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Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Cinemática - 3D

(Vetores) Física 1 1 / 63

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Outline

1 Grandezas da Cinemática 3D

2 Lançamento de Projéteis

3 Movimento Circular

4 Movimento Relativo


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Cinemática 3D

Estudamos os conceitos de posição, velocidade, aceleração,deslocamento em 1 dimensão.Vamos estender esses conceitos para o caso mais comum que sãoos movimentos em 2 e 3 dimensões.

Trajetória da partícula

Atenção: Não confunda ográfico da trajetória (y x ) como gráfico da função horária(x t ou y t)

r1 e r2 são os vetores posição nos instantes t1 e t2O movimento da partícula será dado pelo vetor posição emqualquer instante de tempo, ou seja, r t .


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Vimos que um vetor pode ser escrito em termos das suascomponentes:

r t x t y t z t k

Alguns problemas de 3 dimensões podem ser “reduzidos” aotratamento de 3 movimentos unidimensionais independentes.

Ex: x t 10 t y t 20 5 t2 e z t 0Esse movimento é do tipo chamado parabólico, pois suatrajetória é uma parábola.

r t 10t 20 5t2

Ex: x t 5 2t y t 5sen 2t e z t 4 tEsse movimento é do tipo chamado helicoidal, pois sua trajetóriaé uma hélice.

r t 5 2t 5sen 2t 4 t k


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Velocidade Média

Definimos o vetor deslocamento da partícula para ir do pontoP1 até o ponto P2:

r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k

Definimos o vetor velocidade média

vm t1 t2rt

r2 r1

t2 t1xt

vmx

yt

vmy

Note que a direção do vetor velocidade média é a mesma do vetordeslocamento.


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Velocidade Instantânea

Ao considerarmos o limite da vm quando t 0 obtemos o

vetor velocidade instantânea:

v tt 0

rt t 0

r t t r tt

drdt

o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à

trajetória na posição em que está a partícula e no sentido

do movimento

Escrevendo em termos de suas componentes:

v tdrdt

dxdtvx

dydtvy

dzdtvz

k


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ExemploDada uma partícula que realiza um movimento parabólico deacordo com a função:

r t 10 tx t

20 5t2

y t

Determine o vetor velocidade dessa partícula:

v t 10 10t

Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x

x 10 t tx10

y 20 5x 2

10020 0 05x 2 parbola


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r t 10 tx t

20 5t2

y t


v t 10 10t


x 10 t tx10

y 20 5x 2

10020 0 05x 2 parbola


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r t 10 tx t

20 5t2

y t


v t 10 10t


x 10 t tx10

y 20 5x 2

10020 0 05x 2 parbola


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Aceleração Média

O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definidocomo a variação da velocidade neste intervalo.

amvt

v2 v1

t2 t1Qual a direção do vetor am ?

Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação davelocidade:


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Aceleração Média

O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definidocomo a variação da velocidade neste intervalo.

amvt

v2 v1

t2 t1Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação davelocidade:


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Aceleração Instantânea

A aceleração instantânea é definida como

a tdvdt

dvx

dtdvy

dtdvz

dtk

a td2rdt2

d2xdt2

d2ydt2

d2zdt2 k

a t ax t ay t az t k

A aceleração instantânea aponta sempre para a

concavidade da trajetória, ou é tangente à ela no casoparticular da trajetória ser retilínea.


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Aceleração Instantânea

Em um movimento retilíneo, a velocidade pode mudar apenas emmódulo e sentido, e nesse caso a aceleração tem sempre a mesmadireção do vetor velocidade.Se o movimento é curvo, a velocidade necessariamente muda dedireção e a aceleração nunca pode ser nula. Podemosdecompor o vetor aceleração em duas componentes, umatangente à trajetória e outra perpendicular a esta. Se o móduloda velocidade for constante, só teremos a componente que apontapara o centro.


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Exercício

A função horária vetorial de uma partícula é

r t 5 t2 2t3 3t2k

Determine a velocidade e a aceleração da partícula(i) em um instante arbitrário;(ii) no instante t 0;(iii) no instante t 1 0 s .


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[P1-2012-2] Considere as seguintes afirmações sobre os vetoresvelocidade e aceleração de um corpo em movimento: I) Avelocidade pode ser zero e a aceleração ser diferente de zero. II)O módulo do vetor velocidade pode ser constante, com o vetorvelocidade mudando com o tempo. III) O vetor velocidade podeser constante mas seu módulo variar com o tempo. IV) O vetorvelocidade pode mudar de sentido com o tempo mesmo que ovetor aceleração permaneça constante. São verdadeiras asafirmações:(a) I, II e III(b) I, II e IV(c) II e III(d) Todas as afirmações(e) Nenhuma das afirmações anteriores.


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Lançamento de Projéteis

Um tipo de movimento bem comum na natureza é o chamadolançamento de projéteis. Ele é caracterizado por lançarmosum objeto perto da superfície da Terra, de forma que podemosconsiderar a Terra plana, desprezar a resistência do ar e termos ovetor aceleração constante, apontando para baixo e de módulog 9 8 m/s2.


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Uma partícula é lançada das coordenadas iniciais x0 y0 , comvelocidade inicial v0 que faz um ângulo com a direção horizontal

r0 x0 y0

v0 v0x v0y v0cos v0sen(1)

Queremos determinar o vetor posição e o vetor velocidade emqualquer instante de tempo.


g

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Independência dos movimentos

https://www.youtube.com/watch?v=z24_ihikEqQ


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Independência dos movimentos

https://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw


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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹

MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t

No eixo y :ay g ‹

MUV ‹ y y0 v0y t 12g t2 , vy v0y g t

Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :

r t x0 v0x t y0 v0yt12gt2

r t r0 v0t 12gt

2

e o vetor velocidade:

v t vx0 vy0 gt v t v0 gtEquações fundamentais do lançamento de projéteis


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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t

No eixo y :ay g ‹

MUV ‹ y y0 v0y t 12g t2 , vy v0y g t



r t r0 v0t 12gt

2




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No eixo y :ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 1

2g t2 , vy v0y g t



r t r0 v0t 12gt

2




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No eixo y :ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 1

2g t2 , vy v0y g tVoltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :


r t r0 v0t 12gt

2




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Trajetória de projéteis

Qual a trajetória da partícula?

x x0 v0x t tx x0

v0x

y y0v0y

v0xx x0

g2v 2

0xx x0

2

que é a equação de uma parábola


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Altura Máxima, Alcance

Podemos calcular algumas grandezas características:

Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?

Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H v2

0 sen2

2g

Qual o alcance A do projétil?

A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen

g 2tH ‹ A v20 sen2

g

A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa peloponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45

Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?

vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y

Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componentevertical, o que vale para qualquer plano


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0 sen2

2g

Qual o alcance A do projétil?

A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen


g






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0 sen2

2g

Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen


g






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0 sen2

2g

Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen


g






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Use estas fórmulas com moderação


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Exercícios

Halliday. Um pacote de suprimentos é solto por um avião queestá a 100m acima do solo e que voa a uma velocidade de 40 m/s.

(a) Por quanto tempo o pacote ficou noar?R: 4.52s(b) A que distância horizontal a partir daorigem o pacote atingiu o solo?R: 181m(c) qual a velocidade do pacote ao atingiro solo?R: v 40m s 44 3m s(d) em que posição está o avião quando opacote atinge o solo?


31/ 73(Vetores) Física 1 22 / 63

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Halliday. Uma pedra é lançada do topo de um prédio, com umângulo de 30 acima da horizontal com uma velocidade demódulo 20m/s. A altura do prédio é de 45m.

(a) Quanto tempo a pedra levou paraatingir o solo?R: 4.22s(b) A que distância horizontal a partir daorigem a pedra atinge o solo?R: 73m(c) qual a velocidade da pedra ao atingir osolo?R: v 17 3m s 31 4m s


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Exercícios

[PF-2013-1] Um pequeno corpo é lançado a partir da origem comvelocidade v0 segundo um ângulo com a horizontal. Outrocorpo é lançado (não simultaneamente) horizontalmente de umaaltura h com uma velocidade v1 de mesmo módulo de v0, comomostra a figura. Qual deve ser o valor de h tal que eles atinjam omesmo ponto x no eixo OX?

(a) v0sen 2 g(b) 2 v0sen 2 g(c) v0sen2 2 2g(d) v0sen 2 2g(e) v 2

0 sen 2g


a) o→ al

b) e)

e)

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Movimento Circular

Movimento Circular (MC) de uma partícula é caracterizado porsua trajetória ser um círculo (ou arco de círculo). Queremoscaracterizar as velocidades e acelerações possíveis nessemovimento.

Um caso particular de MC é o movimento circular uniforme(MCU) em que a partícula percorre arcos iguais em intervalosde tempos iguais.Exemplos: ponteiros de um relógio, movimento da lua, um pontoem um disco girando

Atenção: o nome uniforme pode levar à uma interpretaçãoerrada: O que é constante é o módulo da velocidade, mascomo a trajetória é curva, sua direção varia, e portanto aaceleração nunca é nula.


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Movimento Circular Uniforme

Como o módulo de v não muda, aT 0 e temos apenas acomponente radial (ou centrípeta).

Como os dois triângulos são semelhantes (isósceles e de mesmoângulo):

vv

sr

v vs

r


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Movimento Circular Uniforme

O módulo da aceleração média é

amvt

vr

st

A aceleração instantânea é

at 0

vr

st

vr t 0

st

portanto, no MCU a aceleração é centrípeta, de módulo:

acv 2

re na forma vetorial:

av 2

rr

onde r é o vetor unitário na direção radial, apontando para forada circunferência.


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Período

Uma outra definição importante é o período T do movimento,que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.No caso em que a trajetória é um círculo completo:

T2 rv

v2 rT

e podemos expressar a aceleração centrípeta como

ac 4 2R T 2


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Movimento Circular Geral

No movimento circular mais geral (sem ser uniforme) temostambém uma componente tangencial da aceleração, que estáligada à variação do módulo da velocidade.

aradv 2

Ratan

dvdt

MC


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Relação entre velocidade e aceleração

Não existe uma relação fixa entre velocidade e aceleração


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Exercícios

Halliday 68. Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual aaceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto maisbaixo?

Halliday 72. Um menino gira uma pedra em uma circunferênciade 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acimado solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e apedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m dedistância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estavaem movimento circular uniforme?

Moysés 19. Com que velocidade linear estamos nos movendodevido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos naLinha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta?Exprima essa aceleração como um percentual de g . Raio daTerra = 6.37 106m.


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Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas emtorno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração deum passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo?


R = 15 M

V = 5×-25 R=

7,

8 mls

60

I oil = v£ = };I= 4. 1mW

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Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m deraio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo pormeio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra sejaatirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância.Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava emmovimento circular uniforme?


x = xo + T.at

r=nsm

{ Y = Yo + v. ytzqt

'

i. . .

2

am -

.

O = 2 - £ gt:

t£=

2x2_ = 0

.

64 s

9.8

10 = To a ×

O.

69

Voa = 15.

6 in 11

210 m

a = Is = 45¥= 163 m1s2

R

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Com que velocidade linear estamos nos movendo devido àrotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha doEquador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essaaceleração como um percentual de g . RT = 6.37 106m.


V = 2 I R

FT = 24×36 oo

V = 2T 6,37 ×106

-

= 463 mls

24 × 3600

A = V÷ = 3.3×152-1^2

a

g-= 3q÷×152 = 0.003g = 0.37 . g

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[P1-2014-1] Um carro, considerável como uma partícula, sobeuma lombada circular de centro de curvatura em O , como indicaa figura. O módulo da velocidade do carro vai diminuindo amedida que ele sobe a lombada. Dadas as setas identificadaspelos números 1, 2, 3, 4 e 5 da figura, a que pode representar aaceleração do carro no ponto P da subida indicado é a número

(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(e) 5


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[PF-2015-2] Uma partícula executa um movimento pendular numplano vertical xy , oscilando entre duas posições extremas A e B,como mostra a figura. Considerando o trajeto A B pode-seafirmar que

x

y

A B

(a) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e osentido do eixo x positivo

(b) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e osentido do eixo x negativo

(c) nos pontos A e B a aceleração é nula(d) o vetor velocidade média entre A e B é nulo(e) o vetor aceleração média entre A e B tem a direção e sentido

do eixo y positivo(Vetores) Física 1 38 / 63

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Movimento Relativo

Pergunta: Uma pessoa se move com velocidade v = 1 m/s aolongo do corredor de um trem, o qual se move com v = 3 m/s.Qual a velocidade da pessoa? R: Depende...

Para descrever um movimento precisamos definir um referencial.

Neste caso o referencial mais simples é o que se move junto com otrem, e podemos descrever o movimento do trem em relação àTerra e compor os dois movimentos.


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Movimento Relativo

Temos um objeto P que se move em relação a um referencial B equeremos descrever seu movimento em relação a um referencialA, supondo que B se move com velocidade constante emrelação a A

rP A rP B rB A


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rP A rP B rB A

Essa equação vetorial é equivalente às três equações escalares:xP A xP B xB A, yP A yP B yB A e zP A zP B zB A

Sendo vP A a velocidade de P em relação a A, vP B a velocidadede P em relação a B , e vB A a velocidade do referencial Brelativa ao referencial A, obtemos

vP A vP B vB A

aP A aP B

Essa equação é equivalente às três equações escalares:v P A x

v P B xv B A x

v P A yv P B y

v B A y

v P A zv P B z

v B A z


cte

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Exercícios

Halliday 2.73 Um barco está navegando rio acima, a 14km/h emrelação à água do rio. A velocidade da água em relação ao solo é9km/h. (a) Qual a velocidade do barco em relação ao solo? (b)uma criança no barco caminha da proa para a popa a 6km/h emrelação ao barco. Qual a velocidade da criança em relação aosolo?


fate tnas


- > → - >

A) VB,

= VBR + URT To scolhendo 0 eixo ze

apron ton - para no

IBN= 14km/h =

acima .

Irt = - 9km/h i

JBT = 14 - 9 = 5 km/h i

←

b) -2 →

Is

÷a

= Ers + Jia + Jat

Jet = - 6 + 5 = - l i

1 km/h - rented de des ada do no ,

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Exercícios

Halliday 2.80 A chuva cai verticalmente com velocidade constantede 8,0 m/s. O motorista de um carro, viajando em linha retanuma estrada com a velocidade de 50km/h, vê os pingos caíremformando um ângulo com a vertical. Qual é este ângulo?


ers


→^

To, = I. + Tat Vat = 8 mlsj

• f,

→ . TI Jat = 13.8 - Isi

so f

en se'

.

0 = Tax + 13.8= > Tax = - 13.8

in y :

8 = Yay + °

- >

VAT¥

a =

- 13.8 I + 8 j m/s

-,

tg°= 13.8 =p . z

It # ¥,

-K 1

.

8

O I 600

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Exercícios

Halliday 2.83 Um trem viaja para o sul a 30 m/s em relação aosolo sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetóriade cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6 com a verticalquando medido por um observador parado na Terra. Umpassageiro sentado no trem vê, no entanto, traços verticais.Determine a velocidade da chuva em relação à Terra.


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[PF-2013-1] Num dia chuvoso uma pessoa está parada numa estação de trem eobserva a chuva caindo inclinada de um ângulo em relação a direção vertical.Um passageiro sentado no interior do trem que se move horizontalmente comvelocidade de módulo vT em relação a estação observa a chuva caindoverticalmente. O módulo da velocidade da chuva vC em relação a pessoa daestação é igual a:

(a) vT cos ;

(b) vTsen ;

(c) vT tan ;

(d) vTcot ;

(e) vT sen ;(Vetores) Física 1 49 / 63

:

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[P1-2015-2] Um passageiro atrasado que se encontra a uma certadistância do portão de embarque em um aeroporto precisa chegara ele o mais rapidamente possível. Para tal intento ele consideraduas rotas alternativas indicadas na figura por A e B. Naprimeira delas (A) ele corre diretamente para uma esteira rolantee continua correndo ao longo dela. A velocidade da esteira emrelação ao solo é de 2 m/s. Na segunda (B) ele corre diretamentepara o portão. Sabe-se que o comprimento da esteira é 42 m, eque o passageiro, que consegue correr a uma velocidade de 4 m/s,se encontra a 16 metros da esteira. Dentre estas duasalternativas, aquela que levará o passageiro o mais rapidamenteao portão e o tempo necessário para isto será

(a) a rota (A) com t 11 0 s(b) g a rota (B) com t 12 5 s(c) g a rota (A) com t 9 7 s(d) g a rota (B) com t 8 3 s(e) g a rota (A) com t 14 5 s

P42 m

16 m

Ev

50 m

AB


9.

B.

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Exercícios

Um barco parte de uma margem de um rio, direcionando o barcona direção Norte. Sua velocidade em relação à água é de10 km/h, e o rio tem uma velocidade de 5 km/h em relação àTerra. Determine a velocidade do barco relativa a um observadorparado em uma das margens. Se a largura do rio é de 3 km,quanto tempo ele leva para atravessá-lo?


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Exercícios


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Exercícios

Se agora este barco, com a mesma velocidade de 10 km/h emrelação à água quiser atingir o lado diretamente oposto do rio,qual deve ser a direção da sua velocidade em relação ao rio? Eem quanto tempo ele atravessa o rio?


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Exercícios


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Exercícios


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ExercíciosUm problema de navegação:Suponha que o navegador de um avião deseja ir de uma cidade Ca uma outra D distante 900km de C na direção Norte. Ometeorologista informa que há um vento soprando na direçãoNordeste com velocidade de 50 km/h . Ele sabe que o pilotoplaneja manter uma velocidade de 240 km/h em relação ao ar.a) O problema do navegador é informar ao piloto em que direcãoo avião deve ser dirigido.b) Quanto tempo ele leva para chegar?



Avian- >

TerraTa't =

Jar + vvt

Vmto

f za .¥50950e-

em n : 0 = 240 seen O - 50 sin 45

son O = 5052/2= 0.147 O = 8.50

.

240

tempo :

dt=-

vAT

emy :

VAT = Va ✓cos o + 50 cos 45 t = got =3 .

27k

275Vat = 275 km/h

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Encontro de dois objetosUm outro exemplo em que é vantajoso mudar de referencial é oproblema de evitar colisões no mar e no ar. Considere dois navioscom velocidades v1 e v2 em relação à água, constantes. Astrajetórias dos navios estendidas ao longo das direções domovimento a partir dos pontos iniciais A e B interceptam-se emum ponto P. Eles irão colidir? Responder a essa questão noreferencial do navio é muito mais fácil do que no referencial dooceano, pois assim estaremos parados (em um navio) observandoo movimento de apenas um objeto ( o outro navio).


nikita II:III

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Exercícios

Vamos nos colocar no navio A. A velocidade do navio B emrelação a A é v21 v2 v1

se v21 tiver a mesma direção que r21 eles irão bater. Senão qual éa distância de menor aproximação entre eles? É quandor21 v21, ou seja é a distância AN e o tempo para atingirem essamenor separação é BN

v21


→

in¥4 ,a£¥IsF-

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Exercícios

2.8 lista. Duas partículas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos xe y com velocidades constantes v1 2 cm/s e v2 3 cm/s. Noinstante t 0 elas estão nas posições dadas por x1 3cm,y1 0, x2 0 e y2 3cm. Obtenha o vetor r2 r1 querepresenta a posição da partícula 2 em relação à partícula 1,como função do tempo. Determine em que instante de tempoelas estarão com a menor separação possível, e qual é essadistância de máxima aproximação.



^Y

- 3 Znys' ¥.me

. - 3

a) iz , ( t ) = Ii I t ) - i.

>

It )

Ti( H = To.

+ if t = ( x. ,

+ v,

t ) i = f-3 + 2 t ) i

Iz ( t ) = To 2 + I .t

= ( yz + at 1 I = f3 + 3 t ) I

Jiz ,( t 1 = ( 3 - 2 t ) I + ( - 3 + 3 t ) I


A minor distomcia e. qdo 5'z,

L 52'

, ⇒

##i iii. Ji,

=o

^ is,

= it . it = zj .

zi = -2i +3J

21 • 2

Ii,

= ( z . zt ) i + ( 3 t - 3)I→

5>21. Vz , = - z ( z . zt ) + 3 ( 3 t - 3) = 0

4t - 6 + qt - 9=0 ⇒ t = 1,15 s

e a distance nine instant e- :

I'z ,( t.n.is 's ) = (-2×1.15+3) it ( 3×1,15 - DI

/ I'z ,I = O.fto.li# = 0 . 83 m

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Exercícios

Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a umavelocidade de 2,5 km/h em relação à água. (a) Qual é o tempomínimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca nestecaso? (b) Suponha agora que ele quer chegar a um pontodiametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções:remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direçãoperpendicular à margem sendo arrastado pela correnteza atéalém do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta atélá. Se ele caminha a 6km/h, qual das duas opções leva menostempo? qual é esse tempo?



Tnt = 1.5km/h I - qj

l5fr-1=2.5 bmlhj ] '

-z

- ) - ) - >

VI,= Jar + Vrt Try# r

g → =3✓

RT

VI ,= DTI any :

y3+y=L_⇒ At =

LDt BE Vbty

Do dumb memos que VBTY e- - xiwo qdo

ItIvVB , for L a VRT-

BR => VBRa

= 0

VRT

t.tn = 0.44=24 - n

2. 5km/h 4

y°link : Du = VB

,zDt = ( Yµa+ Yzt ) Dt = 1.5×0.4

= O . 6km = Goon

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