Experimentos F 229

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Experimento 1 PÊNDULO SIMPLES Parte A – Pêndulo Simples em Pequenas Oscilações A.1. Introdução Um pêndulo simples é um sistema físico idealizado, consistindo de um corpo de massa pont ual suspenso por um fio inextensível e de sprovi do de massa conforme mostra a Fig. 1. (A função do foto-gate e do cronômetro inteligente no experimento será explicada mais adiante). A extremidade oposta à do corpo é presa num ponto fixo e  é o deslocamento angular , isto é, o ângulo formado pelo fio e a direção vertical. Se o ndulo for afastado de um ângulo  = 0  e a seguir  aban donado , ele irá osci lar, voltando period icamen te ao ângulo 0 . O ângulo 0 é denominado de ângulo de lançamento ou amplitude angular . O tempo gasto numa oscilação completa, ou seja, o tempo gasto para o corpo ir de uma posição qualquer e voltar à mesma posição é denominado de período. Figura 1. Pêndulo simples. O pêndulo de nosso experimento, evidentemente, não é ideal, pois o corpo não será po ntual, o fi o o te rá massa de sp rezível e não se rá ri go rosamente ine xtensí vel . Ent ret anto , se usarmos um cor po cuj as dimensões lineares sej am pequenas em comparação com o comprimento do fio, um fio de massa muito menor que a do corpo, e cuja distensão durante o movimento seja desprezível, teremos um sistema físico que pode ser considerado como um pêndulo simples. Quando o pêndu lo se movimenta em peque nas oscilaçõ es (ângulo 0  pequeno, de uns 15 , ou menos) , ad iant amos qu e a re laçã o en tr e o pe odo, T, e o comprimento do fio, L, é dada, em muito boa aproximação, por 

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  • Experimento 1

    PNDULO SIMPLES

    Parte A Pndulo Simples em Pequenas OscilaesA.1. Introduo

    Um pndulo simples um sistema fsico idealizado, consistindo de um corpode massa pontual suspenso por um fio inextensvel e desprovido de massaconforme mostra a Fig. 1. (A funo do foto-gate e do cronmetro inteligente noexperimento ser explicada mais adiante). A extremidade oposta do corpo presanum ponto fixo e o deslocamento angular, isto , o ngulo formado pelo fio e adireo vertical. Se o pndulo for afastado de um ngulo = 0 e a seguirabandonado, ele ir oscilar, voltando periodicamente ao ngulo 0. O ngulo 0 denominado de ngulo de lanamento ou amplitude angular. O tempo gasto numaoscilao completa, ou seja, o tempo gasto para o corpo ir de uma posio qualquere voltar mesma posio denominado de perodo.

    Figura 1. Pndulo simples.

    O pndulo de nosso experimento, evidentemente, no ideal, pois o corpo noser pontual, o fio no ter massa desprezvel e no ser rigorosamenteinextensvel. Entretanto, se usarmos um corpo cujas dimenses lineares sejampequenas em comparao com o comprimento do fio, um fio de massa muito menorque a do corpo, e cuja distenso durante o movimento seja desprezvel, teremosum sistema fsico que pode ser considerado como um pndulo simples.

    Quando o pndulo se movimenta em pequenas oscilaes (ngulo 0 pequeno,de uns 15, ou menos), adiantamos que a relao entre o perodo, T, e ocomprimento do fio, L, dada, em muito boa aproximao, por

  • T = k La (a1)onde k e a so constantes. A.2. Objetivos

    Nesta parte do experimento voc dever determinar k e a, ou seja, encontrara lei do pndulo simples para pequenas oscilaes.

    Observao: Ao realizar este experimento importante que o aluno adote umaatitude de redescoberta, chegando s suas concluses apenas atravs daexperimentao, sem usar nenhuma equao ou conceito da teoria do pndulosimples alm das aqui expostas.A.3. Material usado

    Peso de chumbo, fio de Nylon, suporte do pndulo, rgua de 1 m ecronmetro inteligente com foto-gate.A.4. Procedimento

    Com o material que lhe fornecido, monte o pndulo simples.Trabalhe com o pndulo no regime de pequenas oscilaes e para diversos

    valores de L mea os T correspondentes. Para isso instale o foto-gate de tal formaque: (1) seu feixe infravermelho (IV) seja aproximadamente perpendicular ao planoda trajetria do pndulo e, (2) que o peso de chumbo possa, em certa posio desua trajetria, interromper o feixe IV. Com o cronmetro inteligente, faa vriasmedidas de T para cada L, e tire a mdia. Coloque os seus resultados numa tabela.

    Com os dados da tabela, construa um grfico de log T x log L e a partir deledetermine os valores k e a e seus respectivos desvios padro, a e k. Use paraisso o mtodo dos quadrados mnimos. Escreva seus resultados na forma a a ek k.

    Parte B Clculo da Acelerao da Gravidade e Pndulo Simplesem Oscilaes de Amplitude Qualquer B.1. Introduo

    Agora que voc j encontrou a dependncia entre T e L, podemos lembrarque a constante k depende da acelerao da gravidade, e que uma demonstraorigorosa mostra que

    T = [2(L/g)] [1 + (1/4) sen2 (0/2) + (9/64) sen4 (0/2) + ] (b1)

    = [2(L/g)] [1 + ] (b2)onde L e g so, respectivamente, o comprimento do fio e a acelerao dagravidade. O parmetro 0 o ngulo de lanamento e a soma dos termos dasrie infinita em sen2n (0/2). Observe que para pequenas oscilaes, tais que sen 0 0, o termo muito menor que a unidade, e o perodo pode ser escrito como

    T = T0 = 2(L/g) (b3)

    B.2. ObjetivosCom os resultados da Parte A do experimento, (i) determinar a acelerao da

    gravidade e, (ii) investigar quantitativamente a dependncia de T em 0.

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  • B.3. ProcedimentoDeterminao de g

    Na parte A deste experimento voc encontrou um valor numrico para k(alm de outro valor para a). Usando o valor de k encontrado, determine g. Parafazer isso, iguale as equaes (a1) e (b3) de modo a explicitar g em funo de k.Uma vez que voc tambm determinou o desvio padro k, calcule tambm g eescreva o resultado na forma g g. Encontre o erro relativo percentual quandovoc compara sua determinao de g com a acelerao da gravidade local (g =9,81 cm s-2).

    Dependncia de T com 0Determine experimentalmente o perodo de oscilao do pndulo variando o

    ngulo de lanamento 0 (utilize um comprimento do pndulo fixo entre 30 cm a 40cm e varie o ngulo aproximadamente entre 50 a cerca de 450). (a) Faa um grficodo perodo em funo do ngulo de lanamento; (b) Utilizando a expresso (b2)proponha um processo de linearizao desta equao e faa o grficocorrespondente. Obtenha novamente o valor de g com este procedimento.

    Escreva a expresso terica para o erro relativo percentual cometido quandovoc usa a Eq. (b3) ao invs da Eq. (b1) para determinar g. Use a equao

    Erro relativo % = {[g(b3) g(b2)]/g(b2)} x 100onde g(b2) e g(b3) so as expresses para g calculadas pelas Equaes (b2) e(b3), respectivamente.

    A seguir, determine esses erros (em grandeza e sinal!) para os ngulosmedidos experimentalmente, utilizando dois procedimentos: (a) teoricamente -utilizando o valor de obtido pela expanso em srie at o termo em sen4 (0/2) e(b) experimentalmente - utilizando os valores do perodo calculado em funo de 0e adotando o valor de g obtido pela equao (b3). Como referncia adote o valor deg obtido para o menor ngulo.

    BIBLIOGRAFIA1. G.L. Squires, Practical Physics, 3rd Edition, Cambridge University Press, 1991, cap. 4.2. D.W. Preston e E.R. Dietz, The Art of Experimental Physics, John Wiley, 1991, pp. 13-15,

    18-22 e 24-25.3. J. Goldenberg, Fsica Geral e Experimental, Vol. I, Edtora Universidade de So Paulo,

    1982, p. 44-46.4. M. Alonso e E.J. Finn, Fsica Um Curso Universitrio, Vol. 1, seo 12.5.5. D. Halliday e R. Resnick, Fundamentos de Fsica, Vol. 2, cap. 14.6.6. C. Kittel, Curso de Fsica de Berkeley Mecnica, Vol. 1, cap.7.

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  • 1. Introduo Um pndulo compostooscila em torno de um eixo fixo, pela ao da fora gravitacional.representado o pndulo composto que voc usar neste experimento, juntamente com o foto-gate e cronmetro inteligente usados na determinao do perodo do movimento. O pndulo constitudo por uma barra rgida e homognea de alumnio, na extremidade da qual presado pndulo, T, para pequenos ngulos de oscilao

    onde I0 o momento de inrcia do pndulo em relao ao ponto de suspenso, massa do pndulo, g a acelerao da gravidade e D a distncia entre o centro de massa (CM) do sistema e o ponto de suspenso.

    Utilizando o teorema dos eixos paralelos de modo a relacionar Imomento de inrcia em relao ao centro de massa, Isendo k o raio de girao, deduz

    Experimento 2 PNDULO COMPOSTO

    pndulo composto, ou pndulo fsico, um sistema em que um corpo rgido oscila em torno de um eixo fixo, pela ao da fora gravitacional.representado o pndulo composto que voc usar neste experimento, juntamente com

    gate e cronmetro inteligente usados na determinao do perodo do pndulo constitudo por uma barra rgida e homognea de alumnio,

    emidade da qual presa uma placa retangular de ferro. O perodo de oscilao para pequenos ngulos de oscilao, dado por

    T=2pi (I0/MgD)1/2 o momento de inrcia do pndulo em relao ao ponto de suspenso,

    pndulo, g a acelerao da gravidade e D a distncia entre o centro de massa (CM) do sistema e o ponto de suspenso.

    Figura 1. Pndulo composto.

    Utilizando o teorema dos eixos paralelos de modo a relacionar Imomento de inrcia em relao ao centro de massa, ICM, e lembrando que Isendo k o raio de girao, deduz-se que

    T = 2pi[(D + k2/D)/g]1/2

    , ou pndulo fsico, um sistema em que um corpo rgido oscila em torno de um eixo fixo, pela ao da fora gravitacional. Na Fig. 1 representado o pndulo composto que voc usar neste experimento, juntamente com

    gate e cronmetro inteligente usados na determinao do perodo do pndulo constitudo por uma barra rgida e homognea de alumnio,

    perodo de oscilao

    (1) o momento de inrcia do pndulo em relao ao ponto de suspenso, M a

    pndulo, g a acelerao da gravidade e D a distncia entre o centro de

    Utilizando o teorema dos eixos paralelos de modo a relacionar I0 com o , e lembrando que ICM = Mk2,

    (2)

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    2. Objetivos Investigar o movimento de um pndulo composto e determinar o seu raio de girao e momento de inrcia em relao ao centro de massa. 3. Material

    Pndulo composto, eixo de suspenso, rgua de 1 m, balana de preciso, cronmetro inteligente com foto-gate. 4. Procedimento Consiste em tomar medidas de T em funo de D e a partir delas construir um grfico T2D x D2. A partir do grfico, determinar k e seu desvio padro k. Determinar tambm g g e ICM ICM. Recomendaes (1). Para encontrar os vrios valores de D, preciso que voc determine, com a maior preciso possvel, a posio do CM do pndulo, xCM, em relao uma origem qualquer, usando a equao

    xCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) onde x1 e x2 so as distncias dos CM da barra de alumnio e da placa origem, e m1 e m2 as respectivas massas. (2). Procure realizar o experimento mantendo o ngulo de lanamento (valor mximo do ngulo de oscilao, ) sempre pequeno (no muito maior que uns 15), de modo que no sejam necessrias correes na Eqs. (1) e (2). (3). Para medir T, o foto-gate deve ser ajustado de modo que (1) seu feixe infravermelho seja perpendiculat ao plano da trajetria do pndulo e, (2) que o pndulo possa interromper o feixe em um determinado ngulo de sua trajetria ( = 0, por exemplo).

    (4). Faa medidas de T para todos os furos no intervalo entre o mais afastado e o mais prximo do centro de massa. Para cada furo tome vrias medidas de T e tire a mdia. Coloque seus resultados numa tabela. BIBLIOGRAFIA 1. M. Alonso e E.J. Finn, Fsica - Um Curso Universitrio, Vol. 1, sees 12.5 e 12.6. 2. C. Kittel, Curso de Fsica de Berkeley Mecnica, Vol. 1, cap. 8. (Biblioteca IFGW no. 531.K652.m). 3. D. Halliday, R. Resnick, Fundamentos de Fsica, Vol. 2, cap. 14.6. 4. P. Lucie, Fsica Bsica, Vol. 2, pp. 166-167. 5. Leitura suplementar: K. Laws, The Physics of Dance, Physics Today, Vol. 38, p. 24 (1985).

  • 1. Introduo Um sistema composto por um corpo rgido suspenso por um fio e capaz de

    oscilar em torno de um eixo comum com o fio o que se denomina de toro. A Figura 1 mostra esquematicamente o pndulo de Quando o pndulo oscila em torno do eixo z,alumnio preso ao corpo do pndulo) periodicamente interrompe o feiinfravermelho do foto-gatecronmetro inteligente. A funo das haste compensadora corpo suspenso seja alterada

    Figura 1. Pndulo de torointeligente para a medida do perodo

    Dando-se uma toro no corpo de um ngulo torque de oposio, , proporcional a constante prpria do fio, denominada de sempre de oposio ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um deslocamento inicial, 0, e depois abandonado, ele ir oscilardado pela equao

    onde I0 o momento de inrcia do corpo Um pndulo de toro til para determinar momentos de inrcia de objetos de forma complexa uma roda de engrenagem, ou uma hlice de avio exemplo. O pndulo tambm til para se determinar o do material do fio (ver abaix

    Experimento 3 PNDULO DE TORO

    composto por um corpo rgido suspenso por um fio e capaz de oscilar em torno de um eixo comum com o fio o que se denomina de

    A Figura 1 mostra esquematicamente o pndulo de toro doando o pndulo oscila em torno do eixo z, a haste (pequeno

    ao corpo do pndulo) periodicamente interrompe o feigate possibilitando a medida do perodo de oscilao pelo A funo das haste compensadora evitar que

    seja alterada, mantendo o centro de gravidade no eixo z.

    Figura 1. Pndulo de toro do curso F-229 com foto-gate e cronmetro inteligente para a medida do perodo.

    se uma toro no corpo de um ngulo , o fio ir apresentar um proporcional a , definido pela relao = -

    constante prpria do fio, denominada de coeficiente de restituio. Como o torque ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um , e depois abandonado, ele ir oscilar com um perodo T,

    T = 2pi(I0/k) o momento de inrcia do corpo em relao ao eixo colinear com o fio

    Um pndulo de toro til para determinar momentos de inrcia de objetos uma roda de engrenagem, ou uma hlice de avio tambm til para se determinar o mdulo de cisalhamento

    do material do fio (ver abaixo), conhecendo-se o momento de inrcia do corpo.

    composto por um corpo rgido suspenso por um fio e capaz de oscilar em torno de um eixo comum com o fio o que se denomina de pndulo de

    toro do curso F-229. (pequeno retngulo de

    ao corpo do pndulo) periodicamente interrompe o feixe possibilitando a medida do perodo de oscilao pelo

    evitar que simetria do , mantendo o centro de gravidade no eixo z.

    gate e cronmetro

    o fio ir apresentar um -k, sendo k uma . Como o torque

    ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um com um perodo T,

    (1) em relao ao eixo colinear com o fio.

    Um pndulo de toro til para determinar momentos de inrcia de objetos uma roda de engrenagem, ou uma hlice de avio por

    mdulo de cisalhamento se o momento de inrcia do corpo.

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    O coeficiente de restituio uma grandeza extrnseca, ou seja, depende das dimenses do fio (comprimento e dimetro). Entretanto, o seu conhecimento pode levar uma grandeza intrnseca, prpria do material do fio, denominada de mdulo de cisalhamento, G. Demonstra-se que a relao entre G e k dada por

    G = 2Lk/(pir4) (2) sendo L e r o comprimento e o raio do fio, respectivamente. A partir das Equaes (1) e (2) fcil mostrar (demonstre!) que

    T = [8piI0L/(Gr4)]1/2 (3) 2. Objetivo Determinar o mdulo de cisalhamento do fio do pndulo a partir da Eq. (3). 3. Material Pndulo de toro com fio metlico, rgua de 1 m, paqumetro, micrmetro, foto-gate da PASCO e cronmetro inteligente. 4. Procedimento

    Monte o pndulo e ajuste o foto-gate como indicado pela figura. Faa medidas de T para vrios comprimentos do fio, colocando seus resultados numa tabela.

    Uma etapa importante neste experimento determinar o momento de inrcia do corpo. Determine I0 pela frmula para o momento de inrcia que melhor se aplica ao corpo em questo, tomando suas medidas com o paqumetro. NO PRECISO PESAR O CORPO DO PNDULO O VALOR DA MASSA SER DADO NA AULA. importante lembrar que o momento de inrcia do cilindro de lato (ver figura) muito maior que o das hastes. Assim, estas ltimas no devem ser levadas em considerao em seus clculos, pois no interferem significativamente com o movimento do pndulo. A prxima etapa , usando a tabela, lanar seus resultados em grfico. Antes disso, entretanto, linearize a Eq. (3) para escolher os eixos do grfico de tal forma que os pontos possam ser ajustados por uma reta. Explique como ir extrair G do grfico e calcule o seu valor e o respectivo desvio padro. O dimetro do fio, necessrio para o clculo, dever ser medido com o micrmetro. Observao importante: Diferentemente do pndulo simples, o movimento do pndulo de toro harmnico simples para qualquer ngulo de toro inicial, exceto, claro, de ngulos que possam produzir deformaes permanentes no fio e alterem suas propriedades elsticas. BIBLIOGRAFIA 1. M. Alonso e E.J. Finn, Fsica um Curso Universitrio, Vol. 1, seo 12.6. 2. P. Lucie, Fsica Bsica Mecnica, Editora Campus, XXX, cap. 4.7. 3. Handbook of Physics (Statics of Elastic Bodies), pp.3-75 3-77. 4. C.J. Smithels, Metals Reference Book, Vol. 3, 4a. Ed., Butterworths, London, 1967, pp. 775-776

    e 708-711.

  • Experimento 4 CORDAS VIBRANTES E ONDAS ESTACIONRIAS

    1. Introduo: A elongao de uma onda estacionria que se propaga em uma corda esticada ao longo da direo x, obedece seguinte equao:

    Y(x,t) = Ym sen(kx) cos(t) (1) onde Ym a amplitude, k = 2 pi/ o nmero de onda e a freqncia angular, relacionada com a freqncia, f, pela equao = 2pif. Verifica-se que:

    (a) para qualquer instante a amplitude da onda depende da posio x ao longo da corda de forma que em alguns pontos esta ser sempre nula; esses pontos so chamados de nodos;

    (b) em qualquer posio x, com exceo dos nodos, a amplitude varia com o tempo, alternando seu sinal.

    A ressonncia da corda (ou formao de uma onda estacionria na corda) estabelecida impondo-se que, para qualquer tempo, os extremos da corda formam um n. Tomando um trecho da corda que propaga um pulso, conforme mostra a Fig. 1, e observando o ponto de mxima amplitude (ponto A), pode-se calcular sua velocidade usando a componente vertical da resultante da tenso, T, atuando neste ponto. Imagine a corda fluindo pelo ponto A com uma velocidade v e considere o elemento de corda l e massa m. Tem-se ento m = l = 2 r, onde a densidade linear de massa da corda, e 2 o ngulo que compreende o elemento de corda de comprimento l. Este ltimo elemento sofre uma fora centrpeta F, dada por

    F= m v2/r = 2Tsen 2T (2) Ento,

    v = (T/)1/2 (3) Assim, a velocidade de propagao depende da tenso aplicada e da densidade linear de massa.

    Figura 1. Representao de um pulso que se propaga ao longo de uma corda.

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    Na ressonncia, o comprimento da corda, L, entre os dois pontos fixos, dado por L = n/2, onde n o nmero de ventres formados pela corda. A partir desta equao e usando v = f e a eq. (3) chega-se

    L = (n/2f) / (4) Este experimento tem por objetivo o estudo da propagao de ondas numa corda e o estabelecimento de ondas estacionrias, condies de ressonncia e determinao da densidade linear de massa da corda. Ser empregado uma corda com uma das pontas presa a um dispositivo que produz as oscilaes na corda (cigarra). A outra ponta assume-se como fixa, embora o arranjo experimental permita que o comprimento da corda seja variado continuamente. Um fio de Nylon ser usado como corda. 2. Material usado Cigarra, fio de Nylon, roldana com suporte, conjunto de pesos, rgua de 1 m e balana de preciso. 3. Procedimento e anlise de dados Monte o seu experimento conforme mostra a Fig. 2. Utiliza-se um fio de nylon como corda, com uma ponta presa na lmina da cigarra que oscila com freqncia de 120 Hz. A cigarra pode ser movimentada livremente sobre a bancada. A outra ponta do fio passa por um suporte com uma polia e presa a um suporte no qual so colocados pesos de chumbo de massa conhecida de forma que o copo com os pesos fique na vertical. Estes pesos produzem a tenso no fio e a polia permite que o fio se desloque mantendo a tenso constante. Assim, poderemos fazer o experimento variando a tenso da corda (pela modificao dos pesos), o seu comprimento, e o nmero de ventres. Uma importante equao neste experimento

    = (1/2) (5)

    Figura 2. Arranjo experimental. C - cigarra; P - polia; M - pesos ajustveis.

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    que obtida a partir da eq. (4) fazendo-se T = mg, onde m a massa dos pesos e g a acelerao da gravidade. Sugere-se que essa equao seja usada para determinar , obtendo-se vrias condies de ressonncia na corda, variando-se L, n e m. Usando esses dados, plote um grfico linear e a partir dele determine e seu desvio padro. Compare o valor de obtido com aquele que voc encontra a partir de um pedao de fio de comprimento conhecido e de sua pesagem na balana. Principais cuidados:

    (i). Antes de iniciar o experimento, calcule quais os comprimentos e nmero de ventres pode obter para um dado peso, de forma a planejar seu trabalho. Considere que a mesa tem uma altura do solo da ordem de 80 cm e, portanto, no ser possvel obter variaes de L maiores que este valor. (ii). Lembre-se que o estabelecimento da onda estacionria se verifica quando a lmina e os ns tem uma amplitude de oscilao muito pequena. Em algumas ocasies, os ventres apresentam uma amplitude muito grande mas os ns no so claramente definidos, porque, de fato, h ondas se propagando com os valores de prximos ao da situao de ressonncia, de forma que h interferncia entre as ondas. Neste caso, no se pode considerar como uma onda estacionria. (iii). Como sugesto, ajuste o comprimento do fio a partir do mximo valor de L e obtenha o maior nmero de ventres possvel para um dado peso diminuindo o comprimento da corda. (iv). Estabelea uma maneira de medir L de forma a minimizar os erros aleatrios.

    BIBLIOGRAFIA 1. R. Resnick e D. Halliday, Fsica, Vol. 2, caps. 17, 18 e tpico suplementar na p. 278. 2. Feynman, Leighton e Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, 6a. ed., cap. 49. 3. P. Lucie, Mecnica 2, cap. 5, Ed. Campus. 4. Wood, The Physics of Music (Biblioteca do Instituto de Artes, Unicamp, #781.1.w85p). 5. H.F. Olson, Music, Physics and Engineering (Biblioteca do Instituto de Artes, Unicamp #

    781.10L8m).

  • 1. Introduo O sistema fsico mo

    Consiste de um cilindro de lato (polia) e dois corpos, ou pesos, de massas mum fio leve e inextensvel. A diferena entre os pesos doresponsvel por um torque no nulo sobre a poliaangular constante. A mquina de Atwood um instrumento de grande utilidade para determinar o momento de inrcia de objetos com simetria cilndricamesmo a acelerao da gravidade, conforme se programa o experimento.

    Se o fio no escorrega no cilindro de latodesenho), quando o sistema for abandonado sem velocidade inicial, entre a diferena de massa dos corpos e a acelerao linear do movimento

    m = (2h/gRonde m = m1 - m2, M = mcorpos se deslocam de h, seu raio, a torque da fora de atrito 9,81 m s-2) a acelerao da gravidade. 2. Objetivos

    Estudar o movimento da mquina de Atwood e determinar o momento de inrcia da polia e o torque da fora de atrito.

    Experimento 5 MQUINA DE ATWOOD

    O sistema fsico mostrado na Fig. 1 denomina-se Mquina de Atwoodonsiste de um cilindro de lato (polia) que pode girar em torno de um eixo fixo,

    , ou pesos, de massas m1 e m2 pendurados na polia por meio de inextensvel. A diferena entre os pesos dos

    torque no nulo sobre a polia, que gira com acelerao angular constante. A mquina de Atwood um instrumento de grande utilidade

    r o momento de inrcia de objetos com simetria cilndricamesmo a acelerao da gravidade, conforme se programa o experimento.

    Figura 1. Mquina de Atwood.

    e o fio no escorrega no cilindro de lato, e se m1 for maior que mnho), quando o sistema for abandonado sem velocidade inicial,

    entre a diferena de massa dos corpos e a acelerao linear do movimento (2h/gR2)(I + MR2)(1/t2) + a/(gR)

    M = m1 + m2, h a altura inicial, t o tempo em que os corpos se deslocam de h, I e R so o momento de inrcia do cilindro de lato

    torque da fora de atrito entre o eixo e o cilindro de lato) a acelerao da gravidade.

    studar o movimento da mquina de Atwood e determinar o momento de e o torque da fora de atrito.

    Mquina de Atwood. em torno de um eixo fixo,

    pendurados na polia por meio de s dois corpos

    , que gira com acelerao angular constante. A mquina de Atwood um instrumento de grande utilidade

    r o momento de inrcia de objetos com simetria cilndrica, ou mesmo a acelerao da gravidade, conforme se programa o experimento.

    for maior que m2 (ver nho), quando o sistema for abandonado sem velocidade inicial, a relao

    entre a diferena de massa dos corpos e a acelerao linear do movimento (1)

    h a altura inicial, t o tempo em que os o o momento de inrcia do cilindro de lato e

    entre o eixo e o cilindro de lato, e g (=

    studar o movimento da mquina de Atwood e determinar o momento de

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    3. Material Polia de lato com eixo, barbante, 2 pesos de suspenso, conjunto de

    discos metlicos (pequenos pesos que se acoplam aos pesos de suspenso), rgua de 1 m, paqumetro, balana de preciso e cronmetro. 4. Procedimento Monte a Mquina conforme indica a Figura 1. A massa total dos corpos (M = m1 + m2) durante o experimento dever ser constante, porm sua diferena (m = m1 m2) varivel. Isso poder ser feito transferindo os discos de um corpo para o outro. Mantenha h fixo e varie m e determinando t com o cronmetro. Para cada m, repita algumas vezes (trs ou quatro) a medida de t. Coloque os resultados numa tabela. Lance seus dados em grfico, escolhendo os eixos de tal forma que os pontos possam ser ajustados por uma reta. [Examine a Eq. (1) para concluir sobre a escolha dos eixos].

    Determine, a partir do grfico, os valores do momento de inrcia do cilindro de lato e do torque da fora de atrito com seus respectivos desvios padro. Como a massa do cilindro de lato conhecida (consulte tabela fornecida em sala) e voc pode determinar as suas dimenses com um paqumetro, calcule, a partir desses dados, o valor aproximado de seu momento de inrcia. Explicite a equao que usou. Compare o valor encontrado com aquele obtido pelo grfico.

    BIBLIOGRAFIA 1. M. Alonso e E.J. Finn, Fsica Um Curso Universitrio, Vol. 1, seo 10.4. 2. D. Halliday e R. Resnick, Fundamentos de Fsica, Vol. 1, caps. 11 e 12. 3. F.W. Sears e M. Zemansky, Fsica, Vol 1, cap. 9. 4. P.A. Tipler, Fsica, Vol. 1, cap. 12.

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    Experimento 6 VISCOSIDADE: LEI DE STOKES

    1. Introduo: O movimento de um corpo em um meio viscoso influenciado pela ao de

    uma fora viscosa, Fv, proporcional velocidade, v, conhecida como lei de Stokes. No caso de esferas em velocidades baixas, Fv = 6pirv, onde r o raio da esfera e o coeficiente de viscosidade do meio. Se uma esfera de densidade maior que a de um lquido for solta na superfcie do mesmo, no instante inicial a velocidade zero, mas a fora resultante acelera a esfera de forma que sua velocidade vai aumentando. Pode-se verificar que a velocidade aumenta no-uniformemente com o tempo e atinge um valor limite, que ocorre quando a fora resultante for nula. As trs foras que atuam sobre a esfera esto representadas na Fig. 1 e so, alm da fora viscosa, o peso da esfera, P, e o empuxo, E. Igualando a resultante dessas trs foras a zero, obtem-se a velocidade limite, vL:

    vL = (2/9) [( - )/] g r2 (1) onde e so as densidades da esfera e do meio, respectivamente, e g a acelerao da gravidade.

    Figura 1. Foras que atuam numa esfera num meio viscoso.

    2. Objetivos O objetivo deste experimento investigar o movimento de uma esfera em um

    meio viscoso (glicerina com gua), e determinar a viscosidade da mistura e o percentual de gua na glicerina.

    Ser empregado um tubo de vidro com uma escala graduada, na posio vertical, contendo a mistura (Fig. 2). A velocidade limite, entretanto, no exatamente dada pela Eq. (1), pois as paredes do tubo afetam o movimento da esfera. Para levar em conta este efeito, considera-se a correo de Ladenburg que depende do raio da esfera, do raio do tubo e da sua altura. Assim a fora viscosa no tubo, em realidade, deve ser escrita por F'v = K(6pirv), onde K o fator de Ladenburg: K = (1+2,4r/A)(1+3,3r/H), onde A e H so respectivamente o raio do tubo e a altura total do fludo no tubo. Portanto, temos que multiplicar a velocidade da esfera no tubo, vL, por K, para se obter a velocidade conforme dada pela Eq. (1). Ou seja,

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    vL = K vL = (2/9) [( - )/] g r2 (2) 3. Material usado Tubo de vidro com glicerina, suporte com marcas graduadas, conjunto de esferas, paqumetro, micrmetro, cronmetro e termmetro de mercrio. 4. Procedimento e tratamento de dados

    O arranjo experimental deve ser montado conforme mostra a Fig. 2. A velocidade limite, vL, ser determinada experimentalmente a partir da distncia, L, entre as marcas ajustveis, medida com uma rgua, e o tempo de percurso, t, entre as marcas, medido com um cronmetro. Sero utilizadas esferas de ao com dimetro variando de 1 a 6mm. A densidade do ao = 7.82 g/cm3 e a da mistura gua-glicerina no tubo = 1.2 g/cm3

    Figura 2. Arranjo experimental. Antes de iniciar o experimento, faa um clculo do fator de correo de

    Ladenburg para cada esfera, colocando os resultados numa tabela que dever conter tambm colunas para o tempo de percurso, t, a velocidade medida, vL, e a velocidade corrigida, vL. Preencha a tabela medida que seu experimento vai sendo executado e a seguir lance em grfico vL x r2. Neste mesmo grfico lance tambm vL x r2. Obtenha a partir do grfico apropriado o coeficiente de viscosidade e seu erro.

    Determinando a temperatura do lquido e consultando o grfico em anexo (Fig. 3), estime a concentrao de gua na glicerina.

    Principais cuidados: (i). importante estimar o espao necessrio para atingir a velocidade limite, a partir da superfcie da glicerina antes de posicionar os marcadores. (ii). Faa repetidas medidas de tempo de queda das esferas para diminuir o erro, principalmente para as esferas maiores.

    (iii). Retire cada esfera depois de cada medida.

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    (iv). No jogue as esferas mas coloque-as na superfcie do lquido usando uma pina para minimizar sua velocidade inicial.

    Figura 3. Viscosidade da mistura glicerina-gua. As concentraes so dadas em percentual de massa de glicerina. (Grfico reproduzido da Ref. 5).

    BIBLIOGRAFIA 1. M. Alonso e E.J. Finn, Fsica - Um Curso Universitrio, Vol. 1, Mecnica, Editora

    Edgar Blcher Ltda., 1972, cap. 7.10. 2. Methods of Experimental Physics, Vol. 1, Classical Methods, cap. 4.1 e 4.2.2.2 e

    figura 7, p. 149. (Biblioteca IFGW #530.078.M566). 3. Thermophysical Properties of Matter, Vol. 11, Viscosity, p. 149 e cap. 4.2.

    (Biblioteca IFGW #R536.021). 4. Handbook of Chemistry and Physics. (Biblioteca IFGW #R540.2.C841),

    densidades (pp. 15-43 at 15-50), viscosidades (p. 6-158). 5. Ullmann's Encyclopedia of Industrial Chemistry, Vol. A12, p. 479. (Biblioteca do

    IQ, Unicamp # R660 ULM5 IQ/10.183 V.A12). Leitura complementar: C.W. Peterson, The Physics of Parachute Inflation, Physics Today, agosto de 1993, pp. 32-39.

  • Experimento 7 MEDIDA DA RAZO Cp/CV

    1. Introduo Um importante parmetro termodinmico de uma substncia a razo entre seus calores especficos presso e a volume constantes, Cp e Cv, respectivamente, denominada de razo . Em um sistema fsico contendo um gs em que so estabelecidos trs estados termodinmicos distintos e em seqncia, a razo para o gs pode ser determinada atravs de medidas simples, relacionadas apenas com a presso.

    Esse mtodo empregado neste experimento para a determinao de para o ar. A Fig. 1 mostra o sistema fsico que ser usado, cujos elementos principais so um bulbo de vidro de aproximadamente dois litros, uma seringa e um tubo capilar de vidro com gua. O volume do sistema variado pela compresso, ou expanso, feita com o mbolo da seringa, e a presso medida pela altura, h, da gua no capilar.

    Figura 1. Dispositivo de Clment e Dsormes para a medida de .

    Para obter a relao entre e as presses, considere inicialmente o esquema da Fig. 2, que representa os trs estados de equilbrio do sistema e as transformaes entre eles. Nessa figura, os smbolos P, V e T se referem presso, volume e temperatura, e os ndices 1, 2 e 3 aos estados inicial intermedirio e final. A transformao 12 adiabtica, i. e., se processa sem troca de calor com o meio ambiente. Como o isolamento trmico de nosso sistema precrio, consegue-se realizar um processo que aproximadamente adiabtico fazendo-se uma transformao rpida de volume, isto , deslocando-se rapidamente o mbolo da seringa. Assim no h quase tempo para troca de calor na passagem de um estado para o outro. Na transformao adiabtica, demonstra-se que PV = constante.

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    Figura 2. Representao esquemtica das transformaes entre os estados 1, 2 e 3.

    A transformao 23, isomtrica, ou volume constante, e durante a mesma a temperatura evolui de T2 para T3 = T1, isto , volta temperatura ambiente. Finalmente, podemos considerar tambm a transformao 13, que isotrmica. Considerando as transformaes 12 e 13, poderemos estabelecer o seguinte sistema de equaes:

    12 : P1 V1 = P2 V2 13 : P1 V1 = P3 V2

    a partir do qual se deduz a expresso ln(P2/P1) = ln(P3/P1) (1)

    Em qualquer estado, a presso do bulbo pode ser definida por Pi = P0 - g hi (2)

    onde i = 1, 2 ou 3, e P0, , g e hi so, respectivamente, a presso atmosfrica, a densidade da gua, a acelerao da gravidade e a altura da gua no capilar conforme indicado na Fig. 1.

    Substituindo-se a eq. (2) na eq. (1) e lembrando que ln (1 + x) x para x

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    4. Procedimento Prepare o seu sistema de tal forma que o nvel de gua fique meia altura no capilar e que o mbolo se situe aproximadamente no meio da seringa. Faa alguns experimentos iniciais para estabelecer os tempos necessrios para estabilizar os nveis de gua no capilar depois das variaes de volume. As variaes de volume do gs devem ser rpidas mas suficientemente lentas para que o nvel de gua no oscile excessivamente no capilar gerando energia cintica cuja dissipao acarretar aumento de temperatura. Cuidado tambm para no passar gua para o balo. Atravs de vrios experimentos em que voc realiza as seqncias 123, registre para cada seqncia os valores h1, h2 e h3. Lance esses valores em um grfico tal que os pontos experimentais possam ser ajustados por uma reta cujo coeficiente angular fornea o valor de . 5. Anlise dos dados Interprete o seus resultados analisando primeiramente a distribuio de pontos no grfico e comparando-a com aquela esperada pela teoria. A partir do grfico, deduza o valor de e determine seu desvio padro.

    Procure em algum texto de Fsica o valor de esperado para o ar. Seu resultado est de acordo com esse valor? Se h discrepncia, quais as possveis causas? Se voc tivesse feito a experincia com argnio, ao invs de ar, que resultado esperaria para ? E se fossem N2 ou O2? Comente suas respostas. Explique exatamente porque, se no processo adiabtico voc puxar o mbolo, a temperatura cai.

    Partindo da eq. (1) demonstre que ln[(1 - x2)/(1 - x1)] = ln[(1 - x3)/(1 - x1)]

    onde xi = g hi/P0. Explique a seguir porque g hi/P0

  • Experimento 8 CALORIMETRIA

    Este experimento dever ser realizado em duas aulas, gerando dois relatrios. Na primeira aula (parte A), conforme explicado no texto, dever ser feita a calibrao de um termopar e determinada a constante de tempo e a capacidade trmica de um calormetro. Na segunda aula (parte B), sero medidos o calor especfico de um metal e o calor latente de fuso do gelo.

    1. Introduo O calormetro que dispomos no laboratrio est esquematizado na Fig. 1 e constitudo de uma capa externa de alumnio e por um recipiente interno (copo) no interior do qual qual iro se processar as trocas de calor. Entre o recipiente interno e o externo existe uma camada de isopor cuja finalidade minimizar as trocas de calor com o meio externo. Uma tampa de madeira fecha o conjunto, permitindo a passagem de fios para o interior do calormetro. A medida de temperatura feita por meio de um termopar, sendo que uma das junes do mesmo colocada em uma pequena garrafa trmica cheia de gua com gelo, para manter a temperatura de referncia em 0 C. A outra juno colocada no interior do calormetro para medir a temperatura.

    Figura 1. Esquema do calormetro mostrando seus componentes. O termopar atravessa a tampa do calormetro atravs de furos de pequeno dimetro. A garrafa trmica deve ficar cheia de gua com gelo para manter a referncia em 0 C. O milivoltmetro l a tenso do termopar que corresponde uma dada temperatura. Este experimento objetiva determinar:

    1) a curva de calibrao de um termopar; 2) a constante de tempo do calormetro 3) a capacidade trmica do calormetro; 4) o calor especfico de um metal; 5) o calor latente de fuso do gelo.

    2. Material usado Calormetro, termmetro de mercrio, termopar, milivoltmetro, blocos de cobre, chumbo e alumnio, garrafa trmica com gelo, cronmetro e balana de preciso.

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    3. Procedimento e tratamento de dados

    Parte A Calibrao do termopar, constante de tempo e capacidade trmica do calormetro.

    Grfico de calibrao do termopar Antes de trabalhar no primeiro objetivo, leia o Uso do Termopar na Seo 4 Adendos. Um grfico de calibrao de um termopar uma linha traada em um sistema de eixos em que a ordenada a voltagem lida no termopar, V (dada em mV), para uma dada temperatura, T, e a abcissa T. Para fazer a calibrao, coloque gua no calormetro, mergulhe o termopar e o termmetro de mercrio na gua, e faa leituras de V em funo de T, para vrias temperaturas da gua no intervalo entre a temperatura da gua como sai da torneira e uma temperatura prxima a de ebulio. A maneira mais fcil de fazer isso comear com a gua quente no calormetro e ir baixando sua temperatura adicionando gua fria. Coloque os pares de valores medidos (V,T) numa tabela. A seguir, levante a curva V x T. Empregando os dados de uma tabela universal (fornecida na aula) para o tipo de termopar que usou, lance no mesmo grfico da curva anterior os pares de valores (V,T) no mesmo intervalo de voltagem das suas medidas. Faa uma anlise comparativa das duas curvas. Constante de tempo do calormetro Para este objetivo, lembremos inicialmente que o calormetro do laboratrio, do ponto de vista da isolao trmica, no ideal e troca calor com o meio externo. Isto pode ser medido pela queda de temperatura com o tempo de uma certa massa de alguma substncia previamente aquecida (gua, por exemplo) colocada no seu interior. Sendo T a temperatura da substncia, mostra-se que a queda de temperatura no tempo, t, dada por

    T = T0 e-t/

    + Ta (1) onde Ta a temperatura ambiente, T0 uma constante, e a constante de tempo, que um parmetro prprio do calormetro e que pode ser considerado como uma medida de sua qualidade do ponto de vista da isolao trmica. Evidentemente, quanto maior for mais lenta ser a queda de temperatura. Para obter , coloque uma quantidade de gua quente, completando aproximadamente metade do copo do calormetro, feche o calormetro e leia a temperatura em funo do tempo usando o termopar. Construa um grfico semi-logartmico com os dados obtidos e obtenha a partir do grfico o valor de . Capacidade trmica do calormetro A determinao da capacidade trmica do calormetro, C, feita, basicamente, colocando-se cerca de 1/3 de copo de gua fria no calormetro, fazendo-se a leitura da temperatura, e depois adicionando-se uma quantidade aproximadamente igual de gua quente, medindo as temperaturas da gua quente e a temperatura de equilbrio da mistura. Com essas informaes, monte inicialmente a sua equao para determinar C (expresso literal!) em funo das massas de gua fria e quente e das temperaturas da gua fria, da gua quente e da temperatura de equilbrio aps a adio da gua quente. A seguir faa as medidas e determine C.

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    Parte B Calor especfico de um metal e calor latente de fuso do gelo.

    Calor especfico de um metal Complete cerca de copo de gua fria no calormetro, mea a temperatura, aquea o metal que escolheu para determinar o calor especfico em um banho de gua quente de temperatura conhecida e a seguir coloque o metal aquecido no calormetro fazendo a leitura da temperatura de equilbrio. Estabelea, antes de iniciar o experimento, a expresso literal que usar para determinar o calor especfico, c, do metal. Fazem parte dessa equao as massas de gua e de metal, a capacidade trmica do calormetro, e as temperaturas da gua fria, do metal e a temperatura de equilbrio aps a introduo do metal no calormetro. A seguir determine c.

    Calor latente de fuso do gelo Coloque gua fria no calormetro at cerca de 2/3 do copo e depois coloque duas ou trs pequenas pedras de gelo na gua. Como nos casos anteriores, mea todas as temperaturas de interesse. Deduza a equao que envolve o calor latente de fuso do gelo, L, e as demais variveis do problema. Usando essa equao, determine L.

    4. Adendos A. Uso do termopar O termopar consiste de dois fios de metais distintos, A e B, unidos em suas extremidades, conforme mostra a Fig. 2. O ponto em que os dois fios se unem chama-se de juno. Quando as temperaturas das duas extremidades de um fio forem diferentes, aparece uma diferena de potencial eltrico entre esses pontos o efeito Seebeck. Cada metal tem um coeficiente Seebeck que depende da temperatura. Assim, nosso termopar ir fornecer uma tenso dada por:

    V = [SA(T) SB(T)] T onde SA e SB so os coeficientes de Seebeck para cada metal e T a diferena de temperatura entre as extremidades de cada fio.

    Figura 2. A juno formada por dois metais A e B est representada do lado esquerdo. A juno obtida pela fuso dos dois metais. No lado direito da figura, temos um termopar formado por duas junes. Este esquema o mais usado para medir diferenas de temperatura (ver no texto).

    Termopares so extensivamente empregados para medir temperatura e a configurao mais usada a da dupla juno (lado direito da Fig. 2). Para isso, conecta-se a um milivoltmetro s duas extremidades livres o termopar e as leituras do milivoltmetro so convertidas em temperatura. A voltagem lida pelo milivoltmetro a diferena entre as voltagens de cada juno. Isso significa que se ambas estiverem na mesma temperatura, a voltagem lida zero. B. Cuidados importantes

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    a- S ligue o aquecedor (ebulidor) quando imerso na gua. Sempre desligue o aquecedor antes de tir-lo da gua.

    b- Verifique constantemente o banho de gua com gelo na juno de referncia e no permita curto-circuito entre os fios do termopar.

    c- No deixe molhar as partes internas do calormetro. d-

    BIBLIOGRAFIA 1. F. W. Sears e M. Zemansky, Fsica, Vol. 2, cap. 16, Ed. Universidade de Braslia. 2. R.M. Eisberg e L.S. Lerner, Fsica Fundamentos e Aplicaes, Vol. 2, cap. 17. 3. I. Estermann (ed.), Methods of Experimental Physics, Vol. 1, Classical Methods, Academic Press,

    1959, pp. 263-265 e Fig. 3, p. 264. (Biblioteca IFGW #530078M566v.1). 4. Y.S. Toulokian e E.H. Buyco (eds.), Thermophysical Properties of Matter Specific Heat, Vol. 4,

    Ed. Plenum, 1970, (Biblioteca IFGW #R536021-T343). 5. D. R. Lide (ed.), Handbook of Chemistry and Physics, 1991, pp.5-65 6. D.M. Considine (ed.), Process, Instruments and Control Handbook, 3a. ed., McGraw-Hill, 1985, p.

    2.17. (Biblioteca IFGW #R629.8P941). 7. American Society for Testing and Materials ASTM (ed.), Manual on the Use of Thermocouples

    in Temperature Measurements. (Biblioteca IFGW # R536.5a512m).