FANESE: Faculdade de Administração e Negócios de...

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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS.

PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO II

INTEGRAIS DEFINIDAS

1. NOTAÇÃO DE SOMAÇÃO E ÁREA

Quando estudamos integral definida utilizamos somas de muitos números. Para

expressar tais somas de maneira compacta, usamos a notação de somação.

Notação de somação: 1 2

1

n

k n

k

a a a a

Onde k é o domínio e ka é a imagem

Exemplo: Calcule a soma 4

2 2 2 2 2

1

1 1 1 2 1 3 1 4 1j

j

1 1 4 1 9 1 16 1

2 5 10 17 34

Teorema. 1 1

n

k

c nc

Teorema. 2 Se n é um inteiro positivo arbitrário e 1 2, , , na a a e 1 2, , , nb b b são

conjuntos de números reais, então

i 1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

ii 1 1

n n

k k

k k

ca c a

para todo real c.

iii 1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

Teorema. 3

i.

1

11 2

2

n

k

n nk n

2

ii. 2 2 2 2

1

1 2 11 2

6

n

k

n n nk n

iii.

2

3 3 3 3

1

11 2

2

n

k

n nk n

2. Cálculo de áreas de uma região R em um plano coordenado.

Se n é um inteiro positivo arbitrário, dividamos o intervalo ,a b em n subintervalos, todos

do mesmo comprimento b a

xn

. Podemos obter isto escolhendo números 0 1, , , nx x x ,

com 0a x , nb x e 1k k

b ax x x

n

, para k = 1, 2, ....,n conforme indicado na figura

abaixo. Note que 0a a , 1x a x , 2 2x a x , 3 3x a x , ....., kx a k x , ... ,

nx a n x

Fonte: Swokowski, 1994, p. 331

Logo, a área polígono regular inscritoPIA é a soma das áreas dos n retângulos, isto é,

1 2PI nA f u x f u x f u x , usando a notação de somação, podemos escrever.

1

n

PI k

k

A f u x

, onde kf u é o valor mínimo de 1 em ,k kf x x

Se n é muito grande e x muito pequeno então a soma das áreas dos retângulos deve se

aproximar – se da área da região R. Daí podemos intuitivamente escrever.

0 0

1

lim limn

PI kx x

k

A A f u x

e a diferença 1

n

k

k

A f u x

é o erro decorrente da

utilização da área do polígono regular inscrito para aproximar A.

3

Definição. Seja f contínua e não-negativa em ,a b . Sejam A um número real e kf u o

valor mínimo de 1 em ,k kf x x . A notação 0

1

limn

kx

k

A f u x

significa que para todo

0 existe um 0 tal que se 0 ,x então, 1

n

k

k

A f u x

Pode-se obter a área A também por meio de retângulos circunscritos como do tipo da figura

abaixo.


1

n

PC k

k

A f v x

. PCA é a área de um polígono retangular circunscrito, onde kf v é o

valor máximo em 1,k kx x . Note que 1 1

n n

k k

k k

f u x A f v x

.

Exemplo.

Sejam 216f x x , e R a região sob o gráfico de f de 0 a 3.

Obtenha uma aproximação da área de R, utilizando.

(a) um polígono regular inscrito com 1

2x

(b) um polígono regular circunscrito com 1

2x

Solução: (a). 1

n

PI k k

k

A f u x


4

1 1 1 3 1 1 5 1 1

. 1 . . 2 . . 3 .2 2 2 2 2 2 2 2 2

PIA f f f f f f

63 1 1 55 1 1 39 1 1. 15. . 12. . 7.

4 2 2 4 2 2 4 2 2PIA

29336,625

8PIA

(b) 1

n

PC k

k

A f v x


1 1 1 1 3 1 1 5 1

0 . 1 . . 2 . .2 2 2 2 2 2 2 2 2

PCA f f f f f f

1 63 1 1 55 1 1 39 116. . 15. . 12. .

2 4 2 2 4 2 2 4 2PCA

32941,125

8PCA

Se 216f x x , determine a área da região sob o gráfico de f de 0 a 3


Solução: Dividindo-se o intervalo 0,3 em n subintervalos iguais, o comprimento de

cada subintervalo é 3

n, logo

3x

n .

5

3k k

kx k x x

n

2 2

2

3 3 916 16k

k k kf u f

n n n

2 2

2 21 1 1

9 3 3 916 16

n n n

k

k k k

k kf u x

n n n n

2

2 21 1 1

1 2 13 9 3 916 16

6

n n n

k

k k k

n n nf u x k n

n n n n

21

1 2 1948

2

n

k

k

n nf u x

n

20 01

1 2 19lim lim 48

2

n

kx x

k

n nf u x

n

=

01

9lim 48 2 39

2

n

kx

k

f u x

Assim, a área da região é 39

Exercícios.

I. Calcule a soma

1. 4

2

1

1j

j

2. 5

1

1k

k k

3. 5

1

1k

k k

4. 4

0

2 3k

k k

II. Expresse a soma em termos de n.

5. 2

1

3 5n

k

k k

6. 2

1

3 2 1n

k

k k

7. 3 2

1

2 4n

k

k k k

8. 3

1

3n

k

k k

III. Determine a área sob o gráfico da função dada de 0 a bf usando retângulos

inscritos e circunscritos.

9. 29 3f x x b 10. 34 2f x x x b

3. A INTEGRAL DEFINIDA

No estudo anterior restringimos e xf para calcular o 0

1

limn

k kx

k

f w x

como segue:

1. A função f é contínua no intervalo ,a b .

2. f x é não – negativa para todo x em ,a b .

3. Todos os subintervalos 1,k kx x têm o mesmo comprimento x .

4. O número kw é escolhido de modo que kf w seja sempre o mínimo ( ou o máximo )

de -1 em ,k kf x x .

Há muitas aplicações que envolvem este tipo de limite, em que nem todas as condições acima

são satisfeitas. Assim é conveniente introduzir as seguintes modificações:

5. A função f pode ser descontínua em alguns pontos de ,a b .

6. f x pode ser negativa para algum x em ,a b .

7. Os comprimentos dos subintervalos 1,k kx x podem ser diferentes.

8. O número kw pode ser qualquer número -1 em ,k kx x .

6

Introduziremos uma terminologia e notação novas. Uma partição P de um intervalo ,a b é

qualquer decomposição de ,a b em sub intervalos da forma.

0 1 1 2 2 3 1, , , , , , , ,k kx x x x x x x x para um número inteiro n e números kx tais que

0 1 2 1n na x x x x x b

O comprimento mok subintervalo será denotado por kx ; isto é, 1k k kx x x

A figura abaixo ilustra uma partição de ,a b . O maior dos números 1 2, , , nx x x é a

norma da partição P e se denota por P .


Exemplo: Os números 1;1,7;2,2;3,3;4,1;4,5;5;6 determinam uma partição P do intervalo

1,6 . Determine os comprimentos 1 2, , , nx x x dos subintervalos em P e a norma da

partição.

Solução: 1k k kx x x 1 1 0x x x 1 1,7 1 0,7x

2 0,5x 3 1,1x ; 4 0,8x ; 5 0,4x ; 6 0,5x ; 7 1,0x

3 1,1P x

Definição. Seja f definida em um intervalo fechado ,a b , e seja P uma partição de ,a b .

Uma SOMA DE RIEMANN de f ( ou f x ) para P é qualquer expressão R da forma.

k-1

1

, onde está em x , e 1,2,3, ,n

p k k k k

k

R f w x w x k n

Com esta definição de kf w , não é necessário um máximo ou um mínimo de f em

1,k kx x . Se construirmos um retângulo de comprimento kf w e largura kx , conforme

ilustrado na figura (i), o retângulo pode não ser nem inscrito nem circunscrito. Alem disso,

como f x pode ser negativa também ou podem ser certos termos da soma de Riemann pR .

Conseqüentemente, pR nem sempre representa uma soma de

áreas de retângulos.


7


Figura (i) Figura (ii)

Na figura (ii) a soma de Riemann admite a seguinte interpretação geométrica. Para cada

subintervalo 1,k kx x , construamos um segmento horizontal pelo ponto ,k kw f w ,

obtendo assim uma coleção de retângulos. Se kf w é positiva, o retângulo está acima do

eixo – x, e produto k kf w x é a área deste retângulo. Se kf w é negativa, o retângulo está

abaixo do eixo – x, e produto k kf w x é a área deste retângulo. pR é a soma das áreas dos

retângulos que estão acima e abaixo do eixo – x.

Exemplo. Sejam 218

2f x x e P a partição de 0,6 nos cinco subintervalos

determinados por 0 1 2 3 4 50, 1,5, 2,5, 4,5, 5, 6x x x x x x . Determine a norma da

partição e a soma de Riemann pR se 1 2 3 4 51, 2, w 4,5, 5, 5,5w w w w

Solução. A figura abaixo esboça o gráfico de f

1 2 3 4 51,5, 1, x 2, 0,5, 1x x x x

A norma P da partição é 3 2x

5

1

p k k

k

R f w x


1 1 2 2 3 3 4 4 5 5pR f w x f w x f w x f w x f w x Fonte: Swokowski, 1994, p. 340

1 1,5 2 1 3,5 2 5 0,5 5,5 1pR f f f f f

8

7,5 1,5 6 1 1,875 2 4,5 0,5 7,125 1pR

11,625pR

Nem sempre especificaremos o número n de subintervalos em uma partição P de ,a b . A

soma de Riemann escreverá p k k

k

R f w x , e admitiremos que os termos da forma

k kf w x devem ser somados sobre todos os subintervalos 1,k kx x na partição P.

A partir daí, definimos. 0

lim k kP

k

f w x L

para um número real L.

Definição. Sejam f definida em um intervalo fechado ,a b e L um número real. A

afirmação 0

lim k kP

k

f w x L

significa que, para todo 0 , existe um 0 tal que se P

é uma partição de ,a b com P , então

k k

k

f w x L para qualquer escolha do números kw nos subintervalos 1,k kx x de P.

O número L é um limite de somas ( de Riemann )

Definimos a seguir a integral definida como o limite de uma soma, onde kw e kx tem o

mesmos significados da definição acima.

Definição. Seja f definida em um intervalo fechado ,a b . A integral definida de

, de a ,f a b denotada por ,b

af x dx é

0

limb

k ka p

k

f x dx f w x

desde que o limite exista.

Exemplo. Expresse o limite de somas como uma integral definida no intervalo 3,8 :

3

01

lim (5 4n

k k k kP

k

w w sen w x

.

Solução. 35f x x x sen x logo o limite pode ser expresso como a integral definida.

8

3

35x x sen x dx

Definição. (i) Se , então d c

c dc d f x dx f x dx

9

(ii) Se existe, então 0a

af a f x dx

Teorema. Se f é integrável e 0f x para todo x em ,a b , então a área A da região sob o

gráfico de f de a e b é 0b

aA f x dx

Se uma partição regular de ,a b contém n subintervalos então b a

xn

logo 0P e

equivalente a 0 ou x n e a integral definida toma a forma.

0

1

limnb

k ka n

k

f x dx f w x

Teorema. Se f é integrável e 0, f x para todo x em ,a b então a área A da região sob

o gráfico de f de a e b é.

b

aA f x dx

Exemplo. Calcule 4

2

13

2x dx

4

2

13

2x dx

=

12 5 .6 21

2


Calcular. 4

2

416 x dx

Solução. Se 216f x x então o gráfico de f é o

semicírculo da figura ao lado, logo

4

2

416 x dx

= 21

4 82


10

Exercícios.

Expresse cada limite como uma integral definida no intervalo dado ,a b

1. 2

01

lim 3 2 5 -1,2n

k k kP x

k

w w x

2. 2

01

lim 4 2,3n

k kP x

k

w x

Dada 4

1

14

3xdx , Calcule a integral

1. 1

4xdx 2.

4

1sds

Expresse a área da região na figura como uma integral definida


Calcule a integral definida encarando-a como a área sob o gráfico de uma função

1. 2

32 6x dx

2.

2

17 3x dx

3. 3

01x dx 4.

4

1x dx

4. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

(i) Se c é uma constante real, então.


11

Exemplo: Calcula 3

27dx

Solução.

3

27 7 3 2 7.5 35dx

(ii) Se f é integrável em ,a b e c é um número real arbitrário, então cf é

integrável em ,a b e b b

a acf x dx c f x dx

Se f e g integráveis em ,a b , então e f g f g são integráveis em ,a b e

(iii) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

(iv) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx


Se a c b e se f é integrável tanto em ,a c como em ,c b , então f é integrável em

,a b e

(v) b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

Se f é contínua em um intervalo fechado ,a b , então existe um número z no intervalo

aberto ,a b tal que.

b

af x dx f z b a

O número z não é necessariamente único; o que o teorema garante, entretanto, é que existe ao

menos um número que dá o resultado desejado.

12

O Teorema do Valor Médio admite uma interpretação geométrica interessante, se 0f x

em ,a b . Nesse caso, b

af x dx é a área sob o gráfico de de a f a b . Se traçarmos uma

reta horizontal pelo ponto ,P z f z , conforme figura abaixo, então a área da região

retangular delimitada por esta reta, o eixo - x e as retas e é x a x b f z b a ; tal

área, de acordo com o Teorema do Valor Médio, é a mesma área sob o gráfico de

de a f a b .


Exemplo.Ache um número z que verifique a conclusão do teorema do valor médio. Ache o

valor médio de f em ,a b .

32

03 27x dx

Solução: 3

2

03 3 0 27x dx f z

3 27f z 23f z z

9f z 29 3z

3z 3 9f

13

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Suponha que f é contínua em um intervalo fechado ,a b .

Se F é antiderivada de f em ,a b , então b

af x dx F b F a

Se f é contínua em ,a a

(i) Se f é uma função par,

0

2a a

af x dx f x dx

(ii) Se f é uma função ímpar,

0a

af x dx

Seja f é contínua em um intervalo fechado ,a b . Se ,a c b então, para todo x em ,a b ,

x

xc

D f t dt f x

Exemplo: Se 1

1x

G x dtt

e 0x , calcule 'G x

Solução: 1

1 1'

x

xG x D dtt x

7. ÁREAS

Se uma função f é contínua e 0f x em ,a b , então, a área sob o gráfico de

de a f a b é dada pela integral definida b

af x dx . Nesta seção, consideraremos a região

que está entre os gráficos de duas funções.

Se e f g são contínuas e 0f x g x para todo x em ,a b , então a área da região R

limitada pelos gráficos de , , e f g x a x b ver figura 1. pode ser calculada subtraindo – se

a área da região sob o gráfico de g da área da região sob o gráfico de f , como segue.

b b b

a a aA f x dx g x dx f x g x dx

Esta fórmula também é válida se ou f g é negativo

para algum em ,x a b . Para verificar escolhemos um

número negativo d inferior ao valor mínimo de g em

,a b , como vemos na figura 2. Em seguida, consideremos

as funções 1 1 e f g , definidas como segue:

1f x f x d f x d

1g x g x d g x d

figura 1. Fonte: Swokowski, 1994, p. 388

14

figura 2. figura 3. Fonte: Swokowski, 1994, p. 388

Os gráficos de 1 1 e f g , podem ser obtidos deslocando-se verticalmente os gráficos de

e f g de uma distância d . Se A é a área da região na figura 3. então

1 1

b

aA f x g x dx

b

aA f x d g x d dx

b

aA f x g x dx

Teorema:

Se e f g são contínuas e f x g x para todo em ,x a b , então a área A delimitada

pelos gráficos de , , e f g x a x b é

b

aA f x g x dx

8. Diretrizes para achar a área de uma região xR

1. Esboçar a região, designando por y f x a fronteira superior, e por y g x a

fronteira inferior. Achar o menor valor x a e o valor x b dos pontos ,x y na

região

2. Esboçar um retângulo vertical e designar por dx a sua largura.

3. Expressar a área do retângulo da diretriz 2 como f x g x dx

4. Aplicar o operador limite de somas b

a à expressão na diretriz 3 e calcule a integral.

Exemplo.

Estabeleça uma integral que possa ser usada para determinar a área da região sombreada.

15

a)


2

2

21 2x x dx

4

16 x x dx


1

2 3

23 4y y dy


8

2/3

12y y dy


16

Calcule:

1. Calcule a área da região limitada pelas retas 0x , 1x , 2y e pelo gráfico de 2y x

2. Calcule a área da região limitada pelas retas 1x , 3x , pelo eixo 0x e pelo gráfico de 3y x

3. Calcule a área da região limitada pelas retas 1x , 4x , 0y e pelo gráfico de y x

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do

Brasil, 1994.

ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman

2000

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