EXTENSIVO APOSTILA 04 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A AULA...

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A AULA 10 01) f(x) = x 2 – 4x f(x) > 0 x < 0 ou x > 4 f(x) < 0 0 < x < 4 02) –x 2 + 3x – 2 < 0 S: {x IR / x < 1 ou x > 2} 03) x 2 – 10x + 9 ≥ 0

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 10

01)

f(x) = x2 – 4x

f(x) > 0 x < 0 ou x > 4

f(x) < 0 0 < x < 4

02)

–x2 + 3x – 2 < 0

S: {x IR / x < 1 ou x > 2}

03)

x2 – 10x + 9 ≥ 0

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S: {x IR / x ≤ 1 ou x ≥ 9}

04)

São duas condições que precisam ser SIMULTANEAMENTE satisfeitas e isso vai

gerar um sistema de inequações. Então:

2

2

x 4 0

49 x 0

Dom: [–7, –2] [2, 7]

05)

I – Dom = IR

II – Dom = IR

III – Dom = IR – {4}

06)

9 x0

x 4

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Dom: ]4, 9]

AULA 11

01)

y 2 4 3 6 3 3 1

y 4 3 2 6 3 3 1

y 6 3 9

02)

x 1 4 x 3x 1 2 2 x 1 4

x 1 4 x 5x 1 2 2

x 1 2 2 x 1 0 x 1

S :{ 5, 1,3}

03)

2 2

2 2

y 9 6x x 9 6x x

y 3 x 3 x

y 3 x 3 x

Para x 3

y 3 x 3 x

y 2x

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04)

2

x y x y 12 0

Faz-se:

x y k

2

x y 4 y 4 xk 4 x y 4

x y 4 y 4 xk k 12 0

k 3 x y 3 (Não Convém)

AULA 12

01)

* f(x) ser PAR e ÍMPAR simultaneamente

f(x) = 0, pois, f(–x) = f(x) = –f(x) = 0

02)

cos(–x) = cos(x) Função PAR

sen(–x) = – sen(x) Função ÍMPAR

03)

a)

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f(x) = 2x ∙ senx

f(–x) = 2 · (–x) ∙ sen(–x)

f(–x) = –2x ∙ [–sen(x)]

f(–x) = 2x ∙ sen(x)

f(–x) = f(x)

FUNÇÃO PAR

b)

2

2

2

2xg(x)

1 x

2( x)g( x)

1 ( x)

2xg( x)

1 x

g( x) g(x)

FUNÇÃO ÍMPAR

c)

f(x) = x3 + 4x2

f(–x) = (–x)3 + 4 ∙ (–x)2

f(–x) = –x3 + 4x2

f(–x) f(x) e f(–x) – f(x)

FUNÇÃO SEM PARIDADE

04)

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f(0) 1

4 f(n) 1f(n 1)

4

4 f(0) 1 4 1 1 5n 0 f(1) f(1) f(1)

4 4 4

54 1

4 f(1) 1 6 5 14n 1 f(2) f(2) f(2) f(2)4 4 4 4

64 1

4 f(2) 1 7 5 24n 2 f(3) f(1) f(3) f(3)4 4 4 4

(...)

5 43 48n 43 ... f(44) 12

4 4

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 10

01)

1970

3p p 0,125 p 12,5%

24

1995

20p p 0,625 p 62,5%

32

Aproximadamente de 10% para 60%.

02)

Tributos = 0,133 ∙ 2 500 + 0,315 ∙ 1 800

Tributos = 332,50 + 567,00

Tributos = 899,50

Em percentual, esse gasto com os tributos corresponde a:

899,50

p p 0,3598 p 36%2 500

03)

Mínimo (Ap = Aprovados):

Direto DiretoFiscal A

Fiscal B Fiscal C

1 50 1 45 1 60Ap

3 100 3 100 3 100

1 3 1Ap

6 20 5

56Ap

120

Ap 0,45 45%

Máximo (Ap = Aprovados):

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Direto DiretoFiscal A Dúvida Dúvida

Fiscal B Fiscal C

1 50 1 45 50 50 1 60 10 50Ap

3 100 3 100 100 100 3 100 100 100

1 7 13Ap

6 30 60

37Ap

60

Ap 0,60 60%

04)

Como o trecho de 2010 a 2030 é linear, a taxa de crescimento é constante.

Se em 20 anos o crescimento foi de 1,5 bilhões de pessoas, significa que em 10

anos (2010 até 2020) o crescimento será de 0,75 bilhões de pessoas, ou seja:

P2020 = (3,5 + 0,75) bilhões de pessoas

P2020 = 4,25 bilhões de pessoas

AULA 11

01)

200 14 300 16Q

500

7600Q

500

Q 15,2 quilates

02)

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dV

t

dV

1 1d d

2 240 60

dV

d d

80 120

dV

3d 2d

240

240dV

5d

V 48 km / h

03)

3

1 8 64A A 24,33...

3

G 1 8 64 G 8

1 3 192H H H H 2,63

1 1 1 73 73

1 8 64 643

H G A

AULA 12

01)

TermosCentrais

3 8 6 3 7 9Ma Ma 6

6

6 7Ordem Crescente : 3,3, 6,7 ,8,9 Med Med 6,5

2

Mo = 3 (Maior Frequência = 2)

02)

1º ao 10º 11º ao 25º 26º ao 35º 36º ao 45º 46º ao 50º

15 10 16 15 17 10 18 10 19 5Ma Ma 16,7 anos

50

16 17Ordem: 15,...,15,16,...,16,17,...,17,18,...,18,19,...,19 Med Med

2 16,5 anos

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Mo = 16 anos (Maior Frequência = 15)

03)

400 380 500 260 600 200 700 180 800 120 900 60Ma

1 200

152 000 130 000 120 000 126 000 96 000 54 000Ma

1 200

Ma 565 reais

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C

AULA 11

01)

2

2

2

2

2

a 4 x a 2

a 2x

a 4

a 4 0 a 2 e a 2a 2 e a 2 Solução Única

a 2

a 4 0 a 2 ou a= 2a 2 Infinitas Soluções

a 2 0 a 2

a 4 0 a 2 ou a= 2a 2 Não Possui Solução

a 2 0 a 2

02)

x y z 6

x 2y z 6

x y 2z 3

Aplicando a Regra de Cramer, tem-se:

x x

1 1 1

D 1 2 1 D 3

1 1 2

6 1 1

D 6 2 1 D 9

3 1 2

1 6 1

Dy 1 6 1 Dy 6

1 3 2

Dx 9x x x 3

D 3

Dy 6y y y 2

D 3

Substituindo os valores de x e y encontrados em uma das equações, tem-se:

x + y + z = 6

3 + 2 + z = 6

z = 1

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 10

01)

Fazendo a semelhança de triângulos entre os destacados a seguir, tem-se:

2 2 2

2

2

2

c a nc n hI e II

a c b a h b c

b m hI e III b a m

a b c

n h cII e III h

a b

m nh m

c

b

a m nEm I

Triângulo I

Triângulo II

Triângulo III

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02)

a2 = b2 + c2

a2 = a ∙ m + a ∙ n

a2 = a ∙ (m + n)

a2 = a ∙ (a)

a2 = a2

(C.Q.D)

01)

2 2 2

2

2 2

2 2

2

b 4 4b c

c 3 3

a 30 m

a b c

430 c c

3

16900 c c

9

25900 c

9

c 18 m

Substituindo o valor de c, tem-se:

b = 24 m

Assim, o perímetro do triângulo é:

a + b + c = 30 + 24 + 18 = 72 m

02)

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D2 = 42 + 62

D2 = 52

D 2 13 m

03)

LC2 = 122 + 162

LC = 20 m

d 32

12 20

d 19,2 m

04)

Sabendo que triângulo com dois ângulos iguais (isósceles) possui os lados opostos

aos ângulos iguais também iguais e utilizando o ângulo externo (2a), tem-se:

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Lembrando também da relação fundamental da trigonometria e a fórmula do arco

duplo (sen2a = 2∙sena∙cosa), tem-se:

sen2(a) + cos2(a) = 1

0,62 + cos2(a) = 1

cos(a) = 0,8

xsen(2a)

100

x2sen(a)cos(a)

100

x2 0,6 0,8

100

x 96 cm

AULA 11

01)

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c.q.d

D d

2 2S 42

D dS 4

8

D dS

2

02)

Sem o aumento:

S = a ∙ b

Com o aumento:

S´ = 1,15a ∙ 1,20b

S´ = 1,38 ∙ a ∙ b

S´ = 1,38 ∙ S

A área sofrerá um aumento de 38%

03)

2a + 2b = 28 cm

a + b = 14 cm

b = 14 – a

102 = a2 + b2

100 = a2 + (14 – a)2

100 = a2 + 196 – 28a + a2

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2a2 – 28a + 96 = 0

a2 – 14a + 48 = 0

a = 6 cm ; b = 8 cm

ou

a = 8 cm ; b = 6 cm

Nos dois casos, a área é: S = 8 · 6 S = 48 cm2

04)

É necessário calcular o M.D.C das dimensões do retângulo (em cm). Assim:

Serão quadrados de lado 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 cm.

Serão 5 ladrilhos numa dimensão e 8 ladrilhos na outra dimensão, então, serão no

total 5 ∙ 8 = 40 ladrilhos.

05)

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xsen30º

24

1 x

2 24

x 12 m

Hcos30º

24

3 H

2 24

H 12 3 m

2

(10 12 10) 12 3S

2

S 192 3

S 332,16 m

AULA 12

01)

2

2

1S 2 A

2

1 2 2S 2 2

4 2

S 2 2

S 2

02)

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Área = Área I + Área II + Área III + Área IV

2 2 2 2

2

1 1 1 1Área 10 6 4 10

4 4 4 2

Área 25 9 50

Área 84 m

03)

R2 = 32 + 42

R = 5

21Área 5 4 3

4

25Área 3,14 12

4

Área 7,6

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04)

6 2

cosx cosx x 45º26 2

Assim, a área pedida (S) será a diferença entre a área do setor de 90º (2x) com

raio 6 2 cme os dois triângulos idênticos. Assim:

2

2

1 1S 6 2 2 6 6 2 sen45º

4 2

2S 72 36 2

4 2

S 18 36

S 18 2 cm

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EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 10

01)

cos(–x) = cos (0 – x)

cos(–x) = cos0 ∙ cosx + sen0 ∙ senx

cos(–x) = 1 ∙ cosx + 0 ∙ senx

cos(–x) = cosx (C.Q.D)

sen(–x) = sen (0 – x)

sen(–x) = sen0 ∙ cosx – senx ∙ cos0

sen(–x) = 0 ∙ cosx – senx ∙ 1

sen(–x) = – senx (C.Q.D)

02)

tg15º tg 60º 45º

tg60º tg45ºtg15º

1 tg60º tg45º

3 1tg15º

1 3 1

3 1 3 1tg15º

3 1 3 1

3 2 3 1tg15º

3 1

4 2 3tg15º

2

tg15º 2 3

03)

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E sen 2 x cos x2

E sen 2 cos x senx cos 2 cos cos x sen senx2 2

E 0 cos x senx 1 0 cos x 1 senx

E senx senx

E 2senx

04)

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 cos(x y)

E senx seny cos x cos y

E sen x 2senxseny sen y cos x 2cos x cos y cos y

E sen x cos x sen y cos y 2 cos x cos y senxseny

E 2 2cos(x y)

E 2 2cos60º

1E 2 2

2

E 3

05)

Do ciclo trigonométrico, tem-se:

sen(a) = PN

cos(a) = OP

sen(b) = QM

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cos(b) = OQ

Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo da figura 2, tem-se:

2 22

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

11̀cos(a b)

2

2

2

x OP OQ PN QM

x cosa cosb sena senb

x cos a 2cosacosb cos b sen a 2senasenb sen b

x cos a sen a cos b sen b 2 cosacosb senasenb

x 2 2cos a b

x 2 2cos2

x

2

2 2 0

x 2

Para calcular o valor de y, faz-se:

4

22

2

y 15x

y 15 x

y 15 2

y 60

AULA 11

01)

cos(2x) = cos2x – sen2x

cos(2x) = 1 – sen2x – sen2x

cos(2x) = 1 – 2sen2x

cos(2x) = cos2x – sen2x

cos(2x) = cos2x – (1 – cos2x)

cos(2x) = cos2x – 1 + cos2x

cos(2x) = 2cos2x – 1

02)

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sen 3 cos 3E

sen cos

sen 3 cos sen cos 3E

sen cos

sen 3E

sen cos

sen 2E

sen cos

2sen cosE

sen cos

E 2

03)

Tem-se que:

senx + cosx = k

(senx + cosx)2 = k2

sen2x + 2 ∙ senx ∙ cosx + cos2x = k2

1 + sen(2x) = k2

sen(2x) = k2 – 1

04)

cos(3x) = 4cos3x – 3cosx

cos(2x + x) = 4cos3x – 3cosx

cos(2x) ∙ cosx – sen(2x) ∙ senx = 4cos3x – 3cosx

(cos2x – sen2x) ∙ cosx – 2senx · cosx ∙ senx = 4cos3x – 3cosx

cos3x – sen2x ∙ cosx – 2sen2x · cosx = 4cos3x – 3cosx

cos3x – 3sen2x ∙ cosx = 4cos3x – 3cosx

cos3x – 3 ∙ (1 – cos2x) ∙ cosx = 4cos3x – 3cosx

cos3x – 3cosx + 3cos3x = 4cos3x – 3cosx

4cos3x – 3cosx = 4cos3x – 3cosx