slide 1slide 1

Sumário

• 2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto

• 2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo

• 2.3 Propriedades dos Sistemas LIT

•

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slide 2slide 2

2 Introdução

• Muitos processos físicos podem ser modelados como sistemas lineares invariantes no tempo (LIT)

• Os sistemas LIT podem ser analisados de forma detalhada, o que facilita a compreensão de suas propriedades.

• Se pudermos representar a entrada de um sistema LIT em termos de uma combinação linear de um conjunto básico de sinais, então poderemos usar a superposição para computar a saída do sistema em termos de suas respostas a esses sinais.

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slide 3slide 3

2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto

• Desejamos obter uma caracterização completa de um sistema LTI de tempo discreto em termos de sua resposta ao impulso unitário.

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slide 4slide 4

(continua)Figura 2.1

2.1.1 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos

• Como o impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para formar qualquer sinal de tempo discreto??

• Imaginar um sinal de tempo discreto como uma sequência de impulsos individuais.

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slide 5slide 5

(continua)Figura 2.1

2.1.1 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos

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slide 6

(continua)Figura 2.1

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slide 7

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 8

[ ] [ 2] [ 2] [ 1] [ 1] [0] [ ]

+ [1] [ 1] [ 2] [ 2]

x n x n x n x n

x n x n

d d d

d d

L

L

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n kd

å

Representação de uma sequência arbitrária como combinação linear de impulsos unitários deslocados

Propriedade Seletiva do Impulso Unitário

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slide 9slide 9

2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto

LIT

• A importância da propriedade seletiva está no fato de que ela representa qualquer sequência x[n] como uma superposição de versões ponderadas de um conjunto muito simples de funções elementares: impulsos unitários ponderados, sendo cada um deles diferente de zero em um único instante de tempo (k).

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slide 10slide 10

2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto

LIT

• A resposta de um sistema linear será a superposição das respostas ponderadas do sistema a cada um desses impulsos deslocados.

• A propriedade de invariância no tempo nos diz que a resposta de um sistema invariante no tempo a um impulso deslocado é, simplesmente, a versão deslocada no tempo da resposta do sistema ao impulso unitário.

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slide 11slide 11

[ ] [ ] [ ]kk

y n x k h n

å

[ ] [ ]kn k h nd ®

[ ] [ ] [ ] [ ]kx k n k x k h nd ®

Sistema Linear

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slide 12slide 12

(continua)

Figura 2.2

2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto

LIT

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slide 13

(continua)

Figura 2.2

[ 1]nd [ ]nd [ 1]nd

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slide 14

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 15

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 16

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 17

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 18slide 18

Sistema Invariante

[ ] [ ]kn k h nd ®

0[ ]] [ ][ h nn h nd ®

0[ ] [ ]kh n h n k

Resposta ao impulso unitário

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kk k

y n x k h n y n x k h n k

Þ å å

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slide 19slide 19

Soma de Convolução

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

å

[ ] [ ] [ ]y n x n h n *

04/04/2014 15:31

slide 20slide 20

Exemplo 2.1

Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h[n] e entrada x[n] conforme mostrado na Figura 2.3.

Determine a resposta do sistema à entrada x[n]

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slide 21

04/04/2014 15:31

slide 22

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

å

[ ] [0] [ 0] [1] [ 01] .5 [ ] 2 [ 1]y n x h n x h n h n h n

04/04/2014 15:31

slide 23

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slide 24slide 24

Exemplo 2.2

Representação gráfica da soma de convolução para o Exemplo 2.1.

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slide 25

04/04/2014 15:31

slide 26slide 26

Exemplo 2.3

Considere a entrada e a resposta ao impulso unitário de um sistema LTI dadas por:

[ ] [ ] 0 1nx n u na a < <

[ ] [ ]h n u n

Obter a resposta do sistema à entrada x[n].

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slide 27

04/04/2014 15:31

slide 28

(continua)

Figura 2.6

1 ( 0)n n <

04/04/2014 15:31

slide 29

0 [ 0]n y n< ®

0 :n <

[ ] [ ] 0x k h n k

04/04/2014 15:31

slide 30

(continuação) 1 ( 0)n n >

04/04/2014 15:31

slide 31

0 [ ] [ ] kk n x k h n k a£ £ ®

0

0 [ ] kn

k

n y n a

> ® å

[ [ ] 0]k n x k h n k> ®

0 :n ³

1

0 ]1

1

[n

n y na

a

> ®

04/04/2014 15:31

slide 32

1

[ ]1

[ ]1

n

u ny na

a

04/04/2014 15:31

slide 33

04/04/2014 15:31

slide 34slide 34

Exemplo 2.4

1 0 4[ ]

0 caso contrário

nx n

£ £ì íî

0 6[ ]

0 caso contrário

n nh n

aì £ £ íî

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slide 35

04/04/2014 15:31

slide 36

(continua)

Figura 2.9

0[ ] [ ]

0 caso contrário

n k k nx k h n k

a ì £ £ í

î

[ ] [ ] 0x k h n k

04/04/2014 15:31

slide 37

(continuação)

4 0[ ] [ ]

0 caso contrário

n k kx k h n k

a ì £ £ í

î

(n-6) [ ] [ ]

0 caso c

4

ontrário

n k kx k h n k

a ì £ £ í

î

[ ] [ ] 0x k h n k

04/04/2014 15:31

slide 38

1

4 1

4 7

0 0

10 4

1

[ ] 4 61

6 101

0 10

n

n n

n

n

n

y n n

n

n

a

a

a a

a

a a

a

<ìï

ï £ £ï ïï

< £íï

ï < £ï

ï>ïî

04/04/2014 15:31

slide 39slide 39

Exemplo 2.5

[ ] 2 [ ]nx n u n

[ ] [ ]h n u n

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slide 40

04/04/2014 15:31

slide 41slide 41

2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo

• Desejamos obter uma caracterização completa de um sistema LTI de tempo contínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário.

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slide 42slide 42

2.2.1 A representação de sinais de tempo contínuo em termos de impulsos

• Definimos a seguinte função pulso:

1 0

( )

0 caso contrário

ttdD

ì£ < Dï

Díïî

04/04/2014 15:31

slide 43

(continua)

Figura 2.12

• Dado um x(t), podemos considerar uma aproximação em degrau:

ˆ( )x t

04/04/2014 15:31

slide 44

(continua)

Figura 2.12

ˆ( ) pode ser expresso como uma combinação

linear de pulsos ( ) atrasados.

x t

tdD

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slide 45

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 46

ˆ( ) ( ) ( )k

x t x k t kd

D

D D Då

0( ) lim ( ) ( )

k

x t x k t kd

DD®

D D Då

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slide 47

04/04/2014 15:31

slide 48slide 48

( ) ( ) ( )x t x t dt d t t

ò

Propriedade Seletiva do Impulso de Tempo Contínuo

04/04/2014 15:31

slide 49

04/04/2014 15:31

slide 50slide 50

(continua)Figura 2.15

2.2.2 Resposta ao impulso unitário e a representação por integral de convolução dos sistemas de tempo contínuo LIT

04/04/2014 15:31

slide 51

(continuação)

04/04/2014 15:31

slide 52

0

ˆ( ) lim ( ) ( )kk

y t x k h t k

DD®

D D Då

( ) ( ) ( )y t x h t dtt t

ò

04/04/2014 15:31

slide 53

04/04/2014 15:31

slide 54

• Se o sistema também for invariante no tempo

0( ) ( )h t h tt t

• Definindo a resposta ao impulso unitário:

0( ) ( )h t h t

( ) ( ) ( )y t x h t dt t t

ò

• Integral de Convolução:

04/04/2014 15:31

slide 55

( ) ( ) ( )y t x t h t *

04/04/2014 15:31

slide 56slide 56

Exemplo 2.6

( ) ( )h t u t

( ) ( ) 0atx t e u t a >

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slide 57

04/04/2014 15:31

slide 58

0 0

00 ( ) ( )

0 caso contrário

a

t

e tt x h t

t tt t

<ìï

ì < <í> íï

îî

( ) ( ) ( )y t x h t dt t t

ò

( )0

1( ) 1

ta aty t e d e

at t ò

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slide 59

04/04/2014 15:31

slide 60slide 60

Exemplo 2.7

0 2( )

0 caso contrário

t t Th t

< <ì íî

1 0( )

0 caso contrário

t Tx t

< <ì íî

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slide 61

04/04/2014 15:31

slide 62

04/04/2014 15:31

slide 63

2

2

2 2

0 0

10

2

1( ) 2

2

1 32 3

2 2

0 3

t

t t T

y t Tt T T t T

t Tt T T t T

t T

<ìïï < <ïï

< <íïï

< <ïï

>î

04/04/2014 15:31

slide 64

04/04/2014 15:31

slide 65slide 65

Exemplo 2.8

( ) ( 3)h t u t

2( ) ( )tx t e u t

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slide 66

04/04/2014 15:31

slide 67

2

2

33 0 ( ) ( )

0 caso contrário

03 0 ( ) ( )

0 caso contrário

e tt x h t

et x h t

t

t

tt t

tt t

ì ì < < < íï

ï îí

ì < <ï ³ íïîî

( ) ( ) ( )y t x h t dt t t

ò

2( 3)13 0

2( )

13 0

2

te t

y t

t

ì <ïï

íï ³ïî

04/04/2014 15:31

slide 68slide 68

2.3 Propriedades dos Sistemas LIT

04/04/2014 15:31

slide 69slide 69

2.3.1 A Propriedade Comutativa

[ ] [ ] [ ]y n x n h n *

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

å

[ ] [ ] [ ]r

y n x hn r r

å

[ ] [ ] [ ]y n h n x n * ( ) ( ) ( )y t h t x t *

( ) ( ) ( )y t x t h t *

04/04/2014 15:31

slide 70slide 70

2.3.1 A Propriedade Comutativa

• Portanto, a saída de um SLIT com entrada x[n] e resposta ao impulso unitário h[n] é idêntica à saída de um SLIT com entrada h[n] e resposta ao impulso unitário x[n].

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slide 71slide 71

2.3.2 A Propriedade Distributiva

1 1( ) ( ) ( )y t x t h t *

2 2( ) ( ) ( )y t x t h t *

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t y t y t x t h t x t h t * *

[ ]1 2 )) (( ( )) (h t ht t ty x *

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slide 72slide 72

2.3.2 A Propriedade Distributiva

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slide 73slide 73

Exemplo 2.10

• Suponha que y[n] seja a convolução de duas sequências:

1[ ] [ ] 2 [ ]

2

n

nx n u n u næ ö

ç ÷è ø

[ ] [ ]h n u n

[ ] [ ] [ ]y n x n h n *

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slide 74slide 74

Exemplo 2.10

• Usando a propriedade distributiva da convolução e considerando-se:

1

1[ ] [ ]

2

n

x n u næ ö

ç ÷è ø

( )1 2[ ] [ ] [ ] [ ]y n x n x n h n *

2[ ] 2 [ ]nx n u n

1 1 Exemplo 2.[ ] [ ] [ ] 3y n x n h n * Þ

2 2 Exemplo 2.[ ] [ ] [ ] 5y n x n h n * Þ

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slide 75slide 75

Exemplo 2.10

1

1[ ] [ ]

2

n

x n u næ ö

ç ÷è ø

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slide 76slide 76

Exemplo 2.10

2[ ] 2 [ ]nx n u n

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slide 77slide 77

Exemplo 2.10

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slide 78slide 78

2.3.3 A Propriedade Associativa

( ) ( ) 21 2 1[ ] [ ] [ ] [] ][ ] [ [ ]h n h n x n h ny n x n h n * ** *

[ ] [ ] 21 2 1( ) ( ) ( ) () )( ) ( ( )h t h t x t h ty t x t h t * ** *

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slide 79slide 79

2.3.3 A Propriedade Associativa

04/04/2014 15:31

slide 80slide 80

2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória

• Relembrando...– Um SLIT é sem memória se a sua saída em

qualquer instante depende apenas do valor da entrada nesse mesmo instante.

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slide 81slide 81

2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória

• Para um SLIT de Tempo Discreto:

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

å

• Assim, a única forma desse sistema ser sem memória é

[ ] 0 para 0h n n ¹

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slide 82slide 82

2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória

• Portanto, devemos ter:

• Assim:

[ ] [ ]h n K nd

[ ] [ ]y n Kx n

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slide 83slide 83

2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória

• Para um SLIT de Tempo Contínuo:

• Assim, a única forma desse sistema ser sem memória é

( ) 0 para 0h t t ¹

( ) ( ) ( )y t x h t dt t t

ò

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slide 84slide 84

2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória

• Portanto, devemos ter:

• Assim:

( ) ( )h t K td

( ) ( )y t Kx t

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slide 85slide 85

2.3.5 Sistemas LIT Invertíveis

• Relembrando...– Um SLIT é invertível se e somente se existir um

sistema inverso que, quando colocado em série com o sistema original, produz uma saída igual à entrada do primeiro sistema.

– Além disso, se um SLIT é invertível, então o seu inverso também é SLIT

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slide 86slide 86

2.3.5 Sistemas LIT invertíveis

04/04/2014 15:31

slide 87slide 87

2.3.5 Sistemas LIT invertíveis

• Portanto:

1( )( )* ( )h th t td

1[ ][ ]* [ ]h th n td

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slide 88slide 88

Exemplos

• Os exemplos seguintes ilustram a inversão e a construção de sistemas inversos.

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slide 89slide 89

Exemplo 2.11

• Considere o SLIT:

0( ) ( )y t x t t

0 atras or0 adt >

0 adiant or0 adt <

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slide 90slide 90

Exemplo 2.11

Qual a resposta do sistema ao Impulso Unitário?

0( ) ( )y t x t t

0( ) ( )x t x t t®

0(( ) )t ttd d ®

0( ) ( )h t t td

04/04/2014 15:31

slide 91slide 91

Exemplo 2.11

Portanto, para recuperar a entrada a partir da saída, isto é, inverter o sistema, só precisamos deslocar a saída no sentido contrário. Ou seja

1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t h t t t t t td d d* *

1 0( ) ( )h t t td

Note que:

04/04/2014 15:31

slide 92slide 92

Exemplo 2.12

Seja um SLIT com:

[ ] [ ]h n u n

Mostre que a resposta ao impulso do sistema inverso é:

1[ ] [ ] [ 1]h n n nd d

04/04/2014 15:31

slide 93slide 93

Exemplo 2.12

Basta mostrar que:

1[ ] [ ] [ ]h n h n nd*

Vejamos

( )1[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1]

[ ] [ ] [ ] [ 1]

[ ] [ 1]

[ ]

h n h n u n n n

u n n u n n

u n u n

n

d d

d d

d

* *

*

04/04/2014 15:31

slide 94slide 94

2.3.6 Causalidade dos SLIT

Relembrando:– Um sistema é causal se sua saída depende apenas

do valor presente e dos valores passados de sua entrada.

Em outras palavras:– y[n] não deve depender de x[k] para k > n!

Porém, sabemos que:

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

å

04/04/2014 15:31

slide 95slide 95

2.3.6 Causalidade dos SLIT

Portanto, para que o SLIT seja causal:

[ ] 0 para h n k k n >

Assim, para que o SLIT seja causal:

[ ] 0 para 0h n n <

“A resposta ao impulso de um sistema causal deve ser nula antes que o impulso ocorra!”

04/04/2014 15:31

slide 96slide 96

2.3.6 Causalidade dos SLIT

A causalidade de um SLIT é equivalente à condição de repouso:

Se a entrada de um SLIT é 0 até determinado instante, a saída também deve ser zero até aquele instante.

04/04/2014 15:31

slide 97slide 97

2.3.6 Causalidade dos SLIT

Portanto, um SLIT causal (de tempo discreto):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

k

k

j

y n x k h n k

x k h

x j

n k

h nj

å

å

å

n

0

04/04/2014 15:31

slide 98slide 98

2.3.6 Causalidade dos SLIT

De modo semelhante, para um SLIT causal de tempo contínuo:

( ) 0 para 0h t t <

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t

y t x h t d

x h t d

h x t d

t t t

t t t

x x x

ò

ò

ò

04/04/2014 15:31

slide 99slide 99

2.3.7 Estabilidade para SLIT

Relembrando...– Um sistema é estável se toda entrada limitada

produz uma saída limitada (BIBO)

Supondo[ ] para todo x n B n<

[ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k

å

[ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k

£ å

04/04/2014 15:31

slide 100slide 100

2.3.7 Estabilidade para SLIT

[ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k

£ å

[ ] [ ]k

y n h kB

£ å

Portanto, se a resposta ao impulso for absolutamente somável, então o sistema será estável.

[ ]k

h k

< å

04/04/2014 15:31

slide 101slide 101

2.3.7 Estabilidade para SLIT

Da mesma forma, para um SLIT de tempo discreto, se a resposta ao impulso for absolutamente integrável, então o sistema será estável.

( )h dt t

< ò

04/04/2014 15:31

slide 102slide 102

Exemplo 2.13

• Considere um sistema que apenas desloque a entrada, então:

0[ ] [ ]h n n nd

0( ) ( )h t t td

Mostre que esse sistema é estável.

04/04/2014 15:31

slide 103slide 103

2.3.8 Reposta ao Degrau Unitário de um SLIT

• A resposta ao degrau unitário, s[n] ou s(t), corresponde à saída do sistema quando x[n]=u[n] ou x(t)=u(t).

04/04/2014 15:31

slide 104slide 104

2.3.8 Reposta ao Degrau Unitário de um SLIT

[ ] [ ] [ ]s n u n h n * ( ) ( ) ( )s t u t h t *

[ ] [ ] [ ]k

s n u n k h n

*å

[ ] [ ]n

k

s n h k

å

( ) ( ) ( )s t u t h dt t t

*ò

( ) ( )t

s t h dt t

ò

[ ] [ ] [ 1]h n s n s n ( )

( )ds t

h tdt

04/04/2014 15:31

slide 105slide 105

2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias

• Uma classe muito importante de sistemas de tempo contínuo é aquela em que a entrada e a saída são relacionadas por meio de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes.

• Por outro lado, para sistemas de tempo discreto a entrada e a saída são relacionadas por meio de uma equação de diferenças linear com coeficientes constantes.

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slide 106slide 106

2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias

• Um aspecto importante sobre as equações diferenciais / de diferenças, é que elas fornecem uma especificação implícita do sistema.

• Ou seja, elas descrevem a relação entre a entrada e a saída, em vez de fornecerem uma expressão explícita para a saída do sistema como uma função da entrada.

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2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias

• Neste curso, vamos nos concentrar, basicamente nas equações diferenciais e de diferenças usadas para descrever SLIT causais (SLITC).

• Neste caso, as condições iniciais de tais equações tomam a forma de condições iniciais de repouso:

– Se x(t) = 0 para t < t0, supomos que y(t) = 0 para

t < t0

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2.4.1 Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes

• Estudar o livro texto das p.70 a 73.

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2.4.2 Equações de Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes

• Estudar o livro texto das p.73 a 74.

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2.4.3 Representação em Diagrama de Blocos de Sistemas de Primeira Ordem Descritos por EDLCC

• Uma propriedade importante dos sistemas descritos por equações diferenciais e de diferenças lineares e de coeficientes constantes e que eles podem ser representados de maneira bem simples e natural em termos de interconexões de operações elementares em diagrama de blocos.

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slide 111slide 111

Sistemas de Tempo Discreto:Três Operações Básicas

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Exemplo 1

• Representar a EDLCC abaixo em diagrama de blocos.

[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n

• Solução:

[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n

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Exemplo 1

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Sistemas de Tempo Contínuo:Três Operações Básicas

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Exemplo 2

• Representar a EDLCC abaixo em diagrama de blocos.

( )( ) ( )

dy tay t bx t

dt

• Solução:( )

( ) ( )dy t

ay t bx tdt

1 ( )( ) ( )

dy t by t x t

a dt a

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Exemplo 2

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Exemplo 2

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Exemplo 2

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2.5 Funções de Singularidade

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2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado

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slide 121slide 121

(continua)Figura 2.34

2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado

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slide 122slide 122

(continuação)

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slide 123slide 123

(continua)Figura 2.35

2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado

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(continuação)

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slide 125slide 125

2.5.2

Definindo o impulso unitário por meio da convolução

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2.5.2

Definindo o impulso unitário por meio da convolução

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