Exponencias

Para iniciar este estudo, você deve ter lido a matéria "Aritmética Básica". Pois lá você aprende os fundamentos utilizados nesta matéria (propriedades de potenciação e radiciação).

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade ou seja, alguma coisa igualada à outra.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:

O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos "CORTAR" as bases de ambos os lados.

Pronto, com as bases "cortadas" mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.

x=2 Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.

2x=5+22x=7x=7/2 Esta é a solução

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

Novamente começamos fatorando.

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

Com as bases iguais vamos operar os expoentes

Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar

Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.

Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.

Corta-se as bases.

x+1=2x=2-1x=1 Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

Como sempre, vamos fatorar.

Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.

Pronto, objetivo alcançado. Cortando...

8x-7=x-38x-x=7-3

7x=4x=4/7 Esta é a solução

Agora com mais raízes.

Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.

Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.

Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.

Mais uma vez para matar a última raiz.

Bases iguais, corta-las...

Agora é só operar e isolar "x".

Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:

Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser

fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.

Agora com as bases igualadas vamos corta-las.

x2-x-6=0Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.

{-2 e 3} Esta é a solução, "x" pode ser qualquer um destes valores.

Última agora

3·2x+3=192 A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que "passar" o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.

2x+3=192/3 Efetuando o cálculo

2x+3=64 Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.

2x+3=26 Cortando...

x+3=6x=6-3x=3 Esta é a nossa solução.

Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos resolvidos com outros métodos de resolução.

Resolução de exercicios

Existem alguns tipos de equações exponenciais que necessitam de uma outra forma de resolução. Veja o exemplo:

2·22x-6·2x-8=0

Se quiséssemos simplesmente igualar as bases, não conseguiríamos (tente você), pois aquele número 8 está atrapalhando.

Para resolver esta questão temos que usar uma nova técnica. Esta técnica consiste em trocar a variável (calma lá, vou explicar direirtinho).

Esta equação pode ser escrita da seguinte forma sem perder seu valor:

2·(2x)2-6·2x-8=0

Agora que entra a nova técnica. Vamos substituir o valor de "2x" pela variável "y" criada por nós. Veja como fica:

2x = y

2y2 - 6y - 8 = 0

Veja que caímos em uma equação do segundo grau.

Calculando as raízes por Bhaskara achamos y=4 e y=-1.

Atenção: aqui temos um pega-ratão, tem que ficar esperto! Estes valores (4 e -1) não são as respostas do problema, pois são os valores de "y", a variável que nós criamos.

O problema pede os valores de "x". Para acharmos os valores de "x" devemos calcular a igualdade 2x=y com os valores de "y" que calculamos:

y = 2x

4 = 2x

22 = 2x

x = 2

y = 2x

-1 = 2x

Esta resposta não existe, pois não há

nenhum expoente que possamos elevar o 2 e

dê um resultado negativo, no caso -1.

Portanto, a resposta é x=2

Tente resolver o próximo, depois veja a resolução abaixo (Gabarito é letra "D").

1)(PUC-RS) A soma das raízes da equação é

    (A) 10    (B) 8    (C) 4    (D) 2    (E) 1

Primeiro vamos organizar a equação de modo que fique mais fácil fazer a troca de variável:

Agora está pronta para trocar. Vamos dizer que 4x=y , trocando:

Aí está a equação do segundo grau que devemos calcular, mas antes vamos arrumá-la: tirar MMC ...

Aplicando Bhaskara achamos as raízes {2 e 8} , olha o pega ratão!!! Estes são os valores de "y" , e o problema pede a soma dos valores de "x" , não vá marcar letra "A" . Para achar os valores de "x" devemos substituir o "y" na equação 4x=y que criamos no início:

4x=y4x=222x=22x=1

x=1/2

4x=y4x=84x=23

22x=23

2x=3

x=3/2

Estas são as duas respostas, como o problema pede a soma:

1/2 + 3/2 = 4/2 = 2

Resposta certa letra "D".

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)  

1) Aplicando as propriedades de exponencial temos:

10x(x-1)=10-

6 Agora com as bases igualadas podemos cortá-las.

x(x-1)=-6 Operando

x2-x=-6x2-x+6=0

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos os resultados

Note que temos uma raiz quadrada de um número negativo! Isto não é um número do conjunto dos REAIS (R), portanto a resposta é x R (x não pertence aos REAIS).

 

2) 4x2=256    4x2=44

    x2=4

  

3) 2x2-7x+12=1    2x2-7x+12=20     x2-7x+12=0 (Bhaskara)    x=4 x=3

4) Tirando MMC

    

    8·2x+2x=18    9·2x=18    2x=2    x=1

5) 3x(x-4)=3-3     x(x-4)=-3     x2-4x=-3    x2-4x+3=0  (Bhaskara)    x'=3    x''=1

6) 3x2-10x+7=3-2     x2-10x+7=-2     x2-10x+7+2=0     x2-10x+9=0   (Bhaskara)    x'=9    x''=1

7) 4-(x-1)=42(x+2)

     -(x-1)=2(x+2)     -x+1=2x+4     -x-2x=4-1     -3x=3     x=-1

8) Se , então "x" vale:

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

- Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

- Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência

o lado direito da igualdade:

- As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "-1".

- Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

  Resposta certa letra "B".

9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:

    (A) -4    (B) -2    (C) -1    (D) 2    (E) 4

- Primeiro vamos "passar" o nove que está multiplicando o lado esquerdo para o lado direito dividindo:

5x2-2x+1=5625/95x2-2x+1=625

- Fatorando:

5x2-2x+1=54

- Cortando as bases:

x2-2x+1=4x2-2x+1-4=0

x2-2x-3=0

- Sendo a fórmula da soma das raízes S=-b/a, temos:

S=-(-2)/1S=2 Resposta certa letra "D".

10) (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:

    (A) -4    (B) -2    (C) 0

    (D)

    (E) 2

- Para resolver este problema, não precisamos achar o valor de "x" . É pedido quanto vale 6-x, se nós calcularmos quanto é 6x podemos calcular o que é pedido. Veja só:

6x+2=726x·62=726x·36=726x=72/36

6x=2

- Agora podemos inverter ambos os lados que a igualdade continua verdadeira:

- Aplicando as propriedades de potenciação:

6-x=½Resposta certa letra "D"

11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:

    (A) -1

    (B)

    (C) 0

    (D)

    (E) 1

 

12) (UFRGS) A solução da equação é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

Podemos então cortar as bases:

13) (UFRGS) Sabendo que então vale

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

Pegando a expressão dada no enunciado, podemos transformar a subtração em uma divisão:

4x-4x-1=244x-4x/4=24

Colocando o termo 4x em evidência:

4x(1-1/4)=24

Efetuando o MMC nos parênteses acima:

4x(3/4)=24

Efetuando as continhas:

4x=24 . (4/3)4x= 32

Agora podemos colocar os dois lados na base DOIS para poder cortá-la:

22x = 25

Cortando as bases:

2x=5x=5/2

Como o exercício pede o valor de x1/2 , devemos apenas elevar os dois lados da equação acima no expoente 1/2:

x1/2=(5/2)1/2

x1/2=51/2/21/2

Racionalizando:

x1/2=101/2/2Letra E

14) (PUCRS) A soma das raízes da equação é:

    (A) -2    (B) -1    (C) 0

    (D) 1    (E) 2

 

01) (PUCRS) O conjunto solução da equação é:

    (A) {0; 1}    (B) {0; 1/2}    (C) {0; 3/2}    (D) {1/2; 1}    (E) {1/2; 3/2}

02) (PUC-RS) A soma das raízes da equação 4x+1-9·2x+2=0 é:

    (A) -2    (B) -1    (C) 0    (D) 1    (E) 2

03) (PUCRS) O produto das raízes da equação é:

    (A) 2    (B) 3    (C) 9    (D) 12    (E) 27

04) (CAJU) O conjunto solução da equação é:

    (A) {9; 27}    (B) {3; 4}    (C) {2}    (D) {2; 3}    (E) {9}

Grafico da Função

Para o estudo de vestibular iremos ver bem por cima os gráficos de equações exponenciais.

Existem dois tipos de curvas para o gráfico de uma função exponencial: crescente e decrescente.

Este é o gráfico de uma função exponencial decrescente.

Este é o gráfico de uma função exponencial crescente.

E como iremos saber quando uma função exponencial é crescente ou decrescente???

- Isso é fácil! Lembra da nomenclatura de uma potência?

Xn

Pois é, nas exponenciais não muda quase nada. Veja só:

f(x) = ax

y = ax

A diferença é que antes o expoente era um número. Agora, o expoente será uma função de x.

Os nome continuam os mesmos: "a" é a base e "x" é o expoente. São exemplos de funções exponenciais:

Note que a base de uma função exponencial pode ser qualquer número real, mas para os estudos do vestibular iremos restringir o valor da base somente aos reais positivos. Veja por quê:

Se tivéssemos esta função, por exemplo. Aplicando as propriedades de potenciação teríamos:

Esta seria a função. Uma raiz quadrada de um número negativo não faz parte do conjunto dos REAIS, portanto não é pedido no vestiba.

- Tá, mas como se faz para distinguir funções crescentes ou decrescentes?

Ok, vamos traçar o gráfico das funções f(x)=2x e f(x)=(1/2)x , para isso vamos dar valore para "x" e achar seu correspondente em "y":

y=2x

xy

-1 2-1=1/2

0 20=1

1 21=2

2 22=4

f(x)=(1/2)x

xy

-2 (1/2)-2 =4

-1 (1/2)-1 =2

0 (1/2)0 =1

1 (1/2)1 =1/2

Através destes gráficos tiramos a propriedade procuradal

- Uma função exponencial será crescente se sua base for maior que 1 (a>1) ;- Uma função exponencial será decrescente se sua base for menor que 1, mas sempre positiva (0<a<1).

CURIOSIDADE

Qualquer gráfico de função exponencial do tipo f(x)=ax   passa pelo ponto (0,1), pois qualquer número elevado na potência zero vale 1:

a0=1

Inequações exponencial

Antes de mais nada, vamos interpretar o nome "Inequações Exponenciais".

É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE ou um sinal de igual (=).

É "Exponencial" pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é "x").

Veja uns exemplos de inequações exponenciais:

23x > 4x             54x2 < 253x            

Note que nestas expressões não aparece o sinal de igualdade (=), e sim outros sinais. São eles:

Símbolo Significado

> maior

< menor

≥ maior ou igual

≤ menor ou igual

Veja também, algumas frases matemática que utilizam estes simbolos:

Frase Como se lê V/F

2 < 3 Dois é menor que três. VERDADEIRO

43 > 40 Quarenta e três é maior que quarenta. VERDADEIRO

23 ≥ 100 Vinte e três é maior ou igual que cem. FALSO

Dois terços é menor ou igual a quatro terços. VERDADEIRO

5 ≥ 5 Cinco maior ou igual a cinco. VERDADEIRO

OBS.: Na inequação acima, como o sinal significa "maior OU igual" pode ser ou maior ou igual.No exemplo é igual, por isso é verdadeiro.

Devemos lembrar que, em uma inequação, quando trocarmos o lado direito da desigualdade pelo lado esquerdo da mesma, o sinal deve também inverter. Ou seja:

25 < 50 Agora vamos colocar o 25 para direita e o 50 para esquerda.

50 > 25Note que o sinal teve que obrigatoriamente inverter. Esta regra também vale para inequações exponenciais.

23x ≤ 32x Ao inverter os lados:

32x ≥ 23x Devemos inverter o sinal de desigualdade, qualquer que seja ele.

A resolução de INEquações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação exponencial: IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. O 1o tipo que iremos ver, não tem diferença nenhuma no modo de resolver em relação as equações. Veja um exemplo do 1o tipo resolvido abaixo:

2x < 83 Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados:

2x < (23)3 Aplicando as propriedades de potenciação

2x < 29 Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes.

x < 9 Gran finale!! Esta é a resposta

Se você estudou bem as equações, não terá dificuldades em inequações.

O 2o tipo tem uma pequena diferença, mas nada que dê para assustar. Faz de conta que não sabemos que existe tal diferença e vamos resolver o problema abaixo:

Bom, como o objetivo é igualar as bases, já conseguimos. O exercício nos entregou quase pronto. Agora é só cortar as bases e trabalhar com os expoentes.

4x + 5 ≥ 2x + 3 Vamos resolver

4x - 2x ≥ 3 - 52x ≥ -2x ≥ -1

Esta seria a resposta que nós acharíamos, se não soubéssemos o segundo tipo. Vamos verificar se dá certo?

Se esta resposta for a certa, qualquer valor maior do que -1 (ou o próprio -1) que substituirmos na inequação inicial deveremos achar uma frase verdadeira. Vamos testar com o valor 0.

Note que não chegamos em uma verdade pois não é

maior nem igual a .

Isto sempre irá acontecer quando tivermos como base um número que seja menor que 1 e maior que 0 (0<base<1). Repare que esta é a mesma restrição para se ter uma função exponencial DECRESCENTE. Veja o gráfico abaixo de uma função exponencial decrescente:

Note que se aumentarmos o valor de x, iremos diminuir o valor de y (x2>x1 <=> ax2<ax1). Isto nos indica que quando "cortarmos" as bases de uma inequação com 0<base<1 devemos inverter a desigualdade.

Veja o exemplo acima resolvido corretamente:

Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade.

4x + 5 ≤ 2x + 3 Agora é só resolver.

4x - 2x ≤ 3 - 52x ≤ -2x ≤ -1

Agora sim esta é a resposta certa!

 

OBSERVAÇÃO

Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0 (0<base<1) devemos

INVERTER o sinal da desigualdade ao "cortar" as bases da inequação.

Clique aqui para fazer alguns exercícios e ver alguns resolvidos sobre esta matéria.

Exercicios resolvidos

1) (PUCRS) Se , então x pertence ao intervalo

    (A) [0; 1)    (B) (0; 2)    (C) (1; 2)    (D) (1; 3)    (E) (2; 3)

- Neste exercícios podemos dizer que a potência da esquerda tem "4 níveis". Temos que ir "cortando" um a um. Vamos igualar a primeira base:

Agora podemos cortar a base 2.

Igualamos novamente, podemos cortar a nova base 2.

Igualadas novamente, temos o valor de "x".

O único intervalo que contém o 1 é o da letra "C". Note que nas respostas "A", "C" e "D" o número 1 aparece "aberto" (com parênteses) portanto não faz parte do conjunto. Resposta certa, letra "C"

2) (UNISINOS) Se , então x é:

    (A) -1    (B) 2    (C) 4    (D) 6    (E) 8

- Primeiro vamos transformar todos os números decimais em frações (fica mais fácil):

- Agora é só calcular:

Resposta certa, letra "C".

3) (UFRGS) A solução da inequação é o conjunto

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)     (E)

- O lado direito da inequação podemos trocar por e já temos as bases igualadas.

Agora podemos cortar as bases.

Mas, atenção: quando temos a base menor do que 1 e maior que zero (0 < b < 1) devemos inverter a desigualdade ao cortar as bases.

(1-x) < 01-x < 0-x < -1    Vamos multiplicar ambos os lados por -1 (lembre-se que quando fazemos isso devemos trocar novamente a desigualdade)x > 1    Resposta certa letra "A".

4) (UNISINOS) Os valores de a e x para os quais a igualdade a(x-3)0=32 é verdadeira

    (A) a=1 e x=9    (B) a=3 e x=5

    (C) para todo valor de x 3 e a=9    (D) a=6 e x=5    (E) para qualquer valor de x 3 e a=3

- A primeira coisa que devemos olhar é que o "a" está elevado na potência (x-3)0 que vale 1, mas nem sempre. Não podemos ter 00 , portanto x 3. Agora fica fácil:

a1=32

a=9  Resposta certa letra "C".

5) (CAJU) A soma dos valores das soluções da equação é:

    (A) 1    (B) 2    (C) 3    (D) 36    (E) 42

- Vamos utilizar as propriedades das potências e também tirar o MMC:

- Agora cortando o denominador e igualdando à zero:

    -62x+42·6x-216=0    -(6x)2+42·6x-216=0

- Neste momento devemos utilizar a técnica de troca de base. Vamos arbitrar 6x=y e teremos:

    -y2+42y-216=0

- Agora vamos resolver este equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara.

- Esta não é a resposta, são os valores de y. Agora devemos substituir na fórmula criada por nós: 6x=y.

6x = 6

x = 1

6x = 36

6x = 62

x = 2- Como o exercício pede a soma dos valores: 2+1=3 Resposta certa, letra "C".

6) (CAJU) O produto dos valores das soluções da equação 7x-1-50=-73-x é:

    (A) 3    (B) 4    (C) 2401    (D) 350    (E) 1

- Vamos primeiro utilizar as propriedades de potênciação e colocar esta equação em uma forma mais "amigável":

- Agora tirando o MMC:

- Pronto, podemos cortar o denominador e temos uma equação um tanto quanto mais amigável! Agora vamos arrumá-la para trocarmos a variável:

72x-350·7x=-2401(7x)2-350·7x+2401=0

- Vamos efetuar a técnica de troca de variáveis. Dizemos 7x=y e temos:

y2-350y+2401=0    Aplicando Bhaskara

- Novamente, estes são os valores de "y", e não de "x". Para calcular os valores de "x" temos:

7x=y7x=3437x=73

x=3

7x=y7x=7x=1

- Como o exercício pede o produto dos valores, 3·1=3. Resposta certa, letra "A".

7) (IPA/IMEC) Se 2x+2-x=10 então 4x+4-x vale

    (A) 40    (B) 50    (C) 75    (D) 98    (E) 100

- Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

- Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

- Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:

Pronto, exercício resolvido. Resposta certa letra "D".

8) A solução da equação é:

    (A) -5    (B) -4    (C) -3    (D) -2    (E) -1

- Primeiro de tudo, vamos efetuar a soma de frações do denominador da esquerda da equação:

- Efetuando as operações:

8x-1=-7·8x

8x+7·8x=1    Colocando o 8x em evidência8x·(1+7)=18x·8=1         Multiplicação de potências de mesma base.8x+1=1         Sabemos que qualquer número elevado na potência ZERO vale 1.8x+1=80       Cortando as basesx+1=0x=-1              Resposta certa, letra "E".

9) (CAJU) O gráfico que melhor representa a função é:

   (A)    (B)

   (C)    (D)

   (E)

- Como vimos no capítulo de gráficos, o gráfico de uma função exponencial depende da base.

Neste exercício a base é o número π que vale aproximadamente 3,14.

Sende este número maior do que 1, o gráfico desta função deve, obrigatoriamente, ser crescente.

Portanto, a única alternativa que se parece com o gráfico de uma exponencial crescente é a letra "D".