fenomenos 1c

8/3/2019 fenomenos 1c

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Prof.Msc.MarcusV.S.Rodrigues

1FenmenosdeTransporteSemestre2011.2

AULA01CONCEITOSFUNDAMENTAISDEMECNICADOSFLUIDOS

1.IntroduoA mecnica dos fluidos a parte da mecnica aplicada que estuda o

comportamentodosfluidosemrepousoeemmovimento.Amecnicadosfluidosse

divide em duas partes: a Esttica dos fluidos, em que se estudam os fluidos em

repousoeaDinmicadosfluidos,emqueseestudamosfluidosemmovimento.

O escopo desta cincia abrange um vasto conjunto de problemas. Por

exemplo,estespodemvariardoestudodoescoamentodesanguenoscapilaresato

escoamentodeguaemgrandesadutoras,comotambmoprojetodeconstruode

reservatriosdeparaabastecimentodegua.

Oconhecimentoeacompreensodosprincpiosbsicosedosconceitosda

mecnicados fluidos so essenciaispara a anlisedequalquer sistemanoqualum

fluidoomeiooperante.Podesecitarcomoexemplo:

Projetodeaeronavessubsnicasesupersnicas; Desenvolvimentodecarrosdecorridas; Construodeponteseviadutos; Sistemadeaduodeguaporgravidadeourequalque; Projetodetodotipodemquinadefluxo; Alubrificaodesistemasmecnicos; Ossistemasdeaquecimentoeventilaoderesidncia.

Estes so alguns exemplos de aplicaes da mecnica dos fluidos. No

mundorealesta listapoderiaseraplicadaquaseque indefinidamente.Logo,podese

destacarqueo seuestudodeextrema importncia, tantonasexperinciasdirias

quantonamodernatecnologia.

Opropsitodestecursoapresentaras leisbsicaseosconceitosfsicos

associadosque

fornecem

os

fundamentos

ou

pontos

de

partida

para

aanlise

de

qualquerproblemademecnicadosfluidos.


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2 FenmenosdeTransporteSemestre2011.2

Utilizamse no estudo da mecnica dos fluidos as mesmas leis

fundamentaisqueseestudamnoscursosdeFsicaeMecnica.Podesecitarasleisdo

movimentodeNewton,a leideconservaodamassa,aprimeiraeasegunda leida

termodinmica.

Logo,

h

uma

grande

similaridade

entre

as

abordagens

geral

da

mecnicadosfluidosedamecnicadoscorposrgidosedeformveis.

Um fluido pode ser definido como uma substncia que se deforma

continuamentesobaaodeumatensodecisalhamento,pormenorquesejaessa

tenso.Osestadosdamatriaqueapresentamestacaractersticacompreendemos

estados gasoso e lquido. Neste caso, os fluidos so compreendido por lquidos e

gaese.

Atensodecisalhamentocriadaquandoumaforaatuatangencialmente

numasuperfcie.Considereumslidocomumsubmetidoaumadeterminada tenso

decisalhamento,oslidodeforma,pormnoescoa(deformaocontnua).Nocaso

dos fluidos comunsocorreoescoamentoquando submetidos aqualquer tensode

cisalhamento.

2.Ofluidocomoumcontnuo

Apesardaestruturamoleculardos fluidos ser importanteparadistinguir

umfluidodooutro,nopossveldescreverocomportamentodosfluidosapartirda

dinmica individualdesuasmolculas.Ouseja,caracterizaseocomportamentodos

fluidos considerando os valores mdios, ou macroscpicos, da quantidade de

interesse.Notequeestamdiadeveseravaliadaemumvolumepequeno,masque

aindacontmumnmeromuitograndedepartculas.

Assim,aidiadeutilizarovalormdioavaliadonestevolumeadequada.

Tambm, admitese que todas as caractersticas de interesse dos fluidos (presso,

velocidade,etc.)variamcontinuamenteatravsdo fluido.Logo, tratamseos fluidos,

sendomaiscomunsaguaeoar,comosendolisosesuaves,ousejacomosendo

ummeiocontnuo.


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O conceito de contnuo base da mecnica dos fluidos clssica. A

hiptese do contnuo vlida no tratamento do comportamento dos fluidos sob

condiesnormais.Elafalhaquandoatrajetriamdialivredasmolculastornaseda

mesma

grandeza

da

menor

dimenso

caracterstica

significativa

do

problema.

Isto

ocorreemcasosespecficoscomonoescoamentodeumgs rarefeito. Isto,neste

caso, devese abandonar a idia de contnuo em favor dos pontos de vista

microscpicoeestatstico.

Deacordocomahiptesedocontnuo, temsequecadapropriedadedo

fluidoconsideradacomotendoumvalordefinidoemcadapontodoespao.Logo,a

massaespecfica, temperatura,velocidade,etc., so consideradas funes contnuas

daposioedotempo.

3.Dimenseseunidades

Oestudodamecnicadosfluidosenvolveumavariedadedecaracterstica.

Logo, tornase necessrio o desenvolvimento de um sistema para descrever estas

propriedades de modo qualitativo e quantitativo. O aspecto qualitativo indica a

natureza,ou

tipo,

da

caracterstica

(como

comprimento,

tempo,

tenso

evelocidade),

enquanto,oaspectoquantitativoforneceumvalornumricoparaacaracterstica.

Adescrioquantitativarequertantoumnmeroquantoumpadropara

que as vrias quantidades possam ser comparadas. Por exemplo, o padro para o

comprimento pode ser o metro ou a polegada. Tais padres so chamados de

unidades.

Adescrio

qualitativa

convenientemente

realizada

quando

utilizam

se

certas quantidades primrias, como o comprimento, L , tempo, T, massa, M , e

temperatura, .Estas quantidadesprimriaspodemsercombinadaseutilizadaspara

descrever,qualitativamente,outrasquantidadesditassecundrias,porexemplo:rea

2L ,velocidade 1LT emassaespecfica 3ML .Osmbolo indicaadimenso

daquantidadesecundriaemfunodasquantidadesprimrias.

Na

Tabela

1

so

apresentadas

as

dimenses

das

quantidades

fsicas

comumenteutilizadasnamecnicadosfluidos.


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Tabela1DimensesassociadasaalgumasquantidadesfsicasusuaisSistemaFLT SistemaMLT

Acelerao 2L T 2L T

rea

2L

2L

Calor F L 2 2 M L T

Calorespecfico 2 2 1L T 2 2 1L T

Comprimento L L

Energia F L 2 2 M L T

Fora F 2M LT

Freqncia 1T

1

T

Massa 1 2F L T M

Massaespecfica 4 2F L T 3M L

Momentodeinrcia(rea) 4L 4L

Momentodeinrcia(massa) 2F LT 2M L

Momentodeumafora F L 2 2 M L T

Pesoespecfico 3F L 2 2M L T

Potncia

1F LT 2 3 M L T

Presso 2F L 1 2M L T

Quantidadedemovimento F T 1M LT

Temperatura

Tempo T T

Tenso 2F L 1 2M L T

Tensosuperficial 1F L

2

M T

Torque F L 2 2 M L T

Trabalho F L 2 2 M L T

Velocidade 1L T 1L T

Velocidadeangular 1T 1T

Viscosidadecinemtica 2 1L T 2 1L T

Viscosidadedinmica 2F L T 1 1M L T

Volume

3L 3L


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interessantenotarque sonecessriasapenas trsdimensesbsicas,

L , T eM ,paradescreverumgrandenmerodeproblemasdamecnicadosfluidos.

Alternativamente,podeseutilizarum conjuntodedimensesbsicas compostapor

L ,

T

e

F ,

onde

F

a

dimenso

da

fora.

A segunda lei de Newton estabelece que a fora igual a massa

multiplicada pela acelerao, ou seja, em termos qualitativos, esta lei pode ser

expressa por 2F M LT ou 1 2M F L T . Assim, as quantidades secundrias

expressasemfunodeM tambmpodemserexpressasemfunode F atravsda

relaoanterior.

Todasas

equaes

tericas

so

dimensionalmente

homogneas,

isto

,

as

dimenses dos lados esquerdo e direito da equao so iguais e todos os termos

aditivosseparveisquecompeaequaoprecisamapresentaramesmadimenso.

Logo, namecnica dos fluidos aceitase como premissa fundamental que todas as

equaesquedescrevemosfenmenosfsicossodimensionalmentehomogneas.

Normalmente, alm de descrever qualitativamente uma quantidade,

necessrio quantificla. Por exemplo, a afirmao a largura de um terreno foi

medidaechegouseao resultadoqueeleapresenta 100 unidadesde largurano

temumsignificadoatqueaunidadedecomprimentosejadefinida.Logo,estabelece

seumsistemadeunidadeparaocomprimentoquando indicadoqueaunidadede

comprimentoometroedefineseometrocomocomprimentopadro.

Almdocomprimento,tornasenecessrioestabelecerumaunidadepara

cada uma das quantidades fsicas bsicas que so importantes em mecnica dos

fluidos,como

fora.

massa,

tempo

etemperatura.

Existemvriossistemasdeunidadeemuso,masgeralmenteconsideram

seapenastrsdosmaisutilizadosnaengenharia;oSistemaBritnicoGravitacional,o

SistemaInglsdeEngenhariaeoSistemaInternacional(SI).

O sistema aceito legalmente na maioria dos pases o sistema SI de

unidadesSIabreviaodeSystmeInternationaldUnits(SistemaInternacionalde

Unidades).AsunidadesbsicasdoSIestolistadasnaTabela2.


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Tabela2UnidadesdoSIGrandeza Unidade Smbolomassa quilograma kg

comprimento metro m

tempo

segundo

s

temperatura Kelvin K

fora newton N

AescaladetemperaturaKelvinabsolutaeestarelacionadacomaescala

Celsius( C )atravsdarelao

273,15K C= +

(1)

ApesardaescalaCelsiusnopertencer ao SI,usualespecificar a temperaturaem

grausCelsiusquantosetrabalhanestesistema.

AunidadedeforanoSIonewton(N )edefinidacomasegundaleide

Newton,isto

( )( )21 1 1 N kg m s= (2)

Assim,umaforade1 N atuandonumamassade1 kg provocarumaaceleraode

21 m s . O mdulo da acelerao da gravidade padro no SI 29,807 m s

(normalmenteaproximaseestevalorpara 29,81 m s ).

AunidadedetrabalhonoSIojoule(J ).Umjouleotrabalhoquandoo

pontode

aplicao

de

uma

fora

de

1 N

deslocado

1 m

na

direo

de

aplicao

da

fora,isto,

1 1 J N m= (3)

AunidadedepotncianoSIowatt (W ).Eladefinidacomoumjoule

porsegundo.Isto,

1 1 1W J s N m s= =

(4)


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4.Massaepesodosfluidos

Amassa especfica de uma substncia, , definida como amassa de

substnciacontidaemumaunidadedevolume.AunidadedamassaespecficanoSI

3kg m .Estapropriedadenormalmenteutilizadaparacaracterizaramassadeum

sistemafluido.

Destemodo,amassaespecficamdiadeumasubstnciacomvolume V

definidapor

m

V

= (5)

onde m amassadasubstncia.Adimensodemassaespecficadadapor 3ML e

suaunidadenosistemaSIo 3kg m .

Os diversos fluidos podem apresentar massas especficas bastante

distintas.Emgeral,amassaespecficados lquidospouco sensvelasvariaesde

presso ede temperatura. Entretanto,paraos gases amassa especfica sofre forte

influnciatanto

da

presso

quanto

da

temperatura.

Ovolumeespecfico, v ,ovolumeocupadoporumaunidadedemassada

substnciaconsiderada.Podesenotarqueovolumeespecficoorecprocodamassa

especfica,isto,

1v =

(6)

Adimensodevolumeespecficodadapor 1 3M L esuaunidadenosistemaSIo

3m kg . Normalmente no se utiliza o volume especfico namecnica dos fluidos,

pormestapropriedademuitoutilizadanatermodinmica.

Opesoespecficodeumasubstncia,designadopor ,definidocomo

sendo o peso da substncia contida numaunidadede volume.Opeso especfico

utilizado

para

caracterizar

o

peso

do

sistema

fluido

e

sua

unidade

no

SI

3

N m .


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Logo,podeseconcluirqueopesoespecficoestrelacionadocomamassa

especficaatravsdaseguinterelao

g= (7)

onde g aaceleraodagravidadelocal.

Adensidadedeumfluido,designadapor SG (specificgravity),definida

comosendoarazoentreamassaespecficadofluidoeamassaespecficadagua

numacerta temperatura.Emgeral,a temperaturaespecificadaparaagua 4 C ,

ondeamassaespecficaiguala 31000 kg m .Nestacondio,temse

subsub

gua

SG =

(8)

Adensidadeumarelaoentremassasespecficas,entoovalorde SG

nodependerdo sistemadeunidadesutilizado.bvioqueamassaespecfica,o

pesoespecficoeadensidade so independentes.Porm,conhecendoumadas trs

propriedades,asoutrasduaspodemserencontradas.


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1.LeidosgasesperfeitosA partir de observaes experimentais estabeleceuse que o

comportamento p v T dos gases a baixa massa especfica dado, com boa

preciso,pelaequaodeestado

pv RT = (1)

ondep

apressoabsolutadogs,v ovolumeespecficomolardogs,

T a

temperatura absoluta do gs e R a constante universal dos gases, cujo valor

8,3145kJ

Rkmol K

= .Dividindo ambos os lados da Equao (1) pelo pesomolecular,

M ,obtmseaequaodeestadonabasemssica,

pv RT = (2)

ondeR

RM

= aconstanteparaumgsparticular.AEquao(2)podeserescritaem

termosdevolumetotal,daseguinteforma

pV mRT= (3)

AsEquaesde (1)a (3)sochamadasequaodeestadoparaosgases

perfeitos.Osgasessomuitomaiscompressveisdoqueos lquidos.Logo,sobcertas

condies, a massa especfica de um gs est relacionada com a presso e a

temperaturaatravsdaequao

p RT = (4)

onde amassaespecficadogs.

Apressonumfluidodefinidacomoaforanormalporunidadederea

exercidanuma

superfcie

plana,

real

ou

imaginria,

imersa

no

fluido

ecriada

pelo

bombardeamentodemolculasdefluidonestasuperfcie.


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Apressoquedeveserutilizadanaequaodeestadodosgasesperfeitos

apressoabsoluta,ouseja,apressomedidaemrelaoapressoabsolutazero(a

presso que ocorreria no vcuo perfeito). Por conveno internacional, a presso

padro

no

nvel

do

mar

101,3 kPa

ou

14,7 psi .

Emengenharia,comummedirpressesemrelaoapressoatmosfrica

locale,nestascondies,aspressesmedidassochamadasmanomtricas(relativas).

Assim, a presso absoluta, absp , pode ser obtida a partir da soma da presso

manomtrica, manp ,comapressoatmosfricalocal, atmp ,ouseja,

abs man atm p p p= + (5)

2.Viscosidade

Amassa especfica e o peso especfico so propriedades que indicam o

peso de um fluido. Porm, estas propriedades no so suficientes para a

caracterizaodos fluidos,poisdois fluidospodemapresentaremmassasespecficas

aproximadamente

iguais

e

apresentarem

comportamentos

bem

distintos

quando

escoarem.Logo,tornasenecessrioalgumapropriedadeparadescreverafluidezdas

substncias.

Figura1Comportamentodeumfluidoentreplacasparalelas


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Neste caso, considere o experimento hipottico, onde um fluido

colocadoentreduasplacas largasparalelas e infinitas, comomostradona Figura 1.

Quandoumafora P aplicadanapartesuperior,estasemovimentacontinuamente

com

velocidade

U .

Nota

se,

neste

caso,

que

h

a

ocorrncia

de

uma

tenso

de

cisalhamento, ,dadapor

P

A= (6)

onde A a rea efetiva da placa superior. Este comportamento condiz com a

definiodefluido,ouseja,seumatensodecisalhamentoforaplicadanofluido,este

sedeforma

continuamente.

Uma anlise detalhada mostra que o fluido em contato com a placa

superiorsemovecomavelocidadedaplaca,U ,queofluidoemcontatocomaplaca

inferiorapresentaumavelocidadenulaequeo fluidoentreasduasplacassemove

comvelocidade u ,dadapor

yu U

b= (7)

onde b adistnciaentreasplacas.

Podese concluir, atravs da Equao (7), que h um gradiente de

velocidade,du

dy,noescoamentoentreasplacas.Nestecaso,ogradientedevelocidade

constanteedadopor

du U

dy b= (8)

A aderncia dos fluidos s fronteiras slidas tem sido observada

experimentalmente e um fato muito importante na mecnica dos fluidos.

Usualmente,estaadernciareferidacomoacondiodenoescorregamento.

Numpequeno intervalodetempo, t ,uma linhaverticalAB(Figura1)no

fluidorotaciona

um

ngulo

.

Assim,

geometricamente,

tem

se


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atg

b=

(9)

Para pequenos ngulos, temse que tg , conseqentemente a

Equao(9),podeserescritadaseguinteforma

a

b=

(10)

AvelocidadeU podesercalculadaatravsdaexpresso

aU

t

=

(11)

deondepodeseescreveraexpresso

a U t= (12)

SubstituindoaEquao(12)naEquao(10)resultanaseguinteexpresso

U t

b=

(13)

ou

U

t b=

(14)

Observe que funo da fora P , que determina U , e do tempo.

Considere

a

taxa

de

variao

de

com

o

tempo

e

pode

se

definir

a

taxa

de

deformaoporcisalhamento, ,atravsdaequao

0limt t

=

(15)

Logo, a taxa de deformao por cisalhamento no caso do escoamento

entreasplacasparalelas,dadapor


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U

b= (16)

Atravs da Equao (8) podese concluir que a taxa de deformao por

cisalhamentotambmpodeserdadaemfunodogradientedevelocidade,ouseja

du

dy= (17)

Desta forma, podese concluir que um fluido quando submetido a uma

tensodecisalhamento, ,experimentaumataxadedeformaodadapordu

dy.

Variando as condies deste experimento verificase que a tenso de

cisalhamento, ,aumentaseforaumentadoovalorde P equeataxadedeformao

porcisalhamento, ,aumentaproporcionalmente,ouseja

(18)

ou

du

dy (19)

Esteresultadoindicaque,parafluidoscomuns,atensodecisalhamentoe

ataxadedeformaoporcisalhamentopodemserrelacionadascomumaequaoda

forma

dudy

= (20)

onde a constantedeproporcionalidade, , denominada viscosidadedinmicado

fluido.

Analisando a Equao (20), podese concluir que os grficos de em

funodedu

dydevemserretascominclinaoiguala .Ovalor de variadefluido

parafluidoe,paraumfluidoemparticular,estevalordependemuitodatemperatura.


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Arazoentreaviscosidadedinmica, ,eamassaespecfica, ,deuma

substnciaconhecidacomoviscosidadecinemtica,.Isto,

=

(21)

Osfluidosqueapresentamrelaolinearentreatensodecisalhamentoe

a taxa de deformao por cisalhamento so denominados fluidos newtonianos. A

maioriadosfluidoscomuns,tantolquidoscomogases,sonewtonianos.

Os fluidos que no apresentam relao linear entre a tenso de

cisalhamentoeataxadedeformaoporcisalhamentosochamadosdefluidosno

newtonianos.Porm,existem fluidosnonewtonianosqueapresentamoutros tipos

decomportamento.

Para muitas aplicaes em engenharia, um fluido nonewtoniano

apresentaaseguinterelao

ndu

kdy

=

(22)

onde n ondicedecomportamentoe k ondicedeconsistncia.AEquao(22)

podeserescritadaseguinteforma

ap

du

dy= (23)

onde ap a inclinao da curva tenso de cisalhamento em funo da taxa de

deformao por cisalhamento, e denominada viscosidade dinmica aparente. A

viscosidadedinmicaaparentedadapor

1n

ap

duk

dy

= (24)

Paraosfluidosnewtonianosaviscosidadedinmicaaparente, ap ,igual

aviscosidade

dinmica,

,

eindependente

da

taxa

de

cisalhamento.


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Para os fluidos no dilatantes (curva acima da referente ao fluido

newtoniano),aviscosidadeaparentediminuicomoaumentodataxadecisalhamento,

isto , a viscosidade aparente se tornar menor quanto maior for a tenso de

cisalhamento

imposta

no

fluido.

Um

exemplo

desse

tipo

de

fluido

a

tinta

ltex.

Paraosfluidosdilatantes(curvaabaixodareferenteaofluidonewtoniano),

aviscosidadedinmicaaparenteaumentacomoaumentoda taxadecisalhamento,

isto , ela se torna cada vez mais alta quanto maior for a tenso de cisalhamento

impostaao fluido.Comoexemplos,podemsecitarasmisturasguameldemilhoe

guaareia(areiamovedia).

Algunsmateriaispodemresistirauma tensodecisalhamento finitasem

semover(assim,elenoumfluido)mas,umavezexcedidaatensodeescoamento,

o material se comporta como um fluido e escoa (assim, ele no slido). Esses

materiaissoconhecidoscomoplsticosdeBingham.

fcil deduzir que as dimenses para a viscosidade dinmica, , e

viscosidadecinemtica, , so 2FL T e 2 1L T , respectivamente.NoSIasunidades

paraaviscosidadedinmica, ,eviscosidadecinemtica,,so 2 N s m e 2m s .

Aviscosidadedinmicavariapoucocomapressoeoefeitodavariaoda

pressosobreovalordaviscosidadenormalmentedesprezado.Porm,aviscosidade

muitosensvelasvariaesdetemperatura.

Estavariaodaviscosidadedinmicacomrelaoatemperaturavariade

fluidoparafluido.Aviscosidadedoslquidosdecrescecomoaumentodatemperatura,

enquanto paraos gases a viscosidade cresce como aumentoda temperatura. Esta

diversidadeentrelquidosegasesdevediferenaqueexisteentreassuasestruturas

moleculares.

A influncia das variaes de temperatura na viscosidade pode ser

estimada com duas equaes empricas. A equao de Sutherland, adequada para

gases,

3 2C T

T S= + (25)


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onde C e S soconstantesempricase T atemperaturaabsoluta.Conhecendoo

valor de para duas temperaturas diferentes, podese estimar os valores para as

constantes C e S .

Paralquidos,

aequao

emprica

utilizada

aequao

de

Andrade,

dada

por

B TD e= (26)

ondeD eB soconstantesempricaseT atemperaturaabsoluta.Anlogoaocaso

daEquao(25),conhecendoovalorde paraduastemperaturasdiferentes,pode

se

estimar

os

valores

para

as

constantes

D

e

B .


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1.CompressibilidadedosfluidosApropriedadenormalmenteutilizadaparacaracterizaracompressibilidade

deumfluidoomdulodeelasticidadevolumtrico, vE ,quedefinidopor

v

dpE

dV V= (1)

onde dp avariaodiferencialdepressonecessriaparaprovocarumavariao

diferencialdevolume dV numvolume V .OsinalnegativonaEquao(1)indicaque

umaumentodepressoresultarnumadiminuiodovolumeconsiderado.

Sabese que um decrscimo no volume de uma dada massa, m V= ,

resultaemumaumentodemassaespecfica.Logo,aEquao (1)podeserreescrita

como

v dpEd

=

(2)

A dimenso do mdulo de elasticidade volumtrico 2FL . Assim, no

sistema SI, sua unidade amesma de presso, ou seja, ( )2 N m Pa .Um fluido

incompressvelquandoovalordoseumdulodeelasticidadevolumtricogrande,

isto , necessitase de uma grande variao de presso para criar uma pequena

variaono

volume

ocupado

pelo

fluido.

Os valores do mdulo de elasticidade volumtrico para os lquidos so

grandes. Logo, os lquidos podem ser considerados incompressveis na maioria dos

problemasdeengenharia.Ovalorde vE paraos lquidosaumentacomapresso,

masoqueimportaoseuvaloraumapressoprximadaatmosfera.Quando os gases so comprimidos, ou expandidos, a relao entre a

pressoeamassa

especfica

depende

da

natureza

do

processo.

Se

acompresso,

ou

expanso,ocorreatemperaturaconstante(processoisotrmico),temse


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pC=

(3)

onde C umaconstante.

Se a compresso, ou a expanso, ocorre sem atrito e calor no

transferidodogsparaomeioeviceversa(processoisoentrpico),temse

k

pC=

(4)

onde k arazoentreocalorespecficoapressoconstante, pc ,eocalorespecfico

avolume

constante,

vc ,isto

p

v

ck

c= (5)

Osdoiscaloresespecficosestorelacionadoscomaconstantedogs, R ,

atravsdarelao

p v R c c= (6)

Omdulodeelasticidadevolumtricopodeserfacilmenteobtidotendose

uma equao de estado explcita, que relaciona a presso em funo da massa

especfica. Este mdulo pode ser determinado a partir do clculo de dp d e

substituindooresultadonaEquao(2).

Assim,

para

um

processo

isotrmico,

obtm

se

vE p= (7)

eparaumprocessoisoentrpico,obtmse

v E kp= (8)


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2.Tensosuperficial

detectadonainterfaceentreumlquidoeumgs,ouentredoislquidos

imiscveis,aexistnciadeforassuperficiais.Estasforasfazemcomqueasuperfcie

do lquidosecomportecomoumamembranaesticada sobreamassa fluida.Apesar

destamembrananoexistir,aanalogiaconceitualpermiteexplicarmuitosfenmenos

observadosexperimentalmente.

Por exemplo, uma agulha de ao flutua na gua se esta for colocada

delicadamentenasuperfcielivredofluido,devidoaofatodeque tensodesenvolvida

namembranahipotticasuportaaagulha.Pequenasgotasdemercriosoformadas

quandoofluido

vertido

numa

superfcie

lisa,

pois

as

foras

coesivas

na

superfcie

tendemasegurarasmolculasjuntasenumaformacompacta.

Estes fenmenos superficiais soprovocadospelodesbalanodas foras

coesivas que atuam nas molculas de lquido que esto prximos superfcie do

fluido.Asmolculasque esto no interiordamassa de fluido esto envolvidas por

outrasmolculasqueseatraemmutuamentee igualmente.Entretanto,asmolculas

posicionadas na regio prxima a superfcie esto sujeitas a foras lquidas que

apontam para o interior. A conseqncia fsica o surgimento da membrana

hipottica.

Podeseconsiderarqueaforadeatraoatuanoplanodasuperfcieeao

longodequalquerlinhanasuperfcie.Aintensidadedaatraomolecularporunidade

de comprimento ao longo de qualquer linha na superfcie chamada de tenso

superficial, .

A tenso superficial uma propriedade do lquido e depende da

temperatura bem como do outro fluido que est em contato com o lquido. A

dimensodatensosuperficial 1FL eaunidadenoSIN m .


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Figura1Forasqueatuamnametadedeumagotadelquido

Apressodentrodeuma gotade fluidopode ser calculadautilizandoo

diagramade

corpo

livre

mostrado

na

Figura

1.

Se

agota

esfrica

cortada

pela

metade,aforadesenvolvidaaolongodaborda,devidaatensosuperficial, 2 R .

Estaforaprecisaserbalanceadapelaforaprovocadapeladiferenadepresso, p ,

entreapressointerna, intp ,eaexterna, extp ,queatuasobrearea2

R .

Assim,podeseescrever

2

2 0 R p R =

(9)

ou

2p

R =

(10)

ondeint ext p p p = . O resultado obtido na Equao (10) mostra que a presso

internada

gota

maior

do

que

apresso

no

meio

que

envolve

agota.

Um dos fenmenos associados com a tenso superficial a subida, ou

queda,deumlquidonumtubocapilar,comomostradonaFigura2.Seumtubocom

dimetropequenoeaberto inseridonagua,onveldaguanotubosubiracima

nonveldoreservatrio(verFigura2.a).Nestecasoidentificaseumainterfaseslido

lquidogs.Aatraoentree asmolculasdaparededotuboeasdolquidoforteo

suficienteparasobrepujaraatraomtua(coeso)dasmolculasdofluido.Ento,o

fluidosobenocapilareditoqueolquidomolhaasuperfcieslida.


21/129



Figura2Ascensoedepressocapilardentroeforadeumtubocircular

Aalturadacolunadelquido, h ,funodosvaloresdatensosuperficial,

,doraiodotubo,R ,dopesoespecfico, ,edonguloentreofluidoeomaterial

do tubo, .Analisandoodiagramado corpo livre, Figura3,podese concluirquea

foraverticalprovocadapelatensosuperficial 2 cosR equeopesodacoluna

2R h .

Figura3Diagramadecorpolivrenaascensocapilar

A fora vertical provocada pela tenso superficial e o peso da coluna

devemestaremequilbrio.Nestecaso,temse

22 cos 0 R h R = (11)


22/129



Assim,aalturadacolunadadapelaequao

2 cosh

R=

(12)

eongulodecontatofunodacombinaolquidomaterialdasuperfcie.


23/129




EXERCCIOSPROPOSTOS01) O volume especfico do nitrognio contido num tanque 30,54 m kg quando atemperatura do gs igual a 15 C . Sabendo que a presso atmosfrica local igual a

97 kPa , determine a presso relativa no gs.

02) Ar a 20 C e 120 kPa (absoluta) comprimido isoentropicamente at a presso

absoluta de 400 kPa . Determine a massa especfica e a temperatura do ar no estado

final. Sabe-se que para o ar tem-se 0,287 R kJ kg K = e 1,4k= .

03) A distribuio de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas

paralelas dada por

22

1mx

u y

u h

=

onde h a distncia entre as placas e a origem est situada na linha mediana entre as

placas. Considere um escoamento de gua a 15 C , onde 3 21, 2 10 N s m= , com

1mxu m s= e 20h mm= . Determine a fora sobre uma seo de21 m da placa

inferior e d o seu sentido.

04) A presso pode ser determinada medindo-se a altura da coluna de lquido num tubo

vertical. Qual o dimetro de um tubo limpo de vidro necessrio para que o movimento

de gua promovido pela ao capilar seja menor do que 1,0 mm ? Admita que a

temperatura uniforme e igual a 20 C . Sabe-se que a gua na temperatura de 20 C

tem uma tenso superficial dada por 0,0728 Pa= .

05) Um tubo de vidro, aberto e com 5 mm de dimetro interno inserido num banho de

mercrio a 20 C . Qual ser a depresso do mercrio no tubo? Sabe-se que a densidade

do mercrio 13,6SG = e a tenso superficial 484 mPa .


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AULA05AESTTICADOSFLUIDOS

Um fluido definido como sendo uma substncia que escoar ou

deformarcontinuamentesemprequeumatensodecisalhamentoagirsobreela,por

menorquesejaestatenso.Logo,podeseafirmarqueatensodecisalhamentoem

um fluidoem repousodeveserzero.Apenasa tensonormalestpresenteemum

fluidoestticoouemummovimentodecorporgido.

Em um fluido homogneo e esttico,ou em um fluido submetido a um

movimento de corpo rgido, uma partcula fluida retm sua identidade por todo o

tempoeos

elementos

fluidos

no

deformam.

Logo,

pode

se

aplicar

asegunda

lei

do

movimentodeNewtonparaavaliarasforasagindosobreumapartculafluida.

Oprincipalobjetivodestecaptulooestudodapresso,decomoelavaria

no meio fluido e do efeito da presso sobre superfcies imersas. A ausncia das

tensesdecisalhamentosimplificamuitoamodelagemdosproblemasepermiteque

seobtenhasoluesrelativamentesimplesparamuitassituaesemengenharia.

1.PressoemumpontoO termopresso utilizadopara indicar a foranormalporunidadede

rea que atua sobre um ponto do fluido em um dado plano. Devese, no entanto

analisarcomoapressovariacomaorientaodoplanoquepassapeloponto.

Para isso,considereodiagramadecorpo livremostradonaFigura1.Esta

figurafoiconstrudaremovendose,arbritariamente,umpequenoelementodefluido,

com a forma de uma cunha triangular, de um meio fluido. Como a tenses de

cisalhamentosonulas,asnicasforasexternasqueatuamnacunhasoasdevidas

aopesoeapresso.Emtermosdesimplificaonosemostraasforasnadireo x

eoeixo z tomado como sendoovertical,ondeopesoatuano sentidonegativo

desteeixo.Fazseumaanlisegeraleadmitesequeoelementofluidoapresentaum

movimentoacelerado.


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A hiptese de que as tenses de cisalhamento so nulas ser ideal

enquantoomovimentodoelementofluidoforigualaqueledeumcorporgido,isto,

ondeoselementosadjacentesnoapresentammovimentorelativo.

Figura1Forasnumelementodefluidoarbitrrio

Osomatriodas forasnasdirees y e z sodados, respectivamente,

pelasequaes

y y sF p x z p x s sen = (1)

cos2

z z s

x y zF p x y p x s

= (2)

onde

sp ,

yp

e

zp

so

as

presses

mdias

nas

superfcies

da

cunha

e

o

peso

especficodofluido.

Como y yF ma= e z zF ma= ,podesereescreverasEquaes(1)e(2)

dasseguintesformas,respectivamente,

2 y s y

x y z p x z p x s sen a

= (3)


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cos2 2

z s z

x y z x y z p x y p x s a

= (4)

onde amassaespecficadofluidoe ya , za soasaceleraesnasdirees y e

z ,respectivamente.AnalisandoageometriadaFigura1,podeseconcluirque

cosy s = (5)

z s sen = (6)

Logo, substituindo as Equaes (5) e (6) nas Equaes (3) e (4),

respectivamente,esimplificandooresultadoobtmseasequaes

2 y s y

y p p a

= (7)

( )2

z s z

z p p a

= + (8)

Interessase no que acontece num ponto, neste caso, analisase o caso

limiteonde

x ,

ye

ztendem

azero,

mantendo

se

ongulo

constante.

Assim,

asEquaes(7)e(8)podemserescritas,respectivamente,como

0y sp p = (9)

0z sp p = (10)

DasEquaes(9)e(11)podesechegaraoseguinteresultado

s y z p p p= = (11)

Comoaescolhadongulo arbitrria,podeseconcluirqueapresso

num ponto de um fluido em repouso, ou num movimento onde as tenses de

cisalhamentonoexistem,soindependentesdadireo.


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2.Aequaobsicadaestticadosfluidos

Agora pretendese encontrar a equao bsica da esttica dos fluidos.

Logo,aplicaseasegundaleideNewtonaumelementodefluidodiferencialdemassa

dm dV = ,comlados dx , dy e dz conformemostradonaFigura2.

Figura2Elementodiferencialdefluidoeforasdepresso

As foras que atuam em umapartcula fluida so deduas naturezas: as

foras de campo (tambm chamadas de foras de corpo) e as foras de superfcie

(tambmchamadasdeforasdecontato).Asforasdesuperfcieconsideradassoas

devidoapressoouaocisalhamento,enquanto,anicaforadecampoquedeveser

consideradadecorrentedagravidade.

Uma

vez

que

para

fluidos

estticos

no

h

tenso

de

cisalhamento,

ento,

a nica fora de superfcie fora de presso. A presso um campo escalar,

( ), ,p p x y z= ,variandocomaposiodentrodo fluido.Emcada facedocuboatua

umaforadevidopresso,queumprodutoentredoisfatores.Ouseja,amagnitude

dapressomultiplicadapelareapara resultarnamagnitudeda foradepresso.

Nocentodocuboatuaaforapeso(devidoagravidade)nadireonegativadoeixo

z .


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Aforaresultantenadireox dadapor

2 2x

p dx p dxdF p dy dz p dy dz

x x

= +

(12)

ou

x

pdF dx dy dz

x

=

(13)

Aforaresultantenadireox dadapor

2 2y p dy p dydF p dx dz p dx dz

y y = +

(14)

ou

y

pdF dx dy dz

y

=

(15)

AforapesoparaoelementofluidodiferencialW g dx dy dz= . Logo,a

foraresultantenadireoz dadapor

2 2z

p dz p dzdF p dx dy p dx dy g dx dy dz

z z

= +

(16)

ou

z

pdF g dx dy dz

y

= +

(17)

Aformavetorialdaforaresultantequeatuanoelemento

x y zd F dF i dF j dF k = + +

(18)

onde i

, j

e k

soos vetoresunitriosnasdirees x , y e z , respectivamente.

Substituindoas

Equaes

(13),

(14)

e(15)

na

Equao

(18)

resulta

na

equao

vetorial


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p p pd F i j g k dx dy dz

x y z

= + +

(19)

Como

dV dx dy dz= ,

onde

dV

o

volume

do

elemento

diferencial,

ento

aEquao(19)podeserreescritacomo

p p pd F i j g k dV

x y z

= + +

(20)

ou

p p pd F i j k g k dV x y z

= + +

(21)

PodeseescreveraEquao(21)daseguinte

( )d F p g dV = +

(22)

onde p p p

p i j k

x y z

= + +

ovetorgradientedepressoe g g k=

ovetor

gravidade.Fisicamente,ogradientedepressoonegativodaforadesuperfciepor

unidadedevolumedevidopresso.Onveldepressonoimportantenaavaliao

da foraresultantedapresso.Emvezdisto,oque importaa taxadevariaoda

pressocomadistncia,ouseja,ogradientedepresso.

Aforaresultanteporunidadedevolumeescritadaseguinteforma,

d Fp g

dV= +

(23)

Paraumapartculafluida,asegundaleideNewtonfornece

d F a dm=

(24)

ou,como dm dV = ,


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d F a dV =

(25)

DaEquao(25),podeseescreveraequao

d Fa

dV=

(26)

ecomoparaumfluidoesttico 0a =

,ento,temse

0d F

dV=

(27)

Combinandoas

Equaes

(23)

e(27)

pode

se

escrever

0p g + =

(28)

ondeotermo ( )p significaaforadepressoresultanteporunidadedevolumeem

umpontoe ( )g

significaaforadecampoporunidadedevolumeemumponto.A

Equao(28)umaequaovetorialepodeserescritanaseguinteformaalternativa

0 p p p

i j g k x y z

+ + =

(29)

Da Equao (29) podese escrever trs equaes unidimensionais nas

direesx , y ez ,

0p

x

=

(30)

0p

y

=

(31)

0p

gz

+ =

(32)


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Logo, podese concluir, de acordo com as consideraes feitas, que a

pressodependeapenasdavarivel z ,oqueimplicaqueaderivadatotal,d p

d z,pode

serusada

no

lugar

da

derivada

parcial,

p

z

.Assim,

d pg

d z= (33)

AEquao (33) a relaobsicapressoalturadaestticados fluidos.

Estaequaoestsujeitasasseguintesrestries

1. Fluidoemrepouso2. Agravidadeanicaforadecampo3. Oeixoz verticaleapontaparacima

Paradeterminaradistribuiodepressonum fluidoesttico,aEquao

(33)podeser integrada,aplicandoseascondiesdecontornoapropriadas.Devese

lembrardo fatodequeosvaloresdepressodevemserestabelecidosemrelaoa

umnvel

de

referncia.

Se

este

nvel

de

referncia

for

ovcuo,

as

presses

so

denominadasabsolutas.


32/129




1.Variaodepressoemumfluidoesttico

Foi visto anteriormente que a presso p de um fluido em repouso

funo apenas da varivel z e que a relao bsica pressoaltura dada pela

equaodiferencialordinria

dpg

dz= (1)

AEquao(1)fundamentalparaoclculodadistribuiodepressonos

casos onde o fluido est em repouso e pode ser utilizada para determinar como a

presso varia com a elevao. Esta equao indica que o gradiente de presso

decrescequandohummovimentoparacimaemumfluidoesttico.

AEquao(2)podeserescritanaseguinteformadiferencial

dp g dz= (2)

Na integrao da Equao (2) para encontrar a distribuio de presso,

devem ser feitas consideraes sobre as variaes da massa especfica, , e da

acelerao da gravidade, g . Porm, para a maioria das situaes prticas da

engenharia,consideramsedesprezveisasvariaesdaaceleraodagravidade,neste

casoconsiderase g constantecomaaltitudeemqualquerlocaldado.

Inicialmente

considera

se

o

caso

de

um

fluido

incompressvel,

isto

,

um

lquido. No caso dos lquidos a variao de massa especfica pode ser desprezada,

mesmoquandoasdistnciasverticaisenvolvidassosignificativas.

Logoparaahiptesedamassaespecficaconstanteecomoaacelerao

da gravidade tambm considerada constante, devese aplicar condies de

contornosapropriadasparaaobtenodavariaodepresso.Sabendoovalorda

presso 1p nonvel 1z ,podesedeterminarovalordapresso 2p nonvel 2z ,como

mostraaFigura1.


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Figura1Clculodapressonumponto

Ento,aplicandoacondio ( )1 1 p z p= ,podeseresolveraEquao(2)da

seguinteforma

2 2

11

p z

p z

dp g dz= (3)

oqueresultaem

( )2 1 2 1 p p g z z = (4)

ou

( )2 1 1 2 p p g z z =

(5)

Para lquidos, em geral, conveniente colocar a origem do sistema de

coordenadasnasuperfcie livreemedirasdistnciasparabaixoapartirdasuperfcie

comosendopositivas.Fazendo,ento, 1 2h z z= ,podeseescrever

2 1 p p g h = (6)

ouainda


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2 1 p p g h= + (7)

AEquao (7) indicaque adiferenadepressoentredoispontosnum

fluidoem

repouso

pode

ser

calculada

atravs

da

medida

da

diferena

de

elevao

entre dois pontos. Os dispositivos utilizados para esta finalidade so chamados de

manmetros.

PodeseobservardaEquao (6)queadiferenaentrepressesdedois

pontospodeserespecificadospeladistncia h ,isto,

2 1p ph

g

=

(8)

Neste caso, adistncia h denominada carga e interpretada como a

altura da coluna e fluido com massa especfica necessria para provocar uma

diferenadepresso 2 1p p .

Figura2Pressoemqualquerprofundidade

Sempreexisteuma superfcie livrequando se trabalha com lquidos (ver

Figura2)econvenienteutilizarovalordapressonestasuperfciecomoreferncia.

Assim,apressodereferncia 0p correspondeapressoqueatuanasuperfcielivre

(usualmente igual a presso atmosfrica). Ento, fazendo 1 0p p= e 2p p= na

Equao(7)obtmseaseguinteequao


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0 p p g h= + (9)

DeacordocomaEquaes(7)e(9)podeseconcluirqueadistribuiode

pressopara

um

fluido

homogneo,

incompressvel

eem

repouso

no

tem

influncia

algumacomotamanhoouformadotanqueourecipientequecontmofluido,sendo

funoapenasdaprofundidade.

Figura3Equilbriodeumfluidonumrecipientedeformaarbitrria

DeacordocomaFigura3,todosospontoscontidosnalinhaABpossuema

mesmapressomesmoorecipientetendoumaforma irregular.Logo,ovalorrealda

presso ao longo da linha AB depende apenas da profundidade, h , da presso na

superfcielivre, 0p ,edamassaespecficadofluidocontidonorecipiente.

O fato da presso ser constante num plano com fundamental para a

operaodedispositivoshidrulicoscomomacacos,elevadores,prensas,controlesde

aviesedemquinaspesadas.Oaspectobsicodofuncionamentodestesdispositivos

esistemasestmostradonaFigura4.

Um pisto localizado num sistema fechado e repleto de lquido (por

exemplo,leo)utilizadoparavariarapressonosistemaeassimtransmitirafora

1 1 1F p A= noponto1paraum segundopistoqueapresentauma fora resultante

2 2 2F p A= noponto2.Aspressesnospontos1e2sodadas,respectivamente,por


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11

1

Fp

A= (10)

222

Fp

A= (11)

Figura4Transmissodapressonumfluido(Fonte:FrankM.White FluidMechanics Sixth

Edition)

Comoaspressesnospontos1e2soiguais, 1 2p p= ,devidoestaremem

uma mesma altura, ento, combinado as Equaes (10) e (11) temse o seguinte

resultado

22 1

1

AF F

A

=

(12)


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Observequearea 2A muitomaiorquearea 1A .Nestecaso,podese

amplificaromdulodeuma fora,ouseja,uma forapequenaaplicadanopisto1

podeseramplificadanopisto2.Aforaaplicadanopisto1,comrea 1A ,podeser

geradamanualmenteetransmitidaatravsdealgumdispositivomecnicoouatravs

dearcomprimidoatuandodiretamentenasuperfciedolquido.

Agora, pretendese modelar a distribuio de presses para fluidos

compressveis,tais comoooxignioenitrognio.Nestecaso,amassaespecficano

constante e sofrem variaes significativas com as alteraes de presso e

temperatura.

Logo,antes

de

se

resolver

aEquao

(2)

deve

se

levar

em

conta

que

a

massaespecfica, ,paraessefluidosvariam.Entretantoamassaespecficadosgases

comunssopequenasemrelaoaosfluidos.AnalisandoaEquao (1)notaseque,

nestes casos, o gradiente de presso na direo vertical pequeno pois a massa

especficadosgasesnormalmentebaixa.Assim,avariaodepressonumacoluna

de ar com centenas de metros pequena. Logo, podese desprezar o efeito da

variaode elevao sobre apressono gs contido em tanquese tubulaesque

apresentamdimensesverticaismoderadas.

Paraoscasosondeavariaodealturagrande,daordemdemilharesde

metros,deveseconsideraravariaodamassaespecficado fluidonosclculosdas

variaesdepresso.Paraumgsperfeitotemse

p

R T= (13)

onde p apressoabsolutadogs, R aconstantedogse T a temperatura

absolutadogs.SubstituindoaEquao(13)naEquao(1)resultaem

pdp g dz

RT= (14)

ou,separandoasvariveis,


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dp gdz

p RT = (15)

Logo,sabendoovalordapresso 0p nonvel 0z ,podesedeterminaro

valordapresso 2p nonvel 2z ,daseguinteforma

0 0

p z

p z

dp g dz

p R T = (16)

Antes de resolver a Equao (16) necessrio especificar como a

temperaturavaria

com

aelevao.

Por

exemplo,

se

for

admitido

que

atemperatura

constanteeiguala 0T ,temse

00 0

p z

p z

dp gdz

p R T = (17)

queresultaem

( )00 0

lnp g

z z p RT

= (18)

ResolvendoologaritmodaEquao(18)obtmseoseguinteresultado

( )00 0

expp g

z z p RT

=

(19)

ou

( )0 00

expg

p p z zRT

=

(20)

AEquao(20)fornecearelaoentreapressoeaalturanumacamada

isotrmica

de

um

gs

perfeito.


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2.Atmosferapadro

Uma aplicao importante da Equao (16) o clculo da variao da

pressonaatmosferaterrestre.Medidasdepressonumagrandefaixadealtitudese

para condies ambientais especficas (temperatura e presso de referncia) so

informaesquenormalmentenoestodisponveis.Logo,umaatmosferapadrofoi

desenvolvidaparaserutilizadanoprojetodeavies,msseiseespaonaves,etambm

paracompararocomportamentodestesequipamentosnumacondiopadro.

O conceito de atmosfera padro foi desenvolvido na dcada de 1920 e

desde ento muitas organizaes nacionais e internacionais tem desenvolvido este

padro.A

atmosfera

americana

padro

atual

baseada

no

documento

publicado

em

1962equefoirevisadoem1976.Estaatmosferatambmutilizadacomopadroem

vrios outros pases. A atmosfera padro uma representao ideal da atmosfera

terrestreefoiavaliadanumalatitudemdiaenumacondioambientalmdiaanual

daatmosferaterrestre.

Tabela1

Propriedades

da

Atmosfera

Padro

Americana

no

nvel

do

mar

Temperatura,T ( )288,15 15K C Presso, p ( )101,3 kPa abs

Massaespecfica, 31, 225 kg m

Pesoespecfico, 312,014 N m

Viscosidade, 5 21,789 10 N s m

ATabela1mostraalgumaspropriedadesimportantesnaatmosferapadro

relativasaonveldomar.Naatmosferapadroatemperaturadiminuicomaaltitude

naregioprximaasuperfciedaTerra(troposfera),ficaaproximadamenteconstante

naestratosferaediminuinaprximacamada.


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Avariaode temperaturanaatmosferapadrorepresentadaporuma

sriede segmentos lineares.Assim, a integraoda Equao (16) possvelpara a

obtenodavariaodepressocorrespondente.

Porexemplo,

na

troposfera

(regio

que

se

estende

at

uma

altura

aproximadamenteiguala11km),adistribuiodetemperaturadadapor

0T T z= (21)

onde 0T a temperaturanonveldomar ( 0z = ) e a taxadedecaimentoda

temperatura.

Acondio

neste

caso

seria

para

0z = temse 0T T= e 0p p= .Logopode

seescreveraEquao(16)daseguinteforma

000

p z

p

dp g dz

p R T z=

(22)

ResolvendoaEquao(22)obtmse

0

0 0

ln lnT zp g

p R T

=

(23)

DaEquao(23)obtmseoseguinteresultado

00

0

g RT z

p p

T

=

(24)


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1.MedidasdepressesemanometriaA presso uma caracterstica muito importante do campo de

escoamento.Poressemotivo,vriosdispositivosetcnicasforamdesenvolvidoseso

utilizados para suamedio. A presso num ponto de um sistema fluido pode ser

designadaemtermosabsolutosourelativos(manomtricas).

Aspressesabsolutassomedidasemrelaoaovcuoperfeito(presso

absoluta nula), enquanto a presso relativa (manomtrica) medida em relao a

presso atmosfrica local.Destemodo, a presso relativa nula corresponde a uma

presso igualapressoatmosfrica.Aspressesabsolutassosemprepositivas,mas

aspressesrelativaspodemserpositivas(pressomaiordoqueapressoatmosfrica

local)ounegativas(pressomenordoqueapressoatmosfricalocal).

Uma das tcnicas utilizadas na medio da presso envolve o uso de

colunasde lquidosverticaisou inclinadas.Osdispositivosparaamedidadapresso

baseadosnesta

tcnica

so

denominados

manmetros.

Os

trs

tipos

usuais

de

manmetrossootubopiezomtrico,omanmetroemUeocomtuboinclinado.

O tipomaissimplesdemanmetroconsistenum tuboverticalabertono

topoeconectadoaorecipientenoqualsedesejamedirapresso(verFigura5).

Figura5Tubopiezomtrico


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Comoacolunadelquidoestemequilbrio,podeseescrever

0 p p g H = + (1)

Estaequao

fornece

ovalor

da

presso

gerada

por

qualquer

coluna

de

fluidohomogneoemfunodapressodereferncia 0p edadistnciaverticalentre

osplanosqueapresentam p e 0p .

Lembresequeapressoaumentarquandoocorreummovimentopara

baixonumacolunadefluidoemequilbrioedecrescerseomovimentoforparacima.

AaplicaodaEquao(1)aotubopiezomtricodaFigura5indicaqueapresso Ap

podeserdeterminadaapartirdeH atravsdarelao

A p g H = (2)

onde amassaespecficadolquidodorecipiente.

Notequeapresso0

p foiigualadaazero(otuboabertonotopo)eisso

implica que se lida com presses relativas (manomtricas). A altura H deve ser

medidaapartirdomeniscodasuperfciesuperioratopontoB.ComoopontoBeo

pontoAdorecipienteapresentamamesmaelevao,temseque A Bp p= .Logo,

B p g H = (3)

Autilizaodotubopiezomtricomuitorestritaesadequadoousonos

casosondeapressonorecipientemaiordoqueapressoatmosfrica.Almdisso,

noreservatrionopodesermuitogrande(paraqueaalturadacolunasejarazovel).

Estedispositivospodeserutilizadoseofluidocontidonorecipienteforumlquido.

OmanmetrocomtuboemUfoidesenvolvidoparasuperaralgumasdas

dificuldadesencontradasnousodotubopiezomtrico.AFigura6mostraumesboo

deste tipo de manmetro e o fluido que se encontra no tubo do manmetro

denominado fluidomanomtrico.Para aobtenodapressonopontoA, Ap ,em

funodas

alturas

das

vrias

colunas,

aplica

se

aEquao

(9)

nos

vrios

trechos

preenchidoscomomesmofluido.


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Figura6ManmetrocomtuboemUsimples

ApressonopontoAigualapressonopontoB,isto A Bp p= .Logoa

pressonopontoC, Cp ,igualasomade Ap com A Agh ,ouseja,

C A A A p p g h= + (4)

ApressonopontoC, Cp , igualapressonopontoD, Dp ,poisaelevaoa

mesma.

DemodoanlogopodesedeterminarapressonopontoD, Dp ,usandoa

Equao(9)daseguinteforma

0 D B B p p g h= + (5)

onde0

p apressorelativaparaasuperfcie.Como0

0p = ,resultaem

D B B p g h= (6)

IgualandoasEquaes(4)e(6)resultanaexpresso

A A A B B p g h g h+ = (7)


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ou

A B B A A p g h g h= (8)

Agrande

vantagem

do

manmetro

com

tubo

em

U

que

ofluido

manomtricopodeserdiferentedofluidocontidonorecipienteondeapressodeve

serexaminada.

OmanmetrocomtuboemUtambmpodeserutilizadoparadeterminar

diferenasdepressoemsistemas fluidos.Considereomanmetroconectadoentre

osrecipientesAeBdaFigura7.Adiferena A Bp p podeserdeterminadademodo

anlogoasoluo

obtida

em

para

aEquao

(8).

Figura7ManmetrodiferencialemU

Paramanmetrosqueusammltiplos lquidos,comomostradonaFigura

7,asseguintesregrassoteisnaanlise:

Quaisquerdoispontosnamesmaelevaoemumvolumecontnuodomesmolquidoestomesmapresso.

A presso cresce medida que se desce na coluna de lquido e decresce medidaquesobenacolunadelquido.

Paradeterminaradiferenadepresso, A Bp p ,entredoispontos,AeB,

separadosporumasriedefluidos,aseguinteequaopodeserusada


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A i i B p g h P+ = (9)

onde i e ih representam as massa especficas e as alturas (profundidades) dos

vriosfluidos,

respectivamente.

Deve

se

lembrar

do

fato

de

que

as

alturas

ih , so

positivasparabaixoenegativasparacima.

Logo,usandoaEquao(9),podeseescrever

A A A B B C C B p gh gh gh p+ = (10)

oqueresultanaexpressoparaadiferenadepresso, A Bp p ,dadapor

A B A A B B C C p p gh gh gh = + + (11)

Normalmente, os efeitos da tenso superficial nas vrias interfaces do

fluido manomtrico no so considerados. Os dois fluidos manomtricos mais

utilizados so a gua e o mercrio. Estes dois fluidos formam um menisco bem

definido e apresentam propriedades bem conhecidas. claro que o fluido

manomtricodeve

ser

imiscvel

nos

fluidos

que

esto

em

contato

com

ele.

Figura8Manmetrocomtuboinclinado

O manmetro esboado na Figura 8 freqentemente usado para

mediesdepequenasvariaesdepresso.Umapernadomanmetro inclinada,

formandoumngulo comoplanohorizontal,ea leitura L medidaao longodo

tuboinclinado.


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Nestascondies,temse

A A A B C C B p gh g Lsen gh p+ = (12)

ou

A B A A B C C p p gh g Lsen gh = + + (13)

NotequeadistnciaverticalentreospontosBeC Lsen .Assim,para

ngulosrelativamentepequenos,aleituradiferencialaolongodotuboinclinadopode

serfeitamesmoqueodiferencialdepressosejapequeno.

Omanmetro

de

tubo

inclinado

sempre

utilizado

para

medir

pequenas

diferenasdepressoemsistemasquecontmgases.Nestescasos,

A B B p p g Lsen = (14)

ou

A B

B

p pL

g sen

=

(15)

porqueascontribuiesdascolunasdegspodemserdesprezadas.

AEquao(15)mostraque,paraumadadadiferenadepresso,aleitura

diferencial,L ,domanmetrodetuboinclinado1

senvezesmaiordoquequelado

manmetrocomtuboemU.


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1.Forahidrostticanumasuperfcieplana

Sempresedetectaapresenadeforasnasuperfciedoscorposqueesto

submersosnosfluidos.Estadeterminaomuito importantenoprojetodetanques

de armazenamentode fluidos,navios,barragens edeoutras estruturashidrulicas.

Sabesequeos fluidosemrepousoexercemuma foraperpendicularnassuperfcies

submersas e que a presso varia linearmente com a profundidade se o fluido se

comportarcomincompressvel.

Figura1Foraresultantedesenvolvidanofluidodeumtanqueaberto

Assim,paraumasuperfciehorizontal,comoainferiordotanquemostrado

naFigura1,omdulodaforaresultantesobreasuperfciedadopor

RF pA=

(1)

onde p a presso na superfcie inferior e A a rea desta superfcie. Se

0 p p g h= + ,entoaEquao(1)podeserescritacomo

( )0RF p g h A= + (2)


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Seapresso 0p atuanasuperfcielivredo lquidoenasuperfcieinferior

do tanque, a fora resultantedevida somente ao fluido contidono tanque.Neste

caso,aEquao(2)seresumea

RF g h A= (3)

Logo,paradeterminarcompletamentearesultantedaforaatuandosobre

umasuperfcieplanasubmersa,devemseespecificar

1. Amagnitude(mdulo)dafora;2. Osentidodafora;3. Alinhadeaodafora.

Considereinicialmenteumaforanormal 0p atuandosobreumasuperfcie

plana,comomostraaFigura2.

Figura2Superfcieplanasubmersa(Fonte:FrankM.White FluidMechanics SixthEdition)

Comonohtensodecisalhamentoemum lquidoemrepouso,afora

hidrostticasobrequalquerelementodasuperfcieagenormalsuperfcie.Aforade

pressoatuandosobreumelemento dA dx d y= dafacesuperiordadapor

dF p dA=

(4)


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Aforaresultanteagindosobreasuperfcieencontradaatravsdasoma

dascontribuiesdaforasinfinitesimaissobreareainteira.Asuamagnitudedada

por

R

A

F p dA= (5)

Temseque 0 p p gh= + edageometriadosistemapodeseconcluirque

h y sen= ,ento 0 p p g y sen = + .DaaEquao(5)resultaem

( )0RA

F p g y sen dA = +

(6)

ou

0R

A A

F p dA g sen y dA = + (7)

Doclculodiferencialtemse,pordefinio,

A

dA A= (8)

e defineseoprimeiromomentodereadasuperfcieemtornodoeixox ,como

C

A

y dA y A= (9)

onde Cy acoordenada y docentridederea.

Substituindo as Equaes (8) e (9) na Equao (7), ento resulta na

expresso

0R CF p A g sen y A= + (10)

ecomo

C Ch y sen= ,ento,


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( )0R CF p g h A= + (11)

O termo ( )0 C p g h+ a presso absoluta no lquido na posio do

centridedarea A ,sendo indicadapor Cp ,ento,aEquao(11)podeserescrita

daforma

R CF p A= (12)

AEquao (12)exprimeaforaresultantedevidoao lquido, incluindoos

efeitosdapresso ambiente 0p , sobreum ladodeuma superfcie submersaplana.

Estaequao

no

leva

em

considerao

qualquer

presso

ou

distribuio

de

foras

que

eventualmenteexistanooutroladodasuperfciesubmersa.

Se a mesma presso 0p da superfcie livre do lquido existir no lado

externo da superfcie, seu efeito sobre RF cancelado e a fora lquida sobre a

superfciedadapor

( )R C manF p A=

(13)

onde ( )c manp apressomanomtrica.

Figura3

Linha

de

ao

da

fora

resultante

(Fonte:

Frank

M.

White

Fluid

Mechanics

Sixth

Edition)


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Em seguidadevesedeterminaroponto ( ),R Rx y de aplicaoda fora

resultante.Primeiramente,determinaseacoordenada Ry (verFigura3).A intuio

sugerequealinhadeaodaforaresultantedeveriapassaratravsdocentrideda

rea, porm este no o caso. A coordenada Ry da fora resultante pode ser

determinadapelasomadosmomentosem tornodoeixo x ,ouseja,omomentoda

foraresultanteprecisaserigualaosmomentosdasforasdevidasapresso.

Tomandoasoma(integral)dosmomentosdasforasinfinitesimais dF em

tornodoeixox resulta

R R

A

y F y p dA= (14)

Da Equao (14) podese escrever a expresso para a determinao da

coordenada Ry ,quedadapor

ARR

y pdA

yF=

(15)

Prximopasso adeterminaoda integral

A

y pdA .Usandoo fatode

que 0 p p g y sen = + ,ento,podeseescrever

2

0

A A A

y p dA p y dA g sen y dA = +

(16)

Definese, ento, o segundo momento de rea em torno do eixo x ,

indicadopor x xI ,daseguinteforma

2x x

A

y dA I = (17)

edoteoremadeeixoparalelospodeseescrever


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2 x x x x C I I A y= + (18)

onde xxI osegundomomentodereapadro,emtornodoeixo x comorigemno

centride.Logo,

aEquao

(17)

reduz

se

a

22 x x C

A

y dA I A y= + (19)

Substituindo as Equaes (9) e (19) na Equao (16), e simplificando o

resultadotemse

( ) 0C C x xA

y p dA y p g y sen A g sen I = + + (20)

Como C C y sen h= ,ento,podeseescrever

( ) 0C C x xA

y p dA y p g h A g sen I = + + (21)

ou,daEquao(11),

C R x x

A

y p dA y F g sen I = + (22)

Logo, substituindo a Equao (22) na Equao (15) e simplificando o

resultado,temsequeacoordenada 'y dopontodeaplicaodaforaresultante RF ,

dadapelaexpresso

x xR C

R

g sen Iy y

F= +

(23)


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AEquao(23)convenienteparaoclculodacoordenada Ry doponto

deaplicaodaforasobreoladosubmersodasuperfcie,quandosedeseja incluira

pressoambiente 0p .Seestamesmapressoatuasobreooutroladodasuperfciee

como ( ) C CC man p g h g y sen= = ,entoaEquao(11)podeserescritadaforma

R CF g y sen A= (24)

Daacoordenada Ry dopontodeaplicaodaforaresultantedadapor

x xR C

C

Iy y

A y= + (25)

AEquao (25)convenienteparacalcular Ry quandoo interessena

fora lquida em que a mesma presso 0p atua sobre os dois lados da superfcie

submersa.Paraproblemasemqueapressosobreooutro ladodasuperfcieno

0p ,podeseouanalisarcadaumdosladosdasuperfcieseparadamenteoureduziras

duasdistribuiesdepressoaumadistribuiolquidadepresso.

IstocorrespondeacriarumsistemaparaserresolvidousandoaEquao

(11),comapresso Cp expressacomoumapressomanomtrica.

Umaanlise similarpode ser feitapara calcular Rx ,acoordenada x do

pontode aplicao da fora resultante sobre a superfcie. Logo, podese chegar ao

seguinteresultado

x yR C

R

g sen Ix xF

= + (26)

onde x yI oprodutodeinrciaemrelaoaoseixosx

e y

.

AEquao(26)convenienteparacalcular Rx quandosedesejaincluira

presso ambiente 0p . Quando a presso ambiente age sobre o outro lado da

superfcie,desprezase 0p noclculodaforalquidaenestecaso


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xyp C

C

Ix x

Ay= + (27)

Em resumo,asEquaes (5)a (27)constituemumconjuntocompletode

equaes para o clculo da magnitude e localizao da fora resultante devido a

presso hidrosttica sobre uma superfcie plana submersa. A direo da fora ser

sempreperpendicularaoplanodasuperfcie.

2.Forashidrostticassobresuperfciescurvassubmersas

Na seo anterior foi desenvolvidas equaes para a determinao do

mdulo, e a localizao do ponto de aplicao, da fora resultante que atua numa

superfciesubmersaplana.Porm,necessitasederesultadosequivalentesrelativosa

superfciesquenosoplanas, taiscomoassuperfciesdasbarragens, tubulaese

tanques.

possvel determinar a fora resultante em qualquer superfcie por

integrao, como foi feito anteriormente, porm esteprocedimento trabalhoso e

nopossvel

formular

equaes

simples

egerais.

Logo,

alternativamente,

pode

se

considerar o equilbrio de um volume de fluido delimitado pela superfcie curva

consideradaepelassuasprojeesverticalehorizontal.

Emgeral,amagnitudedacomponenteresultantenadireo l qualquer

dadapor

R ll

A l

F p dA=

(28)

onde ldA a projeodo elementode rea dA sobreumplanoperpendicular

direo l .

A linhade aode cada componenteda fora resultantedeterminada

reconhecendoqueomomentoda componenteda fora resultante aumdadoeixo

deve ser igualaomomentodacomponenteda foradistribudacorrespondenteem

relaoaomesmoeixo.


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Figura4Forassobreumasuperfciecurvasubmersa

AtravsdaEquao (28)podese chegarao seguinte resultado:as foras

horizontaisesuas localizaessoasmesmasqueparaumasuperfcieplanavertical

imaginriadamesmareaprojetada. Isto ilustradona Figura4,onde chamase a

forahorizontalde HF .Logo,

H CF p A= (29)

onde

Cp apressonolquidonaposiodocentridederea A .

Quandoapressoatmosfricaatuasobreasuperfcielivreesobreooutro

ladodasuperfciecurva,aforalquidaverticaligualaopesodiretamenteacimada

superfcie. Isto pode ser confirmado aplicando a Equao (28) para determinar a

magnitudedacomponenteverticaldaforaresultante

V z

Az

F p dA=

(30)

Como

p g h= ,ento

V z

Az

F g h dA= (31)


56/129



onde zg hdA opesodeumcilindrodiferencialde lquidoacimadoelementode

readasuperfcie zdA ,estendendoadistncia h dasuperfciecurvaatasuperfcie

livre.Temseque zh dA dV = ,entoaEquao(31)podeserescritacomo

V

Az

F g dV = (32)

Acomponenteverticaldaforaresultanteobtidapelaintegraosobrea

superfcieinteirasubmersa.Ento,resolvendoaintegraldaEquao(32),obtmse

VF g V=

(33)

Mostrouse que a linha de ao da componente vertical da fora passa

atravsdocentrodegravidadedovolumedolquidodiretamenteacimadasuperfcie

curva.

A fora hidrosttica resultante sobre uma superfcie submersa

especificadaem termosdesuascomponentes.Sabesequearesultantedequalquer

sistemade

foras

pode

ser

representada

por

um

sistema

fora

conjugada,

isto

,

a

foraresultanteaplicadaemumpontoeumconjugadooumomentoemrelaoao

ponto.Logo,omdulodaforaresultantedadopor

( ) ( )2 2

R H V F F F= + (34)


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1.Empuxoeestabilidade

Sempre se identificouuma fora,exercidapelos fluidos, sobreos corpos

que esto parcialmente ou totalmente submersos. Esta fora lquida vertical, com

sentidoparacima,um resultadodogradientedepresso.Logo,a fora resultante

geradapelofluidoequeatuanoscorposdenominadaempuxo.

Considereumobjetototalmenteimersoemumlquidoesttico,conforme

mostrado na Figura 1.A fora vertical sobre o corpo devido presso hidrosttica

pode serencontradamais facilmente considerandoelementosdevolume cilndricos

similaresquelesmostradonaFigura1.

Figura1Corpoimersoemumlquidoesttico

Sabendo que0

p p g h= +

, ento, a fora vertical sobre o elemento

dadapelaequao

( ) ( )0 2 0 1zdF p g h dA p g h dA = + + (1)

resultandoem

( )2 1zdF g h h dA= (2)


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Como ( )2 1h h dA dV = ,ento,resultaem

zdF gdV = (3)

A fora vertical zF obtida atravs da integrao sobre o volume da

Equao(3),isto

z

V

F gdV = (4)

Logo, resolvendo a Equao (4), obtmse a seguinte expresso para a

foravertical,

zF g V= (5)

onde V ovolumedoobjeto.

Assim,podeseconcluirqueparaumcorposubmerso,aforadeempuxo

dofluidoigualaopesodofluidodeslocado,

empuxo subF g V= (6)

onde subV ovolumesubmersodocorpo.

A relaodadapelaEquao (6)muitasvezeschamadadePrincpiodeArquimedes. Nas aplicaes tcnicas mais correntes, esta relao empregada no

projeto de embarcaes, flutuadores, bales meteorolgicos, batiscafos e outros

equipamentosflutuantes

ou

submersveis.

Objetos submersos no necessitam ser slido. Bolhas de hidrognio,

usadasnavisualizaode linhasdetempoedeemissoestosujeitasaumempuxo

positivo;elassobemlentamenteenquantosoarrastadaspeloescoamento.Poroutro

lado,gotasdeguaemleogeramumempuxonegativoetendemaafundar.

AEquao(6)predizqueafora lquidaverticalsobreumcorpoqueest

totalmentesubmerso

em

um

nico

fluido.

Nos

casos

de

imerso

parcial,

um

corpo

flutuantedeslocaumvolumedelquidocomopesoigualaopesodocorpo.


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A linhadeaoda foradeempuxoageatravsdocentridedovolume

deslocado. Como os corpos flutuantes esto em equilbrio sob a ao de forasde

campoedeempuxo,a localizaoda linhadeaodaforadeempuxodeterminaa

estabilidade.

2.Variaodapressonumfluidocommovimentodecorporgido

Considerandoaforatotalatuandosobreumelementofluido,emrepouso

ouemmovimentoquenoapresentatensesdecisalhmento,deduziuseaseguinte

expressovetorial

dFp g

dV= +

(7)

onde p

ovetorgradientedapresso,dadopor p p p

p i j k x y z

= + +

,e g

o

vetorgravidade,dadopor x y zg g i g j g k = + +

.

DasegundaleideNewton,obtmse,paraumapartculafluida,aseguinte

expressovetorial

dFa

dV=

(8)

onde x y za a i a j a k = + +

.

CombinandoasEquaes(7)e(8)temse

p g a + =

(9)

ou

( ) p a g =

(10)

A Equao (10) apresenta as seguintes equaes componentes, nas

direesx ,

y

ez ,

respectivamente,


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( )x xp

a gx

=

(11)

( )y yp

a gy

=

(12)

( )z zp

a gz

=

(13)

Foiescolhidoumsistemadecoordenadasnoqualovetorgravidadeest

alinhadocomoeixoz apontandoparacimanadireovertical.Assim,temse 0xg = ,

0yg = e zg g= .Sobestascondies,asequaescomponentestornamse

x

pa

x

=

(14)

y

pa

y

=

(15)

( )z

pa g

z

= +

(16)

O movimento do fluido que no apresenta tenso de cisalhamento

aquele onde amassade fluido submetida a ummovimento de corpo rgido. Por

exemplo, seum recipientede fluido acelera ao longodeuma trajetria retilnea,o

fluidosemovercomoumamassargida(depoisqueomovimentotransitrio inicial

tiver desaparecido) e cada apresentar a mesma acelerao. Como as tenses de

cisalhamento

so

nulas

ento

a

Equao

(10)

ideal

para

descrever

o

movimento

do

fluido.Demodoanlogo,seofluidocontidonumtanquerotacionaemtornodeum

eixofixo,ofluidosimplesmenterotacionarcomotanquecomoumcorporgidoea

Equao(10)podeserutilizadaparadeterminaradistribuiodepressodofluido.

Inicialmente, considerase o movimento retilneo uniformemente

aceleradodeumrecipienteabertocontendoumlquidoemque 0ya = ,oqueimplica

0

p

y

= . Logo, os gradientes de presso nas direes x e z so, respectivamente,

dadospelasEquaes(14)e(16).


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Figura2Aceleraolineardeumamassafluidacomsuperfcielivre(Fonte:FrankM.White Fluid

Mechanics SixthEdition)

Avariaodepressoentredoispontosprximos,localizadosem

p pdp dx dz

x z

= + (17)

AplicandoasEquaes(14)e(16)naEquao(17)obtmse

( )x zdp a dx a g dz= + (18)

Note que 0dp = ao longo de uma linha de presso constante.Assim, a

inclinao

destas

linhas

dada

por

x

z

adz

dx a g=

+ (19)

Apressoaolongodasuperfcielivreconstante.Destemodo,asuperfcie

livre damassa de fluido ser inclinada se 0xa (ver Figura 2).Note que todas as

linhasdepressoconstanteseroparalelasasuperfcielivre.


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No caso especial onde 0xa = e 0za , que corresponde a uma massa

fluidaacelerandonadireovertical,asuperfciedofluidoserhorizontal,isto

0

dz

dx = (20)

AEquao(16)indicaqueadistribuiodepressonoserahidrosttica,

masafornecidapelaequao

( )zdp

a gdz

= + (21)

AEquao

(21)

mostra

que

apresso

variar

linearmente

com

a

profundidade se a massa especfica do fluido for constante. A variao devida a

combinaodosefeitosdagravidadecomosinduzidospelaacelerao, ( )za g+ .

Seumamassafluidaestemqueda livre, temse za g= ,oque implica

queaEquao(21)seresume

0

dp

dz = (22)

implicando que o gradiente de presso nas trs coordenadas zero. Assim, se a

pressonoambienteondeestlocalizadaestamassafluidazero,apressonofluido

tambm sernula.Apresso internanuma gotade sucode laranja localizadanum

veculo espacial zero e a nica fora que mantm o lquido coeso a tenso

superficial.


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1FenmenosdeTransporte Semestre2011.2

AULA11DINMICADOSFLUIDOS

Anteriormente foi discutido situaes onde o fluido estava em repouso

(imvel)ouapresentandoummovimentoigualaqueledeumcorporgido.Porm,os

fluidosapresentamoutrostiposdemovimentos.Agorapretendese investigaralguns

movimentostpicosdosfluidos(dinmicadosfluidoselementar).

Para entender os fenmenos associados aos movimentos dos fluidos

necessrioconsideraras leisfundamentaisquemodelamomovimentodaspartculas

fluidas. Tais consideraes incluem os conceitos de fora e acelerao. Logo, se

discutir,com

algum

detalhe,

aaplicao

da

segunda

lei

de

Newton

ao

movimento

da

partcula fluida, obtendo a Equao de Bernoulli e suas aplicaes em vrios

escoamentos.

1.SegundaleideNewton

usual identificar uma acelerao, ou desacelerao, quando uma

partculafluidaescoadeumlocalparaoutro.DeacordocomasegundaleideNewton,

afora lquidaqueatuanapartculafluidaconsideradadeveser igualaoprodutode

suamassapelaacelerao,isto

F m a=

(1)

onde a

aaceleraodapartculafluida.

Ser

considerado

somente

os

escoamentos

invscidos,

isto

,

escoamentos

em que se possam admitir que a viscosidade do fluido nula. Neste caso, a

condutibilidadetrmicatambmnulae,assim,onicomecanismodetransferncia

decalorpresentenosescoamentosinvscidosaradiaotrmica.

Osfluidos invscidossexistemnateoria,poistodofluidoapresentauma

tenso de cisalhamento quando submetido a uma taxa de deformao. Porm,

existem escoamentos ondeos efeitos viscosos so relativamentepequenosquando

comparadosao

outros

efeitos

presentes.

Assim,

pode

se

obter

uma

boa

aproximao

paraestescasosseforignoradoosefeitosviscosos.


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2 FenmenosdeTransporte Semestre2011.2

Por enquanto, admiteseque omovimento do fluido provocado pelas

forasdegravidade(foradecampo)edepresso(forasuperficial).Logo,aplicandoa

segundaleideNewtonpartculafluida,obtmse

B SF F ma+ =

(2)

onde BF

a fora na partcula devida a gravidade e SF

a fora lquida na

partculadevidaapresso.

Aanlisedainteraoentreocampodepresso,ocampogravitacionalea

aceleraoda partcula fluida somuito importantenamecnica dos fluidos. Logo,

paraaplicar

asegunda

lei

de

Newton

partcula

fluida

deve

se

definir

um

sistema

de

coordenadas para descrever o movimento. Geralmente, o movimento da partcula

fluida ser tridimensional e transitrio, isto , so necessrias trs coordenadas

espaciaisetempoparaadescrioadequadadomovimento.

Agora,pretendeseanalisarosescoamentosbidimensionais,comomostra

a Figura 1. Podese, ento, descrever o escoamento em funo das aceleraes e

velocidadesdaspartculas fluidasnasdirees x e z .As equaes resultantes so

normalmente conhecidas como a forma bidimensional da equaes de Euler no

sistemadecoordenadascartesiano.

O movimento de cada partcula fluida descrito em funo do vetor

velocidade, V

, que definido como a taxa de variao temporal da posio da

partcula.Quandoapartculamudadeposio,elasegueumatrajetriaparticularcujo

formatodefinidopelavelocidadedapartcula.Alocalizaodapartculaaolongoda

trajetriafuno

do

local

ocupado

pela

partcula

no

instante

inicial

ede

sua

velocidadeaolongodatrajetria.

Seoescoamentotemumregimepermanente(aspropriedadesnovariam

comotempo),todasaspartculasquepassamnumdadoponto,comooponto(1)na

Figura1,seguiroamesmatrajetria.Atrajetriaumalinhafixanoplano x z .As

partculasvizinhas,quepassamnasvizinhanasimediatasdoponto(1),seguemoutras

trajetriasquepodemapresentar formatosdiferentesdaquele relativoaspartculas

quepassampeloponto(1).


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Figura1Linhasdecorrentenoescoamentonoplanoxz

Se o regime de escoamento permanente, ento, toda partcula fluida

escoaaolongodesuatrajetriaeseuvetorvelocidadesempretangentetrajetria.

As linhasque so tangentes aos vetores velocidadesno campode escoamento so

chamadas de linhas de correntes. Em muitas situaes mais fcil descrever o

escoamentoemfunodascoordenadasdalinhadecorrente.

O movimento da partcula descrito em funo da distncia, ( )s s t= ,

medidaaolongodalinhadecorrenteeapartirdeumaorigemconveniente,edoraio

de curvatura localda linhade corrente, ( )R R s= .Adistncia ao longoda linhade

correnteestrelacionadacomavelocidadedapartculaatravsdeds

Vdt

= eoraiode

curvatura est relacionado com o formato da linha de corrente. Por definio, a

aceleraoataxadevariaotemporaldavelocidadedapartcula,ousejadV

adt

=

.

Paraumescoamentobidimensionalnoplanox z ,aaceleraoapresenta

duascomponentesumaaolongodalinhadecorrente sa ,eoutranormalalinhade

corrente,n

a .


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A acelerao ao longo da linha de corrente resulta da variao da

velocidadedapartcula ao longoda linhade corrente, ( )V V s= .A componenteda

aceleraonacoordenada s dadapor

s

dV Va V

dt s

= =

(3)

Acomponentenormaldaacelerao,aaceleraocentrfuga,dadaem

funodavelocidadedapartculaedoraiodacurvaturadatrajetria.Assim,temse

2

n

Va

R= (4)

ondeR oraiodecurvaturadatrajetria.

Geralmenteexisteuma acelerao ao longoda linhade corrente,pois a

velocidademudaaolongodatrajetria, 0V

s

,etambmumaaceleraonormala

linhadecorrente,poisapartculanoescoanumalinhareta, 0R .

Logo, para determinar as foras necessrias para produzir um dado

escoamentoconsideraseodiagramadecorpolivredapartculafluida.Admiteseque

asnicasforasimportantessoprovocadaspelagravidadeepelocampodepresso,

isto , admitese que as outras foras (como as viscosas e as devidas a tenso

superficial)sodesprezveis.

2.AplicaodasegundaleideNewtonaolongodeumalinhadecorrente

AFigura2mostraodiagramade corpo livredeumapartcula fluida.Os

versoresnadireoaolongodalinhadecorrenteenanormallinhadecorrenteso

representadospor s

e n

.Seoescoamentopermanente,aaplicaodasegundalei

deNewtonnadireodalinhadecorrentefornece

s sF m a= (5)


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onde sF representaasomadoscomponentesdasforasqueatuamnapartculanadireo s

.SubstituindoaEquao(3)naEquao(5)ecomo m V= ,podese

escrever

s

VF V V

s

=

(6)

Figura2Diagramadecorpolivreparaumapartculafluida

A fora provocada pela acelerao da gravidade na partcula pode ser

escritacomo

sW g V= (7)

onde amassaespecficadofluido.OsinalnegativonaEquao(7)deveseaofato

dequeesta foraatuano sentidonegativo.Assim,a componenteda forapesona

direodalinhadecorrentedadapor

sW g V sen= (8)


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A presso num fluido que est escoando usualmente no constante.

Geralmente, para escoamentos permanentes temse ( ),p p s n= . Se a presso no

centrodapartculamostradanaFigura2representadapor p ,osvaloresmdiosnas

duasfacesperpendicularessoiguaisa2

p sp

s+

e

2

p sp

s

.

Assim, se p sF a fora lquida de presso na direo da linha de

corrente,segueque

2 2p s

p s p s pF p n y p n y s n y

s s s

= + =

(9)

ou,como V s n y= ,

p s

pF V

s

=

(10)

AEquao(10)mostraqueaforalquidaqueaceleraapartculafluidano

o fato da presso no ser constante no campo de escoamento. O gradiente de

presso,

no

nulo,

p p p s n

s n

= +

(11)

o responsvel pela fora lquida que atua na partcula. As foras viscosas,

representadaspor s y , sonulasporqueutilizaseahiptesedequeo fluido

invscido.

Assim,afora

lquida

que

atua

sobre

apartcula

fluida

mostrada

na

Figura

2,dadapor

s s p sF W F= + (12)

SubstituindoasEquaes(8)e(10)naEquao(12)temse

s

p

F gsen V s

=

(13)


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Combinando as Equaes (6) e (13), obtmse a seguinte equao do

movimentoaolongodalinhadecorrente

p Vgsen V

s s

=

(14)

ou,como sV

a Vs

=

,

s

pgsen a

s

=

(15)

A interpretao fsicadaEquao (15)queavariaodavelocidadeda

partculaprovocadaporumacombinaoadequadadogradientedepressocoma

componentepesodapartculanadireoda linhadecorrente.Estebalanoentreas

forasdepressoegravidade,

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