Ficha Númeos Complexos (Exercícios de Exame - Compilação)

7/26/2019 Ficha Nmeos Complexos (Exerccios de Exame - Compilao)

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Nmeros Complexos - Exerccios sados em exames (12. ano) - pg. 1

Escola Secundria de Francisco Franco

Matemtica 12. anoNmeros Complexos - Exerccios sados em

(Exames Nacionais 2000)

1. Seja C o conjunto dos nmeros complexos; i designa a

unidade imaginria. Na figura esto representadas, no planocomplexo, as imagens geomtricas de 5 ns complexos: w, z1,

z2, z3 e z4.Qual o n complexo que pode ser igual a 2iw?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4(Prova Modelo)

2.

Seja C o conjunto dos nmeros complexos; i designa aunidade imaginria.

a) Considere o polinmio x33x2+6x4. Determineanaliticamente as suas razes em C, sabendo que uma delas 1. Apresente-as na forma algbrica, simplificando-as o maispossvel.

b) Seja z um n. complexo de mdulo 2 e z o seuconjugado. No plano complexo, considere os pontos A e B taisque A a imagem geomtrica de z, e B a imagem geomtrica

de z . Sabe-se que: o ponto A est situado no 1 quadrante; ongulo AOB recto (O designa a origem do referencial).Determine z/i, apresentando o resultado na forma algbrica.

(Prova Modelo)3. Na figura est representado um hexgono cujos vrticesso as imagens geomtricas, no plano complexo, das razes dendice 6 de um certo n complexo.

O vrtice C a imagem geomtrica do n complexo

4

32 cis . Qual dos seguintes ns complexos tem por

imagem geomtrica o vrtice D?

(A)6

72 cis (B)12

132 cis

(C)6

76 2 cis (D)12

136 2 cis

(1 chamada)4. Seja A o conjunto dos ns complexos cuja imagem, noplano complexo, o interior do crculo de centro na origem doreferencial e raio 1.

a) Defina, por meio de uma condio em C, a parte de

A contida no 2. quadrante (excluindo os eixos do referencial). b) Sem recorrer calculadora, mostre que o n

complexo

64

31

cis

ipertence ao conjunto A.

(1 chamada)

5. Seja z um n complexo de argumento /5. Qual poderser um argumento do simtrico de z?

(A) -/5 (B) +/5 (C) -/5 (D) 2+/5(2 chamada)

6. Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].

Os pontos A e C pertencem ao eixoimaginrio, e os pontos B e D pertencem ao eixo real. Estes 4pontos encontram-se distncia de 1 unidade da origem doreferencial.

a) Sejam w=1-i e z=2 cis 3/2. Sem recorrer calculadora, mostre que as razes quartas do complexo w2/z

tm por imagens geomtricas os pontos A, B, C e D.b) Defina, por meio de uma condio em C, a

circunferncia inscrita no quadrado [ABCD].(2 chamada)

7. Qual das seguintes condies define uma recta no planocomplexo?

(A) |z-1|=4 (B) arg(z)=/2(C) 3z+2i=0 (D) |z-1|=|z+i|

(2 fase)

8. Seja C o conjunto dos ns complexos, e sejam z1e z22elementos de C. Sabe-se que: z1 tem argumento /6; z2=z1

4;

A1 e A2 so imagens geomtricas de z1 e de z2,respectivamente.

a) Justifique que o ngulo A1OA2 recto (O designa aorigem do referencial).

b) Considere, no plano complexo, a circunferncia Cdefinida pela condio |z|=|z1|. Sabendo que o permetro de C 4, represente, na forma algbrica, o n complexo z1.

(2 fase)


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9. Seja z=yi, com yR\{0}, um n complexo. Qual dos 4pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser aimagem geomtrica de z4?

(A) O ponto A(B) O ponto B

(C) O ponto C(D) O ponto D

(Prova Modelo)

10. Em C, conjunto dos ns complexos, considere z1=7+24i.a) Um certo ponto P a imagem geomtrica, no plano

complexo, de uma das razes quadradas de z1. Sabendo que oponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.

b) Seja z2=cis com ]3/4,[. Indique, justificando,em que quadrante se situa a imagem geomtrica de z1z2

(Prova Modelo)

11. Seja w um n complexo diferente de 0, cuja imagemgeomtrica, no plano complexo, est no 1 quadrante e

pertence bissectriz dos quadrantes mpares. Seja w oconjugado de w.Na figura esto representadas, no plano complexo, as imagensgeomtricas de 4 ns complexos: z1, z2,z3e z4.

Qual deles pode ser igual a ww

?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4(1 chamada)

12. Em C, conjunto dos ns complexos, seja z1=2 cis /3

a) Sem recorrer calculadora, verifique quez

i

13 2

um

imaginrio puro.b) No plano complexo, a imagem geomtrica de z1 um

dos 5 vrtices do pentgono regular representado na figura.

Este pentgono regular est inscrito numa circunfernciacentrada na origem do referencial. Defina, por meio de umacondio em C, a regio sombreada, excluindo a fronteira.

(1 chamada)

13. Na figura est representado, no plano complexo, umheptgono regular inscrito numa circunferncia de centro naorigem e raio 1. Um dos vrtices do heptgono pertence aoeixo imaginrio.

Os vrtices do heptgono so, para um certo n natural n, asimagens geomtricas das razes de ndice n de um ncomplexo z. Qual o valor de z?(A) 1+i (B) 1-i (C) i (D) -i

(2 chamada)

14. Em C, conjunto dos ns complexos, seja z1=4ia) No plano complexo, a imagem geomtrica de z1 umdos 4 vrtices de 1 losango de permetro 20, centrado naorigem do referencial. Determine os ns complexos cujasimagens geomtricas so os restantes vrtices do losango.

b) Sem recorrer calculadora, resolva a equao

2 24

2

1cis z z e j . Apresente o resultado na forma

algbrica.(2 chamada)

15. Qual das seguintes regies do plano complexo (indicadasa sombreado) contm as imagens geomtricas das razes

quadradas de 3+4i?

(2 fase)

16. Em C, conjunto dos ns complexos, considere w=2+i

a) Determine (w-2)11(1+3i)2na forma algbrica.

b) Averige se o inverso de w , ou no, 2 34cis

(2 fase)


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17. Qual das seguintes condies define, no plano complexo,o eixo imaginrio?(A) z+ z =0 (B) Im(z)=1 (C) |z|=0 (D) z- z =0

(1 chamada)

18. Em , considere os ns complexos: z1=1+i ez2= 2 cis

34

.

a) Verifique que z1e z2so razes quartas de um mesmo ncomplexo. Determine esse n, apresentando-o na formaalgbrica.b) Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em

que: A a imagem geomtrica de z1; B a imagemgeomtrica de z2; O a origem do referencial. Determine opermetro do tringulo [AOB].

(1 chamada)19. Qual das figuras seguintes pode ser a representao

geomtrica, no plano complexo, do conjunto{z: |z+1|=|z-i| 2Im(z)4}?

(2 chamada)

20. De 2 ns complexos z1e z2sabe-se que: um argumento dez1 /3; o mdulo de z2 4.

a) Seja w= 1 ii

. Justifique que w diferente de z1e de z2

b) z1 e z2 so duas das razes quartas de um certo n

complexo z. Sabendo que, no plano complexo, a imagemgeomtrica de z2 pertence ao 2 quadrante, determine z2 naforma algbrica.

(2 chamada)21. Na figura est representado um rectngulo decomprimento 4 e largura 2, centrado na origem do planocomplexo.

Seja z um n complexo qualquer, cuja imagem geomtrica estsituada no interior do rectngulo. Qual dos seguintes nscomplexos tem tambm, necessariamente, a sua imagemgeomtrica no interior do rectngulo?(A) z-1 (B) z (C) z2 (D) 2z

(2 fase)

22. Em , conjunto dos ns complexos, considere z1=1+i

a) Determine os ns reais b e c para os quais z1 raiz dopolinmio x2+bx+c.

b) Seja z2=cis. Calcule o valor de , pertencente aointervalo [0,2], para o qual z1 2z um n real negativo.

(2 fase)

(Exames Nacionais 2003)23. Seja w um nmero complexo diferente de zero, cujaimagem geomtrica pertence bissectriz dos quadrantesmpares. A imagem geomtrica de w4 pertence a uma dasrectas a seguir indicadas. A qual delas?(A) Eixo real(B) Eixo imaginrio(C) Bissectriz dos quadrantes pares(D) Bissectriz dos quadrantes mpares

(1 chamada)

24. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere

z1=2-2i, z2= 2 cis 54 e z3=-1+i

a) Sem recorrer calculadora, determine 12

zz apresentando o

resultado na forma algbrica.

b) Escreva uma condio em que defina, no plano

complexo, a circunferncia que tem centro na imagemgeomtrica de z1 e que passa na imagem geomtrica de z3

(1 chamada)

25. Considere, em , a condio:

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, noplano complexo, o conjunto de pontos definido por estacondio?


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(2 chamada)

26. o conjunto dos nmeros complexos; i designa a

unidade imaginria.a) Sem recorrer calculadora, determine

2 33 2 29

3

2

( ) ( )i cis

cis

apresentando o resultado na forma

algbrica.b) Seja um nmero real. Sejam z1 e z2 dois nmeros

complexos tais que: z1=cis ; z2=cis (+)Mostre que z1e z2no podem ser ambos razes cbicas de ummesmo nmero complexo.

(2 chamada)

27. Na figura estorepresentadas, no planocomplexo, as imagensgeomtricas de cinconmeros complexos: w, z1,z2, z3 e z4. Qual o ncomplexo que pode ser iguala 1-w?(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4

(2 fase)

28. o conjunto dos nmeros complexos; i designa a

unidade imaginria.a) Sem recorrer calculadora, calcule, na forma

trigonomtrica, as razes quartas do nmero complexo1+ 3 i, simplificando o mais possvel as expresses obtidas.b) Seja z um n complexo cuja imagem geomtrica, no

plano complexo, um ponto A situado no 2 quadrante epertencente recta definida pela condio Re(z)=-2. Seja B aimagem geomtrica de z , conjugado de z. Seja O a origemdo referencial. Represente, no plano complexo, um tringulo[AOB], de acordo com as condies enunciadas. Sabendoque a rea do tringulo [AOB] 8, determine z, na formaalgbrica.

(2 fase)


29. Na figura est representado, no plano complexo, umtringulo rectngulo issceles.

Os catetos tm comprimento 1, estando um deles contido no

eixo dos nmeros reais. Um dos vrtices do tringulo coincidecom a origem do referencial. Qual das condies seguintesdefine a regio sombreada, incluindo a fronteira?

(1 fase)

30. Em , considere os nmeros complexos: z1=-6+3i e z2=1-

2i.

Sem recorrer calculadora, determine ,apresentando o resultado final na forma trigonomtrica.

(1 fase)

31. Seja z um nmero complexo, cuja imagem geomtricapertence ao primeiro quadrante (eixos no includos).Justifique que a imagem geomtrica de z3 no pode pertencerao quarto quadrante.

(1 fase)


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32. Os quatro vrtices de um dos quadrilteros seguintes soas imagens geomtricas, no plano complexo, das razesquartas de um certo nmero complexo w.Qual poder ser esse quadriltero?

(2 fase)


w=4-3ia) Sem recorrer calculadora, calcule, na forma algbrica,2i+w2/ib) Seja um argumento do nmero complexo w. Exprima, naforma trigonomtrica, em funo de , o produto de i peloconjugado de w.

(2 fase)



z1=2cis 4 e z2=2i. Sejam P1e P2as imagens geomtricas, no

plano complexo, de z1e de z2, respectivamente. Sabe-se que osegmento de recta P1P2 um dos lados do polgono cujosvrtices so as imagens geomtricas das razes de ndice ndeum certo nmero complexo w. Qual o valor de n?(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

(1 fase)

35. Seja o conjunto dos nmeros complexos; i designa a

unidade imaginria.

a) Considere w= 21ii

i . Sem recorrer calculadora,

escreva w na forma trigonomtrica.b) Considere z1=cis() e z2=cis( 2

). Mostre que a

imagem geomtrica, no plano complexo, de z1+z2pertence bissectriz dos quadrantes mpares.

(1 fase)36. Em qual das opes seguintes esto duas razes cbicas de

um mesmo nmero complexo?(A) cis 6 e cis 56

(B) cis 3 e cis 23

(C) cis 4 e cis 34

(D) cis 2 e cis 32

(2 fase)


w1=1+i, w2= 2 cis 12 e w3= 3 cis( 2

).

a) Sem recorrer calculadora, determine o valor de1 2

3

2w ww

. Apresente o resultado na forma algbrica.

b) Represente, no plano complexo, a regio definida pelacondio Re(z)Re(w1) |zw3| 3

(2 fase)

E1. Considere, no plano complexo, um ponto A, imagemgeomtrica de um certo n complexo z. Sabe-se que A nopertence a qualquer um dos eixos do plano complexo. Seja Bo ponto simtrico do ponto A, relativamente ao eixoimaginrio. Qual dos nmeros complexos seguintes tem porimagem geomtrica o ponto B?

(A) z (B) 1z (C) z (D) z(poca especial)

E2. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere

z1=cis6

.

a) Sem recorrer calculadora, determine o valor de6 2

1 1][ ( )i zi

. Apresente o resultado na forma algbrica.

b) Represente, no plano complexo, o conjunto definido pelacondio |zz1|1 |z||zz1|

(poca especial)


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38. Os pontos A e B, representados na figura, so as imagensgeomtricas, no plano complexo, das razes quadradas de umcerto nmero complexoz.

Qual dos nmeros complexos seguintes pode serz?(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i

(1 fase)


unidade imaginria.

a) Sem recorrer calculadora, determine6

64 2

3

( )i cis

i

apresentando o resultado final na forma trigonomtrica.

b) Considere que, para qualquer nmero complexo z nonulo, arg(z) designa o argumento de z que pertence aointervalo [0,2[. Represente a regio do plano complexo

definida pela condio, em , por

3 512 4 41| | arg( )z z

e determine a sua rea.(1 fase)

40. Na figura esto representadas, no plano complexo, duascircunferncias, ambas com centro no eixo real, tendo umadelas raio 1 e a outra raio 2.

A origem do referencial o nico ponto comum s duascircunferncias. Qual das condies seguintes define a regiosombreada, incluindo a fronteira?(A) |z1| 1 |z2| 2 (B) |z1| 2 |z2| 1

(C) |z1| 1 |z2| 2 (D) |z1| 2 |z2| 1 (2 fase)


unidade imaginria.

a) Considere 1 22 2( )( )z i cis e 2

175 ( )z cis

Sem recorrer calculadora, escreva o nmero complexo 12

z

z

na forma trigonomtrica.b) Sejazum nmero complexo cuja imagem geomtrica, no

plano complexo, um ponto A situado no primeiro quadrante.Seja B a imagem geomtrica de z , conjugado de z. Seja O aorigem do referencial. Sabe-se que o tringulo [AOB] equiltero e tem permetro 6. Represente o tringulo [AOB] edeterminezna forma algbrica.

(2 fase)

E3. Na figura est representada, no plano complexo, umacircunferncia centrada na origem do referencial.

Os pontos A, B e C pertencem a essa circunferncia. O pontoA a imagem geomtrica de 4+3i. O ponto B pertence ao eixoimaginrio. O arco BC tem 18 graus de amplitude. Em cadauma das 4 alternativas que se seguem, est escrito um nmerocomplexo na forma trigonomtrica (os argumentos estoexpressos em radianos). Qual deles tem por imagem

geomtrica o ponto C?(A) 237cis

(B) 357cis (C) 235cis

(D) 355cis

(poca especial)

E4. Seja o conjunto dos nmeros complexos; i designa a

unidade imaginria.

a) Considere a equao 3 3 0iz i . Uma das soluesdesta equao tem a sua imagem geomtrica no 3. quadrantedo plano complexo. Sem recorrer calculadora, determineessa soluo, escrevendo-a na forma trigonomtrica.b) Seja B a regio do plano complexo definida pela condio

2 0 1| | Re( ) | | | |z z z z i Represente graficamente B e determine a sua rea.

(poca especial)


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42. Qual das opes seguintes apresenta duas razes quadradasde um mesmo nmero complexo?(A) 1 e i (B) 1 e i (C) 1i e 1+i (D) 1i e 1+i

(1 fase)

43. Em , conjunto dos nmeros complexos, considerecisz ( 20] , [

)

a) Na figura estrepresentado, no planocomplexo, o paralelogramo[AOBC]

A e B so as imagensgeomtricas de z e z ,respectivamente. C a imagemgeomtrica de um nmerocomplexo, w. Justifique que 2cosw

b) Determine o valor de 20] , [ para o qual 3zi um

nmero real.(1 fase)

44. Em , conjunto dos nmeros complexos, seja ia unidade

imaginria. Seja num nmero natural tal que in= i. Indiquequal dos seguintes o valor de in+1.(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i

(2 fase)

45. Em , conjunto dos nmeros complexos, sejam:

13z yi e

2 14z iz (i a unidade imaginria e y

designa um nmero real).a) Considere que, para qualquer nmero complexo z no

nulo, Arg(z) designa o argumento de z que pertence ao

intervalo [0,2[. Admitindo que Arg(z1)=e que 20 ,

determine o valor de Arg(z2) em funo de .b) Sabendo que Im(z1)= Im(z2), determine z2. Apresente o

resultado na forma algbrica.(2 fase)


46. Seja z = 3i um nmero complexo. Qual dos seguintesvalores um argumento de z ?

(A) 0 (B) 12 (C) (D)32

(1 fase)

47. Considere, em , a condio 2z z . Em qual das

figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo,o conjunto de pontos definidos por esta condio?

(1 fase)


11 3z i e

28 0z cis (idesigna a unidade imaginria).

a) Mostre, sem recorrer calculadora, que1

( )z uma raiz

cbica de2

z .

b) No plano complexo, sejam A e B as imagens geomtricas

de1

z e de 463 1

z z i , respectivamente. Determine o

comprimento do segmento [AB].(1 fase)

49. Seja z um nmero complexo de argumento 6 . Qual dos

seguintes valores um argumento de (z)?

(A) 6 (B) 56 (C) (D)

76

(2 fase)50. Considere a figura 3, representada no plano complexo.


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Qual a condio, em , que define a regio sombreada da

figura, incluindo a fronteira?

(2 fase)


11z i (idesigna a unidade imaginria).

a) Sem recorrer calculadora, determine o valor de18

12 31 2z i

i . Apresente o resultado na forma algbrica.

b) Considere1

z uma das razes quartas de um certo nmero

complexo z. Determine uma outra raiz quarta de z , cujaimagem geomtrica um ponto pertencente ao 3. quadrante.Apresente o resultado na forma trigonomtrica.

(2 fase)

E5. Qual das seguintes condies, na varivel complexa z,define, no plano complexo, uma circunferncia?(A) |z + 4| = 5 (B) |z | = |z + 2i|

(C) 0 arg(z ) (D) Re(z ) + Im(z) = 2 (poca especial)

E6 Na figura 2 est representado, no plano complexo, opolgono [EFGHI ], inscrito numa circunferncia de centro naorigem do referencial e raio igual a 2. Os vrtices dessepolgono so as imagens geomtricas das razes de ndice 5 deum certo nmero complexo; um dos vrtices pertence ao eixoreal.

Qual o vrtice do polgono [EFGHI] que a imagem

geomtrica de 352 ( )cis ?

(A) E (B) F (C) H (D) I(poca especial)

E7 Em , conjunto dos nmeros complexos, sejam os

nmeros1 2

1 1( ) ( )z i cis e2 4

8 ( )z cis (idesigna

a unidade imaginria).a) Determine, sem recorrer calculadora, o nmero

complexo 12

zzw . Apresente o resultado na forma

trigonomtrica.

b) Considere o nmero complexo 2z z . No plano

complexo, sejam A e B as imagens geomtricas de z e de z2,respectivamente. Determine a rea do tringulo [AOB], emque O a origem do referencial.

(poca especial)

(Teste intermdio e Exames Nacionais 2009)

52. Para um certo nmero realpositivo e para um certonmero real compreendido

entre 0 e 2 , o nmero

complexo cis tem porimagem geomtrica o ponto P,representado na figura 2. Qual a imagem geomtrica do

nmero complexo 2 2

( )cis ?

(A) O ponto A (B) O ponto B(C) O ponto C (D) O ponto D

(Intermdio 3)


unidade imaginria.

Determine2 352 1 6

1 2

( )i i

i sem recorrer calculadora.

Apresente o resultado na forma algbrica.(Intermdio 3)

54. Sejazum nmero complexo, em que um dos argumentos

3 . Qual dos valores seguintes um argumento de 2i

z, sendo

z o conjugado dez?

(A) 6 (B) 23 (C)

56 (D)

76

(1 fase)55. Seja b um nmero real positivo, e z1=bi um nmerocomplexo. Em qual dos tringulos seguintes os vrtices podemser as imagens geomtricas dos nmeros complexos z1, (z1)

2e(z1)

3?


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(1 fase)


18

1 1 i

iz i e

2

56 ( )z cis .

a) Determine z1 na forma trigonomtrica, sem recorrer calculadora.

b) Determine o menor valor de n, tal que (iz2)n= 1 .

(1 fase)57. Seja kum nmero real, e z1= (k i) (3 2i) um nmerocomplexo. Qual o valor de k, para que z1 seja um nmeroimaginrio puro?

(A)32 (B)

23 (C)

23 (D)

32

(2 fase)58. Na figura 3, estrepresentada uma regio doplano complexo. O ponto Atem coordenadas (2, 1).Qual das condies

seguintes define em ,

conjunto dos nmeroscomplexos, a regiosombreada, incluindo a

fronteira?(A) |z1| |z(2i)|Re(z) 2 Im(z)1(B) |z 1| |z(2i)| Re(z)2 Im(z)1(C) |z+1| |z (2+i)| Re(z)2 Im(z)1(D)|z 1| |z(2i)| Im(z)2 Re(z)1

(2 fase)

59. No conjunto dos nmeros complexos, seja7 3

732

2

4

( ) ( )cis i

cisz . Determine z na forma algbrica, sem

recorrer calculadora.(2 fase)

60. Considere, em , um nmero complexo w, cuja imagem

geomtrica no plano complexo um ponto A, situado no 1.quadrante. Sejam os pontos B e C, respectivamente, asimagens geomtricas de w (conjugado de w ) e de (w) .Sabe-se que 8BC e que |w|=5. Determine a rea dotringulo [ABC ] .

(2 fase)

E8. Seja um nmero real pertencente ao intervalo 20 ] , [ .

Considere o nmero complexo ( )z i cis . Qual dos

nmeros complexos seguintes o conjugado de z ?

(A) 2 ( )cis (B) 2

( )cis

(C) 2 ( )cis (D) 32

( )cis

(poca especial)

E9 Considere, em , o nmero

complexo 62 ( )w cis . No plano

complexo, a imagem geomtrica de w um dos vrtices do quadrado[ABCD], com centro na origem O,representado na figura 2. Qual dosnmeros complexos seguintes temcomo imagem geomtrica o vrtice Ddo quadrado?

(A) 322 ( )cis (B) 742

( )cis (C) 1162 ( )cis (D) 532

( )cis

(poca especial)

E10 Considere, em , o nmero complexo z1 = 3 2i.

Determine, sem recorrer calculadora, o nmero complexo2 43

1 132

28

z z i

cisz . Apresente o resultado na forma algbrica.

(poca especial)

E11Determine o valor de , pertencente ao intervalo2

0 [ , ] , de

modo que a imagem geomtrica do nmero complexo

22 1 3 ( ) ( )cis i pertena bissectriz do 3. quadrante.

(poca especial)


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unidade imaginria. Determine6 71 2 3

3( )( )i i i i

i

, sem

recorrer calculadora. Apresente o resultado na forma

x+yi, comxey(Intermdio 3)


83 ( )z cis . Para qual dos valores seguintes de

podemos afirmar quez um nmero imaginrio puro?

(A) 2 (B) 2

(C) 8 (D) 58

(1 fase)63. Na Figura 3, est representada, no plano complexo, asombreado, parte do semiplano definido pela condio

Re(z ) > 3

Qual dos nmeros complexos seguintes tem a sua imagemgeomtrica na regio representada a sombreado?

(A) 63cis (B) 63 3cis

(C) 23cis (D) 23 3cis

(1 fase)


1 7z cis e

22z i . Resolva os dois itens seguintes,

recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

a) Determine o nmero complexo7

1

2

3 ( )i zzw

Apresente o resultado na forma trigonomtrica.

b) Mostre que1 2

2

7 76 4 2cosz z sen

(1 fase)

65. A Figura 2 representa umpentgono [ABCDE] no planocomplexo. Os vrtices dopentgono so as imagensgeomtricas das razes de ndicende um nmero complexo wO vrtice A tem coordenadas(1, 0). Qual dos nmeroscomplexos seguintes tem porimagem geomtrica o vrtice Ddo pentgono?

(A) 6

55cis (B) 6

5cis (C)

5( )cis (D)

5cis

(2 fase)

66. Seja w o nmero complexo cujaimagem geomtrica est representadana Figura 3. A qual das rectasseguintes pertence a imagemgeomtrica de w6?

(A) Eixo real(B) Eixo imaginrio(C) Bissectriz dos quadrantes mpares(D) Bissectriz dos quadrantes pares

(2 fase)


1 42z cis e

23z

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a mtodosexclusivamente analticos.

a) Determine o nmero complexo

41 4z i

iw

Apresente o resultado na forma trigonomtrica.

b) Escreva uma condio, em , que defina, no plano

complexo, a circunferncia que tem centro na imagemgeomtrica dez2e que passa na imagem geomtrica dez1

(2 fase)

E12 Em , conjunto dos nmeros complexos, considere o

conjunto 0{ : ( ) }A z i z z Qual das rectas seguintes pode ser a representao geomtrica,no plano complexo, do conjunto A?

(A) o eixo real(B) o eixo imaginrio(C) a bissectriz dos quadrantes pares(D) a bissectriz dos quadrantes mpares

(poca especial)

E13 Na Figura 2, estorepresentados, no planocomplexo, os pontos P, Q, R, S eT. O ponto P a imagemgeomtrica de um nmerocomplexo z. Qual dos pontosseguintes, representados na Figura

2, a imagem geomtrica donmero complexo iz?(A) Q (B) R (C) S (D) T

(poca especial)

E14 Em , conjunto dos nmeros complexos, considere o

nmero complexo8

28

1 52)

( )

(

i

cisz cis

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a mtodosexclusivamente analticos.

a) Verifique que4

16z cis

b) Determine a rea do polgono cujos vrtices, no planocomplexo, so as imagens geomtricas das razes quartas dez

(poca especial)


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68. Na Figura 2, estrepresentada, no planocomplexo, uma circunfernciade centro na origem O doreferencial. Os pontos A, B e C

pertencem circunferncia. Oponto A a imagem geomtricado nmero complexo 3+4iO ponto C pertence ao eixoimaginrio.

O arco BC tem 9 radianos de amplitude.

Qual o nmero complexo cuja imagem geomtrica o pontoB?

(A) 1095cis (B) 25185cis

(C) 1097cis (D) 25187cis

(Intermdio 2)

69. Seja o conjunto dos nmeros complexos. Considere a

equao 3 2 4 4 0z z z

Esta equao tem trs solues em , sendo uma delas o

nmero real 1. As imagens geomtricas, no plano complexo,dessas trs solues so vrtices de um tringulo. Determine opermetro desse tringulo. Resolva este item sem recorrer calculadora.

(Intermdio 2)

70. Na Figura 3, estorepresentadas, no plano

complexo, as imagensgeomtricas de quatro nmeroscomplexos z1, z2, z3e z4Qual o nmero complexo

que, com n, pode ser igual

a i4n+ i4n+1+ i4n+2?(A) z1 (B) z2(C) z3 (D) z4

(1 fase)71. Na Figura 4, estrepresentado, no plano

complexo, a sombreado, umsector circular. Sabe-se que: o ponto A est situado no1. quadrante; o ponto B est situado no4. quadrante; [AB] um dos lados de umpolgono regular cujosvrtices so as imagens

geomtricas das razes de ndice 5 do complexo 232cis

o arco AB est contido na circunferncia de centro na origemdo referencial e raio igual a OA . Qual dos nmeros seguintes

o valor da rea do sector circular AOB ?(A) 5 (B) 45

(C) 25 (D) 85

(1 fase)


z1= 1, z2= 5i e3 40

( )nz cis

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora.

a) O complexo z1 raiz do polinmio

3 2

16 16z z z Determine, em , as restantes razes do polinmio. Apresente

as razes obtidas na forma trigonomtrica.b) Determine o menor valor de n natural para o qual aimagem geomtrica de z2 z3 , no plano complexo, est noterceiro quadrante e pertence bissectriz dos quadrantesmpares.

(1 fase)

73. Na Figura 3, estrepresentado, no planocomplexo, a sombreado, umsector circular. Sabe-se que:

o ponto A a imagemgeomtrica do nmero

complexo 3 i o ponto B tem abcissanegativa, ordenada nula, e pertence circunferncia de centrona origem do referencial e raio igual a OA

Qual das condies seguintes define, em , a regio a

sombreado, incluindo a fronteira?(Considere como arg(z) a determinao que pertence aointervalo [0, 2[)

(2 fase)

74. Na Figura 4,esto representa-das, no plano

complexo, asimagens geomtri-cas de seisnmeros comple-xos z1, z2, z3, z4, z5e z6. Qual onmero complexoque pode ser iguala (z2+ z4) i?(A) z1 (B) z3 (C) z5 (D) z6

(2 fase)

75. Seja o conjunto dos nmeros complexos. Resolva os

dois itens seguintes, sem recorrer calculadora.


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a) Considere z1= 1+2i e4 3

1

54

2

nz i b

cisw

com be n

Determine o valor de bpara o qual w um nmero real.b) Seja z um nmero complexo tal que |z| = 1. Mostre que|1+z|2 + |1z|2= 4

(2 fase)

E15. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere

68z cis . Qual dos nmeros complexos seguintes uma

das razes de ndice seis de z ?

(A) 25362cis (B) 362 )(cis

(C) 25362 2cis (D) 362 2 )(cis

(1. fase especial)

E16 Na Figura 2, estorepresentados, no plano

complexo, seis pontos, M,N, P, Q, R e S. Sabe-seque: o ponto M a imagemgeomtrica do nmerocomplexo z1= 2 + i o ponto N a imagem geomtrica do nmero complexoz1 z2. Qual dos pontos seguintes pode ser a imagemgeomtrica do nmero complexo z2?(A) ponto P (B) ponto Q (C) ponto R (D) ponto S

(1. fase especial)

E17Em , conjunto dos nmeros complexos, resolva os dois

itens seguintes sem recorrer calculadora.a) Seja w o nmero complexo com coeficiente da parte

imaginria positivo que soluo da equao2 1 0z z . Determine 1w . Apresente o resultado na

forma trigonomtrica.b) Seja z um nmero complexo. Mostre que

2( )( )z i z i z i , para qualquer nmero complexoz

(1. fase especial)

E18Sejam kepdois nmeros reais e sejam z1= (3k + 2) +p ie z2= (3p 4) + (2 5k)idois nmeros complexos. Quais so

os valores de ke deppara os quais z1 igual ao conjugado dez2?(A) k= 1 ep= 3 (B) k= 1 ep= 3(C) k= 0 ep= 2 (D) k= 1 ep= 3

(poca especial)

E19 Considere, em , um

nmero complexo w. No planocomplexo, a imagemgeomtrica de w o vrtice Ado octgono [ABCDEFGH ],representado na Figura 3. Osvrtices desse polgono so asimagens geomtricas das razesde ndice 8 de um certo nmerocomplexo.

Qual dos nmeros complexos seguintes tem como imagemgeomtrica o vrtice C do octgono [ABCDEFGH] ?(A) w (B) w+ 1 (C) i w (D) i3 w

(poca especial)

E20 Seja o conjunto dos nmeros complexos. Resolva os

dois itens seguintes sem recorrer calculadora.a) Considere 4 2014

12 3 nz i i , n

Sabe-se que z1 uma das razes cbicas de um certo complexoz. Determine z. Apresente o resultado na forma algbrica.

b) Considere2 4

z cis . No plano complexo, a regio

definida pela condio

22 22

1 arg( )z zz z z z est representada

geometricamente numa das opes I, II, III e IV, apresentadasa seguir.(Considere como arg(z) a determinao que pertence ao

intervalo ]0, 2])Sabe-se que, em cada uma das opes: O a origem do referencial; C a imagem geomtrica de z2 OC o raio da circunferncia.Apenas uma das opes est correcta.

Elabore uma composio na qual: indique a opo correcta; apresente as razes que o levam a rejeitar as restantesopes.Apresente trs razes, uma por cada opo rejeitada.

(poca especial)


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76. Na Figura 1, est representado, noplano complexo, o tringulo equiltero

[OPQ] de altura 3 . Tal como a figurasugere, o vrtice O coincide com a

origem do referencial, o vrtice Ppertence ao eixo imaginrio e o vrticeQ pertence ao 3. quadrante. Seja z onmero complexo cuja imagemgeomtrica o ponto Q. Qual arepresentao trigonomtrica do nmero complexo z ?

(A) 763cis (B) 433cis

(C) 762cis (D) 432cis

(Intermdio 2)


unidade imaginria. Para um certo nmero inteiro k, a

expresso

3

42( )i cis

k i

designa um nmero real. Determineesse nmero k

(Intermdio 2)78. Na Figura 3, esto representadas, no plano complexo, asimagens geomtricas de cinco nmeros complexos: w, z1, z2,z3e z4

Qual o nmero complexo que pode ser igual a 3w

i?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4(1. fase)

79. Na Figura 4, estrepresentada, a sombreado,

no plano complexo, parte deuma coroa circular. Sabe-seque: O a origem do referencial; o ponto Q a imagemgeomtrica do complexo 1+ i a reta PQ paralela ao eixoreal; as circunferncias tmcentro na origem; os raios das circunferncias so iguais a 3 e a 6Considere como arg(z) a determinao que pertence ao

intervalo [, [. Qual das condies seguintes pode definir,em , conjunto dos nmeros complexos, a regio a

sombreado, incluindo a fronteira?

(1. fase)


z1= (2+i)3e z2 1 282

ii

a) Resolva a equao z3+ z1= z2, sem recorrer calculadora.Apresente as solues da equao na forma trigonomtrica.b) Seja wum nmero complexo no nulo. Mostre que, se we

1w so razes de ndice nde um mesmo nmero complexo z,ento z = 1 ou z = 1

(1. fase)

81. Seja k um nmero real, e sejam z1=2+ i e z2=3kidois

nmeros complexos. Qual o valor de k para o qual1 2

z z

um imaginrio puro?

(A) 32 (B)32 (C) 1 (D) 6

(2. fase)82. Na Figura 3, est

representado, no planocomplexo, um polgonoregular [ABCDEFGHI].Os vrtices dessepolgono so as imagensgeomtricas das razesde ndice n de umnmero complexo z. Ovrtice A temcoordenadas (0, 3).Qual dos nmeroscomplexos seguintestem por imagem

geomtrica o vrtice F ?(A) 7183cis

(B) 11183cis (C) 233cis

(D) 593cis

(2. fase)

83. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

a) Seja num nmero natural. Determine4 6

6

5

3 2

2

( )ni cis

cis

,

sem recorrer calculadora. Apresente o resultado na formatrigonomtrica.

b) Seja 4 2] , [ . Sejam z1e z2dois nmeros complexos

tais que z1= cis e z2= cis ( 2

). Mostre, analiticamente,que a imagem geomtrica de z1 + z2, no plano complexo,pertence ao 2. quadrante.

(2. fase)


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E21 Sejam k e p dois nmeros reais tais que os nmeroscomplexos z = 1 + i e w = (k 1) + 2p i11 sejam inversos umdo outro. Qual o valor de k + p ?

(A) 14 (B)12 (C)

54 (D)

74

(poca especial)

E22 Na Figura 2, esto

representadas, no planocomplexo, uma circunferncia,de centro na origem e de raio 1,e uma reta r, definida por Re (z)

= 12 . Seja z1 o nmero

complexo cuja imagemgeomtrica est no 1. quadrantee o ponto de interseco dacircunferncia com a reta r. Qualdas opes seguintes apresenta uma equao de que z1 soluo?

(A) |z 1| = |z i| (B) 3

2Im( )z

(C) 12 1| |z (D) |1 z| = 2

(poca especial)


itens seguintes, sem recorrer calculadora.a) Considere o nmero complexo 38 8z i . Determine

as razes de ndice 4 de z. Apresente as razes na formatrigonomtrica.b) Seja wum nmero complexo no nulo. Mostre que, se oconjugado de w igual a metade do inverso de w, ento aimagem geomtrica de wpertence circunferncia de centro

na origem e de raio 22

(poca especial)


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84. Em , conjunto dos nmeros complexos, seja z = cis ,

em que um nmero real pertencente ao intervalo 34 , [] .

Seja w =z2 2. A que quadrante do plano complexo pertencea imagem geomtrica de w ?

(A) Primeiro quadrante. (B) Segundo quadrante.(C) Terceiro quadrante. (D) Quarto quadrante.

(Intermdio 2)


unidade imaginria. Resolva os dois itens seguintes semrecorrer calculadora.

a) Determine o valor de6 722

i ii

. Apresente o resultado na

forma algbrica.

b) Mostre que o nmero 102 cis soluo da equao

6

128 z z i (Intermdio 2)86. Na Figura 1, estorepresentadas, no planocomplexo, as imagensgeomtricas de quatronmeros complexos: w1,w2, w3 e w4. Qual onmero complexo que, com

n , pode ser igual a

i8n i8n 1+ i8n 2?

(A) w1(B) w2(C) w3(D) w4

(1. fase)


z = 8 + 6i e2

w i zz . Seja um argumento do nmero

complexo z. Qual das opes seguintes verdadeira?

(A) 210 3 ( )w cis (B) 22 3

( )w cis

(C) 210 ( )w cis (D) 22

( )w cis

(1. fase)


1342 2

z cis e z2=1 + i

a) Sabe-se que 12

zz uma raiz quarta de um certo nmero

complexo w. Determine w na forma algbrica, sem utilizar acalculadora.b) Seja z3 = cis . Determine o valor de pertencente ao

intervalo ]2,[, sabendo que3 2

z z um nmero real.

(1. fase)

89. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos,

z = 2 + bi, com b < 0. Seja 20 [] , . Qual dos nmeros

complexos seguintes pode ser o conjugado de z ?

(A) 3

2

( )cis (B) 3 ( )cis

(C) 3 ( )cis (D) 32 ( )cis

(2. fase)

90. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos, a

condio

Considere como arg(z) a determinao que pertence aointervalo [,]. Qual das opes seguintes pode representar,no plano complexo, o conjunto de pontos definido pelacondio dada?

(2. fase)


a) Considere 22131

2 z i i e 2

1

2 z iz . Determine, sem

utilizar a calculadora, o menor nmero natural n tal que (z2)n

um nmero real negativo.b) Seja [,[. Mostre que

(2. fase)

E24 Em , conjunto dos nmeros complexos, considere

w = (1 + i)2013. A qual dos conjuntos seguintes pertence w ?(A) 1 { : }z z z

(B) 2 { : }z z

(C) { : }z z z

(D) { : Re( ) Im( )}z z z

(poca especial)


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E25 Na Figura 1, esto representadas, no plano complexo, asimagens geomtricas dos nmeros complexos: z, z1, z2, z3e z4

Sabe-se que w um nmero complexo tal que z i wQual o nmero complexo que pode ser igual a w?(A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1

(poca especial)

E26 Em , conjunto dos nmeros complexos, considere

1 56

311 2

z i

icise 2 2 12

z cis

a) Seja z = cis, com pertencente a [0,2[. Determine de

modo que1

zz seja um nmero real negativo, sem utilizar a

calculadora.

b) As imagens geomtricas de z2e do seu conjugado, 2z , so

vrtices consecutivos de um polgono regular. Os vrticesdesse polgono so as imagens geomtricas das razes dendice n de um certo nmero complexo w. Determine w naforma algbrica, sem utilizar a calculadora. Comece porcalcular n.

(poca especial)


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92. Na Figura 2, estrepresentado, no planocomplexo, um polgonoregular [ABCDEF]. Osvrtices desse polgono so

as imagens geomtricasdas n razes de ndice n deum nmero complexo z. Ovrtice C tem coordenadas

2 2 2 2( , ) . Qual dosnmeros complexosseguintes tem por imagemgeomtrica o vrtice E?

(1. fase)


a) Considere3

1

311

( )z

ii

e z2 = cis , com [0,[.

Determine os valores de , de modo que 21 2( )z z seja um

nmero imaginrio puro, sem utilizar a calculadora.b) Seja z um nmero complexo tal que |1 + z|2+ |1 z|210.Mostre que |z| 2

(1. fase)

94. Na Figura 3, esto

representadas, no planocomplexo, duas semirretasOA e OB e uma

circunferncia de centro C

e raio BC .Sabe-se que: O a origem do referencial; o ponto A a imagemgeomtrica do complexo

32 23 i

o ponto B a imagem geomtrica do complexo 32 23 i

o ponto C a imagem geomtrica do complexo 2iConsidere como arg(z) a determinao que pertence aointervalo [,[. Qual das condies seguintes define a regiosombreada, excluindo a fronteira?

(2. fase)


a) Considere 2 6 ( )z cis e

4

1

( )

wz i

zi. No plano complexo,

seja O a origem do referencial. Seja A a imagem geomtricado nmero complexo z e seja B a imagem geomtrica donmero complexo w. Determine a rea do tringulo [AOB],sem utilizar a calculadora.

b) Seja ]0,[. Resolva, em , a equao z2 2cos z + 1

= 0. Apresente as solues, em funo de , na formatrigonomtrica.

(2. fase)

E27 Na Figura 2, estorepresentadas, no planocomplexo, as imagensgeomtricas de cinconmeros complexos: w,z1, z2, z3 e z4. Qual o

nmero complexo quepode ser igual a 2iw ?(A) z1 (B) z2(C) z3 (D) z4

(poca especial)


dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.

a) Considere 1112

z i

i i e 2 4

( )z cis . Averigue se a

imagem geomtrica do complexo 41 2( )z z pertence

bissetriz dos quadrantes mpares.a) Considere o nmero complexo w = sen(2) + 2i cos2,

0 2 ] , [ . Escreva w na forma trigonomtrica.

(poca especial)


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(Exames Nacionais 2015)96. Considere em , conjunto dos nmeros complexos, a

condioNo plano complexo, esta condio define uma linha. Qual ocomprimento dessa linha?

(A) (B) 2 (C) 3 (D) 4(1. fase)


Determine os valores de pertencentes ao intervalo ]0,2[, paraos quais z um nmero imaginrio puro. Na resoluo desteitem, no utilize a calculadora.

(1. fase)

98. Na Figura 1, estrepresentado, no planocomplexo, um tringuloequiltero [OAB]. Sabe-seque: o ponto O a origem doreferencial; o ponto A pertence aoeixo real e tem abcissaigual a 1 o ponto B pertence aoquarto quadrante e aimagem geomtrica de um

complexo zQual das afirmaes seguintes verdadeira?

(2. fase)

99. Em C, conjunto dos nmeros complexos, seja

Determine os nmeros complexos z que so soluo da

equao , sem utilizar a calculadora. Apresenteesses nmeros na forma trigonomtrica.

(2. fase)

E29 Na Figura 2, estrepresentado, no planocomplexo, umquadrado cujo centrocoincide com a origeme em que cada lado paraleloa um eixo. Os vrtices

deste quadrado so asimagens geomtricasdos complexos z1, z2,z3 e z4. Qual dasafirmaes seguintes falsa?

(poca especial)

E30 Em , conjunto dos nmeros complexos, seja

Sabe-se que as imagens geomtricas dos complexos z1e z2so vrtices consecutivos de um polgono regular de nlados, com centro na origem do referencial. Determine, semrecorrer calculadora, o valor de n.

(poca especial)

Solues: 1. B 2. 1i3; 2-2i 3. B 4. |z|


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Nmeros Complexos - Exerccios sados em exames (12 ano) - pg 19

O professor: RobertOliveira

Ficha Númeos Complexos (Exercícios de Exame - Compilação)

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