,122

5,80

2

n

nf

2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Mtodo da Energia.a) Freqncia natural utilizando o Princpio da Conservao da Energia

2

2

22

2

11

2

1

cos2

1

2

1

LmT

LLmghkhkU

0sin 22222

11 mLmglhkhkUTdtd

sin 02

22

2

11

2 mgLhkhkmL

2

2

22

2

11

mL

mgLhkhkn

b) Com k1= 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que

2

2

2

2

22h

mgLkmgLhk

2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Mtodo da Energia.(a) Freqncia natural

222

2

11

2211

2

1

2

1

cos1cos1

LmLmT

gLmgLmU

0sinsin2211

2

22

2

11 gLmgLmLmLmUT

dt

d

sin 0

2211

2

22

2

11 LmLmLmLm

2

22

2

11

2211

lmlm

glmlmn

(b) 00

22112

22

2

11

2211

lmlm

lmlm

glmlmn

2

1

12l

lmm

2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Mtodo da Energia.Dados: k= 2,0 kN/m, kt= 1,0 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.Momento de inrcia da barra


35/51

12

2mlI

G

em relao a A

mllml

mdIIGA

22

2

23

2

12

936

3

612

22222 mlmlmlm

lmlI

A

Equao do movimento

09

10

9

22

tk

klmlUT

dt

d

0910 22 tkklml Freqncia natural

rad/s1,45510

5200010100091092

2

2

2

ml

klkt

n

2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Mtodo da Energia.Energia cintica

222

1mRJT

O

Energia potencial

2

112

1aRkkU

0211

2 aRkkmRJUTdt

dO

0221

2 aRkkmRJO

Freqncia natural

2

21

2

2

21

mRJ

kkaR

mRJ

aRkk

OO

n

Para maximizara=R

2.67 Um cilindro circular de massa me raio r ligado a uma mola de mdulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizandoo Mtodo da Energia, achar a freqncia do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfciespera.

Energia cintica

222

2

1

2

1

mrmrT

2

22

2

2

2

2

1

2

1

3

2

2

1

32

12

A

t

IT

kl

kl

kU

02

12

9

1022

2

tA k

lk

lk

lIUT

dt

d


36/51

Figura 2.37

Energia cintica

222

2

1

2

1

mrmrT

Energia potencial

22

1rkU

02

3 22 krmrUTdt

d

02

3

km

Freqncia natural

m

kn

3

2

2.68No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensvel. Achar afreqncia natural de vibrao, utilizando o Mtodo da Energia.

Figura 2.38

Energia cintica

22

2

2

1 2

1

2

1

2

1

JxMxmT

com2

,,22121

rxrxxx e 2

2

1MrJ

222

2

22

22

22

2

4

34

2

1

242

1

22

1

22

1

2

1

MrmrMrMrmr

MrrMrmT

Energia potencial

2

22

2

242

1

22

1

2

1

krrkkxU


37/51

Conservao da energia

044

34 222

krMrmrUT

dt

d

Equao do movimento

034 kMm Freqncia natural

Mmkn

34

2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfcie de raio R, como mostra a Fig. 2.39.Determinar a freqncia de oscilao quando o cilindro ligeiramente deslocado da sua posio de equilbrio.Use o Mtodo da Energia.

Figura 2.39

Energia cinticarotao pura em relao ao ponto de contato

22

2

22

1

mr

mrT

Energia potencial cos1 rRmgmghU

condio de rolamento puro

rrRrrRrrR Conservao da energia

0sin2

3 2 rRmg

mrUT

dt

d

Linearizando e substituindo os ngulos

02

3 2

rR

r

rR

rrRmg

mr

02

3

rR

g

Freqncia natural

rRg

n

3

2

2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s parada no final dos trilhos poruma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola 40 kN/mm e a constante de amortecimento 20kN.s/m determinar:(a)o deslocamento mximo da locomotiva aps atingir o sistema e(b)o tempo gasto para atingir o seu deslocamento mximo.


38/51

Dados: m= 60 103kg, v= 20 m/s, k= 40 kN/mm e c= 20 kN.s/m.

(a) deslocamento mximo

rad/s8,251060

10403

6

m

kn

00645,08,2510602

1020

2 3

3

nm

c

rad/s8,258,2500645,011 22 nd

Comx0= 0 e v0= 20 m/s

m775,08,25

2002

0

2

00

dd

n vx

xvX

rad2

tantan 1

0

001

d

n

x

xv

m2

8,25cos775,0cos 16 7,0

tetXetx t

d

tn

teteXtxd

t

dd

t

n

nn sincos

00 txxmx 0sincos

00 tt

dddn

22

0

0

0

11tan

cos

sin

n

n

d

n

d

d

d tt

t

s0606,0200645,01

00645,0tan

8,25

1

1tan

1

2

1

2

1

0

d

t

m767,02

0606,08,25cos775,0 0606,016 7,00

etx

(b) tempos0606,0

0t

2.71 Um oscilador harmnico possui massa m= 1,2 kg, constante de amortecimento c= 12 N.s/m e constante demola k= 0,5 kN/m. Determinar:(a)A freqncia natural amortecida.(b)O fator de amortecimento e o decremento logartmico.

Dados: m= 1,2 kg, c= 12 N.s/m e k= 0,5 kN/m..(a) Freqncia natural amortecida

rad/s4,202,1

500

m

kn

245,04,202,12

12

2

nm

c

rad/s8,194,20245,011 22 nd

(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico245,0

59,1245,01

245,02

1

222

2.72 A razo entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido 18:1.Determinar a mesma relao de amplitudes se a quantidade de amortecimento (a)dobrada, ou


39/51

(b)reduzida para a metade.Dados: razo entre amplitudes sucessivas = 18:1.

89,218lnln2

1 x

x

Fator de amortecimento

418,0

89,22

89,2

2 2222

Constante de amortecimento

nmc 2

(a) Dobrando cdobra

57,9

418,021

418,022

1

2

22

357,9

2

1 103,14 eex

x

(b) Reduzindo pela metade

34,1

2

418,01

2

418,02

1

2

22

83,334,1

2

1 eex

x

2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilaes por segundo e em 50 ciclos suaamplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logartmico e o fator deamortecimento. Qual ser o percentual de diminuio do perodo de oscilao se o amortecimento forremovido?

Dados:f= 5 Hz, 50 ciclosamplitude cai para 10% da inicial.

0461,01,0

ln501ln1

1

1

1

1

xx

xx

mm

00733,0

0461,02

0461,0

2 2222

s2,05

1

dT

Sem amortecimento

s199995,05

00733,0111 22

dn

nff

T

O percentual de reduo de 0,00269 %.

2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crtico de 20N.s/m, e um decremento logartmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar odeslocamento mximo do mesmo.

Dados: k= 5000 N/m, cc= 20 N.s/m, = 2,0 e v0= 1 m/s.Fator de amortecimento

303,0

0,22

0,2

2 2222

A constante de amortecimento crtico permite determinar a massa do sistema


40/51

kg02,050004

20

422

22

k

cm

m

c

m

kmc cc

nc

Ento

rad/s50002,02

20

n e rad/s476500303,011 22

nd

A expresso para o movimento

tXetx dtn

cos

com m00210,04,476

10 d

vX

e rad

20

1tantan 1

0

01

nx

v

O deslocamento mximo ocorre quando a velocidade se anula

0sincos111

11 tXetXetxd

t

cd

t

n

nn

s00265,01

tan2

1sincos0

2

1

111

d

dcdn ttt

O deslocamento mximo ser o deslocamento no tempo t1

m00134,02

00265,0476cos00210,0 00265,050 030 3,0

ex

mx

2.75 Um oscilador harmnico possui massa m= 30 kg e constante de rigidez k= 100 kN/m. Determinar:(a)A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1.(b)O decremento logartmico e a freqncia natural amortecida.Dados: m= 30 kg, k= 100 kN/m e = 0,1.(a) Constante de amortecimento

N.s/m346100000301,02222 mkm

kmmc

n

(b) Decremento logartmico e freqncia natural amortecida631,0

1,01

1,02

1

2

22

rad/s4,575001,011

rad/s7,5730

100000

22

nd

nm

k

2.76 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c= 3,8 N.s/m, econstante de rigidez k= 1500 N/m. Determinar:(a)O fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida.(b)A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.Dados: m = 45 gr, c= 3,8 N.s/m, k= 1500 N/m ex0= 1 mm.(a) fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida:

rad/s183

045,0

1500

m

kn

231,0183045,02

8,3

2

nm

c

49,1231,01

231,02

1

2

22

rad/s178183231,011 22 nd

(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.


41/51

2

0

2

00 xxv

Xd

n

com v0= 0 ex0= 1 mm.

m1003,1001,0178

001,0183231,0 322

X

rad233,0231,01

231,0tan1

tan2

1

2

1

mm233,0178cos03,1 2,42 tex t

2.77 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m= 3 kg e constante de rigidez k= 500 N/m. O decrementologartmico medido foi 2,5. Determinar:(a)O fator de amortecimento.(b)A freqncia natural amortecida.Dados: m= 3 kg, k= 500 N/m e = 2,5.(a)O fator de amortecimento.

370,05,22

5,2

2 2222

(b)A freqncia natural amortecida.rad/s9,12

3

500

m

kn

rad/s0,129,12370,011 22 nd

2.78 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m= 8 kg e constante de rigidez k= 1,2 MN/m. Determinar:(a)O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida para um decremento logartmico 0,05.(b)A constante de amortecimento.Dados: m= 8 kg, k= 1,2 MN/m e = 0,05.

(a)O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida

3

22221096,7

05,02

05,0

2

rad/s3878

102,1 6

m

kn

rad/s38738700796,011 22 nd

(b)A constante de amortecimentoN.s/m3,49387800796,022

nmc

2.79 Uma mquina possui massa m= 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m erigidez k= 130 kN/m. Se a mquina e sua base modelada para vibrao vertical como um sistema de um graude liberdade, determinar:(a)A freqncia natural amortecida.(b)A expresso para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.Dados: m= 250 kg, c= 1,45 kN.s/m, k= 130 kN/m ex0= 1mm.(a)A freqncia natural amortecida.

rad/s8,22250

130000

m

kn


42/51

127,08,222502

1450

2

nm

c

rad/s6,228,22127,011 22 nd

(b) A expresso para o movimento resultante2

0

2

00 xxv

Xd

n

com v0= 0 ex0= 1 mm.

m1001,1001,06,22

001,08,22127,0 322

X

rad128,0127,01

127,0tan

1tan

2

1

2

1

mm128,06,22cos01,1 90,2 tex t

2.80 Uma mquina possui massa m= 250 kg e freqncia natural amortecida para vibrao vertical d= 5140 rad/s.Atravs da medio do decremento logartmico achou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a mquina esua base modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibrao vertical, determinar:(a)A rigidez kdo suporte elstico.(b)O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.Dados: m= 250 kg, d= 5140 rad/s, = 0,12 e v0= 1mm/s.(a)A rigidez kdo suporte elstico.

GN/m70,612,01

5140250

1 2

2

2

2

d

mk

(b)O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.rad/s5177

250

10701,6 9

m

kn

v0= 1mm/s

m101955140

001,0 9020

2

00

dd

n vxxvX

2

m2

5140cos10195 62 19

tex t

2.81 Uma mquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqncia natural de vibrao verticalamortecida d= 255 rad/s. Medindo-se o decremento logartmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a mquina e sua base so modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)A massa da mquina.(b)O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na

direo vertical.

Dados: k= 55 kN/m, d= 255 rad/s, = 0,18,x0= 1mm e v0= 130mm/s.(a)A massa da mquina.

kg818,0

255

18,015500012

2

2

2

d

km

(b)O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s nadireo vertical.


43/51

rad/s2,2598184,0

55000

m

kn

mm22,1001,0255

001,025918,013,0 2

2

0

2

00

x

xvX

d

n

rad606,0

255001,0

001,025918,013,0tantan 1

0

001

d

n

x

xv

mm606,0255cos22,1 7,46 tex t

2.82 Um instrumento eletrnico possui massa m= 3,4 kg e est apoiada em quatro coxins de elastmero com rigidezk= 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logartmico, = 0,20. Se oinstrumento e seus apoios modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)A freqncia natural.(b)Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibrao de 1,7

mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.

Dados: m= 3,4 kg, k= 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1= 0,5 kg eX= 1,7 mm.(a) Freqncia natural

rad/s7,794,3

54004

m

kn

(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramentaX

v xx

n

n

0 0

2

2

0

2

1

Explicitando para v0

0

2

0

2

0 xxXv

nd

Com mm227,054004

81,95,010

k

gmx e a nova freqncia natural igual a

rad/s4,745,04,3

54004

n

e

rad/s9,724,742,01 2 d

a velocidade inicial resulta

mm/s126000227,04,742,0000227,00017,09,72 220 v

2.83 Um voltmetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumnio (= 2700 kg/m3) de comprimento l= 50mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100

N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crtico posicionado a um raio r = 8 mm. Durante umamedida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem desligada, determinar o tempo requerido para o

ponteiro retornar indicao de 1 volt.


44/51

Figura 2.40

Dados: = 2700 kg/m3, l= 50 mm, b= 3 mm, t= 1 mm, k= 100 N.mm/rad, r= 8 mm,X1= 80 volts eX2= 1volt.Massa

kg10405,005,0001,0003,02700 3 btLm

Equao do movimento

033

03

22

2

2

2

mL

k

Lm

rc

kcrmL

Jrcrk

t

t

t

Freqncia natural

rad/s3,54405,01005,4

1,033242

mL

kt

n

Equao do movimento com amortecimento crtico

tn

nett

000

Com rad80

0

K e 00

tn

netKt

180

Para rad11

Kt

111

1801 t

n

netKKt

De ondes01172,0

1t

2.84 Um medidor de nvel de gua mostrado na Fig. 2.41 possui uma bia cilndrica de 100 mm de dimetro (massadesprezvel), uma barra com massa 0,5 kg, l= 70 mm eL= 420 mm. Determinar a constante de amortecimentorequerida para produzir amortecimento crtico.

Figura 2.41

Dados: d= 100 mm, m= 0,5 kg, l= 70 mm eL= 420 mm.Equao do movimento

04

33

342

2

2

22

m

dg

Lm

lc

LmLgdLllc

Freqncia natural

rad/s5,215,04

1,081,910003

4

3 22

m

dgn

Amortecimento crtico


45/51

2

2

2

2

3

22

3

l

Lmc

Lm

lc n

cn

N.s/m25807,03

5,2142,05,022

2

cc

2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfcie seca sob a ao de uma mola de rigidez 10 N/mm.Aps quatro ciclos completos a amplitude 100 mm. Qual o coeficiente de atrito mdio entre as duas

superfcies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos?

Dados: m= 10 kg, k= 10 N/mm, 4 ciclos completos,X4= 100 mm,X0= 150 mm.

Queda de amplitude:k

N2a cada meio ciclo

4 ciclos

k

N22410100150 3

Como kg1,9881,910 mgN

Ento 0,31998,116

100001050 3

O movimento cessar aps rmeio ciclos

ciclosmeio245,23

10000

1,983186,0210000

1,983186,015,0

2

0

k

Nk

Nx

r

O tempo para que se execute 4 ciclos

s795,010000

102424

24

4

k

mt

n

ciclos

Tempo de parada

s38,22

199,024

2

Trt

f

2.86 Uma massa de 20 kg est suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa estsujeito a uma fora de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola inicialmente deslocada de 5,5 cm

para baixo de sua posio de equilbrio esttico determinar:(a)o nmero de meio ciclos transcorridos at que atinja o repouso;(b)o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e(c)o alongamento final da mola.Dados: m= 20 kg, k= 10000 N/m,Fa= 50 N ex0= 5 cm.(a) Nmero de meio-ciclos at o repouso

ciclosmeio5

10000

50210000

50055,0

2

0

k

Nk

Nx

r

(b) Tempo transcorrido at atingir o repousos281,0

10000

2022

2

k

mT

n

s702,02

281,05

2

Trt

f

(c) Posio em que ocorrer a parada m005,0

10000

5025055,0

20

k

Nrxtx

f


46/51

2.87 A massa m= 2 kg de um oscilador harmnico linear com k= 500 N/m desliza em uma superfcie horizontal

com coeficiente de atrito esttico s= 0,2 e cintico = 0,08.(a)Determinar o mximo valor do deslocamento inicial que no resultar em qualquer movimento devido

fora de atrito.(b)Determinar o nmero de ciclos para a vibrao iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm at parar

completamente.

Dados: m= 2 kg, k= 500 N/m, s= 0,2 e c= 0,08.(a) Deslocamento inicial mximo mm85,7

500

81,922,0max0

k

Nx s

(b) Nmero de ciclos at a parada

ciclos2ciclosmeio448,3

500

81,9208,02500

81,9208,0025,0

2

0

k

Nk

Nx

r

2.88 Um painel construdo por uma fibra composta especial reforada se comporta como um sistema de um grau deliberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relao entre amplitudes sucessivas 1,1. Determinar o

valor da constante de amortecimento histertico , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceqe aenergia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm.

Dados: m= 1 kg, k= 2 N/m, relao entre amplitudes sucessivas = 1,1 eX= 10 mm.Decremento logartmico

0953,01,1ln Fator de amortecimento viscoso equivalente

0152,0

0953,02

0953,0

2 2222

Freqncia natural

rad/s41,1

1

2

m

kn

Freqncia do movimento amortecido

rad/s41,141,10152,011 22 nd

Constante de amortecimento viscoso equivalentes/mN0429,041,110152,022

neq mc

Coeficiente de amortecimento histertico

03033,02

414,104290,0

k

cdeq

Energia dissipada por ciclo

)(N.mJ101,1901,041,10429,0 622 XcWdeq

2.89

Uma viga engastada com rigidez flexo de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. Amassa deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude aps 100 ciclosdo movimento 20 mm estimar a constante de amortecimento histertico da viga.

Dados: k= 200 N/m, m= 2 kg,x0= 30 mm ex100= 20 mm.Decremento logartmico

00405,002,0

03,0ln

100

1ln

1

1

1

mx

x

m

Fator de amortecimento viscoso equivalente


47/51

000645,0

00405,02

00405,0

2 2222

Freqncia natural

rad/s0,102

200

m

kn

Freqncia do movimento amortecido

rad/s0,1010000645,011 22

nd Constante de amortecimento viscoso equivalente

s/mN0258,0102000645,022 neq

mc

Coeficiente de amortecimento histertico

00129,0200

100258,0

k

cdeq

2.90 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotaoJ= 1,2 kg.m2 e rigidez torsional kt= 8500 N.m/rad. Determinar a freqncia natural torsional em rad/seg, Hz, eCPM (ciclos por minuto).

Dados:J= 1,2 kg.m2 e kt= 8500 N.m/rad.

rad/s2,842,1

8500 Jkt

n

cpm804Hz4,132

2,84

2

n

nf

2.91 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J= 10 kg.m2e seu perodo natural de vibrao foi medido em um osciloscpio, sendo igual a 35 ms. Determinara sua rigidez torsional.

Dados:J= 10 kg.m2e Tn= 35 ms.

rad/s180035,0

22

n

nT

kN/m32218010 22 nt Jk

2.92 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J= 1 kg.m2e rigidez torsional kt= 40000 N.m/rad possui uma freqncia natural muito prxima freqnciaexcitadora. Decidiu-se que o momento de inrcia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqncianatural em 30%. Determinar a mudana requerida em cada opo.

Dados:J= 1 kg.m2, kt= 40000 N.m/rad.Freqncia natural

rad/s2000,1

40000

J

kt

n

Reduo de 30%

rad/s1401n Alterao no momento de inrcia

2

2

1

1 kg.m04,2

n

tk

J

Alterao na rigidez

rad

mN196002

11

nt Jk

2.93 O rotor P de uma bomba centrfuga (Fig. 2.42) est conectada a um motor que gira com velocidade angularconstante , atravs de um acoplamento flexvel com constante de rigidez torsional KT e um par de


48/51

engrenagens com raios r1 e r2e momentos de inrcia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor dabomba possui momento de inrcia de massa polar JP. Determinar a freqncia natural da oscilao torsional,assumindo que os eixos de conexo so rgidos.

Figura 2.42

Energia cintica

2

2

2

22

2

112

1

2

1

2

1

PJJJT

Relao de transmisso

1

2

1

22211

r

rrr

Resultando em uma energia cintica

2122

2

2

1

12

1

PJJ

r

rJT


2

2

2

12

2

21

r

rJJrJJ P

eq

Freqncia natural

212

2

21

2

2

rJJrJ

rk

J

k

P

T

eq

Tn

2.94 Determinar a freqncia natural de oscilao do pndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenasoscilaes em torno da posio de equilbrio.


49/51

Figura 2.43

Equaes do movimento

22

2

222222

11

2

111111

sin

sin

JLmFrgLm

JLmFrgLm

Relao de transmisso

221122112211 rrrrrr

Da segunda das equaes do movimento, linearizando

2

2222

2

222

r

gLmLmJF

SubstituindoFe as relaes da transmisso na primeira das equaes do movimento chega-se a

0122

2

2

1

111

2

222

2

2

12

111

gLm

r

rgLmLmJ

r

rLmJ

Cuja freqncia natural

2222

2

2

12

111

22

2

2

1

11

LmJr

rLmJ

gLmr

rgLm

n

2.95 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotaoJ= 1 kg.m2e rigidez torsional kt= 10000 N.m/rad possui uma freqncia de oscilao torsional igual a 96rad/seg, ao invs dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzidano sistema diminuindo a freqncia de oscilao. Determinar o fator de amortecimento.

Dados:J= 1 kg.m2, kt= 10000 N.m/rad, n= 100 rad/s, d= 96 rad/s,

Freqncias natural e do movimento amortecidon

21 d

De onde o fator de amortecimento pode ser obtido

280,0100

9611

22

n

d

2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) est conectado a uma mola e a um amortecedor torcionaisformando um sistema de um grau de liberdade. A escala graduada em divises iguais e a posio de equilbriodo rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10 -3 N.m aplicado estaticamente, o


50/51

deslocamento angular do rotor 50ocom o ponteiro mostrando 80 divises da escala. Quando o rotor liberadode sua posio, o ponteiro balana primeiro para -20 divises em um segundo e depois para 5 divises no outrosegundo. Achar:(a)A constante de mola torsional;(b)O perodo natural no amortecido do rotor;(c)O momento de inrcia de massa do rotor,(d)A constante de amortecimento torsional.Dados:Mt= 210-3N.m, 0= 50o80 divises da escala, 0,5-20 divises e 15 divises(a) Constante de mola torsional

m/radN1029,2

18050

102 33

t

t

Mk

(b) Perodo natural no amortecidoO perodo amortecido 2 s. Para determinar o perodo no amortecido necessrio calcular o fator deamortecimento, que exige o conhecimento do decremento logartmico.

77,25

80lnln

1

0

K

K

O fator de amortecimento

404,0

2 22

A relao entre os perodos

s83,12404,011 22 dn TT

(c) Momento de inrcia do rotor necessrio conhecer a freqncia natural que

rad/s43,383,1

22

n

nT

De forma que o momento de inrcia

26

2 mkg10194

n

t

O

kJ

(d) Constante de amortecimento torsionals/radmN105392 6 nOt

Jc

2.97 Um pndulo torsional tem uma freqncia natural de 200 cpm quando vibrando no vcuo. O momento deinrcia de massa do disco 0,2 kg.m2. Quando est imerso em leo sua freqncia natural 180 cpm.Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no leo, sofre um deslocamento inicial de2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo.

Dados:fn= 200 com,J= 0,2 kg.m2,fd= 180 com e 0= 2

o.Fator de amortecimento

436,0200

18011

22

n

d

f

f

Constante de amortecimento torsional

s/radmN3,6560

22002,0436,022

nOt Jc

Amplitude angular

rad0388,0180

2

60

2180

1802

60

2200436,00 2

2

2

0

2

00

d

n

ngulo de fase


51/51

rad451,0180

200436,0tan

60

2180

1802

1802

60

2200436,00

tantan

1

1

0

001

d

n

Perodo da oscilao amortecidas333,0

60

2180

22

d

dT

Posio angular aps o primeiro ciclo (transcorrido um perodo de oscilao)

rad1066,1cos 3 dd

T

d TeT dn

Exercícios Resolvidos de Mola

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