UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE CASTANHAL

FACULDADE DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Josué Augusto Gonçalves da Silva

EXTENSÕES ALGÉBRICAS DE CORPOS

CASTANHAL-PA 2018

Josué Augusto Gonçalves da Silva

EXTENSÕES ALGÉBRICAS DE CORPOS

Trabalho de conclusão de curso apresentado na Universidade Federal do Pará-UFPA do Campus de Castanhal, como requisito parcial para obtenção do título de graduado no curso de Licenciatura Plena em Matemática, sob orientação do Professor Dr. Frayzer Lima de Almeida.

Castanhal-PA 2018

Josué Augusto Gonçalves da silva

EXTENSÕES ALGÉBRICAS DE CORPOS

Trabalho de conclusão de curso apresentado na Universidade Federal do Pará-

UFPA do Campus de Castanhal, como requisito parcial para obtenção do título de

graduado no curso de Licenciatura Plena em Matemática, sob orientação do

Professor Dr. Frayzer Lima de Almeida.

Aprovada em: ___/___/___

Conceito:

Banca examinadora

___________________________________________

Prof. Dr. Frayzer Lima de Almeida

Orientador

___________________________________________

Prof. Dr. Edilberto Oliveira Rozal

Membro da banca

Resumo

O trabalho visa apresentar um estudo sobre extensões algébricas de corpos,

mais especificamente dos racionais ℚ, onde será exibida ao longo do

desenvolvimento uma série de definições algébricas tais como, grupos, anéis e

corpos, que contribuirão para explicar os teoremas ao longo do trabalho. A teoria de

Galois nos dá uma bela resposta sobre algumas definições de construção de corpos

𝐾, onde ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, por meio de equações polinomiais através de um processo

chamado de adjunção de raízes de um polinômio 𝑃(𝑥), onde 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] e 𝐾 ∈ 𝐾[𝑥].

Nesse contexto, daremos ênfase em demonstrar o teorema de isomorfismo de

corpos 𝐾 ligados a raízes algébricas e transcendente de polinômios irredutíveis, com

𝛼 ∈ 𝐾 𝑃(𝛼) = 0 e 𝑃(𝛼) ≠ 0, respectivamente, que servirá para explicar o processo

de adjunção de raízes de um polinômio para trabalhos futuros.

Palavras-chave: Grupos, anéis, corpos e extensões de corpos.

Abstract

This paper aims to present a study of the algebraic extensions of the bodies,

more specifically of the rational ℚ, where a series of algebraic definitions such as

groups, rings and bodies will be presented throughout the development, which will

contribute to explain the theorems. Galois theory gives us a nice answer about some

definitions of body 𝐾, where ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, building by means of polynomials equations

through a process called the adjunction of roots of a polynomial 𝑃(𝑥), where 𝑃(𝑥) ∈

𝐾[𝑥] and 𝐾 ∈ 𝐾[𝑥]. In this context, we will emphasize in demonstrating the

isomorphism theorem of bodies 𝐾 linked to algebriac roots and transcendent

irreducible polynomials, with 𝛼 ∈ 𝐾, 𝑃(𝛼) = 0 and 𝑃(𝛼) ≠ 0, respectively, which will

serve to explain the process of the adjunction of roots of a polynomial to future work.

Key words: Groups, Rings, Bodies and Body Extensions

Sumário

1. INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................5

1.1. GRUPOS ................................................................................................................................6

1.2. SUBGRUPOS .........................................................................................................................9

1.3. HOMOMORFISMO DE GRUPOS .................................................................................... 10

1.4. GRUPOS CÍCLICOS, CLASSES LATERAIS, SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS

QUOCIENTES. ........................................................................................................................................... 13

1.5. TEOREMA DO ISOMORFISMO DE GRUPOS ............................................................... 19

2. ANÉIS, HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS DE ANÉIS. .............................................. 22

2.1. CORPO DE FRAÇÕES DE ANEL DE INTEGRIDADE .................................................. 37

2.2. POLINÔMIOS SOBRE UM ANEL. ................................................................................... 39

2.3. DIVISIBILIDADE EM 𝒜[𝑥] EXATA .................................................................................. 41

3. EXTENSÃO ALGÉBRICAS DE CORPOS................................................................................. 52

3.1. EXTENSÃO DE ISOMORFISMO DE CORPOS .............................................................. 55

3.2. ALGUMAS APLICAÇÕES ................................................................................................ 59

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 61

REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 62

5

1. INTRODUÇÃO

A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção abstrata de grupo na

teoria das equações, mas também por levar, através de contribuições de Richard

Dedekind, que introduziu em 1871 a noção de ideal, Leopold Kronecker e Ernst

Eduard kummer, ao que se pode chamar tratamento aritmético da álgebra, algo

parecido com a aritmetização da análise.

Inspirado pela prova de Abel da irresolubilidade por radicais da equação

quintica, que hoje é conhecida como teorema de Abel-Ruffini pela seguinte questão:

“Porque não existe uma fórmula para raízes de uma equação polinomial de quinta

ordem (ou maior) em termos de coeficientes de polinômios, usando somente as

operações algébricas usuais (adição, subtração, multiplicação e divisão) e aplicação

de radicais (raiz quadrada, raiz cúbica, etc.)?, Galois descobriu que uma equação

algébrica irredutível é resolúvel por radicais se e só se seu grupo, isto é, grupo de

permutações sobre suas raízes, é resolúvel.

De modo geral, a teoria de Galois, explorado pela primeira vez no século XIX,

usa grupo de permutações para descrever como as várias raízes de uma equação

polinomial estão relacionadas umas com as outras. Não irei aprofundar sobre a

teoria de Galois, mas seus conceitos serão indispensáveis para o desenvolvimento

do estudo de extensões algébricas.

Uma das características da matemática do último século foi a sua tendência

para abstração. Das áreas da chamada Álgebra moderna, só a teoria abstrata dos

anéis e ideal é puramente um produto do século XX. O primeiro matemático a dar a

noção de anéis foi Adolf Fraenkel, mas foi Richard Dedekind quem introduziu o

conceito de anéis através de equações polinomiais e, também de corpos.

Nesse sentido, apresentaremos no primeiro momento um estudo sobre

estruturas algébricas expondo seus principais conceitos e propriedades sobre

Grupos; já no segundo capitulo apresentaremos os conceitos de anéis e corpos. E

por fim, estudaremos as definições de extensões algébricas dos corpos

demonstrando ao final desse trabalho o teorema de isomorfismo de corpos atrelados

a polinômios, com algumas aplicações sobre o tal.

6

1.1. Grupos

Em 1824 o matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) provou que

não há uma fórmula geral por radicais para resolver as equações polinomiais de

graus maiores ou iguais a 5. Dessa maneira, surge uma questão: Por que algumas

equações algébricas com graus maiores ou iguais a 5 são solúveis por radicais e

outras não?". A resposta para essa pergunta foi dada pelo matemático francês

Evariste Galois (1811-1832). Galois associou a cada equação um grupo formado por

permutações de suas raízes e condicionou a resolubilidade por radicais a uma

propriedade desse grupo. Surge assim, a teoria de Galois que, grosso modo,

procura descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma

equação polinomial; e essa é a origem histórica do conceito de grupos.

Com o tempo, a ideia de grupos se mostrou um instrumento muito importante

para a organização e o estudo de várias partes da matemática.

Definição 1.1. Um grupo é um par ordenado (𝐺 ,∗); em que 𝐺 é um conjunto não

vazio, munido de uma operação denotada por ∗, tal que para todo 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ∈ 𝐺, as

seguintes condições são satisfeitas:

(𝑖) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) (Associatividade);

(𝑖𝑖) Existe um elemento 𝑒 ∈ 𝐺, tal que 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 (Existência do elemento

neutro);

(𝑖𝑖𝑖) Para cada elemento 𝑥 ∈ 𝐺, existe 𝑏 ∈ 𝐺 , tal que 𝑥 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑥 = 𝑒 (Existência

do elemento simétrico).

(𝑖𝑣) Para qualquer 𝑥 𝑒 𝑦 ∈ 𝐺, tal que 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 , dizemos que (𝐺,∗) é um grupo

comutativo ou abeliano.

Observação 1.1. A operação é uma função do tipo:

∗ ∶ 𝐺 × 𝐺 ⟶ 𝐺

(𝑥, 𝑦) ⟶ 𝑥 ∗ 𝑦

7

Quando a operação do grupo é uma soma conhecida, dizemos que (𝐺, +) um

grupo aditivo. O mesmo acontece quando a operação é uma multiplicação

conhecida, neste caso dizemos que (𝐺, . ) é um grupo multiplicativo. Quando ficar

subentendida a existência da operação, vamos nos referir ao grupo (𝐺, ∗)

simplesmente por grupo G.

Exemplo 1.1.

𝑀2(ℝ) é um grupo em que a operação + é soma usual de matrizes.

Sejam 𝐴 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22), 𝐵 = (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22) e 𝐶 = (

𝑐11 𝑐12

𝑐21 𝑐22) ∈ 𝑀2(ℝ)

Então temos:

Associatividade.

𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + ((

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22) + (

𝑐11 𝑐12

𝑐21 𝑐22)) = =

= (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + ((

𝑏11 + 𝑐11 𝑏12 + 𝑐12

𝑏21 + 𝑐21 𝑏22 + 𝑐22)) =

= ( 𝑎11 + (𝑏11 + 𝑐11) 𝑎12 + (𝑏12 + 𝑐12)𝑎21 + (𝑏21 + 𝑐21) 𝑎22 + (𝑏22 + 𝑐22)

) =

=( (𝑎11 + 𝑏11) + 𝑐11 (𝑎12 + 𝑏12) + 𝑐12

(𝑎21 + 𝑏21) + 𝑐21 (𝑎22 + 𝑏22) + 𝑐22) =

=( 𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22) + (

𝑐11 𝑐12

𝑐21 𝑐22) =

=((𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22)) + (

𝑐11 𝑐12

𝑐21 𝑐22) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

Lembrando que a operação soma foi demonstrada com a associatividade com

números reais.

Existência do elemento neutro. Seja a matriz nula 𝐸 = (0 00 0

) ∈ 𝑀2(ℝ)

Assim temos:

𝐴 + 𝐸 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + (

0 00 0

) = (𝑎11 + 0 𝑎12 + 0𝑎21 + 0 𝑎22 + 0

) =

= (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) = 𝐴 = (

0 + 𝑎11 0 + 𝑎12

0 + 𝑎21 0 + 𝑎22) = (

0 00 0

) + (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) = 𝐸 + 𝐴

8

Logo 𝐸 é o elemento neutro

Existência do elemento simétrico. Seja 𝐴 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) ∈ 𝑀2(ℝ) qualquer e use

𝐴′ = (−𝑎11 −𝑎12

−𝑎21 −𝑎22). Então temos:

𝐴 + 𝐴′ = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + (

−𝑎11 −𝑎12

−𝑎21 −𝑎22) = (

𝑎11 − 𝑎11 𝑎12 − 𝑎12

𝑎21−𝑎21 𝑎22 − 𝑎22) =

= (0 00 0

) = 𝐸 e

𝐴′ + 𝐴 = (−𝑎11 −𝑎12

−𝑎21 −𝑎22) + (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) = (

−𝑎11 + 𝑎11 −𝑎12 + 𝑎12

−𝑎21+𝑎21 −𝑎22 + 𝑎22) =

= (0 00 0

) = 𝐸

Portanto 𝐴′ é simétrico de 𝐴, logo 𝑀2(ℝ) é um grupo.

Grupo abeliano. Sejam 𝐴 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) e 𝐵 = (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22) ∈ 𝑀2(ℝ)

Então temos:

𝐴 + 𝐵 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) + (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22) = (

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22) =

( 𝑏11 + 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12

𝑏21 + 𝑎21 𝑏22 + 𝑎22) = (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22) + (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) = 𝐵 + 𝐴

Com isso 𝑀2(ℝ) é um grupo abeliano

Exemplos de grupos: O conjunto dos inteiros (ℤ, +) com a adição usual é um

Grupo.

O conjunto dos números reais não nulos (ℝ∗, . ) com a operação multiplicação

usual é Grupo.

O conjunto dos números complexos (ℂ∗, . ) é um grupo multiplicativo

comutativo, pois o produto de dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 é

definido por 𝑧𝑤 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. Se verificarmos por cálculos algébricos

observar-se que (ℂ∗, . ) a operação é associativo e o elemento neutro é 1 = 1 + 0𝑖, e

o inverso de um elemento 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, não nulo, é 𝑧−1 =𝑎

𝑎2+𝑏2 +

−𝑏

𝑎2+𝑏2 𝑖

9

1.2. Subgrupos

Definição 1.2. Sejam ( 𝐺,∗) Grupo e 𝐻 ⊆ 𝐺 não vazio. Dizemos que 𝐻 é subgrupo

de 𝐺 se:

(𝑖) 𝐻 é fechado com relação à operação ∗, ou seja, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 tem-se 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐻;

(𝑖𝑖) (𝐻 ,∗) é Grupo

Lema 1.1. Sejam ( 𝐺,∗) um grupo, (𝐻,∗) um subgrupo de (𝐺 ,∗) e 𝑦 ∈ 𝐻 qualquer.

Então o inverso de 𝑦 em 𝐻 é o mesmo inverso de 𝑦 em 𝐺 e o elemento neutro de 𝐻

é o mesmo elemento neutro de 𝐺.

Demonstração: Seja 𝑦 ∈ 𝐻 qualquer e denote 𝑦′′ o inverso de 𝑦 em 𝐻 e por 𝑦′ o

inverso de 𝑦 em 𝐺. Devemos mostrar que 𝑦′′ = 𝑦′. E seja 𝑒ℎ o elemento neutro de 𝐻

e 𝑒𝑔 o elemento neutro de 𝐺. Então temos:

𝑦 ∗ 𝑦" = 𝑒ℎ = 𝑒ℎ ∗ 𝑒𝑔 = 𝑒ℎ ∗ (𝑦 ∗ 𝑦′) = (𝑒ℎ ∗ 𝑦) ∗ 𝑦′

= 𝑦 ∗ 𝑦′ ⇒ 𝑦′ ∗ (𝑦 ∗ 𝑦") = 𝑦′ ∗ (𝑦 ∗ 𝑦′)

⇒ (𝑦′ ∗ 𝑦) ∗ 𝑦" = ( 𝑦′ ∗ 𝑦) ∗ 𝑦′ ⇒ 𝑒𝑔 ∗ 𝑦"

= 𝑒𝑔 ∗ 𝑦′

Logo, 𝑦′′ = 𝑦′

Também temos:

𝑒ℎ = 𝑦 ∗ 𝑦" = 𝑦 ∗ 𝑦′ = 𝑒𝑔 ⇒ 𝑒ℎ = 𝑒𝑔

Como queríamos demonstrar.

∎

Proposição 1.2. Sejam (𝐺,∗) grupo e 𝐻 ⊆ 𝐺 não vazio. 𝐻 é subgrupo de 𝐺 se, e

somente se, para qualquer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 tem-se 𝑥 ∗ 𝑦′ ∈ 𝐻, em que 𝑦′ é o simétrico de

𝑦.

Exemplo 1.2. Considere o grupo aditivo 𝑀2 (ℝ). Vamos mostrar que o conjunto

𝑆𝑙2 (ℝ) = {(𝑥 𝑦𝑧 −𝑥

) ; 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ∈ ℝ} é um subgrupo de 𝑀2(ℝ)

10

𝑖) Verifica-se que 𝑆𝑙2(ℝ) não é vazio. De fato, não é, pois (0 00 0

) pertence 𝑆𝑙2(ℝ)

𝑖) Sejam 𝐴 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 −𝑎22) , B= (

𝑏11 𝑏12

𝑏21 −𝑏22) ∈ 𝑆𝑙2(ℝ) quaisquer, assim temos:

𝐴 + (−𝐵) = (𝑎11 − 𝑏11 𝑎12 − 𝑏12

𝑎21 − 𝑏21 −𝑎22 + 𝑏22) = (

𝑎11 − 𝑏11 𝑎12 − 𝑏12

𝑎21 − 𝑏21 −(𝑎22 − 𝑏22))

∈ 𝑆𝑙2(ℝ)

Portanto 𝑆𝑙2(ℝ) é subgrupo de 𝑀2(ℝ).

1.3. Homomorfismo de Grupos

Agora falaremos sobre homomorfismo de grupos, em que nada mais é uma

correspondência entre dois Grupos, sujeita a algumas regras.

Definição 1.3. Seja (𝐺,∗) um grupo munido da operação ∗ e (𝐻, . ) um grupo munido

da operação . , e seja 𝑓 uma aplicação de 𝐺 em 𝐻, definimos homomorfismo de

grupos toda aplicação 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻, tal que, quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 tem-se:

𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Observação 1.2. Dizemos que uma aplicação 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 é chamado de

homomorfismo nulo, se para todo 𝑥 ∈ 𝐺 tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑒ℎ em que, 𝑒ℎ é o elemento

neutro de 𝐻.. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 quaisquer, então temos:

𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑒ℎ = 𝑒ℎ. 𝑒ℎ = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Exemplo 1.3. A aplicação 𝑓: ℤ ⟶ ℂ∗ definida por 𝑓(𝑚) = 𝑖𝑚 é um homomorfismo de

grupos. É preciso notar, primeiro que em casos como esses as operações são

usuais e devem ser pressupostas. Portanto, ℤ é um grupo aditivo e ℂ∗ grupo

multiplicativo. Então temos:

𝑓(𝑚 + 𝑛) = 𝑖𝑚+𝑛 = 𝑖𝑚. 𝑖𝑛 = 𝑓(𝑚). 𝑓(𝑛)

Logo fica provado que se trata de homomorfismo

11

Também pode-se observar que 𝑓 não é homomorfismo injetor. Para isso tem-

se um contraexemplo. De fato, 𝑓(4) = 𝑖4 = 1 e 𝑓(0) = 𝑖0 = 1, ou seja, 4 ≠ 0 e 𝑓(4) ≠

𝑓(0). Ainda mais, podemos verificar que 𝑓 não é homomorfismo sobrejetor, pois

𝐼𝑚(𝑓) = {1, 𝑖, −1, −𝑖} e o contradomínio é ℂ∗, ou seja, 𝐼𝑚(𝑓) ≠ ℂ∗

Definição 1.4. Um homomorfismo injetor é chamado de momorfismo. Um

homomorfismo sobrejetor é chamado de epimorfismo. Um homomorfismo bijetor é

chamado de isomorfismo. Um homomorfismo 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐺 é chamado de

endomorfismo. Um isomorfismo 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐺 é chamado de automorfismo.

Proposição 1.3. Sejam 𝐺, 𝐽 grupos multiplicativos cujos elementos neutros

indicaremos por 𝑒𝑔 , 𝑒𝐽, respectivamente, e 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 um homomorfismo de grupos.

Então 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑒𝐽 e para qualquer 𝑥 ∈ 𝐺 tem-se 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)−1

Demonstração: De forma bem clara 𝑒𝑔 . 𝑒𝑔 = 𝑒𝑔 (pois 𝑒𝑔 é o elemento neutro de 𝐺) e

𝑒𝐽. 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑓(𝑒𝑔 ) (pois 𝑓(𝑒𝑔 ) ∈ 𝐽 e 𝑒𝐽 é o elemento de neutro de 𝐽). Levando-se em

conta isso e a hipótese de que 𝑓 é um homomorfismo:

𝑓(𝑒𝑔). 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑓(𝑒𝑔 . 𝑒𝑔 ) = 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑒𝐽. 𝑓(𝑒𝑔 )

⟹ 𝑓(𝑒𝑔). 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑒𝐽. 𝑓(𝑒𝑔 )

⟹ 𝑓(𝑒𝑔). 𝑓(𝑒𝑔 ). 𝑓(𝑒𝑔 )−1

= 𝑒𝐽. 𝑓(𝑒𝑔 ). 𝑓(𝑒𝑔 )−1

⟹ 𝑓(𝑒𝑔) = 𝑒𝐽

Agora seja 𝑥 ∈ 𝐺 qualquer. Da proposição anterior assim temos,

𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥. 𝑥−1) = 𝑓(𝑒𝑔 ) = 𝑒𝐽 = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥)−1

⟹ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥)−1

⟹ 𝑓(𝑥)−1. 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)−1. 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥)−1

⟹ 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)−1

Portanto está provado que 𝑓(𝑒𝑔) = 𝑒𝐽 e 𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)−1

∎

12

Definição 1.5. Seja 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 um homomorfismo de grupos. O núcleo de 𝑓, denotado

por 𝑁(𝑓) 𝑜𝑢 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é o seguinte conjunto.

𝑁(𝑓) = { 𝑥 ∈ 𝐺: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐽}

Proposição 1.4. Sejam 𝐺, 𝐽 grupos quaisquer, 𝐻 um subgrupo de 𝐺 e 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽

homomorfismo. Então 𝑓(𝐻) = {𝑓(𝑥); 𝑥 ∈ 𝐻} é um subgrupo de 𝐽.

Demonstração:

𝑖) Como 𝑒𝑔 ∈ 𝐻, porque 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑓(𝑒𝑔) = 𝑒𝑗 ∈ 𝑓(𝐻) e, portanto,

𝑓(𝐻) ≠ ∅.

𝑖𝑖) Sejam 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑓(𝐻). Então 𝑓(𝑎) = 𝑐 𝑒 𝑓(𝑏) = 𝑑, para convenientes elementos 𝑎, 𝑏 ∈

𝐻. Logo, 𝑐. 𝑑−1 = 𝑓(𝑎). [𝑓(𝑏)]−1 = 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏−1) = 𝑓(𝑎. 𝑏−1). Como 𝑎. 𝑏−1 ∈ 𝐻, pois por

hipótese, 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então 𝑐. 𝑑−1 ∈ 𝑓(𝐻)

∎

Em outros termos, a proposição anterior garante que um homomorfismo de

grupos 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 transforma subgrupos de 𝐺 em subgrupos de 𝐽. Em particular, 𝐼𝑚(𝑓)

é um subgrupo de 𝐽

Proposição 1.5. Sejam 𝐺, 𝐽 grupos quaisquer e 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 um homomorfismo. Então

𝑖) 𝑁(𝑓) é um subgrupo de 𝐺;

𝑖𝑖) 𝐼𝑚( 𝑓) é um subgrupo de 𝐽

Demonstração: (𝑖) 𝑁(𝑓) é não vazio, pois 𝑓(𝑒𝑔) = 𝑒𝐽 (proposição 1.3) 𝑒𝑔 ∈ 𝑁(𝑓) e,

portanto 𝑁(𝑓) ≠ ∅. Por outro lado, se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁(𝑓), então 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑒𝐽 e,

portanto:

𝑓(𝑎. 𝑏−1) = 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏−1) = 𝑓(𝑎). [𝑓(𝑏)]−1 = 𝑒𝐽. 𝑒𝐽−1 = 𝑒𝐽

Isso mostra que 𝑎. 𝑏−1 ∈ 𝑁(𝑓).

O item (𝑖𝑖) segue da proposição 1.4, pois a 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑓(𝐺)

∎

13

Proposição 1.6. Sejam 𝐺, 𝐽 grupos e 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 um homomorfismo. Então 𝑁(𝑓) = {𝑒𝑔}

se, e somente se, 𝑓 é injetiva.

Demonstração:

(⟸) Por hipótese, 𝑓 é injetor e temos de mostrar que o único elemento de 𝑁(𝑓) é 𝑒𝑔

(elemento neutro de 𝐺). Para isso, toma-se 𝑎 ∈ 𝑁(𝑓) e demonstra-se que

necessariamente 𝑎 = 𝑒𝑔. De fato, como 𝑎 ∈ 𝑁(𝑓) então 𝑓(𝑎) = 𝑒𝐽. Mas devido a

proposição 1.3. 𝑓(𝑒𝑔) = 𝑒𝐽. Portanto, 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑒𝑔). Como, porém, 𝑓 é injetiva, por

hipótese, então 𝑎 = 𝑒𝑔

(⟹) Sejam 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐺 elementos tais que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2). Multiplicando-se cada

membro dessa igualdade por [𝑓(𝑥2)]−1, obtém-se 𝑓(𝑥1). [𝑓(𝑥2)]−1 = 𝑒𝐽. Mas sabe-se

que 𝑓(𝑥1). [𝑓(𝑥2)]−1 = 𝑓(𝑥1. 𝑥2−1) (referente da proposição 1.3). Então 𝑓(𝑥. 𝑥2

−1) =

𝑒𝐽, o que mostra que 𝑥. 𝑥2−1 ∈ 𝑁(𝑓) = {𝑒𝐽}. Portanto, 𝑥1. 𝑥2

−1 = 𝑒𝐽, logo 𝑥1 = 𝑥2. De

onde 𝑓 é injetor, como queríamos provar.

∎

1.4. Grupos Cíclicos, Classes Laterais, Subgrupos Normais e

Grupos Quocientes.

Considere (G,∗) um grupo qualquer e 𝐻 um subgrupo qualquer de 𝐺. Nas

demonstrações seguintes das proposições usa-se a notação multiplicativa, por

simplicidade. Portanto, quando referir-se a 𝐺 como grupo, usa-se 𝑥𝑦 ao invés de 𝑥 ∗

𝑦 e, para o elemento simétrico de 𝑥 em 𝐺 denota-se por 𝑥−1.

Definição 1.6. Seja 𝐺 um grupo multiplicativo. Se 𝑎 ∈ 𝐺 e 𝑚 ∈ 𝐺 um número inteiro,

define-se a potência 𝑚-ésima de 𝑎, denotado por 𝑎𝑚, da seguinte maneira:

𝑖) Se 𝑚 ≥ 0, por recorrência, da seguinte forma:

𝑎0 = 𝑒𝑔(𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐺)

𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−1𝑎, 𝑠𝑒 𝑚 ≥ 1

𝑖𝑖) Se 𝑚 < 0

𝑎𝑚 = (𝑎−𝑚)−1

14

A definição por recorrência deve ser interpretada assim: 𝑎1 = 𝑎1−1𝑎 = 𝑎0𝑎 =

𝑒𝑔𝑎 = 𝑎; 𝑎2 = 𝑎2−1𝑎 = 𝑎1𝑎 = 𝑎𝑎; 𝑎3 = 𝑎3−1𝑎 = 𝑎2𝑎 = (𝑎𝑎)𝑎, etc. Uma sequência

imediata dessa definição é que, para todo inteiro 𝑚, vale 𝑒𝑔𝑚 = 𝑒𝑔

Proposição 1.7. Seja 𝐺 um grupo multiplicativo qualquer. Se 𝑚, 𝑛 são números

inteiros e 𝑎 ∈ 𝐺, então:

(𝑖) 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛;

(𝑖𝑖) 𝑎−𝑚 = (𝑎𝑚)−1;

(𝑖𝑖𝑖) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛.

Demonstração:

(𝑖) Demonstra-se por indução sobre 𝑛 o seguinte caso: 𝑛 ≥ 0 e 𝑚 + 𝑛 ≥ 0 .

Se 𝑛 = 0, então 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑎0 = 𝑎𝑚𝑒𝑔 = 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+0 = 𝑎𝑚+𝑛. Portanto, a

propriedade é verdadeira. Seja 𝑟 ≥ 0 e suponha-se que, para qualquer inteiro 𝑚 tal

que 𝑚 + 𝑛 ≥ 0, se tenha 𝑎𝑚+𝑟 = 𝑎𝑚𝑎𝑟 . Então 𝑎𝑚𝑎𝑟+1 = 𝑎𝑚(𝑎𝑟𝑎) = (𝑎𝑚𝑎𝑟)𝑎 =

𝑎𝑚+𝑟𝑎 = 𝑎(𝑚+𝑟)+1. Logo está provado.

(𝑖𝑖) Observar-se que, devido (𝑖), 𝑎−𝑚𝑎𝑚 = 𝑎(−𝑚)+𝑚 = 𝑎0 = 𝑒𝑔, analogamente,

𝑎𝑚𝑎−𝑚 = 𝑒𝑔. Portanto, cada uma dessas potências é inversa da outra. Logo 𝑎−𝑚 =

(𝑎𝑚)−1

(𝑖𝑖𝑖) Suponha-se 𝑛 < 0. Então:

(𝑎𝑚)𝑛 = [(𝑎𝑚)−𝑛]−1 = (𝑎−𝑚𝑛)−1 = 𝑎𝑚𝑛

∎

Definição 1.7. Um grupo multiplicativo 𝐺 será chamado de grupo cíclico se, para

algum elemento 𝑎 ∈ 𝐺, denota-se por [𝑎] o subconjunto de 𝐺 , ou seja, [𝑎] =

{𝑎𝑚: 𝑚 ∈ ℤ}, se verificar a igualdade 𝐺 = [𝑎]. O elemento 𝑎 é chamado de gerador do

grupo 𝐺. E no caso aditivo temos a seguinte notação 𝐺 = {𝑚. 𝑎: 𝑚 ∈ ℤ}

15

Exemplo 1.4. Seja ℂ∗ um conjunto multiplicativo e seja 𝐼 ∈ ℂ∗. Por definição, [𝑖] =

{𝑖𝑚: 𝑚 ∈ ℤ}. Mas, como se vê no estudo dos números complexos, esse conjunto so

tem 4 elementos, 1, 𝑖, −1, −𝑖 obtidos respectivamente quando 𝑚 = 4𝑞, 𝑚 = 4𝑞 +

1, 𝑚 = 4𝑞 + 2 𝑒𝑚 = 4𝑞 + 3, portanto, [𝑖] = {1, 𝑖, −1, −𝑖}. Logo 𝐼 = [𝑖] é cíclico.

Exemplo 1.5. O grupo aditivo ℤ é cíclico, pois todos os seus elementos são múltiplos

de 1 ou −1. De fato, ℤ = {𝑚. 1; 𝑚 ∈ ℤ} ou ℤ = {𝑚. (−1); 𝑚 ∈ ℤ}. Portanto, ℤ = [1] =

[−1]. Os números 1 e −1 são, na verdade, os únicos geradores de ℤ.

Proposição 1.8. Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 um subgrupo de 𝐺 e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 qualquer. A

relação

𝑦𝑅𝑥 ⟺ 𝑥−1𝑦 ∈ 𝐻

É uma relação de equivalência em 𝐺.

Demonstração:

(𝑖) (Reflexiva) seja 𝑥 ∈ 𝐺 qualquer. Temos, 𝑥−1𝑥 = 𝑒𝑔 ∈ 𝐻, logo 𝑥𝑅𝑥

(𝑖𝑖) (Simétrica) sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 quaisquer. Temos que,

𝑦𝑅𝑥 ⟹ 𝑥−1𝑦 ∈ 𝐻 ⟹ (𝑥−1𝑦)−1 = 𝑦−1𝑥 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑥𝑅𝑦

(𝑖𝑖𝑖) (Transitiva) sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 quaisquer, tais que 𝑦𝑅𝑥 e 𝑥𝑅𝑧. Então, 𝑥−1𝑦 ∈ 𝐻 e

𝑧−1𝑥 ∈ 𝐻. Assim,

(𝑧−1𝑥). (𝑥−1𝑦) ∈ 𝐻 ⟹ 𝑧−1𝑦 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑦𝑅𝑧

Analogamente, se 𝐺 é um grupo e 𝐻 ⊂ 𝐺, a relação

𝑥𝑅∗𝑦 ⟺ 𝑦𝑥−1 ∈ 𝐻

É também uma relação de equivalência.

Agora se verifica a seguinte relação,

𝑦𝑅𝑥 ⟺ 𝑥−1𝑦 ∈ 𝐻 ⟺ ∃ℎ ∈ 𝐻 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑥−1𝑦 = ℎ ⟺ 𝑦 = 𝑥ℎ ⟺ 𝑦 ∈ 𝑥𝐻 = {𝑥ℎ; ℎ ∈ 𝐻}

16

A classe de equivalência de 𝑥 ∈ 𝐺, definida pela relação 𝑅, é:

𝑥𝐻 = {𝑦 ∈ 𝐺; 𝑦𝑅𝑥}

De maneira semelhante tem-se a relação 𝑥𝑅∗𝑦 ⟺ 𝑦𝑥−1 ∈ 𝐻, a classe de

equivalência de 𝑦 ∈ 𝐺 é:

{𝑦 ∈ 𝐺; 𝑥𝑅∗𝑦} = 𝐻𝑥

A partir dessas análises, temos as seguintes definições:

Definição 1.8. A classe de equivalência 𝑥𝐻 = {𝑥ℎ; ℎ ∈ 𝐻} é chamada de classe

lateral de 𝑥 à esquerda de 𝐻 em 𝐺

Definição 1.9. A classe de equivalência 𝐻𝑥 = {ℎ𝑥; ℎ ∈ 𝐻} é chamada de classe

lateral de 𝑥 à direita de 𝐻 em 𝐺

Definição 1.10. Um subgrupo 𝐻 de um grupo 𝐺 é chamado de subgrupo normal se,

para todo 𝑥 ∈ 𝐺, se verifica:

𝑥𝐻 = 𝐻𝑥

Exemplo 1.6. Seja 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 homomorfismo de grupos. Mostra-se que

𝑁(𝑓) é um subgrupo normal de 𝐺.

Na proposição 1.5 mostrou-se que 𝑁(𝑓) é um subgrupo de 𝐺. Agora se

mostra que todo 𝑥 ∈ 𝐺 tem-se 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥. Demonstra-se por dupla inclusão.

Primeira inclusão 𝑥𝑁(𝑓) ⊆ 𝑁(𝑓)𝑥. Seja 𝑦 ∈ 𝑥𝑁(𝑓) qualquer. Então, existe 𝑛 ∈

𝑁(𝑓) tal que 𝑦 = 𝑥𝑛. Sabendo que 𝑁(𝑓) = { 𝑥 ∈ 𝐺: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝐽}. Note que

𝑦 = 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛𝑥−1𝑥

Assim, temos

𝑓(𝑥𝑛𝑥−1) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑛)𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)𝑒𝑗𝑓(𝑥)−1 = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)−1 = 𝑒𝑗

Portanto, 𝑥𝑛𝑥−1 ∈ 𝑁(𝑓). Logo existe 𝑛1 ∈ 𝑁(𝑓) tal que, 𝑥𝑛𝑥−1 = 𝑛1

Assim, temos 𝑦 = 𝑥𝑛𝑥−1𝑥 = 𝑛1𝑥 ∈ 𝑁(𝑓)𝑥

Dessa forma, conclui-se que 𝑥𝑁(𝑓) ⊆ 𝑁(𝑓)𝑥.

17

Analogamente, demonstra-se que 𝑁(𝑓)𝑥 ⊆ 𝑥𝑁(𝑓)

Portanto, 𝑥𝑁(𝑓) = 𝑁(𝑓)𝑥. E com isso, 𝑁(𝑓) é um subgrupo normal de 𝐺.

∎

Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 ⊆ 𝐺 um subgrupo normal de 𝐺. Sabe-se que 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

𝑦𝑅𝑥 ⟺ 𝑥−1𝑦 ∈ 𝐻

É uma relação de equivalência em 𝐺. O conjunto a seguir:

𝐺 𝐻⁄ = {𝑥𝐻; 𝑥 ∈ 𝐺} = {𝐻𝑥; 𝑥 ∈ 𝐺}

É o conjunto das classes de equivalência módulo 𝐻

Lema 1.2. Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 um subgrupo de 𝐺 e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 quaisquer. Então:

(𝑖) 𝑦 ∈ 𝑥𝐻 ⟺ 𝑥𝐻 = 𝑦𝐻

(𝑖𝑖) 𝑦 ∈ 𝐻𝑥 ⟺ 𝐻𝑥 = 𝐻𝑦

Demonstração:

(𝑖) (⟹) como 𝑦 ∈ 𝑥𝐻, temos 𝑦𝑅𝑥, por simetria temos que 𝑥𝑅𝑦. Mostra-se que 𝑥𝐻 ⊆

𝑦𝐻. se 𝑧 ∈ 𝑥𝐻, então 𝑧𝑅𝑦. Mas 𝑥𝑅𝑦 logo, pela transitividade, temos 𝑧𝑅𝑦, portanto 𝑧 ∈

𝑦𝐻

𝑦 ⊆ 𝑥𝐻 é análogo.

(⟸) como 𝑦 ∈ 𝑦𝐻 e 𝑦𝐻 = 𝑥𝐻, então 𝑦 ∈ 𝑥𝐻

(𝑖𝑖) É semelhante ao item (𝑖), apenas trocamos as posições das letras 𝑥, 𝑦

Definição 1.11. Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 subgrupo normal de 𝐺. Nessas condições, o

grupo quociente 𝐺 por 𝐻 é o par formado pelo conjunto quociente 𝐺 𝐻⁄ e a restrição

aos elementos desse conjunto da multiplicação de subconjuntos de 𝐺.

18

Proposição 1.9. Sejam 𝐺 um grupo e 𝐻 subgrupo normal de 𝐺. A seguinte operação

∙: 𝐺 𝐻 × 𝐺 𝐻 ⟶ 𝐺 𝐻⁄⁄⁄

(𝑥𝐻, 𝑦𝐻) ⟼ 𝑥𝑦𝐻

Então (𝐺 𝐻⁄ , ∙) é um grupo quociente.

Demonstração:

Mostra-se, primeiro, que a operação está bem definida. Para tanto, sejam

𝑥𝐻, 𝑦𝐻, 𝑥1𝐻, 𝑦1𝐻 ∈ 𝐺 𝐻⁄ tais que, 𝑥𝐻 = 𝑥1𝐻 e 𝑦𝐻 = 𝑦1𝐻. Mostraremos que 𝑥𝑦𝐻 =

𝑥1𝑦1𝐻. Como 𝑥𝐻 = 𝑥1𝐻 e 𝑦𝐻 = 𝑦1𝐻, pelo Lema 1.2. temos que 𝑥1 ∈ 𝑥𝐻 e 𝑦1 ∈ 𝑦𝐻,

ou seja, existem ℎ1, ℎ2 ∈ 𝐻 tais que, 𝑥1 = 𝑥ℎ1 e 𝑦1 = 𝑦ℎ2. Assim 𝑥1 𝑦1 = xℎ1yℎ2 =

x(ℎ1y)ℎ2 = x(yℎ1)ℎ2 = x𝑦(ℎ1ℎ2)

Como ℎ3, ℎ2 ∈ 𝐻, temos que ℎ1ℎ2 ∈ 𝐻, ou seja, existe ℎ ∈ 𝐻 tal que ℎ3ℎ2 = ℎ

Portanto, 𝑥1 𝑦1 = 𝑥𝑦(ℎ1ℎ2) = 𝑥𝑦ℎ ∈ 𝑥𝑦𝐻

Logo, pelo Lema 1.2. temos que 𝑥𝑦𝐻 = 𝑥1 𝑦1𝐻. Com isso, conclui-se que a operação

é bem definida.

Agora prova-se os axiomas de grupos

Associatividade: Sejam 𝑥𝐻, 𝑦𝐻 , 𝑧𝐻 ∈ 𝐺 𝐻⁄ quaisquer. Assim,

(𝑥𝐻 ∙ 𝑦𝐻) ∙ 𝑧𝐻 = 𝑥𝑦𝐻 ∙ 𝑧𝐻 = (𝑥𝑦)𝑧𝐻 = 𝑥(𝑦𝑧)𝐻 = 𝑥𝐻 ∙ 𝑦𝑧𝐻 = 𝑥𝐻 ∙ (𝑦𝐻 ∙ 𝑧𝐻)

Existência do elemento neutro: Considere 𝑒𝐻 = 𝐻 ∈ 𝐺 𝐻⁄ e dado 𝑥𝐻 ∈ 𝐺 𝐻⁄

qualquer, temos:

𝑒𝐻 ∙ 𝑥𝐻 = 𝑒𝑥𝐻 = 𝑥𝐻 = 𝑥𝐻 ∙ 𝑒𝐻 = 𝑥𝑒𝐻

Logo 𝑒𝐻 é o elemento neutro de 𝐺 𝐻⁄ .

Existência do elemento simétrico: seja 𝑥𝐻 ∈ 𝐺 𝐻⁄ qualquer. Note que 𝑥−1 ∈ 𝐺 𝐻⁄ ,

temos:

𝑥𝐻 ∙ 𝑥−1𝐻 = 𝑥𝑥−1𝐻 = 𝑒𝐻

19

𝑥−1𝐻 ∙ 𝑥𝐻 = 𝑥−1𝑥𝐻 = 𝑒𝐻

Logo 𝑥−1𝐻 é o simétrico de 𝑥𝐻. Concluímos então, que (𝐺 𝐻⁄ , ∙) é um grupo.

O teorema a seguir já foi citato ao longo do trabalho. Porém, daremos mais

ênfase demonstrando-o com mais detalhes.

1.5. Teorema do isomorfismo de grupos

Sejam 𝐺 e 𝐽 grupos. Dado 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 homomorfismo. Agora iremos construir um

isomorfismo, a partir de 𝑓. Já foi explicado ao longo do trabalho, que um isomorfismo

é um homomorfismo injetor e sobrejetor. Vamos resolver por parte essa questão. A

construção de um homomorfismo sobrejetor é imediata, basta mudar o

contradomínio de 𝑓, para 𝐼𝑚(𝑓), o que resolve a sobrejetividade. Mas, e a

injetividade? Seria o seguinte: Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 são tais que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦), então

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ⟹ 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)−1 = 𝑒𝑗 ⟹ 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦−1) = 𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑒𝑗

Isso significa que 𝑥𝑦−1 ∈ 𝑁(𝑓)

Teorema 1.1 (Teorema do isomorfismo para grupos)

Sejam 𝐺 e 𝐽 grupos e 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐽 homomorfismo. Então, a função:

𝜑: 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓)

𝑥𝑁(𝑓) ⟼ 𝑓(𝑥)

É um isomorfismo.

Demonstração: Primeiro vamos verificar se 𝜑 está bem definida. Para tanto, sejam

𝑥𝑁(𝑓), 𝑦𝑁(𝑓) ∈ 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ quaisquer, tais que 𝑥𝑁(𝑓) = 𝑦𝑁(𝑓). Assim, 𝑦𝑅𝑥, ou seja,

𝑥−1𝑦 ∈ 𝑁(𝑓). Note que 𝜑(𝑥𝑁(𝑓)) = 𝑓(𝑥) e 𝜑(𝑦𝑁(𝑓)) = 𝑓(𝑦), então:

𝜑(𝑥𝑁(𝑓)). (𝜑(𝑦𝑁(𝑓)))−1 = 𝑓(𝑥). (𝑓(𝑦))−1

= 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦−1) = 𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑒𝑗

⟹ 𝜑(𝑥𝑁(𝑓)) = 𝜑(𝑦𝑁(𝑓))

Portanto, 𝜑 está bem definida.

20

Mostra-se agora que 𝜑 é um homomorfismo. Sejam 𝑥𝑁(𝑓), 𝑦𝑁(𝑓) ∈ 𝐺 𝑁(𝑓)⁄

quaisquer, assim

𝜑(𝑥𝑁(𝑓)𝑦𝑁(𝑓)) = 𝜑(𝑥𝑦𝑁(𝑓)) = 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝜑(𝑥𝑁(𝑓))𝜑(𝑦𝑁(𝑓))

Logo 𝜑 é um homomorfismo

Mostra-se que 𝜑 é injetiva. Seja 𝑥𝑁(𝑓) ∈ 𝑁(𝜑). Então

𝜑(𝑥𝑁(𝑓)) = 𝑒𝑗 ⟹ 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑗

Logo 𝑥 ∈ 𝑁(𝑓), assim

𝑁(𝜑) = {𝑥𝑁(𝑓); 𝑥 ∈ 𝑁(𝑓)} = {𝑁(𝑓)}

A classe 𝑒𝑗𝑁(𝑓) = 𝑁(𝑓) é o elemento neutro do grupo quociente 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ . Com

isso, pela proposição 1.6 temos que 𝜑 é injetiva.

Mostra-se, agora, que 𝜑 é sobrejetiva. É de imediato. Seja 𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) qualquer.

Então existe 𝑥 ∈ 𝐺 tal que, 𝑓(𝑥) = 𝑦 logo existe 𝑥𝑁(𝑓) ∈ 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ tal que,

𝜑(𝑥𝑁(𝑓)) = 𝑓(𝑥) = 𝑦

Portanto 𝜑 é sobrejetiva

Como 𝜑 é um homomorfismo injetor e sobrejetor, temos então que, 𝜑 é um

isomorfismo, ou seja, 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ é isomorfo a 𝐼𝑚(𝑓), em notação fica, 𝐺 𝑁(𝑓)⁄ ≃

𝐼𝑚(𝑓), como queria-se demonstrar.

∎

Exemplo 1.7. Dado 𝑚 > 1, seja aplicação 𝑝𝑚: ℤ ⟶ ℤ𝑚 definida por

𝑝𝑚(𝑥) = �̅�

Vamos mostrar que 𝑝𝑚 é um homomorfismo. seja 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, sendo 𝑝𝑚(𝑥) = �̅� e

𝑝𝑚(𝑦) = �̅�

𝑝𝑚(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� + �̅� = 𝑝𝑚(𝑥) + 𝑝𝑚(𝑦)

21

Logo, 𝑝𝑚 é homomorfismo.

A aplicação 𝑝𝑚 também é sobrejetor. Se 𝑎 ∈ ℤ𝑚, então 𝑎 = �̅�, para algum 𝑥 ∈

{0,1,2, … . , 𝑚 − 1}, e, portanto, 𝑝𝑚(𝑥) = 𝑥 ̅ = 𝑎, com isso é sobrejetor

O núcleo 𝑁(𝑝𝑚) é o conjuto dos inteiros 𝑥 tais que �̅� = 0̅,ou seja, o conjunto

dos inteiros 𝑥 tais que 𝑥 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑚), portanto, 𝑁(𝑝𝑚) = [𝑚] = {0, ±𝑚, ±2𝑚, … . . }.

com isso o teorema do homomorfismo nos garante que ℤ [𝑚]⁄ e ℤ𝑚 são isomorfos,

ℤ [𝑚]⁄ ≃ ℤ𝑚.

22

2. ANÉIS, HOMOMORFISMOS E

ISOMORFISMOS DE ANÉIS.

Neste capitulo apresenta-se conceitos básicos para o estudo de anéis e dos

capítulos subsequentes.

A primeira ideia abstrata formal de anel foi dada pelo Alemão A. Fraenkel

(1891-1965), em 1914, embora o nome já estivesse sido introduzido por D. Hilbert

(1852-1943) perto do final do século XIX. Essa noção de anel deu-se a partir da

ideia de inteiro algébrico. Um número complexo se diz inteiro algébrico se é raiz de

um polinômio cujo coeficiente do termo de maior grau é 1 e os demais são números

inteiros.

Definição 2.1. Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio 𝒜 e

um par de operações sobre 𝒜, denotado por (𝒜, +,∗) com + (soma) e ∗

(multiplicação), tais que para quaisquer 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜.

+∶ 𝒜 × 𝒜 ⟶ 𝒜 e ∗∶ 𝒜 × 𝒜 ⟶ 𝒜

(𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑥 + 𝑦 (𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑥 ∗ 𝑦

As seguintes condições são satisfeitas para que (𝒜, +,∗) seja anel:

(𝑖) (𝒜, +) é um grupo abeliano, ou seja:

(a) Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜, então 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 (associatividade)

(b) Se 𝑥, 𝑦, ∈ 𝒜, então 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (comutatividade)

(c) Existe um número 0𝒜 ∈ 𝒜 tal que, qualquer que seja 𝑥 ∈ 𝒜, 𝑥 + 0𝒜 =

𝑥 (existência do elemento neutro)

(d) Qualquer que seja 𝑥 ∈ 𝒜, existe um elemento em 𝒜, indicado

genericamente por – 𝑥, tal que 𝑥 + (−𝑥) = 0𝒜 (elemento oposto)

(𝑖𝑖) (𝒜,∗) é associativa na multiplicação, isto é:

Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜, então 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧

(𝑖𝑖𝑖) (𝒜, +,∗) a multiplicação é distributiva em relação à adição, então:

Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜,então 𝑥 ∗ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑥 ∗ 𝑧 e (𝑥 + 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑧 + 𝑦 ∗ 𝑧

23

Assim, (𝒜, +,∗) é um anel.

Definição 2.2. Seja (𝒜, +,∗) um anel, então:

(𝑖) Para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜, com a operação multiplicativa, então 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 é

comutativo. Logo (𝒜, +,∗) é um anel comutativo.

(𝑖𝑖) (𝒜, +,∗) é um anel com unidade se existe 1𝒜 ∈ 𝒜, tal que, ∀ 𝑥 ∈ 𝒜 verifica-se a

seguinte operação 1𝒜 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 1𝒜 = 𝑥

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜, 𝑥 ∗ 𝑦 = 0, então 𝑥 = 0 ou 𝑦 = 0, dizemos que (𝒜, +,∗) é um anel

sem divisores de zero.

Se (𝒜, +,∗) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero,

dizemos que (𝒜, +,∗) é um domínio de integridade.

Definição 2.3. Se um domínio de integridade (𝒜, +,∗) satisfazer a propriedade:

(𝑖) Para qualquer 𝑥 ∈ 𝒜 − {0}, existe 𝑦 ∈ 𝒜 tal que 𝑥 ∗ y = y ∗ x = 1, diz-se que

(𝒜, +,∗) é um corpo.

Observação 2.1. Será comum usarmos expressões como “Seja (𝒜, +,∗) um anel”

ou mesmo “Seja 𝒜 um anel”. Por simplicidade usa-se a segunda ficando submetido

as operações usuais soma e multiplicação. E também, em vez de 𝑥 ∗ y usa-se 𝑥y

ou 𝑥. y na multiplicação.

Exemplo 2.1. Alguns anéis numéricos importantes, com as operações usuais, são

ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ℤ𝑚 . Já ℚ, ℝ, ℂ são exemplos de corpos munidos das operações usuais.

Exemplo 2.2. Seja 𝒜 = ℤℤ = {𝑓; 𝑓: ℤ ⟶ ℤ}. Se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒜, então 𝑓 + 𝑔 e 𝑓𝑔 é um anel.

𝑓 + 𝑔: ℤ ⟶ ℤ e (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

Com 𝑥 ∈ ℤ

𝑓𝑔: ℤ ⟶ ℤ e (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

Para todo 𝑥 ∈ ℤ

Associatividade na soma: Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝒜, então qualquer 𝑥 ∈ ℤ, temos:

((𝑓 + 𝑔) + ℎ)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)

= 𝑓(𝑥) + (𝑔 + ℎ)(𝑥) = (𝑓 + (𝑔 + ℎ)(𝑥)

A associatividade na soma é válida em ℤ

24

Com isso temos (𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)

Comutatividade na soma: Sejam 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒜, com 𝑥 ∈ ℤ, então:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) = (𝑔 + 𝑓)(𝑥)

Logo com a comutatividade da soma nos inteiros, temos (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓)

Existência do elemento neutro na soma: Seja a função 𝑒𝒜: ℤ ⟶ ℤ definida por

𝑒𝒜(𝑥) = 0 com 𝑒𝒜 ∈ 𝒜. Para todo 𝑥 ∈ ℤ e 𝑓 ∈ 𝒜, temos:

(𝑓 + 𝑒𝒜)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑒𝒜(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥) = 0 + 𝑓(𝑥) = 𝑒𝒜(𝑥) + 𝑓(𝑥)

= (𝑒𝒜 + 𝑓)

O elemento neutro na soma dos números inteiros é satisfeito, então:

𝑓 + 𝑒𝒜 = 𝑒𝒜 + 𝑓 = 𝑓

Existência do simétrico na soma: Seja 𝑓 ∈ 𝒜. Então vai existir −𝑓 ∈ 𝒜 tal que,

para todo 𝑥 ∈ ℤ, tem-se (−𝑓)(𝑥) = −𝑓(𝑥). Com isso temos:

(𝑓 + (−𝑓))(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0 = 𝑒𝒜(𝑥) e

((−𝑓) + 𝑓)(𝑥) = (−𝑓)(𝑥) + 𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 0 = 𝑒𝒜(𝑥)

Dessa maneira, −𝑓 é o elemento simétrico de 𝑓. Logo (𝒜, +) é um grupo

abeliano.

Associatividade na multiplicação: Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝒜, tal que 𝑥 ∈ ℤ, então:

((𝑓. 𝑔). ℎ)(𝑥) = (𝑓. 𝑔)(𝑥). ℎ(𝑥) = (𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)). ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥)

= 𝑓(𝑥). (𝑔(𝑥). ℎ(𝑥)) = 𝑓(𝑥). (𝑔. ℎ(𝑥)) = (𝑓. (𝑔. ℎ)(𝑥))

Logo a associatividade na multiplicação é válida, pois:

𝑓(𝑔ℎ) = (𝑓𝑔)ℎ

Comutatividade na multiplicação: Sejam 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒜 e para todo 𝑥 ∈ ℤ, temos:

(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥) = (𝑔. 𝑓)(𝑥)

A comutatividade do produto em ℤ, satisfaz:

𝑓𝑔 = 𝑔𝑓

25

Distributividade na multiplicação em relação à soma: Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝒜

quaisquer e, para todo 𝑥 ∈ ℤ, temos:

((𝑓 + 𝑔). ℎ)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥). ℎ(𝑥) = (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)). ℎ(𝑥)

= 𝑓(𝑥). ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) = (𝑓. ℎ)(𝑥) + (𝑔. ℎ)(𝑥)

Logo a distributiva na soma nos números inteiros é válida, pois:

(𝑓 + 𝑔)ℎ = 𝑓ℎ + 𝑔ℎ e

𝑓(𝑔 + ℎ) = 𝑓𝑔 + 𝑓ℎ

Existência do elemento neutro na multiplicação: Seja 𝑓 ∈ 𝒜 qualquer. Considere

a função 𝑒: ℤ ⟶ ℤ, tal que 𝑒(𝑥) = 1 com 𝑒 ∈ 𝒜 para todo 𝑥 ∈ ℤ, temos:

(𝑓. 𝑒)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥). 1 = 𝑓(𝑥) = 1. 𝑓(𝑥) = 𝑒(𝑥). 𝑓(𝑥) = (𝑒. 𝑓)(𝑥)

Dessa forma, 𝑒 é o elemento neutro de ℤ.

(𝑓𝑒) = (𝑒𝑓) = 𝑓

Portanto, conclui-se que (𝒜, +,∗) é um anel comutativo e com unidade.

Definição 2.4. Seja (𝒜, +,∗) um anel e ℬ um subconjunto não vazio de 𝒜. Diz-se

que ℬ é um subanel de 𝒜 se:

(𝑖) ℬ é fechado para as operações dotam o conjunto 𝒜 da estrutura de anel, ou seja,

para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ tem-se 𝑥 − 𝑦 ∈ ℬ e 𝑥. 𝑦 ∈ ℬ

(𝑖𝑖) (ℬ, +,∗) Tambem é um anel

Exemplo 2.3. As operações usuais dos conjuntos numéricos:

ℤ é um subanel de ℚ, ℝ, ℂ. 𝑛. ℤ é um subanel de ℤ e, também, ℤ[√𝑝] é um

subanel de ℚ[√𝑝] e este é subanel de ℝ.

Proposição 2.1. Seja 𝒜 um anel e ℬ um subconjunto não vazio de 𝒜. Então ℬ é um

subanel de 𝒜 se, e somente, se 𝑥 − 𝑦, 𝑥. 𝑦 ∈ ℬ, sempre que 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ

Demonstração: ⟹ seja ℬ um subanel de 𝒜. Pela definição ocorre que ℬ é um

subgrupo abeliano de 𝒜. Portanto 𝑥 − 𝑦 ∈ ℬ sempre que 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ e, também,𝑥. 𝑦 ∈ ℬ

sempre que 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ

26

⟸ Por hipótese, se 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ, então 𝑥 − 𝑦 ∈ ℬ. Isso prova que ℬ é um subgrupo

aditivo de 𝒜. E a operação soma é fechada, assim como na multiplicação 𝑥. 𝑦 ∈ ℬ

com 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ

Agora nos resta mostrar os itens (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) das propriedades de anéis, para

que ℬ seja um anel.

Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℬ, então 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜 e, portanto, 𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧 que mostra a

associatividade na multiplicação em ℬ.

Se 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℬ, então 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜, portanto (𝑥 + 𝑦)𝑧 = 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 e 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 +

𝑥𝑧. Logo, isso mostra que a distributividade da multiplicação em relação a soma em

ℬ. Portanto ℬ é um anel, como queria-se demostrar.

∎

Exemplo 2.4. Seja ℬ um conjunto, tal que ℬ = {𝑥 + 𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ}. Mostra-se que ℬ

é um subanel de 𝒜 = ℝ, pois, se 𝑥 + 𝑦√2, 𝑧 + 𝑤√2 ∈ ℬ, então:

(𝑥 + 𝑦√2) − (𝑧 + 𝑤√2) = (𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)√2 ∈ ℬ

E,

(𝑥 + 𝑦√2). (𝑧 + 𝑤√2) = 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤√2 + 𝑧𝑦√2 + 2𝑦𝑤

= (𝑥𝑧 + 2𝑦𝑤) + (𝑥𝑤 + 𝑧𝑦)√2 ∈ ℬ

Portanto, ℬ é um subanel de 𝒜 = ℝ

Definição 2.5. Um subanel ℬ de um corpo 𝐾 é chamado um subcorpo de 𝐾, se dado

𝑥 ∈ ℬ − {0} existe 𝑦 ∈ ℬ tal que 𝑥𝑦 = 1

Exemplo 2.5. Observe que ℚ é um subcorpo de ℝ, já ℝ é subcorpo de ℂ. ℚ[√𝑝] é

um subcorpo de ℝ

Proposição 2.2. Sejam 𝐾 um corpo e ℬ um subconjunto não vazio de 𝐾. Para que ℬ

seja um subcorpo de 𝐾 é necessário e suficiente que:

(𝑖) 0,1 ∈ ℬ

(𝑖𝑖) Se 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ, então 𝑥 − 𝑦 ∈ ℬ

27

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ 𝑦 ≠ 0, então 𝑥𝑦−1 ∈ ℬ

Demonstração: Por brevidade, demonstra-se apenas a condição suficiente. Por

hipótese temos ℬ um subgrupo do grupo aditivo 𝐾. Além disso 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ ∗, então 𝑥, 𝑦 ∈

ℬ e 𝑦 ≠ 0 e, daí, 𝑥𝑦−1 ∈ ℬ por hipótese. Mas, 𝑥. 𝑦−1 ≠ 0 por estarmos num corpo,

então 𝑥𝑦−1 ∈ ℬ∗. Logo ℬ∗ é um subgrupo do grupo multiplicativo 𝐾∗. 𝑥. 0 = 0. 𝑥 = 0,

qualquer que seja 𝑥 ∈ ℬ. Como a distributividade da multiplicação em relação à

soma, por valerem em 𝐾, também vale em ℬ. Com isso, ℬ é um subcorpo de 𝐾

∎

Exemplo 2.6. Seja ℬ um conjunto não vazio, onde ℬ = {𝑥 + 𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ} é um

subcorpo de ℝ dos números reais

(𝑖) 0 = 0 + 0√2 e 1 = 1 + 0√2, logo 0,1 ∈ ℬ

(𝑖𝑖) Se 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ, então 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√2 e 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ). Logo 𝑥 − 𝑦 =

(𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)√2. Como (𝑎 − 𝑐), (𝑏 − 𝑑) ∈ ℚ então 𝑥 − 𝑦 ∈ ℬ

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝑥, 𝑦 ∈ ℬ e 𝑦 ≠ 0, então 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√2 e 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ, 𝑐 ≠ 0 𝑜𝑢 𝑑 ≠

0), então

𝑥𝑦−1 =

=𝑎 + 𝑏√2

𝑐 + 𝑑√2=

(𝑎 + 𝑏√2). (𝑐 − 𝑑√2)

(𝑐 + 𝑑√2). (𝑐 − 𝑑√2)=

(𝑎𝑐 − 2𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)√2

𝑐2 − 2𝑑2=

=(𝑎𝑐 − 2𝑏𝑑)

𝑐2 − 2𝑑2+

(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)√2

𝑐2 − 2𝑑2

Como 𝑐2 − 2𝑑2 ≠ 0, pois, caso contrário, 𝑐

𝑑= √2 , o que é impossível, já que

𝑐, 𝑑 ∈ ℚ, então (𝑎𝑐−2𝑏𝑑)

𝑐2−2𝑑2 +(𝑏𝑐−𝑎𝑑)√2

𝑐2−2𝑑2 são números racionais, portanto, 𝑥𝑦−1 ∈ ℬ

∎

Definição 2.6. Seja 𝒜 um anel e seja ℐ um subanel de 𝒜. Dizemos que ℐ é um ideal

à esquerda de 𝒜 se, 𝑎. 𝑥 ∈ ℐ, ∀𝑎 ∈ 𝒜 e ∀𝑥 ∈ ℐ. E também, ℐ é um ideal à direita de

𝒜 se, 𝑥. 𝑎 ∈ ℐ, ∀𝑎 ∈ 𝒜 e ∀𝑥 ∈ ℐ. Simbolicamente, diz-se que ℐ é um ideal de 𝒜 se,

𝒜. ℐ ⊂ ℐ e ℐ. 𝒜 ⊂ ℐ.

28

Exemplo 2.7. Para quaisquer 𝑛 elementos 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 (𝑛 ≥ 1) de um anel

comutativo 𝒜, indica-se por ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩ o seguinte subconjunto de 𝒜:

⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩ = {𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 ; 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝒜}

Mostra-se que esse subconjunto é um ideal em 𝒜. De fato:

(a) 0 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + ⋯ + 0𝑥𝑛 ∈ ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩ e, portanto, esse conjunto não é vazio.

(b) Se 𝑏, 𝑐 ∈ ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩, então 𝑏 = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑐 = 𝑑1𝑥1 + 𝑑2𝑥2 +

⋯ + 𝑑𝑥𝑛, e que os 𝑎𝑖 e os 𝑑𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) são os elementos de 𝒜. E a partir

disso, (𝑎𝑖 − 𝑑𝑖) ∈ 𝒜, (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) e que 𝑏 − 𝑐 = (𝑎𝑖 − 𝑑𝑖)𝑥1 + ⋯ +

(𝑎𝑛 − 𝑑𝑛)𝑎𝑛, concluímos que 𝑏 − 𝑐 ∈ ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩.

(c) Se 𝑏 é um elemento de ⟨𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛⟩, ou seja, 𝑏 = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 e se 𝑐 ∈

𝒜, então:

𝑐𝑏 = ⟨𝑐𝑎1⟩𝑥1 + ⋯ + ⟨𝑐𝑎𝑛⟩𝑥𝑛 ∈ ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩, pois cada um dos produtos 𝑐𝑥𝑖

pertence a 𝒜. Portanto, o conjunto ⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩ é um ideal de 𝒜, e mais, que

esse conjunto é gerador de 𝒜 por um elemento de seus elementos.

Definição 2.7. Se 𝒜 é um anel comutativo e 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} ⊂ 𝒜, então o ideal

⟨𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛⟩ é chamado ideal gerado por 𝑆. O ideal gerado por um conjunto unitário

{𝑥} é chamado ideal principal gerado por 𝑥. Se todos os ideais de um anel

comutativo são principais, então esse anel recebe o nome de anel principal.

Exemplo 2.8. Seja 𝒜 um anel e 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝒜. É de direta verificação que o

conjunto

𝒜𝑥1 + 𝒜𝑥2 + ⋯ + 𝒜𝑥𝑛 = {𝑎1𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛; 𝑎𝑖 ∈ 𝒜}

É um ideal à esquerda de 𝒜, o qual é chamado de ideal principal gerado por

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝒜.

O ideal ℐ = 𝒜. 𝑥1 é dito ideal principal gerado por 𝑥1 ∈ 𝒜. Analogamente define-

se o ideal à direita de 𝒜 gerado por 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝒜.

Exemplo 2.9. Mostra-se que o conjunto 𝐼 = {𝑥 ∈ ℤ; 9 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 21𝑥} é um ideal em ℤ e

encontrar seu gerador.

29

O numero 0 ∈ 𝐼, pois 9 divide 0.

Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼, então 9 divide 21𝑥 e 9 divide 21𝑦 e, portanto, 9 é divisor de 21𝑥 − 21𝑦 =

21(𝑥 − 𝑦), o que mostra que (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝐼.

Se 𝑥 ∈ 𝐼, então 9 divide 21𝑥 e dai segue que 9 divide 21(𝑎𝑥) pra qualquer 𝑎 ∈ ℤ, ou

seja, 𝑎𝑥 ∈ 𝐼.

Sendo um ideal em ℤ, então 𝐼 é gerado pelo menor de seus elementos estritamente

positivos. Ao verificar-se, encontra-se o numero 3, como um desses elementos.

Portanto, 𝐼 = ⟨3⟩.

Observação 2.2. São chamados de ideais triviais do anel 𝒜 os subanéis de 𝒜 {0𝒜.}

e 𝒜. Os nãos triviais são chamados de ideais próprios de 𝒜.

Exemplo 2.10. Vamos mostrar um exemplo de ideais no anel 𝒜 = [0,1] das funções

contínuas 𝑓: [0,1] ⟶ ℝ com as operações usuais de + e . de funções.

(𝑖) Seja 𝑥 ∈ [0,1] e seja ℐ = {𝑓 ∈ 𝒜; 𝑓(𝑥) = 0} é de imediato que 0 ∈ ℐ, pois 0 é

função constante

(𝑖𝑖) Sejam 𝑓, 𝑔 ∈ ℐ e 𝑥 ∈ [0,1], então ∈ (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0 − 0 = 0

Portanto, 𝑓 − 𝑔 ∈ ℐ

(𝑖𝑖𝑖) Sejam 𝑓 ∈ 𝒜 e 𝑔 ∈ ℐ, então (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥). 0 = 0. Logo, 𝑓. 𝑔 ∈ ℐ e,

assim ℐ é um ideal à esquerda de 𝒜. De modo semelhante faz-se para ideal à direita

de 𝒜. Portanto, ℐ é um ideal de 𝒜.

Vamos agora definir as relações das classes de equivalências determinada por

um ideal de um anel. Seja 𝒜 um anel qualquer e ℐ um ideal de 𝒜. Assim, o ideal ℐ

define-se o anel 𝒜 a relação:

𝑦 ≡ 𝑥(𝑚𝑜𝑑 ℐ) ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ ℐ

Vamos provar que ≡ (𝑚𝑜𝑑 ℐ) defini uma relação de equivalência. Sejam

𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝒜, temos:

(𝑖) 𝑥 ≡ 𝑥(𝑚𝑜𝑑 ℐ) pois 0 = 𝑥 − 𝑥 ∈ ℐ

(𝑖𝑖) 𝑥 ≡ 𝑦(𝑚𝑜𝑑 ℐ) ⟹ 𝑦 ≡ 𝑥(𝑚𝑜𝑑 ℐ) pois se 𝑥 − 𝑦 ∈ ℐ, então 𝑥 − 𝑦 = −(𝑥 − 𝑦) ∈ ℐ

30

(𝑖𝑖𝑖) 𝑥 ≡ 𝑦(𝑚𝑜𝑑 ℐ) e 𝑥 ≡ 𝑦(𝑚𝑜𝑑 ℐ) ⟹ 𝑥 ≡ 𝑧(𝑚𝑜𝑑 ℐ), pois 𝑥 − 𝑦 ∈ ℐ e 𝑦 − 𝑧 ∈ ℐ ⟹ 𝑥 −

𝑧 = (𝑥 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑧) ∈ ℐ

Logo está bem definida.

Denota-se por �̅� a classe de equivalência de 𝑥 ∈ 𝒜 pela relação ≡ (𝑚𝑜𝑑 ℐ).

Então

�̅� = {𝑦 ∈ 𝒜; 𝑦 ≡ 𝑥(𝑚𝑜𝑑 ℐ)}

Pode-se detonar, também, a classe �̅� por �̅� = {𝑥 + 𝑧; 𝑧 ∈ ℐ}. E com isso,

chama-se de conjunto quociente de 𝒜 pelo ideal ℐ, ao conjunto 𝒜 ℐ⁄ = {�̅� = 𝑥 +

𝑧; 𝑥 ∈ 𝒜}. E será definido as seguintes operações em 𝒜 ℐ⁄

+: 𝒜 ℐ⁄ × 𝒜 ℐ⁄ ⟶ 𝒜 ℐ⁄ e . ∶ 𝒜 ℐ⁄ × 𝒜 ℐ⁄ ⟶ 𝒜 ℐ⁄

(𝑥,̅ �̅�) ⟼ 𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ (𝑥,̅ �̅�) ⟼ 𝑥. 𝑦̅̅ ̅̅̅

Já foi mostrado que se ℐ é um ideal de um anel comutativo 𝒜, também ele é

um subanel de 𝒜, e, portanto, um subgrupo do grupo aditivo de 𝒜. E como esse

grupo é comutativo, então ℐ é um subgrupo normal de (𝒜, +). Logo, tem sentido em

considerar-se o grupo quociente 𝒜 ℐ⁄ , e que este grupo pode se converter em um

anel, de maneira muito natural. Veja a proposição a seguir.

Proposição 2.3. Seja ℐ um ideal do anel 𝒜. Considere (ℐ, +) como subgrupo normal

de (𝒜, +), então o grupo quociente 𝒜 ℐ⁄ é um anel com a seguinte operação do

produto.

. : 𝒜 ℐ × 𝒜 ℐ⁄ ⟶ 𝒜 ℐ ⁄⁄

(𝑥 + ℐ, 𝑦 + ℐ) ⟼ (𝑥 + ℐ). (𝑦 + ℐ)

Demonstração:

Verifica-se que a operação está bem definida. Sejam 𝑥 + ℐ, 𝑦 + ℐ, 𝑧 + ℐ ∈ 𝒜 ℐ⁄ ,

tais que 𝑥 + ℐ = 𝑦 + ℐ e 𝑧 + ℐ = 𝑤 + ℐ. Mostra-se que 𝑥𝑧 + ℐ = 𝑦𝑤 + ℐ

Como 𝑥 + ℐ = 𝑦 + ℐ, então 𝑥 − 𝑦 ∈ ℐ. De maneira análoga temos 𝑧 − 𝑤 ∈ ℐ. Por

definição temos que ℐ é um ideal de 𝒜, logo (𝑥 − 𝑦)𝑧 ∈ ℐ e 𝑦(𝑧 − 𝑤) ∈ ℐ. Assim,

((𝑥 − 𝑦)𝑧 + 𝑦(𝑧 − 𝑤)) = 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 − 𝑦𝑤 = 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 ∈ 𝒜

Ou seja, 𝑥𝑧 + ℐ = 𝑦𝑤 + ℐ. Portanto, a operação está bem definida.

(Associatividade): sejam 𝑥 + ℐ, 𝑦 + ℐ, 𝑧 + ℐ ∈ 𝒜 ℐ⁄ quaisquer então,

31

(𝑥 + ℐ). ((𝑦 + ℐ). (𝑧 + ℐ)) = (𝑥 + ℐ). (𝑦𝑧 + ℐ) = 𝑥(𝑦𝑧) + ℐ

E, também

𝑥(𝑦𝑧) + ℐ = (𝑥𝑦)𝑧 + ℐ = (𝑥𝑧 + ℐ). (𝑧 + ℐ) = ((𝑥 + ℐ). (𝑦 + ℐ)). (𝑧 + ℐ)

Portanto, (𝑥 + ℐ). ((𝑦 + ℐ). (𝑧 + ℐ)) = ((𝑥 + ℐ). (𝑦 + ℐ)). (𝑧 + ℐ)

Distributividade: sejam 𝑥 + ℐ, 𝑦 + ℐ, 𝑧 + ℐ ∈ 𝒜 ℐ⁄ quaisquer então,

((𝑥 + ℐ) + (𝑦 + ℐ)). (𝑧 + ℐ) = ((𝑥 + 𝑦) + ℐ). (𝑦 + ℐ) = (𝑥 + 𝑦)𝑧 + ℐ = (𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) + ℐ

= (𝑥𝑧 + ℐ) + (𝑦𝑧 + ℐ) = (𝑥 + ℐ). (𝑧 + ℐ) + (𝑦 + ℐ). (𝑧 + ℐ)

Por outro lado,

(𝑥 + ℐ ). ((𝑦 + ℐ) + (𝑧 + ℐ)) = (𝑥 + ℐ). ((𝑦 + 𝑧) + ℐ) = (𝑥(𝑦 + 𝑧) + ℐ) = (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧) + ℐ

= (𝑥𝑦 + ℐ) + (𝑥𝑧 + ℐ) = (𝑥 + ℐ). (𝑦 + ℐ) + (𝑥 + ℐ). (𝑧 + ℐ)

Portanto, (𝒜 ℐ⁄ , +, . ) é um anel

∎

Definição 2.8. Seja 𝒜 um anel e ℳ e ℐ ideais de 𝒜. Diz-se que ℳ é um ideal

maximal de 𝒜 se ℳ ≠ 𝒜, tal que ℳ ⊂ ℐ ⊂ 𝒜, então ℐ = ℳ ou ℐ = 𝒜

Exemplo 2.11. No anel 𝒜 = ℤ × ℤ é maximal o ideal ℳ = ℤ × 2ℤ. De fato, seja ℐ um

ideal em 𝒜 tal que ℳ ⊂ ℐ. Então existe (𝑥, 𝑦) ∈ ℐ de modo que (𝑥, 𝑦) ∉ ℳ, ou seja,

temos 𝑦 = 2𝑞 + 1, um número ímpar. Como (𝑥 − 1,2𝑞) ∈ ℐ pois trata-se de um

elemento de ℳ, então

(𝑥, 2𝑞 + 1) − (𝑥 − 1,2𝑞) = (1,1) ∈ ℐ

Portanto, a unidade de 𝒜 ao ideal ℐ vale a igualdade 𝒜 = ℐ. Assim, o único

ideal em 𝒜, estritamente maior que ℳ, é 𝒜.

32

Exemplo 2.12. Vamos mostrar que 2ℤ é um ideal maximal em ℤ. De fato, se ℐ é um

ideal em ℤ que contem 2ℤ, então ℐ possui um numero impar 2𝑘 + 1. Mas, como 2𝑘 ∈

ℐ, pois 2𝑘 pertence a 2ℤ e ℐ ⊃ 2ℤ, então (2𝑘 + 1) − (2𝑘) = 1 ∈ ℐ. Ou seja, ℐ = ℤ.

Pela definição de ideal máxima, está provada.

Proposição 2.4. Todo ideal maximal em um anel comutativo com unidade é

necessariamente um ideal primo.

Demonstração: Seja ℳ um ideal maximal de um anel comutativo 𝒜. Da definição

de ideal maximal ocorre ℳ ≠ 𝒜. Basta provar que, se 𝑥, 𝑦 são elementos de 𝒜, tais

que 𝑥𝑦 ∈ ℳ, então 𝑥 ∈ ℳ ou 𝑦 ∈ ℳ. Suponha-se que 𝑥 ∉ ℳ e considerar o ideal

ℐ = ⟨𝑥⟩ + ℳ e com isso ℳ ⊂ ℐ

Como, porém 𝑥 ∈ ℐ, pois 𝑥 = 1. 𝑥 + 0 e 0 ∈ ℳ, pela suposição de 𝑥 ∉ ℳ, então

ℐ contém ℳ e, portanto, ℐ = 𝒜. Isso significa que a unidade de 𝒜 pode ser escrita

assim:

1 = 𝑟𝑥 + 𝑚

Em que 𝑟 e 𝑚 são elementos de 𝒜 e ℳ, respectivamente. Multiplicando ambos

os lados dessa igualdade por 𝑦, temos:

𝑦 = 𝑟(𝑦𝑥) + 𝑦𝑚

Isso mostra que 𝑦 ∈ ℳ, já que 𝑥𝑦, 𝑚 ∈ ℳ

∎

Teorema 2.1. Seja 𝒜 um anel comutativo e com unidade 1 ∈ 𝒜. Então as seguintes

condições são equivalentes:

(𝑖) 𝒜 é um corpo

(𝑖𝑖) {0} é um ideal maximal em 𝒜

(𝑖𝑖𝑖) Os únicos ideais de 𝒜 são os triviais

33

Demonstração: (𝑖) ⟹ (𝑖𝑖) Seja 𝒜 um corpo, por hipótese, e seja ℐ um ideal de 𝒜

tal que {0} ⊂ ℐ ⊂ 𝒜. Suponha-se ℐ ≠ {0}. Assim existe 0 ≠ 𝑥 ∈ ℐ. Como 𝒜 é um

corpo existe 𝑦 ∈ 𝒜 tal que 𝑦. 𝑥 = 1 e, portanto 1 ∈ ℐ e daí, segue imediatamente que

ℐ = 𝒜. (𝑖𝑖) ⟹ (𝑖𝑖𝑖) Segue imediatamente das definições. (𝑖𝑖𝑖) ⟹ (𝑖) Seja 0 ≠ 𝑥 ∈ 𝒜

e ℐ = 𝒜. 𝑥 o ideal principal de 𝒜 gerado por 𝑥. Como 1 ∈ 𝒜, temos ∈ 𝑥 = 1. 𝑥 ∈ ℐ, ou

seja, ℐ ≠ {0} e assim pela nossa hipótese, teremos ℐ = 𝒜, logo

1 ∈ 𝒜 = 𝒜. 𝑥

Donde existe 𝑦 ∈ 𝒜 tal que 1 = 𝑦. 𝑥

Definição 2.9. Seja 𝒜 um anel. Suponha-se que para algum inteiro 𝑛 > 0 e para

qualquer 𝑥 ∈ 𝒜 verifica-se a igualdade 𝑛. 𝑥 = 0. Então existe um menor inteiro

estritamente positivo 𝑟 tal que 𝑟. 𝑥 = 0. Esse inteiro 𝑟 é chamado de característica do

anel 𝒜 indicado por 𝑐(𝒜).

Exemplo 2.13. Os anéis ℤ, ℚ, ℝ, ℂ tem característica 0, pois, se 𝑚 ≠ 0 então 𝑚. 1 =

𝑚 e, portanto, 1. 𝑚 ≠ 0

Teorema 2.2. Sejam 𝒜 um anel comutativo com unidade 1 e ℐ um ideal de 𝒜. Então

ℐ é um ideal maximal de 𝒜 se, e somente se, 𝒜 ℐ⁄ é um corpo.

Demonstração:

⟹ Pela definição temos que ℐ é um ideal de 𝒜, e seja 0̅ ≠ �̅� ∈ �̅� = 𝒜 ℐ⁄ . Temos

que provar que ∃ �̅� ∈ �̅� tal que �̅�. �̅� = 1. De fato, se ℒ = 𝒜. 𝑥 ideal gerado por 𝑥,

temos que : ℐ + ℒ = {𝑎 + 𝑏; 𝑎 ∈ ℐ, 𝑏 ∈ ℒ} é um ideal contento ℐ, e mais �̅� ≠ 0̅ se, e

somente se, 𝑥 ∉ ℐ. Como 𝑥 = 1. 𝑥 ∈ ℒ ⊂ ℐ + ℒ temos que ℐ + ℒ é um ideal que

contém ℐ e mais ℐ + ℒ ≠ ℐ. Pela maximalidade de ℐ segue que 𝒜 = ℐ + ℒ e daí vem,

1 ∈ ℐ + ℒ implica que existe 𝑢 ∈ ℐ, 𝑣 ∈ ℒ tais que 1 = 𝑢 + 𝑣.

Assim, existe 𝑢 ∈ ℐ, 𝑣 ∈ ℒ = 𝒜. 𝑥 e temos que 𝑣 = 𝑦. 𝑥 para algum 𝑦 ∈ 𝒜, ou

seja, existe 𝑦 ∈ 𝒜 e 𝑢 ∈ ℐ tais que 1 = 𝑢 + 𝑦. 𝑥. Passando barra em ambos os

membros, segue que, 1̅ = 𝑢 + 𝑦. 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� + 𝑦. 𝑥̅̅ ̅̅̅ = 0̅ + �̅�. �̅�, isto é, �̅�. �̅� = �̅�. �̅� = 1, como

queríamos demonstrar.

∎

34

⟸ Fazendo a volta, suponha-se que �̅� = 𝒜 ℐ⁄ seja um corpo. Assim 0,̅ 1̅ ∈ �̅�

implica que ℐ ≠ 𝒜. Se ℳ ≠ ℐ é um ideal de 𝒜 e ℐ ⊂ ℳ ⊂ 𝒜, então teremos que

existe 𝑥 ∈ ℳ, 𝑥 ≠ ℐ, ou seja, �̅� ≠ 0̅, com �̅� ∈ �̅�. Como 𝒜 é um corpo existe �̅� ∈ �̅�

tal que 𝑥.̅ �̅� = 1̅, ou ainda,

𝑥. 𝑦 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 ℐ) ⟺ 𝑥. 𝑦 − 1 ∈ ℐ ⟺ ∃ 𝑢 ∈ ℐ

Tal que 𝑥𝑦 − 1 = 𝑢, e isto nos diz que, 1 = 𝑥𝑦 − 𝑢. Como 𝑥 ∈ ℳ segue que

𝑥𝑦 ∈ ℳ e como 𝑢 ∈ ℐ ⊂ ℳ temos também 𝑢 ∈ ℳ. Logo conclui-se que 1 = 𝑥𝑦 − 𝑢 ∈

ℳ e imediatamente ℳ = 𝒜.

∎

Sejam 𝒜, ℬ anéis quaisquer. Dentre as operações de 𝒜 em ℬ, tem a

importância destacada aquelas que preservam as leis de composições internas que

fazem 𝒜 e ℬ anéis.

Definição 2.10. Sejam 𝒜 e ℬ dois anéis. Uma aplicação 𝑓: 𝒜 ⟶ ℬ é chamado de

homomorfismo de anéis de 𝒜 em ℬ se as seguintes condições são verificadas:

𝑖) Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜 ⟹ 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

(𝑖𝑖) Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜 ⟹ 𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Exemplo 2.14. Sejam 𝒜 = ℤ e ℬ = ℤ × ℤ. A aplicação 𝑓: ℤ ⟶ ℤ × ℤ dada por 𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥, 0), ∀𝑥 ∈ ℤ é um homomorfismo de anéis porque,

𝑓(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 0) = (𝑥, 0) + (𝑦, 0) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)

𝑓(𝑥. 𝑦) = (𝑥𝑦, 0) = (𝑥, 0). (𝑦, 0) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Teorema 2.3. Sejam 𝒜 e ℬ anéis e 𝑓: 𝒜 ⟶ ℬ um homomorfismo de anéis, então:

(𝑖) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑓(𝑥); 𝑥 ∈ 𝒜} é um subanel de ℬ;

(𝑖𝑖) 𝑁(𝑓) = ker(𝑓) = { 𝑥 ∈ 𝒜; 𝑓(𝑥) = 0ℬ} é um ideal de 𝒜 e 𝑓 é injetiva ⟺ 𝑁(𝑓) =

{0};

(𝑖𝑖𝑖) Os anéis 𝒜 𝑁(𝑓)⁄ e 𝐼𝑚𝑓 são isomorfos.

Demonstração: (𝑖) ⟹ vamos mostrar que 𝐼𝑚𝑓 é subanel de ℬ

0ℬ = 𝑓(0) ∈ 𝐼𝑚𝑓

35

𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) ∈ 𝐼𝑚𝑓 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) ∈ 𝐼𝑚𝑓

𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) ∈ 𝐼𝑚𝑓 ⟹ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥. 𝑦) ∈ 𝐼𝑚𝑓

Com isso 𝐼𝑚𝑓 é um subanel de ℬ.

(𝑖𝑖) ⟹ Vamos provar que 𝑁(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝒜: 𝑓(𝑥) = 0ℬ} é um ideal de 𝒜

a) 0 ∈ 𝑁(𝑓) pois 𝑓(0) = 0ℬ

b) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁(𝑓) ⟹ 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 0ℬ − 0ℬ = 0ℬ

Ou seja, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁(𝑓)

Seja 𝑥 ∈ 𝒜 e 𝑛 ∈ 𝑁(𝑓) então

𝑓(𝑥. 𝑛) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑥). 0ℬ = 0ℬ

𝑓(𝑛. 𝑥) = 𝑓(𝑛). 𝑓(𝑥) = 0ℬ . 𝑓(𝑥) = 0ℬ

Ou seja, 𝑥. 𝑛 e 𝑛. 𝑥 ∈ 𝑁(𝑓), com isso 𝑁(𝑓) é um ideal de 𝒜

Agora, se 𝑓 é injetiva, segue imediatamente que 𝑁(𝑓) = {0} pois, 𝑓(0) = 0ℬ

Se 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦), 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜 e 𝑁(𝑓) = {0} segue 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 0ℬ ⟹ 𝑓(𝑥 − 𝑦) =

0ℬ então 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁(𝑓) = {0} ⟹ 𝑥 = 𝑦 e isto prova o item (𝑖𝑖)

(𝑖𝑖𝑖) Para demonstramos este item, primeiro define-se a função bijetora:

𝜓: 𝒜 𝑁(𝑓)⁄ ⟶ 𝐼𝑚𝑓

�̅� ⟼ 𝑓(𝑎)

Dados 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜 são tais que �̅� = �̅�, então 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦). E de fato, se �̅� = �̅�,

então �̅� − �̅� = 0 ∈ 𝑁(𝑓), logo 𝑓(�̅� − �̅�) = 0 e, além disso, 𝑓(�̅� − �̅�) = 𝑓(�̅�) − 𝑓(�̅�),

pois 𝑓 é um homomorfismo. Portanto, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).

Agora 𝜓 é uma aplicação sobrejetiva e é um homomorfismo, pois para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜

temos

(a) 𝜓(�̅� + �̅�) = 𝜓(𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = 𝜓(𝑥 + 𝑦) pela definição de 𝜓 por 𝑓 se um

homomorfismo vem que 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = 𝜓(�̅�) + 𝜓(�̅�)

(b) 𝜓(�̅�. �̅�) = 𝜓(𝑥. 𝑦̅̅ ̅̅̅) = 𝑓(𝑥. 𝑦) e 𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) = 𝜓(�̅�). 𝜓(�̅�)

Por fim, temos 𝑁(𝑓) = {�̅� ∈ 𝒜 𝑁(𝑓)⁄ ; 𝑓(𝑥) = 0} = {�̅� ∈ 𝒜 𝑁(𝑓)⁄ ; 𝑥 ∈ 𝑁(𝑓)} = 0̅

Logo 𝜓 é injetiva

36

∎

Definição 2.11. Sejam 𝒜 e ℬ anéis quaisquer. Uma aplicação 𝑓: 𝒜 ⟶ ℬ chamamos

de isomorfismo de 𝒜 em ℬ se:

(𝑖) 𝑓 é bijetora

(𝑖𝑖) 𝑓 é um homomorfismo de anéis, isto é,

Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜 tem-se 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) e 𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Observação 2.3.

Naturalmente todos os resultados válidos para homomorfismo de anéis

também são válidos para isomorfismo. A demonstração de isomorfismo de anéis é

análoga a que se fez para grupos.

Exemplo 2.15. Seja 𝒜 = ℤ[√2] = {𝑚 + 𝑛√2; 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ} e consideramos 𝑓: 𝒜 ⟶ 𝒜

definida por 𝑓(𝑚 + 𝑛√2) = 𝑚 − 𝑛√2. 𝑓 é um homomorfismo pois

𝑓 ((𝑚 + 𝑛√2) + (𝑟 + 𝑠√2)) = 𝑓(𝑚 + 𝑛√2) + 𝑓(𝑟 + 𝑠√2) = (𝑚 − 𝑛√2) + (𝑟 − 𝑠√2)

= (𝑚 + 𝑟) − (𝑛 + 𝑠)√2

E, também

𝑓 ((𝑚 + 𝑛√2). (𝑟 + 𝑠√2)) = 𝑓 ((𝑚 + 𝑛√2). 𝑓(𝑟 + 𝑠√2)) = ((𝑚 − 𝑛√2). (𝑟 − 𝑠√2))

= (𝑚𝑟 + 2𝑠𝑛) − (𝑚𝑠 + 𝑛𝑟)√2

É injetor pois,

Seja 𝑓(𝑚 + 𝑛√2) e 𝑓(𝑟 + 𝑠√2) ∈ 𝒜, tal que 𝑓(𝑚 + 𝑛√2) = 𝑓(𝑟 + 𝑠√2), então

𝑓(𝑚 + 𝑛√2) − 𝑓(𝑟 + 𝑠√2) = 0 ⟹ (𝑚 + 𝑛√2) − (𝑟 + 𝑠√2) = 0 ⟹ (𝑚 + 𝑛√2) =

(𝑟 + 𝑠√2)

E sobrejetor,

Dado 𝑦 = 𝑚 + 𝑛√2 ∈ 𝒜 basta tomar 𝑥 = 𝑚 − 𝑛√2 ∈ 𝒜 então

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑚 − 𝑛√2) = 𝑚 + 𝑛√2 = 𝑦

37

2.1. Corpo de frações de anel de integridade

Todo corpo, como já vimos, é um anel de integridade. Logo se pode dizer que

todo corpo contém um subanel que é anel de integridade: ele próprio. Agora vamos

construir um corpo 𝐾 do qual 𝒜 seja um subanel unitário. A construção é a mesma,

no plano formal, pela qual se obtém o corpo dos números racionais a partir do anel

de inteiros.

Seja 𝒜 um anel de integridade. No conjunto 𝒜 × 𝒜∗ consideramos a relação ∼

definida da seguinte maneira:

(𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) se, e somente se 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

Não é difícil provar que ∼ é uma relação de equivalência sobre 𝒜 × 𝒜∗. Por

brevidade mostraremos apenas que ∼ goza da propriedade transitiva

De fato, consideremos (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑒, 𝑓) ∈ 𝒜 × 𝒜∗. Se (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) e (𝑐, 𝑑) ∼

(𝑒, 𝑓), então 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 e 𝑐𝑓 = 𝑑𝑒. Multiplicando os dois membros da primeira

igualdade por 𝑓 e os da segunda por 𝑏, obtemos 𝑎𝑑𝑓 = 𝑏𝑐𝑓 e 𝑏𝑐𝑓 = 𝑑𝑒𝑏. Segue daí

que 𝑎𝑑𝑓 = 𝑑𝑒𝑏 e, portanto, cancelando-se 𝑑, o que é possível, pois 𝑑 ≠ 0 e 𝒜 é um

anel de integridade, 𝑎𝑓 = 𝑏𝑒 onde (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑒, 𝑓)

Usa-se a notação 𝑎

𝑏 em vez de (𝑎, 𝑏̅̅ ̅̅̅) para apresentar a classe de equivalência

determinada pelo par (𝑎, 𝑏). Os elementos do conjunto quociente 𝐾 = 𝒜 × 𝒜∗ ∼⁄ ,

com a notação adotada, são as frações ℚ = {𝑎

𝑏 ; 𝑎 ∈ 𝒜, 𝑏 ∈ 𝒜∗}.

Evidentemente,

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⟺ 𝑎𝑑 = 𝑐𝑏

Agora define-se as operações da soma e produto no conjunto quociente

𝒜 ∼⁄ = {𝑎

𝑏; 𝑎 ∈ 𝒜, 𝑏 ∈ 𝒜∗} = 𝐾

Quaisquer que sejam (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ 𝒜 × 𝒜∗, definiremos

38

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑 e

𝑎

𝑏.𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑

Pode-se provar que essas definições independem das particulares

representações das classes de equivalência. Observe que se 𝑏, 𝑑 ∈ 𝒜∗ então 𝑏. 𝑑 ∈

𝒜∗, pois 𝒜∗ é um domínio de integridade. Suponhamos que (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑚, 𝑛) e (𝑐, 𝑑) ∼

(𝑟, 𝑠). Então 𝑎𝑛 = 𝑏𝑚 e 𝑐𝑠 = 𝑑𝑟. Multiplicando membro a membro essas igualdades,

temos (𝑎𝑛)(𝑐𝑠) = (𝑏𝑚)(𝑑𝑟) e daí (𝑎𝑐)(𝑛𝑠) = (𝑏𝑑)(𝑚𝑟). Isso significa, no presente

contexto, que (𝑎𝑐, 𝑏𝑑) ∼ (𝑛𝑠, 𝑚𝑟) e, portanto, que 𝑎

𝑏.

𝑐

𝑑=

𝑚

𝑛.

𝑟

𝑠

Rotineiramente se demonstra que (𝐾, +, . ) é um corpo. Vamos denotar por

𝑎∗ =𝑎

1, onde 𝑎 ∈ 𝒜 e 1 é a unidade de 𝒜. E denotaremos:

𝒜∗ = {𝑎∗ =𝑎

1, 𝑎, 1 ∈ 𝒜} = 𝐾

Considere a seguinte função:

𝜑: 𝒜 ⟶ 𝒜∗

𝑎 ⟼ 𝑎∗

É de imediata verificação que:

(𝑖) 𝐼𝑚𝜑 = 𝒜∗

(𝑖𝑖) 𝐾𝑒𝑟(𝜑) = {𝑎 ∈ 𝒜: 𝑎∗ = 0∗} = {0}

(𝑖𝑖𝑖) 𝜑(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)∗ = 𝑎∗ + 𝑏∗ = 𝜑(𝑎) + 𝜑(𝑏) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜

(𝑖𝑣) 𝜑(𝑎. 𝑏) = (𝑎. 𝑏)∗ = 𝑎∗. 𝑏∗ = 𝜑(𝑎). 𝜑(𝑏) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜

Desse modo, 𝒜 ≃ 𝒜∗ ⊂ 𝐾, ou seja, 𝒜 é isomorfo sobre 𝒜∗. Observe que se

𝑎

𝑏≠ 0 em 𝐾, isto é,𝑎 ≠ 0 em 𝒜, então

𝑏

𝑎∈ 𝐾 e mais,

𝑎

𝑏.

𝑏

𝑎= 1∗. Como 𝒜 é isomorfo a

𝒜∗ ⊂ 𝐾 dize-se que 𝒜 está imerso em 𝐾. Observa-se também que 𝑏∗.1

𝑏= 1∗ se 𝑏 ≠

0, 𝑏 ∈ 𝒜. Assim denota-se por (𝑏∗)−1 =1

𝑏 se 𝑏 ≠ 0, 𝑏 ∈ 𝒜. Logo

𝒜∗ = {𝑎∗; 𝑎 ∈ 𝒜} ⊂ 𝐾 = {𝑎∗. (𝑏∗)−1: 𝑎∗, 𝑏∗ ∈ 𝒜∗, 𝑏∗ ≠ 0}

39

Portanto, o corpo 𝐾 construído nesse paragrafo recebe o nome de corpo de

frações do domínio 𝒜

Exemplo 2.16. ℚ[√2] = {𝑚

𝑛+

𝑝

𝑞√2, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ} é o corpo de frações de ℤ[√2] =

{𝑎 + 𝑏√2, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ}.

2.2. Polinômios sobre um anel.

Polinômios são definidos como uma sequência de números complexos em que

esse faz parte de uma classe de funções simples e infinita. Ao longo deste capitulo

representa-se por 𝒜 como um anel de integridade infinito e, também, este anel pode

ser um corpo infinito, caso em que será indicado por 𝐾.

Definição 2.12. Uma função 𝑓: 𝒜 ⟶ 𝒜 denomina-se função polinomial de uma

indeterminada 𝑥 sobre 𝒜 se existem elementos 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑟 em 𝒜 tais que para

todo 𝑥 ∈ 𝒜 tem-se:

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑥𝑟 …

𝑎𝑖 ∈ 𝒜, ∀ 𝑖 ∈ ℕ

Diz-se que dois polinômios são iguais quando assumem valores iguais para

todo 𝑥 ∈ 𝒜, simbolicamente, sejam os polinômios:

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑥𝑟 …

𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑠𝑥𝑠 …

São iguais se, e somente se 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 em 𝒜, ∀ 𝑖 ∈ ℕ

Se 𝑃(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 0𝑥2 + ⋯ + 0𝑥𝑟 … indica-se 𝑃(𝑥) por 0 e o chama-se de

polinômio identicamente nulo sobre 𝒜, ou seja, 𝑃(𝑥) sobre 𝒜 é identicamente nulo

se, e somente se 𝑎𝑖 = 0 ∈ 𝒜, ∀ 𝑖 ∈ ℕ.

Chama-se de polinômio constante 𝑎 sobre 𝒜, se 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +

⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛, onde 𝑎0 = 𝑎 e 𝑎𝑖 = 0, ∀ 𝑖 ≥ 1

Exemplo 2.17. São exemplos de polinômios constantes no corpo dos reais

40

𝑃(𝑥) = 7, 𝑓(𝑥) = √5, 𝑔(𝑥) =13

11

Representa-se por 𝒜[𝑥] o conjunto de todos os polinômios sobre 𝒜, em

uma indeterminada 𝑥.

Proposição 2.5. A soma de dois polinômios sobre 𝒜 é também um polinômio sobre

𝒜, isto é, 𝒜[𝑥] é fechado em relação a operação adição.

Demonstração: Sejam 𝑃 e 𝑄 dois polinômios sobre 𝒜, tais que:

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑥𝑟 + ⋯

𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑠𝑥𝑠 + ⋯

Temos que,

(𝑃 + 𝑞)(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥 + ⋯

Pode-se simplificar essa soma como

𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑘𝑥𝑘 + ⋯

Onde, 𝑐𝑖 = (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖) ∈ 𝒜. Portanto 𝑃 + 𝑄 ∈ 𝒜

Proposição 2.6. O produto de dois polinômios sobre 𝒜 é também um polinômio

sobre 𝒜, isto é, 𝒜[𝑥] é fechado em relação a operação multiplicação.

Demonstração: sejam 𝑃 e 𝑄 polinômios sobre 𝒜, tais que:

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 + ⋯

𝑄(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 + ⋯

Então vem que,

𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) = 𝑐0 + ⋯ + 𝑐𝑘𝑥𝑘

Onde, 𝑐0 = 𝑎0𝑏0 , 𝑐1 = 𝑎0𝑏1 + 𝑎1𝑏0 , 𝑐2 = 𝑎0𝑏2 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏0 , … 𝑐𝑘 = 𝑎0𝑏𝑘 + ⋯ +

𝑎𝑘𝑏𝑜 , com 𝑘 ∈ ℕ. Portanto, 𝑃. 𝑄 ∈ 𝒜

Observe que a definição acima da proposição 2.6 de produto de polinômios

provém da regra 𝑥𝑚𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛, já demonstrado na proposição 1.7, e da

propriedade distributiva.

Nota-se que 𝒜[𝑥] é um domínio de integridade onde o polinômio nulo 0 é o

elemento neutro de 𝒜[𝑥] e o polinômio constante 1 é a unidade de 𝒜[𝑥].

41

Definição 2.13. Seja 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 + ⋯ um polinômio não

nulo. Chama-se grau de 𝑃 e representa-se por 𝜕𝑃 ou 𝑔𝑟𝑃, o número natural 𝑛 tal

que 𝑎𝑚 ≠ 0 e 𝑎𝑖 = 0 para todo 𝑖 > 𝑛. Nessas condições 𝑎𝑚 é chamado de

coeficiente dominante.

Em outras palavras, o grau de um polinômio é simplesmente o índice de seu

coeficiente dominante.

Exemplo 2.18. 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 7𝑥2 + 2 em ℤ[𝑥] tem grau 3, 𝜕𝑃(𝑥) = 3

2.3. Divisibilidade em 𝒜[𝑥] exata

Dados 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥], diz-se que um polinômio 𝑔(𝑥) divide 𝑓(𝑥) se existe

um polinômio 𝑄(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑄(𝑥). Indica-se pela notação 𝑔 ∣ 𝑓

para divisão de 𝑔 sobre 𝑓. E 𝑔 ∤ 𝑓 para representar 𝑔 não divide 𝑓.

Exemplo 2.19. Em ℝ[𝑥] o polinômio 𝑥 − 1 dividi o polinômio 𝑥2 − 1, pois

𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1). (𝑥 + 1)

Teorema 2.4. (Algoritmo da divisão)

Dados os polinômios 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥], com 𝑔(𝑥) ≠ 0 e o coeficiente 𝑔(𝑥)

inversível, então existem polinômios 𝑄(𝑥), 𝑟(𝑥) tais que:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑄(𝑥) + 𝑟(𝑥)

Em que 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥)

Demonstração: (Existência)

Para demonstração supõem-se 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑔(𝑥) =

𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚, com 𝑚 ≥ 0 e 𝑏𝑚 ≠ 0. Vamos analisar os seguintes

casos.

42

(𝑖) 𝑓(𝑥) = 0 (Polinômio identicamente nulo). Neste caso 𝑞(𝑥) = 𝑟(𝑥) = 0, pois 0 =

𝑔(𝑥).0 + 0

(𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) ≠ 0 e 𝜕𝑓(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥). Quando isso acontece, basta tomar 𝑞(𝑥) = 0 e 𝑟(𝑥) =

𝑓(𝑥), uma vez que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 0 + 𝑓(𝑥) e, por hipótese, 𝜕𝑓(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥)

(𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) ≠ 0 e 𝜕𝑓(𝑥) ≥ 𝜕𝑔(𝑥). Neste caso, procede por indução (segundo princípio)

Agora seja 𝑓1(𝑥) o polinômio definido por

𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚. 𝑔(𝑥)

Se 𝑓1(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑓1(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥), então 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚 e 𝑟(𝑥) = 𝑓1(𝑥).

Caso contrário tem-se 𝜕𝑓1(𝑥) ≥ 𝜕𝑔(𝑥) e 𝜕𝑓1(𝑥) < 𝑛, pois o coeficiente dominante

𝑓(𝑥) é igual ao polinômio expresso por:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚. 𝑔(𝑥)

Portanto, devido a hipótese de indução, existem polinômios 𝑄1(𝑥) e 𝑟1(𝑥) tais

que

𝑓1 = 𝑔(𝑥). 𝑄1(𝑥) + 𝑟1(𝑥)

Onde 𝑟1(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟1(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥)

Daí segue que

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚. 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑄1(𝑥) + 𝑟1(𝑥)

E, portanto

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚. 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥). 𝑄1 + 𝑟1(𝑥)

Ou

𝑓(𝑥) = [𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞1]𝑔(𝑥) + 𝑟1(𝑥)

E, com isso, tomando 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑛𝑏−1𝑚𝑥𝑛−𝑚 + 𝑄1 e 𝑟1(𝑥) = 𝑟(𝑥) prova-se a

existência dos polinômios 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥) tais que 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) e 𝑟(𝑥) = 0 ou

𝜕𝑟(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥).

43

Agora prova-se a unicidade. Sejam 𝑄1(𝑥), 𝑄2(𝑥), 𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥) tais que

𝑓(𝑥) = 𝑄1(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑟1(𝑥) = 𝑄2(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑟2(𝑥)

Onde 𝑟1(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟𝑖(𝑥) < 𝜕𝑔(𝑥), 𝑖 = 1,2

Daí segue,

(𝑄1(𝑥) − 𝑄2(𝑥)). 𝑔(𝑥) = 𝑟2(𝑥) − 𝑟1(𝑥)

Mas se 𝑄1(𝑥) ≠ 𝑄2(𝑥) o grau do polinômio do lado de igualdade acima é maior

ou igual ao 𝜕𝑔(𝑥) enquanto que 𝜕(𝑟2(𝑥) − 𝑟1(𝑥)) < 𝜕𝑔(𝑥) o que é uma contradição.

Logo 𝑄1(𝑥) = 𝑄2(𝑥) e, portanto

𝑟1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑄1(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑄2. 𝑔(𝑥) = 𝑟2

Como queria-se demonstrar

∎

Teorema 2.5. Todo ideal de 𝒜[𝑥] é principal

Demonstração: Seja ℐ um ideal de 𝒜[𝑥]. Se ℐ = {0} então ℐ é gerado por 0.

Suponha-se que ℐ ≠ {0} e que 0 ≠ 𝑃(𝑥) tal que 𝜕𝑃(𝑥) seja menor possível. Se

𝑃(𝑥) = 𝑎 constante ≠ 0 então 1 = 𝑎−1. 𝑎 ∈ ℐ e assim segue imediatamente que ℐ =

𝒜[𝑥] é gerado por 1 ∈ 𝒜[𝑥]. Suponhamos então 𝜕𝑃(𝑥) > 0.

Como 𝑃(𝑥) ∈ ℐ temos 𝒜[𝑥]. 𝑃(𝑥) ⊂ ℐ. Agora se prova que ℐ ⊂ 𝒜[𝑥]. 𝑃(𝑥) e isto

demonstra o teorema. De fato, seja 𝑓(𝑥) ∈ ℐ pelo algoritmo de Euclides temos que

∃ 𝑄(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tais que 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑝(𝑥) + 𝑟(𝑥), onde 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥) −

𝑄(𝑥). 𝑃(𝑥) ∈ ℐ e pela minimalidade da nossa escolha do polinômio 𝑃(𝑥) ∈ ℐ segue

que 𝑟(𝑥) = 0 e portanto, temos 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑃(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥]. 𝑃(𝑥). Como queríamos

demonstrar

∎

44

Definição 2.14. Sejam 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥], polinômios não nulos e seja 𝑑(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥]

um polinômio mônico tal que 𝑑(𝑥) divide 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e todo divisor desses, também

é de 𝑑(𝑥), ou seja, 𝑑1(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tal que 𝑑1(𝑥) ∣ 𝑓(𝑥) e 𝑑1(𝑥) ∣ 𝑔(𝑥), então 𝑑1(𝑥) ∣

𝑑(𝑥). A este polinômio 𝑑(𝑥) chama-se de máximo divisor comum de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). Se

𝑑(𝑥) = 1, então 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são primos entre sí.

Teorema 2.6. (Existência de M.D.C) Sejam

𝑃1(𝑥), … , 𝑃𝑚(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] − {0}

E seja o ideal ℐ = 𝒜[𝑥]. 𝑃1 + ⋯ + 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑚(𝑥) gerados pelos polinômios não

nulos 𝑃1(𝑥), … , 𝑃𝑚(𝑥). Se 𝑑(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] é tal que ℐ = 𝒜[𝑥]. 𝑑(𝑥) então as seguintes

propriedades são válidas:

(𝑖) Existem 𝑟1(𝑥), … , 𝑟𝑚(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tais que 𝑑(𝑥) = 𝑟1(𝑥). 𝑝1(𝑥), … , 𝑟𝑚(𝑥). 𝑃𝑚(𝑥);

(𝑖𝑖) 𝑑(𝑥) é um divisor comum de 𝑃1(𝑥), … , 𝑃𝑚(𝑥);

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝑑1(𝑥) é um divisor comum qualquer de 𝑃1(𝑥), … , 𝑃𝑚(𝑥), então 𝑑1(𝑥) é

também um divisor de 𝑑(𝑥)

Demonstração: (𝑖) Temos que da igualdade

𝒜[𝑥]. 𝑑(𝑥) = 𝒜[𝑥]. 𝑃(𝑥), … , 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑚(𝑥)

(𝑖𝑖) Seja 𝑖 = (1, … , 𝑚) e 𝒜[𝑥]. 𝑑(𝑥) = 𝒜[𝑥]. 𝑃1(𝑥), … , 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑚(𝑥), temos que,

𝑃𝑖(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑖(𝑥) ⊂ 𝒜[𝑥]. 𝑃1(𝑥) + ⋯ + 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑚(𝑥) = 𝒜[𝑥]. 𝑑(𝑥)

E, portanto, existe 𝑟𝑖(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tal que 𝑃𝑖(𝑥) = 𝑟𝑖(𝑥). 𝑑(𝑥) isto é, 𝑑(𝑥) é um

divisor de cada 𝑃𝑖(𝑥), com 𝑖 = (1, … , 𝑚)

(𝑖𝑖𝑖) Seja 𝑑1(𝑥) um divisor comum em 𝒜[𝑥], de 𝑃1(𝑥), … , 𝑃𝑚(𝑥), isto é, existe 𝑟𝑖(𝑥) ∈

𝒜[𝑥] tal que 𝑃𝑖(𝑥) = 𝑟𝑖(𝑥). 𝑑(𝑥), com 𝑖 = (1, … , 𝑚)

Assim,

𝒜[𝑥]. 𝑃𝑖(𝑥) ⊂ 𝒜[𝑥]. 𝑑1(𝑥), ∀ 𝑖 = (1, … , 𝑚)

E daí segue que,

𝒜[𝑥]. 𝑑(𝑥) = 𝒜[𝑥]. 𝑃1(𝑥), … , 𝒜[𝑥]. 𝑃𝑚(𝑥) ⊂ 𝒜[𝑥]. 𝑑1(𝑥)

Ou seja, existe 𝑟(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] tal que 𝑑(𝑥) = 𝑟(𝑥). 𝑑1(𝑥)

45

∎

Definição 2.15. Um polinômio não nulo e não invertível 𝑃(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] se diz

irredutível sobre 𝒜[𝑥] se uma decomposição de 𝑃(𝑥) num produto de dois

polinômios de 𝒜[𝑥], ou seja, se 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) então 𝑓(𝑥) é invertível ou 𝑔(𝑥)

invertível. Se 𝑃(𝑥) for não irredutível sobre 𝒜[𝑥] dizemos que 𝑃(𝑥) é redutível sobre

𝒜[𝑥].

Exemplo 2.20. O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 3 é irredutível em ℚ[𝑥], porém 𝑃(𝑥) = 𝑥2 −

3 é redutível em ℝ[𝑥], pois,

𝑥2 − 3 = (𝑥 − √3). (𝑥 + √3), com √3 ∈ ℝ

Proposição 2.7. Todo polinômio de grau 1 sobre um corpo 𝐾 é irredutível.

Demonstração: De fato, seja 𝑃(𝑥) um polinômio de grau 1 e se 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥),

então 𝜕𝑃(𝑥) = 𝜕𝑓(𝑥) = 𝜕𝑔(𝑥). Mas, como 𝜕𝑃(𝑥) = 1, então 𝜕𝑓(𝑥) + 𝜕𝑔(𝑥) = 1.

Como essa igualdade só é possível se 𝜕𝑓(𝑥) = 1 ou 𝜕𝑔(𝑥) = 0, ou vice-versa, então

𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥) é invertível.

Definição 2.16. Seja 𝐾 um corpo. Se todo polinômio não constante de 𝐾[𝑥] tem pelo

menos uma raiz em 𝐾,diz-se que 𝐾 é um corpo algebricamente fechado.

Proposição 2.8. Um polinômio sobre um corpo 𝐾 algebricamente fechado é

irredutível se, e somente se, tem grau 1

Demonstração: Seja 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio irredutível. Como 𝐾 é

algebricamente fechado, existe 𝑎 ∈ 𝐾 tal que 𝑃(𝑎) = 0. Logo, 𝑥 − 𝑎 ∣ 𝑃(𝑥) e,

portanto, existe 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑔(𝑥)

Como, porém, 𝑃(𝑥) é irredutível, então o polinômio 𝑔(𝑥) é constante não nulo,

isto é, existe 𝑢 ∈ 𝐾 tal que 𝑔(𝑥) = 𝑢, para todo 𝑥 ∈ 𝐾. Portanto

𝑃(𝑥) = 𝑢𝑥 − 𝑢𝑎

46

Em que 𝑢𝑎 é constante. Logo, o grau de 𝑃(𝑥) é 1. A reciproca é verdadeira,

devido a proposição anterior

∎

Teorema 2.7. Sejam 𝐾 um corpo e 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Então as seguintes condições são

equivalentes.

(𝑖) 𝑃(𝑥) é irredutível sobre 𝐾

(𝑖𝑖) 𝒥 = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) é um ideal maximal em 𝐾[𝑥]

(𝑖𝑖𝑖) 𝐾[𝑥] 𝒥⁄ é um corpo, onde 𝒥 = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥)

Demonstração: Vamos mostrar que (𝑖) ⟺ (𝑖𝑖)

(𝑖) ⟹ (𝑖𝑖) Suponha-se 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], com 𝑃(𝑥) irredutível sobre 𝐾 e seja ℐ =

𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) = {𝑔(𝑥). 𝑃(𝑥); 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}. Como o grau de 𝑃(𝑥) ≥ 1 temos

imediatamente que ℐ ≠ 𝐾[𝑥]. Se 𝐼 = 𝐾[𝑥]. ℎ(𝑥) é um ideal de 𝐾[𝑥] tal que 𝐼 ⊃ ℐ.

Prova-se que 𝐼 = ℐ ou 𝐼 = 𝐾[𝑥]. Assim, 𝑃(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) ⊂ 𝐾[𝑥]. ℎ(𝑥) nos diz que

𝑃(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) para algum 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Como 𝑃(𝑥) é irredutível tem que 𝑔(𝑥) = 𝑎

invertível ou ℎ(𝑥) = 𝑏 invertível ∈ 𝐾[𝑥] − {0}, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes. Se 𝑔(𝑥) =

𝑎 ≠ 0, temos que ℎ(𝑥) = 𝑎−1. 𝑃(𝑥) e, portanto, 𝐼 = 𝐾[𝑥]. ℎ(𝑥) ⊂ 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) = ℐ e isto

nos dá 𝐼 = ℐ. Se ℎ(𝑥) = 𝑏 ≠ 0 tem-se 𝐼 = 𝐾[𝑥]. ℎ(𝑥) ⊂ 𝐾[𝑥] e isso termina a

implicação (𝑖) ⟹ (𝑖𝑖).

(𝑖𝑖) ⟹ (𝑖) Agora seja ℐ = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) um ideal maximal em 𝐾[𝑥]. Assim ℐ ≠ 𝐾[𝑥] nos

diz que 𝜕𝑃(𝑥) ≥ 1. Suponhamos 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] e 𝑃(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥). Assim, segue

imediatamente que ℐ ⊂ 𝐼 = 𝐾[𝑥]. ℎ(𝑥) e como ℐ é um ideal maximal, temos que ℐ = 𝐼

ou 𝐼 = 𝐾[𝑥]. Se ℐ = 𝐼 segue que ℎ(𝑥) ∈ ℐ = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) e isto nos diz que ℎ(𝑥) =

𝑓(𝑥). 𝑃(𝑥), para algum 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]. Daí segue 𝑃(𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥). 𝑃(𝑥), como 𝑃(𝑥) ≠

0 e 𝐾[𝑥] é um domínio de integridade, teremos 1 = 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥), isto é, 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] é

um polinômio irredutível em 𝐾[𝑥]. Portanto, 𝑔(𝑥) = 𝑎 ≠ 0 é um polinômio constante.

Se 𝐼 = 𝐾[𝑥] segue que ℎ(𝑥) = 𝑏 ≠ 0 constante, ou seja, 𝑃(𝑥) é irredutível sobre 𝐾.

Como queríamos demonstrar.

∎

47

Teorema 2.8. Seja 𝐾 um corpo algebricamente fechado e 𝑓(𝑥) um polinômio de

𝜕𝑓(𝑥) ≥ 1 sobre 𝐾 cujo coeficiente dominante denota-se por 𝑎. Então podem ser

determinados elementos 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ∈ 𝐾 tais que.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢1)(𝑥 − 𝑢2) … (𝑥 − 𝑢𝑛)

Demonstração: Demonstra-se por indução sobre 𝑛:

Se o 𝜕𝑓(𝑥) = 1, então 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0. Pondo 𝑎 em evidência, temos:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 +𝑏

𝑎)

O que demonstra o teorema para 𝑛 = 1

Seja 𝑓(𝑥) um polinômio de grau 𝑛 > 1 e suponha-se o teorema verdadeiro para

todo polinômio de grau 𝑛 − 1. Como 𝐾 é algebricamente fechado, 𝑓(𝑥) tem uma raiz

𝑢1 em 𝐾 e, portanto:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑢1)𝑄(𝑥), com 𝑄(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]

Como 𝑄(𝑥) tem grau 𝑛 − 1 e coeficiente dominante igual ao de 𝑓(𝑥), pela

hipótese de indução, existem 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ∈ 𝐾 tais que:

𝑄(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢1)(𝑥 − 𝑢2) … (𝑥 − 𝑢𝑛)

E com isso temos,

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢1)(𝑥 − 𝑢2) … (𝑥 − 𝑢𝑛), com 𝑢𝑖 = 1,2, … 𝑛 raizes de 𝑓(𝑥)

∎

Definição 2.17. Um polinômio não constante pertencente a 𝐾[𝑥], se diz primitivo se

a unidade de 𝐾 é um máximo divisor comum de seus coeficientes.

Exemplo 2.21. O polinômio 𝑓(𝑥) = 2 + 2𝑥 + 3𝑥2 ∈ ℤ[𝒙] é primitivo, pois 𝑚𝑑𝑐(2,3) =

1

Proposição 2.9. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio não nulo.

Então existem um elemento 𝑑 ∈ 𝐾 e um polinômio 𝑓∗(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] de mesmo grau de

𝑓(𝑥), tais que 𝑓(𝑥) = 𝑑. 𝑓∗(𝑥)

Demonstração: Se 𝑑 = 𝑚𝑑𝑐(𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛) então 𝑎0 = 𝑑𝑞0, 𝑎1 = 𝑑𝑞1, … , 𝑎𝑛 = 𝑑𝑞𝑛,

onde 𝑞0, 𝑞1, … , 𝑞𝑛 ∈ 𝐾 são primos entre si. Daí:

48

𝑓(𝑥) = (𝑑𝑞0) + (𝑑𝑞1)𝑥 + ⋯ + (𝑑𝑞𝑛)𝑥𝑛

Fazendo-se 𝑓∗(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑞0 + 𝑞1𝑥 + ⋯ + 𝑞𝑛𝑥𝑛

Então 𝑓∗(𝑥) tem o mesmo grau de 𝑓(𝑥) é primitivo e 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓∗(𝑥)

∎

Proposição 2.10. Seja 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio não constante. Se 𝑓(𝑥) é

irredutível então 𝑓(𝑥) é primitivo.

Demonstração: Suponha-se que 𝑓(𝑥) não fosse primitivo e seja 𝑑 o 𝑚𝑑𝑐 dos seus

coeficientes, então, devido a proposição anterior, temos 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓∗(𝑥) em que

𝜕𝑓∗(𝑥) = 𝜕𝑓(𝑥). Como 𝑑 não é invertível em 𝐾, também não o é em 𝐾[𝑥]. Por outro

lado, 𝑓∗(𝑥) não é invertível em 𝐾[𝑥]. Então 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓∗(𝑥) é uma composição não

trivial de 𝑓 em 𝐾[𝑥], o que contraria a hipótese de 𝑓(𝑥) ser irredutível sobre 𝐾 de

onde, 𝑓(𝑥) é primitivo.

∎

Contraexemplo: Um polinômio primitivo pode não ser irredutível. O polinômio

𝑓(𝑥) = 2 + 5𝑥 + 2𝑥2 é primitivo, mas composto em ℤ[𝑥], uma vez que 𝑓(𝑥) = (2𝑥 +

1)(𝑥 + 2).

Lema 2.1. Se 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] são polinômios primitivos e para elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾

tem-se a igualdade 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥), então 𝑎~𝑏 e 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥).

Demonstração: Faça-se 𝑎𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) e seja 𝑑 o 𝑚𝑑𝑐 dos coeficientes de ℎ(𝑥).

Então ℎ(𝑥) = 𝑑ℎ∗(𝑥), em que ℎ∗(𝑥) é um polinômio primitivo com o mesmo grau de

ℎ(𝑥) (proposição anterior). Por outro lado, como 𝑎𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥), então 𝑎 divide todos

os coeficientes de ℎ(𝑥) e, portanto, 𝑎 divide 𝑑 em 𝐾. Logo, 𝑑 = 𝑎𝑐, para 𝑐 ∈ 𝐾. Desse

modo,

ℎ(𝑥) = 𝑑ℎ∗(𝑥) = 𝑎𝑐ℎ∗(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥)

Como 𝑎 ≠ 0, então a igualdade fica 𝑓(𝑥) = 𝑐ℎ∗(𝑥) o que mostra que 𝑐 divide

𝑓(𝑥) e, portanto, seus coeficientes. Como 𝑓(𝑥) é primitivo, então 𝑐 é invertível. Então

da igualdade 𝑑 = 𝑎𝑐, conclui-se que 𝑑~𝑎. Da mesma forma demonstra-se que 𝑑~𝑏,

de onde 𝑎~𝑏.

49

Agora o fato de 𝑎 e 𝑏 serem associados implica a existência de um elemento

invertível 𝑢 ∈ 𝐾 tal que 𝑏 = 𝑎𝑢. Usando esse fato em 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥), obtemos

𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑢𝑔(𝑥) e, portanto 𝑓(𝑥) = 𝑢𝑔(𝑥). Isso mostra que 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) como

queríamos demonstrar.

∎

Lema 2.2. (Lema de Gauss) O produto de dois polinômios primitivos 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈

𝐾[𝑥] também é um polinômio primitivo.

Demonstração: Sejam 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], tais que

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑒

𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚

E que o produto 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛+𝑚𝑥𝑛+𝑚 não fosse

primitivo existiria então, em 𝐾, um elemento 𝑝 irredutível divisor de todos os

coeficientes de 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥). Mas 𝑝 não divide todos os coeficientes de 𝑓(𝑥), nem

tampouco de 𝑔(𝑥). Seja 𝑎𝑟 coeficientes de 𝑓(𝑥) tal que 𝑝 ⫮ 𝑎𝑟 e, também 𝑏𝑠

coeficientes de 𝑔(𝑥) onde 𝑝 ⫮ 𝑏𝑠. Temos:

𝑐𝑟+𝑠 = 𝑎0𝑏𝑟+𝑠 + 𝑎1𝑏𝑟+𝑠−1 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑏𝑠 + ⋯ + 𝑎𝑟+𝑠−1𝑏1 + 𝑎𝑟+𝑠𝑏0

Devido as suposições, temos que 𝑝 divide as parcelas do segundo membro

dessa igualdade anteriores e posteriores ao produto 𝑎𝑟𝑏𝑠. Como 𝑝 divide 𝑐𝑟+𝑠 então

𝑝 divide 𝑎𝑟𝑏𝑠 e, sendo irredutível, divide um desses fatores. Essa conclusão nos leva

em um absurdo. Portanto 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) é primitivo.

∎

Lema 2.3. Seja 𝒜 o corpo de frações de 𝐾. Se o polinômio 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] é irredutível

sobre 𝒜, então também é irredutível sobre 𝐾.

Demonstração: Suponha-se por absurdo que 𝑓(𝑥) fosse composto em 𝒜[𝑥],

existiriam 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝒜[𝑥] de grau ≥ 1, tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥). Os coeficientes

de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são frações cujos termos pertencem a 𝒜. Indicando-se por 𝑎 o

produto dos denominadores dessas frações, temos:

𝑎. 𝑓(𝑥) = 𝑔1(𝑥). ℎ1(𝑥)

50

Onde 𝑔1(𝑥), ℎ1(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] com o mesmo grau de 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥), respectivamente.

Sejam 𝑏, 𝑐 e 𝑑 máximos divisores comuns de 𝑓(𝑥), 𝑔1(𝑥), ℎ1(𝑥), então:

𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑓1(𝑥), 𝑔1(𝑥) = 𝑐. 𝑔2, ℎ1(𝑥) = 𝑑. ℎ2

Com 𝑓1(𝑥), 𝑔2(𝑥), ℎ2(𝑥) primitivos com mesmo grau de 𝑓(𝑥), 𝑔1(𝑥), ℎ1(𝑥).

(proposição 2.9) temos:

𝑎. 𝑏. 𝑓1(𝑥) = 𝑐. 𝑑. 𝑔2(𝑥). ℎ2(𝑥)

Como 𝑔2(𝑥). ℎ2(𝑥) é primitivo, devido ao lema de Gauss então o lema 2.2

garante que 𝑎𝑏~𝑐𝑑 e 𝑓1(𝑥)~𝑔2(𝑥). ℎ2(𝑥)

Assim, 𝑓1(𝑥) = 𝑢𝑔2(𝑥)ℎ2(𝑥) com 𝑢 ∈ 𝒜 invertível, e, portanto,

𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓1(𝑥) = (𝑏𝑢𝑔2(𝑥))ℎ2(𝑥)

Como (𝑢𝑏)𝑔2(𝑥) e ℎ2(𝑥) são polinômios de 𝐾[𝑥] que tem graus iguais aos de

𝑔1(𝑥), ℎ1(𝑥), respectivamente, e, portanto, ≥ 1, então 𝑓(𝑥) é composto sobre 𝒜, o

que é absurdo, uma vez que essa conclusão contraria a hipótese.

∎

Proposição 2.11. (Critério de Eisenstein)

Seja 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛. Se existir um

elemento irredutível 𝑝 ∈ 𝐾 que seja divisor de 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1 mas não de 𝑎𝑛 e se 𝑝2

não divide 𝑎0, então 𝑓(𝑥) é irredutível sobre o corpo das frações 𝐾.

Demonstração: Seja 𝒜 o corpo das frações de 𝐾 e suponha-se 𝑓(𝑥) composto em

𝒜[𝑥], então 𝑓(𝑥) é o produto de dois polinômios de grau ≥ 1 de 𝒜[𝑥]. Mas,

considerando a contra positiva do lema anterior, 𝑓(𝑥) também pode ser decomposto

em um produto de dois fatores não triviais de 𝐾[𝑥]

𝑓(𝑥) = (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑟𝑥𝑟)(𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑡𝑥𝑡)

Como 𝑝 divide 𝑎0 = 𝑏0𝑐0 e 𝑝2 não divide 𝑎0, então 𝑝 ∣ 𝑏0 ou 𝑝 ∣ 𝑐0,

exclusivamente. Suponha-se que 𝑝 ∣ 𝑏0, como 𝑝 não divide 𝑎𝑛 = 𝑏𝑟𝑐𝑡, então 𝑝 ⫮ 𝑏𝑟.

Isso posto, seja 𝑠 (0 < 𝑠 ≤ 𝑟 < 𝑛) o menor índice tal que 𝑝 não divide 𝑏𝑠. Portanto,

𝑝 ∣ 𝑏0, 𝑝 ∣ 𝑏1, … , 𝑝 ∣ 𝑏𝑠−1 e 𝑝 não divide 𝑏𝑠. Como:

51

𝑎𝑠 = 𝑏0𝑐𝑠 + 𝑏1𝑐𝑠−1 + 𝑏2𝑐𝑠−2 + ⋯ + 𝑏𝑠−1𝑐1 + 𝑏𝑠𝑐0

e, pois 𝑠 < 𝑛, então 𝑝 ∣ 𝑏𝑠𝑐0. Não dividindo 𝑐0, então 𝑝 ∣ 𝑏𝑠, o que é absurdo.

∎

Exemplo 2.22. O polinômio 𝑓(𝑥) = 7 + 14𝑥 + 𝑥60 ∈ ℤ[𝑥] é irredutível em ℚ[𝑥]. De

fato, considerando o número primo 𝑝 = 7, vemos que 7 ∣ 7,7 ∣ 14, mas 7 ⫮ 1 e 72 ⫮ 7.

52

3. EXTENSÃO ALGÉBRICAS DE CORPOS

Neste capitulo, anota-se os conceitos de extensões de corpos atrelados as

equações polinomiais, onde iremos representar corpos 𝐾, tais que ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ. Para

isso usam-se polinômios irredutíveis no processo da demonstração do último

teorema ao final do nosso trabalho.

Definição 3.1. Uma extensão de corpo é um monomorfismo 𝜑: 𝐾 ⟶ 𝐿, em que 𝐾 e 𝐿

são subcorpos complexos. Em outras palavras, diremos que 𝐾 é o corpo menor e

que 𝐿 é o corpo maior. Simbolicamente, 𝐿 ⊃ 𝐾.

Exemplo 3.1. As funções inclusões 𝜑1: ℚ ⟶ ℝ, 𝜑2: ℝ ⟶ ℂ e 𝜑3: ℚ ⟶ ℂ são

extensões de corpos, tais inclusões são monomorfismo

Definição 3.2. Uma extensão simples de um corpo 𝐿 sobre o subcorpo 𝐾 tal que,

𝐾 ⊃ 𝐿 e 𝐿 = 𝐾(𝛼) para algum 𝛼 ∈ 𝐿, ou seja, uma extensão simples é resultado da

adição de um único elemento ao corpo menor.

Exemplo 3.2. O subcorpo ℝ(𝑖) de ℂ, contém os elementos da forma 𝑥 + 𝑖𝑦, com

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Mas, estes elementos acabam por percorrer todo o conjunto ℂ, assim, ℂ =

ℝ(𝑖).

Definição 3.3. Seja 𝐾 um subcorpo de 𝐿, e seja 𝛼 ∈ 𝐿. Então, dizemos que 𝛼 é

algébrico sobre 𝐾, tal que 𝑃(𝛼) = 0. Caso contrário, dize-se que 𝛼 é transcendente

sobre 𝐾.

Exemplo 3.3. O número 𝛼 = √2 é algébrico sobre ℚ[𝑥], pois o polinômio 𝑃(𝑥) =

𝑥2 − 2 tem 𝛼 como raiz, isto é, 𝑃(𝛼) = 𝛼2 − 2 = (√2)2

− 2 = 0.

Exemplo 3.4. O número 𝜋 é transcendente sobre ℚ[𝑥]. Mas, 𝜋 é algébrico em ℝ[𝑥],

pois é raiz do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝜋 ∈ ℝ[𝑥].

Definição 3.4. Seja 𝐿 uma extensão de 𝐾, e suponha-se que 𝛼 ∈ 𝐿 é algébrico sobre

𝐾. Então o polinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾, é o único polinômio mônico 𝑃(𝑥) sobre

𝐾 de menor grau tal que 𝑃(𝛼) = 0.

Lema 3.1. Se 𝛼 é um elemento algébrico sobre o subcorpo 𝐾 de 𝐿, então o

polinômio minimal de 𝛼 sobre 𝐾 é irredutível sobre 𝐾. Ele ainda divide qualquer

polinômio em que 𝛼 é um zero.

53

Demonstração: Suponha-se que o polinômio minimal 𝑃(𝑥) de 𝛼 sobre 𝐾 é

irredutível, isto é, 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥), com 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] de graus menores que

𝑃(𝑥). Pode-se assumir que 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) são mônicos. Então, como 𝑃(𝛼) = 0, deve-se

ter 𝑓(𝛼). 𝑔(𝛼) = 0, e como 𝐾[𝑥] é um domínio de integridade, 𝑓(𝛼) = 0 ou 𝑔(𝛼) = 0,

o que contraria a definição de polinômio minimal. Portanto, 𝑝(𝑥) é irredutível sobre

𝐾.

Suponha-se agora que 𝑓(𝑥) é um polinômio sobre 𝐾, tal que 𝑓(𝛼) = 0. Assim,

pelo algoritmo da divisão, existem polinômios 𝑄(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], tais que 𝑓(𝑥) =

𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) + 𝑟(𝑥), com 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟(𝑥) < 𝜕𝑝(𝑥). Então, 0 = 𝑓(𝛼) = 𝑃(𝛼). 𝑄(𝛼) +

𝑟(𝛼) = 0. 𝑄(𝛼) + 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛼). Se tivermos 𝑟(𝑥) ≠ 0, então existe um múltiplo

constante de 𝑟(𝑥) que é mônico, e deste modo, o grau deste é menor do que o grau

de 𝑃(𝑥), gerando uma contradição com o fato de 𝑚 = 𝑃(𝑥) ser o polinômio minimal

de 𝛼 sobre 𝐾. Portanto, 𝑟(𝑥) = 0, e 𝑃(𝑥) divide 𝑓(𝑥).

∎

Teorema 3.1. Se 𝐾 é um subcorpo de 𝐿 e 𝑃(𝑥) é um polinômio mônico irredutível

sobre 𝐾, então existe um 𝛼 ∈ 𝐿, algébrico sobre 𝐾, tal que 𝛼 tem 𝑃(𝑥) como o

polinômio minimal sobre 𝐾.

Demonstração: Seja 𝛼 um zero qualquer de 𝑃(𝑥) em 𝐿. Então, 𝑃(𝛼) = 0, portanto, o

polinômio minimal 𝑓(𝑥) de 𝛼 sobre 𝐾, divide 𝑃(𝑥). Ora, 𝑃(𝑥) é irredutível sobre 𝐾, e

ambos 𝑓(𝑥) e 𝑃(𝑥) são mônicos, logo 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)

∎

Definição 3.5. (Extensão Finita). Se uma extensão 𝐿 de um corpo 𝐾 tem dimensão

finita 𝑛 como espaço vetorial sobre 𝐾, então 𝐿 é uma extensão finita e grau 𝑛 sobre

𝐾. Esse grau será denotado por [𝐿: 𝐾]

Proposição 3.1. Toda extensão finita é algébrica.

Demonstração: Sejam 𝐿 𝐾⁄ uma extensão finita e 𝛼 ∈ 𝐿. Então existe 𝑛 ≥ 1 inteiro

mínimo tal que {1, 𝛼, … , 𝛼𝑛−1} é um conjunto 𝐾 −linearmente independente. Ou seja,

existem 𝑎0, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐾 não todos nulos tais que

∑ 𝑎𝑖𝛼𝑖 = 0

𝑛

𝑖=0

54

A fortiori, 𝛼 é raiz do polinômio não nulo

𝑓 = ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0

∎

Definição 3.6. Seja 𝐿 𝐾⁄ uma extensão algébrica. Suponha-se que existam

𝛼1, … , 𝛼𝑟 ∈ 𝐿 tais que:

𝐾 ⊂ 𝐾1 = 𝐾[𝛼1] ⊂ 𝐾2 = 𝐾1[𝛼2] … ⊂ 𝐾𝑟 = 𝐾𝑟−1[𝛼𝑟] = 𝐾[𝛼1, … , 𝛼𝑟] = 𝐿.

Diz-se que 𝐿 𝐾⁄ é uma extensão finitamente gerada e que 𝐿 é gerada sobre 𝐾

por 𝛼1, … , 𝛼𝑟.

Proposição 3.2. Seja 𝐿 𝐾⁄ uma extensão algébrica. Então 𝐿 𝐾⁄ é finita se, e somente

se 𝐿 𝐾⁄ é finitamente gerada.

Demonstração: Suponha que 𝐿 𝐾⁄ seja finita. Se 𝐿 = 𝐾 acabou. Senão existe 𝛼1 ∈

𝐿 ∖ 𝐾. Seja 𝐾1 = 𝐾[𝛼1]. Se 𝐿 = 𝐾1 acabou. Senão existe 𝛼2 ∈ 𝐿 ∖ 𝐾1. Seja 𝐾2 =

𝐾1[𝛼2]. Prosseguindo o argumento tem-se uma sequência de corpos estrita, isto é,

𝐾 ⊊ 𝐾1 ⊊ 𝐾2 ⊊ ⋯.

Como 𝐿 𝐾⁄ é finita esta sequência não pode ser infinita. Logo existe 𝑟 tal que

𝐿 = 𝐾𝑟 e 𝐿 𝐾⁄ é finitamente gerada.

Reciprocamente, se 𝐿 𝐾⁄ é finitamente gerada então cada extensão 𝐾𝑖 𝐾𝑖−1⁄ é

finita e pela transitividade de extensão finita, conclui-se que 𝐿 𝐾⁄ também é finita.

∎

Exemplo 3.5. Seja 𝐿 𝐾⁄ uma extensão com [𝐿: 𝐾] = 𝑝 número primo. Então para

todo 𝐾 ⊂ 𝐾′ ⊂ 𝐾 temos que 𝐾′ = 𝐾 ou 𝐾′ = 𝐿. Em particular, dado 𝛼 ∈ 𝐿 ∖ 𝐾, então

𝐿 = 𝐾[𝛼].

55

3.1. Extensão de isomorfismo de corpos

Teorema 3.2. Se 𝛼 ∈ 𝐿 ⊃ 𝐾 e se 𝜓: 𝐾[𝑥] ⟶ 𝐿 é definida por 𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼), então é

um homomorfismo tal que:

(𝑖) 𝐼𝑚(𝜓) = 𝐾[𝛼], 𝐾 ⊂ 𝐾[𝛼] ⊂ 𝐿;

(𝑖𝑖) 𝛼 é transcendente sobre 𝐾 se, e somente se, 𝑘𝑒𝑟(𝜓) = {0};

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝛼 é algébrico sobre 𝐾 e 𝑃(𝑥) = 𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾), então 𝑘𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥)um ideal

maximal de 𝐾[𝑥];

(𝑖𝑣) 𝐾[𝑥] 𝑘𝑒𝑟(𝜓) ≃⁄ 𝐾[𝛼]

Demonstração: 𝜓 está claramente bem definida e agora se mostra que 𝜓 é de fato

um homomorfismo de anéis.

Considere 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚 com 𝑚 ≤

𝑛. Assim

𝜓(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

= 𝜓((𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥 + ⋯ + (𝑎𝑚 + 𝑏𝑚)𝑥𝑚 + 𝑎𝑚+1𝑥𝑚+1 + ⋯

+ 𝑎𝑛𝑥𝑛) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛𝛼𝑛 + 𝑏0 + 𝑏1𝛼 + ⋯ + 𝑏𝑚𝛼𝑚 = 𝑓(𝛼) + 𝑔(𝛼)

= 𝜓(𝑓(𝑥)) + 𝜓(𝑔(𝑥))

E também:

𝜓(𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) = 𝜓(𝑑0 + 𝑑1𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 = 𝑑0 + 𝑑1𝛼 + ⋯ + 𝑑𝑛𝛼𝑛

= (𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛𝛼𝑛). (𝑏0 + 𝑏1𝛼 + ⋯ + 𝑏𝑚𝛼𝑚) = 𝑓(𝛼). 𝑔(𝛼)

= 𝜓(𝑓(𝑥)). 𝜓(𝑔(𝑥))

Onde 𝑑𝑖 = ∑ 𝑎𝑗𝑏𝑖−𝑗𝑖𝑗=0

Portanto, 𝜓 é um homomorfismo de anéis.

Agora se mostra os itens (𝑖) à (𝑖𝑣)

𝑖) Temos que,

𝐼𝑚(𝜓) = {𝑓(𝛼); 𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼)}

Mas 𝜓 esta definida em 𝐾[𝑥], de modo que todo 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].

Dai, 𝐼𝑚(𝜓) = {𝑓(𝛼); 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}

56

E por definição, isto é 𝐾[𝛼]. Logo, 𝐼𝑚(𝜓) = 𝐾[𝛼]

Para verificar-se que 𝐾[𝛼] contém 𝐾, basta tomar a função 𝑔(𝛼𝑖) = 𝑎𝑖, 𝑎𝑖 ∈

𝐾, 𝑖 = 1,2, …

𝑖𝑖) Seja,

ker(𝜓) = {𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]: 𝜓(𝑓(𝑥)) = 0}

Como 𝛼 é transcendente sobre 𝐾, seja 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] − {0} segue, por definição,

que 𝑓(𝛼) ≠ 0. Mas 𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼) o que implica que 𝜓(𝑓(𝑥)) ≠ 0. Logo o único

polinômio que anula 𝛼 é o polinômio nulo. Portanto, 𝑘𝑒𝑟 = {0}. Reciprocamente,

supondo que 𝑘𝑒𝑟 = {0}, onde o polinômio nulo, vem que para todo 𝑓(𝑥) ≠ 0 ∈ 𝐾[𝑥]

têm-se

𝜓(𝑓(𝑥)) ≠ 0

Como 𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼), temos que,

𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼) ≠ 0

Deste modo 𝛼 é transcendente sobre 𝐾.

Feito isso, pode-se definir 𝜓: 𝐾[𝑥] ⟶ 𝐿 como uma aplicação injetiva, pois

𝑘𝑒𝑟(𝜓) = {0}. Segue do 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏. 𝟒 item (𝑖𝑖). Portanto, 𝜓 é um isomorfismo de

anéis.

𝑖𝑖𝑖) Como 𝛼 é algébrico sobre 𝐾, então 𝑘𝑒𝑟(𝜓) ≠ {0}. Considere então 𝑘𝑒𝑟(𝜓) =

𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) um ideal em 𝐾[𝑥]. Como 𝑃(𝑥) é irredutível sobre 𝐾, pelo 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐. 𝟕

temos que 𝑘𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) é um ideal maximal em 𝐾[𝑥]

𝑖𝑣) Segue pelo item 𝑖) deste teorema que 𝐼𝑚(𝜓) = 𝐾[𝑥] e agora é imediato do

𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐. 𝟑 item 𝑖𝑖𝑖) que

𝐾[𝑥] 𝑘𝑒𝑟 (𝜓) ≃ 𝐾[𝛼]⁄

Corolário 3.1. Sejam extensão de 𝐾 e 𝛼 ∈ 𝐿. Então:

𝑖) Se 𝛼 é algébrico sobre 𝐾, então 𝐾[𝛼] é um subcorpo de 𝐿 que contém 𝐾

𝑖𝑖) Se 𝛼 é transcendente sobre 𝐾 então 𝐾[𝛼] é um subdomínio de 𝐿 isomorfo ao

domínio 𝐾[𝑥] dos polinômios em uma indeterminada 𝑥

57

Demonstração: (𝑖) Adota-se um homomorfismo nas condições do 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟑. 𝟐.

anterior, ou seja, 𝜓: 𝐾[𝑥] ⟶ 𝐿 é definida por 𝜓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝛼). Suponha 𝛼 algébrico

sobre 𝐾 e seja 𝑃(𝑥) = 𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾) ∈ 𝐾[𝑥]. Pelo item (𝑖𝑖𝑖) do 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐. 𝟕. tem-se que

𝑘𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥) é um ideal maximal e portanto,

𝐾[𝑥]

𝑘𝑒𝑟 (𝜓)≃ 𝐾[𝛼]

Como 𝐾[𝛼] é isomorfo ao corpo 𝐾[𝑥]

𝑘𝑒𝑟 (𝜓) segue que 𝐾[𝑥] também é um corpo.

𝑖𝑖) Para demonstrar este item, precisa-se mostrar que 𝐾[𝛼] é um subanel e que não

possui divisores de zero. Considere 𝑓(𝛼), 𝑔(𝛼) ∈ 𝐾[𝛼]. Note que

1) 𝑓(𝛼) − 𝑔(𝛼) = (𝑓 − 𝑔)(𝛼) ∈ 𝐾[𝛼]

2) 𝑓(𝛼). 𝑔(𝛼) = (𝑓. 𝑔)(𝛼) ∈ 𝐾[𝛼]

Agora, observe que 𝐾[𝛼] não possui divisores de zero, pois

𝑓(𝛼). 𝑔(𝛼) = 0 ⟹ 𝑓(𝛼) = 0 𝑜𝑢 𝑔(𝛼) = 0

Como 𝛼 é transcendente sobre 𝐾[𝛼], vem que

𝑓(𝛼) = 0(𝛼) 𝑜𝑢 𝑔(𝛼) = 0(𝛼)

∎

Corolário 3.2. Se 𝐿 uma extensão de 𝐾 e se 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐿 são raízes de um mesmo

polinômio irredutível sobre 𝐾, então 𝐾[𝛼] e 𝐾[𝛽] são corpos isomorfos.

Demonstração: Por hipótese, 𝑃(𝑥) = 𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾).Agora pelo item 𝑖𝑖𝑖) do

𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐. 𝟕, obtemos,

𝒥 = 𝐾[𝑥]. 𝑃(𝑥)

E por (𝑖𝑣) temos 𝐾[𝛼] ≃𝐾[𝑥]

𝒥 e da mesma forma

𝐾[𝑥]

𝒥≃ 𝐾[𝛽] logo,

𝐾[𝑎] ≃ 𝐾[𝛽]

São corpos isomorfos.

∎

Proposição 3.3. Seja 𝐿 uma extensão de 𝐾 𝛼 ∈ 𝐿 algébrico sobre 𝐾. Se o grau do

polinômio 𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾) é 𝑛, então:

58

(𝑖) Qualquer 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 𝑓(𝛼) pode ser expresso de modo único na forma,

𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖 ∈ 𝐾.

(𝑖𝑖) 𝐾[𝛼] = {𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾} é um subcorpo de 𝐿 que contem 𝐾.

(𝑖𝑖𝑖) Se 𝐾 = ℤ𝑝, então 𝐾[𝛼] é um corpo contendo exatamente 𝑝𝑛 elementos.

Demonstração: Seja 𝑃(𝑥) = 𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾). Por hipótese temos, 𝜕𝑃(𝑥) = 𝑛.

𝑖) Se 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] então pelo algoritmo da divisão existem 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tais que

𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑃(𝑥) + 𝑟(𝑥), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟(𝑥) = 0 𝑜𝑢 𝜕𝑟(𝑥) < 𝜕𝑃(𝑥).

Assim 𝑟(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖 ∈ 𝐾.

Agora temos,

𝑓(𝛼) = 𝑞(𝛼). 𝑃(𝛼) + 𝑟(𝛼)

Como 𝑃(𝛼) = 0 segue que 𝑓(𝛼) = 𝑟(𝛼),ou seja, 𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1.

Agora se demonstra a unicidade da expressão.

Se 𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1 = 𝑏0 + 𝑏1𝛼 + ⋯ + 𝑏𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝐾, ∀𝑖 ∈

{1, … , 𝑛 − 1}

Segue imediatamente que ao polinômio 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] onde

𝑞(𝑥) = (𝑎0 − 𝑏0) + (𝑎1 − 𝑏1)𝑥 + ⋯ + (𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1)𝑥𝑛−1

É tal que 𝑞(𝛼) = 0 e 𝜕𝑞(𝑥) < 𝑛 = 𝜕𝑖𝑟𝑟(𝛼, 𝐾). Assim 𝑞(𝑥) = 0 e daí segue

𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 , ∀𝑖 ∈ {1, … , 𝑛 − 1}

(𝑖𝑖) Primeiro mostra-se que 𝐾[𝛼] = {𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 ∈ K}.Por definição

𝐾[𝛼] = {𝑓(𝛼); 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]}, agora pelo item (𝑖) desta proposição 𝑓(𝛼) pode ser

expresso de modo único na forma 𝑓(𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐾, daí

temos:

𝐾[𝛼] = {𝑓(𝛼): 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥]} = {𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾}

O fato de 𝐾[𝛼] ser um subcorpo de 𝐿 que contem 𝐾 segue imediatamente do

item (𝑖) do Corolário 3.1

(𝑖𝑖𝑖) Para demonstrar este item basta observar que pelos itens anteriores temos;

ℤ𝑝[𝛼] = {𝑎0 + 𝑎1𝛼 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 ∈ ℤ𝑝}

59

Assim existe uma correspondência bijetora entre ℤ𝑝[𝛼] e o conjunto de todas

as 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 (𝑎𝑜,𝑎1, … , 𝑎𝑛−1) onde cada 𝑎𝑖 ∈ ℤ𝑝 = {0,̅ 1̅, … , 𝑝 − 1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅}.

∎

3.2. Algumas aplicações

Aplicação 1. Seja 𝛼 = √𝑝𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≥ 2 inteiro e 𝑝 ≥ 2 um número primo. Então 𝛼 é

uma raiz real do polinômio 𝑥𝑛 − 𝑝 que é, pelo critério de Eisenstein, irredutível

sobre ℚ. E ℚ[𝛼] é um subcorpo de ℝ contento ℚ

Primeiro verifica-se o polinômio 𝑥𝑛 − 𝑝 é irredutível. Pelo critério de Eisenstein,

tem-se que existe um número 𝑝 primo. Então 𝑝 divide 𝑥𝑛, por definição, e 𝑝 divide 𝑝.

Mas 𝑝2 não divide 𝑝. Logo, 𝑥𝑛 − 𝑝 é irredutível. Pelo item (𝑖) do Corolário

3.1,temos que ℚ[𝛼] é um subcorpo de ℝ contento ℚ. E ainda, ℚ[𝛼] = {𝑎0 + 𝑎1𝛼 +

⋯ + 𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1, 𝑎𝑖 ∈ ℚ}.

Aplicação 2. Seja 𝐾 um corpo, 𝐿 𝐾⁄ uma extensão e 𝜏 ∈ 𝐿 transcendente sobre 𝐾.

Afirma-se que 𝐾 é algebricamente fechado em 𝐾(𝜏) = {𝑓(𝜏) 𝑔(𝜏)⁄ ; 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥], 𝑔 ≠

0}. De fato, se existisse 𝛼 ∈ 𝐾(𝜏) ∖ 𝐾 algébrico sobre 𝐾, digamos 𝛼 = 𝑓(𝜏) 𝑔(𝜏)⁄ ,

então 𝐾[𝛼] ∕ 𝐾 seria finita. Observe que ℎ = 𝑓(𝑥) − 𝛼𝑔(𝑥) ∈ (𝐾[𝛼])[𝑥] e ℎ(𝜏) = 0, ou

seja, 𝜏 é algébrico sobre 𝐾[𝛼]. Portanto, 𝐾(𝜏) = (𝐾[𝛼])[𝜏] é algébrico sobre 𝐾, mas

isso é impossível, pois 𝜏 é transcendente sobre 𝐾.

Aplicação 3. Seja 𝐿 𝐾⁄ uma extensão de corpos e 𝐴𝐿(𝐾) o conjunto dos elementos

𝛼 ∈ 𝐿 que são algébricos sobre 𝐾. Agora se mostra que este conjunto é um corpo.

De fato, basta mostrar que dados 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐴𝐿(𝐾) − {0}, então 𝛼 + 𝛽,𝛼𝛽,𝛼−1 ∈ 𝐴𝐿(𝐾).

Pelo corolário 3.2 do teorema 3.2., temos que 𝐾[𝛼] e 𝐾[𝛽] são corpos e 𝐾[𝛼] 𝐾⁄ e

𝐾[𝛽] 𝐾⁄ são finitas. Seja 𝐾[𝛼, 𝛽] a extensão gerada sobre 𝐾 por 𝛼 e 𝛽. Vamos

analisar o seguinte diagrama.

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𝐾[𝛼, 𝛽]

↗ ↑ ↖

𝐾[𝛼] 𝐾[𝛼 + 𝛽] 𝐾[𝛽]

↖ ↑ ↗

𝐾

A extensão 𝐾[𝛼, 𝛽] é gerada por 𝛽 sobre 𝐾[𝛼]. Como 𝛽 é algébrico sobre 𝐾 e

𝐾 ⊂ 𝐾[𝛼], conclui-se que 𝛽 é algébrico sobre 𝐾[𝛼]. Logo a extensão 𝐾[𝛼, 𝛽] 𝐾[𝛼]⁄ é

finita. Pela transitividade de extensões finitas, conclui-se que 𝐾[𝛼, 𝛽] 𝐾⁄ . Mas, 𝐾 ⊂

𝐾[𝛼 + 𝛽] ⊂ 𝐾[𝛼, 𝛽]. Logo 𝐾[𝛼 + 𝛽] ∕ 𝐾 é finita, portanto 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝐴𝐿(𝐾). Da mesma

maneira mostra-se para 𝛼𝛽, 𝛼−1. Com isso, 𝛼 + 𝛽, 𝛼𝛽, 𝛼−1 ∈ 𝐴𝐿(𝐾). Portanto, 𝐴𝐿(𝐾) é

um corpo.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta parte da dissertação desse trabalho será usada para apresentar tópicos

de estudos como sugestão para trabalhos futuros, como abranger a teoria de Galois

e de construção de corpos através do processo de adjunção de raízes. Poderíamos

fazer um estudo mais aprofundado da questão de grupos, mas foi mais que

suficiente mostrar as definições de grupos e das implicações das definições sobre

um dado conjunto munido de uma operação ⋆, para compreendermos a sequência

do trabalho. Da mesma maneira, as definições de estruturas de anéis e corpos que

contribuíram para abrangermos os nossos estudos sobre extensões algébricas de

corpos.

Contudo, com o objetivo de tratar no nosso trabalho a demonstração do

teorema 3.2. , que nos dá uma análise de como usar raízes algébricas ou

transcendente 𝛼 de uma extensão de corpos, 𝐿 𝐾⁄ com 𝛼 ∈ 𝐿 ⊃ 𝐾, para verificar se

um polinômio é irredutível pode estar satisfazendo a noção de corpos do conjunto

𝐾[𝑥] de todos os polinômios, ou verificar se 𝐾[𝑥] pode ser ou não um corpo.

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REFERÊNCIAS

DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. 4 ed. Reformulada- São Paulo: atual

2003;

GONLÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 5 ed. Rio de janeiro: IMPA, 2011;

GARCIA, Arnaldo; Lequain, Yves. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro:

IMPA, dezembro de 2001

PACHECO, Amílcar. Álgebra. Universidade Federal do Rio de janeiro.

Departamento de Matemática Pura.

SILVA, Erivaldo de Oliveira. Extensão algébrica dos Racionais. 2013. 49

folhas, TCC apresentado ao curso de Matemática do centro de Ciências e

Tecnologia- Universidade Estadual da Paraíba;