Figuras Semelhantes

Ano Lectivo 2010/2011 Planos de Aulas 8º Ano Professor: Carlos Santos

1

Conteúdos: Ampliação, redução e figuras geometricamente iguais;Razão de semelhança;

Construção de figuras semelhantes;Critérios de Igualdade de triângulos;Semelhança de figuras (Polígonos);Semelhança de triângulos; Thales e a Pirâmide de Queops;

Objectivos:Indicar exemplos de figuras semelhantes em objectos do dia-a-dia, no plano ou no espaço, ou num conjunto de figuras dadas.Ampliar uma figura, dada a razão.Reduzir uma figura, dada a razão.Construir um polígono semelhante a outro, dada a razão de semelhança.Identificar triângulos semelhantes.

Figuras Semelhantes

Exemplo: De entre as figuras seguintes, indica aquelas que são semelhantes:

R: As figuras semelhantes são: A e F, B e D

Nota:

Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma.

Duas figuras têm a mesma forma se forem geometricamente iguais ou se uma delas for ampliação da outra.

As figuras semelhantes podem ser:

Ampliação – Quando os ângulos correspondentes são iguais e os comprimentos dos seus

lados correspondentes são multiplicados por 1r (r é a razão de semelhança).

Exemplo:

A figura B é a ampliação da figura A 2r , 2 é a razão de semelhança.

Se multiplicarmos as dimensões do quadrado A por 2, obtemos uma Ampliação. 2 2 2 4r

AF

BD

C E

4cm

2cm BA


2

b´

a´

b

a

Redução: Quando os ângulos correspondentes são iguais e o comprimento dos seus lados

correspondentes são multiplicados por 1r (r é a razão de semelhança).

Exemplo:

A figura A é a redução da figura B,2

1

4

2r é a razão de semelhança.

Se dividirmos as dimensões do quadrado B por 2, obtemos uma redução. 1 14 2

2 2r

Geometricamente iguais – Quando os ângulos correspondentes são iguais e todos os

comprimentos dos seus lados são multiplicados por 1r (r é a razão de semelhança).

Exemplo:

A e A´ são geometricamente iguais

1r , 1 é a razão de semelhança.

Observação:

O objecto ampliado tem a mesma forma mas é maior.

O objecto reduzido tem a mesma forma mas é menor.

Razão de Semelhança - é a igual ao quociente entre o comprimento do segmento transformado e o comprimento do segmento original correspondente.

Exemplo:

42

2

a br

a b

, 2 é a razão de semelhança.

Para determinar a razão de semelhança entre dois polígonos, temos:

Identificar qual das figuras é a original e qual é a transformada;

Conhecer o comprimento dos seus lados correspondentes;

Esquematizando:

3cm3cm

3cm 3cm

3cm

A´

3cm

A

4cm

2cm BA

Figuras Semelhantes Redução (r < 1)Ampliação (r > 1)

Geometricamente iguais (r = 1)


3

3,5cm

6cm

Exercícios:

1. Constrói um rectângulo semelhante ao da figura com 4cm de comprimento e 3cm de largura,

de modo que a razão de semelhança deste para o outro seja:

a) 1,5cm;

b) 0,5cm;

Resolução:

Ampliação Redução

2. Qual é a razão de semelhança de um quadrado de 16cm de perímetro para outro de 20cm de

perímetro? R: 25,14

5

16

204:

4:

r

3. Um pentágono regular tem 15cm de perímetro. Qual é o comprimento do lado de uma

redução daquele polígono de razão 3

2?

Resolução: cmP 15 , sendo o pentágono regular, então cm35:15

23

6

3

23 , logo o comprimento do lado de uma redução do polígono é 2cm.

Critérios (ou Casos) de Igualdade de triângulos

Caso1: Lado, Lado, Lado (LLL) – Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem os três lados

iguais.

Exemplo:

D E

FC

BA

3cm

4cm

65,14

5,45,13

25,04

5,15,03

1,5cm

2cm

3cm

geometricamente igual a

AB DE

AC DF

BC EF

ABC DEF


4

ângulos adjacentes ao lado [AB]

ângulo oposto ao lado [AB]

B

C

A

Caso2: Lado, Ângulo, Lado (LAL) – Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem dois lados e

o ângulo por eles formado iguais.

Exemplo:

J K

LI

HG

Caso3: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA) – Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem um lado

igual e os ângulos adjacentes a esse lado também iguais.

Exemplo:

´´P Q

RO

NM

Definição: Os ângulos adjacentes são ângulos com um lado comum não estando nenhum contido no

outro.

Definição: Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é um ângulo raso.

+=180

Definição: Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é um ângulo recto.

+=90

GH JK

GI JL

GHI JKL

MN PQ

MNO PQR


5

Definição: Ângulos Verticalmente Opostos são os que têm o vértice comum e os lados de um são

prolongamento dos lados do outro.

Semelhança de Figuras (Polígonos)

Duas figuras ou dois polígonos dizem-se semelhantes:

Se tiverem os ângulos correspondentes iguais.

E se, o comprimento dos seus lados correspondentes forem directamente proporcionais.

Exemplo: Considera dois trapézios

3cm

7,5cm

4,5cm

30º

150º140º

40º30º

140º 2cm

40º

2,25cm1,5cm 150º

5cm

3cm

Os dois polígonos são semelhantes porque:

Os ângulos correspondentes são iguais.

Os comprimentos dos seus lados são directamente proporcionais: 7,5 4,5 2,25 31,5

5 3 1,5 2

Exercícios

1. De dois quadriláteros sabe-se que um tem lados com 2cm, 4cm, 6cm e 8cm e o outro tem os

lados 6cm, 12cm, 18cm e 24cm; Os ângulos correspondentes nos dois polígonos são iguais.

a) Justifica a semelhança das figuras.

R: A semelhança dos polígonos é que os ângulos correspondentes são iguais e os lados

correspondentes são directamente proporcionais. 6 12 18 243

2 4 6 8

b) Calcula a razão entre o perímetro do polígono maior e o polígono menor.

11

2

2

602 4 6 8 20 3

20

6 12 18 24 60 Logo, a razão entre o perímetro é 3 .

PP cm cm r cm

P

P cm cm cm


6

G

H

FE

C

D

BA

5,7

3,8

1,6

100º

30º

.

4,5 7,5 7,5 34,5 7,5 3 5

3 4,5

4,5 2 4,53 2 4,5 3

3 2 3

Calcula x e y

x x x cmx

yy y y cm

ˆ ˆ30º e 30º

5,73,8 5,7 1,6

3,8 1,6

5,7 1,6 9,12

3,8 3,8

2,4

O comprimento de EH é 2,4cm.

ABC EFG

xx

x x

x

2. Verifica se os polígonos seguintes são ou não semelhantes, justificando a tua resposta.

40

20

14

6

10

5

3

7

20

10

153º

153º 75º

75º

123º123º 127º127º

62º

62º

R: Os dois polígonos são semelhantes porque os ângulos correspondentes são iguais e o

comprimento dos seus lados correspondentes são directamente proporcionais.

40 20 14 62

20 10 7 3

3. Considera os polígonos [ABCD] e [EFGH] semelhantes.

a) Determina EH e ˆEFG

4. Nas figuras abaixo, estão representados dois trapézios semelhantes.

2cm

3cm

xcm

4,5cm

ycm7,5cm

GH

E

F

CD

B

A


7

F

ED

C

BA

F

ED

C

BA

F

ED

C

BA

Critérios (Casos) de semelhança de triângulos

Para que dois triângulos sejam semelhantes é suficiente que tenham de um para o outro:

Caso1: Ângulo, Ângulo (AA) – dois triângulos são semelhantes se tiverem dois ângulos geometricamente iguais.

Exemplo:

Caso2: Lado, Lado, Lado (LLL) – dois triângulos são semelhantes se tiverem os três lados proporcionais.

Exemplo:

Caso3: Lado, Ângulo, Lado (LAL) – dois triângulos são semelhantes se tiverem os dois lados proporcionais e o ângulo por eles formados geometricamente iguais.

Exemplo:

Exercícios:

1. Indica o critério de semelhança que te permite concluir que os triângulos são semelhantes.

23

46

4850605060

4

22

1

2

39

55

95

5595

ˆ ˆˆ ˆA D e C F

símbolo de semelhança

ABC DEF

AC AB BC

DF DE EFABC DEF

ˆ ˆ

CA CB

FD FE

C F ABC DEF


8

Thales e a Pirâmide de Queóps

Thales de Mileto foi um Matemático e Astrónomo grego que viveu entre 624 e 546 a.C. Desde novo se revelou um génio em várias áreas científicas, entre eles a Matemática.

Conta-se que, ainda criança, espantou sacerdotes egípcios ao determinar com precisão a altura da pirâmide de Queops. Consegui-o a partir dos conhecimentos que já possuía da semelhança de polígonos.

A pirâmide de Queóps, construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente.

Para saber a altura da pirâmide (a) basta espetar um pau (p) no chão na posição vertical e medir as sombras que a pirâmide (S) e o pau (s) faziam à mesma hora. Feitos alguns cálculos e a altura já estava determinada.

s

pS

a

a S

p s

altura da pirâmide

comprimento visível do pau

S sombra da pirâmide desde o centro

sombra do pau

a

p

s

Sendo 1 , 0,8 e 120 , teremos

120 1200,8 120 1 150

1 0,8 0,8

p m s m S m

aa a a m

Exemplo1: Calcula a altura da torre de uma Igreja sabendo que projecta uma sombra de 18m ao mesmo tempo que uma vara com 1,5m projecta uma sombra de 2,5m.

Sendo 1,5 , 2,5 e 18 , teremos

18 272,5 18 1,5 10,8

1,5 2,5 2,5

a S

p s

p m s m S m

aa a a m

Exemplo2: A altura do António, que está de pé, é de 1,60m. O amigo, Firmino, mede a sombra do António, 2m e a do poste de telefones, 24m. Qual é a altura do poste?

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