Exercícios Resolvidos e Propostos - Probabilidade e Estatística

7/27/2019 Exerccios Resolvidos e Propostos - Probabilidade e Estatstica

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Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados emExerccios, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Aula 8 - Questes Comentadas e Resolvidas

Varivel Aleatria: definio, funo discreta de probabilidade, funo

de distribuio de probabilidade, funo densidade de probabilidade.Valor Esperado: mdia, varincia e valor esperado de funo devarivel aleatria. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuiesde probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.).

1. (Analista do BACEN/rea 3/2005/FCC) O nmero de televisoresmodelo M vendidos diariamente numa loja uma varivel aleatria discreta(X) com a seguinte distribuio de probabilidades:

O preo unitrio de venda do televisor modelo M de R$ 1.000,00. Se numdeterminado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$3.000,00, a probabilidade dela ser positiva

A) 20%

B) 30%

C) 50%D) 60%

E) 75%

Resoluo

PRELIMINARES

A Noo de Varivel Aleatria

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Uma varivel aleatria uma descrio numrica do resultado de umexperimento.

Por exemplo, considere o experimento "contactar cinco clientes". Seja X avarivel aleatria que representa o nmero de clientes que colocam um pedidode compra. Ento os valores possveis de X so 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Uma varivel aleatria X denominada discreta se assume valores numconjunto contvel ou enumervel (como o conjunto dos nmeros inteiros Z ouo conjunto dos nmeros naturais N) , com certa probabilidade. Formalmente,uma varivel aleatria uma funo, e no uma "varivel" propriamente

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniordita. A varivel aleatria do exemplo anterior discreta. Tambm soexemplos de variveis aleatrias discretas:

Nmero de coroas obtido no lanamento de duas moedas;

Nmero de itens defeituosos em uma amostra retirada,aleatoriamente, de um lote;

Nmero de defeitos em um carro que sai de uma linha deproduo.

Vejamos um outro exemplo. Considere o lanamento de duas moedasmencionado acima. O espao amostral (isto , o conjunto de todos osresultados possveis do experimento)

Voltemos resoluo da questo. Muitas vezes, o fato de sabermos que certoevento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribumos a

outro evento. Denotamos por P(A|B) a probabilidade do evento A, sabendo queB ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. Temos

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{(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)},

e os valores que a varivel aleatria X (nmero de coroas) pode assumir so

X = {0, 1, 2}.

Observe que o valor x = 0 est associado ao resultado (cara, cara), o valor x =1 est associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2est associado ao resultado (coroa, coroa).

Uma varivel aleatria contnua uma funo que associa elementos do

espao amostral ao conjunto dos nmeros reais (conjunto no enumervel).Exemplos de variveis aleatrias contnuas:

Tempo de resposta de um sistema computacional;

Volume de gua perdido por dia, num sistema de abastecimento;

Resistncia ao desgaste de um tipo de ao, num teste padro.

A questo pede que o candidato calcule a probabilidade de a receita de vendasnum dado dia ser positiva sabendo-se que ela inferior a R$ 3.000,00 naquelemesmo dia, ou seja, deve ser calculada a probabilidade condicional

P(receita de vendas > 0 | receita de vendas < R$ 3.000,00).

Ora, a probabilidade acima igual probabilidade


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X 0 1 2 3P(x) 0,20 0,30 0,30 0,20

2. (BACEN/rea 2/2010/CESGRANRIO/Adaptada) A varivel aleatriacontnua x tem a seguinte funo de densidade de probabilidade:

PRELIMINARES


em que X a varivel aleatria que denota o nmero de televisores modelo M

vendidos diariamente.

Precisamos encontrar o valor da incgnita p para resolver a questo. Para tal,usaremos a equao

p + 1,5p + 1,5p + p = 1

Ento,

Assim:

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,20 + 0,60 = 0,80

Logo,

75%

GABARITO: E

para todos os outros valores de x.

Sendokuma constante, seu valor igual a

A) 1

B) -3/4

C) 2/3

D) -5/24

E) 1/12

Resoluo

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Funo Densidade de Probabilidade

Diz-se que f(x) uma funo contnua de probabilidade ou funo densidade

de probabilidade para uma varivel aleatria contnua X, se satisfaz duascondies:

A figura abaixo mostra o significado geomtrico da frmula acima: a

2. a rea definida por f(x) igual a 1.

A condio 2 dada pela integral (memorize para a prova!)

A figura a seguir ilustra uma funo densidade que satisfaz:que T uma constante, para = 0 para os demais valores,

Para calcular probabilidades, temos que, para

igual a rea sob f(x) no intervalo [a,b].


de maneira que a funo tem a forma de um pulso retangular. Observe quef(x) deve ser igual a 1/T para pois a rea sob a funo densidade unitria (como a base do pulso T, ento a altura do pulso deve ser 1/T,para que a rea do pulso seja igual a 1).


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Observe que a probabilidade de ocorrncia de um dado valor isolado "k" sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0.

Gostaramos de apresentar para vocs um "bizu" de integrao antes deprosseguir com a resoluo da questo. De acordo com a frmula de Newton-Leibniz, temos que

Podemos generalizar a integrao exemplificada acima para integrandos dotipo g(x) = xn, em que n um valor inteiro:


Voltemos resoluo. Para determinar o valor de k, basta lembrar que a reasob a funo densidade de probabilidade f(x) unitria:

b. A funo F(x) denominada primitiva de g(x).

x3. Assim,

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Vamos retornar para a resoluo? Precisamos substituir a funo f(x) na

Resoluo

Deve-se descartar as opes A, C e E, pois a probabilidade de X cair nointervalo [a,b] dada pela seguinte integral (observe que o enunciado afirma


GABARITO: D

3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF)Se a varivel X pode assumir um conjuntoinfinito (contnuo) de valores, o polgono de freqncia relativa de umaamostra torna-se uma curva contnua, cuja equao Y = p(X). A rea totallimitada por essa curva e pelo eixo dos X igual a 1 e a rea compreendidaentre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na rea totalda curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b dada por

composta pela soma de P(X=a) + P(X=b).

composta pela integral de P(X=a) at P(X=b).

composta pela soma de P(X=a) - P(X=b).

composta pela integral de P(X=a) at P(X=b).

composta pela P(X=b), de forma cumulativa at o ponto b.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorque "(..) o polgono de freqncia relativa de uma amostra torna-se uma curvacontnua"):

A opo D incorreta porque o sinal da desigualdade est trocado (P(a>X>b)no lugar de P(a


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Se X for uma varivel aleatria discreta que pode tomar os valores x1, x2, ...,xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), ento a mdia de X definida por

em que E denota ooperador esperana matemtica.A mdia de X tambm

O valor esperado de uma varivel aleatria contnua X com densidade deprobabilidade fX(x) dado pela integral

Voltemos resoluo. Primeiramente, devemos descartar as opes D e E,pois a mdia de uma varivel aleatria um nmero. Observe que as opesapontadas so funes de x e no nmeros!

Vimos que o clculo da esperana E[X] da varivel aleatria contnua X feitopela integrao

Observe que a funo densidade de probabilidade nula para x < -1 e x > 0.

Logo o limite inferior da integral -1 e o superior 0. Portanto,

GABARITO: C


usualmente representada por(leia-se "mi").

(leia-se "X barra") ou pela letra grega

Se a varivel aleatria discreta X puder tomar um nmero infinito de valores,ento a frmula anterior pode ser generalizada na forma

Como a primitiva da integral temos que

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5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra a distribuio de freqnciasrelativas populacionais (f')de uma varivelX:

X f '- 2 6a1 1a2 3a

Sabendo que "a" um nmero real, ento a mdia e a varincia de X so,respectivamente:


PRELIMINARES

Valor Esperado de Funo de Varivel Aleatria

SejaX uma varivel aleatria discreta com funo de probabilidadefX(xi) eg(X) uma funo de X. Ento ovalor esperado de g(X)

Resoluo

Caso X seja uma varivel aleatria contnua com densidade deprobabilidadefX(x), ovalor esperado de g(X) dado por

Se g(X) = g1(X) + g2(X), em que g1(X) e g2(X) tambm so funes de X, entovale

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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorRelacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperanamatemtica E(.). Sejam "a" e "c" valores constantes e X uma varivel aleatria(tanto faz se contnua ou discreta), ento valem:


1."c";

a mdia de um nmero qualquer "c" o prprio nmero

a mdia de uma varivel multiplicada por umnmero igual ao nmero multiplicado pela mdia de X;

a mdia da soma de um nmero qualquer

"a" com a varivel X multiplicada por um nmero qualquer c igual soma do nmero "a" com a mdia de X multiplicada por "c".

O Conceito de Varincia

Sejam X uma varivel aleatria (discreta ou contnua)

funo de X. Define-se a varincia de X (denotada por var(X)

valor esperado

Desenvolvamos a expresso acima.

pois colocamosigualdade e

em evidncia no segundo termo do lado direito da

A varincia de X igual a mdia do quadrado de X subtrada damdia de X ao quadrado (memorize para a prova!).

Sejam "a" e "c" constantes e Z = a + cX. Observe que Z uma transformaolinear de X, porque Z = a+cX define a equao de uma reta com declividade"c" e intercepto "a". No difcil demonstrar que vale a propriedade

A raiz quadrada positiva da varincia chamada de desvio-padro ouerro-padro, sendo denotada pelo smbolo (memorize para a prova!).


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Voltemos questo. Em primeiro lugar, deve-se eliminar a opo B, pois noexiste varincia com valor negativo. Assim, esta opo absurda.

Soma das Freqncias Relativas = 6a + 1a + 3a = 10a = 1.Logo a = 0,1.

X f ' X.f ' X2.f '- 2 6a = 6 x 0,1 = 0,6 -1,2 2,41 1a = 1 x 0,1 = 0,1 0,1 0,12 3a = 3 x 0,1 = 0,3 0,6 1,2

Total 1 -0,5 3,7

Vimos que a mdia de uma varivel aleatria discreta calculada pela frmula

Cenrio Lucro (R$) Distribuio deProbabilidades do Cenrio

Bom R$ 8 000,00 0,25Mdio R$ 5 000,00 0,60Ruim R$ 2 000,00 0,15

A expectncia e a varincia do lucro so, em R$ e (R$)2

, respectivamente,

A) 5 500,00 e 3 160,00


Para a questo temos

podemos eliminar as

opes C e E (sobraram A e D).

A varincia dada por

sendo que (reparou que a opo D uma

"pegadinha"?). Logo,

GABARITO: A

6. (Analista/rea 3/BACEN/2006/FCC) Um empresrio, investindo em umdeterminado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em funo doscenrios "Bom", "Mdio" e "Ruim":


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorB) 5 300,00 e 3 510,00

C) 5 300,00 e 3 160,00

D) 5 000,00 e 3 510,00

E)5 000,00 e 3 160,00

Resoluo

Expectncia: E(X)Varincia: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2

E(X)= ZX.P(X) = 8 x 0,25 + 5 x 0,60 + 2 x 0,15 = 5,3 mil = 5.300,00

E(X2) = 82x 0,25 + 52x 0,60 + 22x 0,15 = 31,6 mil


Var(X)= 31,6 - 5,32=3,51 mil = 3.510,00

GABARITO: B

7. (AFPS/2002/ESAF)Sejam X1,...,Xn observaes de um atributo X. Sejam:

A) Pelo menos 95% das observaes de X diferem demenos que 2S.

B) Pelo menos 99% das observaes de X diferem demenos que 2S.

C) Pelo menos 75% das observaes de X diferem demenos que 2S.

D) Pelo menos 80% das observaes de X diferem de

menos que 2S.E) Pelo menos 90% das observaes de X diferem demenos que 2S.

em valor absoluto por





Resoluo

Note que todas as opes envolvem a seguinte frase padro: "pelo menos Y%das observaes de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S".Vamos equacionar esta frase? Fica da seguinte forma:

Assinale a opo correta.


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A Distribuio BinomialProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 13


Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA expresso acima sugere que trata-se de uma questo que cobra a aplicaoda desigualdade deChebyshev.

Vamos relembrar a definio da desigualdade? Seja X uma varivel aleatria

valem as seguintesrelaes

Observe que as expresses correspondem,

respectivamente, mdia aritmtica e a varincia de um conjunto de dadosSuponha que voc tenha sua disposio um nmero n muito grande

de observaes da varivel aleatria X. Neste caso, razovel supor que( assim que se faz na prtica!). Substituindo

na desigualdade, obtemos

GABARITO: C

8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa populaovotaram, na ltima eleio, num certo candidato A. Se cinco eleitores foremescolhidos ao acaso, com reposio, a probabilidade de que trs tenhamvotado no candidato A igual a:

Conclumos que pelo menos 75% das observaes de X diferem deabsoluto por menos que 2S.

em valor

Resoluo

PRELIMINARES


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorConsidere os seguintes experimentos aleatrios e variveis aleatrias:

1. Jogue uma moeda 50 vezes. Seja X = nmero de caras obtidas.

2. Nos prximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X = nmero de

nascimentos de meninos.

Cada um desses experimentos aleatrios pode ser pensado como consistindoem uma srie de tentativas aleatrias e repetidas: 50 arremessos de moedasno experimento (1) e 30 nascimentos de bebs no experimento (2). A varivelaleatria em cada caso uma contagem do nmero de tentativas quesatisfazem um determinado critrio. O resultado de cada tentativa satisfaz ouno o critrio que X conta; por conseguinte, cada tentativa pode sersumarizada como resultando em um sucesso ou um fracasso (falha ouinsucesso), respectivamente. Por exemplo, sucesso, no experimento (1), a

obteno de cara no lanamento da moeda. No experimento (2), o nascimentode uma menina um fracasso.

Uma tentativa com somente dois resultados possveis denominada tentativade Bernoulli. Considera-se que as tentativas que constituem o experimentoaleatrio sejam independentes. Ou seja, o resultado de uma tentativa no temefeito sobre o resultado da tentativa seguinte. Alm disso, admitimos que aprobabilidade de um sucesso em cada tentativa seja constante.

Definio:

Um experimento aleatrio, consistindo emn repetidas tentativas, de modo que

(1) as tentativas sejam independentes,

(2) cada tentativa resulte em somente dois resultados possveis, designadospor "sucesso" e "fracasso",

(3) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa sejap

chamado de experimento de Bernoulli (ou Binomial). A varivel

aleatria X, que conta o nmero de sucessos em n tentativas, temdistribuio binomial (ou de Bernoulli) com parmetros p e n. A funo deprobabilidade de X (distribuio binomial)

Se fizermos (1-p) = q ( a probabilidade de insucesso em uma tentativa) nafuno de probabilidade acima, obtemos



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Alguns autores optam por definir a distribuio binomial como a probabilidadede se ter k sucessos em n tentativas:

A figura abaixo mostra a distribuio da Binomial para n = 10 e p = 1/2.

A Tabela a seguir fornece a mdia, a varincia e o desvio padro da

Distribuio Binomial.

Tabela: Caracterizao da Binomial

Voltemos resoluo. A probabilidade de que trs eleitores tenham votado no

candidato A (k=3 "sucessos") em n = 5 tentativas, sendo p=0,4 (probabilidadede sucesso), dada pela distribuio binomial

Logo,

GABARITO: C



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9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de 1.000 pessoas tem aseguinte composio etria (em anos):

- [0 - 20]: 200 pessoas;- [21 - 30]: 200 pessoas;- [31 - 40]: 200 pessoas;- [41 - 50]: 200 pessoas;- de 51 anos em diante: 200 pessoas;

Considerando que as probabilidades mdia de morte (qx), segundo umadeterminada tbua, de:

- [0 - 20] at 20 anos: 0,600% o (por mil);

- [21 - 30]: 0,800% o (por mil);- [31 - 40]: 1,500% o (por mil);- [41 - 50]: 5,000% o (por mil);- de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).

Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10pessoas com idade superior a 51 anos um evento:

(A) Certo.

(B) Impossvel.

(C) Provvel.(D) Muito Provvel.

(E) Pouco Provvel.

Resoluo

O problema uma mera aplicao da Lei Binomial. Seja X a varivel aleatriaque denota o nmero de mortes de pessoas com idade de 51 anos em diante.Neste caso, temos um "sucesso" quando algum desta faixa etria morre. A


probabil idade de sucesso Lembre que adistribuio binomial dada pela frmula (probabilidade de X = ksucessos)

Logo, a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idadesuperior a 51 anos dada por

(200^ 10 190

P(X= 10) = X 0,02 X 0,9810\yj J


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GABARITO: E

10. (AFRFB/2009/ESAF) O nmero de petroleiros que chegam a umarefinaria ocorre segundo uma distribuio de Poisson, com mdia de doispetroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber nomximo trs petroleiros em dois dias igual a:



Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorComo proibido usar calculadora na prova, deve-se partir para uma anlisequalitativa dos fatores da probabilidade P(X = 10):

representa um nmero muito grande;

representa um nmero "absurdamente" prximo de zero, ou seja, um infinitesimal;

representa um nmero prximo de zero, pois elevar um nmeromenor que 1, ainda que bastante prximo da unidade, centsima potncia,resulta em um valor prximo de zero.

Note que, se um infinitesimal, ento o produto tambm

um infinitesimal (ainda mais prximo de zero que 0,0210).

Assim, o nmero deve estar prximo de zero, pois

corresponde ao produto de um valor muito grande por um infinitesimal. Ou

seja, um valor "pouco provvel" (opo E).

Nota: obtivemos com uma calculadora cientfica.

Resoluo

PRELIMINARES


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA Distribuio de Poisson

A distribuio de Poisson com parmetro a (a > 0) dada por

A Tabela a seguir fornece a mdia, a varincia e o desvio padro daDistribuio de Poisson

Tabela: Caracterizao da Poisson

Observe que a mdia igual a varincia, e que ambas so iguais aoparmetro a.

A frmula acima caracteriza o processo de contagem de Poisson, o qual apropriado para aplicaes que envolvam a contagem do nmero de vezes queum evento aleatrio ocorre em um dado intervalo de tempo, distncia, rea,etc. Algumas aplicaes que envolvem a distribuio de Poisson incluem onmero de pessoas que entram em uma loja em uma hora e o nmero defalhas por 1.000 metros de fita de vdeo.

Neste ponto, estamos prontos para apresentar a definio formal da Lei ouDistribuio de Poisson, o que ser feito a seguir.

Seja a contagem do nmero de ocorrncias de eventos no intervalo (t, t+T). Seo intervalo puder ser dividido em subintervalos suficientemente pequenos talque

(1) a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero,

(2) a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma paratodos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo e

(3) a contagem em cada subintervalo seja independente de outrossubintervalos,


mdio de eventos por unidade da grandeza


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ento esse experimento aleatrio ser designado por processo de Poisson.Se o nmero mdio de contagens no intervalo fora> 0, a varivel aleatria X,que representa o nmero de contagens no intervalo, ter umadistribuio de

Poisson, com parmetroa, dada por

volume, distncia, etc. Ou seja, o processo de Poisson no necessariamenteum processo de contagem no tempo.

Nota: na literatura (e tambm nas provas!), bastante comum encontrarmos

a seguinte definio para a Lei (distribuio) de Poisson:

Observe que a frmula acima pode ser obtida fazendo-se

Voltemos ao exerccio. Vimos que a distribuio de Poisson pode ser dada por

a taxa mdia de ocorrncia dos eventos por unidade de


Neste caso,subentende-se que o intervalo de contagem unitrio, ou seja, T= 1.

A figura a seguir representa a distribuio de Poisson comdefinio


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Dados da questo:

GABARITO: C

11. (ICMS-SP/2009/FCC) O nmero de pessoas que chega ao guich deuma repartio pblica para autuao de processos apresenta uma distribuiode Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de quenos prximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guich


mximo trs petroleiros em dois dias, denotada por

Observao:

e = 2,71828...

Resoluo

A distribuio de Poisson com parmetroa (a> 0) dada por

Portanto, r = 2 x 2 = 4 petroleiros. A probabilidade de a refinaria receber no


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA probabilidade de que nos prximos 2 minutos chegue pelo menos umapessoa dada por:

GABARITO: A

12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O nmero de clientes que buscam, em cada dia,os servios de um renomado cirurgio tem uma distribuio de Poisson commdia de 2 pacientes por dia.

Para cada cirurgia efetuada, o cirurgio recebe R$ 10.000,00. No entanto, eleconsegue fazer o mximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentesso perdidos para outros para outros cirurgies.

Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diria docirurgio.

A)R$ 5.600,00

B)R$ 8.400,00

C)R$ 10.000,00D)R$ 14.400,00

E)R$ 20.000,00

Resoluo

Seja R a varivel aleatria que representa a receita diria do cirurgio. Essavarivel aleatria s pode assumir trs valores possveis, quais sejam: r1 = R$0,00 (zero cirurgia), r2 = R$ 10.000,00 (uma cirurgia) e r3 = R$ 20.000,00(duas cirurgias). Sabe-se que o valor esperado da receita diria do cirurgio,

denotado por E(R), dado pela frmula

distribuio de Poisson? A resposta NO e a justificativa simples: adistribuio deR discreta e possui apenas trs probabilidades.

A probabilidade do cirurgio no faturar num determinado dia (denotada porP(R=0)) igual probabilidade da varivel aleatria X (que representa oProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 21


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniornmero de clientes que buscam, em cada dia, o cirurgio) ser igual a zero. Deacordo com o enunciado, X tem distribuio de Poisson. Logo, P(R=0) = P(X=0) dada por:


A probabilidade de o cirurgio faturar R$ 10.000,00 num determinado dia(P(R=10.000)) igual probabilidade da varivel aleatria X ser igual a um:

O cirurgio consegue fazer o mximo de duas cirurgias em um dia; clientes

excedentes so perdidos para outros cirurgies. Sendo assim, o cirurgiofaturar R$ 20.000,00 num determinado dia caso seja procurado por 2 ou maisclientes. Portanto, P(R=20.000) = P(X> 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 -0,14 - 0,28 = 0,58.

O valor esperado da receita diria do cirurgio ento

E(R)= 0x0,14 + 10.000,00x0,28 + 20.000,00x0,58 = R$ 14.400,00

GABARITO: D

13. (Analista da SUSEP/Aturia/2010/ESAF).

Resoluo

Esta questo aborda o comportamento assinttico da Lei Binomial (lei dePoisson).

Suponha n >> 1 (isto , que n seja grande), p


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a distribuio Binomial pode ser

Portanto


(admitindo-se k

> 1, p


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorem que f(x) denota a funo densidade de probabilidade.

Distribuio Uniforme

Uma varivel aleatria contnua X com uma funo densidade de probabilidade

tem distribuio uniforme (veja a figura a seguir).

A mdia de uma varivel aleatria uniforme

Voltemos resoluo de exerccio. O enunciado define a distribuio uniformeilustrada pela figura abaixo.


| . A

E a varincia


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z 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25P(0


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(D) 89%

(E) 87%

Resoluo

PRELIMINARES

A Distribuio Normal

Uma varivel aleatria X tem distribuio normal (tambm denominada

No fique assustado(a) com a frmula acima. Voc no precisar decor-lapara a prova, pois os exerccios que envolvam a distribuio normal seroresolvidos com o auxlio de uma tabela de probabilidades, como ser vistomais adiante.

Neste curso, usaremos a notao


para indicar que X temdistribuio normal com parmetros A figura acima mostra a curvanormal padro. Repare que o seu formato parecido com o de um sino.

A distribuio normal possui as seguintes propriedades:

aussiana pelos engenheiros) com parmetros dada por

se sua funo densidade


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Demonstra-se que os parmetros denotam a mdia e a varincia dadistribuio normal, respectivamente (memorize para a prova!).

Z ter mdia zero e varincia 1. No fcil mostrar que Z tambm temdistribuio normal, ou seja, Z - N(0, 1). Isso no ser feito nesta aula. Diz-seque Z tem distribuio normal padro ou normal reduzida. Estadistribuio muito importante para a prova.

prova!).

A figura acima mostra que:

dos valores da distribuio normal;

contm 95,45% dos valores da distribuio normal.

contm 99,73% dos valores da distribuio normal.

- o intervalo

- o intervalo

- o intervalo

A funo de distribuio acumulada de uma varivel aleatria normal padro usualmente denotada por Ressaltamos que (memorize para a prova!)


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorO apndice contm tabelas auxiliares que fornecem os valores das seguintesprobabilidades:

norm l

p dro

Ateno: podemos generalizar o resultado (4) para qualquer varivel aleatria

D uma olhada nas tabelas auxiliares da normal padro; importante quevoc esteja familiarizado com o uso das tabelas!

Exemplo. Seja a varivel aleatria normal padro Z e as tabelas auxiliares danormal.

= 0,1038 (veja a figura a seguir). A Tabela I nos d esse resultado de formadireta, pois P(Z>1,26) = 0,1038.


A Tabela II do apndice da normal reduzida indica que


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Memorize o resultado acima para a prova, pois o mesmo ser muito

utilizado para resolver questes de Estatstica que envolvam a distribuionormal (vide figura a seguir).

norm l

Voltemos questo. De acordo com o enunciado, a distribuio dos salrios


dos empregados (varivel X) normal com parmetros

= 160 (desvio padro). Pede-se a proporo dos empregados com salriossuperiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00, ou seja, a probabilidadeP[1.000


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior16. A distribuio das medidas dos cabos fabricados por uma indstria considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no mximo 2,4metros e apenas 2% medem no mnimo 16,4 metros. A mdia das medidasdestes cabos igual a

(A) 9,4 metros.

(B) 8,4 metros.

(C) 8,2 metros.

(D) 8,0 metros.

(E) 7,8 metros.

Resoluo

Foram dadas as seguintes probabilidades: P(X16,4) =0,02. razovel supor que a banca tenha fornecido dois valores extremos danormal (x1 = 2,4 e x2=16,4) e que a mdia esteja situada em algum valor entreos dois extremos (uma rpida olhada nas opes confirma essa suspeita!).

De acordo com a tabela, P(0


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so constantes, ser uma varivel aleatria normal com

17.A probabilidade de se obter X maior do que 0

representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 , pordefinio, igual rea sob f(x), a qual unitria, pois representa a

probabilidade do evento certo. Conferindo:


e varincia

Ento a mdia da soma de n variveis normais e independentes igual somadas n mdias individuais

e a varincia da soma de n variveis normais e independentes igual somadas varincias individuais

GABARITO: B

O enunciado a seguir refere-se s prximas duas questes.

Seja X uma varivel aleatria com densidade de probabilidade

para os demais valores.

(A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

Resoluo

O grfico da funo densidade de probabilidade


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GABARITO: E

18.A probabilidade de se obter X maior do que 0,5

19. (AFPS/2002/ESAF) A mdia e o desvio-padro obtidos num lote de

produo de 100 peas mecnicas so, respectivamente, 16kg e 40g. Umapea particular do lote pesa 18kg. Assinale a opo que d o valor padronizadodo peso da bola.




(A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

Resoluo

A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 igual rea sob f(x) no

GABARITO: C


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0,6745 = (x - 2)/2 ^ x = 1,3490 + 2 = 3,3490Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 33

A) -50

B) 0,05

C)50

D)-0,05

E) 0,02

Resoluo

Dados fornecidos:

- peso de uma pea = 18kg = 18 x 1.000g = 18.000g

Valor padronizado:

(18.000 - 16.000)/40 = 2.000/40 = 50

GABARITO: C

20. (AFPS/2002/ESAF)O atributo X tem distribuio normal com mdia 2 evarincia 4. Assinale a opo que d o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padro 0,6745.

A) 3,3490

B) 0,6745

C)2,6745

D)2,3373

E) 2,7500

Resoluo

Dados fornecidos:

Sabemos que o valor padronizado dado pela frmula

Aplicando a frmula acima para o terceiro quartil da normal padro, obtemos


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GABARITO: A

21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuies de probabilidades a

seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X))2

:

A) de densidade

Resoluo

(B) a distribuio

INCORRETA.


B) de densidade

A relao E(X) = E(X-E(X))2 pode ser reescrita como (mdia igual a

varincia da distribuio). Vimos que a mdia igual a varincia dadistribuio de Poisson. Logo a resposta a letra D. No obstante,analisemos as alternativas restantes com ateno.

Anlise das demais alternativas

(A) a distribuio a normal padro, que

INCORRETA.

a uniforme, em que

e


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(C) a distribuio

associada a um conjunto com (N+M) elementos, em que h N sucessos e Mfracassos; n representa o nmero de elementos selecionados de formaaleatria e sem reposio a partir dos (N+M) elementos. Neste caso, temosque

GABARITO: D

22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendotrs questes de mltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para seraprovado. Cada questo apresenta cinco alternativas, mas apenas uma correta. Se o candidato no se preparou e decide responder a cada questo aoacaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso igual a:

Trata-se de aplicao da distribuio Binomial. O "chute" a ser dado emcada questo da prova uma tentativa de Bernoulli (n = 3 tentativas), em que

p = 1/5 e (1-p)=4/5. Seja X a varivel aleatria que denota o nmero dequestes certas. Ento a probabilidade de acertar pelo menos 2 questes

(numa prova de 3 questes de mltipla escolha) dada por


A) 0,200.

B) 0,040.

C) 0,096.

D) 0,008.

E)0,104.

Resoluo

a binomial, que possui

INCORRETA.

(E) a distribuio a hipergeomtrica

em quep denota a probabilidade de sucesso e

INCORRETA.


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GABARITO: E

23. (Assistente Tcnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogarum dado honesto trs vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de onmero 1 sair exatamente uma vez?

A) 35%

B) 17%

C) 7%D) 42%

E) 58%

Resoluo

I - Utilizando a Distribuio Binomial:

P(n,x) = probabilidade de ocorrer exatamente x vezes o evento "A", aps nrepeties.

GABARITO: A


Evento "A" = sair um nmero igual a

Complementar de "A" = A'= no sair um nmero igual a 1

n= 3 vezesx = 1 (1 sair exatamente uma vez)


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A) F, V, F

B) V, V, F

C) F, F, F

D) V, F, F

E) V, V, V


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma varivel aleatria Normal Padro.Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais prximo deP(-2,58 < Z < 1,96).

zP(Z < z ) 1,960,975 2,170,985 2,330,99 2,410,992 2,580,995

A) 0,99

B) 0,97

C) 0,98

D) 0,985

E) 0,95

Resoluo

Z => varivel aleatria normal padro

Sabemos que:

GABARITO: B

25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuio Binomial, temos que:

I. A E[x] = n p q, ou seja, o produto dos parmetros n - nmero deelementos da avaliao, p - probabilidade de ocorrncia do evento e q -probabilidade contrria (q = 1 - p).

II. O desvio-padro dado pela raiz quadrada do produto entre os parmetrosn e p.

III. A varincia dada pelo somatrio dos quadrados dos valores (Xi) menos o

quadrado da mdia.

Apontando os trs itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opocorreta :


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorResoluo

Esperana da distribuio binomial: E(X) = npVarincia da distribuio binomial: Var(X) = np(1-p)

Vamos analisar as alternativas:

I. A E[x] = n p q, ou seja, o produto dos parmetros n - nmero deelementos da avaliao, p - probabilidade de ocorrncia do evento e q -probabilidade contrria (q = 1 - p).

Esperana da distribuio binomial: E(X) = np. O item FALSO.

II. O desvio-padro dado pela raiz quadrada do produto entre os parmetros

n e p.Varincia da distribuio binomial: Var(X) = np(1-p)Desvio-Padro = [np(1-p)]1/2 => dado pela raiz quadrada do produto entren, p e (1-p). O item FALSO.

III. A varincia dada pelo somatrio dos quadrados dos valores (Xi) menos oquadrado da mdia.

A frmula geral da varincia : Var(X) = E(X2) - [E(X)]2=> ou seja, a mdiados quadrados do valores menos o quadrado da mdia. O item FALSO.Lembre que a varincia da distribuio binomial np(1-p).

GABARITO: C

26. (Analista Tcnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos(Bingo S/A, por exemplo) a premiao ser de R$ 10,00, para quem obtiveruma face de nmero primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, paraquem obtiver outra alternativa (face de nmero no primo). Para N jogadas(sendo N um nmero suficientemente grande de jogadas), o valor mdio daaposta, ou seja, o valor esperado, ser de:

A) R$ 10,00

B) R$ 10,33

C) R$ 13,33

D) R$ 15,00

E) R$ 17,33

Resoluo

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6E = nmero primo = {2, 3, 5} => um nmero primo quando somente divisvel por 1 e por ele mesmo => n(E) = 3Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 38


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorP(nmero primo) = 3/6 = 1/2 => Premiao (primo) = R$ 10,00

E'= nmero no primo = {1, 4, 6} => n(E') = 3P(nmero no primo) = 3/6 = 1/2 => Premiao (no primo) = R$ 20,00

Valor esperado da varivel aleatria X para um nmero N, suficientementegrande, de jogadas:

E(X) = P(nmero primo) x premiao(primo) + P(nmero no primo) xpremiao(no primo)

E(X) = (1/2) x 10 + (1/2) x 20 = 30/2 = R$ 15,00

GABARITO: D

27. (Analista Tcnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. -

varivel aleatria discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX +b) igual a:

A) = var X.

B) = E(X2) - (EX)2.

C) = E(X - E(X))2.

D) = a2var X.

E) = a2var X - b.

Resoluo

Var(cX) = c2Var(X), sendo c = constanteVar(X + a) = Var (X), sendo a = constante.

Var(aX + b) = a2Var(X)

GABARITO: D

O enunciado abaixo refere-se s prximas quatro questes.

Aps vrios anos de magistrio no ensino superior, um professor de Estatsticaconstatou que, em sua aula na graduao, a funo de probabilidade de X,varivel aleatria que representa o nmero de alunos ausentes s sextas-feiras, a seguinte

X 0 1 2 3 4 5 6 7f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001

28. Ento a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunosestaro ausentes



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(A) 0,63

(B) 0,13

(C) 0,87

(D) 0,56(E) 1

Resoluo

A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estaro ausentes dada por


GABARITO: C

29. O valor esperado da varivel aleatriaX

(A) 3,08

(B) 3,26

(C) 2,12

(D) 0,32

(E) 0,96

Resoluo

Logo, E[X]

GABARITO: A

30.O valor esperado deY= 5X + 4

(A) 4

(B) 3,1

(C) 15,4

(D) 19,4

(E) 81


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorResoluo

GABARITO: D

31.A varincia deX

(A) 9,49

(B) 1,22

(C) 10,71

(D) 20,305

(E) 85,525

Resoluo

Ento,

GABARITO: B

32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma varivel aleatria normal X com mdiaAssinale a opo que d o intervalo contendo exatamente

95% da massa de probabilidades de X

Resoluo

Esta questo trivial. Aprendemos que

95% (resultado que deve ser memorizada paraa prova!)



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GABARITO: E

33. (Analista Ministerial/Estatstica/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma

varivel aleatria assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4,respectivamente. a mdia de X. Ento o limite superior deobtido pela desigualdade de Tchebysheff, dado por

A) 0,40

B) 0,25

C) 0,20

D) 0,12

E) 0,10

Resoluo

A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expresso

Dados:calcular a mdia

distribuio de probabilidades de X (logo possvel

Ento

GABARITO: B

(AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instrues: para responder prximaquesto, utilize, dentre as informaes abaixo, as que julgar adequadas. Se Ztem distribuio normal padro, ento:



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorP(0< Z < 1) = 0,341, P(0< Z < 1,6) = 0,445, P(0< Z < 2) = 0,477

34. Os depsitos efetuados no Banco B, num determinado ms, tmdistribuio normal com mdia R$ 9.000,00 e desvio padro R$ 1.500,00. Um

depsito selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao ms emquesto. A probabilidade de que o depsito exceda R$ 6.000,00 de

A) 97,7%

B) 94,5%

C) 68,2%

D) 47,7%

E) 34,1%

Resoluo

Pede-se P(180


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P(-1


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorbase x altura = 1

GABARITO: B

37. (ICMS-RJ/2011/FGV/Adaptada) Assuma que uma distribuio deBernoulli tenha dois possveis resultados n=0 e n = 1, no qual n = 1 (sucesso)

Resoluo

A distribuio Binomial (ou de Bernouilli) nos d a probabilidade de k sucessosem n tentativas:


A figura a seguir mostra o grfico de f(x).

ocorre com probabilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidadeSendo 0


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e a probabilidade de um sucesso em uma tentativa

Agora preciso compatibilizar a nossa notao com aquela que foi usada pelabanca no enunciado. Substitua a varivel aleatria X por n nas probabilidadesacima: P(n= 0) =p0(l-p)1 e P(n= 1) =p' ( l -p)0.

Observe que as frmulas das probabilidades

generalizadas pela expresso

podem ser

Questozinha "boa", no mesmo? A banca "brincou" com a notao e cobrouo significado da distribuio binomial.

GABARITO: A


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorExerccios de Reviso

38. (Profissional Bsico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Paraum estudo sobre a distribuio de salrio mensal dos empregados de uma

empresa foram coletados os salrios de uma amostra aleatria de 50empregados. Os resultados amostrais levaram construo da distribuio defreqncia abaixo. No existem observaes coincidentes com os extremos dasclasses.

Classe (em Frequnciasalrios relativa

mnimos) acumulada1 - 3 403 - 5 70

5 - 7 907 - 11 100

A mdia aritmtica e a varincia amostral valem, aproximadamente,

Mdia amostra l Varinc ia amostra l(em salrios mnimos) (em salrios mnimos2)

(A) 2,6 2,2(B) 2,6 2,9(C) 4,1 2,9(D)

4,1 5,0(E) 7,2 12,1

Resoluo

O enunciado menciona que o conjunto de dados proveniente de uma amostraaleatria. Por enquanto, considere que uma amostra aleatria um conjuntode dados. Lembre-se de que estudaremos o assuntoAmostragem em uma aulaposterior.

Quando os dados so agrupados, todos os valores includos num certointervalo de classe so considerados coincidentes com o ponto mdio dointervalo.

Frmulas para resolver a questo:

em que os fi's denotam as frequncias e os x/s so os pontos mdios de cadaclasse.



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(*) Lembre que caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n

A opo que contm os valores mais prximos aos que foram calculados aalternativa D.

GABARITO: D

39. (IBGE - Estatstica/2010/Cesgranrio) Um comit formado por trspesquisadores escolhidos dentre quatro estatsticos e trs economistas. Aprobabilidade de no haver nenhum estatstico

A) 1/35

B) 4/35

C) 27/243

D) 64/243

E) 3/7

Resoluo


que aparece no denominador do lado direito da frmula (15) deve sersubstitudo por n-1.

A tabela abaixo ser usada no clculo da mdia aritmtica e da varincia.

Varincia amostral:


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A probabilidade P de no haver nenhum estatstico em um comit formado portrs pesquisadores escolhidos dentre quatro estatsticos e trs economistas

P = (no

de resultados favorveis)/(no

de resultados possveis).

node resultados possveis = C7,3= 7!/(4! x 3!) = 35

node resultados favorveis = 1 (s existe uma maneira de formar um comitde 3 pesquisadores )

Ento P = 1/35

GABARITO: A

40. (Administrador(a) Jnior Petrobrs /2010/Cesgranrio) Em umposto de combustveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210vo colocar combustvel, 130 vo completar o leo lubrificante e 120 vocalibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustvel e completam oleo; 80 colocam combustvel e calibram os pneus e 50 colocam combustvel,completam o leo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientesentram no posto de combustveis para executar uma ou mais das atividadesacima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto paracompletar o leo e calibrar os pneus?

(A) 0,10

(B) 0,20

(C) 0,25

(D) 0,40

(E) 0,45

Resoluo

Dados:- de um total de 300 clientes (= espao amostral), 210 colocam combustvel,130 completam o leo e 120 calibram os pneus;

- 70 clientes colocam combustvel e completam o leo, 80 colocam combustvele calibram os pneus e 50 colocam combustvel, completam o leo e calibramos pneus.

Resolveremos a questo usando a tcnica do Diagrama de Venn. Note que 50clientes colocam combustvel, completam o leo e calibram os pneus. Odiagrama abaixo mostra que a interseo entre os trs conjuntos (combustvel,leo e pneus) composta por 50 clientes.



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Setenta (70) clientes colocam combustvel e completam o leo (adicionei 20clientes interseo entre os conjuntos combustvel e leo):

Oitenta (80) clientes colocam combustvel e calibram os pneus (adicionei 30

clientes interseo entre os conjuntos combustvel e pneus):



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Duzentos e dez clientes (210) colocam combustvel. Logo, temos que adicionar210 - (30 + 50 + 20) = 110 clientes que entram no posto somente paracolocar combustvel ao conjunto combustvel:

Finalmente, completarei o diagrama com as variveis X, Y e Z, que denotam,

respectivamente, o nmero restante de clientes que completam o leo ecalibram os pneus, que somente calibram os pneus e que somente completamo leo:



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A probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibraros pneus dada pela frao


P = (node resultados favorveis)/(no de resultados possveis) =

Okay! Resolveremos o problema, se soubermos determinar o valor de X. Mascomo faremos isso? A resposta simples: basta montar um "sisteminhalinear"!

Sabemos o que alguns pensaro: mas professores, esqueci como se faz isso!Calma minha gente! No entrem em desespero (risos). Ensinaremos comomontar o sistema de equaes na sequncia.

Cento e vinte (120) clientes calibram os pneus. Portanto (veja o diagrama deVenn acima),

30 + 50 + X + Y = 120 ^ 80 + X + Y = 120 ^ X + Y = 120 - 80 = 40

Cento e trinta clientes completam o leo. Ento,

O total de clientes 300:

Chegamos deste modo ao seguinte sistema de equaes:


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Multiplicando a segunda equao por -1, e somando o resultado obtido com aterceira tem-se que

Y = 30.

Substituindo-se o valor de Y na primeira equao, obtemos

Assim,

Probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibrar ospneus dada pela frao = (50 + X)/300 = (50 + 10)/300 = 60/300 = 0,2 =20%.

GABARITO: B

41. (Fiscal de Rendas do Municpio do RJ/2010/ESAF) Em um amostrade 100 empresas, 52 esto situadas no Rio de Janeiro, 38 so exportadoras e35 so sociedades annimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 so

exportadoras e 15 so sociedades annimas e das empresas exportadoras 18so sociedades annimas. No esto situadas no Rio de Janeiro nem sosociedades annimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresasque esto no Rio de Janeiro so sociedades annimas e exportadoras aomesmo tempo?

A) 18

B) 15

C) 8

D) 0E) 20

Resoluo

Temos um espao amostal Q com n = 100 empresas. Seja o conjunto dasempresas situados no Rio de Janeiro denotado por "RJ", o das exportadoraspor "EXP" e o das sociedades annimas por "SA". Do total de empresas, temosque:

52 esto situadas no Rio de Janeiro: n(RJ) = 52; 38 so exportadoras: n(EXP) = 38;


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 35 so sociedades annimas: n(SA) = 35;

das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 so exportadoras:

Aprendemos no item 15.6 da aula passada a regra de adio dasprobabilidades, dada pela frmula (memorize para a prova!)


das empresas situadas no Rio de Janeiro, 15 so sociedades annimas

das empresas exportadoras, 18 so sociedades annimas:18; e

12 no esto no Rio nem so sociedades annimas e nem exportadoras:

Pede-se o nmero de empresas que esto no Rio de Janeiro, so sociedades

annimas e exportadoras ao mesmo tempo, ou seja, qual o valor de

O nmero de empresas que esto situadas no Rio ou so exportadoras ou sosociedades annimas dado por

O diagrama de Venn a seguir ilustra os dados da questo.


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Essa regra ser aplicada na resoluo da questo, mas antes preciso


manipul-la, pois o problema cobra a contagemprobabilidade

Como o nmero de elementos do espao amostral finito, temos que

P(RJ) = n(RJ)/n' e assim por diante.

Ento a regra de adio pode ser reescrita na forma de contagem

desde que multipliquemos os lados esquerdo e direito da equao da regra deadio das probabilidades por n', o que far com que todos os denominadoresn' sejam eliminados da relao

= 88 - 52 - 38 - 35 + 12 + 15 + 18 = 8.

A prxima figura mostra que, das 52 empresas situadas no Rio, 33 (= 52 - 4 -8 - 7) no so SA e nem exportadoras. O mesmo raciocnio vale para as 16empresas que somente so exportadoras e para as 10 empresas que somenteso sociedades annimas.


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GABARITO: C

42. (Fiscal de Rendas do Municpio do RJ/2010/ESAF) Em cada um deum certo nmero par de cofres so colocadas uma moeda de ouro, uma deprata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade doscofres, escolhidos ao acaso, colocada uma moeda de ouro, e em cada umdos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metadedos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada umdos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou comcinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual a probabilidade de eleconter trs moedas de ouro?

A) 0,15

B) 0,20

C) 0,5

D) 0,25

E) 0,7

Resoluo

Sejam os eventos:


conter 1 moeda de ouro na 1aetapa;

conter 1 moeda de ouro na 2aetapa; e

:onter 1 moeda de ouro na 3aetapa.

A probabilidade P de um cofre escolhido ao acasoconter trs moedas de ouro dada por


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorpois os eventos so independentes. O

enunciado especificou que

P{E1> = 1, pois foi dito que "Em cada um de um certo nmero par de cofres

so colocadasu m a m o ed a d e o u r o , uma de prata e uma de bronze",

P{E2> = 0,5, porque "Em uma segunda etapa, em cada um dem e t a d e d o sc o f r e s , e s co l h i d o s a o a c as o , c o l o ca d a um a m o e d a d e o u r o , e em cadaum dos cofres restantes, uma moeda de prata", ou seja, a probabilidade de umcofre receber uma moeda de ouro nesta etapa 50%e

P{E3> = 0,5, haja vista que "Por fim, em cada um dem e t a d e d o s c o f r e s ,e s co l h i d o s a o a ca s o , co l o c a - se um a m o e d a d e o u r o , e em cada um doscofres restantes, uma moeda de bronze", isto , a probabilidade de um cofre

receber uma moeda de ouro nesta etapa 50%.

GABARITO: D

43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade,deparou-se com uma bifurcao onde esto trs meninos e no sabe quecaminho tomar. Admita que estes trs meninos, ao se lhes perguntar algo, umresponde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes.O viajante perguntou a um dos trs meninos escolhido ao acaso qual era ocaminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer amesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os doisrestantes, qual a probabilidade de ele tambm responder que o caminho dadireita?

A) 1.

B) 2/3.

C) 1/2.

D) 1/3.E) 1/4.

Resoluo

Vamos analisar as seguintes hipteses:

Hiptese 1: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre fala a verdade(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher estemenino 1/3. H duas possibilidades para a escolha do segundo menino(escolher um menino entre dois):

menino que sempre mente: responder que a cidade para a esquerda;Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 57


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior menino que fala verdade em 50% das vezes: h 50% de chance de dizer

que a cidade para direita.

Ento a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade para

direita dada por:P(escolher o menino que fala a verdade em 50% das vezes) x 50% (chance dedizer que a cidade para direita) = 50% x 50% = 25%


A probabilidade associada hiptese 1

Hiptese 2: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre mente(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher estemenino 1/3. H duas possibilidades para a escolha do segundo menino:

menino que sempre fala a verdade: responder que a cidade para aesquerda;

menino que fala verdade em 50% das vezes: h 50% de chance de dizerque a cidade para direita.

Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade para direita igual a:

P(escolher menino que fala a verdade 50% das vezes) x 50% (chance de dizerque a cidade para direita) = 50% x 50% = 25%

A probabilidade associada hiptese

Hiptese 3: O primeiro menino escolhido pelo viajante diz a verdade em 50%das vezes (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade deescolher este menino 1/3.

Escolha do segundo menino:

menino que sempre fala a verdade: responder que a cidade para adireita (se o primeiro menino disse a verdade) ou responder que acidade para a esquerda (se o primeiro menino mentiu);

menino que sempre mente: responder que a cidade para a direita (seo primeiro menino mentiu) ou responder que a cidade para aesquerda (se o primeiro menino disse a verdade).

Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade para direita :

P(primeiro menino ter dito a verdade) x P(escolher o menino que sempre fala averdade) = 50% x 50% = 25% ou

P(primeiro menino ter mentido) x P(escolher o menino que sempre mente) =50% x 50% = 25%.


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA probabilidade associada hiptese 3 P3 = 1/3 x (25% + 25%) = 1/3 x50%.

Probabilidade Final = 1/3 x 25% + 1/3 x 25% + 1/3 x 50% = 1/3 x (25% +

25% + 50%) = 1/3 x 100% = 1/3 x 1 = 1/3.

GABARITO: D

44. (APO/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas,diferindo apenas na cor e na numerao. As bolas azuis esto numeradas de 1a 50, as bolas amarelas esto numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhasesto numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna trs bolas escolhidas aoacaso, com reposio, qual a probabilidade de as trs bolas serem da mesmacor e com os respectivos nmeros pares?

A) 10/512.

B) 3/512.

C) 4/128.

D) 3/64.

E) 1/64.

Resoluo

Total de Bolas = 200Bolas Azuis = 50 (numeradas de 1 a 50)Bolas Amarelas = 100 (numeradas de 51 a 150)Bolas Vermelhas = 50 (numeradas de 151 a 200)

Probabilidade de se retirar da urna trs bolas escolhidas, com reposio, demodo que sejam da mesma cor e com os respectivos nmeros pares.

Bolas Azuis e Pares = 25Bolas Amarelas e Pares = 50Bolas Vermelhas e Pares = 25

Hiptese I: trs bolas azuis e pares

P (Azul e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512

Hiptese II: trs bolas amarelas e pares

P (Amarela e Par) = 50/200 x 50/200 x 50/200 = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64

Hiptese III: trs bolas vermelhas e pares

P (Vermelha e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512

Probabilidade Total = (1/512) + (1/64) + (1/512) = 10/512



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorGABARITO: A

45. (Tcnico do DECEA - Cincias Econmicas/2009/CESGRANRIO) Aprobabilidade de que, no lanamento de trs dados comuns, honestos, a soma

dos resultados seja igual a 18

A) 1/12

B) 1/36

C) 1/216

D) 3/18

E) 3/216

Resoluo

Os resultados so independentes, logo

P = (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/216

GABARITO: C

46. (IBGE - Estatstica/2009/CESGRANRIO) Lana-se uma moedahonesta trs vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou trs caras} e B= {os dois primeiros resultados so iguais}. Nessas condies, tem-se que

A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B no so independentes e no somutuamente exclusivos.

B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B so independentes e no so mutuamenteexclusivos.

C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B no so independentes e no somutuamente exclusivos.

D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B so independentes e no so mutuamenteexclusivos.

E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B no so independentes e no somutuamente exclusivos.

Resoluo

A = {sair duas caras ou trs caras}

P(A) = P{(CCK) ou (KCC) ou (CKC) ou (CCC)}, em que C denota cara e Krepresenta coroas.

P(A) = P(CCK) + P(KCC) + P(CKC) + P(CCC)

Mas



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P(CCK) = P(KCC) = P(CKC) = P(CCC) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8

EntoP(A) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5.

B = {os dois primeiros resultados so iguais}

P(B) = P{(CCK) ou (KKC) ou (CCC) ou (KKK)>.

P(B) = P(CCK) + P(KKC) + P(CCC) + P(KKK)

Mas

P(CCK) = P(KKC) = P(CCC) = P(KKK) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8

EntoP(B) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5.

Os eventos A e B esto definidos sobre o mesmo espao amostral. Eles noso mutuamente exclusivos, haja vista os resultados elementares (CCK) e(CCC), presentes nos dois eventos. Contudo, a probabilidade de ocorrncia deB no afetada pela ocorrncia anterior de A, e vice-versa, ou seja, P(B|A) =P(B) e P(A|B) = P(A). Logo, os eventos so independentes.

GABARITO: D

47. (Administrador(a) Jnior Petrobrs/2011/Cesgranrio) Um estudosobre a fidelidade do consumidor operadora de telefonia mvel, em umadeterminada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hbito demudana:

Probabilidade de um consumidormudar de (ou manter a) operadora

AA nova operadora

B CSe a A 0,50 0,35 0,15operadora B 0,20 0,70 0,10atual C 0,40 0,30 0,30

A probabilidade de o 1 telefone de um indivduo ser da operadora A 0,60; aprobabilidade de o 1 telefone de um indivduo ser da operadora B 0,30; e ade ser da operadora C 0,10.

Dado que o 2 telefone de um cliente da operadora A, a probabilidade de o1 tambm ter sido de

(A) 0,75



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so mutuamente exclusivos e exaustivos (isto



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(B) 0,70

(C) 0,50

(D) 0,45

(E) 0,40

Resoluo

A questo cobra a aplicao da Regra de Bayes. Pergunta-se:

"Dado que o 2 telefone de um cliente da operadora A"OBSERVADO

Ou seja, deve-se determinarP(1 Tel. A|2 Tel. A).

A Regra de Bayes nos d probabilidade da causa dado o efeitoobservado:

em que os eventos, cobrem, todo o espao amostral B um evento qualquer definido sobreo mesmo espao amostral a probabil idade total de B.

Aplicando a Regra de Bayes questo, obtemos

Clculo da probabilidade total P(2 Tel. A):

P(2 Tel. A) = P(2 Tel. A|1 Tel. A). P(1 Tel. A) + P(2 Tel. A|1 Tel. B).P(1 Tel. B) + P(2 Tel. A|1 Tel. C). P(1 Tel. C)

Dados fornecidos:

- probabilidades a priori: P(1 Tel. A)=0,60, P(1 Tel. B)=0,30 e P(1 Tel. C) =0,60. Note que P(1 Tel. A) + P(1 Tel. B) + P(1 Tel. C) = 1;

- probabilidades condicionais: P(2 Tel. A|1 Tel. A) = 0,50, P(2 Tel. A|1 Tel.B) = 0,20 e P(2 Tel. A|1 Tel. C) = 0,40;

Ento:

"a probabilidade de o 1 tambm ter sido de"


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorP(2 Tel. A) = (0,50 x 0,60) + (0,20 x 0,30) + (0,40 x 0,10) = 0,30 + 0,06 +0,04 = 0,40

P(1 Tel. A|2 Tel. A) = 0,50 x 0,60/0,40 = 0,30/0,40 = 3/4 = 0,75.

GABARITO: A

48. (Administrador(a) Jnior Petrobrs/2011/Cesgranrio) Analise asafirmativas a seguir sobre o coeficiente de variao.

I - O coeficiente de variao uma medida de disperso relativa.II - Se uma distribuio bimodal, ento seu coeficiente de variao zero.III - O coeficiente de variao tem a mesma unidade que o desvio padro.

(So) corretasAPENAS a(s) afirmativas(A) I

(B) II

(C) III

(D) I e II

(E) II e III

Resoluo

O Coeficiente de Variao (CV) dado pela razo entre o desvio padro e amdia:


CV = desvio padro/mdia

Ele caracteriza a disperso dos dados em termos relativos mdia. Portanto, uma medida de disperso relativae a afirmativa I correta.

O coeficiente de variao um adimensional, podendo ser expresso

como uma porcentagem. Logo, incorreto afirmar que possui a mesmaunidade do desvio padro (afirmativa III incorreta).

A afirmativa II absurda. Sem maiores comentrios.

GABARITO: A

49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartio, foi tomada uma amostra donmero de filhos de 4 funcionrios. O resultado foi {2, 1, 4, 2>. A mdiageomtrica simples dessa amostra

(A) 2,25

(B) 1,75


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(C) 2

(D) 2,4

(E) 2,5

Resoluo

Mdia Geomtrica de um conjunto de 4 elementos:

GABARITO: C

50. (ICMS-RJ/2011/FGV) Quantas combinaes existem para determinar o

primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e osegundo lugares no podem ser a mesma pessoa).

(A) 18.000

(B) 90

(C) 19

(D) 680

(E) 18.000

Assim, o nmero de combinaes que existem para determinar o primeiro e osegundo lugares (r=2) de um concurso com 10 pessoas (n=10)


Resoluo

A frmula do Arranjo Simples nos d o nmero de agrupamentosordenados possveis de n elementos de um conjunto, tomados r a r,considerandor elementos distintos:

GABARITO: B

Abraos e at a prxima aula.

Bons estudos!


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorMoraes [email protected]

Alexandre Lima

[email protected]



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Questes Comentadas e Resolvidas Nesta Aula

1. (Analista do BACEN/rea 3/2005/FCC) O nmero de televisores

modelo M vendidos diariamente numa loja uma varivel aleatria discreta(X) com a seguinte distribuio de probabilidades:

X 0 1 2 3P(x) p 1,5p 1,5p P

O preo unitrio de venda do televisor modelo M de R$ 1.000,00. Se numdeterminado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$

3.000,00, a probabilidade dela ser positiva

A) 20%

B) 30%

C) 50%

D) 60%

E) 75%

2. (BACEN/rea 2/2010/CESGRANRI0/Adaptada) A varivel aleatria

contnua x tem a seguinte funo de densidade de probabilidade:

3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF)Se a varivel X pode assumir um conjuntoinfinito (contnuo) de valores, o polgono de freqncia relativa de umaamostra torna-se uma curva contnua, cuja equao Y = p(X). A rea totallimitada por essa curva e pelo eixo dos X igual a 1 e a rea compreendidaentre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na rea totalda curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b dada por

A) P(a


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorD) P(a>X>b), composta pela integral de P(X=a) at P(X=b).

E)P(a


68/84


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior6. (Analista/rea 3/BACEN/2006/FCC) Um empresrio, investindo em umdeterminado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em funo doscenrios "Bom", "Mdio" e "Ruim":

Cenrio Lucro (R$) Distribuio deProbabilidades do CenrioBom R$ 8 000,00 0,25

Mdio R$ 5 000,00 0,60Ruim R$ 2 000,00 0,15

A expectncia e a varincia do lucro so, em R$ e (R$) 2, respectivamente,

A) 5 500,00 e 3 160,00

B) 5 300,00 e 3 510,00

C) 5 300,00 e 3 160,00D) 5 000,00 e 3 510,00

E)5 000,00 e 3 160,00

7. (AFPS/2002/ESAF)Sejam X1,...,Xn observaes de um atributo X. Sejam:

Assinale a opo correta.

A) Pelo menos 95% das observaes de X diferem demenos que 2S.

B) Pelo menos 99% das observaes de X diferem demenos que 2S.

C) Pelo menos 75% das observaes de X diferem demenos que 2S.

D) Pelo menos 80% das observaes de X diferem de

menos que 2S.E) Pelo menos 90% das observaes de X diferem demenos que 2S.






8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa populaovotaram, na ltima eleio, num certo candidato A. Se cinco eleitores foremescolhidos ao acaso, com reposio, a probabilidade de que trs tenhamvotado no candidato A igual a:

A) 12,48%.B) 17,58%.

C) 23,04%.



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorD) 25,78%.

E) 28,64%.

9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de 1.000 pessoas tem aseguinte composio etria (em anos):

- [0 - 20]: 200 pessoas;- [21 - 30]: 200 pessoas;- [31 - 40]: 200 pessoas;- [41 - 50]: 200 pessoas;- de 51 anos em diante: 200 pessoas;

Considerando que as probabilidades mdia de morte (qx), segundo umadeterminada tbua, de:

- [0 - 20] at 20 anos: 0,600% o (por mil);- [21 - 30]: 0,800% o (por mil);- [31 - 40]: 1,500% o (por mil);- [41 - 50]: 5,000% o (por mil);- de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).

Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10pessoas com idade superior a 51 anos um evento:

(A) Certo.(B) Impossvel.

(C) Provvel.

(D) Muito Provvel.

(E) Pouco Provvel.

10. (AFRFB/2009/ESAF) O nmero de petroleiros que chegam a umarefinaria ocorre segundo uma distribuio de Poisson, com mdia de doispetroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no

mximo trs petroleiros em dois dias igual a:



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11. (ICMS-SP/2009/FCC) O nmero de pessoas que chega ao guich de

uma repartio pblica para autuao de processos apresenta uma distribuiode Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de quenos prximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guich

12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O nmero de clientes que buscam, em cada dia,os servios de um renomado cirurgio tem uma distribuio de Poisson commdia de 2 pacientes por dia.

Para cada cirurgia efetuada, o cirurgio recebe R$ 10.000,00. No entanto, eleconsegue fazer o mximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentesso perdidos para outros para outros cirurgies.

Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diria docirurgio.

(considere e-2= 0,14)

14. (AFPS/2002/ESAF). A varivel aleatria X tem distribuio uniforme nointervalo (0, a ) , onde a uma constante maior do que 0,5. Determine o valorde a tal que F(0,5) = 0,7, sendo F(x)a funo de distribuio de X.


Observao:

e = 2,71828...

A) R$ 5.600,00

B) R$ 8.400,00

C) R$ 10.000,00

D) R$ 14.400,00

E) R$ 20.000,00


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A) 3/4

B) 1/4

C) 1

D) 5/7

E) 1/2

(APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instrues: para resolver s prximasduas questes utilize as informaes abaixo referentes distribuio normalpadro Z:

z 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25P(0


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5(E) 1

18.A probabilidade de se obter X maior do que 0,5

(A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

19. (AFPS/2002/ESAF) A mdia e o desvio-padro obtidos num lote deproduo de 100 peas mecnicas so, respectivamente, 16kg e 40g. Umapea particular do lote pesa 18kg. Assinale a opo que d o valor padronizadodo peso da bola.

A) -50

B) 0,05

C) 50D)-0,05

E) 0,02

20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuio normal com mdia 2 evarincia 4. Assinale a opo que d o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padro 0,6745.

A) 3,3490

B) 0,6745

C) 2,6745

D)2,3373

E) 2,7500

21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuies de probabilidades aseguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X))2:

www.pontodosconcursos.com.br72 72Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

A) de densidade

B) de densidade


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22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendotrs questes de mltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para seraprovado. Cada questo apresenta cinco alternativas, mas apenas uma

correta. Se o candidato no se preparou e decide responder a cada questo aoacaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso igual a:

23. (Assistente Tcnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogarum dado honesto trs vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de onmero 1 sair exatamente uma vez?

A) 35%

B) 17%

C) 7%

D) 42%

E) 58%

24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma varivel aleatria Normal Padro.Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais prximo deP(-2,58 < Z < 1,96).

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Exercícios Resolvidos e Propostos - Probabilidade e Estatística

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