FISICA 4 - 2_ IMAGENS_ EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Disciplina: Física 4 – EAD Professor Wandearley Dias

Pólo Olho d’Água das Flores 22/03/2010

Aluna Katylane Vieira Ferreira

2º Lista de Exercícios

Colegas, nesta lista avaliada pelo tutor Alex Costa 14/17 questões estão corretas!

Peso da avaliação: 3,0 pontos

Pontuação obtida:2,3 pontos

Instruções: leia atentamente todas as questões. Esta lista de exercícios deverá ser

entregue ao tutor presencial no dia da prova do módulo 2.

1. A linha vermelha de um laser-neônio tem comprimento de onda 632,8 nm no ar.

(a) Determine a velocidade;

Resposta:

No ar – a velocidade de uma onda se propagando em um meio está

relacionada a sua velocidade no vácuo que é aproximadamente a velocidade

no ar e ao índice de refração do meio:

smsm

n

vv

ar

vácuoar /10.998,2

00,1

/10.998,2 88

Na água - a velocidade de uma onda se propagando em um meio está



smsm

n

vv

água

vácuoágua /10.31,2

3,1

/10.998,2 88

No vidro - a velocidade de uma onda se propagando em um meio está



smsm

n

vv

vidro

vácuovidro /10.0,2

5,1

/10.998,2 88

(b) O comprimento de onda;

Resposta:

No ar – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao

índice de refração no meio e o comprimento da onda se propagando no

vácuo pela relação:

nmnm

nar

vácuoar 8,632

1

8,632

Na água – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao



nmnm

nágua

vácuoágua 8,486

3,1

8,632

No vidro – o comprimento de uma num determinado meio está associada ao



nmnm

nvidro

vácuovidro 9,421

5,1

8,632

(c) A freqüência de luz do laser hélio-neônio no ar, na água e no vidro com

índice de refração igual a 1,50.

Resposta:

No ar – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento e

sua velocidade pela relação:

Hzff

nm

smvffvf

f

Tv

arar

ar

ararararararar

arar

arar

1417

8

10.8,410.0048,0

8,632

/10.998,2

1

Na água – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento

e sua velocidade pela relação:

Hzffnm

smvf

fvff

Tv

águaágua

água

água

água

águaáguaáguaáguaágua

água

água

água

água

água

14178

10.8,410.0048,08,486

/10.31,2

1

No vidro – a freqüência da luz no meio está relacionada ao seu comprimento

e sua velocidade pela relação:

Hzffnm

smvf

fvff

Tv

águaágua

vidro

vidroágua

vidrovidrovidrovidrovidrovidro

vidro

vidro

vidrovidro

14178

10.8,410.0048,09,421

/10.0,2

1

2. Uma fonte puntiforme de luz está localizada a 5,0m abaixo da superfície de uma

grande piscina de água. Determine a área do maior círculo da superfície da

piscina através da qual a luz vinda diretamente da fonte pode emergir.

Resposta: veja a situação descrita na figura abaixo em diagrama.

Perceba que quando o ângulo de refração da luz for de 900 a luz começa ser

totalmente refletida pela superfície, o ângulo de incidência para que isso aconteça

deve ser, pela lei da reflexão interna total:

1

21

1

221212211

sin

sinsin90sinsinsinsin

n

n

n

nnnnnnn

C

CCC

Achado o ângulo crítico, podemos encontrar o raio entre e normal a partir da

fonte e o ponto onde a luz deixa de ser refratada pela relação:

mr C 5.

De posse do raio, calculamos, finalmente, a área do círculo de luz que sai da piscina,

por:

22 5. mrA Cf

3. Considerando uma lâmina de material transparente, no qual uma luz é incidida a

um ângulo 1 . A lâmina tem espessura t e índice de refração n. Mostre que

]sin[tan

sin

1

1

r

dn

, onde d é a distância entre a normal traçada no ponto de

incidência da interface ar/lâmina e a normal traçada no ponto e incidência da

interface lâmina-ar.

Resposta. Veja a situação descrita no diagrama

5m

C

Reflexão interna total

FIGURA 2.1: uma fonte puntiforme emitindo luz no fundo de uma

piscina

Pela Lei da Refração

t

dn

t

dComo

nn

nnn

1

12

1

2

2

12

2

1122211

tansin

sin

tan

sin

sin

sin

sinsinsin

(a) quanto tempo leva para a luz atravessar esta lâmina?

Resposta: como a luz tem uma velocidade constante, o tempo será de:

t

d

v

dt

v

stempo

vácuoalâ

1

1

22

min

tansin

sin

4. A figura a seguir mostra um raio luminoso perpendicular à face AB de um

prisma de vidro (n=1,52).

(a) Determine o maior valor do ângulo F para o qual um raio é totalmente

refletido na face AC do prisma se este está imerso no ar;

1

2

n ar = 1

n Lâmina

d

t

ar

Propagação da luz em dois meios distintos

FIGURA 2.2: propagação retilínea da luz

Resposta: veja o diagrama da situação:

A luz começará ser refletida totalmente na face AC quando o ângulo de refração

da luz estiver perpendicular a normal traçada na superfície AC. Pela Lei da Reflexão

Interna Total, o ângulo de incidência deve ser:

0

1

1

1

2

66,052,1

1sin

sin90sinsinsinsin

vidro

vidro

arvidrovidrovidroararvidrovidro

n

nnnnn

(b) Na água – o mesmo procedimento aqui

0

1

1

1

2

88,052,1

33,1sin

sin90sinsinsinsin

vidro

vidro

água

vidroáguavidrovidroáguavidrovidron

nnnnn

5. Você tem 1,62m de altura, e deseja ver sua imagem completa num espelho plano

vertical.

(a) Qual a altura mínima do espelho que atende à sua necessidade?

Resposta: veja pela figura que o espelho deve ter no mínimo a altura que está

marcado entre os dois pontos de reflexão da luz que parte das extremidades

da pessoa que está na frente dele para que os raios refletidos possam chegar

ao olho da pessoa.

FIGURA 2.3: propagação retilínea da luz

Reflexão interna total

A altura mínima deve ser: cmcmh 81)774(

(b) A que distância acima do solo deve estar a base do espelho considerando que

o topo da sua cabeça esteja a 14 cm acima do nível dos seus olhos? Use um

diagrama de raios para explicar sua resposta.

Resposta: deve estar a 74 cm acima do solo.

6. Mostre que a equação do espelho fornece a distância correta e a ampliação da

imagem para um espelho plano.

Resposta: num espelho plano o centro de curvatura C do espelho tende ao

infinito, implicando que seu foco também, assim, quando mais distante do

espelho o foco está mais o objeto se aproxima em tamanho e direção da imagem

virtual produzida, pela equação geral do espelho:

ipipipipfip

11

011111111

, como queríamos

demonstrar.

7. Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm.

Obs.: antes de analisarmos as questões que se sucedem, vejamos as principais

características das imagens formadas pelos espelho plano, côncavo e convexo na

tabela abaixo.

TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS

TIPO DE ESPELHO

POSIÇÃO DO OBJETO

IMAGEM (RELAÇÃO AO OBJETO) SINAL

POSIÇÃO TIPO ORIENTAÇÃO DE F DE R DE M

FIGURA 2.4: reflexão da luz no espelho plano

Espelho plano

PLANO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma +

CÔNCAVO M.P.Q.F. Lado oposto Virtual Mesma + + +

M.L.Q.F. Mesmo lado Real Invertida + + -

CONVEXO QUALQUER Lado oposto Virtual Mesma - - +

(a) Use diagramas de raio para localizar a imagem, se ela existe, para objetos

próximo ao eixo a distâncias de 55cm;

Resposta: analisando a tabela para espelhos côncavos vemos que nosso raio

de curvatura é 24 cm, logo o ponto focal está a ½* 24cm distante do espelho.

Nosso objeto está na posição 55 cm distante do espelho, logo, este objeto

está Mais Longe que o Ponto Focal do Espelho (M.L.Q.F.), assim, a imagem

produzida estará no mesmo lado que o objeto, será real e invertida, pelo

diagrama,

(b) 24;




está Mais Longe que o Ponto Focal do Espelho (M.L.Q.F.), assim, a imagem

produzida estará no mesmo lado que o objeto, será real e invertida, pelo

diagrama,

FIGURA 2.5: objeto mais longe do espelho côncavo que o foco,

imagem invertida e reduzida

Espelho Côncavo

(c) 12 cm;




está a mesma distância do espelho que o Ponto Focal do Espelho, assim, não

há produção de imagem porque os raios não se cruzam.

(d) 8cm do espelho. Para cada caso diga se a imagem é real ou virtual; direita ou

invertida; e ampliada, reduzida ou tem o mesmo tamanho do objeto.

FIGURA 2.6: objeto no ponto focal do espelho côncavo, os

raios não se cruzam, não há produção de imagem.

Espelho Côncavo

FIGURA 2.6: objeto no centro de curvatura do espelho

côncavo e Mais Longe que o Foco, imagem invertida, reduzida

e real reduzida

Espelho Côncavo



Nosso objeto está na posição 8 cm distante do espelho, logo, este objeto está

Mais Perto que o Ponto Focal do Espelho (M.P.Q.F.), assim, a imagem

produzida estará do lado oposto ao espelho, será virtual e terá mesma

orientação do objeto, pelo diagrama,

8. Um espelho côncavo forma uma imagem invertida quatro vezes maior que o

objeto.


TIPO DE ESPELHO

POSIÇÃO DO OBJETO







(a) Encontre a distância focal do espelho se a distância entre o objeto e a

imagem é de 0,600m.

FIGURA 2.7: objeto Mais Perto do Espelho que Ponto Focal do

espelho côncavo, os raios não se cruzam, mas convergem para

o mesmo ponto quando prolongado para trás do espelho,

imagem ampliada, de mesma orientação e virtual

Espelho Côncavo

Resposta: pelo enunciado e pela tabela a imagem deve estar do mesmo lado

do objeto em relação ao espelho, é real e invertida. Pela equação do espelho,

o sinal de F, R e M são positivos e pela combinação da equação para a

ampliação e a altura da imagem e do objeto:

p

im

x

x

h

hm 4

4'

, como pi 6,0

mmetrosimetrosii

iiiiii

im

48,0100

4848,0

5

4,2

4,2414,2444,26,0

De posse do valor da posição da imagem -48/100m e da ampliação 4,

calculamos o valor da posição do objeto

mmetrosm

ip

p

im 12,0

400

48

4

1.

100

48

4

100

48

Como temos agora os valores da posição da imagem -24/50m e do objeto

24/200m podemos utilizar a equação do espelho para determinar a

localização do foco.

mfff

fffipf

16,0300

4848300

48

3001

48

1004001

48

100

12

1001

100

48

1

100

12

11111

Como era de se esperar, temos uma imagem virtual localizada no lado

oposto porque o objeto está M.P.Q.F com mesma orientação do objeto e

ampliada. Veja a figura abaixo igual a situação da questão 7.d).

(b) Um espelho convexo forma uma imagem virtual com metade do tamanho do

objeto. Se a distância entre a imagem e o objeto é de 20,0 cm, determine o

raio de curvatura do espelho.

Resposta: vamos analisar a tabela para formação de imagens por espelhos

convexos agora.


TIPO DE ESPELHO

POSIÇÃO DO OBJETO







Resposta: pelo enunciado e pela tabela a imagem deve estar do lado oposto

do objeto em relação ao espelho, é virtual e tem mesma orientação. Pela

equação do espelho, o sinal de F, R são negativos e de M é positivo e pela

combinação da equação para a ampliação e a altura da imagem e do objeto:

FIGURA 2.7: objeto Mais Perto do Espelho que Ponto Focal do

espelho côncavo, os raios não se cruzam, mas convergem para

o mesmo ponto quando prolongado para trás do espelho,

imagem ampliada, de mesma orientação e virtual

Espelho Côncavo

p

im

x

x

h

hm 5,0

2

12', como pi 2,0

metrosii

iiiiii

im

083,02,1

1,0

1,02,011,02,02,01,02,0

De posse do valor da posição da imagem -0,083m e da ampliação 0,5,

calculamos o valor da posição do objeto

metros

m

ip

p

im 166,0

5,0

083,0

Como temos agora os valores da posição da imagem -0,083 m e do objeto

0,166 m podemos utilizar a equação do espelho para determinar a

localização do foco.

mfff

fffipf

166,01000

1661661000

166

10001

166

200010001

83

1000

166

10001

1000

83

1

1000

166

11111

9. Um espelho esférico deve ser usado para formar, em uma tela localizada a 5,00

m do objeto, uma imagem com cinco vezes o tamanho do objeto.


TIPO DE ESPELHO

POSIÇÃO DO OBJETO







(a) Descreva qual o tipo de espelho necessário.

Resposta: como a posição da imagem está do mesmo lado da imagem, é

ampliada, real; então deve ser um espelho côncavo. pela combinação da

equação para a ampliação e a altura da imagem e do objeto:

p

im

x

xm

h

h 5

5'm , como

(b) Onde o espelho deveria ser posicionado em relação ao objeto.

Resposta: pela combinação da equação para a ampliação e a altura da

imagem e do objeto:

p

im

x

xm

h

h 5

5'm , como 55 ipip

miiiii

i

p

im 16,4

6

252551525

55

Assim, a posição do objeto será mmip 84,0516,45 distante do

espelho, como este está posicionado em relação ao objeto.

10. Suponha que dois espelhos são organizados de tal maneira que formem uma

“cantoneira”, com os lados espelhados fazendo um ângulo entre si. Ao

colocar um objeto O entre eles, você observa múltiplas imagens do objeto.

Determine o número de imagens formadas para:

(a) 090

Resposta: pela equação, o número de imagens segue a relação

imagensN 314190

3601

3600

00

(b) 045


imagensN 718145

3601

3600

00

(c) 060


imagensN 516160

3601

3600

00

11. Um dentista deseja usar um pequeno espelho que irá produzir uma imagem

direita com ampliação de 5,5, quando o espelho é posicionado a 2,1 cm de um

dente.

(a) O espelho deveria ser côncavo ou convexo?

Resposta: vejamos a tabela para os espelhos côncavos e convexos.


TIPO DE ESPELHO

POSIÇÃO DO OBJETO







O único espelho capaz de produzir a imagens nas condições descritas é o

côncavo.

(b) Qual deveria ser o raio de curvatura do espelho?

Resposta: como temos o valor da ampliação e da posição do objeto p,

podemos encontrar a imagem pela relação

cmoumimimpip

im 55,111155,0021,0.5,5

E depois usar a equação do espelho para determinar o foco.

cmoumfff

fffipf

6,2026,045000

1155115545000

1155

450001

1155

10000550001

1155

10000

21

10001

10000

1155

1

1000

21

11111

Assim, o raio de curvatura do aparelho do dentista deve ter uma raio de

curvatura cmoumfr 1,5051,0026,0.22

12. Uma lente convergente tem uma distância focal de 20,0 cm. Localize a imagem

para distâncias do objeto de:

TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR LENTES

TIPO DE LENTE POSIÇÃO DO

OBJETO



CONVERGENTE M.P.Q.F. Mesmo lado Virtual Mesma + + + M.L.Q.F. Lado oposto Real Invertida + + -

DIVERGENTE QUALQUER Mesmo lado Virtual Mesma - - +

(a) 40,0 cm.

Resposta: a lente convergente com distância focal da lente de 20 cm, está

com o objeto a 40 cm dela, como o objeto está mais distante do ponto focal,

a posição da imagem será do lado oposto da lente, real e invertida, o valor de

sua posição para p = 40 cm utilizando a equação do espelho:

mii

ifpifpiipf

5,24

10

4

20101

2

10

4

101

2,0

1

4,0

11111111111

A ampliação: 25,64,0

5,2

p

im

(b) 20,0 cm.


com o objeto a 20 cm dela, como o objeto está sobre o ponto focal, não

existe produção de imagem.

02,0

1

2,0

11111111111

ifpifpiipf

(c) 10,0 cm. Para cada caso determine se a imagem é real/virtual,

direita/invertida e a ampliação em cada caso.


com o objeto a 10 cm dela, como o objeto está mais perto do que ponto

focal, a posição da imagem será do mesmo lado do objeto da lente, virtual e

direita, o valor de sua posição para p = 10 cm utilizando a equação do

espelho:

miiii

ifpifpiipf

2,010

2210

2

101

2

10

1

101

2,0

1

1,0

11111111111

A ampliação: 21,0

2,0

p

im

13. Uma lente de aumento é uma lente convergente de distância focal de 15,0 cm. A

qual distância de um selo você deve segurar a lente para obter uma ampliação de

+2,00?

Resposta: vejamos a tabela

TABELA DAS IMAGENS PRODUZIDAS POR LENTES

TIPO DE LENTE POSIÇÃO DO

OBJETO



CONVERGENTE M.P.Q.F. Mesmo lado Virtual Mesma + + + M.L.Q.F. Lado oposto Real Invertida + + -

DIVERGENTE QUALQUER Mesmo lado Virtual Mesma - - +

A tabela nos diz que uma lente convergente consegue uma ampliação positiva da

imagem do objeto, com mesma orientação que este, virtual, localizada do

mesmo lado que o objeto se este estiver posicionado Mais Perto da Lente que o

Ponto Focal. Como o problema nos pede para localizarmos a posição do objeto,

primeiro utilizamos a equação para ampliação da imagem relacionada por

pmpip

im 2 , depois utilizamos a equação do espelho para

localizar a posição p do objeto:

cmoump

ppppppipf

5,7075,0

200

1515200

2

1

15

100

2

12

15

100

2

11

15,0

1111

14. Um objeto é colocado a 12,0 cm a frente de uma lente com distância focal igual

a 10,0 cm. Uma segunda lente com distância focal de 12,5 cm é colocada a 20,0

cm atrás da primeira lente.

(a) Determine a posição da imagem final.

Resposta: analisamos a primeira lente como se não houvesse a segunda.

Desta forma, a posição da imagem é de, pela equação do espelho:

miii

iiiipf

6,020

121220

12

201

12

1201001

1

10

12

1001

1,0

1

12,0

11111

Esta imagem que encontramos vai servir de objeto para a segunda lente; ela

é uma imagem real e invertida porque o objeto está localizado mais longe do

que o ponto focal; como a segunda lente está afastada a 20 cm da primeira

lente, a diferença da distância entre a posição da imagem da lente 1 e a

posição da lente 2 nos dá o valor do objeto 2 em relação a lente 2:

mmmp 4,02,06,0 .

Com este dado e os do enunciado podemos encontrar a posição da imagem

final i através da equação do espelho:

mi

iiii

ifpifpiipf

33,0750

250

250750250

7501

250

200012501

125

1000

2

101

125,0

1

2,0

11111111111

Pelo fato do objeto está mais longe da lente que o ponto focal uma imagem

real, invertida do outro lado da lente.

(b) Qual é a ampliação da imagem.

Resposta: ampliação da lente 1 512,0

6,01 lentem e ampliação da lente 2

825,04,0

33,02 lentem

Ampliação total 125,4825,0.5. 21 mmM

(c) Faça um esboço do diagrama de raios mostrando a imagem final.

Resposta:

15. Determine a variação da distância focal do olho quando originalmente a 3,0 m é

trazido para 30,0 cm do olho.

Resposta: é a diferença entre o foco 2 e o foco 1

cmcmfff 2703030012

16. Um objeto curto e retilíneo, de comprimento L, está sobre o eixo central de um

espelho esférico, a uma distância p do espelho . Mostre que a imagem do

espelho tem um comprimento L’ dado por:

2

'

fp

fL . (Sugestão: determine

a posição da imagem nas duas extremidades do objeto)

Resposta: usando a equação dos espelhos:

pf

f

ppf

pf

p

pf

pf

m

Ampliação

pf

pfi

pf

pf

ifpi

1

:

1111

Usando a equação da ampliação em função da altura:

pf

fLLLmL

L

Lm

''

'

Como o módulo da ampliação deve ser a mesma dividindo tanto a altura da

imagem pelo objeto como pela posição da imagem pela do objeto:

Formação de imagens por lentes

FIGURA 2.7: formação de imagem por duas lentes

convergentes.

1sup,'

''2

Londopf

fL

pf

f

L

pf

f

L

Lm

17. Prove que se um espelho plano for girado de um ângulo alfa, o raio refletido

girará de um ângulo 2alfa. Mostre que esse resultado é razoável para alfa = 450.

Resposta:

18. Uma lente biconvexa é feita de vidro com índice de refração 1,5. Uma das

superfícies tem um raio de curvatura duas vezes maior que a outra e, a distância

focal da lente é 60 mm. Determine:

(a) O menor raio de curvatura.

(b) O maior raio de curvatura.

Resposta: para uma lente delgada com índice de refração n imersa no ar, a

distância focal é dada por

SOMA VETORIAL DOS RAIOS REFLETIDOS

ESPELHO A 00 ESPELHO GIRADO A 900

FIGURA 2.8: se um espelho plano for girado de um ângulo alfa, o raio

refletido girará de um ângulo 2alfa

cmoumx

nfxnfx

xn

fxxn

f

5,4045,02

15,106,0.3

2

13132

2

31

11

2

11

1

Sendo este o menor raio de curvatura.

O maior é cmoummxx 909,0045,0.222 .

FISICA 4 - 2_ IMAGENS_ EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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