7/26/2019 Ficha 8 Superf Oper

1/3

FEUPMIEIC 2013/2014

Ficha 8/1

COMPLEMENTOS de MATEMTICA

Aula Terico-Prtica Ficha 8

SUPERFCIES e OPERADORES

1) Seja a superfcie definida parametricamente pela expresso2 2 2 2( , ) ( ) ( ) 2u v u v u v uv= + + +r i j k ,

2( , )u v . Calcule:

a) O seu vetor fundamental.

b) A equao cartesiana do plano tangente superfcie no ponto (0,2,2)R = .

2) Seja a superfcie definida parametricamente pela expresso ( , ) (cos sin ,sin cos , )u v u v u v u=r ,

2( , )u v . Calcule:

a) O seu vetor fundamental.

b) A equao cartesiana do plano que passa em (1,2,1)Q = e paralelo ao plano tangente

superfcie no ponto (0,0, )R = .

3) Considere a superfcie de equao cartesiana2 2

z x y= + , [0,4]z .

a) Esboce a superfcie. b) Calcule a sua rea.

4) Seja a superfcie definida parametricamente pela expresso ( , ) ( cos , sin , )u v u v u v u=r , tal que

[0,1]u e [0, 2 ]v .

a) Esboce a superfcie. b) Calcule a sua rea.

5) Confirme o resultado obtido no exerccio 4b), considerando uma parametrizao da superfcie em

coordenadas cartesianas.

6) Seja a superfcie de equao cartesiana2 22 2 2 0x y z = , 0z .

a) Esboce a superfcie. b) Calcule a sua rea.

7/26/2019 Ficha 8 Superf Oper

2/3

FEUPMIEIC 2013/2014

Ficha 8/2

7) Obtenha a rea da superfcie definida por { }3 2 2( , , ) : 5 ( ) 4S x y z z x y z= = + .

8) Calcule F (divergncia) e F (rotacional), sendo Fa funo de campo vetorial:

a) ( , , )x y z x y z= + +F i j k . b) ( , , ) ( , , )x y z xyz xz z=F .

c)2

( ) (re )= + +F r i j k . d) 2( ) r=F r r .

9) Mostre que se uma funo de campo escalar e Fuma funo de campo vetorial, ento:

a) ( ) ( ) ( ) = + F F F . b) ( ) ( ) ( ) = + F F F .

10) Determine a rea da superfcie de equao cartesiana 3/2 3/23z x y= + , tal que 0 1x e 0 y x .

11) Seja a superfcie dada por2 2

y x z= + , tal que 0x , 0z e 1x z+ .

a) Esboce a superfcie. b) Calcule a sua rea.

Solues:

1) a) 2 2 2 2( , ) 4( , , 2 )u v u v u v uv= N . b) 0y z = .

2) a) 2 2( , ) (sin sin ,cos cos ,sin cos )u v u v u v u v= N .

b) 3y z+ = .

3) a) - - - - b) (17 17 1)6

.

4) a) - - - - b) 2 .

5) - - - -

6) a) - - - - b) (17 17 1)24

.

7/26/2019 Ficha 8 Superf Oper

3/3

FEUPMIEIC 2013/2014

Ficha 8/3

7) (5 5 1)6

.

8) a) 3 =F e (0,0,0) =F .

b) 1 yz = +F e ( , , )x xy z xz = F .

c)2 2 2

2 ( )x y z

e x y z+ +

= + +F e2 2 2

2 ( , , )x y z

e y z z x x y+ +

= F .

d)2 2 2 2

1 1

x y z r = =

+ +

F e (0,0,0) =F .

9) - - - - 10)1

(32 36 6 50 5)15

+ .

11) a) - - - - b)2

2.