Ficha Catalográfica Produção Didático-Pedagógica · O homem primitivo, da idade da pedra, era...

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Ficha Catalográfica Produção Didático-PedagógicaProfessor PDE/2010

Título O Ensino da Geometria com ênfase na História e na Pesquisa de Campo

Autor Nilva Fátima Sotoriva Witeck

Escola de Atuação Colégio Estadual Dr. Arnaldo Busato

Município da escola Cruzeiro do Iguaçu

Núcleo Regional de Educação Dois Vizinhos

Orientador Amarildo de Vicente

Instituição de Ensino Superior UNIOESTE – Campus de Cascavel

Área do Conhecimento Matemática

Produção Didático-Pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

Público Alvo Alunos da sétima série do ensino fundamental

Localização Colégio Estadual Dr. Arnaldo Busato - Ensino Fundamental e MédioAv. 26 de Abril, 1483

Apresentação: Neste trabalho será desenvolvido um pouco da História da Geometria vinculada a Modelagem Matemática, onde os alunos da sétima série do Colégio Estadual Doutor Arnaldo Busato farão uma pesquisa para levantar dados e fazer um comparativo com o intuito de verificar a viabilidade da permanência do jovem no campo, constatando os ganhos e gastos de diferentes atividades agrícolas, bem como as benfeitorias de diferentes propriedades.

Palavras-chave Geometria, História, Modelagem Matemática, Permanência no Campo

APRESENTAÇÃO

Esta Unidade Didática que será utilizada durante o processo de implementação

do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, tem como tema: Tendências em

Educação Matemática e se destina a alunos da sétima e oitava séries do Ensino

Fundamental do Colégio Estadual Doutor Arnaldo Busato - Ensino Fundamental e Médio.

Na trajetória profissional, como docente da disciplina de matemática no Ensino

Fundamental, em estabelecimentos cujos estudantes, na sua maioria, são oriundos de

comunidades rurais, é comum observar que estes não conseguem estabelecer relações

do que aprendem com a realidade vivenciada no campo. Outro fator a ser destacado é

que a maioria dos jovens já têm objetivos de sair das comunidades rurais, ir para a cidade

e, nela, encontrar meios de subsistência quando iniciam os estudos na fase final do

Ensino Fundamental.

Frente a esta constatação e na tentativa de minimizar as dificuldades verificadas

quanto ao ensino e a aprendizagem da geometria, este projeto justifica-se pela

importância de aproximar o educando do campo ao conteúdo matemático e propor

maneiras de apresentá-lo de forma significativa, proporcionando subsídios com a

Modelagem Matemática, para que o estudante consiga perceber a importância desse

conteúdo na sua prática social.

No Estado do Paraná, o ensino é permeado pelas Diretrizes Curriculares da

Educação Básica, a qual dispõe os conteúdos de matemática em cinco eixos, a saber:

Números e Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da

Informação. Esses conteúdos são apresentados em Conteúdos Estruturantes, Conteúdos

Básicos e Conteúdos Específicos.

No Ensino Fundamental, o Conteúdo Específico Geometrias tem o “[...] espaço

como referência, de modo que o aluno consiga analisá-lo e perceber seus objetos para

então representá-lo”. (PARANÁ, 2008. p.56)

Para proporcionar a construção do conhecimento matemático com enfoque em

Geometria, utilizando Modelagem Matemática, a fim de permitir que ocorra a percepção

da viabilidade do jovem permanecer no campo, sugerimos os seguintes objetivos

específicos:

-Conhecer, analisar e discutir o desenvolvimento e a importância da geometria ao

longo da História;

-Utilizar sólidos geométricos para verificar sua formação por vários polígonos;

-Oportunizar, através de visitas e entrevistas com proprietários rurais, a obtenção

de dados e, a partir deles, calcular custos e ganhos, verificando a viabilidade de produção

no campo.

-Proporcionar, através de pesquisa, estudo do conteúdo matemático de

polígonos, seus elementos e suas características, relacionando-os com os dados obtidos

das referências consultadas e sua prática diária;

-Elaborar e propor atividades de ensino, priorizando a argumentação, permitindo

que os alunos demonstrem a generalização de área e de perímetro.

-Representar através de tabela a relação existente entre área e perímetro de um

retângulo, identificando-os nas construções de aviários, hortas e demais benfeitorias nos

terrenos rurais;

-Desenvolver atividades que possibilitem estabelecer relações entre a vida urbana

e a rural, destacando o consumo geral, o gasto fixo e as necessidades básicas de

sobrevivência do ser humano.

PROCEDIMENTOS

Primeiramente haverá um contato com a comunidade escolar: realizar uma

conversa/motivação com os alunos, pais de alunos e demais pessoas da comunidade

escolar, para que conheçam e se integrem ao projeto.

Atividade 1

Tema: História da Geometria

Tempo Previsto: 4 aulas

Conteúdos de Estudo: História da geometria

Objetivos

- Promover o entendimento de que o conhecimento matemático é construído

historicamente partindo de situações concretas e necessidades reais do homem;

- Oportunizar o ensino e a aprendizagem significativos associados à matemática

escolar;

Materiais: O seguinte texto será disponibilizado no compartilhamento público, onde todos

os alunos poderão acessar.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

O homem primitivo, da idade da pedra, era caçador nômade em permanente

agitação com vastas pastagens e savanas, vivendo da caça e de plantas silvestres, com

limitado conhecimento científico e intelectual. Construía suas ferramentas, porém ao

migrar levava o que conseguia, deixando para trás, geralmente, as mais pesadas.

Encontra-se na literatura, que mais tarde, aproximadamente 3.000 anos a.C.

surgem comunidades agrícolas, principalmente às margens dos rios, e com elas, criam-se

culturas nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver.

Considera-se como matemática mais antiga a resultante dos primeiros esforços

do homem para sistematizar os conceitos de grandezas através da contagem pelos

números, fazendo uma correspondência com objetos concretos. Os antepassados

iniciaram quantidades identificando um e dois. Para maiores quantidades eram

consideradas “muitos”. Depois usaram os dedos, facilitando a contagem até 20. Mais

tarde organizaram os sistemas de contagem. Sabe-se que vários povos tiveram o seu

sistema de contagem, e que este sistema permaneceu em uso durante muito tempo.

Há quem defenda que a Matemática surgiu nos ritos cerimoniais, nos quais era

necessário chamar os participantes obedecendo a uma ordem. Porém, esta tese não foi

comprovada, pois não há documentos que a referendem.

O sistema de numeração hindu-arábico que utilizamos, tem esse nome devido

aos Indus terem inventado inicialmente e os árabes terem aprimorado e difundido na

Europa Ocidental, por volta de 250 anos a.C. O valor posicional e o zero foram incluídos

bem mais tarde.

Essa nova civilização que surge no período de 3.000 a.C. a 525 a.C. era baseada

na economia agrícola e se desenvolveram nos vales do rio Nilo na África, Tigre e Eufrates

na Ásia Ocidental, o Indo e depois o Ganges no sul da Ásia Central e o Howang Ho e

depois o Gangtze na Ásia Oriental. Criaram escritas, trabalharam os primeiros metais,

construíram pequenas cidades, desenvolveram a matemática básica da agrimensura, da

engenharia e do comércio. Na matemática oriental antiga, não são encontradas

demonstrações, mas sim exemplos de soluções de problemas que poderiam ser

resolvidos com exemplos semelhantes.

Diferentes sociedades utilizavam diferentes materiais para registrar suas escritas:

“os babilônios usavam tabulas de argila cozida e os egípcios usavam pedra e papiros,

tendo esses últimos felizmente existência duradoura em virtude do pouco comum clima

seco da região. Mas os primitivos chineses e indianos usavam material muito perecível,

como casca de árvores e bambu”.(EVES, 2004, p.58)

Os arqueólogos vêm trabalhando na Mesopotâmia desde o século XIX tendo já

desenterrado mais de meio milhão de tabulas de argila. Estas são de tamanho variável,

sendo algumas escritas só numa face e outras em ambas as faces.

De aproximadamente 500.000 tabulas quase 400 foram identificadas como

estritamente matemática, contendo problemas matemáticos de interesse diário de longo

período da babilônia.

O trabalho de decifrar os textos cuneiformes requer muita dedicação e

interpretação dos arqueólogos, mesmo sendo de possível modificação dos

conhecimentos já descobertos.

Os babilônios parecem, a princípio, não ter tido um modo claro de indicar uma

posição “vazia”, não tinham o símbolo zero, embora às vezes deixassem um espaço vazio

para indicá-lo.

Mesmo nas tabulas mais antigas verifica-se domínio de cálculo aritmético, num

sistema sexagesimal, utilizado principalmente nas transações de produtos agrícolas. Os

cálculos eram feitos inclusive com multiplicação, inversos multiplicativos (divisão),

quadrados, cubos e até exponenciais utilizadas para juros compostos.

A geometria babilônia está relacionada à prática de situações reais do dia a dia:

[...] de numerosos exemplos concretos infere-se que os babilônios no período 2.000 a.C. a 1.600 a. C. deviam estar familiarizados com as regras gerais da área do retângulo, da área do triângulo retângulo e do triângulo isósceles (e talvez da área de um triângulo genérico), da área de um trapézio retângulo do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, do volume de um trapezoidal. (EVES, 2004, p. 60)

Em alguns casos, a geometria babilônica apresenta caráter algébrico, como por

exemplo, equação do 2º grau. Dividiram a circunferência em 360 partes iguais, hoje

chamadas graus (360º), procedentes de um dia que era formado de 12 milhas-tempo. A

milha-tempo babilônica era dividida em 30 partes iguais. Tomando-se, 12 milhas de 30

partes, chega-se a 12 x 30 = 360 partes. Por um longo período na Mesopotâmia adotou-

se a base 60 como fundamental. Isto pode ter sido pela grandeza 60 ter vários divisores,

ficando mais fácil de utilizar o número para repartir.

Contrariamente a opinião popular, a matemática no Egito antigo nunca alcançou o

nível obtido pela matemática babilônica. A Babilônia possuía um desenvolvimento mais

avançado. Uma das causas desse desenvolvimento era a localização a qual se situava na

rota de grandes caravelas ao passo que o Egito manteve-se em semi-isolamento.

Os egípcios se destacaram pelas suas importantes pirâmides. A maior, a de Gizé,

construída por volta de 2.600 anos a.C., com certeza envolvia cálculos matemáticos e de

engenharia. Esta pirâmide cobre uma área de 526 acres (aproximadamente

2.128.646,477 m2) com 481 pés de altura (146,609 metros, conforme

http://conversordemedidas.vilabol.uol.com.br/) com blocos de pedras com 2,5 toneladas

de peso em média. Há contradições entre os matemáticos, porém estima-se que foi

necessário um exército de aproximadamente 100.000 homens durante 30 anos para a

sua construção.

Essas imensas estruturas foram construídas como túmulos, pois os egípcios

acreditavam que uma vida após a morte dependia da conservação do corpo morto. Os

corpos eram embalsamados e objetos pessoais de valor eram colocados juntos para uso

após a morte.

A grande pirâmide, uma das sete maravilhas do Mundo Antigo, foi construída para

abrigar o corpo do faraó Khufu (Quéops), as outras duas menores foram construídas

como túmulos de Khafre (Quéfren) e Menkaure (Miquerinos), os sucessores de Khufu.

Figura 1: Pirâmides de Gizé – EgitoFonte: http://commons.wikimedia.org/

As inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números: “Um museu

em Oxford possui um cetro real de mais de 5 000 anos sobre o qual aparece um registro

de 120 000 prisioneiros e 1 422 000 cabras capturadas”. (BOYER, 1906, p.8). Verificamos

que nesta época os egípcios utilizavam base 10 e repetindo os símbolos, podiam escrever

números maiores.

Os egípcios também se interessavam pela astronomia, e observando as

inundações do rio Nilo e os movimentos das constelações, conseguiram verificar que um

ano era formado por 365 dias e ¼ de dia, aumentando um dia a cada quatro anos,

formando um calendário que estava de acordo com as estações do ano (2.773 a.C.).

Observando os problemas nos papiros que mostra que a área de um triângulo

isósceles era encontrada tomando a metade do lado que chamamos de base

multiplicando pela medida da altura. Também diz que um desses triângulos pode ser

deslocado transformando num retângulo. Observando-se outros exemplos pode-se

suspeitar que já tenham conhecimento de cálculos tipo o Teorema de Pitágoras.

Poderiam ter desenvolvido uma matemática mais progressiva, mas “O amor aos

deuses benevolentes, o respeito à tradição, a preocupação com a morte e as

necessidades dos mortos, tudo isso encorajou um alto grau de estagnação.” (BOYER,

1906, p.16).

Um dos importantes papiros gregos, o de Moscou ou Golenischev, escrito

aproximadamente em 1850 a.C. contém 25 problemas. Foi adquirido pelo colecionador

russo Golenischev e se encontra no Museu de Belas Artes em Moscou. Outro papiro

importante é o Rhind, onde foram encontrados 85 problemas de matemática, no qual se

observa que: “repetidamente a área de um círculo é tomada igual à de um quadrado de

lado igual a 8/9 do diâmetro. A que valor de leva isso?” ( EVES, p. 84)

Figura 2: Papiro RhindFonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Egyptian_A%27h-mos

%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png

Outros povos também desenvolveram a matemática, como por exemplo, os

maias: “a grande contribuição dos matemáticos maias foi a criação do número zero, um

conceito abstrato que permaneceu ausente durante séculos em outras culturas.”

http://www.discoverybrasil.com/guia_maia/ciencia_maia/index.shtml

Os maias utilizavam a base vinte. Supõe-se que usavam os dedos das mãos e

pés. Desenvolveram calendários considerados precisos para a época e destacaram-se

também pela arquitetura, dentre a qual podemos destacar a de Chichén Itzá.

Foto 1: Templo de Chichén Itzá Fonte: Arquivo pessoal

Avaliação

Após leitura e debate do texto, os alunos deverão responder as seguintes

questões:

1- Como vivia o homem na idade da pedra?

2- Quais as descobertas com o desenvolvimento da economia agrícola?

3- Em que época supõe-se que os babilônios desenvolveram o conhecimento e a

utilização de área?

4- Como os babilônios e os egípcios registravam suas escritas, que graças a elas

podemos ter conhecimento de muitas de suas descobertas?

5- Quais as três principais pirâmides egípcias, e por que foram construídas?

Os educandos também serão avaliados pela participação das discussões em

classe.

Atividade 2

Tema: Pesquisa de Campo

Tempo Previsto: 12 aulas

Conteúdos de Estudo

- Operações com números inteiros e decimais;

- Razão e proporção;

- Sistema monetário;

Objetivos

- Oportunizar através de visitas e entrevistas com proprietários rurais, a obtenção

de dados e, a partir deles, calcular custos e ganhos, verificando a viabilidade de produção

no campo.

- Desenvolver atividades que possibilitem estabelecer relações entre a vida

urbana e a rural, destacando o consumo geral, o gasto fixo e as necessidades básicas de

sobrevivência do ser humano.

- Utilizar a modelagem matemática como método de ensino contribuindo para a

formação social e cultural e desenvolver a capacidade de convivência no exercício da

cidadania.

Materiais

- Transporte para visitação;

- Material para anotações (prancheta, caneta e formulário).

Procedimentos

Para por em prática o método na modelagem matemática a autora

(BEMBENGUT, 2005) sugere cinco passos que serão seguidos nessa fase de aplicação:

diagnóstico, escolha do tema, desenvolvimento do conteúdo programático, orientação da

modelagem e avaliação do processo.

1- Diagnóstico

A escolha do tema se deve observando a realidade do aluno, o meio em que vive

e a disponibilidade de vir em contra-turno, já que as atividades de pesquisa serão

realizadas no turno da manhã.

2- Escolha do tema ou modelo matemático

A professora dispõe de quatro temas para a visitação, a saber:

- Agricultor com criação de gado leiteiro

- Propriedade rural com lavoura;

- Propriedade rural com aviário;

- Família assalariada no perímetro urbano.

Os grupos deverão escolher o que melhor se adapte à realidade e motivação dos

mesmos. Todos os grupos deverão pesquisar os ganhos e gastos produzidos, bem como

as dimensões do terreno e das benfeitorias, conforme a propriedade.

3- Desenvolvimento do conteúdo programático

- Com posse de um questionário (em anexo), fazer um estudo de forma direta

através da pesquisa de campo;

- Levantar várias hipóteses como: quantidades de animais, disposição do terreno,

quantidade de gastos e outras questões que serão levantadas conforme a participação e

curiosidade do aluno pesquisador. Verificar nesse momento os aspectos mais relevantes

que incidirão no resultado da pesquisa;

- Interpretar os dados, analisando as implicações na solução do problema: existe

a viabilidade da permanência no campo utilizando-se essa produção?

4- Orientação da modelagem

A professora estará presente orientando e acompanhando os alunos no

desenvolvimento do trabalho de modelagem, em cada grupo, desde a escolha e interação

do tema, como no desenvolvimento da pesquisa e interpretação dos dados obtidos.

5- Avaliação do processo

A avaliação deverá verificar se os objetivos foram alcançados, tanto pelo

educando quanto pelo professor. Nessa fase o aluno deverá comparar os dados e fazer

as conclusões. Verificar se os ganhos cobrem os gastos e suprem as necessidades

básicas da família. É importante que sejam estabelecidos em conjunto no início do

trabalho os critérios de avaliação.

É necessário que o educando tenha noções de quais sejam as necessidades

vitais básicas do ser humano, como é possível perceber no texto da Constituição

Brasileira, quando em seu capítulo II, artigo IV ao referir-se ao salário mínimo, cita que

deve ser:

[...] nacionalmente unificado, capaz de atender às suas necessidades vitais básicas e às de sua família, como moradia, alimentação, educação, saúde, lazer, vestuário, higiene, transporte e previdência social, reajustado periodicamente, de modo a preservar o poder aquisitivo, vedada sua vinculação para qualquer fim. (BRASIL, 1988, p. 11)

Avaliação

Na avaliação será observada a participação, interesse, cumprimento das tarefas,

pontualidade, apresentação dos trabalhos e relatório.

Atividade 3

Tema: Atividades diversas envolvendo polígonos e gráficos

Tempo previsto: 16 aulas

Conteúdos de Estudo

- Tipos de triângulos;

- Polígonos: Elementos e características, área e perímetro;

- Tabelas e representação gráfica.

Objetivos

- Utilizar razão e proporção para mapear (através de esboço da planta) as

propriedades visitadas;

- Identificar e classificar os triângulos, quanto aos lados e quanto aos ângulos;

- Elaborar e propor atividades de ensino, priorizando a argumentação, permitindo

que os alunos demonstrem e generalizem fórmulas de área e de perímetro dos triângulos

e quadriláteros;

- Relacionar em forma de tabela o comprimento e a largura de retângulos (aviário)

com o mesmo perímetro, observando a variação da área.

Materiais

- Multimídia, calculadora, livros didáticos, caderno, canetas, cartolinas, pincéis

atômicos, régua e lápis.

Procedimentos

- Fazer um mapeamento da propriedade, utilizando razão e proporção, calculando

a área do terreno, da casa e das demais benfeitorias;

- Através de sites e livros didáticos pesquisar a classificação dos triângulos

quanto aos lados e quanto aos ângulos.

- Desenhar e recortar, em papel reciclável, diferentes triângulos e depois,

dispostos em semicírculo, classificar quanto aos seus lados e quanto aos seus ângulos.

- Visando explorar a linguagem algébrica para expressar perímetros e áreas de

figuras planas, os alunos vão trabalhar com recortes e dobraduras.

Retângulo

Indagar os alunos com a pergunta: O que é um retângulo? Onde vocês

reconhecem retângulos?

- Deixar os alunos expor suas ideias. Desenhar um retângulo qualquer no quadro

e através de questionamentos levá-los a concluir que o retângulo é um quadrilátero que

tem:

- os ângulos congruentes, pois todos são retos (medem 90º);

- os lados paralelos são iguais;

- dois lados não paralelos são perpendiculares entre si.

- Desenhe um retângulo de 3 por 6:

Figura 3: Retângulo Fonte: Arquivo pessoal

- Quadricule esse retângulo:

Figura 4: Retângulo quadriculado IFonte: Arquivo pessoal

- Levar o aluno a observar que, em vez de contar quantas unidades

(quadradinhos) o retângulo tem, basta que, multipliquemos a medida do comprimento pela

medida da largura: 6 x 3 = 18.

Se você usou cm como unidade de medida, então terá: 6 cm x 3 cm = 18 cm2.

Desenhe outro exemplo de retângulo e calcule a sua área. Verifique que para

calcular a superfície ou área de um retângulo, sempre multiplicamos o comprimento (c)

pela largura (l). Temos, então: A= c x l.

De modo geral indicamos a altura por h. “Por que a letra h indica altura? A letra h

é a inicial da palavra height, que em inglês significa altura”. (BIGODE, p.77, 2002).

Portanto, se indicamos o comprimento por b (base) e a largura por h (altura), temos: A= b

x h.

Suponha agora, que um retângulo tenha 5,5 cm de base e 4 cm de altura.

- Quantos quadradinhos de 1cm por 1cm cabem neste retângulo?

Desenhe e verifique. Depois, aplique a fórmula da área do retângulo e conclua.

Figura 5: Retângulo quadriculado IIFonte: Arquivo pessoal

Considerando que o perímetro de uma figura é a soma de seus lados, no

retângulo anterior, temos: a + b + c + d. Como a e c são bases, chamaremos de 2b e b e

c são alturas, chamaremos de 2h. Assim, o perímetro de um retângulo de base b e altura

h, tem:

P = b + h + b + h ou P = 2b + 2h.

Calcule o perímetro do retângulo anterior em que a base é 5,5 cm e altura 4 cm.

P = 2 x 5,5 + 2 x 4 (Lembrar que a multiplicação deve ser resolvida antes da

adição)

P = 11 + 8 = 19

Fazer outros exemplos com os alunos. Observar os ângulos, traçar as diagonais e

discutir sobre o ponto de intersecção das mesmas.

Triângulo

De posse de uma folha de papel tamanho ofício, ou outra qualquer (pode ser

reciclada), medir a folha e calcular a área formada por ela. Dobrar a folha por uma das

diagonais.

Figura 6: Diagonal da folhaFonte: Arquivo pessoal

- Que figuras têm agora? Lembrar que na área do retângulo multiplicamos a base

pela altura. Recortar o retângulo na diagonal e sobrepor os dois triângulos, verificando

que são semelhantes e, portanto, a área do triângulo é a metade da área do retângulo.

- Como representamos a metade de uma quantidade?

- Espera-se que o aluno responda: dividindo por 2.

Se a área do retângulo é definida por b x h, como poderíamos generalizar a área

do triângulo?

- Concluir com os alunos que a área do triângulo é definida por A = b x h/2. Fazer

vários exemplos com diferentes triângulos. Verificar que nem sempre o lado do triângulo

corresponde a sua altura.

Figura 7: Base e altura do triângulo Fonte: Arquivo pessoal

Para calcular o perímetro do triângulo, somamos os três lados. Como já foi

estudado sobre os lados e ângulos, pedir que o aluno trace as diagonais, questionando

para que ele perceba que não tem.

Quadrado

Com um pedaço de papel retangular (folha ofício), formar um quadrado; observe:

Figura 8: Como formar um quadradoFonte: Arquivo pessoal

Verificar que o quadrado é um caso especial de retângulo, de forma que sua área

pode ser encontrada fazendo A = b x h. Como a base é igual a altura, é chamada de lado

do quadrado. Portanto, a área do quadrado é dada por: A= l x l ou A = l 2 .

Medir o lado do papel que eles têm em mãos e calcular a área. Fazer outros

exemplos com lados sugeridos pelos alunos.

Para calcular o perímetro de um quadrado fazemos P= l + l + l + l ou P= 4 l.

Questionar sobre os ângulos e as diagonais.

Paralelogramos

A partir do retângulo vamos decompor e recompor a fórmula para facilitar o

cálculo da área do paralelogramo. Lembrando que a área do retângulo é definida por

A= b x h, temos:

A=b x h Recorte uma parte Coloque-a na conforme a figura outra base

Figura 9: Como formar um ParalelogramaFonte: Arquivo pessoal

Como os comprimentos das bases não se alteraram, temos a mesma área.

Portanto podemos obtê-la multiplicando a medida da base pela medida da altura, que

corresponde à altura do retângulo, ou seja, A= b x h.

Observar que no paralelogramo, a altura, que é um segmento de reta

perpendicular à base, não corresponde ao lado do polígono.

A = b x h

Figura 10: ParalelogramaFonte: Arquivo pessoal

Represente os ângulos, trace as diagonais e verifique se são iguais, observando

o ponto de intersecção.

Trapézio

Como no paralelogramo, vamos compor um trapézio partindo do retângulo.

Área do retângulo Retire uma parte, Acrescente-a no A= bxh um triângulo outro lado

Figura 11: Como formar um trapézioFonte: Arquivo pessoal

- O que aconteceu com as bases?

- Verifique que neste caso, o que diminuiu numa das bases (base menor b),

aumentou na outra (base maior B). Como faríamos para calcular a média das duas? (Citar

outros exemplos para que o aluno perceba que deve somar e dividir por dois).

Considerando que a altura continua a mesma, e as bases somaram e dividiram por dois,

concluímos que a área do trapézio pode ser:

A medida da área do trapézio é igual a soma das medidas

das bases dividido por dois, multiplicado pela altura.

Fazer vários exemplos. Representar os ângulos em diferentes trapézios,

observando suas medidas. Traçar as diagonais observando se são iguais e se

interceptam no ponto médio.

Losango

Tendo uma folha de papel de forma retangular, dobre ao meio na horizontal e na

vertical. Desdobre.

Figura 12: Formação do LosangoFonte: Arquivo pessoal

Cada novo retângulo (4 pequenos), dobre pela diagonal como na fig. 2, para o

lado de fora, formando um losango como na fig.3. Verifique que cada retângulo pequeno,

quando você dobrou, encontrou a metade do retângulo, correspondendo a metade da

figura, concluindo que a área da nova figura, corresponde a metade do retângulo. Para o

comprimento da base do retângulo inicial, que corresponde à diagonal maior,

denominaremos por D, e a altura do retângulo, que corresponde à diagonal menor,

representaremos por d. Como o losango é a metade do retângulo, a área pode ser

representada por: A=D x d/2 ( A medida da diagonal maior vezes a medida da diagonal

menor, dividido por dois). Verificar os como são os ângulos, lembrando que o quadrado é

um tipo de losango.

- Porém, e se o polígono não for nenhum dos quadriláteros estudados? Veja o

exemplo:

Figura 13: Quadrilátero qualquerFonte: Arquivo pessoal

Como calcular a área?

- Uma maneira é fazer a média das bases e a média das alturas, aproximando o

polígono de um retângulo, e em seguida, multiplicar as duas médias. Outra maneira é

decompor em polígonos mais simples “os topógrafos – técnicos especializados em

determinar as medidas de terrenos – decompõem o polígono em figuras mais simples,

como retângulos e triângulos”. (BIGODE, 2002, P.90).

Fazer exemplos numéricos, combinando polígonos diferentes. Propor atividades

elaboradas com os alunos, verificando se as fórmulas foram bem apreendidas,

entendendo o “por que” da sua aplicação. Propor atividades do livro texto (IMENES &

LELLIS, 2009, p.218 a 221- 8ª). Após, preencher a tabela indicando os nomes dos

polígonos, como são os lados, os ângulos e as diagonais e as fórmulas deduzidas para o

cálculo das áreas.

Figura 14: Elementos dos QuadriláterosFonte: Arquivo pessoal

Resolver o problema:

Um aviário tem formato retangular de 12 metros de largura por 100 metros de

comprimento. Reduzindo x metros no comprimento e aumentando x metros na largura, o

perímetro e a área permanecem iguais? Represente essa relação completando a tabela

abaixo:

Polígono Polígono(Nome)

Lados(Posição dos

lados)

Ângulos(Classifique-os em: reto, agudo

ou obtuso)

Diagonais(São iguais?

Interceptam-se no ponto médio?)

Área(Fórmula)

Largura(m) Comprimento(m) Perímetro(m) Área(m2)12 100

14 98

16 96

20 92

30 82

40 72

50 62

60 52

70 42

80 32

90 22

100 12

Tabela 1: Dimensões do AviárioFonte: Arquivo pessoal

- Verifique quais seriam as medidas para se construir um aviário com a maior

área possível. Por que os aviários, casas, quadros e outros objetos não são quadrados?

(se achar conveniente, comentar sobre medida áurea).

- Representar graficamente os ganhos e gastos das diferentes propriedades

pesquisadas;

Avaliação

Será observada a participação e interesse, construção de gráficos e cumprimento

das demais tarefas, pesquisa e apresentação dos trabalhos. Será realizada também

avaliação escrita.

ORIENTAÇÕES

A pesquisa de campo será realizada em contra-turno, porém, as demais

atividades serão realizadas durante o horário normal das aulas de matemática,

considerando que os alunos dependem de transporte escolar, alimentação e vários deles

fazem outros cursos no turno da manhã, como: teclado, violão, danças, futsal,

computação.

PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

A avaliação acontecerá no decorrer do processo, pois é preciso que a

aprendizagem ocorra continuamente, uma vez que é ela que permite acompanhar o

desempenho do aluno, orientando e apontando novos caminhos.

No caso da execução dessa implementação a professora fará uso da observação

continuamente, diagnosticando as dificuldades dos alunos e propondo oportunidades

diversas para que possam expressar seu conhecimento e participação, pois a avaliação

está

[...] ancorada em encaminhamentos metodológicos que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem o aluno e a relação do aluno com o conteúdo trabalhado, o significado desse conteúdo e a compreensão alcançada por ele. (DCE, 2008, p.69).

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS

BASSANESI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia: 3ed., 2ª reimpressão. São Paulo: Contexto, 2010.

BIEMBENGUT, Maria Salett & HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino: 4ed. São Paulo: Contexto, 2005.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim: São Paulo: FTD, 2002.

BOYER, Carl Benjamin,1906. História da Matemática: tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

BRASIL - Constituição da República Federativa do Brasil: promulgada em 5 de outubro de 1988. Organização do texto, notas remissivas e índices por Juarez de Oliveira. São Paulo: Saraiva, 1988.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática: tradução: Hygino H. Domingues, Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

HOUAISS, Antônio. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. 1ed. Rio de Janeiro: Objetiva, 2009.

IMENES, Luiz Marcio & LELLIS Marcelo. Matemática: 1ª Ed. São Paulo: Moderna, 2009.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares para a Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

SILVEIRA, E. Modelagem Matemática em educação no Brasil: entendendo o universo de teses e dissertações. 2007. 197p. Dissertação (Mestrado em Educação) UFPR, Curitiba, 2007.

CHANNEL, Discovery. A Ciência Maia. Disponível em <http://www.discoverybrasil.com/guia_maia/ciencia_maia/index.shtm> Acesso em 06/02/2011

WIKIPÉDIA, A Enciclopédia Livre. Modelo (matemática). Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_(matem%C3%A1tica)> Acesso em 27/03/2011

CONVERSOR DE MEDIDAS. Disponível em <http://conversordemedidas.vilabol.uol.com.br/> Acesso em 04/05/2011

ANEXOS

1º grupo

Os alunos visitarão um pequeno agricultor com criação de gado leiteiro,

pesquisando: tamanho do terreno (superfície), área construída.

Gastos: herbicida, óleo diesel, insumos (adubo, uréia, sementes, tratamento das

sementes), gasolina (roçadeira, carro), minerais (ração, sal, mineral), análise e correção

do solo, ordenhadeira, horas máquinas, medicamentos, energia elétrica, leite artificial

(bezerros), cerca, silagem, inseminação artificial.

Ganhos: Venda do leite, outras rendas.

Fazer um mapeamento das benfeitorias, comparar o lucro obtido durante o mês,

diminuindo os gastos dos ganhos. Apontar vantagens e desvantagens da produção.

Verificar se os lucros cobrem as necessidades básicas da família.

2º grupo

Os alunos visitarão uma propriedade rural com lavoura, pesquisando: tamanho

do terreno (superfície), área construída.

Gastos: sementes, horas máquinas, insumos (adubo, uréia, tratamento das

sementes), herbicidas, energia elétrica e outros gastos.

Ganhos: venda dos produtos, outras rendas.

Fazer um mapeamento das benfeitorias, compararem o lucro obtido durante o

mês, diminuindo os gastos dos ganhos. Apontar vantagens e desvantagens da produção.

Verificar se os lucros cobrem as necessidades básicas da família.

3º grupo

Os alunos visitarão uma propriedade rural com aviário, pesquisando: tamanho do

terreno (superfície), área construída.

Gastos: energia elétrica, serragem (maravalha), lenha, água, remédios,

carregamento, ração.

Ganhos: entrega dos frangos e outras rendas.

Fazer um mapeamento das benfeitorias, compararem o lucro obtido durante o

mês, diminuindo os gastos dos ganhos. Apontar vantagens e desvantagens da produção.

Verificar se os lucros cobrem as necessidades básicas da família.

4º Grupo

Os alunos visitarão uma família residente no perímetro urbano, assalariado.

Gastos: energia elétrica, água, aluguel, alimentação, vestuário.

Ganhos: salário mensal, outras rendas.

Fazer um mapeamento da residência, calculando a área da casa e do terreno.

Verificar se os ganhos cobrem as necessidades básicas da família.