FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: DESVENDANDO A TRIGONOMETRIA

Autor

Francisco de Paula Costa

Escola de Atuação

Colégio Estadual Rui Barbosa

Município da escola

Itaúna do Sul

Núcleo Regional de Educação

Loanda

Orientador

Msc. Carlos Ropelatto Fernandes

Instituição de Ensino Superior

UNESPAR – Campus FAFIPA

Disciplina/Área

Matemática

Produção Didático-pedagógica

Unidade Didática

Relação interdisciplinar

Nenhuma

Público Alvo

Professores

Localização Colégio Estadual Rui Barbosa- EM Rua Perú, 631

Apresentação: Este projeto tem a finalidade de proporcionar ao professor de Matemática que hoje encontra grandes dificuldades em tornar suas aulas mais atrativas e significativas para o aluno no ensino-aprendizagem, visto que este com o decorrer dos anos têm perdido o interesse pelo estudo. E uma das dificuldades encontradas pelo professor é ensinar o conteúdo de Trigonometria nas séries finais da Educação Básica, conteúdo este, distante da realidade do aluno, que não tem conhecimento de Geometria e de como utilizar instrumentos como régua, compasso e transferidor, tornando o aprendizado em Trigonometria muito difícil. Embora esta dificuldade tem-se apresentado também por alguns professores devido ao fato de que historicamente estudos apontam que o conteúdo ora citado tem ficado de fora das aulas de Matemática, talvez seja em grande parte devido à formação acadêmica da maioria dos professores. Portanto, o objetivo deste projeto é capacitar o professor através de um curso de aperfeiçoamento envolvendo o conteúdo de Trigonometria através da confecção de materiais didáticos e manipulativos inerente a este conteúdo, dentro da tendência metodológica História da Matemática.

Palavras-chaves: Trigonometria. Materiais manipuláveis. Tendência metodológica. História da Matemática.

1. APRESENTAÇÃO

Propõe-se nesta Produção Didático-pedagógica, despertar no professor a

curiosidade, o interesse e a busca pelo conhecimento daquilo que ele ensina ou

venha a ensinar e que este aprenda ou reaprenda a pesquisar antes de repassar

qualquer informação e conhecimento aos seus alunos, principalmente em uma

época que os avanços tecnológicos ditam nosso modo de vida.

Pensando nisso, a proposta é de colaborar com o trabalho do professor

através de um curso de capacitação com a confecção de material manipulativo e

atividades voltadas ao ensino da Trigonometria, pois esta tem ficado um pouco de

lado e isto não é de agora, historicamente alguns estudos apontam que no final da

década de 80 estudiosos matemáticos tentaram mostrar a importância do estudo de

Geometria e Trigonometria no ensino.

Porém os professores mostraram-se muito resistentes, ficando estes

conteúdos fora das aulas de matemática, talvez seja em grande parte devido à

formação acadêmica da maioria dos professores e estes encontram muitas

dificuldades ainda em se trabalhar tais conteúdos em sala de aula.

Segundo Morey (2004, p. 31), tais dificuldades estão mesmo relacionadas à

formação escolar das décadas de 70 e 80 caracterizadas como descaso com a

Geometria e a Trigonometria ficando somente em estudos de memorização e sem a

compreensão destes conteúdos.

Sabe-se que muitos professores para tornar seu trabalho docente mais

interessante e significativo tem procurado cada vez participar de cursos de

capacitação, simpósios, seminários, etc., que venha suprir essa deficiência através

de cursos que lhes ensinem a fazer uso de material didático e manipulativo, pois o

professor que tem o conhecimento de como utilizar e utiliza materiais didáticos e

manipuláveis em sua aula fazem com que os alunos demonstrem mais interesse e

compreensão no ensino e aprendizagem dos conteúdos que lhe são ensinados.

DESVENDANDO A TRIGONOMETRIA

1.1. Público Alvo

O público alvo desta produção serão os Professores da Rede Pública

Estadual do Colégio Estadual Rui Barbosa – EM e/ou professores jurisdicionados ao

Núcleo Regional de Educação de Loanda.

1.2. OBJETIVOS GERAL E ESPECÍFICOS

1.2.1. Objetivo geral

Capacitar o professor através de curso de aperfeiçoamento envolvendo o

conteúdo de trigonometria através de materiais didáticos e manipuláveis com a

finalidade de tornar suas aulas de Matemática mais atrativas e prazerosas.

1.2.2. Objetivos específicos

Confeccionar e desenvolver recursos didáticos através de materiais

manipuláveis para utilização nas aulas de Matemática.

Contribuir na implementação efetiva do conhecimento científico no

conteúdo de trigonometria ministrado em sala de aula.

Direcionar como se deve incentivar os alunos a terem interesses nos

conteúdos trabalhados pelo professor em sala de aula.

Resolver as atividades inerentes ao conteúdo de trigonometria nesta

Unidade Didática.

2. PROCEDIMENTOS

Esta Produção terá início com um curso de capacitação para os professores e

será desenvolvido dentro da tendência História da Matemática através de confecção

de material manipulativo artesanal conforme a necessidade de seu uso em

atividades práticas que colaborará no auxílio ao professor, tornando suas aulas mais

dinâmicas, atrativas e significativas para o aluno dentro do conteúdo estruturante:

Trigonometria.

3. CONTEÚDOS DE ESTUDOS

Serão explorados aqui os conteúdos e um pouco de sua história inerente ao

ensino da Trigonometria.

3.1. NOÇÃO DE ÂNGULO

A palavra ângulo é usada corriqueiramente na matemática e no dia-a-dia

como: ângulo de visão, ângulo de posição, ângulo de inclinação, entre outras

segundo Mendes (2009, p.130).

3.1.1. Um pouco dos ângulos na história

De acordo com Mendes (2009, p. 132-133) a palavra Trigonometria originou

de Três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metrum (medir) que significa

medidas do triângulo. Tais medidas necessitam de um conhecimento básico de

ângulos de um triângulo e suas medidas.

A Trigonometria foi criada por astrônomos e topógrafos de diversos povos e

em diferentes períodos históricos, como os babilônios, árabes, gregos e hindus

devido à necessidade que tinham em relacionar distâncias com ângulos.

Na imaginação dos gregos antigos, a concepção da noção de ângulo, por

exemplo, “eram duas pessoas apontando para uma mesma estrela”, onde esta

estrela era o vértice do ângulo e cada pessoa apresentava uma direção para tentar

dar a ideia exata de ângulo, conforme a figura.

A B

Já os babilônios antigos que viveram (4000 – 3000 a.C.) utilizavam os

ângulos nas construções ligadas a astronomia, a religiosidade, “bem como no

calendário das estações e da época do plantio”. Usavam

seu sistema de numeração sexagesimal no qual dividiam uma circunferência em seis partes iguais usando seu raio como medida padrão, seguindo-se de várias subdivisões até obter 360 partes (graus) geradas através das frações da medida do raio e talvez até, por influência do total de dias do ano (eles consideravam o ano com 360 dias). Dessa prática surgiu também as idéias básicas para a criação das medidas de minuto e segundo, pois o referido sistema de contagem, as frações sexagesimais, após traduções do grego para o árabe e em seguida, para o latim, tornaram-se as partes primae e partes minutae secundae das quais derivaram as palavras minuto e segundo.(MENDES, 2009, p. 132).

O ângulo reto segundo Mendes (2009) surgiu da prática de medição dos

antigos, quando colocavam uma vara vertical em relação ao chão para medir altura

de objetos e comparavam as sombras projetadas que mais tarde tornara uma das

ideias básicas da geometria apresentada por Euclides, quando suscitou a ideia de

que duas retas que se cruzam formam ângulos iguais entre si e retos, formando

assim as perpendiculares. Surgindo aí as noções de ângulos agudos e obtusos para

os menores e maiores que o ângulo reto, considerando também as noções de

perpendicularismo.

Atividade 1

Objetivo:

Desenvolver o conceito de ângulo; exercitar a medição de ângulos e diferenciar

ângulos retos, agudos e obtusos.

Sugestão:

Para essa atividade sugerimos ao professor o uso do transferidor e avalie o

conhecimento que o aluno tem sobre os ângulos retos, agudos e obtusos.

1. Com o auxílio do transferidor, determine a medida de cada um dos ângulos

representados abaixo.

Fonte: o autor

3.2. SEMELHANÇA DOS TRIÂNGULOS IMAGINÁRIOS

Em nosso dia-a-dia há certas situações que precisamos efetuar medidas. Na

maioria das vezes para as medições podemos colocar o instrumento de medida

sobre a grandeza a ser medida. É o que fazemos para medir, por exemplo, o

comprimento de um terreno, a largura de uma mesa, a altura de uma porta, etc. Os

instrumentos podem ser a trena, a fita métrica, o metro de carpinteiro, régua, entre

outros.

Entretanto, nem sempre é possível aplicar estes instrumentos de medidas

apenas, como medir, por exemplo, a distância da Terra à Lua? A distância do Sol à

Terra? Como medir o raio da Terra?

Ângulos Medidas (graus)

a

b

c

d

e

f

1. Classifique os ângulos de acordo com a tabela:

Retos Agudos Obtusos

3.2.1. Semelhança na história dos triângulos

Conforme Mendes (2009) foram os Gregos que efetivaram a medida da altura

dos objetos através de sua sombra. Essa experiência é contada historicamente

através de um dos feitos creditados a Tales de Mileto por volta de 600 a.C. em sua

passagem pelo Egito quando foi abordado pelos escribas egípcios a mando do

Faraó para que ele calculasse a altura de uma pirâmide quadrangular.

Tales fez o seguinte, apoiou-se numa vara e esperou até o instante em que

de manhã a sombra da vara na vertical tivesse o mesmo comprimento da vara. Foi

então, que Tales pediu a um dos escribas que ali estava para medir depressa a

sombra da pirâmide mais a metade do comprimento da sua base, pois aquilo seria a

altura da pirâmide, a partir de uma vara, duas sombras e uma ideia.

Fonte: o autor

Atividade 1

Objetivos:

Conceituar semelhança entre dois triângulos; Aplicar as principais

propriedades da relação de semelhança entre triângulos na determinação de uma

proporção como igualdade entre duas razões de semelhança.

Sugestão:

Nesta atividade o professor pode sugerir aos alunos que faça uso da régua ou

esquadro, compasso e transferidor e também avalie o aluno sobre seu conhecimento

de semelhança de triângulos.

1. Observe com atenção os dois triângulos semelhantes abaixo. Neles estão

marcadas algumas de suas medidas. Lembrando que os lados correspondentes

de triângulos semelhantes são proporcionais, complete:

Fonte: o autor

a) BC= b) B’C’=

c) A’C’= d) A’B’=

e) = f) = g) =

2. Como você encontrou os resultados da questão anterior? O que caracterizou

a semelhança entre os triângulos?

3. Com o auxílio do transferidor meça os ângulos A e A’, B e B’; C e C’. Qual

sua conclusão em relação aos ângulos?

4. Observe os triângulos ABC e AFG da figura a seguir e verifique se eles são

semelhantes, justificando sua resposta.

Atividade 2

Qual a altura da árvore?

Objetivo:

Aplicar as propriedades de semelhança na determinação de uma proporção como

igualdade entre duas razões.

Sugestão:

Para essa atividade o professor pode estar avaliando como os alunos estão aplicando a

propriedade de semelhança em relação a proporção como igualdade entre duas razões.

Figura 1

Fonte: o autor

Ao lado direito da casa, conforme Figura 1, tem uma árvore que precisa ser

derrubada porque esta foi atacada por cupins, porém, devido a direção em que esta se

encontra e derrubá-la poderá colocar em risco a casa. Como fazer isso?

O dono da casa após medir com uma trena a distância da árvore até a casa

encontrou 30 metros. E como medir a altura da árvore?

Foi então, que sua filha estudando o ensino médio lembrou-se da história de

Tales, de como ele determinou a altura de uma pirâmide egípcia. E para determinar a

altura da árvore ela resolveu aplicar o mesmo raciocínio de Tales.

Num dia ensolarado, ela e seu pai cravaram uma estaca de madeira

perpendicularmente ao chão. Em seguida, com uma trena mediram o comprimento da

sombra da árvore que mediu 19 metros; o comprimento da sombra da estaca de

madeira que mediu 0,80 metros e o comprimento da estaca que mediu 1,20 metros.

Com esses dados, como calcularam a altura da árvore?

Voltemos a situação onde a menina e seu pai estão calculando a altura da

árvore (Figura 2).

Figura2

Fonte: o autor

No esquema da (Figura 3), observe os dois triângulos imaginários: um formado

pela estaca, sua sombra e um raio de luz solar; o outro, pela altura da árvore, sua

sombra e outro r

aio de luz solar.

Figura 3

Fonte: o autor

Como os raios de luz são paralelos, os dois triângulos têm os mesmos ângulos.

Por isso, são triângulos semelhantes, isto é, têm a mesma forma, mas tamanhos

diferentes.

Se dois triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais. Portanto: é

possível derrubar a árvore sem causar prejuízo da casa?

Atividade 3

Medindo a altura de uma parede com um espelho

Objetivo

Utilizar o espelho para determinar a semelhança de triângulos e a

proporcionalidade através da lei da reflexão de um raio de luz.

Sugestão:

Esta atividade pode ser utilizada principalmente no período noturno que é

impossível trabalhar com sombras para medir a altura dos objetos.

De acordo com o esquema abaixo:

Fonte: o autor

Uma pessoa de 1,70 m coloca um espelho no chão distante de uma parede e se

afasta do espelho até ver refletido neste o topo da parede e sua distância do espelho é

de 1,02 m e a distância do espelho até a parede é de 1,85 m. Qual a altura desta

parede?

(Lembrar que o observador está com a cabeça inclinada para baixo, portanto sua altura

é medida até a altura do olho do observador passando a ser aproximadamente 1,60 m

e não mais 1,70 m).

3.3. A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

3.3.1. Razões Trigonométricas

Faremos algumas atividades antes de entrarmos diretamente em razões

trigonométricas conforme trás a maioria dos livros didáticos para que o aluno possa

compreender melhor este conteúdo.

3.3.2. Um pouco de história das razões trigonométricas

Sem o domínio teórico das razões trigonométricas os babilônios e egípcios da

antiguidade já conheciam e faziam uso de alguns teoremas sobre razões entre os

lados de triângulos semelhantes. Porém, os gregos já haviam começado um

processo sistemático desse conhecimento, iniciando assim a elaboração da

trigonometria segundo Mendes (2009, p. 152).

Para o autor, não se tem muita certeza quando o uso sistemático do círculo

de 360° começou a fazer parte da Matemática, mas em grande parte deve-se a

Hiparco através de sua tabela de cordas e cuja influência teve origem na astronomia

babilônica construída a partir do sistema de numeração sexagesimal.

Foi onde surgiu das necessidades em resolver alguns problemas inseridos na

astronomia os termos seno e cosseno através da função corda que quer dizer (reta

que une dois pontos extremos de um arco de circunferência) estudados por alguns

gregos da era cristã.

De acordo com Guelli (1998, p. 58), os matemáticos e astrônomos em vez de

seguir o Almajesto, (a mais importante obra trigonométrica da antiguidade

composto por 13 livros denominada Síntese Matemática escrita por Ptolomeu de

Alexandria) que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais,

decidiram seguir os hindus que apresentavam uma Trigonometria com base na

relação entre metade da corda com metade do ângulo central que chamavam de

jiva que os árabes escreveram jiba na sua tradução e é comum eles escreverem

apenas consoantes de uma palavra e o leitor acrescentava mentalmente as vogais,

os tradutores árabes registraram jb e na tradução para o latim o inglês Robert de

Chester interpretou jb como jaib que significa baía ou enseada e escreve-se sinus

(em português, seno).

O termo co-seno para o seno do complemento de um ângulo deve-se a

Edmund Gunter (1620) onde ele sugeriu combinar os termos “complemento” e

“seno” em “co-sinus” que logo foi modificado para cosinus que em português quer

dizer “co-seno” segundo Kennedy (1992, p. 40).

Fonte: o autor

=

/R= = Sen → Logo

Sen =

Que tal experimentarmos na prática?

-Observe a figura anterior e determine a medida da corda HG e do raio r (HO);

- Determine a razão entre a medida de HG e a medida do diâmetro;

-Determine a razão entre a metade da metade de HG (HP) e a medida do raio r

(HO);

-Determine outras razões existentes entre os segmentos representados na figura

construída por você (tente, por exemplo, entre OP e r; HP e OP entre outras;

Atividade 1

Objetivos:

Compreender o conceito de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

como razões trigonométricas no triângulo retângulo; Determinar o valor de seno,

cosseno e tangente de um ângulo agudo.

Sugestão:

Para esta atividade talvez seja necessário o professor relembrar com os alunos o

teorema de Pitágoras em relação os termos catetos e hipotenusa.

1. Com o auxílio de uma régua, determine as medidas dos lados a, b e c nos

triângulos retângulos seguintes e complete a tabela dada:

Fonte: o autor

Triângulo a (cm) b (cm) c (cm) b/a c/a b/c

1

2

3

4

5

Atividade 2

2. Escolha um dos triângulos da questão anterior e escreva a expressão

matemática das razões b/a, c/a e b/c, tomando como referência os catetos, os

ângulos agudos e a hipotenusa de tal triângulo.

3. Baseado nas informações históricas apresentadas anteriormente que nome

você daria a cada uma dessas razões?

Objetivo

Fazer com o que o aluno compreenda que não importa a medida dos catetos ou hipotenusa (medida dos lados do triângulo retângulo), as razões entre elas são aproximadamente iguais e estas razões recebem nomes especiais como: seno, cosseno e tangente.

Sugestão: Para esta atividade fazer uso da régua, transferidor e calculadora.

1. Separar a turma por grupo de 4 pessoas e pedir que cada um do grupo

desenhe quatro triângulos retângulos com os ângulos de 20°, 30°, 40° e 50° (esses

triângulos com qualquer medida de lado e complete a seguinte tabela):

Ângulo Cateto

oposto

Cateto

adjacente

Hipotenusa

Em seguida o professor fará uma tabela semelhante a esta no quadro e escolhe

aleatoriamente um ângulo igual de cada grupo, por exemplo, o ângulo de 20° e faz a

comparação.

Portanto, para se calcular seno, cosseno e tangente, utilizamos as seguintes

razões trigonométricas:

Seno= =

Cosseno= =

Tangente= =

3.3.3. Variação do seno, cosseno e da tangente de um ângulo agudo

Atividade 3

Objetivo Fazer com que o aluno perceba a variação do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo nos eixos x e y do plano cartesiano.

Sugestão: Para esta atividade vamos utilizar:

Papel milimetrado; Régua; Transferidor; Compasso.

Na atividade anterior vimos como encontrar e calcular as razões trigonométricas, e

nesta atividade vamos raciocinar graficamente.

Traçar no papel milimetrado os eixos de coordenadas x e y medindo 10 cm que

para isso usaremos como unidade de medida o decímetro.

Em seguida, desenhamos um ângulo de 30° e marquemos sobre um de seus

lados, a partir do vértice, um segmento de reta OB de comprimento 1 decímetro e pelo

ponto B trace um segmento BE perpendicular ao outro lado do ângulo.

E, do mesmo modo, desenhemos os ângulos de 45° a partir do vértice um

segmento OC e pelo ponto C tracemos o segmento CF e para o ângulo de 60° o

segmento OD e por D tracemos o segmento DG em seguida com o auxílio do

transferidor trace um arco ligando os vértices desses triângulos do eixo x ao eixo y

conforme (Figura 1).

Figura 1

Fonte: o autor

A seguir, pelo ponto B, desenhamos o segmento BE perpendicular ao outro lado

do ângulo. Sendo assim, temos:

Seno 30°= = = = 0,5

Cos 30°= = = = 0,86

Tg 30°= = = = 0,56

A partir dessa atividade, mostrar aos alunos que o eixo x (abscissa)

representa no plano cartesiano o cosseno e o eixo y (ordenada) representa o seno

e a reta perpendicular ao eixo x no ponto A representa a tangente.

A Figura 1 permite representar graficamente o seno, cosseno e a tangente de

vários ângulos, todos juntos. Com essa representação podemos visualizar o seno,

cosseno e a tangente de todos os ângulos agudos.

Observe agora a Figura 2: nela, o arco de circunferência de centro O tem raio

1 (neste caso, não importa a unidade).

Figura 2

Fonte: o autor

O ponto P está sobre o arco de circunferência. Se o ponto P caminha sobre o

arco, o ângulo a muda e podemos ver facilmente o que acontece com cos a e seno

Seguindo o mesmo critério, complete a tabela abaixo:

seno 45°=

cos 45°=

tg 45°=

seno 60°=

cos 60°=

tg 60°=

a. É preciso que olhe para a Figura 2 e imagine o deslocamento do ponto P para

sentir o que acontece com o ângulo a, com seu cosseno e o seu seno.

Se o ponto P percorre a circunferência no sentido horário, aproximando-se do

ponto A o ângulo a diminui e o ponto Q também irá se aproximar do ponto A com

isso o cos a aumenta e o seno a diminui.

Agora se o ponto P percorre a circunferência no sentido anti-horário,

afastando-se de A faz com que o ângulo a aumenta e o ponto Q vai se aproximando

de O o cos a diminui e o seno a aumenta.

4. TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO

4.1. Um pouco de história

As tábuas trigonométricas foram construídas com:

Os valores correspondentes ao seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo ou arco de circunferência, tem suposta origem na matemática babilônica, através dos valores relativos aos calendários elaborados. Se destacam a partir das medidas e valorações dos comprimentos de cordas e de documentos sobre astronomia presente na obra de Hiparco. Foram incorporados posteriormente ao principal trabalho de Ptolomeu, “O Almagesto”, contribuindo assim com a apresentação dos elementos básicos da determinação numérica das chamadas razões trigonométricas, a partir de triângulos retângulos determinados pelas cordas da circunferência. (MENDES, 2009, p. 156).

Atualmente os livros didáticos apresentam as tábuas trigonométricas prontas,

no entanto, o autor nos desafia a construir nossa própria tabela e comparar com

aquelas já existentes.

Para realizar esta atividade façamos a construção do Ciclo Trigonométrico.

Aqui optou-se por construir o ciclo trigonométrico com valores decimais

devido às dificuldades que os alunos encontram em trabalhar com esses números e

para que o professor possa mostrar de onde vem aquela tabela com tais valores.

Fonte: o autor

Material necessário:

Papel milimetrado, cartolina ou papel cartão com dimensões de 25 cm x 25 cm

aproximadamente;

Régua;

Transferidor;

Compasso;

Pedaço de barbante colorido medindo 30 cm aproximadamente;

Canetas nas cores azul, vermelha e preta;

Cola.

Procedimento:

Traçar com o auxílio de um compasso uma circunferência de raio 10 cm;

Dividir a circunferência em 4 quadrantes;

Marcar os raios do 1º quadrante na cor de caneta azul representando os números

reais positivos e os do 3º quadrantes na cor vermelha representando os números

reais negativos;

A cada 1 cm de raio marcar 0,1 unidade de comprimento até chegar em 1 unidade

de comprimento, medida determinada por convenção (esta marcação deve ser

feita em todos os quatro raios);

Com o centro do transferidor colocado sobre a origem da circunferência medir de

5° em 5° até chegar em 360°;

Traçar com a régua o eixo da tangente com 20 cm de comprimento paralelo a

circunferência que é a mesma medida do diâmetro da mesma, marcando também

sobre este em azul para os números reais positivos e em vermelho para os

números reais negativos e, a cada 1 cm, 0,1 unidade de comprimento até chegar

em 1 unidade;

Fazer um furo no centro da circunferência e passando por este uma extremidade

do barbante e colar no verso do papel para que este não se solte.

Exemplo medindo o seno de 30°

Fonte: o autor

Exemplo medindo o cosseno de 30°

Fonte: o autor

Exemplo medindo a tangente de 45°

Fonte: o autor

Atividade 1

Objetivos Determinar os valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo;

Relacionar esses valores ao valor do raio unitário representado no ciclo trigonométrico, em valores decimais e valores fracionários (se preferir).

Sugestão: À medida que forem determinando os valores de seno, cosseno e tangente, que

o professor vá questionando o que acontece com o seno no primeiro quadrante, por exemplo, o seno aumenta ou diminui? E o cosseno? E a tangente? E assim por diante.

Também é uma maneira de avaliar.

Para a próxima atividade confeccionaremos o quadrante trigonométrico

artesanal, conforme segue:

- Preencha a tabela abaixo com os valores do seno, cosseno e tangente utilizando o ciclo trigonométrico construído no material manipulativo (aqui poderá ser preenchido com os valores decimais ou fracionários, como preferir).

Em seguida compare os resultados da sua tabela com os de uma tabela oficial presente nos livros didáticos de matemática. O que você percebeu? Tem alguma relação com a atividade anterior? Quais?

Ângulo Razões trigonométricas

(grau) Seno Cosseno Tangente

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Sugestão:

Nesta construção o professor pode fazer uso de um instrumento simples

para calcular a altura de um objeto sem a necessidade de aparelhos tão

sofisticado como teodolito, GPS, etc.

QUADRANTE TRIGONOMÉTRICO

Fonte: o autor

Material necessário:

Régua;

Transferidor;

Canudinho de refrigerante grosso para mira do quadrante;

Pedaço de barbante de aproximadamente 25 cm;

01 chumbada de pescaria ou algo similar para ser usado como peso;

Pedaço de cartolina ou papel cartão medindo 15 cm x 15 cm;

Cola.

Procedimento

Trace dois eixos perpendiculares nas bordas da cartolina ou papel cartão

deixando 01 cm de cada lado;

Coloque o transferidor com o centro na origem dos dois eixos e marque de 5° em

5° até chegar em 90°;

Faça um pequeno furo na origem dos eixos e passe uma das extremidades do

barbante e cole-o;

Na outra extremidade do barbante prenda a chumbada ou algo que dê peso ao

barbante;

Cole o pedaço de canudinho de refrigerante de aproximadamente 17 cm de

comprimento em cima do eixo de 90°.

Fonte: o autor

Atividade

Medindo altura dos objetos sem utilização de sombras

Objetivos Relacionar ângulos e lados de dois ou mais triângulos retângulos

semelhantes; Determinar a razão de semelhança entre dois ou mais triângulos retângulos; Determinar a altura de objetos a partir da semelhança entre dois triângulos retângulos.

Sugestão:

Faça uso do quadrante trigonométrico confeccionado em papel cartão e escolha um objeto a ser medido (como a altura da parede da sala de aula, altura de um poste de energia, a altura de uma árvore, etc).

Qual a altura da árvore vista por um observador conforme os dados da figura?

Disponível:

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/2011/matem

atica/marco/arvore.jpg

Acessado em 18/05/2001

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES

As funções circulares na trigonometria são de fundamental importância devido

à sua periodicidade, pois representam fenômenos naturais periódicos, como:

variações da temperatura terrestre, pressão sanguínea no coração, comportamento

ondulatório do som, etc.

Obviamente hoje em dia não é necessário o professor explorar a construção

gráfica dos alunos de forma manual, pois existem alguns softwares que fazem este

trabalho.

Porém, é necessário que o professor ainda faça a demonstração manual para

que o aluno possa compreender como era e ainda é feito essa construção.

Uma maneira encontrada de construir gráficos das funções circulares de

forma menos desinteressante para o aluno é através do ciclo trigonométrico

construído no material manipulativo, conforme segue.

Atividade

Objetivos Construir gráficos das funções: seno, cosseno e tangente através do ciclo

trigonométrico de valores decimais (mas o professor pode optar pelo ciclo trigonométrico com valores fracionários).

Sugestão:

O professor pode optar em construir o gráfico com seus alunos utilizando

pedaços de barbante coloridos, canetas ou lápis coloridos.

Gráfico da função seno f(x)= senx

Fonte: o autor

Depois de construído o gráfico o professor pode ir explicando sobre o

domínio da função f(x)= senx; sobre a imagem, porque ela está no intervalo de {-1

< y < 1}; porque o período da função, neste caso é 2π; o sinal da função em quais

quadrantes é positivo e em quais quadrantes é negativo e em quais quadrantes a

função é crescente e em quais quadrantes são decrescente.

Gráfico da função cosseno f(x)= cosx

Fonte: o autor

O mesmo procedimento que foi feito com a função seno.

Gráfico da função tangente f(x)= tgx

Fonte: o autor

Na função tangente além do professor fazer todos os procedimentos como

nos gráficos anteriores, aproveitar e perguntar aos alunos porque não existem as

tangentes de 90° e 270°.

6. RECOMENDAÇÕES DO USO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

O objetivo desta Produção Didático-Pedagógica é demonstrar através deste

material didático e manipulativo a sua utilização dentro da sala de aula no conteúdo

de Trigonometria para que o professor possa tornar suas aulas mais atrativas e

significativas para o ensino e aprendizagem do aluno.

Para isso, o professor deve ter clareza quanto ao uso desses materiais, ou

seja, ter conhecimento de como utilizar para que este não se torne obsoleto para o

aluno.

Pois, como diz Lorenzato (2006, p. 18) o material didático é “um meio auxiliar

de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e,

como tal, o MD não é garantia de um bom ensino” ou seja, o material por si só não

garante uma boa aprendizagem e nem substitui o professor, pois o papel do

professor é de fundamental importância, seja qual for sua prática pedagógica.

Portanto, o referido material só vem somar ao conhecimento que o professor

já tem pela sua formação acadêmica e sua experiência do dia-a-dia em sala de aula.

7. Proposta de Avaliação desta Proposta

Os envolvidos nesta Proposta passarão primeiro por uma avaliação informal

ao longo da aplicação deste material vendo o que os professores envolvidos tem de

conhecimento sobre o ensino de Trigonometria tema de estudo desta proposta

através das próprias atividades inseridas no referido material e só depois, se achar

necessário, faremos uso da avaliação formal para ver o conhecimento individual de

cada um dos envolvidos no processo.

Pois, sabe-se que a Avaliação ainda é uma das grandes dificuldades

encontrada por parte do professor e não é nada fácil de se fazer, muitas vezes o

professor tem uma prática pedagógica excelente, mas o instrumento de avaliação

que faz uso põe tudo a perder.

8. Recursos Materiais

Serão utilizados os seguintes materiais:

TV multimídia;

Pawer point;

Compasso:

Transferidor;

Régua;

Trena e fita métrica;

Papel milimetrado;

Papel cartão/cartolina;

Tesoura;

Barbante;

Canudinhos de refrigerante;

Cola.

9. REFERÊNCIAS:

BRIGHENTI, M. J. L. Representações Gráficas: atividades para o ensino e a aprendizagem de conceitos trigonométricos/Maria José Lourenção Brighenti. Bauru: EDUSC, 2003.

BRITO, A. J.; MOREY, B. B. Geometria e trigonometria: dificuldades dos professores de matemática do ensino fundamental. In: John A. Fossa (org.). Presenças Matemáticas. Natal: Edufrn, 2004. GUELLI, O. Contando a história da matemática: dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática, 1998. KENNEDY, E. S. História da trigonometria/Edward S. Kennedy; trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. LORENZATO, S. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores/Sergio Lorenzato (org.) – Campinas, SP: Autores Associados, 2006. MENDES, I. A. Atividades históricas para o ensino da trigonometria. In: Miguel, A. et al.

História da matemática em atividades didáticas. São Paulo: Livraria da Física, 2009.

TELECURSO. Matemática do 2º grau – novo telecurso/Fundação Roberto Marinho em

convênio com a Fundação Bradesco. Rio de Janeiro: Rio Gráfica, 1985.

Internet:

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/2011/matematica/m

arco/arvore.jpg