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Exercícios Resolvidos sobre:

I - Conceitos Elementares

Grupo I – Análise da Evolução de Séries Temporais

Questão 1

a) No quadro temos uma série temporal relativa ao período entre 0 e 4 para a variável

X.

Comecemos por calcular as taxas de crescimento simples para cada período

para em seguida calcular a respectiva média aritmética. t.c.t

1 01

0

120 100. .100

X Xt cX− −

= = =0,2

2 12

1

132 120. .120

X Xt cX− −

= = =0,1

3 23

2

264 132. .132

X Xt cX− −

= = =1

4 34

3

277, 2 264. .264

X Xt cX− −

= = =0,05

A média aritmética das taxas de crescimento é dada pela soma de todas as

taxas a dividir pelo número total de taxas:

1 2 3 4. . . . . . . . 0, 2 0,1 1 0,05Média aritmética t.c. 0,33754 4

t c t c t c t c+ + + + + += = =

Em média, a nossa variável cresceu à taxa de 33,75% ao ano.

b) A média geométrica das taxas de crescimento somadas à unidade, t.c.g, é dada pela

raiz do produto de todas as taxas somadas à unidade sendo o radical igual ao número

total de taxas:

441 2 3 41 . . (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 0,2) (1 0,1) (1 1) (1 0,05) 1, 29gt c t c x t c x t c x t c x x x+ = + + + + = + + + + =

Vamos deixar a interpretação deste valor para a alínea seguinte.

c) Na alínea c pedem-nos para calcular taxas de crescimento médio e não médias,

aritméticas ou geométricas, das taxas de crescimento, como fizemos nas alíneas

anteriores.

Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares

Exercícios Resolvidos – Marta Simões 2

Para calcular a taxa média de crescimento temos que atender à definição da

mesma: é a taxa de crescimento, igual para todos os períodos, que aplicada ao valor

inicial da variável e assim sucessivamente período após período permite obter o valor

final da mesma.

Vamos calculá-la pelos dois processos que conhecemos embora só

necessitássemos de utilizar um deles. Pela forma como os dados são fornecidos o

processo mais fácil é aquele que se baseia nos valores inicial e final da variável.

( i ) Para o período entre 0 e 3, a taxa de crescimento médio é dada por:

Processo 1

3 330 30

264. . . 1 1 1,382 1 0,382100

Xt c mX− = − = − = − =

Processo 2

30 3 1 2 3. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c− = + + + −

30 3

30 3

. . . (1 0,2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1

. . . 2,64 1 0,382

t c m

t c m−

−

= + + + + −

= − =

Entre o período 0 e o período 3 a variável cresceu à taxa média de 38,2% por

período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim

sucessivamente até ao período 3 vamos obter o valor final, X3=264.

( ii ) Para o período entre 0 e 4, a taxa de crescimento médio é dada por:

Processo 1

4 440 40

277,2. . . 1 1 1, 2903 1 0,29100

Xt c mX− = − = − = − =

Processo 2

40 4 1 2 3 4. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c t c− = + + + + −

40 4

40 4

. . . (1 0, 2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1

. . . 2,772 1 0,29

t c m

t c m−

−

= + + + + −

= − =



Entre o período 0 e o período 4 a variável cresceu à taxa média de 29% por

período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim

sucessivamente até ao período 4 vamos obter o valor final, X4=277,2 (o mesmo

raciocínio pode ser feito entre 0 e 3).

Se compararmos este resultado com o da alínea a) verificamos que a taxa

média de crescimento não é uma média aritmética das taxas de crescimento simples.

Com efeito, se aplicarmos a média aritmética das taxas ao valor inicial da variável e

assim sucessivamente período após período não obtemos o valor final da mesma.

Por outro lado, se compararmos o resultado com a alínea b) verificamos que a

taxa média de crescimento é igual à média geométrica das taxas de crescimento

simples somadas à unidade.

Podemos ainda constatar que a taxa média de crescimento para o período entre

0 e 3 é superior à taxa média de crescimento para o período entre 0 e 4. Isto acontece

porque a taxa de crescimento simples do período 4 é inferior às dos restantes períodos

o que vai puxar a média geométrica das taxas de crescimento simples somadas à

unidade ou taxa média de crescimento para baixo, entre o período 0 e o período 4.

Questão 2

Consideremos o gráfico seguinte que contém uma série temporal relativa à

produção, com observações trimestrais para 6 anos, de 2010 a 2105.

Produção Industrial

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv

trimestres2010-2015

índi

ces



Cada ponto do gráfico refere-se à observação da produção relativa a um

trimestre de um determinado ano.

Através da análise do gráfico podemos efectuar diferentes análises da

evolução da produção:

a) Podemos querer saber a tendência da evolução da produção ao longo do conjunto

dos 6 anos em análise.

A tendência de evolução de uma série pode ser interpretada como a característica

dominante da evolução anual, crescente ou decrescente.

Apesar da informação ser trimestral, se verificarmos que em todos os trimestres

entre dois anos consecutivos a produção cresceu, então entre os dois anos também terá

crescido (um ano é soma dos quatro trimestres).

Os valores do primeiro trimestre crescem em todos os anos excepto em 2013 em

que estagnam. Os valores do segundo trimestre crescem em todos os anos excepto em

2014. Os valores do terceiro crescem em todos os anos. Os valores do quarto trimestre

crescem excepto em 2014. 2010 a 2011 2011 a 2012 2012 a 2013 2013 a 2014 2014 a 2015

1ºTrimestre cresce cresce estagna cresce cresce 2ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce 3ºTrimestre cresce cresce cresce cresce cresce 4ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce Ano=Soma dos trimestres

CRESCE CRESCE CRESCE ESTAGNA/ DECRESCE

CRESCE

Olhando para o quadro e lendo coluna a coluna constatamos que houve:

crescimento em todos os trimestres em 2011 (relativamente a 2010); crescimento em

todos os trimestres em 2012 (relativamente a 2011) e crescimento em todos os

trimestres em 2013 (relativamente a 2012), logo neste três primeiros anos a produção

industrial cresceu em todos os anos. Em 2014 (relativamente a 2013), nos primeiro e

terceiro trimestres a produção industrial cresce, mas nos segundo e quarto trimestre

decresce, pelo que em termos anuais terá havido uma estagnação caso as variações de

sinal contrário se compensem exactamente, ou um decrescimento caso a diminuições

registadas seja mais fortes do que o aumentos. Em 2015 (relativamente a 2014), a

produção volta a crescer em todos os trimestres e logo em termos anuais.

Temos para o período de 2010 a 2015, quatro anos de crescimento e apenas um de

decrescimento pelo que podemos concluir que a tendência de evolução da série foi

crescente.



b-i) Podemos também querer saber como se comporta a produção em cada ano, ou

seja, de trimestre para trimestre.

Verificamos que a produção cresce no segundo trimestre, decresce no terceiro e

torna a crescer no quarto em todos os anos. 2010 2011 2012 2013 2014 2015

1ºT-2ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce 2ºT-3ºT decresce decresce decresce decresce decresce decresce 3ºT-4ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce

Se observarmos os seis anos verificamos que a evolução trimestral se repete em

todos eles.

Este fenómeno é conhecido por sazonalidade: variações que ocorrem entre os sub-

períodos do ano e que se repetem ano após ano, podendo resultar, por exemplo, de

factores climatéricos ou culturais (Verão, Natal,etc.).

Por exemplo, em Setembro, período em que se inicia um novo ano lectivo,

verifica-se um aumento da procura de livros relativamente aos restantes meses do ano.

Temos aqui um factor cultural a determinar uma variação da procura de livros que se

repete todos os anos. Nos meses de Verão aumenta a produção de frutas relativamente

aos restantes meses do ano o que deriva de um factor climatérico.

b-ii) Além das flutuações em cada ano podemos analisar as flutuações ao longo do

período total com base na nossa análise anual inicial.

Olhando para o primeiro quadro constatamos que:

- entre 2010 e 2013 todos os trimestres crescem excepto o primeiro em 2013

pelo que podemos dizer que foi um período de crescimento;

- em 2014, o primeiro e terceiro trimestre crescem mas o segundo e o quarto

decrescem: se as duas evoluções opostas se compensam temos estagnação se o

decrescimento é mais forte temos decrescimento;

- em 2015 todos os trimestres voltam a crescer.

Temos então crescimento de 2010 a 2013, decrescimento em 2014 e

novamente crescimento em 2015.

c) Já sabemos que a tendência de evolução da produção entre 2010 e 2015 foi de

crescimento (alínea a). Mas também sabemos que determinados anos se comportaram

de forma diferente (alínea b-ii).



No período total podemos então identificar sub-períodos de evolução, isto é,

identificar os anos em que a produção cresceu, aqueles em que estagnou e aqueles em

que decresceu. Atendendo à análise da alínea anterior, os sub-períodos de crescimento

são dois: 2010 a 2013 e 2015; e temos também um sub-período de decrescimento (ou

estagnação), 2014.

d) Para concluir, face às diversas análises que realizámos podemos dizer que, se o

nosso objectivo é efectuar uma análise da evolução anual da produção mas as

observações referem-se a subperíodos do ano, a trimestres, então temos que comparar

os mesmos trimestres dos diferentes anos.

Se utilizássemos trimestres diferentes de anos consecutivos estaríamos a

enviesar a nossa análise devido ao fenómeno da sazonalidade: diferentes trimestres

estão sujeitos a influências diferentes, para além daquelas que afectam anualmente

todos os trimestres e que variam de ano para ano.

Questão 3

Consideremos o quadro com os valores trimestrais de X para dois anos, 1998 e

1999. Como os valores são trimestrais e queremos uma análise da evolução anual

temos que calcular as respectivas taxas de crescimento homólogas anuais: Trimestre/ano X Trimestre/ano X t.c.h.s(t)

I/1998 100 I/1999 135 (1999)

(1999)(1998)

135. . . 1 1100

II

I

Xt c h

X= − = − =0,35

II/1998 110 II/1999 150 (1999)

(1999)(1998)

150. . . 1 1110

IIII

II

Xt c h

X= − = − =0,36

III/1998 125 III/1999 170 (1999)

(1999)(1998)

170. . . 1 1125

IIIIII

III

Xt c h

X= − = − =0,3

6 IV/1998 130 IV/1999 175

(1999)(1999)

(1998)

175. . . 1 1130

IVIV

IV

Xt c h

X= − = − =0,35

Como podemos verificar as taxas homólogas anuais são semelhantes dado que

tivémos em conta o fenómeno da sazonalidade. Já se tivéssemos comparado o valor

do quarto trimestre do ano 1999 com o do primeiro trimestre do ano 1998 tínhamos

obtido uma taxa de 0,75 enviesada para cima uma vez que X cresce trimestre a

trimestre em cada ano.



Questão 4

Com o exercício 4 pretendemos comparar a evolução da produção de cimento

no país A e no país B que, como podemos constatar, têm valores com ordem de

grandezas muito diferentes (A na casa das centenas e B na casa das centenas de

milhares).

Podemos efectuar esta análise através de um gráfico. A questão é saber se esta

análise comparada é mais fácil utilizando um gráfico com valores absolutos ou com

valores relativos (índices).

Comecemos por desenhar o gráfico com valores absolutos. Como se trata da

representação gráfica de séries temporais, no eixo horizontal ou eixo das abcissas

inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações, neste caso o ano, e no

eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as toneladas de cimento.

Produção de cimento nos países A e B

0100000200000300000400000500000600000700000800000

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

ano

tone

lada

s

País A

País B

Como podemos constatar, a diferença na ordem de grandeza dos valores da

produção de cimento nos dois países não permite a comparação da evolução da

mesma utilizando um único gráfico. Para representarmos ambas as evoluções no

mesmo gráfico, a escala utilizada faz com que a produção no país A pareça igual a

zero em qualquer dos anos e sem variação.



Vamos então calcular as séries de números índices e desenhar o respectivo

gráfico: It/85

País A País B I85/85=100 I85/85=100

I86/85= 100101111 x =109,9 I86/85= 100

398172437989 x =110

I87/85= 100101139 x =137,6 I87/85= 100

398172547486 x =137,5

I88/85= 100101142 x =140,6 I88/85= 100

398172558436 x =140,2

I89/85= 100101153 x =151,5 I89/85= 100

398172603111 x =151,5

I90/85= 100101176 x =174,3 I90/85= 100

398172693578 x =174,2

Utilizando números índices é então fácil de verificar que a evolução da

produção de cimento nos dois países é praticamente a mesma: relativamente ao ano

base, 1985, em qualquer dos países a produção de cimento aumentou na mesma

proporção em todos os anos. Apesar dos valores absolutos da produção de cimento

serem muito diferentes nos dois países a sua evolução neste período foi idêntica.

Passando agora à representação gráfica das séries em índices verificamos que

não existe já qualquer dificuldade em representar as duas séries no mesmo gráfico

sendo imediata a percepção de idêntica evolução das duas séries.

Produção de cimento nos países A e B (índices)

020406080

100120140160

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

ano

índi

ce (1

985=

100)

País A

País B

Note-se que quando dispomos apenas de séries em números índices apenas

podemos efectuar uma comparação da evolução das séries. Nada podemos dizer

acerca dos respectivos valores absolutos.



Exercício 5

a) Se quisermos comparar a evolução do peixe negociado na lota nos dois anos

podemos começar por representar graficamente os respectivos valores.

Como se trata da representação gráfica de séries temporais, no eixo horizontal

ou eixo das abcissas inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações,

neste caso os meses do ano, e no eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as

toneladas de peixe negociado em cada mês.

O gráfico vai ser composto por duas curvas, uma para o ano de 1990 e uma

para o ano de 1991 e terá o seguinte aspecto:

Evolução do peixe negociado na lota em 1990 e 1991

02468

101214

Jane

iro

Fevere

iro

Março

Abril

MaioJu

nho

Julho

Agosto

Setembro

Outubro

Novem

bro

Dezem

bro

meses

tone

lada

s

Ano1990Ano1991

A partir do gráfico podemos ver que a quantidade de peixe negociado na lota

evolui de forma semelhante ao longo dos dois anos: diminui em Fevereiro, aumentou

até Julho/Agosto e em seguida diminui sempre até Dezembro.

b-i) Podemos também retratar a evolução da quantidade de peixe negociado

escrevendo as séries na forma de números índices. Se tomarmos como período de

referência ou período base o mês de Fevereiro de 1991 os índices para os restantes

meses virão:

10091

91/ xX

XIFev

tFevt =

sendo X a quantidade de peixe negociado em cada mês e t o mês em questão.



It/Fev91

IJan90/Fev91= 1007,75,8 x =110 IJul90/Fev91= 100

7,71,12 x =157 IJan91/Fev91= 100

7,76,8 x =112 IJul91/Fev91= 100

7,73,12 x =160

IFev90/Fev91= 1007,79,7 x =103 IAg90/Fev91= 100

7,74,12 x =161 IFev91Fev91=100 IAg91/Fev91= 100

7,76,11 x =151

IMar90/Fev91= 1007,73,9 x =121 ISet90/Fev91= 100

7,78,11 x =153 IMar91/Fev91= 100

7,73,8 x =108 ISet91/Fev91= 100

7,79,10 x =142

IAb90/Fev91= 1007,71,10 x =131 IOut90/Fev91= 100

7,73,10 x =134 IAb91/Fev91= 100

7,71,9 x =118 IOut91/Fev91= 100

7,711 x =143

IMaio90/Fev91= 1007,75,11 x =149 INov90/Fev91= 100

7,71,9

x =118 IMaio91/Fev91= 1007,7

12 x =156 INov91/Fev91= 1007,71,10 x =131

IJun90F/ev91= 1007,72,12 x =158 IDez90/Fev91= 100

7,77,8 x =113 IJun91/Fev91= 100

7,78,11

x =153 IDez91/Fev91= 1007,79,8 x =116

b-ii) Se, por qualquer razão, quisermos alterar o período base da série em números

índices apenas necessitamos dos valores na base antiga.

Tomando o mês de Agosto de 1990 como novo período base, os índices para

os restantes meses virão:

10091/90

91/90/ x

III

FevAg

FevtAgt =

It/Ag90

IJan90/Ag90= 100161110 x =69 IJul90/Ag90= 100

161157 x =98 IJan91/Ag90= 100

161112 x =69 IJul91/Ag90= 100

161160 x =99

IFev90/Ag90= 100161103 x =64

IAg90/Ag90=100 IFev91/Ag90= 100

161100 x =62 IAg91/Ag90= 100

161151 x =94

IMar90/Ag90= 100161121 x =75 ISet90/Ag90= 100

161153 x =95 IMar91/Ag90= 100

161108 x =67 ISet91/Ag90= 100

161142 x =88

IAb90/Ag90= 100161131 x =81 IOut90/Ag90= 100

161134 x =83 IAb91/Ag90= 100

161118 x =73 IOut91/Ag90= 100

161143 x =89

IMaio90/Ag90= 100161149 x =93 INov90/Ag90= 100

161118 x =73 IMaio91/Ag90= 100

161156 x =97 INov91/Ag90= 100

161131 x =81

IJun90/Ag90= 100161158 x =98 IDez90/Ag90= 100

161113 x =70 IJun91/Ag90= 100

161153 x =95 IDez91/Ag90= 100

161116 x =72

c) A partir dos valores mensais é possível calcular valores médios trimestrais, ou seja,

saber como é que se portou em média o mês de um determinado trimestre.



O valor médio trimestral é a média aritmética dos meses que fazem parte do

trimestre:

3

MarFevJanIa

XXXX

++=

3JunMaioAb

IIaXXX

X++

=

3SetAgJul

IIIa

XXXX

++=

3DezNovOut

IVaXXX

X++

=

Médias trimestrais 1990 1991

33,99,75,8 ++

=IaX =8,6 3

3,87,76,8 ++=IaX =8,2

32,125,111,10 ++

=IIaX =11,3 3

8,11121,9 ++=IIaX =10,9

38,114,121,12 ++

=IIIaX =12,1 3

9,106,113,12 ++=IIIaX =12,6

37,81,93,1 ++

=IVaX =9,4 3

9,81,1011 ++=IVaX =10

Temos uma nova série relativa ao peixe negociado na lota, agora composta por

valores médios trimestrais.

d) A série anterior pode também ser escrita na forma de números índices.

Para calcularmos a série de números índices vamos considerar como base não

um dos valores médios trimestrais mas o valor médio anual de 1990. Como o ano é

composto por doze meses ou quatro trimestres, o valor médio de 1990 pode ser

calculado de duas formas:

32,104

4,91,123,116,84

32,1012

7,81,93,108,114,121,122,125,111,103,99,75,8

12

9090909090

90

=+++

=+++

=

=+++++++++++

=

=+++++++++++

=

IVIIIIIIa

DezNovOutSetAgJulJunMaioAbMarFevJana

aXaXaXaXX

XXXXXXXXXXXXX

Já estamos em condições de calcular os índices trimestrais:

10090

90/ xaXaX

I tMédiat =

designando t os trimestres.



It/média90

II90/média90= 10010

6,8 x =82,97 II91/média90= 10010

2,8 x =79,6

III90/média90= 10010

3,11 x =109,12 III91//média90= 10010

9,10 x =106,2

IIII90/média90= 10010

1,12 x =117,2 IIII91/média90= 10010

6,11 x =112,3

IIV90/média90= 10010

4,9 x =90,72 IIV91/média90= 1001010 x =96,9

Questão 6

a) O quadro contém uma série temporal relativa à produção sob a forma de números

índices:

Tendo esta série e o valor absoluto da produção ou quantidade produzida de pelo

menos um dos anos é possível determinar as quantidades produzidas nos restantes

anos com base na fórmula do índice simples.

Se o valor absoluto fornecido fosse o do ano base podíamos de imediato

calcular o valor absoluto dos outros anos já que este valor entra no cálculo do índice

para todos eles.

Como o valor fornecido se refere a 1993 vamos começar por, com base na

fórmula do índice de 1993, calcular o valor absoluto da produção no ano base, 1988:

I1993/1988 =1988

1993

XX

x100

112,4=1988

1000X

x100

X1988=4,112

1000 x100

X1988=890 ton

Agora é então imediato calcular o valor absoluto da produção nos restantes

anos:

It/1988 =1988X

X t x100

Xt= 100

198888/ xXI t

Xt= 100

89088/ xI t



Valor absoluto ou quantidade produzida

X1985= 100

89088/85 xI=

1008905,77 x

=690 X1990= 100

89088/90 xI=

1008901,103 x

=918

X1986= 100

89088/86 xI=

1008902,89 x

=794 X1991= 100

89088/91 xI=

1008902,107 x

=954

X1987= 100

89088/87 xI=

10089098x

=872 X1992= 100

89088/92 xI=

1008908,109 x

=977

X1989= 100

89088/89 xI=

1008905,101 x

=903

b) Pode acontecer que haja necessidade de mudar o ano base de cálculo da série de

números índices (em geral porque a base antiga se vai desactualizando e deixa de ser

considerada como um período de referência).

A mudança de base é efectuada facilmente através da série de números índices

na base antiga.

Se b designar a base antiga e k a nova base, então o índice de t na nova base é

dado por,

It/k =bk

bt

II

/

/ x100

Ou seja, obtém-se dividindo o índice de t na base antiga pelo índice de k, a nova base,

na base antiga.

Para o nosso exercício, a base antiga é o ano de 1988 e a nova base o ano de

1985, pelo que os índices na nova base vêm:

It/85 =88/85

88/

II t x100

Índice de Produção (1985=100)

I85/85 =100 I90/85 =88/85

88/90

II

x100=5,771,103

x100=133

I86/85 =88/85

88/86

II

x100=5,772,89

x100=115,1 I91/85 =88/85

88/91

II

x100=5,772,107

x100=138,3

I87/85 =88/85

88/87

II

x100=5,77

98 x100=126,5 I92/85 =

88/85

88/92

II

x100=5,778,109

x100=141,7

I88/85 =88/85

88/88

II

x100=5,77

100 x100=129 I93/85 =

88/85

88/93

II

x100=5,774,112

x100=145

I89/85 =88/85

88/89

II

x100=5,775,101

x100=131



Questão 7

i) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os valores da produção de cada um dos

sabonetes com o respectivo valor no ano base. Índices da Produção (1989=100)

Sabonete A Sabonete B I89/89 =100 I89/89 =100

I90/89 =89

90

)()(

AXAX

x100=12500001318000

x100=105,44 I90/89 =89

90

)()(

BXBX

x100=970000985000

x100=101,55

I91/89 =89

91

)()(

AXAX

x100=12500001189000

x100=95,12 I91/89 =89

91

)()(

BXBX

x100=970000

1070000 x100=110,31

I92/89 =89

92

)()(

AXAX

x100=12500001020000

x100=81,6 I92/89 =89

92

)()(

BXBX

x100=970000

1112000 x100=114,64

X(A) – produção do sabonete A; X(B) – produção do sabonete B

A produção de A cresceu em 1990 mas decresceu em 1991 e 1992,

relativamente a 1989. Já a produção de B cresceu sempre relativamente a 1989.

ii) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os preços de cada um dos sabonetes com o

respectivo valor no ano base. Índices de Preço (1989=100)

Sabonete A Sabonete B I89/89 =100 I89/89 =100

I90/89 =89

90

)()(

APAP

x100=15

5,17 x100=116,67 I90/89 =

89

90

)()(

BPBP

x100=6068

x100=113,33

I91/89 =89

91

)()(

APAP

x100=1516

x100=106,67 I91/89 =89

91

)()(

BPBP

x100=6070

x100=116,67

I92/89 =89

92

)()(

APAP

x100=15

5,18 x100=123,33 I92/89 =

89

92

)()(

BPBP

x100=60

5,78 x100=130,83

P(A) – produção do sabonete A; P(B) – produção do sabonete B

O preço de A cresceu sempre relativamente a 1989. O preço de B também

cresceu sempre relativamente a 1989 e mais do que o de A excepto em 1990.



Questão 8

O valor da produção de um país designa-se por Produto Interno Bruto (PIB).

Como num país se produzem inúmeros bens e serviços, avaliados em termos físicos

em unidades diferentes, se queremos conhecer o valor da respectiva produção temos

que reduzir a produção dos diferentes bens a uma unidade comum, a unidade

monetária, no caso português o euro (€). O valor da produção de um país é então

função das quantidades produzidas e dos preços utilizados na avaliação das

quantidades produzidas. Consoante o ano a que se referem os preços utilizados na

avaliação das quantidades produzidas podemos ter três conceitos diferentes de PIB: o

PIB a preços correntes que utiliza, como o nome indica, os preços do ano corrente; o

PIB a preços constantes que utiliza sempre os mesmos preços de um ano escolhido

como referência; e o PIB a preços do ano anterior que utiliza, como o nome indica, os

preços do ano anterior.

Para respondermos à questão 8 vamos dividi-la em três alíneas

correspondentes a cada uma das três colunas que nos pedem para preencher.

Comecemos por interpretar os valores de cada coluna. Na primeira coluna temos o

PIB a preços correntes, ou seja, as quantidades produzidas num determinado ano

avaliadas a preços desse mesmo ano. Por exemplo, o PIB a preços correntes de 1995

corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o PIB a

preços correntes de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996 avaliadas a

preços de 1996, o PIB a preços correntes de 1997 corresponde às quantidades

produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1997, e assim sucessivamente.

Na segunda coluna temos o PIB a preços do ano anterior, ou seja, as quantidades

produzidas num determinado ano avaliadas a preços do ano anterior. Por exemplo, o

PIB a preços do ano anterior de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996

avaliadas a preços de 1995, o PIB a preços do ano anterior de 1997 corresponde às

quantidades produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1996, o PIB a preços do ano

anterior de 1998 corresponde às quantidades produzidas em 1998 avaliadas a preços

de 1997, e assim sucessivamente.

Na terceira coluna temos a taxa de crescimento do PIB a preços constantes de

1995. O PIB a preços constantes de 1995 é um valor monetário que resulta de avaliar

as quantidades produzidas nos diferentes anos sempre aos mesmos preços, os preços

do ano de 1995 no nosso exercício. Assim, por exemplo, o PIB a preços constantes

para o ano de 1999 corresponde a avaliar as quantidades produzidas em 1999 a preços



de 1995; o PIB a preços constantes para o ano de 2000 corresponde a avaliar as

quantidades produzidas em 2000 a preços de 1995. Os valores da terceira coluna

correspondem então à taxa de crescimento anual desta variável, em percentagem. Em,

1996 o PIB a preços constantes aumentou 3,54%, em 1997 aumentou 3,96%, e assim

sucessivamente.

8.1. Como calcular o valor do PIB a preços constantes de 1995? Uma vez que

conhecemos a respectiva taxa de crescimento basta-nos conhecer um dos valores do

PIB a preços constantes para podermos calcular todos os outros.

Nenhum valor do PIB a preços constantes é dado directamente mas, atendendo à

definição de PIB a preços correntes e de PIB a preços constantes, sabemos que no ano

ao qual se referem os preços base, 1995 neste caso, o PIB a preços constantes coincide

com o PIB a preço correntes.

O PIB a preços correntes para o ano de 1995 corresponde às quantidades

produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o ano corrente. O PIB a preços

constantes para o ano de 1995, tomando como referência os preços do ano de 1995,

corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas aos preços do ano base que

é também 1995. Assim, e apenas no ano base para o cálculo do PIB a preços

constantes podemos escrever:

PIB a preços correntes em 1995=PIB a preços constantes em 1995=80827

Estamos já em condições de preencher a quinta coluna da tabela: Anos Tx.cresc.

PIB a preços constantes de 1995 (%)

PIB a preços constantes de 1995

1995 80827 1996 3,54 80827x(1+0,0354)=83688 1997 3,96 83688x(1+0,0396)=87002 1998 4,58 87002x(1+0,0458)=90987 1999 3,80 90987x(1+0,0380)=94445 2000P 3,69 94445x(1+0,0369)=97930 2001P 1,64 97930x(1+0,0164)=99536

8.2. Para calcular a taxa de crescimento do PIB a preços correntes temos apenas

que aplicar a fórmula da taxa de crescimento simples.



Anos PIB preços correntes

Tx.cresc. PIB a preços correntes

1995 80827 1996 86230 (86230/80827)-1=0,0668 ou 6,68% 1997 93014 (93014/86230)-1=0,0787 ou 7,87% 1998 100962 (100962/93014)-1=0,0854 ou 8,54% 1999 108030 (108030/100962)-1=0,0700 ou 7% 2000 115546 (115546/108030)-1=0,0696 ou 6,96% 2001 122978 (122978/115546)-1=0,0643, ou 6,43%

8.3. Como calcular a taxa de crescimento dos preços, t.c.p.t? Temos dois processos

de resolução desta questão.

Se, para cada ano, compararmos o valor do PIB a preços correntes com o valor do

PIB a preços do ano anterior temos a taxa de crescimento dos preços uma vez que

entre os dois valores apenas se alteram os preços, mantendo-se as quantidades

produzidas:

PIB a preços correntes do ano t-PIB a preços do ano anterior do ano t. . .PIB a preços do ano anterior do ano ttt c p =

Anos PIB preços

correntes PIB preçosano anterior

Tx. Cresc. preços

1995 80827 1996 86230 83692 86230-83692

83692=0,0304 ou 3,04%

1997 93014 89645 93014-8964589645

=0,0376 ou 3,76%

1998 100962 97274 100962-9727497274

=0,0379 ou 3,79%

1999 108030 104800 108030-104800104800

=0,0308 ou 3,08%

2000 115546 - - 2001 122978 - -

Uma vez que nos é dada a taxa de crescimento do PIB a preços constantes ou taxa

de crescimento do PIB real e calculámos já a taxa de crescimento do PIB a preços

correntes ou PIB nominal, podemos também resolver a questão atendendo à relação

entre as taxas de crescimento do PIB nominal, do PIB real e dos preços:

(1+t.c.n.t)=(1+t.c.r.t)x(1+t.c.p.t)

Resolvendo em ordem à taxa de crescimento dos preços:



tt

t

1+t.c.n.t.c.p. 11+t.c.r.

= −

Anos Tx.cresc. PIB a preços correntes

Tx.cresc. PIB a preços constantes

Tx. Cresc. preços

1995 1996 0,0668 0,0354 1+0,0668 1

1+0,0354− =

0,0304 1997 0,0787 0,0396 1+0,0787 1

1+0,0396− =

0,0376 1998 0,0854 0,0458 1+0,0854 1

1+0,0458− =

0,0379 1999 0,0700 0,0380 1+0,0700 1

1+0,0380− =

0,0308 2000 0,0696 0,0369 1+0,0696 1

1+0,0369− =

0,0315 2001 0,0643 0,0164 1+0,0643 1

1+0,0164− =

0,0471 Obtemos exactamente os mesmos resultados pelos dois processos de cálculo.

Questão 9

O salário pode ser entendido de duas formas:

- salário nominal (SN), ou seja, a quantidade de moeda que o trabalhador

recebe;

- salário real (SR), a quantidade de bens e serviços que o trabalhador pode

adquirir com o salário nominal que recebe.

A um trabalhador interessa que o seu salário real cresça pois isso significa que

pode adquirir mais bens e serviços com o seu salário nominal.

Mas para que o salário real cresça não basta que aumente o salário nominal. Se o

crescimento dos preços for superior ao crescimento do salário nominal o trabalhador

pode receber uma maior quantidade de moeda mas a quantidade de bens e serviços

que consegue adquirir com essa quantidade de moeda diminui.

Para conhecermos a evolução do salário real temos então que descontar à taxa de

crescimento do salário nominal a taxa de crescimento dos preços:



N tR t

t

1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC

sendo o Índice de Preços no Consumidor um índice que traduz a evolução do preço

médio de um cabaz de bens e serviços considerado representativo dos hábitos de

consumo dos trabalhadores.

Para analisarmos a evolução do salário real na Indústria Transformadora e na

Construção necessitamos da taxa de crescimento do salário nominal e da taxa de

crescimento dos preços.

Como já conhecemos a taxa de crescimento dos preços (é a variação relativa do

IPC) e temos séries em números índices das remunerações nominais, a primeira coisa

a fazer é, utilizando os índices, calcular as taxas de crescimento do salário nominal.

Em seguida, podemos já utilizar a relação entre taxa de crescimento do salário real,

do salário nominal e dos preços para calcular a primeira.

Passo 1: calcular a taxa de crescimento simples do salário nominal1:

/ 80 1/ 80

1/ 80

t. . N t N t

N t

S SN

S

I It c S

I−

−

−=

t.c.SN t

Indústria Transformadora Construção

78 / 80

78

77 / 80

69,3. . 1 159,5

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,16 78 / 80

78

77 / 80

66,6. . 1 158,1

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,15

79 / 80

79

78 / 80

80, 4. . 1 169,3

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,16 79 / 80

79

78 / 80

79,6. . 1 166,6

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,20

80 / 80

80

79 / 80

100. . 1 180,4

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,24 80 / 80

80

79 / 80

100. . 1 179,6

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,26

81/ 80

81

80 / 80

121,7. . 1 1100

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,22 81/ 80

81

80 / 80

128,1. . 1 1100

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,28

82 / 80

82

81/ 80

143,5. . 1 1121,7

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,18 82 / 80

82

81/ 80

160,1. . 1 1128,1

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,25

83 / 80

83

82 / 80

169,1. . 1 1143,5

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,18 83 / 80

83

82 / 80

196,1. . 1 1160,1

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,22

1 Para calcular uma taxa de crescimento simples é indiferente utilizar os valores absolutos ou os valores em índices (de base fixa) da variável.



84 / 80

84

83 / 80

199,7. . 1 1169,1

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,18 84 / 80

84

83 / 80

218, 4. . 1 1196,1

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,11

85 / 80

85

84 / 80

240,5. . 1 1199,7

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,20 85 / 80

85

84 / 80

268,9. . 1 1218, 4

N

N

SN

S

It c S

I= − = − =0,23

O salário nominal cresceu em todos os anos quer na Indústria Transformadora

quer na Construção. Mas os preços também cresceram sempre, logo o salário real

pode não ter aumentado.

Passo 2: Calcular a taxa de crescimento do salário real2:

N tR t

t

1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC

t.c.SRt Indústria Transformadora Construção

N 78R 78

78

1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPBC 1 0, 221

+= −

+=-0,05 N 78

R 7878

1+t.c.S 1 0,15t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,221

+= −

+=-0,06

N 79R 79

79

1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,242

+= −

+=-0,07 N 79

R 7979

1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 242

+= −

+=-0,04

N 80R 80

80

1+t.c.S 1 0, 24t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166

+= −

+=0,07 N 80

R 8080

1+t.c.S 1 0, 26t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166

+= −

+=0,08

N 81R 81

81

1+t.c.S 1 0,22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20

+= −

+=0,01 N 81

R 8181

1+t.c.S 1 0, 28t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20

+= −

+=0,07

N 82R 82

82

1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224

+= −

+=-0,04 N 82

R 8282

1+t.c.S 1 0,25t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224

+= −

+=0,02

N 83R 83

83

1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 255

+= −

+=-0,06 N 83

R 8383

1+t.c.S 1 0, 22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,255

+= −

+=-0,02

N 84R 84

84

1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 293

+= −

+=-0,09 N 84

R 8484

1+t.c.S 1 0,11t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,293

+= −

+=-0,14

N 85R 85

85

1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193

+= −

+=0,01 N 85

R 8585

1+t.c.S 1 0, 23t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193

+= −

+=0,03

Apesar do salário nominal ter crescido sempre foram mais os anos de

diminuição do salário real do que de aumento. Isto aconteceu devido ao forte

crescimento dos preços em qualquer dos anos.

Na indústria transformadora, o salário nominal cresceu sempre mas só em

1981, 82 e 85 se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o

2 Para calcular a taxa de crescimento do salário real temos que dividir a taxa de crescimento dos preços por 100 pois o valor que nos é dado está em percentagem.



crescimento dos preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou

uma diminuição do salário real.

Na construção, o salário nominal cresceu sempre mas só em 1980, 81, 82 e 85

se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o crescimento dos

preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou uma diminuição

do salário real.

Questão 10

Vamos designar por VN0 o capital inicial de que dispomos para emprestar e por iN

a taxa de juro que cobramos pelo empréstimo, ou seja, a taxa de juro nominal:

VN0=25 euros iN=0,06

a) Vamos emprestar os nossos 25 euros durante um ano e, no final desse ano, vamos

receber um montante superior, o montante inicial mais os juros:

VN0=25 euros VN1=?

0 1 VN1= VN0 (1+iN)=25x1,06=26,5

No final do ano recebemos 26,5 euros, um montante superior ao que tínhamos

inicialmente. Mas será que estes 26,5 euros nos permitem adquirir mais bens e

serviços do que os que adquiríamos no período 0 com os nosso 25 euros?

b) A inflação durante este ano foi de 15%. Isto significa que o preço dos bens em

geral cresceu 15%, ou seja, cresceram mais do que o nosso capital que só cresceu à

taxa de 6%. Assim, apesar de termos mais dinheiro no ano 1 o montante de bens e

serviços que conseguimos comprar é inferior ao que conseguíamos comprar com os

25 euros que tínhamos no ano 0.

Para verificar o que dissemos atrás acerca do poder de compra do estudante

podemos então calcular a taxa de juro real do seu empréstimo, que nos dá a evolução

da quantidade de bens e serviços que pode adquirir com o seu dinheiro:

111

−++

=P

NR i

ii = 115,0106,01

−++ =-0,08

A taxa de juro real é negativa logo esta aplicação não foi uma boa opção.



Assim, apesar de dispormos de um capital superior o nosso poder de compra

diminuiu pelo que não realizámos o objectivo da nossa aplicação que era aumentar a

quantidade de bens e serviços adquirida.

Este problema é conhecido por ilusão monetária: os agentes económicos

interpretam as variações nominais como equivalentes a variações reais não tendo em

atenção as variações dos preços e acabando por perder poder de compra quando os

preços aumentam a um ritmo superior ao dos valores nominais.

c) O estudante ao aplicar o seu dinheiro deve estipular um valor objectivo para a

evolução do seu poder de compra, ou seja, deve escolher a aplicação em função da

taxa de juro real pretendida e não da taxa de juro nominal.

Se ele tivesse fixado como objectivo aumentar o seu poder de compra em 3%

então a taxa de juro a que devia ter emprestado o dinheiro seria, partindo da expressão

da taxa de juro real:

111

−++

=P

NR i

ii , iP=0,15 e iR=0,03.

iN=(1+iR)x(1+iP)-1=1,03x1,15-1=0,1845

Para poder aumentar o seu poder de compra em 3%, a taxa de juro do

empréstimo teria de ser de 18,45%, face ao aumento registado nos preços.

Actualmente, caso o estudante realize poupança, deve escolher uma aplicação

com uma taxa de juro igual ou superior a 2% se não quiser ver o seu poder de compra

diminuir.

Questão 11

a)Este problema é semelhante ao anterior mas agora o prazo do empréstimo é

superior.

Fez-se um contrato de empréstimo por três anos, novamente com o objectivo

de, ao fim dos três anos, vermos o nosso poder de compra aumentado.

Conhecendo nós o problema da ilusão monetária sabemos que, para termos um

ganho real, a taxa de juro a ter em conta não é a taxa de juro nominal (8%) mas a taxa

de juro real.



No início do período do nosso empréstimo, ou seja, quando realizamos o

contrato, apenas dispomos de uma estimativa da taxa de juro real face à inflação

anunciada pela Governo.

Temos então que começar por calcular a taxa de juro real prevista para cada

um dos três anos e em seguida calcular a taxa de juro real prevista para o período,

problema semelhante ao do cálculo de uma taxa de crescimento médio.

8% 8% 8% iN 8% 6% 4% iP esperada

0 1 2 3

Passo 1

108,0108,011

11

1

1

1−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =0

106,0108,011

11

2

2

2−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =0,019

104,0108,011

11

3

3

3−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =0,038

No primeiro ano o ganho real esperado com o empréstimo é nulo, nos

seguintes já é positivo. Mas o que interessa é a taxa de juro real média para o conjunto

dos três anos.

Passo 2

019,01019,11057722,1

1)038,01()019,01()01(1)1()1()1(3

33321

=−=−=

=−+++=−+++= xxixixii RRRR

A taxa de juro real prevista à data da realização do empréstimo é de 1,9% ano.

b-i) Ao fim dos três anos já podemos calcular qual foi efectivamente o nosso ganho

real face à inflação que na realidade se verificou.

Os passos para a resolução desta alínea são os mesmos da alínea anterior.

8% 8% 8% iN 10% 13% 15% iP efectiva

0 1 2 3



Passo 1

11,0108,011

11

1

1

1−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =-0,018

113,0108,011

11

2

2

2−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =-0,04

115,0108,011

11

3

3

3−

++

=−+

+=

P

NR i

ii =-0,06

Efectivamente, ao contrário do esperado, em todos os anos houve uma perda

real e não um ganho. Novamente o que interessa é a taxa de juro real média para o

conjunto dos três anos.

Passo 2

04,019605,018861568,0

1)06,01()04,01()018,01(1)1()1()1(

3

33321

−=−=−=

=−−−−=−+++= xxixixii RRRR

A taxa de juro real efectiva foi de -4% ano, ou seja, as nossas expectativas no

início do período da realização do empréstimo foram totalmente frustradas.

b-ii) À medida que vão passando os anos do nosso empréstimo podemos ir revendo as

nossas expectativas iniciais, ou seja, podemos rever os nosso cálculos da taxa de juro

real média com base na inflação já verificada.

No final do segundo ano já conhecemos a inflação verificada nos dois

primeiros anos, respectivamente, 10% e 13%. Para o terceiro ano a inflação esperada

é de 4%.

8% 8% 8% iN iP efectiva: 10% iP efectiva: 13% iP esperada: 4%

0 1 2 3 Utilizando os resultados das alíneas anteriores sabemos que a taxa de juro real

efectiva para os dois primeiros anos foi de, respectivamente, -4,% e –6%, e a taxa de

juro real esperada para o terceiro ano foi de 3,8%.

Assim, a taxa de juro real média prevista no final do segundo ano é dada por:

007,01992796,0197854336,0

1)038,01()06,01()04,01(3

3

−=−=−=

=−+−−== xxiR



Ao fim do segundo ano e face à inflação prevista para o terceiro ano já se

prevê uma perda real de 0,7%.

c) Em situações deste género, em que a inflação efectiva se desvia muito da inflação

anunciada pelo Governo, os agentes económicos que dispõem de capital para aplicar

deixam de o fazer pois não conseguem fazer uma previsão fiável dos ganhos reais da

sua aplicação. Ora estas aplicações servem para financiar o investimento na economia

pelo que situações deste género podem pôr em causa a sua capacidade de crescimento.

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