Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias escalas de comprimento

Cláudio Nassif da Cruz

Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias

escalas de comprimento

Departamento de Física Instituto de Ciências Exatas – ICEX – Universidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte 2002

Cláudio Nassif da Cruz

Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias

escalas de comprimento

Tese apresentada ao Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas – ICEX – Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: P. R. Silva

Belo Horizonte 2002

1

Agradecimentos

Aos meus queridos pais por todo apoio e carinho que me deram ao longo dessa jornada;

Ao grande amigo Carlos Magno, quem sempre me incentivou buscar por um ideal nobre, porém sem transgredir o sistema estabelecido;

Ao meu queido amigo Ralf Rubow, da Alemanha, que esteve sempre ao meu lado nos momentos de conquista e publicações durante a minha pesquisa, incentivando-me ainda mais na conquista de novos patamares;

A Regina Athayde e Públio Athayde que trabalharam com muito afinco na digitação e organização das figuras desse trabalho, sabendo sempre compreender e atender as minhas sugestões, e, inclusive ter paciência comigo nos meus momentos de inquietude e ansiedade.

Ao meu orientador Paulo Roberto por todo apoio e intensa participação nessa longa jornada de debate e pesquisa.

Ao Prof. J. A. Helayell pelo apoio científico e importantes sugestões dadas para fortalecer meus argumentos.

Ao CNPq pelo suporte financeiro.

A Deus.

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Sumário

Introdução Geral ..................................................................................................................................... 7

Capítulo 1 ................................................................................................................................................ 13

1 Estudo comparado do Grupo de Renormalização de Wilson com o método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas

magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising – 4 . ............... 13

1.1 O Grupo de Renormalização de Wilson aplicado em fenômenos críticos:

modelos tipo Ising – 4Φ . ...................................................................................................... 15

1.2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising. ................................... 29

1.3 Comparação dos resultados obtidos pelo G.R e pelo M.T. ............................................ 34

1.4 Apêndice ................................................................................................................................. 38

1.5 Conclusões ............................................................................................................................. 42

Capítulo 2 ................................................................................................................................................ 45

2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson (M.T) aplicado ao modelo N-vetorial, ao modelo de Ising com campo aleatório e ao modelo N-vetorial com campo aleatório. ......................................................................................... 45

2.1 Uma revisão do M.T aplicado ao modelo N-vetorial ........................................................ 48

2.2 Uma revisão do M.T aplicado ao Modelo de Ising com campo aleatório (RFIM). ....... 56

2.3 O M.T aplicado ao modelo N-vetorial com campo aleatório ........................................... 59

2.4 Conclusões ............................................................................................................................. 73

3 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão dos tipos A + A 0, A + B 0, com e sem difusão anômala, e às

reações químicas do tipo l l . ......................................................... 76

3.1 Uma revisão do estudo das reações do tipo 0AA (com difusão browniana). ... 78

3.2 Reações do tipo A + B 0 com concentrações iniciais iguais (com difusão browniana). ............................................................................................................................. 82

3.3 Tratamento unificado das reações do tipo A + A 0 e A + B 0. ............................. 85

3.4 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as duas espécies. ........... 87

3.5 Estudo das reações químicas do tipo A B 0 e A A 0, nas condições de difusão modificada pela aplicação do M.T. ....................................................................... 93

3.6 O Método de Thompson aplicado às reações controladas por difusão do tipo

browniana e não-browniana KAKA ......................................................... 105

3.7 Conclusões ........................................................................................................................... 118

Capitulo 4 .............................................................................................................................................. 121

3

4 O Método de Thompson aplicado ao estudo de crescimento de polímeros. .... 121

4.1 Flexibilidade de uma cadeia. ............................................................................................. 123

4.2 Elaboração de uma ação que forneça as características do processo de crescimento de uma cadeia de polímero. ........................................................................ 128

4.3 O M.T aplicado na ação obtida para crescimento de cadeias de polímeros. ............ 144

4.4 Obtenção do expoente de Fisher . ............................................................................ 151

4.5 Obtenção do expoente de crescimento ( g ) ................................................................... 154

4.6 Apêndice ............................................................................................................................... 159

4.7 Conclusões ........................................................................................................................... 163

Capitulo 5 .............................................................................................................................................. 165

5 O método de Thompson aplicado à teoria de campo escalar 4g. . ................ 165

5.1 O método de Thompson aplicado à teoria g4. ............................................................. 166

5.2 Conclusões. ......................................................................................................................... 175

5.3 Apêndice ............................................................................................................................... 176

Capitulo 6 .............................................................................................................................................. 180

6 O Método de Thompson aplicado à Eletrodinâmica Quântica – 4QED ........... 180

6.1 A Lagrangeana da QED tratada pelo Método de Thompson. ...................................... 181

6.2 Algumas elaborações a mais para o Método de Thompson aplicado à 4QED . ..... 185

6.3 Conclusões ........................................................................................................................... 193

6.4 Apêndice: Obtenção da massa e da carga do elétron numa 2a aproximação ou para energias mais altas – Uma extensão do Método de Thompson. ........................ 195

Conclusões Finais .............................................................................................................................. 202

7 Referências Bibliográficas ............................................................................................. 208

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5

Resumo

Nesse trabalho, empregamos o método das escalas e dimensões de Thompson para estudar diversos sistemas físicos que apresentam várias escalas de comprimento e com dimensionalidade d, incluindo flutuações nas várias escalas de comprimento, dadas abaixo de uma certa dimensão crítica superior cd , que é a

dimensão acima da qual o sistema entra em regime de campo médio. Portanto, o Método de Thompson (M.T) é uma forma alternativa simples ao Grupo de Renormalização (G.R).

Primeiramente, estudamos o modelo de Ising 4 através da Hamiltoniana de Landau-Ginsburg-Wilson (LGW), na qual aplica-se o método para extrair principalmente o expoente crítico do comprimento de correlação d , com dependência da dimensionalidade do modelo, dado nas vizinhanças do ponto crítico cT de transição de 2ª ordem. Em seguida, estudamos o modelo N-vetorial, o modelo

de Ising num campo aleatório e o modelo N-vetorial num campo aleatório, extraindo basicamente, de forma analítica os expoentes críticos d,N e d,N para tais modelos, sendo o expoente crítico para o calor específico.

Na terceira etapa, usamos o referido método para estudar as diversas classes de reações químicas limitadas por difusão do tipo 0BA ,0AA em condições estequiométrica e não-estequiométrica (concentrações iniciais diferentes) com difusão browniana e não-browniana, incluindo também as reações de coalescência do tipo kllAkA , com e sem difusão anômala. Estas reações são estudadas no regime estacionário com uma fonte homogênea externa de partículas numa taxa h de tal forma que sejamos capazes de extrair os expoentes críticos

` e para a concentração h e o tempo de relaxação h no limite crítico 0h

(taxa de “campo” externo nula). Observamos que a taxa de reação k e a

concentração para qualquer classe de reação sempre exibem um comportamento

logarítmico na escala de comprimento l para a dimensão crítica superior do modelo

cdd .

Exploramos o método para estudar o crescimento de uma cadeia de polímero, obtendo basicamente os expoentes dg de crescimento da cadeia, d de decaimento de probabilidade da cadeia capturar monômeros em tempos longos e

dF , que é o chamado expoente de Flory. Algumas importantes relações de escalas são obtidas entre tais expoentes. Depois, vamos além para explorar o método na

teoria de campo escalar 4g em 4d e na Eletrodinâmica Quântica em 4QEDd4 , obtendo principalmente o comportamento logarítmico dos acoplamentos em tais teorias aargc e g em função das escalas de energia-comprimento. Assim, somos

capazes de extrair as funções- do G.R para essas teorias, fazendo algumas aproximações que serão justificadas.

6

Abstract

In this work, we apply Thompson’s Method (T.M) of scales and dimension to study several physical systems which have many scales of length, by including fluctuations in them, given below a certain upper critical dimension cd , which is the

dimension above which the system goes into a mean field regime. Therefore T.M is a simple alternative form to the Renormalization Group (R.G) approach.

Firstly, we study the Ising 4 model by using the Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W) Hamiltonian, where the method is applied in order to extract the critical exponent for correlation length d , having a dependence with the dimensionality of

the model. is given in the neighborhood of the critical point cT for second order

phase transition. After we study N-vectorial model, the Random field Ising model (RFIM) and the N-vectorial model with Random field. So we basically obtain the exponents d,N and d,N for such models. These exponents are given in an analytical form, being the critical exponent obtained for specific heat.

On the third Chapter we use such method to study the many classes of diffusion limited chemical reactions of kind 0BA ,0AA in sthequimetric conditions and with different initial concentrations, having brownian and non-brownian condition diffusion, by also including the coalescence reactions of type kllAkA , with enhanced diffusion condition. These reactions are also studied on stationary regime in the presence of a homogeneous external source of particles, in such a way that we are

able to extract the critical exponents and ` for the concentration h and for the

relaxation time h , given in the critical limit of rate field zero0h . We also observe

that the mean reaction rate k and the concentration for all classes of reactions always exhibit a logharithmic behavior on scale of length for upper critical dimension ( cd ) of the model.

We also explore the method to study the growth of a polymer chain, obtaining the exponents dg for the growth of the chain, d for the probability decaying of

absorbing monomers by the chain for long-time, and dF , that is called Flory-exponent. Some important scaling relations are obtained among such exponents. After

we go further to explore the method by studying the scalar field theory 4g in 4-d,

and the Quantum Electrodynamic in 4-d 4QED . We just obtain the logarithmic corrections on scale of energy-length for the couplings g and (charge) in such

theories. So we are able to pick up the R.G -functions of these theories, by making some approximations which will be justified.

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7

Introdução Geral

O tema da presente tese se refere ao estudo de sistemas físicos onde as

flutuações estão presentes em uma larga faixa de comprimentos de onda (várias

escalas de tamanho ou energia). Em geral consideramos esses sistemas imersos num

espaço de dimensão (d). Alguns desses sistemas possuem criticalidade, que se dá

através de um ponto crítico, com transição de fase em 2ª ordem. No ponto crítico, o

sistema torna-se invariante nas escalas, ou seja, torna-se auto-similar. Qualquer

escala de tamanho fica igualmente importante. Como exemplo, podemos citar o caso

de sistemas ferromagnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising

(Modelo Landau-Ginsburg).

Esse tema apresenta várias questões recorrentes. Tais questões fundamentais

dizem respeito ao comportamento desses sistemas na dimensão crítica superior,

acima da qual o sistema entra num regime de campo médio, e abaixo da qual surgem

flutuações nas várias escalas de comprimento, i. é, um regime fora do campo médio,

em que predominam as flutuações. Também estuda-se o comportamento de alguns

sistemas no ponto crítico da transição de fase de 2ª ordem, de onde se obtém

expoentes críticos, como por exemplo, os expoentes críticos do comprimento de

correlação v e da magnetização ( ) no modelo de Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W)

para sistemas ferromagnéticos.

Um dos focos de nossa tese pretende examinar a seguinte questão:

Desenvolver uma maneira simples e heurística para lidar com problemas de diferentes

classes de universalidade, incluindo ao mesmo tempo as dimensões, as escalas de

comprimento e energia, e os pontos críticos, caso haja. Enfim, procuraremos

8

desenvolver também uma maneira unificada para lidar com sistemas de diversas

classes de universalidade.

Consideramos relevante desenvolver a questão acima proposta por várias

razões: Em primeiro lugar, esse tratamento heurístico seria capaz de reduzir de

maneira significativa o labor de cálculo, de tal forma que seria capaz de extrair de

maneira simples a informação que diz respeito ao comportamento das “constantes” de

acoplamento nas escalas e nas dimensões para a hamiltoniana do sistema

considerado. No entanto, em alguns casos, precisamos construir uma hamiltoniana

para o modelo, e depois fazer um tratamento heurístico, ou seja, um tratamento

baseado numa análise dimensional nas escalas de comprimento (ou energia).

Uma das vantagens da presente pesquisa é que ela nos remete a um certo

nível de versatilidade ao tratar vários modelos diferentes dentro de um mesmo

enfoque. Tal versatilidade nos possibilita obter de uma forma unificada o

comportamento universal logarítmico para constantes de acoplamento na dimensão

crítica superior cd de vários sistemas.

Por exemplo, no caso da Eletrodinâmica quântica (QED) e da teoria de campo

escalar 4 , as formas usuais de se tratar estes problema podem envolver várias

técnicas de regularização para renormalização das teorias. No entanto, com a nossa

pesquisa de exploração do Método de Thompson, tentaremos mostrar algumas

possibilidades que poderiam reduzir significativamente esforços na obtenção de

alguns desses resultados. Um deles, por exemplo, seria o caso do cálculo da

“constante” de acoplamento para a QED4.

Outro resultado de nosso trabalho será a obtenção de expoentes críticos para

os modelos N -vetorial e N -vetorial com campo aleatório, já incluindo o RFIM

9

(Modelo de Ising com campo aleatório), tendo em vista as dificuldades de tratar tais

problemas à luz de métodos numéricos e de simulação computacional (Simulação

Monte Carlo).

Nossa pesquisa se presta também à abordagem de problemas com níveis de

relevância específicos. Entre eles, citamos a questão do expoente de crescimento g

para cadeias de polímeros, obtido de maneira analítica, sendo função da

dimensionalidade do sistema no qual a cadeia de polímero está embebida dgg .

Tal expoente crítico é dado nos instantes iniciais de crescimento da cadeia polimérica.

Em suma, o nosso objetivo será aplicar de maneira inovadora o Método de

Thompson nos vários sistemas. O M.T. representa uma forma alternativa simples ao

Método do Grupo de Renormalização de K.G. Wilson. Ambos os métodos podem ser

usados para tratar sistemas com várias dimensionalidades e escalas de comprimento

(ou energia).

Para tanto, construímos alguns passos que permitiriam o desenvolvimento da

pesquisa. Começamos em 1º lugar com o estudo do Grupo de Renormalização (G.R)

aplicado ao modelo L.G.W. Em seguida, aplicamos o Método de Thompson (M.T) no

referido modelo. Assim, poderemos fazer um estudo comparativo dos resultados

obtidos por ambos os métodos.

A tese está dividida em 6 capítulos, a saber:

No 1º capítulo, usamos o G.R e o M.T para estudar o modelo L.G.W. tendo em

vista estabelecer critérios de comparação entre eles. Como o G.R será usado numa 1ª

aproximação de regime ligeiramente fora do campo médio 1d4 , onde há

poucas flutuações, então, observamos por comparação, que o M.T é

10

essencialmente não-perturbativo, valendo em princípio para qualquer 4d'' ,

de tal forma que a 1ª aproximação do G.R (ordem em expansão perturbativa)

fica incorporada pelo M.T, sendo naturalmente recuperada quando fazemos

4d para os resultados obtidos pelo M.T.

No 2º capítulo, examinamos o modelo N -vetorial e o modelo N -vetorial na

presença de campo aleatório, com base no M.T, tendo em vista a obtenção dos

expoentes críticos do comprimento de correlação v e do calor específico , em

função da dimensionalidade do sistema d e do grau de liberdade N do parâmetro

de ordem. Como o parâmetro de ordem é representado pelo spin médio por

partícula iS , o grau de liberdade N associado ao spin no modelo N -vetorial

representa uma dimensionalidade intrínseca para o spin nesse modelo. Assim sendo,

se, por exemplo, 1N , o spin fica reduzido a uma única dimensão, podendo assumir

apenas dois. Neste caso, temos o modelo de Ising. Quando 2N , o spin (direção de

spin) se orienta num espaço D2 (Ex: modelo xy). Para 3N , o spin está no

espaço D3 , que é chamado modelo de Heisenberg (Ex. magnetos isotrópicos).

Logo, em geral, temos N componentes de spin para o modelo N -vetorial. No limite em

que N , temos o chamado modelo esférico.

No 3º capítulo, estudamos os modelos de reações químicas limitadas por

difusão do tipo 0 AA e 0 BA , com e sem difusão anômala, e também as

reações de coalescência do tipo lAKA , com difusão browniana e não-browniana.

Em algumas reações, tratamos o caso de regime estacionário na presença de uma

fonte homogênea externa h de partículas. Neste caso, obtemos expoentes críticos e

relações de escala entre tais expoentes, que são os expoentes para a concentração

11

h em regime estacionário e ' para o tempo de relação h ; ambos obtidos no limite

crítico em que 0h , isto é, taxa de campo externo nula.

O capítulo 4 é um dos principais da tese. Nele é proposto uma nova forma de

se tratar o problema do crescimento de uma macromolécula de polímero, mediante a

elaboração de uma ação (“energia livre”), na qual se aplicam as prescrições de

Thompson. Com isso, seremos capazes de extrair informações de uma cadeia linear

de polímero, como por exemplo, o expoente g(d) de crescimento inicial da cadeia,

obtido de forma analítica em função da dimensionalidade (d) do espaço no qual a

cadeia está embebida; o expoente de Fisher d , que fornece o grau de decaimento

da probabilidade de crescimento da cadeia, obtido em tempos longos quando a cadeia

polimérica alcança um tamanho limite máximo. Tal tamanho é dado pelo chamado raio

de Flory FR , sendo FFR N , onde N é o número de monômeros na cadeia e F

é o chamado expoente de Flory, que também vamos obter dF pela aplicação do

M.T na ação construída para o modelo.

Tendo em vista investigar o alcance de aplicabilidade do M.T, o 5º capítulo se

destina ao estudo da teoria de campo escalar do tipo 4g em 4-dimensões, na

obtenção do acoplamento g do modelo. A importância desse capítulo prende-se

ao fato de que o método (M.T) pode ser estendido à aplicação em alguns tópicos de

teorias de campos. Então, embora o nosso objetivo seja a obtenção da função 4 do

grupo de renormalização para essa teoria, que já é bem conhecida pelos métodos

usuais, a novidade reside na maneira como tratamos o problema, através de

argumentos dimensionais que fundamentam uma das prescrições do presente método

(M.T).

12

Por fim, o último capítulo contempla a aplicação do M.T à Eletrodinâmica

Quântica em 4-dimensões 4QED , através da obtenção da função do grupo de

renormalização para essa teoria, dada numa 1ª aproximação. Este capítulo traz

também um apêndice, onde se considera um aprimoramento para o método proposto

por Thompson com o objetivo de obter o comportamento da constante de acoplamento

(estrutura fina) e m (massa do elétron) em escalas de energias mais altas.

Esse tratamento representa uma 2ª aproximação para o método.

Ao findar essa introdução, alguns comentários tornam-se pertinentes. Sabe-se

que alguns resultados obtidos, tais como a função da 4QED e da teoria 4g já

estão consagrados na literatura existente. No entanto, a obtenção desses resultados

através do M.T. talvez se justifique tendo em vista a exploração do alcance do método.

13

Capítulo 1

1 Estudo comparado do Grupo de Renormalização de Wilson com o método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising – 4 .

Introdução

Na Física, existe um vasto espectro de problemas onde flutuações ocorrem em

todas as escalas de comprimento, desde os comprimentos de onda ao nível

microscópico (altas energias) até grandes comprimentos (energias muito baixas). Os

fenômenos críticos e a física de partículas elementares estão incluídos nesta classe de

problemas.

A maneira mais conhecida de lidar com esses problemas, envolvendo várias

escalas de comprimento é o chamado método do Grupo de Renormalização (G.R.),

que, quando aplicado para tratar o comportamento crítico de um sistema com

transição de fase de 2ª ordem, mostra-se capaz de obter os expoentes críticos desse

sistema [1-7].

Uma forma alternativa de lidar com problemas de várias escalas de

comprimento foi proposta por C.J. Thompson [8], que usou um método heurístico (das

dimensões) com o objetivo de obter o expoente crítico do comprimento de correlação

(), que controla o comportamento de um sistema nas vizinhanças de seu ponto

crítico.

Thompson [8] partiu da chamada hamiltoniana ou energia livre de Landau –

Ginsburg – Wilson, que trata de sistemas com magnetização M numa dada

temperatura T, sendo que daí ele obteve uma relação para o expoente em função da

dimensionalidade d do problema. Assim, Thompson [8] obteve:

d 2

4 d 1

d e

para d 4

( )

1para d 4, (regime de campo médio),

2

(1.1)

14

onde d representa a dimensionalidade do sistema.

O valor 2

1 para 4d (regime de campo médio) está em concordância

com os argumentos do G.R.

Se expandirmos d para 4d em potências de d-4ε , obtemos

2 21 ε 1d

2 122 1

6

.... ....

. Observa-se que tal expansão

para 4d do resultado de Thompson 8 concorda com o obtido pelo G.R. [1,7]

em ordem O . O termo de ordem 22 O , no entanto, não apresenta

concordância com os cálculos mais refinados do 9RG . Portanto, apesar de não

haver concordância exata em todas as ordens para 4d do Método de

Thompson TM em relação ao G.R., veremos nesse capítulo que a vantagem do

resultado obtido por Thompson está na forma analítica que é obtida para 4d d ,

de onde obtemos que 1d . Este resultado é exato para 1d . O M.T também

fornece o resultado exato 12 d .

Nosso propósito é fazer um estudo comparado entre o RG e o TM quando

aplicados aos fenômenos críticos (transição de 2a ordem), em modelos do tipo

4gsinI (Hamiltoniana ou energia livre de Landau – Ginsburg – Wilson =

WGL . O objetivo desse estudo inclui em principio a obtenção dos expoentes

críticos do sistema , , e também a obtenção de equações diferenciais que regem o

comportamento dos parâmetros L e Lu da hamiltoniana WGL , obtidos numa

dada aproximação para a escala L (L grande) e o parâmetro de expansão d4 .

Assim, tais equações diferenciais obtidas pelo G.R. [1] serão depois obtidas pelo M.T.

[8], de forma que podemos comparar melhor os dois métodos aplicados a esses tipos

de problemas. Assim, fundamentamos pelo RG as prescrições heurísticas do M.T.

Em suma, devemos traçar basicamente um paralelo entre o G.R. [1] e o M.T. [8],

aplicados a tais sistemas cooperativos. Inicialmente, vamos começar com o G.R na

seção que se segue.

15

1.1 O Grupo de Renormalização de Wilson aplicado em fenômenos críticos: modelos tipo Ising – 4Φ .

O Grupo de Renormalização de Wilson (G.R) é um método poderoso, capaz de

lidar com problemas envolvendo várias escalas de comprimento. A estratégia deste

método consiste em tratar um problema em passos; éi , um passo para cada escala

de comprimento. No caso de fenômenos críticos, o problema tecnicamente está em

todas as escalas de tamanho no sistema. Portanto, o método G.R. permite fazer

integrações em seqüências de flutuações, começando com flutuações numa escala

atômica, e com isto, caminhando para escalas sucessivamente maiores, até que as

flutuações em todas as escalas tenham sido tomadas na média para cada uma destas

separadamente.

A fim de ilustrarmos as idéias do RG , o caso básico de fenômeno crítico

será discutido em mais detalhes. Então, primeiramente, a teoria de campo médio de

Landau [10,11] será brevemente descrita e importantes questões ficarão definidas. O

G.R, portanto será apresentado como aperfeiçoamento para a teoria de Landau [1,2].

O ponto de Curie [10] de um material ferromagnético é usado como um

exemplo específico de um ponto crítico para estabelecer uma transição de fase em 2a

ordem, sendo a magnetização M o parâmetro de ordem do sistema. Assim, quando

estamos abaixo da temperatura de Curie cTT , um ferromagneto ideal exibe

magnetização espontânea OM na ausência de um campo externo. Acima da

temperatura de Curie cc TTT não há magnetização espontânea OM . A figura

(1) mostra um gráfico típico da magnetização espontânea versus temperatura (T).

Justamente abaixo de CT , a magnetização comporta-se como TTM C ~ ,onde

é o expoente crítico da magnetização. Para 4d (campo médio, onde vale a teoria

de Landau), temos 2

1 . Para 3d , obtém-se 13,12

3

1 . Para 2d , temos

8

1 (solução exata do modelo de Ising 2-d) [14].

16

T

M

Tc

Figura 1: Gráfico da Magnetização versus Temperatura para um magneto.

Ao nível microscópico, o magnetismo é causado no nível atômico por elétrons

com momentos magnéticos desemparelhados. Para CTT , o material é

ferromagnético, isto é, apresenta um par de elétrons vizinhos com momentos

alinhados (energia de ligação mais baixa). Para CTT , os elétrons desemparelhados

começam a ter momentos magnéticos anti-alinhados, ou seja, o material torna-se

paramagnético. Na verdade, é o aumento da agitação térmica que vai destruindo tal

alinhamento [10] (energia mais alta).

Quando a temperatura é reduzida para bem perto da temperatura crítica de

Curie CC TT T , o alinhamento de um dado momento magnético (spin) provoca

um alinhamento preferencial (idêntico) para uma distância considerável, chamada de

comprimento de correlação. Justamente em CC TTT , o comprimento de correlação

torna-se infinito, e todo o sistema passa a ter preferência por um dado alinhamento.

Este torna-se invariante por escala em CTT , ou auto-similar nas escalas de

comprimento [10].

Ligeiramente acima de CT , o comprimento de correlação comporta-se como

CTT~ , sendo o chamado expoente crítico do comprimento de correlação.

Temos que 2

1 em regime de campo médio de Landau 4d . Obteve-se

que 6,0 para 3d [15]. Para 2d , obtém-se 1 [14].

17

A proposta de Landau 11,10 foi que, se somente configurações com uma

dada densidade de magnetização M fossem consideradas, então teríamos uma

energia livre que é analítica em M. Logo, para M pequeno, a forma da energia livre até

a quarta ordem em M é dada da seguinte maneira, com base na condição de

analiticidade:

42 uMMVF , (1.2).

onde V é o volume do magneto, e e u são constantes que dependem

apenas da temperatura.

Na ausência de um campo magnético externo, a energia livre F em (1.2) não

pode depender do sinal de M, portanto somente potências pares de M ocorrem.

Na teoria de Landau, temos 0 na temperatura crítica, e u deve ser sempre

positivo Ou . Na fase magnetizada cTT , o mínimo de F ocorre para OM ,

pois devemos ter a seguinte solução para o mínimo de F.

OVuMMM

F

342 (1.3).

De (1.3) obtemos:

u2M

, (1.4).

sendo CTT , quando T está próximo de CC TTT . u e são

funções analíticas de T . Embora 0 CT , considera-se que 0

CTdT

d.

Quando se considera uma magnetização com variação espacial suave

xMM na energia livre de Landau, esta por sua vez toma a forma da energia

livre de Landau – Ginsburg 17,16 , a saber:

xMxBxuMxMxMxdF 4223 , (1.5)

18

onde xB é um campo magnético externo.

Na verdade, o termo gradiente em (1.5) é o termo predominante numa

expansão envolvendo arbitrariamente várias potências de gradiente e também várias

potências de M. [10]. Assim, para campos xM , variando lentamente em x, podemos

desprezar as altas potências de M , pois este já é pequeno. Normalmente o termo

"xM" 2 apresenta um coeficiente constante. Aqui, vamos fazê-lo igual a 1.

De (1.5), obtém-se o expoente crítico para o comprimento de correlação

perto de CT . Para tal propósito, vamos considerar xB uma função localizada em

x = 0. O termo u em (1.5) 4uM , neste caso, pode ser desprezado, e a magnetização

que minimiza a energia livre para CTT na presença do campo externo será:

x32 BxMxM , (1.6).

De onde vem:

BxM e x Xxp. / R

(1.7)

sendo 2

1

CTT1

. (1.8).

Logo 2

1 . Este é um expoente no regime de campo médio, o que está em

desacordo com os resultados experimentais para 3d (tri dimensional), gerando

uma quebra de validade da teoria de Landau nesta dimensionalidade. Isto requer uma

nova teoria para corrigí-la em 4d . Aí entra o RG de Wilson, pois abaixo de 4 –

dimensões, as flutuações em todas as escalas L até o comprimento de correlação

são importantes [7]; sendo a L , onde ‘a’ representa o parâmetro de rede. Assim,

“d = 4” representa uma linha divisória no modelo de 4Ising , abaixo da qual

flutuações são relevantes na obtenção dos expoentes críticos, e acima da qual

recaímos no campo médio clássico da teoria de Landau [10]. O chamado critério de

Ginsburg [18] também prevê que '4' d é a linha divisória desse modelo.

19

A teoria de Landau só é válida no regime 4d (campo médio). Na teoria de

Landau, e u em (1.5) deveriam ser independentes da escala L, sendo dependentes

apenas da temperatura. O método RG. também se aplica justamente onde a teoria de

Landau falha, isto é, para 4d . Como flutuações nas escalas de L são relevantes

neste regime 4d , então considera-se e u dependentes de L [2]. Então vem:

TL, e T,Luu [2]. Assim, no caso de L , a relação (1.8) fica corrigida

da seguinte forma:

2

1

C2

1

2

1TT r

T,

1

, (1.9)

sendo ,fr , o que pode ser obtido pelo G.R para todas as ordens em

d4 . Em [2], K.G. Wilson obtém r em O . Ele obtém que 21

C6 TT

.

Se 4d ou 4d , então 016

, recaindo na teoria de campo médio de

Landau.

A magnetização espontânea fica dada da seguinte forma:

21

T,u/T,M . (1.10).

Dado T, e ,u para L , e dado também TL, e ,Lu , para

L ; digamos que 1L , onde teríamos T,1 e T,1u ; então podemos conectar

T,1 com T, e T,1u com T,u , que é feito através do método G.R. Este

busca derivar as equações diferenciais para dLd / e dL/du , que será o nosso

propósito. Para isto, vamos considerar uma pequena variação em L, isto é, 1L de

forma a relacionar L com LL e Lu com LLu , tal que estas

pequenas variações nos permitam a obtenção das equações diferenciais para dLd /

e dL/du , onde algumas aproximações serão feitas [1].

Dado que os parâmetros e u dependem de L, logo a energia livre F seria

denotada por LF . Assim teríamos:

20

xMLuxLxMxdFdL

dL

422 M , (1.11)

na ausência de um campo externo. A integral (1.11) é dada num volume d –

dimensional, de forma que d passa a ser uma variável livre. LF em (1.11) passa a ser

chamada energia livre de Landau – Ginsburg – Wilson (L.G.W).

A fim de estudar os efeitos de flutuações, somente uma única escala de

comprimento de onda L será considerada aqui, sendo L . Quaisquer flutuações

com comprimento de onda L serão sempre desprezadas. Então, devemos fixar L

nestas condições e pensarmos em flutuações nesta escala. Este é o passo

fundamental no método G.R [1].

Para podermos pensar em flutuações na escala L, e como também queremos

obter as equações diferenciais para dLd / e dL/du , então devemos considerar

somente flutuações com comprimentos de onda variando num intervalo infinitesimal L

para LL .

Como estamos querendo fazer médias sobre esses comprimentos de onda

(flutuações), indo de L até LL , devemos iniciar com o fator de Boltzmann

xMFL-exp. , onde os comprimentos de onda entre L e L L ainda estão

presentes em xM . Portanto, devemos pensar em fazer médias sobre flutuações em

xM com comprimentos de onda entre L e LL . Assim sendo, o resultado das

médias sobre estas flutuações em xM será uma energia livre LLF para uma dada

função de magnetização denotada por xM H , isto é, xMxMF HHLL . é uma

função de magnetização que se caracteriza pelo fato de apresentar flutuações

somente em comprimentos de onda )L L( ; portanto, no regime de comprimentos

xM ,L L H varia mais lentamente do que xM . Em virtude disso, fazemos

uma simplificação, dizendo que xM fica praticamente constante neste regime

HH MxM:1 .

Com isso, observamos que há uma diferença 0 xMxM H . Na verdade,

tal diferença deveria ser expandida num conjunto de funções de pacote de onda

xn associado às flutuações. Cada pacote apresenta momentum somente no

21

intervalo L1 até LL

1 , mas que é localizado em x o tanto quanto possível. Pelo

princípio da Incerteza, desde que cada função xn deva preencher um volume no

espaço de fase, o volume para cada xn é L/LV 1d . (1.12).

Logo existem V /V funções de onda xn . Portanto, vamos escrever:

n

nnH x mxMxM , (1.13).

tal que as integrações a serem tomadas são integrações sobre os coeficientes

nm .

Vamos então tratar xM H como se fosse uma constante sobre o volume

ocupado por xn . Em outras palavras, dizemos que os longos comprimentos de

onda em xM H são colocados para perto de L.

O cálculo a ser feito é computar a seguinte integral sobre todos os coeficientes

m da expansão:

, e L L

-F

mMF HLHM dme (1.14)

sendo xMmM H para um “n”fixo.

Com base em (1.11), vamos escrever xmxMF HL através da seguinte

integral:

mMF HL

422 mMLumMLmMxd HHHd . (1.15).

Abrindo as chaves no integrando de (1.15), vem:

H222

Hd

HL Mm2mMxdmMF

4HHL

22L

2HL M LumM2mM

22

332223

3

4

2

4

1

4 HHH MmLuMmLumMLu

40

H4Mm

4

4Lu (1.16).

Como queremos apenas pequenas flutuações, então vamos desprezar termos

em 3 e 4 em (1.16). Dado que os termos lineares em apresentam integrais

nulas (no volume), logo escrevemos:

4H

2HL

2H

dHL MLuMMxdmMF

22

H222

L22d Mm

2

4Lummx d . (1.17).

Ou também podemos escrever:

HLHL MFmMF

22

H222

L22d Mm

2

4Lummx d . (1.18).

Introduzindo a condição de normalização em (1.18), isto é,

dL

d2 "1xd x" e dL 2

d2 "L

1xdx" finalmente obtemos:

22

H2

2HLHL mMLu6mL

1LMFmMF . (1.19).

Substituindo o integrando (expoente LF da exponencial) da integral (1.14) pelo

seu valor dado em (1.19), vem:

22

26

1

mMu

LMFMF HLLHLHLL edmee

. (1.20).

23

Devemos lembrar que a integral que aparece em (1.20) é uma integral

gaussiana da forma " a

e dx"2ax-

, onde temos mx e

2

H2M L u6

L

1LLaa .

Assim, substituindo esta informação em (1.20) e resolvendo a integral

gaussiana em (1.20), obtemos:

2

1

2H2

MFMF MLu6L

1Le e HLHLL

(1.21).

Aplicando o logaritmo ln em ambos os membros de (1.21), vem:

2H2HLHLL ML u6L

L

1ln

2

1MFMF , (1.22).

onde a constante “ ln ” já está absorvida no “ln” de (1.22).

Por outro lado, observamos que também podemos escrever:

HLHLHLL MFMFMF , (1.23).

ou então:

HLHLHLL MFMFMF . (1.24).

Comparando (1.23) ou (1.24) com (1.22), obtemos que

2

26

1ln

2

1HLLHL Mu

LMF . (1.25).

Ainda, por outro lado, escrevemos:

VMuuMF HLLLHLLLL 42 . (1.26).

“ V ” representa um pequeno incremento de volume (devido a L ), que é

ocupado por uma certa função (de flutuação) xn . Assim sendo, a razão "/" VV

24

nos dá o número de funções xn (pacote de largura finita) que preenche o volume

total V . Obviamente, com base em (1.26), se fizermos 0L , então vem que

0F .

Comparando (1.26) com (1.25), vem:

VMuuM 4HLLL

2HLLL

2

H2MLu6L

L

1ln

2

1 (1.27).

Agora, vamos escrever o ‘ln’ em (1.27) da seguinte maneira, colocando 2L

1 em

evidência no seu argumento:

2

H2MLu6L

L

1ln

2

1

22

H2

2LMLu6LL1

L

1ln

2

1

22H

21 LMLu6LL1ln2

1Lln . (1.28).

Expandimos o ‘ln’ em (1.28) e mantemos somente os termos da ordem 2HM e

4HM . Já devemos ter em mente que La , sendo ‘ a ’ o tamanho do sítio na

escala atômica, e o comprimento de correlação. Se fizermos 1a (1: unidade

mínima de escala), então L1 . Expandindo o ‘ln’, vem:

22H

2 LMLu6LL1ln2

1

222

H222

H2 LMLu6LL

4

1LMLu6LL

2

1

25

44

H222

H422

* LMLu9LMLu3LL4

1LL

2

1

42HLMLuL3 , (1.29).

sendo 422*

LL4

1LL

2

1 termos independentes de HM .

Quanto aos termos independentes de HM , podemos desprezá-los aqui,pois só

estamos interessados nos termos de dependência com 2HM e 4

HM , com o objetivo de

compará-los diretamente com os termos de LF em (1.27). Assim, finalmente teremos:

VMuuM 4HLLL

2HLLL

42H

44H

222H LMLuL3LMLu9LMLu3 . (1.30).

Sabe-se que o volume do espaço de posição para cada pacote xn é

1L/LV 1d . Daí escrevemos:

1 1 dLLV . (1.31).

Como (1.31) é a unidade, vamos multiplicá-la pelo 2º. membro de (1.30) e

reagrupar os termos em 2HM e 4

HM obtendo:

4HLLL

2HLLL MuuM

4H

d32L

2H

d3LL

d1L MLu9MLu3Lu3L . (1.32).

Comparando os termos em 2HM e 4

HM do 1o membro de (1.32) com os do 2o

membro, vem:

;LLu3Lu3 d3LL

d1LLLL

(1.32-a).

LLuuu dLLLL

329 . (1.32-b).

26

De (1.32-a) e (1.32-b), extraímos as seguintes equações diferenciais:

d4LL

d2L

L Lu3Lu3dL

dL

; (1.32-c).

dL

L LudL

duL 429 . (1.32-d).

A solução Lu pode ser obtida pela integração de (1.32-d). Daí obtemos

4dL9

d4Lu

. (1.33).

Introduzindo (1.33) em (1.32-c), obtemos a seguinte equação diferencial

somente para L , desacoplando-se de L u :

3

3

4

3

4

L

d

L

d

dL

dL

L (1.34).

Fazendo a aproximação L (muito grande) em (1.34), e depois integrando

a equação, obtemos a seguinte solução:

3

4d

LTCL

, (1.35).

onde TC é um coeficiente que depende apenas da temperatura, sendo

definido da seguinte maneira:

CTTTC .

Tendo por base os mesmos procedimentos do G.R usados na energia livre

L.G.W da classe do modelo Ising – 4 , então, agora, vamos aplicá-los a uma ação

L.G.W estendida (generalizada), dada da seguinte maneira a seguir:

, 422

,2 xdxMuxMxMxMF d

L LLL d

(1.36).

27

onde representa uma ‘mímica’ para o gradiente . Assim, temos que

2

seria um gradiente modificado (gradiente fracional). Sua existência

2 modificaria a forma do decaimento da função de correlação de dois spins

fixados espacialmente na rede; ou em outras palavras, modificaria a forma da variação

espacial da função de magnetização xM na rede. Obviamente, se 2 ,

recaímos no gradiente usual da ação L.G.W.

Logo, dado que xmxMxM H , nas mesmas condições anteriores;

assim sendo, substituindo esta informação na ação LF acima, abrindo os parênteses

e selecionando apenas pequenas flutuações em ao desprezarmos 3 , etc…,

então chegamos na seguinte aproximação:

dL

dHLHL xdmMFmMF

22/2,

dd L

d

L HLd xdmMuxdLm 22222 6 , (1.37)

onde xMM,x HH e xMFMF HLHL ,, =

dL HLHLH

d MuMMxd 4222

.

Vamos introduzir as mesmas condições de normalização já usadas

anteriormente, com exceção do termo em ‘ 2

’, de onde obtemos a seguinte condição

de normalização:

L1xd2

L

d 2

d. Assim, basta fazermos 2 , recaindo na condição

anterior 2L~ .

Fazendo isso, vamos escrever:

222

,, 61

mMumL

MFmMF HLLHLHL (1.38).

Daí, podemos escrever:

28

exp x MF exp MF H,LH,LL

2 2HL

1x dm 6u M m

L_ Lexp - ,

(1.39),

onde consideramos HM praticamente constante no volume dL considerado.

Resolvendo a integral gaussiana acima e aplicando o logaritmo n em ambos

os lados da equação, vem:

2HLH,LH,LL MLu6

L

1n

2

1MFMF (1.40).

Expandindo ‘ n 2xxx1 2 ’ no ‘ n ’ acima, depois de colocarmos L1

em evidência no seu argumento, e desconsiderando os termos independentes de HM

que surgem, chegamos em

,LH,LH,LL FMFMF

42222 933 HLHLLL MLuMLuLu ; (1.41).

Por outro lado, devemos ter

VMuuMF HLLLHLLLL 42

, , (1.42)

onde V representa uma pequena variação de volume, relacionado à variação

L .

Já sabemos que 1LLV 1d . Assim, multiplicando (1.41) por esta relação

ou a unidade, e comparando (1.42) com (1.41) através dos termos em 4H

2H M e M

separadamente, então finalmente obteremos as seguintes equações diferenciais,

depois de alguns passos algébricos:

i)

L d 2 d

L L L

dL 3u L 3 u L

dL

, (1.43).

29

ii)

d

LL Lu

dL

duL 229 . (1.44).

A solução Lu para a equação (1.44) será

2

9

2 d

L Ld

u (1.45).

Daí obtemos cd (dimensão crítica superior) 2 . Se 42 cd ,

recaindo no caso anterior (L.G.W).

Introduzindo a solução para Lu na equação (1.43), obtemos a seguinte

equação diferencial para L na forma desacoplada:

1L

L L3

d2

L3

d2

dL

d

(1.46).

Fazendo L muito grande (regime assintótico) na equação (1.46) acima,

obtemos a seguinte solução neste regime:

3

2d

CLL

, (1.47)

onde cCC , sendo a temperatura. C é uma função da

temperatura somente, pois é apenas uma constante que surge na integração em L da

equação diferencial L no regime assintótico.

1.2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising.

Num artigo de 1976, Thompson [8] aplicou seu método ao modelo de Landau –

Ginsburg – Wilson (Energia livre L.G.W) com o objetivo de obter o expoente crítico do

comprimento de correlação do sistema magnético (magnetização M) nas

30

vizinhanças de sua temperatura crítica (Tc). Assim, ele partiu da seguinte energia livre

L.G.W:

dL

422d MLuMLrMxdF , (1.48)

onde M = M(x). Comparando (1.48) com (1.11) da secção anterior, observamos

que LrLL .

O parâmetro é dado por cc / .

Na representação de Landau, a magnetização de equilíbrio satisfaz:

,00

,022

c

cL

Toupara

TouparaMM

(1.49)

onde ML2 = r (L) / u (L). O comprimento de correlação é dado da seguinte

forma:

= [ r () ] -1/2 L -1/2 L(T – Tc) -1/2, sendo L = [r () ]- ½ , que é

interpretado como um tipo de comprimento de coerência resultante de flutuações nas

vizinhanças de Tc, o que vai depender da dimensionalidade d do sistema que estamos

considerando. Esta relação acima é a mesma relação (1.49) do GR, obtida na secção

anterior.

Então, vamos mostrar que, se não há flutuações em d 4 (campo médio), ML2

e L ficam constantes, e assim obtemos que

,TTCTTC C cte

ctete 2

12

1 onde = ½ (expoente crítico do

comprimento de correlação no regime de campo médio). Neste regime também

obtemos:

,TTCMTTCMCM,CM 21

cte

cte2te2

Lte2

que é o expoente crítico da magnetização em regime clássico ou campo médio

(sem flutuações).

31

Em geral, devemos escrever:

2/1L , (1.50)

onde (d), que vamos obter pela aplicação do Método de Thompson (M.T)

na ação em (1.48). Já sabemos que ( 4d ,) = ½ no regime de campo médio, onde

‘ 4dc ’ representa a dimensão crítica superior do problema, acima da qual temos um

regime de campo médio.

O Método de Thompson fundamenta-se em 3 prescrições heurísticas, a seguir:

a) O módulo da integral de cada termo da ação tomado separadamente,

considerando a integral num dado volume de coerência Ld em d – dimensões, deve

ser da ordem da unidade, onde L representa a escala de comprimento considerada na

integração. Na verdade, esta prescrição nos permite fazer uma análise dimensional de

escala (L) em d – dimensões para certas grandezas na ação considerada, tomando-as

em valores médios dentro de um dado volume de coerência ou característico dL . O

volume da coerência é tal que ddd La , sendo “a” o parâmetro de rede (a=1) e o

comprimento de correlação.

b) Para valores de 4d , (no caso Ising – 4), devemos ter u (L) e r (L) 1

(constante) ou independente de L, o que corresponde ao regime de campo médio.

c) A flutuação da energia livre deve ser da ordem de dL ; isto é,

d2d

L r L[ ] . Assim, teremos 1~f dL .

Vamos aplicar a prescrição (a) em cada termo da ação:

1o termo:

1~~ 222 MLxdM dd

Ld

dLM 22 ~ (1.51)

2o termo:

32

1~2 dL

d xdMLr

.1~)( 2 dLMLr (1.52)

Substituindo (1.51) em (1.52), obtemos:

r (L) L2 ~1. (1.53)

Pensando que L = para o caso do comprimento de correlação perto do ponto

crítico, então vem:

~ 21

21

Lr (1.54)

Este resultado (1.54) foi obtido anteriormente na secção (1.1), mas agora,

fomos capazes de obtê-lo a partir do M.T, que é uma forma alternativa ao GR.

3° termo: dL

d xdMLu 1~)( 4 (1.55)

Daí, obtemos: 1~4 dLMLu .

Agora, vamos pensar que: .~ 24224 dLMM Substituindo esta última

informação em (1.55), vem: u (L) L4 – d ~1; ou melhor,

41

4~

4

dpara

dparaLLu

d

(1.56)

Em (1.56), introduzimos a 2ª prescrição de Thompson, de forma que, para

4d , temos u (L) Lo = 1.

Aplicando a 3a prescrição de Thompson, já sabemos que

f L-d = [r (L)] d/2, (1.57)

onde f é a flutuação da energia livre F.

Assim, se escrevemos: ,fLu

LrF (1.58)

33

teremos xdmLrmLrmf d

Ld 422 , onde m representa uma

flutuação na magnetização, sendo que vamos definir .2

22

LM

Mm

Já sabemos que .

2

Lu

LrM L

Substituindo (1.57) em (1.58) e sabendo que 1~F , escrevemos:

.1~2

d

LrLu

LrF (1.59)

Substituindo (1.56) em (1.59), finalmente obtemos:

41

4~

2/42

dpara

dparaLLr

dd

(1.60)

Fazendo L = (perto do ponto crítico) em (1.60), e sabendo que

2/12/1 r , então, finalmente podemos obter.

4dpara

2

1

4dpara1d4

2d

(1.61)

Para 1d , que é o expoente crítico para o modelo de Ising 1- D.

Para 12d , para o modelo de Ising 2-D [14].

Para 8

53d , para o modelo de Ising 3-D.

Obtivemos 3d8

5 pelo M.T. Não se obteve ainda exato para o caso 3-

D. Logo, por comparação, observa-se que ‘ 85

3 ’ obtido pelo M.T não está longe

daqueles obtidos na literatura [15], onde técnicas numéricas (Simulação Monte Carlo)

são utilizadas.

34

1.3 Comparação dos resultados obtidos pelo G.R e pelo M.T.

Na seção 1.1 desse capítulo, obtivemos duas equações diferenciais de G.R

para os parâmetros Lu e L da energia livre L.G.W, tendo por base a

aproximação para regime assintótico (L grande). São elas:

,Lu9

dL

LduL d42

L (1.62).

0L3

d4

dL

LdL

, (1.63)

estando em regime assintótico L . No caso mais geral 2 , tínhamos

basicamente as mesmas equações diferenciais, porém, obtínhamos 2dc . Assim,

se 2 , recaíamos em (1.62) e (1.63) acima. Portanto, para o estudo comparado

entre o G.R e o M.T, as equações (1.62) e (1.63) já nos fornecem uma boa base para

comparação dos resultados.

De (1.62), obtivemos a seguinte solução:

4d

L L9

d4u

. (1.64)

De (1.63), vem

3/4dLTCL , (1.65)

onde cTTTC .

Na seção 1.2, aplicamos o M.T na ação L.G.W, e daí obtemos o

comportamento de LLu e . Tínhamos obtido primeiramente que

4~ dLLu . (1.66)

De fato, quando comparamos (1.66) obtido pelo M.T com (1.64) obtido pelo

G.R, observamos que (1.66) é uma relação de escalonamento contida em (1.64); ou

seja, é o comportamento de escalonamento para o parâmetro u(L) dado em regime

35

assintótico. Daí concluímos que o M.T permite apenas obter o escalonamento de

certos parâmetros, enquanto que o G.R, além disto, nos fornece também a amplitude

associada ao parâmetro, que, no caso (1.64), é dada por

9

d4A d

.

Assim, (1.66) é consistente com (1.64), sendo oriundo do seguinte

escalonamento: 1C~LLu ted4 . Agora, podemos facilmente verificar que tal

escalonamento vem diretamente da ação LFW.G.L . Para isso, vamos fazer

1~LLLuLLuLLu dd22ddd4d4 . Sendo d2

L

2 L~M , já obtido do para o

1º. termo da ação LF , então vem:

1~422 xdMLuLMud

L

d

LL d . Esta é exatamente a 1ª prescrição de

Thompson aplicada ao 3º. termo da ação L.G.W para a obtenção de Lu , dado em

(1.66). De fato, esta é uma forma alternativa simples de obtenção de escalonamento,

diretamente a partir da ação (energia livre). O M.T [8] é portanto um método heurístico,

capaz de extrair os relações de escalonamento para os parâmetros obtidos via G.R

[1,2,4].

Em segundo lugar, obtemos via M.T o parâmetro Lr .

2/42~ ddLLr (1.67)

Podemos observar que o escalonamento (1.67) dado por Thompson satisfaz a

seguinte equação diferencial:

12d/4d2 L .L2d

4d2

dL

Ldr

,

ou

2d/4d2L2d

4d2

dL

LdrL

, (1.68)

ou ainda

36

0Lr

2d

d42

dL

LdrL

. (1.69)

A equação diferencial (1.69) acima é obtida pelo M.T. Então, podemos

compará-la com a equação (1.63) obtida pelo G.R. Quando fazemos isto, observamos

de imediato que a relação “ LrLrTCT,L ” é satisfeita, pois temos

‘ TL, ’, enquanto que ‘r = r(L)’. A equação (1.69) recai praticamente na equação

(1.63) do G.R quando pensamos em d perto de 4d4 . Fazendo esta aproximação,

podemos dizer que o coeficiente '2/42' dd , que aparece em (1.69), fica da

seguinte forma:

4p./d ,

3

4

6

42

2

42

dd

d

d.

De fato, a equação (1.63) obtida pelo G.R contém apenas os efeitos de ordem

d4 quando pensamos na expansão perturbativa em para o G.R. Em

outras palavras, a equação (1.63) do G.R só é válida nas vizinhanças inferiores da

dimensão crítica superior 4dc do sistema. Isso ocorreu, pois, quando aplicamos o

G.R na ação L.G.W, tínhamos desprezado termos de 3O , ,...m,m O 44334 ,

etc…, simplificando o problema.

Com tudo isso, podemos concluir que (1.69) obtida pelo M.T, embora seja

válida apenas em regime assintótico, já contenha em princípio a informação para

qualquer 4d , não se restringindo somente nas vizinhanças de '4d' . Apesar de

ser provavelmente um resultado não exato para qualquer d considerado, pelo menos é

fechado em d, i é, não-perturbativo. Isso, no fundo, já se deve ao fato do resultado

(1.67) incluir em princípio qualquer valor de 4d . Em suma, o M.T fica indiferente

(insensível) ao tratamento perturbativo usado normalmente na aplicação do G.R.

Pelo M.T (seção 1.2), o expoente crítico do comprimento de correlação é

dado da seguinte maneira:

4d ;1d4

2dd

. (1.70)

37

Vamos expandir d do M.T (rel. 1.70) em ordens de d4 , e depois

comparamos o resultado obtido com a expansão para do G.R. Expandindo (1.70)

vem:

...27//9/31 6/12

1

3/1

6/1

2

1 32

...

541861

2

1 32

. (1.71)

Logo, escrevemos:

...6

12

1 2

O , (1.72)

onde introduzimos 4d em (1.70) para obtermos (1.72).

Observamos que, se 0 em (1.72), recaímos em 2/1 , que é o caso

clássico de expoente de campo médio na teoria de Landau.

Vamos escrever (1.72) enfatizando apenas a 1ª. ordem de O . Então,

escrevemos:

1

32

6/12

1

, (1.73)

sendo .1 Este resultado bate exatamente com o obtido pelo G.R na 1ª.

ordem em da expansão perturbativa [2] para o expoente [2].

Assim, conclui-se que obtido pelo M.T (eqs. 1.71, 1.72 e 1.73), reproduz

exatamente a 1ª. ordem em dada pelo G.R [2] quando 1.70 eq. é expandido em

d4 . Em suma, o expoente obtido pelo M.T bate exatamente com o do G.R [2]

na 1ª ordem de O da expansão. Isto já não ocorre com 2 O , etc...; no entanto,

numa situação global (efeito total ou não perturbativo), o expoente d do M.T

garante bons resultados para d longe de 4.

38

1.4 Apêndice

Tendo em vista que o M.T. é uma forma alternativa simples para o G.R, vamos

primeiramente procurar justificar a 1ª prescrição de escala de Thompson com base em

alguns argumentos básicos do próprio G.R. Assim, vamos apresentar aqui as

transformações básicas do G.R [10].

Começamos apresentando a hamiltoniana de Landau-Ginsburg na forma

generalizada. Pode-se considerar esta hamiltoniana, sendo obtida de um modelo de

spin, porém numa forma contínua, i. é, o spin é substituído por uma variável contínua

de spin x , que, basicamente, estaria representando uma magnetização (parâmetro

de ordem no caso de haver transição de 2ª ordem para a hamiltoniana particularizada,

definida nas seções anteriores). Assim, vamos escrever a seguinte hamiltoniana

generalizada:

8

86

6422d u

!8

1u

!6

1u

!4

1r

!2

1c

2

1xdH

...

!4

1 22 , (1.74)

onde, se fizermos 0......86 uu , sendo c e 0 , 0 ur uma

constante, recaímos na forma particularizada da hamiltoniana, que normalmente

usamos para estudar a transição em 2ª ordem, fazendo r positivo ou negativo, porém

0u (positivo).

Na hamiltoniana (1.74), temos o chamado espaço de parâmetros, que é o

espaço desses vários coeficientes ou constantes de acoplamento, ou seja,

,...,,,,, 86 uuurcu . (1.75)

´ x ´ é uma função da variável contínua de rede (x).

Assim sendo, é conveniente introduzir a transformada de Fourier k~

para

x , dada por

39

xeL

xdxe

L

ak xiK

D

dxiK

xD

D.

2/

.

2/

~

, (1.76)

onde L é o tamanho do sistema.

As duas primeiras operações na transformação do grupo de renormalização

(RGT) são uma integração sobre os vetores de onda ks/ , seguida por uma

dilatação da unidade de comprimento por um fator s, isto é,

;s/x`xx

skkk ` . (1.77)

A terceira operação do RGT consiste numa “renormalização” da variável de

campo x , ou seja,

,`` xsxsxxi d ,

ou no espaço k, teremos:

kskskkii DdD~

2/~

2/~~

s `` (1.78)

A transformação (1.78) (ii) no espaço k pode ser obtida da seguinte maneira,

sendo s/L`L :

.

'``

```

~2/

~2/

.2/

2/

``.2/

~

kskss

xseL

xds

xeL

xdk

DdD

xiKD

DD

xiKd

D

O 1º termo da hamiltoniana (1.74) contém o gradiente do campo e um

coeficiente 2/c . Nota-se que o parâmetro c é irrelevante [10], pois o ponto fixo para

“ 0c ” é trivial; ou seja, este caso corresponde ao limite T , estando todos os

sítios (spins) desacoplados na rede. Portanto, podemos fixar seu valor em 1c , e isto

é o que vamos fazer. Assim sendo, vamos mais adiante na obtenção do 1º termo

(gradiente) da hamiltoniana quando submetido a uma transformação de escala do G.R

40

(RGT). Sabendo que xssxx d x`` ,/` e também que s` , onde

k k` ` e , então vamos escrever que

2222 ``` dDDD sxdxd

2222 xdsxd DdDD

022 dD , ou então, 12/ Dd (1.79)

Logo, se esta condição (1.79) é satisfeita, então obtemos uma invariância tal

que 2D2D xd```xd , sendo d a dimensão do campo pela análise

dimensional, que é a condição (1.79). Essa idéia de invariância pode ser estendida

para o espaço k e também para toda a hamiltoniana, ou todos os termos da

hamiltoniana.

Assim, obtemos a invariância, tal que H`H . De outra maneira, podemos dizer

que a condição (1.79) para o campo , que é a chamada dimensão canônica ou

normal do campo, nos leva a uma invariância de escala da hamiltoniana. Isto significa

que a condição (1.79) vem do fato de considerarmos que a hamiltoniana tenha

dimensão zero, pois não depende da escala (invariância de escala), i. é, temos

0H , sendo 1`HH (constante). Assim sendo, para tal invariância ser

obedecida, então a troca ou variação na escala de comprimento ` deve ser

compensada pela troca na normalização do campo ` . Agora, já começamos a

perceber que a 1ª prescrição do grupo de renormalização de Thompson (M.T) está

fundamentada numa análise dimensional de escala, que tem origem na condição de

invariância de escala que impomos para cada termo da hamiltoniana, fazendo cada

termo constante ou da ordem da unidade (1). Como, por exemplo, para o 1º

termo da hamiltoniana, tínhamos:

d

xd d

1~2. (1.80)

De (1.80), obtemos a seguinte análise dimensional de escala: 1~d22 .

Sendo 222 , então finalmente obtemos:

41

d 222 ~ ,

ou

d1

2

d

~ , (1.81)

sendo 1~ , e 12

dd

. Esta é exatamente a mesma condição (1.79)

obtida da condição de invariância por transformações de G.R.

Em suma, a invariância de escala corresponde ao comportamento governado

puramente por análise dimensional, e que dá o fundamento para a 1ª prescrição do

M.T. De fato, isto é o que o modelo gaussiano [10] dá em c , que é o ponto fixo

não trivial (ponto crítico de transição) no modelo L.G.W, já descrito nas seções

anteriores. Logo, devemos concluir que a condição de invariância na 1ª prescrição do

M.T é feita com propósito de estudar o sistema nas vizinhanças de seu ponto crítico,

onde há invariância de escala (o sistema possui auto-similaridade nas escalas); e

portanto, daí obter os expoentes críticos do sistema, que são obtidos somente nas

vizinhanças do ponto crítico.

No entanto, embora a 1ª prescrição do M.T se fundamente numa análise

dimensional obtida da condição de invariância, tal prescrição ainda vai mais além, no

sentido de que ela já inclui naturalmente um argumento heurístico adicional, que, de

um ponto de vista estatístico, é dado quando fazemos a substituição da integral pelos

valores médios de cada elemento do integrando num certo volume d , que é o próprio

volume de integração na 1ª prescrição de escala do M.T. Assim, por exemplo,

teremos:

d

xd d

1~2

dd 2222 ~1~ . (1.82)

Comparando (1.82) com (1.81), observamos que (1.81) corresponde a uma

análise dimensional pura, onde obtemos d222 ; enquanto que (1.82)

representa uma análise dimensional + uma dada média estatística do campo

42

quadrático na escala , com volume d , tal que tenhamos d222

.

Logo, concluímos que a 1ª prescrição de Thompson introduz também o

comportamento dimensional para certas médias estatísticas na escala de

integração. De fato, o comportamento obtido para tais médias estatísticas de campo já

obedece à invariância de escala da hamiltoniana perto de c , justamente pelo fato

de fazermos a integral de cada termo na ordem da unidade (constante).

Finalmente, já tendo em vista que 0H (invariância de escala), então,

aplicando essa condição de invariância nos outros termos da hamiltoniana

generalizada (1.74), podemos determinar as dimensões normais das constantes de

acoplamento no espaço de parâmetros ...etc,,u,ur 6, . Assim, obtemos:

; 4u , 2 Dr

etc... ; 2 , 26u6 DD (1.83)

ou então, também podemos escrever:

; u , 4422 DDr

DDDD 2226626 , u

, (1.84)

etc...

1.5 Conclusões

Nesse 1º capítulo, estudamos sistemas ferromagnéticos da classe de modelos

do tipo Ising 4 , através da hamiltoniana de Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W.), que

é normalmente usada para tratar tais sistemas. Primeiramente, tratamos o modelo

L.G.W. pela ótica do Grupo de Renormalização (G.R), visando obter as equações

diferenciais do G.R para os acoplamentos Lu e LR da teoria, dados numa 1ª

aproximação O e em regime assintótico L . Assim obtivemos:

43

i) 2 d 4 dd L

L 3u L L 3 L u L LdL

R

R ;

ii) 2 4 ddu L

L 9u L LdL

.

Observamos que o método G.R representa uma correção na teoria de Landau,

sendo dada em regime não-clássico 4d , isto é, fora do regime de campo médio,

de tal maneira que os parâmetros ueR passam a ser funções da escala L, sendo

La (comprimento de correlação). “a” é a unidade de rede.

Em 2º lugar, tratamos o referido modelo pelo Método das dimensões e escalas

de Thompson, que representa uma alternativa simples ao G.R, permitindo também

obter os parâmetros de acoplamento Lu e LR em regime assintótico. Assim,

obtivemos 4dL~Lr e ,4dL~Lu 2d/4d24d . Com isso, extraímos do

modelo o expoente crítico do comprimento de correlação d em função da

dimensionalidade do sistema, isto é,

,4d ,

2

1

;4d ,1d4

2d

d

onde cTT~ .

Tendo estudado o modelo L.G.W sob a ótica de ambos os métodos (G.R e

M.T), fizemos um estudo comparado dos dois, procurando fundamentar as prescrições

do M.T com base em argumentos de transformação de escalas do G.R. Por exemplo,

verificamos que o parâmetro 4dL~Lu obtido pelo M.T reproduz o comportamento

de escalonamento (‘scaling’) daquele obtido pelo G.R numa 1ª aproximação como

solução da equação diferencial do G.R para Lu . Por outro lado, o parâmetro Lr

obtido pelo M.T vale, em princípio para qualquer 4d , recaindo naquele obtido pelo

G.R na 1ª aproximação quando fazemos 4d . Logo, tínhamos concluído que o M.T é

essencialmente não-perturbativo, embora não seja exato para todo 4d ; enquanto

que o G.R, sendo tratado perturbativamente, ordem por ordem de d4 , dá

resultado exato para cada ordem na expansão em , incluindo cada vez mais as

44

flutuações de ordens mais elevadas. No caso do expoente obtido pelo M.T, quando

foi expandido em potencias de e comparado com a expansão perturbativa do G.R,

obtivemos exata concordância com o G.R apenas para a 1ª ordem em O ,

embora os expoentes 12d e 1d dados pelo M.T longe do campo

médio coincidam com os resultados exatos do modelo de Ising D2 e D1

respectivamente; o que, do ponto de vista da expansão no G.R, iria requerer

elevadas potências de para serem obtidos com maior precisão. Daí uma das

vantagens do M.T, o que nos motiva ir adiante para o 2º capítulo, onde vamos

generalizar o modelo L.G.W de forma a incluir outros graus de liberdade para o

parâmetro de ordem. Trata-se do modelo N -vetorial e deste na presença de um

campo aleatório. O modelo de Ising num campo aleatório (RFIM), que é um caso

especial, também será explorado com certos detalhes no próximo capítulo.

45

Capítulo 2

2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson (M.T) aplicado ao modelo N-vetorial, ao modelo de Ising com campo aleatório e ao modelo N-vetorial com campo aleatório.

Introdução

Com base na hipótese de universalidade, o comportamento crítico de um

sistema cooperativo, que sofre uma transição de fase de 2ª ordem é governado por

amplitudes e expoentes críticos que dependem somente de poucos parâmetros

básicos do modelo, como por exemplo, a dimensão espacial (d) da rede cristalina e a

simetria do parâmetro de ordem (N). O modelo N-vetorial, como o próprio nome já

sugere, é caracterizado pelo grau de liberdade do parâmetro de ordem.

Também já é bem sabido que na vizinhança do ponto crítico, o comprimento de

correlação experimenta um grande crescimento. Logo, as divergências das várias

quantidades termodinâmicas no ponto crítico, tais como a suscetibilidade e o calor

específico na transição de fase para-ferromagnética são ocasionadas pela divergência

do comprimento de correlação [20 – 22].

Já sabemos que o comprimento de correlação é dado como ~ , onde

cc T/TT . “ ” mede o desvio de temperatura do ponto crítico cT , sendo o

expoente crítico do comprimento de correlação.

Para o modelo N-vetorial, por exemplo, temos N,d , sendo d a dimensão

espacial da rede e N o número de componentes do parâmetro de ordem, que está

relacionado a sua simetria.

Assim, na 1ª seção, vamos obter os expoentes críticos do comprimento de

correlação N,dv e do calor específico N,d para o modelo N-vetorial, com

base em duas aproximações, sendo a 2ª aproximação aquela que fornece resultados

de e mais próximos da realidade, válidos para todos os valores de N1N .

46

Na 2ª seção, vamos aplicar o M.T ao Modelo de Ising com campo aleatório

(RFIM). O campo aleatório cria uma desordem no sistema, assumindo valores

flutuantes, de tal forma que podemos considerar uma média nula para tal distribuição.

Por exemplo, poderíamos pensar numa distribuição de probabilidade de campo

aleatório hP gaussiana, com média nula (centrada no zero: 0h 0 ). No nosso caso,

qualquer outra distribuição de campo seria válida, desde que tenha média nula

0xh , não sendo necessariamente gaussiana. Nessa seção, vamos obter uma

nova dimensão crítica superior ( 6du ) e inferior ( 2dL ) do modelo, o que é devido

à presença do campo aleatório na rede. Assim, também, devemos obter um expoente

crítico d para o RFIM, de onde poderemos extrair os referidos de ud e Ld .

Na 3ª seção, vamos generalizar o modelo com campo aleatório, de maneira a

introduzir os N graus de liberdade para o parâmetro de ordem iM do sistema.

Portanto, vamos tratar o modelo N-vetorial 1N na presença de um campo

aleatório, explorando o M.T nesse caso mais geral. Esta exploração se fundamentará

em duas aproximações heurísticas, conforme o que será feito também na 1ª seção

para o modelo N-vetorial puro (sem campo aleatório). Na 1ª aproximação, iremos obter

os expoentes críticos N,d e N,d (calor específico), considerando um único

intervalo para N1N .

Assim, como tais expoentes não dão resultados exatos para valores

intermediários de N, iremos para uma 2ª aproximação em que faremos a seguinte

partição para os valores de 2N)A:N (modelo contínuo); 2N1)B (inclui o

RFIM para 1N ). No 1º caso 2N , vamos obter os expoentes N,d e N,d ,

sendo este último obtido a partir da relação de hiperescala modificada

d 2 , com 2 . Iremos observar que, no caso em que N , vamos

recuperar os expoentes críticos da 1ª aproximação, válida quando N é grande.

No 2º caso 2N1 , vamos também extrair os expoentes d N, e

N,d . Nesse caso, faremos duas considerações para a obtenção dos expoentes. A

1ª delas se baseia na conjectura de que o valor de d`d para a redução efetiva

na dimensionalidade continua sendo 2 , da mesma forma que no 1º caso 2N .

47

Assim, obteremos os expoentes e . No caso especial em que 1N (RFIM),

extraímos d,1N e depois comparamos este resultado com aquele já obtido na 2ª

seção. A 2ª consideração a ser feita vai se fundamentar nas boas aproximações

numéricas para no RFIM, com base na literatura, incluindo as mais recentes, onde

se obtém 2/dd . Logo, seremos capazes de extrair o expoente com maior

exatidão, obtendo d,1N , que reproduz bem aquele 3d para o RFIM real

d3 , obtido por métodos numéricos e computacionais (Monte Carlo). A vantagem do

nosso resultado está no fato de ser obtido de forma analítica, de forma a prever os

valores dos expoentes não-clássicos para qualquer dimensionalidade 6dd u ,

sendo ud a dimensão crítica superior do modelo quando se introduz campo aleatório.

Quanto ao expoente , vamos obtê-lo a partir de uma relação de hiperescala

modificada para 2

d ; no entanto, vamos verificar que o nosso resultado não é bom,

o que já era de ser esperado, pois já se sabe que, na presença de campo aleatório, as

relações de hiperescala modificadas são violadas; e além disso, os vários resultados

para 3d no RFIM, dados por vários outros métodos são discrepantes entre si. A

pesquisa ainda está em aberto nesse ponto.

Em geral, os expoentes críticos obtidos do modelo N-vetorial 1N , como por

exemplo, o expoente , podem ser obtidos através da expansão do G.R [6], onde

d4 [6]. Tal expansão na 1ª ordem em (linear em ) é boa somente perto de

4d . No entanto, quando afastamos muito de 4d , devemos considerar potências

das séries em , de ordens mais altas, a fim de obter resultados mais satisfatórios.

Tais procedimentos acarretam um grande aumento no número de cálculos a serem

feitos [20-22]. Mas, por outro lado, temos o M.T [8], que é um método heurístico, e já

foi bem sucedido para a derivação de uma expressão do expoente crítico do

comprimento de correlação do modelo de Ising 1N , válida para todas as

dimensões d ([8], veja 2ª. seção do 1º. Capítulo).

Aqui, nesse capítulo, o nosso objetivo primeiramente é estender o M.T para ser

aplicado no caso geral do modelo N-vetorial 1N , sendo 1N o caso do modelo

48

de Ising [8] com apenas 1 grau de liberdade N 1 para o parâmetro de ordem

z

1S

2

, dado com dois valores possíveis de spin sobre um eixo escolhido (eixo z).

2.1 Uma revisão do M.T aplicado ao modelo N-vetorial

Vamos introduzir aqui a hamiltoniana L.G.W ou energia livre LF para o modelo

N-vetorial clássico. A presente seção é uma revisão do trabalho de P.R. Silva [23], que

partiu da seguinte energia livre:

d

22 2 2 d

L i i iLi i i

F M r L M u L M d x

. (2.1)

xMi representa a “i-ésima” componente do campo vetorial N-dimensional, e

a integração em (2.1) é feita sobre um dado volume d-dimensional. Os coeficientes

Lu e Lr já são bem conhecidos do modelo de Ising (N=1) (Capítulo 1). Como foi

apontado por Thompson [8], o parâmetro L forma a base de seu argumento

dimensional, e pode ser entendido como um comprimento de onda de corte

considerado na integração (uma espécie de corte no infra-vermelho).

No caso 1N [8], introduzimos no 1º capítulo (2ª. seção) as três hipóteses

básicas adotadas por Thompson [8]. Agora, a fim de generalizar o M.T para o modelo

N-vetorial, fazemos a seguinte consideração: usamos o procedimento de Thompson

para avaliar a contribuição separada de cada uma das N componentes do parâmetro

de ordem. O jeito agora é obter uma forma correta de distribuir e dispor os vários

modos em N, a fim de obter o resultado final. Para isso, vamos fazer duas

aproximações a seguir.

2.1.1 A primeira aproximação

Alguns resultados básicos do trabalho de Thompson (caso 1N ) [8] que

estamos considerando são:

1~fLu

LrF , (2.2)

49

2d

Lrf dL , (2.3)

,~21

21

r (2.4)

4dL~Lu . (2.5)

Nossa primeira providência a fim de obter o expoente crítico N,d consiste

em ampliar as equações (2.2) e (2.5) através das seguintes conjecturas: Uma análise

de LF em (2.1) mostra que o segundo termo na integral (2.1) é da ordem de N,

enquanto que o terceiro termo é da ordem de 2N . Isso nos leva a propor a seguinte

modificação em (2.2):

1~fLu

LrF

N

[23] (2.6)

Consideramos, também aqui, que Lu é essencialmente uma contribuição p/.

a entropia na energia livre [24]. Pensando em termos de probabilidades

independentes, escrevemos a modificação de (2.5) da seguinte maneira ampliada:

N4dL~Lu . [23] (2.7)

Introduzindo (2.3) em (2.6), obtemos:

dN2/2Lu~Lr (2.8)

Usando (2.7) e (2.8) em (2.4), finalmente obtemos:

dN2N4d2

dN2N,d

. (2.9)

Se 1N (Ising), recaímos em 4d 1N,d , obtido por Thompson [8].

Tomando o limite de (2.9) quando N , temos

2d

1

, (2.10)

50

que concorda com o resultado exato para o modelo esférico [25]. Logo, (2.10) nos

revela a dimensão crítica inferior 2d L do modelo esférico N . No caso

1N , (2.9) reproduz o resultado de Thompson [8], que fornece 1d L (dimensão

crítica inferior) para o modelo de Ising.

A dimensão crítica inferior é aquela abaixo da qual o sistema não apresenta

transição de fase. Ela vale ‘1’ para o modelo de Ising ( 1N ), e vale ‘2’ para o modelo

esférico N . Já, a dimensão crítica superior ud é aquela acima da qual o

sistema entra em regime de campo médio, que vale ‘4’ tanto para o modelo de Ising

quanto para o modelo N-vetorial com 1N .

O conhecimento do expoente crítico do comprimento de correlação (eq. 2.9)

como uma função explícita dos parâmetros d e N, permite-nos imediatamente

determinar o expoente crítico do calor específico . Primeiramente, escrevemos a

seguinte relação de hiperescala:

d 2 . (2.11)

Introduzindo (2.9) em (2.11), obtemos

NdN

Ndd

2 12

2 4

. (2.12)

Os zeros do denominador de (2.9) são valores que anulam este denominador,

permitindo a obtenção da dimensão crítica inferior Ld em função de N. Então, para

obtermos tal função (valores), devemos fazer

0 dN2N 4d2 . (2.13)

De (2.13), obtemos

1N

N2Ndd L

. (2.14)

Se 1N , de (2.14) obtemos 1dd L (modelo de Ising).

Se N , de (2.14) vem 2dd L (modelo esférico).

51

Podemos usar (2.9) para construir um diagrama no plano (d, N), separando

várias regiões de acordo com a seguinte classificação: região sem transição de fase

Ndd L , região de expoentes críticos clássicos, e a região onde os expoentes

críticos são não-clássicos. Esse diagrama está ilustrado na Figura 2. Os zeros do

denominador de (2.9), dados em (2.14) nos fornecem dimensões críticas inferiores que

variam entre zero (para 0N ) e dois quando N . A dimensão crítica superior

permanece igual a quatro ud 4 , (veja 2.7).

0

1

2

3

4

5

-2 0 2 4 6 8 10 12

N

d

expoentes críticos clássicos

sem transição de fase

a < 0

a > 0

Figura 2: Diagrama (d,N) para a 1a aproximação no modelo N-vetorial.

Um diagrama similar ao da Figura 2 foi proposto por Pfeuty e Toulouse [20],

porém dentro de um contexto mais qualitativo. A figura 2 foi extraída da ref. [23].

Também podemos usar o diagrama da Figura 2 com o propósito de delimitar as

porções do plano (d, N), onde o calor específico apresenta uma divergência 0 , e

onde ele apresenta um comportamento tipo “cúspide” 0 . Uma inspeção em

(2.12) mostra que o calor específico irá divergir 0 na região do plano (d, N)

indicado pela relação N2d , sendo N2d a reta sobre a qual temos 0 .

Na verdade, o gráfico para Nd L (eq. 2.14), obtido na Figura 2 mostra que

temos 2d L somente quando N ; no entanto, sabe-se que, na verdade

obtemos 2d L para qualquer 2N , ou o que se denomina de modelo contínuo.

52

Com isto, conclui-se que a Figura 2 corresponde apenas a uma 1a aproximação para a

solução do problema, embora predizemos com exatidão 2d e N L .

Portanto, alguns melhoramentos serão feitos a seguir, o que chamaremos de 2ª

aproximação.

2.1.2 A segunda aproximação

O fato de que o nosso primeiro cálculo (aproximação) funcionou bem para

determinar o expoente crítico N,d no limite de N grande, nos encoraja a prosseguir

com os cálculos a fim de se obter resultados mais consistentes para qualquer N.

Então, vamos escrever novas formas modificadas de (2.2) e (2.5). Teremos

1~fLu

LrF

p

(2.15)

e

q4dL~Lu (2.16)

Nas relações (2.15) e (2.16) acima, p e q são funções de N a serem

determinadas. Usando procedimentos similares aos usados na 1ª aproximação,

obtemos

dp2q4d

dp2

2

1

, (2.17)

sendo Nqq e Npp . No caso particular em que NNq Np , então

(2.17) recai em (2.9).

As considerações que vamos usar como forma de determinar as funções

Nq e Np são as seguintes:

Primeiramente, impomos que (2.17) preencha as condições que levam às

dimensões críticas inferiores corretas. Assim, consideramos que 2d L para 2N e

1d L para 2N1 .

53

Em segundo lugar, lançamos mão de um resultado que foi inferido dos cálculos

de séries [26], a saber quando impomos o seguinte vínculo para (2.17):

7N

4NN,3d

(2.18)

No entanto, parece que (2.18) foi obtido sem levar em conta valores negativos

do parâmetro N.

Usando as considerações (2.17) e (2.18), somos capazes de encontrar as

funções Nq e Np . Mas para realizarmos isto, vamos fazer uma partição do

parâmetro N em dois intervalos diferentes: a) 2N ; b) 2N1 .

a) Primeiro intervalo: N 2

Neste intervalo do parâmetro N, a dimensão crítica inferior é 2d L . Fazendo

o denominador de (2.17) igual a zero para 2d , e ao mesmo tempo usando a

relação de vínculo dada em (2.18), obtemos

6

5NNpp e

6

1NNqq

(2.19)

Introduzindo NpNq e de (2.19) em (2.17), finalmente obtemos:

2d 7N

d35NN,d

, (2.20)

para 2N . Tomando o limite de (2.20) quando N , recuperamos também

o resultado exato do modelo esférico dado em (2.10). Além disto, se fizermos 3d

em (2.20), recuperamos N,3 dado em (2.18), o que já era de ser esperado. De

(2.20), temos 2dc para qualquer 2N , que é o caso mais realístico obtido nessa

2ª aproximação.

b) Segundo intervalo: 1≤N<2.

Se consideramos que a dimensão crítica inferior neste intervalo do parâmetro N

é 1d L ; então fazendo o denominador de (2.17) ser igual a zero para 1d e ao

mesmo tempo, usando a relação de vínculo dada em (2.18), obtemos:

54

N5 2

1N 7N pp e

N5

1N 2Nqq

; (2.21)

1d 7N2

dN51N7N,d

, (2.22)

para 2N1 . De (2.22), observamos que 1d L . Naturalmente, fazendo

1N em (2.22), recuperamos o resultado de Thompson [8] para o modelo de Ising.

O expoente do calor específico pode agora ser obtido na segunda

aproximação.

No primeiro intervalo 2N , para obtermos , basta introduzirmos (2.20) na

relação de hiperescala (2.11), e daí obtemos:

2 7

73 4,

dN

NddNd , (2.23)

para 2N .

No segundo intervalo 2N1 , para obtermos , introduzimos (2.22) na

relação (2.11), e daí obtemos:

1 72

7 54,

dN

NdNdNd , (2.24)

para 2N1 .

Agora, seria interessante construir um diagrama análogo ao da Figura 2,

levando em conta a 2ª aproximação. Veja figura seguinte:

55

0

1

2

3

4

5

-2 0 2 4 6 8 10 12

N

dexpoentes críticos clássicos


< 0 > 0

Figura 3: Diagrama (d,N) para a 2a aproximação no modelo N-vetorial.

É o diagrama para a segunda aproximação extraído da ref. [23]. As dimensões

críticas inferiores são dadas por: 2dL para 2N ; 1d L , para 2N1 . Estas

linhas separam a região inferior (região sem transição de fase ou com 0Tc ) da

região intermediária (região de expoentes críticos não-clássicos). A curva 4d para

qualquer N delimita a região superior onde os expoentes críticos tornam-se clássicos.

Também mostramos na Figura 3 as regiões onde o calor específico apresenta uma

divergência 0 ou um comportamento tipo “cúspide” 0 . Nesse diagrama, o

ponto 2d ,1N pertence a curva superior dada por N5 / 7NdNd ,

com 2N1 . A outra curva mais acima será 3

7NNdd

, com 2N . O ponto

3d ,2N é o início (inferior) dessa curva.

Se N5/7Nd , então 0 .Se N5/7Nd , então 0 , e se

N5/7Nd , então 0 . Isto é válido para o intervalo 2N1 .

Se 3

7Nd

, então 0 . Se

3

7Nd

, então 0 , e se

3

7Nd

,

então 0 . Isto é válido para o intervalo 5N2 . Para 0,5N para 4d ,

sendo 0 para 4d .

56

"4d" u é a dimensão crítica superior. O ponto N onde a reta '4d'

intercepta 3/7Nd é o ponto 5N (veja Figura 3).

2.2 Uma revisão do M.T aplicado ao Modelo de Ising com campo aleatório (RFIM).

Um modelo relacionado ao modelo de Ising e que apresenta um

comportamento crítico mais rico em detalhes é o modelo de Ising num campo aleatório

(RFIM) [27, 28]. Os expoentes críticos de equilíbrio no RFIM foram objetos de vários

cálculos teóricos. Podemos citar o trabalho de Bray e Moore [29], onde se estima o

expoente crítico do comprimento de correlação 1 para três dimensões ( 3d ) no

modelo RFIM, usando uma teoria de scaling. Ogielski e Huse [30] mediram

3,03,1 , através de simulação de Monte Carlo para o caso 3d no modelo

RFIM. Aharony, Imry [31] e Silva [32] obtiveram 4/53d pela aplicação do M.T

ao RFIM. Por outro lado, medidas feitas num sistema descrito pelo RFIM 3d nos

fornece aproximadamente igual a 1 [33]. A presente seção faz uma revisão da

referência [32].

Vamos começar essa seção com a hamiltoniana L.G.W (energia livre) para o

RFIM. Assim, escrevemos:

dL

422dL xMxhxMLuxMLrxMxdF , (2.25)

onde xM (função magnetização) é o parâmetro de ordem; xh é uma

função (em x) de campo aleatório (veja[32]), sendo a integração feita sobre o volume

de escala d-dimensional dL . Os coeficientes Lr e Lu devem ser finitos e

positivos na temperatura crítica cT , sendo cc T/TT .

No caso 0xh (modelo de Ising puro), Thompson [8] fez uma prescrição

básica de ‘scaling’ (escalonamento) na qual todos os três primeiros termos em (2.25),

para um volume dL , são separadamente da ordem da unidade.

Também tínhamos do trabalho de Thompson que

57

1~Lu

Lr.fF , (2.26)

onde relembramos aqui que f é interpretada como a parte para flutuação da

densidade de energia livre. Thompson também avaliou f como

2/ddL Lr~f . (2.27)

Inserindo (2.27) em (2.26) vem

2d/2Lu~Lr . (2.28)

Levando em conta que ~r 2/1L

2/1, então o expoente pode

ser obtido daí e de (2.28).

2.2.1 Derivação do expoente pelo M.T segundo Aharony-Imry e Ma (AIM)

Aplicando a 1ª prescrição de Thompson [8] ao 1º termo de (2.25), obtemos

d22 L~M . (2.29)

Agora, a fim de obter o expoente crítico para o RFIM, seguindo o

procedimento AIM [31], precisamos avaliar a forma explícita de Lu primeiramente.

Como foi sugerido por AIM, para um volume dL , o novo quarto termo em (2.25)

é da ordem de ML 2/d2/1 [31]. Também, por outro lado, já que da teoria de

perturbação, a variável u substitui u em todo lugar [31], então é razoável substituir a

prescrição de Thompson no que diz respeito ao terceiro termo em (2.25) pela

prescrição de que somente seu produto com o quadrado do último termo de energia

livre é da ordem da unidade. Tal produto nos lembra uma convolução. Fazendo isto,

temos:

dL

d22/d2/14 1~xdML.MLu . (2.30)

Também, podemos pensar em (2.30) escrito da seguinte forma:

58

1~xdhMuM2d24 , (2.31)

sendo 22 hh .

De (2.31), vem:

1~LMMu d224 . (2.32)

Fazendo 1 por conveniência, e substituindo (2.29) em (2.32), dado que

224 MM , então vem:

1~LLu d6 . (2.33)

Como, pela 2ª prescrição de Thompson, temos ~Lu constante para 6d

neste caso (RFIM), então escrevemos:

6d 1

,6d L~Lu

6d

(2.34)

onde LuLu eff do RFIM, sendo 6du (dimensão crítica superior).

Colocando (2.34) (para 6d ) em (2.28), e usando o fato de que

2/12/1r , então obtemos :

2d4

2d

, (2.35)

para 6d . Para 6d (campo médio), recuperamos os esperados expoentes

críticos clássicos para o RFIM 2/1 .

Uma inspeção em (2.35) revela que em 2d , que representa a

dimensão crítica inferior Ld do RFIM. Também, obtemos de (2.35) que

4/53d . Abaixo da dimensão crítica inferior, o sistema não apresenta transição

de fase. Esta vale 2d2 L para o RFIM [32] e 1d para o modelo de Ising [8].

59

2.3 O M.T aplicado ao modelo N-vetorial com campo aleatório

Para obtermos a energia livre LF para o modelo N-vetorial com campo

aleatório, devemos partir da energia livre do Modelo de Ising num campo aleatório

(seção 2.2), estendendo-a de forma a considerar os N-graus de liberdade do

parâmetro de ordem M. Assim, vamos escrever a seguinte energia livre:

dLi i

2

i

2i

2i

2iL ML uM LrMF

xdxM xh d

iii

, (2.36)

sendo xMM ii . Quando fazemos 0xh e 1N , recaímos no modelo de

Ising puro (L.G.W) [8]. Assim, a energia livre acima é a mais geral: h ,N ,LL FF .

A presente seção já é novidade, sendo uma extensão dos trabalhos anteriores

[23], [32].

De forma análoga ao modelo N-vetorial na seção 2.1, usaremos duas

aproximações. Na primeira aproximação, tínhamos as seguintes considerações dadas

a seguir:

2.3.1 1ª aproximação

A primeira modificação em Thompson [8] é a seguinte:

1~fLu

LrF

eff

N

. (2.37)

Agora, com esse modelo N-vetorial na presença de um campo aleatório, então

vamos partir do coeficiente Lu eff já obtido na seção anterior, i é, 6deff L~Lu , para

6d . Este resultado já inclui a modulação gerada pela presença do campo aleatório.

Portanto, quando estendemos esse resultado para o caso N-vetorial numa 1ª

60

aproximação, ou considerando N-probabilidades independentes, então escrevemos a

seguinte modificação para effu :

N6deff L~Lu . (2.38)

Por outro lado, já é sabido que

2/ddL Lrf , (2.39)

2/12/1 r . (2.40)


dN2/2eff Lu~Lr

. (2.41)

Introduzindo (2.38) em (2.41), vem:

dN2/6dN2L~Lr , (2.42)

para 6d .

Para L , escrevemos

dN2/6dN2~r (2.43)

Introduzindo (2.43) em (2.40), finalmente obtemos

dN2N6d2

dN2

. (2.44)

Observamos que para 1N , recaímos em d obtido para o RFIM (eq. 2.11

da seção 2.2).

Agora, é importante observarmos que quando fazemos N em (2.44)

(modelo esférico), obtemos

4d

1

, (2.45)

61

sendo '4dd' L a dimensão crítica inferior para o modelo esférico com campo

aleatório. Esse resultado (2.45) está em exata concordância com d , obtido para o

modelo esférico num campo aleatório [35]. No caso do modelo esférico sem campo

aleatório, tínhamos 2/1 d , sendo 2d L (seção 2.1). Assim, naturalmente

concluímos que a presença de um campo aleatório contribui para o aumento da

dimensão crítica inferior. Isto ocorre pelo menos no caso esférico N .

Na verdade, sabe-se que a relação de hiperescala deve ser modificada no caso

de campo aleatório, de forma a se considerar uma dimensionalidade efetiva "Od"

(redução de dimensionalidade) [36], que possibilita calcular o expoente do calor

específico. Logo, teríamos a relação de hiperescala modificada "2" Od

[29].

Em sistemas desordenados, a aleatoriedade associada com a desordem

usualmente suplanta as flutuações térmicas [37, 38], e portanto surge uma

dimensionalidade efetiva reduzida [35]. Obviamente, quando não há campo aleatório,

temos 0O , recaindo na relação de hiperescala usual (modelo N-vetorial sem campo

aleatório).

Vamos obter com base nessa 1ª aproximação.Para isso, vamos substituir

(em (2.44)) na relação de hiperescala modificada, de forma que obtemos a seguinte

expressão para O ,N ,d , deixando inicialmente uma dependência explícita em O :

N4dN12

ON4N8N2dOd4

. (2.46)

Podemos obter O em (2.46), partindo de uma condição de contorno que deve

ser obedecida para . A condição básica é que 0O ,N ,6d (caso clássico,

sendo a dimensão crítica superior 6du ). Então, quando 6d , o numerador de

(2.46) deve se anular; isto é, teríamos a seguinte condição:

0ON4N8N262O . (2.47)

De (2.47) obtemos que 2O . Assim sendo, introduzindo 2O em (2.46),

obtemos na 1ª aproximação considerada, isto é,

62

N4d N1 2

N2d d6

. (2.48)

Em princípio, encontramos 2O (a partir de (2.46) e (2.47)), com base na 1ª

aproximação, para todo 1N .

No entanto, sabe-se que 1O nas proximidades da dimensão crítica inferior

para 1N (no RFIM). Mais adiante faremos tal correção ou melhoramento. Quando

2N (modelo contínuo) com campo aleatório, aí sabe-se que 2O [35], o que pôde

ser obtido da 1ª aproximação em (2.46) e (2.47). Na verdade, a 1ª aproximação é boa

somente para N grande; por isto, entraremos com o refinamento de uma 2ª

aproximação mais adiante. De qualquer modo, já que 48.2.eq e 44.2.eq são

válidas para N grande, mesmo assim tal particularidade nos permitiu obter a dimensão

crítica inferior 4d L e a redução de dimensionalidade 2O para a relação de

hiperescala modificada. Na verdade, quando levarmos em consideração a 2ª

aproximação (para qualquer N), veremos que "4d" L [35, 39] e "2O" são apenas

válidos no modelo N-vetorial com campo aleatório para todo 2N .Já, no RFIM

1N , 2d e 2O L ,o que será estudado adiante.

Nessa 1ª aproximação, obtemos de (2.44) ou (2.48) a seguinte dimensão

crítica inferior, sobre a qual e divergem:

1N

N4dL

(2.49)

Com base em (2.49), temos 4d L se e somente se N ; logo temos que

4d 4d LL para N , o que não condiz totalmente com o resultado correto

2N , 4d L [35, 39]. Por isto é que enfatizamos a necessidade de uma 2ª

aproximação.

De (2.48), observamos que, se N2d , então 0 .Logo, se N2d , temos

0 ; se N2d , então vem 0 .

De forma similar ao que foi feito na 1ª aproximação para o modelo N-vetorial,

podemos usar agora os resultados (2.48) e (2.49) para construir um diagrama no plano

63

N ,d , separando regiões de acordo com a seguinte classificação: região sem

transição de fase 1N/N4d , região com expoentes críticos clássicos 6d , e a

mais interessante, que é a região onde os expoentes críticos são não-clássicos, i é,

6d1N/N4 . Com base em (2.48), delimitamos duas porções do plano N ,d

onde o calor específico apresenta divergência 0 , e onde ele apresenta um

comportamento tipo- “cúspide” 0 conforme a figura 4.

expoentes críticos clássicos

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10N

d


>0

<0

Figura 4: Diagrama (d,N) para a 1a aproximação do modelo N-vetorial.

2.3.2 2ª aproximação

Nesta 2ª aproximação, vamos prosseguir com os cálculos a fim de se obter

resultados mais consistentes para qualquer 1N . Assim, vamos escrever as novas

formas modificadas de (2.37) e (2.38), usando os mesmos procedimentos da seção

2.1 (subseção 2.1.2); isto é, temos

1~fLu

LrF

p

(2.50)

e

q6dL~Lu . (2.51)

64

Nas relações (2.50) e (2.51) acima, p e q são funções de N a serem

determinadas. Então, procedendo de forma similar à primeira aproximação, obtemos:

dp2q6d

dp2

2

1

. (2.52)

Tendo por base (2.52), iremos estudar dois casos: A) 2N , B) 2N1 .

A): Do modelo N-vetorial, foi obtido que 7N/4NN ,3d [26].

Como agora temos a presença de um campo aleatório externo a esse sistema, então

surge uma redução de dimensionalidade 2O [35]. Em virtude disto, vamos pensar

numa dimensionalidade efetiva 5deff na qual o antigo expoente N ,3d

mantenha sua forma, porém dado na dimensão 523deff , tal que reduzida de

2O recaia no caso tridimensional 3d para o modelo N-vetorial sem campo

aleatório. Assim, vamos escrever:

2N ,

7N

4NN ,5d

. (2.53).

A relação (2.53) acima é um vínculo introduzido para na presença de campo

aleatório. A segunda condição que vamos impor em (2.52) é que para 4d tenhamos

, o que significa que "4d" L comporta como a dimensão crítica inferior. Para

isto, basta fazermos o denominador de (2.52) ser nulo em 4d . Assim, obtemos o

segundo vínculo:

04p2q 64 (2.54)

De (2.54), vem a seguinte relação:

2pq (2.55)

Comparando (2.53) com (2.52) em 5d , escrevemos

7N

4N

5p2q65

5p2

2

1N,5d

(2.56)

Usando (2.55) em (2.56), finalmente obtemos

65

6

11NNpp

,

6

1NNqq

. (2.57)

Finalmente, substituindo Nq e Np em (2.52), obtemos N ,d , que é

2N ,

7N4d

11Nd3N ,d

(2.58)

De (2.58), vem que 4d L (dimensão crítica inferior), sendo N ,4d ; e

6du (dimensão crítica superior), pois 2/1N ,6d (expoente clássico).

Agora, com base na relação de hiperescala modificada, podemos obter a

partir de .

2 2d , (2.59)

sendo 2O .

Substituindo (2.58) em (2.59), obtemos .

74

78313 6 ,

Nd

ddNdNd , (2.60)

sendo 2N .

Até agora, obtivemos os expoentes e no caso do modelo N-vetorial com

campo aleatório, na condição em que 2N (modelo contínuo); portanto (2.58) e

(2.60) não valem para o RFIM ( 1N , com campo aleatório).

B): No caso do RFIM, a dimensão crítica inferior será 2d L ; enquanto a

dimensão crítica superior aumenta de 4du (I.M) para 6du (RFIM), havendo um

incremento 2d para a dimensão crítica superior, devido ao campo aleatório.

Assim, em virtude deste incremento, vamos fazer uma primeira conjectura de que

2dO para o RFIM. No caso anterior do modelo N-vetorial com campo aleatório

66

(caso 2N ), tínhamos a redução de dimensionalidade 2O [35], sendo

246d .

Considerando também 2O para o intervalo 2N1 , então devemos

também utilizar a mesma condição (2.53) para N ,5 , i. é,

2N1 ,

7N

4NN ,5d

. (2.61)

A diferença aqui está no fato de que consideramos 2d L ; portanto o

denominador de (2.52) irá se anular somente para 2d neste caso, ou seja

02p2q62 . (2.62)

De (2.62), obtemos a seguinte relação:

1q2p (2.63)

Fazendo 5d em (2.52), podemos comparar (2.52) com (2.61). Assim,

escrevemos:

7N

4N

5p2q65

5p2

2

1N ,5d

. (2.64)

Usando (2.63) em (2.64), finalmente obtemos

N2

1N

2

3Nqq

,

N2

1N4Npp

; 2N1 . (2.65)


7N 2-d

182N d8N ,d

; 2N1 (2.66)

67

De fato, observamos em (2.66) que 2d L , sendo ‘ 6du ’ a dimensão crítica

superior já esperada, pois 2/1N ,6d . Para o caso do RFIM, temos exatamente

1N ; logo, fazendo 1N em (2.66), vem:

2d8

10dd ,1N

. (2.67)

Agora, podemos obter , usando a relação de hiperescala modificada

2 2d , com 2O . Assim, introduzindo (2.66) nesta relação de

hiperescala modificada, obtemos

7N 2

2-N 128 ,

2

d

ddNd . (2.68)

Para 1N , obtemos

28

128d 1,N

2

d

dd . (2.69)

Para 6d , temos 0 (expoente crítico clássico). Fazendo 2d em (2.69),

obtemos 0/0 , que é uma indeterminação. Para levantar tal indeterminação,

fazemos 2lim d pela aplicação da regra do teorema de L’hôpital. Assim vem

2

1

8

28.lim.lim 22

ddd .

De (2.69), observa-se que, para 62 d , temos 0 .

No caso em que 2N (modelo contínuo), tínhamos obtido Nd ,

(relação 2.60). Daí podemos obter os valores de N e d que anulam o expoente .

Então, fazendo o numerador de (2.60) igual a zero, obtemos 6 e 3/13 dNd .

Estas duas retas interceptam no ponto 5N . Veja figura abaixo para os casos

2N e 2 N1 , no plano N ,d :

68

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8

N

d

Região de expoentes críticos clássicos

Região sem transição de fase

< 0 > 0

> 0

Semtransição

1 5

5

Figura 5: Diagrama para a 2a aproximação fraca 2Np/1 2 do modelo N-

vetorial no campo aleatório.

A figura 5 representa o diagrama para a 2a aproximação. As dimensões críticas

inferiores são dadas por 4d L para 2N ; 2d L para 2N1 .

Estas linhas separam a região inferior (região sem transição de fase ou com

0Tc ) da região intermediária (região de expoentes críticos não-clássicos). A curva

6d para qualquer N delimita a região superior onde os expoentes críticos tornam-se

clássicos. Nessa figura, também mostramos as regiões onde o calor específico

apresenta divergências 0 ou um comportamento tipo “cúspide” 0 . Nesse

diagrama, observamos que, no intervalo 2N1 , temos que 0 para 6d2 ;

0 para 6d (regime de campo médio).

No intervalo 5N2 , obtemos 0 na região 6d3/13N . Para

3/13Nd4 vem que 0 . Para 6d ; 3/13Nd , então 0 .

Para o intervalo 5N , obtemos que 0 para 6d4 ; 6d0

(campo médio). Logo, não há valor positivo para neste intervalo. Em suma,

observamos que para o intervalo 2N1 , podemos ter somente 0 .

Para o intervalo 5N2 , já podemos ter 0 , 0 e também 0 .

Finalmente, para 5N , só podemos ter 0 .

69

Acabamos de obter o comportamento dos expoentes críticos e para

campo aleatório no caso 2N1 , tendo conjecturado que 2O , mantendo-se

constante para qualquer N 1 . No entanto, apesar de 2O funcionar para o caso

contínuo 2N , os melhores resultados de Monte Carlo para o caso Ising real d3

com campo aleatório (RFIM) 41,40 mostraram uma dimensão reduzida

O3`d ,sendo 41 ,40 10 44,1`d , o que já nos leva a concluir que 2O . Assim,

tendo em vista os resultados mais apurados obtidos para O no RFIM, vamos melhorar

ainda mais os nossos resultados para o caso 2N1 .

Alguns trabalhos recentes sobre RFIM fazem conjecturas de que O seria

função da dimensionalidade do sistema, isto é, 42 ,40 dOO . Assim, supõe-se que

42 ,402/dO ; pois, para 3d , teríamos 5,1O . Este valor está bem próximo

daqueles obtidos pelas várias simulações Monte Carlo 44 ,43 ,41 . Também, um

trabalho ainda mais recente, usando o G.R de Migdal-Kadanoff e a expansão

2d [45] obtém-se que 496,1dyd`d para 3d , sendo y obtido por

expansão y .

No modelo N vetorial puro (sem campo aleatório) tínhamos que

N3,d =7N

4N

26 . Quando pensamos em campo aleatório, consideramos que o

expoente mantém essa mesma forma somente para O3d , ou seja,

N,O3d 7N

4N

. Sendo 42 ,40 2/dd OO para o RFIM, vamos pensar

que este valor também seja válido no intervalo 2N1 . Portanto, obtemos a

seguinte condição:

N,

2

d3d

7N

4N

, 2N1 (2.70)

Devemos observar que somente quando 4d , a condição (2.70) recai em

(2.61), i. é, N5,d . Assim, vamos observar que a condição (2.70) torna-se mais

correta que (2.61) para o caso real do RFIM 4440d3 . Daí a necessidade de

70

introduzir tal correção para O como uma função da dimensionadidade, no intervalo

2N1 .

Fazendo 2/d3d em (2.52) e comparando com (2.70), obtemos a

seguinte identidade:

2

1N,

2

d3d

2/d3p2q62/d3

2/d3p2

7N

4N

. (2.71)

Por outro lado, ‘ 2d ’ anula o denominador de (2.52), já que esta é a

dimensão crítica inferior desse sistema. Assim vem:

02p2q62 (2.72)

De (2.72), obtemos a seguinte relação:

1q2p . (2.73)


d ,N qq

4N2d27N8

2d1N

; (2.74)

e substituindo este resultado acima para d ,Nq em (2.73), vem

4N 2d 27N 8

7N 85N2 2d 2d ,N pp

. (2.75)

Devemos observar que as relações em (2.65) para N p e N q são

restauradas somente quando fazemos 4d em (2.74) e (2.75). Assim, teremos:

N22

1N3N q)4 ,N( qq e ,

N2

1N4N p4 ,N pp

.

Isto ocorre, pois quando fazemos 4d , temos 22/4O , recaindo no caso

anterior (primeira conjectura para O 2 , no intervalo 2N1 ). Finalmente,

71

introduzindo (2.74) e (2.75) em (2.52) e efetuando os cálculos, obtemos d N, ,

dado da seguinte forma:

2d 7N820d8d4N21N 6d 2d

2d 7N410d4Nd4 2dd N,

,

para 2N1 . (2.76).

Observamos em (2.76) que 2/16d N, , que é o expoente crítico

clássico, sendo “ 6d ” a dimensão crítica superior. Para 2d , vem

2d N, , sendo “ 2d ” a dimensão crítica inferior. Assim, verificamos que

(2.76) obedece às condições básicas já estabelecidas (condições de contorno). Vamos

agora obter d 1,N para o caso RFIM. Então, fazendo 1N em (2.76),

obteremos a seguinte expressão para o expoente :

2d51d 36

6d 2d12

1d 1,N (2.77)

Para o caso RFIM real d3 , obtemos de (2.77) que

125,124/273d 1,N . Este resultado merece um comentário: Obtivemos

primeiramente na seção 2.2 , equação (2.35), uma relação para , sendo

25,14/53d . Depois, na seção (2.3), da equação (2.67) para d 1,N , no

caso 2N1 com 2O , vem que 625,18/133d . Por último, obtivemos

125,13d para 40 5,12/3O . Assim, concluímos que, dessas três

estimativas para do RFIM-3d, somente a última está em boa concordância com as

estimativas de simulação Monte Carlo 41 ,33 ,30 ,29 . Também, devemos observar

que o valor obtido ‘1,125’ no caso 3d é exatamente a média entre 1 [29] e

1,25 da relação (2.35) na seção 2-2, estando mais próximo da unidade, em

concordância com tais resultados de simulação. Tal concordância se deve ao fato de

que consideramos em 3d , 5,1O ; ao passo que para“ 2O ”, temos 1 625 ,

(eq. 2.67), que é um resultado discrepante em relação aos obtidos por simulação

Monte Carlo.

72

Dado que 2/dO , e dada a relação de hiperescala modificada na forma

2Od [40], então, neste caso, obteríamos a seguinte relação de hiperescala

modificada:

22

d. (2.78)

Com base na relação de hiperescala modificada (2.78), vamos estimar do

RFIM para 3d . De (2.77), obtivemos 125,13,1 dN . Assim, substituindo

este valor em (2.78), no caso 3d, obtemos o seguinte valor para

: 3125,048/153 d . A primeira observação importante a fazer aqui é notar

que certas estimativas já feitas para 3d no RFIM [42], usando distribuições

gaussianas e bimodais de campo aleatório [42], levam a diferentes valores de ,

sendo 2,05,0 para o caso gaussiano [42] e 3,00,1 para o caso bimodal

[42]. Estas estimativas feitas para [42] são bem discrepantes da estimativa de

obtida por intermédio da relação de hiperescala modificada (2.78), i.é =+0,3125,

sendo positivo (comportamento divergente). De fato, já é bem sabido que as

estimativas feitas para [42] violam a relação de hiperescala modificada, sendo que

na verdade se obtém <0 (comportamento tipo-cúspide) [42, 46, 47, 48]. Mas,

inicialmente se obteve um valor nulo para o expoente 0 [49].

Outras estimativas mais recentes dos expoentes críticos no RFIM têm

mostrado alguns resultados conflitantes com aqueles já obtidos em [42]. Por exemplo,

vamos citar um estudo recente do G.R de Migdal-Kadanoff [46] [50], onde foi

encontrado 25,2 ; 37,1 e 02,0 . No entanto, observamos que este valor

de é negativo e grande em módulo quando comparado com as estimativas para

em [42] [51]. Este valor de , grande em módulo, causa na verdade sérias

dificuldades no que diz respeito à relação de Rushbrooke, i. é, 22 [52], e

também em relação aos resultados mais rigorosos dados pela desigualdade de

Rushbrooke, i. é, 22 [52].

Concluímos, portanto, que esses conflitos de resultados, incluindo as várias

relações de escala para os expoentes ainda permanecem em aberto para serem

solucionados no futuro.

73

O modelo RFIM é essencialmente teórico, no entanto, vamos apenas lembrar

que existe uma situação experimental que represente efetivamente o RFIM, i. é, uma

situação de onde podemos obter os mesmos expoentes. Trata-se na verdade do

sistema antiferromagnético diluído num campo externo (DAFF), que tem demonstrado

ser da mesma classe de universalidade do RFIM [53, 54, 55].

2.4 Conclusões

Nesse capítulo, fizemos uma revisão do Método de Thompson (M.T) no estudo

do modelo N-vetorial, do modelo de Ising com campo aleatório (RFIM) e, finalmente,

exploramos o caso mais geral do modelo N-vetorial na presença de campo aleatório.

No 1º modelo (seção 2.1: modelo N-vetorial), obtivemos os expoentes críticos

N d, e d,N , dados da seguinte forma:

1ª aproximação:

N1

2N dd N

2 d 4 N 2N d

4 d d 2Nd N

2 1 N d 2N

,

, .

;

2ª aproximação:

A) :2N

.2d7N

7Nd3d4N,d

;2d7N

d35NN,d

B) :2N1

7N 1 5 N dd N

2 N 7 d 1

4 d 5 N d N 7d N

2 N 7 d 1

, ;

,

.

onde 2dL e 4d u .

74

No 2º modelo (seção 2.2: RFIM) derivamos o expoente pelo M.T segundo

Aharony-Imry e Ma(AIM), e obtivemos que 2d4

2d

, sendo 2166d u e

22d L . `d´ u é a dimensão crítica superior acima da qual temos o regime

de campo médio; `d´ L é a dimensão crítica inferior, abaixo da qual o sistema não

apresenta transição de fase de 2ª ordem.

Na 3ª seção (modelo N-vetorial com campo aleatório), extraímos os expoentes

d,Nv e d,N com base em duas aproximações heurísticas, a saber:

1ª aproximação:

N1

2N dd N

2 d 6 N 2N d

6 d d 2Nd N

2 N 1 d 4N

, ;

, .

2ª aproximação:

1ª hipótese: 2

- A) :2N

.7N4d

78d31d3N6dN,d

;7Nd4

11Nd3N,d

com 6d u e 4d L .

- B) 2

2N1

:

2

8 d N 2 18d N

d 2 N 7

d 8d 12 N 2d N

d 2 N 7

, ;

, .

com 6d u e 2dL .

75

2ª hipótese (2

d , dado apenas para o intervalo 2N1 , incluindo o RFIM

para 1N ). Obtivemos que:

,

d51d36

6d2d12

1d,1N

com

;2d7N820d8d4N21N6d2d

2d7N10d4Nd42dN,d

2

sendo o caso 125,13d,1N : Expoente para o RFIM real d3 .

Temos 6du e 2dL para o RFIM.

No caso do expoente N,d , verificamos que o nosso resultado é discrepante

com os da literatura. Além do mais, os próprios resultados da literatura pesquisada são

discrepantes entre si. De fato, trata-se de uma pesquisa em aberto, onde se procura

por novos métodos mais poderosos de investigação.

O próximo capítulo se destina à exploração do M.T no estudo das várias

classes de reações químicas limitadas por difusão.

76

Capitulo 3

3 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão dos tipos A + A 0, A + B 0, com e sem difusão anômala, e às reações químicas do tipo l l .

Introdução

Nesse capítulo, primeiramente iremos usar o método do grupo de

renormalização de Thompson para estudar as reações químicas limitadas por difusão

do tipo A + A 0 (de mesma espécie A), obtendo a dimensão crítica superior 2cd

para esse sistema; o decaimento da taxa de concentração média no regime de

campo médio 2d e fora deste 2d , e a taxa de reação nesses dois regimes.

Em seguida, iremos usar o método para estudar a reação do tipo A + B 0, com

espécies diferentes, apresentando portanto o efeito de segregação 4cd . Já, na

terceira seção, iremos propor um tratamento unificado para esses dois tipos de

reação, através da elaboração de uma ação geral capaz de encampar os dois casos

num mesmo formalismo que, quando tratado sob a ótica do Método de Thompson, nos

leva a um comportamento logarítmico universal para o decaimento da concentração e

taxa de reação, em qualquer dimensão crítica superior cd , independente da reação

considerada.

Na quarta seção, usaremos o Método de Thompson para tratar as reações

limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as

duas espécies, considerando que a concentração inicial da espécie A seja muito

menor que a concentração inicial da espécie B, i. é, )0()0( BA . Para 2d ,

obtemos um decaimento exponencial modificado da espécie A. Para 2d , obtemos

um decaimento exponencial simples da espécie A.

A quinta seção será destinada ao estudo de ambas as reações A + B 0 e A

+ A 0 sob a condição de difusão anômala. Consideraremos uma ação geral de

forma a englobar os dois tipos de reações, já incluindo o mecanismo de difusão não-

browniana 2 para o caso de superdifusão; como por exemplo, o chamado efeito

77

“Lévy-mixing”. Assim, mostraremos que para 23 , o efeito de segregação já

desaparece em 3d na reação A + B 0, havendo a chamada quebra de

segregação. No caso da reação A + A 0, o mecanismo de superdifusão leva ao

decrescimento da dimensão crítica superior do sistema. Também iremos mostrar que,

na dimensão crítica superior, mesmo nos casos de difusão anômala, ainda vamos

obter correções logarítmicas para as taxas de reação e o decaimento de concentração

dos reagentes.

Finalmente, na sexta secção, iremos estudar as reações de coalescência do

tipo 2k 0kA , sendo que iremos tratar o caso de difusão browniana )2(

como também o caso de difusão anômala 2 . Em seguida, prosseguiremos

estudando também o caso da presença de uma fonte externa homogênea (h) de

partículas ‘A’ na situação de regime estacionário. Então, seremos capazes de obter o

expoente crítico que caracteriza o decaimento da concentração nesse regime no

limite em que fazemos 0h , e o expoente crítico ` para o tempo de relaxação; ou

seja, 1

h h~ e h h `~ , sendo este último expoente também avaliado no limite

crítico em que 0h . Também deveremos obter relações de escala entre os índices

críticos ` e , mostrando suas universalidades, no sentido de não dependerem do

fator , que dá a condição de difusão.

Reações limitadas por difusão

A pesquisa dos fenômenos de reações controladas por difusão é antiga;

entretanto, ela é ainda de muito interesse [56-63]. As reações controladas por difusão

foram primeiramente estudadas por Smoluchowskii [56]. Um rápido progresso na

compreensão dos vários processos de reações controladas por difusão tem sido

obtido nas últimas três décadas; por exemplo, podemos citar a reação OBA

em condições estequiométricas (concentrações iniciais iguais) e aleatória, que tem

sido estudada em detalhe [59; 60, 64-71]. De interesse particular, temos o fenômeno

de segregação Ovchinnikov – Zeldovich (OZ) [59], que se caracteriza pela presença

de partículas diferentes A e B, não podendo A reagir com A e nem B com B. A

segregação [59], também foi estudada analiticamente e numericamente por Toussaint

e Wilczek(T.W) [59]. Basicamente, as reações limitadas por difusão são caracterizadas

por um processo difusivo de partículas numa rede d-dimensional, sendo que essas

partículas interagem no momento em que se encontram durante a caminhada aleatória

78

gerando um certo produto. O fenômeno da segregação tem origem no fato de que as

partículas de mesma espécie não podem reagir entre si.

Os fenômenos de difusão, incluindo as reações de aniquilação controladas por

difusão vêm sendo de fato explorados de várias maneiras, com base, por exemplo, em

teoria quântica de campos [72], e no próprio grupo de renormalização. Usa-se também

de técnicas numéricas e soluções analíticas exatas [73-84].

Nesse capítulo, vamos explorar alguns tipos de reações limitadas por difusão,

com base no método do Grupo de Renormalização de Thompson [M.T], que é uma

forma alternativa simples para o G.R.

3.1 Uma revisão do estudo das reações do tipo 0AA (com difusão browniana).

Consideremos um sistema onde ocorra a difusão de partículas da mesma

espécie A, com a possibilidade destas interagirem (reagirem) entre si quando se

encontram, gerando um produto inerte que se deposita, isto é, não mais reage.

Formalmente, temos que ‘ 2d ’ é a dimensão crítica superior para tais

reações bimoleculares [85-88].

Nessa seção, vamos tratar o caso de difusão browniana nas reações

OAA (produto inerte); no entanto, podemos citar alguns casos mais específicos

dessa reações; como, por exemplo, o estudo da reação OAA no estado

estacionário sob a influência de correlações na fonte [89]. Alguns métodos teóricos

têm considerado correlações na fonte de partículas externas [90]. Li e Kopelman [91]

estudaram esse problema em 1-D para comprimentos de correlação arbitrários,

usando simulações computacionais. Outros trabalhos consideraram também a

correlação de fonte para as reações OAA e AAA [92, 93-97], que

pertencem a uma mesma classe de universalidade.

Aqui, no nosso caso, queremos estudar a reação OAA com base no

modelo que foi proposto por Krug [98]. Krug propôs um modelo para uma versão

contínua de uma aniquilação limitada por difusão (DLA) com uma fonte pontual [98],

cuja equação de movimento fica da seguinte forma:

79

,, 22

rD

t

tr (3.1)

onde é a concentração dos reagentes A; D é uma constante de difusão; K

representa a taxa de reação; logo o termo 'K' 2 representa um termo de interação.

‘ (r)’ [98] representa uma fonte localizada na origem (r = 0) do sistema em

difusão.

A equação de movimento (3.1) gera a seguinte ação A:

,

2

1

3

1

2

1 232

dL

d

tDrdA

(3.2)

Fazendo A = 0 para t fixo; obtemos a eq. Euler–Lagrange, de onde extraímos

a eq. de movimento dada em (3.1). Também podemos escrever:

L = .

2

1

3

1

2

1 232

trD

Aplicando a 1ª prescrição de Thompson na ação A, obtemos o seguinte para o

1º termo:

dL 22 ~ (3.3)

Para o 2o termo, fazendo = 1, obtemos:

dL~ . (3.4)

Para o 3 o termo, fazendo 23 ,devido ao caráter bilinear da interação

2AA , e dado as relações (3.3) e (3.4), obtemos:

1

2

d

2

LL~K

. (3.5)

80

No 4 o termo, pensando que 0 exp. (– t), então obtemos que

22

2

1

t. Assim, aplicando a 1ª prescrição de Thompson no 4 o termo, vem:

.1~2 dL (3.6)


,~L~ 21 (3.7)

onde representa um tempo médio característico para que A viaje até encontrar com

outro A no caminho aleatório, durante o processo de difusão.

Substituindo (3.7) em (3.5), também podemos obter K da seguinte forma:

12

d

~K

(3.8)

O comportamento difusivo ‘ 2/1~ L ’ que obtemos aqui é do tipo browniano.

Logo, substituindo este resultado em (3.4), obtemos:

.~ 2d (3.9)

O resultado (3.5) ou (3.8) reproduz o resultado obtido por L. Peliti [84], que

usou renormalização em cada termo de uma série perturbativa (loop) associada às

interações de A com A no processo de difusão. Também, devemos observar que a

dimensão crítica superior (dc) desse problema é dc = 2. Logo, para d > 2, devemos

considerar 1K , de forma que K não seja infinito no limite .2d para L

Assim, vamos escrever:

21

2~12 2

dpara

dparaLK

d

L (3.10)

Agora, vamos estudar mais detalhadamente esse problema no caso em que

estamos exatamente sobre a dimensão crítica superior (dc = 2), de forma a obter um

81

ajuste mais preciso para o comportamento de K (taxa de reação) e

(concentração).

Veremos que K e exibem uma dependência logarítmica na escala L.

Para 2d , temos que 223 L (veja (3.3) e (3.4)).

Devemos lembrar que a 1ª. prescrição de Thompson aplicada ao 3º termo da

ação nos leva a

dL

d rd .1~3

1 3 (3.11)

Agora, considerando 2d e fazendo 23 r dentro da integral (3.11) como

variável em r,então vem:

L

1

12 ,Lln~1~rdrr3

1 (3.12)

onde 1 é um comprimento de corte inferior.

Baseando-se na 1ª prescrição de Thompson e considerando a igualdade entre

os 1°e 3° termos da ação em (3.2), porém, assumindo que podemos substituir a

igualdade entre as integrais pela igualdade entre os integrandos, depois de trocar

pelo , obtemos daí a seguinte equação diferencial:

03

1

2

1 32

rD (3.13)

Podemos resolver (3.13) sobre a dimensão 2d , fazendo a integração entre 1

e L e usando (3.12). Obtemos daí o comportamento de na dimensão crítica

superior, a saber:

.2,

ln~

ln~

2dpara

L

L

(3.14)

82

Todos esses resultados da aplicação do M.T ao modelo de reação OAA

foram obtidos por Silva [99].

3.2 Reações do tipo A + B 0 com concentrações iniciais iguais (com difusão browniana).

Nessa seção, vamos abordar as reações limitadas por difusão entre duas

espécies diferentes (A e B) sob condições estequiométricas. Nessa situação, surge o

fenômeno de segregação quando 4d (fora do campo médio). A segregação foi

muito estudada em diversas condições [100, 101]. Mais recentemente, estudou-se o

comportamento de campo médio cdd no caso de estado estacionário [102], e

depois essas idéias foram refinadas através do G.R, motivadas por argumentos de

‘scaling’ [103]. As reações em sistemas com condições de homogeneidade inicial

também têm sido estudadas [104,105].

O modelo que vamos usar para a reação OAA é aquele em que as

partículas realizam continuamente caminhos aleatórios (‘random walks’) numa rede

hipercúbica. Consideramos em geral as constantes de difusão BA D e D para as

partículas A e B respectivamente. Se A e B se encontram, então elas se aniquilam

com alguma taxa de reação característica K.

Para o caso da aniquilação entre as duas espécies A e B, numa 1ª instância,

deveríamos considerar duas equações diferenciais de movimento para descrever

BA B e A separadamente com constantes de difusão BA D e D respectivamente.

No entanto, como as concentrações iniciais são iguais, então as duas equações

podem ser expressas em apenas uma, sendo . BA Assim, se as

concentrações de partida são iguais, e considerando que elas se difundem da mesma

maneira DDD BA , elas então permanecerão iguais no tempo.

Para este caso, temos a seguinte equação de movimento:

22,

hDt

tr (3.15)

A novidade apresentada pela equação (3.15) quando comparada com (3.15) na

1ª seção para o caso da reação OAA , introduzida por Krug [98] é a presença

83

da taxa de fonte efetiva ‘ h ’, que aparece aqui com o objetivo de incorporar

efetivamente os efeitos de segregação na equação de movimento. Como já sabemos,

a taxa efetiva 'hh também decai, devido ao decaimento de . Isto vem do fato

de não ser possível a aniquilação entre mesmas espécies [(A com A) ou (B com B)],

reduzindo a taxa de reação efetiva e o decaimento da concentração no tempo, quando

são comparados com o caso OAA , onde não há segregação.

Vamos escrever a ação para a equação (3.15):

d

22 3 d

L

1 1 1A D h K d r

2 3 2 t,

(3.16)

onde fazemos 0A (condição de ação mínima) para obtermos (3.15) a partir de

(3.16).

Usando procedimentos análogos aos que já foram feitos no caso anterior pela

aplicação das duas primeiras prescrições de Thompson, obtemos:

1o. termo da ação: .~ 22 dL (3.17)

2o. termo da ação: ,~ 42 2dd

LL (3.18)

onde fizemos 1h (constante).

3o. termo da ação: 2/dd223 L.L~ , de onde obtemos

.~~

14122 42

ddd

LLK (3.19)

Devemos observar que a dimensão crítica superior (dc) é dc = 4 neste caso. Na

verdade, isto se deve ao fato de haver segregação no caso OBA , o que nos

leva ao aumento da dimensão crítica de ‘2’, no caso ( OAA ), para ‘4’ no

caso( OBA ).

84

4o. termo da ação: ~~L

12 (tempo médio característico). Esse é o

comportamento de difusão browniana. (3.20)

Agora, considerando que estamos na dimensão crítica superior 4d neste

caso, vamos fazer as mesmas considerações adicionais usadas no caso anterior

OAA , para a obtenção das correções logarítmicas na concentração e na

taxa K . Assim, no terceiro termo, fazendo 4d ,vem:

.~ 43 L (3.21)

Trocando L pela variável r associada, em (3.21), e introduzindo dentro da

integral do 3°. termo, obtemos em 4d que

dL

13L

1

443 .Lln~1~drrr3

1~rd

3

1 (3.22)

Considerando a igualdade entre o 1° e 3° termo da ação, como já foi feito

anteriormente, recaímos na equação diferencial (3.13) da seção anterior, e daí

encontramos novamente o comportamento de , ajustado logaritmicamente em

4d , isto é

.4dpara,

ln~

L

Lln~

2

(3.23)

É interessante observarmos que o mesmo comportamento de (3.22) e (3.23) foi

obtido em (3.12) e (3.14) para o caso de OAA na seção anterior. Isto nos leva a

concluir naturalmente que, embora as reações OAA 2dc e OBA

4dc sejam de classes de universalidade diferentes; quando estamos na dimensão

crítica superior, o comportamento de e K torna-se invariante; isto é, o

comportamento logarítmico é mantido na dimensão crítica cd do sistema.

85

3.3 Tratamento unificado das reações do tipo A + A 0 e A + B 0.

O sucesso do Método de Thompson no tratamento dessas reações, obtendo o

mesmo comportamento em cima da dimensão crítica (dc), nos encoraja a estender a

ação A de forma a incluir as duas classes de reações num mesmo esquema (ação),

pela aplicação do Método de Thompson (M.T). Assim sendo, vamos escrever a

seguinte ação estendida:

dL

d

tKhDrdA ,

2

1

3

1

2

1 232

(3.24)

onde 0 .

De forma análoga ao que já foi feito anteriormente, podemos aplicar o M.T na

ação dada acima, e daí obtemos:

1~

d

L (3.25)

e

12 22~

d

LK (3.26)

A relação (3.26) nos mostra que, para a ação geral dada em (3.24), a dimensão

crítica é dada por

22dc (3.27)

Assim, podemos escrever (3.26) da seguinte maneira alternativa:

1/1/2 ~~ dcddcdLK

(3.28)

Devemos observar que, se fizermos 0 , teremos 2dc , o que caracteriza

o comportamento de campo médio na reação do tipo OAA [99].

Se fizermos 1 , obtemos 4dc , o que representa a dimensão crítica

superior para a reação do tipo OBA .

86

É muito interessante verificar que a ação dada em (3.24) é capaz de reproduzir

os resultados do trabalho de Lindemberg [106] no caso de geometrias euclidianas.

No trabalho de Lindemberg [106], também se considera geometrias fractais, de

onde se obtém a taxa de decaimento da concentração no tempo. Obtém-se que:

,~ t [106]

onde

f

ss

d

dd

21

2

[106]. (3.29)

Respectivamente, ‘df’ e ‘ds’ representam as dimensões fractal e espectral do

problema em questão, sendo que a própria escolha de nos leva à descrição de um

tipo específico de reação. Como exemplo, se consideramos geometrias euclidianas,

teremos ddd sf . Assim sendo, se 1 , temos o caso OBA ; se 0 ,

obtemos o caso OAA .

De (3.25), também podemos escrever:

cddd

L

~~ 222. (3.30)

Comparando o expoente de (3.30) com o expoente em (3.29), no caso de

geometrias euclidianas ddd fs , obtemos:

2

(3.31)

Quando 00 ; quando 11 , tendo respectivamente o caso

OAA 0 e o caso OBA 1 .

Finalmente, quando tratamos o modelo descrito pela ação (3.24) na dimensão

crítica dada por 2 2dc , obtemos novamente correções logarítmicas para o

comportamento de campo médio. Fazendo este tratamento, obtemos:

.22,

ln~

ln~

2

cdparaL

L (3.32)

87

Então, concluímos que o comportamento logarítmico na dimensão crítica é

mantido para o caso geral ( 2 2dc ).

Em suma, vamos escrever o comportamento da concentração média

:

.22 ;

,22 ; /

,22

1

; 22/

dt

ddttn

dt

c

d

(3.33)

Para 0 em (3.33), temos o caso OAA 2dc [99, 85].

Para 1 em (3.33), obtemos o comportamento assintótico em OBA

4dc , que está em concordância com os resultados rigorosos de Bramson e

Lebowitz [107] para a reação OBA [108] com concentrações iniciais iguais.

Todo esse tratamento unificado das reações OAA e OBA pela

aplicação do M.T foi trabalho de Nassif e Silva [109].

3.4 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as duas espécies.

Nessa seção, propomos uma ação efetiva para descrever a reação química

limitada por difusão do tipo A + B 0 (produto inerte), com concentrações iniciais

diferentes para as duas espécies, sendo .oo BA PP Essa ação será tratada

através do Método de Thompson (M.T), de onde será obtida uma taxa de reação

efetiva .effK Este raciocínio será usado para tratar a equação diferencial de movimento

para a concentração tP A , quando consideramos o comportamento de tempo longo.

88

3.4.1 Dinâmica das reações A + B 0 com concentrações iniciais diferentes.

Dado que tBA PtP e dão as concentrações das espécies A e B no tempo,

então, em regime de campo médio, consideramos as seguintes equações diferenciais

para as duas espécies:

;BAAA K

dt

dPP

P (3.34)

.ABBB K

dt

dPP

P (3.35)

Vamos Fazer as seguintes considerações: , e BBAA KKKK PP onde

pensamos que ,BA KK de tal forma que poderíamos pensar na seguinte

proporcionalidade: BBAA K e K PP , pois já consideramos apriori que BA PP .

Assim, introduzindo tais considerações em (3.34) e (3.35), teremos respectivamente

as seguintes equações:

;

tttKtdtd

BAAA PPP

P (3.36)

e

tttKtd

tdABB

B PPPP

. (3.37)

Multiplicando (3.36) por tBP e (3.37) por tAP , e depois somando as duas

equações, obtemos:

.d

d

t 2ttKdt

tt

dt

tBA

AB

BA PP-2

PP

PP (3.38)

Também, podemos escrever (3.38) na seguinte forma compacta:

,2 2BABA K

dtd

PPPP (3.39)

89

onde . e t tBBAA PPPP

Fazendo , ttt BA PP ou simplesmente BAPP , e também KK 2' ,

sendo uma taxa de reação efetiva, escrevemos (3.39) da seguinte forma:

.' 2

Ktd

d (3.40)

A equação (3.40) representa uma equação de movimento para a concentração

efetiva das duas espécies no caso de ‘campo médio’. Assim, se quisermos estender

(3.40) para uma ação equivalente, onde aparece explicitamente variações espaciais

em , e também uma fonte na origem do tipo , r então vamos escrever a

seguinte ação efetiva:

dL

deff rd

tKrDA ,

2

1'

3

1

2

1 232 (3.41)

onde .t,r sendo , e K2'K BA PP ‘D’ é uma constante de difusão efetiva.

É muito importante observar que a ação efetiva (3.41) é similar àquela ação

considerada no caso de reação mais simples do tipo 0 AA , quando tratada pelo

método das dimensões de Thompson [8], e Silva [99] que se baseou no trabalho de

Krug [98].

Sabemos que Krug [98] propôs um modelo para uma versão contínua de uma

aniquilação limitada por difusão (DLA) com uma fonte pontual, cuja equação de

movimento é a mesma daquela tratada por Silva no caso da reação 0 AA [99], e

que é similar à equação de movimento efetiva obtida de (3.41), fazendo a ação mínima

0A eff ; isto é, temos

2'2

t

, KrD

tr

, (3.42)

onde já sabemos que K2KK e effBAeff PP .

90

Como já introduzimos a ação efetiva (3.41); então, quando aplicamos nela o

M.T, de maneira análoga ao que foi feito nas seções anteriores, obtemos a seguinte

taxa efetiva média :'K

,~2''1

21

22

dd

LL LKKK (3.43)

onde, agora vamos pensar na função 12~'

d

ttK como função da variável t, mantendo

a mesma forma de (3.43).

Agora, substituindo a forma livre tK ' na própria equação diferencial para

'' tAP , então vem a seguinte equação:

,1

tKdt

tdBABAeff

A PtPt-PPP 2

d

(3.44)

sendo 12'

d

eff ttKtK .

Já que consideramos ,tt BA PP então podemos fazer a seguinte

aproximação: .oBB PP Esta aproximação pode ser feita, pois como a concentração

da espécie B é muito maior, então, no decorrer do tempo, esta pode ser considerada

praticamente constante quando comparada com ,AP que é muito menor. Assim, em

virtude disso, vamos pensar que 0t BB PP (constante), que é uma boa

aproximação para esse caso de forte desigualdade BA PP , que foi estudada por

Bramson e Lebowitz [107]. Portanto, como temos 0t BB PP , agora fica fácil

compreender porque a ação efetiva (3.41) e a equação de movimento (3.42) são

efetivamente as mesmas obtidas da reação 0 AA [99]. Na verdade, tal

similaridade ocorre porque a espécie A está sempre reagindo com a espécie B, já que

a espécie B está sempre disponível na rede devido a sua alta concentração. Logo, a

probabilidade de A ir ao encontro de B permanece sempre grande durante o tempo, e

conseqüentemente a reação ocorre como se fosse efetivamente a reação 0 AA ,

não havendo segregação.

91

Tendo em vista que ,oBP sendo praticamente constante, então,

introduzindo esta informação em (3.44), obtemos a seguinte aproximação esperada

para o caso :BA PP

. 1

2 ttdt

tdA

d

A PP

(3.45)

Assim, de (3.45) vem a seguinte solução:

.td

2 exp0 t 2

d

AA

PP (3.46)

De (3.46), obtemos basicamente três casos, dependendo da dimensionalidade

do problema em questão.

1o caso: d=1 ,t exp 0 t 1AA PP (3.47)

onde .21

2o caso:d=2 ,t exp 0 t 2AA PP (3.48)

onde .2

3o caso: 3d (dentro do regime de campo médio)

,3 exp 0 tdt AA PP (3.49)

onde, em geral, observamos que .d/2d Também devemos observar que, aqui,

usamos a 2ª prescrição de Thompson para o comportamento de campo médio, isto é,

teCK ' (para todo) d>2, a fim de evitar as divergências na taxa de reação efetiva K’

para tempos grandes e para d>2.

Os resultados (3.47) e (3.49) reproduzem bem os resultados de Maury

Bramson e J. L. Lebowitz [107], com exceção ainda do resultado (3.48) para d=2, onde

devemos esperar um comportamento logarítmico para tAP ,no argumento da função

92

exponencial; porém, quando refinamos os cálculos pelo M.T em 2dd c ,

recuperamos o comportamento logarítmico. Isto será feito a seguir:

Já sabemos que obtemos 23 ~ LL

para d=2. Assim, expressando este

resultado na variável r, já sabemos que .~ 23 r A integral para o terceiro termo da

ação (3.41), considerando d=2, será:

L

1

2

L

23 ,1~rdrr'K3

1~rd'K

3

12

(3.50)

onde .~2 rdrrd

De (3.50), obtemos:

,ln~ln~'' 11 LKK L (3.51)

sendo .' effKK Aqui, também introduzimos um comprimento de corte 1 inferior para a

integral em (3.50).

Colocando (3.51) na variável livre t, vem .ln~ 1tKeff Retornando com este

resultado ajustado para dc=2 na equação diferencial para tAP , no lugar de

12

d

eff t~K

; então, fazendo esta substituição, escrevemos a seguinte equação para a

dimensão crítica:

,ln 1 ttdt

tdA

A PP (3.52)

para d=2.

Como estamos pensando no comportamento de tAP para t grande, então

podemos pensar que a função 'ln' t neste limite é praticamente constante. Assim

sendo, obtemos a seguinte solução para (3.52):

93

,tln

t exp 0 t AA

PP (3.53)

para d=2 e t grande.

Comparando (3.53) com (3.48), observamos que estas diferem entre si pela

função 'ln' t no argumento da função exponencial em (3.53), o que corresponde ao

ajuste logarítmico, dado exatamente sobre a dimensão crítica. Assim, a solução (3.53)

é mais apropriada para descrever a variação tamporal da concentração de A em

d=dc=2. A solução (3.53) reproduz o resultado rigoroso de Lebowitz [107] para d=2.

Todos esses resultados, obtidos para tAP em 3d e 2,1d , no caso

tt BA PP , fazem parte de uma publicação recente (veja Nassif e Silva [110]).

3.5 Estudo das reações químicas do tipo A B 0 e A A 0, nas condições de difusão modificada pela aplicação do M.T.

Sabe-se que o estudo dos fenômenos de difusão é antigo. A difusão sob

condições normais (movimento browniano) se baseia em movimentos aleatórios de

partículas (random walks). Após uma exaustiva investigação desses movimentos,

Robert Brown publicou um trabalho em 1828. Mesmo assim, o movimento browniano

não era bem compreendido, pois, naquela época ainda não se tinha demonstrado a

existência dos átomos. A explicação veio através de Albert Einstein em 1905 [111],

porém Einstein não se referiu a esse movimento como sendo o movimento browniano,

porque ele não tinha ainda tomado conhecimento dos trabalhos de Brown.

Desde 1905, o movimento browniano tem-se tornado o exemplo canônico de

um processo aleatório [112]. Matematicamente, esse processo é regido pela equação

da difusão, dada da seguinte forma:

2

2

x

t,xPD

t

t,xP

, (3.54)

sendo t,xP a probabilidade de um caminhante aleatório browniano estar na posição

x, no tempo t, dado que ele partiu da origem 0x , no tempo 0t .

A solução de (3.54) é gaussiana, isto é,

94

DtxeDt

txP 4/2

4

1,

. (3.55)

De (3.55), vem que o desvio médio quadrático 2x é dado da seguinte forma:

Dt2tx 2 , (3.56)

onde D é a constante de difusão, que tem a unidade de ‘ tx /2 ’.

Estudos recentes têm sido feitos para os vários casos de difusão modificada

(não-browniana) [113], incluindo movimentos que estariam “acima” [113], “abaixo”

[113] e além [113, 114] do movimento browniano. Basicamente, tais efeitos de difusão

modificada se fundamentam no seguinte escalonamento (‘scaling’) para desvio médio

quadrático:

ttx ~2 , (3.57)

onde representa um expoente que descreve a anomalia do caráter difusivo,

gerando o comportamento não browniano [115]. Para 1 , recuperamos a condição

de movimento browniano, dado em (3.56). No caso 1 , temos a condição de

subdifusão [115], [113], que está “abaixo” do movimento browniano. Quando 1 ,

temos a condição de superdifusão [115], que nos leva a uma difusão mais rápida que

a difusão browniana. No caso especial em que 2 , obtemos um caso especial de

superdifusão, denominada de difusão balística [115], que está bem além do

movimento browniano. Ainda, além do movimento browniano, temos os casos em que

2 , o que vem sendo investigado recentemente [114]. Trata-se da dinâmica não-

linear dos movimentos da classe Lévy-Walk [116], tendo em vista o aparecimento de

fractalidade nessa dinâmica [117]. Um caso muito especial de Lévy-Walks é a

turbulência (difusão turbulenta) [114,118,119], onde 3 . Este resultado já foi obtido

em 1926 por L.F.Richardson, que publicou sua descoberta de que a média do

quadrado da separação r entre duas partículas num fluido turbulento cresce com 3t ,

isto é, .t~r 32

95

3.5.1 O estudo da anomalia de difusão nas reações do tipo 0BA , levando à quebra de segregação.

Nessa seção, vamos usar o método de Thompson (M.T) como uma forma de

estudar o fenômeno da quebra de segregação na reação de aniquilação de duas

espécies 0BA com concentrações iniciais iguais.

Na seção 3.2, propomos uma ação para estudar a reação de aniquilação de

duas espécies 0BA [109] sob a condição de difusão browniana; isto é

t~r 2 , ou então, 2/1t~r , com 1 ou =2.

Neste caso, temos a condição normal de segregação tal que se obtém a

dimensão crítica 4dc [109]. A ação da seção 3.2 foi dada da seguinte forma:

t2

1K

3

1hD

2

1rdA

232d

Ld

. (3.58)

De (3.58), fazendo 0A , tínhamos obtido a seguinte equação de

movimento, que é a equação de difusão browniana com aniquilação das duas

espécies A e B:

22 KhDt

t,r

. (3.59)

Como já é bem sabido, a segregação normalmente aparece na reação

0BA devido à impossibilidade de aniquilação entre mesmas espécies A(ou B).

No entanto, um recente trabalho de Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] mostrou a

possibilidade da quebra de segregação na reação 0BA , devido ao chamado

efeito Lévy-mixing, que pertence à classe dos Lévy-Walks.

Numa condição de difusão modificada para o caso da reação 0BA , é

possível suprimir a segregação em dimensões 4d [120]. Tal redução de segregação

leva a uma aceleração no processo de reação, e tal efeito tem sido de maior interesse

prático [121]. Portanto, se misturamos continuamente as partículas A e B, facilitamos a

reação entre elas; assim, a possibilidade de uma partícula A encontrar a B é

aumentada, permitindo uma reação mais eficiente entre elas. Isso leva, naturalmente,

a uma maior homogeneidade espacial da densidade das partículas durante todo o

96

tempo de mistura. Agora, se olharmos para a ação (3.58), observamos que, devido ao

termo de gradiente “ ” na ação, estamos levando em conta flutuações espaciais na

densidade de partículas. No entanto, a quebra da segregação pode ser conseguida,

aumentando a homogeneidade espacial da densidade de partículas [120], o que nos

leva a uma redução das flutuações. Primeiramente, do ponto de vista matemático, este

raciocínio nos leva a pensar a respeito de algum tipo de “gradiente modificado”(um tipo

de gradiente ou derivada fracional [115]) para a nossa ação, mimicada por alguma

coisa como “ ”, com 1 , para garantir o aumento da homogeneidade espacial da

densidade de partículas, através da redução ou supressão das flutuações desta

densidade.

De fato, a supressão de flutuações nos leva a uma redução da dimensão crítica

superior (campo médio) do modelo, sendo 4dc no caso da reação ‘ 0BA ’

modificada pelo “mixing”(mistura).

Na seção 3.2, tínhamos mostrado que o termo “ h ” na ação (3.58) contém

uma importante informação da segregação, pelo fato de que ele contém o valor médio

da concentração , que, por sua vez, decai no tempo, indo a zero para tempos

longos; ou em outras palavras, dizemos que ele corresponde a um termo de ação

efetiva para segregação [109]. Portanto, quando reduzimos as flutuações espaciais

na ação, e com isso, aceleramos o processo de reação, conseqüentemente

também deveríamos modificar a maneira como decai no tempo. Isto é porque as

flutuações suprimidas no processo de difusão por mistura (‘mixing’) nos levam

diretamente a algum tipo de erosão de segregação.

Já que a erosão de segregação implica em considerar alguma modificação do

valor médio no 2º termo da ação (3.58), poderíamos pensar que tal supressão de

flutuação de segregação está diretamente ligada ou refletida nas flutuações espaciais

dadas pelo gradiente fracional (modificado) . Assim, está linha de raciocínio nos

permite considerar que o tempo de decaimento modificado de deva estar em ‘pé-

de-igualdade’ com as flutuações espaciais modificadas de . Logo, isso nos leva

97

a introduzir o seguinte termo modificado para levar em conta uma certa quebra de

segregação: h , sendo 1 . Para 1 , recuperamos o caso de 4dc [109].

Finalmente, com base nas considerações acima para o caso de difusão

modificada para a reação 0BA , podemos escrever a seguinte ação:

,

2

1

3

1

2

1 232

t

KhDxdAdL

d , (3.60)

com 1 .

No trabalho de Zumofen, Klafter e Shlesinger [120], um (expoente) foi usado

por eles a fim de caracterizar o comportamento difusivo anômalo, de tal forma que,

quando se considerou 2 , a difusão modificada desaparecia, recaindo na condição

browniana. No entanto, quando 2 pela mistura (Lévy-mixing), eles [120]

mostraram que a condição de difusão modificada emergia, e assim, obtiveram a

quebra de segregação para a reação 0BA em dimensões menores que 4.

Considerando-se o fato de que [120] e introduzido aqui na ação (3.60) são

expoentes que introduzem efeitos de difusão anômala para a reação, então é

importante observar que podemos relacionar com dado em (3.60). Quando 2 ,

obtemos 1 da condição de movimento browniano. Logo, para 2 , deveríamos

ter <1 para condição não-browniana (uma condição de superdifusão devido ao

“mixing”). Portanto, para sermos consistentes com a descrição dada em [120], vamos

fazer a seguinte identificação de expoente na ação (3.60): 2

.

Então, usando o parâmetro , a ação (3.60) pode ser escrita alternativamente

como:

t2

1K

3

1hD

2

1rdA

232/22/d

Ld

. (3.61)

Se 2 , recuperamos novamente a ação (3.58). Pela imposição de que

0A em (3.61), obtemos a seguinte equação diferencial para difusão modificada:

98

22/KhD

t

t,r

. (3.62)

Se 2 , recuperamos a equação diferencial (3.59). A equação diferencial

fracional acima nos sugere uma propriedade de não-localidade devido à derivada

fracional que causa a anomalia na difusão [115,122].

Vamos agora aplicar as prescrições do M.T na ação (3.61). Usando a 1ª

prescrição do M.T, que é um argumento de escala, no 1º termo de (3.61), temos:

1~~D2

1rd 2d22/

L

d

d

. (3.63)

De (3.63), obtemos que o valor médio quadrático de 2 se comporta como

d ~2 (3.64)

Do 4° termo de (3.61), temos:

1~~

t2

1rd d2

L

2d

d

, (3.65)

onde consideramos que t-exp t o . Introduzindo (3.64) em (3.65), obtemos:

~1

,

ou /1~ . (3.66)

Observamos que (3.66) dá o caráter não-browniano dessas reações limitadas

por difusão [115,123]. Na verdade, quando consideramos 2 em (3.66), obtemos as

condições de movimento além do movimento browniano [124,125,126], que

correspondem às condições de superdifusão.

Em casos gerais de processos de difusão (veja ref. [115]), temos o seguinte

desvio médio quadrático dado por ttx ~2 . A condição de Lévy-mixing que

consideramos aqui leva a uma difusão mais rápida que a difusão browniana. Então,

99

vamos fixar nossa atenção na condição de superdifusão, isto é, 1 [114]ou 2

[120]. Assim, podemos relacionar os expoentes , [120] e [115], que caracterizam

basicamente a anomalia difusiva; logo obtemos: 1

2 . Para

121 , temos o caso do movimento browniano. Se 2 e ,1 , o

que implica em 1 , temos a condição de superdifusão, que é dada aqui pelo Lévy-

mixing.

Aplicando a 1ª prescrição do M.T no 2° termo de (3.61), obtemos:

1~~

12/2/ dd hhrdd

(3.67)

Fazendo 1h , obtemos de (3.67) o seguinte comportamento de

escalonamento para o valor médio :

1

2/d

~

. (3.68)

Usando (3.66) em (3.68), obtemos:

12//12//~~ dd

. (3.69)

Colocando 2 em (3.69), recaímos nos resultados rigorosos de Bramson e

Lebowitz [107] para as reações 0BA com segregação completa, como também,

recaímos nos resultados obtidos de um tratamento dessas reações pelo M.T [109].

Vamos agora aplicar a 1ª prescrição do M.T no 3° termo de (3.61). Assim:

1~K~K3

1rd d33d

d

. (3.70)

Vamos fazer a seguinte hipótese plausível:

23 ~ . (3.71)

100

O desacoplamento (3.71) acima já foi justificado nas seções precedentes, e ao

mesmo tempo foi utilizado com sucesso em trabalhos anteriores [99,109], onde se

reproduziu exatamente os resultados de Peliti [85] para a reação 0AA e os de

Bramson e Lebowitz [107] para a reação 0BA com total segregação.

Usando (3.64),(3.68) e (3.71) em (3.70), obtemos:

112

/112

/12

/

~~~

ddd

K , (3.72)

sendo, ~ .

A equação (3.72) nos fornece

1

2

cd como a dimensão crítica

superior para o modelo. Para o caso 2 , obtemos 4dc , onde temos a condição

de difusão browniana para a reação 0BA . É possível extrair de (3.72) alguns

casos particulares, onde temos quebras de segregação. Vamos considerar

basicamente dois casos de 2 :

a) 1 : um caso de forte mistura que leva à difusão balística, que é um caso

especial de superdifusão com 2 [115]. Para 1 , obtemos 5,12/3dc , que

corresponde a um tipo de dimensão crítica superior fractal para este caso. Aqui, nós

temos uma forte quebra de segregação, de tal forma que para 2d o sistema já

possui comportamento de campo médio.

b) Um outro caso, que é conhecido, havendo forte quebra de segregação

ocorre quando 25,1 , sendo 2dc . Logo, em 3d , obtemos a quebra de

segregação, já que, nesta dimensão, temos justamente um regime de campo médio

devido ao Lévy-mixing ou estado de mistura constante das espécies reagentes.

Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] estudaram as reações 0BA com Lévy-

mixing, no caso em que 25,1 . Eles também observaram a quebra de segregação

em 3d , o que está em concordância com os resultados que acabamos de obter de

(3.72) para o caso 25,1 .

Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] obtiveram as curvas do comportamento

das funções de correlação entre partículas de mesma espécie t,rCA AA e entre

101

partículas A e t,rCB AB para o caso 3-D, levando em consideração a difusão por

caminhos aleatórios i. é, com segregação; e também o caso de difusão modificada

pelo ‘mixing’, com quebra de segregação para 25,1 ,em 3d . Tudo isso foi obtido

para um dado tempo t fixo. Veja figura abaixo, onde se pode comparar o caso “ 2 ”

com “ 25,1 ” em 3-dimensões:

0

1

2

0 0,5 1 1,5 2

d = 3

t = 103, 3 x 103 , 104

γ = 1.25

NN-RW

~

C AA

~

C AB

1

/ tr

Figura 6: Funções de correlação t,rC~

AA e t,rC~

AB em 3d dimensões.

As curvas da figura 6 com valores visivelmente maiores e menores que 1 são

os resultados de Random Walks – R.W 2 . As curvas centradas ao redor do valor

1 são os resultados de Lévy-Walk para 25,1 (figura 6 extraída da ref. [120]).

De (3.72), podemos ver que K diverge quando , para

1

2d .

Então, a fim de satisfazer a 2ª prescrição do M.T, adotamos 1K para

102

1

2d . Logo, a descrição de campo médio desse modelo é correta para

1

2d .

Na dimensão crítica superior,

1

2dd c ,vamos fazer algumas

considerações adicionais a fim de obter as correções logarítmicas para a taxa de

reação K e a concentração . Temos para

1

2dd c (veja (3.64), (3.68) e

(3.71)), a seguinte relação

1

223 ~~ . (3.73)

Se usamos a 1ª prescrição de Thompson para o 3º termo de (3.61), num certo

contexto modificado, isto é, fazendo dentro da integral do 3º termo a seguinte

substituição:

1

23 r~ , (3.74)

então podemos escrever:

1~nK~drrKr

3

1~K

3

1rd

112

12

13d

d

, (3.75)

onde é medido em unidades de espaçamento de rede, sendo 1 o corte inferior, e

.drrdrrrdrd11

21ddd cc

De (3.75) obtemos que

103

1n~K . (3.76)

Tendo por base as considerações de escalonamento dadas pela 1ª prescrição

de Thompson aplicada em (3.61), onde o gradiente modificado escalona

como 2/2/ ~ , então vamos definir que du

d

dr

d

2/

2/r

, onde 2/ru .

Naturalmente que, para 2 acima, recaímos na derivada usual, onde drdu . No

entanto, dado que 2/ru , vem que drr~du 12/ . Assim sendo, vamos considerar

a seguinte equação diferencial:

03

1

2

1 3

2

12/

Kdrr

dD . (3.77)

A equação (3.77) pode ser obtida, considerando-se a igualdade dos 1º e 3º

termos de (3.61) (dada pela 1ª prescrição do M.T), onde supomos que podemos

substituir a igualdade entre integrais pela igualdade entre integrandos, depois de

substituir K por .K

Podemos resolver (3.77) na dimensão crítica superior

1

2dd c ,

usando (3.76) em (3.77). Assim, fazendo a integração de (3.77) neste caso, obtemos:

n~

n~

, para cdd . (3.78)

Como podemos observar em (3.76) e (3.78), justamente na dimensão crítica

superior, obtemos a correção logarítmica para a descrição de campo médio. Este

mesmo comportamento foi obtido anteriormente (veja ref. [109]) para a reação

0BA , no caso de difusão browniana.

104

3.5.2 Tratamento unificado das reações 0AA e 0BA com condições de difusão modificada.

O relativo sucesso do M.T no tratamento das reações 0AA e 0BA

[109], e também nas seções 3.1, 3.2 e 3.3 nos encoraja a buscar por uma ação efetiva

estendida, capaz de englobar as duas reações mencionadas, também já incluindo as

condições de difusão modificadas. Portanto, vamos escrever a seguinte ação

estendida efetiva:

t2

1K

3

1hD

2

1rdA

232/22/d

, d, (3.79)

onde 10 e 2 . Se fizermos 2 em (3.79), recaímos na ação A da seção

3.3, que engloba as reações 1 0BA e 0 0AA na condição

browniana.

De forma análoga ao que já foi feio nas seções anteriores, aplicando o M.T em

(3.79), obtemos os seguintes escalonamentos:

12

/d

,~

, (3.80)

e

1

12

d

,~~K

1

12

d

(3.81)

O escalonamento (3.81) implica que, para o modelo estendido e, ainda com

condições de difusão modificada, definido em (3.79), a dimensão crítica superior é

dada por:

12

,dc , (3.82)

com 10 e 2 . Logo, alternativamente, vamos escrever:

105

1/1/

,~~

cc ddddK

, (3.83)

sendo ~ , e cd dado em (3.82).

Como temos em (3.79) a possibilidade de considerar 2 , então, também

somos capazes de englobar as reações 1 0BA e 0 0AA , já

incluindo a possibilidade de quebra de segregação no caso 0BA reação 1 ,

e uma possibilidade de ‘mixing’ no caso 0AA reação 0 .

Finalmente, é importante ressaltar que, na dimensão crítica do modelo

generalizado descrito pela ação (3.79), temos novamente correções logarítmicas para

o comportamento de campo médio nessa dimensão crítica. Esse resultado pode ser

obtido da maneira análoga já obtida anteriormente. Fazendo isso, obtemos:

n~

n~

,

, (3.84)

para

1

2dd c .

De fato, as correções logarítmicas obtidas na dimensão crítica superior de todos

esses modelos (seções 3.1, 3.2, 3.3 e a presente seção) são resultados universais.

3.6 O Método de Thompson aplicado às reações controladas por difusão do tipo browniana e não-browniana

KAKA

As reações controladas por difusão do tipo AKA , com K , e que

naturalmente incluem o caso de reações 00KA dentro da mesma classe de

universalidade são conhecidas por apresentar forte dependência nas flutuações no

regime abaixo de uma dada dimensão crítica cd . Tais reações se baseiam na

interação de K partículas da espécie A, que, ao interagirem, coalescem num número

de partículas, onde naturalmente K .

106

Primeiramente, nessa seção, vamos aplicar o M.T, que é uma forma alternativa

simples ao G.R, numa ação efetiva que nos permita descrever o comportamento

dessa classe de reações com difusão browniana, obtendo o comportamento

assintótico da densidade , em cdd , e inclusive em cdd . As leis de escala que

vamos obter aqui estão em concordância com os cálculos do G.R num trabalho de Lee

[128], e também com um trabalho mais recente de Oliveira [129]. Aqui, também,

vamos citar o trabalho de Ohtsuki [130], que aplicou o G.R a esses

sistemas AkA . Paralelamente, vamos mencionar outros trabalhos mais recentes

que tratam da cinética, dinâmica crítica e processos de difusão [131,132]. Citamos

também um recente trabalho de Oliveira [133].

3.6.1 As reações AKA (com difusão browniana)

Vamos aplicar o M.T para estudar a reação controlada por difusão do tipo

K0AKA ; mas antes disto, devemos considerar os casos particulares de

reações dos tipos AAA e 0AA , em que 1 e 0 e ,2K

respectivamente. Estas reações foram tratadas por Peliti [85], e também por Silva [99]

pela aplicação do M.T. Silva [99] considerou a seguinte equação diferencial para as

reações do tipo A ou0AA , com 2K :

22 rhDt

t,r

, (3.85)

onde é a concentração da espécie A; D é a constante de difusão; rh é uma fonte

introduzida por Krug [98], e é a taxa de reação. A equação diferencial (3.85) já foi

introduzida na seção 3.1 desse capítulo.

A fim de tratar o fenômeno descrito por (3.85), usando o M.T, Silva [98] definiu

a seguinte ação:

rd

t2

1

3

1rhD

2

1A d

232

d

. (3.86)

107

A equação (3.85) pode ser obtida diretamente de (3.86), impondo a condição

de ação mínima 0A .

No trabalho de Lee [128], a reação controlada por difusão do tipo 0KA foi

considerada no regime de campo médio, i. é, para dimensões suficientemente altas, a

saber:

K t

t

, (3.87)

com taxa de reação constante . Isto implica que acima da dimensão crítica

superior, a densidade irá decair assintoticamente com 1k/1t~ . Para cdd , o

comportamento da densidade é conjecturado, tendo por base argumentos de escala

[134] e argumentos rigorosos [135]. Resultados exatos são dados para 1d [136-

139]. Para cdd , esperamos correções logarítmicas para o campo médio.

Agora, se consideramos uma equação diferencial para a reação 0KA ,

incluindo flutuações espaciais de densidade e uma fonte do tipo rh [98], então

podemos escrever a seguinte equação:

k2 rhDt

t,r

. (3.88)

Naturalmente, colocando 2k em (3.88), recuperamos a equação para o

caso A ou0AA [85,98,99].

A fim de tratar o fenômeno da reação 0KA , ou AKA , descrita pela

equação (3.88), usando o M.T, vamos definir a ação:

rdt2

1

1k

1rhD

2

1A d

21k2

K d

. (3.89)

A equação (3.88) pode ser obtida de (3.89), fazendo a condição 0A k .

Usando a 1ª prescrição do M.T [8], que é um argumento de escala, no 1º termo

de (3.89), obtemos:

108

1~~D2

1rd 22d2d

d

, (3.90)

sendo que o valor médio quadrático de 2 comporta-se como

d22 ~ (3.91)

Para o 4º termo em (3.89), temos

1~~

t2

1rd d2

2d

d

, (3.92)

onde consideramos que

tt exp . (3.93)


21~

. (3.94)

Observamos que (3.94) caracteriza a difusão browniana, onde representa

um tempo de vida médio que uma partícula leva para atingir a outra e se aniquilarem.

Aplicando a 1ª prescrição do M.T no 2º termo de (3.89), obtemos:

1~h~hrd ddd

. (3.95)

Supondo 1~h , temos para o valor médio de o comportamento

d~. (3.96)

Usando (3.94) em (3.96), obtemos:

2/2/2 ~~ dd . (3.97)

109

Esse resultado (Eq. 3.97) coincide com aquele que foi obtido por Silva [99], que

é o tempo de decaimento da concentração para a reação 2k 0AA através

do M.T. Assim, esse resultado de escala nos leva a concluir que o comportamento

para tempos longos da concentração é independente de k, o que foi mostrado por

Lee[128].

Agora, finalmente, vamos usar a 1ª prescrição do M.T no 3º termo de (3.89), a

saber:

1~~

1k

1rd d1k1kd

d

. (3.89)

Prosseguindo, vamos fazer uma hipótese plausível:

1k21k ~ . (3.99)

Este tipo de desacoplamento poderia ser justificado, como já foi feito em

trabalhos anteriores [99,109,110], levando-se em conta que o termo de reação que

aparece na equação (3.88) é basicamente de uma forma bilinear (uma correlação de

dois pontos), embora tenhamos aqui interações de k partículas 2k . Na verdade,

apesar de haver k partículas para reagirem, consideramos que tal reação ocorre passo

a passo, segundo uma forma bilinear de interação (aos pares), tal que haja a

necessidade de se obter um tipo de desacoplamento que preserve a forma de uma

densidade média quadrática para 2 como já considerado anteriormente [99, 109,

110]. Em particular, quando fazemos 2k para o desacoplamento acima (eq. 3.99),

naturalmente recuperamos aquele já usado num trabalho anterior [99] para a reação

0AA , a saber: .~ 23 [99].

Usando (3.91), (3.96) e (3.99) em (3.98), obtemos:

12

1221 ~~

kd

kd . (3.100)

Considerando (3.94) em (3.100), também podemos escrever:

110

1

2

1

~

kd

. (3.101)

A equação (3.100) ou (3.101) fornece 1k

2dc

, sendo a dimensão crítica

superior para o modelo, em concordância com os resultados dos trabalhos de Lee

[128] e Oliveira [129]. Se 2k , temos 2dc para o caso das reações

A ou0AA [99].

Podemos ver de (3.100) que diverge quando , para )1k/(2d .

Então, a fim de satisfazer a 2ª prescrição do M.T, adotamos 1 para

)1k/(2d . Logo, a descrição de campo médio desse modelo é apropriada

para )1k/(2d .

Agora, estando na dimensão critica superior desse modelo 1k/2d ,

vamos fazer algumas considerações adicionais a fim de obter as correções

logarítmicas para a taxa de reação e a concentração . Temos para

1k/2d (veja (3.91), (3.96) e (3.99)) o seguinte resultado:

1/2121 ~~ kkK , (3.102)

para 1k

2dd c

.

Se usamos a 1ª prescrição de Thompson para o 3º termo de (3.89) num certo

contexto modificado, i. é, tendo feito dentro da integral a seguinte substituição:

1

2

1 ~

kk r , (3.103)

111

logo podemos escrever

1

d

2lk 1 k 1 2 k 1d

l 1

1 1d r r r dr

k 1 k 1/~ ~

1~n~ , (3.104)

onde é medido em unidades de espaçamento de rede, sendo 1 o comprimento de

corte inferior.

De (3.104), obtemos que

1~ n, (3.105)

para 1/2 kdd c .

Nesse ponto, vamos considerar a seguinte equação diferencial:

01k

1

rD

2

1 1k2

. (3.106)

Esta equação (3.106) pode ser obtida, considerando a igualdade do 1º e 3º

termos de (3.89) (dado pela 1ª prescrição do M.T), onde supomos que podemos

substituir a igualdade entre integrais pela igualdade entre integrandos, após substituir

por .

Podemos resolver (3.106) na dimensão crítica superior 1/2 kdc ,

realizando a integração entre 1 e , e usando (3.105). Assim, obtemos:

1k/11k/1

2

ln~

ln~

, (3.107)

para 1/2 kdd c , e para grande.

112

Como podemos ver em (3.105) e (3.107), justamente na dimensão crítica

superior, e no limite de comprimentos de onda longos, obtivemos correções

logarítmicas para a descrição de campo médio desses sistemas [128, 129].

3.6.2 As reações lAKA (com difusão não browniana)

Tendo por base a idéia de gradiente modificado 2

, já utilizado para o caso

da difusão anômala, e também a idéia da coalescência de k-partículas, expressa no

termo ‘ kεΓ ’ da equação de movimento (3.88); então, vamos construir a seguinte ação

para representar as reações do tipo lAKA , incluindo difusão modificada:

d

2

l

21k

2d

,k t2

1

1k

1hD

2

1rdA (3.108)

Para 2 (difusão browniana), recaímos na ação (3.89).

Impondo que 0A ,k para t constante, em (3.108), obtemos a seguinte

equação diferencial de difusão modificada (fracional) para a reação de coalescência:

krhDt

t,r

(3.109)

Usando a 1a prescrição de Thompson em cada termo da ação (3.108), obtemos

as seguintes relações de escala:

Primeiro termo:

.~2 dL (3.110)

Segundo termo:

//~~ ddd LL

. (3.111)

Terceiro termo:

11

1 ~~

kd

kdL, (3.112)

113

onde temos que L~ e 1k21k ~ .

Quarto termo:

L~1

. (3.113)

De (3.112), obtemos imediatamente a dimensão crítica do modelo, a saber:

c

2d k

k 1 k 1,

, (3.114)

sendo

2

.

Fazendo 2 ou 1 em (3.114), recaímos em cd obtida por Lee [128].

De (3.114), podemos extrair alguns resultados interessantes para dimensões

críticas desse modelo, como por exemplo:

Para

.4d:)subdifusão(2

1

;1d:)balística

difusãoerdifusão(sup2

;2d

)brownianadifusão(1

)partículas (duas 2ki

c

c

c

(3.115)

2d:2

1

;5,0d:2

;1d:1

)partículas (três 3kii

c

c

c

(3.116)

Finalmente, para a dimensão crítica 1k/dc , obtemos novamente

1~ Ln, (3.117)

114

onde consideramos 1k/1k r~ (terceiro termo em (3.108)).

De maneira análoga ao que já foi feito anteriormente, quando se considera a

igualdade do primeiro e terceiro termos de (3.108), onde substituímos a igualdade

entre integrais pela igualdade entre integrandos, e tendo em vista que

du

d

dr

dr

2/

2/ , sendo 2/ru , por definição, então consideramos a

seguinte equação diferencial:

01k

1

rd

dD

2

1 1k2/

. (3.118)

Podemos resolver (3.118) na dimensão crítica superior 1k/d , usando

(3.117) em (3.118). Logo, fazendo a integração de (3.118) no limite de comprimento de

onda longo tetanconsLn , obtemos:

1 k 1 1 k 1 1 k 1

2k

n L n L n

L L

/ / /

/,~

, (3.119)

para 1/ kd .

Os resultados de Lee [127] e Oliveira [129] são obtidos de (3.119) no caso

especial em que 2 ou 1 .

3.6.3 Fonte homogênea externa: Expoentes críticos no regime estacionário

Finalmente, propomos estudar o modelo de reação de coalescência AkA

com condição de difusão modificada, sendo esse sistema (rede) agora submetido a

uma fonte homogênea externa tech de partículas A. Logo, sugerimos que o limite

de taxa de campo externo nula 0h possa ser considerada como um ponto crítico

[140], e conseqüentemente, perto desse ponto 0h , somos capazes de extrair os

seguintes expoentes críticos: /1~ hh , que é um expoente crítico estático para a

115

concentração em regime estacionário; '~' hh , que é um expoente crítico

dinâmico para o tempo de relaxação h , obtido no limite 0h ; e finalmente o

expoente t~ , que representa o expoente para o decaimento da concentração

no limite de taxa de campo zero 0h [140].

A equação de campo médio para tais reações, considerando uma fonte

h homogênea externa de partículas, é dada da seguinte forma:

kht

. (3.120)

Já sabemos que, no regime de campo médio, temos tetancons~ . No

entanto, vamos pensar numa taxa de reação efetiva eff que dependa da

dimensionalidade d da rede, dei eff ,. , e portanto, vamos introduzir esta

informação na equação (3.120), obtendo

keffh

t

. (3.121)

No regime estacionário

0t

, obtemos de (3.121)

0k

effh . (3.122)

Agora, usando o resultado (2.112) dessa seção, que dá a taxa de reação

efetiva d , e considerando (3.111) dL /1~ para dentro de (3.112), então

escrevemos

kd

eff

1

, (3.123)

onde é uma constante de proporcionalidade.

116

Finalmente introduzindo (3.123) em (3.121), e também considerando a

condição de regime estacionário dada em (3.122), obtemos.

/1~ h

h d

d

, (3.124)

de onde extraímos

d

d

. (3.125)

Por outro lado, no caso da difusão modificada, obtemos que dL /~~ ,

sendo dL /1~ (relação (3.111)).

Logo, daí também podemos escrever:

/~ d , (3.126)

onde

d representa o expoente do decaimento da concentração.

Introduzindo (3.126) acima em (3.123) e em (3.122), finalmente obtemos

'

/

~

hh

d

h

, (3.127)

de onde extraímos

d

' . (3.128)

Portanto, podemos concluir que os expoentes críticos em (3.125) e ' em

(3.128) realmente ainda satisfazem as relações de escala dadas abaixo:

11

'

d

d

d; (3.129)

117

d

d

d

d

1

.'

1. (3.130)

No caso especial de 2 (difusão browniana), naturalmente recuperamos os

resultados para ,' e obtidos por Rácz [140].

No regime de campo médio, temos 1/ kdd c (relação 3.114). Agora,

podemos obter os expoentes ', cc e c , dados no regime de campo médio ou acima

da dimensão crítica. Logo, a fim de obtê-los, devemos introduzir (3.114) em (3.125) e

(3.128), e também na relação /cc d , obtendo

k

d

d

c

cc

; (3.131)

k

k

dcc

1'

; (3.132)

1

1

k

dcc

. (3.133)

Notamos que, se fizermos 2k (reação )(0 AAA ) em (3.131), (3.132) e

(3.133), naturalmente recuperamos os conhecidos expoentes de campo médio

2

1',2 e 1 [140].

Podemos ainda observar que os expoentes críticos (3.131, 3.132, 3.133)

obtidos no regime de campo médio são independentes de , e dependem somente de

k . Podemos explicar tais resultados devido ao fato de que, no regime de campo

médio, as flutuações devido ao fenômeno da difusão não são relevantes para o

problema, de tal forma que o caráter da difusão não realiza papel de importância

para a obtenção do comportamento dos expoentes críticos nesse caso.

118

Somente o número de partículas k que coalescem (reagem) torna-se relevante

nesse regime clássico.

O artigo referente à presente seção está publicado na MPLB (2002) [141].

3.7 Conclusões

Nesse capítulo, propomos um conjunto de ações efetivas para descrever o

comportamento das várias classes de reações químicas limitadas por difusão;

incluindo partículas de mesma espécies ou espécies diferentes, com e sem difusão

browniana (difusão anômala), e também o problema de coalescência de várias

partículas da mesma espécie A . Algumas dessas reações foram estudadas sob a

ótica da existência de regime estacionário na presença de uma fonte homogênea h

externa de partículas A , obtendo-se portanto alguns expoentes críticos em tais

sistemas, e também algumas importantes relações de escala entre estes expoentes.

Na 1ª seção, abordamos as reações do tipo )(0 AAA , obtendo

comportamento logarítmico na escala para o decaimento da concentração e taxa de

reação na dimensão crítica do regime de campo médio 2cd .

Na 2ª seção, estudamos as reações 0 BA com segregação 4cd ,

obtendo também o mesmo comportamento logarítmico para a concentração e taxa de

reação, porém dado na dimensão crítica 4cd , devido à presença de segregação.

Em virtude da presença do comportamento logarítmico na dimensão crítica

superior cd , fomos levados, na 3ª seção, a propor um tratamento unificado para as

reações 0 AA e 0 BA , através de uma ação efetiva que incorpora estas

duas classes de reações dentro de um mesmo formalismo.

Na quarta seção, elaboramos uma ação efetiva para descrever as reações

limitadas por difusão de duas espécies com concentrações iniciais diferentes

119

0P«0P BA . Para 2d , obtivemos o decaimento exponencial modificado da

espécie A , na forma

2/2

exp0 dAA t

dPtP

, com te

B cP . No entanto, com

alguns ajustes, melhoramos o nosso resultado para 2cd em tempos longos,

obtendo o seguinte comportamento logaritmico dentro da função exponencial:

tnPtP AA

texp0

.

Na 5ª seção, estudamos as reações do tipo 0 BA , incluindo casos de

difusão modificada do tipo Lévy-mixing, o que levou à quebra de segregação de tal

forma que 4cd para 2 (superdifusão obtida pelo ´Lévy-mixing`). Mesmo assim,

continuamos a obter o comportamento logarítmico para a taxa de reação

1Ln~K e o decaimento da concentração

L

Ln~ na dimensão crítica

superior considerada. Esse mesmo comportamento foi obtido para o caso 0 AA

com difusão modificada, o que nos motivou a fazer um tratamento unificado dessas

duas reações sob a condição de difusão modificada 2 .

Na 6ª seção, aplicamos o método de Thompson para estudar as reações de

coalescência do tipo kAkA na condição de difusão browniana e não-

browniana 2 . Ainda na dimensão critica 1/ kdc obtivemos o

comportamento logarítmico esperado para o decaimento da concentração e a taxa de

reação. No caso da existência de regime estacionário, na presença de uma fonte

homogênea externa de partículas de espécie A , calculamos os expoentes críticos

para a taxa de concentração

d

d e para o tempo de relaxação

d

' , dados no limite 0h , e também o expoente para o decaimento da

120

concentração d / . Assim, finalmente verificamos que tais expoentes

satisfazem as seguintes relações de escala: 11

'

,

'1

.

O próximo capítulo será dedicado à aplicação do M.T ao estudo do crescimento

de uma cadeia polimérica.

121

Capitulo 4

4 O Método de Thompson aplicado ao estudo de crescimento de polímeros.

Introdução

Uma cadeia linear de polímero é aquela na qual existe uma seqüência de uma

mesma estrutura química básica que se repete N vezes através de ligações para

formar uma macroestrutura ou macromolécula. Cada estrutura básica é denominada

de monômero, sendo que o processo que permite a ligação entre monômeros é

chamado de polimerização. O exemplo mais simples de polímero linear é o polietileno,

a saber:

,CHCHCHou CH 222N2 onde a estrutura básica “ 2CH ”

representa um monômero dessa macromolécula de polietileno.

Também podemos citar o poliestireno, o polioxietileno, dentre outros polímeros.

O número N de unidades repetidas numa cadeia é freqüentemente chamado

de grau de polimerização, podendo se tornar extremamente grande. Por exemplo, é

possível atingir 510N com o poliestireno. A fabricação de tais cadeias longas sem

erros numa seqüência de 510 operações representa um avanço significativo na

Química.

Nesse capítulo, o nosso objetivo é usar o método das escalas e dimensões de

Thompson (M.T) para estudar o processo de crescimento de uma cadeia de polímero,

atingindo um certo número N de monômeros depois de um longo tempo.

Assim, para representar esse crescimento, vamos propor um modelo baseado

em reações químicas; no entanto, devemos produzir o efeito de um crescimento

encadeado de partículas Á`, formando uma cadeia extensa ´B`, que continua

capturando Á`, através de uma reação do tipo BBA , até que ´B`(cadeia) perde

sua capacidade de se ligar com Á` e atinge um tamanho limite. Tendo atingido um

122

tamanho máximo, denominado Raio de Flory FR , o nosso primeiro propósito será a

obtenção do chamado “ expoente de Flory” Fv , tal que dvF

FNR ~ , sendo o expoente

de Flory dado em função da dimensionalidade d na qual a cadeia de polímero está

embebida. Depois, vamos obter o expoente de Fisher d , que caracteriza o grau de

decaimento da probabilidade de crescimento da cadeia no regime de tempo longo

xP exp~ . Por último, devemos obter de forma analítica o expoente de

crescimento dg , que fornece o grau de crescimento da probabilidade da cadeia

inicial capturar monômeros gxP ~ . Assim, iremos encontrar uma relação entre e

g , relacionando o final com o início do crescimento do polímero.

A 1ª seção desse capítulo será destinada ao estudo da flexibilidade de uma

cadeia de polímero, segundo a qual, a cadeia em crescimento fica caracterizada de

acordo com a escala L e o número de monômeros obtidos num dado momento, de

tal maneira que, no regime de tempo longo ( , xt ou L ), a cadeia

apresenta alta flexibilidade, ao contrário do micro-regime 0t quando a cadeia inicial

se comporta de forma rígida ou com baixa flexibilidade.

Na 2ª seção, vamos elaborar uma ação que represente o crescimento de uma

cadeia de partículas A (monômero), sendo que esse crescimento obedece à restrição

de que a partícula A não pode ocupar aquele sítio já ocupado durante o crescimetno

da cadeia (SAW= ´Self avoiding walking`). Para isto, vamos nos basear nas reações

químicas limitadas por difusão do tipo 0 BA , onde a segregação impõe uma

restrição interativa entre partículas. Assim, vamos pensar que o SAW apresenta uma

certa relação com o fenômeno da segregação quando passamos para uma escala de

comprimento recíproco PL no crescimento da cadeia, tal que tenhamos 1~ LLP .

Uma das motivações para estabelecermos tal relação reside no fato de que, tanto a

segregação ( 0 BA ) quanto a restrição do SAW BBA para a cadeia de

polímero apresentam o mesmo comportamento crítico para regime de campo médio,

que é, 4cd , sendo ´ cd ` a dimensão crítica superior de campo médio.

A 3ª seção se destina à aplicação do M.T na ação elaborada para o

crescimento da cadeia, tendo por objetivo extrair o expoente de Flory dvF . Também

123

iremos extrair um novo expoente dv , que é um análogo ao expoente crítico do

comprimento de correlação do modelo L.G.W, dado no inicio do crescimento do

polímero 0t quando o comprimento de correlação na escala recíproca P .

Vamos relacionar Fv (tempo longo) com v para tempo curto.

Na quarta seção, vamos obter o referido expoente de Fisher d , dado em

regime de tempos longos. Já, na 5ª seção, vamos estimar o expoente dg nos

instantes iniciais do crescimento, o que é uma novidade, pois representa uma função

analítica com a dimensionalidade d do sistema. Ainda nessa seção, vamos relacionar

g com , mediante uma função g de escala para expoentes, que permite ligar o

comportamento de micro-regime 0t com o de marcro-regime t . Portanto,

até onde observamos, trata-se de um resultado novo.

Na sexta seção, temos o apêndice do capítulo, onde faremos considerações

adicionais para o estudo da cadeia de polímero, de forma a mostrar a consistência

interna das nossas proposições.

4.1 Flexibilidade de uma cadeia.

Com base em de-Gennes [142], podemos estudar uma cadeia polimérica,

levando em conta as várias escalas de medida (tamanho), com as quais “enxergamos”

o crescimento da cadeia. Assim, seria importante analisar a chamada flexibilidade da

cadeia [142, 143], sob o ponto de vista do parâmetro de persistência de uma cadeia

[142]. Esse parâmetro de persistência é definido da seguinte forma:

T exp

P , (4.1)

sendo P o comprimento de persistência da cadeia; é o tamanho típico de um

monômero (da ordem de alguns angstrons); T é a temperatura do sistema

(monômeros em solução), no qual se forma a cadeia do polímero. representa a

diferença de energia de ativação entre dois mínimos de configuração “trans-gauche”

[142, 143, 144, 146], sendo 0 . Cada configuração no polímero é caracterizada

por um certo ângulo de torção (rotação) para um dado número de monômeros

124

(parcela da cadeia) que gira de tal ângulo em relação a um certo plano sobre o qual a

cadeia apresenta configuração trans, isto é, 0 .

A figura abaixo ilustra as possíveis configurações numa cadeia de polímero, em

função do ângulo o :

0

Cn-1

Cn-2

Cn-3

Cn

o

= 0 trans = 120º gauche (g+) = -120º gauche (g-)

Figura 7: Configurações passíveis numa cadeia de polímero, extraída da referência [138], p. 22.

Quando 0o , temos um mínimo de energia associado à configuração trans;

quando o

o 120 , temos um outro mínimo para a configuração gauche g ;

enquanto que para o

o 120 , temos o mínimo da configuração gauche g . Tais

mínimos se repetem de maneira periódica para 2n com 0 , e para n ,

com 0 , sendo n,3,2,1,0n . A figura abaixo nos mostra o gráfico da energia e

das configurações com dependência do ângulo o .

125

-180 -120 -60 0 60 120 180Angulo

Ene

gia

E

gauche

trans

gauche

Figura 8: Configurações de energia numa cadeia de polímero, em função do ângulo o .

Extraída da referência [138], p. 22.

A figura 8 ilustra a diferença de energia de ativação entre as configurações

“trans-gauche”. Essa diferença de energia aparece na equação (4.1), definindo o

comprimento de persistência p da cadeia; pois, por exemplo, se aumentasse,

então o sistema (cadeia) tornar-se-ia mais rígido ou persistente numa dada

configuração (trans), aumentando o comprimento de persistência para essa

configuração considerada. Na verdade, p depende da razão T/ , que gera uma

competição entre e a temperatura (T). Acontece que, sendo fixo, então o

aumento da agitação térmica (temperatura) contribui para reduzir o comprimento de

persistência entre duas configurações, aumentando a flexibilidade da cadeia; ou seja,

a cadeia e suas configurações giram (mudam) mais rapidamente. Assim, em virtude

disso, podemos pensar que o comprimento de persistência p representaria uma

espécie de passo de hélice de uma helicoidal (polímero). O aumento da temperatura

reduz o tamanho de p , enquanto que a diminuição da temperatura dilata o passo p .

De acordo com todo esse raciocínio, podemos definir um parâmetro que mede

o controle da flexibilidade global de uma cadeia, a saber:

TN

LP exp1

, (4.2)

126

sendo 1 0lNL

onde L é o comprimento total da cadeia; N é o número de

monômeros na cadeia; é uma grandeza adimensional, associada à flexibilidade.

Assim, baseando-se em (4.2), devemos observar que o comportamento flexível (alta

flexibilidade da cadeia) ocorre somente para pequeno.

Estamos interessados apenas na dependência do parâmetro de flexibilidade

com a escala LL , de tal maneira que, tendo por base a definição em (4.2),

vamos fixar a temperatura T constante, e também fixamos . Assim, teremos a

função CCT te )(constante /exp ; portanto vem que L , ou então,

Lff pp , sendo ‘ pf ’ a função que dá a flexibilidade global da cadeia de

tamanho L [142]. Logo, vamos escrever:

LN

C

L

CLf p

p

)( , (4.3)

sendo Cp .

Se 1 pfLC ; logo a cadeia apresenta grande flexibilidade na

escala L observada.

Agora, com base em (4.3), se quisermos obter um parâmetro de flexibilidade

variável pf para qualquer escala rolante em r , tal que Lr , de tal maneira que não

tomemos necessariamente a cadeia como um todo L, então vamos apenas definir um

parâmetro rf p , sendo função de uma variável livre r , dada ao longo de todo o arco

da cadeia Lr 0 , a saber:

rN

C

r

C

rrf p

p , (4.4)

sendo rN o número de monômeros associado a uma certa escala r escolhida na

cadeia NrN , na qual o grau de rigidez da cadeia assume outros valores, de

forma a se tornar cada vez mais rígida no limite de r pequeno, isto é, numa

microescala. Já, no caso de Lr (toda a cadeia), então vem que NLN ,

127

recaindo na relação (4.3), que dá a flexibilidade global da cadeia, isto é, a flexibilidade

numa macroescala, onde Lf p é pequeno.

Sendo 1/ NL , então, na verdade, estamos considerando aqui que

a , sendo que passa a ser um comprimento mínimo da cadeia, na ordem do

tamanho da unidade básica ‘a’, que é o tamanho do monômero. Logo, vamos escrever

(4.4) da seguinte forma:

rrN

C

r

Carf p

p

, (4.5)

sendo 1/ NLa .

Podemos introduzir uma função rarG / , sendo rG uma função de

correlação entre o 1º monômero (inicio da cadeia) e um outro qualquer localizado a

uma distância r ao longo do arco da cadeia. Assim sendo, vamos escrever (4.5) da

seguinte maneira:

rCGrf p , (4.6)

Com base em (4.6), podemos perceber que a função rf p , que mede o grau

de rigidez da cadeia numa certa escala r , está diretamente relacionada com a função

de correlação rG definida; portanto, quanto maior a correlação entre dois pontos ao

longo da cadeia, maior também será o grau de rigidez pf dada nessa escala r ao

longo do arco da cadeia. Em suma, dizemos que rf p é uma função de persistência,

sendo diretamente proporcional à função de correlação rG definida.

Analisando (4.5), concluímos que rf p é uma grandeza adimensional. O

nosso objetivo aqui é obter um comprimento (alcance) de correlação que esteja

diretamente relacionado com a função de persistência rf p . Como rf p é

adimensional, podemos definir um comprimento rp da seguinte forma:

r

a

r

Carafr p

pp

2

, (4.7)

128

sendo ‘ a ’ o tamanho da unidade básica (monômero), que tem um valor extremamente

pequeno. rp tem dimensão de comprimento e representa um alcance de

correlação (comprimento de rigidez) obtido a partir de uma escala r considerada para

medir a distância entre os dois monômeros ao longo do arco da cadeia, estando o 1º

monômero sempre na origem (semente) da cadeia. Quando r é pequeno, p

apresenta longo alcance (alta rigidez). Quando r é grande (macroescala), p

apresenta curto alcance, possibilitando uma alta flexibilidade ou baixa rigidez da

cadeia nessa escala. Assim, em virtude disso, vamos definir um volume dp em d-

dimensões, representando um dado volume de coerência na escala r para o nosso

problema. Logo, vamos escrever:

d

dp

d

d

dddpcoer r

a

r

aCrrV

2

. . (4.8)

No regime macro, temos 0coerV (cadeia flexível), enquanto que no regime

micro, temos coerV (cadeia altamente rígida). O regime macro se dá para tempos

longos (final do crescimento da cadeia), enquanto que o regime micro se dá para

tempos curtos (início do crescimento da cadeia), em que p .

4.2 Elaboração de uma ação que forneça as características do processo de crescimento de uma cadeia de polímero.

A elaboração de uma ação para crescimento de polímero requer alguns pré-

requisitos básicos mais algumas considerações adicionais, que serão fundamentadas

em argumentos heurísticos, tendo por base o princípio da física estatística de

polímeros e suas características básicas, já definidas na seção anterior.

Um pré-requisito fundamental na construção de uma ação para caracterizar o

polímero seria partir da equação para a reação química limitada por difusão do tipo

0 BA (com segregação), em que cd (dimensão crítica) 4 , o que será

argumentado de forma heurística.

Primeiramente, vamos apenas relembrar a equação de movimento para o caso

da reação química do tipo 0 BA , com segregação 4cd (veja seção 3.2):

129

.kht

2

L

2

(4.9)

Vamos estudar a equação (4.9) no caso estacionário 0t / e

unidimensional x . Assim, escrevemos a seguinte equação:

.0xkhdx

xd 2

L2

2

(4.10)

Devemos lembrar que o valor médio L

caracteriza efetivamente a

segregação [109], pois, no regime assintótico L , vem que 0L , levando

ao aumento da dimensão crítica para 4d [109].

Em regime assintótico (para tempo longo) de difusão, L , a equação

(4.10) pode ser aproximada por:

022

2

xkdx

xd . (4.11)

A função de concentração distribuída espacialmente em xx , sendo

solução de (4.11), fica dada da seguinte maneira:

2

6

kxx , (4.12)

sendo x um certo campo escalar. Para x , temos 0 x , desaparecendo

no infinito de maneira assintótica.

Ao analisarmos a solução (4.12), primeiramente observamos que neste

resultado já está implícito o fato de que a reação só ocorre quando há contato entre as

partículas. Então, podemos deduzir disso que, na interação apenas pela proximidade

das partículas, surge uma correlação (interação) praticamente infinita, e que pode ser

sempre relacionada a um comprimento p , de uma forma análoga ao que já foi

definido na seção anterior para polímeros. No entanto, pensemos que no caso das

reações, a questão essencial é que rp é sempre divergente (infinito), pois a reação

só ocorre para 0r (distância “nula” entre duas partículas), tendo em vista que

130

1 rrp . Com isso, podemos notar, com base em teoria de campo, que o campo

de distribuição x , que decai com uma certa potência da distância, comporta-se

como um campo não massivo (ausência de decaimento exponencial). No nosso caso,

vamos relacionar a massa de campo (m) com rp , sendo r a distância entre as

duas partículas interagentes; isto é, vamos escrever:

22-p

22p

2 rrrArmrm . (4.13)

Conforme a definição (4.13) para a massa, no caso das reações químicas, só

vai existir reação (interação) para 0r (contato), sendo p ; e portanto vem

0 mA (um análogo de campo sem massa).

Procuraremos agora introduzir a idéia de um campo de massa variável (rolante)

m r m r 0 r 0 para , dado numa nova equação de movimento, onde não

tenhamos mais simplesmente interações k por contato 0m , como é o caso da

equação particular (4.11). Tal consideração implicaria numa nova interpretação física a

ser discutida mais adiante.

De um ponto de vista semi-qualitativo, poderíamos pensar que a presença

dessa variável ‘ rrm p22 ’ no sistema introduziria a seguinte modificação para o

campo de distribuição x , a saber:

Axx ex

ex

x p 2

/

2

11 , (4.14)

sendo -1p mA . Logo, quando fazemos 0 Am (campo sem massa), temos

p . Como já sabemos que 1p

r , então 0r quando p , significando

simplesmente uma interação de contato, que é o caso mais simples para reações

químicas, pois a função (4.14) no limite p recai na solução (4.12).

Quando 0m , sendo variável 22 rrm , temos que 0 p para r

grande, ou que a massa m . Assim, neste limite de massa grande ( 0 p ), o

131

campo de distribuição cairia muito rapidamente a zero, levando à predominância do

termo ou função de decaimento exponencial em (4.14), isto é,

mxAxx eeex p / . (4.15)

Sendo um novo campo de distribuição em (4.14) e (4.15), então agora

vamos chamá-lo de , já que não se trata mais de uma concentração num processo

difusivo. Por outro lado, vamos considerar que o campo seja distribuído numa linha

que liga as duas partículas em interação; portanto, temos r , sendo r uma

certa distância na linha medida entre as duas partículas consideradas. Com isso,

vamos definir da forma:

mrr er

er

r p 2

/

2

11 . (4.16)

Queremos enfatizar aqui que a linha sobre a qual r é medido não precisa ser

necessariamente uma linha reta. Então, em virtude disso, podemos pensar que r seja

o tamanho de um certo arco de cadeia que liga duas partículas (Ex: dois monômeros)

correlacionadas, estando uma delas na origem do sistema 0r . Assim, se

pensamos que rCa / 2p , conforme já foi definido para polímeros na seção anterior;

logo (4.16) ficaria escrito da seguinte forma:

22 /2

1 Carer

r . (4.17)

Na verdade, poderíamos interpretar (4.16) ou (4.17) como um campo de

correlação dado num ponto r da cadeia em relação a sua origem 0r , onde se

encontra o monômero semente (inicial). Quando aCr , a cadeia torna-se flexível

nessa escala, pois o campo de correlação r cai exponencialmente a zero. Quando

aCr , temos escalas r nas quais a cadeia torna-se mais rígida, sendo

2r 1 r/ (decaimento algébrico).

O fator p/re ou

22 Ca/re introduz massa no campo r , de tal forma que este

passa a ter um alcance finito em r , justificando o fato de que a cadeia em crescimento

132

terá um limite máximo de comprimento de arco Lrmáx . Daí a necessidade do fator

de decaimento exponencial, que estaria associado a um termo de massa do tipo

“

2

22 1

rp

rrArrm

” para ser introduzido na equação diferencial

(4.11), fazendo e rx . Logo, vamos pensar na seguinte equação diferencial:

022

2

2

rBrrAdr

rd, (4.18)

sendo kB (taxa de “reação” ou interação); 42

2222

aC

rrrmrA p

(parâmetro de massa variável (rolante) na escala r , que é a distância ao longo do

arco da cadeia, separando o 1º monômero de um n-ésimo monômero escolhido na

outra ponta da cadeia em crescimento.

Também, vamos escrever (4.18), explicitando 2rm , a saber:

0242

2

2

2

rBraC

r

dr

rd. (4.19)

No limite em que r é pequeno, o que corresponde a tempos pequenos ou

início do crescimento da cadeia de partículas interligadas (monômeros), o termo de

massa desaparece, enquanto o termo local de contato ou reação 2B predomina.

Assim, vem:

022

2

rBdr

rd, (4.20)

cuja solução já é conhecida das reações químicas, i. é,

2

6

Brr . (4.21)

No limite para r grande (tempos longos) ou final de crescimento da cadeia, o

parâmetro de massa ‘ 4222 / aCrm ’ torna-se muito grande, predominando sobre o

parâmetro de interação B , ou seja, BrA para r (grande). Daí concluímos

133

que ocorre a predominância de um parâmetro não-local rm , pois não se trata mais

de uma interação por contato. Logo, percebemos que é a não-localidade do termo de

massa (parâmetro rmrA ) que fornece a condição necessária para o

crescimento de uma certa cadeia extensa. No final do crescimento da cadeia ( r

grande), a equação (4.19) aproxima-se para:

042

2

2

2

raC

r

dr

rd, (4.22)

cuja solução é da seguinte forma:

rrCar peer // 22 , (4.23)

sendo r

Carp

2

.

De fato, verificamos que a equação (4.19) contém as duas soluções (4.21) e

(4.23) no limite de r pequeno e grande respectivamente. Como o nosso objetivo será

o estudo da cadeia apenas em condições iniciais e finais, então, as aproximações que

fizemos em (4.19) já são suficientes para aquilo que propomos, que é a obtenção dos

expoentes de crescimento g [142] para o início da cadeia, e de Fisher [142]

para o decaimento de probabilidade em tempos grandes (parte final da cadeia),

incluindo também a obtenção do expoente de Flory F [142].

Sabemos que o termo de massa fornece a condição necessária para

crescimento, devido ao seu aspecto não-local das interações. Assim, quando

pensamos numa ação para esse termo de massa, obtemos o seguinte termo de ação:

rr

rrmrrAFp

m2

22222 1

2

1

2

1

2

1

. (4.24)

Agora, o nosso objetivo será expressar (4.24) numa outra forma equivalente,

que nos será mais útil quando pensamos na cadeia de polímero. Para isso, é

importante sabermos que o tamanho de uma cadeia de polímero é normalmente dado

134

por uma distância FR medida sobre um certo eixo no espaço euclidiano em d-

dimensões, de onde se obtém um hipercubo de volume dFR que contenha a própria

cadeia. FR é uma distância denominada raio de Flory [142], usado para medir o

tamanho máximo alcançado por uma cadeia de polímero em crescimento. Veja figura

abaixo (em 3D):

y z

x

R CR

RF

Br

A

Figura 9: Esboço de uma cadeia de polímero embebida num volume 3-D.

Na Figura 9, observamos o seguinte:

LAB

(arco

AB ou tamanho total da cadeia ao longo deste arco);

rAC

(arco

AC ou tamanho parcial variável da cadeia).Temos que

Lr 0 . Quando o ponto BC , então Lr , quando AC , então 0r (aqui,

consideramos 0a ; i. é, o tamanho de cada monômero fica desprezível na prática);

FRAB (distância AB ao longo do eixo x, que é o raio de Flory [142];

135

RAC (distância AC ao longo de x, que é um tamanho ou segmento

parcial variável). Temos que FRR0 . Se FRRBC ; se

0RAC . Observamos também o segmento RCB ; assim podemos

escrever: CBABAC , ou então, RRR F , sendo R um tamanho variável

subtraído da cadeia total FR para obtermos R , que é apenas um pedaço

(segmento) variável da cadeia em crescimento. Em outras palavras, dizemos que R é

o tamanho em x que falta para a cadeia se tornar completa.

Vamos tomar o volume dR como sendo o volume de um hipercubo

d-dimensional que contenha uma parcela da cadeia em crescimento. Assim, vamos

escrever que dF

d RRR . Na figura 9, temos 3d , sendo 33 RRR F ,

onde ‘ 33 ACR ’ é o volume de um cubo variável, contendo uma parcela da

cadeia em crescimento. No início do crescimento da cadeia (t muito pequeno), temos

0 dR , o que implica em FRR ; ou seja, o raio subtraído da cadeia total é o

próprio raio de Flory. No final do crescimento da cadeia (tempos longos), temos

dF

d RR (volume de Flory), o que implica em 0R ; isto é, o raio subtraído da

cadeia total é praticamente nulo, tendo a cadeia alcançado o seu tamanho máximo.

Como o parâmetro ‘ dF RR ’ define também o crescimento da cadeia na

variável R ao longo do eixo cartesiano, então também podemos usá-lo como uma

outra forma de expressarmos o parâmetro de massa 2p ; isto é, vamos escrever

ddF

p

RRR 2

1

. (4.25)

136

Embora p seja uma função de r (ao longo do arco da cadeia) conforme já foi

definido, p está indiretamente associado a R ou R , já que r e R estão

relacionados de certa forma entre si. Isto acontece pois, quando 0R , o volume

que envolve a cadeia também tende a ser nulo, e conseqüentemente o comprimento

de arco r da cadeia tende a ser nulo. À medida que a cadeia vai crescendo, tanto r

quanto R crescem. No limite em que FRR (tempos longos) er L , o

comprimento de correlação ao longo da cadeia torna-se muito pequeno 0p , e

portanto a cadeia torna-se flexível (regime macro).

Vamos lembrar que no modelo L.G.W [8], tínhamos a seguinte relação entre o

comprimento de correlação e o parâmetro de “massa” variável, que era o

sintonizador da transição de fase em 2ª ordem no sistema, a saber:

cTT 2

1, (4.26)

sendo T a temperatura da rede de spins.

Na verdade, queremos estabelecer uma certa analogia entre (4.25) e (4.26).

Devemos lembrar que (4.26) foi obtido pela aplicação do M.T no 2º termo (termo de

massa = xM 2Lr 2

1 ) na hamiltoniana L.G.W [8], de onde se estabelece a transição

de fase (ponto crítico) do sistema. No ponto crítico cTT , tínhamos 0 ,

o que nos leva a um campo sem massa devido ao alcance infinito das correlações.

Nesse modelo de Landau, tínhamos duas fases:

i) cTT (fase desmagnetizada ou com parâmetro de ordem 0M );

ii) cTT (fase magnetizada ou com parâmetro de ordem não-nulo M .

Tanto a fase magnetizada (ii) quanto a não-magnetizada (i) apresentam alcance finito

de correlação, i. é, , sendo om ou 0 (campo com massa).

Já, em (4.25), poderíamos pensar analogamente num “ponto crítico” (momento

crítico ou instante inicial de crescimento), onde FRR , sendo pdR 0 .

Com base nessa analogia, percebemos que o parâmetro de massa para crescimento

137

dR , ou o volume do hipercubo para a cadeia em crescimento seria o próprio

“parâmetro de sintonia” ‘ ’ para (4.25) (polímero), o que vamos chamar de

dp R . Logo, vamos escrever:

pp

2

1. (4.27)

Também, de uma forma análoga ao modelo L.G.W, onde podemos estar num

regime fora do regime de campo médio, introduzimos um coeficiente variável (função)

pr na proporcionalidade (4.27), isto é,

ppp

r

~1

2, (4.28)

sendo tep Cr (constante) no regime de campo médio cdd .

Finalmente, de (4.28) e (4.24), podemos escrever o termo de massa para

crescimento (não-local) na ação, da seguinte forma:

rLrF ppm2

2

1 , (4.29)

sendo dFpp RRL p e ,

e

.Lr~m pp2

Alternativamente à equação (4.18) ou (4.19), vamos escrever a seguinte

equação:

022

2

rLurLrdr

rdppp , (4.30)

sendo pLuB . Em regime de campo médio, tep CLu e te

p CLr ; portanto,

como a equação (4.30) já inclui de forma explícita coeficientes que dependem de pL ,

138

ela naturalmente apresenta possibilidade de incluir regime fora do campo médio,

abaixo de uma dimensão crítica superior cd .

Algumas analogias entre polímeros e fenômenos críticos (modelo L.G.W) já

foram considerada na literatura. Primeiramente, vamos citar o trabalho de Raposo,

Oliveira, Nemirovsky e Coutinho-Filho [147], onde se estabelece a seguinte analogia:

c1 T-T pN [147], (4.31)

sendo pN o número de monômeros na cadeia em crescimento.

Nesse caso, quando críticopontoTT c 0 , então pN (regime

macro), em analogia com polímeros. Logo, concluímos que, no trabalho [147], o

número de monômeros, que é proporcional ao tamanho da cadeia, faz o papel de um

“comprimento de correlação ” para polímeros. Assim sendo, nesse caso [147], o

“ponto crítico” na cadeia de polímero seria o momento em que a cadeia se completa,

alcançando o seu tamanho máximo macro regimegrande . Logo, teríamos

FR (raio de Flory) nas proximidades de tal “ponto crítico” 0 , que ocorreria

para tempos longos, com base nessa analogia [147].

No nosso caso, conforme já definido em (4.27), a analogia já é outra, porém é

complementar ao trabalho [147]; isto é, temos um análogo de “ponto crítico”

0 p , que ocorreria para p ou 0pN , já que 11 pp Nr ; o que

significa tempos muito curtos ou início de crescimento da cadeia, quando ainda temos

poucos monômeros (N pequeno).

A vantagem dessa construção (relação 4.27) reside no fato de que podemos

estudar o sistema em duas “fases estruturais”. Podemos pensar numa “fase”

puramente desordenada (difusiva) de monômeros, antes do momento inicial que

ordena o crescimento da cadeia; depois a “fase” ordenada de crescimento, que se

inicia no “ponto crítico” ou momento crítico p , quando um dado monômero

semente torna-se o foco ou o ponto de partida para o crescimento.

Tendo estabelecido essa analogia parcial dos polímeros com os fenômenos

críticos, precisamos agora completar o quadro definindo um análogo do parâmetro de

139

ordem para polímeros, que seja compatível ou caracterize as duas “fases estruturais”

que procuramos introduzir na física de crescimento de polímeros. De imediato,

concluímos que o parâmetro de ordem procurado está diretamente relacionado com

um certo número rN p de monômeros ligados em cadeia. Assim sendo, faremos a

seguinte definição:

rN p

adesordenadouocrescimentsemfase

ocrescimentdefasetrn p

"" 0t0r 0

"" 00 (4.32)

É importante lembrar que, no modelo L.G.W, o parâmetro de ordem xM

aparece explicitamente na hamiltoniana L.G.W [8], atuando também como o próprio

campo escalar na hamiltoniana; ou seja, o campo de distribuição xM

(magnetização) é o próprio parâmetro de ordem do modelo. No entanto, o campo de

distribuição r que aparece na equação (4.18) ou (4.19) ou (4.30) ainda não

contém nenhuma informação explícita do “parâmetro de ordem” para polímeros, que

foi definido em (4.32); pois r é apenas interpretado como um certo campo de

correlação ao longo do arco da cadeia.

Portanto, o nosso próximo passo será a elaboração de um novo campo rp

que também inclua a informação essencial do “parâmetro de ordem” definido em

(4.32), preservando as informações já obtidas para o do campo r .Para fazermos

isso, devemos procurar por uma certa implementação na equação (4.18), de tal forma

que sua nova solução pp nr, passe a carregar a informação do “parâmetro de

ordem” pn , que é o parâmetro que mede diretamente o crescimento da cadeia.

Então, se estamos em regime macro Nnp , e queremos incluir a presença

do parâmetro N no termo não-local ‘ 2A ’ da equação (4.22), vamos pensar na

seguinte transformação por translação em , dada para o termo de massa, tal que

tenhamos P N na equação

, sendo rNpp , . Assim sendo, a

equação (4.22) fica modificada para:

0,,

22

2

NrNAdr

rNdp

p, (4.33)

140

sendo 24222 /1/ paCrA .

A solução de (4.33) será da forma

prp eNrN /1, , (4.34)

para regime de tempos longos, quando a cadeia está quase completa, i. é, Lr .

Então, quando fizermos pLr em (4.34), encontramos que NLNp , , que

é o número total de monômeros na cadeia, representando o máximo valor do

“parâmetro de ordem” no crescimento.

Finalmente, vamos escrever uma equação diferencial, de forma a incluir

também o termo de interação ou “reação”.Assim, temos a equação geral abaixo:

0,,,

222

2

rnBnrnAdr

rndppppp

pp, (4.35)

ou simplesmente, escrevemos:

0nABAdr

dp

22pp

22

p2

(4.36)

sendo Nnp 0 .

Como o nosso objetivo se restringe apenas à aplicação do M.T numa ação que

descreva o crescimento de polímeros a partir da equação (4.36), então não

precisamos obter uma solução rnp exata para (4.36). Aqui, vamos enfatizar que

devemos apenas nos restringir em obter para dois casos limites:

a): início do crescimento da cadeia 0pn ;

b): regime próximo ao final do crescimento do polímero Nnp .

Nosso próximo passo será a busca de um novo termo que seja equivalente ao

termo de crescimento 'nA' p2 na equação (4.36), e que seja dependente de p .

Assim sendo, a equação (4.36) apresentaria a seguinte forma equivalente:

141

0222

2

ppppp HFBA

dr

d (4.37)

onde p2

pp nAHF , sendo H uma constante. ppF é uma certa função de p .

Para obtermos ppF que esteja em pé-de-igualdade com pn , representando

também o crescimento da cadeia, então, vamos retornar ao início dessa seção

(equação 4.10), onde encontramos o termo ‘L

h ’ na equação de movimento para

reações 0 BA em regime estacionário.

Acontece que, quando aplicamos o M.T nesse termo da ação, para reações

0 BA [109], tínhamos obtido que 2/~ d

LL [109], significando que, para

tempos muito longos Lt , , a concentração média 0L

. Em virtude

disto, o nosso interesse era estudar a equação (4.10) para reações em regime

assintótico L , o que nos levou à equação (4.11). A partir daí, procuramos, de

uma maneira heurística, ampliar a solução de (4.11), de forma a incorporar outros

ingredientes, até chegar numa equação diferencial que expresse pelo menos em parte

o crescimento de uma cadeia de polímero, apresentando não-localidade nas

interações, e inclusive o parâmetro Nnp em regime assintótico na cadeia

recíproco espaço num 0Lou L p . Assim, devemos perceber que o regime

assintótico para polímeros é dado numa escala recíproca 1p L~L , comportando-se

de maneira inversa ao regime assintótico para reações; i. é, NrNnpp ,

(grande) para t , enquanto que 0 x para tempos longos t nas

reações. Em vista disto, o mesmo comportamento inverso deve ocorrer para o termo

de segregação ‘L

h ’, quando o valor médio passa a ser obtido numa escala

inversa (recíproca) 1~ LLp . Fazendo tal inversão de escala, vamos escrever as

seguintes transformações:

1p L~LL ;

p ;

142

p1 LpLpL

,

sendo 2/2/1~1

dd

Lp LL

; ou então, escrevemos 2/~ dpLp L

p

.

Com isso, teremos a seguinte transformação para uma espécie de espaço

recíproco: pLp

para

Lhh . Em regime assintótico (tempos longos), ‘

Lh ’

desaparece, enquanto que ‘pLph ’ torna-se muito grande. Embora ‘

pLph ’

mantenha a mesma forma do termo de segregação ‘L

h ’ [109] para reações do tipo

0 BA [109], pLph , por estar num espaço recíproco, representaria um

crescimento, dado através do encadeamento de pn monômeros com o passar do

tempo.

O crescimento de polímero não se estabelece por um ‘Random Walk’ (RW) de

N passos. Na verdade, trata-se de um crescimento através de uma caminhada com

memória, isto é, um ‘Self avoiding Walking’ (SAW) [147, 148, 149, 150]. No SAW, a

partícula não pode mais visitar aquele sítio anterior que ela já visitou; por isto, ela

apresenta memória, gerando vínculo para seu movimento, e portanto um volume

excluído [151].

Os polímeros pertencem à classe de universalidade dos ‘SAWs’ 4cd [152];

e isso sugeriu o uso de métodos de renormalização e de teoria de campos para

estudar o problema do volume excluído [152]. Um polímero em crescimento é

caracterizado pelo SAW, pois, cada sítio já sendo ocupado, não poderá ser ocupado

novamente pela partícula, restringindo seu movimento. Em outras palavras, quando

um dado monômero (A) entra na cadeia (B), ele passa a ocupar um espaço, onde não

se permite mais a entrada de outro monômero. Isto significa que o monômero A só

entra ou se liga na ponta final da cadeia B. É como se fosse uma “reação” do tipo

BBA , sendo B sempre uma cadeia linear resultante de pn monômeros A, isto é,

AnB p .

É importante notar que essa interação (ligação) de A (monômero) + B (cadeia)

B (cadeia), embora seja não-local, pelo fato de B apresentar extensão (cadeia,

143

corda), se comporta de maneira similar à segregação na reação 0 BA , no

sentido de que A só interage com B, não podendo haver interação de A com A e nem

se quer de B com B. De fato, no caso BBA , o monômero livre no espaço (A) só

pode ser capturado pela cadeia (B) em formação, não sendo possível a interação de

dois monômeros livres (A com A) e nem se quer da cadeia (B) com ela mesma (B com

B). Agora, começamos a perceber que a impossibilidade de haver a interação B com B

significa a impossibilidade da cadeia (ponta da cadeia) “morder” a si mesma. Logo, do

ponto de vista da caminhada, tal impossibilidade (restrição) cria uma memória no

processo de crescimento, portanto corresponde ao SAW.

Concluímos que, enquanto o termo ‘L

h ’ introduz segregação [109] para

caracterizar a reação 0 BA , com dimensão crítica superior 4cd , o termo

‘pLph ’, embora esteja associado a um certo crescimento no espaço recíproco,

introduz também restrições um tanto similares à segregação, mas que, estando na

escala recíproca 1~ LLp , se transforma numa reação de crescimento do tipo

BBA (cadeia), regido agora por uma nova restrição do tipo SAW. E de fato,

sabe-se que o SAW apresenta 4cd [147], [153], pois, para altas dimensionalidades

4d , os RWs e os SAWs tornam-se indistinguíveis [147], já que a memória no

SAW vai enfraquecendo com aumento da dimensionalidade (regime tipo campo médio

para 4d ). O mesmo acontece para 0 BA quando 4d , pois o aumento da

dimensionalidade enfraquece (quebra) a segregação. Logo, concluímos que a

restrição do SAW 4dc ocorre numa escala recíproca ao da restrição para a

segregação 4dc .

O fato de que o SAW apresente 4cd permite que tomemos emprestado das

reações 0 BA o termo da forma ‘L

h ’ ( 4cd ) [109], porém representado num

espaço recíproco(pLph ), tal que caracterize o crescimento da cadeia BBA .

Como ‘pLp ’ caracteriza o crescimento da cadeia, ele está diretamente

ligado ao “parâmetro de ordem” pn de crescimento. Assim, vamos pensar que

144

ppLppPara

p2 HFhnA , sendo Hh (constante) e

pLpppF , que

é a função de crescimento (SAW) procurada para a equação (4.37). Logo, finalmente,

fazendo esta substituição em (4.37), obtemos a seguinte equação equivalente para o

crescimento da cadeia:

0222

2

pLpppp hBA

dr

d. (4.38)

Sabemos que pp LrA 2 e pLuB , sendo ppL ; logo, escrevemos

que

022

2

pLppppppp hLuLr

dr

d . (4.39)

Finalmente, a integral de ação obtida para a equação (4.39) no volume

recíproco é a seguinte:

dpL pLpp

3pp

2ppp

2ppp

dLp hLu

3

1Lr

2

1

2

1rdF , (4.40)

onde r/CarrL;RR 2pp

dFp , sendo p

dp

dp VL (volume de

coerência para o nosso modelo), e ppd dVrd .

4.3 O M.T aplicado na ação obtida para crescimento de cadeias de polímeros.

Nessa seção, vamos aplicar o M.T na ação que elaboramos na seção anterior

para descrever o crescimento de polímeros. Assim, vamos reescrever a ação da

seguinte forma:

pV

pLpp3pp

2ppp

2ppp hLu

3

1Lr

2

1

2

1dVF , (4.41)

145

sendo dFP

dPp RR;LV , que é o parâmetro de sintonia do modelo. FR é o raio

de Flory [142], e R é o raio variável (rolante) subtraído do raio de Flory.

Aplicando a 1ª prescrição do M.T em cada termo de F , vem:

1º termo: dpL

p2

pp .1~dV (4.42)

Sabendo que 22p

1

L2

Lp

2p L~L

, então, como a nossa análise

dimensional é dada na escala recíproca pL , de (4.42), obtemos que

dpLp

dpLpp LLL

pp

2222 ~1~ . (4.43)

2º termo: dpL

p2ppp 1~dVLr . (4.44)

De (4.44), vem:

1~2 dpLppp LLr

p

. (4.45)


1~2ppp LLr ,

ou

1~r 2ppp . (4.46)

De (4.46), vem: 222 ~ mAr ppp , que é exatamente o coeficiente do

termo de massa (não-local), que aparece na equação (4.38) ou (4.39). Também,

podemos escrever que 2/1p

2/1pp r~ .

3º termo: dpL

p3pp 1~dVLu . (4.47)

146

De (4.47), vem:

1~3 dpLpp LLu

p

. (4.48)

Em analogia com as reações químicas, vamos escrever: ppp 23 .

Este desacoplamento já foi justificado [109] pelo fato das interações (entre A e B)

serem da forma bilinear.

Com base no desacoplamento já justificado [109], vamos escrever (4.48) da

seguinte forma:

1~2 dpLpLpp LLu

pp

. (4.49)

De (4.43), já sabemos que dpLp L

p

22 ~ ; mas ainda não sabemos pLp ,

que pode ser obtido quando aplicamos a 1ª prescrição do M.T no 4º termo da ação

(4.41).

4º termo:

dp

pL

ppLp 1~dVh . (4.50)

Fazendo 1h por conveniência, de (4.50), obtemos

2/2~1~ d

pLpdpLp LL

pp

. (4.51)

Introduzindo (4.43) e (4.51) em (4.49), vem:

2/422/ ~1~ dppp

dpp LLuLLLu . (4.52)

Considerando a 2ª prescrição de Thompson (condição para campo médio) em

(4.52), devemos ter teC~Lu p para 4d , sendo 4dc nesse modelo. Assim, com

base na 2ª prescrição do M.T, vamos escrever:

4d 1

4d L~Lu

2/4dp

p . (4.53)

147

De (4.46), obtemos 2/1p

2/1pp r~ . Então, se definimos 2/1

pFp r ,

podemos escrever 2/1pFpp ~ . Na verdade, iremos mostrar que Fp apresenta

dependência com a dimensionalidade (d) do sistema. A presença de flutuações (SAW)

existirá somente em regime fora do campo médio 4d ; sendo que, no caso do

regime clássico de campo médio 4d , teremos teC~Fp , de tal forma que

2/1p teC~ para 4d , ou seja, esse é o caso de uma cadeia ideal 4d [142].

Sabe-se que esse regime clássico é descrito pela distribuição gaussiana

[142,147], pois o regime clássico é gaussiano. Do ponto de vista do G.R, dizemos que

tal regime é regido pelo ponto fixo gaussiano [147], pois pertence à classe de

universalidade dos modelos gaussianos [147] 2/1 .

4.3.1 Flutuação f na ação para polímeros.

Sabemos do capítulo 1 (seção 1.2), onde tratamos de fenômenos críticos

(modelo L.G.W) pela aplicação do M.T [8], que a 3ª prescrição do M.T dizia que

1~f dL , sendo f uma flutuação na densidade de energia livre, enquanto L estaria

associado ao alcance das flutuações, que está relacionado com o comprimento de

correlação e com a dimensionalidade (d) do sistema.

Aqui, no caso de polímeros, embora a situação física seja outra, o

escalonamento para a 3ª prescrição do M.T mantém a mesma forma; isto é, vamos

escrever que

2/dp

dFp

dFp r~~fou ,1~f

. (4.54)

‘ f ’ representa a flutuação da ação F, elaborada para o crescimento de uma

cadeia linear de polímero. Assim, ‘ f ’ representa flutuações na energia livre durante o

crescimento da cadeia. Fp vai depender diretamente de p e da dimensionalidade (d)

do sistema, no qual a cadeia está embebida.

Para podermos interpretar (4.54), vamos fazer as seguintes considerações:

148

Se 0fFpp ; ou seja, não há custo em energia para

aumentar o alcance p e Fp , pois p praticamente já diverge, significando que as

interações são fortes (início do crescimento da cadeia); e portanto qualquer monômero

no espaço circundante, num raio infinito p em relação à origem ou semente,

tem grande probabilidade de ser capturado ou se ligar ao monômero inicial (semente).

Como tal probabilidade é grande, temos um curto período de rápido crescimento da

cadeia, pois com o passar do tempo, essa probabilidade vai caindo.

Se f00 Fpp . Devido às intensas flutuações na densidade

de energia livre (ação), o alcance das correlações vai a zero (regime de alta

flexibilidade da cadeia), significando fracas interações entre o monômero semente e os

últimos que entram na cadeia (final do crescimento da cadeia). Portanto, também

podemos dizer que, somente monômeros no espaço circundante numa distância

praticamente nula 0p a partir da ponta final (B) da cadeia teriam probabilidade

grande de serem capturados; ou em outras palavras, a probabilidade de um

monômero mais distante ser capturado pela ponta final (B) da cadeia fica praticamente

nula quando 0p (regime macro). Por isso, a cadeia tende a parar de crescer,

alcançando um tamanho limite.

De forma análoga ao que foi feito no modelo L.G.W [8], consideramos aqui a

seguinte relação:

1~fLu

LrF

p

p . (4.55)

A relação (4.55) é válida desde que tenhamos

Vp

pLpp2ppppppppppp hLr

3

1Lr

2

1

2

1dVf (4.56)

149

Assim, para que (4.56) satisfaça (4.55), devemos ter p

p

pp Lu

Lr ,onde

definimos

p

p

p

pFp u

r

Lu

Lr

. Logo, podemos escrever que FPpp / , que é o

análogo para o caso ‘ 222 / LMMm ’ do modelo L.G.W [8], onde m representa uma

flutuação na densidade de magnetização, conforme a definição de Thompson [8].

Portanto, p representaria uma flutuação do campo p , que é responsável pela

flutuação na ação ( f ), tal que pff . Substituindo (4.54) em (4.55) e dado (4.53),

obtemos:

.4d 1

;4d L~Lr2d

4d

pp (4.57).

Sendo ppL , então, finalmente,substituindo (4.57) em (4.46), obtemos

1~.~r 2p

2d/4dpp

2ppp ,

de onde tiramos que

d3/2dpp ~ . (4.58)

Dado que dFp RR , então, substituindo em (4.58), vem que

3/2dFp RR~ . (4.59)

Já sabemos que pp ~ , e que, ao ser comparado com (4.58) fornece

dd 3/2 , sendo um análogo para o expoente crítico do comprimento de

correlação. Isso acontece para o regime micro ou início do crescimento da cadeia,

150

quando FRR (“ponto crítico”), e conseqüentemente p , com expoente

d

dd

3

2 . Se 2/14 d , que é o expoente clássico já esperado.

De (4.59), podemos obter um outro expoente, dado no regime macro da cadeia

ou final do crescimento do polímero. Trata-se portanto do expoente F ou expoente

de Flory [142], [147]. Mas, antes disso, vamos lembrar que p1

p1

p nrnr ,

sendo pn (“parâmetro de ordem”) o número de monômeros para um dado arco r da

cadeia. Quando NnLrr p.max , que é o número total de monômeros na

cadeia em regime macro. Assim, podemos escrever (4.59) da seguinte maneira:

3/2dF

1pp RR~n~ , (4.60)

ou então,

3/2~ dFp RRn . (4.60a)

No regime macro, temos que 0R e Nn p .Assim, aplicando esta condição

limite em (4.60a), finalmente obtemos:

2/3~ dF NR . (4.61)

Sendo FNRF~ [142], então obtemos 2/3 dF , que é exatamente o

expoente de Flory [147] [142].

Para 4d , devemos obter 2/1F (campo médio, cadeia ideal). Logo,

vamos escrever que;

.4 ,2/1

;41 ,2/3

d

ddF (4.62)

Analisando (4.62), observamos que, para 1d , o SAW é rígido (memória

infinita), sendo que 1F . Obviamente, observamos que F decresce enquanto a

dimensionalidade (d) do sistema cresce, já que o vínculo (memória) do SAW torna-se

151

menos relevante. Então, é de se esperar que, em altas dimensionalidades ( 4d ), o

SAW e o RW não podem ser distinguidos.

Os resultados que obtivemos em (4.62) são exatos para 2,1d e para 4d .

No entanto, para 6,03 Fd , temos um resultado muito próximo aos melhores

resultados do G.R em 3d [147] [154], e aos resultados provenientes de outras

técnicas [154], inclusive técnicas numéricas [155,156].

A maior novidade obtida até agora com a aplicação do M.T em polímeros foi a

obtenção de um expoente “crítico” de comprimento de correlação , dado em regime

micro (início do crescimento da cadeia). E o mais interessante ainda é que podemos

relacionar (regime micro) com F (regime macro ou final do crescimento da

cadeia). Assim, com base em (4.58) e (4.61), obtemos a seguinte relação entre

expoentes:

1 dvF , (4.63)

onde ddv 3/2 .

4.4 Obtenção do expoente de Fisher .

Antes de procurarmos obter o expoente de Fisher , vamos definir seu

significado com base na literatura [142]. Para isso, devemos ter em mente a função de

distribuição de probabilidade xP [142] ou tP [142] para o crescimento da cadeia

de polímero, sendo tx , que é o tempo medido durante o crescimento da cadeia, tal

que pnt .

O comportamento típico da probabilidade xP é mostrado na figura 10:

152

P(x)

gx

exp x

x0

Figura 10: Gráfico da probabilidade de crescimento xP com o tempo x~t numa

cadeia de polímero. Extraída da referência [142], p. 40.

Observamos na figura acima que, para tempos grandes, a probabilidade

xxP exp~ . Este decaimento exponencial vem do fato de que a cadeia começa

a perder a capacidade de atrair monômeros da solução, pois 0p nesse regime. O

expoente de Fisher nos dá exatamente a maneira (a rapidez) com que a função

exponencial para a probabilidade cai para tempos longos. Já, o expoente g para

tempos curtos, que é o chamado expoente de crescimento da probabilidade de

absorver monômeros, será obtido na próxima seção.

Para tempos longos, tínhamos obtido uma aproximação dada pela equação

diferencial (4.22), cuja solução era um campo de correlação p/re~r . Então,

podemos pensar que essa função de decaimento exponencial mede também a

probabilidade da cadeia absorver monômeros para x . Logo, podemos escrever

que

px rxxP /exp~explim , (4.64)

sendo tx . Na verdade, x representa uma grandeza adimensional, que é definida

da seguinte forma:

153

FR

rx

' , onde 'r representa uma distância ou módulo de um vetor posição

''' rrr , que dá a posição de um ésimon p monômero na cadeia em relação a

sua origem. Portanto, 'r não é medido ao longo do arco r da cadeia rr ' , embora

r e 'r estejam relacionados. FR pode ser entendido como uma raiz de um desvio

médio quadrático, i. é, FF tNrRF ~~'

2/12 , obtido para tempos longos [142].

Tendo em vista que FRrx /' , vamos escrever que

pF

r

R

'r

ee

, (4.65)

onde consideramos a equivalência entre essas duas funções para tempos muito

longos. Acontece que, para tempos muitos longos, sendo a cadeia muito grande,

porém finita; então devemos considerar um valor mínimo muito pequeno (não-nulo)

para .minPp quando t . Logo, sabendo que 1ppn , então, teremos

1.max ~ PmiP Nn no limite t . Com isso, vamos reescrever (4.65) da seguinte

maneira:

0e~ee minPF /rNrR

'r

, (4.66)

onde nos fornece o grau de rapidez do decaimento da probabilidade da cadeia

capturar monômeros em tempos longos. A relação (4.66) será o nosso ponto de

partida para estimarmos o expoente ; no entanto, ela é ainda insuficiente para tal

estimativa. Portanto, precisamos de mais uma informação, que será obtida a partir de

FR , sendo FvF NR ~ . Assim, multiplicando ambos os membros deste escalonamento

por minP , obtemos o seguinte:

1vv1vminPFminP

FFF NNN~N~R . (4.67)

De (4.67), obtemos que

154

Fv1

1

FminP R

1~N

. (4.68)


1F1

F P F

r 1

R Rmin

'exp. exp.

(4.69)

A identidade (4.69) implica nas duas igualdades seguintes:

F

F

F

11 1

P

1i

1

rii r Nr Nr /

min

) :

) : ' ~ ~ ,

(4.70)

sendo 81

r'r .

Em (4.70), a 1ª relação (i) fornece exatamente o expoente de Fisher [142].

Então, sabendo que 2/3 dvF , e substituindo Fv em (i), obtemos

4d1 ,

1d

2dd

. (4.71)

Em (4.70), a 2ª relação (ii) fornece basicamente uma mudança na escala de

medida r para 'r e vice-versa, onde temos: 1

r'r~x~t . Então, também podemos

escrever que 2d/1dr'r .

4.5 Obtenção do expoente de crescimento ( g )

O expoente de crescimento g fornece o aumento da taxa de probabilidade da

cadeia capturar monômeros com o passar do tempo; isto é, gxxP ~ . No entanto, é

importante ressaltar que esta taxa de crescimento ( g ) é obtida somente nos instantes

iniciais do crescimento da cadeia (regime micro); ou então, nas proximidades do

“ponto crítico” de transição estrutural p , de acordo com aquela analogia

estabelecida com o modelo L.G.W.

155

Sabemos que o campo de correlação r , dado no início do crescimento da

cadeia é da forma 2~ rr . Como este campo apresenta uma derivada negativa

32~ r

dr

d, enquanto que, por outro lado, a probabilidade de crescimento é

sempre uma função crescente (derivada positiva), então, podemos notar que deve

haver uma relação entre r e um certo campo de distribuição de probabilidade rP

crescente, que será definida da seguinte maneira:

''

1 ~~ gg

rrdr

drP

, (4.72)

sendo 'g um certo expoente de ajuste que fornece a taxa de crescimento para rP .

Em princípio, gg ' , embora seja correto afirmar que 'g e g [142] estejam

relacionados entre si de alguma maneira.

Paralelamente ao que foi definido em (4.72), vamos trazer outras informações

implícitas no modelo, no que diz respeito à probabilidade de crescimento P . Já é bem

sabido que o volume de correlação dp é divergente no início de crescimento do

polímero. À medida que a cadeia cresce, dp diminui, indo a zero para tempos longos.

Cada posição r ao longo do arco da cadeia está associada a um volume dp , num

análogo de espaço recíproco, que apresenta a mesma dimensionalidade (d) do

espaço real no qual a cadeia está embebida. Então, quando 0 tdp , qualquer

monômero dentro de um raio de alcance infinito tem toda chance de ser capturado

pela origem da cadeia (semente). Assim vamos pensar na probabilidade de

crescimento P como uma certa função de dp a ser estimada, i. é,

pdp VPPP (4.73).

Para estimarmos dpP , precisamos ainda de novas informações para

compararmos com (4.73) e daí obtermos a função P .

156

Sabemos que, para tempo muito curto, temos 2AB , prevalecendo o

coeficiente pp uLuB na equação diferencial. pu representa a taxa de

reação (interação) dada pelo acoplamento (ligação) de cada monômero na cadeia em

crescimento BBA . Assim sendo, vamos pensar que a taxa de interação pu

forneça uma taxa de probabilidade de crescimento da cadeia por dimensão do espaço;

isto é, vamos escrever o seguinte:

2/42/4 ~~ dp

dppF nuP ,

ou melhor,

. 4 teC1

;4 , ~

2/4

médiocampod

duP

dp

pF

(4.74)

Para d-dimensões, devemos aumentar os graus de liberdade para o

crescimento da cadeia, de tal forma que precisamos definir uma probabilidade P dada

da seguinte maneira:

4 teC1

;4 , ~

2/4

médiocampod

duPP

ddpd

pd

F

(4.75)

Agora, observamos que a probabilidade P dada em (4.75) é de fato uma

função de pdp V , sendo d

pPP , o que está em acordo com a função dpP

dada em (4.73). Em outras palavras, dizemos que (4.75) é consistente com (4.73);

portanto, vamos pensar que (4.75) seja a função esperada para descrever P em

(4.73), sendo 2/4~

ddp

dpP .

Tendo em vista que 1~ pp n , então vamos escrever que:

2/4~ ddpnP (4.76)

157

Por outro lado, já sabemos de (4.58) que ddpppn 3/21 ~~ , de onde tiramos

que:

ddppn 3/2~ . (4.77)

substituindo (4.77) em (4.76), obtemos

6

42

~dd

pP

. (4.78)

Finalmente, sabendo que 'rtVRRx dFp , sendo

2d/1d/1 rr'r (rel. (ii) em 4.70); então, introduzindo esta transformação em

(4.78), obtemos que:

6

41

~dd

rrPP

. (4.79)

É importante observarmos que a função (4.79) tem a mesma forma da função

(4.72) para a distribuição de probabilidade rP , desde que tenhamos

6

14´

ddg . Logo, obtivemos um certo expoente de crescimento `g , tal que

`~ grP . No entanto, em princípio, queremos obter o expoente g [142], tal que

gg txP ~~ [142].

Na verdade, como o expoente g é obtido num tempo extremamente pequeno

0ou ,0 xt , então `g também é obtido quando 0r . Logo, em virtude desse

limite (instantes iniciais do crescimento da cadeia), podemos dizer de maneira

aproximada que 0 rx ; e conseqüentemente, se tivermos que `gg rx quando

0t , concluímos que `gg . Assim, podemos escrever:

6

14

dddgg . (4.80)

158

Aqui, em (4.80), a novidade é que obtivemos uma função analítica para g , isto

é, uma função da dimensionalidade dg sendo 41 d .

A função dg para o expoente de crescimento está ilustrada na figura abaixo:

g

1/3

g máx gmáx =8

3 para d=2,5 (dimensão

Fractal).

1 2 2,5 3 4 d

3/8

Figura 11: Função g(d) para o expoente de crescimento de uma cadeia de polímero.

Observa-se que, quando ;0g1d 1 0g4d 4 (regime clássico ou

campo médio). Quando 3/13 3 gd , que concorda com a literatura [142].

Para 3/1g2d 2 . Com isso, observamos que o gráfico da figura 11

revela uma simetria; ou seja, os valores de g para o intervalo 5,2d1 repetem no

intervalo `4d5,2´ , de mesmo tamanho 5,1d . Portanto, existe um valor

máximo para maxgg , que é 83

max g dado em 5,2d (dimensão fractal), que é o

ponto de máximo no gráfico da figura 11. É importante salientar que este resultado

encontrado para [eq. (4.80)] não é exato, e pode ser que a simetria encontrada seja

devido a uma deficiência do método.

Finalmente, tendo em vista que obtivemos 1d

2dd

(expoente de Fisher

para tempos longos) e 6

1dd4dg

(expoente de crescimento para tempo

159

curto), dados de maneira analítica, em função da dimensionalidade (d) do sistema;

então, também podemos encontrar uma importante relação de escala entre os dois

expoentes g e , relacionando diretamente o comportamento de regime micro (início

do crescimento g ) com o macro regime da cadeia (final do crescimento ). Para

isso, primeiramente, vamos obter d a partir de (4.71), a saber:

1

2dd

. (4.81)

Introduzindo (4.81) em (4.80) e efetuando os cálculos, vamos obter g , isto é,

21

2

2

3gg

, (4.82)

ou então,

0231g2 2 (4.83)

A relação (4.82) ou (4.83) representa uma novidade, pois estabelece de forma

original a relação entre o comportamento inicial e final da cadeia de polímero e foi

obtida pelo professor Valery Kokshenev.

4.6 Apêndice

A 3a prescrição de Thompson estabelece que ,1~pdFf sendo

.4d C1r

te

2d2

d4

p2

1

pFp

4.d (4.84)

Pela relação (4.84), observamos que pF mede flutuações para p , sendo

que, para 4d ou dimensão crítica superior de campo médio, teFp C é . Isto significa

a ausência de flutuações no crescimento da cadeia (g=0 em d=4). Então, podemos

pensar que o crescimento de uma cadeia (g0) se deve, no fundo, à presença de

160

flutuações, quando F não é constante; isto é, ,4)2(2

)4(

dd

d

pFp ou então,

.)2(2

)4(

d

d

pFp LL

Pela relação (4.51) tínhamos:

.~ou ~ 22d

pp

d

pLppp

L

Dado que ,~ 3

)2(

d

d

pp

então vem:

p

d

p Lppp

~~6

)2(

. (4.85)

Assim, pensamos que

?~~ 22 d

Fp

d

FpLp LpF

(4.86)


.~~~12

)4()2(4

)4(

12

)4( dd

dd

pFpFp

d

pppLp

(4.87)

Em suma temos:

a)

.4

;4~6

)2(

d

d

p

pp

d

p

b)

FP

4 d

6P

P0 teC d 4

d 4;~ .

Facilmente podemos relacionar (a) com (b): ,)2(2

)4(

d

d

F pp

pp

sendo

161

)2(2

)4(00)2(2

)4(

d

dppFp

d

d

(expoente que transforma as escalas de

correlação p para as escalas pF ). Então, escrevemos .0

ppFp

Dividindo (b) por (a) vem:

FP

P

d4P

P1

P P d 4

d 4;~ ,

(4.88)

onde dFp RR .

Quando t , (4.88) fica da seguinte forma:

401

41

~

2

4

2

dN

d

Nd

p

p F

p

F

(4.89)

Neste caso, como N é grande para t grande, então vem:

,0ou

p

Fp

pFpp

p

pp

o que significa que as flutuações durante o crescimento tornam-se insignificantes para

t grande (macro-regime). De fato, como a probabilidade está associada às flutuações,

então no regime de t grande, o crescimento ou probabilidade de crescimento tende a

se anular, pois 0pFp

pp .

Quando t é bem curto, vem: ,pp

Fp

predominando as flutuações,

pois FP . A existência de tais flutuações é responsável pelo crescimento rápido

da cadeia; portanto vem g~ rP para t muito pequeno.

162

Sabemos que 1. t para B~ d dpuP Agora, vamos mostrar que

podemos definir P da seguinte forma alternativa:

,~][~2

d

FpdF

Fp

p V

NNP

FpNP (4.90)

sendo dFpFp

V ~ está associado às flutuações no volume de coerência dp sendo

2d2

d4d

pd

pdFp

FpN está associado às flutuações no número de monômeros para

um certo volume de coerência. )( FpNP é uma densidade flutuante, que é devido às

flutuações fora do regime de campo médio ),4( cdd i é, .)(Fp

V

NN Fp

Fp

P

Sabemos que:

d

d

pFppdFp

dFpp NN

d

Fp

6

)4(2

~~~~6

)4(

. (4.91)

Assim, temos:

.~6

)4)(1(

)(

d

dd

F pd

FpFpdFp

Fp

pN NN

P (4.92)

Substituindo (4.92) e (4.91) em (4.90) vem:

.~6

)2( )4(

dd

Fp pd

NFpNP P (4.93)

Sendo ,~ 11Frrtp

e substituindo em (4.93), obtemos:

6

)1)(4(~ 6

)1)(4()2(

)1(

6

)2)(4(

ddgrrP

ddd

ddd

. (4.94)

Assim, fica fácil verificar que .~ dNFp

dp Fp

NuP P

Também, podemos escrever que

163

d4

p

)2d(2

)2d(2

)d4(

p

)2d(2p

d2

p

d/2

p

d/2

pd

NFp

pp

FpFpFpFpFp

][~PN~P

P

onde

,41

;4~~

2

)4(4

d

dnP

dd

p

d

pp (4.95)

para tempos muito curtos no crescimento da cadeia. Observamos que (4.95) é uma

outra forma alternativa de escrever a probabilidade de crescimento (P). Então, em

suma temos d

pd

NFpd

pp

FpPNuP

4~

.

4.7 Conclusões

A aplicação do M.T na ação elaborada para crescimento de polímero permitiu a

obtenção do expoente de Flory F , sendo 4d2d

3F

e 4d

2

1F (regime

de campo médio ou cadeia ideal). Obtivemos também

4d,d3

2d

e

4d,2

1 que é um análogo do expoente crítico do comprimento de correlação,

obtido quando P P P~ , nos instantes iniciais do crescimento da cadeia. Com

isso, estabelecemos a seguinte relação: 1F d .

Em segundo lugar, obtivemos o expoente de Fisher para tempos longos

1d

2d

1

1

FF

, e finalmente fomos capazes de obter de forma analítica o

expoente de crescimento 6

1dd4dg

. Assim sendo, relacionamos g com ,

através da função 21

2

2

3g

, que é um resultado novo. Em suma, como já

introduzimos um novo expoente do comprimento de correlação P para tempo

muito curto, ficamos basicamente com 2 pares de expoentes; isto é, o 1o par de

expoentes e g para instantes iniciais do crescimento, e o 2o par de expoentes F e

164

para os instantes finais do crescimento da cadeia. Logo, vamos fazer a seguinte

tabela resumida:

0t t

a)

d3

2d c) 2d

3F

b)

6

1dd4g

d)

1d

2d

Concluímos finalmente que, tendo formado um quadro completo de 4

expoentes (a, b, c e d da tabela), podemos obter relações das mais diversas entre

eles: a com c, a com b, a com d; b com c; b com d; c com d. Então, temos

basicamente 6 diferentes relações de escala entre os 4 expoentes na tabela, a saber:

1) a com c: 1

F

3 1d

2

; 2) a com b: 213

1213g

,

3) a com d:

1

2; 4) b com c:

2F

FF

2

1213g

;

5) b com d: 21

2

2

3g

; 6) d com c: FF1 .

De onde temos em comum que:

F

F23

1

2

13

2d

.

O próximo capítulo será dedicado à aplicação do M.T na teoria de campo

escalar 4g .

165

Capitulo 5

5 O método de Thompson aplicado à teoria de campo escalar 4g. .

Introdução

No presente capítulo, vamos usar o Método de Thompson (M.T) para estudar a

teoria de campo escalar 4g , tendo por objetivo obter o comportamento do

acoplamento g dessa teoria com a escala de energia ou comprimento 1~ .

O objetivo é encontrar uma função g que é solução de uma equação diferencial,

denominada equação diferencial do grupo de renormalização (G.R).

Podemos fazer uma analogia entre a teoria escalar - 4g e a mecânica

clássica de um oscilador anarmônico unidimensional, cuja Lagrangeana é a seguinte:

422

x kx2

1

dt

dxm

2

1L

,

sendo 2 41v x kx x

2 a energia potencial desse sistema. Assim, tendo por base

a Lagrangeana t,dt/dx,xL vamos pensar basicamente nas seguintes

transformações:

a)

x,xt,x,x,xtx 321para : campo escalar no espaço 4-D de

Minkovsky;

b) 3

32

21

1u

upara2dt/d , onde o índice “0” está

associado à componente temporal. Introduzindo as transformações “a” e “b” na

Lagrangeana mencionada, vem:

422u

u gm2

1

2

1L ,

onde também pensamos em 2para mk , gpara (acoplamento), fazendo 1m

para o termo cinético do oscilador. Assim sendo, a nova Lagrangeana obtida é de

166

natureza relativística uuu x,,Lt,x,,LL

, cuja equação de movimento

é da forma:

0g4m 32u

u .

Devemos observar que, quando fazemos 0g , a equação de movimento

acima recupera a equação de onda de uma partícula relativística livre, que é chamada

equação de Klein-Gordon: u 2u m 0 .

Na 1ª seção desse capítulo, aplicaremos o M.T (a 1ª prescrição das escalas e

dimensões de Thompson) na Lagrangeana- 4g com o propósito de extrair o

comportamento logarítmico do acoplamento g com a escala de energia. Além disso,

seremos capazes de obter a função 4 da equação diferencial do G.R para essa

teoria, dentro de uma certa aproximação, que, na linguagem de teoria de campo,

equivale à correção em 1´loop` na constante de acoplamento; ou seja, trata-se de uma

aproximação que é boa em regime de energias mais baixas.

As últimas seções serão destinadas a um apêndice e às conclusões, servindo

de motivação para o capítulo seguinte.

5.1 O método de Thompson aplicado à teoria g4.

Consideremos a Lagrangeana da teoria – 4 , dada da seguinte forma já

mencionada:

L(4)= 2

1

2

1 422 gm , (5.1)

sendo .0m2

Vamos tratar os termos da Lagrangeana acima com base numa análise

dimensional de escalas, o que fundamenta a 1ª prescrição do método de Thompson.

Assim, a 1ª prescrição heurística de Thompson será aplicada a cada termo de (5.1)

separadamente. Já sabemos que esta prescrição estabelece que: “Quando

consideramos a integral de (5.1) num volume de coerência ou característico dl em

d-dimensões, o módulo de cada termo integrado separadamente é da ordem da

167

unidade”. Aqui, vamos lembrar que tal prescrição de análise dimensional canônica fica

bem estabelecida nas vizinhanças de um dado ponto fixo da teoria [10], onde exista

uma invariância por transformação de escala. Nesse caso, temos um ponto fixo de

estabilidade infravermelha 0g [10] para energias muito baixas l .

Quando consideramos a integral de cada termo em (5.1) sendo da ordem da

unidade, estamos realmente fazendo uma certa análise dimensional de escalas em

cada termo da lagrangeana. Além disto, estaremos também considerando algumas

médias nas escalas, obtidas separadamente de cada termo integrado na lagrangeana.

Vamos estudar a lagrangeana 4 para o caso particular em 4-d, já que este

corresponde à dimensionalidade do espaço-tempo na teoria da Relatividade. Também,

já é sabido que a teoria 4 é renormalizável justamente em 4d. Então, fazendo d=4

e aplicando a 1a prescrição de Thompson ao 1º termo de (5.1), obtemos:

4

.1~2

1 4

l xxd

(5.2)

Para o 2o termo de (5.1), escrevemos a seguinte integral:

4

,1~2

1 422

l x xdm (5.3)

onde supomos um ‘shift’ m para a massa do elétron. Podemos pensar que m

provém de uma certa interação, já que existe um acoplamento não nulo 0g . Logo,

se tomássemos g=0, então teríamos m=0. Assim, quando 0 l , teríamos

m 0, o que é de se esperar naturalmente para o regime de grandes comprimentos

de onda (limite do infravermelho).

Aplicando o método de Thompson ao 3o termo de (5.1), vem:

4

,1~44

l x xdg (5.4)

onde ,~~ 11 l sendo a escala de energia e o momento.

168

Agora, vamos considerar que a integral (5.2) seja feita num volume de uma

hiperesfera 4-d com raio l ao invés de um simples hipercubo 4-d com volume 4l .

Logo, podemos escrever a integral (5.2) da seguinte maneira:

4

,1~2

14V r

dV (5.5)

onde temos 2

42

4

lV

, sendo drrdV 32

4 2 , com r variável. 4V é o volume

hiperesférico 4-d. Para um caso geral n-d, temos n

lSV

n

nn , onde

2

n

2S

2/n

n [157].

Vamos introduzir um refinamento para a 1ª prescrição de Thompson, no

sentido de que poderemos encontrar uma maneira de estimar exatamente os valores

daquelas integrais, que são da ordem da unidade.

Quando pensamos a respeito da integral (5.2), observamos que seu integrando

não está numa forma quadrática do tipo 22

, o que é devido à

derivada primeira que aparece entre os dois campos ‘ s ’ no integrando de (5.2),

ou seja, .

O último termo da lagrangeana (5.1) não está numa forma quadrática, estando

numa forma quártica do tipo 4g . Somente o segundo termo de (5.1) apresenta forma

quadrática em , isto é, ‘ 22

2

1m ’.

Como todas as integrais são da ordem da unidade, então, iremos escolher a

forma quadrática para ser o nosso ponto de referência, tendo exatamente o valor

unitário 1 . Assim, teremos a 1a prescrição do método de Thompson, estendida ou

aplicada numa forma em que possamos estimar exatamente o valor de cada integral,

sendo múltiplo da referência unitária estabelecida para a forma quadrática 2 [2o

termo de (1)]. Então, em geral, consideramos a seguinte forma quadrática para ser a

unidade:

169

4 4

2 ,1 V r dVa (5.6)

onde a é uma constante, podendo ser também um dado operador â, que vamos

considerar mais adiante.

A integral em (5.3) obedece à forma (5.6) acima; logo (5.3) também é uma

integral unitária com base no sistema de referência considerado. Conseqüentemente,

os valores para as integrais de escala (5.2) e (5.4) devem ser múltiplos da referência

unitária, dada pela integral (5.6); isto é, (5.2)e (5.4) devem ter valores constantes não

unitários, a serem estimados.

Como (5.3) e (5.6) possuem exatamente a mesma forma, então quando

comparamos as duas integrais, observamos imediatamente que m2

2

1a .

Sabemos que a integral (5.4) não obedece à forma (5.6), já que (5.4) está na

forma -‘ 4 ’. Por isso, devemos fazer uma estimativa para o valor de (5.4), usando

(5.6) como referência unitária. Esta estimativa será feita mais adiante. Antes disso,

procuramos estimar exatamente a integral (5.2) ou (5.5).

Em (5.2), vamos tomar o valor médio na escala l

2 ou .2l Para fazer

isto, devemos considerar drrdV 324 2 e inserir este diferencial de volume em (5.2).

Assim, depois de estimarmos o valor constante para a integral (5.2) (vide apêndice),

escrevemos (5.2) da seguinte forma:

l

rrr drr0

322

2

32 . (5.7)

De (5.7), colocando o valor médio l][ 2 para fora da integral, e aplicando as

duas derivadas r (de escala r ) sobre 3r no integrando, obtemos:

l

l rdr0

22

163

4. (5.8)

Finalmente, de (5.8), obtemos:

170

22

22

4

1

lll . (5.9)

A constante 124

que aparece em (5.9) vem da simetria esférica

considerada para o espaço 4-d.

Com o objetivo de aplicar a prescrição de Thompson ao segundo termo de

(5.1), obtivemos a integral (5.3). No entanto, usando a 1a prescrição de Thompson na

forma refinada, consideramos a forma quadrática 2 em (5.6), sendo exatamente a

unidade, onde tínhamos 2

2

1a m . Logo, escrevemos:

,12

14

22

4

dVm rrV (5.10)

sendo .2 324 drrdV

De (5.10), obtemos:

122

1 32

0

22 drrml

ll . (5.11)

Inserindo (5.9) em (5.11), e resolvendo esta integral, finalmente obtemos:

1222 4,16 lmoulmm lll. (5.12)

Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao último termo de (5.1), tínhamos

obtido que 4

.1~44

l x xdg Agora, o nosso interesse é estimar um valor para esta

integral, mas antes disto, vamos considerar esta integral no volume de uma

hiperesfera 4-d. Então, teremos:

4

,1~44

V r dVg (5.13)

onde drrdV 324 2 e l

lV

2

42

4

é o raio dessa hiperesfera.

171

A fim de estimar a integral (5.13), que apresenta 4 no seu integrando, vamos

nos lembrar que a forma quadrática dada em (5.6) tem um valor unitário:

4

.1 a 42

V r dV Então, baseando-se nesta integral com integrando na forma

quadrática, podemos tentar estimar o valor da integral (5.13). Para fazermos isto,

vamos introduzir a seguinte razão R de integrais:

R =

0

22

0

4

2

1dxxm

dxxg, (5.14)

onde x aqui representa a solução de uma equação diferencial (equação de

movimento) obtida de (5.1) para o caso unidimensional (variável x), já que estamos

supondo um espaço isotrópico, onde temos as mesmas propriedades em qualquer

direção. Assim, por razões de simplicidade, escolhemos x para ser a solução

(uma solução tipo ‘soliton’) de uma equação diferencial obtida de (5.1) num caso

estacionário (tempo fixo), considerando somente a direção x, isto é,

,04" 32 xgxmx sendo ,"

2

2

dx

xdx

onde temos a solução

g

mx

2 sech (mx).

Devemos enfatizar que, na relação (5.14), usamos a função x (campo

x escalar, sendo a solução da equação diferencial) ao invés da quantidade

dimensional de escala para r2 obtida em (5.9).

Assim, se quisermos calcular a integral no denominador de (5.14), devemos

considerar esta integral entre os limites 0 e . Então, escrevemos:

.g

m

4

1mxdmxhsec

g2

m

2

m 3

0

22

(5.15)

Aqui em (5.15) observamos que a integral

0

2 ,1sec duuh onde fizemos

u=mx.

172

Inserindo a solução para x em R (5.14), obtemos:

R =

0

4

0

2

0

4

.secsec

secduuh

duuh

duuh (5.16)

Podemos verificar que a integral

0 0

2 ,sec1

2sec uduh

q

quduh qq para q>2 [160]. Portanto, daí obtemos a

seguinte razão qR :

R(q)=

.1

2

sec

sec

0

2

0

q

q

uduh

uduh

q

q

(5.17)

Para o caso da teoria - 4 , temos 4q . Logo, a razão R dada em (5.16) pode

ser obtida imediatamente de (5.17) quando fazemos 4q , isto é,

R R (4) =

0 0

24 .3

2sec

3

2sec uduhuduh (5.18)

Agora, estamos aptos para estimar a integral dada por (5.13), considerando

(5.18). Assim, vem:

4V 44r

4

3

2RdVg . (5.19)

Na verdade, deveríamos considerar uma igualdade entre as seguintes razões

de integrais abaixo, a fim de estimar melhor a integral dada por (5.13), com base num

exame mais detalhado. Então, consideramos a seguinte igualdade:

,3

2R

uduhsec

uduhsec

dVm2

1

dVg4

0

2

0

4

V 4r22

V 4r4

4

4

(5.20)

onde a integral no denominador do primeiro membro de (5.20) acima foi considerada

unitária, devido à sua forma quadrática, como já foi frisado anteriormente. Portanto,

173

(5.20) e (5.19) e (5.18) se equivalem, já que os denominadores em (5.20) são

unitários.

Com relação ao 3o termo de (5.1), somos então levados à integral dada por

(5.19). Uma 1ª tentativa para avaliar (5.19) seria escrevê-la como um produto de

médias, isto é, um produto das quantidades dimensionais lg , l

4 e .4 lV

Considerando que 4224 ~ lll

e ,~ 44 lV l obtemos de (5.19) que

1~44llg l , o que implica em lg constante, ou seja, uma quantidade que não

apresenta dependência na escala de comprimento l (ou energia ):

~~ 0lgg ll constante.

Devemos considerar que ‘ 4d ’corresponde a um “tipo de dimensão crítica

superior” para a teoria - 4 . Em outras palavras, dizemos que, abaixo de ‘ 4d ’,

flutuações são muito importantes para o problema, e acima de ‘ 4d ’ 4d , uma

descrição de “campo médio” seria boa para o problema. Assim, conclui-se que

exatamente ‘ 4d ’ representa uma dimensão de linha de borda para a teoria - 4 , e

portanto devemos apurar melhor os nossos cálculos a fim de observar a dependência

do acoplamento lg na escala de comprimento l ou de energia .~ 1l Sabemos que

uma situação similar a esta ocorre quando se aplica o método heurístico de Thompson

à QED4 (próximo capítulo) [158], e também quando se trata das reações químicas

limitadas por difusão. (Ver capítulo 3).

Como uma forma de apurar melhor o cálculo de (5.19), vamos tomar a

quantidade 224rr dentro da integral, mantendo a mesma forma que aquela

dada em (5.9), porém, agora com uma dependência na variável r de escala. Assim

sendo, tomando 2

22

224

4

1

rrr

dentro da integral (5.19), escrevemos a

seguinte integral:

l r drrr

g3

2

4

12 3

2

22

2

, (5.21)

174

onde .2 324 drrdV

De (5.21), vem:

l ll lgdrr

g 1ln16

31

16

322

, (5.22)

sendo a notação .ll gg

Quando avaliamos (5.22), tomamos 1 como um ‘cutoff’ inferior na escala l .

Portanto, (5.22) apresenta uma dependência logarítmica na escala de comprimento l

(ou de energia 1 l ).

Por uma questão de simplicidade na notação, vamos fazer lggg ll ,

que representa essencialmente o acoplamento obtido na escala l ou . Assim,

colocando 1 l em (5.22), obtemos:

1

2ln

16

3 g . (5.23)

Diferenciando ambos os lados de (5.23) com respeito à variável , obtemos:

2

216

3g

d

dg

. (5.24)

A equação diferencial (5.24) concorda com aquela que é obtida pelo

procedimento do G.R quando a teoria - 4 é tratada pelo método de perturbação ao

nível de “1 loop”. Devemos observar que obtemos o coeficiente função 224 g

16

3

[159] [161] [162] [163]; no entanto, a novidade aqui é que conseguimos obter este

resultado através de argumentos heurísticos de escalas e dimensões (M.T) [8].

Fazendo a integração de (5.24), considerando os limites e para as

escalas de energia e seus respectivos acoplamentos g( ) e g( ), teremos:

175

002

0

ln16

31

g

gg . (5.25)

Observamos que (5.25) pode ser encontrado na referência [159], usando o

procedimento usual da teoria da perturbação com a técnica de regularização

dimensional para a teoria - 4 .

A relação (5.25) nos fornece a chamada singularidade de Landau, que

corresponde a um valor finito da escala de energia ( L ), onde Lg , sendo

01

2

0 3

16.exp gL . (5.26)

Somos levados a pensar que, nas escalas de energias mais altas, a equação

(5.24) e sua solução (5.25) devem ser modificadas a fim de se deslocar a

singularidade de Landau para uma escala de energia maior que L . No esquema

usual dos cálculos perturbativos, isso é feito, considerando-se a teoria além do nível

de 1 loop [161] [162]. Assim, estaríamos pensando num limite onde a teoria

perturbativa começa a perder a sua validade (acoplamento forte). Um artigo recente de

I.M. Suslov [163] trata de uma teoria -n qualquer no esquema de expansão não-

perturbativa para todas as ordens em g (g grande), e depois aplica esta idéia na

obtenção da função (g) da teoria – 4 para o caso de g grande (acoplamento forte),

considerando todas as ordens.

5.2 Conclusões.

Nesse capítulo, o método de Thompson, que poderia ser considerado uma

maneira alternativa simples ao G.R, foi aplicado para estudar a teoria de campo

escalar 4 .

Aplicamos a 1ª prescrição das dimensões de Thompson para cada termo da

Lagrangeana- 4g , mantendo a ordem da unidade para cada termo integrado

separadamente num volume de escala em 4-D. Além do mais, fomos capazes de

estimar o valor exato de cada integral, usando argumentos adicionais fundamentados

no próprio modelo estudado. Logo, obtivemos finalmente o comportamento do

176

acoplamento g em 4-D, representado pela função 4 do grupo de renormalização,

isto é, 224 g

16

3

d

dg

. A função 4 foi obtida numa 1ª aproximação pela

aplicação direta do método, o que representa a correção de 1 loop para o acoplamento

g dada pelo método perturbativo em teoria de campo; ou seja, uma aproximação para

g muito pequeno (escalas de energias mais baixas).

Tendo em vista o relativo sucesso do M.T no tratamento de teoria de campo

escalar, então, no próximo capítulo, estaremos motivados a explorar o M.T no estudo

da 4QED ou Eletrodinâmica Quântica em 4-D, onde há campo fermiônico e sua

interação com o campo eletromagnético através do acoplamento , que

corresponde à carga do elétron 2e , variando com a escala de energia.

5.3 Apêndice

Sabemos que a integral (5.2) na seção 5.1 não está numa forma quadrática

2 , devido à derivada primeira ][ que aparece entre os campos .][

s .

Logo, uma primeira forma quadrática mais simples a ser considerada aqui seria

alguma coisa do tipo 2 . Uma segunda forma quadrática já seria 2 .

Obviamente, a diferença entre a primeira e a segunda forma quadrática reside no fato

de que a 1a forma apresenta derivada primeira , enquanto que a 2a, apresenta

derivada segunda . Aqui, estamos interessados na segunda forma quadrática,

pois a integral (5.2) apresenta duas derivadas em seu integrando, embora não esteja

na forma quadrática adequada.

A presença de duas derivadas no 1o termo de (1) caracteriza o comportamento

bosônico na análise dimensional, que é caso de spin 0. Já, no caso do 1o termo da

lagrangeana da QED4 (que será tratada posteriormente) teremos apenas uma única

derivada , o que caracteriza o comportamento fermiônico na análise

dimensional, que é o caso de spin 2

1 (fermions).

Temos a 2a forma quadrática, que pode ser escrita da seguinte maneira:

177

,222

(A. 5.1)

onde

2 . Acabamos de expressar a 2a forma quadrática, de forma a ter

separadamente quatro termos. Logo, vamos fazer uma estimativa para cada termo

separadamente; mas antes disto, devemos pensar no caso mais simples da 1a forma

quadrática, que podemos escrever da seguinte maneira:

.2 (A. 5.2)

Notamos que temos separadamente dois termos idênticos acima. De fato, a 1ª

forma quadrática é mais simples que a segunda (com 4 termos). Conseqüentemente,

já que queremos a forma quadrática 2 para apresentar uma integral unitária; logo,

tomamos a mais simples 21 formaa para ter valor unitário numa análise

dimensional de escala dada pela prescrição de Thompson. Então, primeiramente,

devemos escrever a integral para a 1ª forma quadrática:

4

,142

V rdV (A. 5.3)

sendo que a representação r

2 em (A. 5.3) significa uma análise dimensional na

variável de escala r para ‘ 2 ’. Tal representação é integrada no volume esférico

4D de escala 4V considerado, com raio l . '2' 324 drrdV é a diferencial deste

volume 4-D.

Podemos extrair de (A. 5.3) o valor médio de 2 na escala l ; isto é,

32 ~ ll

. Este resultado representa um comportamento de escala que é similar ao

que seria obtido em QED4 para a amplitude , de onde vem que

3123 2~ lll

para o 1o termo (termo cinético) da lagrangeana da 4QED .

[158]. Portanto, a presença de apenas uma derivada primeira no integrando, como no

caso de (A. 5.3) e no caso da 4QED [158, 159], leva ao mesmo comportamento de

escala 3l , tanto para 2 em (A. 5.3) quanto para l em [159]. Assim,

percebemos que a 1a forma quadrática em (A. 5.3) e em [159] são dimensionalmente

equivalentes na escala l .

178

Da integral (A. 5.3), dado que ,22 então obtemos a seguinte

integral:

4

.2

1 4 V r dV (A. 5.4)

A integral (A. 5.4) será útil para a obtenção da integral para a 2a forma

quadrática associada ao 1o termo da lagrangeana em (5.1). Aqui, temos a derivada

segunda ,2

que caracteriza o comportamento dimensional de escala da

teoria de campo escalar (campos bosônicos). Então, dado que

,22 222 e colocando este resultado numa representação

dimensional na variável de escala r, escrevemos a seguinte integral:

4 4 4

,22 42

4422

V V V rrrdVdVdV (A. 5.5)

onde .2 324 drrdV

A fim de estimar a soma das integrais em (A. 5.5), devemos observar que

temos justamente a derivada primeira de dentro do integrando da 1a integral, no

segundo membro de (A. 5.5). Isto significa que, quando consideramos o

comportamento dimensional de escala de certas quantidades tais como ‘ r

’,

e ‘ r

’, estando todas elas apenas com derivadas primeiras, então podemos

notar que estas quantidades ficam em ‘pé-de-igualdade’ com relação à representação

dimensional na escala. Portanto, concluímos que uma estimativa para a 1a integral no

segundo membro de (A. 5.5) leva ao mesmo valor dado em (A. 5.4). Logo, vamos

escrever que:

4

.2

14V r

dV (A. 5.6)

Seguindo o raciocínio acima, podemos observar que a 2ª integral no 2º

membro de (A. 5.5) apresenta em seu integrando a derivada segunda 2 aplicada

em somente um dos campos s , isto é, .2 Logo, quando pensamos em termos

179

de representação dimensional na escala, estimamos que, desde que a derivada

seja aplicada duas vezes num mesmo campo , ou seja 2 então, um

termo como este apresenta valor ‘2

2

1

’ da escala unitária de referência. Assim,

escrevemos a seguinte integral:

4 4

14

2

V rdV . (A. 5.7)

Finalmente, introduzindo (A. 5.7) e (A. 5.6) em (A. 5.5), podemos estimar (A.

5.5). Logo, teremos:

4 2

3

2

12

2

12

2

422

V rdV . (A. 5.8)

Vemos que o valor de (A. 5.8) é 3/2 da referência unitária na escala, dada por

(A. 5.3). A integral (A. 5.8) corresponde ao que designamos por 1ª. prescrição de

Thompson numa forma refinada, com o objetivo de estimar a integral (A. 5.5) da seção

(5.1), quando ela é colocada numa forma quadrática do tipo 22 . Isso é feito

justamente com o objetivo de obter o comportamento dimensional na escala para 2 ,

isto é, .2

l

Curiosamente, podemos observar que, com base em (A. 5.4) e (A. 5.7), vamos

fazer a seguinte estimativa geral por indução:

4Vn4r

n

2

1dV . (A. 5.9)

Para n=1,2, recuperamos (A. 5.4) e (A. 5.7) respectivamente. Para n=0 em (A.

5.9), recuperamos imediatamente a integral na forma quadrática 2 , que é a

unidade, i.é,

4 4V VO4r

24r

O 12

1dVdV (integral na forma quadrática, dada

em (A. 5.6) na seção 5.1).

180

Capitulo 6

6 O Método de Thompson aplicado à Eletrodinâmica Quântica – 4QED

Introdução

A eletrodinâmica Quântica (QED) é a teoria que estuda a interação do elétron

relativístico com o campo eletromagnético. Essa teoria tem por base a teoria de Dirac,

que trata da equação da onda para um férmion relativístico livre. A solução da

equação de Dirac é dada pelos chamados campos espinoriais, que contêm

informações `a respeito da função de onda da partícula, acrescida do seu aspecto

espinorial, que é basicamente o spin

2

1, descrito pelas matrizes de Pauli. Além do

mais, a solução dessa equação de onda contém informações da anti-partícula do

elétron, prevendo a existência do pósitron como sendo um “elétron“ com carga

positiva.

Quando estendemos a teoria de Dirac de forma a incluir o campo

eletromagnético livre e inclusive a interação do elétron com este campo através de um

acoplamento c

e2

(estrutura fina), então estamos diante da QED, que será o foco

do nosso estudo no presente capítulo.

Na primeira seção, vamos introduzir a Lagrangeana física da QED e tratá-la

pelo método das dimensões e escalas de Thompson, que se fundamenta numa

análise dimensional.

Na segunda seção, faremos algumas considerações adicionais para o

problema, de maneira que vamos pensar no caso da QED4 (em 4-dimensões). Assim,

181

seremos capazes de obter o comportamento do acoplamento dessa teoria 4-D, sendo

uma função logarítmica na escala de energia medida. Logo, vamos obter numa 1ª

aproximação a equação diferencial para o acoplamento da teoria, que é chamada

de equação diferencial do Grupo de Renormalização (G.R) ou função Beta 4 da

teoria. Também, vamos obter o comportamento da massa do elétron na escala de

energia m numa 1ª aproximação.

A terceira seção se destina às conclusões. A quarta seção é o apêndice do

capítulo, onde vamos obter a carga e a massa do elétron numa 2ª aproximação para

energias mais altas, através de uma extensão do Método de Thompson.

6.1 A Lagrangeana da QED tratada pelo Método de Thompson.

O ponto de partida é escrever a lagrangeana física da QED, a saber:

£= ,AieFF4

1mi

(6.1)

onde 0F A A , e ,

e 2e (constante de acoplamento).

Em (6.1) representa os campos de férmions; e e m são respectivamente a

carga e a massa de repouso do elétron; A é o quadrivetor potencial eletromagnético

e são as matrizes de Dirac.

Nesse modelo, não há o fenômeno de criticalidade (transição), pois o ponto fixo

do GR da teoria ocorre somente para 0 ou , sendo 0 um ponto fixo

trivial. Logo, estamos preocupados em aplicar apenas a 1ª prescrição heurística de

Thompson, que estabelece a seguinte condição de escala: “Quando consideramos a

integral da lagrangeana em (6.1) num volume de coerência 4l em 4 – dimensões, o

módulo de cada termo integrado separadamente é da ordem da unidade”.

182

De fato, quando consideramos a integral de cada termo da lagrangeana da

ordem da unidade, estamos na verdade fazendo uma certa análise dimensional de

escala em cada termo de (6.1). Assim sendo, vamos obter alguns valores médios na

escala l para certas grandezas extraídas de cada termo de (6.1) integrado no volume

4l , que representa um volume de escala característico (de coerência) com o qual

investigamos os termos de (6.1).

A idéia básica da análise puramente dimensional na escala l é bem comum e

já foi aplicada por Ryder [159] para avaliar, por exemplo, a dimensão de £ na Q E D

para d-dimensões, onde se obtém facilmente que ddl l£ em d – dimensões,

sendo l a escala de comprimento e a escala de momento. Também se obtém a

dimensão do campo quadrático 2 ; que é 1d2 , que dá 332 l para

4d (1o termo da lagrangeana em (6.1)).

De uma forma semelhante, usando a análise dimensional no 3º termo em (6.1),

obtemos 22 dA , sendo 222 lA no caso 4d .

Portanto, devemos fundamentar a 1ª prescrição de Thompson numa análise

dimensional na escala mais algumas condições heurísticas adicionais, o que nos

permite obter valores médios na escala l relacionados às dimensões dos campos

2A , , e também da massa e da carga (acoplamento ).

Considerando as formas quadráticas do tipo , FF em cada termo da

lagrangeana a ser integrado, tomamos o módulo da integral para cada termo de £

exatamente igual a unidade. Assim, fazendo isto para o primeiro termo de £ em (6.1),

vem:

144

xdil xx . (6.2)

Observamos que a dimensão ,l 1

ll

pois, estamos considerando

apenas uma análise dimensional de escala para os operadores, de forma que

podemos desprezar tanto a ordem dos operadores quanto o aspecto espinorial dos

mesmos nessa análise dimensional de escalas.

183

Do ponto de vista da análise dimensional, sabemos que a derivada primeira

1

ll reflete uma característica dos férmions [159]. Por outro lado, quando

estamos lidando com teorias de campos escalares (Ex.: teoria 4 ), a derivada

segunda caracteriza o comportamento bosônico numa análise dimensional de escala;

isto é, 2l

2 l .

É interessante notar que a integral em (6.2) leva a uma certa análise

dimensional de escala para a quantidade dentro da integral. Quando esta

quantidade é tomada para fora da integral como um valor médio na escala l (volume

de coerência 4l ), então, de (6.2) obtemos: 3 lll~ , sendo um

comprimento de onda.

Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao 2º termo de (6.1), deveríamos

considerar a integral dada por 14

4 l x xdm . No entanto, uma análise mais

cuidadosa revela que esse procedimento não funciona muito bem; pois, devido ao

acoplamento entre os campos e A , que gera a interação, teríamos um

incremento de massa (m) a ser considerado na relação acima ao invés de m, já que

m iria para zero quando 0 oul , de forma a satisfazer uma condição de

escalonamento. Então, após essas considerações, podemos escrever:

14

4 l xx xdm . (6.3)

De (6.3), obtemos:

14 lmll (6.4)

ou 1. 4 lm ll . (6.5)

Como já sabemos, temos ~ 3l . Substituindo este resultado em (6.5),

obtemos:

1~ lm l . (6.6)

184

O resultado (6.6) é consistente com a condição de escalonamento (‘scaling’),

onde fizemos

.0 lm l

Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao 3º termo de (6.1), vamos pensar em

termos do comportamento de análise dimensional na escala para a densidade de

energia do campo eletromagnético; isto é, vamos escrever:

.18

14

422 l xx xdBE

(6.7)

A integral (6.7) implica que .~][][ 42 lBE ll Sabemos que B = xA; então

quando fazemos uma análise dimensional para A, obtemos:

,~ 224222 llllBA ll (6.8)

onde temos .~ 1 ll

Com relação ao último termo da Lagrangeana (6.1), é melhor considerar um

termo que é quadrático no potencial eletromagnético A . Esta escolha fica justificada

primeiramente pelo fato de que estamos levando em conta que a densidade de

energia do campo eletromagnético vai com [B2], que se comporta como [A2]l-2 em

termos de análise dimensional na escala. Também, paralelamente a esta

argumentação, devemos enfatizar que o nosso interesse central aqui consiste na

obtenção da constante de acoplamento 2e ao invés da carga elétrica pura e. Além

do mais, sendo o campo A flutuante na presença da carga, através de emissão e

absorção de fótons virtuais, então, espera-se que a média eA seja nula. Por isto,

devemos considerar um segundo momento para o campo A , de maneira que

tomemos a média quadrática 0Al

2 , sendo 2e . Portanto, devemos pensar

numa contribuição efetiva para a ação, mediante um produto de integrais, que vai

corresponder a uma média para o quadrado do último termo de (6.1) num espaço de

8-dimensões. Então, baseando-se nessas considerações, escrevemos:

185

8

2 4 4

l x xi e A e A d x d x 1

' ' ' ' ' '

, (6.9)

onde o índice ’ é um índice mudo. Logo, podemos escrever (6.9) na seguinte forma

compacta, representando um 2º momento para a ação de interação:

1xdAei8l

822

x22 , (6.10)

onde e 2 = .

6.2 Algumas elaborações a mais para o Método de Thompson aplicado à 4QED .

Agora, vamos considerar a integral (6.2) avaliada num volume de uma hiper-

esfera D4 , uma vez que estamos interessados num espaço-tempo isotrópico

D4 , sendo a escala de comprimento l o raio desta hiper-esfera.

O volume de uma n – D hiper-esfera é dado por n

lSV

n

nn [157], onde temos

2

22nn

n

S

[157].

Em D4 , obtemos 2

lV

42

4

, sendo drrdV 32

4 2 , onde r é a variável

radial de escala. Estas considerações nos permitem escrever a integral (6.2) da

seguinte forma:

l l

lrr drrdrr0 0

2232 162 . (6.11)

De (6.11) obtemos que

,2

132l

ll (6.12)

186

onde "2" 32l representa a magnitude da “superfície” dessa 4-D hiper-esfera, que

apresenta 3-dimensões.

A grandeza l representaria a dimensão de uma amplitude quadrática

média de campo para férmions, onde a média é tomada numa escala de comprimento

l , sendo .1 l Logo, esta amplitude tem a dimensão de 3 (o cubo da energia).

A constante “ 22 ” que aparece em (6.12) é uma conseqüência da simetria

esférica que consideramos para o problema.

Agora, vamos avaliar o termo de massa dado pela integral (6.3) no volume de

uma hiperesfera 4-D de raio l .

Assim, obtemos:

.120

32 l

rr drrm (6.13)

A integral (6.13) nos leva a

.12

42

l

mll

(6.14)


14 lmm ll. (6.15)

Considerando o terceiro termo da lagrangeana (6.1), e tomando a integral (6.7)

no volume de uma hiper-esfera 4-D de raio l drrdV 324 2 , onde os campos

quadráticos possuem o mesmo comportamento na escala, isto é, ,~ 422 lBE ll

então escrevemos:

l l

rr drrBdrrE0 0

3232 .122

(6.16)

A integral (6.16) nos leva a

187

.~8

44

22 ll

BE ll (6.17)

Usando a definição B = x A, e dado a relação (6.17), somos levados a

considerar a seguinte relação de escala para :2lA

,8

2

222

lAlB ll

(6.18)

onde usamos que 2l

2 l .

É interessante notar que a relação (6.18) é compatível com o comportamento

de escala para um potencial gerado por uma carga pontual estática; isto é, temos

r

1~ , o que nos leva naturalmente a

2l2

l

l~ , onde 4A e ,AA . Assim,

tais considerações permitem escrever (6.18) numa forma mais geral e compacta:

2

2 8

lA

l . (6.19)

Quanto ao 4º termo de £ em (6.1), as considerações anteriores nos levam à

integral dada por (6.10). Agora, o nosso objetivo é de avaliar a integral (6.10) dada no

volume de uma hiper-esfera D8 . Dado que temos o volume

dr3

rdVxd

24

lV

74

88

84

8

,

então escrevemos (6.10) da seguinte forma:

8

,13

7224

V rrr drrA

(6.20)

onde 2e .

188

Uma primeira tentativa a fim de avaliar (6.20) seria escrevê-la como um produto

de médias, isto é, um produto das médias . e , , 822

VA Sabendo

que ,~ ,~ , ~ 88

2262lVlAl lll

obtemos que ,1~][ 826 llll o que

implica que l é uma constante, ou seja, é uma quantidade que não tem

dependência na escala de comprimento l (ou energia ): l~ ~ constante.

No entanto, devemos pensar que d = 4 deve corresponder a um certo tipo de

dimensão crítica superior para a 4QED . Em outras palavras, de forma similar ao que é

feito em Mecânica Estatística, pensamos que, abaixo de d = 4, flutuações são

importantes para o problema, sendo que acima de d = 4, uma descrição de campo

médio seria boa para tratar o problema. Portanto, d = 4 representaria exatamente uma

dimensão de “linha de borda” (“border-line”) para 4QED , que corresponde à dimensão

do espaço-tempo na teoria da Relatividade.

Assim sendo, como queremos melhorar nossa aproximação com o objetivo de

poder “ver” a dependência do acoplamento l na escala de comprimento l ou de

energia 1 l , então vamos tomar as quantidades r e r

A2 como variáveis

dentro da integral (6.20); ou seja, vamos tomar (6.12) e (6.19) com dependência na

variável de escala r, dentro da integral (6.20). Com isto obtemos:

ldrr

rr,1

8

2

1

37

2

2

32

4

(6.21)

onde 2

232

8

2

1

rAe

r rr .

De (6.21), vem:

l

ll lr

dr1

.1ln3

2

3

2

(6.22)

Para avaliar (6.22), tomamos 1 como um “cutoff” inferior na escala l . Assim,

(6.22) nos leva a uma dependência logarítmica para o acoplamento na escala de

comprimento l .

189

Por uma questão de simplicidade de notação, escrevemos que

.lll Além disto, introduzindo 1 l em (6.22), obtemos:

1ln3

2 (6.23)

Diferenciando ambos os lados de (6.23) com respeito à variável , vem:

.3

2 2

d

d (6.24)

A equação (6.24) coincide com aquela que é obtida pelo procedimento G.R,

quando a QED4 é tratada perturbativamente ao nível de 1 loop. Então, observamos

que obtivemos o coeficiente ,3

2 2

que pode ser encontrado em [165] e [161] e

também [162, 166-170]. A vantagem aqui é que obtivemos esse resultado através de

argumentos heurísticos, fundamentados numa análise dimensional de escalas.

Fazendo a integração de (6.24) pela consideração dos limites e 0 para as

escalas de energia e seus respectivos acoplamentos e 0 obtemos:

00

0

ln3

21

. (6.25)

Observamos que (6.25) [171] nos leva à chamada singularidade de Landau,

que é um valor finito na escala de energia L , tal que L , onde

.2

3.exp 1

0

LL (6.26)

Como já é bem sabido, a singularidade de Landau é um efeito não físico e nos

revela o fato de que a solução para a “constante” de acoplamento dada por

(6.25) não é apropriada quando a escala de energia se aproxima de L . Então,

concluímos que, para energias mais altas, a equação (6.24) e sua solução (6.25)

devem ser modificadas a fim de ficarem “livres” da singularidade de Landau no regime

de energias mais altas. O regime de energias mais altas será estudado no apêndice

190

desse capítulo, fundamentando-se numa extensão (aprimoramento) para o Método de

Thompson (M.T).

Agora, quando olhamos para (6.25), observamos que, quando 0 l ,

então 0 . Mas este resultado é de interesse puramente acadêmico (ponto fixo

trivial). De fato, ainda no regime de baixas energias, o desvio do comportamento

clássico para começa quando 0m , onde 0m é a massa de repouso do

elétron. É como se a carga estivesse sendo colocada num meio dielétrico que polariza

na presença da carga, “blindando-a”. Em outras palavras, dizemos que os efeitos de

polarização do vácuo tornam-se evidentes quando 10c0 mll onde c é o

comprimento de Compton.

Portanto, de um ponto de vista experimental, devemos olhar para (6.25) no

regime de baixas energias com 00 m , sendo 00 ~ m ; isto é, consideramos o

parâmetro de escala de energia fixada na massa de repouso do elétron 0m ,

sendo a escala de referência mais baixa em energia. Assim temos que

137/1m~ 00 . Logo, para energias intermediárias, expandimos (6.25) numa

1ª aproximação, e obtemos

000 ln

3

21

. (6.27)

De (6.27) [172], observamos que, quando 00 m , então vem que

0

1

137 .

6.2.1 Obtenção da massa m

Uma maneira de avaliar m seria comparar (6.3) e (6.9), considerando o

shift 2e ou em (6.9), pois, devemos pensar que deve ser diretamente

proporcional ao shift de massa; isto é, m tal que, em energias muito mais

baixas, teríamos o limite em que 0m . Assim, escrevemos:

,1'```'4 44

44

'

2'

224

V xV xxV x xdxdAeixdm (6.28)

191

onde consideramos o shift 00 e mmm , sendo e mm ,

com 137/10 .

Comparando os integrandos de (6.28), extraímos que:

4

4222

V xx xdAeim , (6.29)

desde que o índice linha (‘) em (6.28) seja mudo.

Colocando

4 2 3 2 3 24 xx r

2 2

r

d x dV 2 r dr 1 2 r A

A 8 r

, / e

/

em (6.29), obtemos:

.18

2ll

drr

m

(6.30)

Agora, vamos usar a seguinte notação: , ll que representa o

desvio (incremento) médio de carga na escala ,~ 1l ou seja, um desvio médio na

escala l .

Tomando a integração indicada em (6.30) entre os limites

m10~l e 0l 14c000

, que é equivalente ao regime de polarização

de vácuo, então vem:

,818

0000

ml

m

(6.31)

ou

,8

00

m

m

(6.32)

onde 1c

100 ~lm . De fato, temos a proporcionalidade 'm' obtida de (6.31),

o que nos leva à seguinte relação:

192

.8

00

0 mmm

(6.33)

Finalmente, substituindo () obtido de (6.27) em (6.33), obtemos:

.ln3

161

0020

mm (6.34)

É interessante também notarmos que a correção quântica para a massa do

elétron poderia ser obtida de uma forma que é consistente com (6.34), usando o

seguinte raciocínio:

Vamos considerar a energia armazenada no campo elétrico, a saber

3

,32

Vel dVEU onde a integral é tomada num volume 3D. Agora, vamos escrever o

campo elétrico E com seu valor clássico 0E mais uma correção E devido às

flutuações quânticas. Consideramos que estas flutuações quânticas afetam somente a

energia elu através da contribuição quadrática em E, uma vez que o termo linear em

E apresenta média nula num tempo suficientemente longo. Assim, temos

,220

2 EEE onde as barras significam médias sobre um tempo suficientemente

longo na escala de flutuações. Portanto, como estamos interessados principalmente

nos processos quânticos que se dão pela absorção e emissão de fótons virtuais,

podemos escrever:

,21

2EErms (6.35)

onde o índice “rms” significa a raiz do valor médio quadrático (‘root mean squared’).

É natural supor que Erms será diferente de zero somente na presença do

campo fermiônico, e este raciocínio nos leva a propor a seguinte relação:

,222rmsrmsE (6.36)

onde consideramos 32r

2rms r2

1

. Isto quer dizer que 2

rms corresponde a

uma amplitude de campo médio na variável de escala r. é uma constante de ajuste.

193

Introduzindo a relação de escala para r em (6.36), obtemos a seguinte

proporcionalidade:

,1

23

rErms (6.37)

que deve ser comparada com a lei do inverso do quadrado de Gauss da contribuição

clássica. Neste ponto, gostaríamos de noticiar que a dependência das flutuações

quânticas do campo elétrico na escala de comprimento, como foi obtida em (6.37),

também foi proposta por V. Weisskopf [173] há algum tempo.

Agora, vamos fazer a integração de E2rms num volume 3D. Tomando como

limites de integração as variáveis cc e rr (comprimento de Compton),

obtemos:

.42

2

32

22

022 drr

rcmmccm

c

r

(6.38)

A razão de considerar c como um corte para comprimento de onda longo é

que as flutuações quânticas não contribuem muito para a massa eletromagnética do

elétron acima deste valor.

A relação (6.38) implica que

,ln20

2

r

Ccmmc c (6.39)

onde C é uma constante.

É importante enfatizar que (6.39) é consistente com o resultado obtido em

(6.34) e reproduz aquele obtido por Weisskopf [173], se fixamos .2

30

20

cmC

6.3 Conclusões

Nesse capítulo, vimos que o método de Thompson, que é alternativo ao grupo

de renormalização (G.R), foi aplicado ao estudo da QED. Assim, tratamos cada termo

194

da lagrangeana da QED em pé-de-igualdade com base numa análise dimensional nas

escalas de comprimento ou energia-momento. Fomos capazes de extrair o

comportamento do acoplamento , mediante a equação diferencial 2

3

2

d

d

,

sendo 2

4 3

2

. Em escalas de energias mais baixas, obtivemos

0

0 ln3

21 , e

0

02o ln3

161mm . Para o regime de

energias mais altas, numa 2ª aproximação (veja-se apêndice), obtivemos que

0

200 ln

3

21ln e

0

20

100 ln

3

21ln

81mmm .

Se analisarmos o comportamento dimensional na escala para certas

quantidades, tais como a amplitude de campo para férmions )]([ l , a dimensão do

quadrado do vetor quadripotencial luA ][ 2 , o incremento de massa lm][ e o desvio de

carga l][ , sendo todas estas quantidades avaliadas na escala de comprimento l ,

então devemos observar que é possível organizar estes objetos dentro de uma

estrutura hierárquica. Desta forma, pensamos que a amplitude de campo para

férmions 132 )2(][ ll

vai como uma “superfície” 3-D de uma hiperesfera 4-D

de raio l , estando esta “superfície” imersa num espaço-tempo 4-D.

O próximo objeto nessa hierarquia corresponde à dimensão do quadrado do

vetor quadripotencial. Ela é dada por ,8][122

lA lu exibindo a lei do inverso do

quadrado da escala l . Isto representa uma estrutura bidimensional (2-D) também

imersa num espaço-tempo 4-D. Logo, poderíamos observar que, para este objeto, o

grau de liberdade na escala ( l ) foi reduzido de uma unidade. Assim, continuando a

redução de uma unidade no grau de liberdade, vem que o incremento de massa

‘ 14][ lm l ’ pode ser entendido como uma estrutura linear (1-D) imersa outra vez

num espaço-tempo (4-D).

Finalmente, o excesso de carga (acoplamento) l][ comporta-se como uma

estrutura sem dimensão, ou seja, de ordem zero ou independente da escala ).( 0l

195

Logo, ela pode ser pensada como uma estrutura O-D imersa num espaço-tempo 4-D.

Em suma, então temos a amplitude de campo para férmions “espalhada” num espaço

3-D (volume), o quadrado do potencial vetor numa superfície 2-D, a massa numa linha

(1-D) e a carga num ponto (0-D), de tal forma que procuramos relacionar estes objetos

da 4QED a uma ordenação hierárquica na topologia de um espaço-tempo 4-D.

No entanto, quando aperfeiçoamos os nossos cálculos, a carga (acoplamento)

passa a exibir uma dependência logarítmica na escala de comprimento )(l . Este

resultado poderia ser considerado como um certo regime intermediário entre um ponto

teconsl tan~0 e uma linha 1l . Isto pode ser interpretado como a carga adquirindo

uma característica fractal nessa estrutura topológica do espaço-tempo, que é devido à

influência das flutuações quânticas introduzidas pela polarização de vácuo, de tal

forma que obtemos 1ln~ ll . Essas flutuações quânticas também modulam o

comportamento do excesso de massa.

O caráter fractal de uma trajetória quântica foi considerado por Notalle [177] no

estudo da QED. Ele mostrou que, devido à polarização do vácuo, os diagramas de

auto-energia em QED nos conduzem a certas características fractais [174].

6.4 Apêndice: Obtenção da massa e da carga do elétron numa 2a aproximação ou para energias mais altas – Uma extensão do Método de Thompson.

6.4.1 Obtenção de numa 2ª aproximação.

Quando introduzimos uma carga (qo) num determinado meio dielétrico, surge

uma polarização neste meio, induzida pela carga qo. Assim sendo, sabemos que,

devido a essa polarização, medimos uma carga efetiva q menor que qo, isto é, q< qo.

No caso da polarização ser intensa, teríamos que q < < qo.

Usamos desse exemplo clássico da polarização, pois podemos estabelecer um

análogo com o caso da polarização quântica do vácuo, quando procuramos medir a

carga do elétron no vácuo quântico para altas escalas de energia, ou quando cl ,

de forma que, neste caso, a polarização do vácuo torna-se muito intensa (mais de 1

loop na teoria perturbativa usada em QED). Então, de acordo com a QED, temos uma

carga nua para o elétron Be (não renormalizada) e uma carga física, medida na escala

196

de energia ;1 l isto é, ee ; ou melhor, 2e (acoplamento

renormalizado).

Assim, com base na analogia com o fato de que a carga medida ( ) é

decorrente do efeito de blindagem gerada pela polarização de vácuo, então, vamos

pensar que há uma carga interna a esta polarização (blindagem), e vamos defini-la

como ,2220 eee I sendo 2e a carga medida.

A carga interna à blindagem (eI) é na verdade uma carga finita, cujo valor

sempre interpola a carga medida e a carga nua B , sendo esta última infinita;

portanto, vamos escrever que B . Logo, para altas energias, devido à intensa

polarização de vácuo, vem que; BI sendo que, para energias bem mais

baixas,temos BI quando a polarização diminui.

Em virtude da introdução do conceito de ‘carga interna’ à blindagem, então,

de um ponto de vista mais qualitativo, podemos definir uma lagrangeana interna (£I),

cujos parâmetros IIII A e ,m, interpolam os parâmetros da lagrangeana física £

e da lagrangeana nua £B. Embora a lagrangeana £ I não seja operacional como £, já

que não podemos ter acesso direto aos parâmetros internos dela, a sua introdução

tem por objetivo tentar estabelecer que, no regime de energias muito mais altas, os

seus parâmetros crescem drasticamente em relação aos parâmetros medidos

( ,, II etc); sendo que, no regime de energias mais baixas, o que equivale

ao regime de 1 loop pelo método perturbativo, temos que os parâmetros internos são

aproximadamente os mesmos medidos, quando etc. ,II . Logo, vamos

definir £I:

£ I = .4

1I

III

IIIIIII AieFFmi

(6.40)

Os parâmetros internos de £I, embora finitos, crescem com o crescimento da

escala de energia 1 l . Quando fica muito grande ),( cl os valores dos

parâmetros internos de £I se distanciam ainda mais dos parâmetros (externos) de £

medido. Assim, com isso, vamos pensar em termos de certas funções na escala de

energia , mapeando as quantidades ou parâmetros de £ para £I. Então, vamos

Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias escalas de comprimento

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