Filtros fir

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FILTROS DIGITALES DE RESPUESTA IMPULSIONAL FINITA Filtros FIR

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FILTROS DIGITALES DE RESPUESTA IMPULSIONAL FINITAFiltros FIR

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FILTROS• ¿Qué son los filtros y para que se usan?

Los filtros son sistemas que se diseñan principalmente para eliminar ciertos componentes no deseados en una señal.

GENERALMENE ESTAS COMPONENTES NO DESEADAS SE DESCRIBEN EN FUNCION DE SU CONTENIDO EN FRECUENCIA.

Un filtro ideal permite el paso de ciertas frecuencias sin modificarlas y eliminar completamente otras.

• Banda de paso; se le denomina al intervalo de frecuencias que deja pasar el filtro.• Banda de supresión; se le denomina a todas a todas las frecuencias que se

eliminan.

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• ¿cuáles son las ventajas de un filtrado digital?

El ancho de banda de un filtro digital esta limitado por la frecuencia de muestreo, mientras que una analógica depende de las características de los componentes físicos.

Se puede implementar tanto en software como en hardware.

• ¿cuántos tipos de filtros se conocen?

Existen dos tipos de filtros digitales, los filtros FIR y los filtros IIR.

En teoría los filtros FIR son mas rápidos y tienen una respuesta lineal.

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¿QUÉ VENTAJAS TIENE USAR FILTROS FIR?

• Debe ser “CAUSAL”, esto significa que tiene que tener un retraso hacia las frecuencias positiva y no debe existir señal en frecuencia negativa.

• Otra característica es que tiene la capacidad de ser usados con facilidad y poseer una fase lineal para una respuesta al impulso par o impar. A esta propiedad se le conoce como “SIMETRIA”.Que se define por si existe simetría en los coeficientes del filtro obteniendo así la “linealidad de fase”.

Linealidad de fase; aquella donde no hay distorsión de fase porque el cambio de fase del filtro es lineal.

Y esta es la ventaja principal

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• Que la fase sea lineal implica que se verifiquen ciertas condiciones de simetría:

1. Un sistema no causal con respuesta impulsional anti simétrica tiene una función de transferencia imaginaria pura.

2. Un sistema no causal con respuesta impulsional conjugada simétrica tiene una función de transferencia real.

• Tendremos fases que puedan ser 0 ó si queremos que la frecuencia sea realizable, las retardaremos un numero de muestras adecuada para que se transformen en causales.

• Si consideramos sistemas FIR con coeficientes RALES y una secuencia conjugada simétrica, se dice que es una secuencia PAR.

• Si consideramos sistemas FIR con una secuencia conjugada anti simétrica, se dice que es una secuencia IMPAR.

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• Dependiendo del numero de coeficientes del filtro y del tipo de simetría tenemos varias posibilidades:

Tipo

Numero de terminos N

1 Impar Simetrico 2 Par Simetrico 3 Impar Anti simetrico 4 Par Anti simetrico

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¿EN QUE SE BASAN LOS FILTROS FIR?

• Los filtros FIR se basan en obtener la salida a partir y exclusivamente de las entradas actuales y anteriores. Así para un filtro de de longitud N:

• Donde son los coeficientes del filtro. Ante un estimulo impulsional, la respuesta es finita lo que justifica su denominación.

• La salida puede escribirse como la CONVOLUCION de la entrada con la respuesta impulcional .

con • Luego la ecuación puede escribirse como:

• Podemos observar que ; es decir los coeficientes del filtro corresponden a la respuesta impulsional.

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MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS FIR

• Existen 3 grandes bloques de métodos de diseños de filtros FIR con fase lineal.

1. Método de las ventanas 2. Muestre por frecuencia 3. Rizado constante

Para esta exposición se profundizará en el diseño de filtros por medio del métodos las ventanas.

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MÉTODO DE LAS VENTANAS • El diseño de filtros FIR por medio del método de las ventanas se basa en acotar la respuesta

impulsional infinita de un filtro ideal.1. Procedimiento

Como primer paso se obtiene la respuesta impulsional del filtro ideal que deseamos diseñar . (Pasa altas, pasa bajas, etc)

2. Enventanar (TRUNCAR) dicha respuesta impulsional , es la respuesta impulsional de la ventana y la respuesta del filtro ideal. La respuesta de la ventana debe ser de la forma:

3. Desplazar la respuesta impulsional enventanada un numero adecuado de muestras para hacerla “causal”.(TAMBIEN se puede desplazar la respuesta impulsional del filtro ideal proveniente, para que la secuencia enventanada sea causal).

IMPORTANTE Como el producto en el dominio del tiempo equivale a una convolucion en el dominio de la frecuencia, podemos estudiar el efecto que este enventanado tiene sobre la respuesta frecuencial del filtro.

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EJEMPLO 1

• Como ya se dijo, en síntesis esta técnica se basa en la aplicación de una ventana a un filtro por medio de una multiplicación de sus ecuaciones.

• La ventana hace que en el filtro real se tengan menos variaciones de transición o supresión y con esto se logre un filtrado mas efectivo.

Un filtro ideal puede expresarse en el dominio de la frecuencia como serie de Fourier:

• Otra forma de expresar un filtro ideal es a partir de su respuesta en el

dominio del tiempo, para conocer esta respuesta se ocupa una transformada inversa de Fourier:

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EJEMPLO 1

• El desarrollo de esta transformada inversa nos resulta en la función:

• En general la respuesta de es infinita pero esta truncada mediante el ventaneo en el punto y multiplicando por la ventana rectangular o unitaria se obtiene

Para lograr un filtro computacionalmente realizable se debe buscar una respuesta impulsiva de longitud finita (2M-1). Para aproximar a un filtro FIR de orden M-1, se debe truncar la frecuencia dejando los valores desde 0 hasta M-1.

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• Realizando cálculos para diferentes filtros:

1. Filtros pasa altas Si

2. Filtros pasa bajas

3. Filtros pasa banda

4. Filtros rechazo de banda

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• Una vez obtenida la del filtro deseado se le aplica el tipo de ventana mas adecuada a las necesidades realizando la multiplicación correspondiente de acuerdo a las siguientes formulas:

1. Rectangular

2. Barlett (TRIANGULER)

3. Hamming

4. Hanning

5. Blackman

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EJEMPLO 2 VENTANA RECTANGULAR

• Se aplica una versión retardada de la respuesta impulsional ideal.• La ventana estará definida como:

• Su expresión en el dominio de Z es:

• Con lo que su respuesta en frecuencia resulta:

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EJEMPLO2 VENTANA RECTANGULAR

• Se define la anchura del lobulo principal de la ventana como el doble del intervalo de frecuencia hasta el primer nulo, que para la ventana rectangula se produce en las frecuencias:

• El lóbulo principal tienen una anchura que es inversamente proporcional a la longitud de la ventana y esta dada por .

• Cuando N crece el lóbulo principal se estrecha. Los lóbulos secundarios también se estrechan y se atenúan progresivamente, de forma que, en el limite cuando N tiende a infinito, el lóbulo principal se estrecha y los secundarios desaparecen.

Esto quiere decir que el hecho de que una ventana sea de longitud infinita arroja una secuencia de valor constante cuyo contenido espectral es nula, salvo para la componente continua.

• Dado que la respuesta en frecuencia de filtro diseñado srá igual a la convolusion en el dominio de la frecuencia de la respuesta en frecuencia del filtro ideal y de la ventana, esta ultima (la ventana) jugará un papel muy determinante en las características del filtro obtenido