UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS

EXERCÍCIOS DE VIBRAÇÕES

SISTEMAS com 1 GL

N O T A S D E A U L A S

Virgílio Mendonça da Costa e Silva

Janeiro – 2018

Teoria da Vibração com Aplicação

Williams T. Thomson

Capitulo 2 (Thomson)

1. Uma mola leve alonga de 0,31 pol quando ligada ao peso de uma libra. Determinar a

frequência natural do sistema.

2. Em um sistema mola-massa k1, m tem uma frequência natural de f1 Se uma segunda mola é

adicionada em série à primeira, a frequência natural baixa para 1/2 f1. Determinar k2 em

função de k1.

3. Um peso de 10 lb ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é

fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período natural quando um

peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as extremidades fixas.

4. Um peso desconhecido de W lb, ligado à extremidade de uma mola desconhecida k, tem uma

frequência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib o peso de W. a frequência natural

baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso desconhecido W lb e a constante k Ib/pol da mola.

5. Um peso W1 suspenso por uma mola k está em equilíbrio estático. Um segundo peso W2 cai

da altura h e junta-se a W1 sem ressaltar, como indicado na Fig. P.2-5. Determinar o

movimento subsequente.

Fig. P.2-5

6. Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a frequência natural depende

de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame, (c) material do arame, (d) do peso

suspenso e (e) raio de rotação do peso suspenso.

7. Um volante pesando 70 lb, apoiado numa aresta pela face interna do aro, conforme a Fig.

P.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao

seu eixo geométrico, para o caso do período de oscilação medido ter sido 1,22 s.

Fig. P.2-7

8. Uma biela com peso de 4,80 lb oscila 53 vezes em um minuto, quando suspensa na forma

indicada na Fig. P.2-8. Determinar seu momento de inércia em relação ao seu centro de

gravidade, que está situado a 10,0 pol do ponto de suspensão.

Fig. P.2-8

9. Um volante de peso W é suspenso horizontalmente por três arames de seis pés de

comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferência de 10 pol de

raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de 2,17 s o per iodo de oscilação em

torno de um eixo vertical passando pelo centro da roda.

10. Um conjunto roda e eixo, de momento de inércia J, é inclinado de um ângulo α em relação

à vertical. Como se vê na Fig. P.2-10. Determinar a frequência de oscilação resultante de

um pequeno peso com W libras, situado excentricamente à distância a pol do eixo.

Fig. P.2-10

11. Um cilindro de massa m e com o momento de inércia da massa Jo rola livremente sem

deslizar, mas é refreado pela mola k. como indicado na Fig. P.2-11. Determinar a

frequência natural de oscilação.

Fig. P.2-11

12. Um cronógrafo é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de comprimento L,

representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco do pêndulo completa o

circuito elétrico de regulação, através uma gota de mercúrio, quando ele passa pelo ponto

mais baixo. Pergunta-se: (a) Qual deve ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de

platina está em contato com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da

oscilação, qual deve ser a amplitude θ0 a fim de limitar a 0,01 s a duração do contato?

(Admitir que a velocidade é constante durante o contato, e que a amplitude de oscilação é

pequena.)

Fig. P.2-12

13. Um hidrômetro flutuador, indicado na Fig. P.2-13, é utilizado para medir o peso específico

dos líquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diâmetro da parte cilíndrica, que se estende acima

da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o período de vibração quando se deixa o aparelho

balançar para cima e para baixo, em um fluido de peso específico 1,20.

Fig. P.2-13

14. Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular como

representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, se se permite que ele

balance sobre uma superfície horizontal.

Fig. P.2-14

15. Uma barra uniforme de comprimento L e peso W é suspensa simetricamente por dois fios,

conforme a Fig. P.2-15. Estabelecer a equação diferencial de movimento, para pequenas

oscilações angulares da barra, em volta do eixo vertical O-O, e determinar o seu período.

Fig. P.2-15

16. Uma barra uniforme de comprimento L é suspensa na posição horizontal por dois fios

verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade. Se t1 é o período de oscilação no

plano da barra e dos fios, e se t2 é o período de oscilação em volta de uma reta vertical que

passa pelo centro de gravidade da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta

do centro de gravidade é dado pela expressão:

17. Uma barra uniforme, com o raio de rotação k em volta do seu centro de gravidade, é

suspensa horizontalmente por dois fios verticais de comprimento h, às distâncias a e b do

centro da massa. Provar que a barra oscilará em volta da reta vertical que passa pelo

centro de massa, e determinar a frequência de oscilação.

18. Um eixo de aço, de 50 pol de comprimento de 1-1/2 pol de diâmetro, é usado como uma

mola de torção para as rodas de um automóvel leve, conforme indicado na Fig. P.2-18.

Determinar a frequência natural do sistema, considerando que o conjunto roda e pneu

pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta do seu eixo é de 9,0 pol. Discutir a diferença

na frequência natural, estando a roda travada ou destravada do braço.

Fig. P.2-18

19. Tacômetro é um instrumento do tipo frequencímetro de lâminas, formado de pequenas

lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades. O tacômetro vibrará

quando a frequência de vibração corresponder à frequência natural de uma das lâminas,

indicando desse modo a frequência. De que tamanho deve ser o peso colocado na

extremidade de uma lâmina, constituída de uma mola de aço com 0,04 pol de espessura,

0,25 pol de largura e 3,50 pol de comprimento, para uma frequência natural de 20 cps?

20. Determinar a massa efetiva no ponto O de uma haste uniforme de massa m e comprimento

l, pivotada a uma distância nl de O, como indicado na Fig. P.2-20.

Fig. P.2-20

21. Determinar a massa efetiva do motor de foguete representado na Fig. P.2-21, a ser

adicionada à massa m1 do atuador.

Fig. P.2-21

22. Uma barra cantilever uniforme vai ser substituída pela sua massa efetiva, na sua

extremidade livre. Supor uma curva de def1exão estática para uma carga uniforme.

Calcular a massa efetiva.

23. Determinar o, momento de inércia da massa efetiva para o eixo 1, no sistema representado

na Fig. P.2-23.

Fig. P.2-23.

24. Determinar em função de �� a energia cinética do sistema indicado na Fig. P.2-24.

Fig. P.2-24

25. Determinar a massa efetiva no ponto n para o sistema representado na Fig. P.2-25.

Fig. P.2-25

26. Um peso de 2 lb é fixado na extremidade de uma mola que tem a rigidez de 4 1b/pol.

Determinar o coeficiente de amortecimento crítico.

27. Para calibrar um amortecedor, mediu-se a velocidade do êmbolo quando lhe era aplicada

certa força. Considerando-se que um peso de 1/2 lb produziu uma velocidade constante de

1,20 pol/s, calcular o fator de amortecimento quando usado como sistema do Probl. 2-26.

28. Um sistema vibratório começa sob as seguintes condições iniciais: x = 0, �� = v0. Determinar

a equação de movimento quando: (a) ξ = 2,0, (b) ξ = 0,50, (c) ξ = 1,0. Traçar as curvas não

dimensionais para os três casos, tendo wnt como abscissa e xwn/vo como ordenada.

29. Um sistema vibratório formado de um peso de 5 lb e uma mola com rigidez de 10 lb/pol é

amortecido viscosamente de tal modo que a relação entre duas amplitudes consecutivas

quaisquer é de 1,00 para 0,98. Determinar: (a) a frequência natural do sistema amortecido,

(b) o decremento logarítmico, (c) o fator de amortecimento, e (d) o coeficiente de

amortecimento.

30. Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 lb e uma mola com rigidez, de 20 lb/pol,

e um amortecedor com um coeficiente de amortecimento de 0,071 lb/pol por segundo.

Calcular: (a) o fator de amortecimento, (b) o decremento logarítmico, e (c) a razão de duas

amplitudes consecutivas quaisquer.

31. Um sistema vibratório tem as seguintes constantes: w = 38,6 lb, k = 40 lb/pol, e c = 0,40

Ib/pol por segundo. Determinar: (a) o fator de amortecimento, (b) a frequência natural da

oscilação amortecida, (c) o decremento logarítmico, e (d) a razão de duas amplitudes

consecutivas quaisquer.

32. Estabelecer a equação diferenci1 de movimento para o sistema representado na Fig. P.2-32.

Determinar a expressão para: (a) o coeficiente de amortecimento crítico, e (b) a frequência

natural da oscilação amortecida.

Fig. P.2-32

33. Escrever a equação diferencial de movimento para o sistema indicado na Fig. P.2-33, e

determinar a frequência natural da oscilação amortecida e o coeficiente de amortecimento

crítico.

Fig. P.2-33

34. Um sistema mola-massa com amortecimento viscoso é deslocado da sua posição de

equilíbrio e solto. Qual a fração de amortecimento crítico do sistema, se a amplitude baixou

de 5% em cada ciclo?

35. Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l é articulada por um pino em O e

suportada por uma mola e um amortecedor viscoso, como representado na Fig. P.2-35.

Medindo θ a, partir da posição de equilíbrio estático, determinar: (a) a equação para um

valor pequeno de θ (o momento de inércia da barra em relação a θ é ml2/3), (b) a equação

no caso da frequência natural não amortecida, e (c) a expressão para o amortecimento

crítico.

Fig. P.2-35

36. Urna placa fina de área A e peso W é presa à extremidade de uma mola e oscila num fluido

viscoso, conforme a Fig. P.2-36. Se τ1 é o período natural de oscilação não amortecida (isto

é, quando o sistema oscila no ar) e τ2, o período amortecido com a placa imersa no fluido,

mostrar que

onde a força amortecedora sobre a placa é Fd = µ2Av, 2A é a área total da placa, e v é a sua

velocidade.

Fig. P.2-36

37. Um cano de canhão com 1200 lb de peso tem uma mola de recuo com a rigidez de 20.000 lb

por pé. Se o cano recua 4 pés ao atirar, determinar: (a) a velocidade inicial de recuo do

cano, (b) o coeficiente de amortecimento crítico de um amortecedor que é acionado no fim

do curso de recuo, e (c) o tempo necessário para o cano voltar a uma distância de 2 pol da

sua posição inicial.

38. Um pistão pesando 10 lb percorre um tubo com a velocidade de 50 pés/s e aciona uma mola

e um amortecedor, conforme indica a Fig. P.2-38. Determinar o deslocamento máximo do

pistão após acionar o conjunto mola amortecedor. Quantos segundos duram este

deslocamento?

Fig. P.2-38

39. Um absorvedor de choque é para ser projetado de modo que ultrapasse de 10% o

deslocamento inicia, quando solto. Determinar ξ1. Se ξ é igualado a 1/2 ξ1, de quanto será a

ultrapassagem?

40. Discutir as limitações da equação ∆U/U = 2δ considerando o caso de x1/x2 = 1/2.

41. Determinar a rigidez efetiva das molas representadas na Fig. P.2-41.

Fig. P.2-41

42. Determinar a flexibilidade de uma barra uniforme de comprimento L, suportada

simplesmente em um ponto situado a 1/3 L da extremidade.

43. Determinar a rigidez efetiva do sistema representado na Fig. P.2-43, em termos do

deslocamento x.

Fig. P.2-43

44. Determinar a rigidez efetiva do sistema torciona indicado na Fig. P.2-44. Os dois eixos em

série têm os valores k1 e k2, respectivamente, para a rigidez torcional

Fig. P.2-44

45. Um sistema mola-massa m, k é posto em ação com um deslocamento inicial unitário e uma

velocidade inicial de zero. Representar graficamente lnX em função de n, sendo X a

amplitude no ciclos n para. (a) amortecimento viscoso com ξ = 0,05. e (b) amortecimento de

Coulomb com a força de amortecimento Fd = 0.05k. Quando as amplitudes serão iguais?

Capítulo 3 (Thomson)

Legenda:

Exercícios podem ser resolvidos com conteúdo do Capítulo IV das

nossas Notas de Aulas.

Exercícios só podem ser resolvidos com conteúdo do Fora do Curso

Exercícios podem ser resolvidos com conteúdo do Capítulo V das

nossas Notas de Aulas.

1. Uma peça de máquina pesando 4,3 lb vibra num meio viscoso. Determinar o coeficiente de

amortecimento quando uma força harmônica excitadora de 5,5 lb resulta numa amplitude

ressonante de 0,50 pol, com um período de 0,20 s.

2. Se o sistema do Probl. 3·1 é excitado por uma força harmônica com frequência de 4 cps,

qual será a percentagem de aumento na amplitude de vibração forçada quando o

amortecedor for removido.

3. Um peso ligado a uma mola com a rigidez de 3,0 lb/pol tem um dispositivo de

amortecimento viscoso. Quando o peso é deslocado e solto, o período de vibração

encontrado é de 1,80 s e a relação de duas amplitudes consecutivas é de 4,2 para 1,0.

Determinar a amplitude e a fase quando uma força F = 2 cos 3t atua sobre o sistema.

4. Mostrar que para o sistema mola-massa amortecido, a amplitude máxima ocorre a uma

razão de frequências dada pela expressão:

5. Um sistema mola-massa é excitado por uma força Fo sen wt. A amplitudc medida na

ressonância é 0,58 pol. Na frequência ressonante 0,80, a amplitude medida é 0,46 pol.

Determinar o fator de amortecimento c do sistema. (Sugestão: Supor que o termo de

amortecimento seja desprezível para ressonância a 0,80.)

6. Um disco circular girando em tomo de seu eixo geométrico tem dois orifícios A e B que o

atravessam. O diâmetro e posição dos orifícios são dA = 1,0 pol, rA = 3,0 pol, e θA = 0°; dB =

1/2 pol, rB = 2 pol, θΒ = 90°. Determinar o diâmetro e posição de um terceiro orifício a 1 pol

de raio, que balanceará o disco.

7. O braço de manivela e pino de um eixo de manivela de dois cilindros, indicado na Fig. P.3-

7, é equivalente a um peso excêntrico de W lb a um raio de r pol. Determinar os

contrapesos necessários nos dois volantes, se eles também são colocados a uma distância

radial de r pol.

Fig. P.3-7

8. Estabelecer a equação de movimento para o sistema indicado na Fig. P.3-8 e empregar

álgebra complexa para resolvê-la, para a amplitude de estado permanente e ângulo de fase.

Fig. P.3-8

9. Um excitador formado de pesos excêntricos de contra-rotação, conforme a Fig. P.3-9, é

usado para determinar as características vibratórias de uma estrutura com o peso de 400

lb. A uma velocidade de 900 rpm, um estroboscópio mostra a posição dos pesos excêntricos

no topo, no instante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posição

de equilíbrio estático e a amplitude correspondente é 0,85 pol.

Fig. P.3-9

Se o desembalanço de cada roda do excitador é de 4 lb/pol, determinar (a) a frequência

natural da estrutura, (b) o fator de amortecimento da estrutura, (c) a amplitude a 1200

rpm, e (d) a posição angular dos excêntricos no instante em que a estrutura completa o

deslocamento para cima da sua posição de equilíbrio.

10. Um disco maciço com10 lb de peso é enchavetado no centro de um eixo de aço de 1/2 pol e 2

pés entre mancais. Determinar a velocidade crítica mais baixa. (Supor o eixo simplesmente

apoiado nos mancais.)

11. Um rotor de turbina pesando 30 lb é fixado no meio do comprimento de um eixo com

mancais distanciados 16 pol, conforme a Fig. P.3-11. Sabe-se que o rotor tem um

desembalanço de 4 oz/pol. Determinar as forças que atuam sobre os mancais a uma

velocidade de 6000 rpm, se o diâmetro do eixo de aço é 1,0 pol. Comparar este resultado

com o do mesmo rotor montado sobre um eixo de aço de 3/4 pol de diâmetro. (Supor o eixo

simplesmente apoiado nos mancais.)

Fig. P.3-11

12. Mostrar que, se o amortecimento é pequeno, a amplitude da vibração lateral de um eixo na

velocidade crítica eleva-se de acordo com a equação:

( )nter - e

ω=

ζ1

2

onde e é a excentricidade.

13. No caso de turbinas que operam acima da velocidade crítica, são instalados dispositivos de

parada para limitar a amplitude quando é atingida esta velocidade. Na turbina do Probl. 3-

11, se a folga entre o eixo de 1 pol e os dispositivos é 0,02 pol e a excentricidade do eixo é

1/120 pol, determinar o tempo requerido para o eixo alcançar os dispositivos de parada,

supondo-se que a velocidade crítica é atingida com amplitude zero.

14. A Fig. P.3-l4 representa um diagrama simplificado de um veículo montado sobre molas,

rodando numa estrada acidentada. Determinar a equação para a amplitude de W como

função da velocidade e determinar a velocidade mais desfavorável.

Fig. P.3-14

15. As molas de um reboque de automóvel estão comprimidas 4 pol sob o seu peso. Achar a

velocidade crítica quando o reboque roda numa estrada que apresenta um perfil que se

aproxima de uma onda senoidal de amplitude de 3 pol e 48 pés de comprimento de onda.

Qual será a amplitude de vibração a 40 milhas por hora? (Não considerar o

amortecimento.)

16. A Fig. P.3-l6 mostra um cilindro de massa m ligado a uma mola de rigidez k, excitado

através o atrito viscoso c com um pistão de movimento y = A sen wt. Determinar a

amplitude do movimento do cilindro e sua fase em relação ao pistão.

Fig. P.3-16

17. Dá-se ao ponto de suspensão de um pêndulo simples um movimento harmônico xo = Xo sen

wt, ao longo de urna reta horizontal, conforme se vê na Fig. P.3-l7. Utilizando as

coordenadas indicadas, escrever a equação diferencial de movimento para pequena

amplitude de oscilação. Dar a solução para x/xo e mostrar que, para w = √� wn o nó fica

situado no meio de l. Mostrar que, de um modo geral, a distância h entre a massa e o nó é

dada pela equação h = l(wn/w)2 onde wn = ��/�.

Fig. P.3-17

18. Um tipo comercial de "pick-up" de vibração tem uma frequência natural de 4,75 cps e um

fator de amortecimento ξ = 0,65. Qual é a menor frequência que pode ser medida com (a)

um erro de um por cento; (b) um erro de dois por cento?

19. Um "pickup" de vibração não-amortecida, com uma frequência natural de 1 cps, é usado

para medir urna vibração harmônica de 4 cps. Se a amplitude indicada pelo "pickup"

(amplitude relativa entre a massa do "pickup" e chassi) é 0,052 pol, qual é a amplitude

correta?

20. O eixo de um torciógrafo, conforme a Fig. P.3-20, é submetido a uma oscilação harmônica

torcional θ0 sen wt. Determinar a expressão para a amplitude relativa da roda exterior com

relação a (a) o eixo, (b) uma referência fixa.

Fig. P.3-20

21. Discutir os requisitos de um instrumento sísmico sob o ponto de vista de limitação de

distorção de fase de ondas complexas.

22. Uma unidade de refrigerador com o peso de 65 1b é para ser suportada por três molas,

com rigidez de k lb/pol cada. Se o refrigerador opera com 580 rpm, qual deve ser o valor

da constante de mola k se apenas 10 por cento da força de trepidação da unidade é para ser

transmitida à estrutura de sustentação?

23. Urna máquina industrial com o peso de 1000 lb é suportada por molas com uma def1exão

estática de 0,20 pol. Se a máquina tem um desequilíbrio rotativo de 20 lb/pol, determinar

(a) a força transmitida ao piso a 1200 rpm, (b) a amplitude dinâmica nesta velocidade.

(Supor o amortecimento desprezível.)

24. Se a máquina do Probl. 3-23 está montada sobre um grande bloco de concreto pesando

2500 lb e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco é aumentada de modo que a def1exão

estática ainda seja de 0,20 pol, qual será a amplitude dinâmica?

25. Um rádio de aeronave pesando 24 lb tem que ser isolado das vibrações de motor cuja

frequência varia de 1600 a 2200 cpm. Qual a def1exão estática que devem ter os isoladores

a fim de se obter 85 por cento de isolamento?

26. Mostrar que no amortecimento viscoso, o fator de perda η é independente da amplitude e

proporcional à frequência.

27. Expressar a equação para a vibração livre de um sistema de um grau de liberdade, em

função do fator de perda η na ressonância.

28. Mostrar que τn/τd traçado graficamente em função de ξ é um quarto de círculo onde τd é

igual ao período natural de amortecimento e τn é igual ao período natural de não-

amortecimento.

29. Mostrar que a energia dissipada por ciclo no caso, de atrito viscoso pode ser expressa

como:

( ) ( )d

n n

F W

k - / + /

π ζ= ω ω ζ ω ω

20

2 22

2

1 2

30. Determinar o amortecimento necessário a fim de que a energia dissipada por ciclo seja

independente da relação de frequência w/wn..

31. Em amortecimento pequeno, a energia dissipada por ciclo dividida pela energia potencial

máxima é igual a 2δ e também a 1/Q. (Vide Eq. 3.7-6). Mostrar que no amortecimento

viscoso

n c =

kπ ω

δ

32. Em geral, a perda de energia por ciclo é uma função, tanto da amplitude como da

frequência. Estabelecer sob qual condição o decremento logaritmo o é independente da

amplitude.

33. O amortecimento de Coulomb entre superfícies secas é uma constante D sempre oposta ao

movimento. Determinar o amortecimento viscoso equivalente.

34. Utilizando o resultado do Probl. 3-33, determinar a amplitude de movimento de um

sistema mola-massa com amortecimento de Coulomb, quando excitado por uma força

harmônica Fo sen wt. Sob que condições se mantem este movimento.

35. Supor que, no caso de amortecimento estrutural, a rigidez seja uma quantidade complexa

da forma k = kei2β. Determinar a equação para a resposta sob excitação harmônica.

36. Mostrar que δ = π(f2 – f1)/fr onde f1 e f2 são frequências que correspondem aos pontos de

meia potência da curva de ressonância.

Questões de Verificações de Aprendizagem de Períodos Anteriores

PERÍODO: 2017.2 – I Verificação

1. Para o Sistema representado na Figura 1. Calcule a Frequência natural do sistema

considerando as polias de massas desprezíveis.

wk1

k2

1

2

Figura 1

2. Um motor pesando F = 490 Kgf será montado na extremidade da estrutura horizontal de

aço formando um triangulo equilatero de comprimento L, rigidez à flexão EI, apoiada por

uma haste delgada de mesmo material, também de comprimento L, com módulo de Young

E e área da seção transversal Ah. A haste é unida por pinos em ambas as extremidades,

localizados no plano de simetria vertical da estrutura, como mostrado na Figura 2. Nestas

condições admite-se que o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à

compressão. A estrutura horizontal pode ser assumida como duas vigas em balanço, tendo

cada uma rigidez, massa e flexão. Segundo os engenheiros responsáveis pela montagem o

sistema será montado com um amortecedor vertical fixo base, com coeficiente de

amortecimento C = 3350 N s/m na posição do motor. Após alguns testes, já com o

amortecedor, observou-se que, devido a um desequilíbrio existente no motor, a

extremidade da estrutura vibra verticalmente com amplitude de 2 cm, correspondente a

uma posição da massa excêntrica de 30 graus. Pede-se:

a) Calcule a Rigidez equivalente do sistema.

b) Calcule a Massa equivalente do sistema, considerando a haste.

c) O desequilíbrio rotativo do motor.

d) A amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos à base, quando o sistema se

encontra em funcionamento a uma velocidade nominal do motor, que

corresponde ao dobro da velocidade de ressonância.

Dados: L = 1 m; b = 12 cm; h = 1 cm; E = 210GPa; Ah = 1 cm3; � = 7850 kg/m3.

Figura 2

PERÍODO: 2017.2 – Exame Final

1. Uma viga engastada-livre de 1 m de comprimento, construída com Módulo de Elasticidade

E = 210 GPa, possui uma base de 12 Kg onde vai ser fixado um motor pesando 15 Kg.

Foram colocados uma mola e um amortecedor, ambos de massas desprezíveis, em

respectivamente 1/2 e 3/4 do engaste de cada viga. Considerando: � = 7800 kg/m3, b = 0.12

m; h = 0.01 m. pede-se:

a) Encontre a equação diferencial do movimento.

b) Admitindo que a mola tenha rigidez de 5 N/m de amortecimento do sistema seja igual a

0.5 determine as frequências naturais �n e �a de vibração livre do sistema.

c) Para os dados acima qual é a taxa de decréscimo de duas amplitudes consecutivas.

d) Admitindo que o motor seja acionado a 1800 rpm, e que o mesmo possua um

desbalanceamento residual de 0.32 Kg.m, determine a amplitude do movimento e a

amplitude ressonante.

e) Esboce o gráfico de amplitude de resposta do sistema em função da razão das

frequências natural e de excitação.

f) Qual a força transmitida para a base.

g) Caso o sistema não esteja com boa isolação, o que você, como futuro engenheiro,

poderia sugerir para melhorá-lo.

Motor

BASE

L

3L/4

L/2

MovimentoVertical

K

K

C

C

Figura 1

PERÍODO: 2017.1 – I Verificação

1. Considere o Sistema representado na Figura 1. Calcule:

a) A Frequencia natural e a frequencia natural amortecida do sistema

b) A amplitude da força transmitida nos pontos P e D.

Figura 1

2. Um motor elétrico pesando 80 Kg está montado numa viga apoiada como mostra a Figura 2

abaixo (engastada em A e ligada a uma haste em B). Verifica-se que, devido a um

desequilíbrio existente no motor, a extremidade B da viga vibra verticalmente com

amplitude de 3.5 x 10-3 m para frequências muito além da ressonância. Nestas condições

(admita que o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à compressão):

a) Calcule o valor do desequilíbrio do motor.

b) Sabendo que na ressonância a amplitude da resposta vertical registrada no ponto B é

de 3.5 x 10-2 m, determine a amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos ao engaste,

quando o sistema se encontra em funcionamento à velocidade nominal do motor que

corresponde ao dobro da velocidade de ressonância.

Figura 2

c) Com a retirada da haste, optou-se pelo sistema da Figura 3. Procedeu-se à medição das

vibrações livres verticais, através de um sensor colocado no topo do motor, cujo

registro se encontra representado na Figura 4. Verifique se houve alguma mudança no

fator de amortecimento.

Figura 3 Figura 4

d) Calcular a frequência natural amortecida.

e) Calcule os esforços transmitidos à base, quando o motor funciona à velocidade nominal

que corresponde ao dobro da velocidade em ressonância.

f) Que efeitos serão produzidos sobre aqueles esforços quando o sistema adquire as

configurações das Figuras 5 e 6 com a introdução de um componente adicional com

rigidez k=10 kN/m.

Figura 5 Figura 4

PERÍODO: 2017.1 – Exame Final

1. Para o Mecanismo da Figura 1. Determine:

a) Equação Diferencial do Movimento;

b) O Amortecimento Crítico;

c) A Frequência Natural Amortecida.

Figura 1

2. O do sistema da Figura 2 mostra dois eixos de aço fixados em cada extremidade para

transportar movimento entre duas polias que estão conectados por uma correia não

elástica e que não desliza. Para as dimensões dadas, determine a frequência natural

torcional não amortizada do sistema para pequenas amplitudes de vibração. As dimensões

de J estão em [in.lb.s2]. Considere G = 12 x 106 Psi

5'

10

'

20

'1

0'½’ 1’

9’dia

12’dia

J=1J=2

Figura 2

3. A Figura 3 mostra um mecanismo de came seguidor consiste em um disco circular

excêntrico girando em torno de P com uma velocidade angular 300 rad / sω = .

Assumindo que o raio do disco é r 50 mm= e a massa do seguidor é M 1.3 Kg= ,

determine a constante de mola K requerida para manter o contato entre a came e o

seguidor. Em todos os momentos o amortecimento e a gravidade podem ser desprezados.

Suponha que este dispositivo é usado como um vibrador. Calcule a força transmitida para

a base sob a condição anterior de contato contínuo. A força do vibrador será harmônica?

K

30

M

P

Figura 3