CEA 562

SINAIS E SISTEMAS

TRANSFORMADA DE LAPLACE, FUNÇÃO

DE TRANSFERÊNCIA E FILTROS

Experimento: Aula Prática 3

Data de entrega: Segunda, 29 de Junho de 2015

Professora: Sarah Negreiros

Aluno(a): Douglas Monteiro – EE Matrícula: 11.2.8041

Rhivison Dornelas – EC 13.1.8465

Sabrina Fermano – EC 13.1.8474

ÍNDICE

Introdução ................................................................................................................................. 3

Objetivo ..................................................................................................................................... 3

Prática e Discussão ................................................................................................................... 3

Conclusão .................................................................................................................................. 9

Referências ................................................................................................................................ 9

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Figura 1 - Circuito Proposto

1. INTRODUÇÃO

Na teoria de Controle, muitas vezes para a construção de um sistema é necessário

modelar a ‘caixa preta’ que vai relacionar o sinal de entrada e saída do mesmo. Essa relação

entre os sinais de output e input, chamada de função de transferência, pode fornecer

preciosas informações quanto às características do circuito a ser construído. Essa função –

que somente pode ser aplicada a um sistema linear invariante no tempo, LIT - é definida

como a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada

de Laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais

nulas. Cada função de transferência corresponde a um determinado tipo de filtro. Neste trabalho

serão abordados dois filtros passivos, passa-baixa e passa-faixa, dado um mesmo circuito RLC.

2. OBJETIVO

O foco deste trabalho estará em descrever e analisar analítica e simuladamente as

funções de transferência de um dado circuito para diferentes casos, quando é calculada a

função de transferência de admitância e a função de ganho de tensão.

3. PRÁTICA E DISCUSSÃO

Nesta prática, foi considerado o circuito abaixo, considerando-se os valores R = 3 Ohms,

L = 1H, C = ½ F.

Para encontrar a função de transferência de ganho de tensão, 𝐻(𝑠), foi utilizado o

método da impedância e da divisão de tensão. Sabe-se que a função de transferência

saída/entrada, ou seja, 𝑌(𝑠)/𝑋(𝑠), pode ser calculada aplicando-se a divisão de tensão no

terminal do capacitor, assim, tem-se que:

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Figura 2 – Representação da Função de Transferência H(s) no Simulink

Gráfico a.1 - Saída y(t) no SCOPE

a)

𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) 1 𝑠𝐶⁄

1 𝑠𝐶⁄ + 𝑠𝐿 + 𝑅 →

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠) =

1 𝑠𝐶⁄

1𝑠𝐶 + 𝑠𝐿 + 𝑅

𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠) =

1

𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1 → 𝐻(𝑠) =

1/𝐿𝐶

𝑠2 +𝑠𝑅𝐿

+ 1

𝐿𝐶

Como R = 3, L = 1H, C = ½ F, encontra-se

𝐻(𝑠) = 2

𝑠2 + 3𝑠 + 2

Esta equação encontrada será a responsável por modelar o circuito no simulink. Ao invés

de construir o circuito RLC acima pode-se usar a função “Transfer” e assim obter o sinal de

saída y(t) medido no capacitor. Uma vantagem da função de transferência é poder testar,

simular vários valores de entrada e analisar a saída correspondente.

Montando os blocos de simulação referentes à Função H(s), encontra-se o resultado no

Gráfico a.1 obtido no osciloscópio:

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Gráfico a.2 - Diagrama de Polos e Zeros

No gráfico acima, podemos observar como a tensão no capacitor varia em função do

tempo. Esse resultado é mais do que esperado, sabendo-se que um capacitor não tem

carregamento instantâneo. A vantagem da função de transferência é poder testar vários

valores de entrada x(t) e analisar as saídas correspondentes y(t), para o dado sinal.

Função H(s)

Através da análise do diagrama de polos e zeros, no Gráfico a.2 abaixo, da função de

ganho de tensão, pode-se verificar que este é um sistema causal e estável, pois todos os

polos encontram-se à esquerda do eixo 𝑗𝜔, possuindo assim, necessariamente, uma região

de convergência a direita do polo mais à direita e incluindo o eixo 𝑗𝜔. Analisando o gráfico,

RDC em que o sistema é estável e causal é 𝜎 > −1.

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Gráfico a.3 – Função de Transferência H(s) – Filtro Passa-Baixas

Como o gráfico a.3 acima deixa claro, vê-se que o dado circuito com o ganho de tensão

medido no capacitor de um circuito RLC retorna um Filtro Passa-Baixas. Para esse dado

tipo de filtro, a frequência de corte é definida de tal modo que 𝜔𝑐 = 1

√2. Assim, para esse

caso, tem-se:

𝐻(𝑠) = 2

𝑠2 + 3𝑠 + 2 → 𝐻(𝑗𝜔) =

2

(𝑗𝜔)2 + 3𝑗𝜔 + 2 →

|𝐻(𝑗𝜔)| = 2

√(2 − 𝜔)2 + (3𝜔)2 =

1

√2 → 10𝜔2 − 2𝜔 + 6 = 0

A frequência de corte é então 𝜔𝑐 =1

10+

√7

10 rad./s. Frequências acima da estabelecida

por 𝜔𝑐 são atenuadas e somente as abaixo dessa marca são permitidas. Como não devia

deixar de ser, foi encontrada uma baixa frequência para o dado filtro. Isso se deve ao fato

de o filtro ser um filtro de 2ª ordem. Quanto maior a ordem de um filtro, melhor se torna a

aproximação de um filtro ideal, ou seja, mais “quadrada” a onda se torna.

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Figure 2 - Aplicando a Lei de Kirchhoff

Figura 4 – Representação da Função de Transferência T(s) no Simulink

b)

Aplicando a Lei da malha de Kirchhoff, temos:

Sabendo da relação V(s) = Z.I(s), pode-se escrever Y(s) = (1/sC).I(s), assim:

−𝑋(𝑠) + 𝐼(𝑠)𝑅 + 𝐼(𝑠)𝑠 + 𝑌(𝑠) = 0 → 𝑋(𝑠) = 𝐼(𝑠)𝑅 + 𝐼(𝑠)𝑠 + 𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠) = 𝐼(𝑠)𝑅 + 𝐼(𝑠)𝑠 +1

𝑠𝐶𝐼(𝑠) →

𝑋(𝑠)

𝐼(𝑠)= 𝑅 + 𝑠 +

1

𝑠𝐶

Como R = 3, L = 1H, C = ½ F, encontra-se

𝑇(𝑠) =𝑋(𝑠)

𝐼(𝑠)=

2𝑠

𝑠2 + 2𝑠 + 4

Essa é a função de transferência que relaciona a saída i(t), nesse caso a corrente do

circuito, e a tensão de entrada x(t).

Montando no simulink o circuito referente à Função T(s), encontra-se o resultado no

Gráfico 4 obtido no osciloscópio:

I(t)

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Gráfico b.1 – Saída i(t) no SCOPE

O gráfico b.1 acima mostra a saída da corrente sobre a tensão de entrada x(t). Vê-se que

a corrente cresce exponencialmente até o valor máximo de 0.6 A, quando o capacitor

assume seu valor máximo de carregamento. Quando o capacitor está carregado, ele passa a

se comportar como um circuito aberto, sendo assim, não haverá mais passagem de corrente

pelo circuito. Isso é exatamente o que ocorre no gráfico acima. A partir de um dado instante,

a corrente cai, chegando a 0 A. Da mesma forma que na letra a), podemos testar vários

valores de entrada x(t) e analisar as saídas correspondentes y(t), para o dado sinal.

Função T(s)

Analisando o diagrama de polos e zeros da função de transferência de admitância, pode-

se verificar que este também é um sistema causal e estável, pois todos os polos encontram-

se à esquerda do eixo 𝑗𝜔, possuindo assim, necessariamente, uma região de convergência

a direita do polo mais à direita e incluindo o eixo 𝑗𝜔. Pelo gráfico, a RDC em que o sistema

é estável e causal é 𝜎 > −1.

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Gráfico b.2 – Diagrama de Polos e Zeros – T(s)

Gráfico b.3 – Função de Transferência T(s)

Pela análise do gráfico b.3 abaixo é possível perceber o comportamento de Filtro Passa-

Faixa da função de transferência I(s)/X(s). Isso significa que o filtro permitirá a passagem

de até uma determinada faixa de frequência na corrente, atenuando frequências indesejadas.

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A composição de um filtro passa faixa é governada pela equação geral:

𝐻(𝑠) =𝑘𝑠

𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏= =

𝜔𝑜𝑠

𝑠2 + 𝑠𝜔𝑜 + 𝜔𝑜2

= 2𝑠

𝑠2 + 2𝑠 + 4

Onde 𝜔𝑜 é a frequência central do filtro e B é banda dada por 𝐵 = 𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1 . Da

relação acima, 𝜔𝑜 designa a frequência central de oscilação. Assim:

𝜔𝑜 = √4 = 2

De posse de 𝜔𝑜 podemos encontrar as frequências de corte 𝜔𝑐1 e 𝜔𝑐2, que são dadas

pelas seguintes relações,

𝜔𝑐1 =𝑎 + √𝑎2 + 4𝑏

2=

2 + √4 + 16

2 𝑒 𝜔𝑐2 =

−𝑎 + √𝑎2 + 4𝑏

2=

−2 + √4 + 16

2

Logo,

𝜔𝑐1 = 1 + √5 = 3.23 𝑒 𝜔𝑐2 = −1 + √5 = 1.23

4. CONCLUSÃO

Nesta prática ficou evidente a grande utilidade em se ter conhecimento das funções de

transferência de um circuito. A partir dela pôde-se concluir que a função de transferência é

uma propriedade de um sistema em si. E que, independente da magnitude e da natureza da

entrada ou da função excitação, ela inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada

à saída. No entanto, H(s) não fornece qualquer informação da estrutura física do sistema,

onde as funções de transferência de inúmeros sistemas físicos podem ser idênticas. Foi

possível também fazer a análise de causalidade e estabilidade do sistema e assim poder

planejar de forma mais eficiente a “caixa preta” do sistema.

5. REFERÊNCIAS

[1]. LATHI, B. P. Linear Signals and Systems. 2nd Edition. Oxford University

Press Oxford, UK.

[2]. OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. e NAWAB, H. Signals and Systems.

2nd International Edition. Prentice Hall, NJ.