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FÁBIO ECKE BISOGNO TOPOLOGIAS PARA ILUMINAÇÃO FLUORESCENTE, UTILIZANDO CONVERSORES ELETRÕNICOS INTEGRADOS EMPREGANDO COPARTILHAMENTO DE CHAVE SEMICONDUTORA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO U F S M SANTA MARIA, RS, BRASIL 2001

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FÁBIO ECKE BISOGNO

TOPOLOGIAS PARA ILUMINAÇÃO FLUORESCENTE, UTILIZANDO CONVERSORES ELETRÕNICOS

INTEGRADOS EMPREGANDO COPARTILHAMENTO DE CHAVE SEMICONDUTORA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

U F S M SANTA MARIA, RS, BRASIL

2001

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TOPOLOGIAS PARA ILUMINAÇÃO FLUORESCENTE,

UTILIZANDO CONVERSORES ELETRÕNICOS INTEGRADOS

EMPREGANDO COPARTILHAMENTO DE CHAVE

SEMICONDUTORA

por

FÁBIO ECKE BISOGNO

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da

Universidade Federal de Santa Maria (RS), como requisito parcial para a obtenção

do grau de MESTRE EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Santa Maria, RS – Brasil

2001

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iii

Saber é descobrir que nosso conhecimento

é muito pequeno.

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iv

Aos meus pais, Roberto e Ledi,

pelo estímulo, amor e compreensão.

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v

À minha noiva Jalusa, pelo amor amizade e

companheirismo.

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AGRADECIMENTOS

Ao Professor Ricardo Nederson do Prado pela orientação, estímulo e

amizade que dele recebi durante o transcorrer deste trabalho.

Aos professores Douglas Schirmer Schramm, Hélio Leães Hey e Hilton

Abilio Gründling pelos conhecimentos transmitidos durante o período de crédito.

Aos professores do NUPEDEE José Renes Pinheiro, Humberto Pinheiro,

Cesar e Alexandre Campos por valiosas contribuições.

Aos funcionários do NUPEDEE Anacleto, Carmem, Fernando e Saúl que

auxiliaram na realização muitos trabalhos. À funcionária da Pós-Graduação

Cleonice Oliveira, pelo apoio e suporte.

Aos engenheiros Mauro Cereta Moreira, Diego Santos Greff, Saul Azzolin

Bonaldo, Marcelo Freitas da Silva pela troca de conhecimentos..

Aos acadêmicos Allessandro Girardi, Álisson Ranieri Seidel, Daniel

Bernardon, Fábio Ecke Bisogno, Mário Jungbeck, Nívia Raquel Reinehr e Renan

Feltrin pelo companheirismo e troca de conhecimentos no decorrer do trabalho.

À Universidade Federal de Santa Maria e à CAPES pelo suporte

financeiro.

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SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS .....................................................vi

SUMÁRIO .......................................................................vii

RESUMO..........................................................................xi

ABSTRACT.....................................................................xii

SIMBOLOGIA .............................................................. xiii

INTRODUÇÃO .................................................................1

Capítulo 1 ..............................................................2

1.1 INTRODUÇÃO ...................................................2

1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DAS LÂMPADAS FLUORESCENTES........................2

1.2.1 Construção da Lâmpada................................2

1.2.2 Detalhes de Funcionamento..........................3

1.3 COMPONENTES E SUAS FUNÇÕES ..............4

1.4 CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS ..................4

1.4.1 Característica Estática...................................4

1.4.2 Característica Dinâmica ................................5

1.4.3 Características de Partida da Lâmpada .........5

1.4.4 Características de Operação da Lâmpada em Regime ...............................................................7

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viii

1.5 MODELO DINÂMICO PARA LÂMPADAS FLUORESCENTES...............................................8

1.5.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático....8

1.5.2 Desenvolvimento do Modelo para uma Lâmpada Fluorescente .....................................10

1.5.3 Resultados Experimentais e Simulações.....15

1.6 CONCLUSÃO ...................................................17

Capítulo 2 ............................................................19

2.1 INTRODUÇÃO .................................................19

2.2 FORMAS DE ONDA DOS CONVERSORES UTILIZADOS PARA A CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA......................................21

2.3 FILTRO DE ENTRADA ...................................23

2.3.1 Cálculo para o Filtro de Entrada .................24

2.4 FORMAS DE ONDA DOS INVERSORES......27

2.4.1 Série de Fourier da Tensão do Conversor Half-Bridge ou do Conversor Push-Pull ..........28

2.4.2 Série de Fourier da Tensão do Conversor Full-Bridge .......................................................30

2.4.3 Comparativo da Composição Harmônicas da Tensão dos Conversores...................................32

2.5 EQUACIONAMENTO E CARACTEÍSTICA DOS FILTROS.....................................................33

2.5.1 Filtro LC Série ............................................34

2.5.2 Filtro L Série C Paralelo .............................49

2.5.3 Filtro C Série LC Paralelo...........................62

2.5.4 Filtro LC Série C Paralelo...........................81

2.5.5 Filtro LC Série L Paralelo...........................98

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ix

2.5.6 Filtro L Série LC Paralelo.........................113

2.5.7 Filtro LC Série LC Paralelo ......................128

2.6 CONCLUSÃO .................................................153

Capítulo 3 ..........................................................156

3.1 INTRODUÇÃO ...............................................156

3.2 ESTRUTURA DOS REATORES ELETRÔNICOS ................................................157

3.2.1 Estágio de Entrada ....................................157

3.2.2 Estágio de Inversão ...................................170

3.2.3 Filtro de Saída ...........................................173

3.2.4 Lâmpada Fluorescente ..............................173

3.3 APRESENTAÇÃO DA TOPOLOGIA PROPOSTA .......................................................173

3.3.1 Princípios Operacionais ............................174

3.3.2 Equações Relevantes.................................176

3.3.3 Avaliação dos Esforços.............................181

3.3.4 Resultados de Simulação ..........................182

3.3.5 Resultados Experimentais .........................186

3.4 CONCLUSÃO .................................................191

Capítulo 4 ..........................................................193

4.1 INTRODUÇÃO ...............................................193

4.2 TOPOLOGIAS ESTUDADAS........................194

4.2.1 Reator Eletrônico Boost Half-bridge ........195

4.2.2 Reator Eletrônico Flyback Half-bridge.....199

4.2.3 Reator Eletrônico Boost Push-Pull ...........204

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x

4.2.4 Reator Eletrônico Flyback Push-Pull........204

4.3 CONCLUSÃO .................................................209

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................211

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RESUMO

A operação de lâmpadas fluorescentes em alta freqüência traz muitas

vantagens, incluindo um aumento na eficiência luminosa, redução da potência de

entrada, redução da energia consumida devido à eficiência total do sistema

otimizada, pequeno tamanho e peso do sistema, iluminação livre de cintilação, e

uma integração mais fácil com funções avançadas, tais como controle de

intensidade luminosa e controles remotos. Os requisitos de projeto para um

sistema eletrônico para iluminação fluorescente com controle de intensidade

luminosa foram estudados, e podem ser divididos em duas partes. A primeira

delas diz respeito ao projeto do estágio de entrada, e a segunda diz respeito ao

projeto do estágio de saída. De particular importância no projeto do estágio de

entrada estão o fator de potência, distorção harmônica na linha e a geração de

EMI, enquanto que no estágio de saída, deve ser levado em conta principalmente

o fator de crista da corrente na lâmpada e a cintilação. Após estudo e comparação

entre três tipos comuns de reatores eletrônicos com controle de intensidade

luminosa, duas topologias são propostas, e com elas busca-se atender aos

seguintes requisitos: variação da luminosidade feita com a variação da freqüência

de chaveamento; alimentação em alta freqüência da lâmpada com um baixo fator

de crista para os mais diferentes níveis de intensidade luminosa; alto fator de

potência; operação com razão cíclica constante.

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ABSTRACT

The operation of a fluorescent lamp at high frequencies provides a number

of advantages, including an increase in the efficiency of luminous output,

reduction of input power, reduction of energy consumed due to the improved total

efficiency of the ballast, small size and light weight of ballast, flickerfree lighting,

and easier integration of advanced functions, such as dimming and remote control

systems. The design requirements for a solid-state ballast with dimming feature

were reviewed and can be divided into two sections. The first section is the design

of the power supply, and the second is the design of the output or inverter section.

With particular importance in the design of the power supply section of the ballast

are power factor, line harmonic distortion and EMI, while on the output section,

with particular importance in the design is the lamp current crest factor and

flicker. After study and compare three common types of electronic ballasts with

dimming feature, two topologies are proposed to meet the following requirements:

dimming feature made with the variation of the switching frequency; high

frequency supply of the lamp with a low crest factor on different dimming levels;

high power factor; constant duty-cycle operation.

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SIMBOLOGIA

CAPÍTULO 1

V Tensão I Corrente F Função qualquer VL Tensão na lâmpada IL Corrente na lâmpada PL Potência na lâmpada AP Coeficiente da função tangente BP Coeficiente da função tangente V1 Tensão de nível pequeno I1 Corrente relacionada a V1

V2 Tensão de nível grande I2 Corrente relacionada a V2

n Número de medias experimentais ka Coeficiente angular da reta Kb Coeficiente constante da reta VS Fonte de entrada V1 Comando da chave M1 V2 Comando da chave M2 M1 Chave interruptora 1 M2 Chave interruptora 2 LS Indutor série do circuito ressonante CS Capacitor série do circuito ressonante CP Capacitor paralelo do circuito ressonante Freq Freqüência Pot Potência Méd Média R Resistência utilizada no circuito equivalente da

potência RL Resistência para a medição da corrente na

lâmpada Ra Resistência do circuito do ka Rb Resistência do circuito do kb EL Fonte de tensão dependente que representa a

lâmpada EA Fonte de tensão dependente responsável pelo

valor de ka EA Fonte de tensão dependente responsável pelo

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valor de kb G Fonte de corrente dependente responsável pelo

valor da potência

CAPÍTULO 2

f(t) Função que descreve os conversores fFourier (t) Função f(t) decomposta em série de Fourier A Coeficientes dos cossenos da série de Fourier B Coeficientes dos senos da série de Fourier N Número da harmônica T Período t Tempo ω Freqüência angular VPP Tensão de pico a pico da saída dos conversores D Razão cíclica Vhb(t) Tensão do conversor half-bridge simétrico ou

push-pull Vhbm(t) Tensão do conversor half-bridge assimétrico Vfb(t) Tensão do conversor full-bridge GH Ganho das harmônicas CS Capacitor série CP Capacitor paralelo LS Indutor série LP Indutor paralelo R Resistência equivalente da lâmpada Rp Resistência equivalente da lâmpada na partida Z Impedância do circuito ZS Impedância equivalente série ZP Impedância equivalente paralela J Raiz quadrada de menos um (numero complexo) arg(Z) Argumento da impedância Y(ω) Parte imaginária da impedância X(ω) Parte real a impedância φ Ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão

aplicada ao filtro I Corrente do filtro V Tensão Vac Tensão RMS da fundamental da tensão aplicada P Potência da lâmpada M Parte comum às expressões F Freqüência da onda dos conversores X(t) Matriz das variáveis de estado Y(t) Matriz das saídas VCs(t) Resposta da tensão no capacitor CS

VCp(t) Resposta da tensão no capacitor CP

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iLs(t) Resposta da corrente no indutor LS

iLp(t) Resposta da corrente no indutor LP

VR(t) Tensão na lâmpada iF(t) Corrente no filtro A Matriz (definição de variáveis de estado) B Matriz (definição de variáveis de estado) C Matriz (definição de variáveis de estado) D Matriz (definição de variáveis de estado) R Autovalores ξ(r) Autovetores associados a r ψ(t) Resposta homogênea XP(t) Resposta particular de X(t) Ka Coeficiente da resposta particular Kb Coeficiente da resposta particular VCsp(t) Resposta particular de VLs(t) VCpp(t) Resposta particular de VCp(t) iLsp(t) Resposta particular de iLs(t) iLpp(t) Resposta particular de iLp(t)

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INTRODUÇÃO

O princípio das lâmpadas incandescentes já era conhecido muito antes

dele, mas foi Thomas Edison, em 1880, quem inventou um tipo prático de

lâmpada. Baseadas no princípio térmico, as lâmpadas incandescentes

continuaram a se desenvolver. Surgiram daí as lâmpadas incandescentes de

filamento espiralado (1913) e duplamente espiralado (1933).

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Capítulo 1

ESTUDO DAS LÂMPADAS FLUORESCENTES

1.1 INTRODUÇÃO

O estudo de reatores eletrônicos para sistemas de iluminação fluorescente

não se restringe a um simples projeto de um conversor eletrônico de potência,

porque sua carga é diferente. A lâmpada fluorescente apresenta um

comportamento não linear que depende de diversos fatores, tanto de

características físicas de construção da lâmpada quanto a característica elétricas de

funcionamento.

Este capítulo apresenta uma breve abordagem dos aspectos físicos de

construção da lâmpada, para mostrar o seu funcionamento, no entanto aborda-se

principalmente as características elétricas e é apresentado um modelo para ser

empregado em programas de simulação.

1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DAS LÂMPADAS

FLUORESCENTES

1.2.1 Construção da Lâmpada

As lâmpadas fluorescentes tubulares de descarga a vapor de mercúrio de

baixa pressão, comumente chamada lâmpadas fluorescentes possuem dois tipos

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quanto ao emissor, que são:

Catodo quente: caracterizada pela emissão termiônica;

Catodo frio: caracterizada pela emissão através do efeito de campo

elétrico.

As Lâmpadas fluorescentes tubulares quanto a forma podem ser: retas, em

U ou circular.

A lâmpada é constituída por um tubo de vidro, suportado em suas

extremidades pelo conjunto coletor-emissor de elétrons. No interior do tubo

contém vapor de mercúrio a baixa pressão e uma mistura de gases inertes. As

lâmpadas do tipo catodo quente, são compostas por um filamento de tungstênio

em forma espiral e revestido com um óxido (de bário, estrôncio, cálcio) e

pequenas hastes metálicas. As paredes internas do tubo são revestidas com um pó,

conhecido com “fósforo”, que é um composto orgânico.

1.2.2 Detalhes de Funcionamento

A ignição da descarga acontece quando um gradiente de potencial elevado

é aplicado entre as extremidades da lâmpada. A descarga passa a ser auto-

sustentada quando o processo de geração de íons e elétrons independe dos elétrons

e íons contidos no gás antes do processo. Os elétrons são acelerados em direção ao

anodo e se chocam com átomos, excitando-os ou até ionizando-os. Ocorre

emissão de radiação pelas transições entre estados de maior energia para níveis

mais estáveis dos átomos de mercúrio, devido aos choques entre átomos. A

radiação emitida é definida pelo termo ressonante, sendo que o mercúrio apresenta

duas linhas ressonantes com comprimento de onda de 253,7nm e 184,9nm

(radiação ultravioleta). A radiação ultravioleta emitida pela coluna de descarga é

transformada em luz visível através da absorção pelo revestimento de fósforo.

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1.3 COMPONENTES E SUAS FUNÇÕES

Tubo de vidro: sustentação mecânica e contensão do gás;

Conjunto coletor emissor: coletar e emitir elétrons;

Vapor de mercúrio: emitir radiação ultravioleta;

Gás inerte: Diminuir o livre caminho médio, não deixando os átomos de

mercúrio atingirem a outra extremidade sem ocorrer nenhuma colisão;

Filamentos: Aquecer o a lâmpada, aumentando o número o número de

íons elétrons;

Hastes metálicas: impedir o rápido enegrecimento das extremidades da

lâmpada;

Fósforo: Transformar a radiação ultravioleta em luz visível.

1.4 CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS

O comportamento elétrico da lâmpada pode ser analisado através das

curvas de tensão corrente (V x I) que podem ser divididas em estáticas e

dinâmicas.

1.4.1 Característica Estática

A característica estática representa o comportamento da lâmpada quando é

alimentada em baixa freqüência, que possuem constantes de tempo lentas o que

possibilita a lâmpada assegurar uma condição de equilíbrio.

A lâmpada quando é alimentada em 60Hz repete o processo de ignição 120

vezes por segundo, toda a vez que a tensão da rede fica inferior ao valor de arco a

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descarga cessa.

1.4.2 Característica Dinâmica

A característica dinâmica é caracterizada quando a coluna de descarga não

chega a alcançar uma condição de equilíbrio estático. Freqüências relativamente

elevadas são necessárias para se estabelecer um estado de equilíbrio intermediário

de forma que as flutuações durante o ciclo sejam insignificantes. A resistência

efetiva da lâmpada depende do estado de ionização do gás, o que torna a mesma

não só relacionada com a corrente que circula instantaneamente, mas também com

a corrente no instante imediatamente anterior.

A característica dinâmica, ao contrário da estática, não é uma propriedade

intrínseca do tubo, mas também da forma de onda aplicada, sendo que uma

lâmpada de descarga não possui apenas uma característica dinâmica, mas um

número infinito delas.

1.4.3 Características de Partida da Lâmpada

Contrário a crença popular a partida da lâmpada não tem uma muito

grande energia na partida. O laboratório de engenharia naval civil do Estados

Unidos tem demonstrado que embora a corrente de partida é cinco vezes maior

para a partir uma lâmpada fluorescente que em regime permanente, isto só

permanece durante apenas meio ciclo da rede (1/120s). A energia extra

consumida, portanto é desprezível para a análise econômica [7].

A característica de partida da lâmpada é um dos principais fatores que

influenciam no tempo de vida útil da lâmpada, por isso deve-se definir a aplicação

da lâmpada fluorescente e escolher o tipo de partida mais adequada.

A partida da lâmpada de depende da temperatura, sendo que a temperatura

dos eletrodos abaixo de 700º C ou acima de 1000º C pode reduzir o tempo de vida

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da lâmpada pelo aumento da taxa de perda da cobertura emissiva dos eletrodos

[16].

Os reatores devem possuir uma partida adequada e operar a lâmpada sob

uma relativa largura de variação de condições de uso. Os reatores quanto a parida

são basicamente divididos em três classes: partida rápida, partida com pré-

aquecimento e partida instantânea.

1.4.3.1 Partida Rápida:

Os reatores com partida rápida possuem tensão separada de aquecimento

dos eletrodos com enrolamentos integrando o projeto, na qual os eletrodos da

lâmpada são aquecidos durante a partida e permanecem em regime permanente.

1.4.3.2 Partida com Pré-aquecimento:

Os reatores com partida rápida possuem aquecimento dos eletrodos

durante o processo de partida, mas não possui em regime permanente.

1.4.3.3 Partida instantânea:

Os reatores com partida instantânea ao contrário do outros dois não

possuem aquecimento dos eletrodos da lâmpada, tanto na partida quanto em

regime. A partida neste depende exclusivamente de uma tensão elevada sobre os

eletrodos [11].

A Figura 1.1 mostra uma situação ideal de operação de um sistema

eletrônico no que diz respeito à partida da lâmpada. Na figura, observa-se que

limitando a tensão de circuito aberto durante os primeiros 500 ms, a mistura

gasosa poderá ser aquecida pela aplicação de uma tensão nos eletrodos. Como não

há corrente circulando pela lâmpada (pelo plasma), não haverá crepitação nos

eletrodos. Após aproximadamente 500 ms de pré-aquecimento dos eletrodos, a

mistura gasosa estará na temperatura ideal para a partida e então a tensão de

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circuito aberto poderá ser aplicada. Assim, a seqüência de partida estará completa.

A fim de se maximizar a eficiência do sistema, a tensão de pré-

aquecimento dos filamentos poderá ser retirada após a seqüência de partida estar

completada. Isto poderá ser feito após aproximadamente 1,1 s, pois neste

momento a mistura gasosa estará estabilizada [14].

A diferença existente entre a operação em 60 Hz e alta freqüência é com

respeito à proximidade da lâmpada com a luminária. Esta diferença não deverá ser

maior que 1/8” (3 mm) em alta freqüência porque o acoplamento capacitivo entre

a lâmpada e a luminária com a freqüência e poderá aumentar a corrente que

circula entre a lâmpada e a luminária. Quanto menor a distância da lâmpada em

relação a luminária, maior a confiável será a partida. Normalmente é usado de ½ “

(12 mm) ou menor para uma maior confiabilidade na partida [14].

Figura 1.1 – Tensões e correntes na lâmpada em um sistema ideal com partida com pré-aquecimento.

1.4.4 Características de Operação da Lâmpada em Regime

A elevação da corrente aumenta a probabilidade de extinção múltipla o

que reduz a eficiência da emissão de radiação ressonante. Para correntes muito

baixas a eficiência cai devido à redução excessiva da pressão de vapor de

mercúrio. A forma de onda da corrente tem influência sobre a eficiência da

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lâmpada e a vida útil da lâmpada. O fator de crista (relação entre o valor de pico e

o valor eficaz) elevado reduz a eficiência e a danifica a lâmpada. A envoltória da

tensão da lâmpada não pode possuir uma ondulação muito grande, o que pode

causar cintilação na lâmpada. A medida desta ondulação aparece no fator de crista

da onda.

1.5 MODELO DINÂMICO PARA LÂMPADAS

FLUORESCENTES

Durante o estágio preliminar de projeto de reatores eletrônicos de alta

freqüência, modelos de lâmpadas são necessários para possibilitar as simulações

em computadores, desta forma é necessário desenvolver modelos que permitem

predizer as características elétricas das lâmpadas fluorescentes.

Esta seção apresenta um modelo matemático para lâmpadas fluorescentes

baseados em métodos regressivos empregando uma aproximação a função

tangente. Esta aproximação permite uma maneira fácil para determinar os

parâmetros do modelo por dados experimentais para várias potências e

freqüências. A simplicidade do modelo reduz erros de convergência e torna mais

fáceis as simulações.

1.5.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático

Muitas das análises de projetos de reatores eletrônicos representam a

lâmpada pelo modelo resistivo [8] [19] e não incluem a característica não linear da

lâmpada fluorescente. A não inclusão da característica não linear da lâmpada pode

deixar as simulações mais simples, porem não esta avaliando o comportamento

real da lâmpada e pode ter um grande efeito na escolha dos componentes. A

desvantagem principal em aproximar a lâmpada a um resistor é que a lâmpada,

como um dispositivo de descarga de baixa pressão, possui uma característica

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complexa da curva VxI, na qual são diferentes de um resistor, onde quando a

potência da lâmpada é alta, a resistência da coluna de descarga é baixa, porque o

gás da lâmpada esta altamente ionizado (quente) e quando a potência na lâmpada

é baixa, a resistência da coluna de descarga é alta, porque o gás da lâmpada esta

pouco ionizado (frio) [17]. A lâmpada quando está em equilíbrio térmico tem uma

constante de queda de tensão. A principal diferença entre a lâmpada de descarga e

a resistência negativa é que a constante de tempo da resistência negativa é da

ordem de segundos e a constante de tempo da lâmpada é da ordem de

milisegundos [21].

O modelo apresentado usa a característica dinâmica da lâmpada através de

uma função F, que faz a relação entre a tensão da Lâmpada VL com a corrente IL e

a potência PL

( )LLL P,IFV = (1.1)

A Figura 1.2 mostra o comportamento dinâmico das lâmpadas

fluorescentes representados nas curvas V x I.

Figura 1.2 – Característica dinâmica das lâmpadas fluorescentes.

A visualização da Figura 1.2 inspira o uso de uma função tangente para

aproximar a forma da característica de alta freqüência da lâmpada. Neste caso a

função F em (1.1) tem a seguinte forma:

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10

( ) ( ) ( )

⋅=

LP

LLPLLL PB

ItanPAP,IV (1.2)

Onde AP(PL) e BP(PL) são funções da potência que apresenta a lâmpada em

regime permanente. Para determinar AP(PL) e BP(PL) deve ser obtidos dados

experimentais para várias potências, onde V1 e I1 são a tensão e a corrente na

lâmpada para baixa tensão e V2 e I2 são para valor alto de tensão. A solução do

sistema é desenvolvida por métodos numéricos.

⋅=

⋅=

P

2P2

P

1P1

B

ItanAV

B

ItanAV

(1.3)

Devido ao valor de AP(PL) ter uma pequena variação, foi usado o valor

médio dos AP(PL), o que torna útil para evitar erros de convergência. AP(PL) é

definido por

( )n

)P(APA

n

1iLP

LP

∑==

(1.4)

Onde n é o número de medidas experimentais de AP.

Para obter a curva que determina BP(PL) usa-se a regressão linear

kbPka)P(A LLP +⋅= (1.5)

Onde ka é a inclinação da reta e kb é o ponto de interceptação entre BP(PL)

e o eixo y.

1.5.2 Desenvolvimento do Modelo para uma Lâmpada Fluorescente

Os dados experimentais foram obtidos através de um reator utilizando o

conversor half-bridge para várias potências e freqüências, mostrado na Figura 1.3.

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11

Figura 1.3 – Protótipo utilizado para o ensaio da lâmpada fluorescente

As Figura 1.4, Figura 1.5, Figura 1.6, Figura 1.7 e Figura 1.8 mostram os

resultados experimentais das curas V x I da lâmpada ensaiada, para as várias

freqüências.

Figura 1.4 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 20 kHz

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12

Figura 1.5 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 30 kHz

Figura 1.6 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 40 kHz

Figura 1.7 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 50 kHz

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13

Figura 1.8 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 60 kHz

A Tabela 1 é construída pela resolução do sistema (1.3) para cada

resultado experimental, ensaiando uma lâmpada do tipo Maxlite F40W T10DL.

Tabela 1 –Resultados de AP e BP para várias potências e feqüências.

Freq 20 kHz 30 kHz 40 kHz 50 kHz 60 kHz Média

Pot AP BP AP BP AP BP AP BP AP BP AP BP

2,5 W 110,75 0,0273 135,94 0,0314 222,38 0,0471 78,63 0,0181 74,82 0,0198 124,50 0,0288

5 W 59,60 0,0387 64,02 0,0440 75,19 0,0462 69,54 0,0450 98,61 0,0552 73,39 0,0458

10 W 52,92 0,0769 53,26 0,0821 62,66 0,0842 54,67 0,0829 73,82 0,0892 59,47 0,0831

20 W 63,95 0,1894 65,47 0,1877 71,45 0,2005 69,91 0,1976 69,61 0,1968 68,08 0,1944

30 W 73,73 0,3412 81,29 0,3863 69,19 0,3406 72,25 0,3391 78,10 0,3553 74,91 0,3525

40 W 87,89 0,6032 90,94 0,5971 82,76 0,5803 83,92 0,5744 92,42 0,6257 87,59 0,5962

Méd 74,81 81,82 97,27 71,49 81,23 81,32

A Figura 1.9 mostra a variação dos valores do coeficiente AP em função da

potência da lâmpada e a função utilizada.

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14

Figura 1.9 – Gráfico dos valores de AP em função da potência e a média adotada.

Na Figura 1.10 são mostrados os valores de BP em função da potência da

lâmpada e a aproximação linear

Figura 1.10 – Gráfico dos valores de BP em função da potência e a aproximação linear adotada.

Pelos cálculos, AP e BP são expressos por

81)P(A LP = (1.6)

0448,0P0146,0)P(B LLP −⋅= (1.7)

Para maior simplicidade, o valor constante é desprezado e (1.7) torna-se

LLP P0146,0)P(B ⋅= (1.8)

A Figura 1.11 mostra a característica calculada pelo modelo, na qual pode

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15

ser comparada aos resultados experimentais mostrados nas Figura 1.4, Figura 1.5,

Figura 1.6, Figura 1.7 e Figura 1.8.

Figura 1.11 – Característica do modelo da lâmpada.

1.5.3 Resultados Experimentais e Simulações

A Figura 1.12 mostra o circuito do modelo da lâmpada usado para a

simulação.

Figura 1.12 – Circuito do modelo da lâmpada

Onde as fontes são definidas por

⋅+=

)4(V

)2,1(Vtan)3(V)2,1(VE L (1.9)

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16

1)1(V)2,1(VG +⋅= (1.10)

32,81EA = (1.11)

)5(V0146,0EB ⋅= (1.12)

Soma-se um na fonte G porque ela deve possuir um valor maior que zero

para evitar erros de convergência. Os componentes do modelo possuem os

seguintes valores: C=2 mF, R=1, Ra=1 e Rb=1.

O protótipo implementado em laboratório e o circuito utilizado na

simulação é mostrado na Figura 1.3, com os seguintes componentes:

- Fonte: VS – 311 V dc;

V1 e V2 – comando para freqüência de 50 kHz e razão

cíclica 0,5.

- Chaves: M1 e M2 – IRF840.

- Filtro: LS – 1,08 mH;

CS – 147 nF;

CP – 8,2 nF.

A Figura 1.13 mostra a forma de onda experimental da tensão e da

corrente na lâmpada em regime permanente e na Figura 1.14 é mostrada a forma

de onda da tensão e da corrente em regime permanente obtido em simulação, que

comprova a eficácia do modelo.

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17

Figura 1.13 – Forma de onda experimental da tensão e corrente na lâmpada (50 V/div; 500 mA/div; 12,5 µs/div).

Figura 1.14 – Forma de onda da tensão e corrente na lâmpada obtido pela simulação (50 V/div; 500 mA/div; 12,5 µs/div).

1.6 CONCLUSÃO

Este capítulo apresenta algumas características principais de construção e

funcionamento da lâmpada fluorescente, o que é necessário para o projetista

entender a sua carga. A característica elétrica de funcionamento da lâmpada é o

elo de ligação entre a lâmpada e o reator, portanto o conhecimento desta

características informam as necessidades da lâmpada e as obrigações do reator

com a carga.

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18

Um modelo para lâmpadas fluorescente é apresentado, o que contribui

com ferramenta útil para o projeto de reatores eletrônicos para lâmpadas

fluorescentes. Os resultados experimentais comprovam que a variação das

características da lâmpada em alta freqüência é desprezível. O modelo baseado na

aproximação tangente permite através de uma maneira simples determinar os

parâmetros do modelo por dados experimentais. A simplicidade do modelo reduz

os erros de convergência e torna as simulações mais fáceis e rápidas.

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Capítulo 2

ESTUDO DOS FILTROS DE ALTA FREQÜÊNCIA

2.1 INTRODUÇÃO

O filtro de entrada em reatores eletrônicos com correção do fator de

potência representa uma parte considerável. A correção do fator de potência é

muitas vezes feita por conversores chaveados que corrigem a defasagem da

corrente em relação à tensão da fonte, mas esta acrescenta harmônicas que

reduzem o fator de potência através da taxa de distorção harmônica [6],[20]. O

filtro de entrada tem o objetivo de eliminar as harmônicas geradas pelo conversor

sem modificar o comportamento da freqüência da rede.

Este capítulo abordara também os filtros de saída, na qual é mostrada uma

análise harmônica das formas de onda aplicadas ao filtro. Os filtros ressonantes

são estudados através do ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão de

entrada, onde são analisadas algumas possibilidades de filtros existentes [4].

As lâmpadas fluorescentes possuem características específicas de

comportamento, o que difere das cargas tradicionais dos conversores eletrônicos

de potência. As lâmpadas fluorescentes possuem sua impedância dependente da

temperatura, o que define os níveis de ionização do gás. A partida da lâmpada

requer uma tensão elevada para sua partida, necessária para que circule corrente

pela mesma, sendo que a lâmpada fria possui uma impedância elevada, condição

que possui quando esta apagada. A lâmpada quando esta em regime permanente

esta com uma temperatura maior que quando esta apagada, possuindo uma

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20

impedância menor. O regime permanente precisa de algum dispositivo para a

estabilização da corrente na lâmpada. Para suprir estas necessidades é empregado

o filtro, que através de um projeto adequado podem resolver todos estes

problemas.

Neste capítulo, serão estudadas as formas de onda dos inversores mais

empregados em reatores eletrônicos, porque estas fornecem tensão aos filtros de

saída. Este estudo utilizará séries de Fourier, podendo deste modo analisar o

conteúdo harmônico das mesmas[3],[5],[6] e [22].

As topologias de reatores eletrônicos empregam filtros na saída de seus

conversores, com o objetivo de adequar a forma de onda fornecida pelos

conversores de potência às necessidades de funcionamento da lâmpada. As saídas

dos reatores são designadas para apropriar a operação de partida e de regime

permanente. Um reator convencional para a alimentação de uma lâmpada

fluorescente de 40 W, deve ser analisado as seguintes condições: tensão de

circuito aberto, cintilamento, característica de partida da lâmpada, fator de crista

da corrente da lâmpada [1].

Será apresentado um método de projeto para os vários filtros, na qual

considera as condições de partida da lâmpada [22], regime permanente e as perdas

nas chaves interruptoras [29]. Este método de projeto é baseado no ângulo de

defasagem da fundamental da corrente em relação a fundamental da forma de

onda da tensão aplicada.

O funcionamento dos filtros será abordado utilizando variáveis de estado

no domínio do tempo, o qual permite visualizar as forma de onda, explicar o seu

funcionamento e analisar seu desempenho [23].

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21

2.2 FORMAS DE ONDA DOS CONVERSORES UTILIZADOS

PARA A CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA

O fator de potência é função do ângulo de fase e da distorção harmônica

total, por este motivo os conversores eletrônicos para iluminação fluorescente

devem cuidar destes fatores. Os conversores utilizados para a correção do fator de

potência são: boost, flyback e back-boost, operando no modo de condução

descontínuo. Estes conversores utilizam altas freqüências de chaveamento que

produzem uma distorção harmônica na corrente de entrada, o que reduz o fator de

potência e interferem em outros equipamentos que estão ligados na mesma rede

ou na condução pelas linhas poderão se irradiar pelo espaço, onde interferirão em

sinais de comunicação.

As formas de onda geradas pelos conversores boost, back-boost e flyback

são mostradas na Figura 2.1 (a) e (b).

Figura 2.1 - Formas de onda dos inversores geralmente empregados: (a) conversor boost; (b) conversor flyback ou back-boost.

As duas formas de onda foram decompostas em série de Fourier pela

definição de série de Fourier dada por

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+=

∫∫

=

�2

0n

�2

0n

1nnn

0Fourier

������sen(nf(t)�

1b

������cos(nf(t)�

1a

T

t�nsenb

T

t�ncosa

2

a (t)f

(2.1)

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22

Os coeficientes da forma de onda da Figura 2.1 (a) são dados por

( )

( )

( )

ωω⋅⋅ω−π⋅+ωω⋅⋅ω⋅

π=

ωω⋅⋅ω−π⋅+ωω⋅⋅ω⋅

π=

ωω−π⋅+ωω⋅

π=

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

π π⋅

π

π π⋅

π

π π⋅

π

0

2

n

0

2

n

0

2

0

td)tnsen(t2td)tnsen(t1

b

td)tncos(t2td)tncos(t1

a

tdt2ttd1

a

(2.2)

Os coeficientes da forma de onda da Figura 2.1 (b) são dados por

ωω⋅⋅+ωω⋅⋅ω⋅

π=

ωω⋅⋅+ωω⋅⋅ω⋅

π=

ω+ωω⋅

π=

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

π π⋅

π

π π⋅

π

π π⋅

π

0

2

n

0

2

n

0

2

0

td)tnsen(0td)tnsen(t1

b

td)tncos(0td)tncos(t1

a

td0ttd1

a

(2.3)

De posse dos coeficientes, constrói-se os gráficos das formas de onda por

série de Fourier nas Figura 2.2, a partir da equação

( ) ( )[ ]∑∞

=

ω⋅⋅+ω⋅⋅+=1n

nn0 tnsenbtncosa

2

ai(t) (2.4)

(a)

(b)

Figura 2.2 - Gráfico da função da forma de onda dos conversores em série de Fourier: (a) boost ou back-boost; (b) flyback.

O gráfico do espectro de freqüência (Figura 2.3) é construído a partir da

equação

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23

21

21

2n

2n

nba

baGH

+

+= (2.5)

(a)

(b)

Figura 2.3 - Gráfico do espectro de freqüência da forma de onda dos conversores: (a) boost; (b) flyback ou back-boost.

Nos espectros de freqüência é mostrado que o conteúdo harmônico da

forma de onda da Figura 2.1 (a) é menor que o da forma de onda da Figura 2.1 (b).

O emprego do conversor boost, portanto é mais eficiente se for considerar quanto

ao seu conteúdo harmônico.

2.3 FILTRO DE ENTRADA

O filtro de entrada em reatores eletrônico tem o objetivo de eliminar as

harmônicas de alta freqüência geradas pelo chaveamento dos conversores. As

harmônicas de alta freqüência provocam a redução do fator de potência, porque

contribuem para que a onda de corrente da entrada possua um valor elevado da

taxa de distorção harmônica (THD) e estas harmônicas provocam interferência

eletromagnética (EMI).

Os reatores eletrônicos operam geralmente nas freqüências de 20 kH a 50

kH, o que na entrada geram harmônicas que podem ser irradiadas através da linha

e na saída podem ser irradiada pela lâmpada [17], o que podem interferir em

controle remotos [18]. Na entrada estas harmônicas podem ser eliminadas

utilizando um filtro EMI e na saída deve-se obter a forma de onda próxima a

senoidal, o que elimina harmônicas de ordem elevada.

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24

Os filtros EMI não dissipativos mais comuns são os filtros π, T, L,

mostrados na Figura 2.4.

Figura 2.4 – Filtros EMI não dissipativos: (a) filtro π; (b) filtro T; (c) filtro L.

Os filtros não dissipativos podem ser empregados utilizando o

acoplamento do indutor (filtros com Z), como mostra a Figura 2.5, ou em cascata,

colocado em série os mesmos quantos forem necessários [24].

(a)

(b)

(c)

Figura 2.5 – Filtros EMI não dissipativos com indutores acoplados: (a) filtro π com Z; (b) filtro T com Z; (c) filtro L com Z.

Para a escolha do filtro EMI adequado deve-se analisar as impedâncias da

entrada e saída [30].

2.3.1 Cálculo para o Filtro de Entrada

A configuração do filtro de entrada foi escolhida pela sua simplicidade e

eficiência. O filtro utilizado é mostrado na Figura 2.6, na qual é composto de um

indutor em série com a fonte de entrada e um capacitor em paralelo com a saída.

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25

Figura 2.6 – Filtro LC de entrada

O filtro LC possui característica passa baixa, onde a resistência Req

representa a resistência equivalente do estágio de entrada e Vac representa a fonte

de entrada deste estágio.

O ganho de tensão do filtro é obtido pela expressão:

j2

1

V

V),(G

c22

cac

in

⋅ω⋅ω⋅ξ⋅+ω−ω==ξω (2.6)

Onde:

feqc CR2

1

⋅⋅ω⋅=ξ (2.7)

ff

cCL

1

⋅=ω (2.8)

Pelas equações constrói-se o gráfico do ganho da tensão em função da

freqüência normalizada (ωnorm=ω/ωc) para diversos valores de ξ.

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26

Figura 2.7 - Gráfico dos ganhos do filtro LC em função da freqüência normalizada.

O gráfico mostra a característica passa baixa do filtro, atenuando as

freqüências maiores que a freqüência de corte em –40dB por década. Para a

filtragem das freqüências geradas pelo chaveamento dos conversores, deve-se

escolher uma freqüência de corte abaixo da freqüência de chaveamento.

Figura 2.8 – Espectro de freqüência do filtro LC em função da freqüência normalizada.

Pelo gráfico da fase do filtro LC mostra que se deve trabalhar com ξ>0,7 e

freqüência de corte do filtro maior que 50 vezes a freqüência da rede, desta forma

o filtro pode atenuar as freqüências altas de chaveamento dos conversores e não

interferem na freqüência da rede.

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27

A metodologia para o projeto do filtro LC, deve observar os seguintes

pontos:

A freqüência de corte do filtro LC deve estar situada abaixo da freqüência

de chaveamento mínima, a fim de se atenuar todas as componentes de alta

freqüência;

A freqüência de corte deve ser bem maior que a freqüência da rede a fim

de se evitar deslocamento de fase entre a tensão e a corrente de entrada;

Escolher ξ>0,7 para evitar oscilações em altas freqüências e deslocamento

de fase em baixas freqüências.

2.4 FORMAS DE ONDA DOS INVERSORES

O filtro de saída em reatores eletrônicos é empregado para adequar a forma

de onda gerada pelo inversor às necessidades da lâmpada. Os reatores eletrônicos

geralmente empregam como inversores os conversores half-bridge, push-pull e

full-bridge, os quais fornecem ao conjunto filtro e Lâmpada formas de onda

características destes conversores. O conversor half-bridge gera uma forma de

onda quadrada que pode ser dividida em dois tipos, simétrica e assimétrica,

mostrada nas Figura 2.9 (a) e (b) respectivamente. O conversor full-bridge gera

uma forma de onda quadrada simétrica, tendo um período em que possui tensão

zero, conhecido como tempo morto, mostrado na Figura 2.9 (c). O conversor

push-pull gera uma forma de onda quadrada simétrica, semelhante ao conversor

half-bridge simétrico, como mostra a Figura 2.9 (a).

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28

Figura 2.9 - Formas de onda dos inversores geralmente empregados: (a) conversor half-bridge simétrico ou conversor push-pull (b) conversor half-bridge assimétrico

e (c) conversor full-bridge.

Analisa-se, através da decomposição em série de Fourier (para se observar

as componentes harmônicas de cada onda), as formas de onda citadas acima.

2.4.1 Série de Fourier da Tensão do Conversor Half-Bridge ou do Conversor

Push-Pull

Para a análise da forma de onda gerada pelos conversores half-bridge

simétrico, conversor push-pull e conversor half-bridge assimétrico, calcula-se a

série de Fourier da forma de onda mostrada na Figura 2.9 (a). A definição da série

de Fourier é mostrada nas equações(2.9), onde f(t)Fourier é a função da forma de

onda decomposta em série de Fourier, f(t) é a função original da forma de onda, an

e bn são as amplitudes das componentes da série, n é o índice das harmônicas e T

é o período.

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29

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+=

∫∫

=

�2

0n

�2

0n

1nnn

0Fourier

������sen(nf(t)�

1b

������cos(nf(t)�

1a

T

t�nsenb

T

t�ncosa

2

a (t)f

(2.9)

Pela definição de série de Fourier, observando a simetria da forma de

onda, calcula-se as amplitudes an e bn pela equação (2.10), considerando os limites

de integração de meio período.

=

⋅⋅⋅= ∫π

π⋅

0b

������cos(n1

2

Va

n

D

PPn

(2.10)

Para a forma de onda do conversor half-bridge assimétrico, deve-se

calcular a componente contínua a0 pela equação

∫ ⋅ω⋅⋅=

�D

PP0 td1

2

Va

(2.11)

Resolvendo as equações (2.10) e (2.11) obtém-se a equação

=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−=

⋅⋅=

0b

D)nsen(�n�

2V1)(a

DV2a

n

PPn

n

PP0

(2.12)

Calculado as amplitudes das componentes, pode-se escrever a função em

série de Fourier da forma de onda do conversor half-bridge simétrico ou conversor

push-pull em (2.13).

∑∞

=

⋅⋅⋅⋅=

1nnhb T

t�n2cosa(t)V (2.13)

Para a forma de onda do conversor half-bridge assimétrico pode-se

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30

escrever a equação (2.14).

∑∞

=

⋅⋅⋅⋅+=

1nn

0hbm T

t�n2cosa

2

a(t)V (2.14)

A análise das harmônicas foi feita construído um gráfico considerando

vários números de harmônicas para o conversor half-bridge simétrico e o

conversor push-pull na Figura 2.10, tendo em vista que o conversor half-bridge

assimétrico só difere pela componente contínua.

tempo

ampl

itud

e

(a)

tempo

ampl

itud

e

(b)

tempo

ampl

itud

e

(c)

tempo

ampl

itud

e

(d)

tempo

ampl

itude

(e)

tempo am

plitu

de

(f)

Figura 2.10 - Gráfico da função da forma de onda do conversor half-bridge simétrico ou push-pull em série de Fourier, considerando: (a) uma harmônica; (b) três

harmônicas; (c) cinco harmônicas; (d) sete harmônicas, (e) dezenove harmônicas; (f) cento e noventa e nove harmônicas.

2.4.2 Série de Fourier da Tensão do Conversor Full-Bridge

Para a análise da forma de onda gerada pelo conversor full-bridge, calcula-

se a série de Fourier da forma de onda mostrada na Figura 2.9.(c), que possui a

diferença de possuir um período em que a onda permanece com valor nulo, a qual

o conversor half-bridge e o conversor push-pull não apresentam. Pela definição

da equação(2.9) é calculado as componentes harmônicas

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31

=

⋅⋅+⋅⋅−⋅= ∫ ∫

−⋅

0b

������cos(n1������cos(n1

2

2

V

a

n

�D

0

D)(1�

PP

n (2.15)

Resolvendo a equação (2.15), obtém-se as amplitudes an na equação

=

⋅⋅⋅⋅⋅−=

1,3,5,7...n

D)�sen(n�n

V2a PP

n (2.16)

Através das amplitudes obtidas em (2.16), constrói-se a série de Fourier

∑∞

=

⋅⋅⋅⋅=

1nnfb T

t�n2cosa(t)V (2.17)

A função (2.17) decompõe em série de Fourier a forma de onda quadrada

que possui tempo morto, característica do conversor full-bridge. A composição

harmônica para esta forma de onda pode ser visualizada plotando a função para

vários números de harmônicas na Figura 2.11.

tempo

ampl

itude

(a)

tempo

ampl

itud

e

(b)

tempo

ampl

itud

e

(c)

tempo

ampl

itude

(d)

tempo

ampl

itude

(e)

tempo

ampl

itude

(f)

Figura 2.11 - Gráfico da função da forma de onda do conversor full-bridge em série de Fourier, considerando: (a) uma harmônica; (b) três harmônicas; (c) cinco harmônicas; (d) sete harmônicas, (e) dezenove harmônicas; (f) cento e noventa e nove harmônicas.

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32

2.4.3 Comparativo da Composição Harmônicas da Tensão dos Conversores

Pode ser visto nos itens anteriores a composição das ondas com aumento

do número de harmônicas, neste item compara-se as ondas e constrói-se o gráfico

do espectro de freqüência para as mesmas, através da equação (2.18),

considerando que as decomposições em série de Fourier só possuem componentes

an e componente contínua. Na Figura 2.12 são plotadas as funções em série de

Fourier para os conversores half-bridge simétrico ou push-pull, half-bridge

assimétrico e full-bridge e na Figura 2.13 seus respectivos espectros de

freqüência.

100a2

aGH

100a

aGH

1

00

1

nn

⋅⋅

=

⋅= (2.18)

0 180 360 540 720

0

fase

ampl

itude

(a)

0 180 360 540 720

0

fase

ampl

itude

(b)

0 180 360 540 720

0

fase

ampl

itude

(c)

Figura 2.12 - Formas de onda dos conversores gerada através de série de Fourier: (a) half-bridge simétrico ou push-pull; (b) half-bridge assimétrico; (c) full-bridge.

0 5 10 15 20 0

50

100

ampl

itude

harmônicas

(a)

0 5 10 15 20 0

50

100

ampl

itude

harmônicas

(b)

0 5 10 15 20 0

50

100

ampl

itude

harmônicas

(c)

Figura 2.13 – Espectros de freqüências dos conversores: (a) half-bridge simétrico ou push-pull; (b) half-bridge assimétrico; (c) full-bridge.

Observa-se que a diferença entre os conversores half-bridge simétrico e

assimétrico, somente é a componente contínua. O conversor full-bridge, em

relação ao conversor half-bridge ou push-pull, apresenta a diferença entre as

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33

harmônicas pares, sendo que o conversor half-bridge operando com razão cíclica

diferente de 0,5, não possui uma simetria, fazendo que estas harmônicas

apareçam, o que não ocorre com o conversor full-bridge, que sempre será

simétrico, em conseqüência não apresentando harmônicas pares.

2.5 EQUACIONAMENTO E CARACTEÍSTICA DOS FILTROS

Os reatores eletrônicos são compostos de filtros de saída, os quais

modelam as formas de onda geradas pelos inversores às necessidades de

funcionamento da lâmpada. O projeto do filtro de saída deve levar em conta

diversos fatores para um bom funcionamento da lâmpada e do conversor, entre

eles a taxa de distorção harmônica, a partida da lâmpada e as perdas do reator.

A taxa de distorção harmônica THD é a medida do conteúdo harmônico da

onda em relação a sua harmônica fundamental, que quer dizer o quanto a onda se

aproxima de uma senoide. Este fator tem uma contribuição no fator de crista da

lâmpada, o que influencia no tempo de vida útil da lâmpada e também mostra a

quantidade de harmônicas mais elevada que a fundamental que podem originar

interferência eletromagnética (EMI) através da lâmpada.

O projeto do filtro depende do tipo de partida adotada. A partida da

lâmpada pode ocorrer de três modos: partida instantânea, partida rápida e partida

chaveada ou com pré-aquecimento. Na partida instantânea a partida da lâmpada

depende exclusivamente do filtro, porque não possui aquecimento dos eletrodos,

sendo que a alta resistência da lâmpada (resistência equivalente da lâmpada fria),

só pode ser rompida por uma sobretensão gerada pelo filtro.

As perdas do reator estão concentradas nas chaves interruptoras e nos

indutores, sendo que grandes partes das perdas das chaves estão concentradas nas

perdas de comutação. O projeto do filtro nos possibilita fazer comutação suave

nas chaves ZVS.

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34

Neste item será desenvolvido um método de calculo para alguns filtros

existentes, utilizando o angulo entre a fundamental da tensão aplicada e a corrente

do filtro, o qual podemos adequar o projeto do filtro aos fatores acima citados.

2.5.1 Filtro LC Série

A configuração do filtro LC série de segunda ordem é mostrado na Figura

2.14, constituído de um indutor LS e um capacitor CS em série com a lâmpada. No

equacionamento do filtro a lâmpada é modelada por uma resistência equivalente,

para a simplificação dos cálculos. Este estudo mostrará o desenvolvimento de um

método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a

fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através deste adequar a

potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a partida da

lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto com o objetivo de ilustrar o

método e mostrar sua eficiência e simplicidade. O estudo do desempenho do filtro

será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar a

composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o

regime permanente e para a partida.

Figura 2.14 - Circuito LC série

2.5.1.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série

Para o método de projeto utilizando o filtro LC série, deve-se calcular a

impedância equivalente de entrada do circuito

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35

RC�j

1L�jZ

SS +

⋅⋅+⋅⋅= (2.19)

S

SSS2

C�

RC�jCL�jZ

⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅

= (2.20)

S

SS2

S

C�

1)LC(�jRC�

Z⋅

−⋅⋅⋅+⋅⋅= (2.21)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.22)

⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅

=

S

S

S

SS2

C�

RC�

C�

1)LC(�

arctanarg(Z) (2.23)

⋅⋅

−⋅⋅=

RC�

1LC�

arctanarg(Z)S

SS2

(2.24)

O ângulo da corrente é dado por

arg(i)=φ (2.25)

Z

Varg (2.26)

Considerando a tensão V com ângulo zero, o cálculo de φ não é relevante o

valor do módulo da tensão, tem-se a expressão

Z

1arg (2.27)

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36

arg(Z)−=φ (2.28)

⋅⋅

−⋅⋅−=φ

RC�

1LC�

arctanS

SS2

(2.29)

Como se utiliza o modelo resistivo equivalente para a lâmpada, pode-se

aproximar a potência real do circuito à potência consumida pela lâmpada.

Considera-se o valor eficaz da harmônica fundamental da tensão a1, que foi

calculado acima em (2.12), e calcula-se o seu valor RMS em (2.30). A potência da

lâmpada é calculada por

=

2

aV 1

ac (2.30)

=

Z

VReP

2ac (2.31)

Considerando-se Vac com ângulo zero, ele só possui componente real,

então o cálculo da potência real se resume a encontrar a parte real de 1/Z

[ ][ ][ ]1)LC(�jRC�

1)LC(�jRC�

1)LC(�jRC�

C�

Z

1

SS2

S

SS2

S

SS2

S

S

−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅= (2.32)

2SS

222S

2

SS2

S2

S2

1)LC(�RC�

1)LC(�C�jRC�

Z

1

−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

= (2.33)

−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

=

2SS

22S

2

2S

2

1)LC(�RC�

RC�

Z

1Re (2.34)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita

2SS

222S

2

2S

22

ac1)LC(�RC�

RC�

VP−⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅= (2.35)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.29) e (2.35).

Esta parte comum é atribuída a

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37

1)LC(�M SS2 −⋅⋅= (2.36)

As expressões (2.29) e (2.35) podem ser juntadas

⋅⋅

=φRC�

M-arctan

S

(2.37)

RC�

M)tan(

S ⋅⋅=φ− (2.38)

)tan(RC�M S φ−⋅⋅⋅= (2.39)

222S

2

2S

22

acMRC�

RC�

VP+⋅⋅

⋅⋅⋅= (2.40)

)(tanRC�RC�

RC�

VP222

S222

S2

2S

22

ac φ−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅= (2.41)

[ ])(tan1R

1VP 2

2ac φ−+⋅

⋅= (2.42)

RP

V)(tan1

2ac2

⋅=φ−+ (2.43)

1RP

V)(tan

2ac2 −⋅

=φ− (2.44)

⋅−=φ 1

RP

Varctan

2ac (2.45)

O equacionamento deste filtro nos mostra que para se obter a potência

desejada na saída pode-se utilizar dois ângulos. Sabendo os ângulos possíveis para

o projeto, deve-se encontrar os componentes do filtro

⋅⋅

−⋅⋅−=φ

RC�

1LC�

arctanS

SS2

(2.46)

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38

⋅⋅

−⋅⋅=φ−

RC�

1LC�

)tan(S

SS2

(2.47)

1LC�)tan(RC� SS2

S −⋅⋅=φ−⋅⋅⋅ (2.48)

1)tan(RC�LC� SSS2 +φ−⋅⋅⋅=⋅⋅ (2.49)

S2

SSS C

1)tan(RC)C(L

⋅ω+φ−⋅⋅⋅ω= (2.50)

A expressão (2.50) representa o valor do indutor do filtro LS em função do

capacitor do filtro CS. Para a determinação do valor do indutor deve-se escolher

um valor de projeto para o capacitor CS.

2.5.1.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 600 V;

Razão cíclica D = 0,4

Freqüência f = 50 kHz.

- Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

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39

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

257V2

aV ac

1ac ==

Determinam-se os ângulos para o projeto por (2.45).

°±=φ

⋅±=φ 671

RP

V-arctan

2ac

Pela equação (2.50) plota-se o gráfico de LS em função de CS.

Figura 2.15 - Gráfico da indutância em função da capacitância para os ângulos de defasagem -φ e φ

Escolhe-se um valor para o capacitor CS de forma que se obtenha um valor

adequado para o indutor LS, neste caso o valor escolhido é de 4,7 nF para o

capacitor, e pela equação (2.50) obtém-se os valores dos indutores.

LS(4,7 nF,-67°) = 4,04 mH

LS(4,7 nF,67°) = 0,273 mH

2.5.1.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

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40

2SS

222S

2

2S

22

ac)1LC(RC

RCV)f(P

−⋅⋅ω+⋅⋅ω⋅⋅ω

⋅= (2.51)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura

2.16 e Figura 2.17.

Figura 2.16 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida, utilizando ângulo de defasagem –67°

Figura 2.17 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida, utilizando ângulo de defasagem +67°

Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na

freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência

da partida possui um valor muito baixo.

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41

2.5.1.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro LC série é feita através das leis de circuitos elétricos

utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se visualizar a

forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de onda da entrada

fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas utilizando o princípio

da superposição. É definida a expressão de variáveis de estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.52)

O circuito da Figura 2.14 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

(t)V(t)iR(t)V(t)idt

dL SLsCsLsS =⋅++⋅ (2.53)

A corrente no capacitor é definida por

(t)Vdt

dC(t)i CsSLs ⋅= (2.54)

Pelas equações (2.53) e (2.54) pode-se escrever o filtro por vaiáveis de

estado

(t)V0

L

1

(t)V

(t)i

0C

1L

1

L

R

(t)V

(t)i

dt

dSS

Cs

Ls

S

SS

Cs

Ls ⋅

+

−−=

(2.55)

(t)V0

0

(t)V

(t)i

01

0R

)t(i

)t(VS

Cs

Ls

F

R ⋅

+

=

(2.56)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

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42

=

=

=

−−=

=

=

0

0D

01

0RC

0L

1B

0C

1L

1

L

R

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)iX(t)

S

S

SS

F

R

Cs

Ls

2.5.1.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A

s(A)autovalorer = (2.57)

)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.58)

Onde r é os autovalores da matriz A. A é de ordem 2 portanto r possui dois

valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado. Cada coluna

dos autovetores é associada a um autovalor.

ξξξξ

=

1110

0100

1

0

)r()r(

)r()r(

r

rr (2.59)

A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela

equação(2.60), onde Kc0 e Kc1 são constantes que serão determinadas no decorrer

do desenvolvimento.

⋅⋅

⋅ξ=ψ ⋅

tr1

tr0

1

0

eKc

eKc)t( (2.60)

2.5.1.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema

)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.61)

A resposta forçada (2.61), pode ser representada por

)tsen(Kb

Kb)tcos(

Ka

Ka

)t(V

)t(i

1

0

1

0

CsP

LsP ⋅ω⋅

+⋅ω⋅

=

(2.62)

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43

onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t) e VCsp(t) a resposta particular de

VCs(t). Ka e Kb são constantes que devem ser determinadas. A derivada da

resposta forçada é

)tcos(Kb

Kb)tsen(

Ka

Ka

)t(V

)t(i

dt

d

1

0

1

0

CsP

LsP ⋅ω⋅

⋅ω+⋅ω⋅

⋅ω−=

(2.63)

Substituindo(2.62) e (2.63) em (2.55) obtém-se

)sen()cos((0

1

)sen()cos(

)cos()sen(

1

0

1

0

1

0

1

0

tbtaL

tKb

Kbt

Ka

KaA

tKb

Kbt

Ka

Ka

⋅⋅+⋅⋅⋅

+

⋅⋅

+⋅⋅

=⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅−

ωω

ωω

ωωωω

(2.64)

Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da

entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e

os que envolvem cossenos, obtendo-se as igualdades

⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−

⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−

aBKaAKb

bBKbAKa

aBKaAKb

bBKbAKa (2.65)

Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se

bB

B

KbAKbA

KbAKbA

Ka

Ka

aB

B

KaAKaA

KaAKaA

Kb

Kb

1

0

11,100,1

11,000,0

1

0

1

0

11,100,1

11,000,0

1

0

=

⋅+⋅⋅+⋅

⋅ω−

=

⋅+⋅⋅+⋅

⋅ω

(2.66)

reorganizando as matrizes de (2.66) e isolando os termos Ka e Kb têm-se

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44

⋅⋅⋅⋅

=

⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−

⋅ω⋅−⋅−⋅ω⋅−⋅−

bB

bB

aB

aB

KbAKbAKa0

KbAKbA0Ka

Kb0KaAKaA

0KbKaAKaA

1

0

1

0

11,100,11

11,000,00

111,100,1

011,000,0

(2.67)

⋅⋅⋅⋅

=

−−ω−−−ω−

ω−−ω−−

bB

bB

aB

aB

Kb

Kb

Ka

Ka

AA0

AA0

0AA

0AA

1

0

1

0

1

0

1

0

1,10,1

1,00,0

1,10,1

1,00,0

(2.68)

Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da

resposta particular

⋅⋅⋅⋅

−−ω−−−ω−

ω−−ω−−

=

bB

bB

aB

aB

AA0

AA0

0AA

0AA

Kb

Kb

Ka

Ka

1

0

1

0

1

1,10,1

1,00,0

1,10,1

1,00,0

1

0

1

0

(2.69)

Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um

Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.

Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da

resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por

( )∑∞

=⋅

⋅ω⋅+⋅ω⋅+

⋅⋅

⋅ξ=1n

nntr1

tr0 )tsen(Kb)tcos(Ka

eKc

eKc)t(X

1

0

(2.70)

Considerando as condições iniciais iLs(0) e VCs(0) pode-se igualar a

reposta geral com tempo zero.

∑∞

=

+

⋅ξ=

1nn

1

0 KaKc

Kc)0(X (2.71)

Calculam-se as constantes a partir de (2.71) em

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45

−⋅ξ=

∑∞

=

1nn

1

1

0 Ka)0(XKc

Kc (2.72)

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

( ) ( )R

2

KbKaP

2

1n

2n,0

2n,0 ⋅

+= ∑

=

(2.73)

Verifica-se a partir de (2.73) a potência de 40,433 e 83,055 para regime

permanente e a potência de partida de 0,00034 e 0,00034 para os ângulos de

defasagem –67º e 67º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular

descrita em (2.61), na qual é plotado a harmônica fundamental na Figura 2.18 e

Figura 2.19 para os dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de

defasagem e na Figura 2.20 e Figura 2.21 é plotado para 199 harmônicas. Para a

análise da partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.70), sendo

plotado na Figura 2.22 e Figura 2.23 para os dois ângulos do exemplo para 19

harmônicas.

Figura 2.18 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de –67°

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46

Figura 2.19 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de +67°

Figura 2.20 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de –67°

Figura 2.21 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de defasagem de

+67°

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47

Figura 2.22 – forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –67°

Figura 2.23 – forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +67°

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,

para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro

de freqüência da saída por (2.74) e plotado nas Figura 2.24 e Figura 2.25.

( ) ( )100

a

RKbKaGF

1

2n,0

2n,0

n ⋅⋅+

= (2.74)

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48

(a)

(b)

Figura 2.24 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.25 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.1.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado

que para o ângulo de projeto de –67° se obteve um valor de potência muito

próximo ao de projeto, mas para o ângulo de projeto de +67° não apresentou uma

potência próxima à de projeto, devido ao grande número de harmônicas na saída,

na qual pode ser observado na forma de onda da saída (Figura 2.21) e no espectro

de freqüência (Figura 2.25 (a)). As características de partida da lâmpada não

foram obtidas para este nível de tensão, sendo que só se pode obter a partida

instantânea da lâmpada se o valor de tensão da entrada do filtro for elevada, o que

não é comum. O emprego deste filtro requer determinadas características o que o

torna não muito empregado.

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49

2.5.2 Filtro L Série C Paralelo

A configuração do filtro L série C paralelo de segunda ordem é mostrado

na Figura 2.26, constituído de um indutor LS em série e um capacitor Cp em

paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma maneira que no filtro

LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o desenvolvimento do

método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a

fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através deste adequar a

potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a partida da

lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de ilustrar o

método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro será feito

através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-se a

composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o

regime permanente e para a partida.

Figura 2.26 - Circuito L série C paralelo

2.5.2.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série C paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro L série C paralelo, deve-se

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

PS Z�LjZ +⋅⋅= (2.75)

Onde ZP é definido por

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50

ω⋅⋅+= PP

CjR

1

Z

1 (2.76)

ω⋅⋅⋅+=

PP CRj1

RZ (2.77)

)CRj1(

)CRj1(

CRj1

RZ

P

P

PP ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅−⋅

ω⋅⋅⋅+= (2.78)

22P

2

PP

CR1

)CRj1(RZ

ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−⋅

= (2.79)

A expressão total da impedância de entrada é dada por

22P

2

PS

CR1

)CRj1(RLjZ

ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−⋅

+ω⋅⋅= (2.80)

( )[ ]22

P2

P22

P2

S

CR1

CRCR1LjRZ

ω⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+

= (2.81)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.82)

( )

ω⋅⋅+

ω⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅

=

22P

2

22P

2

P22

P2

S

CR1

RCR1

CRCR1L

arctanarg(Z) (2.83)

( )

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅=

R

CRCR1Larctanarg(Z) P

22P

2S (2.84)

De maneira análoga à calculada para o filtro LC série, φ assume a

expressão

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51

( )

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅−=φ

R

CRCR1Larctan P

22P

2S (2.85)

De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte

real de 1/Z

[ ]ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+

ω⋅⋅+=

P22

P2

S

22p

2

CR)CR1(LjR

CR1

Z

1 (2.86)

Multiplicando a expressão (2.86) pelo seu conjugado e separando a sua

parte real tem-se

[ ]2

P22

P2

S2

22P

2

CR)CR1(LR

)CR1(R

Z

1Re

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+

ω⋅⋅+⋅=

(2.87)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por

[ ]2

P22

P2

S2

22P

22

ac

CR)CR1(LR

)CR1(RVP

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+

ω⋅⋅+⋅⋅= (2.88)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.85) e (2.88).

Esta parte comum é atribuída a

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅= P22

P2

S CR)CR1(LM (2.89)

As expressões (2.85) e (2.88) podem ser juntadas

R

M-arctan (2.90)

)tan(RM φ−⋅= (2.91)

22

22P

22

ac MR

)CR(1RVP

+ω⋅⋅+⋅⋅= (2.92)

[ ]22

22P

22

ac)tan(-RR

)CR(1RVP

φ⋅+ω⋅⋅+⋅

⋅= (2.93)

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52

[ ])(tan1R

)CR(1VP

2

22P

22

ac φ−+⋅ω⋅⋅+

⋅= (2.94)

[ ])CR1(

V

)(tan1RP 22P

22

ac

2

ω⋅⋅+=φ−+⋅⋅ (2.95)

[ ]1

V

)(tan1RPCR

2ac

222

P2 −φ−+⋅⋅=ω⋅⋅ (2.96)

[ ]1

V

)(tan1RP

R

1)(C

2ac

2

P −φ−+⋅⋅ω⋅

=φ (2.97)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do capacitor paralelo

CP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e

potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas

equações (2.89) e (2.91) encontra-se o valor de LS

( ) ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅=φ−⋅ P222

P2

S CRCR1L)tan(R (2.98)

( ))CR1(

CR)tan(RL

22P

2

P2

Sω⋅⋅+⋅ω

ω⋅⋅+φ−⋅=φ (2.99)

A expressão (2.99) representa o valor do indutor do filtro LS em função do

capacitor do filtro CP, como CP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ deve

ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.2.2 Análise do Desempenho do Filtro L Série C paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda através de variáveis de estado para cada harmônica, e pelo

princípio da superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

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53

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4;

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W;

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Calcula-se o valor RMS da fundamental calculada em (2.12) por

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.97) e (2.99) pode-se construir o gráfico do valor do

capacitor CP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras

Figura 2.27 e Figura 2.28 respectivamente

Figura 2.27 - Gráfico do valor do capacitor paralelo CP em função do ângulo de defasagem φ

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54

Figura 2.28 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ

A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na

partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura

2.29.

Figura 2.29 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem

Pode-se observar na Figura 2.29 que a potência em regime permanente

permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a

potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do

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55

ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as

necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo

que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolhe-

se o ângulo de defasagem negativo, para garantir ZVS e próximo a zero, porque

tem um menor valor de corrente quando ocorrer a comutação.

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O

ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.29 é -35º.

Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,

podem ser obtidos através das equações (2.97) e (2.99) ou graficamente pelas

Figura 2.27 e Figura 2.28. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o

ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os seguintes

valores dos componentes

CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 527,7 µH

CP(+35º) = 19,66 nF LS(+35º) = 198,4 µH

2.5.2.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

[ ]2

P222

P2

S2

22P

22

ac

CR)CR1(LR

)CR1(RV)f(P

ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+

ω⋅⋅+⋅⋅= (2.100)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura

2.30 e Figura 2.31.

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56

Figura 2.30 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°

Figura 2.31 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°

Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na

freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência

da partida para o ângulo de defasagem de –35º possui um valor elevado e para o

ângulo de +35º possui um valor muito baixo na partida.

2.5.2.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro L série C paralelo é feita através das leis de circuitos

elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se

visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de

onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas

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57

utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de

estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.101)

O circuito da Figura 2.26 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

(t)V(t)V(t)idt

dL SCpLsS =+⋅ (2.102)

Pela Lei das correntes de Kirchoff tem-se

)t(iR

(t)V(t)V

dt

dC Ls

Cp

CpP =+⋅ (2.103)

Pelas equações (2.102) e (2.103) pode-se escrever o filtro por vaiáveis de

estado

(t)V0

L

1

(t)V

(t)i

CR

1-

C

1L

10

(t)V

(t)i

dt

dSS

Cp

Ls

PP

S

Cp

Ls ⋅

+

−=

(2.104)

(t)V0

0

(t)V

(t)i

01

10

)t(i

)t(VS

Cp

Ls

F

R ⋅

+

=

(2.105)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

=

=

=

−=

=

=

0

0D

01

10C

0L

1B

CR

1-

C

1L

10

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)iX(t)

S

PP

S

F

R

Cp

Ls

2.5.2.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do

filtro LC série, porque os dois filtros são de mesma ordem.

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58

2.5.2.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série, o cálculo

desenvolve-se de maneira similar.

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

( ) ( )R1

2

KbKaP

2

1n

2n,1

2n,1 ⋅

+= ∑

=

(2.106)

Verifica-se a partir de (2.106) a potência de 40,164 e 43,268 para regime

permanente e a potência de partida de 30,578 e 0,053 para os ângulos de

defasagem –35º e 35º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na

qual é plotado nas Figura 2.32 e Figura 2.33 a harmônica fundamental para os

dois ângulos do exemplo, para verificar-se o ângulo de defasagem e na Figura

2.34 e Figura 2.35 é plotado para 199 harmônicas. Para a análise da partida deve-

se considerar a resposta geral, plotada nas Figura 2.36 e Figura 2.37 para os dois

ângulos do exemplo para 19 harmônicas.

Figura 2.32 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de –35°

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59

Figura 2.33 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de +35°

Figura 2.34 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de –67°

Figura 2.35 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°

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60

Figura 2.36 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°

Figura 2.37 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,

para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro

de freqüência da saída por (2.107) e plotado nas Figura 2.38 e Figura 2.39 para os

dois ângulos de projeto.

( ) ( )100

a

KbKaGF

1

2n,1

2n,1

n ⋅+

= (2.107)

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61

(a)

(b)

Figura 2.38 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.39 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.2.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado

que para os ângulos de projeto se obteve um valor de potência em regime

permanente muito próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido

da saída. No projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º obteve-se elevado

ganho de tensão na partida, o que possibilitaria a partida instantânea da lâmpada.

Para o ângulo de +35º foi obtido ganhos pequenos na partida, o que não

possibilitaria a partida instantânea. Este filtro possui a desvantagem de não

eliminar a componente contínua, o que não seria bom para o funcionamento da

lâmpada.

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62

2.5.3 Filtro C Série LC Paralelo

A configuração do filtro C série LC paralelo de segunda ordem é mostrado

na Figura 2.40, constituído de um capacitor CS em série, uma capacitor CP e um

indutor Lp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma maneira

que o filtro LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o

desenvolvimento do método de projeto baseado no ângulo de defasagem da

corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através

deste adequar a potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a

partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de

ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro

será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar a

composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o

regime permanente e para a partida.

Figura 2.40 - Circuito L série LC paralelo

2.5.3.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série LC paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro L série LC paralelo, deve-se

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

�Cj

1ZZ

SP ⋅⋅

+= (2.108)

Onde ZP é definido por

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63

ω⋅−ω⋅⋅+=

PP

P L

jCj

R

1

Z

1 (2.109)

RjLCRjL

LRZ

2PPP

PP ⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅

ω⋅⋅= (2.110)

( )( )[ ]( )[ ]RLCRjL

RLCRjL

RLCRjL

LRZ

2PPP

2PPP

2PPP

PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅

ω⋅⋅= (2.111)

( )( )RLCRL

RLCRLRjLRZ

2PP

22P

2PPP

22P

P −ω⋅⋅⋅+ω⋅−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.112)

A expressão total da impedância de entrada é dada por

( )( ) ω⋅

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅=S

2PP

22P

2PPP

22P

C

j

RLCRL

RLCRLRjLRZ (2.113)

( )[( )[ ]

( )]( )[ ]22

PP22

PS

22PP

22P

22PP

22PS

2PP

2PS

22PS

RLCRLC

RLCRL

RLCRLC

LCRRLCRjLCRZ

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅

−ω⋅⋅⋅−ω⋅−+

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅

ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅=

(2.114)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.115)

( )

( )

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=

32PS

22PP

32PS

22P

2PP

2PS

LCR

RLCR

LCR

LLCRRLCRarctanarg(Z)

(2.116)

De maneira análoga à calculada para o filtro LC série, φ assume a

expressão

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64

( )

( )

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅−=φ

32PS

22PP

32PS

22P

2PP

2PS

LCR

RLCR

LCR

LLCRRLCRarctan

(2.117)

De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte

real de 1/Z

( )[ ]( )[

( ) ]22PP

22P

2PP

2PS

32PS

22PP

22PS

RLCRL

LCRRLCRjLCR

RLCRLC

Z

1

−ω⋅⋅⋅−ω⋅−

ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=

(2.118)

Multiplicando a expressão (2.118) pelo seu conjugado e separando a sua

parte real tem-se

( )( )( )[

( ) ]222PP

22P

2PP

2PS

264P

2S

2

22PP

22P

42P

2S

RLCRL

LCRRLCRLCR

RLCRLLCR

Z

1Re

−ω⋅⋅⋅−ω⋅−

ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

=

(2.119)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por

( )( )( )[

( ) ]222PP

22P

2PP

2PS

264P

2S

2

22PP

22P

42P

2S2

ac

RLCRL

LCRRLCRLCR

RLCRLLCRVP

−ω⋅⋅⋅−ω⋅−

ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.120)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.117) e

(2.120). Esta parte comum é atribuída a

( )( )22

PP

22P

2PP

2PS

2

RLCR

LLCRRLCRM

−ω⋅⋅⋅−

ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅= (2.121)

As expressões (2.117) e (2.120) podem ser juntadas

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65

ω⋅⋅⋅=φ

32PS LCR

M-arctan (2.122)

)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.123)

( )( )264

P2

S2

22PP

22P

42P

2S2

acMLCR

RLCRLLCRVP

+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.124)

( )( )( )232

PS64

P2

S2

22PP

22P

42P

2S2

ac

)tan(LCRLCR

RLCRLLCRVP

φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅= (2.125)

( )( )[ ])(tan1LCR

RLCRLLCRVP

264P

2S

2

22PP

22P

42P

2S2

ac φ−+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.126)

[ ] [( ) ]22

PP

22P

2ac

222P

RLCR

LV)(tan1LRP

−ω⋅⋅⋅+

ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.127)

[ ] ()22

PP2

22P

2P

222P

2ac

222P

RLCR2

LCRLV)(tan1LRP

+ω⋅⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.128)

( )[ ]{ }( ) 0RVCRV2L

CRVV)(tan1RPL22

ac2

P22

acP

22P

22ac

22ac

222P

=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅+

ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.129)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo

LP é uma expressão de segunda ordem, na qual depende do valor da resistência

equivalente da lâmpada R, da freqüência ω, potência P de operação e um valor de

CP, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas equações (2.121) e

(2.123) encontra-se o valor de CS

( )( )22

PP22

P

2PP

2PS

32PS

RLCRL

LCRRLCR)tan(LCR

−ω⋅⋅⋅−ω⋅−

ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.130)

( )[ ]( )22

PP22

P

32P

2PP

2PS

RLCRL

)tan(LRLCRRLRC

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

=φ−⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅ (2.131)

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66

( )( ) )tan(LR-LCR-RLR

RLCRL)(C

32P

2PP

2P

2

22PP

22P

S φ−⋅ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅

=φ (2.132)

A expressão (2.132) representa o valor do capacitor do filtro CS em função

do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, CS é função de φ. O valor de φ

deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.3.2 Análise do Desempenho do Filtro C Série LC paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e por variáveis

de estado obter suas formas de onda para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

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67

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.129) e (2.132) pode-se construir dois gráficos para os

valores do indutor LP, mostrados nas Figura 2.41 e Figura 2.42 e dois gráficos

para os valores do capacitor CS em função do ângulo de defasagem φ, mostrados

nas Figura 2.43 e Figura 2.44. Os dois gráficos gerados para os valores de LP e CS

são devido a expressão de LP ser de segunda ordem.

Figura 2.41 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ para a primeira resposta

Figura 2.42 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ para a segunda resposta

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68

Figura 2.43 - Gráfico do valor do capacitor série CS em função do ângulo de defasagem φ para a primeira resposta

Figura 2.44 - Gráfico do valor do capacitor série CS em função do ângulo de defasagem φ para a segunda resposta.

O ângulo de defasagem φ deve ser escolhido para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelos gráficos das potências do

filtro, na partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ,

Figura 2.45 e Figura 2.46.

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69

Figura 2.45 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem para a primeira resposta

Figura 2.46 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem para segunda resposta

Pode-se observar nas Figura 2.45 e Figura 2.46 que a potência em regime

permanente permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ,

no entanto a potência na partida possui um valor elevado para uma determinada

faixa do ângulo de defasagem para cada valor de capacitor CP. Para o projeto

deve-se escolher o ângulo de acordo com as necessidades, sendo que para uma

partida instantânea deve-se escolhe um ângulo que possui uma potência elevada

na partida, e para a redução das perdas escolhe-se o ângulo de defasagem negativo

e próximo a zero.

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O

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70

ângulo de projeto escolhido graficamente pelas Figura 2.45 e Figura 2.46 pode ser

tanto –35 quanto +35, dependendo da resposta e do valor do capacitor CP

escolhido. A escolha de um projeto pode não ser adequada, porque pode resultar

em valores negativos dos componentes. Para a escolha na primeira resposta do

capacitor CP=10nF e ângulo de defasagem de –35º ou +35º possuem valores

negativos para os componentes calculados, para a escolha na segunda resposta do

capacitor CP=100nF e ângulos de defasagem de –35º e +35º possuem valores

negativos para os cálculos dos capacitores CS.

Possuindo o ângulo de projeto, e para a primeira resposta com o capacitor

CP =100nF e para a segunda resposta com o capacitor CP =10nF os valores dos

componentes do filtro, podem ser obtidos através das equações (2.129) e (2.132)

ou graficamente para a primeira resposta pelas Figura 2.41 e Figura 2.43 e para a

segunda resposta pelas Figura 2.42 e Figura 2.44. No exemplo ilustra-se o projeto

para dois ângulos, o ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico,

obtendo-se os valores

CP = 100 nF CS(-35º) = 51,06 nF LP(-35º) = 84,67 µH

CP = 100 nF CS(+35º) = 19,2 nF LP(+35º) = 84,67 µH

CP = 10 nF CS(-35º) = 51,06 nF LP(-35º) = 341,6 µH

CP = 10 nF CS(+35º) = 19,2 nF LP(+35º) = 341,6 µH

2.5.3.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

( )[ ]( )[

( ) ]222PP

22P

2PP

2PS

64P

2S

2

22PP

22P

42P

2S2

ac

RLCRL

RLCRLCRLCR

RLCRLLCRV)f(P

−ω⋅⋅⋅+ω⋅+

+−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅=

(2.133)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

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71

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para as duas respostas e para os dois

ângulos de projetos, mostrado nas Figura 2.47, Figura 2.48, Figura 2.49 e Figura

2.50.

Figura 2.47 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a primeira resposta com CP =100 nF utilizando

ângulo de defasagem –35°

Figura 2.48 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a primeira resposta com CP =100 nF utilizando

ângulo de defasagem +35°

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72

Figura 2.49 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para segunda resposta com CP =10 nF utilizando

ângulo de defasagem -35°

Figura 2.50 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a segunda resposta com CP =10 nF utilizando

ângulo de defasagem +35°

Pode-se observar nos gráfico que para as duas respostas e para os dois

ângulos de projeto, na freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de

projeto, no entanto a potência da partida só é obtida para o ângulo de +35º para as

duas respostas.

2.5.3.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro C série LC paralelo é feita através das leis de circuitos

elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem podemos

visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de

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73

onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas

utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de

estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.134)

O circuito da Figura 2.40 é equacionado pela lei das correntes de Kirchoff

[ ] 0)t(i)t(VR

1)t(V

dt

dC)t(V)t(V

dt

dC LpCpCpPSCpS =+⋅+⋅+−⋅ (2.135)

Pela definição da tensão no indutor tem-se

)t(V(t)idt

dL CpLpP =⋅ (2.136)

Pela definição da corrente no capacitor série tem-se

)t(Vdt

dC(t)i CpPCp ⋅= (2.137)

Isolando dVCp(t)/dt na equação (2.135) e substituindo na equação (2.137)

tem-se

( ) )t(Vdt

d

CC

CC)t(V

CCR

C)t(i

CC

C(t)i S

PS

PSCp

PS

PLp

PS

PCp ⋅

+⋅+⋅

+⋅−⋅

+−= (2.138)

Pela equação das correntes de Kirchoff obtém-se a expressão para a

corrente série do filtro

)t(i)t(i)t(VR

1(t)i CpLpCpS ++= (2.139)

Pelas equações (2.136), (2.137), (2.138) e (2.139) pode-se escrever o filtro

por vaiáveis de estado

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74

(t)VCC

C0

(t)V

(t)i

)CC(R

1-

CC

1L

10

(t)V

(t)i

dt

dS

PS

S

Cp

Lp

PSPS

P

Cp

Lp ⋅

++

+⋅+−

=

(2.140)

(t)Vdt

d

CC

CC0

(t)V

(t)i

CC

C1

R

1

CC

C-1

10

)t(i

)t(V

S

PS

PS

Cp

Lp

PS

P

PS

P

F

R

+⋅+

+

+

−⋅+

=

(2.141)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

+⋅=

+

−⋅⋅+

=

+=

+⋅+−

=

=

=

PS

PS

PS

P

PS

P

PS

S

PSPS

P

F

R

Cp

Lp

CC

CC0

DCC

C1

R

1

CC

C-1

10C

CC

C0

B

)CC(R

1-

CC

1L

10

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)iX(t)

2.5.3.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do

filtro LC série, porque os dois filtros são de mesma ordem.

2.5.3.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série, o cálculo

desenvolve-se de maneira similar.

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

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75

R

1

2

KbKaP

2

1n

2n,1

2n,1 ⋅

+= ∑

=

(2.142)

Verifica-se a partir de (2.142) a potência de 40,758; 40,184; 44,224 e

42,967 para regime permanente e a potência de partida de 0,047; 30,577; 0,051 e

30,58 para a primeira resposta com os ângulos de defasagem –35º e 35º e para a

segunda resposta com os ângulos de defasagem de –35º e +35º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular , na

qual é plotado nas Figura 2.51 e Figura 2.52 para a primeira resposta com os dois

ângulos do exemplo a harmônica fundamental, para verificarmos o ângulo de

defasagem e nas Figura 2.53, Figura 2.54, Figura 2.55 e Figura 2.56 é plotado

para 199 harmônicas para os quatro projetos do exemplo. Para a análise da partida

deve-se considerar a resposta geral, na qual são plotadas nas Figura 2.57, Figura

2.58, Figura 2.59 e Figura 2.60 para as duas respostas com os dois ângulos do

exemplo para 19 harmônicas.

Figura 2.51 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro para a primeira resposta com ângulo de defasagem de –35°

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Figura 2.52 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro para a primeira resposta com ângulo de defasagem de +35°

Figura 2.53 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a primeira resposta, CP=100nF, com

ângulo de defasagem de –67°

Figura 2.54 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a primeira resposta, CP=100nF, com

ângulo de defasagem de +67°

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77

Figura 2.55 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a segunda resposta, CP=10nF, com

ângulo de defasagem de –67°

Figura 2.56 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a segunda resposta, CP=10nF, com

ângulo de defasagem de +67°

Figura 2.57 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de defasagem –35°

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Figura 2.58 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de defasagem +35°

Figura 2.59 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a segunda resposta, CP=10nF com ângulo de defasagem –35°

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Figura 2.60 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de defasagem +35°

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para as duas respostas, com os

dois ângulos de projeto, para regime permanente e para a partida da lâmpada,

sendo calculado o espectro de freqüência da saída por (2.143) e plotado nas Figura

2.61, Figura 2.62, Figura 2.63 e Figura 2.64.

( ) ( )100

a

KbKaGF

1

2n,1

2n,1

n ⋅+

= (2.143)

(a)

(b)

Figura 2.61 – Espectro de freqüência do filtro para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

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80

(a)

(b)

Figura 2.62 – Espectro de freqüência do filtro para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.63 – Espectro de freqüência do filtro para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.64 – Espectro de freqüência do filtro para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.3.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída para regime permanente, o que

foi observado para os quatro exemplos. A condição de partida instantânea só foi

cumprida pelos projetos utilizando ângulo de defasagem de + 35º, sendo que o

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81

projeto para a primeira resposta teve um menor conteúdo harmônico em regime

permanente. Os dois projetos para a partida instantânea com ângulo de defasagem

de +35º, não realizam comutação ZVS. Este tipo de filtro pode cumprir somente

uma das condições, ou partida instantânea ou comutação ZVS, o que o torna não

utilizado em reatores eletrônicos.

2.5.4 Filtro LC Série C Paralelo

A configuração do filtro LC série C paralelo de terceira ordem é mostrado

na Figura 2.65, constituído de um indutor LS, um capacitor CS em série e um

capacitor CP paralelo com a lâmpada. No equacionamento do filtro a lâmpada é

modelada por uma resistência equivalente, para a simplificação dos cálculos. Este

estudo mostrará o desenvolvimento de um método de projeto, baseado no ângulo

de defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada,

procurando através deste adequar a potência na saída em regime permanente e

elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de

projeto com o objetivo de ilustrar o método, mostrar sua eficiência e simplicidade.

O estudo do desempenho do filtro será feito através do equacionamento por

variáveis de estado, podendo visualizar-se a composição harmônica da saída do

filtro e a forma de onda de tensão para o regime permanente e para a partida.

Figura 2.65 - Circuito LC série C paralelo

2.5.4.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série C paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro LC série C paralelo, deve-se

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82

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

PS ZZZ += (2.144)

A impedância paralela é calculada por

ω⋅⋅+= PP

CjR

1

Z

1 (2.145)

R

CRj1

Z

1 P

P

ω⋅⋅⋅+= (2.146)

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−

⋅ω⋅⋅⋅+

=P

P

PP CRj1

CRj1

CRj1

RZ (2.147)

22P

2

P2

PCR1

CRjRZ

ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−= (2.148)

A impedância série é dada por

ω⋅−ω⋅⋅=

SSS C

jLjZ (2.149)

ω⋅−ω⋅⋅⋅

=S

2SS

S C

jLCjZ (2.150)

Substituindo (2.148) e (2.149) em (2.144) tem-se

( )22

P2

P2

S

2SS

CR1

CRjR

C

1LCjZ

ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−

+ω⋅

−ω⋅⋅⋅= (2.151)

( ) ( ) ( )( )22

P2

S

P2

S22

P22

SS

CR1C

CRjRCCR11LCjZ

ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅+ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅= (2.152)

( )( ) ( )

( )

ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅

⋅+

+ω⋅⋅−⋅ω⋅

ω⋅⋅=

22P

2S

2PS

222P

22SS

22P

2S

S

CR1C

CCRCR11LCj

CR1C

CRZ

(2.153)

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83

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.154)

( ) ( )

ω⋅⋅

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅=

S

2PS

222P

22SS

CR

CCRCR11LCarctanarg(Z) (2.155)

De maneira análoga a do filtro LC série, o ângulo de defasagem da

corrente é dado por

( ) ( )

ω⋅⋅

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅−=φ

S

2PS

222P

22SS

CR

CCRCR11LCarctan (2.156)

De maneira similar a do filtro LC série é calculada a potência da lâmpada

por

( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]2

PS222

P22

SSS

2PS

222P

22SSS

2PS

222P

22SSS

22P

2S

CCRCR11LCjCR

CCRCR11LCjCR

CCRCR11LCjCR

CR1C

Z

1

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅

⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅

ω⋅⋅−⋅ω⋅=

(2.157)

( )

( ) ( )[ ]

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+

+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅

=

22PS

222P

22SS

22S

2

22P

222S

CCRCR11LC

CR

CR1CR

Z

1Re

(2.158)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por

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84

( )

( ) ( )[ ]

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+

+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅

⋅=

22PS

222P

22SS

22S

2

22P

222S2

ac

CCRCR11LC

CR

CR1CRVP

(2.159)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.156) e

(2.159). Esta parte comum é atribuída a

( ) ( ) 2PS

222P

22SS CCRCR11LCM ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅= (2.160)

As expressões (2.156) e (2.159) podem ser juntadas

ω⋅⋅

=φSCR

M-arctan (2.161)

)tan(CRM S φ−⋅ω⋅⋅= (2.162)

222S

2

22P

222S2

acMCR

)CR(1CRVP

+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅

⋅= (2.163)

[ ]2S

22S

2

22P

222S2

ac)tan(-CRCR

)CR(1CRVP

φ⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅

⋅= (2.164)

[ ])(tan1R

CR1VP

2

22P

22

ac φ−+⋅ω⋅⋅+

⋅= (2.165)

[ ] 22P

2

2ac

2

CR1V

)(tan1RPω⋅⋅+=φ−+⋅⋅

(2.166)

[ ]1

V

)(tan1RPCR

2ac

222

P2 −φ−+⋅⋅=ω⋅⋅ (2.167)

[ ]1

V

)(tan1RP

R

1)(C

2ac

2

P −φ−+⋅⋅⋅ω⋅

=φ (2.168)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do capacitor paralelo

CP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e

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85

potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas

equações (2.160) e (2.162) encontra-se o valor de LS

( ) ( ) 2PS

222P

22SSS CCRCR11LC)tan(-CR ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅=φ⋅ω⋅⋅ (2.169)

( ) ( ) 2PS

2S

22P

22SS CCR)tan(-CRCR11LC ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅ (2.170)

( ))CR1(

CCR)tan(-CR1LC

22P

2

2PS

2S2

SSω⋅⋅−

ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=−ω⋅⋅ (2.171)

1)CR1(

CCR)tan(-CRLC

22P

2

2PS

2S2

SS +ω⋅⋅−

ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=ω⋅⋅ (2.172)

2S

22P

22S

2PS

2S

SC

1

)CR1(C

CCR)tan(-CR)(L

ω⋅+

ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅

=φ (2.173)

A expressão (2.173) representa o valor do indutor do filtro LS em função

da resistência equivalente, da freqüência angular ω, do capacitor do filtro CP e um

valor de projeto para o capacitor CS. O valor de φ deve ser escolhido para que um

desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.4.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série C paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4

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86

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.168) e (2.173) pode-se construir o gráfico do valor do

capacitor CP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras

Figura 2.66 e Figura 2.67 respectivamente

Figura 2.66 - Gráfico do valor do capacitor paralelo CP em função do ângulo de defasagem φ

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87

Figura 2.67 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ, para vários valores de CS.

A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na

partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura

2.68.

Figura 2.68 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem

Pode-se observar na Figura 2.68 que a potência em regime permanente

permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a

potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do

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88

ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as

necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo

que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolher-

o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O

ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.68 é -35º.

Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro

podem ser obtidos através das equações (2.168) e (2.173) ou graficamente pelas

Figura 2.66 e Figura 2.67. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o

ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os seguintes

valores dos componentes

Cs=100nF CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 629 µH

Cs=100nF CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 299,8 µH

2.5.4.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

( )

( ) ( )[ ]

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+

+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅

⋅=

22PS

222P

22SS

22S

2

22P

222S2

ac

CCRCR11LC

CR

CR1CRVP(f)

(2.174)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura

2.69 e Figura 2.70.

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89

Figura 2.69 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°

Figura 2.70 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°

Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na

freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto só se

obtém a partidas instantânea para o ângulo de projeto de –35º.

2.5.4.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro LC série é feita através das leis de circuitos elétricos

utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se visualizar a

forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de onda da entrada

fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas utilizando o princípio

da superposição. É definida a expressão de variáveis de estado

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90

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.175)

O circuito da Figura 2.65 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

(t)V(t)V(t)V(t)idt

dL SCpCsLsS =++⋅ (2.176)

Pela lei das correntes de Kirchoff tem-se

(t)iR

)t(V(t)V

dt

dC Ls

Cp

CpP =+⋅ (2.177)

A corrente no capacitor é definida por

(t)i(t)Vdt

dC LsCsS =⋅ (2.178)

Pelas equações (2.176), (2.177) e (2.178) pode-se escrever o filtro por

vaiáveis de estado

(t)V

0

0L

1

(t)V

(t)V

(t)i

00C

1

0CR

1

C

1L

1

L

10

(t)V

(t)V

(t)i

dt

dS

S

Cs

Cp

Ls

S

PP

SS

Cs

Cp

Ls

+

⋅−

−−

=

(2.179)

(t)V0

0

(t)V

(t)V

(t)i

001

010

)t(i

)t(VS

Cs

Cp

Ls

F

R ⋅

+

=

(2.180)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

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91

=

=

=

⋅−

−−

=

=

=

0

0D

001

010C

0

0L

1

B

00C

1

0CR

1

C

1L

1

L

10

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)V

(t)i

X(t)

S

S

PP

SS

F

R

Cs

Cp

Ls

2.5.4.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A

s(A)autovalorer = (2.181)

)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.182)

Onde r é os autovalores da matriz A, como A é de ordem 3, r possui três

valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado, cada coluna

dos autovetores é associada a um autovalor.

ξξξξξξξξξ

=

222120

121110

020100

2

1

0

)r()r()r(

)r()r()r(

)r()r()r(

r

r

r

r (2.183)

A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela equação

(2.184), onde Kc0, Kc1 e Kc2 são constantes que serão determinadas no decorrer

do desenvolvimento.

⋅⋅⋅

⋅ξ=ψ⋅

tr2

tr1

tr0

2

1

0

eKc

eKc

eKc

)t(

(2.184)

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92

2.5.4.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema

)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.185)

A resposta forçada (2.185), pode ser representada por

)tsen(

Kb

Kb

Kb

)tcos(

Ka

Ka

Ka

)t(V

)t(V

)t(i

2

1

0

2

1

0

CsP

CpP

LsP

⋅ω⋅

+⋅ω⋅

=

(2.186)

onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t), VCpp(t) a resposta particular de

VCp(t) e VCsp a resposta particular de VCs(t). Ka e Kb são constantes que devem ser

determinadas. A derivada da resposta forçada é dada por

)tcos(

Kb

Kb

Kb

)tsen(

Ka

Ka

Ka

)t(V

)t(V

)t(i

dt

d

2

1

0

2

1

0

CsP

CpP

LsP

⋅ω⋅

⋅ω+⋅ω⋅

⋅ω−=

(2.187)

Substituindo (2.186) e (2.187) em (2.179) obtém-se

)tsen(b)tcos(a(C

)tsen(

Kb

Kb

Kb

)tcos(

Ka

Ka

Ka

A

)tcos(

Kb

Kb

Kb

)tsen(

Ka

Ka

Ka

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅

+

⋅ω⋅

+⋅ω⋅

=⋅ω⋅

⋅ω+⋅ω⋅

⋅ω−

(2.188)

Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da

entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e

os que envolvem cosseno, obtendo-se as igualdades

⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−

⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−

aBKaAKb

bBKbAKa

aBKaAKb

bBKbAKa (2.189)

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93

Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se

bB

KbAKbAKbA

KbAKbAKbA

KbAKbAKbA

Ka

Ka

Ka

aB

KaAKaAKaA

KaAKaAKaA

KaAKaAKaA

Kb

Kb

Kb

22,211,200,2

22,111,100,1

22,011,000,0

2

1

0

22,211,200,2

22,111,100,1

22,011,000,0

2

1

0

⋅=

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅ω−

⋅=

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅ω

(2.190)

reorganizando as matrizes de (2.190) e isolando os termos Ka e Kb têm-se

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅−⋅−⋅−

⋅ω

⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−

⋅−⋅−⋅−⋅ω⋅−⋅−⋅−

⋅ω⋅−⋅−⋅−

bB

bB

bB

aB

aB

aB

KbA

KbA

KbA

Kb

0

0

KbAKbAKa00

KbAKbA0Ka0

KbAKbA00Ka

00KaAKaAKaA

Kb0KaAKaAKaA

0KbKaAKaAKaA

2

1

0

2

1

0

22,2

22,1

22,0

2

11,200,22

11,100,11

11,000,00

22,211,200,2

122,111,100,1

022,011,000,0

(2.191)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

−−−ω−−−−ω−−−−ω−

ω−−−ω−−−

ω−−−

bB

bB

bB

aB

aB

aB

Kb

Kb

Kb

Ka

Ka

Ka

AAA00

AAA00

AAA00

00AAA

00AAA

00AAA

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

(2.192)

Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da

resposta particular

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94

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−ω−−−−ω−−−−ω−

ω−−−ω−−−

ω−−−

=

bB

bB

bB

aB

aB

aB

AAA00

AAA00

AAA00

00AAA

00AAA

00AAA

Kb

Kb

Kb

Ka

Ka

Ka

2

1

0

2

1

0

1

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

2

1

0

2

1

0

(2.193)

Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um

Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.

Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da

resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por

( )∑∞

=⋅

⋅ω⋅+⋅ω⋅+

⋅⋅⋅

⋅ξ=1n

nntr

2

tr1

tr0

)tsen(Kb)tcos(Ka

eKc

eKc

eKc

)t(X2

1

0

(2.194)

Considerando as condições iniciais iLs(0), VCp(0) e VCs(0) pode-se igualar

a reposta geral com tempo zero.

∑∞

=

+

⋅ξ=

1nn

2

1

0

Ka

Kc

Kc

Kc

)0(X (2.195)

Calculam-se as constantes a partir de (2.195) em

−⋅ξ=

∑∞

=

1nn

1

2

1

0

Ka)0(X

Kc

Kc

Kc

(2.196)

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

( ) ( )R

1

2

KbKaP

2

1n

2n,1

2n,1 ⋅

+= ∑

=

(2.197)

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95

Verifica-se a partir de (2.197) a potência de 40,117 e 41,0283,055 para

regime permanente e a potência de partida de 30,577 e 0,048 para os ângulos de

defasagem –67º e +67º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular

descrita em (2.186), na qual é plotado nas Figura 2.71 e Figura 2.72 para os dois

ângulos do exemplo a harmônica fundamental, para verificar-se o ângulo de

defasagem e nas Figura 2.73 e Figura 2.74 são plotados para 199 harmônicas. Para

a análise da partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.194), sendo

plotado nas Figura 2.75 e Figura 2.76 para os dois ângulos do exemplo para 19

harmônicas.

Figura 2.71 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –67°

Figura 2.72 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +67°

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96

Figura 2.73 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°

Figura 2.74 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°

Figura 2.75 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem de –67°.

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97

Figura 2.76 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem de +67°.

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,

para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro

de freqüência da saída por (2.198) e plotado nas Figura 2.77 e Figura 2.78.

( ) ( )100

a

KbKaGF

1

2n,1

2n,1

n ⋅+

= (2.198)

(a)

(b)

Figura 2.77 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

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98

(a)

(b)

Figura 2.78 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.4.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. As características de partida da

lâmpada foram obtidas para o ângulo de projeto de –35º, este ângulo também

realiza a comutação ZVS, o que torna seu emprego atrativo, portanto muito

empregado.

2.5.5 Filtro LC Série L Paralelo

A configuração do filtro LC série L paralelo de terceira ordem é mostrado

na Figura 2.79, constituído de um capacitor CS em série, um indutor LS em série e

um indutor Lp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma

maneira que o filtro LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o

desenvolvimento do método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da

corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através

deste adequar a potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a

partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de

ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro

será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-

se a composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o

regime permanente e para a partida.

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99

Figura 2.79 - Circuito LC série L paralelo

2.5.5.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série L paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro LC série L paralelo, deve-se

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

PS ZZZ += (2.199)

A expressão da impedância série é dada por

ω⋅−ω⋅⋅=

SSS C

jLjZ (2.200)

ω⋅−ω⋅⋅⋅

=S

SSS C

jLCjZ (2.201)

A impedância ZP é definida por

ω⋅−=

PP L

j

R

1

Z

1 (2.202)

RjL

LRZ

P

PP ⋅−ω⋅

ω⋅⋅= (2.203)

)RjL(

)RjL(

RjL

LRZ

P

P

P

PP ⋅+ω⋅

⋅+ω⋅⋅

⋅−ω⋅ω⋅⋅

= (2.204)

222P

P222

PP

RL

LRjLRZ

+ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅

= (2.205)

Substituindo (2.201) e (2.205) em (2.199) tem-se

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100

( )222

P

P222

P

S

2SS

RL

LRjLR

C

1LCjZ

+ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅

+ω⋅

−ω⋅⋅⋅= (2.206)

( ) ( )( )

( )( )222

PS

P222

PS

222PS

222P

2SS

RLC

LRjLRC

RLC

RL1LCjZ

+ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅ω⋅

+

++ω⋅⋅ω⋅

+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅=

(2.207)

( )( ) ( )

( )

+ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅

⋅+

++ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅

=

222PS

2PS

2222P

2SS

222PS

32PS

RLC

LCRRL1LCj

RLC

LCRZ

(2.208)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.209)

( ) ( )

ω⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅

=32

PS

2PS

2222P

2SS

LCR

LCRRL1LCarctanarg(Z) (2.210)

De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a

expressão

( ) ( )

ω⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅

−=φ32

PS

2PS

2222P

2SS

LCR

LCRRL1LCarctan (2.211)

De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte

real de 1/Z

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101

( )

( ) ( )( )⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+

+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅

=

2PS

2222P

2SS

32PS

222PS

LCRRL1LCj

LCR

RLC

Z

1

(2.212)

Multiplicando a expressão (2.212) pelo seu conjugado e separando a sua

parte real tem-se

( )[

( ) ( )]22SS

222P

2PS

264P

2S

2

222P

42P

2S

1LCRL

LCRLCR

RLLCR

Z

1Re

−ω⋅⋅⋅+ω⋅−

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

=

(2.213)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por

( )[

( ) ( )]22SS

222P

2PS

264P

2S

2

222P

42P

2S2

ac

1LCRL

LCRLCR

RLLCRVP

−ω⋅⋅⋅+ω⋅−

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅=

(2.214)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.211) e

(2.214). Esta parte comum é atribuída a

( ) ( )1LCRLLCRM 2SS

222P

2PS

2 −ω⋅⋅⋅+ω⋅−ω⋅⋅⋅= (2.215)

As expressões (2.211) e (2.214) podem ser juntadas

ω⋅⋅⋅=φ

32PS LCR

M-arctan (2.216)

)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.217)

( )264

P2

S2

222P

42P

2S2

acMLCR

RLLCRVP

+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.218)

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102

( )[ ]232

PS64

P2

S2

222P

42P

2S2

ac

)tan(LCRLCR

RLLCRVP

φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅

+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅= (2.219)

( )[ ])(tan1LCR

RLLCRVP

264P

2S

2

222P

42P

2S2

ac φ−+⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.220)

[ ] ( )222P

2ac

222P RLV)(tan1LRP +ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.221)

[ ]{ } 22ac

22ac

222P RVV)(tan1RPL ⋅=ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.222)

[ ] 2ac

2

22ac

PV)(tan1RP

RV1)(L

−φ−+⋅⋅⋅

⋅ω

=φ (2.223)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo

LP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e

potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas

equações (2.215) e (2.217) encontra-se o valor de CS

( ) ( )1LCRL

LCR)tan(LCR2

SS222

P

2PS

232PS

−ω⋅⋅⋅+ω⋅−

−ω⋅⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.224)

( )2

PS2

222P

32PS

222P

2SS

LCR

RL)tan(LCRRLLC

ω⋅⋅⋅−

−+ω⋅+φ−⋅ω⋅⋅⋅=−ω⋅⋅ω⋅⋅ (2.225)

)RL(C

LCRRL)tan(LR)(L

222P

2S

2PS

2222P

32P

S−ω⋅⋅ω⋅

ω⋅⋅⋅−+ω⋅+φ−⋅ω⋅⋅=φ (2.226)

A expressão (2.226) representa o valor do indutor do filtro LS em função

das variáveis de LP, de um capacitor CS, que possui um valor de projeto, como LP

é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ deve ser escolhido para que um

desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.5.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série L paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

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103

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.223) e (2.226) pode-se construir o gráfico do valor do

capacitor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras

Figura 2.80 e Figura 2.81 respectivamente

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104

Figura 2.80 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ

Figura 2.81 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ para vários valores de capacitores CS.

O ângulo de defasagem φ deve ser escolhido para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na

partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura

2.82.

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105

Figura 2.82 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem

Pode-se observar na Figura 2.82 que a potência em regime permanente

permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a

potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do

ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as

necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo

que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolhe-

se o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O

ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.82 é +35º.

Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,

podem ser obtidos através das equações (2.223) e (2.226) ou graficamente pelas

Figura 2.80 e Figura 2.81. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o

ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os valores

CS = 4,7nF LP(-35º) = 515,4 µH LS(-35º) = 1,957 mH

CS = 4,7nF LP(+35º) = 515,4 µH LS(+35º) = 1,628 mH

2.5.5.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

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106

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

( )[

( ) ( )]22SS

222P

2PS

264P

2S

2

222P

42P

2S2

ac

1LCRL

LCRLCR

RLLCRVP(f)

−ω⋅⋅⋅+ω⋅−

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅=

(2.227)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura

2.83 e Figura 2.84.

Figura 2.83 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°

Figura 2.84 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +35°

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107

Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na

freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência

da partida só é obtida para o ângulo de +35º.

2.5.5.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro LC série L paralelo é feita através das leis de circuitos

elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se

visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de

onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas

utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de

estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.228)

O circuito da Figura 2.79 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

[ ] (t)V)t(i)t(iR(t)V(t)idt

dL SLpLsCsLsS =−⋅++⋅ (2.229)

Pela definição da tensão no indutor tem-se

[ ])t(i)t(iR)t(idt

dL LpLsLpP −⋅=⋅ (2.230)

Pela definição da corrente no capacitor série tem-se

)t(i)t(Vdt

dC LsCsS =⋅ (2.231)

Pelas equações (2.229), (2.230) e (2.231) pode-se escrever o filtro por

vaiáveis de estado

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108

(t)V

0

0L

1

(t)V

(t)i

(t)i

00C

1

0L

R

L

RL

1

L

R

L

R

(t)V

(t)i

(t)i

dt

dS

S

Cs

Lp

Ls

S

PP

SSS

Cs

Lp

Ls

+

−−

=

(2.232)

(t)V0

0

(t)V

(t)i

(t)i

001

0RR

)t(i

)t(VS

Cs

Lp

Ls

F

R ⋅

+

−=

(2.233)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

=

=

=

−−

=

=

=

0

0D

001

0R-RC

0

0L

1

B

00C

1

0L

R

L

RL

1

L

R

L

R

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)i

(t)i

X(t)

S

S

PP

SSS

F

R

Cs

Lp

Ls

2.5.5.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do

filtro LC série C paralelo, porque os dois filtros são de mesma ordem.

2.5.5.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série C paralelo, o

cálculo desenvolve-se de maneira similar.

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

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109

( ) ( )R

2

KbKbKaKaP

2

1n

2n,1n,0

2n,1n,0 ⋅

−+−= ∑

=

(2.234)

Verifica-se a partir de (2.234) a potência de 40,089 e 40,137 para regime

permanente e a potência de partida de 0,047 e 30,578 para os ângulos de

defasagem –35º e +35º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na

qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.85 e Figura 2.86 para os

dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de defasagem e nas Figura

2.87 e Figura 2.88 são plotados para 199 harmônicas. Para a análise da partida

deve-se considerar a resposta geral, sendo plotado nas Figura 2.89 e Figura 2.90

para os dois ângulos do exemplo para 19 harmônicas.

Figura 2.85 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –35°

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110

Figura 2.86 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +35°

Figura 2.87 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°

Figura 2.88 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°

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111

Figura 2.89 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°

Figura 2.90 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,

para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro

de freqüência da saída por (2.235) e plotado nas Figura 2.91 e Figura 2.92.

( )[ ] ( )[ ]100

a

RKbKbRKaKaGF

1

2n,1n,0

2n,1n,0

n ⋅⋅−+⋅−

= (2.235)

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112

(a)

(b)

Figura 2.91 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.92 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.5.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado

que para o ângulo de projeto de –35 e +35° se obteve um valor de potência muito

próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido da saída. No

projeto utilizando ângulo de projeto de +35º se obteve ganhos elevados na partida,

o que é necessário para a partida instantânea, mas este ângulo não realizaria a

comutação ZVS. No projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º realiza a

comutação ZVS, no entanto não possui ganhos elevados na partida, o que é

necessário para a partida instantânea. Este filtro não é normalmente empregado

em reatores eletrônicos por não realizar a partida instantânea junto com a

comutação ZVS.

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113

2.5.6 Filtro L Série LC Paralelo

A configuração do filtro L série LC paralelo de terceira ordem é mostrado

na Figura 2.93, constituído de um indutor LS em série, um indutor paralelo LP e

um capacitor Cp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma

maneira que o filtro LC série C paralelo, através do modelo resistivo. Este estudo

mostrará o desenvolvimento do método de projeto, baseado no ângulo de

defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada,

procurando através deste adequar a potência na saída em regime permanente e

elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de

projeto com o objetivo de ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo

das características do filtro será feito através do equacionamento por variáveis de

estado, podendo visualizar a composição harmônica da saída do filtro e a forma de

onda de tensão para o regime permanente e para a partida.

Figura 2.93 - Circuito L série LC paralelo

2.5.6.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série LC paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro L série LC paralelo, deve-se

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

PS Z�LjZ +⋅⋅= (2.236)

Onde ZP é definido por

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114

ω⋅−ω⋅⋅+=

PP

P L

jCj

R

1

Z

1 (2.237)

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅

=P

2PPP

P LR

RjLCRjL

Z

1 (2.238)

( )( )( )RLCRjL

RLCRjL

RLCRjL

LRZ

2PPP

2PPP

2PPP

PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅ω⋅⋅

= (2.239)

( )( )22

PP22

P

2PPP

22P

PRLCRL

RLCRLRjLRZ

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.240)

A expressão final da impedância de entrada é dada por

( )( )22

PP22

P

2PPP

22P

SRLCRL

RLCRLRjLRLjZ

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅= (2.241)

( )[ ]( )

( )RLCRLRj

RLCRL

LRRLCRLLjZ

2PPP

22PP

22P

22P

22PP

22PS

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅+−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅=

(2.242)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.243)

( )[ ]

( )

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

ω⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅

=

22PPP

2P

22PP

32PS

RLCRLR

LR

RLCRLLarctanarg(Z)

(2.244)

De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a

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115

expressão

( )[ ]

( )

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

ω⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅

−=φ

22PPP

2P

22PP

32PS

RLCRLR

LR

RLCRLLarctan

(2.245)

De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte

real de 1/Z

( )( )[ ]{

( )}RLCRLR

RLCRLLjLR

RLCRL

Z

1

2PPP

22PP

22PS

22P

22PP

22P

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅=

(2.246)

Multiplicando a expressão (2.246) pelo seu conjugado e separando a sua

parte real tem-se

( )[ ]( )[ ]{

( )}22PPP

22PP

22PS

44P

2

22PP

22P

22P

RLCRLR

RLCRLLLR

RLCRLLR

Z

1Re

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅=

(2.247)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita como

( )[ ]( )[ ]{

( )}22PPP

22PP

22PS

44P

2

22PP

22P

22P2

ac

RLCRLR

RLCRLLLR

RLCRLLRVP

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅=

(2.248)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.245) e

(2.248). Esta parte comum é atribuída a

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116

( )[ ]( )RLCRLR

RLCRLLM2

PPP

22PP

22PS

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅= (2.249)

As expressões (2.245) e (2.248) podem ser juntadas

ω⋅⋅=φ

22PLR

M-arctan (2.250)

)tan(LRM 22P φ−⋅ω⋅⋅= (2.251)

( )[ ]244

P2

22PP

22P

22P2

acMLR

RLCRLLRVP

+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅

⋅= (2.252)

( )[ ][ ]222

P44

P2

22PP

22P

22P2

ac

)tan(LRLR

RLCRLLRVP

φ−⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅= (2.253)

( )[ ][ ])(tan1LR

RLCRLVP

222P

22PP

22P2

acφ−+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅

⋅= (2.254)

[ ]22

ac2

PP22

ac

42P

2P

22ac

22P

2ac

222P

RVLCR2V

LCRVLV)(tan1LRP

⋅+ω⋅⋅⋅⋅⋅−

−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.255)

[ ]{ }( ) 0RVCR2VL

CRVV)(tan1RPL22

ac2

P22

acP

42P

22ac

22ac

222P

=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅+

ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.256)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo

LP é encontrado através de uma equação de segundo grau. Pelas equações (2.249)

e (2.251) encontra-se o valor de LS

( )[ ]( )RLCRLR

RLCRLL)tan(LR2

PPP

22PP

22PS

22P

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=φ−⋅ω⋅⋅ (2.257)

( )( )[ ]22

PP22

P

2PPP

22P

SRLCRL

RLCRLR)tan(LR)(L

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅+φ−⋅ω⋅⋅=φ (2.258)

A expressão (2.258) representa o valor do indutor do filtro LS em função

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117

do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ

deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.6.2 Análise do Desempenho do Filtro L Série C paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.256) e (2.258) pode-se construir os gráficos dos valores

do indutor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ para as duas

respostas, nas figuras Figura 2.94, Figura 2.95, Figura 2.96 e Figura 2.97.

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118

Figura 2.94 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ

Figura 2.95 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ

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119

Figura 2.96 - Gráfico do valor do indutor série LS para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ

Figura 2.97 - Gráfico do valor do indutor série LS para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ

A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na

partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura

2.98 e Figura 2.99.

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120

Figura 2.98 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem

Figura 2.99 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem

Pode-se observar nas Figura 2.98 e Figura 2.99 que a potência em regime

permanente permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ,

no entanto a potência na partida possui um valor elevado para uma determinada

faixa do ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo

com as necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um

ângulo que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas

escolhe-se o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O

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121

ângulo de projeto escolhido graficamente pelas Figura 2.98 e Figura 2.99 são -35º

e +35 conforme a resposta e o capacitor CP escolhido.

Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,

podem ser obtidos através das equações (2.256) e (2.258) ou graficamente pelas

Figura 2.94, Figura 2.95, Figura 2.96 e Figura 2.97. A primeira resposta para os

ângulos de -35º ou +35º utilizando os capacitores CP=10nF e CP=100nF,

apresentou valores negativos para o cálculo dos seus componentes. Para o cálculo

do projeto para a segunda resposta utilizando o capacitor CP=10nF e ângulos de

-35º e +35º apresentou também valores negativos. No exemplo ilustra-se o projeto

para a segunda resposta utilizando CP=100nF para os dois ângulos, o ângulo para

a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os valores

CP=100nF LS(-35)= 527,7µH LP(-35)= 126,1µH

CP=100nF LS(+35)=198,4µH LP(+35)= 126,1µH

2.5.6.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

( )[ ]( )[ ]{

( )}22PPP

22PP

22PS

44P

2

22PP

22P

22P2

ac

RLCRLR

RLCRLLLR

RLCRLLRVP(f)

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅=

(2.259)

Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura

2.100 e Figura 2.101.

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122

Figura 2.100 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°

Figura 2.101 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°

Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na

freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência

da partida só possui valor elevado para o ângulo de –35º.

2.5.6.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro L série LC paralelo é feita através das leis de circuitos

elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se

visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de

onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas

utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de

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123

estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.260)

O circuito da Figura 2.93 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

(t)V(t)V(t)idt

dL SCpLsS =+⋅ (2.261)

Pela Lei das correntes de Kirchoff obtemos a seguinte equação:

)t(i)t(iR

(t)V(t)V

dt

dC LsLp

Cp

CpP =++⋅ (2.262)

Utilizando a definição da tensão no indutor tem-se a seguinte equação

)t(V(t)idt

dL CpLpP =⋅ (2.263)

Pelas equações (2.261), (2.262) e (2.263) pode-se escrever o filtro por

vaiáveis de estado

(t)V

0

0L

1

(t)V

(t)i

(t)i

CR

1-

C

1

C

1L

100

L

100

(t)V

(t)i

(t)i

dt

dS

S

Cp

Lp

Ls

PPP

P

S

Cp

Lp

Ls

+

⋅−

=

(2.264)

(t)V0

0

(t)V

(t)i

(t)i

001

100

)t(i

)t(VS

Cp

Lp

Ls

F

R ⋅

+

=

(2.265)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

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124

=

=

=

⋅−

=

=

=

0

0D

001

100C

0

0L

1

B

CR

1-

C

1

C

1L

100

L

100

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)i

(t)i

X(t)

S

PPP

P

S

F

R

Cp

Lp

Ls

2.5.6.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do

filtro LC série C paralelo, porque os dois filtros são de mesma ordem.

2.5.6.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série C paralelo, o

cálculo desenvolve-se de maneira similar.

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

( ) ( )R

1

2

KbKaP

2

1n

2n,2

2n,2 ⋅

+= ∑

=

(2.266)

Verifica-se através de (2.266) a potência de 40,007 e 40,065 para regime

permanente e a potência de partida de 30,577 e 0,047 para os ângulos de

defasagem –35º e 35º respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na

qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.102 e Figura 2.103 para os

dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de defasagem e nas Figura

2.104 e Figura 2.105 é plotado para 199 harmônicas. Para a análise da partida

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125

deve-se considerar a resposta geral, sendo plotado nas Figura 2.106 e Figura 2.107

para os dois ângulos do exemplo para 19 harmônicas.

Figura 2.102 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –35°

Figura 2.103 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +35°

Figura 2.104 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°

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126

Figura 2.105 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°

Figura 2.106 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°

Figura 2.107 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°

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127

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,

para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro

de freqüência da saída pela equação (2.267) e plotado nas Figura 2.108 e Figura

2.109.

( ) ( )100

a

KbKaGF

1

2n,2

2n,2

n ⋅+

= (2.267)

(a)

(b)

Figura 2.108 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.109 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.6.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado

que para o ângulo de projeto de –35 e +35° se obteve um valor de potência muito

próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido da saída. No

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128

projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º obteve-se elevado ganho de tensão

na partida, o que possibilitaria a partida instantânea da lâmpada. Para o ângulo de

+35º foi obtido ganhos pequenos na partida, o que não possibilitaria a partida

instantânea.

2.5.7 Filtro LC Série LC Paralelo

A configuração do filtro LC série LC paralelo de quarta ordem é mostrado

na Figura 2.110, constituído de um indutor LS e um capacitor CS em série e um

indutor LP e um capacitor CP em paralelo com a lâmpada. No equacionamento do

filtro a lâmpada é modelada por uma resistência equivalente, para a simplificação

dos cálculos. Este estudo mostrará o desenvolvimento de um método de projeto,

baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de

tensão aplicada, procurando através deste adequar a potência na saída em regime

permanente e elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um

exemplo de projeto com o objetivo de ilustrar o método, mostrar sua eficiência e

simplicidade. O estudo do desempenho do filtro será feito através do

equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-se a composição

harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o regime

permanente e para a partida.

Figura 2.110 - Circuito LC série LC paralelo

2.5.7.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série LC paralelo

Para o método de projeto utilizando o filtro LC série LC paralelo, deve-se

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129

calcular a impedância equivalente de entrada do circuito

PS ZZZ += (2.268)

Onde ZP é calculado por

ω⋅−ω⋅⋅+=

PP

P L

jCj

R

1

Z

1 (2.269)

ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅

=P

2PPP

P LR

RjLCRjL

Z

1 (2.270)

( )( )( )RLCRjL

RLCRjL

RLCRjL

LRZ

2PPP

2PPP

2PPP

PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅ω⋅⋅

= (2.271)

( )( )22

PP22

P

2PPP

22P

PRLCRL

RLCRLRjLRZ

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.272)

A impedância ZS é dada por

ω⋅−ω⋅⋅=

SSS C

jLjZ (2.273)

ω⋅−ω⋅⋅⋅

=S

2SS

S C

jLCjZ (2.274)

Impedância total do filtro é obtida por

( ) ( )( )22

PP22

P

2PPP

22P

S

2SS

RLCRL

RLCRLRjLR

C

1LCjZ

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅+

ω⋅−ω⋅⋅⋅

= (2.275)

( ) [{( )

( ) ] ( )}RLCRLCRRLCR

RLCRLC

L1LCjLCRZ

2PP

2PS

22PP

22PP

22PS

22P

2SS

32PS

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅=

(2.276)

O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a

corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para

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130

encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância

equivalente do circuito

( )( )

ωω=

X

Yarctanarg(Z) (2.277)

( ) ( )[ ]( )

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅=

RLCRLCR

LCR

RLCRL1LCarctanarg(Z)

2PP

2PS

32PS

22PP

22P

2SS

(2.278)

De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a

expressão

( ) ( )[ ]

( )

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅

−=φ

RLCRLCR

LCR

RLCRL1LCarctan

2PP

2PS

32PS

22PP

22P

2SS

(2.279)

De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte

real de 1/Z

( )( ) [{

( ) ] ( )}RLCRLCRRLCR

L1LCjLCR

RLCRLC

Z

1

2PP

2PS

22PP

22P

2SS

32PS

22PP

22PS

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+

⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=

(2.280)

Multiplicando pelo conjugado e extraindo a parte real tem-se

( )[ ]( ) [{

( ) ] ( )}222

PP2

PS

222PP

22P

2SS

64P

2S

2

22PP

22P

42P

2S

RLCRLCRRLCR

L1LCLCR

RLCRLLCR

Z

1Re

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅

+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

=

(2.281)

A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por

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131

( )[ ]( ) [{

( ) ] ( )}222

PP2

PS

222PP

22P

2SS

64P

2S

2

22PP

22P

42P

2S2

ac

RLCRLCRRLCR

L1LCLCR

RLCRLLCRVP

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅

+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅=

(2.282)

Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.279) e

(2.282). Esta parte comum é atribuída a

( ) ( )[ ]( )22

PP2

PS

222PP

22P

2SS

RLCRLCR

RLCRL1LCM

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−

−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅= (2.283)

As expressões (2.279) e (2.282) podem ser juntadas

ω⋅⋅⋅=φ

32PS LCR

M-arctan (2.284)

)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.285)

( )[ ]264

P2

S2

22PP

22P

42P

2S2

acMLCR

RLCRLLCRVP

+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅

⋅= (2.286)

( )[ ][ ]232

PS64

P2

S2

22PP

22P

42P

2S2

ac

)tan(LCRLCR

RLCRLLCRVP

φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅= (2.287)

( )[ ][ ]2222

P

22PP

22P2

ac)(tan1LR

RLCRLVP

φ−+⋅ω⋅⋅

−ω⋅⋅⋅+ω⋅= (2.288)

[ ]22

ac2

PP22

ac22

P2

P22

ac

22P

2ac

2222P

RVLCR2VLCRV

LV)(tan1LRP

⋅+ω⋅⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+

+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.289)

[ ]{ }( ) 0RVCR2VL

CRVV)(tan1LRPL22

ac2

P22

acP

22P

22ac

22ac

2222P

2P

=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅

+ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅⋅ (2.290)

O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo

LP resulta em uma equação de segunda ordem, possuindo duas resposta, que

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132

depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω um

valor de projeto para o capacitor CP e potência P de operação, que são definidas

no projeto e uma variável φ livre. Pelas equações (2.283) e (2.285) encontra-se o

valor de LS

( ) [( ) ] ( )22

PP2

PS

222PP

22P

2SS

32PS

RLCRLCRRLCR

L1LC)tan(LCR

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+

+ω⋅⋅−ω⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.291)

( ) ( )[ ]( )22

PP2

PS32

PS

222PP

22P

2SS

RLCRLCR)tan(LCR

RLCRL1LC

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+φ−⋅ω⋅⋅⋅=

=−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅ (2.292)

( ) ( )[ ]( )22

PP2

PS

222PP

22P

32PS2

SS

RLCRLCR

RLCRL

)tan(LCR1LC

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

+φ−⋅ω⋅⋅⋅=−ω⋅⋅

(2.293)

( )[ ]( )

2S

22PPP

222PP

22P

2P

S

C

1RLCRLR

RLCRL

)tan(LR)(L

ω⋅+

−ω⋅⋅⋅⋅⋅+

−ω⋅⋅⋅+ω⋅

+φ−⋅ω⋅⋅=φ

(2.294)

A expressão (2.294) representa o valor do indutor do filtro LS em função

do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ

deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.

2.5.7.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série LC paralelo

A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,

mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas

formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da

superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.

Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:

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133

Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-

bridge;

Tensão VPP= 155 V;

Razão cíclica D = 0,4

Freqüência f = 50 kHz.

-Saída: Potência P = 40 W

Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;

Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;

Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e

calcula-se o seu valor RMS.

66,36V2

aV ac

1ac ==

Pelas equações (2.290) e (2.294) pode-se construir os gráficos dos valores

do indutor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras

Figura 2.111, Figura 2.112, Figura 2.113 e Figura 2.114.

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134

Figura 2.111 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ

Figura 2.112 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ

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135

Figura 2.113 - Gráfico do valor do indutor série LS para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ

Figura 2.114 - Gráfico do valor do indutor série LS para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ

A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o

comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as

perdas. A característica de partida é analisada pelos gráficos das potências do

filtro, na partida e em regime permanente, para as duas respostas, em função do

ângulo de defasagem φ, Figura 2.115 e Figura 2.116.

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136

Figura 2.115 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ.

Figura 2.116 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ.

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137

Figura 2.117 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ.

Figura 2.118 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ.

Pode-se observar nas Figura 2.115, Figura 2.116, Figura 2.117 e Figura

2.118 que a potência em regime permanente permanece constante para toda a

variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a potência na partida possui um

valor elevado para uma determinada faixa do ângulo de defasagem. Para o projeto

deve-se escolher o ângulo de acordo com as necessidades, sendo que para uma

partida instantânea deve-se escolhe um ângulo que possui uma potência elevada

na partida, e para a redução das perdas escolhe-se o ângulo de defasagem negativo

próximo a zero.

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138

Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. Os

ângulos de projeto escolhidos graficamente pelas Figura 2.115, Figura 2.116,

Figura 2.117 e Figura 2.118 são -35º e +35º.

Possuindo os ângulos de projeto, os valores dos componentes do filtro,

podem ser obtidos através das equações (2.290) e (2.294) ou graficamente pelas

Figura 2.111, Figura 2.112, Figura 2.113 e Figura 2.114. No exemplo ilustra-se os

projeto que apresentam partida instantânea, para as escolhas de capacitores que

apresentaram valores positivos para os elementos calculados.

Cs=10nF CP=100nF LS(+35º)=485,5 µH LP(+35º)=84,67 µH

Cs=10nF CP=10nF LS(+35º)=485,5 µH LP(+35º)=341,6 µH

Cs=10nF CP=100nF LS(-35º)=1,541 mH LP(-35º)=126,1 µH

Cs=100nF CP=100nF LS(-35º)=629 µH LP(-35º)=126,1 µH

2.5.7.2.1 Análise no domínio da freqüência

A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro

lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por

( )[ ]( ) [{

( ) ] ( )}222

PP2

PS

222PP

22P

2SS

64P

2S

2

22PP

22P

42P

2S2

ac

RLCRLCRRLCR

L1LCLCR

RLCRLLCRVP(f)

−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅

+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅=

(2.295)

Para a análise do comportamento dos filtros projetados no domínio da

freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência

equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil

vezes maior para representar a partida, para os projetos, mostrado nas Figura 2.30

e Figura 2.31.

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139

Figura 2.119 - Gráfico da potência em função da freqüência para a primeira resposta, utilizando CS=10nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de +35º, para o

regime permanente e para a partida .

Figura 2.120 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=10nF, CP =10nF e ângulo de defasagem de +35º, para o

regime permanente e para a partida .

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140

Figura 2.121 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=10nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de -35º, para o

regime permanente e para a partida .

Figura 2.122 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=100nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de -35º, para o

regime permanente e para a partida .

Pode-se observar no gráfico que para os projetos, na freqüência de projeto,

tem-se o valor da potência de projeto e para a partida possui um valor elevado de

potência.

2.5.7.2.2 Análise no domínio do tempo

A análise do filtro LC série LC paralelo é feita através das leis de circuitos

elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se

visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de

onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas

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141

utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de

estado

u(t)DX(t)CY(t)

u(t)BX(t)AX(t)dt

d

⋅+⋅=

⋅+⋅= (2.296)

O circuito da Figura 2.110 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff

(t)V(t)V(t)V(t)idt

dL SCpCsLsS =++⋅ (2.297)

A corrente no capacitor é definida por

(t)i(t)Vdt

dC LsCsS =⋅ (2.298)

Pela definição da tensão no indutor tem-se

(t)V(t)idt

dL CpLpP =⋅ (2.299)

Pela lei das correntes obtém-se a seguinte expressão

)t(i)t(Vdt

dC

R

)t(V(t)i LpCpP

CpLs +⋅+= (2.300)

Pelas equações (2.297), (2.298), (2.299) e (2.300) pode-se escrever o filtro

por vaiáveis de estado

(t)V

0

0

0L

1

(t)V

(t)V

(t)i

(t)i

CR

10

C

1

C

1

000C

1L

1000

L

1

L

100

(t)V

(t)V

(t)i

(t)i

dt

dS

S

Cp

Cs

Lp

Ls

PPP

S

P

SS

Cp

Cs

Lp

Ls

+

⋅−−

−−

=

(2.301)

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142

(t)V0

0)t(X

0001

1000

)t(i

)t(VS

F

R ⋅

+⋅

=

(2.302)

Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.

=

=

=

⋅−−

−−

=

=

=

0

0D

0001

1000C

0

0

0L

1

B

CR

10

C

1

C

1

000C

1L

1000

L

1

L

100

A(t)i

(t)VY(t)

(t)V

(t)V

(t)i

(t)i

X(t)

S

PPP

S

P

SS

F

R

Cp

Cs

Lp

Ls

2.5.7.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro

A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A

s(A)autovalorer = (2.303)

)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.304)

Onde r é os autovalores da matriz A, como A é de ordem quatro, r possui

quatro valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado, sendo

cada coluna dos autovetores é associada a um autovalor.

ξξξξξξξξξξξξξξξξ

=

33323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

)r()r()r()r(

)r()r()r()r(

)r()r()r()r(

)r()r()r()r(

r

r

r

r

r (2.305)

A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela equação

(2.306), onde Kc0, Kc1, Kc2 e Kc3 são constantes que serão determinadas no

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143

decorrer do desenvolvimento.

⋅⋅⋅⋅

⋅ξ=ψ

tr3

tr2

tr1

tr0

3

2

1

0

eKc

eKc

eKc

eKc

)t( (2.306)

2.5.7.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular

Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema

)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.307)

A resposta forçada (2.307), pode ser representada por

)tsen(

Kb

Kb

Kb

Kb

)tcos(

Ka

Ka

Ka

Ka

)t(V

)t(V

)t(i

)t(i

3

2

1

0

3

2

1

0

CpP

CsP

LpP

LsP

⋅ω⋅

+⋅ω⋅

=

(2.308)

onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t), iLpP(t) é a resposta particular de

iLp(t), VCsp(t) a resposta particular de VCs(t), VCpp(t) a resposta particular de VCp(t).

Ka e Kb são constantes que devem ser determinadas. A derivada da resposta

forçada é dada por

)tcos(

Kb

Kb

Kb

Kb

)tsen(

Ka

Ka

Ka

Ka

)t(V

)t(V

)t(i

)t(i

dt

d

3

2

1

0

3

2

1

0

CpP

CsP

LpP

LsP

⋅ω⋅

⋅ω+⋅ω⋅

⋅ω−=

(2.309)

Substituindo (2.308) e (2.309) em (2.301) obtém-se

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144

)tsen(b)tcos(a(B

)tsen(

Kb

Kb

Kb

Kb

)tcos(

Ka

Ka

Ka

Ka

A

)tcos(

Kb

Kb

Kb

Kb

)tsen(

Ka

Ka

Ka

Ka

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅

+

⋅ω⋅

+⋅ω⋅

=⋅ω⋅

⋅ω+⋅ω⋅

⋅ω−

(2.310)

Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da

entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e

os que envolvem cosseno, obtendo-se as igualdades

⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−

⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−

aBKaAKb

bBKbAKa

aBKaAKb

bBKbAKa (2.311)

Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se

bB

KbAKbAKbAKbA

KbAKbAKbAKbA

KbAKbAKbAKbA

KbAKbAKbAKbA

Ka

Ka

Ka

Ka

aB

KaAKaAKaAKaA

KaAKaAKaAKaA

KaAKaAKaAKaA

KaAKaAKaAKaA

Kb

Kb

Kb

Kb

33,322,311,300,3

33,222,211,200,2

33,122,111,100,1

33,022,011,000,0

3

2

1

0

33,322,311,300,3

33,222,211,200,2

33,122,111,100,1

33,022,011,000,0

3

2

1

0

⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅

⋅ω−

⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅

⋅ω

(2.312)

reorganizando as matrizes de (2.312) e isolando os termos Ka e Kb têm-se

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145

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

⋅ω⋅ω

⋅ω

⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

⋅ω⋅−⋅−⋅−⋅−

bB

bB

bB

bB

aB

aB

aB

aB

KbAKbAKbA

KbAKbAKbA

KbAKbAKbA

KbAKbAKbA

Kb00

0Kb0

00Kb

000

KbAKa000

KbA0Ka00

KbA00Ka0

KbA000Ka

0KaAKaAKaAKaA

0KaAKaAKaAKaA

0KaAKaAKaAKaA

KbKaAKaAKaAKaA

3

2

1

0

3

2

1

0

33,322,311,3

33,222,211,2

33,122,111,1

33,022,011,0

3

2

1

00,33

00,22

00,11

00,00

33,322,311,300,3

33,222,211,200,2

33,122,111,100,1

033,022,011,000,0

(2.313)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

−−−−ω−−−−−ω−−−−−ω−−−−−ω−

ω−−−−ω−−−−

ω−−−−ω−−−−

bB

bB

bB

bB

aB

aB

aB

aB

Kb

Kb

Kb

Kb

Ka

Ka

Ka

Ka

AAAA000

AAAA000

AAAA000

AAAA000

000AAAA

000AAAA

000AAAA

000AAAA

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

3,32,31,30,3

3,22,21,20,2

3,12,11,10,1

3,02,01,00,0

3,32,31,30,3

3,22,21,20,2

3,12,11,10,1

3,02,01,00,0

(2.314)

Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da

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146

resposta particular

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−

ω

−−−ω−−−−ω−−−−ω−−−−ω−

−−−−ω−−−−

ω−−−−ω−−−−

=

bB

bB

bB

bB

aB

aB

aB

aB

A

A

A

A

0

0

0

AAA000

AAA000

AAA000

AAA000

000AAAA

00AAAA

00AAAA

00AAAA

Kb

Kb

Kb

Kb

Ka

Ka

Ka

Ka

3

2

1

0

3

2

1

0

1

3,3

3,2

3,1

3,0

2,31,30,3

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

3,32,31,30,3

3,22,21,20,2

3,12,11,10,1

3,02,01,00,0

3

2

1

0

3

2

1

0

(2.315)

Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um

Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.

Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da

resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por

( )∑∞

=⋅

⋅ω⋅+⋅ω⋅+

⋅⋅⋅⋅

⋅ξ=1n

nn

tr3

tr2

tr1

tr0

)tsen(Kb)tcos(Ka

eKc

eKc

eKc

eKc

)t(X

3

2

1

0

(2.316)

Considerando as condições iniciais iLs(0), iLp(0), VCs(0) e VCp(0) pode-se

igualar a reposta geral com tempo zero.

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147

∑∞

=

+

⋅ξ=1n

n

3

2

1

0

Ka

Kc

Kc

Kc

Kc

)0(X (2.317)

Calculam-se as constantes a partir de (2.317) em

−⋅ξ=

∑∞

=

1nn

1

3

2

1

0

Ka)0(X

Kc

Kc

Kc

Kc

(2.318)

Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro

pela equação

( ) ( )R

1

2

KbKaP

2

1n

2n,3

2n,3 ⋅

+= ∑

=

(2.319)

Verifica-se a partir de (2.319) a potência de 40,058, 42,087, 40,001 e

40,006 para regime permanente e a potência de partida de 30,577, 30,581, 30,577

e 30,577 para os projetos do exemplo respectivamente.

Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular

descrita em (2.308), na qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.123

e Figura 2.124 para os dois ângulos do exemplo, para verificar-se o ângulo de

defasagem e nas Figura 2.125, Figura 2.126, Figura 2.127 e Figura 2.128 são

plotados para 199 harmônicas para os projetos do exemplo. Para a análise da

partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.316), sendo plotado nas

Figura 2.129, Figura 2.130, Figura 2.131 e Figura 2.132 os exemplos para 199

harmônicas.

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148

Figura 2.123 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –67°

Figura 2.124 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +67°

Figura 2.125 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF

considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°

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149

Figura 2.126 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF

considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°

Figura 2.127 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF

considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de -67°

Figura 2.128 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF

considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de -67°

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150

Figura 2.129 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF para o

ângulo de defasagem +67°, considerando 19 harmônicas

Figura 2.130 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF para o ângulo

de defasagem +67°, considerando 19 harmônicas

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151

Figura 2.131 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF para o

ângulo de defasagem -67°, considerando 19 harmônicas

Figura 2.132 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF para o

ângulo de defasagem -67°, considerando 19 harmônicas

A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de

freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os projeto, para regime

permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro de freqüência

da saída por (2.320) e plotado nas Figura 2.133, Figura 2.134, Figura 2.135 e

Figura 2.136.

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152

( ) ( )100

a

KbKaGF

1

2n,3

2n,3

n ⋅+

= (2.320)

(a)

(b)

Figura 2.133 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF com ângulo de projeto de +67°: (a)

regime permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.134 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF com ângulo de projeto de +67°: (a) regime

permanente; (b) partida da Lâmpada.

(a)

(b)

Figura 2.135 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF com ângulo de projeto de -67°: (a) regime

permanente; (b) partida da Lâmpada.

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153

(a)

(b)

Figura 2.136 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF com ângulo de projeto de -67°: (a) regime

permanente; (b) partida da Lâmpada.

2.5.7.3 Conclusão

O método de projeto possui a característica de através do ângulo de

defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado

que para os projetos se obteve um valor de potência muito próximo ao de projeto

para o regime permanente. A tensão elevada necessária para a partida foi obtida

para todos os casos, mas pelas formas de onda das Figura 2.129, Figura 2.130,

Figura 2.131 e Figura 2.132 pode ser notado um comportamento diferente, que é

resultado da proximidade da freqüência da fonte com a resposta do sistema,

conhecido com batimento. A comutação suave ZVS foi obtida para os dois

últimos projetos, onde nota-se a corrente negativa durante a comutação. Este filtro

pode realizar a partida da lâmpada e a comutação suave ao mesmo tempo, para os

dois últimos casos, no entanto emprega muitos componentes, não sendo atrativo o

seu emprego.

2.6 CONCLUSÃO

O filtro de entrada foi apresentado de uma forma geral, apresentando os

tipos de filtros e a sua escolha segundo a suas impedância de entrada e saída. O

método de projeto apresentado utiliza o filtro L, por ser um filtro simples e

eficiente, possuindo um desempenho adequado para reatores eletrônicos.

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154

Os filtros de saída representam uma grande parcela no sucesso de um

projeto de reatores eletrônicos para iluminação fluorescente. Para um bom projeto

do filtro ressonante de saída, deve-se escolher a configuração mais adequada para

o projeto. Os filtros de saída devem atender a alguns requisitos principais, como:

partida instantânea, comutação suave e eliminação da componente contínua. O

valor do capacitor série deve ser grande, para desacoplar o conjunto filtro lâmpada

dos conversores. O capacitor paralelo (também chamado de capacitor de pré-

aquecimento) auxilia a partida da lâmpada, mas não deve ter um valor muito

grande, porque quanto maior for o seu valor, maior será a corrente que circula

pelos eletrodos da lâmpada, o que em regime reduziria a eficiência luminosa. Uma

comparação entre os filtros é mostrada na Tabela 2, apresentando as

características dos filtros estudados.

Tabela 2 – Comparativo entre os filtros.

Série LC L C LC LC L LC

Paralelo C LC C L LC LC

Partida Instantânea

Não Sim Sim Sim Sim Sim Sim

Comutação Suave

Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim

Partida Instantânea e

Partida Instantânea

Não Sim Não Sim Não Sim Sim

Eliminação da Componente

Contínua Sim Não Sim Sim Sim Sim Sim

Capacitor Série Grande

Não Não Não Sim Não Não Sim

Capacitor Paralelo Pequeno

Não Sim Sim Sim Não Não Sim

Todas as Características

acima Não Não Não Sim Não Não Não

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155

Cada filtro estudado possui a sua característica, que deve ser útil conforme

sua aplicação, no entanto para reatores eletrônico o filtro mais adequado é o filtro

LC série C paralelo, atendendo as necessidades de funcionamento do conversor e

da lâmpada, se o conversor uma forma de onda sem conteúdo contínuo também

pode ser usado o filtro L série e C paralelo.

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Capítulo 3

REATOR ELETRÔNICO BOOST PUSH-PULL

3.1 INTRODUÇÃO

Trabalhar com reatores eletrônicos em alta freqüência é fundamental para

economizar energia, devido a sua elevada eficiência luminosa [1], [13]. A alta

freqüência faz com que os reatores eletrônicos sejam mais leves, menores, sem

ruído audível e proporcionam uma maior vida útil da lâmpada, ao contrário dos

reatores eletromagnéticos convencionais operando a 60 Hz que requerem

dispositivos de grande volume para limitar a corrente [31]. As Lâmpadas

fluorescentes que operam com reatores eletromagnéticos em 60 Hz apresentam

cintilamento a uma freqüência de 120 Hz com 33 % de decréscimo de

luminosidade [14], [13].

O desenvolvimento de novas topologias vem contribuindo para sistemas

de iluminação mais eficientes e mais baratos [15]. Este capítulo apresenta uma

nova topologia com alto fator de potência empregando uma única chave

semicondutora. A topologia é baseada na integração de dois conversores estáticos

em um único estágio de conversão de potência. Inicialmente é abordado a

composição básica dos reatores eletrônicos e no decorrer do capítulo é

apresentado os princípios operacionais da topologia, simulações e os resultados

experimentais.

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157

3.2 ESTRUTURA DOS REATORES ELETRÔNICOS

Os reatores eletrônicos convencionais são compostos por um estágio de

entrada, um inversor e um filtro de saída ou só pelo inversor e o filtro de saída

quando for alimentado por tensão CC, como mostra a Figura 3.1.

Figura 3.1 – Estrutura básica dos reatores eletrônicos.

Cada parte do reator é abordada separadamente a seguir.

3.2.1 Estágio de Entrada

Este estágio é responsável pela forma de onda da corrente de entrada, que

representado nas medidas da taxa de distorção harmônica (THD) e

conseqüentemente no fator de potência. Este estágio também é responsável pela

filtragem do ruído de interferência eletromagnética, que foi abordado no capítulo

2.

Os reatores podem ser divididos em reatores comuns e reatores com

correção do fator de potência.

3.2.1.1 Reatores Eletrônicos Comuns

São reatores que no estágio de entrada somente retificam a tensão de

entrada sem se preocupar com a forma de onda da corrente de entrada. O estágio

de entrada destes reatores é composto apenas pela ponte retificadora e pelo

capacitor de filtragem do barramento, como mostra a Figura 3.2. Este tipo de

estágio de entrada é caracterizado pela forma de onda de entrada mostrada na

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158

Figura 3.3 e pela forma de onda do barramento mostrado na figura .

Figura 3.2 – Estágio de entrada dos reatores comuns.

Figura 3.3 – Forma de onda de entrada característica dos reatores comuns.

Figura 3.4 – Forma de onda de tensão no barramento característica dos reatores comuns.

O valor do capacitor regula a ondulação da forma de onda de tensão no

barramento, sendo que se o valor do capacitor for elevado, a ondulação da tensão

no barramento é pequena, porém os picos de corrente na entrada são elevados, o

que reduziria o fator de potência, se o valor do capacitor for pequeno, os picos de

corrente na entrada são pequenos, porém a ondulação da tensão no barramento é

grande, o que pode causar cintilamento na lâmpada e reduzir o fator de crista da

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159

lâmpada.

3.2.1.2 Reatores eletrônicos com correção do fator de potência.

O fator de potência é fundamental para o uso adequado da energia

fornecida pela concessionária. Para corrigir o baixo fator de potência dos reatores

comuns são empregados métodos de correção do fator de potência, que são

divididos em dois tipos: métodos passivos e métodos ativos.

3.2.1.2.1 Métodos Passivos

Os métodos passivos são baseados em circuito que não empregam chaves

interruptoras, portanto constituídos de elementos reativos e diodos. Estes métodos

são basicamente filtros e circuitos snubbers. Os filtros, abordados no capítulo 2,

devem ser calculados para que a freqüência de corte fique 2,5 a 3 vezes a

freqüência da rede. Estes circuitos podem corrigir o fator de potência dentro de

determinados limites, porém apresentam grande volume. Outro circuito passivo

bastante empregado é o circuito Valley-fill, mostrado na Figura 3.5, que reduz a

distorção harmônica da entrada em aproximadamente 75 %, como pode ser

visualizado na Figura 3.6, e a tensão mínima do barramento se mantém

aproximadamente a metade da tensão de pico como é mostrado na Figura 3.7.

Figura 3.5 – Circuito Valley-fill.

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160

Figura 3.6 – Forma de onda da entrada do circuito Valley-fill.

Figura 3.7 – Forma de onda da tensão no barramento para o circuito valley-fill.

3.2.1.2.2 Métodos Ativos

A correção do fator de potência pode ser realizada por conversores

chaveados CC/CC, ou parte deste, operando em alta freqüência. A correção do

fator de potência geralmente é realizada pela operação dos conversores chaveados

CC/CC no modo de condução descontínua. Esta operação faz com que a corrente

no conversor acompanhe a tensão de entrada, gerando uma forma de onda de

corrente triangular ou dente de serra em alta freqüência, modulada por uma

senoidal que segue a tensão de entrada, como mostra a Figura 3.8. Estas formas de

onda devem ser filtradas para eliminar as componentes harmônicas, mas agora ao

contrário dos filtros passivos descritos anteriormente, a freqüência de

chaveamento é elevada, o que resulta em um filtro pequeno. A tensão no

barramento continua dependendo do capacitor, porém agora o valor dele não

influencia na corrente de entrada.

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161

(a)

(b)

Figura 3.8 – Forma de onda da tensão e corrente na entrada dos conversores CC/CC utilizados para a correção do fator de potência: (a) forma de onda

triangular da corrente. (b) forma de onda dente de serra da corrente.

Os conversores que podem realizar a correção do fator de potência devem

possuir um estágio em que a tensão de entrada esteja aplicada a um indutor

descarregado. Se a afirmação anterior for verdadeira pode-se comprovar a

correção do fator de potência pelo seguinte desenvolvimento.

A tensão de entrada é definida por

( )tf2senV)t(V RPin ⋅⋅π⋅⋅= (3.1)

A tensão de entrada para o calculo da corrente no indutor é considerada

constante. A expressão da corrente no indutor para o primeiro estágio é dada por

tL

V)t(i in

L ⋅= (3.2)

Se a corrente for triangular o segundo estágio é dado por

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162

inooin

L VVparatL

VV)t(i >⋅

−= (3.3)

Ou se a corrente for dente de serra tem-se a seguinte expressão

0)t(i L = (3.4)

Como a forma de onda será filtrada, pode-se considerar para um intervalo

de tempo a média da corrente no indutor. Para a forma de onda triangular tem-se

T2

t

L

VV

2

t

L

V

i

22oin

21in

médiaL

∆∆⋅

−+⋅

= (3.5)

Para a forma de onda dente de serra chega-se a seguinte expressão

T2

t

L

V

i

21in

médiaL

∆⋅

= (3.6)

Onde a tensão do capacitor Vo, que está relacionada a tensão de entrada

por uma constante k, o tempo do primeiro estágio ∆t1 e o tempo do segundo

estágio ∆t1 podem ser considerados constantes e L é o valor do indutor. Portanto

conclui-se que as correntes de entrada destes conversores são descritas pelas

equações que seguem:

Para a forma de onda triangular

[ ] ( )tf2senTL2

t)k1(tV)t(i R

22

21P

L ⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

⋅−+⋅=

∆∆ (3.7)

Para a forma de onda dente de serra

( )tf2senTL2

tV)t(i R

21P

L ⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

⋅=

∆ (3.8)

Os conversores clássicos que possuem estas características são

apresentados a seguir.

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163

3.2.1.2.2.1 Conversor Boost (Conversor Elevador)

A Figura 3.9 mostra o conversor Boost. Neste conversor a tensão de saída

é sempre maior que a tensão de entrada. A seguir são explicados os princípios

operacionais do conversor

Figura 3.9 – Topologia do conversor Boost

- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo

é inversamente polarizado, isolando a entrada da saída. A fonte

de entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é

suficientemente grande e alimenta a carga com tensão

aproximadamente constante.

- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A

energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor,

polarizando diretamente o diodo. O capacitor continua da mesma

maneira que no primeiro estágio alimentando a carga.

- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o

diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está

descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a

carga.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.10, e as formas de onda

na Figura 3.11.

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164

(a)

(b)

(c)

Figura 3.10 – Estágios de operação do conversor Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

Figura 3.11 – Formas de onda do conversor Boost.

3.2.1.2.2.2 Conversor Buck-Boost (Conversor Abaixador-Elevador)

A Figura 3.12 mostra o conversor Buck-Boost. Neste conversor a tensão

de saída pode ser maior ou menor que a tensão de entrada. A seguir são

explicados os princípios operacionais do conversor

Figura 3.12 – Topologia do conversor Buck-Boost

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165

- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo

é inversamente polarizado, isolando a entrada da saída. A fonte

de entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é

suficientemente grande e alimenta a carga com tensão

aproximadamente constante.

- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A

energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor,

polarizando diretamente o diodo. O capacitor continua da mesma

maneira que no primeiro estágio alimentando a carga.

- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o

diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está

descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a

carga.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.13, e as formas de onda

na Figura 3.14.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.13 – Estágios de operação do conversor Buck-Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

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166

Figura 3.14 – Formas de onda do conversor Buck-Boost

3.2.1.2.2.3 Conversor Cúk

A Figura 3.15 mostra o conversor Boost. Este conversor foi obtido pelo

uso do princípio da dualidade com o converso Buck-Boost. Neste conversor,

semelhante ao conversor Buck-Boost, a tensão de saída é sempre maior que a

tensão de entrada. A seguir são explicados os princípios operacionais do

conversor.

Figura 3.15 – Topologia do conversor Cúk.

- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo

é inversamente polarizado. A fonte de entrada fornece energia

para o indutor L1. O capacitor C1 é suficientemente grande e

transfere energia Para o indutor L2 e para o capacitor C que

também é suficientemente grande. O capacitor C alimenta a

carga com tensão aproximadamente constante.

- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. O

diodo é polarizado diretamente e o capacitor C1 recebe energia

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167

do indutor L1. O indutor L2 transfere sua energia para o capacitor

C. O capacitor continua da mesma maneira que no primeiro

estágio alimentando a carga.

- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o

diodo está inversamente polarizado. Neste estágio os indutores

estão descarregados e o capacitor de saída continua alimentando

a carga.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.16, e as formas de onda

na Figura 3.17.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.16 – Estágios de operação do conversor Cúk: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

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168

Figura 3.17 – Formas de onda do conversor Cúk.

3.2.1.2.2.4 Conversor Flyback (Conversor Buck-Boost Isolado)

A Figura 3.18 mostra o conversor Flyback. Este conversor é semelhante ao

conversor Buck-Boost, porém utiliza um indutor acoplado para isolar a entrada e a

saída. A seguir são explicados os princípios operacionais do conversor

Figura 3.18 – Topologia do conversor Flyback.

- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. A tensão

de entrada é aplicada no indutor primário, sendo refletida para o

secundário e o diodo é inversamente polarizado. A fonte de

entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é

suficientemente grande e alimenta a carga com tensão

aproximadamente constante.

- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A

energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor

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169

através do indutor secundário, polarizando diretamente o diodo.

O capacitor continua da mesma maneira que no primeiro estágio

alimentando a carga.

- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o

diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está

descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a

carga.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.19, e as formas de onda

na Figura 3.20.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.19 – Estágios de operação do conversor Buck-Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

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170

Figura 3.20 – Formas de onda do conversor Flyback.

3.2.2 Estágio de Inversão

O estágio de inversão é responsável pela transformação da tensão CC

fornecida pelo estágio de entrada. Neste estágio é definida a freqüência de

operação da lâmpada. Este estágio pode ser realizado pelos inversores Half-

Bridge, Push-Pull e Full-Bridge, que serão descritos a seguir.

3.2.2.1 Inversor Half-Bridge

O inversor Half-Bridge possui duas configurações, que são o inversor

Half-Bridge assimétrico e o inversor Half-Bridge simétrico, como mostrado na

Figura 3.21.

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171

(a)

(b)

Figura 3.21 – Inversor Half-Bridge: (a).assimétrico; (b) simétrico.

3.2.2.1.1 Inversor Half-Bridge Assimétrico

O princípio de funcionamento do inversor Half-Bridge Assimétrico é

baseado no comando alternado dos interruptores, sendo que quando o interruptor

S1 estiver conduzindo é aplicado zero de tensão na carga, e quando a o interruptor

S2 estiver conduzindo é aplicado na carga a tensão da fonte de entrada.

3.2.2.1.2 Inversor Half-Bridge Simétrico

O conversor Half-Bridge Simétrico possui dois capacitores iguais na

entrada, possibilitando uma tensão intermediaria a tensão de entrada. Pelo

comando alternado dos interruptores aplica-se na carga metade da tensão de

entrada alternadamente.

3.2.2.2 Inversor Push-Pull

O inversor Push-Pull é mostrado na Figura 3.22.

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172

Figura 3.22 – Topologia do Inversor Push-Pull.

O funcionamento deste inversor ocorre também pelo comando alternado

dos interruptores. Quando o interruptor S1 estiver em condução, a tensão de

entrada refletida para o lado da carga é aplicada a carga. Quando o interruptor S2

está conduzindo o processo anterior ocorre com a polaridade invertida.

3.2.2.3 Inversor Full-Bridge

Este inversor não é muito empregado em reatores eletrônicos para

iluminação fluorescente, devido ao emprego de quatro interruptores, sendo sua

aplicação para cargas maiores. O inversor Full-Bridge é mostrado na Figura 3.23.

Figura 3.23 – Topologia do Inversor Full-Bridge.

O funcionamento deste conversor é baseado no comando alternado do par

de interruptores. Quando S1 e S4 estão conduzindo é aplicado na carga à tensão de

entrada. Quando S2 e S3 estão conduzindo é aplicado a tensão de entrada com a

polaridade contrária.

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173

As formas de onda dos inversores foram apresentadas e estudadas no

capítulo 2.

3.2.3 Filtro de Saída

Estes filtros foram apresentados e estudados no capítulo 2.

3.2.4 Lâmpada Fluorescente

As lâmpadas Fluorescentes foram estudadas no capítulo 1.

3.3 APRESENTAÇÃO DA TOPOLOGIA PROPOSTA

A configuração básica da topologia proposta é mostrada na Figura 3.24,

composta pela alimentação de uma fonte de tensão monofásica Vin, a ponte

retificadora formada pelos diodos D1 a D4, o conversor boost, o inversor push-

pull, dois filtros de alta freqüência e duas lâmpadas fluorescentes Lamp1 e Lamp2.

O conversor boost é empregado para a correção do fator de potência,

composto pelo indutor LBoost, um interruptor S e um capacitor Cout.

O estágio de inversão é realizado pelo conversor push-pull, formado pelo

transformador representado por LP1 e LP2, o diodo D5 e o interruptor S,

compartilhado com o conversor boost.

É empregado um filtro de EMI na entrada para eliminar as harmônicas de

altas freqüências, formados pelo indutor Lin e o capacitor Cin. Na saída é

empregado o filtro LCC série paralelo ressonante que faz a alimentação em alta

freqüência das lâmpadas, constituído pelo indutor série LS, pelo capacitor série CS

e pelos capacitores paralelos CP1 e CP2. O filtro de saída garante a partida e

modela o fator de crista da corrente na lâmpada.

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174

Figura 3.24 – Topologia proposta.

3.3.1 Princípios Operacionais

O comportamento do circuito proposto é analisado considerando duas

seções: a seção de alta freqüência (lado da carga) e a seção de baixa freqüência

(lado da fonte) que é simples e não é descrita.

A seção de alta freqüência é dividida em três estágios de operação

representados na Figura 3.25.

3.3.1.1 Primeiro Estágio

O primeiro estágio é caracterizado pela condução do interruptor S. Neste

estágio a tensão de entrada Vin é aplicada ao indutor LBoost, e acorrente iLboost

cresce linearmente, considerando que a tensão Vin permanece aproximadamente

constante durante o período de chaveamento. A tensão do capacitor Cout é

aproximada por uma fonte de tensão constante Vo, sendo aplicada ao indutor LP1 e

refletida pelo acoplamento ao indutor LP2, aparecendo no conjunto filtro lâmpada

duas vezes a tensão Vo.

3.3.1.2 Segundo Estágio

No segundo estágio o interruptor S está fora de condução. Neste estágio a

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175

energia armazenada no indutor LBoost é transferida para o capacitor Cout. A

corrente do indutor LP1 é refletida para o indutor LP2 polarizando diretamente o

diodo D5 . Neste estágio a tensão Vo é aplicada ao indutor LP2, que refletida no

indutor LP1, é aplicada ao conjunto filtro lâmpada, com tensão negativa em

relação ao primeiro estágio.

3.3.1.3 Terceiro Estágio

No terceiro estágio o interruptor S e o diodo D5 estão fora de condução.

Neste estágio a lâmpada é alimentada pela energia reativa armazenada nos

componentes do filtro de saída.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.25 – Estágios de operação: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

Para melhor análise do circuito são apresentadas as simplificações dos

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176

estágios na Figura 3.26, desconsiderando os elementos parasitas do circuito.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.26 – Estágios de operação simplificados: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.

3.3.2 Equações Relevantes

3.3.2.1 Corrente de entrada

O tempo de condução do interruptor S é limitado. Portanto, os picos da

corrente no indutor boost LBoost serão modulados por uma senóide em fase com a

tensão de entrada. A freqüência de comutação do conversor é considerada

constante.

A forma de onda da corrente de entrada, que é a mesma corrente no

indutor LBoost, portanto

1Boost

inin t

L

Vi ∆⋅= (3.9)

A equação que define razão cíclica é dada por

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177

T

tD 1∆

= (3.10)

Pelas equações (3.9) e (3.10) tem-se

Boost

inin L

TDVi

⋅⋅= (3.11)

A corrente de entrada segue uma envoltória senoidal, de acordo com

fL

DVi

Boost

inin ⋅

⋅= (3.12)

3.3.2.2 Máxima razão Cíclica para Condução Descontínua

A fim de garantir que o conversor boost opere no modo de condução

descontínuo durante todo o período da rede, deve-se encontrar a máxima razão

cíclica.

Através da energia armazenada no indutor boost obtém-se

2Boost

pico,ino1

Boost

pico,in tL

)tsen()VV(t

L

)tsen(V∆∆ ⋅

⋅ω⋅−=⋅

⋅ω⋅ (3.13)

Onde

1pico,ino

pico,in2 t

)tsen()VV(

)tsen(Vt ∆∆ ⋅

⋅ω⋅−⋅ω⋅

= (3.14)

Definindo

o

pico,in

V

V=α (3.15)

Substituindo (3.15) em (3.14) obtém-se

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178

12 t)tsen()1(

)tsen(t ∆∆ ⋅

⋅ω⋅α−⋅ω⋅α= (3.16)

Considerando o pior caso, quando a condução é crítica, tem-se

T)D1(t 2 ⋅−=∆ (3.17)

A máxima corrente no indutor boost ocorre exatamente no momento do

pico da senóide da tensão de entrada

1Boost

pico,inpico,in t

L

Vi ∆⋅= (3.18)

Neste ponto, o tempo para suficiente para a corrente no indutor chegar a

zero é máximo

1pico,ino

pico,in

max,2 tVV

Vt ∆∆ ⋅

−= (3.19)

Assumindo que no pico da senóide a condução é crítica, tem-se

α−=1Dmax (3.20)

3.3.2.3 Característica de saída do conversor boost

Determina-se a corrente média na saída como

2

ti

T

1i

2pico,inmed,o

∆⋅⋅= (3.21)

Pelas equações (3.10), (3.14), (3.16) em (3.21) tem-se

)tsen()1(

)tsen(

Lf2

DVi

Boost

2pico,in

med,o ⋅ω⋅α−⋅ω⋅α⋅

⋅⋅⋅

= (3.22)

A corrente média para um período da rede é definida por

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179

∫π

⋅ω⋅π

=0 med,oo tdi

1i (3.23)

Portanto

)(YDLf2

Vi 2

Boost

pico,ino α⋅⋅

⋅⋅π⋅= (3.24)

Onde

α−

α+π⋅α−⋅α

+απ−−=α

22 1arctan

21

22)(Y (3.25)

3.3.2.4 Máxima Indutância Boost

Deve ser determinada a máxima indutância do indutor LBoost para garantir

a condução descontínua. A corrente de saída é máxima quando a razão cíclica for

máxima, portanto a potência também é máxima

)(YLf2

)1(Vi

Boost

2pico,in

pico,o α⋅⋅⋅π⋅

α−⋅= (3.26)

A potência máxima na saída é definida pela expressão

max,oomax,o iVP ⋅= (3.27)

Pelas equações (3.26) e (3.27), encontra-se a expressão da indutância boost

)(Y)1(

Pf2

VL

2

max,o

2pico,in

Boost α⋅αα−⋅

⋅⋅π⋅= (3.28)

3.3.2.5 Corrente de Entrada para um Período de Chaveamento

A corrente média no intervalo de crescimento da corrente de entrada (∆t1)

é dada por

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180

1Boost

pico,inmed,1t t

L2

)tsen(fVi ∆∆ ⋅

⋅⋅ω⋅⋅

= (3.29)

A corrente no intervalo de decrescimento da corrente (∆t2) é obtida pela

expressão

[ ])tsen(VV2

Lfii

pico,ino

Boost2

pico,inmed,2t ⋅ω⋅−⋅

⋅⋅=∆ (3.30)

A soma das duas parcelas i∆t1,med e i∆t2,med representa a corrente média num

período de chaveamento

)tsen()1(

)tsen(

Lf2

DVi

Boost

2o

in ⋅ω⋅α−⋅ω⋅α⋅

⋅⋅⋅

= (3.31)

3.3.2.6 Corrente Média na Entrada

Considerando que a freqüência de chaveamento é muito maior que a

freqüência da rede, a forma de onda da corrente de entrada é constituída

aproximadamente pela integração, em um semiciclo da rede, dos valores médios

da corrente de entrada em cada período de chaveamento.

A corrente média de entrada durante um semiciclo da rede é definida por

α−

α+π⋅α−

+π−⋅⋅⋅⋅

=22

Boost

2o

med,in1

arctan21

2

Lf2

DVi (3.32)

3.3.2.7 Corrente Eficaz na entrada

A corrente eficaz na entrada durante um semiciclo da rede é definida por

∫π

ω⋅⋅π

=0

2inef,in tdi

1i (3.33)

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181

( )α⋅⋅⋅π⋅

α⋅⋅= Z

Lf2

VDi

Boost

o2

ef,in (3.34)

Onde

α−

α+π⋅α−

⋅α−⋅α−α⋅+

απ+

α−=α

222

2

21

arctan21

2

)1(

12

1

2)(Z (3.35)

3.3.2.8 Potência de Entrada

A potência de entrada é definida pela expressão

∫π

ω⋅⋅⋅π

=0 ininin tdiV

1P (3.36)

Boost

opico,in

in Lf2

VDVP

⋅⋅π⋅⋅⋅

= (3.37)

3.3.2.9 Fator de Potência

A corrente de entrada não é puramente senoidal, ela contém distorção

provocada pelo tempo de desmagnetização do indutor. Esta distorção é função da

relação da relação entre a tensão de pico de entrada e a tensão de saída

pico,in

o

V

VM = (3.38)

Quanto maior o valor de M, menor é o conteúdo harmônico na entrada.

3.3.3 Avaliação dos Esforços

3.3.3.1 Tensão de Pico no Interruptor

A tensão de pico no interruptor é dada por

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182

opico,S V2V ⋅= (3.39)

Sendo que a maior tensão ocorre na partida da lâmpada.

3.3.3.2 Corrente de Pico no Interruptor

A corrente de pico no interruptor para o pior caso é dada por

pico,1Lppico,inpico,Lspico,S iiii ++= (3.40)

Onde

1m

opico,1Lp t

L

V2i ∆⋅⋅= (3.41)

Substituindo (3.18) e (3.41) em (3.40) obtém-se

1Boost

in

m

opico,Lspico,1Lp t

L

V

L

V2ii ∆⋅

+⋅+= (3.42)

3.3.3.3 Tensão de Pico no Diodo

A tensão de pico no diodo D5 é dada por

o5d V2V ⋅= (3.43)

3.3.3.4 Corrente de Pico no Diodo

1m

opico,Lspico,1Lp t

L

V2ii ∆⋅⋅+= (3.44)

3.3.4 Resultados de Simulação

Utilizam-se simulações para uma análise prévia dos resultados sem a

implementação de um protótipo. A simulação foi feita utilizando o modelo

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tangente da lâmpada desenvolvido no capítulo 1.

Para a simulação utilizam-se os seguintes parâmetros:

Tensão de entrada: 110 Vrms, 60 Hz (Vsin).

Freqüência de chaveamento: 50 kHz (Vpulse).

Potência de saída: 80 W (duas lâmpas).

Componentes reativos: Lin: 1,4 mH;

Cin: 680 nF;

LBoost: 500 µH;

LP1 e LP2: 1,6 mH;

LS: 2,3 mH;

CS: 150 nF

CP: 3,6 nF.

Cout: 110 µF

Os resultados de simulação são mostrados nas figuras abaixo.

Figura 3.27 – Simulação da tensão e corrente na entrada. (50 V/div; 500 mA/div; 5 ms/div).

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Figura 3.28 – Simulação da corrente no indutor Boost (LBoost) em baixa freqüência (1 A/div; 5 ms/div).

Figura 3.29 – Simulação da corrente no indutor Boost (LBoost) em alta freqüência (1 A/div; 10 µs/div).

Figura 3.30 – Simulação da tensão e corrente no interruptor (S) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).

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Figura 3.31 – Simulação da tensão e corrente no diodo (D5) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).

Figura 3.32 – Simulação da tensão no capacitor do barramento (Cout) (50 V/div; 5 ms/div).

Figura 3.33 – Simulação da tensão nos enrolamentos do transformador push-pull (LP1+LP2) (200 V/div; 10 µs/div).

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Figura 3.34 – Simulação da envoltória de tensão na lâmpada (50 V/div; 5 ms/div).

Figura 3.35 – Simulação da tensão e corrente na lâmpada em alta freqüência (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).

3.3.5 Resultados Experimentais

Um protótipo da topologia proposta foi construído com base nas

especificações de projeto. O circuito do protótipo é mostrado na Figura 3.36, na

qual foi utilizado um circuito adicional para redução das perdas no comando.

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Figura 3.36 – Protótipo implementado.

As características do protótipo são: alimentação 110 Vrms – 60 Hz e

freqüência de operação: 50 kHz

Carga: duas lâmpadas fluorescentes modelo Maxlite F40W T10DL.

Os seguintes componentes foram utilizados para a construção do protótipo

Lin: 1,4 mH;;

LBoost: 500 µH;

LS: 2,3 mH;

LP1, LP2: 1,6 mH;

Cin: 680 nF;

Cout: 110 µF;

CS: 150 nF;

CP1, CP2: 3,6 nF;

S: IRF740;

D1, D2, D3, D4: 1N4004;

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188

D5, D6: UF4007;

Comando: CI2153.

As formas de onda obtidas experimentalmente estão ilustradas a seguir.

Figura 3.37 –Tensão e corrente na entrada. (50 V/div; 500 mA/div; 5 ms/div).

Figura 3.38 – Corrente no indutor Boost (LBoost) em baixa freqüência (1 A/div; 2,5 ms/div).

Figura 3.39 – Corrente no indutor Boost (LBoost) em alta freqüência (1 A/div; 10 µs/div).

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Figura 3.40 – Tensão e corrente no interruptor (S) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).

Figura 3.41 – Tensão e corrente no diodo (D5) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).

Figura 3.42 – Tensão no capacitor do barramento (Cout) (50 V/div; 5 ms/div).

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190

Figura 3.43 – Tensão e corrente na lâmpada em alta freqüência (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).

Figura 3.44 – Tensão de partida na lâmpada (250 V/div; 50 ms/div).

A corrente e a tensão de entrada (Figura 3.37) mostram o alto fator de

potência e o THD reduzido da corrente.

Nas Figura 3.38 e Figura 3.39 são mostradas as correntes no indutor LBoost

em baixa e alta freqüência comprovando o modo de condução descontínua.

A tensão e a corrente no interruptor S e no diodo são mostrados nas Figura

3.40 e Figura 3.41. A tensão no capacitor Cout (Figura 3.42) mostra a ondulação

desprezível, não havendo influência considerável na variação do fluxo luminoso

das lâmpadas.

A Figura 3.44 mostra a tensão de partida da lâmpada, podendo ser

observado a partida rápida.

Analisando os dados obtidos foram medidos os seguintes resultados:

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Rendimento (η%): 84 %

Fator de potência (fp): 0,99

Taxa de distorção harmônica (THD): 13,75 %

Fator de crista da corrente na lâmpada (fc): 1,43

Potência em cada lâmpada: 37,6 W

A potência obtida equivale a um fluxo luminoso maior que o fluxo

produzido pela lâmpada com 40 W em baixa freqüência.

3.4 CONCLUSÃO

Este capítulo apresenta a estrutura dos reatores eletrônicos, sendo o seu

funcionamento separado em estágios que representam as características de

entrada, as características de inversão, as características do filtro de saída e a

lâmpada.

Uma nova topologia de reator eletrônico para lâmpadas fluorescentes com

alto fator de potência e baixo custo. A topologia proposta utiliza dois conversores

operando em cascata, empregando apenas um interruptor. O primeiro é o boost

empregado na correção do fator de potência e o segundo é o conversor push-pull,

que alimenta a carga (filtro lâmpadas) em alta freqüência.

O conversor boost opera no modo de condução descontínua, dispensando o

controle de corrente no indutor boost, possibilitando a operação do circuito em

malha aberta.

O conversor permite empregar a energia armazenada nos enrolamentos

para viabilizar a comutação espontânea do diodo D5, dispensando um interruptor e

seu circuito de comando.

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192

O interruptor compartilhado pelos dois conversores não requer circuito de

comando isolado, simplificando ainda mais o circuito de comando.

Os resultados experimentais demonstram que a topologia proposta

encontra-se dentro dos padrões mundiais, no que diz respeito a correção do fator

de potência, rendimento, cintilamento e fator de crista da corrente na lâmpada.

Desta forma, esta topologia reúne simplicidade e eficiência na obtenção de

um reator eletrônico com alto fator de potência, alta eficiência luminosa e baixo

custo.

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Capítulo 4

COMPARATIVO ENTRE TOPOLOGIAS COM ALTO FATOR DE POTÊNCIA

4.1 INTRODUÇÃO

Nos últimos anos várias topologias foram desenvolvidas, melhorando o

desempenho das lâmpadas fluorescentes quando utilizam reatores eletrônicos ao

contrário dos reatores eletromagnéticos, como os reatores que empregam o boost

half-bridge integrados[26], Flyback half-bridge integrados [5], boost push-pull

integrados [27] e flyback push-pull integrados [25]. As topologias com um único

estágio de conversão de potência são mais convenientes para industria devido a

seu baixo peso, pequeno nível de cintilação, alto fator de potência e alta

eficiência.

O alto fator de potência é dado pelos conversores boost ou flyback

operando no modo de condução descontínua. A lâmpada é alimentada através de

um filtro LCC que proporciona uma forma de onda tensão e corrente

aproximadamente senoidal, garantindo o baixo fator de crista da corrente na

lâmpada e prolongando a sua vida útil. O filtro de interferência eletromagnética

(EMI), reduz a distorção harmônica da corrente de entrada e conseqüentemente

proporciona um alto fator de potência.

Este capítulo apresenta quatro conversores com alto fator de potência e

seus princípios de funcionamento. Estes reatores são comparados através de

resultados experimentais.

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194

4.2 TOPOLOGIAS ESTUDADAS

As topologias estudadas são mostradas na Figura 4.1.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.1 – Topologias estudadas

Pode-se observar que todas as topologias utilizam compartilhamento de

interruptores. As quatro topologias são apresentadas separadamente e no final são

comparados os resultados obtidos. Para poder comparar as topologias foram

utilizados os mesmos dados para os projetos de todos as topologias, que são

descritos a seguir:

- Tensão de alimentação: 110 Vrms, 60 Hz;

- Carga: duas lâmpadas de 40 W F40D (Osram);

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195

- Freqüência de operação: 50 kHz.

Utilizou-se o mesmo filtro EMI de entrada com os seguintes valores:

- Lin: 1,4 mH, 160 voltas com núcleo Thornton – EE 20/10 IP6

- Cin: 680 nF / 250 V (polipropileno).

Os princípios operacionais e os resultados experimentais de cada reator

serão apresentados abaixo.

4.2.1 Reator Eletrônico Boost Half-bridge

A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (a), onde é utilizado o

conversor boost para realizar a correção do fator de potência do reator e o

conversor half-bridge para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único

estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor

S1.

4.2.1.1 Primeiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S1 estar conduzindo e S2 não estar

conduzindo. A tensão de entrada é aplicada ao indutor boost LBoost, sendo

carregado em corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é aplicada no conjunto

filtro lâmpada.

4.2.1.2 Segundo estágio

Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo

que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do

filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S2, sendo que a

tensão aplicada ao conjunto filtro lâmpada neste momento é zero.

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196

4.2.1.3 Terceiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S2 estar conduzindo e S1 não estar

conduzindo. A energia armazenada no indutor boost LBoost é transferida para o

capacitor de saída Cout, neste momento a tensão aplicada no conjunto filtro

lâmpada é zero.

4.2.1.4 Quarto estágio

Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo

que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do

filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S1, sendo que é

aplicada a tensão do capacitor de saída Cout no conjunto filtro lâmpada.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.2, e suas simplificações

são apresentadas na Figura 4.3.

(a)

(b)

Figura 4.2 – Estágios de operação do reator boost half-bridge: (a) primeiro e quarto estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação.

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197

(a)

(b)

Figura 4.3 – Estágios de operação simplificados do reator boost half-bridge: (a) primeiro e quarto estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de

operação.

Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado

com os seguintes componentes:

Diodos da ponte retificadora: 1N4004;

LBoost: 490 µH, 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;

D6: UF4007;

S1 e S2: IRF740;

Cout: 110;

LS: 1,22 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;

CS: 150nF;

CP1 e CP2: 8,2nF;

As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.

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198

Figura 4.4 – Tensão e corrente na entrada do reator boost half-bridge (50 V/div; 1 A/div; 5 ms/div).

Figura 4.5 – Corrente no indutor boost Lboost do reator boost half-bridge (2 A/div; 10 µs/div).

Figura 4.6 – Tensão e corrente no interruptor S1 do reator boost half-bridge (250 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).

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199

Figura 4.7 – Tensão e corrente na lâmpada do reator boost half-bridge (50 V/div; 500mA/div; 10 µs/div).

4.2.2 Reator Eletrônico Flyback Half-bridge

A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (b), onde é utilizado o

conversor flyback para realizar a correção do fator de potência do reator e o

conversor half-bridge para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único

estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor

S1.

4.2.2.1 Primeiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S1 estar conduzindo e S2 não estar

conduzindo. A tensão de entrada é aplicada ao indutor flyback LF1, armazenando

energia em forma de corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é aplicada no

conjunto filtro lâmpada.

4.2.2.2 Segundo estágio

Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo

que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do

filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S2, sendo que a

tensão aplicada ao conjunto filtro lâmpada neste momento é zero.

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4.2.2.3 Terceiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S2 estar conduzindo e S1 não estar

conduzindo. A energia armazenada no indutor flyback primário LF1 é transferida

pelo acoplamento ao indutor flyback secundário LF2 que fornece energia para o

capacitor de saída Cout, neste momento a tensão aplicada no conjunto filtro

lâmpada é zero.

4.2.2.4 Quarto estágio

Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo

que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do

filtro coloca em condução o diodo antiparalelo D8, sendo aplicada a tensão do

capacitor de saída Cout no conjunto filtro lâmpada.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.8, e suas simplificações

são apresentadas na Figura 4.9.

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201

(a)

(b)

(c)

Figura 4.8 – Estágios de operação do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágio de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto estágio de operação.

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202

(a)

(b)

(c)

Figura 4.9 – Estágios de operação simplificados do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto

estágio de operação.

Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado

com os seguintes componentes:

Diodos da ponte retificadora: 1N4004;

LF1: 295 µH e LF2: 497 µH: 48/60 voltas com núcleo Thornton EE 20/10

IP6;

D6, D7, D8 e D9: UF4007;

S1 e S2: IRF740;

Cout: 110;

LS: 1 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;

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203

CS: 150nF;

CP1 e CP2: 10 nF;

As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.

Figura 4.10 – Tensão e corrente na entrada do reator flyback half-bridge (50 V/div; 1 A/div; 50 ms/div).

Figura 4.11 – Corrente no indutor primário do flyback LF1 do reator boost half-bridge (2 A/div; 10 µs/div).

Figura 4.12 – Tensão e corrente no interruptor S1 do reator boost half-bridge (100 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).

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204

Figura 4.13 – Tensão e corrente na lâmpada do reator boost half-bridge (50 V/div; 500mA/div; 10 µs/div).

4.2.3 Reator Eletrônico Boost Push-Pull

A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (c), onde é utilizado o

conversor boost para realizar a correção do fator de potência do reator e o

conversor push-pull para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único

estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor S.

Os princípios operacionais e as formas de onda foram apresentados no capítulo 3.

4.2.4 Reator Eletrônico Flyback Push-Pull

A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (d), onde é utilizado o

conversor flyback para realizar a correção do fator de potência do reator e o

conversor push-pull para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único

estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor S.

4.2.4.1 Primeiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S estar conduzindo e o diodo D5 estar

reversamente polarizado. A tensão de entrada é aplicada ao indutor flyback LF1,

armazenando energia em forma de corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é

aplicada ao enrolamento LP1 e refletido ao enrolamento LP2 , sendo aplicada ao

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conjunto filtro lâmpada duas vezes a tensão do capacitor Cout.

4.2.4.2 Segundo estágio

Este estágio é caracterizado pela abertura do interruptor, sendo que a

corrente armazenada na indutância magnetizante do transformador push-pull

polariza diretamente o diodo D5. Neste instante é aplicada a tensão do capacitor de

saída Cout no enrolamento LP2 e refletido ao enrolamento LP2, sendo aplicada ao

conjunto filtro lâmpada duas vezes a tensão do capacitor Cout, com a polaridade

contrária ao primeiro estágio. A energia armazenada no indutor primário do

flyback LF1 é transferida para o indutor secundário LF2, fornecendo energia ao

capacitor Cout.

4.2.4.3 Terceiro Estágio

Este estágio é caracterizado por S não estar conduzindo e D5 estar

inversamente polarizado. A corrente ressonante gerada pela energia armazenada

nos componentes do filtro mantém a corrente na lâmpada.

Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.14, e suas

simplificações são apresentadas na Figura 4.15.

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206

(a)

(b)

(c)

Figura 4.14 – Estágios de operação do reator flyback push-pull: (a) primeiro estágio de operação; (b) segundo estágio de operação; (c) terceiro estágio de operação.

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(a)

(b)

(c)

Figura 4.15 – Estágios de operação simplificados do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto

estágio de operação.

Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado

com os seguintes componentes:

Diodos da ponte retificadora: 1N4004;

LF1: 1,2 mH e LF2: 1,45 mH: 48/60 voltas com núcleo Thornton EE 20/10

IP6;

D5, D6, D7 e D9: UF4007;

S: IRF740;

Cout: 110;

LS: 8,2 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;

CS: 150nF;

CP1 e CP2: 10 nF;

As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.

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Figura 4.16 – Tensão e corrente na entrada do reator flyback push-pull (50 V/div; 1 A/div; 5 ms/div).

Figura 4.17 – Corrente no indutor primário do flyback LF1 do reator flyback push-pull (2 A/div; 10 µs/div).

Figura 4.18 – Tensão e corrente no interruptor S do reator flyback push-pull (100 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).

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Figura 4.19 – Tensão e corrente na lâmpada do reator flyback push-pull (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).

4.3 CONCLUSÃO

Este capítulo apresenta resultados para as topologias que podem ser

comparados, tais como: número de interruptores, número indutores, esforço de

tensão e corrente no interruptor, fator de crista da corrente na lâmpada, THD da

entrada, fator de potência e rendimento, como mostra a Tabela 3.

Tabela 3 – Comparativo entre as topologias de reatores eletrônicos

reatores REBHB REFHB REBPP REFPP

nº de interruptores 2 2 1 1

nº de indutores 3 3 4 4

esforço de tensão no interruptor 0,75.Vns 1.Vns 1.Vns 0,75.Vns

esforço de corrente no interruptor 0,4.Ins 0,5.Ins 0,25.Ins 0,6.Ins

fator de crista da corrente 1,24 1,35 1,43 1,47

THD da corrente de entrada 0,0885 0,0867 0,137 0,044

fator de potência 0,996 0,987 0,991 0,997

rendimento 92,7 91,0 84,0 89,4

REBHB – Reator Eletrônico Boost Half-Bridge

REFHB – Reator Eletrônico Flyback Half-Bridge

REBPP – Reator Eletrônico Boost Push-Pull

REFPP – Reator Eletrônico Flyback Push-Pull

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A discussão teórica e a análise dos resultados experimentais podem

mostrar que cada reator eletrônico possui sua aplicação específica. O reator

eletrônico boost half-bridge apresenta alto rendimento, porem não possibilita

aplicação viável para tensão de entrada de 220 V. O reator eletrônico flyback half-

bridge possibilita aplicação para tensão de entrada de 220 V porem para 110 V

este reator não possui o rendimento do primeiro.

As topologias que empregam o inversor push-pull possibilitam o emprego

de apenas um interruptor, mas o seu rendimento é menor. O emprego do boost

limita o emprego para tensão de entrada de 110 V, porem apresenta um maior

rendimento que o conversor flyback.

A principal vantagem das topologias apresentada é o uso de conversores

integrados com um único estágio de conversão de potência utilizando o

compartilhamento de interruptor, o que proporciona obter-se um alto fator de

potência, redução da distorção da corrente de entrada e conseqüentemente o

melhor uso da energia da rede. Estas topologias operam em alta freqüência

permitindo o consumo menor em média de 20 a 25 % com a mesma

luminosidade. Os reatores apresentam baixo peso, ausência de cintilamento e não

produz ruído audível. Os resultados experimentais foram obtidos para duas

lâmpadas fluorescentes tubulares operando com a freqüência de 50 kHz, tensão de

entrada de 110 V-60 Hz, o mostrou que todas as topologias apresentaram

rendimento acima de 86% e as características de alimentação da lâmpada dentro

das normas.

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