FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II

8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II

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a p ´ ı t u

l o

2Introducao ao Calculo Vetorial - Parte II.

Calculo Diferencial

2.1 Derivada “Ordinaria”

Vamos supor que nos temos uma funcao de uma variavel, f (x ) que e derivavel e contınua no

ponto x . O que a significa para nos a derivada d f /d x ? Ela nos diz o quao “rapido” a funcao

f (x ) varia quando nos mudamos o argumento x de uma pequena quantidade, d x :

d f =

d f

d x

d x (2.1)

ou seja, se nos variarmos x numa quandia d x , a funcao f (x ) vai variar a quantia d f . Por

exemplo, e facil interpretar isso com o auxılio da Fig. 2.1. A funcao varia lentamente na 2.1a e

mais rapidamente na Fig. 2.1b, pois a derivada pode ser interpretada como a inclinacao da reta

tangente no ponto considerado.

(a) Grafico de uma funcao cuja derivada varia lenta-mente

(b) Grafico de uma funcao cuja derivada varia rapi-damente

Figura 2.1: Representacao de uma funcao derivavel em um ponto qualquer



CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 12

2.1.1 O Gradiente

Suponhamos agora que nos temos uma funcao de 3 variaveis, como exemplo podemos ter uma

funcao temperatura T (x , y ,z ) em uma sala. Vamos supor que dentro desta sala temos um aque-

cedor e um aparelho de ar condicionado em pontos diferentes e desconhecidos. Vamos supor

tambem que um dos cantos da sala esta o nosso sistema de coordendas. Como podemos imag-

inar, ao ligar os dois aparelhos, teremos para cada ponto (x , y ,z ) da sala, uma temperatura T

local ou regiao diferente. Uma pessoa dentro desta sala quer se esfriar, pois o local que ela est ae mais quente. Esta situacao levanta uma questao, em qual direcao ela deve ir para se esfriar o

mais rapido possıvel? Ou se estiver em um local frio, qual a direcao ela deve ir para se aquecer

o mais rapido possıvel? Qual e a melhor direcao para se tomar?

A suposta derivada da funcao T (x , y ,z ) nos fala o quao rapido a funcao T varia se nos

movermos um pouco a nossa posicao.Um teorema nas derivadas parciais declara que:

dT =

∂T

∂x

d x +

∂T

∂ y

d y +

∂T

∂z

d z (2.2)

Esta equacao nos mostra como T varia quando sao alteradas todas as tres variaveis por

quantidade infinitesimais, d x , d y e d z . A equacao 2.2 vem do produto escalar entre:

d T =

∂T

∂x x +

∂T

∂ y ˆ y +

∂T

∂z z

·d x x + d y ˆ y + d z z

= (∇T ) ·

d l

(2.3)

onde

∇T ≡∂T

∂x x +

∂T

∂ y ˆ y +

∂T

∂z z (2.4)

e o gradiente de T .

Interpretac˜ ao Geometrica : A equacao 2.3 pode ser reescrita de uma outra forma, pois o

gradiente tem magnitude e direc˜ ao. Para melhor entendermos geometricamente, temos que:

d T = ∇T · d l = |∇T ||d l |cosθ (2.5)

onde θ e o angulo entre ∇T e d l . O deslocamento infinitesimal possui um vetor unitario em sua

direcao. Entao podemos reescrever a equacao acima como:

d T

d l

= |∇T | · |d l |cosθ

como |d l | e unitario, vem

d T

d l = ∇T ·cosθ (2.6)

A maxima mudanca em T ocorrera evidentemente quando θ = 0. Isso e, para uma distancia

|d l | fixa, dT aumenta se movermos na mesma direcao que ∇T . Entao:

O gradiente ∇T aponta para a direc˜ ao do m´ aximo aumento da func˜ ao T .

Mais ainda:




A magnitude |∇T | d´ a a inclinac˜ ao (taxa de aumento) pela m´ axima direc˜ ao

Exemplo 2.1

Como um exemplo de gradiente, considere a Fig.2.2a em que E e a elevac˜ ao de uma mon-

tanha acima do nıvel do mar e e uma func˜ ao de x , y em um plano horizontal. A junc˜ ao de todos

os pontos com mesma altitude definem as linhas de contorno. O gradiente da elevac˜ ao E possui

as seguintes propriedades:

1. Ele e perpendicular as linhas de contorno no ponto considerado.

2. Sua magnitude e igual a maxima taxa de variacao da elevacao no plano horizontal e

3. Ele aponta para um aumento da elevacao. Por isso a seta aponta para a curva de maior

nıvel (500m) mais proxima e nao outra.

(a) Mapa topografico de uma montanha (b) Montanha vista superior e de

perfil

Figura 2.2: Interpretacao geometrica do gradiente. Curvas de Nıvel de montanhas

Ja a Fig. 2.2b nos mostra outra montanha, sendo a parte de cima uma vista superior da

montanha e a parte de baixo uma vista de perfil.

Exemplo 2.2

Encontrar o gradiente de r =

x 2 + y 2 + z 2 (magnitude do vetor posic˜ ao):

Solucao:

∇r =∂r

∂x x +

∂r

∂ y ˆ y +

∂r

∂z z

=1

2

2x x 2 + y 2 + z 2

x +1

2

2 y x 2 + y 2 + z 2

ˆ y +1

2

2z x 2 + y 2 + z 2

z

=x x + y ˆ y + z z

x 2 + y 2 + z 2=r

r = r

Isso faz sentido? Isto diz que a direcao de aumento e radial e a taxa de aumento e igual a 1.




Exemplo 2.3

Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:

a) V = e −z .se n (2x ).cosh( y )

b) U = x 2 y + zx y

Solucao: Derive a funcao V em x , depois em y e depois em z , independentemente,conformepodemos ver a seguir. Depois some cada parte para obter o gradiente da funcao.

a)

∂V

∂x = 2.e −z

.cos(2x ).cosh( y )x +

∂V

∂ y = e −z

.se n (2x ).senh ( y ) ˆ y +

∂V

∂z = −.e −z

.se n (2x )cosh( y )z

Assim, o gradiente da funcao V e:

∇V =∂V

∂r = 2.e −z .cos(2x ).cosh( y )x + e −z .se n (2x ).senh ( y ) ˆ y − z .e −z .se n (2x )cosh( y )z

b)

∂U

∂x = y (2x + z )x +

∂U

∂ y = x (x + z ) ˆ y +

∂U

∂z = x y z

Assim, o gradiente da funcao U e:

∇U =∂U

∂r = y (2x + z )x + x (x + z ) ˆ y + x y z

2.1.2 O operador ∇

O gradiente tem a aparencia formal de um vetor multiplicando um escalar T, como podemos

ver na equacao a seguir:

∇T =

x ∂

∂x + ˆ y

∂

∂ y + z

∂

∂z

· T (2.7)

onde o termo entre parenteses e chamado de ”del ” e sempre e utilizado o sımbolo ∇:

∇ = x ∂

∂x + ˆ y

∂

∂ y + z

∂

∂z (2.8)

E claro, ∇ nao e um vetor, no senso comum, ele e um operador diferencial com carater

vetorial. Este operador nao e um vetor em si mesmo, mas, quando aplicado a uma funcao

escalar, por exemplo, resulta em um vetor.




E preciso entender que o operador ∇ nao esta muliplicando T como vemos na Eq. 2.7. O

operador esta sendo aplicado a funcao escalar T (ou a qualquer funcao que esteja a sua direita).

Em outras palavras, ele e uma instrucao para diferenciar a funcao escalar T .

Como vimos na Parte I desta introducao, podemos fazer tres tipos de multiplicacao com um

vetor:

1. A multiplicacao por um escalar a :

a A

2. A multiplicacao por um outro vetor, B , atraves do produto escalar

A ·B

3. A multiplicacao por um outro vetor, B , atraves do produto vetorial:

A ×B

Analogicamente, existem tres ”multiplicacoes” ou vias para se usar o operador ∇

1. Em uma Funcao Escalar T

∇T

que nada mais e do que o Gradiente;

2. Em uma Funcao Vetorial v , atraves do produto escalar

∇ ·v

que e conhecido como Divergente.

3. Em uma Funcao Vetorial v , atraves do produto vetorial

∇ ×v

que e conhecido como Rotacional.

Ate o momento ja estudamos o Gradiente (seccao 2.1.1) e vimos algumas de suas aplicacoes.

Nas seccoes 2.1.3 e 2.1.4 respectivamente, falaremos sobre o Divergente e o Rotacional.

2.1.3 O Divergente

Da definicao de ∇ nos contruımos o divergente, porem aplicando o produto escalar. Seja v =

(x , y ,z ) uma funcao vetorial definida e diferenciavel em todos os pontos (x , y ,z ) numa dada regiao

do espaco (isto e, v define um campo vetorial derivavel) , entao o divergente de v e:

∇ ·v =

x ∂

∂x + ˆ y

∂

∂ y + z

∂

∂z

·

v x x + v y ˆ y + v z z

=∂v x

∂x +∂v y

∂ y +∂v z

∂z (2.9)

E preciso observar que o Divergente de uma funcao vetorial resulta em um escalar (reveja Eq.

1.18 para melhor entender o resultado acima) e que so e possıvel aplicar o Divergente em uma




Funcao Vetorial. Aplicar o Divergente em uma funcao escalar nao possui sentido matematico.

Assim o divergente resulta em

∇ ·v =∂v x

∂x +∂v y

∂ y +∂v z

∂z (2.10)

Em muitos livros o Divergente de um vetor e escrito como divv .

Interpretac˜ ao Geometrica : O nome Divergente e bem escolhido. O divergente ∇ ·v e a

medida do quanto a funcao vetorial 1 espalha ou diverge de um ponto escolhido. A Figura 2.3a

mostra que a divergencia de um campo vetorial em um ponto P e positiva porque o vetor diverge

(ou se “espalha” a partir de) em P . Na Figura 2.3b um campo vetorial tem divergencia negativa

(ou convergencia) em P e na Figura 2.3c, um campo vetorial tem divergencia zero em P .

(a) Fonte (b) Sumidouro (c) Nulo

Figura 2.3: Ilustracao da divergencia de um campo vetorial em P ; a) Divergencia positiva ou fonte; b)Divergencia negativa ou sumidouro; c) Divergencia zero.

Exemplo 2.4

Suponha que na Figura 2.4 a func˜ ao vetorial e A =r = x x + y ˆ y + z z . Calcule o seu divergente.

Solucao: Deriva-se a funcao A em x somente no coeficiente do vetor unitario x . Analoga-

mente se faz em y e z . Assim, teremos:

∇ · A =∂

∂x (x )+

∂

∂ y ( y )+

∂

∂z (z )

= 1+1+1

∇ · A = 3 (2.11)

Como esperado, a divergencia de A e positiva. Este resultado e muito util se guardar, pois

facilita em muitos calculos futuros.

Figura 2.4: Exemplo de campo divergente

1Lembrando que aqui e uma funcao vetorial e nao um vetor. Ou seja, ha um vetor/seta para cada ponto

diferente no espaco, porem na figura nao e possıvel desenhar todos os pontos com setas.




Exemplo 2.5

Determine a divergencia do seguinte campo vetorial: P = x 2 y z x + xz z

Solucao:

∇ ·P =∂

∂x (P x )+

∂

∂ y (P y )+

∂

∂z (P z )

=∂

∂x (x 2 y z )+

∂

∂ y (0)+

∂

∂z (xz )

= 2x y z + x

2.1.4 O Rotacional ∇×

Da definicao de ∇ nos contruımos o rotacional, porem aplicando o produto Vetorial. Seja v =

(x , y ,z ) uma funcao vetorial definida e diferenciavel em todos os pontos (x , y ,z ) numa dada regiao

do espaco (isto e, v define um campo vetorial derivavel), entao o rotacional de v e:

∇ ×v =

x ˆ y z ∂

∂x ∂

∂ y ∂

∂z

v x v y v z

= x

∂v z

∂ y −∂v y

∂z

+ ˆ y

∂v x

∂z −∂v z

∂x

+ z

∂v y

∂x −∂v x

∂ y

(2.12)

Note que no desenvolvimento do determinante, os operadores

∂

∂x +

∂

∂ y +

∂

∂z

devem preceder v x ,v y ,v z , ou seja, aqui os operadores que “multiplicam” as funcoes, devem na

verdade se aplicarem a elas. Os termos entre parenteses na Equacao 2.12 nada mais sao do que

os determinantes de 2a

ordem.

Interpretac˜ ao Geometrica: O nome Rotacional e bem escolhido, porque ∇×v e a medida do

quanto a funcao vetorial v “rotacional”o ponto aplicado. A Figura 2.3 e 2.4 sao contra exemplos

de Rotacional e seus valores sao zero, porem na Figura 2.5 temos um Rotacional bem ilustrado.

Este rotacional aponta na direcao do eixo Z.

Figura 2.5: Ilustracao do Rotacional de um campo vetorial.




Exemplo 2.6

Suponha que a func˜ ao vetorial esbocada na Fig. 2.5 seja a func˜ ao A = − y x + x ˆ y . Calcule o

seu rotacional:

Solucao:

∇ ×v =

x ˆ y z ∂

∂x ∂

∂ y ∂

∂z

− y x 0

= x

∂0

∂ y −∂x

∂z

+ ˆ y

∂(− y )

∂z −∂0

∂x

+ z

∂x

∂x −∂(− y )

∂ y

= (0)x + (0) ˆ y + (1+1)z

= 2z

2.2 Segundas derivadas e o Laplaciano ∇2

O Gradiente, o divergente e o rotacional sao somente a primeira derivada que nos podemos fazer

com o operador ∇. Aplicando o operador por duas vezes nos podemos contruir mais 5 formas

de segunda derivadas. Seja T uma funcao escalar e seu gradiente ∇T e um vetor, logo sendo um

vetor, podemos aplicar sobre ele o divergente e o rotacional.

1. O divergente do gradiente : ∇ · (∇T )

∇ · (∇T ) =

x ∂∂x

+ ˆ y ∂∂ y

+ z ∂∂z

·

∂T ∂x

x + ∂T ∂ y

ˆ y + ∂T ∂z

z

=∂2T

∂x 2+∂2T

∂ y 2+∂2T

∂z 2(2.13)

A equacao 2.13, que pode ser escrito da forma curta como ∇2T e chamado de Laplaciano

de T

2. O rotacional do gradiente: ∇ × (∇T )

O Rotacional do gradiente e sempre igual a zero (0).

∇ · (∇T ) = 0 (2.14)

Este e um importante fato que nos usaremos repetidamente.

O Divergente ∇ ·v e sempre um escalar , entao poderemos tomar o seu gradiente.

3. O gradiente do divergente : ∇(∇ ·v

Por alguma razao, este caso ocorre raramente nas aplicacoes fısicas. Note que ∇(∇ ·v nao

e o mesmo que o Laplaciano de um vetor.




4. O divergente do rotacional : ∇ · (∇ ×v

O divergente do rotacional possui o mesmo resultado do rotacional do gradiente, isto e,

sempre igual a zero (0):

∇ · (∇ ×v ) = 0 (2.15)

5. O divergente do gradiente :Como voce pode checar pela aplicacao do operador ∇, temos que:

∇ × (∇ ×v ) = ∇(∇ ·v )− ∇2v (2.16)

A equacao 2.16 nao nos tras nada de novo, pois o primeiro termo do lado direito nada

mais e que o gradiente do divergente (item 3 acima) e o segundo termo e o Laplaciano (de

um vetor). Esta equacao e frequentemente utilizada para definir o laplaciano de um vetor,

simplesmente isolando o ultimo termo da direta.

2.3 Exercıcios

Os exercıcios estao em um arquivo a parte.

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