FEN05-03207 – Microondas I

FEN05-03207 – Microondas I

Aula 2 – Eq. de MaxwellSolução de onda plana

Campos EMs em meio material

Prof. Fernando Massa Fernandes

Sala 5017 E

[email protected]

https://www.fermassa.com/microondas-i.php

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →

Conceitos fundamentais – Equações de Maxwell (MKS)

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

→ James Clerk Maxwell – 1861/1862

→ Relações gerais entre os Campos Elétrico/Magnético X Cargas/Correntes

→ Proposição da luz como radiação eletromagnética.

→ Considerada até hoje a teoria de maior exito da Física

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

E (V /m)→Campo elétrico

H (A /m)→Campo magnético

D = ϵ E (C /m ²)→Densidade de fluxo elétrico/Campo de deslocamento elétrico

B = μ H (Wb /m ²≡V . s /m ²)→Densidade de fluxo magnético

ρ (C /m ³)→Densidade de carga

J (A /m ²)→Densidade de corrente elétrica

M (V /m ²)→Densidade de corrente magnética

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

D = ϵ E (C /m ²)→Densidade de fluxo elétrico/Campo de deslocamento elétrico

B = μ H (Wb /m ²≡V . s /m ²)→Densidade de fluxo magnético

Permitividade elétrica do vácuo →ϵ0 = 8,854×10−12(F /m≡A . s /V /m)

Permitividade magnética do vácuo →μ0 = 4π×10−7(H /m≡V . s / A /m)

“Todo o eletromagnetismo clássico esta nas equações de Maxwell”

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

(1) → Lei da indução de Faraday→ Força de Lorentz

(2)

→ Lei de Ampere→ Lei de Biot e Savart→ Equação da continuidade

(3)

→ Lei de Gauss→ Equação de Poisson da eletrostática

(4)

→ Não existem monopolos magnéticos

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

(1)

→ Lei da indução de Faraday

→ Força de Lorentz(força magnética)

I = −1R

∂ΦB

∂ t

F = q⋅( v×B)

* Geradores Alternadores Transformadores Disco rígido (computador)

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∮c

B .d l = μ0 I

d B = μ0 I

4 π

d l× rr ²

(2)→ Lei de Ampere

→ Lei de Biot e Savart

→ Equação da continuidade

fio retilíneo→B = μ0 I

2πρ

0 = ∂ρ

∂ t + ∇ . j

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Microondas I

(1) → (2) →

(3) → (4) →


∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∮s

E .d S = qϵ0

(3)→ Lei de Gauss

→ Equação de Poisson da eletrostática ∇ . E = ρϵ0

(4)→ Não existem monopolos magnéticos

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→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas). Ex. vácuo

Equação de onda – Solução de onda plana

(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t = −μ

∂ H∂ t ∇× H =

∂ D∂ t = ϵ

∂ E∂ t

∇⋅ D = ϵ ∇⋅ E = 0 ∇⋅ B = 0

(1 e 2) → ∇×∇× E = −μ∂ (∇× H )

∂ t = − μϵ∂2 E∂ t2

Id .vetorial→∇×∇×E = ∇ (∇⋅ E )−∇2 E = −∇2 E → da condição (3)

⇒−∇2 E = −μϵ∂2 E∂ t 2 → da mesma forma para H

Eq. de onda.

Microondas I

→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas).


(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t = −μ

∂ H∂ t ∇× H =

∂ D∂ t = ϵ

∂ E∂ t

∇⋅ D = ϵ ∇⋅ E = 0 ∇⋅ B = 0

∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Microondas I


∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E = Ex ( z , t ) →Propagna direção z e Polarização nadireção x

E x = E0sin (ωt ±k z )

E x = E0 cos (ωt ±k z )

Ex = E0 ei ( ωt± k z )

Conjunto de soluções

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∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0






ω = 2 π f → Frequência

k = 2πλ → Constante de propagação

ωt ± kz → Fase(-) Propagação no sentido positivo de ‘z’(+) Progação no sentido negativo de ‘z’

Microondas I


∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0








ωt ± kz → Fase

ωk =

1√ μϵ

= 1

√ μr ϵ r

ωk0

* Dentro de um material dielétrico(permitividade relativa do meio é real)

μ = μr μ0

ϵ = ϵ r ϵ 0

→ λλ0

= 1

√ μr ϵ r

Comprimento de onda depende do material.

k = ω √μϵ

Microondas I


∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0








ωt ± kz → Fase

** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).

d (ω t ±k z )

dt = 0 ⇒ ω±kdzdt = 0 ⇒ω±k v f =0 v f =

ωk =

1√μ ϵ

k = ω √μϵ

Microondas I


∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0








ωt ± kz → Fase

** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).

Novácuo , v f = c= 1

√ μ0ϵ 0 = 2,9979 ⋅108 m /s

Nodielétrico , v f = c

√ μr ϵ r

k = ω √μϵ

Microondas I


∇2 E − μϵ∂2 E∂ t2

= 0 ∇2 H − μϵ∂2 H∂ t2

= 0








ωt ± kz → Fase

** Velocidade de fase da onda – Exemplos:

Nodielétrico , v f = c

√ μr ϵ r Teflon (10 GHz) 2,08 ?

Vidro (3 GHz) 4,84 ?

Água destilada (3 GHz) 76,7 ?

ϵ r v f (m / s )

* não magnético μr = 1

k = ω √μϵ

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→ O campo elétrico desloca cargas livres e também provoca a polarização de átomos ou moléculas do material (deslocamento da nuvem eletrônica).

Conceitos fundamentais – Campos EMs em meio material

Num material neutro → ρ = 0 (carga líquida é nula) carga líquida é nula)

Corrente de deriva (portadores livres) →

Corrente de deslocamento →

J = σ E (σ ,condutividade)

(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∂ D∂ t

→ D = (ϵ '− iϵ ' ') E = ϵ0(1+χe) E = ϵ E

χe →Representao efeito da polarização domaterial devido aocampo elétrico externo E

Pe = ϵ0 χe E→Vetor de polarizaçãoelétrica (por volume)

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Microondas I







(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∂ D∂ t

→ D = (ϵ '− iϵ ' ') E = ϵ0(1+χe) E = ϵ E

χe →Representao efeito da polarização domaterial devido aocampo elétrico externo E

χe≡χe(ω)→A polarização varia coma frequência

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Microondas I






Campo de deslocamento elétrico →


(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∂ D∂ t

→ D = (ϵ '− i ϵ ' ' ) E = ϵ0(1+χe) E = ϵ E

D = ϵ0 E+ Pe = ϵ0(1+χe) E = ϵ E

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Campo magnético →


(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

∂ D∂ t

→ D = (ϵ '− i ϵ ' ' ) E = ϵ0(1+χe) E = ϵ E

B = μ0( H+ Pm) = μ0(1+χm) H = μ H

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→ Campo de uma onda eletromagnética com frequência ω:


Da equação (2) de Maxwell

(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0

E = E0 cos (ω t) x ⇒ E = E0 exp(iω t) x

≻∇×H = iω(ϵ '−i ϵ ' ' ) E + σ E = iωϵ ' E + (ωϵ ' '+σ) E

∂ D∂ t

→ D = (ϵ '− iϵ ' ') E = ϵ0(1+χe) E = ϵ EJ = σ E

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Da equação (2) de Maxwell

(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇× E = −∂ B∂ t

−M ∇×H = ∂ D∂ t

+ J

∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0


Parte imaginária → Conservativa

Parte real → Dissipativa (dissipação de potência - perdas no material)

σ → Perda por condutividade (efeito Joule)ϵ ' ' → Perda por amortecimento dielétrico

“Indistinguíveis” → Condutividade real efetiva σ* = σ + ωϵ ' '

Dissipação de potência no material → W α l . A .σ* .E2

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Microondas I


→ Condutividade real efetiva (dissipativa)

→ Constantes do material

→ Especificação dos materiais em engenharia de micro-ondas


(ϵ ' ,ϵ ' ' ,σ)

σ* = σ + ωϵ ' '

(ϵr , tan δ)

Permitividade realdomeio(ϵr)→ ϵ ' = ϵr ϵ0

Tangentede perdas( tan δ)→ tan δ = ωϵ ' '+σ

ωϵ '

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→ Especificação dos materiais em micro-ondas


(ϵr , tan δ)

ϵ ' = ϵr ϵ0

tan δ = ωϵ ' '+σ

ωϵ '

Exemplos: freq. ϵr tan δ 25oC

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(ϵr , tan δ)

ϵ ' = ϵr ϵ0


ωϵ '

Exemplos: freq. ϵr tan δ 25oC

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Microondas I




(ϵr , tan δ)

ϵ ' = ϵr ϵ0


ωϵ '

“Nas freq de micro-ondas para materiais que não são bons

condutores normalmente temos

A dissipação por condutividade (σ) se torna cada vez

menos relevante em altas frequências”

ω ϵ ' '≫ σ

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Campo no material - caso geral (3D)

Se o material não for isotrópico →

D = Dx x + D y y + Dz z = [ ϵ] E B = Bx x + B y y + B z z = [μ ] H

([ ϵ ] e [μ ]) são tensores .

[D x

D y

Dz] = [

ϵxxϵ yxϵzx

ϵxyϵ yyϵzy

ϵxzϵyzϵzz

] . [Ex

E y

Ez] [

Bx

B y

Bz] = [

μxxμ yxμ zx

μxyμ yyμzy

μxzμ yzμ zz

] . [H x

H y

H z]

ϵij = ϵij(r) − iϵij(Im) μij = μij(r ) − iμij( Im)

→ Não linear

→ Inomogêneo

ϵij( E , H )

μij( E , H )

ϵij(x , y , z)μij(x , y , z)

Equações constitutivas:

D = [ ϵ ] E

B = [μ ] H

Prof. Fernando Massa Fernandes

Sala 5017 E

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