FILTRE DE MICROUNDE

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

( ) 21

1

ωΓ−===

L

incLR P

PsarciniilivrataPuterea

sursaladeadisponibilPutereaP

LRPIL log10=

( ) ( )( ) ( )22

22

ω+ω

ω=ωΓ

NMM

( )( )22

1ω

ω+=

NMPLR

Tipuri de raspunsuri

N

cLR kP

221 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+=c

NLR TkP 221

N

cLR

kP22 2

4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

≈( ) NcLR kP 22 ωω≈

Maxim Plat Echi-Riplu

Tipuri de raspunsuri

Eliptic

Filtru cu raspuns liniar in faza

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+ω=ωφN

cpA

21

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

++=ωφ

=τN

cd NpA

dd

2121 intirzierea de grup

Filtre prototip

⎩⎨⎧

== paralelrcondensatounuiacapacitate

bobineuneitataninducg n,1kk

⎩⎨⎧

==

=110

1100 'Lgdaca'Gluigeneratorutatanconduc

'Cgdaca'Rluigeneratorurezistentag

⎩⎨⎧

==

=+

++

nn1n

nn1n1n 'Lgdaca'Gsarcinadetatanconduc

'Cgdaca'Rsarcinaderezistentag

Calculul ordinului filtrului maxim plat

[ ]110

101010

'/'log2

110110log

ωω

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

≥s

LL ArAs

n

Calculul ordinului filtrului echi-riplu

( )1s1

L1,0L1,01

'/'ch

110/110ch

n

ArAs

ωω

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

≥−

−

Filtre prototip de tip maxim-plat cu terminaţii rezistive

10 =g

( ) nkn

kgk ,...,3,2,1,212sin2 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π−

=

11 =+ng

Filtre prototip de tip echi-riplu cu terminaţii rezistive

γ= 1

12a

g

nkgb

aag

kk

kkk ,...,3,2,

4

11

1 ==−−

−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β

==+ parnpentru

imparnpentrugn

4coth

121

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=β

37,17cothln ArL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β=γ

n2sinh

( ) nkn

kak ,...,2,1,212sin =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π−

=

nknkbk ,...,2,1,sin 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+γ=

Filtre prototip de tip echi-riplu cu terminaţii rezistive

Scalarea in impedanta si frecventaFTJ

LRL 0=′

0RCC =′

0s RR =′

L0L RRR =′

cωω

←ω

c

k0k

LRL

ω=′

c0

kk R

CCω

=′

Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi

Scalarea in impedanta si frecventaFTS

LRL 0=′

0RCC =′

0s RR =′

L0L RRR =′

Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi

ωω

−←ω c

kck LR

Cω

=′0

1

kck C

RL

ω=′ 0

Exemplu

Să se proiecteze un filtru trece-jos de tip maxim plat cu o frecvenţă de tăiere de2 GHz, care să lucreze pe 50 Ω, şi să aibă pierderi de inserţie de cel puţin 15dB la 3 GHz. Calculaţi răspunsul în amplitudine şi în fază între 0 şi 4 GHz. şicomparaţi-l cu filtrul echi-riplu, cu riplu de 3 db şi de acelaşi ordin.

Solutie

( )( ) 22.423log2110log 1015=

−≥N

g1 = 0.618g2 = 1.618g3 = 2.000g4 = 1.618g5 = 0.618

C1' = 0.984 pF,L2' = 6.438 nH,C3' = 3.183 pF,L4' = 6.438 nH,C5' = 0.984 pF.

Simularea - 1

Scalarea in impedanta si frecventaFTJ - FTB

LRL 0=′

0RCC =′

0s RR =′

L0L RRR =′

Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

ω−ωω

←ω 0

0

0

012

0 1

0

12ω

ω−ω=Δ

210 ωω=ω

0ωΔ

=′k

k CL

Δω=′

0

kk

CC

Ramura serie

(in serie)

0ωΔ=′ k

kL

L

kk L

C0ωΔ

=′

Ramura paralel

(in paralel)

Scalarea in impedanta si frecventaFTJ - FOB

LRL 0=′

0RCC =′

0s RR =′

L0L RRR =′

Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi

0

12ω

ω−ω=Δ

210 ωω=ω

Ramura serie

(in paralel)

Ramura paralel

(in serie)

10

0

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

Δ←ω

0ωΔ

=′ kk

LL

kk L

CΔω

=′0

1

kk C

LΔω

=′0

1

0ωΔ

=′ kk

CC

Transformari ale filtrului prototip

Exemplu

Să se proiecteze un filtru trece-bandă de ordinul 3, avînd riplurile în bandă de0.5 dB. Frecvenţa centrala a filtrului sa fie de 1 GHz. Banda să fie de 10%, şiimpedanţa de 50 Ω.

Solutie

g1 = 1.5963 = L1,g2 = 1.0967 = C2,g3 = 1.5963 = L3,

g4=1.000 =RL

L'1 = 127.0 nH,C'l = 0.199 pF,L'2 = 0.726 nH,C'2 = 34.91 pF,L'3 = 127.0 nH,C'3 = 0.199 pF.

Simulare

Implementarea filtrelor în domeniul microundelor

Transformarea Richard

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω=β=Ω

pvll tantan

( )ljLLjjX L β=Ω= tan

( )ljCCjjBC β=Ω= tan

( )lβ==Ω tan1

Transformarea Richard

( )ljLLjjX L β=Ω= tan ( )ljCCjjBC β=Ω= tan

Identităţile Kuroda 122 1 ZZn +=

Identităţile Kuroda 122 1 ZZn +=

Exemplu

Să se proiecteze un filtru trece-jos în tehnologie microstrip.Specificaţiile sunt: frecvenţa de tăiere 4 GHz, ordinul 3,impedanţa de 50 Ω, şi o caracteristică echi-riplu de 3 dB.

Solutie

11 L3487.3g ==

22 C7117.0g ==

33 L3487.3g ==

L4 R0000.1g ==

Solutie - 2

11L LZ =2

2C C1Z = 33L LZ =

Solutie - 3

1L

LZR1n += 299.1n2 =

Solutie - 4

Ω== 93.6402

1 ZnZsh Ω=⋅= 254.70022 ZZZ Csh Ω== 93.6402

3 ZnZsh

Ω=⋅⋅= 435.217012

1 ZZnZ Lse Ω=⋅⋅= 435.217032

2 ZZnZ Lse

Solutie – Filtrul realizat microstrip si simulat

Invertoare de admitanţă şi impedanţă

ba Z

KZ

2

=b

a YJ

Y2

=

Circuitele prototip modificate folosind invertoare

( )( )

1nn

Ban1n,n

1kk

1kaak1n,1k1k,k10

1aA01 gg

RLK,

gg

LLK,

ggLR

K+

++

+−=+ ===

( )( )

1nn

Ban1n,n

1kk

1kaak1n,1k1k,k10

1aA01 gg

gCJ,

gg

CCJ,

ggCG

J+

++

+−=+ ===

Realizări practice ale invertoarelor de impedanta- 1

LK ω= CK ω=1

Realizări practice ale invertoarelor de admitanta - 1

L1J ω= CJ ω=

Realizări practice ale invertoarelor de imitanta- 2

( ) ( )radYB

arctgYB

YB

arctg,SYB

arctgtgYJ aaba

00000

22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=φ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

φ=

( ) ( )radZX

arctgZX

ZX

arctg,ZX

arctgtgZK aaba

00000

22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=φΩ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

φ=

Realizări practice ale invertoarelor de imitanţă - 3

( )( )20

0

000

1ZX,(rad)

Z2Xarctg,

2tgZK

ZK

ZK

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φΩ

φ=

( )( )20

0

000

1,(rad)2arctg,

2tg

YJ

YJYB

YBSYJ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

φ=

Circuit echivalent pentru sectiuni scurte de linii

[ ] ( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β−β−β−β−

=ljZlcjZlcjZljZ

Zcotcoscoscot

00

00

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡β−β

−=−2

tansin

1cos001211

ljZl

ljZZZ

2π<βl

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β=2

tan2 0

lZX

( )lZ

B β= sin1

0

Filtre trece-jos cu variaţii treaptă ale impedanţei caracteristice

Circuite aproximativ echivalente pentru sectiuni scurte de linie

lZX β≅ 0 lYB β≅ 0

hZZ =0 lZZ =0

4π<βl

hZLR

l 0=β (bobină)0R

CZl l=β (condensator)

4π<βl

Exemplu

Să se proiecteze un filtru trece-jos avînd un răspuns maxim-plat,frecvenţa de tăiere 2.5 GHz. Este necesar să avem mai mult de 20 dBpeirderi de inserţie la 4 GHz. Impedanţa filtrului este 50Ω, cea maimare impedanţă caracteristică realizabilă practic este 150Ω, iar ceamai mică 10Ω.

Solutia - 1

dBLAs 20= dBLAr 3= 6.15.20.41 ==ω′ω′S

6=N

66

55

44

33

22

11

517.0414.1932.1932.1414.1517.0

LgCgLgCgLgCg

============

Solutia - 2

°==β 9.50

11 RZ

gl l °==β 0.27022

hZR

gl °==β 1.220

33 RZ

gl l

°==β 9.36044

hZR

gl °==β 2.160

55 RZ

gl l °==β 9.9066

hZR

gl

Proiectarea filtrelor cu linii cuplate

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ+−

θ−−

θ−−

θ+−

θ−−

θ+−

θ+−

θ−−

θ−−

θ+−

θ+−

θ−−

θ+−

θ−−

θ−−

θ+−

=

cotZZ2jcotZZ

2jcscZZ

2jcscZZ

2j

cotZZ2jcotZZ

2jcscZZ

2jcscZZ

2j

cscZZ2jcscZZ

2jcotZZ

2jcotZZ

2j

cscZZ2jcscZZ

2jcotZZ

2jcotZZ

2j

Z

o0e0o0e0o0e0o0e0

o0e0o0e0o0e0o0e0

o0e0o0e0o0e0o0e0

o0e0o0e0o0e0o0e0

3131111 IZIZV +=

3331313 IZIZV +=

Proiectarea unui filtru trece-bandă cu linii cuplate

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛θ−θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ−θθθ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

θθ

θθ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

θθ

θθ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

cossinJZ1JZcosJsin

JZ1j

JcossinJZjcossin

JZ1JZ

cosZsinj

sinjZcos

0jJJj0

cosZsinj

sinjZcos

DCBA

00

2220

222

00

0

0

0

0

0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

21

22

21

2121

11

ZZ

Z1

ZZ

ZZ

DCBA

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ−+

θ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

θ−+θ

−+−

θ−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

cosZZZZ

sinZZ1j2

sin1ZZcos

ZZZZ

2jcos

ZZZZ

DCBA

o0e0

o0e0

o0e0

o0e02

o0e0

2o0e0

o0e0

o0e0

( ) 20o0e0 JZZZ

21

=−

00

o0e0

o0e0JZ1JZ

ZZZZ

+=−+

( )[ ]2000e0 JZJZ1ZZ ++=

( )[ ]2000o0 JZJZ1ZZ +−=

Calculul sectiunilor interne

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

12

11

12

12

211

212

12

11

12

11

12

12

212

211

12

11

ZZ

Z1

ZZZ

ZZ

1001

ZZ

Z1

ZZZ

ZZ

DCBA

θ=

−=

2sinjZ

C1Z 0

12

θ−=−== 2cotjZAZZZ 0122211

θ−=θθ+

−=− cotjZ2sin2cos1jZZZ 001211

( ) ( )000

0

012

jZ1sinjZ

Zω−ωπω−

≈ωωΔ+π

=

( )0

20

2jL

Zω−ωω−

=

0

0Z2Lπω

=002

0 Z2L1C

ωπ

=ω

=

2π≈θ

( ) ( )000p 1vll2 ωωΔ+π=ωπωΔ+ω=ω=β=θ

Calculul sectiunilor de capat

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0ZjN

NjZ

0

0Zj

jZ0

N0

0N1

DCBA

0

0

0

0

0JZN =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0jJ

JjDCBA

Circuitul echivalent al filtrului

230

0

02

2230

22 JZ

LCjJZ

Lj1Cj +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

=+ω

+ω

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+ωω−ωω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+ωω−ωω+

ω+ω=

2300022

220

01

120

21

2300022

22

112

021

JZLCj

JLCj

ZJ1

JZLCj

JLj1Cj

ZJ1Y

( )

( ) ( )[ ] 00022

0

01

1

02211

ZCLj1

LC

j

ZCj1Lj1

Lj1CjY

+ωω−ωω′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

′′

=

=+′ω+′ω

+′ω

+′ω=

1

1

1

120

21 L

CLC

ZJ1

′′

=2

2

2

222

20

21

CL

LC

J

ZJ′′

= 022

23

30

21 ZJ

JZJ=

Relatiile de calcul ale filtrului

0

02πω

=ZLn

0020 21

ωπ

=ω

=ZL

Cn

n

( )[ ]20000 1)( ZJZJZZ kkke ++=

10

01 g

ZL

ωΔ

=′

00

11 Z

gCωΔ

=′

0

022

ZgL

ωΔ=′

0202 ZgC

ωΔ

=′

1

41

11

1101 g2CL

LCZJ Δπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=

21

41

22

2220102 gg2LL

CCZJZJ Δπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=

21

203 g2J

JZJ Δπ==

( ) 012 ωω−ω=Δ

110 g2JZ Δπ

=

n1nn0 gg2JZ

−

Δπ= N,,3,2n …=

1NN1N0 gg2

JZ+

+Δπ

=

( )[ ]20000 1)( ZJZJZZ kkko +−=

Exemplu

Proiectaţi un filtru trece-bandă cu N=3 şi ripluri de 0.5 dB în bandă. Frecvenţacentrală este de 2 GHz, banda de 10% şi

Ω= 50Z0

. Care este atenuarea la 1.8 GHz ?

Solutie

11.28.10.2

0.28.1

1.011 0

0−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−ωω

Δ←ω

( )( )( )[ ] dB8.2011.2arcch3ch122.01log10

arcchnch1log10)dB(L

2

1

s2rA

=+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω′ω′

ε+=

ng ( )Ωe0Z ( )Ωo0Zn

1 1.5963 0.3137 70.61 39.24

2 1.0967 0.1187 56.64 44.77

3 1.5963 0.1187 56.64 44.77

4 1.0000 0.3137 70.61 39.24

Rezultatul simularii