Matemática Aplicada II

Ficha prática nº1-------------------------------------------------------------------------------

1. Calcule a taxa de variação média da função no intervalo [2, 4].

2. Se uma bola de bilhar cair de uma altura de 100 cm, a função posição s que dá a sua altura, em cm, em função do tempo t, em segundos, é:

Calcule a velocidade média nos intervalos abaixo:

a) [1,2]

b) [1,1.5]

c) [1,1.1]

3. A evolução da cotação das acções de uma empresa durante 12 meses é dada pela expressão

onde e C em euros. Calcule e interprete o resultado no contexto apresentado.

4. A quantidade de litros N de gasolina comum vendida por um posto de gasolina a um preço de p euros por litro é dada por

a) Qual o significado de ?

b) O valor de normalmente é maior ou menor do que zero? Justifique.

5. O António vai de férias fazendo a viagem no seu automóvel. No início da viagem, que decorreu sem paragens durante 5 horas, o António colocou o conta-quilómetros (marcador da distância percorrida) a 0.

Admita que a distância percorrida, em quilómetros, t horas após a partida, é dada por

a) Quantos quilómetros percorreu até chegar ao destino?

b) Calcule

Interprete o valor encontrado no contexto apresentado.

c) Considere a seguinte afirmação: “A velocidade média nas duas últimas horas de percurso foi superior à velocidade média com que foi feito todo o percurso”.

Averigue se a afirmação é verdadeira, fundamentando a conclusão a que chegou.

d) Calcule a taxa média de variação da função d no intervalo [1,4].

e) Calcule os seguintes limites:

e

No contexto apresentado, indique o significado dos resultados obtidos para os limites propostos.f) No momento em que se completaram duas horas de viagem, qual a velocidade

indicada pelo velocímetro do automóvel?

g) Em que instante a distância percorrida foi de 200 quilómetros?

6. Numa fábrica de produção de motores, a linha de montagem contempla a medição dos níveis de ruído quando os motores estão a funcionar.

O nível de ruído é dado pelo seguinte modelo matemático:

D – decibéis (dB)r – centenas de rotações por minuto.

a) Determine a variação do nível de ruído quando o motor passa de 4000 rotações por minuto para 5000 rotações por minuto.

b) Qual a variação média do nível de ruído quando o funcionamento do motor passa de 5000 rotações por minuto para 7500 rotações por minuto?

c) Determine a taxa de variação do nível de ruído no instante em que o motor funciona a 4000 rotações por minuto.

d) Determine a limitação que deve ser imposta ao número de rotações por minuto de modo que o nível de ruído não ultrapasse os 80 dB. Dê como resposta a maior solução que seja múltiplo de 10.

7. No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma altura de 32 pés acima do nível da água. A posição do mergulhador é dada pela função:

onde s é medido em pés e t é medido em segundos.

a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água?

b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?

8. O custo associado ao pedido e à produção de componentes usados no fabrico de um determinado produto é dado pela função

onde C é medido em milhares de euros e x é o número de unidades do pedido, medido em centenas.

Calcule a taxa de variação de C em relação a x , quando:

a) b) c) O que implicam estas taxas sobre o aumento no número de unidades do pedido?

9. A ausência de atmosfera na Lua implica que um objecto em queda livre não sofrerá resistência do ar. Em 1971, o astronauta David Scott mostrou experimentalmente que, na Lua, um martelo e uma pena caem com a mesma velocidade. A função posição de ambos os objectos é dada por

onde s(t) é a altura, medida em metros, e t é o tempo medido em segundos. Calcule a aceleração da gravidade lunar.

10. A velocidade de um objecto, medida em metros por segundo, é dada pela função

Calcule a velocidade e a aceleração do objecto no instante t = 3. O que se pode dizer sobre a velocidade e a aceleração do objecto quando a velocidade e a aceleração têm sinais opostos?

11. Calcule o diferencial das funções:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

12. Considere a função .

a) Calcule o diferencial

b) Supondo que e , calcule e .

13. Considere a função e o ponto inicial .

a) Determine o acréscimo correspondente ao acréscimo da variável x.

b) Calcule para .

c) Esboce o gráfico de e assinale no gráfico e .

14. Seja . Determine e se x varia de 2 para 2,1.

15. Seja . Determine e para e .

16. Seja . Determine quando e . Compare este valor com

para e .

17. O custo total de uma viagem de 800 km de um camião, se a média é de v km/h , é dado por:

Calcule uma aproximação à variação do custo total quando a velocidade média é aumentada de 80 para 90 km/h.

18. Seja e . Estime:

a)

b)

c)

d)

19. Use diferenciais para determinar uma estimativa para o aumento do volume de um cubo de aresta igual a 10 cm, quando esta aumenta em 0,1 cm.

20. Obtenha, com o auxílio de diferenciais uma estimativa para onde

.

(Sugestão: Considere e ).

21. Supondo que e , estime o valor de

22. Use diferenciais para estimar onde .

23. Determine o diferencial das seguintes funções:

a)

b)

c)

d)

e)

24. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de quando varia de (-2,3) a (-2,02; 3,01).

25. Considere a função custo .

a) Determine .

b) Calcule uma estimativa para a variação do custo quando passa de (1,2)

para (0,99; 2,02).