Ficha de Trabalho 7 - Preparação Teste

Escola Secundária de Caldas das Taipas

10º Ano Ficha de Trabalho n.º 7

Tema II - Funções MATEMÁTICA A 2014/2015

Nome: N.º: Turma: E Data: /04/15

GRUPO I

1. Na figura estão indicadas as dimensões, em centímetros, de uma caixa de fósforos

com a forma de um paralelepípedo. Se o volume da caixa for 126 3cm , os valores

de x são dados pela equação:

(A) 037223 =++ xxx

(B) 0126372

23 =−++ xxx (C) 01255

2 =−+ xx (D) 012322

2 =++ xx

2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f , polinomial do terceiro

grau. O máximo relativo da função f é 2.

Seja g a função, de domínio ℝ , definida por

( ) ( ) 32 −= xfxg . Quantos são os zeros da função g ?

(A) quatro (B) três (C) dois (D) um 3. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação

( )( )21 2 0x x+ − < :

(A) ] [1,2− (B) ] [1,2 (C) ] [, 2−∞ (D) ] [2,+∞

4. O valor de p ∈ℝ para o qual ( ) 2 46 2 5P x x px x= − − + + dividido por 1x + dá resto

4 é: (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 13

Ficha de Trabalho n.º 7 – página 2

Matemática A – 10º Ano

5. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas

por

( ) 2f x x= e ( )g x x=

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 6. Pretende-se desenhar um retângulo com 80 cm de perímetro. Qual das expressões

seguintes permite obter a área (em 2cm ) do retângulo, em função do comprimento x

(em cm ) de um dos seus lados?

(A) ( ) ( ). 40A x x x= − (B) ( ) ( ). 80A x x x= −

(C) ( ) ( ). 40A x x x= − (D) ( ) ( )2

80A x x= −

7. De uma função f , de domínio IR , sabe-se que:

• ( )5 0f =

• f é uma função par

Seja g a função, de domínio IR , definida por ( ) ( )3g x f x= + . Qual dos seguintes

pode ser o conjunto dos zeros de g ?

(A) { }0,3 (B) { }3,5 (C) { }8,2− (D) { }2,8

8. Relativamente à função real de variável real definida em ℝ por:

( )1

3 24

f x x= − − + ,

podemos afirmar que:

(A) tem um máximo para 2x = (B) o contradomínio é ] ], 2−∞

(C) não tem zeros (D) é crescente em [ [3,+∞ .

9. Considere o gráfico da função h , representado na figura

ao lado. A expressão analítica de h é:

(A) ( ) 132 −+−= xxh (B) ( ) 132 +−−= xxh

(C) ( ) 132 −+= xxh (D) ( ) 132 +−= xxh



10. Considere o polinómio ( ) 3 22 7 3 5P x x x kx= − + + , com k ∈ℝ . O valor de k para o

qual o polinómio é dividido por 1x + dá resto 2 é:

(A) 2− (B) 4

3− (C) 0 (D)

2

3

11. Na figura 1 está representada graficamente a função f . Na figura 2 está

representada graficamente a função g .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) ( ) ( ) 11 −+= xfxg (B) ( ) ( ) 11 −−−= xfxg (C) ( ) ( ) 11 −+−= xfxg (D) ( ) ( ) 11 +−= xfxg

12. Na figura estão representadas:

• parte do gráfico de uma função afim f ;

• parte do gráfico de uma função quadrática g . Qual

dos seguintes conjuntos pode ser o conjunto

solução da inequação ( ) ( ) 0≥× xgxf ?

(A) ] ] ] [+∞∪−− ,02,4 (B) [ ] [ [+∞∪−− ,02,4 (C) ] ] [ ]0,24, −∪−∞− (D) ] [ ] [0,24, −∪−∞−

13. Na figura 2 está o gráfico de uma função, de domínio ℝ ,

definida por ( )f x a x b= + , em que a e b designam

dois números reais. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) 0 0a b> ∧ > (B) 0 0a b> ∧ < (C) 0 0a b< ∧ > (D) 0 0a b< ∧ < Figura 2



14. Considere a função g , de domínio ℝ , definida por ( ) 4g x x= − − . Qual das

inequações seguintes é impossível?

(A) ( ) 0g x ≤ (B) ( ) 4g x ≤ − (C) ( ) 7g x ≥ − (D) ( ) 0g x ≥

15. Na figura 3 estão representadas, em referencial o.n. xOy ,

duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g . Os vértices das duas

parábolas têm a mesma abcissa. A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. Qual das expressões seguintes define a função f ?

(A) ( ) 1g x− − (B) ( ) 7g x− +

(C) ( ) 1g x− − (D) ( ) 7g x− +

16. Numa certa localidade, o preço a pagar por mês pelo consumo

de água é a soma das seguintes parcelas:

• 2,5 € pelo aluguer do contador;

• 1 € por cada metro cúbico de água consumido até 10 3m ;

• 2 € por cada metro cúbico de água consumido para além de 10 3m .

Indique qual das funções seguintes traduz corretamente o preço a pagar, em euros, em função do número x de metros cúbicos consumidos.

(A) ( )3,5 10

2,5 2 10

x se xa x

x se x

≤=

+ > (B) ( )

2,5 10

2,5 2 10

x se xb x

x se x

+ ≤=

+ >

(C) ( )2,5 10

12,5 2 10

x se xc x

x se x

+ ≤=

+ > (D) ( )

( )

2,5 10

12,5 2 10 10

x se xd x

x se x

+ ≤=

+ − >

17. Considere o polinómio ( ) 27223 −+−= kxxxxP , com ℜ∈k . O valor de k para o

qual o polinómio é divisível por 2+x é:

(A) 2 (B) - 23 (C) - 7 (D) 23 18. De uma função quadrática h , de domínio ℝ , sabe-se que:

• ( )0 2h = ;

• h é estritamente decrescente no intervalo [ [0,+∞ ;

• h é uma função par

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) ( ) ( )3 3 0h h− + = (B) h tem um mínimo absoluto para 0x =

(C) h é injetiva (D) h tem exatamente dois zeros



19. Na figura está representada parte do gráfico

de uma função f , polinomial do terceiro

grau. 2 é um máximo relativo da função f .

Seja g a função, de domínio ℝ , definida

por ( ) ( )2 5g x f x= + − .

Quantos são os zeros da função g ?

(A) um (B) dois (C) três (D) quatro

20. Na figura está representada, num referencial o.n.

xOy , parte da parábola que é o gráfico de uma

função f . Sabe-se que o ponto V , vértice da

parábola tem coordenadas ( )4, 2− .

Seja g a função definida por

( ) ( )2 5g x f x= − − + .

Qual é o contradomínio de g ?

(A) [ [3,+∞ (B) [ [5,+∞ (C) ] ],7−∞ (D) ] ], 4−∞

21. Considere a função h , de domínio ℝ , definida por ( ) 1 4h x x= − + . Qual das

equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) ( ) 0h x = (B) ( ) 2h x =

(C) ( ) 4h x = (D) ( ) 6h x =

22. Considere o polinómio ( ) 3 23 2 6 1P x x kx x k= − + + − , com k ∈ℝ . O resto da divisão

de ( )P x por 1x + é 4. Qual é o valor de k ?

(A) 4 (B) 8

3 (C) 2 (D) 4−

23. Na figura está representada, num referencial o.n.

xOy , parte do gráfico de uma função polinomial f

de grau 3, de domínio ℝ . Seja g a função, de domínio ℝ , definida por

( ) ( )3g x f x= + . Qual dos seguintes pode ser o

conjunto dos zeros de g ?

(A) { }5, 1,2− − (B) { }1,5,8

(C) { }2,2,5− (D) { }5, 2,2− −

24. Na figura está representada, num referencial

polinomial f , de grau 4, sabe

• o mínimo absoluto é

• ( )6 0f = e (f

Qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa

(A) f é uma função par

(B) O contradomínio de

(C) A função é negativa em

(D) A equação ( )f x = −

25.

26.

Ficha de Trabalho n.º 7


está representada, num referencial . .o n , parte do gráfico de uma função

, de grau 4, sabe-se que:

o mínimo absoluto é 5− ;

( )0 2f = − .

Qual das afirmações seguintes é ?

é uma função par

O contradomínio de f é [ [5,− +∞

A função é negativa em ] [6,6−

2= − tem quatro soluções.


, parte do gráfico de uma função



GRUPO II 1. Considere os polinómios:

( ) 232 +−= xxxA ( ) 353

3 +−= xxxB ( ) 2−= xxC .

1.1. Efetue as seguintes operações:

1.1.1. BAC + 1.1.2. AC −2

1.2. Determine o quociente e o resto da divisão inteira de ( )xB por ( )xA .

2. Seja ( ) 10186223 −−−= xxxxP um polinómio de grau 3.

2.1. Calcule o quociente e o resto da divisão de ( )xP por 42 −− xx .

2.2. Sem recorrer à calculadora e sabendo que ( )xP é divisível por 1+x , resolva

a inequação ( )xP < 0.

2.3. Resolva em ℝ a equação 3 22 5 2 0x x x+ − + = sabendo que -2 é uma das

suas raízes.

3. Considere a função cúbica definida em ℝ por ( ) ( )( )421322 −−+−= xxxxf .

Resolva por processos exclusivamente analíticos as seguintes questões:

3.1. Calcule ( )3−f .

3.2. Determine os zeros de f .

3.3. Estude o sinal da função.

4. Considere a função polinomial h , do terceiro grau, cujo gráfico está representado

na figura abaixo. Sabe-se que ,3− 1 e 2 são os zeros da função e que ( ) 20 =h .

4.1. Indique:

4.1.1. um intervalo onde a função é

decrescente e positiva; 4.1.2. os valores de x para os quais

( ) 0h x− ≥ ;

4.1.3. os valores de x para os quais

( ) 0h x < ;

4.1.4. os valores de x para os quais ( ) 02 ≥xh .

4.2. Escreva uma expressão algébrica que defina a função h .

4.3. Represente graficamente a função ( )xh .



5. Considere as funções reais de variável real definidas em IR por:

( ) 3 4f x x= − + e ( ) 2 1 3g x x= + − .

5.1. Defina a função g por ramos. 5.2. Determine os zeros de cada uma das funções.

5.3. Indique o eixo de simetria e o vértice do gráfico de cada uma das funções e o

seu contradomínio.

5.4. Tendo em consideração a informação das alíneas anteriores, represente graficamente a função g .

5.5. Resolva, em IR , as inequações:

5.5.1. ( ) 3f x < − 5.5.2. ( ) 5g x ≤ 6. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao

longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função:

( ) 3 215 63v t t t t= − +

onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da

experiência, e ( )v t designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em

centenas de rotações por minuto).

Recorrendo às capacidades da gráfica da calculadora, determine:

6.1. A velocidade atingida ao fim de 150 segundos.

6.2. Qual foi a velocidade máxima atingida nos primeiros oito minutos da

experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto.

6.3. Determine durante quanto tempo é que, nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por minuto. Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades). Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico obtido, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresente as abcissas com duas casas decimais).

7. Considere o polinómio ( ) 1263334 −++= xxxxP .

7.1. Mostre que ( )P x é divisível por 2x + .

7.2. Sabendo que ( )1 0P = , determine o conjunto-solução da inequação ( ) 0P x ≤ .



8. Na figura estão representados os gráficos de duas funções polinomiais f e g ,

respetivamente do 3º grau e do 2º grau, de domínio ℝ .

8.1. Recorrendo somente aos gráficos das funções, indique o conjunto solução das condições:

8.1.1 ( ) 0f x > 8.1.2 ( ) ( )f x g x≤

8.2. Esboce o gráfico da função ( )1f x − .

8.3. Defina analiticamente cada uma das funções.

9. Considere a função h real de variável real definida em ℝ por:

( )2

2 3 1

4 1

x se x

h x

x x se x

+ ≤

= − >

.

9.1. Calcule o valor de ( ) ( )3 5h h− + .

9.2. Determine os zeros de h .

9.3. Represente graficamente a função h e indique o seu contradomínio.

10. Decomponha em fatores, do menor grau possível, o polinómio

( ) 1263334 −++= xxxxP , sabendo que 1 e 2− são zeros de ( )xP .

11. Seja ( ) 10186223 −−−= xxxxP um polinómio de grau 3.

11.1. Calcule o quociente e o resto da divisão de ( )xP por 42 −− xx .

11.2. Sem recorrer à calculadora e sabendo que ( )xP é divisível por 1+x , resolva

a inequação ( )xP < 0.



12. Seja f a função, de domínio ℝ definida por ( ) 313 12f x x x= − − .

12.1. Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação ( ) 0f x ≥ , sabendo que um

dos zeros de f é 3− . Apresentação o conjunto solução utilizando a notação

de intervalos de números reais.

12.2. Sejam Q e R os pontos do gráfico de f cujas abcissas são 5− e 0,

respetivamente. A reta QR intersecta o gráfico de f em mais um ponto.

Designemos esse ponto por P . Determine as coordenadas do ponto P , percorrendo as etapas indicadas a seguir:

• determine a equação reduzida da reta QR ;

• recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico de f e

a reta QR , escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto

P ;

• reproduza, na sua folha de prova, o que visualiza na calculadora, assinalando também os pontos ,Q R e P ;

• recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas do ponto P e indique-as no gráfico que desenhou (as coordenadas do ponto P são números inteiros).

13. A Carla está a participar num concurso de lançamento de papagaios de papel. Admita que a altura, em metros, do papagaio da Carla ao solo, x segundos após o

instante indicado pelo júri, é dada por:

3 2( ) 0,0012 0,08 0,92 6a x x x x= − + − + , com 0x ≥ .

Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a altura do papagaio ao solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.

13.1. Após meio minuto do início da prova, a que altura do solo se encontrava o papagaio da Carla?

13.2. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri:

• O papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto;

• O papagaio tem de permanecer, pelo menos durante dezoito segundos seguidos, a uma altura superior a dezasseis metros;

• O papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura.

Deverá a Carla ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).



14. Considere as funções reais de variável real, f e g , de domínio ℝ , definidas por:

( ) 2 1 6f x x= − + + e ( ) 22 7 4g x x x= − − .

Sem recorrer à calculadora gráfica, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as três alíneas seguintes:

14.1. Determine analiticamente os zeros de cada uma das funções.

14.2. Resolva a inequação ( ) ( )0f x g≤ . Apresente o conjunto solução utilizando a

notação de intervalos de números reais. 14.3. Represente graficamente a função f e indique o seu contradomínio.

15. Na figura 4 está representado, num referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função

f , de domínio [ ]3,3− , cujos zeros são 5

, 02

− e 2 .

Figura 4

15.1. Indique um intervalo onde a função f seja injetiva, positiva e decrescente.

15.2. Considere a função g definida por ( ) ( )2 4g x f x= + − .

15.2.1. Descreva as transformações efetuadas no gráfico de f para se

obter o gráfico de g .

15.2.2. Indique o domínio e o contradomínio de g .

15.3. Quais são os zeros da função definida por ( )y f x= − ?

15.4. Considere a função h definida por ( ) ( )h x f x= . Relativamente a esta

função:

15.4.1. Represente-a graficamente.

15.4.2. Indique os extremos absolutos e os zeros de h .



16. Considere a função g , definida em ℝ por:

( ) 2 3 4g x x= − − .

16.1. Determine, por processos analíticos, os zeros de g .

16.2. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são

soluções da inequação ( ) 6g x ≥ . Apresente a sua resposta na forma de união

de intervalos de números reais.

17. Considere os polinómios:

( ) 4 32 8 4 5A x x x x= − + − ; ( ) 3 2

4 5 23 6B x x x x= + − − e ( ) 2 6C x x= − .

17.1. Calcule ( ) ( ) ( )A x B x C x− × e escreva o resultado na forma canónica de

polinómio reduzido e ordenado.

17.2. Calcule o quociente e o resto da divisão de ( )A x por ( )C x .

17.3. Mostre que o polinómio ( )B x é divisível por 3x + e decomponha-o num

produto de fatores de grau não superior ao 1º. 18. Uma bola de ténis é lançada verticalmente, com uma velocidade inicial de 30 metros

por segundo ( )/m s .

As funções a e v dão-nos, respetivamente, a altura e a velocidade instantânea da

bola, t segundos após ter sido lançada:

( ) 24,9 30 2a t t t= − + + e ( ) 9,8 30v t t= − + .

Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

18.1. A que altura está a bola ao fim 2 segundos? Qual é a sua velocidade nesse momento?

18.2. Qual a altura máxima atingida pela bola? Apresente o resultado aproximado

às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

19. Considere:

• a função f , de domínio ℝ , definida por ( ) 2 3 5f x x= − − + ;

• a função g , de domínio ℝ , definida por ( ) 3 29 24 9g x x x x= − + − .

19.1. Usando exclusivamente métodos analíticos, determine o conjunto dos

números reais que são soluções da inequação ( ) 7f x ≥ − . Apresente a sua

resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.



19.2. Na figura 4, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico da

função g . Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g , sendo as

suas ordenadas, respetivamente, o máximo relativo e o mínimo relativo desta

função. Os pontos C e D pertencem ao eixo Ox . A abcissa do ponto C é

igual à do ponto B e a abcissa do ponto D é igual à do ponto A .

Figura 4

Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora indique as coordenadas dos

pontos , ,A B C e D e determine a área do triângulo [ ]OAC .

20. Seja h a função de domínio ℝ definida por ( ) 4 3 27 6h x x x x x= + − − + . O gráfico da

função h interseta o eixo das abcissas em quatro pontos, sendo 3− e 1 as abcissas de dois deles. Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva os dois itens seguintes:

20.1. Decomponha o polinómio 4 3 27 6x x x x+ − − + num produto de três

polinómios, sendo dois deles do primeiro grau e um do segundo grau.

20.2. Determine o conjunto dos valores de x para os quais a função h é negativa. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

21.

22.

SOLUÇÕES

GRUPO I

1 2 3

B D D

11 12 13

C C C

21 22 23

D D A

Ficha de Trabalho n.º 7


Bom trabalho!Professora Paula Gomes

4 5 6 7 8

A D C C B

14 15 16 17 18

D B D B D

24 25 26

D C A


Bom trabalho! Professora Paula Gomes

9 10

D A

19 20

A C



GRUPO II

1.1.1. 3 26 7 1− − −x x x 1.1.2. 2

2 3 2− − +x x 1.2. ( ) 23 6 7= + +Q x x x e 17=R

2.1. ( ) 2 4= −Q x x e ( ) 18 26= − −R x x 2.2. ] [ { },5 \ 1= −∞ −S 2.3. 1

,12

3.1. 56 3.2. 1

2, ,12

− 3.3. Positiva: ] [1

, 2 ,12

−∞ − ∪

e Negativa: ] [1

2, 1,2

− ∪ +∞

4.1.1. Por exemplo: ] [0,1 4.1.2. ] ] [ ], 3 1, 2−∞ − ∪ 4.1.3. ∅ 4.1.4. [ [3 1

, 1,2 2

− ∪ +∞

4.2. ( ) ( )( )( )1

3 1 23

= + − −h x x x x 5.1. ( )2 1 1

2 5 1

− ≥ −=

− − < −

x se xg x

x se x

5.2. f: 4− e g: 1 5

,2 2

− 5.3. f: 4= −x , ( )4,0−V e ] ]' , 0= −∞fD

g: 1= −x , ( )1, 3− −V e [ [' 3,= − +∞gD 5.5.1. ] [ ] [, 5 3,−∞ − ∪ − +∞ 5.5.2 [ ]5,3−

6.1. ( )2,5 79,375=v 6.2. 81 6.3. 4 min e 5 segundos 7.2. [ ]2,1−

8.1.1. ] [ ] [2,1 2,− ∪ +∞ 8.1.2. ] ] [ ], 2 0, 2−∞ − ∪ 8.3. ( ) ( )( )1

2 22

= − + −f x x x

( ) ( ) ( ) ( )1

2 1 22

= + − −g x x x x 9.1. 8− 9.2. 3

, 42

− 9.3. ] ]' ,5= −∞hD

10. ( ) ( )( )( )22 1 3 6= + − +P x x x x 11.1. ( ) 14 26= − −Q x x e ( ) 2 4= −R x x

11.2. ] [ { },5 \ 1= −∞ −S 12.1. [ ] [ [3, 1 4,− − ∪ +∞ 12.2. : 12 12= −QR y x e ( )5, 48P

13.1. 18 metros 13.2. Sim 14.1. f: 4, 2− e g: 1

, 42

− 14.2. ] ] [ [, 6 4,−∞ − ∪ +∞



14.3. ] ]' , 6= −∞fD 15.1. Por exemplo: ] [2,0− 15.2.1. Translação segundo o vetor

( )2, 4= − −�v 15.2.2. [ ]5,1= −gD e [ ]' 6, 2= − −gD 15.3.

52,0,

2−

15.4.4. Máximo: 2 e Mínimo: 0 Zeros: 5

2,0,2

− 16.1. 1;5

16.2. ] ] [ [, 2 8,−∞ − ∪ +∞ 17.1. 4 3 26 6 76 122 41− + + − −x x x x

17.2. ( ) 3 23 7= − − −Q x x x x e 49= −R 17.3. ( ) ( ) ( )

14 3 2

4

= + − +

B x x x x

18.1. 42,4 metros e 10,4 m/s 18.2. 47,9 m 19.1. [ ]3,9− 19.2. ( )2,11A , ( )2,0D ,

( )4,7B e ( )4,0C . 22=A 20.1. ( ) ( )( ) ( )23 1 2= + − − −h x x x x x

20.2. ] [ ] [3, 1 1, 2− − ∪ 21.1. 9=A 21.2. 12,9≈ −a 22. 5,1≈A

Ficha de Trabalho 7 - Preparação Teste

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