PRÓ-REITORIA ACADÊMICA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

LEITURA I ANO: 2013 PERÍODO: 2º/Matriz Curricular 2013 DISCIPLINA: FÍSICA I (Mecânica)

Centro de Massa

1A – O centro de massa O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

Nesta primeira parte da leitura serão apresentados os métodos que tornam possível a localização do de centro de massa de um sistema de partículas, desde um sistema com poucas partículas até um a análise de uma geometria complexa que possa ser representada hipotéticamente com um sistema de muitas partículas , como por exemplo um martelo ou um taco de beisebol , posteriormente será apresentado como de acordo com as premissas Newtonianas um sistema de partículas se move quando sob a ação de forças externas. 1B – Sistemas de Partículas Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P1 e P2, localizados num eixo horizontal Ox. Seja x1 e x2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox, de abscissa xC, em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P1 e de P2.

O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos materiais 1 e 2. Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, suspendendo-se a barra pelo ponto C, o sistema fica em equilíbrio (figura abaixo).

Considerando no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a aceleração da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2, respectivamente, tem-se:

Substituindo (2) e (3) em (1) encontramos:

A expressão anterior apresenta localização no eixo “ X “ do centro de massa.

No caso geral há uma coincidência da localização do centro de massa e do centro de gravidade, a divergência desta localização ocorrerá quando o sistema observado apresentar dimensões significativas, observe que o centro de gravidade varia na superfície da Terra uma vez que a força gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância, ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica - Isaac Newton , 1687) :

Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, ..., mn e de coordenadas cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn) que definem as posições desses pontos (figura a seguir),

De modo geral a posição do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas (xC, yC, zC), dadas por:

Logo , para n partículas, cada uma com posição r i e massa mi, o centro de massa é dado por:

Utilizando a linguagem dos vetores o centro de massa pode ser descrito por uma relação vetorial, porém antes de tal relação vale lembrar que a posição de uma partícula no espaço vetorial R3 é dada por um vetor posição:

������ � ��̂ � �� ̂ � ���� O índice identifica a partícula , e i, j, k são os vetores unitários ortogonais , desta forma a localização do centro de massa de um sistema de partículas pode ser representada por um vetor posição :

��� �������� � ���̂ � ��� ̂ � �����

Logo as equações escalares que definem o centro de massa podem ser substituídas por uma única equação vetorial:

Exercícios Resolvidos: Problema 1

Problema 2 A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua mede 3,8 . 105 km. A massa da Terra é 82 vezes maior que a massa da Lua. A que distância do centro da terra encontra-se o centro de massa do sistema Terra-Lua.

Vamos adotar um eixo Ox passando pelos centros da Terra e da Lua, com origem no centro da Terra. Nestas condições, a abscissa do centro de massa da Terra é nula (x1 = 0) e da Lua é x2 = 3,8 . 105 km. Sendo m2 a massa da Lua e m1 = 82m2 a massa da Terra, vem:

Problema 3 Uma lata tem uma massa de 0,140kg, uma altura de 12,0 cm e contém 1,31 kg de refrigerante . Pequenos furos são feitos na base e no topo ( com perda de massa desprezível ) para drenar o refrigerante. Qual é a altura h do centro de massa da lata e seu conteúdo (a) inicialmente e (b) após a lata perder todo o refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado? (d) Se “ x” é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de “x” quando o centro de massa atinge o seu ponto mais baixo.

Resolução : a - Uma vez que a lata é uniforme, o seu centro de massa está no seu centro geométrico, uma distância H / 2 acima da sua base. O centro de massa do refrigerante por si só é no seu centro geométrico, uma x / 2 distância acima da base da lata. Quando a lata é cheia este é H / 2. Assim, o centro de massa da lata e o refrigerante que contém uma distância :

acima da base, sobre o eixo do cilindro. Com h = 12 cm, obtemos h = 6,0 centímetros. (b) Consideremos agora a lata sozinha. O centro de massa é H / 2 = 6,0 centímetros acima da base, sobre o eixo do cilindro. (c) Quando x diminui o centro de massa do refrigerante, cai, em seguida, eleva-se novamente a H2 = 6,0 centímetros. (d) Quando a superfície superior do refrigerante está a uma distância “x” acima da base da lata, a massa do refrigerante na lata é ��= m (x / H), onde m é a massa quando a lata está cheia (x = H). O centro de massa do refrigerante por sozinho é a distância x / 2 acima da base da lata, por isso:

Para definirmos a posição mais baixa do centro de massa da lata e do refrigerante, deve ser definida a derivada de h em relação à x igual a 0 , e resolvendo para x tal derivada é:

O problema consiste então em determinar o caso em que :

Resolvendo para “ x” , temos :

A raiz positiva deve ser usada uma vez que “x” precisa ser positivo. Em seguida, vamos substituir a expressão encontrado para x em:

Após alguma manipulação algébrica pode se obter :

Exercícios propostos : 1P1 )

2P1)

3P1)

Corpos Maciços

Os corpos maciços serão analisados neste tópico a partir de uma simplificação : corpos complexos são assimilados a um conjunto de infinitas partículas que descrevem movimentos diferentes em relação a um referencial externo porém se movem grupo como uma distribuição contínua de massa a mover-se orientada pelo seu centro de massa. As somas destas infinitas partículas é traduzida na forma de integrais e as coordenadas do centro de massa são definidas pelas equações:

��� � ������,��� � ������ , �� � ���!�� ACALME-SE ! Neste curso não será necessário calcular o centro de massa a partir de integrais , pois os objetos a serem analisados são os do tipo que possuem um ponto, uma reta ou um plano de simetria, nestes casos especiais o centro de massa estará no ponto , linha ou plano de simetria. Exercícios Resolvidos: Problema 4 Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na figura.

Solução: Vamos dividir a placa em dois quadrados. O primeiro, de lado 2a e cujo centro de massa é o ponto A de coordenadas (a, a), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são (2,5 a, 0,5 a).

A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por:

Como a placa é homogênea e de espessura constante, temos que as massas são proporcionais às respectivas áreas, ou seja:

em que K é a constante de proporcionalidade. Assim, substituindo-se as expressões 2 e 3 na expressão 1 , temos:

Para a ordenada do centro de massa, temos:

A Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas

"#$%&' � � ( )���������$ Em um sistema de partículas o centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.

Considere um sistema de pontos materiais m1, m2, ..., mn, e sejam a1, a2, ..., an, respectivamente, suas acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração aCM dada por uma média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as respectivas massas, ou seja:

Seja m a massa total do sistema, isto é:

Substituindo-se a expressão 2 na expressão 1 , resulta:

"#$%&' � � ( )���������$

Critérios

1. *��$+,- é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema. Forças de uma parte do sistema que agem sobre outra parte ( forças internas ) não devem ser incluídas na análise;

2. � é a massa total do sistema. Supõe-se que nenhuma massa entra ou sai do sistema durante o movimento, de modo que M permanece constante. Neste caso diz-se que o sistema é fechado;

3. 0��$�� é a aceleração do centro de massa do sistema. A equação para a segunda lei de Newton não fornece nenhuma informação a respeito da aceleração de outros pontos do sistema.

Por exemplo, considere um corpo lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre. Embora seus pontos descrevam um movimento complexo, o centro de massa (ponto marcado em vermelho) desloca-se como se fosse um ponto material de massa igual à massa do corpo e sob ação do peso do corpo. Nestas condições, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica em relação à Terra.

Quantidade de Movimento de um Sistema de Partículas

A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de movimento do centro de massa, pois considera-se que toda a massa do sistema está concentrada em um único ponto o próprio centro de massa.

Exercícios Resolvidos Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9 Veja Exemplo 9-2 Halliday – Vol1 Fundamentos de Física , 8ª Ed. Problema 10 Veja Exemplo 9-3 Halliday – Vol1 Fundamentos de Física , 8ª Ed. Momento Linear O momento linear de uma partícula é expresso pela equação :

1$ � �2$ A taxa de variação no tempo do momento de uma partícula é igual à força resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força. Este enunciado é como a segunda Lei de Newton foi originalmente descrita , ou seja , força em termos de variação do momento:

#$ � 31$34

O Momento Linear de um Sistema de Partículas Para um sistema composto de n partículas, o momento total é uma grandeza vetorial que pode ser definida por:

ou ainda :

Para um sistema em que a massa é constante :

desta forma,