filtros ativos
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Filtros AtivosFiltros Ativos
Prof. RegisProf. Regis
CEFET-Ce – TelemáticaCEFET-Ce – Telemática
Processamento Digital de Processamento Digital de SinaisSinais
IntroduçãoIntrodução
Filtros AtivosFiltros Ativos
Um filtro ativo, consiste de um Um filtro ativo, consiste de um sistema cuja função é filtrar e sistema cuja função é filtrar e simultaneamente adicionar ganho ao simultaneamente adicionar ganho ao sinal.sinal.
Devido as características do Devido as características do amplificador operacional, este tipo amplificador operacional, este tipo de filtro tem melhor desempenho de filtro tem melhor desempenho que filtros passivos.que filtros passivos.
Filtros AtivosFiltros Ativos
Em baixas Em baixas freqüências (< 1 freqüências (< 1 MHz) os valores de MHz) os valores de indutores devem ser indutores devem ser muito maiores para muito maiores para atender as atender as especificações de especificações de atenuação e atenuação e freqüência de corte, freqüência de corte, o que inviabiliza o o que inviabiliza o projeto. Neste caso projeto. Neste caso justifica-se o uso de justifica-se o uso de filtros ativos.filtros ativos.
Curva de Curva de Resposta em Resposta em FreqüênciaFreqüência
Filtros AtivosFiltros Ativos
A curva de resposta em freqüência é A curva de resposta em freqüência é uma representação gráfica da uma representação gráfica da variação de amplitude do sinal de variação de amplitude do sinal de saída em função da freqüência do saída em função da freqüência do sinal de entrada, representa o ganho sinal de entrada, representa o ganho (ou atenuação), em dB, do filtro em (ou atenuação), em dB, do filtro em função da freqüência (esta pode ser função da freqüência (esta pode ser normalizada em função da normalizada em função da freqüência de corte) freqüência de corte)
Filtros AtivosFiltros Ativos Freqüência de corte (Freqüência de corte (fcfc) ) Freqüência de rejeição Freqüência de rejeição
((frfr)) Banda passante (BP)Banda passante (BP) Banda de rejeição (BR) Banda de rejeição (BR) Banda de transição (BT)Banda de transição (BT)
Função de Função de TransferênciaTransferência
Filtros AtivosFiltros Ativos
Em muitos circuitos analógicos, podemos Em muitos circuitos analógicos, podemos definir uma relação entrada-saída, neste definir uma relação entrada-saída, neste caso temos uma caso temos uma função de função de transferênciatransferência..
Quando esta função é expressa em termos Quando esta função é expressa em termos da freqüência podemos considerar que da freqüência podemos considerar que esta é a função que descreve a curva de esta é a função que descreve a curva de resposta em freqüência. resposta em freqüência.
Filtros AtivosFiltros Ativos
Forma geral da função de Forma geral da função de transferência de um filtro passa-baixas. transferência de um filtro passa-baixas.
AoAo = Ganho de banda passante = Ganho de banda passante FF(() = Função de aproximação) = Função de aproximação = 2= 2f, f f, f = freqüência em Hertz= freqüência em Hertz..
( )1 ( )
AoH j
F j
Filtros AtivosFiltros Ativos
Exemplo: Filtro RC passivo Exemplo: Filtro RC passivo
1( )
1
11
( ) ( )1 1
1( ) ;
1
C
C
c c
XVout j CH j
Vin R X R j C
Cjj CH j H j
Cj j RCR j C
H s s jRCs
Filtros AtivosFiltros Ativos
Ordem do Filtro = Grau do denominadorOrdem do Filtro = Grau do denominador
2
2 3
1( )
11
( )1
1( )
1
H sas
H sas bs
H sas bs cs
Filtro de 1ª OrdemFiltro de 1ª Ordem
Filtro de 2ª OrdemFiltro de 2ª Ordem
Filtro de 3ª OrdemFiltro de 3ª Ordem
Filtros AtivosFiltros Ativos
ObservaçõesObservações O aumento da ordem do filtro, significa o O aumento da ordem do filtro, significa o
aumento do numero de redes RC.aumento do numero de redes RC.
Independente do tipo de filtro, sabemos queIndependente do tipo de filtro, sabemos que
AAr r = Atenuação na freqüência de rejeição.= Atenuação na freqüência de rejeição.
1| ( ) | 2| ( ) | r
H fc
H fr A
Filtros AtivosFiltros Ativos
Ordem do Filtro ≡ Banda de TransiçãoOrdem do Filtro ≡ Banda de Transição
Função de Função de AproximaçãoAproximação
Filtros AtivosFiltros Ativos
Uma vez conhecida a função de Uma vez conhecida a função de transferência do circuito, devemos transferência do circuito, devemos encontrar uma função que descreva a encontrar uma função que descreva a curva de resposta em freqüência curva de resposta em freqüência desejada.desejada.
Filtros AtivosFiltros Ativos
Exemplo: Filtro RC passivoExemplo: Filtro RC passivo Equação de um sistema de primeira Equação de um sistema de primeira
ordem:ordem:
Informação conhecida sobre a curva de Informação conhecida sobre a curva de resposta em freqüência do filtro RC:resposta em freqüência do filtro RC:
Logo:Logo:
1( )
1H s
as
1| ( ) | 2H fc
1 11 1
1 2as a
as
Filtros AtivosFiltros Ativos
Exemplo: Filtro RC passivo (cont.)Exemplo: Filtro RC passivo (cont.) Função que descreve a curva de resposta Função que descreve a curva de resposta
em freqüência desejada:em freqüência desejada:
Logo:Logo:
Critério:Critério:
1 1( ) 1
1 1
1
2
cc
c
H s RCRCs s
RCf
1( )
1H s
s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Exemplo: Filtro RC passivo de quarta Exemplo: Filtro RC passivo de quarta ordemordem
Função que descreve a curva de Função que descreve a curva de resposta em freqüência desejada:resposta em freqüência desejada:
1 2 3 4
41 2 3 4
1( )
(1 )(1 )(1 )(1 )
2 1 0.435
0.435c
H sa s a s a s a s
a a a a
RC
Filtros AtivosFiltros Ativos
Filtros AtivosFiltros Ativos
Filtro RCFiltro RC A banda passante não é plana;A banda passante não é plana; A transição da banda passante para A transição da banda passante para
banda de rejeição não é instantânea, banda de rejeição não é instantânea, caracterizando uma banda de caracterizando uma banda de transição mais larga;transição mais larga;
A resposta de fase não é linear, o que A resposta de fase não é linear, o que gera uma distorção significante.gera uma distorção significante.
Filtros AtivosFiltros Ativos
Filtro AtivoFiltro Ativo Banda passante plana Banda passante plana OU OU Rápida transição entre banda passante Rápida transição entre banda passante
e banda de rejeição e banda de rejeição OUOU Resposta de fase linear.Resposta de fase linear.
*Filtros ativos podem ser construídos *Filtros ativos podem ser construídos para atender a para atender a UM,UM, E SOMENTE E SOMENTE UM,UM, destes critérios destes critérios
Filtros AtivosFiltros Ativos
Função de Aproximação de ButterworthFunção de Aproximação de Butterworth
Melhor relação atenuação/resposta de faseMelhor relação atenuação/resposta de fase Não apresenta Não apresenta rippleripple na banda passante ou na banda passante ou
na banda de rejeição. na banda de rejeição. Frequentemente utilizado como filtro anti-Frequentemente utilizado como filtro anti-
aliasing aliasing
2
2
1| ( ) |
1 /N
c
H s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Função de Aproximação de ChebyshevFunção de Aproximação de Chebyshev
Banda de transição abrupta, porém com o Banda de transição abrupta, porém com o custo da banda passante possuir custo da banda passante possuir ondulaçõesondulações
Utilizado em bancos de filtros, onde o Utilizado em bancos de filtros, onde o conteúdo de freqüência é mais importante conteúdo de freqüência é mais importante que o de amplitude que o de amplitude
2
2 2
1| ( ) |
1 /nn c
H sT
Filtros AtivosFiltros Ativos
Função de Aproximação de BesselFunção de Aproximação de Bessel
resposta de fase linear em uma larga resposta de fase linear em uma larga faixa de freqüência, no entanto, sua faixa de freqüência, no entanto, sua banda passante não é plana como a do banda passante não é plana como a do filtro de Butterworth e sua transição filtro de Butterworth e sua transição banda passante para banda de rejeição banda passante para banda de rejeição não é abrupta como a do filtro de não é abrupta como a do filtro de Tschebyscheff.Tschebyscheff.
2 (0)| ( ) |
( / )c
n
n
H s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Circuitos: Topologia Sallen-KeyCircuitos: Topologia Sallen-Key
2
3
1 1
1( )
1 c
RR
H sRC s
4
32 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2
1( )
1 ( ) (1 )C C
RR
H sC R R Ao RC s R R C C s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto1.1. Definir a necessidade básica: banda Definir a necessidade básica: banda
plana, transição rápida ou fase linear plana, transição rápida ou fase linear Tipo de filtroTipo de filtro
2.2. Definir os parâmetros básicos:Definir os parâmetros básicos:1.1. Freqüência de corteFreqüência de corte2.2. Freqüência de rejeiçãoFreqüência de rejeição3.3. Atenuação da banda de rejeiçãoAtenuação da banda de rejeição4.4. Ondulação em banda passanteOndulação em banda passante
3.3. Calcular a ordem do filtroCalcular a ordem do filtro4.4. Encontrar a função de aproximação Encontrar a função de aproximação
Coeficientes Coeficientes igualar a função de igualar a função de transferênciatransferência
Projeto de um Projeto de um Filtro AtivoFiltro Ativo
Filtros AtivosFiltros Ativos
Problema: projetar um filtro a ser Problema: projetar um filtro a ser utilizado como filtro anti-aliasing utilizado como filtro anti-aliasing em um A/D, tendo como em um A/D, tendo como características básicas:características básicas:
Freqüência de corte (Freqüência de corte (fcfc)= 2 kHz)= 2 kHz Freqüência de rejeição(Freqüência de rejeição(frfr) = 5 kHz) = 5 kHz Ondulação (Ondulação () = 0) = 0 Atenuação da banda de rejeição = -30 Atenuação da banda de rejeição = -30
dB dB
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto1.1. Definir a necessidade básica:Definir a necessidade básica:
1.1. Banda de passagem plana = filtro com Banda de passagem plana = filtro com função de transferência de Butterworth.função de transferência de Butterworth.
2.2. Definir os parâmetros básicosDefinir os parâmetros básicos Freqüência de corte (Freqüência de corte (fcfc)= 2 kHz)= 2 kHz Freqüência de rejeição(Freqüência de rejeição(frfr) = 5 kHz) = 5 kHz Atenuação da banda de rejeição = -30 dB Atenuação da banda de rejeição = -30 dB
-30 dB = 10 log (-30 dB = 10 log (ArAr) ) ArAr = 0.001 = 0.001
Logo: |Logo: |HH(2kHz)|=1/2 e |(2kHz)|=1/2 e |HH(5kHz)|=0.001(5kHz)|=0.001
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto3.3. Calcular a ordem do filtroCalcular a ordem do filtro
Função de Butterworth para|Função de Butterworth para|HH(5kHz)|=0.001(5kHz)|=0.001
22
2
2 3
32 3
3
1| ( ) |
1 /
1 150000.001 1 2000 1050001 2000
1 log(10 )2.5 1 10 2 7.5
10 log(2.5)
4
N
c
N
N
N
H s
N
N
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto4.4. Função de aproximaçãoFunção de aproximação
Sendo N=4, devemos escrever a função Sendo N=4, devemos escrever a função de Butterworth na forma de um de Butterworth na forma de um sistema de 4 ordemsistema de 4 ordem
2 3 4
1( )
1H s
as bs cs ds
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto4.4. Função de aproximação(cont.)Função de aproximação(cont.)
Como não temos um circuito de ordem 4, Como não temos um circuito de ordem 4, devemos escreve a função na formadevemos escreve a função na forma
Que representa dois circuitos de ordem 2 Que representa dois circuitos de ordem 2 cascateadoscascateados
2 21 1 2 2
1( )
(1 )(1 )H s
a s b s a s b s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto4.4. Função de aproximação (cont.)Função de aproximação (cont.)
Fazendo s = j(Fazendo s = j(/ / c), H(s) = 1/Q(s) e c), H(s) = 1/Q(s) e N=4, temos:N=4, temos:
Devemos encontrar as raízes de Q(s)Devemos encontrar as raízes de Q(s)
8
2
1( ) ( ) 1
1NH s Q s js
sj
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto4.4. Função de aproximação (cont.)Função de aproximação (cont.)
Usando a função: solve(′1+(-j*s)^8′) do Usando a função: solve(′1+(-j*s)^8′) do MatLab, temos:MatLab, temos:
1 2 2 2 22
1 2 2 2 22
1 2 2 2 22
1 2 2 2 22
j
js
j
j
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto4.4. Função de aproximação (cont.)Função de aproximação (cont.)
Q(s) possui 8 raizes (4 pares conjugados), Q(s) possui 8 raizes (4 pares conjugados), sedo que devemos pegar as quatro que sedo que devemos pegar as quatro que possuem parte real positiva, temos possuem parte real positiva, temos então:então:
Obtemos:Obtemos:
1 2 3 4( ) (1 )(1 )(1 )(1 )Q s s s s s s s s s
1 2 2 2 22
1 2 2 2 22
js
j
2 2( ) 0.765. 1 1.848 1Q s s s s s
Filtros AtivosFiltros Ativos
Etapas de ProjetoEtapas de Projeto5.5. Função de transferênciaFunção de transferência
Igualando a função de transferência Igualando a função de transferência Sallen-Key de segunda ordem:Sallen-Key de segunda ordem:
Primeiro estágioPrimeiro estágio
Segundo estágioSegundo estágio
2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2
1 ( ) (1 ) 0.765. 1
1 ( ) (1 ) 1.848 1
C C
C C
C R R Ao RC s R R C C s s s
C R R Ao RC s R R C C s s s