EXTENSIVO APOSTILA 04 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A AULA...
Transcript of EXTENSIVO APOSTILA 04 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A AULA...
EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A
AULA 10
01)
f(x) = x2 – 4x
f(x) > 0 x < 0 ou x > 4
f(x) < 0 0 < x < 4
02)
–x2 + 3x – 2 < 0
S: {x IR / x < 1 ou x > 2}
03)
x2 – 10x + 9 ≥ 0
S: {x IR / x ≤ 1 ou x ≥ 9}
04)
São duas condições que precisam ser SIMULTANEAMENTE satisfeitas e isso vai
gerar um sistema de inequações. Então:
2
2
x 4 0
49 x 0
Dom: [–7, –2] [2, 7]
05)
I – Dom = IR
II – Dom = IR
III – Dom = IR – {4}
06)
9 x0
x 4
Dom: ]4, 9]
AULA 11
01)
y 2 4 3 6 3 3 1
y 4 3 2 6 3 3 1
y 6 3 9
02)
x 1 4 x 3x 1 2 2 x 1 4
x 1 4 x 5x 1 2 2
x 1 2 2 x 1 0 x 1
S :{ 5, 1,3}
03)
2 2
2 2
y 9 6x x 9 6x x
y 3 x 3 x
y 3 x 3 x
Para x 3
y 3 x 3 x
y 2x
04)
2
x y x y 12 0
Faz-se:
x y k
2
x y 4 y 4 xk 4 x y 4
x y 4 y 4 xk k 12 0
k 3 x y 3 (Não Convém)
AULA 12
01)
* f(x) ser PAR e ÍMPAR simultaneamente
f(x) = 0, pois, f(–x) = f(x) = –f(x) = 0
02)
cos(–x) = cos(x) Função PAR
sen(–x) = – sen(x) Função ÍMPAR
03)
a)
f(x) = 2x ∙ senx
f(–x) = 2 · (–x) ∙ sen(–x)
f(–x) = –2x ∙ [–sen(x)]
f(–x) = 2x ∙ sen(x)
f(–x) = f(x)
FUNÇÃO PAR
b)
2
2
2
2xg(x)
1 x
2( x)g( x)
1 ( x)
2xg( x)
1 x
g( x) g(x)
FUNÇÃO ÍMPAR
c)
f(x) = x3 + 4x2
f(–x) = (–x)3 + 4 ∙ (–x)2
f(–x) = –x3 + 4x2
f(–x) f(x) e f(–x) – f(x)
FUNÇÃO SEM PARIDADE
04)
f(0) 1
4 f(n) 1f(n 1)
4
4 f(0) 1 4 1 1 5n 0 f(1) f(1) f(1)
4 4 4
54 1
4 f(1) 1 6 5 14n 1 f(2) f(2) f(2) f(2)4 4 4 4
64 1
4 f(2) 1 7 5 24n 2 f(3) f(1) f(3) f(3)4 4 4 4
(...)
5 43 48n 43 ... f(44) 12
4 4
EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B
AULA 10
01)
1970
3p p 0,125 p 12,5%
24
1995
20p p 0,625 p 62,5%
32
Aproximadamente de 10% para 60%.
02)
Tributos = 0,133 ∙ 2 500 + 0,315 ∙ 1 800
Tributos = 332,50 + 567,00
Tributos = 899,50
Em percentual, esse gasto com os tributos corresponde a:
899,50
p p 0,3598 p 36%2 500
03)
Mínimo (Ap = Aprovados):
Direto DiretoFiscal A
Fiscal B Fiscal C
1 50 1 45 1 60Ap
3 100 3 100 3 100
1 3 1Ap
6 20 5
56Ap
120
Ap 0,45 45%
Máximo (Ap = Aprovados):
Direto DiretoFiscal A Dúvida Dúvida
Fiscal B Fiscal C
1 50 1 45 50 50 1 60 10 50Ap
3 100 3 100 100 100 3 100 100 100
1 7 13Ap
6 30 60
37Ap
60
Ap 0,60 60%
04)
Como o trecho de 2010 a 2030 é linear, a taxa de crescimento é constante.
Se em 20 anos o crescimento foi de 1,5 bilhões de pessoas, significa que em 10
anos (2010 até 2020) o crescimento será de 0,75 bilhões de pessoas, ou seja:
P2020 = (3,5 + 0,75) bilhões de pessoas
P2020 = 4,25 bilhões de pessoas
AULA 11
01)
200 14 300 16Q
500
7600Q
500
Q 15,2 quilates
02)
dV
t
dV
1 1d d
2 240 60
dV
d d
80 120
dV
3d 2d
240
240dV
5d
V 48 km / h
03)
3
1 8 64A A 24,33...
3
G 1 8 64 G 8
1 3 192H H H H 2,63
1 1 1 73 73
1 8 64 643
H G A
AULA 12
01)
TermosCentrais
3 8 6 3 7 9Ma Ma 6
6
6 7Ordem Crescente : 3,3, 6,7 ,8,9 Med Med 6,5
2
Mo = 3 (Maior Frequência = 2)
02)
1º ao 10º 11º ao 25º 26º ao 35º 36º ao 45º 46º ao 50º
15 10 16 15 17 10 18 10 19 5Ma Ma 16,7 anos
50
16 17Ordem: 15,...,15,16,...,16,17,...,17,18,...,18,19,...,19 Med Med
2 16,5 anos
Mo = 16 anos (Maior Frequência = 15)
03)
400 380 500 260 600 200 700 180 800 120 900 60Ma
1 200
152 000 130 000 120 000 126 000 96 000 54 000Ma
1 200
Ma 565 reais
EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C
AULA 11
01)
2
2
2
2
2
a 4 x a 2
a 2x
a 4
a 4 0 a 2 e a 2a 2 e a 2 Solução Única
a 2
a 4 0 a 2 ou a= 2a 2 Infinitas Soluções
a 2 0 a 2
a 4 0 a 2 ou a= 2a 2 Não Possui Solução
a 2 0 a 2
02)
x y z 6
x 2y z 6
x y 2z 3
Aplicando a Regra de Cramer, tem-se:
x x
1 1 1
D 1 2 1 D 3
1 1 2
6 1 1
D 6 2 1 D 9
3 1 2
1 6 1
Dy 1 6 1 Dy 6
1 3 2
Dx 9x x x 3
D 3
Dy 6y y y 2
D 3
Substituindo os valores de x e y encontrados em uma das equações, tem-se:
x + y + z = 6
3 + 2 + z = 6
z = 1
EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D
AULA 10
01)
Fazendo a semelhança de triângulos entre os destacados a seguir, tem-se:
2 2 2
2
2
2
c a nc n hI e II
a c b a h b c
b m hI e III b a m
a b c
n h cII e III h
a b
m nh m
c
b
a m nEm I
Triângulo I
Triângulo II
Triângulo III
02)
a2 = b2 + c2
a2 = a ∙ m + a ∙ n
a2 = a ∙ (m + n)
a2 = a ∙ (a)
a2 = a2
(C.Q.D)
01)
2 2 2
2
2 2
2 2
2
b 4 4b c
c 3 3
a 30 m
a b c
430 c c
3
16900 c c
9
25900 c
9
c 18 m
Substituindo o valor de c, tem-se:
b = 24 m
Assim, o perímetro do triângulo é:
a + b + c = 30 + 24 + 18 = 72 m
02)
D2 = 42 + 62
D2 = 52
D 2 13 m
03)
LC2 = 122 + 162
LC = 20 m
d 32
12 20
d 19,2 m
04)
Sabendo que triângulo com dois ângulos iguais (isósceles) possui os lados opostos
aos ângulos iguais também iguais e utilizando o ângulo externo (2a), tem-se:
Lembrando também da relação fundamental da trigonometria e a fórmula do arco
duplo (sen2a = 2∙sena∙cosa), tem-se:
sen2(a) + cos2(a) = 1
0,62 + cos2(a) = 1
cos(a) = 0,8
xsen(2a)
100
x2sen(a)cos(a)
100
x2 0,6 0,8
100
x 96 cm
AULA 11
01)
c.q.d
D d
2 2S 42
D dS 4
8
D dS
2
02)
Sem o aumento:
S = a ∙ b
Com o aumento:
S´ = 1,15a ∙ 1,20b
S´ = 1,38 ∙ a ∙ b
S´ = 1,38 ∙ S
A área sofrerá um aumento de 38%
03)
2a + 2b = 28 cm
a + b = 14 cm
b = 14 – a
102 = a2 + b2
100 = a2 + (14 – a)2
100 = a2 + 196 – 28a + a2
2a2 – 28a + 96 = 0
a2 – 14a + 48 = 0
a = 6 cm ; b = 8 cm
ou
a = 8 cm ; b = 6 cm
Nos dois casos, a área é: S = 8 · 6 S = 48 cm2
04)
É necessário calcular o M.D.C das dimensões do retângulo (em cm). Assim:
Serão quadrados de lado 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 cm.
Serão 5 ladrilhos numa dimensão e 8 ladrilhos na outra dimensão, então, serão no
total 5 ∙ 8 = 40 ladrilhos.
05)
xsen30º
24
1 x
2 24
x 12 m
Hcos30º
24
3 H
2 24
H 12 3 m
2
(10 12 10) 12 3S
2
S 192 3
S 332,16 m
AULA 12
01)
2
2
1S 2 A
2
1 2 2S 2 2
4 2
S 2 2
S 2
02)
Área = Área I + Área II + Área III + Área IV
2 2 2 2
2
1 1 1 1Área 10 6 4 10
4 4 4 2
Área 25 9 50
Área 84 m
03)
R2 = 32 + 42
R = 5
21Área 5 4 3
4
25Área 3,14 12
4
Área 7,6
04)
6 2
cosx cosx x 45º26 2
Assim, a área pedida (S) será a diferença entre a área do setor de 90º (2x) com
raio 6 2 cme os dois triângulos idênticos. Assim:
2
2
1 1S 6 2 2 6 6 2 sen45º
4 2
2S 72 36 2
4 2
S 18 36
S 18 2 cm
EXTENSIVO – APOSTILA 04 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E
AULA 10
01)
cos(–x) = cos (0 – x)
cos(–x) = cos0 ∙ cosx + sen0 ∙ senx
cos(–x) = 1 ∙ cosx + 0 ∙ senx
cos(–x) = cosx (C.Q.D)
sen(–x) = sen (0 – x)
sen(–x) = sen0 ∙ cosx – senx ∙ cos0
sen(–x) = 0 ∙ cosx – senx ∙ 1
sen(–x) = – senx (C.Q.D)
02)
tg15º tg 60º 45º
tg60º tg45ºtg15º
1 tg60º tg45º
3 1tg15º
1 3 1
3 1 3 1tg15º
3 1 3 1
3 2 3 1tg15º
3 1
4 2 3tg15º
2
tg15º 2 3
03)
E sen 2 x cos x2
E sen 2 cos x senx cos 2 cos cos x sen senx2 2
E 0 cos x senx 1 0 cos x 1 senx
E senx senx
E 2senx
04)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 cos(x y)
E senx seny cos x cos y
E sen x 2senxseny sen y cos x 2cos x cos y cos y
E sen x cos x sen y cos y 2 cos x cos y senxseny
E 2 2cos(x y)
E 2 2cos60º
1E 2 2
2
E 3
05)
Do ciclo trigonométrico, tem-se:
sen(a) = PN
cos(a) = OP
sen(b) = QM
cos(b) = OQ
Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo da figura 2, tem-se:
2 22
2 22
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
11̀cos(a b)
2
2
2
x OP OQ PN QM
x cosa cosb sena senb
x cos a 2cosacosb cos b sen a 2senasenb sen b
x cos a sen a cos b sen b 2 cosacosb senasenb
x 2 2cos a b
x 2 2cos2
x
2
2 2 0
x 2
Para calcular o valor de y, faz-se:
4
22
2
y 15x
y 15 x
y 15 2
y 60
AULA 11
01)
cos(2x) = cos2x – sen2x
cos(2x) = 1 – sen2x – sen2x
cos(2x) = 1 – 2sen2x
cos(2x) = cos2x – sen2x
cos(2x) = cos2x – (1 – cos2x)
cos(2x) = cos2x – 1 + cos2x
cos(2x) = 2cos2x – 1
02)
sen 3 cos 3E
sen cos
sen 3 cos sen cos 3E
sen cos
sen 3E
sen cos
sen 2E
sen cos
2sen cosE
sen cos
E 2
03)
Tem-se que:
senx + cosx = k
(senx + cosx)2 = k2
sen2x + 2 ∙ senx ∙ cosx + cos2x = k2
1 + sen(2x) = k2
sen(2x) = k2 – 1
04)
cos(3x) = 4cos3x – 3cosx
cos(2x + x) = 4cos3x – 3cosx
cos(2x) ∙ cosx – sen(2x) ∙ senx = 4cos3x – 3cosx
(cos2x – sen2x) ∙ cosx – 2senx · cosx ∙ senx = 4cos3x – 3cosx
cos3x – sen2x ∙ cosx – 2sen2x · cosx = 4cos3x – 3cosx
cos3x – 3sen2x ∙ cosx = 4cos3x – 3cosx
cos3x – 3 ∙ (1 – cos2x) ∙ cosx = 4cos3x – 3cosx
cos3x – 3cosx + 3cos3x = 4cos3x – 3cosx
4cos3x – 3cosx = 4cos3x – 3cosx