EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 30

01)

Sendo

PC Preço de Custo

PV Preço de Venda

PP Preço de Venda Promocional

temos:

PV 1,50 PC

PP 0,80 PV

Substituindo: PP = 0,80 · 1,50 · PC PP = 1,20 · PC

No dia da promoção, o lucro sobre o custo foi de 20%.

02)

o o o1 Desconto 2 Desconto 3 Desconto

0

0

P P . 0,80 . 0,80 . 0,80

P P .0,512

O desconto único foi de 49,8%

03)

Em Juro Simples, a taca (i%) incide sempre sobre o capital (C) aplicado.

Assim:

Início: M = C

Após 1 mês: M = C + C · i

Após 2 meses: M = C + C · i + C · i M = C + C · i · 2

Após 3 meses: M = C + C · i + C · i + C · i M = C + C · i · 3

(…)

Após t meses: M = C + C · i · t (c.q.d)

04)

Consideremos que o valor do produto é de R$ 100,00. Então:

– À vista (Desconto de 10%)

R$ 90,00

– A prazo (Duas parcelas iguais com a 1ª no ato da compra)

1ª Parcela = R$ 50,00

2ª Parcela = R$ 50,00

Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é de R$ 40,00 (visto

que a dívida no momento era o preço à vista do produto).

Esse saldo devedor de R$ 40,00 foi pago 1 mês pelo valor de R$ 50,00. Assim:

50 = 40 + 40 · i

10 = 40 · i

i = 0,25

Taxa de juro = 25% ao mês

AULA 31

01)

Início: M = C

Após 1 mês: M = C + C · i M = C · (1 + i)

Após 2 meses: M = C · (1 + i) + C · (1 + i) · i M = C · ( 1 + i) · ( 1 + i)

M = C · (1 + i)2

Após 3 meses: M = C · (1 + i)2 + C · (1 + i)2 · i M = C · ( 1 + i)2 · ( 1 + i)

M = C · (1 + i)3

(…)

Após t meses: M = C · (1 + i)t (c.q.d)

02)

M = C · (1 + i)t

2C = C · (1 + 0,02)t

2 = 1,02t

log 2 = log 1,02t

0,30103 = t · 0,00086

t = 35,003 meses

tmin = 36 meses

03)

M = C · (1 + i)t

5 480 = 1 370 · (1 + 0,25)t

4 = 1,25t

log 4 = log 1,25t

2 · log 2 = t · log 1,25

1250,60 t log

100

0,60 = t · (log 125 – log 100)

0,60 = t · (3 · log 53 – 2)

0,60 = t · ( 3 · log 5 – 2)

100,60 t 3 log 2

2

0,60 = t · [3 · (log10 – log2) –2]

0,60 = t · [3 · (1 – 0,30) – 2]

0,60 = t · 0,10

t = 6 anos

04) Sendo F o fluxo de sangue e R o raio da artéria, temos:

F = k · R4

Considerando a dilatação da artéria, teremos um novo fluxo F’, tal que:

F = k · R4

F’ = k · (1,10R)4

F’ = k · 1,4641 · R4

F’ = 1,4641·F

O fluxo aumentará em 46,41%.

EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 30

01)

a)

Mutuamente Exclusivos

p(A B) p(A) p(B)

0,7 = 0,4 + p(B)

p(B) = 0,3

b)

Independentes p(A B) p(A) p(B)

Se p(A B) p(A) p(B) p(A B) , então:

0,7 = 0,4 + p(B) – 0,4 · p(B)

0,3 = 0,6 · p(B)

p(B) = 0,5

02)

p(G C) p(G) p(C) p(G C)

p(G C) 0,6 0,8 0,6.0,8

p(G C) 1,4 0,48

p(G C) 0,92

p(G C) 92%

03)

p = (Masculino) E (Masculino) E (Feminino) E (Feminino)

2,2

4

1 1 1 1 1 4! 3p P p p

2 2 2 2 16 2!2! 8

04)

Temos que:

1p(P)

5

1p(V)

5

1 1 1p(P V) p(P V)

5 4 20

Logo,

1 1 1p(P V)

5 5 20

7p(P V) 35%

20

AULA 31

01)

Espaço Amostral

Total = 10 · 9 ·8 Total = 720

Evento:

3

(1,2,3),(1,2,5),(1,2,6)

(1,3,4),(1,3,5) n 6.P n 36

(2,3,4)

Probabilidade:

36 1p p

720 20

02)

Consideremos que k: Cara / C: Coroa.

Espaço Amostral:

2 · 2 · 2 · 2 = 16 sequências possíveis

Evento (Aparecer Cara duas vezes seguidas)

2

3

Pr obabilidade

3!kkCC P 3

2!

ou8 1

kkkC 4 p p16 2

ou

kkkk 1

Probabilidade (Não aparecer Cara duas vezes seguidas)

p = 1 – (Aparecer Cara duas vezes seguidas)

1p 1

2

1p

2

03)

a)

Se A e B forem mutuamente exclusivos

mínp(A B) 0

Se A e B forem independentes:

máx

máx

máx

p(A B) p(A) p(B)

3 2p(A B)

4 3

1p(A B)

2

b)

p(A B)p(B / A)

p(A)

7

12p(B / A)3

4

7p(B / A)

9

04)

a)

N = 9 · 9 · 8 · 7 · 6

N = 27 216 números

b)

Como precisam estar em ordem crescente e não é permitido começar com 0

(zero), esse algarismo não será utilizado. Assim:

5

9

1A

5!p27 216

1 9!

120 (9 5)!p

27 216

9 8 7 6 5

120p27 216

1p

216

EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 30

01)

Tendo uma esfera inscrita em um cilindro, concluímos que:

– Raio da esfera (R) é igual ao raio da base do cilindro

– Altura do cilindro (H) é igual ao diâmetro da esfera (2R).

Assim:

2

C

3E

2

C

3E

3

C

3E

C E

V R H

4VR

3

V R 2R

4VR

3

V 2 R

4VR

3

V 1,5V

Vc é 150% de VE

02)

2 3

cilindro esfera

3esfera

3

cilindro esfera

3esfera

cilindro esfera

esfera

4r 4r 2 r

V 2V 342V

2 r3

4r

V 2V 342V

2 r3

V 2V 1

2V 2

03)

As relações entre os elementos de um cone equilátero e a esfera inscrita são

as mesmas que existem entre um triângulo equilátero e o círculo inscrito.

Assim, sendo R o raio da esfera, temos:

1R 6

3

R = 2 cm

Então, calculando o volume da esfera, temos:

3

3

3

4V R

3

4V 2

3

32V cm

3

04)

Pela secção meridiana, encontramos:

Fazendo a semelhança entre os triângulos, temos:

13 5

12 R R

13R 60 5R

10R cm

3

05)

As relações entre sólidos inscritos dão-se na inscrição/circunscrição das bases,

assim, temos:

h 2

R2

Sendo a altura do cilindro igual a altura do cubo (h), o cálculo da área lateral do

cilindro fica assim:

2

S 2 Rh

h 2S 2 h

2

2S h

2

AULA 31

01)

O sólido é composto por um cilindro vazado por outro cilindro.

Pelas coordenadas dos vértices, concluímos que:

Raio do Cilindro externo = 4

Raio do Cilindro interno (vazado) = 2

Altura (igual para os dois cilindros) = 8

O volume do sólido será a diferença entre os volumes dos dois cilindros.

Vsólido = V – v

Vsólido = π · 42 · 8 – π · 22 · 8

Vsólido = 96π

02)

O sólido formado será uma esfera vazada por dois cones idênticos.

O raio da esfera (3 dm) é igual ao raio do cone e a altura do cone também é

igual ao raio da esfera.

O volume do sólido será a diferença entre o volume da esfera e os volumes dos

dois cones. Assim:

3 24 1V 3 2 3 3

3 3

V = 36π –18π = 18π dm3

03)

O sólido formado será um cilindro vazado de um cone.

Pelas informações do enunciado, temos:

Raio do cilindro = 2

Raio do cone =

Altura do cilindro = Altura do cone =

O volume do sólido será a diferença entre os volumes do cilindro e do cone.

Assim:

Vsólido = Vcilindro – Vcone

2 2

sólido

33

sólido

3

sólido

1V 2

3

V 43

11V

3

04)

Cálculo do valor de R

22 = b2 + b2

b = √2 cm

(√2)2 =12 + R2

R = 1 cm

O volume do sólido será a soma dos volumes dos dois cones idênticos

formados. Assim:

2

3

1V 2 1 1

3

2V cm

3

05)

Sendo

a 2R

2

a 2H

2

e sabendo o volume do octaedro, temos:

octaedro

2

2

V 9 2

12 a H 9 2

3

2 a 2a 9 2

3 2

a3 = 27

a = 3 cm

Consequentemente: 3 2

R2

cm

O volume de rocha retirada é a diferença entre o volume da esfera e o volume

do octaedro. Assim:

3

3

3

4 3 2V 9 2

3 2

4 3 2V 3 9 2

3 2

V 18 2 cm

EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 30

01)

Pelo Teorema de Bolzano concluímos o seguinte:

Se P(–1) . P(1) < 0, então, P(–1) e P(1) possuem sinais contrários.

Se P(–1) e P(1) possuem sinais contrários, então, há uma quantidade ímpar de

raízes no intervalo ]–1, 1[

Pelo enunciado, temos:

x1 = 2

x2 = i

x3 = –i

Como nenhuma delas pertence ao intervalo ]–1, 1[ , a única quantidade ímpar

de raízes possível de existir no intervalo ]–1, 1[ é igual a 1.

02)

P(–1) = (–1)3 –3 · (–1)2 + 7 · (–1) + 2 P(–1) = –9

P(1) = 13 –3 · 12 + 7 · 1 + 2 P(1) = 7

Pelo Teorema de Bolzano, como P(-1) e P(1) possuem sinais contrários, há um

número ímpar de raízes no intervalo ]–1, 1[. Assim, o polinômio P(x) possui

pelo menos uma raiz no intervalo ]–1, 1[.

03)

P(x) é do 3º grau, tal que, P(0) = 4.

Pelo gráfico temos as raízes:

x1 = –1

x2 = 1

x3 = 2

Assim:

P(x) = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)

P(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2)

P(0) = 4

a(0 + 1)(0 – 1)(0 – 2) = 4

a = 2

Logo,

P(x) = 2(x + 1)(x – 1)(x – 2)

AULA 31

01)

z = 1 + i

2 21 1 2

1tg tg 1

1 4

Na forma exponencial, tem-se:

z = · ei

i4z 2 e

02)

A = eπi + 1

A = 1(cosπ + i · senπ) + 1

A = 1(–1 + i ·0) + 1

A = –1 + 1 = 0

03)

x6 = 64

x6 = 64(cos0 + i · sen0)

Raízes:

0

1

2

3

4

5

w 2 cos0 isen0

w 2 cos isen3 3

2 2w 2 cos isen

3 3

w 2 cos isen

4 4w 2 cos isen

3 3

5 5w 2 cos isen

3 3