Filtros - Faculdade de Engenharia da Universidade do Portopaginas.fe.up.pt/~jms/E3/Filtros3.pdf ·...

1

1

Filtros

Electrónica 3 – 2005/06José Machado da SilvaVítor Grade Tavares

Electrónica 3 – 2005/06 2

Filtrosn Sumárioq Introduçãoq Funções de aproximação de filtrosn Transformação de frequênciasn Aproximações de Butterworth, Chebychev, Bessel, elípticas

q Síntese - implementação de filtros TC/ACn Passivosn Activos

q Implementação de filtros TD/ACn Filtros de capacidades comutadas

2


Filtrosn Exemplo

q Determinar, usando um polinómio de Butterworth, a função de transferência de um filtro passa-banda que satisfaça os requisitos de filtragem especificados na figura seguinte.

2MHz 8MHz0,5MHz 16MHz-3 dB

-20 dB

f0

Resolução:- Achar frequência central

simétricassão não limite sfrequência as

MHz

MHz

5,2

4

21'

210

0 ==

==

cc

pp

fff

fff

ΩC1 Ω

log-3 dB

-20 dB

flog

- Achar a frequência limite da bandade rejeição (ΩC)

fp2fp1fc1 fc2


Filtrosn Resolução (cont.)

Passa-baixo normalizadoPassa-banda

)(ωs)(

,. 12

20

222

pppb

opb Bs

sS

ωωω

ωωω−

−=Ω

+=

21 , pp ωω 1=Ω pb

21, CC ωω12

12

pp

ccC ωω

ωω−−

=Ω

351,25,2log2

110log

25,22

225,52

1020

2

0

0

2

12

02

1

0

0

1

12

01

=⇒=

−

≥

×=×−−

=Ω

×=×−−

=Ω

−−

nn

ff

ff

fff

ff

ff

fff

c

c

ppc

c

c

ppc

ππ

ππ

Usar a menor

Ωlog-3 dB

-20 dB

ΩC1

( )( )3

3

30

2

2

200

322

1112121

1

2211

111)(

++

++

++

=

+++=

+++=

ss

Bss

Bss

B

SSSSSSSH

bbbbbbb

ωωω

3


Filtrosn Conversão passa-baixo -> passa-banda

q No passa-baixo normalizado uma indutância tem como reactância:

q e um condensador uma admitância:

q Invertendo a normalização, a indutância converte-se num LC s érie:

q e a capacidade num LC paralelo

λλλ bSjX =Ω=

λ

λλ

ωλλ

xsx

ss

sxsB

sSb ∆

+∆

=

+

∆=

+=

11120

2

λ

L C

γγγγ

bSjYX

111=

Ω==

γ

γ

γγ

ωγγ

xsx

ss

sxsB

sSb ∆

+∆

=

+

∆=

+=

11120

2

L

C


Filtrosn Normalização de componentes

passivos q unidade de indutância

q unidade de capacidade

q valor normalizado da indutância

q valor normalizado da capacidade

;1

;

pcu

p

cu

RC

RL

ω

ω

=

=

;

;

u

u

CCLL

=

=

γ

λ

uu

uu

CLCCLLLL

2211

2211

;;

γγλλ

====

4


Filtros – circuitos ressonantes 2ªordemn Circuito ressonante LC

C L • Pólos D(s)= 0 => estruturanatural corresponde Xi(s)= 0)(

)()()()(

sXsX

sDsNsH

i

o==Polinómios

C LI

C

LV +-

CL

V +-

I= 0 V= 0 V= 0


Filtros – circuitos ressonantes 2ªordemn Circuito ressonante LC

C L

Zeq

∞=+−

=+

===

)()( 2222 ωωω

ω

ω ωωω

jZcj

sc

ssZ eq

ojsoeq

o

LCo1=ω Frequência de

ressonância

C

Z in Zo

L

∞==

=+−

=

=

=

)()()(

0)()(22

ωωω

ωωωω

ω

ωω

ωω

jZjZjZ

jZ

LjjZ

oeqo

ino

in

o

o

5


Filtros – circuitos ressonantes 2ªordemn Circuito ressonante RLC

CR L

RCQLC

Qss

LCRCsssD

o

o

o

ω

ω

ωω

=

=

++=++=

1

11)( 2022

A BC

• Síntese de filtros PB, PA, PBanda e RB mediante divisores de tensão:

21

2

)()()(

ZZZ

sVsVsH

i

o

+==

Z2

Z1Vi(jw) Vo(jw)


Filtros – passivosn Filtro Passa-baixo (PB) sem freq de “notch” implica 2 zeros

no infinito.

Os zeros são quando . Estes são os únicos zeros.

021 →∧∞→ ZZ ∞→s

CR

LB

C

Vi(jω)Vo(jω)

A

Z2

Z1

LCs

RCs

LC

sQ

ssH

oo

o11

1

)(222

2

++=

++=

ωωω

XCXL

Sugestão:Obter expressão de Q

6


Filtros – passivosn Filtro Passa-alto (PA) sem freq de “notch” implica 2 zeros em

zero.

021 →∧∞→ ZZ 0→s

XC XL

C

RL

B

CVi(jω)

Vo(jω)

A

Z2

Z1

LCs

RCs

s

sQ

s

ssH

oo

11

)(

2

2

22

2

++=

=++

=ω

ω

Os zeros são quando . Estes são os únicos zeros.

Sugestão:Obter expressão de Q


Filtros – passivosn Filtro Passa-baixo (PB) com freq de “notch” implica 2 zeros finitos no

eixo jω.

Para o LC paralelo então paraoeqZ ωω =∞=⇒ ;

R

B

C

Vi(jω)Vo(jω)

A

Z2

Z1

22

22

'

')(

oo

n

sQ

s

s

CC

CsH

ωω

ω

++

+

+=

∞→1Z

on

nzero js

ωω

ω

>

±=L//C’

C

L

C’

on

n

o

CL

LCCωω

ω

ω

>

×=

×+=

'

'

1)(

1

0 dB

7


Filtros – passivosn Filtro Passa-alto (PA) com freq de “notch” implica 2 zeros finitos.

Para o LC paralelo então para

22

22

')(o

o

n

sQ

s

s

LL

LsH

ωω

ω

++

+

+=

C

R

L’

B

CVi(jω)

Vo(jω)

A

Z2

Z1

L

oeqZ ωω =∞=⇒ ; ∞→1Z

L’//C

on

n

o

CL

CLLωω

ω

ω

<

×=

×=

'

'

1//

1

on

nzero js

ωω

ω

<

±=

SPICE aborta a simulação

0 dB


Filtros – passivosn Filtro Passa-banda (P-B) implica 1 zero finito (zero) e outro infinito.

Dois zeros impostos por Z2,

R

BC

Vi(jω)Vo(jω)A

Z2

Z1

LC

CsLs ⇒∞→⇒→ ;0

LCs

RCs

sRC

sQ

s

sQsH

oo

o

111

)(

2

22

++=

=++

=ωω

ω

-3 dB

RCQBW

10 ==ω

0 dB

8


Filtros – passivos

n Filtro rejeita-banda (RB) implica 2 zeros finitos em ±jωo.

CLjs n //⇒±→ ω

LCs

RCs

LCs

sQ

s

ssHo

o

o

11

1

)(

2

2

22

22

++

+=

=++

+=ωω

ω

C

R

L

B

CVi(jω)

Vo(jω)

Z2

Z1

Dois zeros impostos por Z1,

-3 dB

RCQBW

10 ==ω

0 dB


Filtros passivos – síntesen Passa-baixo

λ1Vi(jω)Vo(jω)

γ2 γ4 γn

λ3 λn-1 Vi(jω) Vo(jω)

γ1 γ3 γn-1

λ2 λn

Y22

I2

V2V1

I1

Qualquer que seja a ordem do filtro:

)()(

)(;)()(

1)(

;1

)(

;

21

22

2222

21

221

2

2221222212

222

02

222

02

1

11

ssDsD

sYsDssD

sH

YY

VV

sH

VYYVVVYYVIIIV

VI

YVI

YVV

=+

=

+−

==

+=−⇒

+=−=−=

=

=

==

ρ

C

CRR

=ρ C

C

RR

=ρ

Neste caso fez-se Y=Y12

9


Filtros passivos – síntesen Passa-baixo

ss

ss

ssY

n

n

n

12

3

2

1

22

11

...

11

1

λγ

λγ

λγ

++

++

+=

−

−λ1

γ2 γ4 γn

λ3 λn-1 I2

V2V1

I1

Y22

432 613,2414,3613,21

1)(

sssssH

++++=

ss

ss

sss

sY

531,11577,1

1082,1

1383,0

1414,2613,2613,2

1383,0

2

322

++

+=

++

+=


Filtros passivos – síntesen Valores normalizados

0,3090,8941,3811,6941,54650,3831,0821,5771,5314

0,51,3331,530,7071,41422

γ6/λ6γ5/λ5γ4/λ4γ3/λ3γ2/λ2γ1/λ1n

λ1

Vi(jω)

Vo(jω)

γ2 γ4 γn

λ3 λn-1

Y22

I2

V2C

C

RR=ρ

ρ=1Vi fonte de impedânciainterna nula

0,80232,61311,24772,77541,19551,889862,45650,75364,3660,80963,41295

0,84202,70951,23361,977442,5560,75893,43453

0,90472,09412γ6/λ6γ5/λ5γ4/λ4γ3/λ3γ2/λ2γ1/λ1

n

Chebychev – ripple=0,3dB

Butterworth

10


Filtros passivos – síntesen Operações de transformação

Rejeição de banda

Passa-banda

Passa-altoPassa-baixoPassa-baixonormalizado

λ

γ γω 20

cBR

cBRγ

cp

Rγω

1cR

Bγ1

cRB 120ω

γ

cBRλ1

20ω

λ cBRcRBλ

cRB 1

20λω

cp

R×ωλ

cp R11

λω

cp R1

ωγ


Filtros – passivosn Exemplo

q Determinar, os valores dos componentes do filtro passa-banda que satisfaça os requisitos de filtragem especificados na figura seguinte, para uma resistência de carga de 1kΩ.

2MHz 8MHz0,5MHz 16MHz-3 dB

-20 dB

f0flog

fp2fp1fc1 fc2

λ1=1,5Vi(jω) Vo(jω)

γ2=1,333C

CRR

=ρ

λ3=0,5

L1Vi(jω) Vo(jω)

C2

Ω= kRC 1

C1 L3C3

L2

11


Filtros – passivosn

L1Vi(jω) Vo(jω)

C2

Ω= kRC 1

C1 L3C3

L2

( )

( )

( )

=Ω

×=

=Ω×=

=Ω

×=

=Ω×=

=Ω

×=

=Ω×=

pFkMHz

MHzC

HkMHz

L

pFkMHz

C

HkMHz

MHzL

pFkMHz

MHzC

HkMHz

L

4,1191

1

5,0.42

62

3,13162

5,0

4,351

162333,1

8,441333,1.42

62

8,391

15,1.42

62

8,39162

5,1

23

3

2

22

21

1

π

π

µπ

π

µπ

π

ππ

µπ

500kHz 2MHz 8MHz 16MHz


Filtros passivos – síntesen Perdas nos elementos passivos

CL

RL

GCL

L RLQ ω=

cL G

CQ ω=

• Perdas elevadas • Para baixas freq. o tamanho e peso

tornam-se bastante elevados.• A não linearidade nos materiais

ferromagnéticos origina harm ónicos.• Indutores irradiam e captam ondas

electromagnéticas => ruído.

1000<LQ • Baixas perdas • Melhor comportamento

no que respeita aos restantesaspectos.

000.10<CQ

Indutâncias Condensadores

12


Filtros activos

n Eliminar as indutâncias.n Resultam, em geral, em circuitos de menores dimensões que

o equivalente RLC.n Permitem ganho >1n Soluções:

q Substituir as indutâncias de uma malha RLC por um circuito baseado em AmpOp-RC, que apresente uma impedância de entrada indutiva.

q Síntese do sistema de equações diferenciais de primeira ordem (variáveis de estado), recorrendo a integradores de Miller.

q Síntese de “biquads” recorrendo a um único amplificador com realimentação. São filtros com aplicabilidade em situações onde Q<10.


Filtros activos 2ª ordem – giradores (gyrators)n O girador

n Indutância

=

−=

−

=−=

==

12

21

2112

2211

,

0,0

AYVI

VAY

I

A

AYYAY

Y

YY

positiva real admitância -Y positivo real nº

Y, AI1 I2 V2V1

Quadripólo activo para o qual:

Y, AI1 I2 V2V1

indutância ⇒=−=

−=

=

−=

ω

ω2

2

2

1

1

22

12

211

Y

Cj

VI

AYYA

IV

CVjI

AYVI

VAY

I

13


Filtros activos 2ª ordem – giradoresn Realização do girador

+

-

I1V1

I2 V2

R1

R2

R3

R4

( )

==

−==

=

−=

=+

−=

=−

+=

−+=

−=

−=

0;1

1;1

1

224

21

112

111

4

12

1

2

1

11

131

2

31

2

42

2131

2

4

22

3

02

4

22

2

02

1

211

YR

Y

RY

RY

RV

I

RV

RVI

VRR

RRR

RR

V

VVRR

RRVI

RVV

RV

I

RVV

RVV

I

4231 RRRR se;

Y, AI1 I2 V2V1 R1

=

=

4

1

41

1

RR

A

RRY

V0


Filtros activos 2ª ordem – giradoresn Realização do girador

+

-I1

V1

I2 V2

R1

R0

R0

R1

+

-

R

R

R1

Ri=-R1

14


Filtros activos 2ª ordem – giradoresn Girador –> Conversor de impedância

+

-

+

-

Z4

Z3

Z2

Z1

Z5

A

Zeq

A

42

531

ZZZZZZ eq =


Filtros activos 2ª ordem – giradoresn

+

-

+

-

+

-

+

-

4

2531

RCRRRL

LjZeq

=

= ω

AB

3

5142

2211

RCCRR

D

DDsZ

jseq

=

−=== ωω

R1

C2

R3

R4

R5

C1

R2

R3

R4

C5

BA

15


Filtros activos 2ª ordem – giradoresn Passa-alto

Y, AI1

V2

V1

+

-

V2C

C R

=

=

=

++

=

2

1

21

)( 2

2

RYm

CY

A

jjm

j

AjH c

cc

c ω

ωω

ωω

ωω

ω


Filtros activos 2ª ordem – giradores n Quando a indutância é flutuante não é adequado usar o

conversor de impedânciasn Para se usar o conversor de impedâncias nestas

circunstâncias, divide-se cada componente do circuito por s.

CssC

Ls

sLL

sRsRR

sC2

1

1

1

1

=→

=→

=→−

Capacidade de valor R-1

Resistência de valor L

Elemento D de valor C

• Nem todas as topologiasse podem implementar usando esta técnica.

16


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estado

n Filtros de variável de estado e biquads (biquadráticos)

q baseiam-se no integrador de Miller.

q permitem mais do que uma resposta simultaneamente.

q são pouco sensíveis às não idealidades dos componentes.

q são em geral fáceis de ajustar.


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Elementos básicos

+

-° Integrador idealR1

C

CRo1

1=ω

+

-Σ

° Somador

+

-

R1

C

RCo1=ω

R

sRCR

R

sA

+−=

+ 111

0ω

soω

−

° Integrador com perdas

17


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Computação analógica – resolução de equações diferenciais

com circuitos analógicos

)()(

)(2

2

sDsN

sHxcydtdy

bdt

yda =→=++

oPAoo

oPAo

ioPAi

oPA

oo

Vss

VsQ

AVVV

V

sQ

s

AssH

ωωω

ωω −−=⇔=++

=1

)(22

2

soω−Σ

oPAo V

Sω

− oPAoo V

ssωω

oPAV

-1Q1

AiV(Realização de Kelvin)

soω−

Passa-Banda (VoP-B) Passa-Baixo (VoPB)Passa-Alto (VoPA)


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon

+

-

R

C

+

-

aR

C

+

-

R/cR

R

R

oPAo Vs

ω−

oPAoo V

ssωω

oPAV

VoPA

VoPBanda

VoPB

+

-bR

R

==

=

==

−=

==

=

++

=

++

=

++

=

bac

Qac

RC

A

bac

Qac

RC

bA

bac

Qac

RC

cA

jQ

j

j

AjH

jQ

j

Qj

AjH

jQ

j

AjH

ccc

cc

cPA

cc

cPBd

cc

PB

;1

1

;1

1

;1

1

1

)(;

1

)(;

1

1)( 2

2

22

ωωω

ωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

ω

18


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Kerwin-Huelsman-Newcomb

+

-

R

C

+

-

R

C

+

-

R1Rf

R2

R3

−=

+==

QA

RR

QR

R f 12;1

21

;12

3

1

oPAo Vs

ω−

oPAoo V

ssωω

oPAV

VoPA

VoPBanda

VoPB

RCo1=ω

(Ganho)


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Filtro com “notch”

+

-

VoPA

VoP-Bd

VoPB Vo

RB

RL

RF

( ) ( ) ( )

L

Hon

oo

oLFoBFHF

i

o

RR

sQ

s

RRsRRsRRA

VV

ωω

ωω

ωω

=

++

+−−=

22

22 ///

RH

19


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Filtro Biquad Tow-Thomas (ou Filtro Ressonante)

+

-

R’

+

-

R

C

+

-

R

R2R1 oPAo Vs

ω−

oPAV

VoP-B

VoPB

-VoPB

C

R’

RR

Q

KRR

KRR

PBanda

PB

2

1

2

1

=

=−

=

RCo1=ω

° Ajuste Ortogonal:• Ajustar R para ωo• Ajustar R2 para Q• Ajusta R1 para o ganho do PA ou P-B


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Filtro Biquad Tow-Thomas com “notch”

+

-

R’

+

-

R

C

+

-

R

R2R1

oPAo Vs

ω−

oPAV

Vo

C

R’

R3 R4

22

34

'

1

12 1

)(o

o

oo

sQ

s

CRRR

CRs

CCs

sHω

ω

ωω

++

+

−+

=

Vi

C1

-VoPB

20


Filtros activos 2ª ordem - variáveis de estadon Filtro Biquad Tow-Thomas:

q Todos os amplificadores em modo inversor:§ Mais fácil compensar os offsets.§ Não há limitações de modo comum (importante se

compensarmos o amplificador em “feedforward” => boa largura de banda).

q Com cuidado conseguem-se Qs na ordem das centenas.


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Síntese de “biquads” recorrendo-se a um único amplificador

com realimentação.n Usados quando Q<10

+

-

Q’

Q

I’2I2

V2

V1

21

21

1

2

22

221212

222212

'

'

0

'''

YY

VV

H

II

VVYVYI

VYVYI

−==

=

=+=

+=

Seleccionando os quadripólos Q e Q’ é possível sintetizar uma funçãode transferência

V

21


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Passa-baixo

q Q:

q Q’

1

1

1

021

221 2

11

1

11RCjR

RCjRR

RCjR

RVI

YV

ωω

ω+

−=

++

+−=

=

=

R RC1

R

C2

RC1

1 2

1

2122

2

021

221

2)(211

'

RCjCCRjRCj

R

VIY

V

ωωω

+++−=

=

=

=

2

1

2102

00

21;1;1;

1CCQ

CCRA

jQ

j

AH ==−=

++

= ω

ωω

ωω

V2V1


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Passa-alto

q Q’

q Q

R1

R2

C

1 2C

R1

C C 1

2

210

2

00

2

0

21

;1

;1

;

1

RR

QRRC

A

jQ

j

jAH

==−=

++

=

ω

ωω

ωω

ωω

22


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Passa-banda

q Q’

q Q

( )CRjRRRCjCRj

Cj

CRjR

Cj

CRjR

RVI

YV

12

2122

1

1

1

1

1

2021

221

21)(21

11

11'

ωωω

ω

ωω

ω

+++

−=

++

+−−=

=

=

R1

C

1 2C

C 2R1

R2

( )CRjRCRj

CjRV

IY

V 12

2

1021

221 211

2

1ω

ω

ω+

−=+

−=

=

=

1

2

210

1

22

00

021;1;

2;

1RRQ

RRCRRA

jjQ

jQAH ==−=

++

= ω

ωω

ωω

ωω

V2V1


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Rejeita-banda

q Q

q Q’

R R

2C

1 2

V2V1 CC

R/2

R/2C

1 2C

2R

( )( )

1;1

;1

1

1

11

0

2

00

2

0

2

2

==−=

++

+

=

+++

−=

QRC

A

jQ

j

jA

RCjRCjRCj

H

ω

ωω

ωω

ωω

ωωω

( )( )

( )( )RCjR

RCjRCjY

RCjRRCj

Y

ωωω

ωω

+++

−=

++

−=

121

'

121

2

21

2

21

23


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn

+

-

a bCircuitoRC

• Síntese do circuito RC na malha derealimentação por forma a realizarum par de pólos complexos com ωo e Q

• Injectar o sinal de entrada num nó para realizar os zeros.

)()(

)()(sDsAN

AstAVV

sLb

a ===• Ganho da malha:

• Equação característica: 0)()(1

)()(0)(1 =⇒−=⇔=+

∞→ sDsN

AsDsNsL

A

• Os pólos do filtro são os zeros de t(s)

A


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Ponte em T

R2

C3

R1

C4

a b

....

1111

)( 2143421

2

RRCCCRRss

VVst

b

a

+

++

==

R4

R3

C2

a b

....

1111

)( 4321321

2

RRCCRCCss

VVst

b

a

+

++

==C1

24


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Passa-baixo

+

-

C

a bC

vo(t)

v i(t)

R4

0112

432

3

2 =++RRCRC

ss

• Equação característica

22

22o

o

o

i

o

Qss

Qs

QVV

ωω

ω

++−=

Ganho pode ser elevado

43

4

3

1

21

RRC

RRQ

o =

=

ω

R3


Filtros activos 2ª ordem – um AmpOpn Filtro Passa-Banda com atenuação.

+

-

R4

R3

C2

a bC1

vo(t)

v i(t)

R5

• Com R5//R4=R’4 :Equação característica

22

2

45

4 2o

o

o

i

o

wQw

ss

Qws

QRR

RVV

++×

+−=

0'

112

432

3

2 =++RRCRC

ss

Ganho atenuado

( )

( )543

54

3

//1

//21

RRRCw

RRRQ

o =

=

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