CARACTERSTICAS DA ATENUAO DAS REFLEXES MLTIPLAS DA SUPERFCIE LIVRE UTILIZANDO A EXTRAPOLAO DO CAMPO DE ONDA Patrcia Perez Ferreira DissertaodeMestradoapresentadaao ProgramadePs-graduaoemEngenharia Civil,COPPE,daUniversidadeFederaldoRio de Janeiro, como parte dos requisitos necessrios obtenodottulodeMestreemEngenharia Civil. Orientadores: Luiz Landau Marco Antonio Cetale Santos Rio de Janeiro Maio de 2009 COPPE/UFRJ COPPE/UFRJ CARACTERSTICAS DA ATENUAO DAS REFLEXES MLTIPLAS DA SUPERFCIE LIVRE UTILIZANDO A EXTRAPOLAO DO CAMPO DE ONDA Patrcia Perez Ferreira DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZCOIMBRADEPS-GRADUAOEPESQUISADEENGENHARIA (COPPE)DAUNIVERSIDADEFEDERALDORIODEJANEIROCOMOPARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: ________________________________________________ Prof. Luiz Landau, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Marco Antonio Cetale Santos, D.Sc. ________________________________________________ Dr. Andr Bulco, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Webe Joo Mansur, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MAIO DE 2009iii

Ferreira, Patrcia Perez CaractersticasdaAtenuaodasReflexesMltiplas daSuperfcieLivreUtilizandoaExtrapolaodoCampo deOnda/PatrciaPerezFerreira.RiodeJaneiro: UFRJ/COPPE, 2009. X, 151 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Luiz Landau Marco Antonio Cetale Santos Dissertao (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2009. Referncias Bibliogrficas: p. 114-119. 1.ReflexesMltiplas.2.ExtrapolaodoCampode Onda. 3. Integral de Rayleigh Unidirecional II. I. Landau, Luizetal.II.UniversidadeFederaldoRiodeJaneiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Ttulo. iv Ao meu pai, Herbert, por ter me ensinado a amar os estudos e a valorizar a dedicao eo esforo do trabalho. Life is what happens to you while you're busy making other plans John Lennon v AGRADECIMENTOS Agradeo a minha famlia e a todos os meus amigos por todo o apoio e carinho ao longo do mestrado. Agradeo ao coordenador Dr. Luiz Landau e todo corpo tcnico-administrativo dos laboratrios LAMCE e LAB2M da COPPE/UFRJ pela oportunidade da realizao deste trabalho. Agradeoaomeuorientadorprof.MarcoAntonioCetaleSantospelasugesto do tema apresentado e por toda sua contribuio para a elaborao deste trabalho.AgradeoaosgeofsicosJosiasSilvaeMrcioMartinseaoprof.WebeJoo Mansur pelas inmeras discusses que foram de extrema importncia para a concluso desta dissertao.AgradeoaosamigosMnicaCarusoStoque,VernicaVieira,Michel Bedregal, Jean Heckmann e Mrcia Val Springer pelas palavras de apoio e incentivo na etapa final de concluso desta dissertao. Agradeo aos engenheiros Bruno Longuinho, Felipe Loureiro e Rodrigo Burgos pelas discusses e contribuies neste trabalho. Agradeo em especial a geofsica Ana Paula pela amizade incondicional e pelas discusses durante a realizao deste trabalho. Aosexaminadoresdabancaporsuasimportantescorrees,revisese contribuies para a elaborao do documento final. vi ResumodaDissertaoapresentadaCOPPE/UFRJcomopartedosrequisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.) CARACTERSTICAS DA ATENUAO DAS REFLEXES MLTIPLAS DA SUPERFCIE LIVRE UTILIZANDO A EXTRAPOLAO DO CAMPO DE ONDA Patrcia Perez Ferreira Maio/2009 Orientadores: Luiz Landau Marco Antonio Cetale Santos Programa: Engenharia Civil Umatarefaimportantenoprocessamentododadossmicoaidentificaoe subseqentesupressodasreflexesmltiplasparaevitarerrosnainterpretaodas verdadeirascaractersticasdaestruturaemsubsuperfcie.Nestetrabalhoapresentada uma estratgia para a previso e eliminao/atenuao de reflexes mltiplas do fundo-do-mar emdados sintticos. Ametodologia proposta para a atenuaodasmltiplas baseada nos princpios tericos da extrapolao de campos de onda descendentes, onde a integral unidirecional de Rayleigh II utiliza o dado de entrada como um operador de previsoatravsdaextrapolaodiretadesuasreflexes(primriasemltiplas)no tempo.AoinvsdeutilizarosomatriodeKirchhoffparaaetapadepreviso,foram empregadostirosdeondasplanasobjetivandoreduzirocustocomputacional.As mltiplasprevistastmsuasamplitudescomparadascomasdodadoinicialparaser possvelfiltr-lasadaptativamenteatravsdautilizaodeumprogramadopacotedo SeismicUnixchamadoSushape.Apsoprocessodefiltragemasmltiplasestimadas sosubtradasdodadodeentrada.Aprincipalvantagemdoprocessodeprevisoe subtraodocampodeondasobreosoutrosmtodosacapacidadeemsuprimiras mltiplasqueinterferemnosinaldasprimriassemcoincidentementeatenuaras primrias. A aplicao deste mtodo demonstra que o mesmo eficiente em atenuar as mltiplasrelacionadasprimeiracamadamesmoquandoofundo-do-marirregular (inclinado).Aeficinciaepossveisconsideraesdaaplicaodomtodoso descritas e discutidas para dois modelos de velocidade sintticos. vii AbstractofDissertationpresentedtoCOPPE/UFRJasapartialfulfillmentofthe requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) CHARACTERISTICS OF THE FREE SURFACE MULTIPLE ATTENUATION USING WAVE FIELD EXTRAPOLATION Patrcia Perez Ferreira May/2009 Advisors: Luiz Landau Marco Antonio Cetale Santos Program: Civil Engineering Animportanttaskinseismicdataprocessingistheidentificationand subsequent suppression of multiple reflections so as to avoid false interpretations about thetruesubsurfacestructurecharacteristics.Inthiswork,astrategyfortheprediction andelimination/attenuationofocean-bottommultipleenergyonsyntheticmarine seismicdataisexploited.Themethodologyproposedforthemultipleattenuationis based on forward wave field extrapolation theoretical principles, in which the one-way RayleighintegralIIusestheinputdataasapredictionoperatorbyextrapolatingits reflections(primariesandmultiples)forwardintime.InsteadofusingtheKirchhoff summation process, for the prediction step, it was employed wave plane shots in order to diminish computational costs. The predicted multiples have its amplitudes compared withtheinputdatainordertobeadaptivelyfilteredbytheapplicationofaprogram from the Seismic Unix package called Sushape. After the filtering process the estimated multiples are then subtracted from the input data. The highlight of wavefield prediction andsubtractionprocessoverothermethodsistheabilityinsuppressingmultiplesthat interferewithprimariessignalswithoutcoincidentallyattenuatingtheprimaries.The applicationofthemethoddemonstratesthatiteffectivelyattenuateswaterbottom multiplesevenwhenthewaterbottomisirregular(dip).Thisworkalsoanalysesthe reliabilityofforwardacousticwavefieldextrapolationinthemultiplereflection prediction.Theeffectivenessandpossibleissuesofthisschemeinsuppressing multiples are described and discussed for two different synthetic velocity models. viii ndice Captulo 1 Introduo1 1.1 Metodologias e Objetivos da Dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2Estrutura da Dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Captulo 2Reflexes Mltiplas8 2.1Definio . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.2Classificao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4Mltiplas: Sinal ou Rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Captulo 3Mtodos de Remoo de Reflexes Mltiplas19 3.1MtodosBaseadosnaDiferenadoComportamentoEspacialdas Primrias e Mltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1.1MtododeRemoodeMltiplasBaseadonaDiscriminaode Mergulhos e Moveout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.1.1Remoo de Reflexes Mltiplas Utilizando um Filtro no Domnio F-K (Filtragem de Mergulhos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.1.1.2Transformadas Radon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263.1.1.2.1Transformada Radon Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.1.2.2Transformada Radon Parablica . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .303.1.1.2.3Transformada Radon Hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1.3Remoo de Reflexes Mltiplas Utilizando as Transformadas Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2Mtodos Baseados em Periodicidade e Previsibilidade. . . . . . . . . . . . . 353.2.1Deconvoluo Preditiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1.1A Deconvoluo na Remoo de Reflexes Mltiplas . . . . . . . . . . . . .39 ix 3.2.2MtododeEliminaodeReflexesMltiplasRelacionadas Superfcie (SRME) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3Atenuao de Reflexes Mltiplas Utilizando a Extrapolao do Campo de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Captulo 4 Fundamentos da Extrapolao do Campo de Onda Descendente45 4.1Princpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 4.2Teorema de Representao Acstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494.2.1Teoremas de Reciprocidade Acstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 4.2.1.1Teorema da Reciprocidade Convolucional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 4.2.1.2Teorema da Reciprocidade Correlacional . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2Funo de Green Acstica . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.3Integral de Kirchhoff-Helmholtz Acstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3Integrais de Rayleigh .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1Condies de Contorno para a Funo de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3.2Integrais de Rayleigh Bidirecionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.3Integrais de Rayleigh Unidirecionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Captulo 5 Mtodo de Remoo de Reflexes Mltiplas Utilizando a Extrapolao de Campos de Onda Conceito e Aplicaes 76 5.1 Previsibilidade: Extrapolao dos Campos de Onda Descendentes . . . 77 5.1.1Extrapolao do Campo de Onda: Exemplo Prtico. . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Atenuao de Reflexes Mltiplas do Fundo-do-Mar . . . . . . . . . . . . .85 5.2.1O Mtodo na Prtica: Previso das Mltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.1.1 Modelo de Camadas Plano-Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 5.2.1.2 Modelo de Camadas Inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Captulo 6 Concluses e Trabalhos Futuros111 Referncias Bibliogrficas 114 Apndice A Interaes dos Campos de Onda Unidirecionais 120 x A.1 Anlise para a Propagao Direta do Campo de Onda . . . . . . . . . . . .120 Apndice BOperadores para a Extrapolao do Campo de Onda Descendente Formulao Integral 131 Apndice CModelagem Computacional 140 C.1 Modelagem Acstica 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 C.2 Operador Espacial e Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 C.3 Equao da Onda Acstica 2D Discretizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 C.4 Condies para a Estabilidade e Reduo de Disperso Numrica . . 146 C.5 Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 C.6 Condies de Contorno para Bordas No-Reflexivas . . . . . . . . . . . . .148 1 Captulo 1 Introduo As tcnicas de imageamento buscam reposicionar as reflexes nos lugares onde elas realmente foram geradas e partem do pressuposto de que a energia da onda no foi totalmente espalhada, ou seja, que a onda refletiu apenas uma vez em cada camada. Na verdade,grandepartedaenergiacontinuarefletindoentrecertascamadasem subsuperfcie, gerando as chamadas reflexes mltiplas. Asmltiplasestopresentestantonoslevantamentosmarinhosquanto terrestres. Entretanto, para o caso marinho esse problema mostra-se mais peculiar: caso ainterfacedofundodomarpossuaumavelocidademuitomaiordoqueadalmina dgua,partedaenergiatransmitidapodeficaraprisionadanestacamada.Estegrande contraste de velocidade faz a superfcie livre agir como um forte espelho refletor, isto , grandepartedaenergiaficarreverberandoentrealminadguaeainterfacedo fundo do mar, como a ilustrao da figura 1.1.

Figura1.1:Representaodarotadepropagao:ondadireta(setalaranja),reflexoprimria(seta branca) e reflexo mltipla (seta amarela). Acomplexidadedosobjetivosdaexploraotemforteinflunciasobreo investimento emtecnologias que conciliemmenos informaesa respeito da estrutura geolgica(conseqentemente,poucasrestries)ebonsresultados.Apesardo considervelprogressodastcnicasderemoodasmltiplas,essasreflexes continuamconstituindoumdesafionaexploraogeofsica.Naindstria,emmuitos 2 casos,asmltiplassoconsideradascomorudosindesejveisquedificultamo mapeamento geolgico na busca por reservatrios de leo e gs.Duranteosltimosanos,ointeressenodesenvolvimentodetcnicasparaa supressodessasreflexestemsidoestimuladopelatendnciadaindstriafrentea objetivos exploratrios mais complexos. Estas tcnicas so ainda mais exigidas no caso da explorao em guas profundas (devido a reflexes mltiplas de longo perodo, que podemacidentalmentecoincidircomotopodeumreservatrio),emgeometriasde fundodomarcomplexa(quepodemgerarreflexesmltiplasbastantecomplexas)e comalvosdeimageamentosendoregiessubsal(devidoaoaltocontrastede velocidade que pode gerar muitas reflexes mltiplas).Aassociaodoacmulodeleoegsemregiescompresenadecorpos salinostemgeradograndesmudanasnaexploraogeofsica,queacadamomento busca pelo aperfeioamento das tcnicas de imageamento. importante ressaltar que o petrleo tem sido encontrado em estruturas geolgicas cada vezmais complexas (com anticlinais, por exemplo) e com altos contrastes de velocidade, pois a geometria dessas estruturasfavoreceaacumulaodehidrocarbonetos.Apesardoavanodamigrao em profundidade, por possuir altos coeficientes de reflexo e uma geometria complexa (comopossvelobservarnafigura1.2),ocorpodesalpodegerargrandesreflexes mltiplas dificultando a localizao correta das possveis zonas de leo. Figura1.2:ModelogeolgicodeumapequenaregionoGolfodoMxico(S=Sal):Aspropriedades fsicasdosalestoemgrandecontrastecomosdensossedimentosdebaixavelocidade.[Fonte: www.petroleumseismology.com]. 3 A no eliminao das reflexes mltiplas durante o processamento influencia na qualidadedoresultado,tendoemvistaqueasmesmasmascaramimportantes informaessobreosrefletoresemsubsuperfcie.Comopossuemgrandeenergia, interferem no registro dos eventos primrios (caso possuam o mesmo tempo de trnsito, otraopodeserdegradado,defasadooutersuaformaalterada[PONTES,1985]), dificultamaanlisedoespectrodevelocidades,multiplicamarepresentaodos verdadeiros refletores gerando falsas informaes sobre a verdadeira geologia causando interpretaes incoerentes. Halgunsanos,aremoodasreflexesmltiplasduranteoprocessamento ssmiconoera,necessariamente,umpr-requisitoparaainterpretaodassees, casoasmltiplasfossempreviamenteidentificadasdemaneiraqueconhecendosua existncia(isto,sabendodiferenci-lasdasreflexesprimrias),seriapossvel conhecerseusefeitosevitandoenganosentreasreaisreflexesnainterpretao.Uma grande preocupao era que ao tentar remov-las/atenu-las fosse causado algum dano nodadodeformageral,comoalteraesnaamplitude,nafreqnciaenafasedas reflexes primrias [PONTES, 1985]. Com o avano nas pesquisas sobre este tema e a dificuldadenainterpretaodecomplexasestruturasemsubsuperfcie,oconceitode apenasidentificarasmltiplasfoisubstitudopelodesejodedesenvolverferramentas capazesdeatenu-laseficientemente,sendo,simultaneamente,menosdestrutivaspara os eventos primrios. Comoobjetivodeaperfeioarasprincipaisetapasdoprocessamentossmico, tem-sedesenvolvidonovasmetodologiasqueassociemdiferentestcnicasbuscando um resultado comum. Para o caso das reflexes mltiplas, essa integrao demtodos pode ser o diferencial para a atenuao destas reflexes. O avano no desenvolvimento dessastcnicaspodesercaracterizadopelaformacomoestasmanipulamodado,de acordocomotipodemltiplaquesedesejaremoverecomascaractersticasdo modelonoqualestasreflexesseencontram.Levandoemcontaestesfatores escolhidoomtodomaisapropriado,oucomoemmuitoscasos,feitauma combinaodetcnicasderemoo,oquegeralmentegerabonsresultados.Muitas vezes o dado ssmico possui mais de um tipo de mltipla.Oregistrodafigura1.3possuitrscorpossalinoscomplexosalmdevrios pontos difratores. possvel observar reflexes primrias e mltiplas. A lmina dgua varia de 500m a 1000m [WANG, 2003]. 4 Figura1.3:(a)Modelosintticodeumaseoempilhadacomtrscorposdesal.Aatenuaodas mltiplasrealizada atravs domtodode filtragemmulticanal(MEMUL) e(b)omesmodado aps o processo de atenuao [Retirado de WANG (2003)]. Asmltiplastmsidovistascomoumproblemaemboraalgunspesquisadores tenhamanalisadosuainflunciadeformapositivanoimageamentossmico,comoa transformaodasreflexesmltiplasemprimriasparautilizaocomosinal [BERKHOUT&VERSCHUUR,2004].Comopartedaenergiareverberaentrecertas camadasemsubsuperfcie,asreflexesmltiplaspodempossuirinformaes 5 adicionaissobreaestruturageolgica.Destaforma,asmltiplaspodemserutilizadas paradetectarpequenasmudanasdomeio,quenosocontempladasatravsdas informaes contidas nas reflexes primrias. Berkhout&Verschuur(1994)propuseramumamaneiraparamigraras reflexesmltiplastalque,nesteprocesso,todasasmltiplasquepossuemoltimo trajetodereflexoemcomumcontribuem,simultaneamente,paraopontodereflexo (indicado pela seta vermelha na figura 1.4), sendo estas imageadas. Isto significa que o campodeondautilizadocomoumafonteiluminadorasendoutilizadoparao imageamentodaltimareflexomltipla.Destaforma,diferentestiposdemltiplas (que possurem o ltimo trajeto de reflexo emcomum) iluminam omesmo pontoem subsuperfcieapartirdediferentesngulos,permitindoassim,maioresinformaes sobreageologia,evitandoaidentificaodefalsosreservatrios,aumentandoa confiabilidade dos dados da seo ssmica. Figura 1.4: Ilustrao do processo de migrao de mltiplas proposto por Berkhout & Verschuur (1994). A seta vermelha indica o ponto de reflexo comum. 1.1.Metodologia e Objetivos da Dissertao Estetrabalhotemcomoobjetivoprincipalanalisaroprocessodeprevisoe remoodereflexesmltiplasrelacionadassuperfcielivre.Ametodologiaparaa previsodessasreflexesbaseia-senaextrapolaodocampodeonda.Oscamposde ondaregistradosnasuperfcie,isto,ossismogramascomasreflexesprimriase mltiplas,tmassuasreflexesdeslocadasemtempoobjetivandosimularumdado contendoapenasasreflexesmltiplas.Asextrapolaessorealizadasatravsde convoluesentreossismogramasregistradosnasuperfcieeasfunesdeGreen equivalentes [VERSCHUUR, 2006].6 O conceito de extrapolao foi fundamentado atravs da Integral de Kirchhoff-Helmholtz,que,apartirdecertasconsideraes,permiteobterocomportamentode camposdeondaemdiferentespontosdeummodelo.Apartirdaaplicaodesta integral,osprocessosdeextrapolaesdecamposdeondapossibilitamreconstruiras reflexes mltiplas relacionadas primeira camada.Conhecendoocampodeondanasuperfcie,possvelsimularo comportamento deste campo em outras profundidades do modelo. Este o princpio do mtododeprevisodasmltiplas.Asreflexesprimriasemltiplasdodadoinicial so extrapoladas, isto , so deslocadas em tempo as suas posies. Neste processo, as primriastransformam-seemmltiplasdasuperfcielivredeprimeiraordem,poisas extrapolaesadicionamumaviagemamaisparaestasondasnaprimeiracamada. Portanto,omtodopropostonestadissertaoprevapenasasreflexesmltiplas referentes superfcie livre. Asmltiplasprevistassoadaptativamentefiltradasparaoajustedas amplitudes. Em seguida realizada a subtrao pelo dado original, isto , o sismograma que contm as reflexes primrias e mltiplas. Todososdadosobtidosnestetrabalhoforamgeradosatravsdamodelagem sintticaacstica2-DbaseadanadiscretizaodaequaodaondapeloMtododas DiferenasFinitas(MDF),comaproximaesdequartaordemparaasderivadas espaciais e segunda ordem para a derivada temporal. 1.2.Estrutura da Dissertao Neste Captulo 1 apresentada uma introduo sobre a influncia das reflexes mltiplas no processamento do dado ssmico de uma maneira geral, juntamente com os objetivos, a metodologia do tema proposto e a estrutura do trabalho. NoCaptulo2realizadaumaapresentaosobreostiposdereflexes mltiplas: definio, classificao e caractersticas. No fim do captulo h uma pequena discussoarespeitodaaplicabilidadedessasreflexescomosinalparao processamento ssmico. NoCaptulo3apresentadaumarevisodosprincipaismtodosde remoo/atenuao de reflexes mltiplas. 7 NoCaptulo4fundamentadooconceitodeextrapolaodecamposdeonda descendentes. Este captulo a base para o entendimento da teoria de extrapolao do campo de onda embasada matematicamente por Kirchhoff. tambm um pr-requisito para o captulo 5.NoCaptulo5apresentadoomtodopropostonestadissertao,almda aplicao do mesmo em modelos sintticos 2-D. NoCaptulo6apresentadaaconcluso,baseadanosresultadosobtidosnas aplicaes do captulo 5, alm das recomendaes para trabalhos futuros. NoApndiceArealizadaumaimportanteformulaosobreainteraode campos de ondas, bastante til para a fundamentao do Captulo 4.No Apndice B so apresentados os operadores para a extrapolao dos campos deondaemsuaformulaointegral.Estesoperadoressocomponentesimportantes para a teoria desenvolvida no Captulo 4. NoApndiceCapresentadoaspectosdamodelagemquefoiutilizadapara gerar todos os dados deste trabalho.

8 Captulo 2 Reflexes Mltiplas Nosltimos50anos,apresenadaenergiamultiplamenterefletidanodado ssmicotemconstitudoumgrandeproblemaedesafioparaosgeofsicos. Especialmentenaexploraomarinha,ondeacamadadguasecomportacomouma regiodereverberaodaenergia,gerandomltiplasreflexesnasuperfcieeno fundo-do-mar.Parte da energia que consegue ser transmitida e atravessa o fundo do mar ainda est sujeita a reverberaes entre outros refletores, como pode ser observado na figura 2.1. A presena destas possui um efeito obscurecedor na interpretao de refletores em uma seo ssmica. Pequenas mudanas estratigrficas ao longo do reservatrio podem ser registradas como grandes distrbios geolgicos falsos. Figura2.1:Aquisiomarinha:reflexesprimrias(linhasvermelhas)ereflexesmltiplas(linhas verdes). Astcnicasdeimageamentossmicosodeextremaimportnciaparaa Geofsica. Entretanto, objetivando a migrao, estas tcnicas consideram que o registro 9 originalnopossuireflexesmltiplas.Essetipodeconsideraofeitaparaevitar artefatostantonaimagemquantonaamplitude.Comoumexemplo,pode-secitaro imageamentodaregioabaixodosal.Devidoaocontrastedevelocidade(altos coeficientesdereflexo),osalpossuiumatendnciaparaaformaodefortes1 reflexesmltiplas.Casoasmltiplasnosejamfacilmentereconhecidas,apresena de mergulhos pode mascar-las como primrias, alterando totalmente a interpretao de uma seo ssmica, como possvel observar na figura 2.2. Figura 2.2: Interpretao preliminar das sees empilhadas de Troll. Um dado com mltiplas influencia a interpretao de falhas que no existem (a) , o que se comprova em (b), onde o dado mostra as falhas na suas posies verdadeiras [Fonte: www.petroleumseismology.com]. Almdasdificuldadescausadaspelasmltiplasnoimageamentoderegies subsal, possvel citar outros problemas [XIAO et al., 2003]: As mltiplas do fundo-do-mar podem coincidir com a imagem do reservatrio; Asmltiplasgeradasporestruturasmuitocomplexaspodemcompartilhara mesma velocidade de reflexes primrias mais profundas; 1 No sentido de sua complexidade. 10 Algumas mltiplas podem contaminar o clculo do AVO2; Podemgerarumagrandesriedealtoscoeficientesdereflexonoregistro ssmico. Estecaptulotemporobjetivopromoverumconhecimentomaisprofundodas reflexesmltiplas(definio,classificaoecaractersticas)esuasinflunciasno registrossmico.Aimplementaodeummtododeatenuaoesttotalmente vinculada a essas caractersticas. 2.1 Definio Assmicadereflexoumatcnicaqueutilizaapropagaodeondas compressivassemelhantessgeradasporumabalossmico,paraaobteno,de maneiraindireta,deumperfildasestruturasgeolgicas.Apartirdosrefletores presentesnoperfilssmicopossvelinferiranaturezaeaestruturadasdiferentes camadas sedimentares. Este mtodo de prospeco geofsica utilizado para diferentes fins e com diferentes resolues.Durante o tempo que antecede o registro, a onda distribuda pelas camadas em subsuperfcie sofrendo uma srie de fenmenos e interferncias (figura 2.3) que alteram asuaamplitudeefreqncia.Entretanto,nestetrnsito,partedaenergiatransmitida pode ficar reverberando, durante certo tempo, em algumas camadas onde o contraste de velocidademuitogrande.Conseqentemente,nomomentodoregistropelogeofone (levantamento terrestre) ou hidrofone (levantamento marinho), podem ser encontrados, emtemposperidicosouno,registrossemelhantesdeumamesmacamada repetidamente.Assim,naseossmica,essareflexorepresentariaumacamadade rocha na qual a energia refletiu (esta representao seria idntica apenas para camadas plano-paralelas).EssasreflexessochamadasdeReflexesMltiplasouapenas Mltiplas. As reflexes mltiplas possuem algumas caractersticas que as tornam parecidas comasreflexesprimrias,deacordocomomodelogeolgicoecomatrajetriada 2 ngulo Versus Offset: procedimento de identificao direta de hidrocarbonetos. baseado na variao doscoeficientesdereflexocomonguloincidentedereflexo.Essasvariaessoinduzidaspor mudanas na velocidade e densidade das ondas P e S. 11 energiassmica:velocidade,amplitude,formadopulso,contedodasfreqncias [PONTES, 1985]. Figura 2.3: Levantamento ssmico terrestre visto pela propagao da energia. 2.2. Classificao Apesardeexistirememambososlevantamentos(terrestreemarinho),as reflexes mltiplas so mais intensas e problemticas nas aquisies marinhas devido lminadegua(maisespecificamenteainterfacear-gua)eaofundodomardevido aos grandes contrastes de contrastes de velocidade.Asmltiplaspossuemdiversasformasdeclassificao.Entretanto,neste trabalho, ser dado o enfoque apenas quanto: (1) ao tempo de trnsito;(2) ordem; (3) as interfaces nas quais a energia retida.Aseguirserdadoumesclarecimentomaisprofundoarespeitodecadaitem acima. Tempo de Trnsito (Traveltime) DeacordocomestaclassificaoasmltiplaspodempossuirperodosCurto, Mdio ou Longo: 12 (1)CurtoPerodo:soeventosnosquaisointervaloderepetioapenas poucasvezesmaiorqueocomprimentodopulsossmicogeradopelafonte.As mltiplasdecurtoperodopossuemcarterperidicoenopodemserseparadasdas primriasqueasgeraram(estorelacionadasacamadaspoucoespessas) [VERSCHUUR, 2006]. (2)LongoPerodo:soeventosondehumgrandeintervaloderepetio.As mltiplas de longo perodo podem ser separadas das primrias que as geraram. (3)MdioPerodo:soasreflexesmltiplasquepossuemumaperiodicidade intermediria s duas anteriores. Ordem Asmltiplastambmpodemserclassificadasdeacordocomonmerode reverberaesemumadeterminadacamada.Nafigura2.4(b)podemserencontradas mltiplas de primeira e segunda ordem, por exemplo. Interfaces de Reflexo A forma das reflexes mltiplas est relacionada quantidade de energia que a mesmapossuieentrequaiscamadasessaenergiaestagindo,ouseja,asmltiplas tambmpodemserclassificadasdeacordocomasinterfacesondeasreflexes ocorreram. Esta classificao foi baseada em [VERSCHUUR, 2006].

(1) Mltiplas relacionadas superfcie ou mltiplas relacionadas superfcie livre:soaquelasquepossuempelomenosumareflexonalminadgua.Pode-se observarqueseasuperfcielivre(interfacear-gua)forconsideradatransparente, estas mltiplas desaparecem.Essas mltiplas podem ser subclassificadas em: (1.1)Mltiplasdaprimeiracamada:partedaenergiatransmitidapela fonteficaaprisionadaapenasnalminadgua.Algunsautoresasconsideramcomo reverberaes,asquaispodemserclassificadascomoreverberaesdaprimeira camada.HtambmasmltiplaschamadasdePeg-legs,quesoreflexesdecurto 13 perodo,geradasporondasqueapsteremsidorefletidasemumacamadamais profunda, sofrem pelo menos uma reflexo na superfcie. (1.2)Outrasmltiplasrelacionadassuperfcie:soaquelasque, apesardeestaremrelacionadassuperfcie,nopossuemnenhumadascaractersticas anteriores(figura2.6).Possuemgrandeimportncianocasodefortesreflexesem estruturas abaixo do fundo do mar, como o topo de um domo de sal, por exemplo. (2)MltiplasInternas:soasmltiplasgeradasquandoaenergiadaonda aprisionadaemalgumacamadaintermediriaduranteasuapropagao.Casoas camadasemsubsuperfciesejambemfinasasmltiplasinternasgeradaspossuiro perodos bem curtos, caso contrrio, as mltiplas possuiro perodos longos. As figuras 2.4 e 2.5 a seguir ilustram alguns tipos de reflexes mltiplas citados anteriormente. Figura 2.4: (a) reflexo primria e (b) reflexes mltiplas do fundo-do-mar (reverberaes) de primeira e segunda ordem, respectivamente.

14 Figura 2.5: (a) mltipla de superfcie livre de primeira e segunda ordem, (b) mltipla peg-leg de primeira e segunda ordem, (c) mltipla interna de primeira e segunda ordem, e (d) outro tipo de mltipla interna de primeira e segunda ordem [Adaptado de YILMAZ, 1987]. 15 Figura 2.6: Ilustrao para outras reflexes mltiplas relacionadas superfcie livre. Umtipoespecialdemltiplaareflexofantasma(oughost)tambm conhecida como efeito fantasma. Pode ser descrita como eventos que se propagam em um sentido ascendente a partir da fonte ou so registrados como ondas descendentes. comum em registros onde fontes e receptores esto ambos em subsuperfcie, causando umefeitodestrutivoaosinalemcertasfreqncias.Nocasodareflexofantasmada fonte, a onda transmitida pela fonte se propaga para todas as direes, inclusive para a superfcie(interfacegua-ar),gerandoumaondadefasada,compolaridadeinvertida que acompanha a onda inicial (figura 2.7). Similarmente, o fantasma do receptor ocorre quandoosreceptoresposicionadosabaixodasuperfciedomarregistram,almdas reflexes primrias, as reflexes geradas na interface gua-ar [ANDRADE, 1993]. Figura 2.7: Mltipla Fantasma - Efeito fantasma da fonte e receptor, respectivamente. Adeterminaodaperiodicidadedasmltiplasqueserotratadasnesta dissertaoesttotalmentevinculadaprofundidadedalminadgua,vistoquese almeja atenuar as mltiplas relacionadas superfcie livre. Se a lmina dgua no for muitoespessa,pode-seobterumregistrocomreflexesmltiplasdecurtooumdio perodo. Entretanto, se a camada de gua for muito espessa, as mltiplas relacionadas a essa camada podem possuir um perodo to longo que as mesmas podem no aparecer 16 no registro (o que seria benfico, pois no haveriam mltiplas a serem removidas). Por outrolado,hapossibilidadedeaparecerapenasumamltipladelongoperodona seossmica,oqueacarretariaemumapossvelfalhadeinterpretao,vistoquea falsa camada poderia ser confundida com o topo de um reservatrio, por exemplo. 2.3. Caractersticas Todosostrabalhospioneirosfocadosnesteassuntoforamdeextrema importncia para o amadurecimento dos conceitos que englobam as reflexes mltiplas. essencialsaberreconheceralgumascaractersticasquepossamidentificaroefeito causadoporessasreflexesnoregistrossmico,caractersticasquetornempossvel diferenci-lasdasreflexesprimrias.SegundoVerschuur(2006),algumas caractersticas devem ser analisadas: Quando certos eventos possuem repeties com intervalos regulares e possuem amplitudesqueaumentemoudiminuamdemaneiraregular,humagrande chancequeesteseventossejamreflexesmltiplas(sendoestauma caracterstica tpica das mltiplas do fundo do mar).Aumentodemergulhos3noregistrodevidosmltiplasdealtaordem, resultandoemconflitosdestesmergulhoscomasreflexesprimrias:seo refletor contm certo mergulho, este ser somado reflexo primria quando a mltiplaforgerada.Assim,emumregistronoqualasreflexesprimriasj possuemcertosmergulhos,asmltiplaspodemserreconhecidaspeloaumento destesmergulhos.Outracaractersticaimportante:quantomaioraordemda mltipla, maior o aumento no mergulho inicial. Alm disso, pode haver grandes interferncias entre mltiplas e primrias quando o dado possui interfaces muito profundas. Algum tipo de anomalia ssmica falsa, como a concentrao de energia devido a pequenosefeitosestruturaisnageraodasreflexesmltiplas:estruturas anticlinais ou sinclinais causaro um efeito no evento da reflexo em termos do 3 ngulo de declividade mxima de uma superfcie em relao ao plano horizontal [DUARTE, 2006]. 17 tempo de trnsito e da amplitude. Esse efeito aumentar de acordo com a maior ordem da mltipla relacionada a este refletor. Aumentodosefeitosdeamplitudeparamltiplasdeordemelevada:as variaeslateraisdeamplitudedosmltiplosrefletoresgeradosso amplificadas com cada ordem da mltipla. Na prtica, os efeitos estruturais e de amplitude, formados na gerao mltipla das camadas, so combinados e geram bandas verticais de alta energia (devido s reflexes primrias) e baixa energia (devidosreflexesmltiplas)aolongodaseossmica(efeitotpicoda presena de mltiplas). Efeitosdeinterfernciademltiplaseprimriasouentremltiplasdiferentes: de alguma forma, todas as caractersticas anteriores podem ser combinadas se as mltiplas do registro ssmico esto interferindo umas s outras. Dessa maneira, nopossvelidentificarcadamltiplaindividualmente,poiselasformam modelos complexos de interferncia. 2.4. Mltiplas: sinal ou rudo? Dandoumenfoquemaiorsreflexes,pode-seobservarumdadossmicode duas maneiras distintas:1. Toda a reflexo do dado sinal; 2.Apenasasreflexesprimriassoconsideradascomosinal;todooresto rudo indesejvel, inclusive as reflexes mltiplas. Dependendo do objetivo, as mltiplas podem representar um sinal bastante til. Essasreflexescontmimportantesinformaes,eseutilizadascorretamente,podem trazerbenefciosparaamigrao,principalmenteemguasprofundas.Nessecaso,as mltiplasgeradaspelalminadguapodemserseparadasdasreflexesprimriase com isso pode-se obter informaes adicionais para o aperfeioamento da imagemem subsuperfcie. Reiteretal.(1991)utilizarammltiplasdeprimeiraordemrelacionadas superfcie para aumentar a qualidade da imagem da migrao de reflexes primrias em dadosregistradosnofundodomar.Asprimriasforamisoladasdasmltiplasatravs da discriminao da moveout. Feita a separao, as reflexes mltiplas foram migradas 18 atravsdamigraoKirchhoff. Comestemtodofoipossvel aumentar a razoSinal-Rudo, alm de ampliar a cobertura da imagem lateral em subsuperfcie.Berkhout & Verschuur (1994) e Sheng (2001) tambm propuseram mtodos que manipulavam as informaes contidas nas mltiplas. Em 2005, Berkhout & Verschuur apresentaram um mtodo bastante interessante, baseado em um processo de correlao, que transformava as mltiplas em primrias.Noprximocaptuloserapresentadaumarevisodosprincipaismtodos utilizados na atenuao das reflexes mltiplas. 19 Captulo 3 Mtodos de Remoo de Reflexes Mltiplas No processamento ssmico, omodelo bsicoassume que odadopossui apenas reflexesprimrias.Casoexistamreflexesmltiplas,seasmesmasnoforem atenuadas,podemsererroneamenteinterpretadascomoprimrias(oucausar interferncias no registro dos eventos primrios).Muitos mtodos foram desenvolvidos para atenuar as mltiplas e sua eficincia esttotalmentevinculadasatisfaodesuaspremissas.Todavia,quasesempre, muitaspremissassovioladasimpossibilitandoaefetivaatuaodomtodode remoo. Este fato constitui uma das grandes motivaes na otimizao dos conceitos e algoritmos destesmtodos, aumentando desta forma, as ferramentas para o tratamento destes rudos indesejveis no dado. Os mtodos que porventura venham a alcanar um altonvelemeficincianaremoo,freqentementedemandamumgrandecustoem processamento e definies mais especficas dos parmetros do meio.Existemmaisdecinqentatcnicaspublicadasnaliteratura[WEGLEIN& DRAGOSET,2005].Nadcadade90,arotadeprocessamentoadotadaprocedia testandoomximopossveldetcnicas,escolhendoaqueprovessemelhores resultados.Istoeraumdesperdciodetempoedepesquisacomputacional,vistoque muitas tcnicas mesmo inadequadas eram testadas para o objetivo em questo. Convencionalmente, as tcnicas de atenuao so classificadas de acordo com o critriopeloqualasmltiplassodistinguidasdasprimrias.Estescritriosso baseadosnanaturezaperidicadasmltiplasenadiferenademoveoutentre primriasemltiplas.Entretanto,naliteraturapossvelencontrardiversas classificaes. Em 1999, Weglein classificou as reflexes mltiplas em duas categorias:(i)Mtodosquebuscamexplorarascaractersticasoupropriedadesque diferenciam as mltiplas das primrias (Mtodos de Filtragem); 20 (ii)Mtodosqueprevemesubtraemasmltiplas(Mtodosdepredio baseados na modelagem ou inverso do campo de onda ssmico). Xiao et al. (2003) dividiu os mtodos de supresso em trs categorias:(i)Deconvoluo Preditiva;Adaptativa; Multicanal. (ii)FiltragemDomnio tau-p; Domnio f-k; Domnio Radon. (iii)Predio e Subtrao do Campo de Onda.No artigo de Xiao et al. (2003), afirmado que a terceira categoria classificada (Predio e Subtrao do Campo de Onda) possui os mtodos mais eficientes, contudo, osmaiscustososelimitadospelagrandedependnciadosparmetrosdeaquisioe processamento.Aescolhadomtodomaisadequadodeveestarrelacionada eficincia, custo e objetivos de processamento, fato que est vinculado com a validao das premissas de cada mtodo.Devidograndefusonaclassificaoecategorizaodosmtodosde atenuaopormuitosautores,nestadissertao,foiescolhidaaclassificaoproposta por Verschuur (2006), sendo esta dividida em duas categorias:(1)Mtodos baseados em uma diferena no comportamento espacial das primrias e das mltiplas (Mtodos de Filtragem); (2)Mtodos baseados em periodicidade e previsibilidade (Deconvoluo Preditiva, Extrapolao do Campo de Ondas e SRME4). Decertaforma,aclassificaodascategoriasdescritaspormuitosgeofsicos segue um parmetro muito particular. Por exemplo, em sua pesquisa, Verschuur (2006) fezumaclassificaobastantesemelhantedeWeglein(1999).Todavia, diferentementedeste,VerschuurconsiderouqueoMtododeDeconvoluoPreditiva eraparteintegrantedacategoriademtodosbaseadosemperiodicidadee 4 Surface-Related Multiple Elimination Method: Mtodo de Eliminao de Reflexes Mltiplas Relacionadas Superfcie. 21 previsibilidade (enquanto Weglein considerava-o como mtodo de filtragem (categoria 1)).Nesta dissertao, para prever e remover as reflexes mltiplas ser utilizado o mtodobaseadonaextrapolaodocampodeondasquefazpartedacategoriade periodicidadeeprevisibilidade. Por essemotivo, estemtodo ser apresentadoemum captuloposterior.Nasseesaseguir,ascategorias(1)e(2)seroapresentadas, detalhadamente, com seus respectivos mtodos de supresso. 3.1.Mtodosbaseadosnadiferenadocomportamentoespacialdas primrias e mltiplas Osmtodosquecompemestaseoexploramofatodequeasmltiplasse propagam ao longo de diferentes trajetos em subsuperfcie, e assim, possuem diferentes velocidadese/oudiferentesestruturasrefletorasdasprimrias.Logo,astcnicasde filtragem (caractersticas desta categoria) so aplicadas com a finalidade de separar, em determinado domnio, as mltiplas das primrias.Estastcnicasdefiltragempodemseraplicadasemumdomniopr-empilhamento(pre-stack)atravsdadiferenademoveoutnodomniodoponto-mdiodooffsetouemumdomniops-empilhamento(post-stack)pela discriminaonadiferenanomergulholocalentreprimriasemltiplas [VERSCHUUR, 2006]. As diferenas entre mltiplas e primrias podem se tornar aparentes apenas em umdomnioparticular.Essaagrandejustificativaparaessesmtodosempregarem muitastransformadas.Osmtodosdefiltragemso,tipicamente,menoscustososdo quemtodosdepredioesubtrao,esobastanteaplicadosquandotmresultados satisfatrios. No so recomendados quando se possui offsets curtos pois a diferena de moveoutmuitopequena,dificultandoaseparaoentreprimriasemltiplasno domnio escolhido. A seguirser dadaumadescriomais detalhadaa respeitodosmtodosdesta seo. 22 3.1.1. Mtodo de Remoo de Mltiplas Baseado na Discriminao de Mergulhos e Moveout Em1962,atcnicaCMP5(CommonMidPoint)foidifundidaporMayne, sendoutilizadanolevantamentossmicoatravsdasomadostraosdevrias amostragens de um mesmo ponto em diferentes offsets em subsuperfcie. Com isso, se houvesseumaumentonavelocidademdiacomaprofundidade,entoasmltiplas poderiamserdistinguidasbaseando-senadiferenadetempoNMO6(Normal Moveout).OexcessodetempoNMOjuntamentecomafamliaCMPproduzum cancelamentoparcialnaenergiadamltipla,enquantoasprimriassosomadasem fase.Contudo,osucessodesseprocessodependedomodelodevelocidade,queneste casodeveserconsideradocomcamadasplano-paralelas,daamplitudedasprimrias emrelaoaosrudos,dograudecoberturaCMP(nmerodecanais),deumaboa anlise de velocidade e do tempo de NMO [PONTES, 1985]. A utilizao do empilhamento para a discriminao entre primrias e mltiplas foi uma das principais razes para o emprego de multi-offsets. Contudo, foi reconhecido que as mltiplas continuam constituindo um gap dentro do empilhamento devido perda de informaesimportantes,comoavariaodoscoeficientesdereflexocomo afastamento,equeserianecessrioaplicarummtododefiltragemadicionalantesde empilhar o dado.Oprincpiodaremoodemltiplasbaseadanadiscriminaodevelocidade empregaumprocessoparatransformarodadoemumnovodomnio,noqualas mltiplaseasprimriaspodemserseparadasemdiferentesregies.Nestedomnio, feita uma anulao de energia na rea que contm as reflexes mltiplas. O restante do dadoquecontmapenasaenergiadasprimriasentotransformadonovamente paraodomniooriginal(geralmente,offset-tempo).Hdoispr-requisitosnecessrios para que o processo seja realizado com sucesso: 5OempilhamentoCMPtrazumaumentoconsidervelnarazoSinal-Rudo.Ummesmoponto amostrado diversas vezes em offsets diferentes e depois feita a correo do NMO. 6Correonecessriaparacompensarocomportamentohiperblicodotempodetrnsitoversus afastamento fonte-receptor [Pontes, 1985]. 23 i.Odomniodetransformaodeveserescolhidodeformaqueasprimriase mltiplas sejam mapeadas em regies diferentes com uma sobreposio mnima entre as regies. ii.Atransformadaprecisaserreversveltalque,apsaseparao,asprimrias possamsertransformadasnovamenteparaodomniooriginal(offset-tempo) sem distores. Alguns mtodos de filtragem (como F-K e Tau-P, por exemplo) utilizados para fins de atenuao de rudos coerentes7 podem gerar distores, suavizaes e artefatos8 no dado [MARCH & BAILEY, 1983]. Verschuur (2006) sugeriu que, caso ao retornar paraodomniooriginal(aplicandoatransformadainversa)ocorresseaformaode algunsartefatosoudistoresnosinal,amelhoroposeriaanularaenergiadas primrias(enodasmltiplas).Aoretornarparaodomniodooffset-tempo(apenas commltiplas)essesartefatosnoiriaminterferirnaenergiainicialdasreflexes primriasquandofosserealizadaasubtraodestedadocomooriginal(primriase mltiplas). Aseguir,serrealizadaumarevisosobreosprincipaismtodosdefiltragem (F-K e Radon Parablica e Hiperblica) na remoo/atenuao das mltiplas. 3.1.1.1.RemoodeReflexesMltiplasUtilizandoumFiltrono Domnio F-K (Filtragem de Mergulhos) AfiltragemF-KfoiintroduzidaporEmbreeetal.em1963comoobjetivode reduzirrudosindesejveisdosdados.Estatcnicatornoupossvelprocessarum registro ssmico de forma que, todos os eventos com mergulhos em um dado intervalo so preservados sem alterao alguma na banda de freqncia, enquanto que, todos os eventosforadesteintervaloespecficoseroatenuadosuniformemente[EMBREEet al., 1963]. 7Rudoquesegueumaleideformaocomoosrudossuperficiaisnoslevantamentosdereflexo ssmica, por exemplo [DUARTE, 2006]. 8 Eventos ou feies falsas que podem aparecer em um levantamento geofsico, como resultado de erro ou condio peculiar durante o processamento ou aquisio dos dados [DUARTE, 2006]. 24 AtransformadabidimensionaldeFourierquepassaosdadosdodomnio tempo-distncia(x,t)paraodomniofreqncia-nmero-de-onda(f,k)chamadade TransformadaF-K,naqualFrefere-sefreqnciaeKaonmero-de-onda.O processo para fazer a transformada F-K do dado p(x, t), segue os passos: 1. Aplica-se a transformada de Fourier no domnio do tempo, obtendo o campo espao por freqncia: P(x, ) = _ p(x, t)c-]2n]tJt. (S.1)- 2. Aplica-se a Transformada de Fourier na coordenada espacial (x), obtendo o campo nmero-de-onda por freqncia: P(kx, ) = _ P(x, )c]2nkxxJx, (S.2)- onde representa a freqncia e kx o nmero-de-onda. ATransformadaF-K(tambmconhecidacomoaTransformadaDuplade Fourier)separaasbandasdefreqncia,auxiliandonadistinoentreprimriase mltiplas.Com um par de transformaes semelhantes, o dado no domnio da freqncia-nmero-de-ondapodesertransformadosnovamenteparaodomniodafreqncia (transformao inversa): P(x, ) =12n_ P(kx, )c-]2nkxxJkx.(S.4)- E assim, pode ser transformado para o domnio do tempo: p(x, t) =12n_ P(x, )c]2n]tJ.(S.S)- 25 AtransformadadeFourierumadastransformadasmaisutilizadasno processamentodesinaisssmicos.AteoriadeFourierexpressaqueumsinalpodeser sintetizadocomoumsomatriodeondassinusoidaisdediversasamplitudes, freqncias e fases. O sinal decomposto em funes exponenciais (senos e cossenos) com diferentes freqncias.AfiltragemdemergulhosnodomnioF-Kpodeauxiliarnadiscriminaodas mltiplasbaseando-senomoveout.Afigura3.1aseguirexemplificaesseprocesso defiltragem.Odadonodomniooffset-tempocorrigido(correoNMO)paraser entotransformadoparaodomnioF-K.Nestedomnio,oseventosprimriose mltiplossobemseparadosbaseando-seemseusmergulhos(ou,equivalentemente, em suas velocidades aparentes), para ento a energia das mltiplas serem anuladas (ou pelomenossuavizadas). Os prximos passos consistememtransformaro dado para o domnio original (Transformada de Fourier Inversa) e remover a correo NMO. Figura3.1:IlustraodoprocessodefiltragemnodomnioF-K.[Fonte: www.petroleumseismology.com] NaaplicaodacorreoNMO,oseventosmltiplossosubcorrigidoseos primriossupercorrigidos.Quandoodadotransformadoparaodomniof-k,os 26 mergulhosmaioresquezero(relacionadossmltiplas)soeliminados[DUARTE, 2006]. Aps esta etapa, aplica-se a Transformada de Fourier Inversa (para retornar para odomniooffset-tempo)eremove-seacorreoNMO.Odadofinalpossuirapenas eventos primrios. AfiltragemF-Kpodeserbastanteeficienteparaaremoodemltiplas, especialmenteemoffsetsremotos.Entretanto,asmltiplasdeoffsetsprximospodem noserremovidas(poisomoveoutdasmesmasmuitopequeno).Almdisso,a aplicaodestatcnicapodecausardistoresnosinal.Estadistorocausada, principalmente,porqueabandadefreqnciadofiltrof-krejeitada(comosrudos indesejveismltiplas,porexemplo)sobrepe-senaregioquepossuiosinalde interesse(nodomniof-k).Umapossvelsoluoparaesteproblemaseriaa implementaodeumfiltroadaptativof-kdevagarosidade,quereduzadistoroe aumenta as caractersticas de atenuao do filtro [DUNCAN & BERESFORD, 1994]. 3.1.1.2. Transformadas Radon AtransformadaRadonumatcnicaamplamenteutilizadanoprocessamento dodadossmicoenaanlisedeimagens.Onomedestatransformadauma homenagemaomatemticotchecoJohannRadon(1887-1956),oqualimplementou, em1917,fundamentosmatemticosparareconstruirimagenstomogrficasdeum objeto atravs das projees do mesmo [DUARTE, 2006]. Trs formas de transformadas Radon so aplicadas no processamento ssmico:Transformada Radon Linear (ou Slant-Stack9 ou -p10(Tau-P)); Transformada Radon Hiperblica; Transformada Radon Parablica. EssasvariaesdaTransformadaRadonmapeiameventoscompadres caractersticos, concentrando-os no domnio Radon, para que seja possvel elimin-los. 9EmpilhamentoOblquo:umconjuntodelimitadodetraosdereflexossmicasucessivamente empilhado,comdiferentesgradientes(inclinaes).Comainversodoprocessopossvelmanipular informaes dentro de uma faixa de gradiente [DUARTE, 2006]. 10SemelhanteaoSlant-stack,realizadoumasriedeempilhamentos,comgradientesquevariamde zeroatumvalormximo.Emcadaempilhamento,ostraossodeslocadosparacimacomumvalor proporcional distncia fonte-receptor [DUARTE, 2006]. 27 OprocedimentosemelhanteaorealizadonodomnioF-K(odadotransformado paraumdomnionoqualoseventosindesejveissoremovidos).Contudo,a organizaodasinformaesnodomnioRadondiferenteeatransformaoinversa (para o domnio original) no uma tarefa simples. Teoricamente, dependendo do caso, aTransformadaRadonpodenopossuirinversa.Oprocessorealizadoparaseobter uma inversa aceitvel atravs de tcnicas que resolvam problemas lineares inversos como tcnicas de Mnimos Quadrados11, fato que aumenta, consideravelmente, o custo computacional. Osucessodaaplicaodessastcnicasestvinculadocomograude separabilidadedoseventosnodomnioRadon,almdatransformaoinversadesses eventos para o domnio original. Utilizando o enfoque com Mnimos Quadrados para a inverso,odadootimizadodetalformaquetorna-sepossvelreconstruirdodado original. Para esta implementao ser eficiente, o processo de inverso realizado para cadacomponentedefreqncia[VERSCHUUR,2006].Nocasodasupressode reflexesmltiplas,suaaplicaolimitadapelahabilidadederesoluodas transformadas(linear,hiperblicaeparablica)paraeventosdistintosbaseando-sena diferena de moveout [FOSTER & MOSHER, 1992].possvelencontrarnaliteraturamuitostrabalhosvoltadosparao aperfeioamentodasTransformadasRadon,anveldecustocomputacionale resoluo.Astransformadasdealtaresoluopodemseraproximadasnodomnioda freqncia, visando uma alternativa menos custosa em termos de transformao inversa [BANCROFT&CAO,2004].Serapresentadonasprximassubseesquea utilizao do domnio da freqncia para calcular as transformadas ser til apenas no caso linear e parablico. 3.1.1.2.1. Transformada Radon Linear (Slant-Stack ou -p) A definio matemtica da Transformada Radon Linear dada por: m(px, ) = _ p(x, t = + pxx)Jx (-S.6) 11Designaodosesquemasparasoluodeproblemasnumricosqueminimizamasomadoserros quadrticos [DUARTE, 2006]. 28 Estaequaodescreveumprocedimentodemapeamentonoqualodadono domnio do espao-tempo somado ao longo de linhas retas com tempo de intercepo etempodemergulhopx(umafunodependentedavarivelx(distncia)tambm conhecidocomoparmetroderaiohorizontal,aqualdefineumalinhadeintegrao). Aescolhadesteparmetroocasiona,freqentemente,adenominaodatransformada linear como -p ( = tempo de intercepo e p = vagarosidade) ou slant-stack.Um aspecto bastante interessante a respeito da Transformada Radon Linear a existnciadeumarelaogeomtricaentreoeventonodomniodo offset-tempoeno domnio Linear. A partir da construo de linhas tangentes no domnio do offset-tempo (retascoloridas),asinformaespodemserregistradaspormeiodessasretas (tangentes) que interceptam o eixo no domnio -p (pontos coloridos). Pela figura 3.2, pode-se observar que a transformada Radon Linear mapeia uma linharetanodomniodooffset-tempoemumpontonodomnio-p.Almdisso,um eventohiperbliconodomniodooffset-tempomapeadocomoumaelipseno domnio Radon Linear [DIEBOLD & STOFFA, 1981]. Figura 3.2: Eventos lineares em um empilhamento CMP e suas respectivas transformadas no domnio -p. Teoricamente, um evento com moveout linear no domnio do offset-tempo pode ser mapeado como um ponto no domnio -p. [Fonte: www.petroleumseismology.com] O domnio tau-p tem sido utilizado em muitos casos para filtrar o dado ssmico e para discriminar intervalos de velocidade. Dependendo da aplicao, em alguns casos 29 no h a necessidade de preservar a amplitude e a fase da onda, podendo ser utilizado o empilhamento oblquo (Slant-Stack) [STOFFA, 1981]. Oparmetroderaio(px)definidocomoainclinaodalinhatangenteao longodeumeventonodomniodooffset-tempooqualsegueumafunotempode trnsito t(x) [VERSCHUUR, 2006]: px=ot(x)ox(S.7) O parmetro de raio mximo no domnio Radon depende da mxima inclinao nodomniodoespao-tempo(figura3.3).Esta,estinversamentevinculadacoma velocidade de propagao: quanto menor for a velocidade, maior ser a inclinao. Figura 3.3: Relao entre um evento do domnio (a) espao-tempo e (b) Radon linear: uma linha tangente construdaparacadaumdoscincopontosnodomnioespaotempo.Asposiesnasquaisasretas tangentesinterceptamoeixox=0caracterizamosvaloresdenodomnioRadonlinear.Ainclinao dessas tangentes define o parmetro de raio horizontal px, no qual a informao mapeada. Pode-seobterumarelaoentreosdomniosF-KeRadonLinearatravsda transformaododadonodomnioRadonLinearpormeiodaTransformadade Fourier, no domnio do tempo de intercepo para freqncia [VERSCHUUR, 2006]: H(px, ) = _ m(px, )c-]2n]:J (S.8)- 30 Arelaoevidenciadaconsiderandoofatoquetantoonmero-de-ondakx quanto o parmetro de raio px esto relacionados ao ngulo do evento plano: kx=cscn[ = px(S.9) Isto significa que o nmero-de-onda uma verso escalar do parmetro de raio (figura 3.4). As informaes no domnio do parmetro de raio-freqncia podem ser obtidas a partir do domnio F-K por meio de um processo de interpolao, o qual mapeia o eixo do nmero-de-onda kx transformando-o no eixo do parmetro de raio px. Figura3.4: Relaoentreasinformaescontidasem(a)domnioF-Ke(b)domniodeRadonLinear modificado pela Transformada de Fourier. As informaes no domnio F-K, que esto ao longo das retas quepassampelaorigem(0,0),podemserlocalizadasnodomnioRadonLinear(modificadopela TransformadadeFourier)nasretasparalelasaoeixodafreqncia(),asquaissoconstrudaspor meio de um processo de interpolao. 3.1.1.2.2. Transformada Radon Parablica Foi introduzida por Hampson em 1986 com o objetivo de melhorar a separao deeventosemdadosCMP,sendoconsideradamuitasvezescomoTransformada Parablica-p.bastanteutilizadaporseparareficientementeoseventosssmicos hiperblicos(figura3.5).Casoatransformadadodadopossasercalculada eficientementenodomnioRadonParablico,oseventossodecompostosem parbolas e podem ser definidos como [VERSCHUUR, 2006]: 31 m(q, ) = _ p(x, t = + qx2)Jx(S.1u-) No qual o parmetro q , freqentemente, referido como o parmetro de curvatura. Todavia,oseventosquepossuemcaractersticaslinearesnodomniooffset-temponoseromapeados(concentradamente)emumadeterminadareanodomnio parablico, resultando na disperso da energia. Figura 3.5: Eventos no domnio espao-tempo e suas respectivas transformadas no domnio parablico -p. Quandooeventopossuiseupontodemximovaloremx=0,otempode intercepo () definido como a posio (em tempo) do pice da parbola no domnio do espao-tempo (figura 3.6).Contudo,quandoumeventohiperblico(mltiplas,difraesealgunsrudos) temseupiceemoutraposio(diferentedex=0)atransformadadeRadon ineficientenaseparaodoseventos,econseqentemente,incapazdeconcentrara energia em uma determinada regio [TRAD, 2003]. 32 Figura3.6:(a)Eventosnodomniodoespao-tempoe(b)mapeamentodesseseventosnodomnio Radon Parablico. A Transformada de Radon Parablica tambm pode ser calculada no domnio da freqncia.Manipularodadonestedomnioumaopofavorvel,principalmente quandosetratadaaplicaodatransformadainversa(paraodomnioespao-tempo), quepodeserinvivelcomputacionalmente(emtermosdetempodeprocessamento). Devidorelaolinearentreotempoteotempodeintercepo(estarelao comprime a energia ssmica em pequenas reas), a transformada de Radon no domnio da freqncia pode ser matematicamente definida por [VERSCHUUR, 2006]: H(q, ) = _ P(x, )c-]2n]qx2Jx.(S.11)- 3.1.1.2.3. Transformada Radon Hiperblica Considerada a transformada que melhor satisfaz os eventos ssmicos antes ou depoisdacorreoNMOaRadonHiperblicadefinidamatematicamentecomo [VERSCHUUR, 2006]: m(:, ) = _ J _x, t =_t2+x2:2_Jx,- (S.12) noqual,agora,otempoverticalrelacionadodeformano-linearcomotempode entrada t; : representa a velocidade.33 Nocasohiperblico,nopossvelmanipularoseventosnodomnioda freqncia,poisnemtodasastrajetriashiperblicasseriamcontempladas.Yilmaz (1988)sugeriuumestiramentodoeixorelativoaotempo(nodomniooriginalisto, espao-tempo)detparat2.Estamudanapossibilitoutransformareventos estritamente hiperblicos em parablicos. AinversodosoperadoresnodomnioRadonhiperblicoocasionaainverso de grandes operadores, que geralmente, so calculados atravs do mtodo do Gradiente Conjugado.Aaplicaodestemtodorequeraespecificaodosoperadores hiperblicosresultandoemumgrandecustocomputacionalparaoclculodesta transformada [LIU & SACCHI, 2002].Aseguirestolistadasalgumasvantagensemsetrabalharnodomniodo espao-tempo [BANCROFT & CAO, 2004]: Os eventos hiperblicos so mapeados como pontos no domnio espao-tempo; Funesracionaiscomplexaseno-lineares,queincluemefeitosde anisotropia, podem ser utilizadas; OcustocomputacionaldoclculodaTransformadaRadonHiperblica no domnio do offset-tempo menor do que no domnio da freqncia. Afigura3.7aseguirilustraomapeamentodoseventosnodomnioradon hiperblico. Figura3.7:ConfiguraodaTransformadaRadonHiperblicamapeandoeventoshiperblicosno domnio do espao-tempo (a) em pontos do domnio Radon (b).34 3.1.1.3. Remoo de Reflexes Mltiplas Utilizando as Transformadas Radon As transformadas parablicas e hiperblicas tm sido amplamente utilizadas no processamentossmicocomoferramentanaatenuaodereflexesmltiplas.Suas aplicaes geram bons resultados na manipulao de eventos hiperblicos. Aolongodeduasdcadas,aTransformadaRadontemsidobastanteutilizada paraatenuarasmltiplasnoprocessamentodosinalssmico.Humgrandeinteresse naqualidadedaresoluo,vistoqueamelhoriadamesmaproporcionamelhor identificaoediscriminaoentrereflexesmltiplaseprimrias.Apesardagrande importncia em eliminar a energia responsvel pelas mltiplas contidas no dado, outro fator extremamente importante a transformao inversa para o domnio original. Uma precisa inverso de domnio garantir a eficincia do mtodo. A tcnica de inverso de domnio mais utilizada nas Transformadas Radon a tcnica dos Mnimos Quadrados. QuandoooffsetumafamliaCMPnodomniodoespao-tempoapresenta-se muitopequeno,oagrupamentodeenergianodomnio-ptorna-semaisindefinido(a imagem mostra-se manchada). Em 1985, foi proposto por Thorson et al. um mtodo no domniodotempo,utilizandoaTransformadaRadonHiperblicaeoMtododos Mnimos Quadrados. Esta sugesto proporcionou alta resoluo, entretanto, um grande custocomputacionalemtroca.Em1986,Hampsonsugeriuummtodomaiseficiente no domnio da freqncia utilizando a Transformada Radon Parablica e o Mtodo dos Mnimos Quadrados.Defato,apsacorreoNMOomoveoutresidualdasprimriasemltiplas possuiumacurvaturaquepodeseraproximadaemumaparbolae,assimoseventos podem ser melhor separados no domnio da freqncia. Ao aplicar a Transformada de RadonParablicafoipossvelestimareremoveraenergiadasreflexesmltiplas. Contudo,foiconstatadoqueainversopelomtododosMnimosQuadradostraz melhores resultados que outros mtodos de inverso, entretanto, o dado pode continuar com artefatos visveis. Isto ocorre devido pequena diferena no moveout dos eventos ssmicos [VERSCHUUR, 2006]. ApesardodesenvolvimentodasTransformadasdeRadondealtaresoluo,a eficinciadestemtodovincula-sedescrioparablicaouhiperblicadoseventos primriosemltiplosemumfamliaCMP(comNMOcorrigida),almdaformana 35 qualas energias dasmltiplas e primriassoconcentradasem determinadas reas no domnio Radon. 3.2. Mtodos Baseados em Periodicidade e Previsibilidade Asreflexesmltiplaspossuemmuitaspropriedadesqueasdistinguemdas primrias. Nesta seo, sero analisados os mtodos que utilizam a periodicidade como propriedade. conhecidoqueasmltiplasserosempreperidicasemzero-offsetsno domniodoespao-tempo,paracamadashorizontaisesemvariaeslateraisde velocidade (isto , um meio 1-D). Alm disso, as mltiplas geradas em lminas dgua pouco profundas (logo,decurtos perodos) so peridicas tornando vivelaaplicao dos mtodos desta seo (Deconvoluo Preditiva, Extrapolao do Campo de Onda e SRME).A aplicao dos mtodos abordados nesta seo consiste em duas etapas:(i)previso das reflexes mltiplas; (ii) subtrao das mltiplas do dado original. Realizandoumaperfeita12previso,asubtraotorna-seumatarefasimples. Contudo, na prtica isto no ocorre e, conseqentemente, para efetuar a segunda etapa (isto,asubtrao)necessriofiltrarodadocomasmltiplasparaajustarsuas posies e amplitudes. 3.2.1. Deconvoluo Preditiva A deconvoluo um dos processos de filtragem mais antigos introduzida por Robinsonem1957eposteriormentereadaptadacomodeconvoluopreditiva13por Peacock & Treitel (1969) e, pode-se dizer, que ainda continua sendo um dos mtodos maisaplicadosnoprocessamentododadossmico.Existemoutrasvariaesdas tcnicasdedeconvoluo(Adaptativa,DeterminsticaeTau-P,porexemplo),que dependem exclusivamente das caractersticas do dado, alm do objetivo em questo. 12 No sentido de obter as reflexes com as amplitudes e as posies corretas. 13Geralmente, aliteraturarefereoprocesso deDeconvoluoPreditivaapenascomoDeconvoluo. A no ser que se especifique, ser aplicada a mesma denominao. 36 Segundo Yilmaz (1987), o sismograma registrado pode ser modelado atravs da convoluo entre a resposta impulsiva da terra e o pulso ssmico.p(t) = w(t) - r(t) +n(t)(S.1S) A equao (3.13) representa o modelo convolucional no domnio do tempo, onde: (*) representa a operao de convoluo14; p(t) = Trao ssmico; w(t) = Assinatura da fonte; r(t) = Funo refletividade; n(t) = Rudos aleatrios. Adeconvoluovistacomoumprocessodefiltrageminversa,noqualse busca eliminar os efeitos indesejveis do dado que possuem natureza convolutiva. Um dos fatores que contribui para a escolha desta tcnica a sua simples implementao: o nicodadoqueprecisaserinformadootrao(assinaturadafonte)quesedeseja deconvolver.O Mtodo de Deconvoluo Preditiva tem como uma de suas metas a previso e atenuao/remoodosefeitosindesejveis.Paraeliminaressesefeitosnecessrio designar um filtro inverso tal que, quando o mesmo for convolvido com a assinatura da fonte,oresultadofinalsejaumimpulso(spike),isto,comoseomesmoretirasseos efeitosdepropagao.Paradesignarestefiltro,necessrioconheceraresposta impulsiva do efeito indesejvel e que o espectro de freqncia dessa resposta noseja limitado at a freqncia de Nyquist15 [DUARTE, 2000]. OfiltroconformadordeWiener-Hopfumdosfiltrosmaisutilizadospara deconvolver o dado, estimando eventos peridicos, podendo ser encontrado facilmente naliteraturaatravsdaRecursodeLevinson16[DUARTE,2006].Estefiltro derivado do sistema matricial de equaes normais de Wiener-Hopf: 14Operaomatemtica:dadasduasfunes o(t) eb(t),a funoresultantedaconvoluodefinida como:c(t) = o(t) - b(t) = ] o()b(t - )J-(cadaamostra(dasfunesaeb)multiplicadae somada). Esta operao combina dois sinais gerando um terceiro sinal modificado (figura 3.8). 15Freqnciamxima,representadanodomniodiscretoporn=12At,ondetoperodode amostragem [DUARTE, 2006].16 Algoritmo desenvolvido por Norbert Levinson (1947) para resolver as equaes normais do sistema de Wiener-Hopf [DUARTE, 2006]. 37 _oo om..om oo__bobm_ = _gogm_,(S.14) que equivalente a expresso: o(t) - b(t) = g(t), t u (S.1S) Nestasexpresses,a(t)representaaautocorrelao17doefeitoindesejvel,g(t) representaacorrelao-cruzada18entreasadadesejada(umimpulso,comoafuno deltadeKronecker)eoefeitoindesejvel.h(t)ofiltroinverso,dadoquesedeseja obter. Umpr-requisitoparaqueofiltroconformadordeWiener-Hopfsejade qualidadequeoefeitoindesejveldeveserdefasemnima19,poisgeramfiltros inversos com energia estvel (finita) [PONTES, 1985]. Para testar a qualidade do filtro, suponha que existe um operador filtro (t) tal que: (t) - p(t) = r(t),(S.16) comp(t)er(t)representandoopulsossmicoeafunorefletividade, respectivamente,ealmdisso,considerandoomodeloconvolucionallivrederudos (n(t)) dado por: p(t) = w(t) - r(t)(S.17) Ao substituir a expresso (3.17) em (3.16), obtm: (t) - (w(t) - r(t)) = r(t)(S.18) A expresso (3.18) pode ser simplificada20 para: o(t) = w(t) - (t),(S.19) onde o(t) representa a funo Delta de Kronecker definida por: 17Caso particular da correlao-cruzada na qual a segunda funo igual primeira [DUARTE,2006]. 18Indicaograudesimilaridadeentreduasfunes.Operaomatemticaentreduasfunes, numericamente equivalente a convoluo, onde se inverte a segunda funo antes de aplicar a operao de convoluo. 19A energia concentra-se no incio do pulso. 20Considerando-se a propriedade associativa e o elemento neutro da convoluo. 38 o(t) = ]1, t = uu, t > u ou t < u(S.2u)O filtro pode ser calculado como: (t) = o(t) - (w(t))-1 (S.21) Devidoidentidademultiplicativa21,aexpresso(3.21)podeserreescrita como: (t) = (w(t))-1(S.22) Istopodeserinterpretadocomoseofiltroinverso (((t))-1)transformassea assinaturadafonteemumimpulso(spike)(emt = u)(YILMAZ,1987).Estauma forma prtica de se testar a qualidade do filtro: quanto mais a assinatura da fonte estiver parecida com um impulso, melhor ser o filtro inverso. Figura 3.8: Representao ilustrativa do resultado da aplicao do processo de convoluo. Duarte(2000)definiuadeconvoluocomoumprocedimentoautomticode branqueamento controlado do espectro de amplitude pormeio de um operador de fase mnima. Deconvolvendo o dado, o sinal comprimido, podendo-se obter a recuperao das altas freqncias, a atenuao de reverberaes e mltiplas de perodos curtos, alm da equalizao das amplitudes. 21Propriedade da convoluo na qual - o = . 39 Aoseaplicaroprocessodedeconvoluopreditivaoscomponentesdopulso (assinaturadafonte,reflexesdasuperfcieerespostadoarranjodereceptores) deveriam ser comprimidos (figura 3.9). Teoricamente, aps a compresso das reflexes primriasearemoodaspossveisreflexesmltiplas,osinalresultantedeveriaser compostoapenaspelarefletividadedaterra.Entretanto,muitasvezesistonoocorre devido violao das premissas descritas a seguir [DUARTE, 1992]: As sries de reflexes primrias devem ser aleatrias; A fonte deve ser de fase mnima e estacionria22; O rudo deve ser aleatrio e de nvel mnimo; O perodo da mltipla deve ser fixo (estacionrio). Figura3.9:IlustraodoprocessodeDeconvoluoPreditiva:realizadaaconvoluoentreorudo indesejvel e um filtro designado, resultando assim, em um sinal mais coerente. 3.2.1.1. A Deconvoluo na Atenuao de Reflexes Mltiplas Oprocessodedeconvoluoconsideradopormuitoscomoumatcnicade filtrageminversa.Poressemotivomuitosautorespreferemclassific-locomoum mtododefiltragemenodeperiodicidade.Ofluxogramadafigura3.10ilustraas etapas deste mtodo. Em 1959, Backus publicou um artigo que se tornou um clssico sobre atenuao dereverberaes.Emseutrabalho,osefeitosdalminadguaeramconsiderados, aproximadamente, como um filtro linear. Para remover esses efeitos, um filtro inverso foidesignadoeconvolvidocomostraosdoregistrossmico.Entretanto,afaltade informaesarespeitodaespessuradalminadguaedocoeficientedereflexodo fundo-do-mar eram empecilhos para a aplicabilidade desta tcnica na poca. 22 No varia atravs da terra. 40 Goupillaud(1961) apresentou uma generalizao no-linearpara oconceito de filtroinversoqueremoveosefeitosdereverberaesdecurtoperodopararegistros marinhos ou terrestres. Peacock&Treitel(1969)publicaramumartigobastanteexplicativocoma teoria bsica da deconvoluo preditiva e discusses sobre caractersticas da aplicao da tcnica para remover mltiplas peridicas do registro ssmico. Omaioralvodadeconvoluopreditivasoasreflexesmltiplasgeradas dentrodalminadgua,conhecidascomoreverberaes,devidoperiodicidade. Contudo, h casos em que a deconvoluo pode ser aplicada em dados no-peridicos. Taneretal.(1995)apresentaramumesquemaqueutilizavaadeconvoluopreditiva multicanalnodomniodoespao-tempopararemoverpeg-legs.Estetrabalhofoide grandeimportnciaparaoconceitodedeconvoluomulticanal,poisfoioprimeiro nesteassunto.Lima&Porsani(2001)tambmutilizaramfiltrosmulticanais23para remover reverberaes da lmina dgua e peg-legs. 23 Filtros que atuam em mais de um canal. 41 Figura 3.10: Esquema do processo de Deconvoluo Preditiva. 3.2.2.MtododeEliminaodeReflexesMltiplasRelacionadas Superfcie (SRME24) O SRME foi introduzido por Anstey e Newmanem 1967,os quais observaram queaautoconvoluodostraosdeumdadocomreflexesprimriasgeravaas reflexesmltiplasrelacionadassuperfcie,comoreverberaesporexemplo.De posse do dado que continha apenas as mltiplas era realizada uma subtrao adaptativa, isto , era aplicado um filtro para escalonar as amplitudes e a fase dos traos para que asmltiplaspudessemsersubtradasdodadoinicial.Existemmuitasvariaesdeste 24 Do ingls Surface-Related Multiple Elimination. 42 mtodo. Em 1979, Kennett apresentou um processo de inverso no domnio freqncia-nmero-de-onda que removia as reflexes mltiplas de um modelo elstico de camadas horizontais, para todos os ngulos de incidncia, no apenas para ondas planas.Em 1989, Pann apresentou uma tcnica na qual eram gerados traos a partir da combinao de pares de traos reais (convoluo), onde estes possuam um ponto final emcomumnodado.Todosospossveisparesdemltiplasqueadicionassem informaesaotraodeinteresseeramanalisadosatravsdoPrincpiodeHuygens, afirmando que a onda que possui o menor tempo de trnsito equivalente ao caminho percorrido pela mltipla. Com os traos das mltiplas gerados em um dado separado foi realizada a subtrao pelo dado real. Verschuuretal.(1992)propuseramummtodoquepodeserconsiderado equivalente aos mtodos baseados na equao da onda, onde a influncia da superfcie refletora removida do dado, sendo necessrio o conhecimento da assinatura da fonte e o coeficiente de reflexo da superfcie.A aplicao desse mtodo e suas variaes em geral, permitem que as mltiplas sejamprevistasatravsdeumprocedimentodeinversododadossmico,sema necessidadedeinformaessobreaestruturaemsubsuperfcie[VERSCHUUR& KABIR,1992].Amediodaassinaturadafontepodecomplementareaumentara eficinciadomtodovistoqueomesmopodeserbastanteefetivonaremoode mltiplas geradas a partir de complexas geologias. Dragoset (1993) apresentou uma equao de inverso generalizada que poderia sergeradaapartirdeduashipteses:(i)ocampodeondaregistradouma superposiodeeventosprimrios(isto,mltiplasdesuperfciedeprimeiraordem, segunda ordem, etc.) e (ii) uma relao recursiva pode ser encontrada de forma que as mltiplasdeordemNpodemserprevistasapartirdocampodeondaprimrioedas mltiplasdeordemN-1.Aobtenodeumaequaodeinversoespecfica totalmente dependente da natureza do campo de onda e de qualquer relao que possa ser encontrada para satisfazer (ii): para o caso 1-D, a inverso realizada por meio da deconvoluoe,paraocaso2-D,utiliza-seaintegraldeKirchhoffouaequaoda onda escalar 2-D. Berkhout & Verschuur (1997) publicaram uma teoria para estimar e remover as mltiplas(relacionadassuperfciealmdemltiplasinternas)comumalgoritmode 43 soluoiterativa,formuladoemtermosdasriedeNeumann.Ateoriatambmfoi formuladapararegistrosArealShot.Osautoresconsideraramaestimativadawavelet um acrscimo muito importante para o desenvolvimento do processo de remoo. Wegleinem1999apresentouumatcnicanaqualsuaprincipalcaracterstica era a habilidade de separar as mltiplas das primrias com moveout arbitrrio (podendo esteserbemreduzido)atravsdeumacondiodeminimizaodeenergiaparaa wavelet. Em2006,VerschuurseguindooconceitodeAnsteyeNewman(1967) apresentouqueaconstruodasreflexesmltiplaspoderiaserobtidaconsiderando estascomoauniodereflexesprimriasconectadasnopontodereflexoda superfcie atravs do somatrio de Kirchhoff (figura 3.11). Desta forma, seria possvel combinarasreflexesprimriasexistentesnodadoparaconstruirreflexesmltiplas como peg-legs, mltiplas da superfcie livre e mltiplas internas, por exemplo. No processo de construo de reflexes mltiplas a partir de eventos primrios, todosostiposdemltiplasrelacionadassuperfciesogeradosautomaticamente. Contudo, para certascircunstnciasno-ideais (offsets perdidos,amostragem grosseira da fonte, reflexes primrias de refletores superficiais no registradas e rudos no dado) asmltiplaspodemnoserdevidamenteestimadase,conseqentemente,no removidas alm de ser possvel a gerao de artefatos [VERSCHUUR, 2006]. Figura3.11:Construodamltipladeprimeiraordemrelacionadasuperfcieatravsdajunode reflexes primrias segundo Verschuur (2006). TodasasvariaesdosmtodosSRMEcomentadasnestaseopossuema capacidadedesolucionarimportantesproblemasdereflexesmltiplasemdados ssmicos marinhos, alm de estimar a assinatura da fonte (independente da natureza da wavelet ou da refletividade da terra). 44 3.2.3. Atenuao de Reflexes Mltiplas Utilizando a Extrapolao do Campo de Onda Estametodologiaserapresentada,detalhadamente,nocaptulo5devidosua aplicao ser o foco principal deste trabalho. 45 Captulo 4 Fundamentos da Extrapolao do Campo de Onda Descendente Semanticamente,apalavraextrapolarsignificairalm,ultrapassar,exceder. Para o caso ssmico, esta palavra possui um significado especial, pois ao se extrapolar o campodeondastorna-sepossvelconhecercomoocamposecomportaemoutros pontos do modelo,a partir de registros em superfcies de observaoconhecidas. Ser apresentadanestecaptuloafundamentaofsicaematemticadaextrapolaodo campo de onda descendente. Este conceito importante para o desenvolvimento terico do mtodo de atenuao de reflexes mltiplas da superfcie livre que ser introduzido no prximo captulo. Oconceitodeextrapolaodocampodeondadesempenhaumpapel fundamentalnastcnicasdeimageamentoeprocessamentossmico.Comoaessncia domtodossmicoestnapropagaoereflexodeenergia,grandepartedo processamento dedicada eliminao dos efeitos de propagao das ondas. Segundo Wapenaar&Berkhout(1989),apropagaodeterminadapelatendnciada subsuperfcie, enquanto a reflexo determinada pelos detalhes da mesma. Portanto, o conhecimentodeummacromodelodasubsuperfciedeveserpesquisadoeavaliado cuidadosamente.Nestecaptuloserevidenciadagrandepartedafundamentaotericaque envolve a extrapolao do campo de onda descendente. Inicialmente, atravs de relatos histricos,serdissertadocomoHuygensintroduziuoconceitodefrentesdeonda. Posteriormente,haverumdesenvolvimentofsico-matemticoquecomprovao mtodo da extrapolao de campos de onda descendentes.46 AssimcomofoiapresentadoemMartins(2008),omtododeextrapolao propostoutilizasoluesintegrais25daequaodaonda.Assoluesintegraisso apresentadascomoasIntegraisdeRayleigh,asquaissoderivadasdaIntegralde Kirchhoff-Helmholtzsendoamesmaumdosprincipaisalicercesparaoraciocnio matemtico desenvolvido aqui. 4.1. Princpio de Huygens Segundorelatoshistricos,ocientistaholandsChristiaanHuygens(1629-1695) era apenas um garoto quando jogou uma pedra dentro de um canal prximo a sua propriedadeeobservouatentamenteaondacircularquesemoviapelasuperfcieda gua.Istocaracterizouoseuinteressepeloestudodageometriacircularnacinciade um modo geral [ROBINSON & CLARK, 2006]. ParaconceituaromovimentodasfrentesdeondasHuygensdesenvolveu algumas teorias geomtricas, como a da figura 4.1. Na curva MPQ dessa figura, PT a reta tangente (no ponto P) e PN a reta normal (perpendicular reta tangente). Nesta figurapodemserobservadosquatrocrculos(A,B,CeD),sendocadaumtangente curva MPQ no ponto P. Cada um desses crculos chamado de crculo tangente e cada umtemseucentronaretanormalPN.Huygensafirmouquedentreessesquatro crculos tangentes, existe apenas um que melhor se encaixa na curva MPQ em P. Este crculodeencaixeperfeito(nestecasoocrculoD)podeserdescritocomoocrculo que beija a curva, e a ele d-se o nome de crculo osculador. A curvatura de MPQ definidacomooinversodoraiodocrculoosculador(ocrculoD).Afirma-seque, quantomaisfechadaforacurvaemP,maiorseracurvatura,casocontrrio,menor ser a curvatura com o limite sendo a linha reta que coincide com a reta tangente PT. Resumidamente,ocrculoosculadorcrculoquetocaacurva(emseulado cncavo)ecujoraioequivaleasuacurvatura.Assimcomoatangenteumaretaque melhor aproxima uma curva em um ponto, o crculo osculador um crculo que melhor aproxima uma curva em um ponto. 25 O mtodo de extrapolao do campo de ondas pode ser baseado em solues diferenciais (srie de Taylor) ou integrais da equao da onda (funo de Green) (MARTINS, 2008). 47 Figura4.1:ConfiguraoparaateoriadacurvaturasegundoHuygens[AdaptadodeROBINSON& CLARK (2006)]. A partir da teoria da curvatura, Huygens desenvolveu a Teoria das Evolutas. A evolutadeumacurvagenricapodeserdefinidacomoacurvaformadapelosseus centrosdecurvatura.Astangentesaumaevolutasonormaiscurvaoriginalea evolutadeumcrculoocentrodocrculo(figura4.2).Essesconceitosforamde extrema importncia para o desenvolvimento da Teoria Ondulatria. Figura 4.2: Caracterizao da teoria das evolutas para um crculo C. Huygenscontribuiusignificativamentefsicatericaquandopostulouquea luz poderia ser tratada como uma onda [ROBINSON & CLARK, 2006]. Observando a 48 ligaodateoriadasevolutaseocrculoosculador,elepdeconcluirqueocrculo osculador de um crculo o prprio, e similarmente, a evoluta de uma linha reta um pontonoinfinito(vistoque,paraumareta,acurvaturanulaeoraiodecurvatura infinito).Huygens esquematizou os processos de frente de onda como na figura 4.3. Este diagramamostraa formao da frente de ondaesfrica (lado esquerdodafigura)e da onda plana (lado direito da figura) durante a propagao. Semprequeumgeofsicofazumamigraopr-empilhamentoem profundidade,eleestutilizandooconceitodoPrincpiodeHuygens,quepodeser resumido como: Dada uma frente de onda em um dado instante de tempo, cada ponto dessa frente de onda emite uma wavelet26 esfrica (figura 4.3). As wavelets esto em fase com a frente deondaoriginalesepropagamparafrentecomamesmavelocidade.Aswavelets interferem construtivamente gerando uma nova frente de onda. Da mesma forma, essa novafrentedeondairgeraroutraeassimpordiante(ROBINSON&CLARK, 2006). Figura4.3:Configuraodapropagaodeumafrentedeondaesfricaeplana,respectivamente. [Adaptado de ROBINSON & CLARK (2006)]. A verso clssica encontrada na literatura [VERSCHUUR, 2006]: 26 Forma de onda caracterizada por um pulso de durao relativamente pequena [DUARTE, 2006]. 49 Todosospontosdeumafrentedeondapodemserconsideradoscomofontes puntiformes de ondas esfricas secundrias. Depois de certo tempo, a nova posio da frente de onda a superfcie que tangencia essas ondas secundrias. Huygens imaginava que este processo era contnuo de acordo com a propagao da onda. A partir deste princpio, Huygens estabeleceu as leis de reflexo e refrao da onda. Entretanto, a deficincia deste princpio est no aspecto da direo em tempo e da quantificao da amplitude das frentes de ondas.Em1818,AugustinJeanFresnel(1788-1827)utilizandoasidiasdeHuygens afirmouqueaamplitudedaondaemqualquerpontodadoequivalesuperposiode todasaswaveletssecundriasnoponto(levandoemconsideraoqueaswavelets possuemamesma freqncia da ondaoriginal). Essas novasidias formaramento, o Princpio de Huygens-Fresnel [ROBINSON & CLARK, 2006]. Entretanto,aquestopendenteerajustificaraposiodafrentedeonda.Este assuntofoiexploradoporGustavKirchhoff,assuntoqueserabordadonaprxima seo deste trabalho. 4.2. Teorema de Representao Acstico Em1882,baseando-senaspesquisasdeHermannHelmholtz(1821-1894), GustavKirchhoff(1824-1887)desenvolveusuateoriasobredifraoescalar,que descreveumatematicamenteoPrincpiodeHuygens-Fresnelaoresolveraequao diferencial da onda escalar.AspesquisasdeKirchhoffforamerroneamentereferenciadascomo aproximaesdaFsicatica.Naverdade,ateoriadeKirchhoffnotemnenhuma relao com a Fsica tica [BUCCI & PELOSI, 1994]: (i) A teoria da difrao descrita por Kirchhoff determina um campo de onda, associado aumafontequeemiteumaondaescalarmonocromtica,emumaregioquepossui como interface de separao uma pequena abertura com uma tela opaca. (ii) A Fsica tica se refere ao campo de onda espalhado por uma superfcie refletora. Essecampoaproximadamentecalculadoatravsdoscoeficientesdereflexodessa superfcie. 50 Portanto, percebe-se que em ambas as teorias o campo de onda final calculado demaneiracompletamentedistinta.maisadequadodizer,queaFsicaticauma extensodaTeoriadaDifraodeKirchhoff.Em1883,Kirchhoffconstruiuum embasamentomatemticooqualcomprovavaqueoPrincpiodeHuygensresultava diretamente da equao da onda.O Teorema da Representao tambm conhecido como a Frmula Integral de Kirchhoff-Helmholtz que ser desenvolvido nesta seo, pode ser descrito como uma formaespecialdoTeoremadeReciprocidadeAcstico,comacaracterizaoda resposta impulsiva de um meio e a sua relao com um campo de onda fsico. A partir da frmulaintegral deKirchhoff-Helmholtz pode-se calcularapresso acstica de um campodeondafsicoemqualquerpontodeummeio(umvolume,porexemplo)em termosdeumaintegraldevolumeeumaintegraldesuperfciefechadaaolongodo mesmo campo de onda fsico [WAPENAAR & BERKHOUT, 1989]. Para se chegar expresso que quantifica o campo de presso acstico dado por Kirchhoff,faz-senecessrioodesenvolvimentodealgunsconceitosprvios,osquais sero abordados nas subsees a seguir. 4.2.1 Teoremas de Reciprocidade Acstica Na sua forma mais elementar, o princpio da reciprocidade acstica afirma que a respostaimpulsivadomeio,aotrocarfonteereceptordeposiocolocando-sea fonte no lugar do receptor e vice-versa ser a mesma. Entretanto, essa reciprocidade fonte-receptorapenasumcasoespecialdareciprocidadegeral.Osteoremasda reciprocidade formulam relaes entre dois estados independentes (isto , dois campos deonda,fonteseparmetrosdomeio)porm,nonecessariamentedentrodeum mesmo domnio. As fontes, parmetros do meio e campos de onda podem ser diferentes em ambos os estados SegundoBOJARSKI(1983,apudWAPENAAR,1996)osTeoremasda Reciprocidade Acstica podem ser classificados nas categorias convolucional (aplicada emproblemasdiretos)ecorrelacional(aplicadaemproblemasinversos).Nesta dissertaoserdadanfaseapenasparaotipoconvolucional,vistoqueaprincipal aplicao deste teorema a extrapolao direta do campo de onda. 51 4.2.1.1. Teorema da Reciprocidade Convolucional Pararepresentarainteraoentredoiscamposdeondaemumdadodomnio (neste caso, um volume D envolto por uma superfcie S, com vetor normal n apontando paraforafigura4.2.1),soconsideradosdoisestadosindependentesAeB.Para cada estado, so definidos dentro do volume D [WAPENAAR & BERKHOUT, 1989]:9o mdulo de compresso adiabtico (KA e KB);9a densidade do volume de massa (A e B);9a presso acstica (pA e pB), a densidade volumtrica da injeo de volume (iA e iB);9a densidade do volume de foras externas ( A e B). Figura 4.2.1: Configurao para os Teoremas de Reciprocidade. De acordo com WAPENAAR & BERKHOUT (1989), ambos os estados A e B satisfazem a equao acstica da onda bidirecional dada por: v. _1pvp] -1Ko2pot2= -_o2iot2-v. _1f]_, (4.1) cujo lado esquerdo da igualdade representa a distribuio da fonte. 52 Aplicando a Transformada de Fourier Temporal27, obtm-se a equao acstica daondabidirecionalnodomniodoespao-freqnciaparaosestadosAeB, respectivamente: v. _1pAvPA] -2KAPA= -_-2IA- v. _1AFA__(4.2 - o) v. _1pBvPB] -2KBPB= -_-2IB-v. _1BFB__(4.2 - b) Considereumafunovetorial,aqualrepresentaumarelaodeinterao entre os dois campos de onda A e B: = PA_1pBvPB] -PB_1pAvPA] (4.S) Considerandoafunodiferencivel,comderivadasparciaiscontnuas,a aplicabilidadedoTeoremadeGauss28novolumeDcomfronteiraSgarantida. Primeiramente calcula-se o divergente de : v. = (vPA). _1pBvPB] +PAv. _1pBvPB] -(vPB). _1pAvPA] - PBv. _1pAvPA] (4.4) Substituindoostermosdasequaes(4.2-a)e(4.2-b)aequaoacima(4.4) transforma-se em: v. = PB_-2IA- v. _1AFA]_ -PA_-2IB-v. _1BFB]_ + +2_1KA-1KB] PAPB+ _1pA-1pB] (vPA)(vPB)(4.S) Aplicando o Teorema de Gauss, obtm-se: _ _PB_-2IA- v. _1AFA]_ - PA_-2IB-v. _1BFB]_ +v 27 u() = ] |u(t)c-]ot]Jt- 28 ] v. v JI = } S. n JS 53 +2_1KA-1KB] PAPB+_1pA-1pB] (vPA)(vPB)_ JI = __PA_1pBvPB] - PB_1pAvPA]_ . nS JS (4.6) Aequao(4.6)foiformuladaporJohnWilliamStruttRayleigh(1842-1919) em1873eficouconhecidacomooTeoremadaReciprocidadedeRayleigh Convolucional,ouapenas,TeoremadaReciprocidadedeRayleigh.Autilizaodo termoConvolucionalestnofatodequeosprodutosdestaequaonodomnioda freqncia correspondem a convolues no domnio do tempo [WAPENAAR, 1996]. SeambososcamposdeondaAeBestiveremsepropagandoemmeiosque possuem as mesmas caractersticas fsicas ento, KA(r) = KB(r) = K(r) e A(r) = B(r) = (r) onde r = (x, y, z). Alm disso, se forem escolhidas fontes do tipo monopolo a amplitude e a fase da presso acstica so simtricas esfericamente dentro de D, nas posies rA e rB os termos representativos das fontes podem ser reescritos como: _-2IA(r, ) -v. [1pA()FA(r, )_ = o(r -rA)So()(4.7 -o)e _-2IB(r, ) -v. [1pE()FB(r, )_ = o(r - rB)So(), (4.7 - b)onde So() representa a assinatura da fonte. Apartirdessasconsideraes,oTeoremadaReciprocidadedeRayleigh Convolucional (4.6) pode ser simplificado de: _ _PB_-2IA- v. _1AFA]_ - PA_-2IB-v. _1BFB]_ +v +2_1KA-1KB] PAPB+_1pA-1pB] (vPA)(vPB)_ JI = __PA_1pBvPB] - PB_1pAvPA]_ . nS JSPara a seguinte expresso: 54 _ _PB_-2IA- v. _1AFA]_ -PA_-2IB- v. _1BFB]_v= __PA_1pBvPB] - PB_1pAvPA]_ . nS JS(4.8) Substituindo as distribuies das fontes pelas fontes do tipo monopolo (4.7-a) e (4.7-b)eaplicandoapropriedadedefiltragem29dafunoDeltadeDirac,aequao (4.8) torna-se: __PA_1pBvPB] - PB_1pAvPA]_ . nS JS = |PB(rA,) -PA(rB,)]So() (4.9) SegundoMARTINS(2008,apudWAPENAAR&BERKHOUT,1989), possvel simplificar ainda mais a equao (4.9) se forem consideradas as trs situaes abaixo: i)SeSumasuperfciergidaparaosestadosAeB,entoavelocidadenormaldas partculas representada por :n(r, ) nula nesta superfcie. Alm disso, a partir da equao do movimento (no domnio da freqncia) dada por: p(r):(r, ) + vP(r, ) = u. (4.1u) Pode-sechegarexpressop(r):(r, ). n + vP(r, ). n = uapenas multiplicandoescalarmenteaequao(4.10)pelovetornormaln.Comoporhiptese :n(r, ) = u, pode-se concluir que vP(r, ). n = u. Portanto, se a superfcieS possuir esta caracterstica de rigidez,vPA(r, ). n =u e vPB(r, ). n = u situao conhecida como Condio de Contorno de Neumann e, conseqentemente, a equao (4.9) reduz-se a: PB(rA,) = PA(rB,) (4.11) (ii)SeSumasuperfcielivreparaosestadosAeB,entoapressoacsticados camposAeBseanulamemS,isto,PA(r, ) = uePB(r, ) = u(Condiode Contorno de Dirichlet). 29 ] o(x -x0)(x) Jx-= (x0) 55 Logo,considerandoasuperfcieScomestacaracterstica,aequao(4.9) transforma-se novamente na igualdade (4.11): PB(rA,) = PA(rB,). (iii) Se D um volume ilimitado para os estados A e B e alm disso: a)S uma esfera de raio infinito (caracterizada como S);b)O meio homogneo fora da esfera; c)Asondassolocalmenteplanasepropagam-separalelamenteaovetornormal (n) superfcie que delimita o volume D, Ento, a Condio de Radiao de Sommerfeld30 o qual afirma que a energia radiada por uma fonte se espalha para o infinito no retornando para o campo, ou seja, as ondas se propagam sem se refletir satisfeita nos dois campos A e B. Inicialmente, tem-se (4.9): __PA_1pBvPB] -PB_1pAvPA]_ . nS JS = |PB(rA,) - PA(rB,)]So(). Para uma esfera, a expresso acima pode ser modificada para: PB(rA,) -PA(rB,) =1So()__PA_1poPBor] -PB_1poPAor]_S JS (4.12) ondePx(r, ) = x(0, )c-kr ,z = A, B(4.1S) A partir de (4.13) a expresso (4.12) pode ser reescrita aproximadamente como: PB(rA,) -PA(rB,) =1So()_A(0, )p_c-kr_oPBor] -PB_c-kr__S JS (4.14) Alterandoascoordenadasdaintegraldaexpresso(4.14)paraaformapolar, obtm-se: 30 lim-r [P(,o)+ikP(r, ) = u e lim-P(r, ) =u, onde k a constante que representa o nmero-de-onda dado por: k =oc=o_K , com c=velocidade de propagao, =freqncia angular, K e p parmetros do meio j definidos anteriormente. 56 PB(rA,) -PA(rB,) =1So()

A(0, )p_r _oPBor+ ikPB] +PB_ c-kscn0J0J 2n n0 0 (4.15) Tendoemvistaqueoraiodaesferatendeainfinito,possvelmanipular matematicamente alguns termos: lim-r _oPBor+ikPB] = lim-B(0, )r _oor_c-ikrr_ +ikc-ikrr_ == lim-B(0, )c-ikr_-ik -1r+ik_ =u(4.16) e limr-PB= lim r-B(0, )c-kr= u, (4.17) Tem-se que a expresso (4.15) torna-se: PB(rA,) -PA(rB,) = u. Portanto,seestasconsideraesforemfeitasparaovolumeD,oresultado obtido ser o mesmo que nos outros casos: PB(rA,) = PA(rB,). Comofoicomentadonoinciodestaseo,esteresultado[PB(rA,) =PA(rB,)umcasoespecialearepresentaomaisconhecidadoTeoremada ReciprocidadedeRayleigh(Convolucional).Pode-seinterpretaresseresultadoda seguinte forma: ApressoacsticaPA,registradanaposiorB,paraumafonte(monopolo comassinaturaSo())emitidaemrA,equivalepressoacsticaPB,registradana posiorA,paraumafonte(monopolocomassinaturaSo())emitidaemrB [WAPENAAR & BERKHOUT, 1989]. Logo, alterar fontes e receptores de posio no sentido de colocar um no lugar do outro no modifica o valor final do campo de presso, sendo este princpio vlido para quaisquer meios heterogneos (figura 4.2.2). 57 Figura 4.2.2: Ilustrao para o princpio da Reciprocidade de Rayleigh. Em 1993, Fokkema e Van Den Berg formularam uma variedade de esquemas de processamentossmico,apartirdoprincpiodareciprocidadeacstica,emsuaobra denominadaSeismicApplicationsofAcousticReciprocity(Elsevier).Algunsdestes esquemasenvolvemaremoodemltiplas,nosquaisumdosestadosacsticoso dadossmicooriginal(dadocommltiplas)e,ooutroestado,odadoquesedeseja obtercomoresultadofinal(dadosemmltiplas).OTeoremadaReciprocidade Acsticarelacionaessesestadosconstruindoumabaseparaaformulaodeum algoritmoquesejacapazdetransformarumestado(dadocommltiplas)emoutro (dado sem mltiplas). 58 Figura4.2.3:Configuraoparaoprocessoderemoodereflexesmltiplasapartirdoteoremade reciprocidadeacsticasegundoFOKKEMA&VanDenBERG(1993):(a)modeloreale(b)modelo desejado. 4.2.1.2. Teorema da Reciprocidade Correlacional Apenasattulodeconhecimentojqueesseteoremanoserutilizadono presente trabalho (por sua aplicao estar relacionada com problemas inversos como a extrapolao inversa do campo de onda acstico, por exemplo) a formulao para a expresso que relaciona os dois estados acsticos citados na seo anterior (estados A e B)paraesteteoremabemsimilaraotipoconvolucional.Emsuadeduo,basta apenas modificar a funo vetorial , que passa a possuir elementos que constituem o complexoconjugadodocampodeonda.Diz-seTeoremadaReciprocidade Correlacionalpoisosprodutosquecompemaexpressodesteteorema,nodomnio da freqncia, representam correlaes no domnio do tempo. Entretanto,cabedeixarbemclaro,queesteteoremadeextremaimportncia paraasrepresentaesdocampodeondanosproblemasgeofsicosinversos principalmentenombitodaremoodemltiplasrelacionadassuperfcie, modelagem, migrao e inverso de dados ssmicos [WAPENAAR, 2007]. 59 4.2.2. Funo de Green Acstica Matematicamente,afunodeGreenutilizadaparasolucionarequaes diferenciaisparciaiseordinriaslinearessujeitasacondiesdefronteira. Genericamente falando, uma funo de Green de um operador linear L qualquer uma das solues abaixo: (I)(x) = o(x -xo),(4.18) onde o a funo Delta de Dirac. De fato, considerando a equao diferencial linear dada por: I(x)u(x) = (x),(4.19) Que pode ser escrita em termos do operador inverso L-1: u(x) = I-1(x)(x),(4.2u) ComoLumoperadordiferencial,razovelesperarqueoseuinverso(L-1) seja um operador integral, com LL-1=L-1L=I (onde I representa o operador identidade). Mais especificamente, o operador linear pode ser definido como: I-1 = _0(x; x)(x)Jx = u(x)(4.21) NoqualG(x;x)afunodeGreenassociadaaooperadorlinearL.Para completaraidiadeoperadorinverso,introduzidaafunoDeltadeDiraccomo operador identidade, satisfazendo: I(x)0(x; x) = o(x -x)(4.22) A soluo da equao (4.19) pode ser diretamente escrita em termos da funo de Green como: 60 u(x) = _0(x; x)(x)Jx(4.2S)- Pois, possvel observar que: Iu(x) = I(x) _0(x; x)(x)Jx= _I(x)0(x; x)(x)Jx- -= _o(x - x)(x)Jx-= (x)(4.24) Almdessascaractersticasmatemticas,estafunopossuidiversas interpretaesfsicas.Nestadissertao,afunodeGreendenotadaporGum componente-chave para o desenvolvimento da Integral deKirchhoff-Helmholtz, eser definidacomoarespostaimpulsivadeummeioparaumafonteaplicadaemcerta posio. De forma mais especfica, considerando um meio qualquer entre dois pontos X e Y, o registro que ser obtido em X para uma fonte impulsiva aplicada em Y a funo de Green (figura 4.2.3). SegundoMORSE&FESHBACH(1953),considerandoumi