UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA

CCTS – CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE

DEC – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CÁLCULO DA GRAVIDADE LOCAL ATRAVÉS DE UM PÊNDULO SIMPLES

ARARUNA, 17 DE SETEMBRO DE 2012

DISCENTES:

DEIVIDY LÊM MACÊDO

HUGO LAVOR FERNANDES

JOSÉ ARNALDO DE ASSIS PINA NETO

KÁSSIA DOS SANTOS SINHORELLI

LUAN MORAIS GUEDES

NATHÁLIA DE OLIVEIRA AZEVEDO

PEDRO LIBERATO

CÁLCULO DA GRAVIDADE LOCAL ATRAVÉS DE UM PÊNDULO SIMPLES

Trabalho apresentado à

disciplina de Física

Experimental II, referente ao

período 2012.2, como requisito

para avaliação e obtenção de

nota.

ORIENTADOR: JOSÉ WAGNER CAVALCANTI SILVA

1. Introdução:

Encerrando em si o conhecimento de várias gerações de pensadores clássicos e

modernos, famosos e anônimos, a humanidade sentia a necessidade de quantizar e

comparar tudo ao seu redor, o homem se questionava incansavelmente sobre seu lugar

(físico) no universo. Questão esta que, num nível filosófico muito superior, permeia

nossos dias até hoje, porém, em parte já foi respondida pela física e ciência em

geral. Por quê não somos atirados no vácuo eterno devido ao movimento de

rotação? Por quê não paramos no ar quando pulamos? Por quê os objetos tendem

sempre a cair por terra? Como explicar o movimento de um pêndulo? Tais

questionamentos têm em comum um tipo de força, oficialmente aplicada

matematicamente e apresentada ao mundo por Isaac Newton, a força

Gravitacional.

A força Gravitacional, juntamente com outras três forças (Força Forte,

Força Fraca e Forças Eletromagnéticas), formam as quatro forças fundamentais da

natureza, que regem os universos micro e macroscópicos. É um tipo de força

proporcional à massa entre corpos, e inversamente proporcional à distância entre eles.

É responsável pela permanência em órbita de satélites naturais, por exemplo.

Na ânsia de conhecer e mensurar a natureza em todas as suas nuances, o

homem pôde constatar, através de experimentos diversos, que a gravidade muda em

pontos distintos da superfície terrestre. O presente trabalho visa calcular a

gravidade na cidade de Araruna – PB, através de um experimento com pêndulo simples,

em uma altitude de 580 metros.

2. Objetivo:

O experimento realizado com o auxilio de um pêndulo simples teve finalidade de

verificar a aceleração da gravidade local através do fenômeno de oscilações (𝑀.𝐻. 𝑆. ).

3. Fundamentação Teórica:

Gravitação

Gravitação é a força de atração que existe entre todas as partículas com massa no

universo. A gravitação é responsável por prender objetos à superfície de planetas e, de

acordo com a lei da inércia de Newton, é responsável por manter objetos em órbita em

torno uns dos outros.

Aceleração da gravidade

Para saber a aceleração da gravidade de um astro ou corpo, a fórmula

matemática é:

𝑔 = !.!!!

(1)

𝐺 = 6,67428. 10!!!𝑚!𝑘𝑔!!𝑠!!

Com:

𝐺 = 6,67. 10!!!𝑁.𝑚! 𝑘𝑔!

Onde:

• 𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜  𝑑𝑎  𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒(𝑚 𝑠!);    

• 𝑚   =  𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎  𝑑𝑜  𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜  (𝑘𝑔);

• 𝑟   =  𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎  𝑑𝑜  𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜  𝑑𝑜  𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜  (𝑚);

• 𝐺   =  𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒  𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙  𝑑𝑎  𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎çã𝑜.  

 

Demonstração da Constante de Gravidade da Terra 𝑔 :

• 𝑅𝑎𝑖𝑜  𝑑𝑎  𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎:  6,67. 10!  𝑚;  

• 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎  𝑑𝑎  𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎:  5,98. 10!"  𝑘𝑔;  

• 𝐺   =  6,67. 10!!!𝑁.𝑚! 𝑘𝑔!.

Utilizando alguns conceitos de campo gravitacional e a Lei de Newton de

Gravitação Universal:

𝐹 = !.!!.!!!!

(2)

Substituindo os valores na fórmula:

𝐹 =6,67. 10!!!. 5,98. 10!".𝑚!

(6,67. 10!)!

Resolvendo:

𝐹 = 9,82  𝑚!

Como:

𝐹 = 𝑚.𝑔 (3)

Então:

𝑔 = 9,8𝑚 𝑠!

Provando assim que a força representada pela equação (2) é válida quando se

está muito próximo da superfície Terra, e que a gravidade é 9,8  𝑚 𝑠!, foi considerado

a massa 𝑚! desprezível comparada com a massa do planeta.

Deduzindo a fórmula utilizada para a obtenção da gravidade através do período

de um pendulo simples:

Figura 1 – Demonstração das forças que atuam no pêndulo simples.

Em um pêndulo simples as forças que agem sobre a partícula são: seu peso

"𝑚.𝑔" e a Tensão "𝑇" no fio. A componente tangencial "𝑚.𝑔. sin𝜃" do peso é a força

de restauração que leva o pêndulo de volta a posição central.

Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa m suspensa em um fio,

que possui um comprimento "𝐿". A massa então é livre para oscilar em um plano, à

esquerda e à direita de uma linha vertical que passa através do ponto em que a

extremidade superior do fio esta fixada.

O elemento de inércia nesse pêndulo é a massa da partícula e o elemento de

restauração esta na atração gravitacional entre a partícula e a Terra. A energia potencial

pode ser associada com a distância vertical variável entre a partícula que oscila e a terra;

O movimento harmônico simples é um movimento oscilatório executado por

uma partícula submetida a uma força restauradora proporcional ao deslocamento da

partícula de sua posição de equilíbrio e de sinal contrário a este deslocamento. Dois

elementos importantes no 𝑀.𝐻. 𝑆. são o período de oscilação e a amplitude do

movimento. O período é o tempo de uma oscilação completa de vai-e-vem da partícula

e a amplitude é a distância máxima (ou o ângulo máximo) que a partícula se afasta de

sua posição de equilíbrio. No 𝑀.𝐻. 𝑆., o período é independe da amplitude.

Idealmente, o pêndulo simples é definido como uma partícula suspensa por um

fio sem peso. Na prática ele consiste de um peso de massa 𝑀 suspensa por um fio cuja

massa é desprezível em relação à do peso e cujo comprimento 𝐿 é muito maior que a

dimensão do peso.

Figura 2 - Pêndulo Simples

A Figura acima mostra um pêndulo simples afastado de um ângulo θ da vertical

(posição de equilíbrio). As forças que atuam sobre a esfera são seu peso 𝑚.𝑔 e a tensão

na corda, 𝑇. Decompondo o peso ao longo do fio e da perpendicular a ele, vemos que o

componente tangencial 𝑚.𝑔. sin𝜃 é a força restauradora do movimento oscilatório.

Nestas condições, demonstra-se que o período de oscilação do pêndulo simples é dado

por:

𝑇 = 2𝜋 !! (4)

A equação de período acima é válida para um pêndulo que tem toda sua massa

concentrada na extremidade de sua suspensão e que oscila com pequenas amplitudes.

Na prática, procura-se satisfazer essas condições usando-se um objeto denso (aço,

chumbo), de dimensões pequenas, suspensa por um fio o mais leve possível e

trabalhando com amplitudes pequenas.

Período

Na área de física, é chamado de período o tempo necessário para que um

movimento realizado por um corpo volte a se repetir. Por exemplo, em um relógio de

pêndulo, o período do pêndulo é determinado pelo tempo que este leva para realizar o

movimento de ida e de volta. Nota-se que, depois deste período, o pêndulo fará o

mesmo movimento novamente, ou seja, se repetirá. O período é relacionado com a

frequência da seguinte forma:

𝑇 = !!                                                                                                                                                      (5)

Com:

• 𝑇 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜  (𝑠);

• 𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎  (𝐻𝑧).

Agora, para determinarmos a fórmula do período em um pêndulo, considere o

seguinte pêndulo simples abaixo:

Ao soltarmos a massa, o sistema estará submetido a um torque restaurador dado

por:

𝜏 = 𝑟×𝐹                                                                                                                                      (6)

Em que:

• 𝜏 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒  (𝑁.𝑚);

• 𝑟 = −𝐿𝚥;

• 𝐹 = −𝑃!𝚤.

Porém,

𝑃! = 𝑚.𝑔. sin𝜃

Assim:

𝜏 = − 𝐿𝚥 ×(−𝑚.𝑔. sin𝜃 𝚤)

𝜏 = −𝐿.𝑚.𝑔. sin𝜃 𝑘 (7)

Para pequenas oscilações, a aproximação sin𝜃 ≈ 𝜃  fornece a seguinte

expressão:

𝜏 = −𝐿.𝑚.𝑔.𝜃𝑘

Por outro lado, sabemos que:

𝜏 = 𝐼.𝛼 (8)

Com:

• 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑑𝑒  𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎(𝑘𝑔.𝑚!);

• 𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜  𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟(𝑟𝑎𝑑 𝑠!).

Igualando a equação (7) com a (8), temos:

−𝐿.𝑚.𝑔.𝜃𝑘 = 𝐼.𝛼

Então:

𝛼 = !!.!.!.!!

𝑘 (9)

Sabemos também que o termo em destaque está relacionado com a frequência

angular, ou seja:

𝜔! = !.!.!!                                                                                                                      (10)

Com:

• 𝜔 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎  𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟  (𝑟𝑎𝑑 𝑠).

Por outro lado, sabemos que:

𝜔 = !!!

(11)

Assim,

2𝜋𝑇 =  

𝐿.𝑚.𝑔𝐼

Porém, o momento para o nosso caso é dado por:

𝐼 = 𝑚𝑟! (12)

𝐼 = 𝑚𝐿² (13)

Assim,

2𝜋𝑇 =  

𝐿.𝑚.𝑔𝑚𝐼²

Com isso, provamos que:

𝑇 = 2𝜋 !! (4)

• 𝑇 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜;  

• 𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑑𝑜  𝑓𝑖𝑜;  

• 𝑔 =  𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜  𝑑𝑎  𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒.

Vale lembrar que o período do pêndulo não depende da massa e que o fio tem que

ser inelástico e de massa desprezível para que não altere o período 𝑇.

4. Materiais e Métodos:

4.1. Material Utilizado:

• Suporte Universal;

• Régua milimetrada;

• Trena milimetrada;

• Cronômetro digital com resolução de 0,01𝑠;

• Dois pesos cilíndricos de 1,00𝑁 cada;

• Haste metálica;

• Linha 𝑛º  10.

4.2.Metodologia:

Para efetuar o experimento foi realizada a montagem da máquina simples,

constituída por um pêndulo formado por um fio ligado a um suporte onde foram

acoplados um a um, dois pesos cilíndricos. Antes do início do experimento foi

verificado o tamanho do fio, que inicialmente apresentava 81,0  𝑐𝑚, e uma angulação de

referência. Foi adicionado, primeiramente, um peso cilíndrico de 1,00  𝑁 no suporte,

iniciando assim, as cinco oscilações necessárias para se calcular o tempo referente a

essa observação. Logo em seguida, foi adicionado o segundo peso cilíndrico ao

suporte, tendo iniciado as outras cinco oscilações com o tempo marcado novamente.

Esse procedimento foi repetido oito vezes variando o comprimento do fio

em 5,00  𝑐𝑚, resultando num comprimento de fio final igual a 46,0  𝑐𝑚. Além disso, foi

necessária a divisão do tempo por cinco, para acharmos o tempo referente a apenas uma

oscilação. Todos os dados foram adequadamente anotados para que fossem

posteriormente calculados os erros que ocorreram no experimento relacionando o

embasamento teórico com a parte prática.

5. Resultados e Discussões:

5.1.Resultados e Discussões relacionados ao pêndulo de 1,00𝑁:

Os seguintes dados foram coletados ao decorrer da experiência, vale

mencionar que como o tempo foi contabilizado por um cronometro digital adotamos a

sua incerteza como sendo a ultima casa decimal que ele nos da, no caso 0,01𝑠, do

mesmo modo, o comprimento do fio foi analisado com uma trena que apresenta uma

resolução de 1,00  𝑚𝑚, com isso as suas medidas apresentam uma incerteza de

0,50  𝑚𝑚:

Tabela 1 – Tabela dos dados obtidos a partir do pêndulo de 1,00  𝑁

A partir dos dados obtidos foi possível calcular a aceleração da gravidade local,

através da equação discutida anteriormente na fundamentação teórica.

𝑇 = 2𝜋 !! (4)

T(s) L(cm) L(m)

1,93   81,00   0,81  

1,86   76,00   0,76  

1,81   71,00   0,71  

1,75   66,00   0,66  

1,68   61,00   0,61  

1,62   56,00   0,56  

1,57   51,00   0,51  

1,51   46,00   0,46  

Ainda, através dos dados obtidos pode-se elaborar um gráfico que relaciona o

tempo com a raiz do comprimento do fio do pêndulo a parir dos dados a seguir:

Tabela 2 – Tabela da raiz do comprimento e o tempo linear

𝐿  ( 𝑚  )   𝑇(𝑠)    

0,90   1,93  

0,87   1,86  

0,84   1,81  

0,81   1,75  

0,78   1,68  

0,75   1,62  

0,71   1,57  

0,68   1,51  

Gráfico 1 – Gráfico do tempo linear em função da raiz do comprimento

Antes de iniciar os cálculos foi preciso linearizar a equação (do período) que

representa uma função quadrática, para isso foi realizado os seguintes passos:

y  =  1.8796x  +  0.2237  R²  =  0.99477  

0.00  

0.50  

1.00  

1.50  

2.00  

2.50  

0.00   0.20   0.40   0.60   0.80   1.00  

Tempo

 (s)  

Comprimento    (m^1/2)  

Series1  

Linear  (Series1)  

𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔

𝑇! = 4𝜋! !! (14)

Partindo da equação (14) e fazendo uma analogia com a equação da reta:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏  

Temos teoricamente:

𝑎 = !!!

!→ 𝑔 = !!!

! (15)

𝑏 = 0

Com:

𝑦 = 𝑇! ; 𝑥 = 𝐿 (16)

Com isso, temos a seguinte tabela:

Tabela 3 – Tabela do tempo linear e tempo quadrático

T(s) T²(s²)

1,93   3,71  

1,86   3,47  

1,81   3,28  

1,75   3,07  

1,68   2,82  

1,62   2,62  

1,57   2,48  

1,51   2,28  

Para prosseguir é necessário fazer um tratamento de dados que segue da seguinte

forma:

Calcula-se o coeficiente de correlação linear (𝑟) para em seguida obter

o  𝑡!"#!$#"%&, e através da distribuição do T-Student encontra-se o 𝑡!"í!"#$. Sob posse

desses dados, podemos realizar o teste de hipótese para concluir se há ou não uma

correlação linear.

 

𝑟 = ! !!!!! !!!!!! ( !!!

!!! )!!

! !!!!

!!! !( !!)²!!!! ! !!

!!!!! !  ( !!)²!

!!!

                                                             (17)

𝑡!"#!$#"%& =  !!!!!!!!

                                                                                                 (18)

𝑟 = 0,99

𝑡!"#!$#"%& = 42,98

Como temos oito dados e o nível de significância estabelecido foi 0,05, temos:

𝑡!"#$#!% = 2,45

Como:

𝑡!"#!$#"%& > 𝑡!"#$#!%  

Então, há uma correlação linear entre as variáveis.

Como houve uma correlação linear, segue-se fazendo uso do método de

regressão linear para obter o coeficiente angular (𝑎) e o coeficiente linear experimental

(𝑏), a partir do qual calculamos os desvios de 𝑎, 𝑏 e 𝑔.

Aplicando o método da regressão linear definida pelas seguintes equações e

fazendo sua análise dimensional encontramos as suas respectivas unidades:

( )22 ∑∑ −= xxND (19)

][][][]][1[][ 444 sDssD =→−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∑∑

===

n

ii

n

ii

n

iii yxyxn

Da

111

1

(20)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=→=→−= 22

422

4 ]][[][1][][]][1[

][1][

sLaLs

saLsLs

sa

∑ ∑ ∑ ∑= = = =

−=n

i

n

i

n

i

n

iiiiii xyxxy

Db

1 1 1 1

2 )])(())([(1

(21)

[ ][ ] [ ][ ] ][][][][1][]][[][

][1 4

4224

4 LbsLs

bsLssLs

b =→=→−=

Então, se:

   

37,0;09,4 == ba  

Temos então que:

baxy += 37,009,4 += xy

Através da equação da reta e dos dados coletados, pode se construir o gráfico

que represente esses dados experimentais, para uma análise mais definida obtemos uma

reta de ajuste.

Gráfico 2 – Gráfico do tempo quadrático em função do comprimento

Com base na regressão linear e no gráfico, pelo fato dos dados terem sido

obtidos experimentalmente, há uma incerteza que pode ser obtida através do cálculo dos

desvios padrões das medidas:

𝑆! = 0,12

𝑆! = 0,50

Por causa da variabilidade amostral, é necessário calcular o erro padrão dos

coeficientes 𝑎 e 𝑏, que indica aproximadamente o quão distante esses coeficientes estão

dos coeficientes populacionais. Calculamos da seguinte forma:

𝑆! =  !!

!!! !!! (22)

y  =  4.0915x  +  0.3627  R²  =  0.99531  

0.00  

0.50  

1.00  

1.50  

2.00  

2.50  

3.00  

3.50  

4.00  

0.00   0.20   0.40   0.60   0.80   1.00  

Tempo

 (s^2)  

Comprimento  (m)  

Series1  

Linear  (Series1)  

𝑆! =  𝑆!  .!!+  

 !!

(!!!)!!! (23)

Onde,

𝑆! =[!!  !

!!! –(!!!!!)]²!!!

(24)

Temos:

𝑆! = 0,03

𝑆! = 0,10

𝑆! =  0,06

Para seguir com a análise, é necessário estabelecer o intervalo de confiança dos

coeficientes da população, pois, com os dados obtidos, foi possível apenas se determinar

os coeficientes da reta da amostra. Utilizando um nível de significância de 0,05 e

aplicando nas seguintes expressões:

𝐸! =   𝑡!!  . 𝑆!   (25)

𝐸! =   𝑡!!  . 𝑆!   (26)

Temos,

𝐸! =  0,23  

𝐸! =  0,15

Assim,

3,86   <  𝐴   <  4,32

0,22   <  𝐵   <  0,52  

Percebe-se que o intervalo de confiança desses coeficientes é relativamente

pequeno, pois temos agora, um maior número de dados.

Ainda se faz necessário verificar o intervalo de confiança para a previsão, onde

se utiliza um valor aleatório 𝑥!, levando em consideração 95% de confiança. Com isso,

temos:

𝑥! = 0,2034𝑚  

𝐸 =   𝑡!!  . 𝑆!  .

!!+  !(!!!  !!é!)²

! (27)

𝐸 =  0,10

𝑦 =  1,20  

Temos o seguinte intervalo de confiança:

1,10   <  𝑦   <  1,30  

Pela teoria da propagação de erros encontramos a incerteza associada à

gravidade:

222

2 )²4(² agaa

gg s

as

−=→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

πσσ

(28)

22,0≅gσ �    

Como já foi mencionada a gravidade teórica é definida por:

LTg2

= (29)

e a gravidade experimental é por:

a

g24π

= (15)

Através de uma comparação entre elas pode se calcular o erro absoluto (𝐸!),

relativo (𝐸!) e percentual (𝐸%  ). Seu resultado ficará explicito na Tabela 4, obtido

através das seguintes equações:

|| expggE teoi −= (30)

teo

ir E

EE = (31)

%100.% rEE = (32)

Tabela 4 – Tabela da gravidade teórica, experimental e erros encontrados no pêndulo de

1,00  𝑁

Gravidade

Teórica  (𝑚 𝑠!)

Gravidade

Experimental

(𝑚 𝑠!)

Erro Absoluto Erro Relativo Erro Percentual

9,81 (9,65  ± 0,22) 0,16 0,0159 1,59%

Analisando a Tabela 4, observa se que o erro percentual é menor que 15%, com

isso os dados obtidos através do experimento são aceitáveis.

5.2.Resultados e Discussões Relacionados ao Pêndulo de 2,00𝑁:

Os seguintes dados foram coletados ao decorrer da experiência, vale

mencionar que como o tempo foi contabilizado por um cronometro digital adotamos a

sua incerteza como sendo a ultima casa decimal que ele nos da, no caso 0,01𝑠, do

mesmo modo, o comprimento do fio foi analisado com uma trena que apresenta uma

resolução de 1,00  𝑚𝑚, com isso as suas medidas apresentam uma incerteza de

0,50  𝑚𝑚:

T(s) L(cm) L(m)

Tabela 5 – Tabela dos dados obtidos a partir do pêndulo de 2,00  𝑁

A partir dos dados obtidos é possível calcular a aceleração da gravidade local,

através da equação discutida anteriormente na fundamentação teórica.

𝑇 = 2𝜋 !! (4)

Ainda, através dos dados obtidos pode-se elaborar um gráfico que relaciona o

tempo com a raiz do comprimento do fio do pêndulo a parir dos dados a seguir:

Tabela 6 – Tabela da raiz do comprimento e o tempo linear  

𝐿  ( 𝑚   𝑇(𝑠)    

0,90   1,93  

0,87   1,86  

0,84   1,80  

1,93   81,00   0,81  

1,86   76,00   0,76  

1,80   71,00   0,71  

1,75   66,00   0,66  

1,68   61,00   0,61  

1,62   56,00   0,56  

1,57   51,00   0,51  

1,51   46,00   0,46  

0,81   1,75  

0,78   1,68  

0,75   1,62  

0,71   1,57  

0,68   1,51  

Gráfico 3 – Gráfico da raiz do comprimento em função do tempo linear

Antes de iniciar os cálculos é preciso linearizar a equação (do período) que

representa uma função quadrática. Como já foi mostrado anteriormente, através das

equações (14) e (15), e fazendo uma analogia com a equação da reta, temos

teoricamente:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏  

 

𝑎 =𝑔4𝜋! → 𝑔 = 4𝑎𝜋!

𝑏 = 0

Com:

y  =  1.8796x  +  0.2237  R²  =  0.99477  

0.00  

0.50  

1.00  

1.50  

2.00  

2.50  

0.00   0.20   0.40   0.60   0.80   1.00  

Tempo

 (s)  

Comprimento  (m^1/2)  

Series1  

Linear  (Series1)  

𝑥 = 𝑇! ; 𝑦 = 𝐿 (17)

Com isso, temos a seguinte tabela:

Tabela 7 – Tabela do tempo linear e tempo quadrático

T(s) T²(s²)

1,93   3,71  

1,86   3,47  

1,80   3,24  

1,75   3,07  

1,68   2,82  

1,62   2,62  

1,57   2,48  

1,51   2,28  

Para prosseguir é necessário fazer um tratamento de dados que segue da seguinte

forma:

Calcula-se o coeficiente de correlação linear (𝑟) para, em seguida, obter

o  𝑡!"#!$#"%&, e através da distribuição do T-Student encontra-se o 𝑡!"í!"#$. Sob posse

desses dados, podemos realizar o teste de hipótese para concluir se há ou não uma

correlação linear. Utilizando as equações (17) e (18), temos:

 

𝑟 = 0,99

𝑡!"#!$#"%& = 35,47

Como temos oito dados e o nível de significância estabelecido foi 0,05, temos:

𝑡!"#$#!% = 2,45

Como:

𝑡!"#!$#"%& > 𝑡!"#$#!%  

então ha uma relação linear entre as variáveis.

Como houve uma correlação linear, segue-se fazendo uso do método de

regressão linear para obter o coeficiente angular (𝑎) e o coeficiente linear experimental

(𝑏), a partir do qual calculamos os desvios de 𝑎, 𝑏 e 𝑔.

Usando as equações (19), (20) e (21) para aplicar o método da regressão linear e

fazer sua análise dimensional encontramos as suas respectivas unidades:

][][][]][1[][ 444 sDssD =→−=

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=→=→−= 22

422

4 ]][[][1][][]][1[

][1][

sLaLs

saLsLs

sa

[ ][ ] [ ][ ] ][][][][1][]][[][

][1 4

4224

4 LbsLs

bsLssLs

b =→=→−=

Então, se:

   

36,0;09,4 == ba  

Temos então que:

baxy +=

36,009,4 += xy

Através da equação da reta e dos dados coletados, pode se construir o gráfico

que represente esses dados experimentais, para uma análise mais definida obtemos uma

reta de ajuste.

Gráfico 4 – Gráfico do comprimento em função do tempo quadrático

Com base na regressão linear e no gráfico, pelo fato dos dados terem sido

obtidos experimentalmente, há uma incerteza que pode ser obtida através do calculo dos

desvios padrões das medidas:

𝑆! = 0,12

𝑆! = 0,50

Por causa da variabilidade amostral, é necessário calcular o erro padrão dos

coeficientes a e b, que indica aproximadamente o quão distante esses coeficientes estão

dos coeficientes populacionais. Utilizando as equações (22), (23) e (24), temos:

𝑆! = 0,04

y  =  4.0915x  +  0.3627  R²  =  0.99531  

0.00  

0.50  

1.00  

1.50  

2.00  

2.50  

3.00  

3.50  

4.00  

0.00   0.20   0.40   0.60   0.80   1.00  

Tempo

 (s^2)  

Comprimento  (m)  

Series1  

Linear  (Series1)  

𝑆! = 0,11

𝑆! =  0,07

Para seguir com a análise, é necessário estabelecer o intervalo de confiança dos

coeficientes da população, pois, com os dados obtidos, foi possível apenas se determinar

os coeficientes da reta da amostra. Utilizando um nível de significância de 0,05 e

aplicando as equações (25) e (26), temos:

𝐸! =  0,28  

𝐸! =  0,18

Assim,

3,81   <  𝐴   <  4,37

0,18   <  𝐵   <  0,54

 

Percebe-se que o intervalo de confiança desses coeficientes é relativamente

pequeno, pois, temos agora, um maior número de dados.

Ainda se faz necessário verificar o intervalo de confiança para a previsão, onde

se utiliza um valor aleatório 𝑥!, levando em consideração 95% de confiança. Utilizando

a equação (27), temos:

𝑥! = 0,2034𝑚  

𝐸 =  0,13

𝑦 =  1,19  

Temos o seguinte intervalo de confiança:

1,07   <  𝑦   < 1,32  

Pela teoria da propagação de erros encontramos a incerteza associada à

gravidade, utilizando, para isso a equação (28), temos:

27,0≅gσ �    

Como já foi mencionada a gravidade teórica é definida por:

LTg2

= (2)

e a gravidade experimental por:

a

g24π

= (6)

𝑔 = 9,65    

Através de uma comparação entre elas pode se calcular o erro absoluto (𝐸!),

relativo (𝐸!) e percentual (𝐸%  ). Seu resultado ficará explicito na Tabela 8, obtido

através das equações (29), (30) e (31):

Tabela 8 – Tabela da gravidade teórica, experimental e erros encontrados no pêndulo de

2,00  𝑁

Gravidade

Teórica  (𝑚 𝑠!)

Gravidade

Experimental

(𝑚 𝑠!)

Erro Absoluto Erro Relativo Erro Percentual

9,81 (9,65  ± 0,27) 1,61 0,0164 1,64%

Analisando a Tabela 8, observa se que o erro percentual é menor que 15%, com

isso os dados obtidos através do experimento são aceitáveis.

6. Conclusões:

Em relação ao experimento, podemos ressaltar alguns pontos quanto a captação

de dados no que tange a erros, a citar:

• A percepção de leitura de cada membro do grupo na hora de identificar o

comprimento do fio;

• A oscilação do pêndulo que não foi, de todo, paralelo a extensão do fio;

• A habilidade em soltar o bloco da mesma altura em cada ciclo do

experimento.

A partir do exposto, podemos concluir que o estudo do pêndulo, em linhas

gerais, se fez de grande valia para o desenvolvimento da humanidade, tanto no que

tange à mensura da aceleração da gravidade local, que encontramos o valor de,

aproximadamente, 9,65 m/s²; quanto no que tange ao estudo dos movimentos

harmônicos.

7. Referências Bibliográficas:

• Disponível em: http://www.fisica.ucb.br. Acesso em: 16/09/2012;

• Disponível em: http://www.fisica.ufs.br . Acesso em: 16/09/2012;

• Disponível em: http://fisicomaluco.com/experimentos/category/determinar-a-

gravidade-local-utilizando-pendulo-simples/. Acesso em: 16/09/2012;

• Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAOL0AK/relatorio-

ensaio-pendulo-simples. Acesso em: 16/09/2012;

• HALLIDAY, D. RESNICK, R. e KRANE, K.S. Física 2. Rio de Janeiro, LTC,

1996, Quarta edição. Volume 2.