FERNANDA KAREN MELO DA COSTA ESTUDO COMPARATIVO …

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

FERNANDA KAREN MELO DA COSTA

ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO VIA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DE RESERVATÓRIO

PARALELEPIPÉDICO ELEVADO EM CONCRETO ARMADO

NATAL/RN

2018

Fernanda Karen Melo da Costa

Estudo comparativo analítico e numérico via Método dos Elementos Finitos de reservatório

paralelepipédico elevado em concreto armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho

Coorientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros

NATAL/RN

2018

Costa, Fernanda Karen Melo da. Estudo comparativo analítico e numérico via Método dosElementos Finitos de reservatório paralelepipédico elevado emconcreto armado / Fernanda Karen Melo da Costa. - 2018. 136 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte, Centro de Tecnologia, Engenharia Civil. Natal, RN,2018. Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho. Coorientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros.

1. Concreto armado - Monografia. 2. Reservatório elevado -Monografia. 3. Método dos Elementos Finitos - Monografia. 4.Tração - Monografia. 5. Flexão - Monografia. 6. Flexo-tração -Monografia. I. Silva Filho, José Neres da. II. Barros, Rodrigo.III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.45

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Kalline Bezerra da Silva - CRB-15/327

Fernanda Karen Melo da Costa

Estudo comparativo analítico e numérico via Método dos Elementos Finitos de reservatório

paralelepipédico elevado em concreto armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Aprovado em 30 de novembro de 2018.

_______________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Orientador

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

_______________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Coorientador


_______________________________________________________

Prof. Dr. Joel Araújo do Nascimento Neto – Examinador


_______________________________________________________

Prof. Dr. Daniel Nelson Maciel – Examinador


NATAL/RN

2018

Aos meus pais, Independente Costa e Leonice

Costa, por todo o amor, carinho e apoio

proporcionado durante esta trajetória

acadêmica.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por me conceder saúde, paciência e disposição para enfrentar todos os

momentos difíceis destes últimos anos.

À minha família, pelo apoio de sempre. À minha mãe, Leonice Costa, por sempre me

acolher sem medir esforços. Ao meu pai, Independente Costa, por sempre me ensinar a

importância da educação desde quando era pequenininha. À minha irmã, Natália Ketely, por

ser minha amiga e parceira de todas as horas.

Ao meu namorado e melhor amigo, Rodrigo Santos, que desde 2010 se tornou meu

companheiro inseparável nas atividades acadêmicas, pela sua grande paciência e suporte,

principalmente neste último semestre de graduação.

Ao Prof. Dr. José Neres da Silva Filho, meu orientador, pelos ensinamentos e por sua

inesgotável dedicação à sua função e aos seus alunos e orientandos.

Aos meus professores de graduação, principalmente a Fernanda Mittelbach, Joel Neto,

Micheline Damião, Carina Maia, Pedro Henrique e Rennan Cavalcanti.

Ao Eng. M.Sc. George Maranhão, pela confiança e por ser inspiração de profissional

para mim e para diversos colegas da área, e a todos os colegas de estágio, principalmente a Eng.

Ana Clara Batista, pela paciência e pelos ensinamentos diários.

Ao Eng. Pedro Mitzcun, por abrir um espaço em suas atividades e contribuir de forma

fundamental no desenvolvimento deste trabalho.

Ao Eng. Robson Ribeiro, por também contribuir com ideias para a evolução desta

pesquisa.

Aos meus colegas e amigos de graduação, os quais foram essenciais para enfrentar os

obstáculos que sugiram dia após dia, principalmente a: Yngrid Rayane, Daygson Lucas, Arthur

Vinícius, Micheline Mello e Joyce Karyne.

Aos meus amigos de vida, pelo grande apoio e torcida, principalmente a: Llows Ranna,

Mayara Andrade, Rodrigo Idalino, Pedro Henrique, Bruno de Andrade, Caroline Pereira,

Hipócrates Matheus e Óseias Lucas.

A todos, muito obrigada.

Fernanda Karen

“A responsabilidade de todos é o único caminho

para a sobrevivência humana”

Dalai Lama

RESUMO

Estudo comparativo analítico e numérico via Método dos Elementos Finitos de

reservatório paralelepipédico elevado em concreto armado

Este trabalho de pesquisa apresenta a análise de três reservatórios paralelepipédicos elevados

em concreto armado com três diferentes capacidades de armazenamento e considerando três

modos distintos de dimensionamento para cada um destes: apenas para os esforços de flexão

nas placas, considerando a flexão e a tração separadamente por meio da superposição de

armaduras e considerando a flexo-tração. Em cada caso, os esforços de flexão e tração são

obtidos por métodos analíticos, de grande abordagem na literatura existente, e por método

numérico, por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) com o auxílio do programa de

análise estrutural SAP2000®. A partir dos esforços obtidos, observou-se que os dois modelos

(analítico e numérico) apresentaram resultados bastante similares para as lajes de tampa,

enquanto que para as lajes de fundo a análise numérica se mostrou mais econômica. Nas paredes

também se observou uma redução de armadura para os modelos numéricos na direção vertical,

enquanto que na direção horizontal houve aumentos. Com relação às técnicas de

dimensionamento de armaduras, verificou-se que no reservatório paralelepipédico elevado

ocorreu aumento de armadura em todas as lajes quando os esforços de tração foram

considerados e, quanto maior a capacidade de armazenamento do reservatório, maior foi este

aumento de armadura, principalmente nas paredes. Por fim, observou-se que o

dimensionamento à flexo-tração foi mais econômico que o dimensionamento à flexão e tração

com a superposição das armaduras, visto que o dimensionamento à flexão somado com o

dimensionamento à tração não considerou a ação conjunta dos esforços de flexão e tração.

Palavras-chave: Reservatório elevado. Método dos Elementos Finitos. Flexão. Tração. Flexo-

tração.

ABSTRACT

Comparative analytical and numerical study using the Finite Element Method of high

parallelepipedic reservoir in reinforced concrete

The aim of this work is to analyze three tanks in reinforced concrete. In each case, the flexural

and tensile stresses were obtained by analytical methods and numerical method via the Finite

Element Method (FEM) through the structural analysis program SAP2000®. From the obtained

results, it was observed that the two models (analytical and numerical) showed very similar

results for the cover slabs, while for the bottom slabs the numerical analysis was more

economical. In the walls also a reduction of steel was observed for the numerical models in the

vertical direction, whereas in the horizontal direction there were increases. It was verified that

a steel increase occurred in all the slabs when the tensile stresses were considered. Finally, it

was observed that flexo-tensile design was more economical than flexural and tensile design

with the reinforcement superposition.

Keywords: Elevated reservoir. Finite Element Method. Flexion. Traction. Flexo-traction.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Classificação dos reservatórios quanto à posição em relação ao nível do solo: (a)

reservatório enterrado; (b) reservatório semienterrado ou semiapoiados; (c) reservatório

apoiado; e (d) reservatório elevado. ......................................................................................... 23

Figura 2.2 – Exemplos de reservatórios em casca. (a) Cuba cilíndrica, (b) cuba cônica e (c)

cuba de revolução com geratriz curva. ..................................................................................... 24

Figura 2.3 – Reservatório com cuba piramidal. ...................................................................... 25

Figura 2.4 – Reservatórios prismáticos paralelepipédicos. (a) Elevado, (b.1) enterrado:

perspectiva e (b.2) enterrado: corte vertical. ............................................................................ 25

Figura 2.5 – Ações da água e do solo em um reservatório enterrado cheio. (a) Corte vertical e

(b) corte horizontal. .................................................................................................................. 28

Figura 2.6 – Ações do solo em um reservatório enterrado vazio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal. ................................................................................................................................. 29

Figura 2.7 – Ações da água e do solo em um reservatório apoiado cheio. (a) Corte vertical e

(b) corte horizontal. .................................................................................................................. 30

Figura 2.8 – Ações da água em um reservatório elevado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal. ................................................................................................................................. 30

Figura 2.9 – Cargas nos planos das lajes. (a) Paredes. (b) Tampa e fundo. ............................ 32

Figura 2.10 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório enterrado vazio. (a) Corte

vertical e (b) corte horizontal.................................................................................................... 33

Figura 2.11 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório enterrado cheio. (a) Corte


Figura 2.12 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório apoiado cheio. (a) Corte


Figura 2.13 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório elevado cheio. (a) Corte


Figura 2.14 – Comportamento de uma ligação com tração interna. (a) Tensões de tração e

compressão, (b) distribuição elástica de tensões antes da fissuração, (c) fissuras desenvolvidas

na ligação, (d) diagrama de corpo livre da porção externa da trinca diagonal, (e) modelo de

estrutura do conjunto. ............................................................................................................... 36

Figura 2.15 – Ligação reforçada. ............................................................................................. 36

Figura 2.16 – Ligação com tração externa. (a) Tensões de tração e compressão e (b) fissuras

desenvolvidas na ligação. ......................................................................................................... 37

Figura 2.17 – Pontos críticos às aberturas de fissuras. ............................................................ 38

Figura 2.18 – Equivalência entre os momentos 𝑀𝑑 e 𝑀𝑠𝑑 para a flexo-tração com armadura

simples. ..................................................................................................................................... 43

Figura 2.19 – Concreto de envolvimento da armadura. .......................................................... 46

Figura 3.1 – Fluxograma de desenvolvimento da pesquisa. .................................................... 53

Figura 3.2 – Dimensões internas do reservatório pequeno, em centímetros. .......................... 55

Figura 3.3 – Dimensões internas do reservatório médio, em centímetros............................... 55

Figura 3.4 – Dimensões internas do reservatório grande, em centímetros. ............................. 56

Figura 3.5 – Dimensões do reservatório pequeno (corte horizontal), em centímetros. ........... 60

Figura 3.6 – Dimensões do reservatório pequeno (corte vertical), em centímetros. ............... 60

Figura 3.7 – Dimensões do reservatório médio (corte horizontal), em centímetros. .............. 61

Figura 3.8 – Dimensões do reservatório médio (corte vertical), em centímetros. ................... 61

Figura 3.9 – Dimensões do reservatório grande (corte horizontal), em centímetros. ............. 62

Figura 3.10 – Dimensões do reservatório grande (corte vertical), em centímetros. ................ 62

Figura 3.11 – Parâmetros para a compatibilização do empuxo horizontal. (a) Situação real; (b)

Situação de cálculo. .................................................................................................................. 64

Figura 3.12 – Vinculações nas bordas e eixos das lajes dos reservatórios. ............................. 65

Figura 3.13 – Esforços axiais nas lajes dos reservatórios. ...................................................... 68

Figura 3.14 – Detalhe dos apoios de primeiro gênero na laje de tampa e nas paredes. .......... 71

Figura 3.15 – Detalhe dos apoios na laje de fundo e nas paredes. .......................................... 71

Figura 3.16 – Modelo de estudo para o reservatório médio. ................................................... 72

Figura 3.17 – Carregamento de empuxo horizontal nas paredes do reservatório médio. ....... 73

Figura 3.18 – Detalhe do carregamento de empuxo horizontal nas paredes do reservatório

médio. ....................................................................................................................................... 73

Figura 3.19 – Eixos locais de um elemento de casca de 4 nós. ............................................... 74

Figura 3.20 – Esforços internos de flexão e torção no elemento de casca. ............................. 75

Figura 3.21 – Correspondência entre os momentos do modelo analítico com os momentos do

modelo numérico. ..................................................................................................................... 76

Figura 3.22 – Equivalente estático entre os esforços que atuam no centro geométrico da seção

transversal e o eixo da armadura tracionada. ............................................................................ 77

Figura D.1 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório pequeno, em kNm/m. ........ 111

Figura D.2 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório pequeno, em kNm/m. ........ 111

Figura D.3 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório pequeno, em kNm/m. ....... 112




Figura D.7 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório pequeno, em kNm/m. ......... 114

Figura D.8 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório pequeno, em kNm/m. ......... 114

Figura D.9 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório pequeno, em kN.

................................................................................................................................................ 115

Figura D.10 – Reações de apoio no plano das paredes 1 e 2 do reservatório pequeno, em kN.

................................................................................................................................................ 116


................................................................................................................................................ 116

Figura D.12 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório pequeno, em kN.

................................................................................................................................................ 117

Figura D.13 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório médio, em kNm/m. .......... 118

Figura D.14 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório médio, em kNm/m. .......... 118

Figura D.15 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório médio, em kNm/m.......... 119




Figura D.19 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório médio, em kNm/m. .......... 121

Figura D.20 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório médio, em kNm/m. .......... 121

Figura D.21 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório médio, em kN. 122

Figura D.22 – Reações de apoio no plano das paredes 1 e 2 do reservatório médio, em kN.

................................................................................................................................................ 123


................................................................................................................................................ 123

Figura D.24 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório médio, em kN. 124

Figura D.25 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório grande, em kNm/m. ......... 125

Figura D.26 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório grande, em kNm/m. ......... 125

Figura D.27 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório grande, em kNm/m. ........ 126




Figura D.31 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório grande, em kNm/m. ......... 128

Figura D.32 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório grande, em kNm/m. ......... 128

Figura D.33 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório grande, em kN.129

Figura D.34 – Reações de apoio no plano das paredes 1 e 2 do reservatório grande, em kN.

................................................................................................................................................ 129


................................................................................................................................................ 130

Figura D.36 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório grande, em kN. 130

LISTA DE QUADROS

Quadro 2.1 – Classificação dos reservatórios quanto ao volume de armazenamento. ............ 26

Quadro 2.2 – Valores limites da abertura de fissuras. ............................................................. 47

Quadro 3.1 – Modelos estudados. ........................................................................................... 54

Quadro 3.2 – Geometria final dos reservatórios. .................................................................... 59

Quadro 4.1 – Esforços atuantes no reservatório pequeno de acordo com o modelo analítico.

.................................................................................................................................................. 80

Quadro 4.2 – Esforços atuantes no reservatório pequeno de acordo com o modelo numérico.

.................................................................................................................................................. 80

Quadro 4.3 – Esforços atuantes no reservatório médio de acordo com o modelo analítico. .. 80

Quadro 4.4 – Esforços atuantes no reservatório médio de acordo com o modelo numérico. . 81

Quadro 4.5 – Esforços atuantes no reservatório grande de acordo com o modelo analítico. . 81

Quadro 4.6 – Esforços atuantes no reservatório grande de acordo com o modelo numérico. 81

Quadro 4.7 – Armaduras calculadas a partir dos esforços obtidos. ........................................ 82

Quadro 4.8 – Verificação de cisalhamento. ............................................................................ 83

Quadro 4.9 – Verificação de abertura de fissuras. .................................................................. 84

Quadro 4.10 – Verificação de deformação excessiva. ............................................................ 84

Quadro A.1 – Estimativa das espessuras das lajes. ............................................................... 106

Quadro B.1 – Ações atuantes nas lajes dos reservatórios. .................................................... 107

Quadro C.1 – Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório pequeno. ............................... 108

Quadro C.2 - Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório médio..................................... 109

Quadro C.3 - Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório grande. ................................... 110

Quadro E.1 – Armaduras calculadas para o reservatório pequeno pelo modelo analítico.... 131

Quadro E.2 - Armaduras calculadas para o reservatório pequeno pelo modelo numérico. .. 131

Quadro E.3 – Armaduras calculadas para o reservatório médio pelo modelo analítico. ...... 132

Quadro E.4 - Armaduras calculadas para o reservatório médio pelo modelo numérico. ..... 132

Quadro E.5 – Armaduras calculadas para o reservatório grande pelo modelo analítico. ..... 133

Quadro E.6 - Armaduras calculadas para o reservatório grande pelo modelo numérico. .... 133

Quadro AA.1 – Tabela KMD (parte I). ................................................................................. 134

Quadro AA.2 – Tabela KMD (parte II)................................................................................. 135

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 4.1 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório pequeno

consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração. ............................................................... 86

Gráfico 4.2 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório pequeno


Gráfico 4.3 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório médio


Gráfico 4.4 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório médio


Gráfico 4.5 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório grande


Gráfico 4.6 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório grande


Gráfico 4.7 – Armaduras calculadas para os modelos analíticos dos reservatórios considerando

a flexão e a flexão+tração. ........................................................................................................ 91

Gráfico 4.8 – Armaduras calculadas para os modelos numéricos dos reservatórios considerando

a flexão e a flexão+tração. ........................................................................................................ 92

Gráfico 4.9 – Aumento de armadura de flexão para flexão+tração considerando os modelos

analíticos. .................................................................................................................................. 93

Gráfico 4.10 - Aumento de armadura de flexão para flexão+tração considerando os modelos

numéricos. ................................................................................................................................ 93

Gráfico 4.11 – Armaduras calculadas para os modelos analíticos dos reservatórios

considerando a flexão e a flexo-tração. .................................................................................... 95

Gráfico 4.12 – Armaduras calculadas para os modelos numéricos dos reservatórios

considerando a flexão e a flexo-tração. .................................................................................... 96

Gráfico 4.13 - Aumento de armadura de flexão para flexo-tração considerando os modelos

analíticos. .................................................................................................................................. 97

Gráfico 4.14 - Aumento de armadura de flexão para flexo-tração considerando os modelos

numéricos. ................................................................................................................................ 97

Gráfico 4.15 – Armaduras calculadas para o dimensionamento à flexão................................ 99

Gráfico 4.16 – Armaduras calculadas para o dimensionamento a flexão+tração. ................ 100

Gráfico 4.17 – Armaduras calculadas para o dimensionamento à flexo-tração. ................... 101

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO .............................................................................................. 18

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................. 18

1.2 JUSTIFICATIVA ...................................................................................................... 19

1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA ................................................................................... 20

1.3.1 Objetivo geral ..................................................................................................... 20

1.3.2 Objetivos específicos .......................................................................................... 20

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .............................................................................. 21

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................... 22

2.1 GENERALIDADES .................................................................................................. 22

2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS RESERVATÓRIOS ......................................................... 22

2.2.1 Quanto à posição em relação ao nível solo......................................................... 22

2.2.2 Quanto ao formato .............................................................................................. 24

2.2.3 Quanto ao volume de armazenamento................................................................ 25

2.3 CRITÉRIOS DE PROJETO ...................................................................................... 26

2.4 AÇÕES E CARREGAMENTOS ATUANTES ........................................................ 26

2.4.1 Peso próprio ........................................................................................................ 27

2.4.2 Impermeabilização e revestimento ..................................................................... 27

2.4.3 Acúmulo de água pluvial .................................................................................... 27

2.4.4 Ação do líquido contido e do solo ...................................................................... 28

2.4.5 Sobrecargas de utilização ................................................................................... 30

2.4.6 Ações devido ao vento ........................................................................................ 31

2.5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL ........................................... 31

2.5.1 Rotações nas arestas ........................................................................................... 32

2.5.2 Ligações entre os elementos ............................................................................... 35

2.5.3 Mísulas ............................................................................................................... 37

2.6 OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EM RESERVATÓRIOS ......................................... 38

2.6.1 Reações de apoio ................................................................................................ 38

2.6.2 Momentos fletores .............................................................................................. 39

2.6.3 Método dos elementos finitos ............................................................................. 40

2.7 DIMENSIONAMENTO DE RESERVATÓRIOS .................................................... 40

2.7.1 Flexão simples .................................................................................................... 41

2.7.2 Tração simples ou tração com pequena excentricidade: (Domínio 1)................ 42

2.7.3 Flexão composta com grande excentricidade (Domínios 2-3-4-4a) ................... 42

2.8 VERIFICAÇÕES DE CISALHAMENTO E ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO .... 44

2.8.1 Tensões de cisalhamento .................................................................................... 44

2.8.2 Abertura de fissuras ............................................................................................ 45

2.8.3 Deformação excessiva ........................................................................................ 48

2.9 PESQUISAS REALIZADAS .................................................................................... 50

2.9.1 Guimarães (1995) ............................................................................................... 50

2.9.2 Chitlal (2010) ...................................................................................................... 51

2.9.3 Ramos (2010) ..................................................................................................... 51

2.9.4 Campos (2018) ................................................................................................... 52

CAPÍTULO 3 - CARACTERIZAÇÃO E MODELAGEM DOS RESERVATÓRIOS........... 53

3.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 53

3.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................... 54

3.2.1 Dimensões internas ............................................................................................. 55

3.2.2 Espessuras ........................................................................................................... 56

3.2.2.1 Seção transversal mínima ............................................................................ 57

3.2.2.2 Altura útil segundo Pinheiro (2007) ............................................................ 57

3.2.2.3 Altura útil segundo ABNT NBR 6118 (1980) ............................................ 58

3.2.2.4 Valores mínimos recomendados por Araújo (2014) ................................... 58

3.2.2.5 Mísulas ........................................................................................................ 59

3.2.3 Geometria final ................................................................................................... 59

3.3 LEVANTAMENTO DAS AÇÕES ........................................................................... 63

3.3.1 Laje de tampa...................................................................................................... 63

3.3.2 Paredes ................................................................................................................ 63

3.3.3 Laje de fundo ...................................................................................................... 64

3.4 MODELO ANALÍTICO ............................................................................................ 65

3.4.1 Cálculo dos esforços ........................................................................................... 66

3.4.2 Compatibilização dos esforços ........................................................................... 68

3.5 MODELO NUMÉRICO ............................................................................................ 69

3.5.1 Definição dos materiais ...................................................................................... 69

3.5.2 Definição dos elementos ..................................................................................... 69

3.5.3 Casos de carregamento ....................................................................................... 70

3.5.4 Modelagem ......................................................................................................... 70

3.5.5 Obtenção dos esforços ........................................................................................ 74

3.6 CÁLCULO DAS ARMADURAS ............................................................................. 76

3.6.1 Flexão simples .................................................................................................... 76

3.6.2 Tração simples ou tração com pequena excentricidade...................................... 77

3.6.3 Flexo-tração ........................................................................................................ 77

3.7 VERIFICAÇÕES ....................................................................................................... 78

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................... 80

4.1 ESFORÇOS FINAIS DE DIMENSIONAMENTO .................................................. 80

4.2 CÁLCULO DAS ARMADURAS ............................................................................. 81

4.3 VERIFICAÇÕES ....................................................................................................... 82

4.4 COMPARAÇÕES ENTRE MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO .................... 85

4.4.1 Por tipo de reservatório....................................................................................... 85

4.4.2 Flexão versus Flexão + tração ............................................................................ 90

4.4.3 Flexão versus Flexo-tração ................................................................................. 94

4.5 COMPARAÇÕES ENTRE MODELOS DE OBTENÇÃO DE ESFORÇOS........... 98

CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS ................................. 102

5.1 CONCLUSÕES GERAIS ........................................................................................ 102

5.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................................................... 103

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 104

APÊNDICE A – CÁLCULO DAS ESPESSURAS DAS LAJES .......................................... 106

APÊNDICE B – AÇÕES ATUANTES (MODELO ANALÍTICO) ...................................... 107

APÊNDICE C – ESFORÇOS (MODELO ANALÍTICO) ..................................................... 108

APÊNDICE D – ESFORÇOS (MODELO NUMÉRIO) ........................................................ 111

APÊNDICE E – ARMADURAS CALCULADAS ............................................................... 131

ANEXO A – TABELAS KMD .............................................................................................. 134

18

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Os reservatórios são estruturas construídas com a finalidade principal de armazenar

líquido, seja água tratada para abastecimento, águas residuais, águas pluviais (cisternas)

produtos industriais ou qualquer outro. Além de reservar líquido para ser utilizado quando

necessário, os reservatórios muitas vezes servem como elementos reguladores de pressão sendo,

para isso, necessário colocá-los em posições elevadas. É o que ocorre em caixas d’água

superiores de casas, edifícios residenciais, comerciais ou públicos e também nos sistemas de

abastecimento de água tratada, em que os reservatórios têm de assegurar pressão e quantidade

de água suficiente para toda a população de uma determinada região, necessitando, como

consequência de reservatórios de grandes dimensões.

Em situações em que o reservatório é totalmente constituído de concreto armado, torna-

se essencial o estudo de todas as ações e esforços internos atuantes, bem como o

dimensionamento adequado, de forma a tornar a estrutura segura e com um bom

comportamento em serviço.

De acordo com Chitlal (2010), a análise do comportamento de um reservatório é

relativamente complexa pois se trata de uma estrutura tridimensional sujeita a ações

hidrostáticas, de empuxo do solo (reservatório enterrados ou apoiados), efeito de cargas de

vento (reservatórios elevados aporticados), da subpressão do lençol freático (reservatórios

enterrados) e outros efeitos excepcionais que podem surgir durante a vida útil da estrutura.

Os esforços internos e o comportamento estrutural do reservatório são fatores que estão

diretamente relacionados com o seu formato, dimensões e a sua posição em relação ao terreno,

devendo-se, portanto, realizar esse estudo de maneira individualizada. Desta forma, cabem aos

projetistas estruturais a responsabilidade de fazer as considerações preliminares através de

modelos idealizados, as devidas análises e o dimensionamento da estrutura de maneira a

garantir a sua estabilidade local e global.

Além disso, os reservatórios devem ser elementos estanques para que desempenhem a

sua principal função de maneira adequada. Para isso, deve-se limitar a fissuração de forma mais

rigorosa tomando os devidos cuidados principalmente nos encontros de placas (região de

elevada concentração de tensões minimizadas muitas vezes pela adoção de mísulas entre as

arestas das placas dos reservatórios).

19

Em vias gerais, os reservatórios paralelepipédicos são estruturas constituídas por placas

retangulares dispostas em diferentes direções, resultando em uma composição complexa e

merecedora de análise, uma vez que são reduzidos os modelos para obtenção de esforços e

cálculos encontrados na literatura.

Diante disto, esta pesquisa se propõe a realizar a análise e o dimensionamento de três

reservatórios elevados paralelepipédicos de diferentes capacidades. Para cada um deles serão

feitos os estudos considerando: (a) apenas os esforços de flexão nas placas, (b) considerando a

flexão e a tração separadamente e, por fim (c) considerando a flexo-tração.

Segundo Vasconcelos (1998), na maior parte das vezes, no dimensionamento de

reservatórios em apoiados rígidos, é considerado apenas o esforço de flexão nas placas,

acrescentando no final 20% da armadura para compensar os efeitos de tração não considerados

no dimensionamento. Esse percentual é variável e ainda precisa ser mais bem estudado.

Desta forma pretende-se verificar qual método de cálculo resultará em uma estrutura

mais econômica e com um melhor desempenho estrutural, levando em conta o modelo de

obtenção dos esforços internos e o volume de armazenamento do reservatório. Os resultados

serão baseados em modelos analíticos e numéricos por meio do Método dos Elementos Finitos

(MEF), utilizando como ferramenta, para este último caso, o programa de análise estrutural

SAP2000®.

1.2 JUSTIFICATIVA

Este trabalho de pesquisa se justifica pelo reduzido número de modelos para obtenção

de esforços internos e dimensionamentos de reservatórios paralelepipédicos elevados em

concreto armado, além da quantidade reduzida de estudos comparativos da eficiência estrutural

com base nas considerações feitas para o dimensionamento no Estado-Limite Último e

desempenho no Estado-Limite de Serviço (fissuração e deformação). Neste sentido, pretende-

se apresentar uma indicação de quais modelos de obtenção de esforços e cálculo seriam os mais

adequados para garantia da estabilidade local e global do reservatório, considerando a sua

capacidade de armazenamento. Por fim, pretende-se enfocar no entendimento de todas as etapas

de desenvolvimento de projetos (cálculo e detalhamento) de reservatórios elevados

paralelepipédicos em concreto armado.

Vale ressaltar que este estudo poderá servir como ponto de partida para o

aperfeiçoamento em projetos futuros do cálculo estrutural de reservatórios, uma vez que tem

20

como base os métodos de cálculo usuais já bastante difundidos e estão de acordo com a ABNT

NBR 6118 (2014) (Projeto de estruturas de concreto – Procedimento).

1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA

1.3.1 Objetivo geral

O presente trabalho tem como objetivo geral analisar a eficiência estrutural de três

reservatórios paralelepipédicos elevados de capacidades distintas considerando o

dimensionamento à flexão, à flexão e tração de forma isolada (superposição de armaduras), e à

flexo-tração, por meio de modelos analíticos e numéricos via Método dos Elementos Finitos.

1.3.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos deste trabalho são:

Obter os esforços internos de três reservatórios paralelepipédicos elevados por meio de

métodos analíticos e numéricos via Método dos Elementos Finitos (MEF),

considerando: (a) os efeitos de flexão, (b) flexão e tração e (c) flexo-tração;

Analisar e comparar os esforços internos obtidos analiticamente e utilizando o Método

dos Elementos Finitos (MEF) para cada um dos reservatórios estudados;

Dimensionar à luz da ABNT NBR 6118 (2014), os três reservatórios considerando os

métodos de obtenção dos esforços internos e as situações (a), (b) e (c) supracitadas;

Verificar o Estado-Limite de Serviço (ELS) dos reservatórios;

Identificar, com base nas armaduras calculadas e na eficiência estrutural, quais

considerações de cálculo são mais adequadas para os três tipos de reservatórios

estudados.

21

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho é divido em 5 capítulos, incluindo este, os quais abordam os conteúdos

apresentados de forma resumida a seguir:

No Capítulo 1 apresenta-se as considerações iniciais da pesquisa, bem como as

justificativas, os objetivos geral e específicos e a estrutura do trabalho.

No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica dos tipos de reservatórios, das ações

atuantes, do comportamento estrutural, do dimensionamento, de verificações e de pesquisas

realizadas sobre reservatórios em concreto armado.

No Capítulo 3 são expostos os modelos de estudo e as considerações feitas para o

desenvolvimento da pesquisa.

No Capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos e as análises feitas a partir destes

resultados.

No Capítulo 5 são feitas as conclusões gerais acerca da pesquisa e algumas sugestões

para trabalhos futuros.

22

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 GENERALIDADES

Pode-se definir reservatório como sendo uma estrutura projetada para armazenar um

determinado líquido. Tal líquido pode ser água potável, água residual ou quaisquer outros de

diferentes naturezas. Quanto ao material, os reservatórios podem ser de polietileno, fibra de

vidro, poliéster reforçado ou concreto armado, sendo este último de maior interesse para a

engenharia de estruturas e objeto de estudo deste trabalho.

Todo reservatório, independentemente do seu formato, é constituído por três elementos

principais que garantem a efetividade da sua função principal, sendo eles: fundo, paredes e

tampa. O fundo e as paredes são as partes que estão em contato direto com o líquido e servem

como barreiras de armazenamento, enquanto que a tampa é utilizada para proteger o líquido

contido de contaminações, furto ou qualquer ação contra a sua integridade. Em se tratando de

reservatórios em concreto armado, esses elementos podem ser analisados, respectivamente,

como laje de fundo, paredes e laje de tampa, sendo a laje de fundo podendo funcionar também

como elemento de fundação em casos onde o reservatório está em contato direto com o solo.

2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS RESERVATÓRIOS

São diversos os tipos de classificação dos reservatórios, sendo os principais definidos

da seguinte forma: (a) quanto à posição em relação ao solo, (b) quanto ao formato e (c) quanto

ao volume de armazenamento.

2.2.1 Quanto à posição em relação ao nível solo

Segundo Vasconcelos (1998), os tipos de reservatórios existentes podem ser definidos

de acordo com o posicionamento em relação a um plano de referência. Este plano diz respeito

à superfície do solo no qual a estrutura se apoia, sendo possível classificá-los em:

Reservatórios enterrados: são aqueles em que toda a estrutura se encontra abaixo do

nível do solo, podendo ou não a laje de tampa estar nivelada com a superfície;

Reservatórios semienterrados ou semiapoiados: refere-se ao caso em que parte do

reservatório está acima da superfície do terreno;

23

Reservatórios apoiados: caso em que toda a estrutura está acima do nível de referência

e a laje de fundo em contato direto com a superfície do solo;

Reservatórios elevados: situação em que o reservatório está acima do nível de referência

e sem contato direto com o solo. Neste caso, apoia-se sobre uma estrutura portante.

A Figura 2.1 esquematiza os tipos de reservatórios classificados de acordo com a sua

posição em relação ao nível do solo.

Figura 2.1 – Classificação dos reservatórios quanto à posição em relação ao nível do solo: (a) reservatório

enterrado; (b) reservatório semienterrado ou semiapoiados; (c) reservatório apoiado; e (d) reservatório

elevado.

Fonte: Adaptado de Vasconcelos (1998).

De acordo com Costa (1998), os reservatórios são compostos por três partes: cuba, torre

e fundações. A cuba é constituída de elementos de superfície que juntos possibilitam o

armazenamento do líquido. A torre é a parte de estrutura responsável por absorver as cargas da

cuba e do vento e conduzir até os elementos de fundação. Ela tanto pode ser composta por

pilares contraventados com vigas ou por um fuste. Já as fundações são elementos que

transferem ao solo os esforços provenientes da torre e da cuba, que podem ser fundações diretas,

estacas ou tubulões. Nos reservatórios elevados, tem-se a presença destas três partes, enquanto

que nos demais se tem apenas a cuba e o elemento de fundação. É importante destacar que a

fundação do reservatório enterrado, semienterrado ou apoiado depende da taxa de trabalho do

solo no qual se apoia, visto que se o solo é de elevada resistência, geralmente se utiliza a laje

de fundo funcionando também como elemento de fundação direta; caso contrário, ou quando a

cuba possui grandes dimensões, torna-se necessária a utilização de estacas ou outro tipo de

fundação profunda.

(a) (b) (c) (d)

24

Neste trabalho, o termo “reservatório”, se referirá especificamente apenas à cuba

apoiada nas bordas em vigas rígidas, e não a todo o conjunto apresentado anteriormente.

2.2.2 Quanto ao formato

Conforme Costa (1998), os reservatórios podem ser classificados quanto à forma da

superfície da cuba em: reservatórios em casca, piramidais ou prismáticos.

Os reservatórios em casca são os que possuem superfícies médias curvas, podendo ser

com cubas cilíndricas, cubas cônicas ou cubas de revolução com geratriz curva, assim como

mostra a Figura 2.2 a seguir.

Figura 2.2 – Exemplos de reservatórios em casca. (a) Cuba cilíndrica, (b) cuba cônica e (c) cuba de revolução

com geratriz curva.

Fonte: Costa (1998).

Os reservatórios piramidais possuem superfícies médias planas que juntos formam

troncos de pirâmide com eventuais trechos prismáticos (COSTA, 1998). A Figura 2.3 mostra

uma cuba de reservatório com dois troncos de pirâmide separados por um trecho prismático.

(a) (b) (c)

25

Figura 2.3 – Reservatório com cuba piramidal.

Fonte: Costa (1998).

Já os reservatórios prismáticos são constituídos por cubas com superfícies planas

verticais e horizontais com diversos formatos em planta, como triangular, hexagonal, octogonal

e retangular. Este último é o mais comum e pode ser chamado de reservatório paralelepipédico.

A Figura 2.4 ilustra dois reservatórios paralelepipédicos, um elevado e outro enterrado.

Figura 2.4 – Reservatórios prismáticos paralelepipédicos. (a) Elevado, (b.1) enterrado: perspectiva e (b.2)

enterrado: corte vertical.

Fonte: Adaptado de Costa (1998).

2.2.3 Quanto ao volume de armazenamento

Os reservatórios podem ser classificados de duas formas diferentes quanto ao volume

de armazenamento: uma classificação para reservatórios elevados e outra para reservatórios

térreos. Isso porque se tratam de estruturas bastante distintas, uma vez que, por exemplo, as

dificuldades de elaboração de projetos e execução são bem diferenciadas para reservatórios

elevados e térreos de mesma capacidade.

(a) (b.1)

(b.2)

26

O Quadro 2.1 a seguir apresenta a classificação dos reservatórios quanto ao volume de

armazenamento:

Quadro 2.1 – Classificação dos reservatórios quanto ao volume de armazenamento.

Fonte: Adaptado de Silva Filho (2017).

2.3 CRITÉRIOS DE PROJETO

De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), as estruturas devem atender a três requisitos

de qualidade: capacidade resistente, desempenho em serviço e durabilidade. Para que esses

requisitos sejam seguidos, a norma traz diversas recomendações para diferentes tipos de

estruturas, incluindo nestas os reservatórios.

Para atender ao requisito da durabilidade, a ABNT NBR 6118 (2014) recomenda que

para estruturas com superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, deve-se

respeitar os cobrimentos estabelecidos para a classe de agressividade IV, que corresponde a

ambientes com nível de agressividade muito forte. Para esta classe, o cobrimento nominal deve

ser de, no mínimo, 45 mm para lajes de concreto armado e a resistência à compressão do

concreto de 40 MPa.

Ainda de acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), o item 11.4.1.3 diz que o nível de

água a ser considerada para o cálculo dos reservatórios deve ser o máximo possível e compatível

com o nível do sistema de extravasão. Além disso, caso haja possibilidade de retenção de água

pluvial, deve-se prever a presença de uma lâmina d’água correspondente ao nível da drenagem

efetivamente garantida pela construção.

O item 13.4.3 da ABNT NBR 6118 (2014) afirma ainda que, em casos de reservatórios,

deve-se adotar limites menores de abertura de fissuras, uma vez que se trata de uma estrutura

em que o nível de fissuração pode afetar a sua funcionalidade.

2.4 AÇÕES E CARREGAMENTOS ATUANTES

No dimensionamento de qualquer estrutura, deve-se sempre prever quais serão as ações

que atuarão conforme a função e o posicionamento do elemento estrutural o qual se deseja

RESERVATÓRIO ELEVADO TÉRREO

PEQUENO V 50 m³ V 100 m³

MÉDIO 50 m³ < V < 200 m³ 100 m³ < V < 500 m³

GRANDE V 200 m³ V 500 m³

27

dimensionar. Nos itens a seguir serão descritas as principais ações que são consideradas para

reservatórios em concreto armado.

2.4.1 Peso próprio

Seja qual for o material e o elemento estrutural que se deseja dimensionar, é necessário

sempre considerar o peso próprio deste. Em se tratando de concreto armado, a ABNT NBR

6118 (2014) recomenda, em seu item 8.2.2, a utilização da massa específica igual a 2500 kg/m³

para efeito de cálculo.

Nos reservatórios, o peso próprio tem maior importância para o dimensionamento à

flexão simples ou à flexão composta das lajes de tampa e de fundo. Nas paredes, essa

consideração é feita somente quando o dimensionamento ocorre considerando-as como vigas-

parede sobre pilares, no caso de reservatórios elevados, ou transferindo essa carga para a laje

de fundo que atua como fundação para o caso de reservatórios enterrados, semienterrados ou

apoiados.

2.4.2 Impermeabilização e revestimento

Como a estanqueidade deve ser garantida, é imprescindível a utilização de

impermeabilizantes adequados para reservatórios. Em caso de reservatórios enterrados pode-se

utilizar o sistema de impermeabilização rígida, porém, em reservatórios elevados recomenda-

se a utilização de impermeabilizantes flexíveis devido às variações de temperatura os quais

estão expostos.

Associado à impermeabilização, deve-se prever também o revestimento, visto que esta

protege o sistema impermeabilizante adotado. Em termos quantitativos, pode-se, desse modo,

estimar uma carga de aproximadamente 100 kgf/m² que inclua estes elementos.

2.4.3 Acúmulo de água pluvial

A laje de tampa de reservatórios, excetuando-se para os casos de reservatórios

enterrados com a laje de tampa abaixo do nível do solo, deve ser executada com determinada

declividade que permita o escoamento de águas pluviais. Porém, ainda assim é recomendado

prever um determinado nível de água sobre este elemento caso essa declividade não exista.

28

Sendo assim, para uma lâmina d’água de 2 cm de altura, tem-se um carregamento de 2 kgf/m²

atuante na laje.

2.4.4 Ação do líquido contido e do solo

Como a principal função de um reservatório é o armazenamento de um líquido, deve-se

sempre considerar as ações causadas por este líquido nas lajes que o compõem. Além disso, em

casos de reservatórios enterrados e apoiados deve-se também prever o empuxo do solo, o qual

depende das características deste e do nível do lençol freático. É muito importante conhecer,

principalmente em casos de reservatórios em contato direto com o solo, quais são as piores

condições para o dimensionamento, pois as ações conjuntas do líquido armazenado e do solo

podem levar a situações diversas de esforços.

Em reservatórios enterrados, diferentes situações podem ser analisadas. Para o caso de

reservatório cheio, ocorrem ações tanto da água armazenada como do solo no entorno. Segundo

Vasconcelos (1998), é mais comum o empuxo da água nas paredes ser maior que o empuxo do

solo e, na laje de fundo, a reação do terreno ser sempre maior que o peso da água. Sendo assim,

as ações nas lajes ficam com o aspecto semelhante ao apresentado na Figura 2.5 a seguir.

Figura 2.5 – Ações da água e do solo em um reservatório enterrado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte horizontal.

Fonte: Autor (2018).

Em reservatórios enterrados vazios, o único elemento causador de ações é o solo, sendo

os carregamentos de empuxo do solo e reação do terreno com características apresentadas na

Figura 2.6.

(a) (b)

29

Figura 2.6 – Ações do solo em um reservatório enterrado vazio. (a) Corte vertical e (b) corte horizontal.


De acordo com Vasconcelos (1998), podem ser previstas ainda mais três situações

possíveis para reservatórios enterrados. A primeira referente ao processo construtivo de um

reservatório desta natureza, visto que é muito comum fazer a escavação de terra em um volume

maior que o volume do reservatório e executar a estrutura como sendo apoiada sobre este solo.

Contudo, antes de executar o reaterro, é feito um teste de estanqueidade, enchendo-o

completamente. É nesta situação em que o reservatório enterrado fica com apenas as ações do

empuxo da água nas paredes e a reação do terreno na laje de fundo, devendo-se prever este caso

quando tal processo construtivo for adotado. A segunda situação refere-se à passagem de

veículos sobre o reservatório, principalmente se a laje de tampa estiver exposta, sendo

necessário levar em conta também este tipo de ação. O último caso possível a ser avaliado é

quando o lençol freático está em um nível acima da laje de fundo, devendo-se contabilizar, além

da ação do empuxo do solo, a ação do empuxo provocado pelo lençol freático, a partir do nível

em que ocorre.

Em reservatórios apoiados, a situação mais desfavorável para o dimensionamento

refere-se ao caso em que este se encontra totalmente cheio. Nesta condição, na laje de fundo, a

massa de água armazenada e a reação do terreno atuam simultaneamente, devendo-se

considerar a diferença entre estas duas ações, assim como mostra a Figura 2.7.

(a) (b)

30 Figura 2.7 – Ações da água e do solo em um reservatório apoiado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte horizontal.


E, por último, em reservatórios elevados não existe a atuação de solo, sendo, portanto,

a pior situação referente a este totalmente cheio, levando a um estado de carregamentos devido

ao empuxo da água semelhante ao apresentado na Figura 2.8.

Figura 2.8 – Ações da água em um reservatório elevado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte horizontal.


2.4.5 Sobrecargas de utilização

No dimensionamento de reservatórios torna-se necessário considerar também uma ação

variável de utilização. Isso porque em alguns casos podem ocorrer situações extras de

carregamento, como, por exemplo, a presença de uma pessoa que necessite realizar algum tipo

de manutenção ou a passagem de veículos sobre a laje de tampa de um reservatório enterrado

(Figuras 2.5 a 2.8).

(a) (b)

(a) (b)

31

2.4.6 Ações devido ao vento

As ações do vento são bastante relevantes para reservatórios elevados, onde, segundo

Vasconcelos (1998), agem perpendicularmente a cada uma das fachadas de um reservatório

paralelepipédico. Neste caso, os pilares são os responsáveis por receber os efeitos do vento e,

portanto, devem ser devidamente verificados.

2.5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

Nos reservatórios, as ações atuam perpendicularmente e paralelamente ao plano médio

das lajes, ocorrendo simultaneamente o comportamento destas como placas e como chapas,

uma vez que as placas são elementos bidimensionais com carregamento perpendicular à sua

superfície enquanto que nas chapas esse carregamento ocorre no mesmo plano da superfície,

seja comprimindo ou tracionando. Pode-se considerar também que as paredes dos reservatórios

funcionam como vigas-parede quando ocorre o carregamento aplicado no plano da laje.

Conforme Araújo (2014), da análise de placas, é possível se obter os momentos fletores

nas lajes, assim como as reações de apoio nas suas bordas. Estas reações são transferidas às

lajes vizinhas como cargas atuantes no próprio plano das mesmas, devido ao funcionamento

conjunto de todas as lajes, gerando, desse modo, esforços de flexão composta. Estas reações de

apoio podem ser consideradas para simplificação dos cálculos como uniformemente

distribuídas ao longo de toda a dimensão da placa. A Figura 2.9 a seguir ilustra as cargas

atuantes no plano médio das lajes de um reservatório paralelepipédico em consequência da

interação existente entre estas.

32

Figura 2.9 – Cargas nos planos das lajes. (a) Paredes. (b) Tampa

e fundo.

Fonte: Adaptado de Araújo (2014).

Para a análise de vigas-parede, consideram-se as cargas provenientes da tampa e do

fundo, bem como o peso próprio da parede (ARAÚJO, 2014).

2.5.1 Rotações nas arestas

Conforme já explanado, o reservatório é uma estrutura composta por vários elementos

interligados em diferentes direções, tornando a sua análise bastante complicada. Diante disto,

uma forma muito comum de obter os esforços para o dimensionamento de reservatórios

paralelepipédicos consiste em tratar cada laje individualmente, mas sem deixar de levar em

conta o funcionamento conjunto de todas elas. Para isso, deve-se fazer um estudo do tipo de

vinculação entre os elementos que compõem o reservatório, com base nas solicitações e na

posição em relação ao nível do terreno.

De acordo Rocha (1983), podem existir dois casos distintos: arestas com momentos

elevados devidos à continuidade, os quais se aproximam da condição de engastamento perfeito,

(a)

(b)

33

e arestas com pequenos momentos, que podem ser considerados como apoio simples para efeito

de cálculo aproximado.

Essa definição de engastamento perfeito ou apoio simples pode ser feita de acordo com

a tendência de rotação relativa das placas que compõem a aresta. Baseado na direção das

solicitações verificam-se duas situações possíveis: quando as placas têm a tendência de

rotacionar no mesmo sentido e quando a tendência de rotação de cada uma é em sentidos

contrários. Na primeira situação, admite-se um apoio simples na aresta considerada, uma vez

que, segundo Vasconcelos (1998), esta condição não causa abertura ou fechamento

significativo da ligação e, conforme Araújo (2014), os momentos negativos que podem surgir

são baixos. Já no segundo caso, considera-se um engastamento perfeito, devido à grande

concentração de tensões na ligação e ao surgimento de momentos negativos consideráveis.

As Figuras 2.10 a 2.13 ilustram as condições de contorno (engastamento ou articulação)

para os casos de reservatórios: enterrado vazio, enterrado cheio, apoiado cheio e elevado cheio,

conforme a situação típica de carregamento em cada caso, apresentado no item 2.4.4 deste

trabalho.

Figura 2.10 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório enterrado vazio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal.


(a) (b)

34 Figura 2.11 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório enterrado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal.


Figura 2.12 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório apoiado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal.


Figura 2.13 – Rotações e vinculações das arestas de um reservatório elevado cheio. (a) Corte vertical e (b) corte

horizontal.


(a) (b)

(a) (b)

(a) (b)

35

Segundo alguns pesquisadores, apesar dos casos de reservatório enterrado cheio e

apoiado cheio resultarem em tendências de rotação no mesmo sentido entre as lajes de fundo e

as paredes, recomenda-se a consideração de engastamento nestas ligações, pois se a laje de

fundo for mais rígida que as paredes, as rotações não serão aproximadamente iguais, apesar de

ocorrerem no mesmo sentido, surgindo nesses pontos uma possível fissuração. Esta

recomendação, além da diferença de rigidez entre as lajes, se dá também devido ao contado

direto da ligação com o líquido contido no reservatório, para que assim se possa garantir

estanqueidade. O mesmo raciocínio pode ser aplicado nas arestas comuns à laje de tampa e às

paredes do reservatório enterrado vazio, uma vez que, apesar dessas lajes tenderem a rotacionar

em sentidos contrários, a consideração de articulação e uma possível fissuração não prejudicaria

a estanqueidade do reservatório, pois não há contato direto com o líquido.

2.5.2 Ligações entre os elementos

De acordo com Leonhardt (1978), qualquer mudança de direção do eixo de um elemento

estrutural provoca mudanças nas distribuições internas de tensões. Quando dois elementos

estruturais se unem em um determinado ponto em que há mudança de direção, torna-se de

extrema importância o estudo do comportamento desta ligação, uma vez que, conforme Wigth

& MacGregor (2012), é necessário distinguir quando os momentos aplicados tendem a abrir ou

a fechar este encontro, gerando, respectivamente, uma ligação com tração interna ou uma

ligação com tração externa.

Em ligações com tração interna, ocorrem grandes tensões de tração no canto interno e

no meio da ligação, fazendo com que as fissuras se desenvolvam assim como mostra a Figura

2.14c. Para garantir o equilíbrio da ligação e evitar sua falha, é necessário que a força “T” esteja

presente, a qual é garantida por uma armadura necessária nesta região (WIGHT &

MACGREGOR, 2012). A Figura 2.14 mostra o comportamento de uma ligação submetida a

tração interna.

36

Figura 2.14 – Comportamento de uma ligação com tração interna. (a) Tensões de tração e compressão,

(b) distribuição elástica de tensões antes da fissuração, (c) fissuras desenvolvidas na ligação, (d)

diagrama de corpo livre da porção externa da trinca diagonal, (e) modelo de estrutura do conjunto.

Fonte: Adaptado de Wigth & MacGregor (2012).

Nilsson & Losberg (1976) apud Wigth & MacGregor (2012), indicam que uma ligação

reforçada como mostra a Figura 2.15 apresenta maior momento resistente sem grandes

deformações, uma vez que a tensão nas barras com gancho possui uma componente que ajuda

no desenvolvimento da força “T” e a barra inclinada limita a fissuração na região interna.

Figura 2.15 – Ligação reforçada.


(a) (b) (c)

(d) (e)

37

Nas ligações com tração externa, as tensões ocorrem de forma oposta ao apresentado

anteriormente. A Figura 2.16 mostra as forças de tração e compressão na ligação e o

desenvolvimento das fissuras. Neste caso, os problemas são mais recorrentes na região interna

das barras dobradas, visto que essas barras devem transmitir uma força ao concreto na diagonal

da junta. Sendo assim, recomenda-se aumentar o raio de curvatura da barra (WIGHT &

MACGREGOR, 2012).

Figura 2.16 – Ligação com tração externa. (a) Tensões de tração e

compressão e (b) fissuras desenvolvidas na ligação.

Fonte: Adaptado de Wigth & MacGregor (2012).

2.5.3 Mísulas

O uso de mísulas em reservatórios é bastante comum, uma vez que a sua presença

garante diversas funcionalidades, tais como aumentar o grau de engastamento entre as placas,

reduzir o risco de fissuração e facilitar a aplicação da impermeabilização.

O grau de engastamento é aumentado devido ao acréscimo de rigidez das lajes nas

bordas, pois ocorre um aumento de área das seções transversais da ligação. Além disso, de

acordo com Vasconcelos (1998), as mísulas fazem com que o ponto crítico à fissuração não

mais se situe onde o momento fletor negativo é máximo e sim em outro ponto mais interno,

assim como mostra a Figura 2.17.

(a) (b)

38

Figura 2.17 – Pontos críticos às aberturas de fissuras.

Fonte: Vasconcelos (1998).

Na prática construtiva costuma-se adotar mísulas com ângulo de 45° e com dimensões

iguais a maior espessura entre as lajes que compõem a ligação.

2.6 OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EM RESERVATÓRIOS

Para a obtenção dos esforços de dimensionamento de um reservatório, algumas

considerações, simplificações e métodos de cálculo analíticos ou numéricos podem ser

aplicados. Nestes casos os reservatórios são tratados como estruturas compostas por: (a) lajes

isoladas onde os esforços internos são obtidos através da Teoria de Placas com resolução da

equação diferencial de quarta ordem, não homogênea, de Lagrange, (b) vigas-parede, utilizando

o Modelo de Bielas e Tirantes, (c) ou considerando os esforços obtidos pelos métodos

numéricos.

Neste item serão apresentadas apenas as considerações utilizadas no desenvolvimento

desta pesquisa, com enfoque nos métodos analíticos, considerando cada laje do reservatório de

forma isolada e sob ações perpendiculares e paralelas ao seu plano médio, e nos métodos

numéricos via Método dos Elementos Finitos considerando uma modelagem tridimensional.

2.6.1 Reações de apoio

No dimensionamento de reservatórios paralelepipédicos por meio de lajes isoladas

considera-se que as reações de apoio nas bordas dessas lajes são transferidas às lajes vizinhas

como ações atuantes no seu próprio plano. De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), as

39

reações em cada apoio são correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios

determinados através das Charneiras Plásticas, sendo que, pode-se considerar a distribuição

destas reações nos elementos de apoio como uniformemente distribuídas. Conforme Pinheiro

(2007), esse procedimento proposto pela norma é conhecido como Processo das Áreas, no qual

os triângulos ou trapézios são traçados por retas a partir dos vértices das lajes, seguindo os

seguintes critérios:

45° entre dois apoios do mesmo tipo;

60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado;

90° a partir do apoio engastado ou apoiado, se a outra borda for livre.

De forma mais simplificada, as reações de apoio podem ser calculadas por meio de

tabelas, como as de Pinheiro (2007), as quais foram elaboradas baseadas no Processo das Áreas

e fornecem coeficientes adimensionais a partir das vinculações nas bordas da laje e da relação

entre suas dimensões.

2.6.2 Momentos fletores

Os momentos fletores podem ser basicamente obtidos por método elástico por meio da

teoria clássica de Placas Delgadas (Teoria de Kirchhoff), que supõe material homogêneo,

isotrópico, elástico e linear.

Considerando o equilíbrio de forças e momentos e as relações entre deslocamentos e

deformações obtém-se a equação fundamental que rege o problema de placas: a equação

diferencial de quarta ordem, não homogênea, de Lagrange.

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+𝜕4𝑤

𝜕𝑦4=𝑃

𝐷 (2.1)

Em que:

𝐷 =𝐸ℎ³

12(1−𝜐2);

𝑤: função de deslocamento vertical;

𝑃: carga total uniformemente distribuída;

𝐷: rigidez da placa à flexão;

40

𝐸: módulo de elasticidade;

ℎ: espessura da placa;

𝜐: coeficiente de Poisson.

Vale salientar que o processo de integração da Equação de Lagrange só pode ser

aplicado a alguns poucos casos de formas de placas e condições de contorno (GIONGO, 2007),

sendo recorrente o uso de métodos numéricos como o dos elementos finitos, diferenças finitas

e de elementos de contorno, ou através de modelo de analogia de grelha.

É oportuno lembrar que o uso de diferenças finitas para a integração numérica foi

bastante utilizado para a resolução da equação de Lagrange, sobretudo antes da década de 70

onde havia uma limitação de computadores e grandes processadores. Nesse período surgiram

as elaborações de tabelas, tais como as de Czerny e Bares, posteriormente adaptadas por

Pinheiro (2007), as quais auxiliam nos cálculos de momentos fletores em lajes.

2.6.3 Método dos elementos finitos

Segundo Hambly (1991 apud REBOUÇAS, 2017) o Método dos Elementos Finitos

(MEF) é um método numérico que consiste na discretização de um meio contínuo em uma

malha de elementos em quantidade e dimensões definidas, de modo que sejam mantidas as

propriedades do meio original. Este método surgiu como uma evolução da análise matricial de

estruturas com uma formulação inicial voltada para a engenharia aeronáutica, como por

exemplo, para análise de distribuições de tensões em chapas de asas de aviões. Atualmente, é a

ferramenta com maior aplicabilidade em problemas de engenharia em geral, abrangendo desde

análises de transferência de calor até escoamento de fluidos e eletromagnetismo. Conforme

Kim & Sankar (2011 apud REBOUÇAS, 2017), a análise por MEF tem como objetivo obter a

resposta de uma determinada estrutura com condições de contorno definidas submetidas a certo

conjunto de cargas.

No contexto atual, o MEF tem sido largamente utilizado em diversas pesquisas no ramo

da engenharia, com o auxílio de programas computacionais voltados para este fim.

2.7 DIMENSIONAMENTO DE RESERVATÓRIOS

Depois de calculados os esforços que atuam nos reservatórios, deve-se fazer o

dimensionamento das suas armaduras. Na prática, nem sempre os esforços no mesmo plano da

41

laje são levados em consideração, à exceção de quando as paredes são calculadas como vigas-

parede. Contudo, deve-se ter o cuidado de verificar se a intensidade desses esforços é de fato

significativa para o dimensionamento. A seguir serão mostradas as equações analíticas que

podem ser utilizadas para o dimensionamento das lajes de um reservatório considerando a

flexão simples, a tração simples e a flexão composta.

2.7.1 Flexão simples

Para o cálculo da armadura considerando a flexão simples, é admitida a “Hipótese de

Bernoulli” (distribuição linear de deformações ao longo da seção transversal em que

comumente desprezam-se as deformações de distorção provocadas pelo esforço cortante), além

das seguintes considerações de cálculo: (a) a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto

que as envolvem, resultando em uma mesma deformação em pontos de encontro dos dois

materiais; (b) a resistência do concreto à tração é desconsiderada e (c) as deformações

longitudinais da seção transversal são proporcionais à distância até a linha neutra.

As armaduras longitudinais podem ser obtidas por meio de tabelas elaboradas com base

nas equações de equilíbrio da seção transversal trabalhando no Estádio III – Estado-Limite

Último (ELU). A equação para o uso da tabela em anexo é dada por:

𝐾𝑀𝐷 =

𝑀𝑑

𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (2.2)

Onde:

𝑀𝑑: momento fletor de cálculo, igual a 𝛾𝑐 ∙ 𝑀𝑘, em que 𝛾𝑐 é o coeficiente majorador do

momento característico 𝑀𝑘;

𝑏𝑤: largura da seção transversal, podendo-se utilizar uma largura de 1 m para obter a armadura

distribuída por unidade de comprimento;

𝑑: altura útil;

𝑓𝑐𝑑: resistência de cálculo do concreto à compressão, sendo igual a 𝑓𝑐𝑘/𝛾𝑐.

Calculado o valor do KMD, obtém-se o coeficiente Ks, conforme o tipo de aço que será

utilizado para então calcular a armadura de flexão, da seguinte forma:

42

𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 =

𝑀𝑑

𝐾𝑠 ∙ 𝑑 (2.3)

2.7.2 Tração simples ou tração com pequena excentricidade: (Domínio 1)

De acordo com Fusco (1986), as peças de concreto armado submetidas à tração simples

ou à tração com pequena excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais

inteiramente fissuradas, ou seja, desconsidera-se a resistência do concreto a tração. Sendo

assim, o Estado-Limite Último (ELU) é caracterizado pela deformação da armadura tracionada,

com o valor máximo igual a 10%o. Deve-se também garantir o escoamento da armadura, logo,

a área de aço a ser calculada é igual a:

𝐴𝑠,𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =

𝑁𝑑𝑓𝑦𝑑

(2.4)

Em que:

𝑁𝑑: força de tração de cálculo que é aplicada na seção transversal;

𝑓𝑦𝑑: resistência ao escoamento de cálculo da armadura.

2.7.3 Flexão composta com grande excentricidade (Domínios 2-3-4-4a)

Conforme Fusco (1986), no cálculo da flexão composta com grande excentricidade

pode-se considerar de forma prática o momento Msd atuante no centro de gravidade da armadura

ao invés do momento (Md) atuando no centro de gravidade da seção transversal, conforme será

mostrado no item 3.6.3 desta pesquisa. Esta consideração tem a vantagem de possibilitar a

resolução do problema como se fosse flexão simples. Logo, as equações de equilíbrio de

momentos e forças são exatamente as mesmas, sendo a armadura simples de flexão composta

calculada por uma das seguintes expressões:

𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥𝑜−𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =

1

𝜎𝑠𝑑(𝑀𝑠𝑑

𝑧+ 𝑁𝑑,𝑡𝑟𝑎çã𝑜) (2.5)

𝐴𝑠,𝑓𝑙𝑒𝑥𝑜−𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =

1

𝜎𝑠𝑑(𝑀𝑠𝑑

𝑧− 𝑁𝑑,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) (2.6)

43

Em que:

𝜎𝑠𝑑: tensão atuante na armadura de tração;

𝑀𝑠𝑑: momento atuante no centro de gravidade da armadura, considerando a contribuição da

força de tração ou compressão;

𝑧: distância entre as resultantes das forças de compressão no concreto e de tração na armadura;

𝑁𝑑: força normal à seção transversal solicitante de cálculo, de tração ou compressão.

A parcela 𝑀𝑠𝑑 𝑧⁄ destas expressões corresponde à força de flexão simples, a qual

equivale ao binário composto pela força de compressão no concreto e pela força de tração na

armadura. Sendo assim, a armadura de flexo-tração é calculada por meio da soma da armadura

de flexão simples para o momento 𝑀𝑠𝑑 com a armadura de tração correspondente à força

𝑁𝑑,𝑡𝑟𝑎çã𝑜, enquanto que no cálculo da armadura de flexo-compressão é subtraída da armadura

de flexão simples a armadura correspondente à força de compressão 𝑁𝑑,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜. Além disso,

ressalta-se que essas expressões são aplicáveis desde que sejam respeitados os limites de

armadura simples. Além disso, adota-se 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 para garantir o escoamento do aço.

A Figura 2.18 a seguir mostra a relação entre os momentos 𝑀𝑑 e 𝑀𝑠𝑑 para o caso de

flexo-tração com armadura simples, onde o conjunto 𝑀𝑠𝑑 e 𝑁𝑑,𝑡𝑟𝑎çã𝑜 atuantes no centro de

gravidade da armadura é o equivalente estático do conjunto 𝑀𝑑 e 𝑁𝑑,𝑡𝑟𝑎çã𝑜 atuantes no centro

de gravidade da seção.

Figura 2.18 – Equivalência entre os momentos 𝑀𝑑 e 𝑀𝑠𝑑 para a

flexo-tração com armadura simples.


44

2.8 VERIFICAÇÕES DE CISALHAMENTO E ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO

A seguir serão apresentadas algumas das verificações possíveis aplicáveis ao

dimensionamento de reservatórios, são estas: (a) verificação das tensões de cisalhamento, (b)

verificação da abertura de fissuras e (c) verificação da deformação excessiva.

2.8.1 Tensões de cisalhamento

Segundo Pinheiro (2007), nas lajes ou placas convencionais as forças cortantes, em

geral, são satisfatoriamente resistidas pelo concreto, dispensando o emprego de armadura

transversal. De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), as lajes dispensam armadura transversal

de cisalhamento quando a força cortante obedecer à seguinte expressão:

𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 (2.7)

Sendo:

𝑉𝑆𝑑: força cortante solicitante de cálculo;

𝑉𝑅𝑑1: força cortante resistente de cálculo.

𝑉𝑅𝑑1 é dado por:

𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑𝑘(1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤𝑑 (2.8)

Onde:

𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑;

𝑓𝑐𝑡𝑑 =𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓

𝛾𝑐=0,7 ∙ 0,3√𝑓𝑐𝑘

23

𝛾𝑐;

𝜌1 =𝐴𝑠1𝑏𝑤𝑑

≤ |0,02|;

𝜎𝑐𝑝 =𝑁𝑆𝑑𝐴𝑐

;

𝑘 depende dos seguintes fatores:

Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: 𝑘 = |1|;

Para os demais casos: 𝑘 = |1,6 − 𝑑|, não menor que |1|, com 𝑑 em metros.

45

𝜏𝑅𝑑: tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;

𝐴𝑠1: área da armadura de tração;

𝑏𝑤: largura da seção;

𝑁𝑆𝑑: força longitudinal na seção devido à protensão ou carregamento axial aplicado, com valor

positivo para compressão.

2.8.2 Abertura de fissuras

Para o cálculo da abertura de fissuras, deve-se primeiramente verificar se há formação

destas fissuras. Esta verificação é feita pela comparação do momento de fissuração com o

momento da combinação rara de serviço. Quando o momento atuante é menor que o momento

de fissuração, considera-se que não há formação de fissuras, caso contrário, deve-se fazer o

cálculo do valor da abertura de fissuras. De acordo com o item 17.3.1 da ABNT NBR 6118

(2014), o momento de fissuração é dado por:

𝑀𝑟 =

𝛼𝑓𝑐𝑡𝐼𝑐𝑦𝑡

(2.9)

Onde:

𝛼 = 1,5 para seções retangulares;

𝑓𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∙ 0,3√𝑓𝑐𝑘23

para concretos do grupo I;

𝐼𝑐: momento de inércia da seção bruta de concreto;

𝑦𝑡: distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada, sendo igual a ℎ/2 para

seções retangulares.

Sendo confirmada a formação de fissuras, deve-se, então, calcular o valor da abertura.

Para isso, utiliza-se as seguintes expressões presentes no item 17.3.3.2 da ABNT NBR 6118

(2014):

𝑤𝑘 ≤

{

𝜙𝑖

12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖𝐸𝑠𝑖

3𝜎𝑠𝑖𝑓𝑐𝑡𝑚

𝜙𝑖12,5𝜂1

𝜎𝑠𝑖𝐸𝑠𝑖

(4

𝜌𝑟𝑖+ 45)

(2.10)

46

Em que:

𝜙𝑖: diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

𝜎𝑠𝑖: tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II;

𝜂1: coeficiente de conformação superficial da armadura, sendo igual a 2,25 para barras

nervuradas, conforme o item 9.3.2.1 da ABNT NBR 6118 (2014);

𝐸𝑠𝑖: módulo de elasticidade do aço da barra considerada, de diâmetro 𝜙𝑖, de valor igual a 210

GPa;

𝑓𝑐𝑡𝑚: resistência média à tração do concreto, de acordo com o item 8.2.5 da ABNT NBR 6118

(2014);

𝜌𝑟𝑖: taxa de armadura, em relação à área de envolvimento 𝐴𝑐𝑟𝑖.

A região de envolvimento da armadura é constituída por um retângulo cujos lados não

distem mais que 7,5𝜙𝑖 do eixo da barra da armadura, conforme a Figura 2.19 a seguir:

Figura 2.19 – Concreto de envolvimento da armadura.

Fonte: ABNT NBR 6118 (2014).

Para o cálculo de 𝜎𝑠𝑖 deve-se fazer a homogeneização da seção para o Estádio II, em

que a posição da linha neutra é dada por:

𝑏𝑤2𝑥𝐼𝐼2 + 𝛼𝑒𝐴𝑠𝑥𝐼𝐼 − 𝛼𝑒𝐴𝑠𝑑 = 0 (2.11)

E o momento de inércia é igual a:

47

𝐼𝐼𝐼 =

𝑏𝑤𝑥𝐼𝐼3

3+ 𝛼𝑒𝐴𝑠(𝑑 − 𝑥𝐼𝐼)² (2.12)

Onde:

𝑥𝐼𝐼: posição da linha neutra para a seção trabalhando no estádio II;

𝐼𝐼𝐼: momento de inércia para a seção trabalhando no estádio II;

𝑏𝑤: largura da seção transversal considerada;

𝛼𝑒 =𝐸𝑠

𝐸𝑐, razão modular, admitindo-se igual a 15 para o Estado-Limite de abertura de fissuras;

𝐴𝑠: área de aço da seção considerada;

𝑑: altura útil da seção.

Sendo assim, o valor de 𝜎𝑠𝑖 pode ser calculado por:

𝜎𝑠𝑖 =

𝛼𝑒𝑀𝑑,𝑓𝑟𝑒𝑞(𝑑 − 𝑥𝐼𝐼)

𝐼𝐼𝐼 (2.13)

Em que 𝑀𝑑,𝑓𝑟𝑒𝑞 é o momento de cálculo solicitante resultante da combinação frequente

de serviço.

A abertura de fissuras calculada deve ser comparada com o valor limite, em

conformidade com a classe de agressividade ambiental. A ABNT NBR 6118 (2014) traz uma

tabela com estes valores limites (Quadro 2.2).

Quadro 2.2 – Valores limites da abertura de fissuras.

Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118 (2014).

A ABNT NBR 6118 (2014) afirma ainda que o valor da abertura de fissuras pode sofrer

a influência de restrições às variações volumétricas da estrutura, difíceis de serem consideradas

48

nesta avaliação de forma suficientemente precisa. Além disso, questões executivas podem

também interferir neste valor, devendo-se encarar os cálculos como uma avaliação aceitável do

comportamento geral do elemento.

2.8.3 Deformação excessiva

A avaliação da deformação excessiva é feita por meio da composição de dois tipos de

flechas: a flecha imediata e a flecha diferida no tempo. Desse modo, a flecha total em uma laje

de concreto armado é dada por:

𝑎𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑎𝑓 (2.14)

Em que:

𝑎𝑡: flecha total;

𝑎𝑖: flecha imediata;

𝑎𝑓: flecha diferida no tempo.

Segundo Pinheiro (2007), a flecha imediata pode ser calculada por meio da seguinte

expressão:

𝑎𝑖 =

𝛼

100∙𝑏

12∙𝑝ℓ𝑥

4

𝐸𝑐𝐼 (2.15)

Onde:

𝛼: coeficiente adimensional tabelado por Pinheiro (2007);

𝑏: 100 cm;

𝑝: carregamento para a combinação quase permanente;

ℓ𝑥: menor vão efetivo;

𝐸𝑐: módulo de elasticidade secante do concreto, dado pelo item 8.2.8 da ABNT NBR 6118

(2014);

𝐼: momento de inércia.

O valor de 𝐼 varia conforme a situação da seção transversal. Se o momento da

combinação quase permanente for menor que o momento de fissuração (considerando 𝑓𝑐𝑡 =

49

𝑓𝑐𝑡𝑚), supõe-se que a seção não fissura e, portando, 𝐼 equivale ao momento de inércia da seção

bruta de concreto. Caso contrário, a ABNT NBR 6118 (2014) recomenda calcular um momento

de inércia equivalente, por meio da seguinte expressão:

𝐼𝑒𝑞 = (

𝑀𝑟

𝑀𝑎)3

𝐼𝑐 + [1 − (𝑀𝑟

𝑀𝑎)3

] 𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝑐 (2.16)

Sendo:

𝑀𝑟: momento de fissuração, de acordo com o item 17.3.1 da ABNT NBR 6118 (2014), com

𝑓𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3√𝑓𝑐𝑘23

para concretos do grupo I;

𝑀𝑎: momento fletor da combinação rara;

𝐼𝑐: momento de inércia da seção bruta de concreto;

𝐼𝐼𝐼: momento de inércia para a seção trabalhando no estádio II, calculado do mesmo modo que

para a abertura de fissuras, à exceção do valor de 𝛼𝑒, que deve ser igual à razão entre os módulos

de elasticidade do aço e do concreto.

A flecha diferida no tempo, de acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), decorre das

cargas de longa duração e é calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha

imediata por um fator 𝛼𝑓, dado por:

𝛼𝑓 =

∆𝜉

1 + 50𝜌′ (2.17)

Onde:

𝜌′ =𝐴𝑠′

𝑏𝑤𝑑: taxa de armadura comprimida;

𝜉: coeficiente em função do tempo, que pode ser obtido pelas seguintes expressões:

∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡0) (2.18)

𝜉(𝑡) = 0,68(0,996𝑡)𝑡0,32 para t 70 meses (2.19)

𝜉(𝑡) = 2 para t > 70 meses (2.20)

Sendo:

𝑡: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

50

𝑡0: idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

Portanto, a flecha diferida no tempo é igual a:

𝑎𝑓 = 𝛼𝑓 ∙ 𝑎𝑖 (2.21)

Com o valor da flecha total calculado, deve-se compará-lo com o valor da flecha limite.

Para reservatórios, é usual adotar o valor limite de deformação igual a:

𝑎𝑙𝑖𝑚 =

ℓ𝑥250

(2.22)

Onde ℓ𝑥 é o menor vão efetivo da laje considerada.

2.9 PESQUISAS REALIZADAS

A seguir estão apresentadas algumas pesquisas as quais envolvem o estudo de

reservatórios em concreto armado.

2.9.1 Guimarães (1995)

Guimarães (1995), em seu trabalho intitulado “Indicações para projeto e execução de

reservatórios cilíndricos em concreto armado”, objetivou apresentar opções de

dimensionamento de reservatórios cilíndricos aos engenheiros de projetos estruturais. Para

tanto, utilizou-se do Método das Cascas Cilíndricas, em que foi apresentado o equacionamento

geral de cascas, e o Método Simplificado de Cascas Cilíndricas, que faz o uso de ábacos para

determinar os esforços internos.

As conclusões do autor indicam que com o uso do Método das Cascas Cilíndricas pode-

se encontrar os esforços solicitantes ponto a ponto ao longo da altura do reservatório, isso pode

resultar em um dimensionamento de armadura mais detalhado, trazendo maior economia,

principalmente em casos de reservatórios de altura elevada. Já para o Método Simplificado de

Cascas Cilíndricas, foram obtidos os máximos esforços para dimensionamento,

impossibilitando realizar a variação da taxa de armadura. Guimarães (1995) também afirma que

os resultados para os dois métodos foram bem próximos quando comparados entre si. Além

51

disso, o método simplificado é mais indicado para um pré-dimensionamento, enquanto que o

uso do equacionamento geral das cascas é o mais adequado para um projeto mais bem

elaborado.

2.9.2 Chitlal (2010)

Chitlal (2010) analisou reservatórios enterrados paralelepipédico em concreto armado

considerando os esforços de tração e compressão nos elementos estruturais. Para efeitos

comparativos, foi feito também o dimensionamento à flexão simples com o acréscimo de 20%

nas taxas de armadura para incluir os efeitos de tração que ocorriam nas lajes do reservatório.

Os esforços de dimensionamento foram obtidos tanto por métodos analíticos, com o auxílio das

tabelas de Bares (1972) adaptadas por Pinheiro (2007), como pelo Método dos Elementos

Finitos, com o auxílio do programa Plaxis 3D Foundation versão 1.6.

Como resultados, concluiu-se que os esforços obtidos por MEF foram menores que os

esforços calculados por métodos analíticos e as armaduras dimensionadas para a flexão

composta dos elementos tracionados resultaram maiores do que quando dimensionadas para a

flexão simples, ocorrendo o contrário para os elementos comprimidos. Além disso, o cálculo

de armaduras para a flexão simples com a majoração de 20% resultou ligeiramente maior que

o cálculo para a flexão composta.

2.9.3 Ramos (2010)

O estudo de Ramos (2010) consistiu na análise e dimensionamento de reservatórios

circulares (ou cilíndricos) semienterrados de concreto protendido, no qual foram utilizadas duas

metodologias de análise: a primeira mais simplificada com base em elementos de barra e outra

com o uso do método dos elementos finitos, com o intuito de avaliar a aplicabilidade dessas

ferramentas de cálculo. Foram utilizados, respectivamente para cada uma das metodologias, o

programa de pórticos planos FTOOL (2008) e o programa de elementos finitos ANSYS®

(2007).

As conclusões obtidas a partir deste estudo indicaram que ambos os métodos de

obtenção de esforços resultaram bastante similares, comprovando a aplicabilidade do FTOOL

(2008) devido à sua praticidade e simplicidade, sendo a sua utilização altamente recomendada

pelo autor.

52

Com relação à protensão, a introdução deste pré-esforço circunferencial contribuiu para

uma menor necessidade de utilização de armaduras, visto que há um maior controle das trações

que tendem a surgir neste tipo de estrutura, contudo, induz esforços radiais que se demostram

importantes quando o reservatório se encontra vazio.

2.9.4 Campos (2018)

Campos (2018) apresentou um roteiro completo de um projeto estrutural, incluindo o

memorial de cálculo, de um reservatório cilíndrico apoiado de concreto armado. O reservatório

possuía capacidade para 411 m³, diâmetro externo igual a 12,10 m e altura igual a 4,70 m. O

autor fez análise, dimensionamento e o detalhamento de toda a estrutura. A análise estrutural

foi feita com base na comparação de resultados obtidos por modelos analíticos e numéricos

através de dos programas em elementos finitos Res.exe e SAP2000®. O autor concluiu que para

a laje de cobertura, o momento ortogonal máximo obtido no modelo analítico aproximadamente

40% maior do que o obtido pelo SAP2000®, contudo os esforços cisalhantes foram

praticamente iguais com diferenças inferiores a 10%. Observou-se também que a intensidade

dos momentos transversais foi baixa em relação à intensidade da força normal de tração tendo

menor influência no dimensionamento da armadura circunferencial da parede do reservatório.

O momento de engastamento entre paredes, obtido de forma analítica e numérica através do

SAP2000®, foi bem próximo com diferença inferior a 2%. Já quando comparado com o Res.exe

essa diferença foi de 28,4 % menor. Por fim, diferentemente dos modelos analítico e numérico

através do software Res.exe, o SAP2000® foi o único modelo capaz de simular o efeito da

interação solo-estrutura na laje de fundo do reservatório a partir da consideração do coeficiente

de reação vertical do solo.

53

CAPÍTULO 3 - CARACTERIZAÇÃO E MODELAGEM DOS RESERVATÓRIOS

3.1 INTRODUÇÃO

Para atingir os objetivos propostos na pesquisa, foi seguida uma metodologia composta

por três etapas, sendo elas: (a) definição dos reservatórios considerando seus volumes, (b)

obtenção dos esforços por modelos analíticos e numéricos e, por fim, (c) as análises,

verificações e comparações no ELU. Para o ELS as verificações foram feitas para os maiores

esforços. Essas etapas podem ser visualizadas no fluxograma apresentado na Figura 3.1.

Figura 3.1 – Fluxograma de desenvolvimento da pesquisa.


A pesquisa consistiu no estudo de três reservatórios paralelepipédicos elevados com

capacidades distintas, os quais estão apoiados sobre vigas rígidas sob as paredes, de modo a

54

inibir o efeito de viga-parede nestas lajes. Para cada um dos reservatórios, foi inicialmente

definida a geometria (comprimento, largura, altura e espessuras) de acordo com a capacidade

de armazenamento desejada. Em seguida, foram levantadas as ações atuantes, para que fosse

possível obter os esforços de flexão e de tração nas lajes de duas formas: por meio de método

analítico e por método numérico. De posse dos valores dos esforços, foram dimensionadas as

lajes considerando a flexão, a flexão somada com a tração por meio da superposição das

armaduras e a flexo-tração, para os esforços de cada método. Para efeitos de comparação dos

resultados, não foram levadas em conta a taxa de armadura mínima exigida por norma em cada

laje.

Com os dados de armadura, foram feitas as verificações de cisalhamento, abertura de

fissuras e deformações excessivas, os quais validaram a geometria adotada para os

reservatórios. E, finalmente, foram feitas comparações dos valores encontrados. Estas

comparações se deram entre métodos de dimensionamento (flexão, flexão e tração e flexo-

tração), entre os reservatórios de cada capacidade e entre os modelos analíticos e numéricos, os

quais podem ser vistos no Capítulo 4 deste trabalho.

Como reservatórios são estruturas em contato direto com a água ou qualquer outro

líquido, foi considerada a classe de agressividade ambiental (CAA) IV (ambiente de

agressividade muito forte), exigindo, assim, um concreto com resistência mínima à compressão

de 40 MPa e cobrimento nominal mínimo de 4,5 cm, os quais foram adotados para os

reservatórios em questão.

O Quadro 3.1 a seguir mostra um resumo dos modelos que foram estudados.

Quadro 3.1 – Modelos estudados.


3.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO

A seguir, serão apresentados valores definidos ou calculados para a geometria dos

reservatórios.

MODELO

ANALÍTICO

MODELO

NUMÉRICO

Flexão Flexão

Flexão+Tração Flexão+Tração

Flexo-tração Flexo-tração

RESERVATÓRIO

CÁLCULO DE ARMADURA

PEQUENO, MÉDIO

E GRANDE

55

3.2.1 Dimensões internas

Os três reservatórios que serviram de base para esta pesquisa têm dimensões tais que

cada um se enquadra em uma das classificações de reservatórios quanto ao volume de

armazenamento, assim como foi apresentado no item 2.2.3 deste trabalho. Desse modo, as

medidas internas adotadas para os reservatórios de pequena, média e grande capacidade estão

ilustradas nas Figuras 3.2 a 3.4, respectivamente:

Figura 3.2 – Dimensões internas do reservatório

pequeno, em centímetros.


Figura 3.3 – Dimensões internas do reservatório médio, em

centímetros.


56

Figura 3.4 – Dimensões internas do reservatório grande, em centímetros.


Para cada um destes foi considerada uma folga de 10 cm entre o nível máximo de água

e a face inferior da laje de tampa. Sendo assim, os volumes dos três reservatórios de análise

são:

Reservatório de pequena capacidade: 40,00 m³;

Reservatório de média capacidade: 120,00 m³;

Reservatório de grande capacidade: 403,20 m³.

3.2.2 Espessuras

A definição das espessuras dos diversos elementos que compõem os reservatórios foi

feita tomando-se como base quatro diferentes formas de pré-dimensionamento de espessuras

ou altura útil de lajes, as quais devem garantir não apenas resistência aos elementos, mas

também durabilidade, de acordo com os critérios da ABNT NBR 6118 (2014). Os métodos

escolhidos estão descritos nos itens a seguir.

57

3.2.2.1 Seção transversal mínima

As lajes dos reservatórios devem ter espessuras tais que atendam aos critérios da ABNT

NBR 6118 (2014) de cobrimento nominal mínimo e espaçamento horizontal e vertical mínimos

entre barras. Para isso, foram consideradas duas camadas de barras cruzadas nas duas faces das

lajes, concreto com brita nº 1 (𝜙𝑚á𝑥 = 19 mm) e cobrimento nominal de 45 mm. Para o

reservatório pequeno, essas barras foram estimadas em 8 mm, para o reservatório médio, 10

mm, e para o reservatório grande, 20 mm.

Conforme o item 18.3.2.2 da ABNT NBR 6118 (2014), o espaçamento horizontal (ah) e

vertical (av) devem respeitar às seguintes condições:

𝑎ℎ ≥ {20 𝑚𝑚𝜙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

1,2 ∙ 𝜙𝑚á𝑥

(3.1)

𝑎𝑣 ≥ {20 𝑚𝑚𝜙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

0,5 ∙ 𝜙𝑚á𝑥

(3.2)

Onde:

𝜙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎: diâmetro da barra longitudinal;

𝜙𝑚á𝑥: dimensão máxima característica do agregado graúdo.

3.2.2.2 Altura útil segundo Pinheiro (2007)

De acordo com Pinheiro (2007), a altura útil de uma laje maciça com bordas apoiadas

ou engastadas pode ser estimada por meio da seguinte expressão:

𝑑 =

(2,5 − 0,1 ∙ 𝑛)ℓ∗

100 (3.3)

Sendo:

𝑑: altura útil, em cm;

𝑛: número de bordas engastadas;

58

ℓ∗: menor valor entre ℓ𝑥 e 0,7ℓ𝑦, em que ℓ𝑥 e ℓ𝑦 são os vãos efetivos da laje e ℓ𝑥 o menor dos

dois, em cm.

Definido o valor da altura útil, foram acrescentados o cobrimento nominal de 45 mm e

o diâmetro de uma barra estimada para cada reservatório, para que assim fosse possível obter a

espessura final.

3.2.2.3 Altura útil segundo ABNT NBR 6118 (1980)

A ABNT NBR 6118 (1980) traz em seu item 4.2.3.1 uma expressão que pode ser

utilizada como estimativa da altura útil de lajes maciças, porém, por esta ser apresentada como

uma forma de dispensar o cálculo de flechas, é razoável que as espessuras resultem em valores

bem conservativos, podendo ou não serem levados em conta em comparação aos demais

métodos. A expressão está apresentada a seguir:

𝑑 =

ℓ𝑥𝜓2 ∙ 𝜓3

(3.4)

Em que:

𝑑: altura útil;

ℓ𝑥: menor vão efetivo da laje;

𝜓2 𝑒 𝜓3: coeficientes que dependem da vinculação e do tipo de aço, respectivamente.

Os valores de 𝜓2 e 𝜓3 tanto podem ser obtidos na própria norma ABNT NBR 6118

(1980) como nas tabelas de lajes de Pinheiro (2007). Neste trabalho foram utilizados os

coeficientes fornecidos por Pinheiro (2007).

3.2.2.4 Valores mínimos recomendados por Araújo (2014)

Araújo (2014) recomenda que as paredes de reservatórios elevados devem possuir

espessura maior ou igual a 15 cm, assim como a laje de fundo, enquanto que a laje de tampa

deve ser da ordem de 7 cm. É importante destacar que estes valores de espessuras são dados

para reservatórios usuais de edifícios, não sendo aplicáveis para reservatórios de capacidade

elevada.

59

3.2.2.5 Mísulas

Para garantir estanqueidade dos reservatórios e também o maior engastamento das lajes,

foram consideradas mísulas no encontro entre paredes e entre as paredes e a laje de fundo. Estas

mísulas possuem ângulo de 45º e dimensões iguais a maior espessura das lajes que compõem a

ligação, assim como recomendado por Vasconcelos (1998).

3.2.3 Geometria final

O Quadro 3.2 a seguir apresenta as geometrias adotadas para os três reservatórios em

estudo, com base no que foi apresentado anteriormente.

Quadro 3.2 – Geometria final dos reservatórios.


As Figuras 3.5 a 3.10 mostram as geometrias adotadas para os três reservatórios, bem

como a nomeação de suas lajes.

PEQUENO MÉDIO GRANDE

Comprimento 5,00 8,00 12,00

Largura 4,00 5,00 8,00

Altura 2,10 3,10 4,30

2,00 3,00 4,20

40,00 120,00 403,20

Laje de tampa 0,15 0,15 0,25

Paredes 0,15 0,20 0,40

Laje de fundo 0,15 0,20 0,40

Comprimento 5,30 8,40 12,80

Largura 4,30 5,40 8,80

Altura 2,40 3,45 4,95

0,15 0,20 0,40

DIMENSÕES

EXTERNAS (m)

MÍSULAS (m)

ALTURA DA LÂMINA D'ÁGUA (m)

VOLUME (m³)

RESERVATÓRIO

DIMENSÕES

INTERNAS (m)

ESPESSURA (m)

60

Figura 3.5 – Dimensões do reservatório pequeno (corte

horizontal), em centímetros.


Figura 3.6 – Dimensões do reservatório pequeno (corte

vertical), em centímetros.


61

Figura 3.7 – Dimensões do reservatório médio (corte horizontal), em centímetros.


Figura 3.8 – Dimensões do reservatório médio (corte vertical), em centímetros.


62

Figura 3.9 – Dimensões do reservatório grande (corte horizontal), em centímetros.


Figura 3.10 – Dimensões do reservatório grande (corte vertical), em centímetros.


63

3.3 LEVANTAMENTO DAS AÇÕES

As ações a serem consideradas levam em conta o tipo de reservatório (reservatório

elevado) e a laje em estudo, sendo previstas as seguintes:

3.3.1 Laje de tampa

Nas lajes de tampa dos reservatórios foram contabilizadas as ações do peso próprio, da

impermeabilização e revestimento, do acúmulo de água pluvial, que eventualmente poderá

ocorrer, e da sobrecarga de utilização.

O peso próprio foi considerado igual ao peso específico do concreto armado, de valor

igual a 25 kN/m³, definido pela ABNT NBR 6118 (2014), multiplicado pela espessura da laje.

A impermeabilização e revestimento em conjunto tiveram valor de 1,0 kN/m², o acúmulo de

água pluvial, 0,2 kN/m², e a sobrecarga de utilização, 1,0 kN/m². Todos estes atuando na área

delimitada pelos vãos efetivos da laje nas duas direções.

3.3.2 Paredes

Nas paredes a única ação a ser considerada foi o empuxo horizontal da água, o qual

aumenta linearmente a sua intensidade com o aumento da profundidade. Esta ação ocorre

apenas até a altura em que existe água armazenada, contudo, para o cálculo analítico dos

esforços, foi considerada atuando em toda a altura efetiva das paredes. Para isso, foi feita uma

compatibilização do carregamento horizontal da seguinte forma (Figura 3.11):

64

Figura 3.11 – Parâmetros para a compatibilização do empuxo

horizontal. (a) Situação real; (b) Situação de cálculo.


𝑝 ∙ ℎ

2=𝑝∗ ∙ ℎ∗

2

𝑝∗ =𝑝 ∙ ℎ

ℎ∗

𝑝∗ =

ℎ² ∙ 𝛾á𝑔𝑢𝑎

ℎ∗ (3.5)

Onde:

𝑝: carregamento horizontal máximo para a altura da lâmina d’água;

ℎ: altura da lâmina d’água;

𝑝∗: carregamento horizontal máximo para a altura efetiva da parede;

ℎ∗: altura efetiva da parede;

𝛾á𝑔𝑢𝑎: peso específico da água, de valor igual a 10 kN/m³.

3.3.3 Laje de fundo

Na laje de fundo foram consideradas as ações de peso próprio, impermeabilização e

revestimento e peso da água armazenada.

(a) (b)

65

Assim como na laje de tampa, o peso próprio contabilizado foi igual ao peso específico

do concreto armado multiplicado pela espessura da laje. A impermeabilização juntamente com

o revestimento tiveram carregamento de 1,0 kN/m² e o peso da água armazenada foi igual ao

peso específico da água (10 kN/m³) multiplicado pela altura da lâmina d’água.

3.4 MODELO ANALÍTICO

O cálculo dos esforços de flexão e tração de forma analítica foi feito com o auxílio de

tabelas elaboradas por Pinheiro (2007), as quais foram baseadas nas de Bares (1972), com

coeficiente de Poisson igual a 0,15.

Para a consulta destas tabelas, deve-se primeiramente calcular relações entre as

dimensões efetivas das lajes. Estas dimensões foram definidas de forma simplificada como

sendo as dimensões internas dos reservatórios mais metade das espessuras das lajes adjacentes.

Além disso, devem-se conhecer as vinculações entre as lajes (apoiada ou engastada), de modo

a classificá-las e assim obter os coeficientes corretamente.

A Figura 3.12 a seguir mostra as vinculações adotadas nas bordas de cada laje dos

reservatórios, bem como as direções dos eixos de cada uma, conforme as suas dimensões, sendo

adotada a direção x correspondente à menor dimensão da laje. É importante destacar que a

figura é genérica para os três reservatórios, devido à geometria adotada para cada um.

Figura 3.12 – Vinculações nas bordas e eixos das lajes dos reservatórios.


66

A seguir estão apresentados os procedimentos de cálculo dos esforços e a

compatibilização feita para os momentos fletores.

3.4.1 Cálculo dos esforços

Os momentos fletores por unidade de comprimento foram calculados pelas seguintes

expressões:

𝑚𝑥 = 𝜇𝑥

𝑝 ∙ ℓ𝑥2

100 (3.6)

𝑚𝑥′ = 𝜇𝑥

′𝑝 ∙ ℓ𝑥

2

100 (3.7)

𝑚𝑦 = 𝜇𝑦

𝑝 ∙ ℓ𝑥2

100 (3.8)

𝑚𝑦′ = 𝜇𝑦

′𝑝 ∙ ℓ𝑥

2

100 (3.9)

Em que:

𝑚𝑥, 𝑚𝑥′ : momento fletor por unidade de comprimento em torno do eixo y, positivo e negativo,

respectivamente;

𝑚𝑦, 𝑚𝑦′ : momento fletor por unidade de comprimento em torno do eixo x, positivo e negativo,

respectivamente;

𝜇𝑥, 𝜇𝑥′ , 𝜇𝑦, 𝜇𝑦

′ : coeficientes adimensionais tabelados por Pinheiro (2007);

𝑝: carregamento distribuído sobre a laje;

ℓ𝑥: menor dimensão efetiva da laje.

Pinheiro (2007) disponibiliza tabelas tanto para carregamentos uniformes como para

carregamentos triangulares voltadas para o cálculo dos momentos fletores. As primeiras

aplicáveis para as lajes de tampa e de fundo e as segundas para as paredes.

Os esforços de tração nas lajes foram igualados, por simplificação, às reações de apoio

das lajes adjacentes, isto é, devido às lajes estarem em direções perpendiculares entre si,

considerou-se que as reações de apoio nas bordas provocadas pelos carregamentos seriam

transferidas à laje vizinha como esforço de tração. As reações de apoio por unidade de

comprimento foram calculadas pelas seguintes expressões:

67

𝑣𝑥 = 𝜐𝑥

𝑝 ∙ ℓ𝑥10

(3.10)

𝑣𝑥′ = 𝜐𝑥

′𝑝 ∙ ℓ𝑥10

(3.11)

𝑣𝑦 = 𝜐𝑦

𝑝 ∙ ℓ𝑥10

(3.12)

𝑣𝑦′ = 𝜐𝑦

′𝑝 ∙ ℓ𝑥10

(3.13)

Sendo:

𝑣𝑥, 𝑣𝑥′ : reação de apoio por unidade de comprimento na borda paralela à direção y, borda

apoiada e engastada, respectivamente;

𝑣𝑦, 𝑣𝑦′ : reação de apoio por unidade de comprimento na borda paralela à direção x, borda

apoiada e engastada, respectivamente;

𝜈𝑥, 𝜈𝑥′ , 𝜈𝑦, 𝜈𝑦

′ : coeficientes adimensionais tabelados por Pinheiro (2007);

𝑝: carregamento distribuído sobre a laje;

ℓ𝑥: menor dimensão efetiva da laje.

Diferentemente dos momentos fletores, as tabelas de Pinheiro (2007) não contemplam

coeficientes de reações de apoio para carregamentos triangulares. Sendo necessário adotar, por

simplificação, o valor médio do carregamento triangular e utilizar os coeficientes para

carregamento uniforme.

A Figura 3.13 exibe o esquema de esforços de tração nas lajes conforme as

considerações feitas. Observa-se que, nas paredes, ao mesmo tempo em que a laje de fundo

tente a tracioná-las, a laje de tampa tende a comprimi-las, devendo-se utilizar a diferença entre

estes dois esforços. Porém, por questões de segurança, a compressão que a laje de tampa

provoca nas paredes foi desprezada, considerando-se apenas a tração provocada pela laje de

fundo.

68

Figura 3.13 – Esforços axiais nas lajes dos reservatórios.


3.4.2 Compatibilização dos esforços

Como o cálculo dos momentos fletores é feito de forma individual para cada laje,

geralmente ocorrem divergências de momentos nas arestas comuns a cada uma destas, o que

não corresponderia à realidade, uma vez que todas as lajes devem trabalhar em conjunto e os

momentos fletores em pontos comuns a estas devem ser iguais. Sendo assim, foi feita a

compatibilização dos momentos de modo a garantir valores equivalentes entre as diversas lajes.

A compatibilização ocorreu entre a laje de fundo e as paredes e entre paredes, da seguinte forma:

Para os momentos negativos: calculou-se a média entre os dois valores de momento

negativo na aresta comum às duas lajes e 80% do maior, sendo adotado o maior dos

dois resultados;

Para os momentos positivos: quando ocorre aumento do momento negativo, há uma

tendência de redução do momento positivo na mesma direção. Nestes casos, nenhuma

alteração foi realizada. Já para os casos em que houve redução do momento negativo, o

69

momento positivo na mesma direção foi aumentado em metade da diferença entre o

momento negativo inicial e o compatibilizado.

3.5 MODELO NUMÉRICO

A obtenção dos esforços de flexão e tração por MEF foi feita com o auxílio do programa

de análise estrutural SAP2000®. Os três reservatórios foram modelados conforme os dados

apresentados nos tópicos a seguir.

3.5.1 Definição dos materiais

Nos três reservatórios foram utilizadas as mesmas características de material, de acordo

com o que é indicado no item 8.2 da ABNT NBR 6118 (2014). As propriedades do material

concreto armado adotadas foram:

Peso específico: 25 kN/m³;

Resistência à compressão: 40 MPa;

Módulo de elasticidade: 31.875,76 MPa - calculado conforme o item 8.2.8 da ABNT

NBR 6118 (2014), considerado o granito como agregado graúdo;

Coeficiente de dilatação térmica: 10-5/°C;

Coeficiente de Poisson: 0,2.

Para inibir o efeito de viga-parede nas paredes dos reservatórios, adotou-se para estes

um material específico com as mesmas propriedades apresentadas, exceto a massa específica,

a qual foi adotada como igual a zero, de modo que a única ação atuante fosse, de fato, o empuxo

horizontal da água, sem a influência do peso próprio.

3.5.2 Definição dos elementos

Foram definidos elementos de casca (shell), dado que este seria o mais adequado para

simular as lajes que compõem os reservatórios. Cada uma das seções de casca (laje de tampa,

paredes e laje de fundo) foi caracterizada pelo material, com as propriedades apresentadas no

item anterior, e pelas espessuras, conforme o Quadro 3.2 deste trabalho.

70

3.5.3 Casos de carregamento

Os tipos de carregamento inseridos no programa foram os mesmos definidos no item

3.3: empuxo horizontal da água, peso da água, acúmulo de água pluvial, sobrecarga,

impermeabilização e revestimento. O peso próprio dos elementos já é contabilizado

automaticamente pelo programa, de acordo com o peso específico adotado para o material.

3.5.4 Modelagem

Como dito anteriormente, os três reservatórios foram modelados com elementos de

casca (shell). Estes elementos são mais adequados para representar placas e membranas, visto

que se comportam no plano devido a sua pequena espessura em razão das outras duas

dimensões.

As dimensões de cada uma das lajes dos reservatórios foram consideradas como sendo

iguais aos vãos efetivos adotados para o cálculo analítico, isto é, o comprimento e a largura de

cada uma delas correspondem às dimensões internas do reservatório mais metade das

espessuras das lajes em cada lado, resultando em um prisma com as dimensões passando pelos

planos médios das lajes. Todos os elementos planos modelados foram discretizados em uma

malha de elementos com dimensões suficientes para a obtenção de resultados satisfatórios. Nas

lajes do reservatório pequeno utilizou-se de elementos com dimensões de aproximadamente 20

cm, no reservatório médio, 30 cm, e, no reservatório grande, 40 cm.

Com relação à modelagem em si e às condições de contorno impostas aos modelos,

optou-se por seguir os seguintes critérios:

Para impossibilitar a transferência de esforços de flexão nas arestas comuns às paredes

e à laje de tampa, desacoplou-se a laje de tampa dos elementos restantes, contornando

a mesma com apoios de primeiro gênero que impedem o deslocamento vertical. Nas

arestas superiores das paredes também foram inseridos apoios de primeiro gênero,

impedindo o deslocamento horizontal (Figura 3.14). Esta solução foi necessária para

que as lajes, tanto a tampa como as paredes, estivessem simplesmente apoiadas nessas

arestas, assim como foi adotado para o modelo analítico;

A laje de fundo também foi contornada por apoios que impedem o deslocamento

vertical, de modo a simular as vigas rígidas que dão suporte ao reservatório (Figura

3.15);

71

Tanto nas paredes como na laje de fundo foram colocados apoios que restringem o

deslocamento na direção do plano da laje. Apesar de impossibilitar as deformações das

lajes nas arestas, esta alternativa foi adotada por facilitar na obtenção das forças de

tração que seriam transferidas às lajes vizinhas, caso esses apoios não fossem inseridos.

Os apoios introduzidos nas arestas superiores das paredes também exercem essa função:

fornecer as forças de tração que seriam transferidas à laje de tampa (Figuras 3.14 e 3.15).

Figura 3.14 – Detalhe dos apoios de primeiro gênero na laje de tampa e nas paredes.


Figura 3.15 – Detalhe dos apoios na laje de fundo e nas paredes.


72

A Figura 3.16 a seguir mostra a modelagem do reservatório médio, onde é possível

observar de formas mais geral as lajes e os apoios inseridos nas arestas.

Figura 3.16 – Modelo de estudo para o reservatório médio.


Os carregamentos foram adicionados aos elementos conforme os valores previstos no

item 3.3 desta pesquisa. À exceção do empuxo horizontal da água, todas as demais ações foram

inseridas como carregamentos uniformemente distribuídos na área. O empuxo horizontal foi

colocado como carregamento prisma triangular reto, com o valor mínimo a partir do nível

máximo da lâmina d’água e aumentando linearmente com a profundidade. A Figura 3.17 mostra

as forças de empuxo horizontal atuando nas paredes do reservatório médio, onde é possível

observar o aumento da intensidade com a profundidade. A Figura 3.18 mostra em detalhe este

carregamento próximo à laje de fundo.

73

Figura 3.17 – Carregamento de empuxo horizontal nas paredes do reservatório médio.


Figura 3.18 – Detalhe do carregamento de empuxo horizontal nas paredes do reservatório médio.


74

Como os elementos devem ser dimensionados para a situação mais desfavorável,

utilizou-se apenas uma combinação de carregamentos, onde todas as ações previstas atuam

simultaneamente com seus valores integrais, posto que a pior situação é aquela em que o

reservatório se encontra totalmente cheio.

3.5.5 Obtenção dos esforços

A análise estrutural dos reservatórios foi feita em regime elástico-linear e, portanto,

desconsiderando a fissuração ou plastificação do concreto. Após a análise realizada pelo

programa, tornou-se possível obter os esforços de flexão e de tração. Os esforços de flexão

foram coletados em pontos das cascas onde ocorreram os máximos valores positivos e

negativos, em cada direção.

A Figura 3.19 mostra o sistema de eixos locais que é adotado pelo programa para um

elemento de casca de 4 nós.

Figura 3.19 – Eixos locais de um elemento de casca de 4 nós.

Fonte: Adaptado de CSI Analysis Reference Manual (2017).

Os esforços internos são resultantes da integração das tensões na espessura do elemento,

os quais são forças e momentos por unidade de comprimento em cada ponto da superfície média

do elemento. A Figura 3.20 a seguir mostra as convenções de sinal para os esforços internos de

flexão e momentos de torção.

75

Figura 3.20 – Esforços internos de flexão e torção no elemento de casca.

Fonte: Adaptado de CSI Analysis Reference Manual (2017).

Sendo:

M11: Momento por unidade de comprimento atuando à meia altura do elemento nas faces 2 e

4 em torno do eixo 2;


3 em torno do eixo 1;


4 em torno do eixo 1 e nas faces 1 e 3 em torno do eixo 2.

Logo, foi necessário obter os momentos fletores com o cuidado especial para a direção

que estava sendo considerada. Para os reservatórios modelados, os momentos M11

corresponderam aos momentos em torno do eixo x (direção y) e os momentos M22

corresponderam aos momentos em torno do eixo y (direção x) do modelo analítico, para todas

as lajes, assim como ilustrado na Figura 3.21 a seguir.

76

Figura 3.21 – Correspondência entre os momentos do

modelo analítico com os momentos do modelo numérico.


Os esforços de tração em cada laje foram calculados a partir das reações que surgem nos

apoios inseridos no contorno. Como cada apoio produz uma reação pontual, foi feita uma

uniformização destas reações por meio da divisão do somatório destas pelo comprimento onde

ocorrem.

3.6 CÁLCULO DAS ARMADURAS

Os três reservatórios foram dimensionados para três casos distintos de cálculo de

armadura para lajes de reservatórios elevados: (a) considerando apenas a armadura de flexão,

(b) considerando a armadura de flexão somada com a armadura de tração e (c) considerando a

armadura de flexo-tração. A seguir serão apresentadas as considerações utilizadas para o

cálculo dessas armaduras. Tanto no cálculo de flexão simples como no cálculo de flexo-tração

as armaduras positivas e negativas em uma mesma direção foram somadas, uma vez que cada

uma destas seria posicionada em cada face da laje.

3.6.1 Flexão simples

As armaduras de flexão das lajes dos reservatórios foram calculadas com o auxílio de

tabelas, as quais foram elaboradas com base nas equações de equilíbrio da seção transversal

trabalhando no Estádio III. As equações utilizadas foram as mesmas apresentadas no item 2.7.1

deste trabalho, com as seguintes considerações:

𝛾𝑐 = 1,4;

𝑏𝑤 = 100 𝑐𝑚;

77

𝑑 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 − 5 𝑐𝑚;

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐=

4,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

1,4.

3.6.2 Tração simples ou tração com pequena excentricidade

As armaduras de tração foram calculadas desconsiderando a resistência do concreto à

tração e considerando o aço trabalhando em escoamento. Dessa forma, utilizou-se da mesma

expressão apresentada no item 2.7.2 deste trabalho, com o valor 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚².

3.6.3 Flexo-tração

O cálculo das armaduras considerando a flexo-tração também foi feita com o auxílio de

tabelas. Neste caso, aplica-se a equação KMD para o momento atuante no centro de gravidade

da armadura ao invés do centro de gravidade da seção transversal. Os esforços atuantes no

centro de gravidade da armadura é o equivalente estático dos esforços de momento e de tração

atuantes no centro de gravidade da seção transversal, assim como mostra a Figura 3.22.

Figura 3.22 – Equivalente estático entre os esforços que atuam no centro geométrico da seção transversal e o eixo

da armadura tracionada.


Sendo:

𝑒 =𝑀𝑑

𝑁𝑑;

𝑀𝑠𝑑 = 𝑁𝑑 ∙ 𝑒𝑠;

78

ℎ: espessura da laje;

𝑑′: distância da face inferior até o centro de gravidade da armadura.

Logo,

𝑀𝑠𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑁𝑑 (

ℎ

2− 𝑑′) (3.14)

Além disto, foram adotados os seguintes valores:

𝛾𝑐 = 1,4;

𝑏𝑤 = 100 𝑐𝑚;

𝑑 = ℎ − 𝑑′;

𝑑′ = 5 𝑐𝑚;

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐=

4,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

1,4.

Vale destacar que este procedimento é válido para peças que trabalham nos domínios 2,

3, 4 ou 4a, onde o esforço de tração ocorre com grande excentricidade e a peça possui uma parte

tracionada e outra comprimida. Quando o esforço de tração é mais predominante que o esforço

de flexão, tem-se o caso de tração com pequena excentricidade ou tração não uniforme (domínio

1) e, para estes casos, foi utilizada a expressão apresentada no item 2.7.2 deste trabalho.

3.7 VERIFICAÇÕES

As verificações realizadas neste trabalho envolveram (a) verificação das tensões de

cisalhamento, (b) verificação da abertura de fissuras e (c) verificação da deformação excessiva,

com as expressões apresentadas no item 2.8 deste trabalho.

Para estas três verificações, foram utilizados os valores máximos de esforços

encontrados para cada uma das lajes de cada reservatório.

Na verificação de cisalhamento, foi escolhida a maior reação de apoio de cada laje entre

os dois modelos (analítico e numérico).

79

Para a verificação de abertura de fissuras, utilizou-se do maior momento atuante em

cada laje de cada reservatório seja este momento proveniente do cálculo analítico ou da

modelagem numérica. O valor limite dessa abertura de fissuras foi considerado igual a 0,2 mm.

A deformação excessiva foi verificada para o maior momento fletor positivo de cada

laje de cada reservatório, seja do modelo analítico ou do modelo numérico. A flecha total foi

composta pela soma da flecha imediata e da flecha diferida no tempo. Para o cálculo da flecha

diferida no tempo, considerou-se o tempo para a flecha diferida maior que 70 meses e 1 mês

para a idade de aplicação da carga de longa duração, resultando em um fator 𝛼𝑓 = 1,32.

80

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

Este capítulo destina-se a apresentação dos resultados obtidos, bem como das análises

possíveis a partir destes resultados. Alguns cálculos, como das espessuras das lajes, das ações

atuantes ou dos esforços, as quais não serão apresentadas nesta seção, podem ser vistas nas

tabelas apresentadas nos apêndices.

4.1 ESFORÇOS FINAIS DE DIMENSIONAMENTO

A partir dos cálculos analíticos e da modelagem numérica obteve-se os valores de

esforços de flexão e de tração nas lajes. Os Quadros 4.1 a 4.6 a seguir mostram os valores desses

esforços. Observa-se que os momentos fletores analíticos já foram compatibilizados conforme

os critérios apresentados no capítulo anterior.

Quadro 4.1 – Esforços atuantes no reservatório pequeno de acordo com o modelo analítico.


Quadro 4.2 – Esforços atuantes no reservatório pequeno de acordo com o modelo numérico.


Quadro 4.3 – Esforços atuantes no reservatório médio de acordo com o modelo analítico.


ELEMENTO mx (kN.m/m) mx' (kN.m/m) my (kN.m/m) my' (kN.m/m) tx (kN/m) ty (kN/m)

Laje de tampa 6,25 - 4,27 - 8,76 5,70

Paredes 1 e 2 2,68 22,75 0,86 3,24 30,81 6,34

Paredes 3 e 4 2,33 19,23 0,86 3,24 25,68 6,34

Laje de fundo 18,35 22,75 12,61 19,23 12,50 8,34


Laje de tampa 6,36 - 4,57 - 1,59 1,20

Paredes 1 e 2 0,73 20,22 4,04 3,67 37,07 2,98

Paredes 3 e 4 0,74 18,09 3,62 3,67 34,92 2,39

Laje de fundo 15,58 20,22 11,01 18,09 22,75 22,52


Laje de tampa 13,29 - 6,02 - 19,71 11,75

Paredes 1 e 2 8,78 60,66 2,86 10,58 64,40 14,27

Paredes 3 e 4 6,69 44,54 2,62 10,58 46,80 14,27

Laje de fundo 51,09 60,66 24,37 44,54 28,13 17,24

81

Quadro 4.4 – Esforços atuantes no reservatório médio de acordo com o modelo numérico.


Quadro 4.5 – Esforços atuantes no reservatório grande de acordo com o modelo analítico.


Quadro 4.6 – Esforços atuantes no reservatório grande de acordo com o modelo numérico.


Destes quadros, observa-se que há uma grande diferença da magnitude dos esforços

entre os reservatórios de diferentes capacidades, em função das dimensões das lajes destes,

sendo maiores quando maior a capacidade de armazenamento.

Os resultados obtidos a partir da modelagem numéricas podem ser vistos no Apêndice

D deste trabalho.

4.2 CÁLCULO DAS ARMADURAS

Com os valores máximos dos esforços, fez-se o dimensionamento das armaduras. Essas

armaduras foram calculadas considerando a flexão, flexão e tração de forma isolada e a flexo-

tração, de modo que possibilitou a montagem do Quadro 4.7. É importante destacar que nas

paredes e nas lajes de fundo as armaduras de momento positivo foram somadas com as


Laje de tampa 13,29 - 6,71 - 2,93 4,58

Paredes 1 e 2 1,84 55,28 11,06 8,10 75,30 10,86

Paredes 3 e 4 4,23 45,04 9,01 8,10 67,25 8,41

Laje de fundo 45,55 55,28 21,92 45,04 45,55 43,62


Laje de tampa 46,03 - 23,19 - 38,63 25,14

Paredes 1 e 2 24,31 226,48 7,87 29,33 148,25 27,96

Paredes 3 e 4 19,83 171,13 7,59 29,33 111,30 27,96

Laje de fundo 188,63 226,48 98,50 171,13 55,13 36,78


Laje de tampa 45,84 - 25,47 - 7,70 6,75

Paredes 1 e 2 6,92 202,22 40,44 35,02 171,44 13,85

Paredes 3 e 4 7,64 167,11 33,42 35,02 153,74 10,87

Laje de fundo 165,62 202,22 88,67 167,11 103,24 101,03

RESERVATÓRIO GRANDE

82

armaduras de momento negativo para uma mesma direção, uma vez que em algumas seções das

lajes estas duas armaduras estarão presentes.

Quadro 4.7 – Armaduras calculadas a partir dos esforços obtidos.


4.3 VERIFICAÇÕES

Assim como apresentado no Capítulo 3, as verificações realizadas para os reservatórios

foram de tensões de cisalhamento, de abertura de fissuras e de deformação excessiva. Estas

verificações foram realizadas com o objetivo principal de constatar se as dimensões adotadas

são aceitáveis e condizem com a capacidade de armazenamento dos reservatórios. Desse modo,

foram utilizadas as solicitações mais desfavoráveis entre os modelos estudados, sem levar em

conta as diversas situações para efeitos comparativos.

Os Quadros 4.8 a 4.10 a seguir mostram os resultados obtidos para a verificações

realizadas.

As,flexão

(cm²/m)

As,flexão+tração

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,flexão+tração

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 2,06 2,34 2,26 2,09 2,14 2,13

y 1,40 1,58 1,53 1,49 1,53 1,52

x 8,77 10,76 10,21 7,18 9,57 8,99

y 1,33 1,74 1,64 2,51 2,70 2,66

x 7,34 8,99 8,56 6,41 8,66 8,10

y 1,33 1,74 1,64 2,38 2,53 2,49

x 14,16 14,96 14,25 12,22 13,69 13,28

y 10,81 11,35 11,21 9,84 11,29 10,91

x 4,46 5,09 4,93 4,46 4,55 4,53

y 1,97 2,35 2,25 2,21 2,35 2,32

x 16,17 20,32 18,76 13,24 18,09 16,78

y 2,92 3,84 3,53 4,17 4,87 4,63

x 11,65 14,67 13,58 11,23 15,56 14,03

y 2,87 3,79 3,48 3,72 4,26 4,08

x 26,09 27,90 27,15 23,28 26,21 25,08

y 15,62 16,73 16,29 15,17 17,98 16,94

x 7,69 8,94 8,43 7,66 7,91 7,78

y 3,80 4,61 4,30 4,19 4,41 4,32

x 24,40 33,95 29,58 20,28 31,32 28,06

y 3,45 5,25 4,47 7,02 7,91 7,51

x 18,29 25,45 22,26 16,77 26,67 23,66

y 3,42 5,22 4,44 6,35 7,05 6,75

x 40,34 43,89 42,21 35,56 42,21 39,00

y 25,74 28,11 27,05 24,40 30,90 27,96

Modelos analíticos Modelos numéricos

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

ELEMENTO

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

PE

QU

EN

O

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

MÉ

DIO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

GR

AN

DE

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

DIREÇÃO

83

Quadro 4.8 – Verificação de cisalhamento.


VSd

(kN/m)

VRd1

(kN/m)

Armadura

transversal

Laje de tampa 13,44 84,94 Não

Paredes 1 e 2 31,85 103,55 Não

Paredes 3 e 4 31,53 99,13 Não

Laje de fundo 51,90 116,05 Não


Paredes 1 e 2 63,77 157,69 Não

Paredes 3 e 4 61,07 146,49 Não



Paredes 1 e 2 144,54 282,21 Não

Paredes 3 e 4 141,44 268,58 Não


RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

PE

QU

EN

O

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

MÉ

DIO

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

GR

AN

DE

ELEMENTO

84

Quadro 4.9 – Verificação de abertura de fissuras.


Quadro 4.10 – Verificação de deformação excessiva.


ma

(kN.cm/m)

mr

(kN.cm/m)

Seção

fissuradawk (mm) wk,lim (mm) Situação

Laje de tampa 636,00 1381,60 Não - - -

Paredes 1 e 2 2274,51 1381,60 Sim 0,13 0,20 OK

Paredes 3 e 4 1923,27 1381,60 Sim 0,13 0,20 OK

Laje de fundo 2274,51 1381,60 Sim 0,14 0,20 OK

Laje de tampa 1328,93 1381,60 Não - - -

Paredes 1 e 2 6066,48 2456,17 Sim 0,15 0,20 OK

Paredes 3 e 4 4504,00 2456,17 Sim 0,16 0,20 OK


Laje de tampa 4602,91 3837,77 Sim 0,15 0,20 OK

Paredes 1 e 2 22647,50 9824,70 Sim 0,13 0,20 OK

Paredes 3 e 4 17112,78 9824,70 Sim 0,18 0,20 OK


ELEMENTO

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

PE

QU

EN

O

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

MÉ

DIO

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

GR

AN

DE

ma

(kN.cm/m)

mr

(kN.cm/m)atotal (cm) alim (cm) Situação

Laje de tampa 636,00 1973,71 0,27 1,66 OK

Paredes 1 e 2 404,00 1973,71 0,03 0,90 OK

Paredes 3 e 4 362,00 1973,71 0,02 0,90 OK

Laje de fundo 1834,61 1973,71 0,34 1,66 OK

Laje de tampa 1328,93 1973,71 0,91 2,08 OK

Paredes 1 e 2 1106,00 3508,82 0,08 1,31 OK

Paredes 3 e 4 901,00 3508,82 0,06 1,31 OK

Laje de fundo 5108,61 3508,82 1,43 2,08 OK

Laje de tampa 4602,91 5482,53 1,10 3,36 OK

Paredes 1 e 2 4044,00 14035,29 0,06 1,85 OK

Paredes 3 e 4 3342,00 14035,29 0,04 1,85 OK

Laje de fundo 18862,95 14035,29 1,43 3,36 OK

ELEMENTO

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

PE

QU

EN

O

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

MÉ

DIO

RE

SE

RV

AT

ÓR

IO

GR

AN

DE

85

Observa-se, portanto, que todas as lajes dos reservatórios atenderam aos valores limites

de verificação de cisalhamento, abertura de fissuras e deformação excessiva. Logo, as

dimensões adotadas para estas estruturas, principalmente as espessuras, estão adequadas para

os volumes escolhidos para estes reservatórios.

4.4 COMPARAÇÕES ENTRE MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO

A partir dos valores de armaduras calculados, pode-se então realizar estudos

comparativos entre estes dados, os quais estão apresentados nos itens subsequentes.

4.4.1 Por tipo de reservatório

Os Gráficos 4.1 a 4.6 a seguir mostram os valores das armaduras agrupados por tipo de

reservatório e por método de dimensionamento, considerando separadamente os dados dos

modelos analíticos dos dados dos modelos numéricos.

86

Gráfico 4.1 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório pequeno consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


Gráfico 4.2 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório pequeno consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


2,0

6

1,4

0

8,7

7

1,3

3 7,3

4

1,3

3

14

,16

10

,81

2,3

4

1,5

8

10

,76

1,7

4

8,9

9

1,7

4

14

,96

11

,35

2,2

6

1,5

3

10

,21

1,6

4 8,5

6

1,6

4

14

,25

11

,21

0,005,00

10,0015,0020,00

Laje de tampaDireção x

Laje de tampaDireção y

Paredes 1 e 2Direção x

Paredes 1 e 2Direção y



Laje de fundoDireção x

Laje de fundoDireção y

AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório pequeno - Modelo analítico

Flexão Flexão+tração Flexo-tração

2,0

9

1,4

9

7,1

8

2,5

1 6,4

1

2,3

8

12

,22

9,8

4

2,1

4

1,5

3

9,5

7

2,7

0

8,6

6

2,5

3

13

,69

11

,29

2,1

3

1,5

2

8,9

9

2,6

6

8,1

0

2,4

9

13

,28

10

,91

0,00

5,00

10,00

15,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório pequeno - Modelo numérico


87

Gráfico 4.3 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório médio consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


Gráfico 4.4 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório médio consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


4,4

6

1,9

7

16

,17

2,9

2 11

,65

2,8

7

26

,09

15

,62

5,0

9

2,3

5

20

,32

3,8

4 14

,67

3,7

9

27

,90

16

,73

4,9

3

2,2

5

18

,76

3,5

3 13

,58

3,4

8

27

,15

16

,29

0,00

10,00

20,00

30,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório médio - Modelo analítico


4,4

6

2,2

1

13

,24

4,1

7 11

,23

3,7

2

23

,28

15

,17

4,5

5

2,3

5

18

,09

4,8

7 15

,56

4,2

6

26

,21

17

,98

4,5

3

2,3

2

16

,78

4,6

3 14

,03

4,0

8

25

,08

16

,94

0,00

10,00

20,00

30,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório médio - Modelo numérico


88

Gráfico 4.5 – Armaduras calculadas para o modelo analítico do reservatório grande consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


Gráfico 4.6 – Armaduras calculadas para o modelo numérico do reservatório grande consideração a flexão, flexão+tração e flexo-tração.


7,6

9

3,8

0 24

,40

3,4

5 18

,29

3,4

2

40

,34

25

,74

8,9

4

4,6

1

33

,95

5,2

5 25

,45

5,2

2

43

,89

28

,11

8,4

3

4,3

0

29

,58

4,4

7 22

,26

4,4

4

42

,21

27

,05

0,00

20,00

40,00

60,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório grande - Modelo analítico


7,6

6

4,1

9 20

,28

7,0

1 16

,77

6,3

5

35

,56

24

,40

7,9

1

4,4

1

31

,32

7,9

1 26

,67

7,0

5

42

,21

30

,90

7,7

8

4,3

2

28

,06

7,5

1 23

,66

6,7

5

39

,00

27

,96

0,00

20,00

40,00

60,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Reservatório grande - Modelo numérico


89

Observa-se a partir destes gráficos que, de uma maneira geral, ocorre aumento de

armadura do dimensionamento da flexão+tração e da flexo-tração em se comparando com o

dimensionamento apenas para os esforços de flexão. Este aumento acontece devido à

consideração da atuação dos esforços de tração nos planos das lajes, uma vez que todos esses

esforços são transmitidos para a armadura, em vista da resistência do concreto à tração ter sido

desprezada.

Este fenômeno é mais evidente nas paredes dos reservatórios, em que se observa, para

o modelo analítico, um aumento de cerca de 23% a 31% no reservatório pequeno, de 26% a

32% no reservatório médio e de 39% a 53% no reservatório grande para a flexão+tração e, para

a flexo-tração, cerca de 16% a 23% para o reservatório pequeno, de 16% a 21% para o

reservatório médio e de 21% a 30% para o reservatório grande, sendo que os maiores aumentos

ocorrem na direção y, que corresponde à direção horizontal das paredes.

O segundo elemento dos reservatórios com o maior aumento de armadura é laje de

tampa, para o modelo analítico, onde estes valores variam de 10% a 14% para o reservatório

pequeno, de 11% a 19% para o reservatório médio e de 10% a 21% para o reservatório grande,

abrangendo tanto os valores de flexão+tração como os valores de flexo-tração. E, por último,

os menores aumentos ocorrem nas lajes de fundo, em que os dados variam de 1% a 6% para o

reservatório pequeno, de 4% a 7% para o reservatório médio e de 5% a 9% para o reservatório

grande.

Para o modelo numérico, há concordância com o modelo analítico nos elementos com

maior aumento de armadura: as paredes. Contudo, os maiores acréscimos são na direção x

(direção vertical), sendo de 25% a 35% para o reservatório pequeno, de 25% a 39% para o

reservatório médio e de 38% a 59% para o reservatório grande. Ainda em contrapartida com o

modelo analítico, observa-se que o segundo elemento com maior aumento de armadura foi a

laje de fundo, com valores em torno de 9% a 15% para o reservatório pequeno, de 8% a 19%

para o reservatório médio e de 10% a 27% para o reservatório grande. E, finalmente, as lajes de

tampa têm aumentos variando de 2% a 7% para os três reservatórios.

Comparando os dois tipos de dimensionamento que levam em conta o efeito dos

esforços de tração, destaca-se a diminuição das armaduras quando dimensionadas para a flexo-

tração frente ao dimensionamento à flexão+tração. Esta diminuição varia de 1% a 6% para o

reservatório pequeno, de 1% a 10% para o reservatório médio e de 2% a 15% para o reservatório

grande, englobando nestes números tanto os valores provenientes da análise analítica como da

análise numérica. Observa-se ainda que os maiores valores de diferença percentual ocorrem nas

paredes, apesar da pouca distinção em relação aos das lajes de tampa e de fundo.

90

4.4.2 Flexão versus Flexão + tração

A seguir estão apresentados os Gráficos 4.7 e 4.8, os quais indicam os valores de

armadura para flexão e flexão+tração para os três reservatórios. O primeiro gráfico refere-se

aos valores calculados a partir de dados analíticos e o segundo, a partir de dados numéricos.

Além destes, estão apresentados os Gráficos 4.9 e 4.10 que mostram o aumento percentual de

armadura quando dimensionada para a flexão+tração em comparação com o dimensionamento

apenas para a flexão.

Da análise destes gráficos pode-se destacar que, de fato, quanto maior for a capacidade

de armazenamento de reservatório, maior será o aumento de armadura causado pelos esforços

de tração nas lajes, principalmente quando dimensionados com os métodos analíticos.

Para os modelos analíticos, estes aumentos são mais perceptíveis nas paredes, seguidos

da laje de tampa e, por último, da laje de fundo. Além disso, percebe-se que as diferenças

percentuais entre os três volumes de reservatórios também são mais expressivas nas paredes,

nas duas direções, em comparação com as diferenças percentuais nos demais elementos.

Nos modelos numéricos, ao contrário do que se observa nos modelos analíticos,

verifica-se que os aumentos são bem mais expressivos na direção x (direção vertical) das

paredes, enquanto que na direção y o aumento de armadura para o reservatório grande é menor

que o aumento verificado para o reservatório médio, o mesmo pode ser observado na direção y

da laje de tampa. Ademais, percebe-se que as lajes de fundo apresentam maiores aumentos de

armadura em se comparando com a laje de tampa.

91

Gráfico 4.7 – Armaduras calculadas para os modelos analíticos dos reservatórios considerando a flexão e a flexão+tração.


2,0

6

1,4

0

8,7

7

1,3

3

7,3

4

1,3

3

14

,16

10

,81

2,3

4

1,5

8

10

,76

1,7

4

8,9

9

1,7

4

14

,96

11

,35

4,4

6

1,9

7

16

,17

2,9

2

11

,65

2,8

7

26

,09

15

,62

5,0

9

2,3

5

20

,32

3,8

4

14

,67

3,7

9

27

,90

16

,73

7,6

9

3,8

0

24

,40

3,4

5

18

,29

3,4

2

40

,34

25

,74

8,9

4

4,6

1

33

,95

5,2

5

25

,45

5,2

2

43

,89

28

,11

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Flexão x Flexão+tração - Modelos analíticos

Reservatório pequeno - Flexão Reservatório pequeno - Flexão+tração Reservatório médio - Flexão

Reservatório médio - Flexão+tração Reservatório grande - Flexão Reservatório grande - Flexão+tração

92

Gráfico 4.8 – Armaduras calculadas para os modelos numéricos dos reservatórios considerando a flexão e a flexão+tração.


2,0

9

1,4

9

7,1

8

2,5

1 6,4

1

2,3

8

12

,22

9,8

4

2,1

4

1,5

3

9,5

7

2,7

0

8,6

6

2,5

3

13

,69

11

,29

4,4

6

2,2

1

13

,24

4,1

7

11

,23

3,7

2

23

,28

15

,17

4,5

5

2,3

5

18

,09

4,8

7

15

,56

4,2

6

26

,21

17

,98

7,6

6

4,1

9

20

,28

7,0

1

16

,77

6,3

5

35

,56

24

,40

7,9

1

4,4

1

31

,32

7,9

1

26

,67

7,0

5

42

,21

30

,90

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Flexão x Flexão+tração - Modelos numéricos



93

Gráfico 4.9 – Aumento de armadura de flexão para flexão+tração considerando os modelos analíticos.


Gráfico 4.10 - Aumento de armadura de flexão para flexão+tração considerando os modelos numéricos.


14

%

13

% 23

% 31

%

23

% 31

%

6%

5%1

4%

19

% 26

%

31

%

26

%

32

%

7% 7%1

6%

21

% 39

% 52

%

39

% 53

%

9% 9%

0%

20%

40%

60%









AU

MEN

TO P

ERC

ENTU

AL

(%)

ELEMENTO

Aumento de armadura de flexão para flexão+tração - Modelos analíticos

Reservatório pequeno Reservatório médio Reservatório grande

2% 3%

33

%

8%

35

%

6% 12

%

15

%

2% 7%

37

%

17

% 39

%

15

%

13

%

19

%

3% 5%

54

%

13

%

59

%

11

%

19

%

27

%

0%20%40%60%80%









AU

MEN

TO P

ERC

ENTU

AL

(%)

ELEMENTO

Aumento de armadura de flexão para flexão+tração - Modelos numéricos


94

4.4.3 Flexão versus Flexo-tração

Os Gráficos 4.11 e 4.12 mostram os valores de armadura calculados considerando

apenas a flexão e considerando a flexo-tração para os três tipos de reservatórios, para os

modelos analíticos e numéricos, respectivamente. Os Gráficos 4.13 e 4.14 exibem os aumentos

de armadura quando dimensionadas para a flexo-tração comparando com os resultados obtidos

para o dimensionamento à flexão.

Do mesmo modo que observado na comparação de flexão com flexão+tração, verifica-

se que os maiores aumentos de armadura são nas paredes dos reservatórios, tanto nos modelos

analíticos como nos modelos numéricos, à exceção da direção y das paredes dos modelos

numéricos. Além disso, constata-se que em alguns casos específicos há mais aumento de

armadura para o reservatório médio em se comparando com o reservatório grande.

Comparando os Gráficos 4.9 e 4.10 com os Gráficos 4.13 e 4.14, respectivamente, nota-

se também que os aumentos de amadura são menores quando dimensionados para flexo-tração,

levando a uma economia de armadura necessária. O mesmo também pode ser verificado nos

valores apresentados no Quadro 4.7.

95

Gráfico 4.11 – Armaduras calculadas para os modelos analíticos dos reservatórios considerando a flexão e a flexo-tração.


2,0

6

1,4

0

8,7

7

1,3

3

7,3

4

1,3

3

14

,16

10

,81

2,2

6

1,5

3

10

,21

1,6

4

8,5

6

1,6

4

14

,25

11

,21

4,4

6

1,9

7

16

,17

2,9

2

11

,65

2,8

7

26

,09

15

,62

4,9

3

2,2

5

18

,76

3,5

3

13

,58

3,4

8

27

,15

16

,29

7,6

9

3,8

0

24

,40

3,4

5

18

,29

3,4

2

40

,34

25

,74

8,4

3

4,3

0

29

,58

4,4

7

22

,26

4,4

4

42

,21

27

,05

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Flexão x Flexo-tração - Modelos analíticos



96

Gráfico 4.12 – Armaduras calculadas para os modelos numéricos dos reservatórios considerando a flexão e a flexo-tração.


2,0

9

1,4

9

7,1

8

2,5

1 6,4

1

2,3

8

12

,22

9,8

4

2,1

3

1,5

2

8,9

9

2,6

6 8,1

0

2,4

9

13

,28

10

,91

4,4

6

2,2

1

13

,24

4,1

7

11

,23

3,7

2

23

,28

15

,17

4,5

3

2,3

2

16

,78

4,6

3

14

,03

4,0

8

25

,08

16

,94

7,6

6

4,1

9

20

,28

7,0

1

16

,77

6,3

5

35

,56

24

,40

7,7

8

4,3

2

28

,06

7,5

1

23

,66

6,7

5

39

,00

27

,96

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Flexão x Flexo-tração - Modelos numéricos



97

Gráfico 4.13 - Aumento de armadura de flexão para flexo-tração considerando os modelos analíticos.


Gráfico 4.14 - Aumento de armadura de flexão para flexo-tração considerando os modelos numéricos.


10

%

10

% 16

% 23

%

17

% 23

%

1% 4%1

1%

14

%

16

% 21

%

17

% 21

%

4% 4%1

0%

13

% 21

% 29

%

22

% 30

%

5% 5%

0%10%20%30%40%









AU

MEN

TO P

ERC

ENTU

AL

(%)

ELEMENTO

Aumento de armadura de flexão para flexo-tração - Modelos analíticos


2% 2%

19

%

5%

20

%

5% 8

% 9%

2% 5

%

20

%

10

% 18

%

8%

7% 1

0%

2% 3%

25

%

6%

26

%

6% 8% 1

2%

0%

10%

20%

30%









AU

MEN

TO P

ERC

ENTU

AL

(%)

ELEMENTO

Aumento de armadura de flexão para flexo-tração - Modelos numéricos


98

4.5 COMPARAÇÕES ENTRE MODELOS DE OBTENÇÃO DE ESFORÇOS

Nesse item estão apresentados nos Gráficos 4.15, 4.16 e 4.17 os valores de armadura

agrupados por método de dimensionamento para efeitos comparativos de resultados obtidos

para os modelos analíticos e para os modelos numéricos.

Destes gráficos observa-se que há certo equilíbrio entre os valores encontrados para os

dois tipos de modelos, e que em alguns casos os modelos numéricos resultam em valores

menores e em outros, maiores.

Para o dimensionamento à flexão, os dois modelos apresentam resultados bastante

similares para as lajes de tampa, enquanto que para as lajes de fundo a análise numérica se

mostra mais econômica, reduzindo a armadura em cerca de 3% a 14%. Nas paredes também se

observa uma redução de armadura para os modelos numéricos na direção x, enquanto que na

direção y há aumentos de 29% a 103%.

No dimensionamento à flexão+tração, ocorre um efeito diferente ao dimensionamento

à flexão para as lajes de tampa e para as lajes de fundo, ou seja, observa-se que ocorre redução

de armadura para as lajes de tampa e aumento para as lajes de fundo na direção y (direção da

maior dimensão) quando dimensionados para os esforços obtidos dos modelos numéricos. Nas

paredes, constata-se que ocorrem, do mesmo modo que para o dimensionamento à flexão,

maiores armaduras para a análise numérica na direção y, enquanto que na direção x isto

acontece apenas para os reservatórios médio e grande, apesar desta diferença não ser tão

significativa. Para a análise de flexo-tração, destaca-se que os resultados foram bastante

semelhantes com as análises de flexão+tração.

99

Gráfico 4.15 – Armaduras calculadas para o dimensionamento à flexão.


2,0

6

1,4

0

8,7

7

1,3

3

7,3

4

1,3

3

14

,16

10

,81

2,0

9

1,4

9

7,1

8

2,5

1 6,4

1

2,3

8

12

,22

9,8

4

4,4

6

1,9

7

16

,17

2,9

2

11

,65

2,8

7

26

,09

15

,62

4,4

6

2,2

1

13

,24

4,1

7

11

,23

3,7

2

23

,28

15

,17

7,6

9

3,8

0

24

,40

3,4

5

18

,29

3,4

2

40

,34

25

,74

7,6

6

4,1

9

20

,28

7,0

1

16

,77

6,3

5

35

,56

24

,40

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Modelos analíticos x Modelos numéricos - Flexão

Reservatório pequeno - Analítico Reservatório pequeno - Numérico Reservatório médio - Analítico

Reservatório médio - Numérico Reservatório grande - Analítico Reservatório grande - Numérico

100

Gráfico 4.16 – Armaduras calculadas para o dimensionamento a flexão+tração.


2,3

4

1,5

8

10

,76

1,7

4

8,9

9

1,7

4

14

,96

11

,35

2,1

4

1,5

3

9,5

7

2,7

0

8,6

6

2,5

3

13

,69

11

,29

5,0

9

2,3

5

20

,32

3,8

4

14

,67

3,7

9

27

,90

16

,73

4,5

5

2,3

5

18

,09

4,8

7

15

,56

4,2

6

26

,21

17

,98

8,9

4

4,6

1

33

,95

5,2

5

25

,45

5,2

2

43

,89

28

,11

7,9

1

4,4

1

31

,32

7,9

1

26

,67

7,0

5

42

,21

30

,90

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Modelos analíticos x Modelos numéricos - Flexão+tração



101

Gráfico 4.17 – Armaduras calculadas para o dimensionamento à flexo-tração.


2,2

6

1,5

3

10

,21

1,6

4

8,5

6

1,6

4

14

,25

11

,21

2,1

3

1,5

2

8,9

9

2,6

6 8,1

0

2,4

9

13

,28

10

,91

4,9

3

2,2

5

18

,76

3,5

3

13

,58

3,4

8

27

,15

16

,29

4,5

3

2,3

2

16

,78

4,6

3

14

,03

4,0

8

25

,08

16

,94

8,4

3

4,3

0

29

,58

4,4

7

22

,26

4,4

4

42

,21

27

,05

7,7

8

4,3

2

28

,06

7,5

1

23

,66

6,7

5

39

,00

27

,96

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00









AR

MA

DU

RA

(C

M²/

M)

ELEMENTO

Modelos analíticos x Modelos numéricos - Flexo-tração



102

CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS

5.1 CONCLUSÕES GERAIS

A análise de um reservatório muitas vezes se torna complexa devido à sua geometria

tridimensional e também devido aos diversos casos de carregamento possíveis, sendo

necessário fazer um estudo mais aprofundado de seu comportamento estrutural diante das ações

atuantes. Das análises feitas no capítulo anterior, referente ao dimensionamento de três

reservatórios paralelepipédicos elevados em concreto armado, pode-se retirar diversas

conclusões, as quais estão descritas de forma resumida a seguir.

A partir dos esforços obtidos, observou-se que os valores de momentos calculados pelo

método analítico foram bem próximos aos momentos obtidos pelos modelos numéricos para as

lajes de tampa e de fundo dos três reservatórios. Nas paredes, observou-se também que os

momentos negativos resultaram equivalentes, diferentemente dos momentos positivos, em que

se verificou valores diferenciados principalmente por causa da compatibilização de esforços do

modelo analítico, onde os momentos positivos que tenderam a diminuir não foram alterados, à

favor da segurança.

Analisando os esforços de tração nas lajes, constatou-se que, para a laje de tampa, os

esforços de tração são menores nos modelos numéricos, e, na laje de fundo, maiores. Nas

paredes, os esforços de tração resultaram menores na direção y (horizontal) e maiores na direção

x (vertical) para os modelos numéricos em se comparando com os modelos analíticos.

Quando os reservatórios são dimensionados considerando os esforços de tração, ocorre

aumento de armadura, visto que a resistência do concreto à tração é desprezada em todos os

casos.

Os aumentos de armaduras quando considerados os esforços de tração foram mais

perceptíveis para as paredes devido ao maior carregamento na laje de fundo, e tanto maior foi

o aumento quando maior era o volume do reservatório.

No modelo numérico, o maior acréscimo de armadura para a laje de fundo em

comparação com a laje de tampa pode ser justificado pela característica do carregamento nas

paredes, o empuxo horizontal, que cresce de intensidade de cima para baixo, levando a maiores

esforços na região inferior. Este efeito se mostrou contrário no modelo analítico devido à

consideração de carregamento uniforme atuando nas paredes, uma vez que os coeficientes de

reações de apoio não contemplam carregamentos triangulares nas lajes.

103

Quanto maior era capacidade de armazenamento do reservatório, maior foi o aumento

de armadura devido aos esforços de tração, principalmente quando o dimensionamento foi feito

pelo método analítico.

E, por fim, o dimensionamento à flexo-tração se mostrou mais econômico que o

dimensionamento à flexão+tração, o que leva a uma economia de armadura, principalmente

para reservatórios de grandes dimensões, pois os esforços de tração são mais expressivos e não

devem ser desconsiderados.

5.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Diante do que foi estudo e visando uma maior abrangência dos conhecimentos sobre

dimensionamento estrutural de reservatórios em concreto armado, são feitas a seguintes

sugestões de trabalhos:

Fazer uma análise não linear de reservatórios paralelepipédicos elevados com diferentes

capacidades de armazenamento utilizando elementos de casca não linear;

Analisar reservatórios paralelepipédicos elevados com lajes modeladas em grelha;

Fazer um estudo comparativo de reservatórios paralelepipédicos enterrados,

semienterrados e apoiados de diferentes capacidades e considerando os esforços

atuantes no próprio plano das lajes;

Dimensionar reservatórios de forma analítica e numérica considerando as paredes

trabalhando como vigas-parede.

104

REFERÊNCIAS

ARAÚJO, José Milton de. Curso de Concreto Armado: Volume 4. 4. ed. Rio Grande: Dunas,

2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas

de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 238 p.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto e execução de

obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1980. 53 p.

CAMPOS, Arthur José Maio. Projeto de reservatório circular de concreto armado

apoiado: análise estrutural, dimensionamento e detalhamento. 2018. 113 f. TCC (Graduação)

- Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2018.

CHITLAL, Ítalo Harry Cunha. Dimensionamento estrutural de reservatório enterrado

paralelepipédico em concreto armado considerando o fenômeno de flexão composta. 2010.

122 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Roraima, Boa

Vista, 2010.

COSTA, Flávio de Oliveira. Projetos estruturais de reservatórios paralelepipédicos de

concreto armado moldados in loco. 1998. 182 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de

Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1998.

CSI Analysis Reference Manual: for SAP2000®, ETABS®, SAFE® and CSiBridge®. 2017.

FUSCO, P. B. Estruturas de Concreto: Solicitações Normais. Rio de Janeiro: Guanabara

Dois, 1986.

FUSCO, P. B. Técnica de Armar as Estruturas de Concreto. 2. ed. São Paulo: Pini, 2013.

GIONGO, José Samuel. Concreto armado: Projeto estrutural de edifícios. São Carlos. 2007.

GUERRIN, A.; LAVAUR, Roger C. Tratado de concreto armado: Reservatórios, caixas

d'água, piscinas. Hemus, 2003.

105

GUIMARÃES, Ana Elisabete Paganelli. Indicações para projeto e execução de

reservatórios cilíndricos em concreto armado. 1995. 184 f. Dissertação (Mestrado) - Curso

de Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1995.

LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto: Princípios básicos sobre a

armação de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro: Interciência Ltda, 1978.

PINHEIRO, Libânio M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. São Carlos. 2007.

PINHEIRO, Libânio M. Tabelas de lajes. São Carlos. 2007.

RAMOS, João Miguel Giesta. Análise e dimensionamento de reservatórios semi-enterrados

circulares de betão armado pré-esforçado. 2010. 193 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de

Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, 2010.

REBOUÇAS, Arthur da Silva. Análise da distribuição de momento fletor devido a carga

móvel em pontes curvas de concreto armado. 2017. 194 f. Dissertação (Mestrado) - Curso

de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2017.

ROCHA, Aderson Moreira da. Curso Prático de Concreto Armado. 18. ed. São Paulo: Nobel,

1983.

SILVA FILHO, José Neres da. Introdução ao estudo de reservatórios em concreto

armado. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2017. 22 slides.

VASCONCELOS, Zelma Lamaneres. Critérios para projetos de reservatórios

paralelepipédicos elevados de concreto armado. 1998. 143 f. Dissertação (Mestrado) - Curso

de Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1998.

WIGHT, James K.; MACGREGOR, James G. Reinforced Concrete: Mechanics & Design. 6.

ed. Upper Saddle River: Pearson Education, 2012.

106

APÊNDICE A – CÁLCULO DAS ESPESSURAS DAS LAJES

Quadro A.1 – Estimativa das espessuras das lajes.


RESERVATÓRIO ELEMENTO

SEÇÃO

TRANSVERSAL

MÍNIMA (cm)

PINHEIRO

(2007) (cm)

NBR 6118

(1980) (cm)

ARAÚJO

(2014) (cm)

ADOTADA

(cm)

Laje de tampa 14,20 14,05 16,73 7,00 15,00

Paredes 1 e 2 14,50 9,92 11,30 12,00 15,00

Paredes 3 e 4 14,50 9,92 11,05 12,00 15,00

Laje de fundo 14,20 12,65 13,03 12,00 15,00

Laje de tampa 15,00 17,80 21,17 7,00 15,00

Paredes 1 e 2 15,30 12,12 14,16 12,00 20,00

Paredes 3 e 4 15,30 12,12 13,00 12,00 20,00

Laje de fundo 15,00 15,80 15,83 12,00 20,00

Laje de tampa 19,00 25,30 29,92 7,00 25,00

Paredes 1 e 2 19,30 14,76 17,59 12,00 40,00

Paredes 3 e 4 19,30 14,76 17,08 12,00 40,00

Laje de fundo 19,00 22,10 21,71 12,00 40,00

PEQUENO

MÉDIO

GRANDE

107

APÊNDICE B – AÇÕES ATUANTES (MODELO ANALÍTICO)

Quadro B.1 – Ações atuantes nas lajes dos reservatórios.


PESO

PRÓPRIO

(kN/m²)

IMPERM. +

REVEST.

(kN/m²)

SOBRECARGA

ACIDENTAL

(kN/m²)

ACÚMULO

DE ÁGUA

PLUVIAL

(kN/m²)

EMPUXO

HORIZONTAL

DA ÁGUA

(kN/m²)

PESO DA

ÁGUA

(kN/m²)

TOTAL

(kN/m²)

Tampa 3,75 1,00 1,00 0,20 - - 5,95

Paredes 1 e 2 - - - - 17,78 - 17,78

Paredes 3 e 4 - - - - 17,78 - 17,78

Fundo 3,75 1,00 - - - 20,00 24,75

Tampa 3,75 1,00 1,00 0,20 - - 5,95

Paredes 1 e 2 - - - - 27,48 - 27,48

Paredes 3 e 4 - - - - 27,48 - 27,48

Fundo 5,00 1,00 - - - 30,00 36,00

Tampa 6,25 1,00 1,00 0,20 - - 8,45

Paredes 1 e 2 - - - - 38,14 - 38,14

Paredes 3 e 4 - - - - 38,14 - 38,14

Fundo 10,00 1,00 - - - 42,00 53,00

MÉDIO

GRANDE

RESERVATÓRIO

PEQUENO

108

APÊNDICE C – ESFORÇOS (MODELO ANALÍTICO)

Quadro C.1 – Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório pequeno.


ELEMENTO TIPO ℓx (m) ℓy (m) l = ℓy / ℓx ℓa (m) ℓb (m) g = ℓa / ℓb p (kN/m²)

Laje de tampa 1 4,15 5,15 1,24 - - - 5,95

Paredes 1 e 2 5A /16 2,25 5,15 2,29 2,25 5,15 0,44 17,78

Paredes 3 e 4 5A /16 2,25 4,15 1,84 2,25 4,15 0,54 17,78

Laje de fundo 6 4,15 5,15 1,24 - - - 24,75

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

my'

-

3,24

3,24

24,04

my

4,27

0,86

0,86

7,80

mx'

-

6,00

5,53

28,43

mx

6,25

2,68

2,33

12,66

6,67

mx

6,10

2,98

2,59

2,97

my'

-

3,60

3,60

5,64

my

4,17

0,96

0,96

1,83

vy'

-

6,34

6,34

25,68

mx'

-

6,67

6,14

8,76

5,70

-

vx'

-

12,50

8,34

30,81

6,17

-

-

-

-

6,25

4,17

3,00

2,50

-

-

-

7,41

DADOS GERAIS

COEFICIENTES DE REAÇÃO DE APOIO

REAÇÕES DE APOIO (kN/m)

COEFICIENTES DE MOMENTOS FLETORES

MOMENTOS FLETORES (kN.m/m)

nx nx' ny ny'

3,00

4,38

2,85

-

-

3,17

3,17

2,50

vx vy

109

Quadro C.2 - Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório médio.


ELEMENTO TIPO ℓx (m) ℓy (m) l= ℓy / ℓx ℓa (m) ℓb (m) g = ℓa / ℓb p (kN/m²)

Laje de tampa 1 5,20 8,20 1,58 - - - 5,95

Paredes 1 e 2 5A /16 3,28 8,20 2,50 3,28 8,20 0,40 27,48

Paredes 3 e 4 5A /16 3,28 5,20 1,59 3,28 5,20 0,63 27,48

Laje de fundo 6 5,20 8,20 1,58 - - - 36,00

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

6,69 16,65 2,62 10,55

35,92 75,83 13,24 55,68

13,29 - 6,02 -

8,78 19,66 2,83 10,61

3,69 7,79 1,36 5,72

mx mx' my my'

2,98 6,67 0,96 3,60

2,27 5,65 0,89 3,58


mx mx' my my'

8,26 - 3,74 -

14,27

- 64,40 - 46,80


vx vx' vy vy'

3,17

2,61 3,83 - 3,17


10,64 - 7,74 -

19,71 28,13 - 14,27

11,75 17,24 -

DADOS GERAIS


nx nx' ny ny'

3,44 - 2,50 -

4,38 6,25 -

- 3,44 - 2,50

110

Quadro C.3 - Cálculo dos esforços nas lajes do reservatório grande.


ELEMENTO TIPO ℓx (m) ℓy (m) l = ℓy / ℓx ℓa (m) ℓb (m) g = ℓa / ℓb p (kN/m²)

Laje de tampa 1 8,40 12,40 1,48 - - - 8,45

Paredes 1 e 2 5A /16 4,63 12,40 2,68 4,63 12,40 0,37 38,14

Paredes 3 e 4 5A /16 4,63 8,40 1,82 4,63 8,40 0,55 38,14

Laje de fundo 6 8,40 12,40 1,48 - - - 53,00

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

ELEMENTO

Laje de tampa

Paredes 1 e 2

Paredes 3 e 4

Laje de fundo

19,83 48,14 7,59 29,29

132,01 283,09 55,72 213,91

46,03 - 23,19 -

24,31 54,42 7,83 29,37

3,53 7,57 1,49 5,72

mx mx' my my'

2,98 6,67 0,96 3,60

2,43 5,90 0,93 3,59


mx mx' my my'

7,72 - 3,89 -

27,96

- 148,25 - 111,30


vx vx' vy vy'

3,17

2,85 4,17 - 3,17


23,64 - 17,75 -

38,63 55,13 - 27,96

25,14 36,78 -

DADOS GERAIS


nx nx' ny ny'

3,33 - 2,50 -

4,38 6,25 -

- 3,33 - 2,50

111

APÊNDICE D – ESFORÇOS (MODELO NUMÉRIO)

Figura D.1 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório pequeno, em kNm/m.


Figura D.2 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório pequeno, em kNm/m.


112

Figura D.3 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório pequeno, em kNm/m.



Fonte: Autores (2018).

113





114

Figura D.7 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório pequeno, em kNm/m.


Figura D.8 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório pequeno, em kNm/m.


115

Figura D.9 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório pequeno, em kN.


116





117

Figura D.12 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório pequeno, em kN.


118

Figura D.13 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório médio, em kNm/m.


Figura D.14 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório médio, em kNm/m.


119

Figura D.15 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório médio, em kNm/m.




120





121

Figura D.19 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório médio, em kNm/m.


Figura D.20 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório médio, em kNm/m.


122

Figura D.21 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório médio, em kN.


123





124

Figura D.24 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório médio, em kN.


125

Figura D.25 – Momentos M11 da laje de tampa do reservatório grande, em kNm/m.


Figura D.26 – Momentos M22 da laje de tampa do reservatório grande, em kNm/m.


126

Figura D.27 – Momentos M11 das paredes 1 e 2 do reservatório grande, em kNm/m.




127





128

Figura D.31 – Momentos M11 da laje de fundo do reservatório grande, em kNm/m.


Figura D.32 – Momentos M22 da laje de fundo do reservatório grande, em kNm/m.


129

Figura D.33 – Reações de apoio no plano da laje de tampa do reservatório grande, em kN.




130



Figura D.36 – Reações de apoio no plano da laje de fundo do reservatório grande, em kN.


131

APÊNDICE E – ARMADURAS CALCULADAS

Quadro E.1 – Armaduras calculadas para o reservatório pequeno pelo modelo analítico.


Quadro E.2 - Armaduras calculadas para o reservatório pequeno pelo modelo numérico.


ELEMENTO MOMENTO DIREÇÃOAs,tração

(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 0,28 2,06 2,34 2,26

y 0,18 1,40 1,58 1,53

x 0,99 0,87 1,86 1,61

y 0,20 0,28 0,48 0,43

x 0,99 7,90 8,89 8,60

y 0,20 1,06 1,26 1,21

x 0,83 0,76 1,58 1,37

y 0,20 0,28 0,48 0,43

x 0,83 6,58 7,41 7,19

y 0,20 1,06 1,26 1,21

x 0,40 6,26 6,66 6,55

y 0,27 4,23 4,50 4,43

x 0,40 7,90 8,30 7,69

y 0,27 6,58 6,85 6,78

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo

Paredes 3 e 4

Laje de tampa Positivo

Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo


(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 0,05 2,09 2,14 2,13

y 0,04 1,49 1,53 1,52

x 1,19 0,24 1,43 1,19

y 0,10 1,32 1,41 1,39

x 1,19 6,95 8,14 7,80

y 0,10 1,20 1,29 1,27

x 1,12 0,24 1,36 1,12

y 0,08 1,18 1,26 1,24

x 1,12 6,17 7,30 6,98

y 0,08 1,20 1,27 1,25

x 0,73 5,28 6,01 5,80

y 0,73 3,67 4,39 4,20

x 0,73 6,95 7,68 7,49

y 0,73 6,17 6,90 6,70

Paredes 3 e 4

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo


Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo

132

Quadro E.3 – Armaduras calculadas para o reservatório médio pelo modelo analítico.


Quadro E.4 - Armaduras calculadas para o reservatório médio pelo modelo numérico.



(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 0,63 4,46 5,09 4,93

y 0,38 1,97 2,35 2,25

x 2,07 1,91 3,98 3,28

y 0,46 0,62 1,08 0,92

x 2,07 14,26 16,34 15,48

y 0,46 2,31 2,77 2,61

x 1,51 1,45 2,96 2,45

y 0,46 0,57 1,03 0,87

x 1,51 10,20 11,71 11,13

y 0,46 2,31 2,77 2,61

x 0,91 11,83 12,73 12,37

y 0,55 5,41 5,97 5,77

x 0,91 14,26 15,17 14,78

y 0,55 10,20 10,76 10,52


Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo

Paredes 3 e 4

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo


(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 0,09 4,46 4,55 4,53

y 0,15 2,21 2,35 2,32

x 2,42 0,40 2,82 2,42

y 0,35 2,41 2,76 2,64

x 2,42 12,85 15,27 14,35

y 0,35 1,76 2,11 1,99

x 2,17 0,91 3,08 2,35

y 0,27 1,96 2,23 2,14

x 2,17 10,32 12,48 11,67

y 0,27 1,76 2,03 1,94

x 1,47 10,43 11,90 11,34

y 1,40 4,85 6,26 5,76

x 1,47 12,85 14,31 13,74

y 1,40 10,32 11,72 11,18

Paredes 3 e 4

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo


Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo

133

Quadro E.5 – Armaduras calculadas para o reservatório grande pelo modelo analítico.


Quadro E.6 - Armaduras calculadas para o reservatório grande pelo modelo numérico.



(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 1,24 7,69 8,94 8,43

y 0,81 3,80 4,61 4,30

x 4,77 2,25 7,02 4,97

y 0,90 0,73 1,63 1,24

x 4,77 22,15 26,92 24,62

y 0,90 2,72 3,62 3,23

x 3,58 1,83 5,42 3,87

y 0,90 0,70 1,60 1,21

x 3,58 16,45 20,03 18,38

y 0,90 2,72 3,62 3,23

x 1,78 18,19 19,97 19,17

y 1,18 9,29 10,47 9,95

x 1,78 22,15 23,92 23,04

y 1,18 16,45 17,63 17,11


Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo

Paredes 3 e 4

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo


(cm²/m)

As,flexão

(cm²/m)

As,tração+flexão

(cm²/m)

As,flexo-tração

(cm²/m)

x 0,25 7,66 7,91 7,78

y 0,22 4,19 4,41 4,32

x 5,52 0,64 6,16 5,52

y 0,45 3,77 4,21 4,01

x 5,52 19,64 25,16 22,54

y 0,45 3,25 3,69 3,50

x 4,95 0,70 5,66 4,95

y 0,35 3,10 3,45 3,30

x 4,95 16,06 21,01 18,71

y 0,35 3,25 3,60 3,45

x 3,32 15,92 19,25 17,67

y 3,25 8,33 11,58 10,14

x 3,32 19,64 22,97 21,33

y 3,25 16,06 19,32 17,82

Paredes 3 e 4

Positivo

Negativo

Laje de fundo

Positivo

Negativo


Paredes 1 e 2

Positivo

Negativo

134

ANEXO A – TABELAS KMD

Quadro AA.1 – Tabela KMD (parte I).

135

Quadro AA.2 – Tabela KMD (parte II).

FERNANDA KAREN MELO DA COSTA ESTUDO COMPARATIVO …

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