Experimentos Fatoriais Completos_2015

7/26/2019 Experimentos Fatoriais Completos_2015

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EXPERIMENTO FATORIAL 2k COMPLETO


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Uma panificadora fornece po italiano para vrios supermercados deuma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar osefeitos do fator A,altura da prateleira, cujos nveis so em baixo e no

meio, e do fatorB,largura da prateleira, com nveisregularelarga, nasvendas (em nmero de unidades) deste po durante certo perodo.

Oito supermercados similares em termos de volume de vendas eclientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 4 tratamentos foi

atribudo, ao acaso, a duas lojas de acordo com um planejamentocompletamente casualizado e a localizao do po em cada lojaseguiu as especificaes do tratamento para aquela loja. Os resultadosesto apresentados a seguir

Exemplo 1


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Tabela: Vendas (em nmero de unidades) de po italiano

Largura da parteleira (B)Altura da prateleira (A)

Em baixo No meio

Regular

47

43

62

68

Larga4640

6771

Exemplo 1


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EXPERIMENTOS FATORIAIS

Experimento Fatorial CompletoSo experimentos envolvendo dois ou mais fatores, em que todasas possveis combinaes de nveis de fatores so testadas.

Experimento Fatorial FracionadoSo experimentos envolvendo dois ou mais fatores, nos quaisapenas uma frao do fatorial completo testada. Envolvem umaquantidade menor de provas do que o correspondente completo,mas abrem mo de certa quantidade de informao.

So experimentos envolvendo 2 ou mais fatores, com o objetivo deexaminar o efeitos dos fatores simultaneamente e possveis interaesentre eles, sobre a resposta de interesse. So muito utilizados na

indstria e agronomia.


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EXPERIMENTOS FATORIAIS EM DOIS NVEIS

Desvantagem dos experimentos fatoriais

Nmero de combinaes entre tratamentos cresce rapidamentequando o nmero de fatores e/ou o numero de nveis dos fatores

aumentam.

Solues

a) Considerar apenas um subconjunto de todos os possveistratamentos (experimentos fatoriais fracionrios);

b) Considerar um nmero razovel de fatores e restringir o nmerode nveis de cada fator a 2.

Os dois nveis podem ser escolhidos de modo a cobrir, de algumforma, a amplitude (em termos prticos) dos nveis. Para algunsfatores, estes dois nveis so os nicos existentes.


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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k

Retomando o Exemplo 1 (panificadora), consideremos os dois fatorescom dois nveis:

Fatores:A - Altura da prateleira: baixo e no meioB -Largura da prateleira: regular e larga

Unidade experimental: loja (supermercado)

Resposta: nmero de unidades vendidas de po italiano

EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores)

Altura da prateleira (A)

Largura da prateleira (B)

Regular (B0) Larga (B1)

Em baixo (A0) (1) (3)

No meio (A1) (2) (4)

A tabela para coleta dos resultados da forma:

ndice0: nvel baixo

ndice1: nvel alto


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Atribumos:

-1 ao nvel 0 e +1 ao nvel 1


ou, alternativamente, escrevemos os quatro tratamentospossveis, na seguinte ordem padro:

B0 (-1) B1 (1)A0 (-1) (1) (3)

A1 (1) (2) (4)

Tratamento A B AB Resposta Y

1 (A0B0) -1 -1

2 (A1B0) 1 -1

3 (A0B1) -1 1

4 (A1B1) 1 1

3

1

4

2

-1 +1

B

A

+1

-1

ou, ainda, graficamente:


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Para k = 3 fatores, (experimento 23)

Ordem padro (oito tratamentos possveis):

Tratamento A B C Respostas1 A0B0C0 -1 -1 -12 A1B0C0 +1 -1 -13 A0B1C0 -1 +1 -1

4 A1B1C0 +1 +1 -1

5 A0B0C1 -1 -1 +16 A1B0C1 +1 -1 +17 A0B1C1 -1 +1 +18 A1B1C1 +1 +1 +1

Comentrios:FatorA alternncia de nveis de linha pra linhaFatorB alternncia de nveis a cada 2 linhas (=21)Fator C alternncia de nveis a cada 4 linhas (=22)


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Regra geral:Ordem padro dos tratamentos com qualquer nmero defatoresk

Tratamento 1. col (A) 2. col (B) 3. col (C) 4. col (D) ...1 -1 -1 -1 -12 1 -1 -1 -1

3 -1 1 -1 -14 1 1 -1 -15 -1 -1 +1 -1

6 1 -1 +1 -17 -1 1 +1 -1

8 1 1 +1 -19 -1 -1 -1 +1

10 1 -1 -1 +1... ... ... ... ...

Alternncia: 21

20

22

23


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EXERCCIO: O experimento 24 aquele em que h quatro fatores, cada umcom 2 nveis. Complete a ordem padro para este experimento, similar aoscasos anteriores.

Quantos tratamentos diferentes h num 24?Tratamento A B C D

1 A0B0C0D0 -1 -1 -1 __2 A1B0C0D0 1 -1 -1 __3 A0B1C0D0 -1 1 -1 __

4 A1B1C0D0 1 1 -1 __

5 A0B0C1D0 -1 -1 1 __6 A1B0C1D0 1 -1 1 __7 A0B1C1D0 -1 1 1 __8 A1B1C1D0 1 1 1 __9 A0B0C0D1 -1 -1 __ __

10 A1B0C0D1 1 -1 __ __

11 A0B1C0D1 -1 1 __ __12 A1B1C0D1 1 1 __ __

13 A0B0C1D1 -1 __ __ __14 A1B0C1D1 1 __ __ __15 A0B1C1D1 -1 __ __ __16 A1B1C1D1 1 __ __ __


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Considere, por exemplo, dois fatores, com 3 obs. por casela:

Como determinar a significncia estatstica de um fator nosplanejamentos fatoriais 2k?

Emprega-se a tcnica de Anlise de Varincia (ANOVA)

B0 (-1) B1 (1)

A0 (-1)y111y112y113

y121y122y123

A1 (1)y211y212

y213

y221y222

y223

Qual o modelo estatstico para representar estes dados?


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Modelo de ANOVA (22):

sendoi : o ndice para os nveis do fatorA (i = 1, 2).

j : o ndice para os nveis do fatorB (j = 1, 2).k : o ndice para as observaes, por tratamento (k = 1, 2, ..., r)

,)(ijkijjiijky ++++=

e

yijk: resposta da k-sima rplica, no nvel i deA e nvelj deB.

i : efeito do i-simo nvel deA.

j : efeito doj-simo nvel deB.()ij : efeito da interao entre i-simo nvel deA ej-simo nvel deB.

ijk: efeito aleatrio da k-sima observao do i-simo nvel deA ej-simo nvel deB.

EXPERIMENTOS FATORIAIS 22


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Modelo de REGRESSO (22):

sendoi : o ndice para as observaes (i = 1, 2, ..., n), sendo n= 22r.

,1212221100 iiiiii

XXXXy ++++=

yi: resposta da i-sima unidade experimental.

X0 = 1 para todo

i.

X1 = -1, se a obs. do nvel baixo (0) do fator A, ou 1, se a obs. donvel alto(1) do fator A.

X2 = -1, se a obs. do nvel baixo (0) do fator B, ou 1, se a obs. do

nvel alto(1) do fator B.

X12 =X1X2.

i : erro aleatrio associado com a i-sima observao.



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Modelo de REGRESSO (22) (continuao):

sendo0 =,

,1212221100 iiiiii

XXXXy ++++=

1 = -1 = 2 ,

2

= -1=

2,

12 = ()11 = ()22 ,

em que , 1, 2,1, 2,()11 e ()22, so parmetros do modelo deANOVA.

Obs.: Os tratamentos devem ser listados na ordem padro.



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Estimao dos parmetros do modelo de regresso


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Estimao dos parmetros do modelo de regresso

q


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Ajustado o modelo de regresso, em que a matriz X deve ser construdaobedecendo a ordem padro, com cada linha sendo repetida r vezes,obtemos:

.2

2

2

1221.. iiii XAB

XB

XA

yy

+

+

+=

EfeitoEfeitoEfeito


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g.l. SQ QM F

A SQA rA2 QMA SQASA

2 FAQMAQMEr

B SQB rB2 QMB SQBSB

2 FBQMBQMEr

AB SQAB rAB2 QMAB SQABSAB2 FABQMABQMEr

r SQEr QMEr SQErr SE2

r SQT

A TABELA DE ANOVA para experimentos com 2 fatores fixos, comdois nveis cada e r rplicas dada por:

ANOVA - 22



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g.l. SQ QM F

A QMA SQASA2 FAQMAQMEr

B QMB SQBSB2 FBQMBQMEr

AB QMAB SQABSAB2 FABQMABQMEr

r SQEr QMEr SQErr SE2

r SQT

Equivalentemente, a TABELA DE ANOVA para experimentos com 2fatores fixos, com dois nveis cada e r rplicas tambm pode ser escritacomo:

ANOVA - 22


Lembrar que n= 22r.


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Exemplo 2: Uma certa pequena empresa, dispe de dois tipos demquinas (A0 e A1) para executar determinada tarefa, que pode serrealizada por dois operadores (B0 eB1). Deseja-se verificar se existemdiferenas quanto s maquinas ou operadores, com relao ao tempo

de execuo da tarefa (em segundos).


operadores

mquinas B0 B1

A0

(1)

20

22

(3)

40

37

A1

(2)

5046

(4)

1215

Para os dados acima temos:

122100,1325,450,025,30 iiii XXXy +=


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Quando o fatorA vai do nvel -1 (0) para o nvel +1 (1), o tempo de

operao aumenta, em mdia, de 2 x 0,5 = 1s

este o efeitoestimado do FatorA.

Regra geral: o efeito principal deA representa a mudana mdia navarivel resposta quandoA0 mudado paraA1.

Quando o fator B vai do nvel -1 para o nvel +1, o tempo deoperao diminui, em mdia, de 2 x 4,25 = 8,50s este o efeitoestimado do FatorB.

Analogamente, o efeito estimado da interao AB de 2 x -13 = -26s.

Interpretao das estimativas dos efeitos


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O valor crtico da estatstica F F(1, 4; 5%) = 7,71.

Concluso: verifica-se que h interao significativa e, portanto, estaprecisa ser considerada na anlise do delineamento.

No Exemplo 2, a tabela de ANOVA resulta em:

g.l. SQ QM F

A FA

B FB

AB FAB


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Comentrios:


a) Os valores dos coeficientes so iguais a (Efeito/2), pois os nveis

variam de 1 a +1, ou seja, num total de 2 unidades;

b) Quando h interao, alm do prprio efeito desta, devem entrartambm os efeitos principais dos fatores principais que compem ainterao.


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ANLISE DE RESDUOS


ijijij yye =

Obtido o modelo de previso, os resduos so obtidos peladiferena entre o valor observado, yij , e o valor fornecidopelo modelo de previso, , ou seja,

ij

y

ijy

Para o Exemplo 2, temos:

Experincia A B yij eij1 -1 -1 20; 22 21,0 -1,0; +1,0

2 +1 -1 50; 46 48,0 +2,0; -2,0

3 -1 +1 40; 37 38,5 +1,5; -1,5

4 +1 +1 12; 15 13,5 -1,5; +1,5

Resduos grandes indicam presena de dados suspeitos,enquanto que dados no aleatrios podem indicar a influncia

de um outro fator no considerado no experimento.


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ANLISE DE RESDUOS


Em geral, feita uma anlise grfica dos residuos:

Para que o modelo seja considerado adequado, os resduos devem

apresentar-se distribudos aleatoriamente em torno do valor 0

-1.5 -0.5 0.5 1.5

-2

-1

0

1

2

z

Res

duo

PPN dos Resduos

-2 -1 0 1 2

0

1

2

3

Resduo

Freq

nc

ia

Histograma dos Resduos

1 2 3 4 5 6 7 8

-5

0

5

Observao

Res

duo

Grfico dos Resduos

X=0.000

LSC=5,889

LIC=-5,889

10 20 30 40 50

-2

-1

0

1

2

Ajuste

Res

duo

Resduos x Ajuste


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Experimento 23 aquele em que h trs fatores, cada um com 2 nveis.

A0 (-1) A1 (+1)B0 (-1) B1 (+1) B0 (-1) B1 (+1)

C0(-1) (1) (3) (2) (4)

C1 (+1) (5) (7) (6) (8)

Ordem padro:

Tratamento A B C AB AC BC ABC Respostas1 A0B0C0 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1

2 A1B0C0 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

3 A0B1C0 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

4 A1B1C0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1

5 A0B0C1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

6 A1B0C1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -17 A0B1C1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1

8 A1B1C1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1


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ou, ainda, graficamente:


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g.l. SQ QM F

A SQA rA2

QMA SQASA2

FASA2

SE2

C SQB rC2 QMB SQCSC

2 FBSC2SE

2

AB SQAB rAB2 QMAB SQABSAB

2 FABSAB2SE

2

ABC SQABC rABC2 QMABC SQABCSABC

2 FABCSABC2SE

2

r SQE SQTSQASQABC SE2 SQErr

r SQT r ST2

Tabela de ANOVA Delineamento Fatorial 23

Obs.: Em experimentos 2kcada soma de quadrados calculada peloquadrado do correspondente efeito multiplicado por 2k-2.


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g.l. SQ QM F

A QMA SQASA2

FASA2

SE2

C QMB SQCSC2 FBSC

2SE2

AB QMAB SQABSAB2 FABSAB

2SE2

ABC QMABC SQABCSABC2 FABCSABC

2SE2

r SQE SQTSQASQABC SE2 SQErr

r SQT r ST2

Tabela de ANOVA equivalente Delineamento Fatorial 23

Obs.: n= 23 r.


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Exemplo 3: Pilhas alcalinas podem ser montadas em dois diferentestipos de linha (automtica ou semi-automtica), utilizando-se hidrxido depotssio ou hidrxido de ndio como eletrlito e, eletrodos planos oucilndricos. Todos estes fatores podem ter impacto na impedncia da pilha

eltrica, comprometendo a sua vida til.


Foram construdas 4 pilhas (4 rplicas) para cada combinao denveis dos fatores. Os resultados esto na tabela a seguir.

SIGNIFICADO

A A0 Linha de montagem semi-automtica

A1 Linha de montagem automtica

B B0 Hidrxido de potssioB1 Hidrxido de ndio

C C0 Eletrodo plano

C1 Eletrodo cilndrico


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ou, equivalentemente, pela tabela:

A0 A1B0 B1 B0 B1

C0 C1 C0 C1 C0 C1 C0 C1-0,1 1,1 0,6 0,7 0,6 1,9 1,8 2,1

1,0 0,5 1,0 -0,1 0,8 0,7 2,1 2,3

0,6 0,1 0,8 1,7 0,7 2,3 2,2 1,9-0,1 0,7 1,5 1,2 2,0 1,9 1,9 2,2

A0 A1B0 B1 B0 B1

C0

(1)

-0,11,00,6-0,1

(3)

0,61,00,81,5

(2)

0,60,80,72,0

(4)

1,82,12,21,9

C1

(5)

1,10,50,10,7

(7)

0,7-0,11,71,2

(6)

1,90,72,31,9

(8)

2,12,31,92,2


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Ordem padro (Exemplo 3):

Tratamento A B C AB AC BC ABC 1

2

3

4

5

6

7

8

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1Coeficiente 0,51 0,29 0,12 0,06 0,08 -0,11 -0,02Efeito estim. 1,02 0,58 0,24 0,12 0,16 -0,22 -0,04

A matriz X do modelo de regresso deve ser construda obedecendoa ordem padro, com cada linha sendo repetida r vezes (nmero deobservaes por tratamento).


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Exemplo 2: Tabela de ANOVA g.l. SQ QM F

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

O valor crtico da estatsticaF F(1, 24; 5%) = 4,26.

Concluso: O resultado da ANOVA revela que: Os fatoresA (linha de montagem) eB (hidrxido) so significativos.

O fator Ce todas as interaes no so significativos.


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Nesse experimento como somente os fatoresA eB resultaram

estatisticamente significantes, o modelo para previso dado por:

,.29,0.51,0206,1 21 iii XXy ++=

em que,

Xi1 eXi2 assumem valores -1 ou +1, e

a mdia geral de todas as observaes...y

ANLISE DE RESDUOS


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Residuos Exemplo 2:

T l d lid


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EXPERIMENTOS 3k

O desenvolvimento dos experimentos com dois nveis pode ser

estendido para qualquer quantidade de fatores. No entanto, omaior problema que se enfrenta a quantidade total deexperincias a ser feita e, consequentemente, o seu custo.

Alm dos experimentos 2k existem situaes em que se faznecessrio o emprego de experimentos do tipo 3k, ou seja,experimentos em que oskfatores envolvidos apresentam trsnveis diferentes.

Tt l d lid


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EXPERIMENTOS 3k

Tratamento A B Respostas

1 A0B0 0 0

2 A1B0 1 0

3 A2B0 04 A0B1 0 15 A1B1 1 16 A2B1 17 A0B2 0 2

8 A1B2 1 2 A2B2 2

Para k = 2 fatores, (experimento 32)

Ordem padro (nove tratamentos possveis):

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