FINALLógica Matemática - Ronaldo Barbosa Alvim

Lgica Matemtica

PROF. RONALDO BARBOSA ALVIM

LGICA MATEMTICA

VITRIA 2009

CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo

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Lgica Matemtica

Governo Federal Ministro de Educao Fernando Haddad CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo Diretor Geral Jadir Jos Pla Diretor de Ensino Dnio Rebello Arantes Coordenadora do CEAD Centro de Educao a Distncia Yvina Pavan Baldo Coordenadoras da UAB Universidade Aberta do Brasil Yvina Pavan Baldo Maria das Graas Zamborlini Designer Instrucional Jonathan Toczek Souza Curso de Licenciatura em Informtica Coordenao de Curso Giovany Frossard Teixeira Professor Especialista/Autor Ronaldo Barbosa Alvim DIREITOS RESERVADOS CEFET-ES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo Av. Vitria Jucutuquara Vitria ES - CEP - (27) 3331.2139 Crditos de autoria da editorao Capa: Leonardo Tavares Pereira Projeto grfico: Danielli Veiga Carneiro Iconografia: Moreno Cunha Editorao eletrnica: [Nome de quem editou ou do prprio professor] Reviso de texto: Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva COPYRIGHT proibida a reproduo, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorizao escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais.

S 5 9 3 S i m e s ,


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Ol, Aluno(a)!

um prazer t-lo conosco. O Cefetes oferece a voc, em parceria com as Prefeituras e com o Governo Federal, o Curso de Licenciatura em Informtica, na modalidade distncia. Apesar de este curso ser ofertado distncia, esperamos que haja proximidade entre ns, pois, hoje, graas aos recursos da tecnologia da informao (e-mails, chat, videoconfernca, etc.), podemos manter uma comunicao efetiva. importante que voc conhea toda a equipe envolvida neste curso: coordenadores, professores especialistas, tutores distncia e tutores presenciais. Assim, quando precisar de algum tipo de ajuda, saber a quem recorrer. Na EaD - Educao a Distncia - voc o grande responsvel pelo sucesso da aprendizagem. Por isso necessrio que se organize para os estudos e para a realizao de todas as atividades, nos prazos estabelecidos, conforme orientao dos Professores Especialistas e Tutores. Fique atento s orientaes de estudo que se encontram no Manual do Aluno! A EaD, pela sua caracterstica de amplitude e pelo uso de tecnologias modernas, representa uma nova forma de aprender, respeitando, sempre, o seu tempo. Desejamos a voc sucesso e dedicao!

Equipe do CEFETES


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ICONOGRAFIA Veja, abaixo, alguns smbolos utilizados neste material para gui-lo em seus estudos.

Fala do professor.

Conceitos importantes. Fique atento!

Atividades que devem ser elaboradas por voc, aps a leitura dos textos.

Indicao de Materiais complementares, referentes ao contedo estudado.

Destaque de algo importante, referente ao contedo apresentado. Ateno!

Reflexo, Curiosidade ou outros conceitos referente ao contedo apresentado.

Espao reservado para as anotaes que voc julgar necessrias.


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Ol! Meu nome Ronaldo Barbosa Alvim, responsvel pela disciplina Matemtica I. Atuo como professor do CEFETES na unidade de Cachoeiro de Itapemirim. Sou graduado em Matemtica (2000) pela UFF, Especialista em Matemtica e Estatstica (2001) pela UFLA e Mestre em Modelagem Computacional (2004) pela UERJ. Minhas reas de interesse so: Modelagem Matemtica, Clculo Numrico, Problemas Inversos, Probabilidade e Estatstica. Esta disciplina tem o intuito de preparar um aluno que compreenda e use o discurso matemtico e mergulhe nas estratgias de demonstrao para alguns teoremas. Como conseqncia desse saber matemtico voc vai obter um rigor lgico maior em seu raciocnio, aprimorando e incrementando seus textos cientficos. A lgica Matemtica no tem fim, em compreender e produzir a prpria matemtica, mas esta presente e aplicvel a diversas reas do nosso prprio cotidiano. Os alicerces da Lgica foram lanados pelo grego Aristteles, em sua obra Organon, mais continua sendo desenvolvida como toda matemtica at o dia de hoje. O objetivo deste material auxili-lo no estudo da disciplina de Lgica Matemtica, por meio de dicas e sugestes que destacam os pontos mais importantes a serem estudados. Aqui voc encontrar conceitos com os quais trabalharemos ao longo de todo o Curso, o que no dispensa a utilizao do livro-texto - referncia para a confeco deste trabalho, que traz diversos exemplos adicionais e um aprofundamento maior em vrios aspectos. H, no site do autor, um simulador de sistemas operacionais que pode ser utilizado para uma melhor compreenso de processos, gerncia de processador e gerncia de memria. importante esclarecer que, alm do livro-texto, outros livros foram consultados para complementar alguns conceitos, a fim de facilitar o seu entendimento. Comentrios de natureza histrica esto presentes ao longo de todo o material, situando voc no tempo e conhecendo os grandes matemticos que deixaram contribuies marcantes em nossa evoluo. Em geral, para ser bem sucedido neste curso, importante que se faam os exerccios e se estude regularmente, evitando-se, dessa forma, o acmulo de contedo. Sempre costumo dizer aos meus alunos que estudar semelhante a regar uma planta: se voc passar um ms sem reg-la, no adiantar depois despejar 10 litros de gua sobre ela, pois a gua no ser absorvida. Por outro lado, se voc a regar regularmente, a planta se desenvolver muito bem. O mesmo se aplica aos seus estudos, certo!? Assim, desejo-lhe bastante sucesso!!! Prof. Ronaldo Barbosa Alvim


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Sumrio1. PROPOSIES E CONECTIVOS..............................................................................................................................9 1.1. CONCEITO DE PROPOSIO .............................................................................................................................................9 1.2. VALORES LGICOS DAS PROPOSIES............................................................................................................................10 1.3. PROPOSIES SIMPLES E PROPOSIES COMPOSTAS...........................................................................................................10 1.4. CONECTIVOS...............................................................................................................................................................11 1.5. TABELA VERDADE.......................................................................................................................................................11 1.6. NOTAO...................................................................................................................................................................13 2. OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES................................................................................................16 2.1. NEGAO...................................................................................................................................................................16 EXEMPLOS:.......................................................................................................................................................................16 2.2. CONJUNO................................................................................................................................................................17 2.3. DISJUNO.................................................................................................................................................................18 2.4. DISJUNO EXCLUSIVA................................................................................................................................................19 2.5. CONDICIONAL.............................................................................................................................................................21 2.6. BICONDICIONAL...........................................................................................................................................................23 3. CONSTRUES DE TABELAS VERDADE........................................................................................................27 3.1. TABELA VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA..........................................................................................................27 3.2. NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE...............................................................................................................27 3.3. O USO DO PARNTESIS..................................................................................................................................................29 3.4. O PROBLEMA DE POST.................................................................................................................................................30 4. TAUTOLOGIAS, CONTRADIES E CONTIGNCIAS....................................................................................34 4.1. TAUTOLOGIA..............................................................................................................................................................34 4.2. PRINCIPIO DA SUBSTITUIO PARA AS TAUTOLOGIAS..........................................................................................................35 4.3. CONTRADIO............................................................................................................................................................35 4.4. CONTINGNCIA............................................................................................................................................................36 5. IMPLICAO LGICA............................................................................................................................................38 5.1. DEFINIO DE IMPLICAO LGICA...............................................................................................................................38 5.2. PROPRIEDADES DA IMPLICAO LGICA...........................................................................................................................39 5.3. TAUTOLOGIAS E IMPLICAO LGICA..............................................................................................................................42 6. EQUIVALNCIA LGICA.......................................................................................................................................43 6.1. DEFINIO DE EQUIVALNCIA LGICA...........................................................................................................................43 6.2. PROPRIEDADES DA EQUIVALNCIA LGICA......................................................................................................................44 6.3. TAUTOLOGIAS E EQUIVALNCIA LGICA.........................................................................................................................47 6.4. PROPOSIES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL...............................................................................................................47 6.5. NEGAO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIES....................................................................................................................48 6.6. NEGAO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIES......................................................................................................................48 7. ALGEBRA DAS PROPOSIES..............................................................................................................................52 7.1. PROPRIEDADE DA CONJUNO.......................................................................................................................................52 7.2. PROPRIEDADE DA DISJUNO........................................................................................................................................53 7.3. PROPRIEDADES DA CONJUNO E DA DISJUNO..............................................................................................................54 7.4. NEGAO DA CONDICIONAL..........................................................................................................................................56 7.5. NEGAO DA BICONDICIONAL.......................................................................................................................................57 8. MTODO DEDUTIVO...............................................................................................................................................59 8.1. MOTIVAO...............................................................................................................................................................60


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Lgica Matemtica8.2. REDUO DO NMERO DE CONECTIVOS...........................................................................................................................60 8.3. FORMA NORMAL DAS PROPOSIES.................................................................................................................................61 8.4. FORMA NORMAL CONJUNTIVA........................................................................................................................................61 8.5. FORMA NORMAL DISJUNTIVA.........................................................................................................................................62 8.6. PRINCIPIO DE DUALIDADE..............................................................................................................................................63 9. ARGUMENTO E REGRAS DE INFERNCIA.......................................................................................................64 9.1. DEFINIO DE ARGUMENTO...........................................................................................................................................64 9.2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO......................................................................................................................................65 9.3. CRITRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO....................................................................................................................65 9.4. CONDICIONAL ASSOCIADO A UM ARGUMENTO...................................................................................................................66 9.5. ARGUMENTOS VLIDOS FUNDAMENTAIS...........................................................................................................................67 9.5.1. Adio.............................................................................................................................................................67 9.5.2. Simplificao..................................................................................................................................................67 9.5.3. Conjuno.......................................................................................................................................................67 9.5.4. Absoro.........................................................................................................................................................67 9.5.5. Modus Ponens (MP).......................................................................................................................................67 9.5.6. Modus Tollens (MT).......................................................................................................................................67 9.5.7. Silogismo Disjuntivo (SD)..............................................................................................................................68 9.5.8. Silogismo Hipottico (SH)..............................................................................................................................68 9.5.9. Dilema Construtivo (DC)...............................................................................................................................68 9.5.10. Dilema Destrutivo (DD)...............................................................................................................................68 9.6. REGRAS DE INFERNCIA...............................................................................................................................................68 9.6.1. Regra da Adio (AD)....................................................................................................................................69 9.6.2. Regra da Simplificao (SIMP)......................................................................................................................69 9.6.3. Regra da Conjuno (CONJ).........................................................................................................................69 9.6.4. Regra da Absoro (ABS)...............................................................................................................................69 9.6.5. Regra Modus Ponens (MP)............................................................................................................................70 9.6.6. Regra Modus Tollens (MT).............................................................................................................................70 9.6.7. Regra do Silogismo Disjuntivo (SD)...............................................................................................................70 9.6.8. Regra do Silogismo Hipottico (SH)..............................................................................................................70 9.6.9. Regra do Dilema Construtivo (DC)................................................................................................................70 9.6.10. Regra do Dilema Destrutivo (DD):..............................................................................................................71 9.7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERNCIA................................................................................................................71 10. VALIDADE.................................................................................................................................................................73 10.1. VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADES...................................................................................................................73 10.1.1. Motivao.....................................................................................................................................................73 10.1.2. Prova de no-validade..................................................................................................................................74 10.2. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERNCIA................................................................................................................74 10.3. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERNCIA E EQUIVALNCIA.........................................................................................76 10.3.1. Regra de Substituio...................................................................................................................................76 10.3.2. Equivalncias Notveis.................................................................................................................................76 10.3.3. Inconsistncia ..............................................................................................................................................82 11. DEMONSTRAO CONDICIONAL E DEMONSTRAO INDIRETA........................................................85 11.1. DEMONSTRAO CONDICIONAL...................................................................................................................................85 11.2. DEMONSTRAO INDIRETA..........................................................................................................................................86 12. SENTENAS ABERTAS..........................................................................................................................................88 12.1. SENTENAS ABERTAS COM UMA VARIVEL.....................................................................................................................88 12.2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENA ABERTA COM UMA VARIVEL..............................................................................88 12.3. SENTENA ABERTA COM DUAS VARIVEIS......................................................................................................................89 12.4. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENA ABERTA COM DUAS VARIVEIS............................................................................89 12.5. SENTENAS ABERTAS COM N VARIVEIS.......................................................................................................................90 12.6. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENA ABERTA COM N VARIVEIS..................................................................................90 13. OPERAES LGICAS SOBRE SENTENAS ABERTAS..............................................................................92


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Lgica Matemtica13.1. CONJUNO..............................................................................................................................................................92 13.2. DISJUNO...............................................................................................................................................................93 13.3. NEGAO.................................................................................................................................................................94 13.4. CONDICIONAL...........................................................................................................................................................95 13.5. BICONDICIONAL.........................................................................................................................................................95 13.6. LGEBRA DAS SENTENAS ABERTAS............................................................................................................................96 14. QUANTIFICADORES...............................................................................................................................................98 14.1. QUANTIFICADOR UNIVERSAL.......................................................................................................................................99 14.2. QUANTIFICADOR EXISTENCIAL.....................................................................................................................................99 14.3. VARIVEL APARENTE E VARIVEL LIVRE.......................................................................................................................99 14.4. QUANTIFICADOR DE EXISTNCIA E UNICIDADE.............................................................................................................100 14.5. NEGAO DE PROPOSIES COM QUANTIFICADOR..........................................................................................................100 14.6. CONTRA-EXEMPLO...................................................................................................................................................101 15. QUANTIFICAO DE SENTENAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIVEL................................103 15.1. QUANTIFICAO PARCIAL.........................................................................................................................................103 15.2. QUANTIFICAO MLTIPLA......................................................................................................................................103 15.3. COMUTATIVIDADE DOS QUANTIFICADORES...................................................................................................................103 15.4. NEGAO DE PROPOSIES COM QUANTIFICADORES.......................................................................................................103


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1 PROPOSIES E CONECTIVOS 1

Prezado aluno, Nesta primeira aula voc entrar em contato pela primeira vez com termos que estaro presentes em todo o curso de lgica matemtica, como o dispositivo da tabela verdade, onde sua construo ser abordada com maior profundidade no terceiro captulo. Por isso conceitos aparecero sem exemplos e aplicaes sofisticados, pois trataremos os detalhes separadamente nos captulos posteriores. Bom estudo!

1.1.

Conceito de Proposio

O conceito de proposio simples, pois consiste numa sentena que expressa um sentido completo, sempre afirmando fatos ou na expresso de juzos em relao a um determinado objeto de estudo. A lngua portuguesa nos oferece sentenas interrogativas, exclamativas, imperativas e declarativas. Sendo esta ltima a de grande interesse da lgica matemtica, pois a elas podemos atribuir um valor lgico (verdadeiro ou falso), ou seja, as proposies so exclusivamente declarativas. Veja algumas sentenas declarativas: a) O Cu azul. (verdadeiro) b) O som uma onda mecnica. (verdadeiro) c) A luz uma onda longitudinal. (falso) Dois axiomas so utilizados como base de toda lgica matemtica, em funo disto que a lgica matemtica conhecida como lgica bivalente, vejamos abaixo o texto destes princpios criados por Aristteles:

Aristteles (384-322 a.c)


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Lgica Matemtica Principio da No Contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo Principio do Terceiro Excludo: Toda a proposio ou verdadeira ou falsa, ou seja, devemos sempre verificar sempre uma destas hipteses, e nunca uma terceira. Aristteles tambm enunciou o principio da identidade Principio da Identidade: Todo objeto idntico a si mesmo.

1.2.

Valores Lgicos das ProposiesPara provarmos se uma nova sentena verdadeira ou falsa utilizamos pequenas sentenas que consideramos verdadeiras, os axiomas. Quando conclumos que esta nova sentena verdadeira temos o que chamamos em matemtica de Teorema, que podem ser utilizados na demonstrao de novos teoremas. Se conseguimos, pois nem sempre uma tarefa simples, determinar a veracidade de uma sentena, existir uma outra nica sentena que determina sua negao, ou seja, possui o seu valor lgico invertido.

1.3.

Proposies Simples e Proposies compostasA proposio simples (atmica) formada de uma nica proposio e a proposio composta (molecular) por mais de uma proposio. comum representarmos as proposies simples por letras minsculas (a,b,c,...) e as proposies por letras maisculas (A, B, C, D,...), em ambos os casos chamamos estas de letras proposicionais. Veja o exemplo: p : o nmero um nmero irracional. Q : Antnio magro e Francisco inteligente.


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1.4.

ConectivosOs conectivos mais utilizados pela lgica matemtica so: e conectivo da conjuno (smbolo , &, ou .) ou conectivo da disjuno (smbolo ) no conectivo da negao (smbolo ou ~) se ... ento conectivo da condicional (smbolo ou ) ... se e somente se ... conectivo da bicondicional (smbolo ) A funo de um conectivo criar proposies novas relacionando proposies menores, ou seja, criar proposies compostas. Veja os exemplos abaixo: Q : Estudar lgica matemtica fantstico e Aristteles era um gnio. P : A Fsica bela ou a Matemtica sensual. R : Se estudo lgica todos os dias, ento sou muito feliz. Q : A sentena x mpar se, e somente se x2 mpar.Charles Sanders Peirce (1839-1914) Gottlob Frege (1848-1925)

1.5.

Tabela VerdadeA tabela verdade um dispositivo prtico que permite avaliarmos com rapidez o valor lgico de uma sentena composta, pois o valor lgico desta sentena esta intrinsecamente ligado ao valor lgico das proposies que a compem. Tem origem no trabalho de 1880 de Gottlob Frege (1848-1925) e Charles Peirce (1839-1914) e seu formato atual nos trabalhos de 1922 de Emil Post (1897-1954) e Ludwig Wittgenstein (1889-1951). No captulo 3 de nosso curso trataremos detalhadamente a construo da tabela verdade. Nesta tabela listado todos os valores lgicos das proposies simples que constituem a proposio composta. Veja por exemplo uma proposio composta de duas sentenas

Emil Post (1897 - 1954)

Ludwig Wittgenstein (1889-1951)


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p V V F F

q V F V F

Usando conceitos simples de combinatria a tabela esta pronta com 4 linhas pois pelo principio fundamental da contagem temos duas decises, com duas possibilidades Logo, 2 X 2 = 4 possibilidades J uma proposio formada de trs sentenas possu 8 possibilidades de valor lgico pelo PFC (Principio Fundamental da Contagem), temos: 2 X2X2=8


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1.6.Notaop V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F

comum em lgica matemtica utilizarmos uma notao prpria para simbolizar o valor lgico de uma proposio. Se q uma proposio simples e verdadeira podemos dizer que V(q) = V, e q fosse uma proposio de valor lgico falso, poderamos simbolizar pela notao V(q) = F . Veja as proposies do exemplo: p : Pluto no um Planeta q : Kepler foi um grande astrnomo


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Lgica Matemtica r : No movimento retilneo uniforme a velocidade crescente Logo, temos: V(p) = V, V(q) = V , V (r) = F

[1]CASTRUCCI, B. Introduo a Lgica Matemtica. GEEM, 1982. [2]MENDELSON, E. lgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento. McGraw Hill, 1977. [3]SHOENFIELD, J.R, Mathematical Logic. A K Peters , 2001.

Atividades

1. Colocar na forma simblica os enunciados abaixo. a) b) c) d) e) f) Maria bonita e elegante Maria bonita mas no elegante No verdade que Maria no bonita ou elegante Maria no bonita nem elegante Se Maria bonita, ento elegante Maria bonita se e somente se no for elegante

2. Colocar em linguagem natural as proposies abaixo, onde p a proposio est quente, q a proposio est mido e r a proposio est chovendo

a) b) c) d) e) f)

p q (p q) p q r p q r (p q) r p ( q r)

3. Determinar o valor lgico das seguintes proposies simples a) b) c) d) O numero 23 primo. O produto de dois nmeros mpares impar. Tegucigalpa a capital da Nicargua. Uruguai ganhou a Copa do Mundo de Futebol em 1930. 14


Lgica Matemtica e) f) A baleia o maior peixe que existe. O morcego um pssaro.

4. Se p a proposio Joo gacho e q a proposio Jaime paulista, traduza para a linguagem corrente as proposies:

a) b) c) d) e) f)

p q p p q p q p q q p

5. Escrever na forma simblica, indicando as proposies simples: a) Ou a noticia foi publicada, ou, se o Sr. Wilson no foi detido, o cofre foi aberto. b) Se o Sr. Wilson no estava dormindo, ento, se j passava de meia noite, o alarme no foi desligado. c) Se um crime foi cometido, ento as jias desapareceram se e somente se ou a polcia no foi chamada ou o Sr. Wilson no estava presente. d) Se a carta no foi enviada ento, ou os irmos no se encontraram ou o Sr. Wilson mentiu ou a Sra. Wilson deixou a cidade. e) A Sra. Wilson mentiu unicamente no caso de o Sr. Wilson ter sado da cidade ou o corpo no ter sido encontrado. f) Se o Sr. Wilson leu o dirio ento falso que se o mordomo confessou ento a bomba foi desativada. g) Um crime foi cometido se e somente se ou as jias desapareceram ou se a policia no foi chamada, ento o Sr. Wilson estava presente.

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CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo CITAO Um exemplo de citao, tabulado em 4 centimentros, espaamento simples, tamanho 10

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1 Operaes Lgicas sobre Proposies 1

Prezado aluno, Neste segundo captulo iniciaremos a manipulao das principais operaes lgicas, com o auxlio das tabelas verdades. Inicialmente no primeiro contato com estas tabelas temos a falsa impresso que necessrio decor-las para compreenso do contedo, mas veremos ao longo deste e dos prximos captulos, e at o uso das tabelas verdades desnecessrio, embora elas constituem uma importante ferramenta para o aprendizado da lgica, se realmente compreendidas e no simplesmente decoradas. Bom estudo!

2.1.

NegaoUma negao verdadeira se a sentena negada falsa e ser falsa se a sentena negada verdadeira. Como j dito no captulo anterior, os smbolos utilizados para a negao so ou ~ (l-se no p). Veja a tabela mostrando a negao de uma sentena que aqui chamamos de p

p V F

p F V

Exemplos:a) p : Os ces tm bico ~p : Os ces no tem bico b) q : O professor So Paulino ~q : O professor no So Paulino


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2.2.

ConjunoTemos uma conjuno verdadeira quando simultaneamente as proposies que compem forem verdadeiras e ser falsa quando existir pelo menos uma componente falsa. O smbolo da conjuno o Veja a tabela abaixo de . uma conjuno formada de duas proposies simples. p V V F F q V F V F p q V F F F

Figura 2-2: Tabela da Conjuno

Exemplo: p : Aristteles foi um dos criadores da Lgica Matemtica. q : Ren Descartes foi o pai da Geometria Analtica. p q : Aristteles foi um dos criadores da Lgica Matemtica e Ren Descartes foi o pai da Geometria Analtica. Resoluo: V(p) = V, V(q) = V , logo, V(p = V q)Ren Descartes (1596-1650)


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p V V F F

q V F V F

p q V V V F

2.3.

DisjunoUma disjuno verdadeira quando pelo menos uma de suas proposies componentes verdadeira e ser falsa apenas quando todas as proposies componentes so simultaneamente falsas.

Exemplo: a) p : Obama o presidente da ndia q : O nmero Pi um nmero racional p q : Obama o presidente da ndia ou o nmero Pi um nmero racional.

Resoluo: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(p = F q)

b)

p:

1024 igual a 32.q : 187 um nmero primo. p q : primo.

1024 igual a 32 ou 187 um nmero


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Resoluo: V(p) = V, V(q) = F, logo, V(p = V q) c) p : Albert Einstein formulou a teoria da relatividade q:

3 uma frao prpria. 5

Albert Einstein (1879-1955)

p q : Albert Einstein formulou a teoria da relatividade ou

3 uma frao prpria. 5Resoluo:

V(p) = V, V(q) = V, logo, V(p = V q)

2.4.

Disjuno ExclusivaOlhe as duas proposies abaixo p : O professor Matemtica ou Fsico q : O professor ser Italiano ou Brasileiro Embora as ambas utilizem o conectivo ou, na proposio p, o professor pode possuir as duas formaes, chamamos esse tipo de disjuno de disjuno inclusiva. Na proposio q o professor no pode assumir simultaneamente os dois resultados, pois ele nasceu na Itlia, ou nasceu no Brasil, no possvel ter nascido em dois lugares. Na lgica chamamos essa disjuno de disjuno exclusiva. Utilizamos um pequena diferena no smbolo da disjuno exclusiva em relao ao j apresentado smbolo da disjuno inclusiva. Veja: Disjuno inclusiva: p q Disjuno exclusiva : p v q A tabela que define a disjuno exclusiva ser apresentada abaixo, perceba a diferena em relao a apresentada na seo anterior.


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p V V F F

q V F V F

pv q F V V F

Perceba que a grande diferena est na primeira linha da tabela, onde a idia das duas proposies simples serem verdadeiras no existe, por isso tratada com valor lgico falso.

2.5.

CondicionalUma implicao ser falsa se a proposio antecedente p V V F F q V F V F pq V V F V

for falsa e a proposio conseqente for verdadeira, em qualquer outra situao a soluo ser verdadeira. Veja na tabela abaixo a representao do uso do condicional para duas proposies simples


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Exemplos a) p : Zico foi um grande matemtico brasileiro q : Isaac Newton era Ingls. p q : Se Zico foi um grande matemtico brasileiro ento Isaac Newton era Ingls. Resoluo: V(p) = F, V(q) = V, logo, V(pq) = F b) p : Gauss foi o matemtico criador dos nmeros complexos. q : Maradona era atleta do time de natao da Argentina. p q : Se Gauss foi o matemtico criador dos nmeros complexos ento Maradona era atleta do time de natao da Argentina. Resoluo: V(p) = V, V(q) = F, logo, V(pq) = V c) p : Zero no um nmero par q : Zero Fatorial (0!) igual a 0. p q : Se Zero no um nmero par ento Zero fatorial (0!) igual a 0. Resoluo: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(pq) = V


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2.6.

Bicondicionalp V V F F q V F V F pq V F F V

Temos uma bi-implicao verdadeira quando suas proposies componentes possuem todas o mesmo valor lgico, quando alguma apresenta valor lgico diferenciado a bicondicional ser falsa. Veja a tabela para uma situao de bicondicional formada com duas proposies simples:

Exemplos a) p : Num tringulo podem-se traar trs diagonais. q : 27 um nmero primo. p q : Num tringulo podem-se traar trs diagonais se e somente se 27 um nmero primo. Resoluo: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(pq) = VLeonardo Da Vinci (1452-1519)


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Lgica Matemtica b) p : Argentina fica na Europa. q : Lula o presidente do Brasil. p q : Argentina fica na Europa se e somente se Lula o presidente do Brasil. Resoluo: V(p) = F, V(q) = V, logo, V(pq) = F c) p :

4 igual a 2i.Galileu Galilei (1564-1642)

q : Leonardo da Vinci projetou o Pra-Quedas. p q : 4 igual a 2i se e somente se Leonardo da Vinci projetou o Pra-Quedas. Resoluo: V(p) = V, V(q) = V, logo, V(pq) = V

. Lgica Matemtica um assunto novo para a grande maioria dos alunos, ento comum surgir dvidas durante a leitura e principalmente nos exerccios, mas lembre-se que ter dvidas fator comum no processo de quem esta aprendendo. Releia a aula at atingir os objetivos destacados no inicio do captulo. Na prxima aula voc aprender construir as tabelas-verdade para proposies mais sofisticadas utilizando os conectivos assimilados nesta aula. At l amigos.

[1]CASTRUCCI, B. Introduo a Lgica Matemtica. GEEM, 1982. [2]MENDELSON, E. lgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento. McGraw Hill, 1977.


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ICONOGRAFIA Mais exemplos da utilizao da iconografia;

Lgica Matemtica __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo CITAO Um exemplo de citao, tabulado em 4 centimentros, espaamento simples, tamanho 10

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Lgica Matemtica

Atividades

1. Considere as sentenas: p : 11 > 5 q : 3 < 19 r : 7 > 13 s: 12 > 23 D o valor lgico das sentenas: a) pq b) pr c) ps d) rq e) rs f) pq g) pr h) rs 2. Simbolize as proposies abaixo, usando as letras minsculas dos nomes prprios abaixo para representar as proposies simples: a) Se Newton ficar zangado, ento Galileu revisar e Einstein ficar surpreso b) Se Newton ficar zangado e Galileu revisar, ento, Einstein ficar surpreso 3. Seja as sentenas: p : Pitgoras era Chileno q : 3 um nmero Natural Atribua o valor lgico de: a) p q b) p q c) pq d) pq 4. Determine quais das frases listadas abaixo constituem uma proposio a) Mandiocas so saudveis b) No mate! c) Qual o valor deste carro? d) A Lua o satlite natural da Terra e) O numero de Euler (e = 2,718...) um nmero irracional f) Ronaldo professor g) Todos os So Paulinos so felizes h) Quantas provas voc fez? i) Que carro caro! j) Qual o nome de sua fazenda?


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Lgica Matemtica

1 Construes de Tabelas Verdade 1

Prezado aluno, Em vrios livros de lgica matemtica fica a impresso que devemos decorar algumas tabelas verdades, ou pelo menos as mais bsicas, embora isso no necessrio e passa bem distante do real objetivo do aprendizado de lgica matemtica. Podemos expressar qualquer formulao lgica atravs de diagramas de conjuntos como faremos ao longo desta aula. Sendo assim a construo da tabela verdade um dispositivo facilitador da anlise do valor lgico da sentena, mas relacionado a um significado ou propriedade. Bom estudo!

F I G U

3.1.

Tabela Verdade de uma proposio composta

No captulo anterior voc aprendeu de forma isolada as principais operaes lgicas : negao, conjuno, disjuno inclusiva, disjuno exclusiva, condicional e bicondicional. Podemos agora criar relaes entre estas operaes criando assim proposies lgicas compostas, que tambm podero ser representadas por tabelas verdades, no intuito de avaliar o valor lgico deste sentena, ou seja, verdadeiro ou falso.

3.2.

Nmero de linhas de uma tabela Verdade

O nmero de linhas de uma tabela verdade esta diretamente relacionada ao nmero de proposies simples que compem a proposio composta, ou seja, se nossa proposio composta possui n proposio simples, logo, tem 2n linhas em nossa tabela verdade. De forma resumida interessante estabelecermos alguns passos para obter sucesso na construo de uma tabela verdade: 1 Passo: Estimar o nmero de linhas da tabela que ser construda; 2 Passo: Analisar a precedncia dos conectivos lgicos, observando sua disposio na expresso; 3 Passo: Aplicar as operaes lgicas de acordo com sua respectiva definio. CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 27

Lgica Matemtica Vamos construir a tabela verdade da expresso (p q) Esta tabela possui 4 linhas, pois apresenta duas proposies simples envolvidas na construo da proposio composta, logo, 22 = 4. Primeiramente construiremos a tabela com os valores lgicos apenas das proposies simples: p e q. p V V F F q V F V F

Agora vamos construir a coluna da negao de p (p), que possui o valor lgico invertido da coluna de p p V V F F q V F V F p F F V V

Na expresso p e q so conectados pela conjuno, que ser a prxima coluna a ser includa p q p (p q)

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V


28

Lgica Matemtica

Para concluir nossa tabela basta construir a coluna que ser a negao da ltima coluna construda (p ou seja, (p q) q) p q p ( p q ) V ( p q ) F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

3.3.

O uso do parntesis

O uso dos parntesis esta associado a eliminao de possveis ambigidades que uma proposio pode oferecer, mas se sua presena efetivamente em nada contribui para eliminar ambigidade sua escrita deve ser suprimida. A expresso p r pode gerar outras expresses distintas com valores q lgicos diferentes (p r e (p r q) q) Temos algumas convenes, mundialmente utilizadas que devem ser respeitadas como a ordem de precedncia, onde observamos a negao como conectivo mais fraco e a bicondicional como conectivo mais forte. Veja 1- CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 29

Lgica Matemtica 2 - ou 3- 4- A outra conveno seria o uso repetitivo de um mesmo smbolo, onde devemos suprimir os parntesis e realizar associaes pela esquerda Por exemplo a expresso (((p (q)) poderia ser representada q)) simplesmente por (p q) q

3.4.

O problema de PostEmil Leon Post (1897 - 1954)

Ao longo desta aula ficou claro que possvel construir a tabela verdade de uma frmula desde que conheamos o valor lgico das proposies que a compem. Mas seria possvel reverter o processo? Ou seja, a partir de uma tabela verdade, determinar a frmula que lhe da origem. Este problema foi proposto pelo brilhante matemtico Emil Leon Post, que pode ser solucionado criando-se uma FNC ou FDC da tabela oferecida. Veja a soluo por FND: 1 Passo: Observe todas as linhas da tabela que possuem V na ltima coluna; 2 Passo: Construa para cada uma destas linhas uma conjuno correspondente; 3 Passo: Efetue uma disjuno das conjunes, obtendo assim uma FND relacionada a esta tabela verdade. Exemplo: Dada a tabela V V V ( p q )


30

Lgica Matemtica

V F F

F V F

F F V ( p q )

Logo, a formula obtida em FND (p (p q) q) Veja agora a soluo por FNC: 1 Passo: Observe todas as linhas da tabela que possuem F na ltima coluna; 2 Passo: Construa para cada uma destas linhas uma disjuno correspondente; 3 Passo: Efetue uma conjuno das disjunes, obtendo assim uma FNC relacionada a esta tabela verdade V V V F V F ( p q ) ( p q )

F

V

F

F

F

V

Logo, a formula obtida em FNC (p (p q) q)


31

Lgica Matemtica

Atividades

1. Sabendo-se que VL (p) = VL (r) = V e VL (q) = VL (s) = F determine o valor lgico de:

a) b) c) d) e) f) g) h)

p q r s (p q) ( s r) ( p q) ( s r) (p q) s (p s) (q r) s ( p s) p q (p r) s (p q) (r s) p s ( p s) ( s r)

2. Construa a Tabela Verdade das seguintes proposies

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

(p p) p p q p q p (q p) (p q) p q q q p (p q) q p (p q) p q p r q r ((p q) r) q p r q r p (p r) q r (p q r) ( p q r) p q (r s) t

3. Sabendose que as proposies p e q so V e que r e s so F, d o valor lgico das expresses a) p q r e) (q s) r i) (r s) (p q) b) r s q f) q (s r) j) (p q) r c) q p s g) r p q k) ((r p) (s q)) d) p (r s) h) (q r) (ps) l) (s r) (p q)

4. Sabese que uma frmula tem 5 proposies simples e 6 conectivos; quantas linhas e colunas sua TabelaVerdade tem ? 5. Sem construir, diga quantas linhas e colunas tem a Tabela Verdade da expresso


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Lgica Matemtica p q ( p r ) s

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


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Lgica Matemtica

1 Tautologias, Contradies e Contigncias 1

Prezado aluno, Neste captulo vamos diferenciar as formas Tautologia, Contradio e Contigncia. A palavra tautologia foi usada na Grcia antiga para descrever um enunciado que era verdadeiro meramente pelo fato de dizer a mesma coisa duas vezes, um significado pejorativo que ainda usado para tautologias retricas. Entre 1800 e 1940, a palavra ganhou novo significado na lgica, e corriqueiramente usada para denotar um certo tipo de frmula proposicional, sem as conotaes pejorativas que possua anteriormente. Durante a dcada de 30, a formalizao da semntica da lgica proposicional em termos de valores verdade foi desenvolvida. O termo tautologia comeou a ser aplicado a frmulas proposicionais que so verdadeiras independente da verdade ou falsidade de suas variveis proposicionais. Alguns livros sobre lgica (tais como Symbolic Logic de Lewis e Langford, 1932) usaram o termo para todas as proposies(em toda a lgica formal) que so universalmente vlidas. comum em publicaes aps esta (tais como Kleene 1967 e Ederton 2002) usar o termo tautologia para referir-se a uma frmula proposicional logicamente vlida, mas manter a distino entre tautologia e logicamente vlida no contexto da lgica de primeira ordem. Bom estudo!

4.1.

Tautologia

Temos uma tautologia quando a proposio composta apresenta valor lgico verdadeiro independente do valor lgico das proposies simples que a compem. comum utilizarmos as expresses proposies tautolgicas ou proposies logicamente verdadeiras, no lugar de tautologia. Vamos construir a tabela verdade da expresso (p q)p p V V F q V F V p q V F F (p q)p V V V


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Lgica Matemtica

F

F

F

V

Facilmente observa-se pela tabela acima que a expresso (p q)p uma tautologia pois sua ltima coluna apresentou valor verdadeiro para todas as linhas independente dos valores atribudos as proposies simples que a compem.

4.2. Principio da substituio para as tautologiasSe P (p,q,r) uma tautologia ento P (p,q,r) tambm ser uma tautologia independente das proposies simples p,q,r.

4.3.

Contradio

Temos uma contradio quando a proposio composta apresenta valor lgico falso independe do valor lgico apresentado pelas proposies simples que a compem. As expresses proposies contravlidas ou proposies logicamente falsas, so normalmente utilizados no lugar de contradio. O principio da substituio visto para as tautologias valido para as contradies, ou seja, se P (p,q,r) uma contradio ento P (p,q,r) tambm ser uma contradio independente das proposies simples p,q,r. Vamos construir a tabela da expresso pp p V F p F V pp F F

Perceba como a ltima coluna da tabela que apresenta os valores lgicos da expresso e toda formada por F, independente dos valores lgicos das proposies simples que a compem, ou seja, pp uma contradio.


35

Lgica Matemtica

4.4.

Contingncia

Temos uma contingncia quando a expresso a ser avaliada, apresenta valores lgicos verdadeiro e falso, no necessariamente na mesma quantidade, mas com pelo menos uma vez com cada um dos smbolos (V ou F). Resumidamente podemos dizer que temos uma contingncia quando a expresso no uma Tautologia ou Contradio. Vamos construir a tabela da expresso p qp p V V F F q V F V F p q V V V F p qp V V F V

comum utilizarmos as expresses proposies contingentes ou proposies indeterminadas no lugar de contingncia.


36

Lgica Matemtica Atividades

1- Verificar se so tautologias, contradies ou contingncias as expresses abaixo:) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

[p ( p q )] q p [ ( p q ) q] (p q) (p q) p [ p (q q)] (p p) (q q) [p (q r)] [(p q) (p r)] [p (q p)] [(q q) (r r)] {[(p q) (r s)] (p r)} (q s) {[(p q) (r s)] (q s)} (p r) p ( p q) p q (p q) p (q (q p)) ((p q) q) p p q (p q) p q (p q) p (p q) r p q (p q r)

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


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Lgica Matemtica

1 Implicao Lgica 1

Prezado aluno, Este e o prximo captulo, que falam respectivamente sobre Implicao Lgica e equivalncia lgica possuem uma relao muito prxima que ser apresentada nas prximas pginas. Concentre-se pois estes captulos contm ingredientes essenciais na aprendizagem da lgica matemtica. Bom estudo!

5.1.

Definio de Implicao Lgica

Utilizamos a notao para representar uma implicao lgica 38


Lgica Matemtica Uma inferncia lgica, ou, simplesmente uma inferncia, uma tautologia da forma p q; a proposio p chamada antecedente, e q, conseqente da implicao. As inferncias lgicas, ou regras de inferncia, so representadas por p q. Da definio decorre imediatamente que p q, se e somente se, o conseqente q assumir o valor lgico V, sempre que o antecedente p assumir esse valor. De fato, para que a condicional seja verdadeira, essa condio necessria, pois, se o conseqente for falso com o antecedente verdadeiro, a condicional no verdadeira. Por outro lado, a condio tambm suficiente, pois, quando o antecedente falso, a condicional verdadeira, no importando o valor lgico do conseqente. As regras de inferncia so, na verdade, formas vlidas de raciocnio, isto , so formas que nos permitem concluir o conseqente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textuais, costumamos utilizar o termo logo (ou seus sinnimos: portanto, em conseqncia, etc) para caracterizar as Regras de Inferncia; a expresso p q pode ento ser lida: p; logo, q.

5.2.

Propriedades da implicao lgica

A implicao lgica transitiva e reflexiva

Propriedade Reflexiva P(p,q,r) P(p,q,r) Propriedade Transitiva P(p,q,r) Q(p,q,r) e Q(p,q,r) R(p,q,r), logo, P(p,q,r) R(p,q,r)

Algumas implicaes geram regras interessantes, chamadas regras de inferncia. Listamos abaixoalgumas das regras de inferncia mais importantes da Lgica; da mesma forma que no caso das eqivalncias, cada uma delas pode ser provada, bastando para isso construir a Tabela Verdade da condicional correspondente; se a condicional for tautolgica, ser uma inferncia. Vejamos algumas destas regras abaixo: Regra da Adio pp e qp q q Exemplo: Vou ao cinema; logo vou ao cinema ou ao teatro Regra da Simplificao p qp e p qq CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 39

Lgica Matemtica Exemplo: Fui ao cinema e ao teatro; logo fui ao cinema

Regra do Silogismo Disjuntivo (p q) p q Exemplo: Ou trabalho ou estudo; no trabalho; logo, estudo Regra Modus Ponens A expresso Modus Ponens vem do latim que tem como significado modo de afirmar, comumente abreviada por MP. (pq) pq Exemplo 1: Se chover fico em casa. Choveu. Ento fico em casa

Exemplo 2: Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria; logo, fiquei rico

Regra Modus Tollens A expresso Modus Tollens, tambm retirada do latim que significa modo de negar, no meio acadmico a expresso formal para a conhecida prova indireta. A estrutura da regra de Modus Tollens tem-se duas premissas, sendo a primeira a condicional e a segunda a negao da segunda proposio. (pq) qp Exemplo 1: Se existe fogo aqui, ento aqui h tambm oxignio. No h oxignio aqui. Ento aqui no h fogo.

Exemplo 2: Se ganhar na Loteria, fico rico; no fiquei rico; logo no ganhei na Loteria 40


Lgica Matemtica

Regra da Atenuao p q p q r Exemplo: Se eu ganhar na Loteria, fico rico; logo, se eu ganhar na Loteria, fico rico e vou viajar Regra da Retorso p p p Exemplo: Se eu no trabalhar, trabalho; logo, trabalho. Regra da Simplificao Disjuntiva (p q) (p q) p Exemplo: Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou no trabalho; logo, estudo Regra da Absoro p q p (p q) Exemplo: Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro Regra do Silogismo Hipottico (ou Condicional) (p q) (q r) p r Exemplo: Se trabalho, ganho dinheiro, e, se ganho dinheiro, vou viajar; logo, se trabalho, vou viajar Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade) (p q) q p Exemplo: falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo, no estudo Dilema Construtivo (p q) (r s) (p r) q s Exemplo: Se vou festa, fico cansado; se vejo televiso, durmo; ou vou festa ou fico vendo televiso; logo, ou fico cansado ou durmo Dilema Destrutivo (p q) (r s) ( q s) p r Exemplo: Se vou festa, fico cansado; se vejo televiso, durmo; ou no fico cansado ou no vou dormir; logo, ou no vou festa ou no vejo televiso


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Lgica Matemtica Regra da Inconsistncia (de uma contradio se conclui qualquer proposio) (p p) q Exemplo: O avio est voando; o avio no est voando; logo, eu sou o Rei da Inglaterra

5.3.

Tautologias e implicao lgica

Os smbolos e embora parecidos tem significados diferentes, o primeiro representa uma relao enquanto o segundo representa uma operao lgica. Veremos abaixo um teorema que envolve os dois smbolos P(p,q,r,...)Q(p,q,r,...) Se e somente a condicional P(p,q,r,...)Q(p,q,r,...) tautolgica. Regra do Silogismo Hipottico (pq) (qr)pr Principio da Inconsistncia De uma contradio p ~ p se deduz qualquer proposio q

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 42


Lgica Matemtica

1 Equivalncia Lgica 1

Prezado aluno, Veremos neste captulo que duas proposies so equivalentes, quando possuem a mesma tabela verdade, logo se duas proposies possuem a mesma tabela verdade, so equivalentes e que todas as tautologias e contradies so equivalentes entre si. A maioria das leis da lgica apresentadas neste captulo pode ser demonstrada mostrando por tabela verdade, que a bicondicional correspondente uma Tautologia. Bom estudo!

6.1.

Definio de Equivalncia Lgica

Podemos expressar uma proposio de formas diferentes, dizemos que estas diferentes formas de expressar so logicamente equivalentes. Veja o exemplo: Ronaldo professor e adora pedalar podemos negar esta expresso de diferentes formas como: No verdade que Ronaldo professor e adora pedalar Ronaldo no professor ou no gosta de pedalar As duas formas de negar que acabamos de ver, so logicamente equivalentes. Portanto duas proposies so chamadas de 43


Lgica Matemtica logicamente equivalentes se em todos os casos possveis apresentam os mesmos valores lgicos. comum utilizarmos a simbologia abaixo para proposies logicamente equivalentes:

pq

6.2.

Propriedades da Equivalncia Lgica

Utilizamos as propriedades de equivalncia lgica abaixo, com o intuito de reescrever proposies de forma diferente mas que sejam equivalentes a proposio original. Propriedade Reflexiva:

p pPropriedade Simtrica: Se p q ento q p Propriedade Transitiva: Se p q e q r ento p r Vemos agora uma das principais leis da lgica, expressando o conceito de equivalncia lgica, que utilizamos a todo momento para escrever proposies de formas diferentes, porm com o mesmo valor lgico. Leis da Comutatividade Dadas duas proposies quaisquer, p e q, temos p q q p p q q p Exemplo: Fui ao teatro ou ao cinema eqivale a Fui ao cinema ou ao teatro Leis da Associatividade

Dadas trs proposies quaisquer, p, q e r, temos (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Leis da Distributividade p (q r) (p q) (p r) CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 44

Lgica Matemtica p (q r) (p q) (p r) Leis de De Morgan (p q) p q (p q) p q Exemplo: falso que Joo tenha ido ao cinema e ao teatro equivale a Ou Joo no foi ao cinema ou no foi ao teatro Leis da Idempotncia Para qualquer proposio p, temos p p p p p p Lei da Dupla Negao ( p) p Veja a tabela abaixo: p ~ p F V ~ ~ p V F

V F

Lei da Condicional p q p q Exemplo: Se continuar chovendo, o rio vai transbordar equivale a Ou pra de chover ou o rio vai transbordar Lei da Bicondicional p q (p q) (q p) p q (p q) ( p q) Exemplo: Um numero divisvel por 10 se e somente se terminar por zero equivale a Se um numero terminar por zero, ento mltiplo de 10, e, se for mltiplo de 10, ento termina por zero; tambm equivale a Ou o nmero mltiplo de 10 e termina em zero, ou no mltiplo de 10 e no termina em zero Lei da Contraposio p q q p Exemplo: Se Joo estudar, ser aprovado equivale a Se Joo no estudar, no ser aprovado 45


Lgica Matemtica Lei da Absoro p p q p q

p

q

p q

p p q V F V V

p q

V V F F

V F V F

V F F F

V F V V

Lei de Clavius p p p Veja a tabela verdade abaixo p ~ p ~ p p V F

V F

F V

Lei da Refutao por Absurdo (p q) (p q) p Lei do Dilema (p q) ( p q) q Exemplo: Se eu for aprovado, vou viajar, e, se no for, tambm vou equivale a vou viajar Lei da Demonstrao por Absurdo (onde F uma contradio) p q F p q


46

Lgica Matemtica Lei de Exportao - Importao p (q r) p q r O conceito de equivalncia nos permite mostrar ainda que so suficientes as operaes de negao e uma das duas, conjuno ou disjuno, para representar qualquer expresso proposicional. Para isso, necessitamos das seguintes equivalncias:

a) Eliminando o bicondicional: p q (p q) ( p q) b) Eliminando o condicional: p q p q c) Escrevendo a disjuno em termos de conjuno: p q ( p q) d) Escrevendo a conjuno em termos de disjuno: ( p q) p q

Veja o seguinte exemplo: escrever a proposio (p q) p em termos de negao e disjuno: Eliminando o condicional: (p q) p Eliminando o bicondicional: [ (p q) ( p q) ] p Escrevendo a conjuno em termos de disjuno: [ ( p q) (p q) ] p

6.3.

Tautologias e Equivalncia Lgica

Lembre-se que na abertura deste captulo antecipamos que toda tautologia uma equivalncia lgica

6.4.

Proposies associadas a uma condicional

Existem trs proposies que possuem p e q condicionais associadas a p q , que so a) Proposio Recproca

p q:q pb) Proposio Contrria

p q :~ p ~ qc) Proposio Contrapositiva

p q :~ q ~ pCEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 47

Lgica Matemtica

6.5.

Negao conjunta de duas proposies

Denominamos de negao conjunta de duas proposies a expresso

~ p ~ qQue pode tambm ser representada por

p q ~ p ~ q

p V V F F

q V F V F

pqF F F V

6.6.

Negao disjunta de duas proposies

Denominamos de negao disjunta de duas proposies a expresso

~ p ~ qQue pode tambm ser representada por

p q ~ p ~ q

p V V F F

q V F V F

pqF V V V

Nas ltimas tabelas utilizamos dois novos smbolos, conhecidos na lgica matemtica com conectivos de Scheffer. CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 48

Lgica Matemtica

Atividades

1- Em cada caso, dizer qual equivalncia ou inferncia foi aplicada

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

(p q) (p q) (q r) (p q) (r s q) (p q) (r s q) (p q) [ q (q s)] [(p q) q] [(p q) (q s)] (p q) r r (p q) (p q) r ( q p) r (q s r t) (r t) (q s) (q s r t) (q s) r t (r s t) (t q p) (r t q) (s t) p [(p q) (r s)] [(p q) (r s)] p q [(p q) (s q) ] [(p q) (s q)] p q [(s q) (t r)] (p r) (s q) (t r) [r s q] [q t r] r s t r p r s t p r [(p r) (s t)]

2- Para cada expresso abaixo, construa a Tabela Verdade e diga se uma tautologia, uma contradio ou uma contingncia; se for uma tautologia, diga se tambm uma equivalncia lgica, uma implicao lgica, ou nenhuma das duas.

a) b) c) d) e) f) g) h)

[p (p q)] q (p q) (p q) p [(p q) q] (p q) ( p q) p [p (pq)] (p q) [(p q) q] (p q) p (q p) (p (q r)) ( p q)

3- Aplique expresso dada, a equivalncia ou inferncia indicada; 49


Lgica Matemtica

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

[(p q) ( p q)] (p q) ( p q) (p q) (r s q) [(p q) (r s)] [(p q) (r s)] (r t s q) (s q) p s (r t q) (p q s) [(r t) (r t)] q (s t) (s p) (r s q) (q t s) [(r s) (q t)] (r s) (s q) p ( r s) (p s r) (r q t)

De Morgan Simplificao Condicional Simplificao Disjuntiva Modus Tollens Exportao Importao Distributividade Contraposio Dilema construtivo Bicondicional Adio Silogismo Hipottico

4- Em cada caso, completar a frase, mediante o uso da equivalncia ou regra de inferncia indicada: a) Ganho dinheiro se e somente se trabalhar eqivale a ... (Bicondicional) b)Ou no fico jogando ou me atraso eqivale a ... (Condicional) c)Ou saio ou me divirto. No sa. Logo ... (Silogismo Disjuntivo) d)Se eu sair, chego tarde, e, se ficar vendo televiso, me divirto. Ou saio ou fico vendo televiso. Logo, ... (Dilema Construtivo) e)Se eu sair, chego tarde. Logo, ... (Absoro) f) Se eu sair, ento, se for praia, chego tarde eqivale a ... (ExportaoImportao)

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


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Lgica Matemtica


51

Lgica Matemtica

1 Algebra das proposies 1

7.1.

Propriedade da Conjuno

a) Propriedade Idempotente

p p p p V F p p V F p p p V V

b) Propriedade Comutativa

pq q p p V V F F q V F V F p q V F F F q p V F F F p q q p V V V V

c) Propriedade Associativa

( p q) r p ( q r )p V V V V F q V V F F V r V F V F V p q V V F F F (p q) r V F F F F q r V F F F V p (q r) V F F F F (p q) r p (q r) V V V V V52


Lgica Matemtica

F F F

V F F

F V F

F F F

F F F

F F F

F F F

V V V

d) Propriedade da Identidade

p l p e p z z p V F t V V c F F p t V F p c F F p t p V V p c c V V

7.2.

Propriedade da Disjuno

a) Propriedade Idempotente

p p p

p V F

p p V F

p p p V V

b) Propriedade Comutativa

pq q p

p V V F F

q V F V F

p q V V V F

q p V V V F

p q q p V V V V53


Lgica Matemtica

c) Propriedade Associativa

( p q) r p ( q r )p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p q V V V V V V F F (p q) r V V V V V V V F q r V V V F V V V F p (q r) V V V V V V V F (p q) r p (q r) V V V V V V V V

d) Propriedade da Identidade

pll e p z p p V F t V V c F F p t V V p c V F p t p V V p c c V V

7.3.

Propriedades da Conjuno e da disjuno

a) Propriedade Distributiva (i) p ( q r ) ( p q ) ( p r )

p V V

q V V

r V F

q r V V

p (q r) V V

p q V V

p r V F

(p q) (p r) V V


54

Lgica Matemtica

V V F F F F

F F V V F F

V F V F V F

V F V V V F

V F F F F F

F F F F F F

V F F F F F

V F F F F F

(ii) p ( q r ) ( p q ) ( p r )

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

q r V F F F V F F F

p (q r) V V V V V F F F

p q V V V V V V F F

p r V V V V V F V F

(p q) (p r) V V V V V F F F

b) Propriedade da Absoro (i) p ( p q ) p

p V V F F

q V F V F

p q V V V F

p (p q) V V F F

p (p q) p V V V V


55

Lgica Matemtica (ii) p ( p q ) p

p V V F F

q V F V F

p q V F F F

p (p q) V V F F

p (p q) p V V V V

c) Regras De Morgan (i)

~ ( p q ) ~ p ~ q q V F V F p q V V V F ~ (p q) F F F V ~p F F V V ~q F V F V ~ p ~ q F F F V

p V V F F

(ii)

~ ( p q ) ~ p ~ q q V F V F p q V F V V ~p F F V V ~ p q V F V V

p V V F F

7.4.

Negao da Condicional

Como vimos em captulos anteriores p q ~ p q , obtemos

~ ( p q ) ~ ( ~ p q ) ~~ p ~ q que nos leva a concluir que56


Lgica Matemtica

~ ( p q) p ~ q

7.5.

Negao da Bicondicional

Como vimos em captulos anteriores p q ( p q ) ( q p ) , obtemos

p q ( ~ p q ) ( ~ q p ) , que nos leva a concluir que ~ ( p q) ~ ( ~ p q) ~ ( ~ q p) ~ ( p q ) ( ~~ p ~ q ) ( ~~ q ~ p )Finalmente, temos

~ ( p q ) ( p ~ q ) ( ~ p q )

A bicondicional p q possui as propriedades comutativa e associativa, mas no possui a propriedade da idempotente, pois so distintas as tabelas verdades das proposies p e p p.

Atividades

1. Construa as tabelas verdade das seguintes proposies a) ~p (q p) b) ~p (q p) c) ~p (q p) d) ~p (q p) e) ~p (q p) f) p (~q p) g) p (~q p) h) (p q) (~p q) i) (p q) (~p q) j) (p q) (~q p) k) ~(p q) ~(p q) l) ~(p q) ~(p q) m) ~p (p (q ~p)) o) p ~(p ~(q ~p)). p) ~(~p q).


57

Lgica Matemtica 2. Construa as tabelas verdade das seguintes proposies a) ~(p q) b) ~p ~q. Que concluso pode-se tirar a respeito das duas proposies. 3. Construa as tabelas verdade das seguintes proposies a) ~(p q) b) ~p ~q. Que concluso pode-se tirar a respeito das duas proposies. 4. A partir das concluses tiradas nos exerccios 2 e 3, negue as proposies: a) Julieta bonita e Julieta estudiosa. b) Julieta bonita ou Julieta estudiosa. c) Julieta no bonita e Julieta no estudiosa. d) Julieta no bonita ou Julieta no estudiosa. e) Julieta no bonita ou Julieta estudiosa. f) Julieta bonita e Julieta no estudiosa. g) Julieta bonita ou Julieta no estudiosa. 5. Construa as tabelas verdade das seguintes proposies. a) ~(~p q) (r s). b)~(p q)~(r q). c) ~(p q) ~((p ~r) (~q s)). d) ~(p q) ~((p ~r) (~q s)). 6. Considere as proposies p, q, r, s tais que V(p) = V(s) = F e V(q) = V(r) = V. Determine o valor lgico das seguintes proposies compostas: a) ~p(q p) b) ~(p q) ~(p ~r) c) ~(p q) ((p ~r) (~q s)). 7. Considere as proposies p: A lua tem luz prpria; q: O Ifes ministra curso superior; r: Pedro lvares Cabral descobriu o Brasil; s: Santos Dumont inventou a lmpada. Determine o valor lgico das proposies: a) (p q) (r s). b) (p q) (r s). c) ~(p q) ((p ~r) (~q s)). d) ~(p q) ~(p ~r) (~q s) e) ~(s q) ~(p ~r). 8. Escreva as proposies sob forma simblica, construa a tabela verdade e, a partir do resultado encontrado decida o que Antnio deve fazer. a) Antnio ir passear se e somente se Carlos for jogar futebol e Marina for assistir televiso. b) Marina ir assistir televiso se Luis ou Paula trouxer um filme romntico. c) Paulo ir trazer o filme, mas Carlos no vai jogar futebol.


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Lgica Matemtica __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

1 Mtodo Dedutivo 1

Prezado aluno, Em nosso estudo de implicaes e equivalncias lgicas, utilizamos o dispositivo das tabelas-verdades, mas temos uma outra alternativa de trabalho o conhecido mtodo dedutivo. O mtodo dedutivo surgiu na Grcia antiga, com o silogismo do filsofo Aristteles. Entretanto, importante frisar que a deduo (e, conseqentemente, o mtodo dedutivo) no oferece conhecimento novo, uma vez que sempre conduz particularidade de uma lei geral previamente conhecida. A deduo apenas organiza e especifica o conhecimento que j se possui. Ela tem como ponto de partida o plano do inteligvel (ou seja: da verdade geral, j estabelecida) e converge para um ponto interior deste plano. O mtodo dedutivo se tornou popular principalmente com as publicaes das obras de Sir Arthur Conan Doyle, criador do clebre Sherlock Holmes. Doyle demonstrou que toda deduo lgica, uma vez explicada, torna-se "infantil", pois a concluso provoca espanto e admirao apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda so desconhecidos. Bom estudo!


59

Lgica Matemtica

8.1.

Motivao

Neste captulo demonstraremos nossas equivalncias e implicaes lgicas utilizando o mtodo dedutivo, considerada uma ferramenta muito mais sofisticada se comparada com as tabelas-verdade. Basicamente o mtodo consiste em substituir proposies simples verdadeiras (p,q,r e t) por proposies compostas tautolgicas (P,Q,R e T) e a proposio simples falsa (c) por uma proposio composta contraditria (C).Arthur Conan Doyle (1859 - 1930)

8.2.

Reduo do nmero de conectivos

Pelo princpio da substituio, toda frmula proposicional logicamente a uma frmula na qual figuram os conectivos e , apenas.

p q ~ ( ~ p ~ q )p q ~ p q

p q ~ ( ~ p ~ q ) ~ ( p q )Pelo princpio da substituio, toda frmula proposicional logicamente a uma frmula na qual figuram os conectivos e , apenas.

p q ~ ( ~ p ~ q) p q ~ ( p ~ q ) p q ~ ( p ~ q) ~ ( q ~ p)

Pelo princpio da substituio, toda frmula proposicional logicamente a uma frmula na qual figuram os conectivos e , apenas.

p q ~ p q

p q ~ ( p ~ q ) p q ~ [ ( p q ) ~ ( q p ) ]


60

Lgica Matemtica

8.3.

Forma normal das proposies

Dizemos que uma proposio est na forma normal se e somente, quando muito, esta apresenta os conectivos: ~, e . Sempre podemos reescrever uma proposio na forma normal por uma outra equivalente, eliminando os conectivos, e , caso existam. Existem dois tipos de FN, as conhecidas FNC (Forma Normal Conjuntiva) e FND (Forma Normal Disjuntiva).

8.4.

Forma normal conjuntiva

Na forma normal disjuntiva (FND), os nicos conectivos proposicionais que uma frmula na FNC pode conter so os operadores e, ou e no. O operador no pode ser usado apenas como parte de um literal, e portanto ele pode aparecer apenas na frente de variveis proposicionais. Portanto podemos organizar as caractersticas da FNC da seguinte forma: a) Contm quando muito os conectivos : ~, e ;

b) No h repetio do conectivo no (~) assim (~~), incidindo apenas sobre variveis proposicionais; c) E no tem alcance sobre , .

Por exemplo, todas as frmulas seguintes esto na FNC

pq ~ p (q r)

( p q) ( ~ q r ~ t ) ( t ~ k ) (~ q r)Toda frmula proposicional pode ser convertida para uma frmula equivalente que est na FNC. Essa transformao baseada em regras sobre equivalncias lgicas: Lei da Dupla Negao, Leis de De Morgan, e a Distributividade.


61

Lgica Matemtica Uma vez que todas as frmulas lgicas clssicas podem ser convertidas em frmulas equivalentes na forma normal conjuntiva, muitas demonstraes so baseadas na suposio de que todas as frmulas esto na FNC. Contudo, em alguns casos, essa converso para FNC pode levar a uma exploso exponencial da frmula. Por exemplo, traduzindo a seguinte frmula que no est na FNC para FNC, obtemos uma frmula com 2n clusulas.

Nunca se esquea: tautolgica toda a proposio cujos elementos da sua FNC encerram, cada um deles, uma proposio e a sua negao, isto , cujos elementos so todos tautolgicos.

8.5.

Forma normal disjuntiva

Uma frmula lgica considerada uma FND se, e somente se, fr uma disjuno de uma ou mais conjunes de um ou mais literais. Como na forma normal conjuntiva (FNC), os nicos operadores proposicionais na FND so e, ou e no. O operador no pode ser usado apenas como parte de um literal, o qual significa que pode apenas preceder uma varivel proposicional. Portanto podemos organizar as caractersticas da FNC da seguinte forma: a) Contm quando muito os conectivos : ~, e ;

b) No h repetio do conectivo no (~) assim (~~), incidindo apenas sobre variveis proposicionais, logo no tendo alcance sobre e ; c) E no tem alcance sobre , .

A converso de uma frmula para FND envolve o uso de equivalncias lgicas, tais como eliminao de duplo negativo, Leis de De Morgan, e a distributividade. Note que todas as frmulas lgicas podem ser convertidas em forma normal disjuntiva. Contudo, em alguns casos, essa converso para FND pode levar para uma exploso exponencial da frmula. Por exemplo, na FND, frmulas lgicas das seguintes formas tm 2n termos.


62

Lgica Matemtica Nunca se esquea: Contravlida toda a proposio cujos elementos da sua FND encerram, cada um deles, uma proposio e a sua negao, isto , cujos elementos so todos contravlidos.

8.6.

Principio de dualidade

Em proposies que utilizam exclusivamente os conectivos : ~, e , podemos gerar uma nova proposio denominada dual, ao trocar o conectivo por ou vice-versa. Logo, o principio da dualidade afirma que se temos duas proposies equivalentes P e Q, que utilizam exclusivamente os conectivos : ~, e sero tambm equivalentes suas duais P1 e Q1. ,

Atividades

1. Demonstre as equivalncias e implicaes a) p q (p ~q) c b) p q (p q) q c) (p q) (p ~q) ~p d) (p q) r p (q r) e) (p r) (q r) (p q) r f) (p q) (p r) (p q) r

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


63

Lgica Matemtica

1 Argumento e regras de inferncia 1

Chegamos num captulo fantstico. Nele aprenderemos como se estrutura um argumento, quais as relaes entre as premissas e a concluso conhecero tambm argumentos bsicos que nos auxiliam nas demonstraes de argumentos mais sofisticados. Voc conhecer as regras bsicas de inferncia, uma alternativa as tabelas-verdades para a validao de argumentos. Bom estudo!

9.1.

Definio de argumento

Um argumento , citando a esquete de Monty Python, "uma srie conectada de afirmaes para estabelecer uma proposio definida". Existem muitos tipos de argumentos; ns iremos discutir o argumento dedutivo. Argumentos dedutivos so geralmente vistos como os mais precisos e mais persuasivos; eles provm prova conclusiva para suas concluses, e so ou vlidos ou invlidos. Argumentos dedutivos tm trs estgios: premissas, inferncia, e concluso. Chamamos de Silogismo o argumento que consiste de duas premissas e uma nica concluso. Este caso especial foi formulado num tratado chamado Primeiros Analticos, do grande sbio Aristteles.


64

Lgica Matemtica

9.2.

Validade de um argumento

Dizemos que um argumento valido, se e somente se, sua concluso for verdadeira, onde todas suas premissas tambm so verdadeiras Tais propriedades so validas e aplicveis a qualquer argumento: a) A verdade das premissas incompatvel com a falsidade da concluso. b) As premissas dos argumentos so verdadeiras ou, pelo menos, admitidas como verdadeiras. Lembre-se que lgica preocupa-se apenas com a validade dos argumentos e no com a verdade ou falsidade de premissas ou concluses. c) A validade do argumento est atrelada exclusivamente na relao premissa e concluso, ou seja, quando afirmamos que um argumento vlido se torna impossvel obtermos uma concluso falsa a partir de premissas verdadeiras.

Um argumento no valido chamado de sofisma ou falcia

9.3.

Critrio de Validade de um argumento

Muitas vezes precisamos avaliar um argumento de forma mais aprofundada, mas nos deparamos com a seguinte pergunta: O que significa dizer que um argumento vlido? Somos tentados, em primeiro momento, a dizer que um argumento vlido se a concluso conseqncia lgica das premissas. No entanto, essa definio inadequada, pois apenas substitui o conceito de validade pelo de conseqncia lgica. Considere agora um argumento parecido com o primeiro exemplo da lista da seo anterior. Todo homem mentiroso. Scrates homem. Logo, Scrates mentiroso. Nosso primeiro impulso considerar o argumento acima como invlido pois contm uma premissa que simplesmente falsa (no verdade que todo homem seja mentiroso). No entanto, o que aconteceria se admitssemos que as premissas so ambas verdadeiras, isto , que todos os homens so mentirosos e que Scrates homem? Nesse caso, somos forados a admitir que Scrates mentiroso.


65

Lgica Matemtica precisamente esse raciocnio que nos leva noo de argumento vlido ou de conseqncia lgica. Repare que ambos os argumentos sobre Scrates tem a mesma forma lgica expressa por: Todo h m. s h. Logo, s m. Sendo que estamos substituindo cada sentena por uma letra, ou seja, fazemos as seguintes substituies: h: classe dos homens. m: classe dos mentirosos. s: refere-se a um homem. ( um objeto de uma classe) Qualquer argumento que tenha essa forma vlido, independentemente do que sejam as classes h e m e o objeto s. Pois se todos os objetos de classe h so objetos da classe m e se s um objeto de h, ento sabemos que s um objeto de m tambm. Somos, assim, levados seguinte definio de argumento vlido: Um argumento vlido se toda situao que torne as premissas verdadeiras torne tambm a concluso verdadeira. Ou, de outro modo, um argumento vlido se no existe situao que torne as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

9.4.

Condicional associado a um argumento

Na Lgica Simblica, a estrutura que melhor representa um argumento, a operao de condicionamento: um argumento , portanto, uma condicional da forma

P P2 ... Pn Q 1A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lgico entre as premissas e a concluso; isto , no ocupao da Lgica verificar se as premissas so verdadeiras. O objetivo da Lgica verificar se, , o argumento estruturado de forma tal que, independentemente dos valores lgicos das proposies simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade da concluso. Em termos lgicos, isso significa dizer que se um argumento vlido, ento a condicional que o representa sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies componentes. CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 66

Lgica Matemtica Em outras palavras, se um argumento vlido, a condicional que o representa uma tautologia.

9.5.

Argumentos vlidos fundamentais

9.5.1. ppq; pqp 9.5.2. pqp; pqq; 9.5.3. pqpq; pqqp; 9.5.4. pqp(pq) 9.5.5. pqpq 9.5.6. pqqp

Adio

Simplificao

Conjuno

Absoro

Modus Ponens (MP)

Modus Tollens (MT)


67

Lgica Matemtica 9.5.7. pqpq; pqqp. 9.5.8. pqqrpr 9.5.9. pqrsprqs 9.5.10. pqrsqspr Dilema Destrutivo (DD) Dilema Construtivo (DC) Silogismo Hipottico (SH) Silogismo Disjuntivo (SD)

9.6.

Regras de inferncia

Uma propriedade desejvel de uma regra de inferncia que esta seja efetiva, isto , existe um procedimento efetivo para determinar se uma dada frmula infervel de um dado conjunto de frmulas. Regras de inferncia tm as seguintes caractersticas: a) Se a Hiptese for verdadeira, ento a Concluso verdadeira

b) Verificao de tipos baseada em inferncia. Se E1 e E2 tem certos tipos, ento E3 tem um certo tipo. c) Regras de inferncia so uma notao compacta para comandos de implementao. d) Inicia-se com um sistema simplificado de regras ao qual adiciona-se novas caractersticas gradualmente e) As premissas so regras sem hipteses

Uma regra de inferncia no precisa preservar qualquer propriedade semntica como verdadeira, j que no existe nenhuma regra que garanta que uma caracterizao lgica sinttica tenha uma semntica. Uma regra pode preservar, por exemplo, a propriedade da conjuno CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 68

Lgica Matemtica de uma sub-frmula da uma frmula mais extensa do conjunto de premissas. Os dez argumentos listados na seo anterior so utilizados para realizar as etapas envolvidas em uma demonstrao ou deduo, ou seja, utilizamos os argumentos para realizao de inferncias. comum representarmos estas regras de inferncia colocando as premissas sobre, e a concluso sob o trao horizontal, como voc ver em todas as regras abaixo:

9.6.1.

Regra da Adio (AD)

(i)

p pq p q p

(ii)

9.6.2.

Regra da Simplificao (SIMP)

(i)

pq p pq q

(ii)

9.6.3.

Regra da Conjuno (CONJ)

p (i) q pq p (ii) q q p

9.6.4.

Regra da Absoro (ABS)

pq p ( p q)CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo 69

Lgica Matemtica 9.6.5. Regra Modus Ponens (MP)

pq p q

9.6.6.

Regra Modus Tollens (MT)

pq ~q ~p

9.6.7.

Regra do Silogismo Disjuntivo (SD)

pq (i) ~ p q pq (ii) ~ q p

9.6.8.

Regra do Silogismo Hipottico (SH)

pq qr pr

9.6.9.

Regra do Dilema Construtivo (DC)

pq rs pr qs


70

Lgica Matemtica 9.6.10. Regra do Dilema Destrutivo (DD):

pq rs ~ q ~ s ~ p ~ r

9.7.

Exemplos do uso das regras de inferncia

1 Exemplo - O Sr. Silva foi obrigado a comparecer no Tribunal, porque foi acusado de cometer uma infraco de trnsito que, na verdade, no cometera. O juiz perguntou-lhe se ele se considerava inocente ou culpado. Dilema: Ou se considera inocente ou culpado. Se se proclama culpado, dever pagar multa por uma infraco que no cometeu. Se se declara inocente, precisar de passar o dia no tribunal. Logo, ou paga a multa ou passa o dia no tribunal. 2 Exemplo - Dever o aluno pagar ao seu mestre? Vamos a tribunal, props o mestre, e, se eu perder, no pagas as lies. Dilema posto pelo aluno de retrica: Ou ganho ou perco a causa. Se ganhar, no pago as lies (porque essa a deciso do Tribunal). Se perder, no pago as lies (porque esse o nosso acordo) Logo, no pago. E o professor retorquiu com este dilema: Ou ganho ou perco a causa. Se ganhares, pagar-me-s (porque esse o nosso contrato) Se perderes, pagar-me-s (porque essa a deciso do tribunal). Logo, tereis que pagar-me. 3 Exemplo - Defesa aristotlica da Filosofia Dilema: Ou a filosofa vale ou no vale a pe

FINALLógica Matemática - Ronaldo Barbosa Alvim

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