Método do Elementos Finitos na Análise e Projeto de

Dispositivos Eletromagnéticos

Prof. Luís Alberto Pereira, Dr.-Ing. - DELET

Organização da Palestra

1. Generalidades sobre o M. E. F.

2. Problemas de Valor de Contorno

3. Solução pelo Método dos Elementos Finitos

3.1 Método de Galerkin

3.2 Discretização do Domínio

3.3 Obtenção das Equações Discretas

4. Software por Elementos Finitos e Estudo

de Casos Práticos

1. Generalidades sobre o M. E. F.

Histórico : 1941 - Hrenikov : problemas da Elastomecânica

a partir de 1950 : aplicações na indústria aéro-

espacial

Aplicação na Eletrotécnica :

1967 - Winslow : Diferenças Finitas para Elementos Triangulares

a partir de 1970 - Popularização do Método

Definição :

Método numérico para a solução de equações

diferenciais parciais, as quais surgem, por exemplo,

na descrição de problemas de valor de contorno.

Vantagens e Características :

formulação simples

aplicável a problemas complexos

possibilita a consideração de não-linearidades

pode ser implementado em computador

Aplicações Típicas em Engenharia Elétrica

Determinação de campos elétricos e magnéticos

Análise de Dispositivos :

máquinas, relés, bobinas, transformadores

atuadores

biomédica: modelagem de campos em seres vivos

análise e modelagem de dispositivos semicondutores

Otimização de Dispositivos :

melhoria de desempenho

redução de peso ou volume

redução de custos

otimização da forma geométrica

2. Problemas de Valor de Contorno

Contorno do Domínio

Eisen

Ar

A

n

ferro

H 0

0A = 0

ferro

A= 02

A= S2

H S

(1)SH

)2(0B

)3(HB

)4(BA

Equações do Domínio (Magnestostática) :

Potencial Vetor

)5(SHBA

)6(SAA 2

Equações de Maxwell

)7(0A

)8(SA2 Equação de Poisson em 3D

)9(eSS z

)10(eAA z

y

xe x

e y

e z

Caso Especial de Domínio 2D

)a11(SA2

Explicitamente:

)b11(Sy

A

x

A2

2

2

2

Equação de Poisson em 2D

Condições de Contorno :

Condição de Dirichlet

0A

constanteA B

A 0

n

Condição de Neumann

0An

A

nB

A

nA 0

Descrição do Problema de Valor de Contorno 2D

SA2

0A

sobre0An

A

sobre

no domínio

1

2

21

3. Solução por Elementos Finitos

2A S

Problema Discretizado

Métodos

Variacionais

Método de Ritz

Métodos

Residuais

Método de Galerkin

Problema Contínuo

Solução Discreta

3.1 Método de Galerkin

)12(gSgA2 g - função de teste

)13(dgSdgA2

Emprego do Teorema de Green em 2D, resulta:

)14(dgSdgAdgA

dgSdgAdgAdgA

21

Considerando-se a condição de contorno em

0An

A

2

dgSdgAdgA

1

Impondo-se a condição g=0 em

)15(dgSdgA

Forma fraca da Equação de Poisson

1

3.2 Discretização do Domínio

)16(dgSdgAM

1e

e

M

1e

e

ee

g - será definido para um triângulo padrão

A - será aproximado para cada triângulo

Nós

1

2 3

5

6

1

2

3

4 5

67

M Elementos

N Nós

3.3 Obtenção das Equações Discretas

)17(y,xRy,xAy,xAA j

N

1j

j

Funções de aproximação : y,xj

Exemplos :

polinômios

funções trigonométricas

funçoes lineares

etc...

1

1

23

A3

A2

A1

jAM. E. F. : jj AR Potenciais nos nós

Elementos Triangulares :

)18(yCxCC)y,x(A 210

111 A)y,x(A

222 A)y,x(A 333 A)y,x(A

)19(y,xA)y,x(A j

3

1j

j

Interpolação de Lagrange

Método de Galerkin funções de teste g idênticas às de aproximação

y,x)y,x(g 11

y,x)y,x(g 22

y,x)y,x(g 33

eieij

3

1j

j dSdA

ee

)20(dSdA eieij

3

1j

j

ee

3,2,1i

)21(dK eijj,i

e

)22(dSb eii

e

)23(bKA ij,i

3

1j

j

3,2,1i

)24(

b

b

b

A

A

A

KKK

KKK

KKK

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

Considerando-se todos os elementos do domínio e passando-se para uma numeração global:

103517251

coluna 5 coluna 7 coluna 10

K

K K

G

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 013 33

K K K

K K

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

11 12 13

12 22

GKMatriz global de coeficientes:

esparsa

simétrica

)24(bAK G Sistema de Equações Lineares:

bKA1

G Solução:

BAA Determinação do campo:

Entrada de Dados

Gerador de Malha

Solução das Equações

Exploração dos

Resultados

4. Software por Elementos Finitos eEstudo de Casos Práticos

Malha gerada (1550 elementos)

Caso da Magnetostática Analisado

Distribuição do Campo (S=5 A/mm )2