Figuras geométricas planas e espaciais - Campus Sertão · Retas paralelas cortadas por uma reta...

Figuras geométricas planas

e espaciais

Joyce Danielle

Joyce Danielle

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Figuras geométricas planas

Apresentação

Na geometria plana vamos então nos atentarao método de cálculo da área das figurasgeométricas planas. Sendo elas os polígonos,ou seja, figura com muitos ângulos.

A área é a denominação dada à medida deuma superfície, medida através de duasdimensões.

O polígono possui lados, vértices, diagonais,ângulos internos e ângulos externos.


Observe o desenho abaixo, de dois ângulosopostos pelo vértice (opv):

Vamos comprovar se são ângulos opv.

Ângulos opostos pelo vértice


𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).

𝒂 𝒃

Ângulos opostos pelo vértice

Demonstração:Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 éa medida de b.

Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.

Assim:

a + x = b + x a + x – x = b + x – x a = b

Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são semprecongruentes.


𝒂 𝒃

𝒙

As retas r e s são paralelas: estão no mesmo planoe não têm ponto comum (r // s).

A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4ângulos com s.

Retas paralelas cortadas por uma

reta transversal.


r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉

Retas paralelas cortadas por uma

reta transversal.

Analisando a imagem abaixo, vemos que:

o 𝒂 e 𝒆

𝒃 e 𝒇

𝒄 e 𝒈

𝒅 e 𝒉


Ângulos correspondentesa = e; b = f; c = g; d = h

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉

Retas paralelas cortadas por

uma reta transversal.

Analisando a imagem, vemos que:o 𝒄 e 𝒆

𝒅 e 𝒇

o 𝒂 e 𝒈 𝒃 e 𝒉

o 𝒂 e 𝒉 𝒃 e 𝒈

o 𝒄 e 𝒇 𝒅 e 𝒆


Ângulos alternos internosc = e; d = f

Ângulos alternos externosa = g; b = h

Ângulos colaterais externosa + h = 180°; b + g = 180°

Ângulos colaterais internosc + f = 180°; d + e = 180°

Vamos praticar...

Considere m e n retas paralelas (m // n),

calcule o valor de x e a medida de cada

ângulo assinalado.


2x + 10°

x + 30°

m n

Vamos praticar...

Analisaremos assim:

Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e oângulo correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x+ 10°

x + 30° = 2x + 10°

x – 2x = 10° - 30°

-x = -20°

x = 20


2x + 10°

x + 30°

𝑦

50°

50°

m n

m n

Vamos praticar...

Na figura a seguir, a e b são retas paralelas

cortadas pela transversal r. Calcule as

medidas de x e y sabendo que a diferença

entre elas é 64°.


yx

a b

r

Vamos praticar...

Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y = 180º, e pelo enunciado x – y = 64º, teremos um sistema:

x – y = 64º x = 64° + y

x + y = 180º

x + y = 180°64° + y + y = 180°2y = 180° - 64º 2y = 116°y = 58°

Agora é só utilizar o valor de y em algumas das equações, paraobter x.

x + 58° = 180º x = 180° - 58° x = 122°


Paralelogramo

Em todo paralelogramo temos dois ângulos

opostos que são congruentes (medidas

iguais) e dois ângulos não opostos que são

suplementares (soma das medidas: 180°).


A B

CD

Vamos praticar...

Calcule as medidas dos quatro ângulos

internos dos paralelogramos a seguir:


3x + 22°

5x

Vamos praticar...

Como 5x e 3x + 22° são ângulos opostos, logo:

5x = 3x + 22°

5x – 3x = 22°

2x = 22°

x = 11°

5x = 5.11°

55°

Logo, 55° + y = 180°

y = 180° - 55°

y = 125°

A medida dos quatro ângulos internos são 55°, 55°, 125°e 125°.


3x + 22°

5xy

y

Ângulos internos de um triângulo

A soma das medidas dos ângulos internos

de um triângulo qualquer é 180°.


A

C

B

𝑩 𝑪

𝑨

Vamos praticar...

Uma corda foi esticada no topo desse prédio até o

chão. O ângulo determinado no chão pode ser

medido: 62°. Qual a medida do ângulo no topo

desse prédio?


62°

x

Vamos praticar...

Pela figura anterior, temos os ângulos 62°, 90°e x, onde formam um triângulo e a soma dosângulos de um triângulo é 180°.

62° + 90° + x = 180°

152° + x = 180°

x = 180° - 152°

x = 28°

Assim, a medida do ângulo do topo do prédio é28°.


Nomenclatura do polígonos

Polígono é uma figura fechada formada por

segmentos de retas, que constituem os

lados da figura. O encontro dos segmentos

formam os vértices, os ângulos internos e

os ângulos externos.

A nomenclatura de um polígono depende do

número de lados da figura.


Nomenclatura do polígonos

A tabela abaixo contém a nomenclatura de

alguns polígonos.


Lados Nome Lados Nome Lados Nome

1 11 undecágono... ...

2 12 dodecágono

3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono

4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono

5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono

6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono

7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono

8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono

9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono

10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Polígono Convexo

Um polígono é convexo se os ângulos do polígono foremmenores que 180º, assim ele será convexo.

Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º eleserá classificado como não convexo ou côncavo.


Ângulos menores que 180°

Ângulo maior que 180°

Ângulos internos de um quadrilátero

Em todo quadrilátero convexo, a soma das

medidas dos ângulos internos é 360°.

Podemos observar traçando-se uma diagonal,

transformando-o em dois triângulos.


Vamos praticar...

Determine a medida do ângulo x do

quadrilátero abaixo:


3x

x

2x – 30°

Vamos praticar...

Pela figura anterior, temos os ângulos 2x – 30°,3x, 90° e x, onde formam um triângulo e asoma dos ângulos de um quadrilátero é 360°.

2x – 30° + 3x + 90° + x = 360°

2x + 3x + x = 360° + 30° - 90°

6x = 300°

x = 50°

Como o ângulo x é o ângulo menor, então oângulo menor mede 50°.


Ângulos internos de um polígono

Em um polígono convexo de n lados, a

soma das medidas dos ângulos internos(Si)

é igual a (n - 2) . 180°. Assim, teremos a

fórmula:


Si = (n - 2) . 180°

Vamos praticar...

Qual o valor de x nesta figura?


160°

95°

x

Vamos praticar...

Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,utilizaremos desse valor na fórmula para obter a somados ângulos internos desse polígono.

Si = (5 - 2) . 180°

Si = 3 . 180°

Si = 540°

Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x dey.

90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°

435° + y = 540°

y = 540° - 435°

y = 105°


160°95°

xy

Vamos praticar...

Como y + x = 180°, temos:

125° + x = 180°

x = 180° - 105°

x = 75°


105° x

Polígonos regulares

Todo polígono regular possui os lados e os

ângulos com medidas iguais. Alguns

exemplos de polígonos regulares.


60° 60°

60°

90°

90°

90°

90°

108°

108° 108°

108°

108°

120° 120°

120°120°

120° 120°

Ângulos internos de polígonos regulares

Assim para sabermos qual a medida dos

ângulos internos de um polígono regular

basta saber a soma dos ângulos internos

(Si) e o número de lados (n). A partir disso,

fazer o quociente entre eles.


Si𝒏

Ângulos externos de um polígono convexo

Um ângulo externo de um polígono convexo é formadopelo prolongamento de um dos lados do polígono.

O ângulo indicado pela sua medida d é um ânguloexterno do triângulo ABC.

A soma das medidas dos ângulos externos de qualquerpolígono convexo(Se) é igual a 360°.


Ângulos externos de um polígono regular

Para sabermos a medida do ângulo externo

de um polígono regular basta fazer o

quociente entre a soma dos ângulos

externos (Se) e o número de lados (n).


S𝒆𝒏

Diagonais

Denominamos por diagonal o segmento de

reta que une um vértice ao outro. O número

de diagonais de um polígono é proporcional

ao número de lados. Para cálculos

envolvendo o número de diagonais,

utilizamos a seguinte fórmula:


d =𝒏 . (𝒏 − 𝟑)

𝟐

Joyce Danielle


Figuras geométricas espaciais

Apresentação

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço,em que estudamos as figuras que possuem mais deduas dimensões. Sendo elas os poliedros, ou seja,figura com várias faces e a superfície é formada apenaspor polígonos.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então ageometria espacial é responsável pelo cálculo do volumedessas figuras e o estudo das estruturas das figurasespaciais.

Os seus elementos mais importantes são as faces, asarestas e os vértices.


Ponto e Reta

Relação entre um ponto e uma reta

oO ponto A pertence à reta r (A r);

oO ponto B não pertence à reta r (B r).


A

B

r

Ponto e Reta

Relação entre pontos

o Os pontos A, B e C são colineares (existe umareta que passa pelos três).

o Os pontos D, E e F não são colineares.


A

B

s

C

D

E

F

Ponto e Reta

Relação entre duas retas de um plano

o As retas c e m são distintas e paralelas;

o As retas b e f são concorrentes e oblíquas.


c

m

f b

Ponto e Reta

Relação entre duas retas de um plano

o As retas a e t são coincidentes (paralelasiguais);

o As retas p e n são concorrentes eperpendiculares.


p

nt

a

Ponto e Plano

Relação entre ponto e plano


H

J

F

GI

M

Ponto e Plano

o O ponto F pertence a (F );

o O ponto F não pertence a (F );

o O ponto H não pertence a (H );

o O ponto H não pertence a (F );


Ponto e Plano

Dados dois pontos ou mais no espaço:

o Eles são ou não pontos coplanares

P, Q e R são três X, Y, Z e W são quatro

pontos coplanares. pontos não-coplanares.


P

Q

R X

Y

Z

W

Ponto e Plano

1. Dois pontos distintos são sempre colineares

e sobre eles passa uma única reta. Dizemos

então que dois pontos distintos A e B

determinam uma reta (AB).

2. Três pontos não-colineares são sempre

coplanares e sobre eles passa um único

plano. Dizemos então que três pontos não-

colineares A, B e C determinam um plano

p(A, B, C).


Poliedros

O poliedro é formado pela reunião de um

número finito de polígonos, onde cada

polígono representa uma face.


vértice

aresta

face

Nesse poliedro temos:

Vértices: 6

Arestas: 12

Faces: 8

Poliedros

As figuras espaciais abaixo são exemplos

de poliedros.


Nomenclatura de Poliedros

A nomenclatura dos poliedros é

estabelecida em função do número de

faces. O menor número de faces de um

poliedro é 4. A tabela abaixo mostra alguns

exemplos da nomenclatura usada para os

poliedros convexos.


Número de faces Nome do poliedro

4 tetraedro

5 pentaedro

6 hexaedro

8 octaedro

12 dodecaedro

20 icosaedro

Relação de Euler

É uma relação entre o número de vértices

(V), o número de arestas (A) e o número de

faces (F) de um poliedro convexo.


Vértices: 8Arestas: 12Faces: 6

Cubo Pirâmide Prisma



Relação de Euler

Observamos assim que, para cada um dos

poliedros, o número de arestas é

exatamente 2 unidades menos do que a

soma do número de faces com o número de

vértices. Essa relação pode ser escrita

assim:


V – A + F = 2

Poliedros Regulares

Um poliedro convexo é regular quando

todas as faces são regiões poligonais

regulares e congruentes e em todos os

vértices concorre o mesmo número de

arestas.


Ângulos das faces de poliedros

A soma dos ângulos de todas as faces de

um poliedro convexo (Sf) que possui V

número de vértices é:


Sf = (V – 2) . 360°

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