EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 25

01)

ba

25y log0,001 log 5

Fazemos:

log 0,001 = a 0,001 = 10a 10–3 = 10a

a = –3

1b 2b2

25

1log 5 b 5 25 5 5 2b

2

1

b4

02)

a b

9 4 4 3E log (log 64) log (log 81)

Fazemos:

log4 64 = a 64 = 4a 43 = 4a

a = 3

log3 81 = b 81 = 3b 34 = 3b

b = 4

Então,

m n

9 4E log 3 log 4

Fazemos:

log9 3 = m 3 = 9m 3 = 32m 1 = 2m

1

m2

log4 4 = n 4 = 4n n = 1

Logo,

1 3

E 12 2

2

2

n n

n n

n

n n

1

nn n

n 2

E log log n

E log log n

E log log n

1E log

n

E = logn n–2

E = –2

AULA 26

01)

1ª Propriedade:

logb A + logb B = logb (AB)

Consideremos:

logb A + logb B = k

b

b b

log A logbB k

log A log B k

b b

b b b

A · B = bk

k = logb (AB) c.q.d

2ª Propriedade:

b b b

Alog A log B log

B

Consideremos:

logb A – logb B = k

b b

b

b

log A log B k

log Ak

log B

k

b

b b

bb

b

Ab

B

Ak log c.q.d

B

3ª Propriedade:

logb An = n · logb A

Consideremos:

logb An = k

n termos

b

n termos

b b b

log (A.A.A...A) k

log A log A ... log A k

n · logb A = k c.q.d

02)

2x = 250

log 2x = log 250

log 2x = log (2 · 53)

log 2x = log 2 + log 53

log 2x = log 2 + 3 · log 5

x 10log2 log2 3log

2

x · log 2 = log 2 + 3 · (log 10 – log 2)

0,30x = 0,30 + 3 · (1 – 0,30)

2,40

x0,30

x = 8

03)

1 000

2

1 000

2

x 2 000h(x) 5 000 log

10

2 030 2 000h(2 030) 5 000 log

10

h(2 030) = 5 000 + log2 (3)1000

h(2 030) = 5 000 + 1 000 · log2 3

Sendo 1 < log2 3 < 2, temos, 6 000 < h(2 030) < 7 000

04)

0,7

0,7

h log 10 . i

h log 10 . 10

h = log (100,7 · 100,5)

h = log 101,2

h = 1,2 m = 120 cm

05)

(log x)2 – log x3 = 0

(log x)2 – 3 · log x = 0

Fazendo log x = k, temos:

k2 – 3k = 0

0

3

k 0 logx 0 x 10 x 1

k 3 logx 3 x 10 x 1 000

AULA 27

01)

ab

a

log Nlog N

log b

Fazemos:

a

a

log Nk

log b

loga N = k · loga b

a a

a

log N k log b

klog b

a a

N a

N = (b)k

logb N = k c.q.d

02)

E = loga b · logb a

bb

b

log bE log a

log a

E = 1

03)

100

100

3

100

3

100

3

3

E log 5

log 5E

log 3

100log 5E

100

E = log3 5

E = x

EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 25

01)

4 3 2 2 3 4

4

E 1 320 4 1 320 1 318 6 1 320 1 318 4 1 320 1 318 1 318

E 1 320 1 318

E 16

E = 4

02)

Determinação do Termo Geral

p p n p

p 1 n

p6 p

p 3

p 1 6

p 6 pp p 18 3p

p 1 6

p 6 pp 18 4p

p 1 6

T C a x

1T C 2x

x

T C 1 2 x x

T C 1 2 x

a) FALSO – Possui 7 termos.

b) FALSO – Para possuir termo independente é necessário que

9

18 4p 0 p2

c) FALSO – Para a soma dos coeficientes, é necessário substituir as incógnitas

por 1, assim:

Soma =

6

3 12.1

1

Soma = 1

d) FALSO – Coeficientes distintos

Primeiro termo (p = 0):

0 6 00 18 4.0

0 1 6

18

1

T C 1 2 x

T 64.x

Último termo (p = 6):

6 6 66 18 4.6

6 1 6

6

7

T C 1 2 x

T 1.x

e) VERDADEIRO

Para ter o termo em x2, fazemos:

18 – 4p = 2

p = 4

Assim:

4 6 44 18 4 4

4 1 6T C 1 2 x

T5 = 60 · x2

03)

n n 0 n 1 n 2 2 0 n

n n n n1 x .1 .x .1 .x .1 .x ... .1 .x

0 1 2 n

Comparando com a expressão dada, concluímos que x = 2, assim:

(1 + x)n = (1 + 2)n = 3n

AULA 26

01)

Cálculo da Média

8.4 12.3 22.2 28.1 30.0x

100

32 36 44 28x

100

x 1,4

Residências com quantidade maior do que a média = 42

Porcentagem = 42%

02)

k cara

c coroa

Espaço Amostral

2 · 2 · 2 = 8

Evento

KKC

2

3

3!P 3

2!

Probabilidade

3p

8

03)

Bio logiaDisciplinas EspanholHistória

3 5 4 2

11

H1

H2

H3

H4

H5P P P P 3!5!4!2! 1

p p pB1P 11! 1 155

B2

B3

B4

E1

E2

04)

Considere a tabela

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

João

Paulo

Antônio

6p

36

3p

36

5p

36

ALTERNATIVA D

AULA 27

01)

M(2) = {2, 4, 6, 8, ... , 100} – 50 elementos

M(3) = {3, 6, 9, 12, ..., 99} – 33 elementos

M(2) e M(3) = M(6) = {6, 12, 18, ..., 96} – 16 elementos

p[M(2) M(3)] p[M(2)] p[M(3)] p[M(2) M(3)]

50 33 16p[M(2) M(3)]

100 100 100

67p[M(2) M(3)]

100

p[M(2) M(3)] 67%

02)

p 1 p(A B)

p 1 p(A) p(B) p(A B)

60 55 25p 1

100 100 100

90p 1

100

p = 10%

03)

Ataulfo: A

Batoré: B

4

5

4

7

p(A B) 1 p(nenhum)

Cp(A B) 1

C

5p(A B) 1

35

6p(A B)

7

04)

Considere a Tabela

Marca W NÃO Marca W Total

Táxi 10% 60% de 25% = 15% 25%

NÃO Táxi 10% 65% 75%

Total 20% 80% 100%

p = 65%

EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C

AULA 26

01)

01. c

02. e

03. a

04. b

02)

01. b

02. e

03. a

AULA 27

01)

01. c

02. d

03. a

04. b

02)

a)

3x2 + 3y2 – 18x – 12y – 9 = 0

x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0

6 4

C , C 3,22 2

32 + 22 – (–9) = R2

R 22

b)

16x2 + 16y2 – 16x + 8y –27 = 0

2 2

2 2

2

1 27x y x y 0

2 16

11 1 12C , C ,2 2 2 4

1 1 27R

2 4 16

R 2

c)

3x2 + 3y2 – 18x = 0

x2 + y2 – 6x = 0

6 0

C , C 3,02 0

32 + 02 – 0 = R2

R = 3

EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 25

01)

A geratriz de um cone equilátero é igual ao lado da secção meridiana que é um

triângulo equilátero, ou seja:

2

SM

2

SM

2 3 3S

4

S 3 3 cm

Multiplicando o resultado por 3 , temos, 9 cm2.

02)

Tem-se que g = 13 cm e R = 5 cm, assim:

g2 = R2 + H2

132 = 52 + H2

H = 12 cm

2

2

1V R H

3

1V 5 12

3

V = 100π cm3

03)

No desenvolvimento da superfície lateral de um cone, tem-se que a geratriz do

cone é o raio do setor formado e que o comprimento do arco do setor é o

comprimento da base do cone, assim:

Cálculo da Geratriz:

g2 = r2 + h2

g2 = 32 + 42

g = 5 cm

Comprimento do arco:

l = α · R

2π · r = α · g

2π · 3 = α · 5

o6216

5

04)

(R, H, g) P.A.

R = H – 2

g = H + 2

g2 = H2 + R2

(H + 2)2 = H2 + H2 – 4H + 4

2H 0

H 8H 0H 8m R 6m e g 10m

St = Sl + Sb

St = π · R · g + π · R2

St = π · 6 · 10 + π · 62

St = 96π m3

AULA 26

01)

A pirâmide original possui altura igual 3cm e lado da base igual a 3 3cm .

A nova pirâmide formada possui altura igual a 1cm e lado da base igual a x.

Assim:

3 3cm 3x 3cm

x 1

Cálculo da Área da Secção:

S = x2

2

S 3

S = 3 cm2

02)

A pirâmide original possui altura igual 12 cm e massa 675 g.

A nova pirâmide formada possui altura igual a 8 cm e massa igual a x.

A massa é proporcional ao volume, ou seja, a razão de semelhança entre as

massas das duas pirâmides é a mesma razão de semelhança entre os

volumes.

Assim,

3675 12

m 8

675 27

m 8

m = 200 g

03)

a)

Cálculo do volume da taça:

2

3

1V 5 20

3

500V cm

3

500V ml

3

b)

O milk-shake que restará na taça corresponde a um cone semelhante ao cone

da taça e cuja altura é metade da altura da taça. Assim:

Cálculo do volume restante:

3V 20

v 10

Vv

8

Cálculo do volume consumido:

Vconsumido = V – v

consumido

consumido

consumido

VV V

8

7V V

8

7V 100%

8

Vconsumido = 87,5%

04)

Cálculo da proporção da quantidade de chocolate:

3

3

H V

h v

2h V

h v

Vv

8

A proporção entre os preços é a mesma proporção entre os volumes, assim:

Pp

8

0,80p

8

p = R$ 0,10

AULA 27

01)

2

2

(H h)V R

2

(2 8)V 3

2

V = 45π cm3

02)

H = 2

B = 4 L = 2

b = 1 l = 1

Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:

2

2 2

2

2

2a 2 2

2

2a 4

4

18a

4

3 2a

2

03)

B b B b

2 2 2 2

hV S S S .S

3

1,5V 2 1 2 .1

3

V = 3,5 m2

V = 3 500 litros

04)

Considerando as medidas em decímetros, temos:

45R dm

2

r = 10 dm

h = 30 dm

Cálculo do Volume:

2 2

2

2

hV R r Rr

3

30 45 45V 10 10

3 2 2

2 025 450V 10 100

4 2

3 325V 10

4

V = 26 101,25 dm3

V = 26 101,25 litros

Cálculo do número de dias:

VN

17 000

26 101,25N

17 000

N = 1,53 dias

N = 1 dia 12 horas 51 minutos

EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 25

01)

Da fórmula da potenciação temos para n = 2:

n n

2 2

2 2 2

z cos n isen n

(a bi) cos 2 isen 2

(a b ) 2abi cos 2 isen 2

(a2 – b2) + 2abi = 2 · cos(2θ) + 2 · sen(2θ) · i

Igualando as partes reais e as partes imaginárias, temos:

2 22 22 2 2 2 2

2 2

c.q.d

2

2

c.q.d

a b a b(a b ) cos 2 cos 2 cos 2 cos sen cos 2

2ab a b2ab sen 2 sen 2 2 sen 2 2cos sen sen 2

02)

10 10

5 52 2

5 5

y 1 i 1 i

y 1 i 1 i

y 2i 2i

y = 32i5 – 32i5

y = 0

03)

10

10o o

3 1w i

2 2

w cos30 isen30

w = cos300º + i · sen300º

1 3w i

2 2

04)

Passando para forma trigonométrica e aplicando a fórmula da potência, temos:

n

no o

1 3z i

2 2

z cos60 i sen60

z = cos(60n)º + i · sen(60n)º

Para que seja real e positivo, temos:

(60ºn) = 0 + 180ºk n = 3k

k = 0 n = 0 z = 1 n não é positivo.

k = 1 n = 3 z = –1 z não é positivo.

k = 2 n = 6 z = 1

Menor “n” é igual a 6.

AULA 26

01)

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

Temos então:

2x 1 i

x 2x 2 0x 1 i

S: {1, 2, 1 + i, 1 – i}

02)

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

Temos então:

2

3x

2x 5x 3 0 2

x 1

Forma Fatorada:

3

2 x 2 x x 1 02

03)

Se é divisível por (x – 2), então, 2 é uma das soluções de P(x) = 0. Utilizando o

Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

Temos, então:

2

3x

2x x 3 0 2

x 1

3S : 1, ,2

2

04)

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

A multiplicidade da raiz -1 é igual a 3;

Temos,

2x 2

x 4 0x 2

S: {-2, -1, 2}

AULA 27

01)

Determinação de f(x):

x 1 1

f(x) 1 x 0

0 k x

f(x) = x3 + x + k

a)

Sendo –2 raiz do polinômio, então:

f(–2) = 0

(–2)3 + (–2) + k = 0

k = 10

b)

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

Temos então,

2x 1 2i

x 2x 5 0x 1 2i

S: {-2, 1 + 2i, 1 – 2i}

02)

x3 – 2x2 – 3x + 6 = 0

x2 · (x – 2) –3 · (x – 2) = 0

2

2

x 3x 3 0

x 3 x 2 0 x 3

x 2 0 x 2

S : 3, 3,2

03)

Para que 3 seja raiz, temos:

33 – 5 · 32 + 8 · 3 – m = 0

m = 6

Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:

Temos então,

2x 1 i

x 2x 2 0x 1 i

04)

Cálculo das soluções de 3 212x 19x 8x 1 0 :

Temos, então

2

x 1

12x 15x 3 0 1x

4

O conjunto

1 1, ,1

4 3

possui as raízes da equação 12x3 – 19x2 + 8x – 1 = 0

A equação, 12 · (33x) – 19 · (32x) + 8 · (3x) – 1 = 0 pode ser escrita

(considerando a troca de variáveis 3x = k) como 12k3 – 19k2 + 8k – 1 = 0 e

teríamos para k a solução

1 1, ,1

4 3

.

Voltando com esses valores na troca de variáveis, temos:

x

3

x x 1

1 13 x log

4 4

13 3 3

3

x = –1

3x = 1 x = 0

Cálculo da soma:

3

3 3

3

3

1Soma log 1

4

1Soma log log 3

4

1

4Soma log3

1Soma log

12

Soma = – log3 12