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F R EG(1848-1925)

VIDA e OBRA

Consultoria de Luís Henrique dos Santos

178 OS P•NSADORF:S

As sistematizações das leis ideaisdo pensamento, elaboradas pelafilosofia antiga e pelos lógicos da

Idade Média, podem ser sintetizadas emtorno de quatro características funda-mentais. São bivalentes, admitindocomo valores lógicos apenas o verda-deiro e o falso; são normativas, apoian-do-se no pressuposto de que o verda-deiro deve ser procurado, e o falso,evitado; vinculam-se a uma metafisicaessencialista, supondo que os conceitoslógicos expressem a própria realidadedos seres; permanecem quase completa-,mente presas ao âmbito da linguagemcorrente.

Esse panorama geral da lógica come-çou a se alterar na Idade Moderna, emvirtude, sobretudo, do surgimento da ál-gebra. Leibniz (1646- I 716) colocou osprincípios de uma lógica simbólica,atraves de seu projeto de uma linguagemartificial, desprovida de qualquer ambi-güidade. Contudo. somente no séculoXIX alguns pensadores conseguiramconstruir uma lógica formal liberta dosentraves que impediram o desenvolvi-mento da lógica clássica.

Entre os trabalhos nesse sentido,salientam-se os realizados por GeorgeBoole (1815-1864), que desenvolveuuma álgebra da lógica, os de Georg Can-tor (1845-1918), criador da teoria ma-temática dos conjuntos, os de De Mor-gan (1806-1871) e os de GiuseppePeano (1858-1932). Mas as investiga-ções mais importantes nesse períodoforam as realizadas por Cottloh Frege,considerado por muitos historiadorescomo o verdadeiro fundador da modernalógica matemática.

Frege nasceu em 1818 na cidade deWismar, Alemanha. Seus estudos primá-rio e secundário foram feitos no ginásioda cidade natal e o superior nas univer-sidades de Gõttingen e Jena. \ esta últi-ma, tornou-se livre-docente, em 1874, eprofessor titular, em 1896, e nela per-maneceu até sua morte, ocorrida em1925, em Bad Kleinen.

Durante toda a sua vida, Frege dedi-cou-se quase exclusivamente à matemá-tica e à lógica. O desenvolvimento das

idéias que formulou a respeito dessesassuntos pode ser estudado de acordocom quatro períodos distintos. O pri-meiro e marcado pela obra Conceito-grafia, uma linguagemformular do pen-samento puro, imitada da linguagemaritmética, publicada em 1879 e na qualsintetizou suas pesquisas sobre opera-ções de negação e implicação e sobre osconceitos de identidade e de quantifi-cador universal, além de desenvolveruma teoria lógica das séries. No segundoperíodo, que corresponde a Os Funda-mentos da Aritmética (1884), Frege ocu-pou-se com o esboço informal da defini-ção lógica de número e com ademonstração lógica das leis aritméticasfundamentais, a partir de leis lógicas. Oterceiro período estende-se de 1881 até1903, quando Frege completou a publi-cação de As Leis Fundamentais da Arit-mética, na qual procurou formalizar ecompletar Os Fundamentos da Aritmé-tica e, por essa razão, foi levado a alte-rar alguns aspectos da sua conceito-grafia e a inserir em seu contexto adistinção entre sentido e significado.Com essas modificações, Frege tornoupossível o uso generalizado do sinal deidentidade, sem provocar perplexidadesfilosóficas, bem como conseguiu expli-car por que as equações aritméticas sãoao mesmo tempo analíticas e informati-vas. Além disso, Frege introduziu anoção de percurso de valor de unes fim-ção (todo conceito é urna espécie de fun-ção. a extensão de um conceito é seu per-curso de valor e todo número é urnaextensão de certo conceito) e criou umanotação simbólica correspondente aoque Russell, posteriormente, chamariadescrição definitiva, isto é, expressõesdo tipo "o tal-e-tal - . A esse terceiroperíodo do pensamento de Frege. perten-cem, além de As Leis Fundamentais daAritmética, os importantes artigos Fun-çào e Conceito, Conceito e Objeto e Sen-tido e Significado.

Pouco antes da publicação do segundovolume de As Leis Fundamentais daAritmética (1903), Frege recebeu deBertrand Russell uma carta, na qual ofilósofo inglês lhe comunicava um pro-blema que, posteriormente, ficaria famo-so como "paradoxo das classes". Segun-do Russell, o paradoxo das classes

"Quaruic - -191dificulderse, : -rom

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In vest igap5ei

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"Quando um conceito, que serve de base a uma importante ciência, oferecedificuldades, torna-se tarefa irrecusável investigá - lo de modo mais preciso esuperar essas dificuldades . . ." Frege dedicou toda sua vida à investigação

dos conceitos fundamentais da aritmética, desde sua juventude em Gõttingen.(Vista de Gõttingen, Prefeitura e Praça do Mercado; Foto Biiuerle, Munique.)

FREGE

1 79

a respeito dessesr estudado de acordo<los distintos. O pri-pela obra Conceito-

agem formular do pen-nitacta da linguagemida em 1879 e na qualesquisas sobre opera-implicação e sobre ostidade e de quantifi-além de desenvolverdas séries. No segundoexponde, a Os Funda-ica (1884), Frege ocu-ço informal da defini-número e com a

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irocurou formalizar edamentos da Aritmé-zão, foi levado a alte-los da Sua conceito-- em seu contexto an tido e significado.

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correspondente aoeriormente, chamariaa, isto é, expressõesar. A esse terceirofinto de Frege, perten-eis Fundamentais daortantes artigos Fun-?ceito e Objeto e Sen-

ublicação do segundois Fundamentais da• Frege recebeu demia carta, na qual ocomunicava um pro-rmente, ficaria famo-das classes". Segun-radoxo das classes

poderia ser demonstrado no sistema ló-gico proposto por Frege, o que obrigoueste a escrever uni apêndice a As LeisFundamentais da Aritmética, propondouma maneira de corrigir seu sistema afim de evitar a contradição apontada porRussell. Contudo, essa solução nãosatisfez a Frege, na medida em queameaçava o caráter lógico do sistema,isto é, sua evidência imediata. Iniciou-seentão o quarto período, no qual Fregeprocurou outra solução para o proble-ma, mas logo desanimou e voltou-separa outros assuntos. A maior parte dosescritos desse período somente forampublicados em 1969. Entre eles salien-tam-se três artigos, O Pensamento, ANegação, Conexões de Pensamento (dospoucos publicados em vida), que Fregepretendia reunir sob a designação deInvestigações Lógicas. Uma quarta in-

vestigação (Generalidade Lógica) ficouinacabada devido à morte do autor.Além desses trabalhos, Frege redigiudois outros textos pequenos, num dosquais reconhecia explicitamente a im-lossibilidade de reduzir a aritmética àógica e propunha o novo projeto de

reduzi-la a geometria. O projeto, contu-do, ficou apenas esboçado.

Uma nova lógicaOs três primeiros períodos da obra de

Frege centralizaram-se no projeto deredução da aritmética à lógica, projetoque poderia ser sintetizado em doisobjetivos. O primeiro consiste em definirtoda expressão aritmética em termos ló-gicos e com isso mostrar que todaexpressão aritmética significa o mesmoque uma expressão lógica determinada.

I 80 OS PENSADORES

truir deduções ilegítimas e todailegitimidade pode ser facilmente cons-tatada, na medida em que o conjunto depassagens permitidas é pequeno e as re-

gras que as comandam são formais, istoe, são do tipo "de sentenças de tal e talforma, pode-se deduzir uma sentença detal outra forma". Com isso, a deduçãotorna-se um cálculo, uma série de opera-ções sobre símbolos. É importante,porém, notar que, para Frege, isso é ape-nas um recurso útil e acidental. Fregenão pode, portanto, ser confundido comos formalistas, segundo os quais a lógi-ca é simplesmente uma teoria sobre sím-bolos sem significado. Para Frege, os si-nais de conceitografia têm significado eo conjunto de axiomas e regras é estabe-lecido de acordo com esse significado.Ocorre apenas que se pode operar comos símbolos como se fossem vazios, gra-ças ao artificio da formalização.

As duas vantagens da lógica de Fregeem relação à lógica clássica, isto é, aampliação de seu campo e a formaliza-ção, não devem ser postas em pé deigualdade. A primeira é fundamental;„

pois, sem a nova teoria do conceito e aincorporação da teoria dos conjuntos, /não seria possível reduzir a aritmética à/ -lógica. O mesmo não pode ser dito da,formalização, porque não é indispen-sável a construção de uma linguagemartificial; bastaria usar a linguagemcomum com algumas correções e acrés-cimos que incorporassem as vantagensda conceitografia. Prova disso encon-tra-se no fato de Frege usar nos Funda-mentos a linguagem comum. Em suma, aampliação do campo da lógica é condi-ção de realização do projeto de Frege, aformalização apenas torna as coisasmais fáceis.

O segundo objetivo dependeria dosresultados alcançados pelo anterior e,em caso positivo, consistiria em mostrarque as proposições lógicas obtidas pode-riam ser deduzidas de leis lógicasimediatamente evidentes.

Para cumprir esses objetivos, a lógicaclássica mostrava-se duplamente insufi-ciente. Primeiro, por ser incompleta,pois as relações e propriedades aritmé-ticas seriam relações e propriedades ló-gicas muito mais complexas do que asque a lógica clássica era capaz de repre-sentar. Em segundo lugar, esta últimanão é suficientemente formalizada, dei-xando-se contaminar pela imprecisão dalinguagem comum. Por causa dessasinsuficiências, o projeto de Frege passoua exigir a elaboração de uma nova lógi-ca. A essa tarefa, Frege se dedicou naobra Conceitografia, uma linguagemformular de pensamento puro, imitadada linguagem aritmética e nos artigosFunçáo e Conceito, Conceito e Objeto eSentido e Significado. A nova lógica ela-borada nesses textos comporta umanova teoria do conceito, que conduz auma nova maneira de analisar proposi-ções, à ampliação das possibilidades deexpressão de propriedades e relações ló-gicas e, conseqüentemente, à ampliaçãodas possibilidades de definição de pro-priedades e relações em geral. Alémdisso, Frege incorporou à lógica a parteda matemática posteriormente conhe-cida como teoria dos conjuntos.

Por outro lado, a nova lógica elabo-rada por Frege expressa-se

lógica de

uma linguagem simbólica artificial. Alinguagem comum (utilizada pela IO-gica clássica) é inadequada para expri-mir com exatidão propriedades e rela-ções lógicas, em virtude de suagramática não se orientar por necessi-dades puramente cognitivas, servindotambém a outras necessidades humanas,como a estética. Uma dedução em lin-guagem comum contém, assim, lacunase premissas implícitas que dificultam oreconhecimento das conclusões logica-mente legítimas. A conceitografia deFrege, ao contrário, contém um conjuntobem determinado de regras de dedução ede axiomas lógicos, supostamente evi-dentes. Assim, com a conceitografia, tor-na-se gramaticalmente impossível cons-

Lógica e matemáticaO núcleo da ampliação do campo da

lógica realizada por Frege encontra-seem sua teoria do conceito. Frege substi-tui a clássica distinção entre sujeito epredicado pela distinção entre função eargumento, como par de categorias lógi-cas básicas. Essa substituição corres-ponde a uma mudança mais radical deponto de vista: a unidade lógica deixa deser o conceito e passa a ser a proposição.

Investigandoproblema das re:-.:_;-±;!SIi asnsu_ficiénci

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Investigando sobretudo o conceito de número, Frege lançou novas luzes sobra oproblema das relaçóes entre a matemática e a lógica. Com isso, constatou usinsuficiências da lógica tradicional, particularmente sua incapacidade puro

abranger o pensamento matemático. (Igreja de São Jacó, em Gõttingen, orateCottlob Frege iniciou seus estudos universitários: Foto Bduerle, Alunique.)

r FREGE 181

ilegítimas e todade ser facilmente cons-ta em que o conjunto deitidas é pequeno e as re-andam são formais, istoie sentenças de tal e talleduzir uma sentença de

Com isso, a deduçãomlo, uma série de opera-nbolos. É importante,e. para Frege, isso é ape-, útil e acidental. Fregento, ser confundido comsegundo os quais a lógi-ite urna teoria sobre sim-ficado. Para Frege, os si->grafia têm significado ecromas e regras é estabe-lo com esse significado.que se pode operar comno se fossem vazios, gra-da formalização.agens da lógica de Fregelógica clássica, isto é, aeu campo e a formaliza-m ser postas em pé deprimeira é fundamental;„va teoria do conceito e aia teoria dos conjuntos,vel reduzir a aritmética ti/no não pode ser dito daporquenão é indispen-tição de uma linguagemtarja usar a linguagem.guinas correções e acres-orporassem as vantagensafia. Prova disso encon-de Frege usar nos Funda-agem comum. Em suma, acampo da lógica é condi-;ão do projeto de Frege, aapenas torna as coisas

e matemática

ampliação do campo dada por Frege encontra-sedo conceito. Frege subst i-

distinção entre sujeito ek distinção entre função emo par de categorias lógi-Essa substituição corres-mudança mais radical dea unidade lógica deixa de

e passa a ser a proposição.

OS PENSADORES

Segundo Frege, toda proposição admiteum processo de decomposição que areduz a uma expressão incompleta,comportando um ou mais lugares vaziose a uma ou mais expressôe' s-que-pOdem-preencher esses lugares a fim de recom-por a proposição. Assim, "dois é um nú-mero" decompõe-se em "dois" e "( ) éum número". A primeira expressão écompleta, tem como significado umobjeto; , a segunda é incompleta, temcomo significado uma função. Essaforma de análise estende-se a toda espé-cie de expressão. "A capital do Brasil",por exemplo, decompõe-se em "A capi-tal de ( )" e "Brasil", a primeira signifi-cando uma função, a segunda, um obje-to. Estende-se, assim, à lógica a noçãomatemática de função. Do mesmo modoque em matemática a expressão "odobro de ( )" significa uma lei que fazcorresponder a cada número, tomadocomo argumento da função, outro núme-ro que é o valor da função para o argu-mento (argumento 1, valor 2; argumento2, valor 4, etc.), também "a capital de( )" significa uma lei que faz correspon-der, por exemplo, o valor "Brasília aoargumento "Brasil" o valor Londres,ao argumento "Inglaterra": No caso de aexpressão decomposta ser uma proposi-ção (como no exemplo "dois é um núme-ro"), o valor da função é um valor deverdade, que Frege diz ser "a circuns-tância de ser ela [a proposição) verda-deira ou falsa". Os valores de verdadesão dois: o verdadeiro e o falso. Assim, ovalor da função "( ) é um número" para oargumento 2 é o valor de verdade verda-deiro, pois preenchendo-se o lugar vaziodo nome da função com o nome do argu-mento obtém-se uma proposição verda-deira; pelo mesmo motivo, o valor dessafunção para o argumento "Brasília" é ovalor de verdade falso. Assim, o quetradicionalmente se chama "conceito"nada mais é para Frege do que uma fun-ção que tem para qualquer argumentoum valor de verdade como valor. Anali-sar logicamente uma proposição é de-compô-la em uma parte significando umconceito e uma ou mais partes signifi-cando os argumentos. A proposição éencarada como nome próprio, expressãoque significa o valor de verdade assu-mido pelo conceito para aquele(s) argu-

Comtemporaneamente a Frege, omatemático Giuseppe Peano contribuiude maneira decisiva para a formulação

de urna nova lógica, que sanasse asinsuficiências da lógica tradicional.

mento(s). Essa maneira de conceber aanálise lógica rompeu com toda a tradi-ção e tornou-se o fundamento da lógicamoderna e o fio condutor na construçãodos modernos sistemas de cálculos depredicados.

Os conceitos, segundo Frege, podemser classificados conforme o número delugares vazios, podendo ser preenchidospor diferentes objetos. Em cada um dosexemplos anteriores, trata-se de concei-tos simples, com um só lugar vazio. Ao

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dn.,4A figura acima representa uma etapa na construção de urna curva de Peano.

Continuando-se o processo de construção, todos os pontos da superfície seriampreenchidos pela curva, demonstrando-se, assim, que uma curva, elaboradaconvenientemerzte, pode ocupar todo a plano. Fatos como esse, considerados

"anormais" na época, exigiram a reformulação das bases lógicas da matemática.

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FREGE

183

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contrário, o conceito "maior que" com-porta dois lugares vazios: trata-se deuma função de dois argumentos possí-veis, um conceito relacional.

A todo conceito, segundo Frege, estáassociado um objeto lógico, sua exten-são entendida como caso particular deuma noção mais geral definida para fun-ções. Se duas funções assumem os mes-mos valores para os mesmos argumen-tos, diz-se que elas têm o mesmopercurso de valor. 'No caso dos concei-

tos, assumir os mesmos valores para osmesmos argumentos é equivalente aassumir o valor verdadeiro para os mes-mos argumentos, ou seja, subsumir osmesmos objetos. Assim, dizer que doisconceitos têm o mesmo percurso de valoré apenas outra maneira de exprimir oque a lógica tradicional exprimia como"ter a mesma extensão". A extensão deum conceito pode também ser entendidacomo o conjunto de objetos que caemsob o conceito. Desse modo, Frege incor-

184

OS PENSADORES

gora a teoria dos conjuntos à lógica, istoe, à teoria que trata de conceitosenquanto elementos possíveis de propo-sições. Para Frege, uma extensão deconceito (conjunto) distingue-se de ummero agregado fisico de coisas, pelo fatode comportar uma mediação lógica: serdeterminada por um conceito.

Que é o número?Assentadas as bases da nova lógica,

Frege dedicou-se à tarefa de mostrar queas leis aritméticas fundamentam-se nasleis lógicas. O núcleo desse trabalhoencontra-se em sua teoria do número. Oexame dessa teoria vincula-se estreita-mente à segunda tese exposta em OsFundamentos da Aritmética, segundo aqual uma expressão só chega a signifi-car alguma coisa .i3uando no contexto deuma proposição.' Nesse sentido, paradefinir o número é necessário examinara espécie fundamental de proposiçãoonde aparecem . numerais, ou seja, aequação. Para Frege, equações da forma"o número que convém ao conceito F =número clue contém o conceito G" podemser consideradas como equivalentes aproposições da forma "o conceito F éeqüinumérico ao conceito G'', ou ainda aproposições da forma "F e G podem serpostos em correspondência blunívoca".Frege pretende, assim, uma vez que aunidade da análise lógica, para ele, nãoé o conceito mas a proposição, chegar àdefinição de número através da análisedessas proposições.

Conforme a lógica de Frege, a todoconceito está associado um objeto lógi-co: sua extensão. Assim, uma vez que épossível demonstrar que dois conceitos Fe G são eqiiinuméricos se, e somente se,a extensão do conceito "eqiiinuméricoao conceito F" é igual à extensão do con-ceito "eqüinumérico ao conceito C"; euma vez aceito que a proposição "o nú-mero que convém ao conceito F = o nú-mero que convém ao conceito G" equi-vale à proposição "F e G sãoeqiiinuméricos", pode-se facilmente con-cluir que a proposição "o número queconvém ao conceito F = o número queconvém ao conceito G" equivale à propo-sição "a extensão do conceito 'eqüinu-mérico ao conceito F' = a- extensão do

conceito 'eqüinumérico do conceito G—;sendo assim uma igualdade entre núme-ros reduzida a uma igualdade entreextensões de conceito. O último passoconsiste em identificar números e certasextensões de conceito. Em suma, os nú-meros são definidos por Frege comoextensões de conceito. Dizer que algo éum número é dizer que existe pelomenos um conceito F tal que este algoseja extensão do conceito "eqüinuméricoa F". Na medida em que uma equaçãonumérica é assim reduzida a uma igual-dade entre extensões de conceito, e namedida em que esta igualdade pode serregulada por critérios lógicos, todaequação numérica é pois reduzida a umaigualdade lógica, definida como propo-sição da lógica.

Estabelecida essa nova concepção donúmero em geral, Frege define os núme-ros singulares de maneira recursiva, istoé, define o número zero como o primeiroda série dos números naturais e, emseguida, indica como obter a definiçãodo número n+ 1 a partir da definição donúmero n. Define ainda os númerosinfinitos.

Frege pretende também que as leisaritmeticas sejam logicamente demons-tráveis a partir de leis lógicas. Em AsLeis Fundamentais da Aritmética, Fregeiridica um sistema lógico axiomático,constituído por pequeno número de axio-mas e regras de inferência lógica, demodo que toda lei aritmética, transcritalogicamente pelas regras de definição,poderia ser demonstrada.

Esse sistema lógico axiomático, con-tudo, revelou-se fragil, quando BertrandRussell apontou a Frege uma inconsis-tência fundamental que poderia serencontrada no axioma lógico referenteàs extensões de conceito. Segundo Ber-trand Russell, a partir desse axioma(conceitos F e G subsumem os mesmosobjetos se, e somente se. têm a mesmaextensão) pode-se deduzir que (1) paratodo conceito F e todo objeto X. F subsu-me X se, e somente se. X pertence àextensão de F. Pode-se deduzir tambémque a todo conceito corresponde umaextensão. Tomando-se, então, o conceito"extensão de conceito que não pertencea si próprio", como F em (1), e tomandocom X a extensão desse conceito, ob-

As obras do matemático inglês George Boole (1815-1864) marcaram época nahistória da filosofia e da ciência. Boole desenvolveu, sobretudo, uma álgebra

da lógica e o cálculo de classes, habitualmente conhecido como álgebrabooleana de classes. Para muitos historiadores, a lógica simbólica moderna

somente ganhou consistência e consciência de sua novidade a partir de Boole.

FREGE

185

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186

OS PENSADORES

O filósofo Gottlob Frege nasceu epassou a infinda em Wismar, no

litoral do mar Báltico. Afofo mostrao centro de Wismar, com edifíciosem estilo holandês renascentista.

tém-se o seguinte resultado (2): o con-ceito "extensão de conceito que não per-tence a si próprio" subsume suaextensão se, e somente se, essa extensãopertence a si própria. Mas dizer que Fsubsume X é dizer que X é F, o que con-verte (2) na contradição: a extensão doconceito "extensão de conceito que nãopertence,a si própria" não pertence a siprópria se, e somente se, pertence a siprópria.

O axioma que Frege julgava tão evi-dente revelava-se, portanto, falso. Nãoapenas ruía o fundamento de sua crençano caráter lógico dos números, comotambém tornava-se dubitável a própriapossibilidade de se falar coerentementeem extensões de conceito. O próprioFrege ainda tentou salvar o sistema comalguns leves arranhões, mas não se con-

tentou com o resultado e sentiu compro-metido seu projeto de redução da arit-mética à lógica. Em vista disso, passou aprocurar os fundamentos da aritméticana geometria. Não abandonou a idéia deque a indicação numérica é enunciadosobre conceito, mas acreditava que asrelações entre números deviam ser redu-zidas a relações entre segmentos deretas e que toda lei aritmética reduzidapode ser derivada dos axiomas da geo-metria. Tudo isso, porém, não passou donível de projeto, pois a morte inter-rompeu suas pesquisas.

Sentido e significadoEspecialmente importante dentro dos

trabalhos de Frege é a distinção entresentido e significado, surgida quando ofilósofo se defrontou com o problema daidentidade. Em seu escrito Sentido eSignificado, Frege indaga se a identi-dade seria uma relação entre objetos ouentre os sinais dos objetos. Tomando-sea primeira hipótese como verdadeira,Frege mostra que nesse caso a afirmação"a= b" deveria significar o mesmo que"a= a", se "a= b ' é verdadeira. Issoporque se "a = b" é uma proposiçãoverdadeira, então "a" e "b' são doisnomes para o mesmo objeto, e "a = 13"não é capaz de informar nada além de"a = a". A identidade seria uma relaçãoque uma coisa manteria consigo própriae com nenhuma outra. Assim, essa inter-pretação das afirmações de identidadeapresenta grandes dificuldades, poisafirmações do tipo "a = b" são algumasvezes sumamente informativas, e "a = a"jamais o é. Foi muito importante, porexemplo, a descoberta astronômica deque a estrela da manhã e a estrela datarde são apenas o mesmo planeta.

Frege também não aceita a segundahipótese, ou seja, a de que a identidade éuma relação entre nomes ou entre sinaisde objetos. Em tal caso, "a = h" afirma-ria que o nome "a" e o nome "b" sãonomes da mesma coisa. Essa análise nãopode estar correta, segundo Frege, poiso fato de que "a" é um nome para a e "h"é também um nome para a resulta de umacordo puramente arbitrário acerca des-sas marcas ou sons, nada tendo a vercom as propriedades das coisas designa-

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Quase nada se sabe sobre a vida pessoal de Frege, apesar do papel decisivoque ele desempenhou na histón.tz da ciência. Sua vida foi inteiramente voltadapara a reflexão e elaboração de trabalhos filos('fico., além de dedicar-se ao

ensino de lógica e matemática na Universidade de Jena..-1 foto mostra oedifício da Faculdade dos Operários e Camponeses da Universidade de .Icno.

FREC, E

187

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das. Também neste caso não se poderiaexplicar que "a = b" tenha valor deconhecimento, transmita informaçãosobre a coisa nomeada por "a" e "b".

Ern virtude de tais dificuldades, Fregeestabeleceu a distinção entre sentido esignificado dos sinais. O significadoseria o objeto denominado ou denotadopela expressão; já o sentido conteria omodo de apresentação pelo qual o sinalfornece seu significado. Por exemplo:sejam a, b e c as linhas que ligam os vér-tices de um triângulo com os pontos mé-dios dos respectivos lados opostos;nesse caso, o ponto de intersecção de a eb é o mesmo que o de b e c. Disso resul-tam diferentes designações para omesmo ponto e essas designações("ponto de intersecção de a e b" e "pontode intersecção de b e c") indicam dife-

rentes modos de apresentação e, conse-qüentemente. a afirmação contém conhe-cimento efetivo. Desse modo, pode-sedizer que as duas expressões ("ponto deintersecção de a e b' e "ponto de inter-secção de b e c") têm o mesmo signifi-cado, mas diferem quanto ao sentido.Analogamente, "estrela da manhã" e"Vênus" têm o mesmo significado, masdiferem quanto ao sentido. Devido a essadiferença, a afirmação "Vênus é a estre-la da manhã" transmite conhecimentoverdadeiro, ao passo que "Vênus éVênus" não o faz, a saber, o conheci-mento de que a estrela que aparece pelamanhã é a mesma que aparece à tarde.

Em determinadas construções de fra-ses, segundo Frege, o significado daspalavras refere-se, não ao significadohabitual das mesmas, mas ao seu senti-

188

OS PENSADORES

do habitual. Ao se supor, na afirmação"Paulo sabe que Vênus é a estrela damanhã", que a expressão "Vênus" temseu significado habitual, deveria serpossível substituí-la por qualquer outraque se referisse a Vênus. Mas se aexpressão "estrela da manhã" for subs-tituída por "estrela vespertina', a afir-mação pode se tornar falsa, pois não háqualquer indicação de que Paulo saibaque a estrela da manhã e a vespertinasão a mesma coisa, ou seja, Vênus.Assim, conclui Frege, é necessário dis-tinguir entre o significado costumeiro deuma expressão e seu significado indire-to; da mesma forma, é necessário distin-

guir entre o sentido costumeiro e o senti-do indireto. O significado indireto deuma palavra corresponde, para Frege,ao seu sentido costumeiro.

Todas essas distinções estabelecidaspor Frege foram extremamente impor-tantes para o desenvolvimento da aná-lise semântica da linguagem, emboraseu objetivo não tivesse sido esse. Frege,na verdade, tinha como alvo a solução deum problema de filosofia da matemá-tica. A distinção entre sentido e signifi-cado permitiu-lhe sustentar, contraKant, que a lógica não é estéril por seranalítica, o mesmo ocorrendo com amatemática.

CRONOLOGIA

SOBR

UMA1848 Em Wismar,manha, nasce Gottlob Fre-ge.1850 — Herman vonl-lelmholtz postula os funda-mentos da termodinâmica.1851 — O poeta alemãoHeinrich Heine publica oRomanceiro. Publica se aTeoria sobre as Funções deuma Variável Complexa, deGeorg Riemann.1860 - O matemático in-glês George Boole publicaseu tratado acerca do Cál-culo das Diferenças Finitas.1874 --- Frege torna-se li-vre-docente em Jena. Publi-

ca a Conccitografia. FranzBrentano publica A Psicolo-gia do Ponto de Vista Empí-rico.1879 — Nasce AlbertEinstein.1884 -- Frege publica OsFundamentos da Aritméti-ca. Edita se Assim FalouZaratustra, de Nietzsche.1891 Morre o matemá-tico alemão Lcopold Kro-necker.1892 — Poincaré inicia apublicação do tratado Méto-dos Novos da Mecânica Celeste.1896 — Frege torna-se

professor titular em Jena.1899 Hilbert publicaOs Fundamentos dit Geo-metria.1900 — Morre Nietzsche.1901 — Thomas Mannpublica Os Buddenhrooks:Decadência de uma Famí-lia.1903 -- Publicam se AsLeis Fundamentais da Arit-mética, de Frege.1925 — Morre em BadKleinen.1969 — São publicadosalguns de seus mais impor-tantes escritos, até entãoinéditos.

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Copyright mundial Abril S.A. Cultural eIndustrial, São Paulo, 1980.