FISICA EXPERIMENTAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA EXPERIMENTAL

João Gonçalves Marques Filho Silvio Luiz Rutz da Silva

I

Apresentação

Dentro do quadro atual de desenvolvimento Científico e Tecnológico de nosso país cada vez mais

ganha ênfase a necessidade de formação de mão de obra com capacidade de adaptação às

crescentes evoluções tecnológicas, que pressupõe em relação à Ciência e a Tecnologia a

interrelação entre teoria a prática experimental.

Atualmente no Brasil as características do Ensino de Física são ainda bastante tradicionais,

apresentando como um dos principais reflexos o pequeno número e até mesmo raras, obras

bibliográficas onde os conhecimentos da Física sejam tratados pela utilização de recursos e

procedimentos experimentais.

Na tentativa de elaborar instrumentos que permitam cristalizar estas novas expectativas da

Sociedade com relação à contribuição possíveis da Física é que desenvolvemos o Projeto

intitulado: Produção de Material Bibliográfico: Física Geral Experimental.

O Projeto Produção de Material Bibliográfico: Física Geral Experimental tem como objetivo

principal a melhoria do Ensino de Física para os cursos das diversas Áreas em nossa instituição,

através da difusão de conhecimentos e metodologias da Física, de modo a realizar-se um Ensino

compatível com as exigências atuais, levando o aluno a assimilar o Conhecimento Científico,

tornando a Aprendizagem significativa e motivadora e por conseqüência refletindo em sua

formação intelectual e social.

Devemos ainda considerar que o material bibliográfico resultante que agora apresentamos

constitui-se em elemento de:

i. Geração de Conhecimento Científico - constitui excepcional instrumento de apoio à

formação de recursos humanos que desenvolvam ou venham a desenvolver projetos de

pesquisa com base em metodologias que possibilitam a qualificação de profissionais

capazes de conhecer e dominar as aplicações da Física às mais diversas Äreas de modo

integrado.

II

ii. Desenvolvimento de Tecnologia – instrumento de apoio ao desenvolvimento de projetos

interdisciplinares de pesquisa, em âmbito intra ou interinstitucional, que possibilitem a

compreensão de fenômenos da Física, possibilitando a geração de competência nessa área.

iii. Apoio ao estudo, à pesquisa e ao desenvolvimento de métodos, processos, técnicas e

produtos para a plena utilização das aplicações da Física existentes, bem como da geração

de novas técnicas, que visem a obtenção de soluções para problemas já identificados.

Dessa forma a ação proposta deve ser entendida como consolidadora da competência Científica e

Tecnológica necessária para o desenvolvimento de um instrumental agregador dos produtos e

demandas geradas por essas e outras ações setoriais. Neste sentido, a filosofia deste Projeto

pressupõe trabalhos multidisciplinares que, por meio de atividades interdisciplinares, possam

alcançar competência e total integração no trato dos assuntos relacionados à aplicação da Física às

Ciências Biológicas e da Saúde.

III

Sumário

I – Instrumentos de medidas ................................................................................. 1

Barômetro de quadrante .................................................................................... 3

01 Paquímetro ................................................................................................... 5

02 Palmer .......................................................................................................... 9

03 Esferômetro .................................................................................................. 12

04 Barômetro ..................................................................................................... 16

II – Mecânica dos sólidos ...................................................................................... 23

Aparelho para o estudo das forças centrais ....................................................... 25

01 Sistema de forças ......................................................................................... 27

02 Momento de uma força em relação a um ponto (torque) ............................. 31

03 Equilíbrio de uma partícula no plano ........................................................... 34

04 Equilíbrio de um corpo ................................................................................ 36

III - Movimento unidimensional .......................................................................... 39

Aparelho destinado a comparar o movimento dos corpos em diferentes

trajetórias ...........................................................................................................

41

01 Movimento retilíneo uniformemente variado .............................................. 43

02 Queda livre ................................................................................................... 46

IV – Movimento bidimensional ........................................................................... 49

Aparelho para ilustrar a trajetória de um projétil .............................................. 51

01 Lançamento horizontal ................................................................................. 53

02 Lançamento oblíquo ..................................................................................... 55

IV

V – Dinâmica ............................................................................................................ 57

Máquina de Atwood .......................................................................................... 59

01 Leis de Newton ............................................................................................ 61

02 Momento linear ............................................................................................ 64

03 Conservação de energia ............................................................................... 67

04 Colisões ........................................................................................................ 69

05 Momento de inércia ..................................................................................... 72

06 Atrito ............................................................................................................ 76

07 Máquina de Atwood ..................................................................................... 80

VI – Movimento oscilatório .................................................................................. 83

Pêndula .............................................................................................................. 85

01 Movimento harmônico simples .................................................................... 87

02 Pêndulo simples ........................................................................................... 89

03 Pêndulo composto ........................................................................................ 92

VII – Elasticidade .................................................................................................... 95

Balança romana com peso cursor ...................................................................... 97

01 Lei de Hooke ................................................................................................ 99

02 Módulo de Young ........................................................................................ 101

03 Flexão ........................................................................................................... 103

04 Torção .......................................................................................................... 107

05 Módulo de cisalhamento – balança de torção .............................................. 109

06 Módulo de rigidez ........................................................................................ 111

VIII – Mecânica dos fluidos .................................................................................. 115

Aparelho de vasos comunicantes ...................................................................... 117

01 Massa específica .......................................................................................... 119

02 Tensão superficial ........................................................................................ 123

03 Viscosidade – método de Poiseuille ............................................................. 125

04 Viscosidade – método de Newton ................................................................ 127

05 Equação de Bernoulli ................................................................................... 129

V

IX – Termologia ....................................................................................................... 133

Pirômetro de Nollet ........................................................................................... 135

01 Termômetros – termopar .............................................................................. 137

02 Termômetro a gás ......................................................................................... 143

03 Dilatação de sólidos ..................................................................................... 147

04 Dilatação de líquidos .................................................................................... 149

05 Capacidade térmica ...................................................................................... 151

06 Calor específico ............................................................................................ 153

07 Condução térmica ........................................................................................ 157

08 Calor latente de fusão ................................................................................... 161

09 Calor latente de vaporização ........................................................................ 163

10 Lei de Boyle Mariotte .................................................................................. 165

11 Lei de Charles - primeira lei de Gay-Lussac ................................................ 167

12 Lei de Gay-Lussac - segunda lei .................................................................. 169

I

INSTRUMENTOS DE MEDIDAS

_________________________________________________________________________ 2 Física Experimental – João Gonçalves Marques Filho e Silvio Luiz Rutz da Silva


Barômetro de quadrante Este barômetro de quadrante, construído em Lisboa por J. B. Haas, é constituído por um reservatório de mercúrio que comunica com dois tubos cilíndricos de vidro. Um dos tubos tem cerca de 80 cm de altura, encontrando-se envolvido por três varas de madeira enroladas helicoidalmente. O segundo tubo, com cerca de 7 cm, encontra-se no interior da caixa do aparelho. A sua extremidade superior é aberta, podendo mover-se no seu interior um pequeno cilindro de vidro como se tratasse de um êmbolo. Este cilindro está suspenso por um fio enrolado numa pequena roda solidária com um eixo horizontal. Numa segunda roda montada neste eixo está enrolado outro fio que atua sobre o ponteiro do instrumento, fazendo-o mover sempre que o nível de mercúrio sobe ou desce. Obtém-se assim alguma informação, embora imprecisa, acerca da pressão atmosférica. Para manter sob tensão o fio que atua sobre o ponteiro, encontram-se suspensos das suas extremidades dois pequenos pesos de latão.

Referência

Museu de Física da Universidade de Coimbra http://www.fis.uc.pt/museu/index.htm


I - 01 Paquímetro

Objetivos • Familiarização com o uso do aparelho

• Determinação da sensibilidade do aparelho

• Medidas comparativas

Fundamento teórico

O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares internas,

externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada, com encosto

fixo, sobre a qual desliza um cursor.

Elementos de um paquímetro:

1 orelha fixa 8 encosto fixo 2 orelha móvel 9 encosto móvel 3 nônio ou vernier (polegada) 10 bico móvel 4 parafuso de trava 11 nônio ou vernier (milímetro) 5 cursor 12 impulsor 6 escala fixa de polegadas 13 escala fixa de milímetros 7 bico fixo 14 haste de profundidade


Características:

O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um mínimo de

folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier. Essa escala permite

a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.

O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir é pequena.

Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de: 0,05 mm, 0,02 mm,

1/128" ou 0,001".

As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento geralmente é

feito de aço inoxidável.

Suas graduações são calibradas a 20ºC.

Tipos:

Há vários tipos de paquímetros para possibilitar medidas em peças de

características diferentes. Alguns exemplos são:

Paquímetro universal: é utilizado em medições internas, externas, de profundidade e de

ressaltos. Trata-se do tipo mais usado.

Paquímetro universal com relógio: O relógio acoplado ao cursor facilita a leitura,

agilizando a medição.

Paquímetro com bico móvel (basculante): empregado para medir peças cônicas ou peças

com rebaixos de diâmetros diferentes.

Paquímetro de profundidade: serve para medir a profundidade de furos não vazados,

rasgos, rebaixos etc. Esse tipo de paquímetro pode apresentar haste simples ou haste com

gancho.

Paquímetro duplo: serve para medir dentes de engrenagens.

Paquímetro digital: utilizado para leitura rápida, livre de erro de paralaxe, e ideal para

controle estatístico.

Nônio:

O nônio é a parte do paquímetro cuja finalidade é proporcionar uma medida com

uma resolução menor (mais precisa) do que a feita somente com a escala fixa. A escala do


cursor é chamada de nônio ou vernier, em homenagem ao português Pedro Nunes e ao

francês Pierre Vernier, considerados seus inventores. O nônio possui uma escala com n

divisões para X mm da escala fixa. No caso da figura ao lado, o nônio está dividido em 10

partes iguais para 9 mm. Cada divisão do nônio possui 9/10 mm, portanto o 1º traço do

nônio está a 1/10 mm do próximo traço na escala fixa (comprimento esse que é a resolução

do paquímetro), o 2º traço do nônio está a 2/10 mm do seu próximo traço na escala fixa e

assim sucessivamente.

Cálculo de resolução:

A resolução de um paquímetro é a distância compreendida entre a 1ª subdivisão do

nônio e a subdivisão subseqüente na escala fixa.

Se o nônio mede X mm, e é dividido em n partes iguais, o comprimento

compreendido entre duas subdivisões consecutivas do nônio é X/n.

Este valor tem o seguinte formato em notação decimal: I,D. I representa a parte

inteira do número decimal e D representa a parte fracionária.

Por exemplo: X=39 mm e n = 20, X/n = 1,95. I=1. Resolução = (I+1)-X/n

Exemplos:

Nônio de 9 mm com 10 divisões

X/n = 0,9

Resolução = 1 – 0,9 = 0,1 mm


X/n = 1,95

Resolução = 2 - 1,95 = 0,05 mm


X/n = 0,98

Resolução = 1 - 0,98 = 0,02 mm


Procedimento experimental:

Leitura da medida:

Posicione o bico móvel de forma tal que a peça a ser medida se adapte com folga

entre os bicos fixo e móvel (medida externa) ou entre as orelhas (medida interna) ou entre

a haste de profundidade e a escala fixa (medida de profundidade).

Mova as partes móveis com o polegar atuando no impulsor até que a parte móvel

(bico, orelha ou haste) encoste suavemente na peça.

Leia na escala fixa o número de milímetros inteiros (à esquerda do zero do nônio).

Leia a parte fracionária da medida observando qual traço do nônio coincide com

algum traço da escala fixa e calcule o valor da fração multiplicando o número desse traço

pela resolução.


I - 02 Palmer

Objetivos • Familiarização com o uso do aparelho


• Medidas comparativas

• Construção de gráficos

• Ajuste de curvas

Fundamento Teórico

A – Introdução:

De modo geral, o instrumento é conhecido como micrômetro. Na França,

entretanto, em homenagem ao seu inventor, o micrômetro é denominado Palmer.

É um instrumento de precisão que consta de um parafuso micrométrico capaz de se

mover ao longo do próprio eixo. É formado por uma peça em forma de “U” ou “estribo”;

contém uma porca fixa na qual se desloca um parafuso micrométrico.

A cabeça do parafuso é constituída por um tambor (T), normalmente dividida em

50 ou 100 partes.

O micrômetro é um instrumento de medição de medidas lineares utilizado quanto a

medição requer uma precisão acima da possibilitada com um paquímetro e é fabricado com

resolução entre 0,01 mm e 0,001mm.


Foi inventado por Jean Louis Palmer que, apresentou, pela primeira vez, o

instrumento para requerer sua patente, o qual permitia a leitura de centésimos de

milímetro, de maneira simples. Com o decorrer do tempo, o micrômetro foi aperfeiçoado e

possibilitou medições mais rigorosas e exatas do que o paquímetro.

O Princípio de medição do micrômetro baseia-se no sistema porca-parafuso, no

qual, o parafuso avança ou retrocede na porca na medida em que o parafuso é girado em

um sentido ou noutro em relação à porca.

Se fizermos n divisões iguais na "cabeça" do parafuso, ao provocarmos uma rotação menor

que uma volta, portanto menor que o passo do parafuso, poderemos, baseados nas divisões

feitas, saber Qual a fração de uma volta que foi dada e, portanto, medir comprimentos

menores que o passo.

B – Estudo do aparelho:

- Verificar qual o valor de cada uma das divisões da escala principal

- Determinar o número de divisões do tambor (n)

- Determinar o passo do palmer (p); para isso, dá-se uma rotação completa ao parafuso

- Determinar a natureza do aparelho (N): npN = , onde N corresponde a cada rotação de

uma divisão do tambor

- Leitura: NiLL 0 ×+=

Trabalho experimental:

- Efetuar a medida da espessura de uma folha de caderno = ___________


- Efetuar a medida da espessura de grupos de 3 folhas num total de dez medidas

completando a tabela abaixo:

número de folhas espessura número de folhas espessura

- Com os dados tabelados construir o gráfico: n° de folhas = f (espessura)

Ajuste de curvas

Método dos mínimos quadrados:

Consiste em obter a equação da reta y = ax + b pela determinação de “a”

(coeficiente angular) e de “b” (coeficiente linear) a partir da resolução do sistema:

∑ ∑+= xabNy

∑ ∑ ∑+=× 2xaxb)yx(

onde N é número de medidas

com os dados tabelados (acima) utilizar o método dos mínimos quadrados e proceder o

ajuste da curva:

N ___________

Σ y ___________

Σ x ___________

Σ ( yx × ) ___________

Σ x2 ___________

a = _________ b = ___________

como: baxy +=

y = ____ x + ____

- A partir da equação obtida traçar a reta no gráfico


I - 03 Esferômetro

Objetivos • Manuseio do aparelho


• Determinação do raio de curvatura de uma esfera

Fundamento teórico

Descrição do aparelho

O esferômetro é uma outra aplicação do parafuso micrométrico. A porca do

parafuso micrométrico (P) é a parte central do tripé rígido, cujas pontas P1, P2 e P3 são os

vértices de um triângulo eqüilátero de lado 133221 PPPPPPL === e cujo eixo é

perpendicular ao plano definido pelas pontas. A ponta do parafuso micrométrico (P),

projeta-se no centro do triângulo.

Ligado ao parafuso e, perpendicular a ele, existe um disco (D), dividido em partes

iguais (geralmente 100 ou 500) cujo bordo quase toca numa escala metálica (E), dividida

em unidades de comprimento (0,5 ou 1,0 mm).


A escala retilínea ou principal (E) serve simultaneamente para a avaliação do

número de voltas que dá o parafuso e do índice para a graduação do disco (D), onde se

lêem as frações de volta.

Para a aferição do instrumento, colocá-lo sobre uma placa de vidro, perfeitamente

plana e bem polida. O nível da face superior do disco (D) deverá indicar "0" na escala (E) e

o "0" do disco deve defrontar o "0" da escala.

Trabalho experimental

Estudo do aparelho - Verificar o valor de cada uma das divisões da escala principal.

- Determinar o passo (p) do parafuso micrométrico, dando uma rotação completa no

parafuso; verificar então de quantas divisões da escala principal E, subiu ou desceu o

índice do disco D.

- Verificar o número de divisões da escala principal (n)

- Calcular a natureza N do esferômetro: npN = , onde P é o passo do parafuso

micrométrico e n é o número de divisões da escala circular.

Leitura do aparelho

Para ler a escala E, fazer com que o raio visual seja rasante à superfície da escala D.

A leitura será dada por: N1ff o ⋅+= , onde fo é o número de divisões da escala principal

compreendido entre o zero e o limbo do disco (D), i é a divisão da escala circular que

coincide com a “aresta” da escala retilínea E.

Determinação do raio de curvatura de uma esfera, calota, lente ou espelho esférico

Constitui-se na principal aplicação do esferômetro.


Figura 2.A Figura 2.B

Figura 2.C

Assentá-lo primeiramente sobre a superfície esférica cujo raio (R) pretende-se

determinar.

O plano formado pelas três pontas (P1, P2 e P3) (Figura 2.A) determina sobre a

superfície esférica uma calota de flecha f = PP’ (Figura 2.B), cuja base é uma

circunferência de raio r, na qual está inscrito o triângulo eqüilátero definido pelas pontas

do tripé (Figura 2.C).

Consideremos o triângulo retângulo P’BC. De acordo com um conhecido teorema

de geometria, teremos:

PCP'PPB2×=

onde

fR2PC

fP'P

rPB

−=

=

=

daí 22 fRf2)fR2(fr −=−⋅=

e que resulta F2frR

22 +=


sendo o triângulo P1P2P3 eqüilátero, podemos exprimir seu lado L, em função de r

3rL = ou 3

3Lr =

portanto f6

f3LR22 +

=

Determinação de f

Assentar o esferômetro sobre uma lâmina de vidro perfeitamente polida e fazer a leitura do

limbo (equivale a zerar o aparelho). Colocá-lo a seguir sobre a calota de raio de curvatura a

determinar, girando o parafuso até sua ponta tocar levemente a superfície da calota. A

diferença entre esse resultado e o anterior dá o valor procurado (f).

Determinação de L

Para medir L, assentar o esferômetro sobre cartolina e exercer sobre ele, pressão suficiente

para que fiquem marcadas as três pontas do tripé. Medem-se as distâncias entre as três

pontas do triângulo, e, assume-se a “média” para a medida de L.

Trabalho prático

Determinar o raio de curvatura (R) de uma lente.


I - 04 Barômetro

Objetivo • Medir a pressão atmosférica ambiente

Fundamento teórico

Pressão Atmosférica e a Experiência de Torricelli

A atmosfera terrestre é composta por vários gases, que exercem uma pressão sobre

a superfície da Terra. Essa pressão, denominada pressão atmosférica, depende da altitude

do local, pois à medida que nos afastamos da superfície do planeta, o ar se torna cada vez

mais rarefeito, e, portanto, exercendo uma pressão cada vez menor.

Evangelista Torricelli (1608-1647) Físico e matemático italiano que foi discípulo de Galileu

O físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) realizou uma experiência para

determinar a pressão atmosférica ao nível do mar. Ele usou um tubo de aproximadamente

1,0 m de comprimento, cheio de mercúrio (Hg) e com a extremidade tampada. Depois,

colocou o tubo, em pé e com a boca tampada para baixo, dentro de um recipiente que

também continha mercúrio. Torricelli observou que, após destampar o tubo, o nível do

mercúrio desceu e estabilizou-se na posição correspondente a 76 cm, restando o vácuo na

parte vazia do tubo.


Barômetro de mercúrio. Experimento realizado por Torricelli em 1643.

Na figura, as pressões nos pontos A e B são iguais (pontos na mesma horizontal e

no mesmo líquido). A pressão no ponto A corresponde à pressão da coluna de mercúrio

dentro do tubo, e a pressão no ponto B corresponde à pressão atmosférica ao nível do mar:

AB pp = e Hg de colunaatm pp =

Como a coluna de mercúrio que equilibra a pressão atmosférica é de 76 cm,

dizemos que a pressão atmosférica ao nível do mar equivale à pressão de uma coluna de

mercúrio de 76 cm. Lembrando que a pressão de uma coluna de líquido é dada por µgh (g

= 9,8 m/s2), temos no SI:

Pa 101,01 Hgde mm 760 Hgde cm 76p 5atm ×===

A maior pressão atmosférica é obtida ao nível do mar (altitude nula). Para qualquer

outro ponto acima do nível do mar, a pressão atmosférica é menor. A tabela a seguir

apresenta a variação da pressão atmosférica de acordo com a altitude.

Altitude

(m) Pressão atmosférica

(mmHg) Altitude

(m) Pressão atmosférica

(mmHg)

0 760 1200 658

200 742 1400 642

400 724 1600 627

600 707 1800 612

800 690 2000 598

1000 674 3000 527


Medidores de pressão

Os manômetros (medidores de pressão) utilizam a pressão atmosférica como

referência, medindo a diferença entre a pressão do sistema e a pressão atmosférica. Tais

pressões chamam-se pressões manométricas. A pressão manométrica de um sistema pode

ser positiva ou negativa, dependendo de estar acima ou abaixo da pressão atmosférica.

Quando o manômetro mede uma pressão manométrica negativa, ele é chamado de

manômetro de vácuo.

Manômetro utilizado em postos de gasolina (Figura A) (os médicos usam um

sistema semelhante) para calibração de pneus. A unidade de medida psi (libra por polegada

ao quadrado) corresponde a, aproximadamente, 0,07 atm. Assim, a pressão lida no

mostrador, 26 psi, é igual a aproximadamente, 1,8 atm.

A B

A figura B representa um manômetro de tubo aberto. Pela diferença de níveis do

líquido nos dois ramos do tubo em U, mede-se a pressão manométrica do sistema contido

no reservatório. Escolhendo os dois pontos A e B mostrados na figura, temos:

pA = pB

pSISTEMA = pATM + pLÍQUIDO

pSISTEMA = pATM = dgh

pMANOMÉTRICA = dgh


Barômetro de Fortin

O barômetro de Fortin é um barômetro de mercúrio e consiste de um tubo de vidro

fechado numa extremidade e cheio de mercúrio. Este tubo é invertido, de forma que a

extremidade aberta fique submersa em mercúrio. O tubo de vidro possui uma escala, de

forma que pode ser determinada a altura da coluna. O espaço acima da coluna de mercúrio

contém vapor do mesmo. O barômetro é dotado de nônio o que possibilita maior precisão

na medida da altura da coluna de mercúrio. A pressão barométrica varia com o local, isto é,

com a altitude e com as condições atmosféricas (temperatura). A pressão é expressa em

unidades de comprimento do mercúrio (da coluna) do recipiente, relativa a distância

vertical H entre o menisco (superfície livre do mercúrio) e o ponto onde a pressão está

sendo medida.


Estudo do aparelho

- Verificar o valor da escala principal que corresponde ao nônio (n)

- Determinar o número de divisões do nônio (n +1)

- Cálculo da precisão do barômetro: 1n

dN+

= onde d é a unidade da escala principal

(tamanho da menor divisão da escala)

Leitura:

- Ler a temperatura ambiente (termômetro anexo ao barômetro) t = _____

- Para verificar a altura da coluna de mercúrio girar o parafuso da parte superior da cuba de

mercúrio até que a superfície livre do mercúrio encoste na ponta do cone H = _________

- Com o auxílio de o nônio determinar o valor fracionário da altura (i.N), onde i é o

número de divisões do nônio que coincide perfeitamente com qualquer divisão da escala

principal: NiHHt ⋅+=


Correções

- Correção da temperatura (Patm normal = 76 cm de Hg à temperatura de 0oC)

- Qualquer leitura deve ser corrigida à altura correspondente a 0oC H0 = _________

( )[ ]α−β+= 1HH t0

onde: H0 – altura da coluna corrigida para 0oC

Ht – altura da coluna à temperatura ambiente

β - coeficiente de dilatação do material da escala (latão -

1o6 C107,18 −−×=β )

α - coeficiente de dilatação do mercúrio ( 1o5 C1018 −−×=α )

Ht (mm de Hg) Ht (cm de Hg) t (oC) H0 (cm de Hg)

correção em função da aceleração da gravidade ( -1scm 665,980g ⋅= - nível do mar e

latitude 45o)

- Transformar as leituras em função do valor local da aceleração

- Calcular a aceleração da gravidade local 22

l scm ) A 000009,0B sen 17,504,978 (g −⋅−+=

onde B – latitude local B = 25o 05’58” = 25,0994o

A – altitude de Ponta Grossa A = ________

- Cálculo da altitude de Ponta Grossa

metros ) HlogHlog ( 18400A 0CN ′−=′

onde HCN = 76 cmHg (pressão nas condições normais)

H0 = ________ cmHg (pressão corrigida para 0oC)

- Cálculo da correção da pressão em função da aceleração da gravidade

0

l

0

N0CN g

gHHPP =⇒=

onde HN – altura da coluna de mercúrio nas condições normais (corrigida)

H0 – altura da coluna de mercúrio nas condições locais (corrigida para 0oC)

gl – gravidade local

g – gravidade normal


A (m)

A’ (m)

B (o)

gl (cm.s-2)

g (cm.s-2)

H0 (cm de Hg)

HN (cm de Hg)

25,0994 980,665

Cálculo da pressão atmosférica (lei hidrostática da variação da pressão)

HglNatm gHp µ⋅⋅=

onde HN – altura da coluna de mercúrio nas condições normais (corrigida)

gl – gravidade local

µHg – massa específica do mercúrio ( -3Hg cmg 6,13 ⋅=µ )

P (cm de Hg) P (mm de Hg) P (bária) P (pascal) P (atm)

II

MECÂNICA DOS SÓLIDOS

ESTÁTICA


Aparelho para o estudo das forças centrais

Com este dispositivo, podiam estudar-se as características da força central que deve atuar num corpo para que este descreva um movimento circular. É constituído por uma prancha horizontal de madeira, perpendicularmente à qual se fixaram duas colunas também de madeira. Estas colunas encontram-se sobre a linha média da prancha, ficando o conjunto com a forma de T invertido. Existe uma roldana na parte superior das colunas e outra junto ao vértice do conjunto formado pela prancha horizontal e pelas duas colunas.

Dois cilindros ocos de latão, tendo nas faces superiores uma tampa, encontram-se ligados entre si por um fio flexível e inextensível. Um dos cilindros pode mover-se verticalmente entre as duas colunas, enquanto o outro se encontra assente sobre uma pequena plataforma de latão. Este pode deslocar-se ao longo da prancha horizontal guiado por duas varetas de latão montadas sobre a prancha. O fio que liga entre si os cilindros passa pelas duas roldanas montadas no conjunto.

Na prancha horizontal existem dois orifícios, que se destinavam a adaptar este sistema a uma máquina de rotação. Esta atuava sobre o conjunto, fazendo-o descrever um movimento de rotação em torno dum eixo vertical que passa pelo seu ponto médio. A velocidade de rotação do conjunto podia ser controlada pelo utilizador, através da referida máquina.

Com o conjunto em repouso, os cilindros deviam posicionar-se de tal forma que o cilindro suspenso entre as duas colunas verticais ficasse junto à base destas e o outro se encontrasse junto à intersecção das colunas com a prancha, isto é, na zona média da prancha.

Quando o sistema era posto em movimento o cilindro localizado entre as duas colunas efetuava um movimento de rotação solidário com o eixo de rotação do conjunto. O outro cilindro descrevia uma trajetória circular em torno deste eixo. Para o manter neste estado de movimento, era necessário que o fio ao qual se encontrava ligado exercesse sobre ele uma força centrípeta de intensidade F = mw2r, sendo m a massa do cilindro, r o raio da sua trajetória e w a velocidade angular do conjunto.

Assim, à medida que se aumentava a velocidade de rotação, era necessário que a tensão no fio aumentasse. Para um determinado valor da velocidade angular, a tensão no fio tornava-se superior ao peso do cilindro suspenso entre as colunas, e, por conseguinte, este subia com movimento acelerado, o que acarretava o afastamento do segundo cilindro em direção à periferia. Para se manter numa nova trajetória circular, este cilindro necessitava de novo aumento da tensão no fio, o que levaria a novo incremento na aceleração do primeiro cilindro e, por sua vez, a um novo afastamento do segundo para a periferia. Observe-se que, uma vez rompida a situação inicial de equilíbrio dinâmico, seria impossível encontrar novo equilíbrio, mesmo que a velocidade de rotação do conjunto não aumentasse. A menos, é claro, que um dos cilindros encontrasse um obstáculo (que impedisse a subida do cilindro entre as colunas ou o afastamento para a periferia do cilindro sobre a prancha), ou que se diminuísse a velocidade angular.

O fato de os cilindros serem ocos e possuírem uma tampa que permitia fechá-los, tornava possível colocar pesos no interior de qualquer um deles, fazendo com que as suas massas tivessem diversos valores, em diferentes experiências. Assim, era possível avaliar a influência das massas dos


cilindros sobre o comportamento do sistema. O equilíbrio dinâmico deveria manter-se, para uma velocidade angular maior, quando se diminuísse a massa do cilindro que descreve a trajectória circular. O mesmo se verificaria quando se aumentasse a massa do cilindro suspenso entre as colunas.

A prancha horizontal possui uma seqüência de pequenas cunhas orientadas de modo a permitir que, no início da experiência, o raio de curvatura da trajetória circular descrita pelo cilindro tenha diferentes valores. Quanto mais afastado das colunas este fosse colocado, mais intensa seria a força necessária para o manter numa dada trajetória circular. Por conseguinte, o afastamento da situação de equilíbrio dinâmico verificar-se-ia para uma velocidade angular menor.

A máquina de rotação, que se destinava a várias experiências do movimento circular, já não existe. Segundo o Index Instrumentorum, o modelo de máquina que existia no Gabinete de Física de Coimbra correspondia ao que 's Gravesande apresenta no seu livro Physices Elementa. Seria, concerteza, uma das mais notáveis máquinas da colecção. Era feita de excelente madeira do Brasil, apresentando variadas peças de ferro e latão.

Referência



II – 01 Sistema de forças

Objetivo • Determinação gráfica e analítica da resultante de um sistema de duas ou mais

forças coplanares e concorrentes.

Fundamento teórico

Sempre que várias forças simultaneamente atuam, sobre um corpo dizemos que elas

constituem um sistema de forças. Os sistemas de forças podem ser classificados quanto à

disposição das forças em:

Forças aplicadas num ponto, estas podem estar no mesmo plano ou não;

Forças concorrentes aplicadas num sólido;

Forças paralelas aplicadas num sólido;

Forças em qualquer disposição no espaço

Reduzir um sistema de forças é substituí-lo por outro mais simples que produza o

mesmo efeito. Na redução de alguns sistemas de forças chegamos a uma única força

denominada resultante do sistema, que é a força capaz de substituir o sistema acarretando o

mesmo efeito.

A obtenção da resultante é possível considerando-se a adição vetorial das forças do

sistema. Para tal basta escrever a equação cartesiana de cada força a partir de seu módulo e

de sua direção através de adição vetorial.

Opõe-se à resultante a força equilibrante, que possui mesmo módulo e direçäo, e

sentido oposto aos da resultante.

Composição de forças concorrentes.

Se as forças são concorrentes a resultante é dada pela soma vetorial, obtida de

acordo com o método de adição de vetores. Portanto a resultante R de várias forças

concorrentes 1F , 2F , ... , nF é: ∑=+++= nn21 FF...FFR

Se as forças são coplanares, digamos no plano XY, teremos que:


jRiRR 2y

2x

2 += , onde

α==

α==

∑∑

∑∑

jsenFjFjR

icosFiFiR

yy

xx

o módulo de R é: 2y

2x RRR += e sua direção e sentido são dados pelo ângulo α tal que:

x

y

RR

tg =α

Outro método de resolução é gráfico pela aplicação da regra do paralelogramo. O

módulo da resultante é obtido por: α++= cosFF2FFR 2122

21

2


- Nivelar a mesa de forças com o auxílio de um nível de bolha.

- Distribuir várias forças sobre a mesa conforme o esquema na figura abaixo, colocando o

equipamento no eixo y no sentido negativo.

- Anote os valores das forças e dos respectivos ângulos, após certificar-se de que as forças

são concorrentes;

- Varie o valor das forças e respectivos ângulos e proceda como no item anterior.

OBS.: todos os ângulos devem ser medidos a partir do eixo X (positivo).

Tabelas, cálculos e gráficos Processo gráfico - Método dos paralelogramos

F1(gf) α (°) F2(gf) β (°) F3(gf) γ (°) Eq(gf) RG(gf) RP(gf) %E1 %E2


- Construir a figura equivalente: usar escala para o desenho dos vetores. Na figura medir o

vetor resultante GR

- Cálculos

)cos(FF2FFR 2122

21

21 α−β++=

Ω++= cosFR2FRR 3123

21P

)(180o µ+γ+α−=Ω

)cos(FF)sen(Ftg

21

2

α−β+

α−β=µ

- Calcular o erro por:

100Eq

REqE%

G1 ×

−= e 100

Eq

REqE%

P2 ×

−=

Processo analítico – adição de vetores

F1(gf) F2(gf) F3(gf) Eq(gf) RV(gf) θ(°) %E3 %E4

jsenFicosFF 111 α+α=

jsenFicosFF 222 β+β=

jsenFicosFF 333 δ+δ=

δ+β+α==

δ+β+α==

∑

∑

jsenFjsenFjsenFjFjR

icosFicosFicosFiFiR

321yy

321xx


jRiRR 2y

2x

2 +=

2y

2x RRR += e

x

y

RR

tg =α

- Calcular o erro por:

100Eq

REqE%

V3 ×

−= e 100

90

90E% o

o

4 ×θ−

=


II - 02 Momento de uma força em relação a um ponto

(torque)

Objetivos • Determinar o momento de uma força em relação a um ponto;

• Calcular o ponto de aplicação da resultante pelo método de Varignon

Fundamento teórico

Seja uma força Fr

atuando sobre um corpo C capaz de girá-lo em torno do ponto O

(figura) quando sua linha de ação não passa por O. Por definição o momento da força é

expresso pelo produto de uma unidade de força por unidade de comprimento.

bFM ×=rr

a partir da figura tem-se que: θ⋅= senrb r, logo: θ⋅×= senrFM rrr

O momento de uma força pode ser considerado como uma grandeza vetorial dado

pelo produto: FrMrrr

∧= , onde rr é o vetor posição, relativo à distância entre o ponto O e o

ponto A (ponto de aplicação da força Fr

) de acordo com as propriedades do produto

vetorial, o momento de uma força é representado por um vetor perpendicular, tanto a rr

como a Fr

; isto é, o momento é um vetor perpendicular a um plano paralelo a rr e a Fr

,

cujo sentido é dado pela regra da mão direita.

Componentes cartesianas do momento de uma força

++=

++=

kFjFiFF

kzjyixr

ZYXrrrr

rrrr


−=−=−=

∴=∧=

XYZ

ZXY

YZX

ZYX yFxFMxFzFMzFyFM

FFFzyxkji

FrM

rrr

rrr

kMjMiMM ZYXrrrr

++=

“ O momento da resultante de duas forças concorrentes, em relação a um ponto de seu

plano é igual à soma algébrica dos momentos das componentes em relação a este mesmo

ponto. “

∑= NR MMrr

Teorema de Varignon


I – Momento de uma força em relação a um ponto - Colocar a haste na posição horizontal

- Prender uma força e determinar a posição rr ;

- Calcular o momento por: FrMrrr

∧=

II – Momento – estudo em função do equilíbrio - Colocar a haste na horizontal

- Prender as forcas 1Fr

, 2Fr

e 3Fr

na esquerda da haste (ponto de rotação)

- Determinar os vetores posição 1rr , 2r

r e 3rr

- Prender as forças 4Fr

e 5Fr

na porção direita da haste até que a mesma fique na horizontal

- Determinar os vetores posição 4rr e 5r

r

- Calcular os momentos da forças 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

, 4Fr

e 5Fr

por:


ZYX FFFzyxkji

FrM

rrr

rrr=∧=

- Calcular o momento resultante à esquerda )M( Er

e o momento resultante à direita )M( Dr

+=++=

5F4FD

3F2F1FE

MMMMMMM

rrr

rrrr

- Calcule o erro percentual por: 100M

MME%

D

ED×

−= r

rr

III - Cálculo do ponto de aplicação da resultante – Teorema de Varignon

- Retire uma das forças que atua a esquerda do ponto de rotação

- Calcule a soma dos momentos das forças: 4F3F2F1F MMMMMrrrrr

+++=∑

- Calcule o módulo do momento: ( )2MM ∑=rr

- Calcule a resultante: 4321 FFFFRrrrrr

+++=

- Calcule o ponto de aplicação da força resultante: dRM ⋅=rv


II - 03 Equilíbrio de uma partícula no plano

Objetivo • Determinar o peso de um corpo, com base nas condições de equilíbrio.

Fundamento teórico

A Estática é o ramo da mecânica que trata do equilíbrio dos corpos. Uma partícula

está em equilíbrio se a soma de todas as forças que atuam sobre ela é zero, isto é:

0F e 0F , 0F yx∑ ∑∑ ===rrr

Basicamente o equilíbrio de um corpo está relacionado com o princípio da ação e

reação, isto porque ambos se anulam.


- Montar a mesa de forças segundo orientação

- Colocar as forças F1, F2 e F3 sob os ângulos: α, β e γ, respectivamente, até equilibrar o

sistema com o peso do corpo (PC)

- A partir do princípio do equilíbrio de uma partícula deduzir a equação que determina o

peso do corpo e a direção da equilibrante (PE).


- Tabela

F1(gf) F2(gf) F3(gf)

F1(N) α(°) F2(N) β(°) F3(N) γ(°)

PC(gf)

PC(N) PE(N) %E1 θT(°) θC(°) %E1

- Cálculos

100P

PPE%C

EC1 ×

−= e 100E%

T

CT2 ×

θθ−θ

=


II - 04 Equilíbrio de um corpo

Objetivo • Determinar o peso de uma barra segundo as condições de equilíbrio de um corpo

rígido.

Fundamento teórico

Temos como equações do movimento de um corpo rígido: ( ) ( )extFextFN

1ii

rr=∑

= e

( ) ( )extextN

1ii τ=τ∑

=

rr onde a primeira descreve a translação do centro de massa e a segunda a

rotação em torno do centro de massa. Um caso particular de equilíbrio é definido pelo

anulamento do primeiro membro de ambas as equações.

Temos, portanto como condições necessárias e suficientes de equilíbrio de um

corpo rígido que a resultante das forças externas se anule e que a resultante dos torques

externos em relação ao centro de massa se anule.

Mas quando a resultante das forças externas é nula, o torque resultante é

independente do ponto em relação ao qual é calculado logo podemos reformular as

condições de equilíbrio como: 0FFi

i == ∑rr

e 0i

i =τ=τ ∑rr , onde suprime-se a notação

(ext), entendendo-se que as forças consideradas são externas. Assim para o equilíbrio de

um corpo rígido, é necessário e suficiente que se anulem a resultante das forças externas e

o torque resultante em relação a um dado ponto, que pode ser escolhido arbitrariamente.

Se todas as forças estão no mesmo plano, as condições se reduzem para: ∑ =i

ix 0F ,

∑ =i

iy 0F e ∑ =τi

i 0



I – Método das forças paralelas

- Suspender nas extremidades da barra as forças 1Fr

e 2Fr

de modo que estas coloquem a

barra em equilíbrio horizontal

- Determinar o valor das distâncias d1, d2 e dc em relação ao ponto de apoio O

- Aplicar a condição de equilíbrio 0R =r

e determinar PC1

- Aplicar a condição de equilíbrio 0=τ∑v e determinar PC2

- Calcular o erro por: 100P

PPE%

T

1CT ×−

= e 100P

PPE%

T

2CT ×−

=

II– Método de análise vetorial

- Montar o dispositivo segundo o esquema da figura acima;

- Com a barra em equilíbrio medir as forças 1Fr

, 2Fr

e 3Fr

e os respectivos ângulos α, β e γ;

- Obter os valores dos vetores posição em relação ao ponto O escolhido, 1rr , 2r

r , 3rr e pr

r :

- Deduzir e calcular as equações cartesianas de 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

e CPr

:

- Aplicando as condições de equilíbrio calcular o peso da barra CPr

;

- Calcular o erro por: 100P

PPE%

T

CT ×−

=

III

CINEMÁTICA

MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL


Aparelho destinado a comparar o movimento de corpos em diferentes trajetórias Este aparelho é destinado ao estudo comparativo do movimento de três esferas, que se deslocam ao longo de três calhas de latão montadas numa armação de madeira. As três trajetórias têm configurações diferentes, sendo a da calha superior uma reta com uma determinada inclinação, a do meio uma ciclóide e a terceira um arco de circunferência.

As esferas são largadas do ponto mais alto de cada uma das trajetórias, para o que existe uma peça de madeira que gira em torno de um eixo horizontal. Esta peça dispõe de três garras, correspondendo cada uma delas a uma das calhas, que se destinam a manter as esferas na posição inicial. Quando esta peça roda em torno do seu eixo, liberta as esferas que iniciam simultaneamente o seu movimento, partindo do repouso. O momento da chegada das esferas é assinalado pela pancada de um badalo contra uma campainha.

A ordem de chegada é a seguinte: em primeiro lugar, a esfera que se move ao longo da ciclóide, em segundo lugar, a esfera que se move ao longo do arco de circunferência e em terceiro lugar a esfera que se move ao longo do plano inclinado. Este resultado afigura-se algo paradoxal e a justificação para esta seqüência não reside no maior ou menor espaço que cada esfera tem de percorrer durante o movimento. Pelo fato de todos os pontos de partida, tal como os pontos de chegada, se encontrarem, respectivamente, à mesma altura, as velocidades das esferas, no instante em que chocam contra o badalo da campainha, são iguais entre si. No entanto, este acontecimento dá-se em instantes diferentes.

A justificação para a seqüência de chegada das esferas reside na diferença de características das forças exercidas pelas três calhas, durante o movimento. Para a ciclóide, o valor médio da componente horizontal desta força é maior do que nos outros casos, de onde resulta uma componente horizontal da aceleração de valor médio maior.

Referência



III – 01 Movimento retilíneo uniformemente variado

Objetivos • Visualizar o movimento de um móvel sobre um plano inclinado sem atrito

• Determinar e comprovar a aceleração do móvel

• Estabelecer as leis do movimento usando gráficos cartesianos

Fundamento teórico

Um móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado, quando se desloca

em linha reta e sua velocidade varia de quantidades iguais em tempos iguais.

A partir desta definição pode-se afirmar que neste tipo de movimento a velocidade

é função do tempo ( )t(fv = ).

Consideremos na figura acima, que no instante tA o móvel tem a velocidade vA e no

instante tB a velocidade vB teremos que: AB xxx −=∆ , AB ttt −=∆ e AB vvv −=∆ .

Como a velocidade média é a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo

∆t temos: AB

ABttxx

txv

−−

=∆∆

=∆ .

Define-se velocidade instantânea de um móvel em um ponto, por exemplo, A,

fazendo-se o intervalo de tempo tão pequeno quanto possível, para que não ocorram

variações essenciais no estado de movimento durante esse intervalo de tempo. Em

linguagem matemática isso equivale a calcular o limite de um ∆t tendendo para zero. Logo:

txlimvlimv

0t0t ∆∆

==→∆→∆

que por definição é a derivada temporal de x, isto é: dtdxv = 1


Conhecendo )t(fv = , a posição x pode ser obtida por integração da equação da

velocidade instantânea. Da equação 1 temos que:

∫∫ ∫ =−∴=∴=tB

tAAB

XB

XA

tB

tAvdtxxvdtdxvdtdx 2.

Como a velocidade desse tipo de movimento é função do tempo, e varia em função

desse elemento, podemos escrever:

−−

+=∴∆∆

+=∴∆∆

=−

=AB

ABABAB

ABttxx2vv

tx2vv

tx

2vvv .

A aceleração média do movimento é definida como sendo razão entre a variação da

velocidade e a variação do tempo: AB

ABttvva

tva

−−

=∴∆∆

= e a aceleração instantânea pode

ser obtida pela derivação temporal da velocidade, logo: dtdva

tvlimalima

0t0t=∴

∆∆

==→∆→∆

.

Conhecida a aceleração podemos calcular a velocidade. Por integração instantânea,

que é constante: ∫∫ ∫ =−∴=∴=tB

tAAB

VB

VA

tB

tAadtvvadtdvadtdv , que resulta:

)tt(avv ABAB −=− . Para AB ttt −= teremos: atvv AB += 3.

Substituindo 3em 2 teremos: ∫∫∫ ++=∴++=tB

tA

tB

tAAA

tB

tAAA atdtdtvxxdt)atv(xx

que resulta em: 2

attvxx2

AAB ++= .

Observação: das suposições anteriores temos que: a

dvdtdtdva =∴= e

vdxdt

dtdxv =∴= . Igualando estas relações resulta que: adxvdv

vdx

adv

=∴= . Integrando

esta relação obtemos: ∫∫ =XB

XA

VB

VAadxvdv , que resolvida da: )xx(a

2vv

AB

2A

2B −=

− ou

)xx(a2vv AB2A

2B −+=

Generalizando teremos: xa2vv 20

2 ∆+= ou xa2vv 20 ∆+=′ .



- Nivelar o trilho de ar

- Dar uma ligeira inclinação no trilho (α)

- Soltar o móvel com 0vv 0A ==

- Determinar o tempo gasto para o móvel percorrer um determinado espaço

- Construir o gráfico )t(fx = e a respectiva anamorfose )t(fx 2=

- Construir os gráficos )t(fv = e )x(fv =

- Determinar a aceleração do movimento e comprovar seu valor em função da componente

da aceleração da gravidade: α=′ senga

- Completar a tabela:

x(cm) t(s) ∆x(cm) ∆t(s) v (cm/s) v(cm/s) v’(cm/s) a(cm/s2) a’(cm/s2)


III – 02 Queda livre

Objetivos • Observar o fenômeno da queda de um corpo

• Determinar a aceleração da gravidade

• Comprovar a leis da queda livre

Fundamento teórico

A queda de um corpo é livre quando nela não intervém outra força senão a atração

terrestre.

Um corpo que cai no ar experimenta, da parte deste, um empuxo, segundo o

princípio de Arquimedes e uma resistência que retarda a queda livre; entretanto, quando se

trata de corpos densos e de pequenas dimensões, caindo de pequenas alturas, sua queda se

realiza no ar sensivelmente como no vácuo.

A gravidade é força constante, pois atua em cada momento durante a queda; logo, a

queda é um movimento acelerado, ao qual se podem aplicar as leis gerais da mecânica.

Leis da queda livre

Lei das acelerações - todos os corpos caem (no vácuo) com aceleração igual. Com efeito,

sendo os pesos proporcionais às massas, a um aumento de massa corresponde um aumento

de peso, mas a razão P/M ou g é constante; se dois corpos caem da mesma altura no vácuo,

terão a mesma aceleração e, portanto, a mesma velocidade.

Lei dos espaços – na fórmula geral: 2ttvx2

oγ

±= , faz-se hx = e g=γ e sai:

2gttvh

2o ±= que se torna, segundo o caso:

2gth

2= - corpo que parte do repouso;

2gttvh

2o += - corpo lançado de cima para baixo e


2gttvh

2o −= - corpo lançado de baixo para cima.

Lei das velocidades – a formula geral: tvv o γ±= ou e2vv 2o γ±= torna-se: gtvv o ±=

ou gh2vv 2o ±= . Segundo o caso, temos:

gtv = ou gh2v = - corpo que parte do repouso,

gtvv o += ou gh2vv 2o += - corpo lançado para baixo

gtvv o −= ou gh2vv 2o −= - corpo lançado de baixo para cima.


- Montar o dispositivo conforme orientação

- Energizar a bobina de modo que a esfera fique fixa ao núcleo

- Medir a altura de queda

- Desligar a fonte e acionar o sistema de medida de tempo

- Variar a altura repetindo os procedimentos anteriores

- Calcular a gravidade por: 2

gth2

=

- Construir os gráficos: h = f(t2) e v = f(t)

IV

CINEMÁTICA

MOVIMENTO BIDIMENSIONAL


Aparelho para ilustrar a trajetória de um projétil Para ilustrar a trajetória parabólica descrita por um projétil, utilizava-se esta máquina constituída por duas pranchas de madeira fixas numa base horizontal. A periferia superior de uma das pranchas tem a forma de um arco de circunferência e serve de suporte a uma calha limitada lateralmente por duas lâminas de latão. Na outra prancha existem cinco anéis com seis centímetros de diâmetro cada, colocados ao longo de um arco de parábola. Uma esfera, largada do ponto mais alto da trajetória circular, continua o seu percurso até ao fim da calha, descrevendo depois, no espaço, uma trajetória parabólica que passa pelo interior dos anéis circulares. Dava-se início ao movimento da esfera acionando uma pequena peça de latão articulada, instalada na extremidade superior da calha.

Para a correta instalação dos anéis circulares sobre a parábola descrita pela esfera, devia determinar-se previamente a posição do seu ponto de impacto numa caixa de latão, colocada na base do aparelho. Em seguida, media-se o comprimento do segmento de reta horizontal definido por esse ponto e pelo ponto da base obtido pela intersecção da vertical que passa pela extremidade inferior do arco de circunferência que constitui a calha. Dividia-se esta distância em n + 1 partes iguais, sendo n o número de anéis que se pretendia instalar. Pelos pontos desta divisão faziam-se passar linhas verticais e marcavam-se nelas, de cima para baixo, comprimentos definidos pela sucessão de termo geral (n + 1)2, desde n = 0, a partir do nível onde a esfera iniciara o seu movimento como projétil.

Referência



IV – 01 Lançamento horizontal

Objetivo • Estudar o mo movimento de um projétil lançado horizontalmente

Fundamento teórico

Chama-se projétil qualquer objeto que, recebendo uma velocidade inicial, segue

uma trajetória determinada pela ação da força gravitacional e pela resistência do ar. O

caminho seguido por um projétil é denominado trajetória.

A chave para a análise do movimento de um projétil está no fato de que todas as

relações vetoriais desejadas podem ser expressas em termos de equações separadas para as

componentes x e y.

Uma vez que a única força atuando é o peso do projétil, que é considerado

constante em módulo e direção, o movimento refere-se a um sistema de eixos retangulares,

com o eixo X horizontal e o eixo Y vertical e a origem do sistema situada no ponto onde o

projétil começa seu livre percurso.

A componente x da força que atua no projétil é, então, nula, sendo a componente y

o peso do projétil.

Segundo as condições descritas temos que na figura acima aa direção X:

tetanconsvv xox == e tvx x= ; na direção Y: gh2gtvy == e 2

gth2

=


Pela composição do movimento nas duas direções temos: 2y

2x vvv += , que

corresponde ao módulo da velocidade num instante qualquer e x

y

y

yvv

arctgvv

tg =θ∴=θ

que é a direção do vetor velocidade.


- Realizar lançamentos verticais para seis posições, variando a altura de lançamento de 5

em 5 cm.

- Registrar para cada lançamento os valores de h e x

- Determinar os valores da velocidade inicial (v0) e final (v)

- Determinar a direção da velocidade final

Estudo da trajetória do projétil

- Fixar em um anteparo um conjunto papel+carbono

- Repetir lançamentos sucessivos procedendo o afastamento do anteparo a cada lançamento

- Medir as respectivas alturas (h) e deslocamentos (x)

- Construir o gráfico da trajetória do projétil


IV – 02 Lançamento obliquo

Objetivos • Observar a trajetória de projétil lançado obliquamente

• Comprovar a aceleração do


Fundamento teórico

O projétil ao descer o plano inclinado o faz em MRUV, com aceleração da

gravidade na direção Y. Ao final do plano inclinado o projétil é lançado com velocidade v

dada por: AB

111

1 tBA2v

tx2v

tv

2v0v =∴

∆=∴

∆=

+= .

O alcance é dado por: tvx x1= , sendo v1X a componente horizontal de v1 e t o

tempo que o projétil leva para atingir o solo, a partir do ponto B: BCtt = , temos que:

BC1 t cosvx α= , logo: α

=cosvxt

1BC .

A altura h é dada por: 2

gttvh2BC

BCy1 += e a velocidade por: α= senvv 1y1 ,

portanto teremos que: 2

gtt senvh2BC

BC1 +α= .

Substituindo em , temos: ( )22

1

2

cosv2gxtg xh

α+α= que equivale a gh2v =′


Anamorfose da curva: ( )22

1 cosv2gxtg

xh

α+α=


- Medir o espaço BA a ser percorrido pelo móvel

- Medir a altura hP do plano inclinado

- Determinar a inclinação do plano inclinado (α)

- Medir os tempo tAB e tAC

- Traçar os gráficos y = f(v) e )v(fvy

=

- Aplicar o método de regressão linear para obter as constantes (coeficientes angular e

linear)


x (cm)

h (cm)

tAB (s)

tAC (s)

t (s)

v (cm/s)

v’ (cm/s)

%E1 a (cm/s2)

a' (cm/s2)

%E2

V

DINÂMICA


Máquina de Atwood

Inúmeros foram os métodos desenvolvidos para a obtenção da relação entre o espaço percorrido por um móvel e o tempo necessário para o percorrer. A máquina de Atwood assume um lugar de destaque neste estudo. Com efeito ela foi, durante quase dois séculos, até muito recentemente, o melhor instrumento que se inventou para esse estudo. A máquina de Atwood do Gabinete de Física da Universidade de Coimbra é, sem dúvida, uma das suas mais valiosas peças, não pela qualidade do seu material ou pela beleza das suas linhas, mas por ser um dos primeiros exemplares da famosa máquina de Atwood, da própria época do seu inventor, e também por ter feito parte do material científico enviado de Londres por João Jacinto de Magalhães, cientista português mundialmente conhecido no seu tempo. Dalla Bella, no Index, cita como referência bibliográfica o opúsculo que Magalhães publicou em Londres, em 1780, e que consiste numa carta endereçada a Volta em que o nosso compatriota lhe descreve a máquina inventada por Atwood. Dalla Bella sentia-se orgulhoso por o seu Gabinete de Física possuir tal objeto e por isso agradecia a Deus o benefício. Assim se lhe refere no Physices Elementa (Tomo I, p. 60): "eximia Machina Celeberrimi Atwoodi, quae, Deo dante, in Theatro Physices ostendemus".

Como é sabido a máquina de Atwood consiste essencialmente numa roldana de eixo horizontal em cuja gola passa um fio comprido, o qual sustenta dois corpos de massas iguais, um em cada extremidade. Colocando um dos corpos a nível bastante superior ao do outro, e sobrecarregando aquele com outro corpo de muito menor massa, o sistema move-se na vertical, com movimento uniformemente acelerado cuja aceleração, maior ou menor, depende dos valores das massas iguais dos corpos que estão suspensos e da massa do corpo que se adicionou.

Para minimizar o efeito do atrito sobre o eixo da roldana, esta apoia-se sobre a periferia de outras quatro roldanas o que permite grande mobilidade da primeira. O conjunto está instalado no alto da máquina, sobre duas colunas paralelas de madeira, sendo suportado por uma coluna cilíndrica também de madeira que se eleva sobre uma base em forma de cruz. Nos extremos de cada braço da base existe um parafuso de madeira, de grandes dimensões, que serve para nivelar a máquina. As duas colunas (réguas), ao longo das quais correm as duas partes do fio de suspensão das massas, estão graduadas em polegadas, de 0 a 72, com cada polegada subdividida em 10 partes iguais. Estas réguas permitem medir os espaços percorridos pelos corpos suspensos do fio. Nelas podem ainda ser instalados acessórios para a realização das experiências. Assim, ao longo delas podem mover-se, e fixarem-se nelas, 3 cursores, dos quais um cheio e dois anulares. O cursor cheio permite definir a posição final do movimento e os outros dois servem para reter as sobrecargas que, em algumas experiências, são colocadas sobre os corpos. Cada um dos corpos suspensos é um pequeno disco de latão, de 4,4 cm de diâmetro, de cujo centro se eleva uma haste metálica de 8 cm.

Numa outra coluna, está instalado um relógio de pesos com sua pêndula, a qual, ao mover-se, fazia soar, de segundo em segundo, uma campainha montada no alto do mostrador. No centro deste, bem como na superfície da pêndula, lê-se a seguinte inscrição: J. H. Magellan Lusitanus invenit atque fieri Curavit Londini. João Jacinto de Magalhães não só nos informa que acompanhou a construção, em Londres, deste exemplar da máquina de Atwood, como nos declara que o pêndulo que ali se encontra é de sua invenção. Nos vários trabalhos publicados por esse compatriota insigne apontamos, a propósito, a Notice des instrumens d'Astronomie, de Geodesie, de Physique, etc. faits dernierement à Londres par ordre de la Cour d'Espagne: aves le précis de leur construction,


qualités et Perfectionnements nouveaux, par J. H. de Magellan gentilhomme portuguais, etc. A Londres, etc. MDCCLXXX. É neste trabalho que Magalhães se refere ao pêndulo de sua invenção.

Referência



V – 01 Leis de Newton

Objetivos • Comprovar as leis de Newton

• Determinar a relação força x massa

• Determinar a relação massa x aceleração

Fundamento teórico

Em seu tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, publicado em

1687, Newton formulou três axiomas ou leis do movimento.

A primeira é a lei da inércia: todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de

movimento, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças sobre

ele.

A segunda lei é enunciada como segue: se a força resultante que atua num ponto

material é diferente de zero, o ponto terá uma aceleração proporcional ao módulo da

resultante e na direção e sentido da resultante.

Esta lei pode ser melhor compreendida se imaginarmos um ponto material sujeito a

uma força Fr

de direção e sentido constantes e módulo constante F. Sob a ação esta força, o

ponto material será observado deslocando-se em linha reta e na direção e sentido da força.

Determinando a posição do ponto de material para vários instantes, encontramos que a

aceleração possui módulo constante. Se o procedimento se repete com forças 2Fr

, 3Fr

, ..., de

diferentes módulos e direção, encontramos para cada instante que o ponto material se

desloca na direção e sentido da força que atua sobre ele e que os módulos a1, a2, a3, ... das

acelerações são proporcionais aos módulos F1, F2, F3, ... , das forças correspondentes.

O valor obtido das relações é uma característica do ponto material em consideração.

É chamado de massa do ponto material e denominado m. Quando sobre um ponto material

de massa m atua uma força Fr

, esta a aceleração a do ponto material devem satisfazer a

relação amF rr= .

Tal como qualquer outra força, o peso Pr

, de um corpo pode ser obtido pela

segunda lei, já que o módulo de P do peso do corpo de massa m é: gmP rr= .


A terceira lei é o chamado princípio da ação e reação, cujo enunciado é: a toda

força de ação corresponde uma força de reação de mesmo módulo e direção, mas de

sentido oposto.


Aplicar as leis de Newton sobre o sistema da figura:

No corpo A temos:

==−amT0NP

AA

AA , o que dá

===

AA

AAA

mTgmNP

No corpo B temos:

=−=

amRTPR

B

BB onde amTTT ABA === , o que resulta em: AB

Bmmgma

+=

No sistema temos que: 2tatvxx2

oo′

++= que dá: 2tx2a =′

Como: amPT BB ′−=′ ou )ag(mT B ′−=′


- Anotar o espaço desenvolvido pelo móvel

- Medir a massas mA

- Colocar um corpo B (mB) que puxará o corpo A

- Determinar o tempo gasto para percorrer o espaço x

- Alterar por quatro vezes o valor da massa de B (mB)

- Completar a tabela


mA (g)

mB (g)

g (cms-2)

a (cms-2)

a’ (cms-2)

%E1 x (cm)

t (s)

T (dina)

T’ (dina)

%E1

- Construir o gráfico T’= f (a’) explicando o que representa o coeficiente angular da reta

- Com o mesmo dispositivo fixar a massa de B (mB) e variar a massa de A (mA)


mA (g)

mB (g)

g (cms-2)

a (cms-2)

a’ (cms-2)

%E1 x (cm)

t (s)

T (dina)

T’ (dina)

%E1

- Construir o gráfico mA = f (a)


V- 02 Momento linear

Objetivo • Verificar a conservação da quantidade de movimento

Fundamento teórico

A quantidade de movimento, também denominada movimento cinético ou

momento simplesmente, de uma partícula é definida como o produto de sua massa por sua

velocidade. Designando-se por Q escrevemos: mvQ =

A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial e tem a mesma direção que a

velocidade. A quantidade de movimento é um conceito físico muito importante porquanto

ela combina os dois elementos que caracterizam o estado dinâmico de uma partícula: sua

massa e sua velocidade. A quantidade de movimento é expressa em m.kg.s-1.

Pode-se agora dar outro enunciado à lei da inércia dizendo-se que uma partícula

livre move-se sempre com quantidade de movimento constante.

Princípio da conservação da quantidade de movimento

Como conseqüência imediata da lei da inércia, podemos dizer que um observador

inercial reconhece que uma partícula não é livre (isto é, que ela interage com outras).

Quando ela observa que a velocidade ou a quantidade de movimento da partícula deixa de

permanecer constante; ou em outras palavras, quando a partícula sofre uma aceleração.

Consideremos agora uma situação ideal. Suponhamos que em lugar de observarmos

uma partícula isolada no universo, como se admitiu na lei da inércia, observarmos duas

partículas sujeitas somente às suas interações mútuas e isoladas do resto do universo.

Como resultado das interações, suas velocidades individuais variam com o tempo e suas

trajetórias são de modo geral curvas, como indica a figura pelas curvas 1 e 2. Num certo

instante t, a partícula 1 está em A com velocidade v1 e a partícula 2 está em B com

velocidade v2. Num instante posterior t’, as partículas estarão em A’e B’ com velocidades

v1’e v2’, respectivamente. Chamando de m1 e m2 as massas das partículas, dizemos que a

quantidade de movimento total do sistema, no instante t é: 221121 vmvmQQQ +=′+′=′ .

Ao escrevermos essa equação mantivemos a afirmação de que as massas das

partículas independem de seus estados de movimento, e assim utilizamos as mesmas


massas que aparecem na equação. Caso contrário, deveríamos escrever:

2211 vmvmQ ′′+′′=′ .

O resultado importante do nosso experimento, é que não importa quais sejam os

instantes t e t’, encontramos sempre como resultado de nossa observação que QQ ′= . Em

outras palavras: a quantidade de movimento total de um sistema composto de duas

partículas sujeitas somente às sus interações mútuas permanece constante.

Esse resultado constitui o princípio da conservação da quantidade de movimento. Um dos

princípios mais fundamentais e universais da física.

Embora o princípio enunciado acima considere somente duas partículas ele vale

também para um número qualquer de partículas constituindo um sistema isolado, isto é,

vale para partículas sujeitas somente a suas interações mútuas, sem interações como outras

partes do universo. Portanto na sua forma mais geral o princípio da conservação da

quantidade de movimento tem o seguinte enunciado: a quantidade de movimento total de

um sistema isolado de partículas é constante.

A conservação da quantidade pode ser expressa matematicamente pela seguinte

equação: ∑ ==i

i tetanconsQQ , a qual implica que para um sistema solado a variação de

movimento de uma partícula durante um certo intervalo de tempo é igual em módulo e de

sinal contrário à variação da quantidade de movimento do resto do sistema no mesmo

intervalo de tempo.

Para o caso particular de duas partículas: tetanconsQQ 21 =+ ou

2121 QQQQ ′+′=+ . Ocorre que: )QQ(QQQQ 222211 +′−=′+=+′ ou chamando de

QQQ ∆=+′ , a variação de quantidade de movimento entre os instantes t e t’, podemos

escrever: 21 QQ ∆−=∆ .

Esse resultado indica que, para duas partículas em interação a quantidade de

movimento de uma partícula durante um certo intervalo de tempo é igual em módulo, e de

sinal contrário à variação da quantidade de movimento da outra durante o mesmo intervalo

de tempo. Assim o resultado acima pode ser expresso dizendo-se que: uma interação

acarreta uma troca de quantidade de movimento, de modo que a quantidade de movimento

perdida por uma das partículas em interação é igual à quantidade de movimento ganha pela

outra partícula.

A lei da inércia, é justamente um caso particular do princípio da conservação da

quantidade de movimento, isso porque, se tivermos somente uma partícula isolada, existirá


somente um termo, tornando-se assim tetanconsQ = , ou de modo equivalente v =

constante, o que é a lei da inércia.


- Determinar a massa m1 do móvel

- Marcar no trilho os pontos correspondentes aos espaços xAB e xBC

- Impulsionar o móvel e quando o mesmo passar por B, abandonar sobre ele uma massa m

- Determinar o tempo necessário para o móvel percorrer os espaços xAB e xBC

- Calcular a velocidade do corpo no espaço xAB

- Determinar a massa: 12 mmm +=

- Calcular a velocidade do móvel no espaço xBC

- Calcular a quantidade de movimento: AB1AB vmQ =

- Calcular a quantidade de movimento: BC2BC vmQ =

- Calcular a variação da quantidade de movimento: ABBC QQQ −=∆

- Variar a massa m por pelo menos cinco vezes

- Construir o gráfico QBC = f(m2)


m1 (g)

m (g)

m2 (g)

xAB (cm)

xBC (cm)

tAB (s)

tBC (s)

vAB (cm/s)

vBC (cm/s)

QAB (gcm/s)

QBC (gcm/s)

∆Q (gcm/s)


V – 03 Conservação de energia

Objetivo • Verificar o princípio de conservação de energia

Fundamento teórico

Um sistema mecânico, no qual atuem apenas forças conservativas, tem sua energia

mecânica (E) conservada. Associa-se uma energia potencial (EP) a cada força conservativa,

de modo que a soma de suas variações seja igual a uma variação oposta da energia cinética

(EC).

Havendo forças dissipativas, o trabalho (W) realizado por elas é igual à variação da

energia mecânica. Tem-se então, o princípio físico da conservação da energia, expresso

pelas equações: ∑ ∆+∆=∆ PC EEE e WE =∆

Para um sistema conservativo tem-se: 0E =∆ e ∑ ∆−=∆ PC EE , ou seja, qualquer

aumento da energia cinética corresponde a uma igual diminuição da energia potencial e

vice-versa.


para a figura temos:

na direção X: tetanconsvv XX1 == e tvx X=

na direção Y: 0v Y1 = , gtvY = , gh2vY= e 2

gth2

=


pela composição do movimento nas direções X e Y temos que o módulo da velocidade

num instante t qualquer é 2Y

2X vvv += e a sua direção

X

Yvvarctg=θ

- Determinar a massa da esfera

- Determinar as alturas h e H

- Soltar a esfera e cronometrar o tempo que a mesma leva pra percorrer a canaleta

- Calcular a velocidade v1

- Repetir o procedimento determinando o tempo do percurso total de queda da esfera bem -

como o espaço atingido (x)

- Calcular a velocidade com que a esfera atinge o solo

- Verificar o princípio de conservação de energia:

21 EE = , onde CP1 EEE += e CP2 EEE +=


V – 04 Colisões

Objetivos • Analisar os efeitos da colisão de dois corpos que permanecem unidos após a colisão

• Reconhecer se a colisão elástica ou inelástica

• Verificar o princípio da quantidade de movimento

Fundamento teórico

Quando dois corpos colidem, a quantidade total de movimento permanece

constante; esta proposição, denominada lei da conservação da quantidade de movimento é

análoga à da conservação da energia; é uma conseqüência do princípio de ação e de reação

(Newton). Com efeito, consideremos dois corpos que colidem; sejam m e m´ suas massas;

v1 e v2 suas velocidades respectivas antes da colisão; v´1 e v´2 suas velocidades depois da

colisão.

Escrevamos que as variações de quantidade de movimento, para cada um, iguala a

impulsão, durante o tempo da colisão: Ftmvvm 12 =−′ e tFvmvm 12 ′=′−′′ .

Pois que a ação é igual e contrária à reação, temos: FF ′−= e tFFt ′−= , portanto,

)vmvm()mvvm( 1212 ′−′′−=−′ , donde )vmvm()vmmv( 2211 ′′+′=′+ .

O primeiro membro da última equação é a quantidade de movimento antes do choque e o

segundo membro é a quantidade total depois do choque.

Apenas considerações sobre momento linear não são suficientes para determinar

completamente as velocidades finais.

Quando os corpos aderem um ao outro e se movem juntos após a colisão esta é

chamada perfeitamente inelástica.

Se as forças de interação entre os corpos forem conservativas, a energia total será a

mesma antes e depois da colisão que será chamada perfeitamente elástica.


Colisões inelásticas

No caso de uma colisão perfeitamente inelástica entre os corpos 1 e 2, tem-se por

definição que: vvv 21 ′=′=′ , que combinada com a relação da quantidade de movimento

dá: )mm(vmmvv 21′+′+

=′ .

A energia cinética dos sistema, antes da colisão é: 2vm

2mvE

22

21 ′

+= e após a

colisão é: 2

v)mm(E2′′+

=′ .

A razão entre as energias final e inicial resulta em: )mm(vmmvv 21′+′+

=′ .

Numa colisão inelástica a energia total decresce.

Colisões elásticas

A energia e a quantidade de movimento são conservadas:

2vm

2vm

2vm

2mv 2

22

122

21 ′′

+′

=′

+

2121 vmvmvmmv ′′+′=′+

Se as massas e as velocidades forem conhecidas, haverá duas equações

independentes por meio das quais as velocidades podem ser determinadas; a solução

simultânea destas fornece: mm

)mm(vvm2v 121 ′+

′−+′=′ ,

mm)mm(vmv2v 21

2 ′+′−−

=′ e

)vv()vv( 1212 −−=′−′ , que é a velocidade relativa de um corpo em relação ao outro,

sendo o primeiro termo depois da colisão e no segundo membro antes da colisão. A

velocidade relativa de duas partículas após uma colisão central perfeitamente elástica muda

de sentido, mas não se altera em módulo.



- Determinar as massas dos carros mA e mB

- Nivelar o trilho e colocar os carros A no início da trajetória e B alguns centímetros à

frente

- Imprimir movimentos nos carros a e B, simultaneamente, sendo que por sua vez a

velocidade de a deve ser maior que a de B

- Anotar o tempo gasto pelo carro a para percorrer o espaço xA e o tempo gasto pelo carro

B para percorrer o espaço xB; anotar ainda o tempo gasto para percorrer o espaço x

- Calcular as velocidades vA e vB, lembrando que a velocidade do sistema após a colisão

por: txv = e

BA

BBAAmm

vmvmv++

=′

- Calcular a energia cinética dos dois corpos antes do choque: 2vmE

2AA

CA = e

2vmE

2BB

CB = o que resulta CBCA1C EEE += .

- Calcular a energia cinética após o choque: 2

v)m(mE2

ABA2C

′+=

- Calcular a energia cinética dissipada sob a forma de calor: 2C1CC EEE −=∆

- Calcular o coeficiente de restituição para o sistema em estudo: BA

ABvvvve

−′−′

=


mA (g)

mB (g)

m (g)

xA (cm)

xB (cm)

x (cm)

tA (s)

tB (s)

t (s)

vA (cm/s)

vB (cm/s)

v (cm/s)

v´ (cm/s)

ECA (erg)

ECB (erg)

EC1 (erg)

EC2 (erg)

∆EC (erg)


V – 05 Momento de inércia

Objetivos • Determinar o momento de inércia

• Verificar a conservação de energia

Fundamento teórico

Momento de inércia é o produto de uma unidade de massas por uma unidade de

distância ao quadrado: 2rMI ×= .

O momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo., para rotações em

torno desse eixo, representa a inércia de rotação.

Momento de inércia para corpos homogêneos

Aqueles cuja densidade de massa é constante, ou seja, que a massa dM de um

elemento de volume dV é dVdM µ= , onde µ é constante.

Anel circular delgado em torno do centro – sendo r, o raio médio do anel, para todos os

elementos de massas dM: ∫= dMrI 2 ⇒ MrI 2= , onde M é a massas do anel

Disco circular em torno do centro – podemos imaginar o disco decomposto em anéis de

raio ρ e largura infinitésima d, onde ρ varia de 0 r. A massa dM de um desses anéis está

para a massas M do disco assim como o volume do anel está para o volume do disco

temos: 2rd2MdM

π

ρπρ= de modo que ∫ =ρ=

2MrdMI

22 .

Note-se que a dedução independe da espessura do disco, de modo que o resultado

dá o momento de inércia de um cilindro circular de massa M, raio r e altura L em torno do

eixo do cilindro qualquer que seja L.

Barra delgada em torno do centro – a massa dM de uma porção dρ da barra é: L

MddM ρ= ,

onde L comprimento total da barra. Assim: ∫ =ρ=12

MLdMI2

2 .


Novamente independente da altura da barra, de modo que também se obtém o

momento de inércia de uma placa retangular delgada de comprimento L em torno de um

eixo central perpendicular à direção de L, qualquer que seja a altura H.

Esfera em torno de um diâmetro – podemos considerar uma esfera com uma pilha de

discos circulares perpendiculares ao diâmetro considerado. Esses discos de espessura dZ e

raio r, situado à altura Z do plano equatorial. A massa dM do disco está para a massa M da

esfera na mesma proporção dos volumes respectivos: 3

2

R4dZMr3dM =

Para obtermos o momento de inércia total, integramos sobre um hemisfério e

multiplicamos por dois o resultado: ∫ ==5

MR2dMrI2

2 , onde 222 ZRr −=

Barra delgada em torno de uma extremidade: 3

MLI3

=

Fazer girar uma vareta em torno de uma extremidade é mais difícil do que em torno do seu

centro (a inércia é quatro vezes maior)

Cilindro em torno de uma geratriz: 2

Mr3I2

= , isto se aplica, em, particular, ao rolamento

de uma roda sobre um plano

Raio de giração

Por razões dimensionais, o momento de inércia é sempre igual à massa do objeto

multiplicada pelo quadrado de um comprimento. Esse comprimento k chama-se raio de

giração do objeto em relação ao eixo considerado assim: 2MkI =

Os resultados precedentes correspondem aos seguintes raios de giração

Anel circular em torno do centro: rk =

Disco circular em torno do centro: 2rk =

Barra delgada em torno do centro: 32

Lk =

Esfera em torno de um diâmetro: 52rk =



I - momento de inércia de um disco

- Determinar a massa do disco (M)

- Determinar o raio do disco (R)

- Medir o raio do disco de fibra (r)

- Enrolar o fio no disco de fibra

- Medir a altura de queda (h)

- Acionar o cronômetro quando o corpo de massa m iniciar o movimento e desligar quando

tocar o solo

- Variar a massa m e a altura h

- Calcular o momento de inércia:

CRCTP EEE +=

2Iw

2mvmgh

22+= 1

onde th2v = e

trh2w = que resulta em:

2MRI

2=′


M (g)

m (g)

R (cm)

r (cm)

h (cm)

t (s)

I (gcm-2)

%E1 EP (ergs)

ECT (ergs)

ECR (ergs)

%E2

II - Momento de inércia de uma esfera

- Medir a massa da esfera (M)

- Determinar o raio da esfera (r)

- Medir a altura de queda (h)

- Medir o espaço percorrido plea esfera (x)

- Calculo da velocidade: tx2v = e gh195,1v =′

- Calcular o momento de inércia pela equação 1 e por: 5

Mr2I2

=′



m (g)

r (cm)

h (cm)

x (cm)

t (s)

I (gcm-2)

%E1 v (cm/s)

v’ (cm/s)

EP (ergs)

ECT (ergs)

ECR (ergs)

III - Momento de inércia de um cilindro

- Seguir procedimento da esfera

- Calcular o momento de inércia pela equação 1 e por: 2

MrI2

=′


m (g)

r (cm)

h (cm)

x (cm)

t (s)

I (gcm-2)

%E1 v (cm/s)

v’ (cm/s)

EP (ergs)

ECT (ergs)

ECR (ergs)


V – 06 Atrito

Objetivos • Determinar os coeficientes de atrito estático e dinâmico em um plano vertical

• Determinar os coeficientes de atrito estático e dinâmico em um plano horizontal

Fundamento teórico

O atrito é um fenômeno físico presente nas diversas atividades do cotidiano. É

percebido como uma dificuldade ao movimento relativo de duas superfícies em contato,

cujas rugosidades produzem pontos de encaixe e soldas entre ambas. Essa dificuldade

significa que o atrito pode impedir ou reduzir o movimento, desgastando as superfícies e

liberando energia sob as formas de som, luz e calor.

Para se estudar esse fenômeno é preciso medir alguma grandeza física associada.

Na área de contato de duas superfícies age uma força oposta e com mesma intensidade da

força resultante responsável pelo contato. Na decomposição dessa força nas direções

perpendicular ou normal e paralela à área de contato, tem-se nessa última, a que se opõe ao

movimento ou à tendência deste. Medir o atrito é então, medir o componente da força de

contato entre duas superfícies, paralela às mesmas.

Quando há movimento relativo a força de atrito pode variar com a velocidade ou

devido a outros fatores tal como o desgaste das superfícies. Por outro lado, não havendo o

deslocamento relativo das superfícies, a força de atrito é obtida da condição de repouso.

O componente normal da força de contato é responsável pelo encaixe das

rugosidades das superfícies. Quanto maior sua intensidade maior a resistência ao

movimento. Um aspecto interessante para investigação é a relação existente entre a

intensidade máxima da força de atrito e do componente normal da força de contato.

Podemos verificar experimentalmente que o módulo da força de atrito, para a

maioria dos casos práticos, pode ser considerado como proporcional à força normal que

pressiona um corpo ao outro. A constante de proporcionalidade é chamada coeficiente de

atrito, e é designada por µ, isto é, em módulo: Nf µ=


A força de atrito de deslizamento opõe-se sempre ao movimento do corpo tendo

assim direção oposta à velocidade. Podemos escrever a equação em forma vetorial

observando que um vetor unitário no sentido do movimento é obtido pela divisão do vetor

velocidade pelo módulo da velocidade, vvirr

= . Isso permite escrever a equação na forma

vetorial: Nif µ−=r

.

Por exemplo, se F é a força aplicada movendo o corpo para a direita a força

horizontal resultante para a direita é: iNFr

µ−= e a equação do movimento do corpo é:

iNFmar

µ−=

Há em geral duas espécies de coeficientes de atrito: o estático µS, quando

multiplicado pela força normal, da a força mínima necessária para iniciar o movimento

relativo dos dois corpos inicialmente em contato e em repouso relativo. O coeficiente de

atrito cinético, µC, quando multiplicado pela força normal, dá a força necessária para

manter os dois corpos em movimento relativo uniforme. Para todos os materiais já testados

experimentalmente, verifica-se que µS > µC.

O atrito é um conceito estatístico, porquanto f representa a soma de um grande

número de interações entre as moléculas dos dois corpos em contato, sendo, naturalmente,

impossível levar em conta as interações moleculares individuais; elas são determinadas de

modo coletivo por métodos experimentais e representadas aproximadamente pelo

coeficiente de atrito.



I – Determinação do coeficiente de atrito estático no plano inclinado

- Colocar o bloco de madeira no plano inclinado de modo que o mesmo não deslize.

- Variar a inclinação do plano de modo que o bloco comece a deslizar

- Medir o ângulo de inclinação: θ = ________

- Como o bloco está começando a deslizar:

(1) PPPN

NfPf

TNS

N

S

T rr

rr

rr

rr

=µ

=µ=

=, sendo

θ=⇒=θ

θ=⇒=θ

(3) PcosPP

Psen

)2( PsenPP

Psen

NT

TT

substituindo (2) e (3) em (1) teremos:

PsenPcosS θ=θµ

θ=θµ sencosS

θθ

=µcossen

S

θ=µ tgS

II – Determinar o coeficiente de atrito dinâmico no plano inclinado

- Colocar o bloco de modo a faze-lo deslizar suavemente

- Diminua a inclinação do plano que o bloco pare

- Medir o ângulo de inclinação: θ = ________

- Nestas condições: θ=µ tgD


III – Determinar o coeficiente de atrito estático num plano horizontal

- Seja um corpo de massa m sobre um plano horizontal, preso a um dinamômetro.

- Puxe o corpo pelo dinamômetro, com a menor força que o coloque em movimento e de

modo que a leitura seja constante. Nessas condições o valor da força lida no dinamômetro

é igual à força de atrito estático: ________ f F S ==rr

- Determine o peso do bloco através do dinamômetro: _________PN =r

- Desse modo o coeficiente de atrito estático é dado por: N

SS P

fr

r

=µ

- Repetir o experimento para as várias faces do corpo:

Conclusões:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

- Colocar sobre o corpo pesos diferentes e repetir o procedimento

PN (gf) PA (gf) P= PN +PA (gf) FS µS

- Construir o gráfico )P(ffSrr

=

- Determinar µS através do gráfico: PfS

S r

r

∆∆

=µ


V- 07 Máquina de Atwood

Objetivo • Determinar a aceleração da gravidade

Fundamento teórico

A máquina de Atwood é composta, basicamente, de uma polia fixa na qual se

colocam através de um fio dois pesos como mostra a figura.

Podemos verificar através deste equipamento o princípio da inércia, a lei

fundamental da dinâmica ( maF = ) e determinar aproximadamente o valor de g.

Quando Mm = o sistema permanecerá em repouso. Movimentando uma das

massas, o movimento do sistema será uniforme (lei da inércia).

Quando mM > o movimento é uniformemente acelerado. Considerando-se as

forças que interagem no conjunto temos para o corpo de massa m que sobe: mapT =− ;

para o corpo de massa M que desce: MaTP =− .

Da consideração simultânea das equações acima teremos: )mM(a)Mm(g

−+

= .



- Colocar na máquina de Atwood duas massas M e m iguais; deixar o conjunto em

repouso. Observe.

- Colocar o conjunto acima em movimento. Observe.

- Explique as diferenças observadas.

- Colocar na máquina de Atwood duas massas M e m diferentes

- Marcar o espaço a ser percorrido

- Anotar o tempo para percorrer este espaço

- Calcular o valor da aceleração por: 2

attvxx2

oo ++=

- Determinar o valor de g através da expressão: )mM(a)Mm(g

−+

=

- Variar as massas m e M e repetir os cálculos

- Determinar os valores médios de a e de g

- Calcular o erro

VI

MOVIMENTO OSCILATÓRIO


Pêndula O relógio de pêndulo aqui apresentado tem no mostrador a assinatura de João Jacinto de Magalhães. Este físico português, natural de Aveiro, viveu a fase mais produtiva da sua existência em Londres, onde veio a falecer.

Magalhães foi membro ou correspondente das seguintes sociedades científicas: Academia das Ciências de Lisboa, Académie Royal des Sciences de Bruxelas, Académie des Sciences de Paris, Academia Imperial de Ciências de S. Petersburgo, Akademie der Wissenschaften de Berlim, American Philosophical Society de Filadélfia, Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen de Haarlem, Real Academia de las Ciencias de Madrid, Literary and Phylosophical Society de Manchester e Royal Society de Londres.

Em Londres, Magalhães colaborou com a Coroa espanhola e portuguesa, enviando para os respectivos países coleções de instrumentos de Astronomia, Física, Náutica, etc., tendo supervisionado a sua construção na capital inglesa. Desta coleção faziam parte alguns relógios de pêndulo, tendo o Gabinete de Física o privilégio de ver um deles integrado na sua coleção.

O mostrador deste relógio apresenta dois ponteiros, sendo um deles maior do que o outro. O ponteiro maior roda em torno do eixo central do mostrador, assinalando os minutos através duma escala dividida em 60 partes iguais e marcada de 5 em 5. Sobre uma segunda escala, de menores dimensões e localizada na parte superior do mostrador, move-se o ponteiro menor. Esta escala encontra-se também dividida em 60 partes, assinaladas de 10 em 10, indicando os segundos. Na parte inferior do mostrador encontra-se uma pequena janela através da qual se pode observar uma escala em numeração romana. Esta escala está gravada num disco, localizado na parte posterior do mostrador principal do relógio, e serve para indicar as horas.

Referência



VI – 01 Movimento harmônico simples

Objetivo • Estudar o movimento harmônico simples através da oscilação de um objeto

suspenso por uma mola

Fundamento teórico

Considera-se, aqui, um sistema composto por um corpo de massa (m) pendurado à

extremidade de uma mola, presa por sua outra extremidade a uma suporte, conforme

mostrado na figura. Atuam sobre o corpo as forças conservativas peso (mg) e elástica da

mola (-k∆y). As energias potenciais associadas a essas forças são escritas como:

mgyEE 0PPY += e 2ykE

2EY

∆=

A energia cinética do corpo é dada pela equação: 2

mvE2

P = , onde v é a sua

velocidade.

Calculando-se essas energias, o princípio da conservação da energia pode ser

verificado para as posições onde v se anula ou assume o valor máximo vm.

Se o corpo for abandonado a partir do repouso, na posição y = ym em que a mola

não está deformada (nem esticada, nem comprimida), o sistema inicia um movimento

oscilatório, em torno da posição y = 0, com amplitude igual a ym. Esse movimento é

denominado movimento harmônico simples (MHS). Assim como o movimento de um


pêndulo, esse também é caracterizado por um período (T) de oscilação dado por:

mk2T π= .

O MHS pode ser descrito como a projeção de um movimento circular uniforme

(MCU) com velocidade de módulo vm. Uma oscilação completa do MHS corresponde

portanto a uma volta no MCU associado. Desse modo, a amplitude (ym) do MHS é igual ao

raio da trajetória do MCU. Medindo-se ym e T, o valor de vm é calculado por:

Ty2v m

mπ

= .

A constante elástica da mola pode ser obtida da situação estática de equilíbrio entre

a força elástica e o peso ou da situação dinâmica por meio da medida do período. Ou seja,

mymgk = ou 2

2

Tm4k π

= .

Substituindo-se as expressões de vm e k nas definições das energias cinética e

potencial elástica obtém-se as fórmulas: 2

m2m T

ym2k

π= e

22

m

2EY T

ym2y2

ymgE

∆

π=∆

= , onde km é o valor máximo da energia cinética.


- Identifique os valores de y para os quais a velocidade do corpo se anula ou é máxima.

- Meça m, ym e T.

- Calcule a constante elástica da mola pelo método estático.

- Compare o valor medido de T com o previsto para esse sistema.

- Tomando-se 0)y(E mPG =− , calcule os valores de EP(y) para as posições do item a.

- Calcule os valores da energia cinética para as posições do item a.

- Calcule os valores da energia potencial elástica para as posições do item a.

- Organize numa tabela os valores de y, EP, EE e k.

- Construa o gráfico (energia x posição) dos pontos correspondentes aos valores da tabela.

- Esboce as curvas dessas energias.


VI – 02 Pêndulo simples

Objetivos • Determinar a aceleração local da gravidade

• Comprovar as leis do pêndulo simples

Fundamento teórico

O pêndulo simples é um sistema mecânico ideal constituído de uma partícula de

massa m suspensa por um fio inextensível e sem massa de comprimento L, conforme

mostrado na figura.

Quando o pêndulo está em repouso, as forças que agem sobre a partícula, o seu

peso (mg) e a tensão aplicada pelo fio, se equilibram. Porém, se o pêndulo for afastado de

sua posição de equilíbrio, de modo que a direção do fio faça um ângulo θ com a vertical, o

componente do peso perpendicular ao fio, de intensidade θsenmg , agirá no sentido de

restaurar o equilíbrio, fazendo o pêndulo oscilar.

Uma vez que o pêndulo simples é um sistema mecânico caracterizado apenas pelos

parâmetros L e m, pode-se investigar como eles afetam o período (T) de oscilação do

pêndulo. Além disso, outro fator que pode afetar o período do pêndulo é a amplitude (θ) de

sua oscilação.

Esse último fator determina a condição inicial imposta à dinâmica do sistema

mecânico, não sendo uma de suas características intrínsecas. Para pequenas amplitudes,


tais que senθ≈θ (<5o), a dependência do período com o comprimento do pêndulo é:

gL2T π= .


- Montar o equipamento conforme indicação;

- Fazer o pêndulo oscilar, de tal forma que a amplitude não ultrapasse 5°;

- Determinar o período de oscilação do pêndulo, cronometrando o tempo para que o

mesmo efetue 10 oscilações. (repetir 6 vezes, obtendo o período médio): ntT =

t (s) n T (s) t (s) n T (s)

- Variar o comprimento do fio (repetir o procedimento para pelo menos cinco

comprimentos). Não alterar a massa ou amplitude de oscilação.

- Calcular a aceleração da gravidade por: TL4g 2π=

L (cm) t (s) n T (s) T2 (s) g (cm/s2) gT (cm/s2) %E

- Construir o gráfico )L(fT2 = e determinar a aceleração da gravidade


- Para um determinado comprimento repetir o procedimento fixando a amplitude, porém

utilizando massas diferentes;

m (g) n (osc) t (s) T (s) m (g) n (osc) t (s) T (s)

- Fixando a massa e o comprimento, repetir o procedimento para amplitudes diferentes (lei

do isocronismo);

A (cm) n (osc) t (s) T (s) A (cm) n (osc) t (s) T (s)


VI – 03 Pêndulo físico

Objetivos • Determinar o centro de gravidade da barra


• Determinar o raio de giração

• Determinar o momento de inércia

Fundamento teórico

Qualquer corpo rígido suspenso de um ponto O de tal forma que possa girar

livremente (sem atrito) em torno de um eixo horizontal passando pelo ponto de suspensão

O constitui um pêndulo físico, também chamado pêndulo composto.

seja ZZ’o eixo principal e C o centro de massa do corpo, quando alinha OC faz um ângulo

θ com a vertical, a componente Z do torque que age sobre o corpo é: θ−=Γ senmgb , onde

b é a distância OC entre o eixo Z e o centro de massa C.

Se I é o momento de inércia do corpo, em relação ao eixo Z, e 2

2

dtd θ

=α é a

aceleração angular a equação, ZI Γ=α dá θ−=θ senmgb

dtdI 2

2.


Supondo que as oscilações tenham pequenas amplitudes, podemos considerar

θ≈θsen , de modo que: θ−=θ

Imgb

dtd

2

2.

Como 2mkI = , onde k é o raio de giração, teremos: 0kgb

dtd

22

2=θ+

θ .

A equação acima mostra que o movimento angular oscilatório é harmônico simples,

com 22

kgb

=ω . Assim o período de oscilação é: gbk2T

2π= , onde L

bk2

= , isto é o

comprimento do pêndulo.

Um pêndulo simples com esse comprimento tem o mesmo período do pêndulo

físico.

Note-se que o período de um pêndulo físico é independente de sua massa e d forma

geométrica, desde que o raio de giração k e a posição do centro de massa, dada por b,

permaneçam constante.


- Determinar a massa m da barra que constitui o pêndulo

- Dividir a barra em partes iguais

- Suspender a barra por cada parte e determinar o tempo o tempo para dar 10 oscilações

- Calcular o período: ntT =

- Construir o gráfico T = f(L)

- Extrair do gráfico os valores de L1 e L2 e calcular a aceleração da gravidade por:


gLL2T 21 +

π=

- Determinar no gráfico o valor do centro de gravidade

- Através do gráfico determinar o valor de km (raio de giração)

- Calcular o raio de giração por: gb

bk2T22 +

π=

- Calcular o momento de inércia por:

mgbI2T π= , por 22

m MbMkI +=′ e por 12

dxI3

=′′ onde x é o comprimento e d a

espessura da barra.


gT (cm/s2)

gT (cm/s2)

%E1 CGG (cm)

CGM (cm)

%E1 kM kC %E1 I (gcm3)

I’ (gcm3)

I” (gcm3)

%E1

VII

ELASTICIDADE

_________________________________________________________________________ 96

_________________________________________________________________________ 97

Balança romana com peso cursor

Este exemplar de balança romana mede 1,56 m de comprimento total, medindo o braço maior 1,45 m e o menor 3 cm. O braço maior tem marcadas 60 divisões, subdivididas em quatro. As divisões não são numeradas, excetuando as das extremidades: 40 na mais afastada do fulcro e 12 na mais próxima. O peso cursor da balança, em forma de cabaça, pesa aproximadamente 9 kg e o gancho donde está suspenso apresenta a marca do fabricante: RF LXA. C. PIETRA. Segundo as indicações do Index Instrumentorum a balança pode suportar um peso de 920 libras (450 kg).

Peter van Musschenbroek, no seu livro intitulado Physicae Experimentalis et Geometricae, apresenta, no capítulo Introductio ad Cohaerentiam Corporum Firmorum, um estudo experimental onde é utilizada uma balança com características semelhantes às da balança do Gabinete de Física de Coimbra. Musschenbroek utilizava a balança para a determinação da tensão de ruptura de peças com diferente geometria e construídas de materiais distintos. A balança está montada num suporte adequado, suspensa de uma trave horizontal de secção quadrangular e de grande espessura. Esta trave apoia-se sobre duas robustas colunas verticais que se elevam de uma plataforma horizontal cujo comprimento é superior ao da balança. A peça da qual se pretende determinar a tensão de ruptura é colocada entre o gancho da balança e a plataforma. A intensidade da força de tração a que a peça fica sujeita varia consoante a posição do peso cursor da balança. Para evitar um grande impacto entre a balança e a plataforma da estrutura de apoio, quando se dá a ruptura da peça, existe uma corda entre as duas colunas destinada a segurar o braço da balança. No livro acima referido, Musschenbroek apresenta os desenhos de várias peças fraturadas, que teriam sido objeto de estudo, bem como de pormenores respeitantes à fixação destas peças entre o gancho da balança e o estrado.

Referência


_________________________________________________________________________ 98

_________________________________________________________________________ 99

VII - 01 Lei de Hooke

Objetivos • Comprovar a lei de Hooke

• Determinar a constante elástica da mola

Fundamento teórico

Nas figuras a e c, x representa o deslocamento a partir da posição de equilíbrio da

mola, mostrada em b. Em a temos x < 0 (compressão); em c, x > 0 (distensão).

Se representarmos a força por ^

~xFF ⋅=

r, onde x

^

~ é um vetor unitário ao longo de

OX (direção da mola), temos F > 0 (repulsiva) em a e F < 0 (atrativa) em c, ou seja, a força

tende a fazer a mola voltar à posição de equilíbrio. Para x suficientemente pequeno,

verifica-se experimentalmente que: ^

~xxkF ⋅⋅−=

r

ou seja, a força restauradora é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio

(linear). A constante de proporcionalidade k é característica da mola (constante da mola).

Deformação é a quantidade de mudança na forma de um corpo sob a ação de forças

externas. Deformação unitária é a deformação por unidade de comprimento, calculada

como a razão da deformação total ao comprimento original do corpo. A deformação pode

ser devido à tensão, à compressão ou ao corte. Elasticidade é a propriedade de um corpo

que lhe permite sofrer uma deformação e regressar à sua forma original, uma vez que se

eliminaram as forças externas.

A lei de Hooke, que relaciona o esforço e a deformação dentro do limite

proporcional, estabelece que um corpo sobre o qual atuam forças externas se deformará em

>0

_________________________________________________________________________ 100

proporção ao esforço desenvolvido. As figura a e c ilustram a origem do sinal (-) na

equação da lei: xk)x(F ⋅−=

A força F tende a se opor ao deslocamento da partícula, trazendo-a de volta à

situação de equilíbrio, ou seja, F > 0 para x < 0 (compressão da mola), e F < 0 para x > 0

(distensão da mola). Diz-se por isto que F é uma força restauradora. A constante da mola k

mede-se em N/m.


I – Método estático

- Montar o aparelho segundo orientação

- Determine o valor referencial da mola LO

- Colocar cargas sucessivas na mola

- Medir a nova posição da mola , após receber cada carga

- Calcular as deformações: OLLL −=∆

- Calcular a constante para cada deformação: L

Fk∆

=

- Construir o gráfico F = f(∆L) e determinar a constante da mola a partir do coeficiente

angular da reta kC (aplicar o método dos mínimos quadrados)

- Calcular o erro: 100k

kkE%

T

T ×−

= e 100k

kkE%

T

CT ×−

=

II – Método dinâmico

- Determinar a massa da mola (m)

- Colocar um corpo de massa (M) a oscilar verticalmente na mola

- Determine o tempo (t) gasto para o corpo dar 20 oscilações

- Calcular o período do movimento por: ntT = , onde n – número de oscilações

- Determinar a constante da mola pela fórmula: k

3mM

2T+

π=

_________________________________________________________________________ 101

VII - 02 Módulo de Young

Objetivo • Determinar o módulo de Young, utilizando-se um fio de seção circular.

Fundamento teórico

Quando um material se comporta elasticamente e apresenta, também uma relação

linear entre a tensão e a deformação, diz-se que é linearmente elástico. A relação linear

entre a tensão e a deformação, pode ser expressa por: δ⋅= ET

onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do

material (que é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão x deformação

sendo diferente para cada material) e δ a deformação.

O módulo de elasticidade é conhecido também como módulo de Young, por

referência a Thomas Young. A fórmula é conhecida como lei de Hooke.

Quando uma barra é carregada por tração simples a tensão é: APT = e a

deformação (alongamento relativo) é: LL∆

=δ , L

LAPE

LLE

AP

∆=∴

∆= .

A relação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é

inversamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao

módulo de elasticidade e à área de seção transversal.


- Montar o aparelho conforme explicação

- Determinar o comprimento Lo do fio

- Determinar o diâmetro d do fio

- Colocar cargas de 100g em 100g e a cada carga determinar a deformação ∆L

- Calcular o módulo de Young por: Lr

LFE 2O

c∆⋅⋅π

⋅=

_________________________________________________________________________ 102

- Calcular a tensão por: O

TL

LET ∆⋅=

- Construir o gráfico: T = f(∆L)

- Fazer a correção da curva pelo método dos mínimos quadrados

- Obter o módulo de Young EG a partir do coeficiente angular da reta corrigida

- Calcular o erro por: 100E

EEE %

T

CT1 ×

−= e 100

EEE

E %T

GT2 ×

−=

_________________________________________________________________________ 103

VII – 03 Flexão

Objetivo • Determinar o módulo de Young (E) por flexão.

Fundamento teórico

Deformação que uma barra sofre devido ã aplicação de uma força ao seu eixo

longitudinal. A fim de introduzir o conceito de tensões exercidas nas vigas, considere-se

uma que suporte duas cargas P (figura 1). Sua parte central não tem força cortante e está

sujeita a um momento fletor igual a Pa. Esta condição de momento fletor constante

caracteriza a flexão pura.

A ação dos momentos fletores M faz com que o eixo da viga se curve como um

arco circular. Este fato pode ser verificado em laboratório.

Considere-se, a viga simplesmente apoiada, AB (figura 2). Antes da aplicação da

carga P, o eixo longitudinal é reto. Depois da flexão o eixo torna-se curvo, como se vê na

figura: linha ACB.

Supor que XY seja o plano de simetria e que todas as cargas estejam neste plano. A

curva ACB, denominada linha elástica, situa-se nele também. Para deduzir a equação

_________________________________________________________________________ 104

diferencial da linha elástica, utiliza-se a relação entre a curvatura k e o momento fletor M

dada pela equação:

EIM1K −=

ρ= 1

Para estabelecer a relação entre a curvatura K e a equação da linha elástica,

consideram-se dois pontos M1 e M2, distantes ds um do outro (figura 3).

Das figuras 2 e 3 tem-se que: θρ= dds e dsd1 θ

=ρ

então a curvatura K é igual à taxa

de variação do ângulo θ, em relação à distância s medida ao longo da linha elástica

dsd1K θ

=ρ

= 2

Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas deflexões nas vigas, logo as

linhas elásticas são muito achatadas e tanto o ângulo θ quanto a inclinação são quantidades

muito pequenas podendo-se admitir que:

dxds ≈ 3

dxdtg ν

≈θ≈θ 4, onde ν é a deflexão da viga.

Substituindo 3 e 4 em 2 teremos

2

2

dxd

dxd1K ν

=θ

=ρ

= 5

que combinando com 1 resulta em:

EIM

dxd

2

2−=

ν 6

Esta é a equação diferencial básica para a linha elástica de uma viga que deve ser

integrada para cada caso particular para se obter a flexão ν.

Considerando-se uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada P, cuja

posição é definida pelas distâncias a e b das extremidades (figura 4).

_________________________________________________________________________ 105

Para a situação em que a carga P se localiza no meio do vão: 2Lba ==

Após a integração da equação 6 obtém –se a equação:EI48

PL3=ν

Quando a viga tem secção transversal retangular, largura c e altura h o momento de

inércia é: 12chI

3= , daí vem que: 3

3

ch4EPL

=ν∆

Quando a viga tem secção transversal circular, de raio r. tem-se para o momento de

inércia: 4rI

4π= , daí vem que: 4

3

r12EPL

π=ν∆


I – Barra cilíndrica

- Montar o flexômetro segundo orientação

- Medir o raio (r) da barra com o palmer

- Medir o comprimento útil (l) da barra

- Colocar o porta pesos no ponto médio da barra

- Ajustar o paquímetro

- Adicionar pesos (P) no porta pesos

- Medir as respectivas deformações (ν)

- Calcular o módulo de Young (E)

- Construir o gráfico Px∆ν. O que representa o coeficiente angular da reta obtida?


l (cm)

r (cm)

νo (cm)

ν’ (cm)

∆ν (cm)

P (gf)

P (dina)

EC (dina/cm2)

ET (dina/cm2)

%E K (dina/cm)

20 40 50 60 80

100

_________________________________________________________________________ 106

II – Barra retangular

- Medir a largura (c) da haste

- Medir a espessura (h) da haste

- Medir o comprimento útil (l) da haste

- Colocar o porta pesos no ponto médio da barra

- Ajustar o paquímetro

- Adicionar pesos (P) no porta pesos

- Medir as respectivas deformações (ν)

- Calcular o módulo de Young (E)

- Construir o gráfico Px∆ν. O que representa o coeficiente angular da reta obtida?


l (cm)

c (cm

h (cm)

νo (cm)

ν’ (cm)

∆ν (cm)

P (gf)

P (dina)

EC (dina/cm2)

ET (dina/cm2)

%E K (dina/cm)

10 20 40 60 80 100

_________________________________________________________________________ 107

VII – 04 Torção

Objetivos • Verificar a lei de Hooke aplicada à torção de um cabo metálico

• Determinar o seu módulo de rigidez à torção

Fundamento teórico

Uma haste de metal é fixa em uma de suas extremidades e a outra, livre é

submetida a um conjugado de torção, cujo ângulo é medido em um circulo graduado.

A lei de Hooke afirma, neste caso que as deformações são proporcionais aos

momentos aplicados: θ∆⋅= kM onde k é o coeficiente de elasticidade e θ a deformação

angular conseguida. Portanto: θ∆

×=

θ∆=

RFMK , sendo R o raio da polia, o valor do módulo

de rigidez à torção vem dado pela expressão: θ∆π

= 4rFRL2G , onde F é a força aplicada ao

extremo do raio da polia, L o comprimento da haste e r o raio da haste.

OBS.: o ângulo θ deve ser expresso em radianos. Pra tal multiplicar o valor em graus por

0,01745

Esquema da montagem do aparelho

_________________________________________________________________________ 108


- Determinar o comprimento (L) e o raio (r) da haste metálica

- Medir o raio da roldana (R)

- Tomar um valor de referência no disco graduado

- Colocar no porta pesos, cargas sucessivas, determinando seus respectivos ângulos de

torção

- Repetir a operação na ordem inversa, retirando as cargas até a carga inicial. Se não

houver coincidência com as posições anteriores acha uma justificativa para esse fato

- Verificar a lei de Hooke, através do gráfico Mxθ. Determinar o coeficiente de

elasticidade k

- Calcular o módulo de rigidez à torção G


L (cm)

r (cm)

R (cm)

F (gf)

F (dina)

∆θ (°)

∆θ (rad)

M (dina/cm)

K (dina/cm)

G (dina/cm2)

%E

_________________________________________________________________________ 109

VII – 05 Módulo de cisalhamento – balança de torção

Objetivos • Determinar o módulo de cisalhamento com o aparelho de Noack

Fundamento teórico

Considerando a torção de uma barra cilíndrica de raio R e comprimento l. sendo

uma das extremidades presa, enquanto na outra é aplicado um momento, que torce a secção

circular superior de um ângulo θ e outras secções de ângulos proporcionais a suas

distâncias da extremidade presa.

O problema é determinar as relações entre o ângulo de torção θ e o momento

aplicado, o módulo de rigidez e as dimensões da barra.

A deformação de cisalhamento, é relacionada com o ângulo de torção por:

∫θ

=l

r onde rθ é a distância da qual o segmento superior moveu-se relativamente ao

inferior e l o comprimento da barra

Considere uma força atuando sobre a área plana do anel cilíndrico de raio r e

espessura dr. Sendo a área rdr2A π= , o momento associado ao longo do eixo do cilindro é

dado por:

rAdM Γ=

para ∫θ

==Γl

GrG e l

drrG2dM3θπ

= , integrando a equação a fim de obter o momento

total:

∫θπ

=R

0

3

ldrrG2M

l2GrM

4πθ=

como FdM = , tem-se que:

l2GrFd

4πθ= ou 4r

Fdl2Gπθ

=

_________________________________________________________________________ 110


- Medir o diâmetro da roldana (d) com o paquímetro

- Medir o diâmetro do fio em estudo, com o Palmer, calculando o raio (r)

- Determinar o comprimento do fio em estudo (l)

- Colocar um índice em frente a uma indicação no disco graduado

- Colocar pesos sucessivos nas extremidades dos fios de nylon

- Medir as deformações (θ) produzidas no fio

- Construir o gráfico Fxθ. O que representas o coeficiente angular da reta encontrda?


d (cm)

r (cm)

l (cm)

F (gf)

F (dina)

θ (°)

θ (rad)

GC (dina/cm2)

GT (dina/cm2)

%E

_________________________________________________________________________ 111

VII – 06 Módulo de rigidez

Objetivo • Determinar o módulo de rigidez

Fundamento teórico

O módulo e rigidez ou cisalhamento resulta sempre que duas camadas próximas

deslocam-se uma em relação à outra e numa direção paralela às suas superfícies de contato.

De um modo geral as tensões de cisalhamento que agem em um elemento do

material ocorrem aos pares, iguais e opostos e as tensões de cisalhamento existem sempre

em planos perpendiculares entre si.

As tensões de cisalhamento (Γ), causam distorção no quadrado ABCD

transformando-o num paralelogramo. O ângulo no vértice C, que media 2π antes da

deformação, fica reduzido a γ−π2 , sendo γ o pequeno ângulo visto na figura. Ao mesmo

tempo o vértice A ficará com o ângulo aumentado para γ+π2 .

O ângulo γ é a medida da distorção do elemento como conseqüência do

cisalhamento, e é denominado deformação do cisalhamento, sendo igual ao deslizamento

horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela distância entre essas

duas arestas (altura do elemento). Se o material tiver uma zona elástica linear, o diagrama

tensão deformação será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às

deformações de cisalhamento. Assim, a equação da lei de Hooke para o cisalhamento é:

γ=Γ G

onde G é o módulo de cisalhamento

_________________________________________________________________________ 112

Quando uma mola helicoidal é submetida a uma força de tração ou compressão vale

a lei de Hooke, sendo que K a constante elástica da mola está em função do material e das

características geométricas da mola, assim: 3

4

NR4GrK =

onde r é o raio do fio da mola, R é o raio da espira da mola e N o número de espiras.


- Medir o diâmetro da mola (D→R)

- Medir o diâmetro do fio da mola (d→r)

- Contar o número de espiras (N)


- Determinar a leitura inicial (Lo)

- Adicionar pesos variados na mola (F)

- Medir a posição a cada carga (L)

- Calcular as respectivas deformações ( oLLL −=∆ )

- Calcular o módulo de rigidez(G): 4

3

rNR4

LFG ×

∆=


D (cm)

R (cm)

d (cm)

r (cm)

N (esp)

F (gf)

F (dina)

Lo (cm)

L (cm)

∆L (cm)

GC (dina/cm2)

GT (dina/cm2)

%E

Método dinâmico

- Proceder como nos três primeiros itens do método estático

- Colocar um corpo de massa M na extremidade da mola cuja massa m deve ser

determinada

- Provocar um movimento periódico verticalmente

- Marcar o tempo t para n oscilações

_________________________________________________________________________ 113

- Calcular o período da cada oscilação: ntT =

- Calcular o módulo de rigidez da mola: 4

3

2

2

rNR4

3mM

T4G ×

+×

π=


D (cm)

R (cm)

d (cm)

r (cm)

N (esp)

t (s)

n (osc)

M (g)

m (g)

GC (dina/cm2)

GT (dina/cm2)

%E

_________________________________________________________________________ 114

VIII

MECÂNICA DOS FLUIDOS


Aparelho de vasos comunicante

Este aparelho tem por finalidade ilustrar o princípio dos vasos comunicantes. É constituído por três peças de vidro, sendo duas delas tubos cilíndricos com diâmetros interiores diferentes, montados com inclinações diferentes. Estes tubos comunicam entre si através de um tubo de latão assente sobre uma base de madeira. Entre os dois tubos, e comunicando com estes através do mesmo tubo de latão, existe um recipiente com a forma de uma garrafa sem fundo, invertida. Qualquer destas peças de vidro encaixa nas três aberturas do tubo de latão, sendo as junções vedadas com lacre e cera. Na parte superior do vaso central está fixo um anel de latão.

Referência



VIII – 01 Massa específica

Objetivos • Medir a massa específica de corpos sólidos

• Medir a massa específica de corpos líquidos

• Calcular o peso específico destas substâncias

Fundamento teórico

Massa específica ou densidade absoluta de um corpo é a razão da massa desse

corpo para seu volume. É portanto, a massa da unidade de volume. Designa-se pela letra

grega µ. Tomando-se como unidade de volume o centímetro cúbico, podemos dizer que a

densidade absoluta de um corpo é a massa por cm3 deste corpo. Como exemplo

consideremos um cubo de 2 cm de aresta, feito de alumínio o qual tem a massa de 21,6 g e

o volume de 8 cm3 então: 3cm.g7,28

6,21vm −===µ

A massa específica da água destilada e isenta de ar, na temperatura de 4°C é

considerada como valendo 1 g.cm-3. Para definir massa específica num ponto a massa ∆m

de um fluido num volume ∆V circundando o ponto é dividida por ∆V e toma-se o limite

para ∆V tendendo a E3 onde e é ainda grande quando comparada com a distância média

entre as moléculas: Vmlim

3EV ∆∆

=µ→∆


I – Corpos sólidos

Corpos com forma regular - Cilindro

- Medir com paquímetro a altura e o diâmetro do cilindro

- Determinar a massa do cilindro

- Anotar os valores no quadro de trabalho


d (cm)

h (cm)

V (cm3)

m (g)

µ (g.cm-3)

µT (g.cm-3)

ρ (g.cm-2.s-2)

ρT (g.cm-2.s-2)

%E1 %E2

- Calcular o volume: 2

hdV2 ⋅⋅π

=

- Calcular a densidade: Vm

=µ

- Calcular o peso específico: gOBJETO ⋅µ=ρ

- Calcular os erros: 100E% e 100E%T

T2

T

T1 ×

ρρ−ρ

=×µ

µ−µ=

Corpos com forma irregular – método do picnômetro

- Determinar a massa do objeto imerso no ar (mO-AR)

- Medir a massa do picnômetro cheio de água (mCA)

- Colocar o objeto no interior do picnômetro. Água irá transbordar. Secar o picnômetro

externamente pesando o sistema a seguir, de modo a determinar a massa do conjunto (mO-

AGUA)

- Calcular a massa do objeto imerso na água por: CAAGUAOIMERSOO mmm −= −−

- Aplicar o teorema de Arquimedes para calcular a massa específica do objeto

ÁGUAÁGUAAR

AR

OBJETO

AROBJETO

ÁGUA

ÁGUAAROBJETO

ÁGUAAROBJETOÁGUA

ÁGUAAR

mmm

Vm

mmV

gmgmgV.PPE

µ⋅−

==µ

µ−

=

⋅−⋅=⋅µ

−=

- Calcular o peso específico: gOBJETO ⋅µ=ρ


µ (g.cm-3)

µT (g.cm-3)

ρ (g.cm-2.s-2)

ρT (g.cm-2.s-2)

%E1 %E2


T2

T

T1 ×

ρρ−ρ

=×µ

µ−µ=


II – Líquidos

- Medir a massa do picnômetro vazio e seco (mPVS)

- Medir a massa do picnômetro cheio de água (mPCA)

- Medir a massa do picnômetro cheio com o líquido problema (mPCL)

- Calcular o volume do picnômetro: ÁGUA

PVSPCAPICN

mmVµ

−=

- Calcular a massa específica do líquido: PICN

PCLLIQ V

m=µ

- Calcular o peso específico do líquido: gLIQLIQ ⋅µ=ρ


µLIQ (g.cm-3)

µT (g.cm-3)

ρLIQ (g.cm-2.s-2)

ρT (g.cm-2.s-2)

%E1 %E2


LIQT2

T

LIQT1 ×

ρ

ρ−ρ=×

µ

µ−µ=

Dados tabelados Densidade relativa (em relação à água a 4°C)

Alumínio 2,6 a 2,7 Níquel 8,4 a 9,0

Chumbo 11,3 a 11,4 Mercúrio 13,6

Cobre 8,3 a 8,9 Glicerina 1,23

Ferro – aços 7,1 a 7,9 Álcool etílico 0,79

Latão 8,1 a 8,6


VIII – 02 Tensão superficial

Objetivos • Observar o fenômeno da capilaridade

• Determinar a tensão superficial de líquidos

Fundamento teórico

De acordo com o princípio de Arquimedes, uma agulha de aço afunda na água.

Porém, se colocarmos uma agulha cuidadosamente sobre a superfície da água, ela pode

flutuar devido à tensão superficial - o líquido reage como se fosse uma membrana.

Uma maneira de se pensar na tensão superficial é em termos de energia. Quanto

maior for a superfície, maior será a energia que está acumulada nela. Para minimizar a

energia a maioria dos fluidos assume formas com a menor área de superfície. Esta é a

razão pela qual pequenas gotas de água são redondas. Uma esfera tem a superfície de

menor área possível para um dado volume. Bolhas de sabão também tendem a se formar

com áreas de menor superfície (esferas).

Precisa-se de trabalho para aumentar a área de um líquido. A tensão de superfície

pode ser definida como sendo esse trabalho: tensão de superfície = Y = W/A , onde A é a

área da superfície.

Se tivermos um filme fino, e tentarmos esticá-lo, o filme resiste. A tensão de

superfície também pode ser definida como a força F por unidade de comprimento L que

resiste ao estiramento: tensão de superfície = Y = F/L

A água é usualmente utilizada para limpeza, mas a tensão de superfície dificulta a

penetração da água em pequenos orifícios, como os encontrados em roupas. Quando se

adiciona sabão a água, a tensão superficial é diminuída, e as roupas (ou qualquer outra

coisa) são muito mais facilmente limpas.


Trabalho Experimental

I – Determinar o raio do tubo

- Medir com o paquímetro a altura do tubo. H = ______

- Medir a massa do tubo vazio e seco. M1 = ______

- Encher o tubo capilar completamente com água e determinar a massa. M2 = ______

- Calcular o raio do tubo por: O2H

12

O2H

2h

MMr mhr 'VV

µ⋅⋅π−

=∴µ

=⋅⋅π∴=

II - Determinar a ascensão capilar

- Secar o tubo capilar internamente e externamente.

- Mergulhar o tubo verticalmente no líquido problema sem tapar sua abertura

- Observar a ascensão do líquido no tubo capilar até o equilíbrio (figura)

- Retirar o tubo cuidadosamente e medir com o paquímetro a altura. Ha = ______

- Calcular a tensão superficial aplicando a condição de equilíbrio:

TSFP =

LTgm s ⋅=⋅

r2TgV SO2H ⋅π⋅⋅=⋅⋅µ

r2TgHr Sa2

O2H ⋅π⋅⋅=⋅⋅⋅π⋅µ

2gHrT O2Ha

Sµ⋅⋅⋅

=

- Calcular o erro para o valor tabelado por: 100T

TTE%

ST

SCST ×−

=

- Secar o tubo e repetir o procedimento para os outros líquidos.


VIII – 03 Viscosidade – método de Poiseuille

Objetivo • Medir o coeficiente de viscosidade de líquidos pelo método dos tubos capilares.

Fundamento teórico

É o método mais prático para medir grandezas pertinentes a líquidos fisiológicos,

sendo o único absoluto. Pode-se utilizar o viscosímetro de Ostwald ou tubos capilares. O

método consiste em medir o intervalo de tempo necessário para que um volume conhecido

do líquido escoe através de um capilar de comprimento e raio conhecidos, sob a ação da

gravidade. Mediante procedimentos teóricos, Poiseuille determinou que a viscosidade do

líquido é dada por: hgp onde lV8

tpr4⋅⋅µ=

⋅⋅π⋅⋅⋅

=η


- Medir o raio capilar e a altura do capilar: r = _________ h = _________

- Calcular o volume do capilar: hrV 2 ⋅⋅π= , V = _________

- Medir a temperatura do líquido: θ (°C) = _________

- Aspirar, com a ajuda de uma seringa, o líquido enchendo completamente o capilar.

- Deixar escoar o líquido através do capilar, cronometrando o tempo de queda (repetir o

procedimento por cinco vezes):

t1 = _______, t2 = _______ t3 = _______ t4 = _______ t5 = _______

- Calcular o coeficiente de viscosidade por: lV8

thgr L4

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅µ⋅

=η

η → Viscosidade r → raio do capilar

µL → massa específica h → comprimento do tubo

g → aceleração gravidade V → volume da coluna de líquido

t → tempo de escoamento h → altura da coluna líquida

- Calcular o valor médio: 5

NηΣ=η , η = _______


- Calcular o erro %E por: 100E%T

T ×η

η−η=

valores tabelados → µL (g.cm - 3) ηT (poise)

água → 1 0,01

álcool → 0,79 0,012

glicerina → 1,23 10,9

- Repetir o procedimento de 3 a 8 para os outros líquidos.


VIII – 04 Viscosidade – método de Newton

Objetivo • Medir o coeficiente de viscosidade de líquidos pelo método dos tubos capilares.

Fundamento teórico

Consiste em determinar o tempo necessário para que uma esfera de raio e peso

conhecidos caia através de uma coluna de líquido de altura vertical conhecida. As forças

que atuam sobre a esfera são: Pr

, peso da esfera; Er

, empuxo de líquido sobre a esfera; Fr

,

força de atrito viscoso opondo-se ao movimento. A resultante das força s que atuam sobre

a esfera em equilíbrio é: EPF 0PEF Rrrrrrrr

−=∴=+−−= (1)

A resultante é nula porque a esfera cai com velocidade constante (v), a partir de um

determinado instante. A força Fr

devido à resistência oferecida pelo líquido é definida por

Stokes como: vr6F ⋅⋅η⋅π⋅=r

(2) onde: η é viscosidade, r o raio da esfera e v a

velocidade da esfera em relação ao fluido.

O corre que o peso da esfera pode ser obtido por: gVgmP EEE ⋅⋅µ=⋅=r

, onde mE

é a massa da esfera, µE a densidade da esfera e VE o volume da esfera. Como o volume da

esfera pode ser obtido por: 3

r4V3

E⋅π⋅

= temos que seu peso é dado por:

grP 334

E ⋅⋅π⋅⋅µ=r

(3).

O empuxo por definição é dado como: gmE L ⋅=r

, onde mL é a massa de líquido

deslocado. Fazendo o empuxo em função da massa específica do líquido, gVE LL ⋅⋅µ=r

.

Como: 3

r4V3

L⋅π⋅

= , teremos: grE 334

L ⋅⋅π⋅⋅µ=r

(4).

Substituindo (4), (3) e (2) em (1) teremos: ( )v9

gr2 2

LE ⋅⋅⋅

µ−µ=η , como: thv = ,

podemos escrever: ( )h9

tgr2 2

LE ⋅⋅⋅⋅

⋅µ−µ=η



- Verificar se o tubo está na vertical

- Tomar um referencial inicial e outro final (espaço h)

- Largar as esferas na mesma posição

- Determinar o tempo gasto pela esfera para percorrer o espaço h

- Determinar a temperatura (θ) do líquido

- Determinar o raio das esferas

- Traçar o gráfico v x r2 e determinar o valor de K (coeficiente de condutividade):

2rvK

∆∆

=

- Calcular a viscosidade a partir do valor de K: ( )LEK9g2

µ−µ⋅⋅⋅

=η

- Comparar os valores obtidos determinando o erro relativo.


VIII – 05 Equação de Bernoulli

Objetivo • Verificar o teorema de Bernoulli

• Determinar a velocidade de escoamento do ar num tubo de Venturi

Fundamento teórico

Teorema de Bernoulli

A energia potencial de um fluido muda enquanto ele se move. Enquanto o fluido se

move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume V que se

movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial do fluido no resto do tubo

é a mesma que a energia potencial antes do movimento. Logo, temos que a mudança na

energia potencial é )hh(Vg 12 −µ . Portanto a energia cinética do fluido também muda.

Assim, só precisamos achar a mudança na energia cinética em um pequeno volume V,

como se o fluido na posição 1 fosse substituído pelo fluido na posição 2 (veja a figura

acima).

A energia cinética do fluido no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes

do movimento. Logo, temos que: 2

Vv2

Vv2

mv2

mvE21

22

21

22

Cµ

−µ

=−=∆ .

Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição

2, existe um trabalho sobre o fluido à medida que ele se move. A quantidade de trabalho é:

2211 SFSFW −= . Mas, ApF = , de modo que: 1122111222 VpVpSApSApW −=−= .


O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo:

2Vv

2Vv)hh(VgVpVp

21

22

1221µ

−µ

+−µ=− , ou

2VvVghVp

2VvVghVp

22

22

21

11µ

+µ+=µ

+µ+

Dividindo por V, temos que: tetancons2vghp

2vghp

22

22

21

11 =µ

+µ+=µ

+µ+ .

Esta é a Equação de Bernoulli. Ela implica que, se um fluido estiver escoando em

um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido. Quanto

mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma altura

no fluido.

Tubo de Venturi

Dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um fluido. Este

tubo esquematizado na figura, que consiste de uma tubulação de secção A1 com um

estrangulamento no meio chamado garganta, de secção A2 onde A2 << A1.

O tubo é colocado em posição horizontal de modo que a energia potencial do fluido

ideal de densidade µ, que escoa em regime permanente, é constante. Assim a equação de

Bernoulli aplicada aos pontos 1 e 2 pode ser escrita na seguinte forma:

2vp

2vp

22

2

21

1µ

+=µ

+ ou 2

)vv(pp21

22

21−µ

=−

Como o fluxo é constante, podemos expressar as velocidades em 1 e 2 pela equação

da continuidade: 21

2

2

122 v

AAv

= .

Logo a variação de pressão pode ser escrita como:

−

µ=− 1

AA

2vpp 2

2

21

21

21 . Como

A1 >> A2, então o lado direito da igualdade é positivo, o que significa que a diferença de

pressão também é positiva, isto é, p1 > p2. Isso mostra que a pressão na garganta do tubo é

menor que na parte de maior secção.

Se um manômetro for colocado com uma extremidade na parte mais larga e a outra

na garganta, como na figura, o nível H estará relacionado com essa diferença de pressão

pela relação: gHpp 21 ρ=− , onde ρ é a densidade do líquido contido no manômetro.


Assim a equação de Bernoulli para a diferença de pressão toma a forma:

−

µ=ρ 1

AA

2vgH 2

2

21

21 .

Conseqüentemente, a velocidade v1 do fluido, ao passar pela parte de maior secção,

será dada por: )AA(

)pp(2A)AA(

gH2Av 22

21

2122

221

21−µ

−=

−µ

ρ= e a velocidade v2 por:

)AA()pp(2A

)AA(gH2Av 2

221

2112

221

12−µ

−=

−µ

ρ= .

Pelo exposto, pode-se concluir que num escoamento em regime permanente de um

fluido ideal, a pressão num dado ponto diminuirá se a velocidade de escoamento nesse

ponto aumentar.


- Determinar as áreas A1 e A2

- Posicionar o tubo na saída de ar

- Medir a altura da coluna de líquido

- Calcular as velocidades v1 e v2

- Variar a velocidade de entrada de ar e proceder às respectivas medidas

IX

TERMOLOGIA


Pirômetro de Nollet

Este modelo de pirômetro, segundo o Catálogo de Instrumentos de Física com que tem sido aumentado o Gabinete de Física da Universidade de Coimbra desde o ano de 1792 até ao presente de 1824, elaborado pelo Professor J. H. Figueiredo Freire, foi concebido por Jean-Antoine Nollet. O aparelho tem a particularidade de apresentar uma escala circular graduada, orientada num plano vertical, sobre a qual se move o ponteiro, deixando visível todo o mecanismo das rodas dentadas e os eixos de transmissão do movimento, o que torna possível a observação do seu funcionamento durante a dilatação da barra, que é aquecida por quatro pequenas lamparinas. Trata-se, assim, de um magnífico instrumento para fins didáticos. O seu mostrador está dividido em seis sectores, sendo cada um destes subdividido em 50 partes iguais. Para além desta escala fixa, o aparelho dispõe de uma segunda escala circular, móvel. Esta está dividida em catorze partes iguais, marcadas junto da periferia de uma roda dentada que engrena nos dentes do eixo do mostrador principal. Por intermédio deste mecanismo, esta escala móvel roda solidariamente com o ponteiro do instrumento, permitindo contar o número de voltas por este descritas. Para isso, toma-se como referência uma agulha vertical colocada em frente da escala móvel. Este instrumento revela-se de uma extraordinária sensibilidade. Todo o mecanismo de rodas dentadas, alavancas e eixos de transmissão permite detectar, através do ponteiro do aparelho, as dilatações, imperceptíveis por observação direta, a que a barra é sujeita.

As barras utilizadas tinham todas o mesmo comprimento e as experiências realizadas procuravam comparar a dilatação de barras de diferentes materiais num determinado intervalo de tempo.

Para além da sua utilização no estudo experimental da dilatação linear dos corpos, o instrumento revela-se primoroso do ponto de vista mecânico.

Referência



IX – 01 Termômetros - termopar

Objetivos • Estudo da dependência do potencial termoelétrico com a temperatura

Fundamento teórico

Temperatura

Coordenada de estado de um sistema, ou quantidade que descreve o estado de

variação de energia térmica de um sistema. O estado conjunto de dois sistemas, que existe

quando cessam todas as mudanças nas coordenadas de estado, chama-se equilíbrio térmico.

Lei zero da termodinâmica

Dois sistemas em equilíbrio térmico com um terceiro também o estarão entre si

A temperatura de um sistema é a propriedade que determina se ele estará ou não em

equilíbrio térmico com outros sistemas.

Medição de temperatura

A medição de temperatura é muito difícil por ser facilmente influenciada por

fatores externos aos dispositivos de medida ou pela inércia térmica inerente ao sistema em

si.

Os medidores de temperatura podem ser divididos em dois grandes grupos: um é o

sistema físico, que se baseia na dilatação do material, e o outro é o sistema elétrico.

Sistema físico

O calor faz com que os corpos se dilatem e se contraiam. Aproveitando o efeito

dessa dilatação ou contração, que nada mais é do que uma força ou movimento, podemos

medir a temperatura. Seja a dilatação do comprimento de uma barra metálica, seja o


aumento de volume de um líquido dentro de um recipiente, têm-se os vários tipos de

tomadas de impulso de temperatura.

Os termômetros que funcionam baseando-se nesse sistema são classificados como

abaixo:

Sistema a volume

Termômetros de líquidos

Sistema a pressão

Termômetros a pressão de gás

Termômetros a tensão de vapor

Sistema a dilatação linear

Termômetros bimetálicos

Sistema elétrico

Dependendo dos seus princípios de funcionamento, os termômetros desse sistema

podem se classificar em:

Termopares

Termômetros de resistência

Termístores

Termômetros de radiação

Termômetros ópticos

Nesse curso iremos estudar em detalhes o termômetro a pressão de gás e o termopar.

Termômetro a pressão de gás

O princípio de funcionamento dos termômetros desse tipo é a conhecida Lei de

Boyle-Charles, isto é, a pressão de um gás é proporcional à temperatura, se mantivermos

constante o volume do gás. Devido a essa proporcionalidade pode-se obter uma escala

linear de temperatura. Na realidade constata-se pequeno erro nessa relação porque os gases

não são ideais. Esse erro é tão pequeno, porém, que se pode despreza-lo. Comercialmente o

nitrogênio é o gás mais empregado, por ser inerte. Além do nitrogênio empregam-se hélio,

neônio, criptônio, ar, dióxido de carbono, etc.

Sua construção é praticamente igual à de um termômetro de líquido, porém o bulbo

é geralmente grande, a fim de obter força suficiente para acionar o elemento, ou seja a

coluna de mercúrio, ou tubo de Bourbon espiral. A força obtida por expansão do gás com


determinada variação de temperatura é muito pequena em comparação com a força do

líquido para a mesma variação. A resposta deste tipo de termômetro é mais rápida que a de

todos os outros sistemas mecânicos.

Termopar

O termopar é, talvez, o mais usado de todos os tipos de termômetros para tomadas

de impulso de temperatura, especialmente quando se trata de altas temperaturas e quando

se quer resposta rápida.

Ele se baseia no princípio descoberto por Seebeck de que qualquer diferença de

temperatura entre as junções de dois metais diferentes gera uma diferença de potencial, isto

é, uma força eletromotriz, entre essas junções.

Esse efeito termoelétrico foi estudado por Peltier e Thomson. Descobriram que o

potencial é determinado pelos três fatores seguintes

- O potencial é proporcional à diferença de temperatura entre as junções

- O potencial depende da combinação de metais diferentes

- O potencial depende da homogeneidade do material

Como se vê uma grande vantagem do termopar é que o diâmetro e o comprimento

do fio não influenciam no potencial gerado

Utilizando-se deste princípio construi-se o termopar, que é constituído de dois

metais diferentes na sua extremidade. Estando uma das extremidades em contato com a

fonte de calor e a outra no meio ambiente haverá uma diferença de temperatura entre as

junções e, conseqüentemente, uma ddp, isto é voltagem em mV. Essa pequena tensão

formada pela diferença de temperatura é indicada diretamente em um milivoltímetro

convenientemente calibrado em escala de temperatura ou ampliada eletronicamente e

depois utilizada para acionar o mecanismo de registro.

A sensibilidade ou tempo de resposta e também o limite superior de temperatura de

utilização do termopar dependem do diâmetro do fio, da massa de junção e da massa do

tubo de proteção. Uma das desvantagens do termopar é que ele sofre corrosão,

especialmente quando exposto à temperatura próxima da temperatura limite superior

A figura abaixo mostra um exemplo de como é construído um par termoelétrico.


TIPOS DE TERMOPARES COMUMENTE EMPREGADOS PAR

+ - CÓDIGO

ISA fem/°C Observações. Identificação

Ferro Constantan (1) J 2° Uso geral, porém fraco p/ oxidação

Fe mais duro e magnético

Cromel (2)

Alumel (3) K 3° Fraco p/ ambiente redutor

Alumel é ligeiramente magnético

Cobre Constantan T maior Para T<25°C anti-oxidante

Pelas cores

Platina Platina +Rhódio

S menor 630°C < T< 1400°C; fraco p/ ambiente

redutor

(1) liga de cobre (60%) e níquel (40%)

(2) liga de cromo (10%) e níquel (90%)

(3) liga de níquel (94%), manganês (3%) e silicone (1%)

A sensibilidade ou tempo de resposta e também o limite superior da temperatura de

utilização de um termopar dependem do diâmetro do fio, da massa de junção e da massa do

tubo de proteção.



- Calibrar um termopar cobre constantan de 20°C a 95 °C.

- Montar o sistema segundo a figura

- Colocar gelo picado misturado com água em dois copos de bequer. Num outro colocar

água a temperatura ambiente.

- Colocar a junta de referência e a junta de medição nos copos de béquer com gelo e com

auxílio de um termômetro medir as temperaturas nas duas junções medindo também a

voltagem indicada no milivoltímetro

TR = TM = mV = - Manter a junta de referência no copo de béquer com gelo e colocar a junta de medição no

copo de béquer com água. Medir as temperaturas nas duas junções medindo também a

voltagem indicada no milivoltímetro

TR = TM = mV = - Aquecer a água, medindo a temperatura e a voltagem a cada 5°C

TR = TM = mV = TR = TM = mV = TR = TM = mV = TR = TM = mV = TR = TM = mV =

- Construir o gráfico de calibração do termômetro (TM X mV)


IX – 02 Termômetro a gás

Objetivo • Calcular o coeficiente de dilatação dos gases

• Calibrar o termômetro a gás

Fundamento teórico

Termômetro

Aparelho que permite medir a temperatura dos corpos através da variação das

propriedades de certas substâncias ditas termométricas, tendo como base o conceito de

equilíbrio térmico. Estas substâncias são selecionadas em função de uma propriedade que

apresente variação bastante sensível com a mudança de temperatura, e que são possíveis de

ser manipuladas.

Usando como substância termométrica um gás, podemos tomar como propriedade a

pressão a volume constante. O gás enche um bulbo e um tubo capilar ligado a um

manômetro de mercúrio de tubo aberto. O tubo flexível permite suspender ou abaixar o

nível do mercúrio do ramo da direita de tal forma que o nível no ramo da esquerda

permaneça numa marca fixa N, definindo um volume constante ocupado pelo gás. O bulbo

é colocado em contato térmico com o sistema cuja temperatura se quer medir, e a seguir é

medida a pressão P do gás.



- Obter a pressão atmosférica com o auxílio de um barômetro, fazendo sua correção

em função da temperatura:

( )[ ]

°=α°=β

θα−β+=

−−

−−

15

16ATM

C 10 x 18C 10 x 7,18

1PP

onde θ = temperatura ambiente

- Ajustar o tubo flexível, de modo que o mercúrio no ramo da esquerda permaneça numa

marca fixa N. Anotar o valor da altura da coluna de mercúrio no ramo da direita (H)

- Colocar o balão numa mistura de água e gelo (zero grau – ponto de gelo) e fazer a leitura

da altura da coluna de mercúrio no ramo da direita (HG)

- Determinar a temperatura de ebulição da água pela equação empírica

) 760P (0367,0100T ATMEBUL −⋅+=

- Colocar o balão em vapor de água fervente (ponto de vapor) e fazer a leitura da coluna de

mercúrio no ramo da direita (HV)

- Anotar os valores obtidos no quadro de trabalho

H (mm)

hG (mm)

hV (mm)

θ (°)

TAMB (°)

PATM (mmHg)

P100 (mmHg)

P0 (mmHg)

α (°C-1)

αT (°C-1)

1/273 3,662x10-3

- Construir a relação entre as temperaturas e as respectivas alturas

- Calcular a constante k por: AMB

ATMTPk = onde θ+= 273TAMB

- Calcular a pressão a 100 °C: k TP 100100 ×=

- Calcular a pressão a 0 °C: k TP 00 ×=


- Calcular o coeficiente de dilatação dos gases: θ∆×

−=α

0

0100P

PP onde ( )0100 TT −=θ∆

- Construir o gráfico da pressão x temperatura

- Determinar a temperatura ambiente pelo gráfico: TREFERÊNCIA x TMEDIDA


IX – 03 Dilatação de sólidos

Objetivo • Determinar o coeficiente de dilatação linear dos corpos

Fundamento teórico

Dilatação térmica é a alteração de tamanho de um corpo produzida por uma

variação de temperatura. Corresponde a um aumento do espaçamento interatômico médio.

Assim, num corpo sólido, se dois de seus pontos estão inicialmente à distância L0, a

variação ∆L dessa distância é proporcional a Lo. Para uma variação de temperatura ∆T.

Logo: TLL o∆α=∆ , onde a constante de proporcionalidade α chama-se coeficiente de

dilatação linear


Aparelhagem I

- Determinar o comprimento inicial da haste em estudo (Lo)

- Determinar a temperatura ambiente (To)

- Aquecer o sistema até transferir vapor d’`água para o interior do tubo. (ajustar o ponteiro

no zero da escala ao iniciar o aquecimento)

- Determinar a temperatura da ebulição (T)

- Aguardar o ponteiro indicador da dilatação cessar o movimento e medir o ângulo θ

- Calcular a dilatação ∆L do material:

φ⋅=∆ RL onde rd

rd2360o

o

φ→θπ→ que resulta o360

2πθ=φ

o3602RL πθ

=∆ o que dá: o360dL πθ

=∆ ou oLLL −=∆

- Calcular o coeficiente de dilatação linear: TL

L

o∆∆

=α onde oTTT −=∆


- Calcular o comprimento final da barra: LLL o ∆+= ou [ ]T1LL o ∆α+=


material d (cm)

Lo (cm)

L (cm)

∆L (cm)

To (°C)

T (°C)

∆T (°C)

θ (°)

αC (°C)

αT (°C)

%E

Aparelhagem II

- Medir o comprimento inicial do corpo em estudo (Lo)

- Medir a temperatura inicial (To)

- Ajustar a haste ao extensômetro conforme orientação

- Transferir vapor para a haste em estudo

- Medir a temperatura (T)

- Anotar a dilatação da barra: 01,0iL ×=∆ onde i é número de divisões

- Calcular o coeficiente de dilatação linear: TL

L

o∆∆

=α onde oTTT −=∆

- Calcular o comprimento final da barra: LLL o ∆+= ou [ ]T1LL o ∆α+=


material i (traços)

Lo (cm)

∆L (mm)

∆L (cm)

L (cm)

To (°C)

T (°C)

∆T (°C)

αC (°C)

αT (°C)

%E

- Construir o gráfico (LxT)


IX – 04 Dilatação de líquidos

Objetivos • Determinar o coeficiente de dilatação aparente do líquido

• Determinar o coeficiente de dilatação real do líquido

Fundamento teórico

Para um líquido que toma a forma do recipiente que o contém, só interessa o

coeficiente de dilatação volumétrica dado por: TV

V

o∆∆

=γ

Ao se estudar a dilatação dos líquidos, tem-se de levar em conta a dilatação do

recipiente sólido que o contém. O líquido irá dilatar-se juntamente com o recipiente,

ocupando a dilatação sofrida pelo recipiente, além de mostrar dilatação própria, chamada

dilatação aparente. A dilatação real é obtida pela soma da dilatação volumétrica sofrida

pelo recipiente

RECAPREAL VVV ∆+∆=∆

TVTVTV RECoAPoREALo ∆γ+∆γ=∆γ

)(TVTV RECAPoREALo γ+γ∆=γ∆

RECAPREAL γ+γ=γ

Seja a massa mo, do líquido contido no frasco, com um volume Vo a uma

temperatura To. O volume ∆V que transborda devido à expansão está relacionado com sua

massa através da relação: µ

∆=∆

mV onde µ é a densidade absoluta do líquido a 0 °C.


- Medir a massa do picnômetro vazio, seco e com tampa (m1)

- Medir a massa do picnômetro cheio de líquido problema, seco externamente (m2)

- Calcular o volume inicial (Vo) do líquido: µ−

= 12o

mmV


- Colocar o picnômetro com líquido em banho Maria e anotar a temperatura inicial (To)

- Aquecer o sistema até aproximadamente 50 °C. aguarda o equilíbrio térmico e anotar a

temperatura final (T)

- Retirar o picnômetro do banho Maria, e após enxuga-lo externamente, determinar a

massa final (m3) do conjunto picnômetro + líquido.

- Calcular a massa que transborda, devido à dilatação aparente: 32 mmm −=∆

- Calcular a variação do volume do líquido: L

mVµ∆

=∆

- Calcular o coeficiente de dilatação aparente: TV

V

oAP ∆

∆=γ onde oTTT −=∆

- Calcular o coeficiente de dilatação real:

RECAPREAL γ+γ=γ onde 1o6REC C106,9 −−×=γ

- Calcular o erro

100E%T

CT ×γ

γ−γ=


material m1 (g) m2 (g) m3 (g) ∆m (g) To (°C) T (°C) ∆T (°C)

µ (g.cm-3) Vo (cm3) ∆V (cm3) γREAL(°C-1) γAP(°C-1) γREC(°C-1) γTAB(°C-1) %E


IX – 05 Capacidade térmica

Objetivo • Determinar a capacidade calorífica do calorímetro

Fundamento teórico

Equivalente em água de um corpo é a massa de água que, se substituísse o corpo,

sofreria a mesma variação de temperatura que o corpo ao receber ou ceder a mesma

quantidade de calor.

Suponhamos que um amostra A de massa mA de uma substância de calor específico

cA, aquecida a uma temperatura To, é mergulhada dentro de uma massa m de água, de calor

específico c, contida num recipiente de paredes adiabáticas e de capacidade térmica C. a

água e o recipiente estão inicialmente à temperatura T1<To. Após estabelecer-se o

equilíbrio térmico, o sistema atinge a temperatura TF. Como as paredes adiabáticas não

permitem trocas de calor com o exterior, a quantidade de calor QA perdida pela amostra é

inteiramente cedida à água (Q1) e ao recipiente (Q2).

)TT(cmQ FoAAA −=

)TT(mcQ 1F1 −=

)TT(CQ 1F2 −=

)TT(C)TT(mc)TT(cm 1F1FFoAA −+−=−

Como a capacidade térmica do corpo é igual à massa da água, e é chamada de equivalente

em água do corpo, representado por E do exposto tem-se que:

)TT()TT(mc)TT(cmE

1F

1FFAAA−

−−−=

Calorímetro – qualquer dispositivo destinado a medir quantidade de calor


- Introduzir no vaso do calorímetro uma certa massa (m1) de água a temperatura (To)

abaixo da ambiente. Após equilíbrio lê-se a temperatura inicial do calorímetro (T1)


- A seguir, outra quantidade de água de massa m2>m1 é introduzida rapidamente no

calorímetro a uma temperatura (T2) acima da temperatura ambiente.

- Estabelecido o equilíbrio térmico lê-se a nova temperatura de equilíbrio térmico (T3)

- Repetir o procedimento várias vezes, calculando o valor médio da capacidade calorífica

do calorímetro:

)TT(cmQ 322C −=

)TT(E)TT(cmQ 13131R −+−=

RC QQ =

)TT(E)TT(cm)TT(cm 13131322 −+−=−

)TT()TT(cm)TT(cmE

13

131322−

−−−= , com c= 1 cal/g.°C

)TT()TT(m)TT(mE

13

131322−

−−−=


m1 (g) m2 (g) T1 (°C) T2 (°C) T3 (°C) E (cal/°C)

- Determinar o equivalente e água do calorímetro por: cmE C=


IX – 06 Calor específico

Objetivos • Observar o fenômeno de troca de calor

• Determinar o calor específico de um sólido

• Determinar o calor específico de um líquido

Fundamento teórico

A quantidade de calor necessária para elevar de 1 °C a temperatura de 1 g de uma

substância.

Representado por c é medido em cal/g.°C. varia geralmente com a temperatura

assim, no intervalo entre 0 °C e 1 °C o calor específico da água é 1,008 cal/g.°C. Na

prática tal variação de temperatura é desprezada.

Para que o calor específico esteja bem definido, é preciso especificar ainda em que

condição ocorre a variação de temperatura. Se a pressão é mantida constante, obtém-se um

valor diferente daquele que se obtém quando é mantido constante o volume da substância.

O calor específico a pressão constante (cP) e a volume constante (cV), são chamados

principais. Para os sólidos e líquidos é pequena a diferença entre cP e cV. Geralmente o

calor específico é medido a pressão atmosférica, ou seja, trata-se de cP.

Calcula-se o calor específico de um corpo pela razão entre a quantidade de calor

(Q) e o produto massa do corpo (m), variação de temperatura (∆T): Tm

Qc∆

=

Um dos métodos mais simples para se determinar calor específico é o das misturas,

baseado no princípio do equilíbrio térmico: RC QQ =

para )TT(cmQ ECCCC −= e )TT(E)TT(mcQ 0E0ER −+−=



Calor específico de sólidos

- Determinar a massa da cuba calorimétrica (mo)

- Calcular a capacidade térmica da cuba calorimétrica: 217,0mE C=

- Medir na proveta certo volume de água e achar a massa correspondente (m1)

- Colocar a água no calorímetro e após o equilíbrio térmico determinar a temperatura

inicial (To)

- Determinar a temperatura do corpo de prova que está em banho Maria no ebulidor (TC)

- Transferir rapidamente o corpo de prova para o calorímetro com água, aguardar o

equilíbrio térmico e medir a temperatura (TE)

- Determinar a massa do corpo de prova (m2)

- Determinar o calor específico

RC QQ =

para

)TT(cmQ EC22C −= e

)TT(E)TT(cmQ 0E0E11R −+−=

teremos

)TT(E)TT(cm)TT(cm 0E0E11EC22 −+−=− , com c1= 1 cal/g°C

)TT(m)TT(E)TT(mc

EC2

0E0E12 −

−+−=


material m0 (g)

m1 (g)

m2 (g)

E (cal/°C)

T0 (°C)

TC (°C)

TE (°C)

QC (cal)

QR (cal)

cC (cal/g°C)

cT (cal/g°C)

%E


Calor específico de líquidos

- Determinar a massa da cuba calorimétrica (mo) e calcular a capacidade térmica da cuba

calorimétrica: 217,0mE C=

- Colocar uma massa do líquido problema (mL) no calorímetro a uma temperatura inferior

à ambiente determinando seu valor quando do equilíbrio térmico (To)

- Aquecer um corpo de prova de calor específico conhecido (cC), determinando sua

temperatura (TC) no momento de transferi-lo ao calorímetro

- Aguardar o equilíbrio térmico e medir a temperatura (TE)

- Medir a massa do corpo de prova (mC)

- Calcular o calor específico do líquido

RC QQ =

para

)TT(cmQ ECCCC −= e

)TT(E)TT(cmQ 0E0ELLR −+−=

teremos

)TT(E)TT(cm)TT(cm 0E0ELLECCC −+−=− , com c1= 1 cal/g°C

)TT(m)TT(E)TT(cmc

0EL

0EECCCL −

−−−=


Material mL (g)

mC (g)

E (cal/°C)

T0 (°C)

TC (°C)

TE (°C)

QC (cal)

QR (cal)

cC (cal/g°C)

cL (cal/g°C)

cT (cal/g°C)

%E


IX – 07 Condução térmica

Objetivo • Determinar o coeficiente de condutividade térmica

Fundamento teórico

A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três

processos diferentes: convecção, radiação e condução.

A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o

calor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de

convecção. O efeito gravitacional gera naturalmente correntes de convecção, mas elas

podem se produzidas artificialmente, com o auxílio de bombas ou ventiladores. Os ventos,

as correntes marinhas, a circulação de água quente num sistema de aquecimento central são

exemplos de correntes de convecção.

A radiação transfere calor de um ponto a outro através de radiação eletromagnética,

que como a luz visível, propaga-se mesmo através do vácuo. A radiação térmica é emitida

por um corpo aquecido, e ao ser absorvida por outro corpo, pode aquece-lo, convertendo-se

em calor. A radiação solar, é uma forma de radiação térmica emitida por uma fonte (o sol)

a temperatura muito elevada.

A condução só pode ocorrer através de um meio material, sem que haja movimento

do próprio meio; ocorre tanto em fluidos como em sólidos, sob o efeito de diferenças de

temperatura.

Todas as leis básicas da condução de calor podem ser ilustradas neste exemplo familiar

i. O calor flui sempre de um ponto 1 a temperatura mais alta para um ponto 2 a

temperatura mais baixa. A quantidade de calor ∆Q transportada durante um

intervalo de tempo ∆T é;

ii. Proporcional à diferença de temperatura ∆T = T2 –T1

iii. É inversamente proporcional à espessura ∆x da chapa metálica. Combinando b e c

vemos que ∆Q é proporcional a ∆T/∆x, que é chamado gradiente de temperatura;

iv. Proporcional à área A através da qual o calor está fluindo

v. Proporcional ao intervalo de tempo ∆t


Juntando estes resultados, vemos que ∆Q é proporcional a

∆∆

⋅∆⋅xTtA , ou seja, para

a condução de calor através de uma espessura infinitésima dx de um meio durante um

tempo dt: dxdtkA

dtdQ

−= , onde k é uma constante de proporcionalidade característica do

meio condutor, que se chama de condutividade térmica do material (k>0). O sinal (-)

exprime o fato de que o calor flui de temperaturas mais altas para temperaturas mais

baixas; assim se o gradiente de temperatura dT/dx é negativo, a corrente térmica dQ/dt é

positiva. Quanto maior a condutividade térmica k, melhor condutora de calor é a

substância, ou seja, maior a corrente térmica por unidade de área para um dado gradiente

de temperatura. Se medirmos dQ/dt em kcal/s, A em m2 e dT/dx em °C/m as unidades de k

são kcal/s.m.°C, e valores típicos para alguns materiais são:

Cobre 9,2x10-2 (kcal/s.m.°C) Vidro 2,0x10-4 (kcal/s.m.°C)

Água 1,3x10-4 (kcal/s.m.°C) Flanela 2,0x10-5 (kcal/s.m.°C)

Madeira 2,0x10-5 (kcal/s.m.°C) Ar 5,7x10-6 (kcal/s.m.°C)


- Determinar o comprimento da barra (L)

- Determinar a área de secção ( 2rS π= )

- Determinar o equivalente em água (capacidade calorífica) do calorímetro

)TT()TT(m)TT(mE

1E

1E1E22−

−−−=

- Aquecer uma quantidade de água (± 500 ml) e colocar no calorímetro de modo que a

barra fique imersa uns 5 mm. (fonte quente)

- Colocar uma mistura de gelo + água no outro calorímetro (fonte fria)

- Aguardar 2 min e determinar a temperatura inicial T0 correspondente a 0 °C.

- Determinar o tempo para uma variação de 3 °C.

- Agitar continuamente a água contida na fonte quente

- Após tomados os dados determinar a massa de água contida na fonte quente (MA)

- Calcular a capacidade térmica C do sistema por: AMEC +=

- Calcular o coeficiente de condutividade térmica k pela lei de Fourier:


CLkSt

TTTTln

01

0 −=−−


L (cm)

S (cm3)

E (cal/g)

MA (g)

C (cal/g°C)

T (°C)

t (S)

k (cal/cms°C)

kT (cal/cms°C)

%E


IX – 08 Calor latente de fusão

Objetivos • Observar o fenômeno da fusão

• Determinar o calor latente de fusão do gelo

Fundamento teórico

Durante uma transição de fase como a vaporização ou a fusão, a pressão e a

temperatura permanecem constantes até que toda a massa m da substância se tenha

vaporizado ou fundido.

Se T é a temperatura de transição (ponto de ebulição ou de fusão) à pressão

considerada, a transição pode ser efetuada como um processo isotérmico reversível, em

que o calor é transferido por um reservatório térmico à temperatura T, assim:

∫∆

=′=−=∆L

0

RRoF T

QQdT1SSS

O calor latente L é a quantidade de calor por unidade de massa necessário para

efetuar a transição. Logo, paa uma massa m, temos: mLQR =∆ e assim T

mLS =∆ .

Por exemplo, o calor latente de fusão do gelo à pressão de 1 atm (temperatura de

fusão 0 °C) é 79,6 cal.g-1, de modo que a fusão de 1 kg de gelo produz uma variação de

entropia.

1113

GELOÁGUA K.J220,1K.cal292K.cal273

106,79SSS −−− ≈≅×

=−=∆


- Determinar a massa da cuba calorimétrica (MC)

- Calcular a capacidade térmica da cuba: 217,0MC C ⋅=

- Colocar na cuba certo volume de água aquecida (VA = MA)

- Medir a temperatura da água do calorímetro (θA)

- Colocar no calorímetro certa massa de gelo moído (MG)


- Aguardar o equilíbrio térmico e medir a respectiva temperatura (θE)

- Esquema das trocas de calor

∑ = 0Q ou 0QQQQ 4321 =+++ onde

θ−θ=θ−θ=

θ−θ==

)(cMQ)(CQ

)(cMQLMQ

EA4

E3

GEG2

GG1


MC (g)

MA (g)

MG (g)

C (cal/°C)

θA (°C)

θG (°C)

θE (°C)

LG (cal/g)

LT (cal/g)

%E


IX – 09 Calor latente de vaporização

Objetivos • Observar o fenômeno da vaporização

• Determinar o calor latente de vaporização

Fundamento teórico

Para vaporizar 1 g de água, é preciso fornecer-lhe uma quantidade de calor L

chamada de calor latente de vaporização.

Para a agu a P = 1 atm e T = 100 °C, tem-se L = 539 cal/g. Na caldeira de uma

máquina a vapor, em geral, a pressão e a temperatura são bem mais elevadas. Se o sistema

consiste em m g de água, temos portanto por definição: VmLQ =

A variação de energia interna necessária para levar o sistema do estado líquido ao

de vapor pode ser interpretada, do ponto de vista microscópico, como a energia necessária

para romper as forças de atração entre as moléculas de água no líquido.


- Determinar a massa da cuba calorimétrica (MC)

- Calcular a capacidade térmica da cuba: 217,0MC C ⋅=

- Colocar na cuba certo volume de água aquecida (VA = MA)

- Medir a temperatura da água do calorímetro (θA)

- Transferir vapor d’água para o calorímetro, durante aproximadamente 1 minuto

- Medir a temperatura do vapor d’água (θV)

- Aguardar o equilíbrio térmico e medir a respectiva temperatura (θE)

- Medir a massa de vapor transferida para o calorímetro (MV)

)MM(MM CAFV +−= ou AFV MMM −=

- esquema das trocas de calor


∑ = 0Q ou 0QQQQ 4321 =+++ onde

θ−θ=θ−θ=

θ−θ==

)(cMQ)(CQ

)(cMQLMQ

AEA4

AE3

EVV2

VV1


MC (g)

MA (g)

MV (g)

C (cal/°C)

θA (°C)

θV (°C)

θE (°C)

LV (cal/g)

LT (cal/g)

%E


IX – 10 Lei de Boyle Mariotte

Objetivo • Verificar experimentalmente a lei de Boyle Mariotte

Fundamento teórico

Em 1662, o físico inglês Robert Boyle publicou o livro “A mola do ar”, contendo

uma nova lei relativa a elasticidade do ar, ou seja, relacionando sua pressão com seu

volume. A experiência realizada por Boyle para obter a sua lei, ilustrada na figura, foi

usando um tubo manométrico em U aberto numa extremidade a pressão atmosférica Po e

fechado na outra, onde a coluna de mercúrio aprisiona um volume V de ar.

A pressão P exercida sobre o volume V é: ghPP o µ+= , onde h é o desnível entre

os dois ramos do tubo e µ a densidade do mercúrio.

A experiência era realizada a uma temperatura T constante (temperatura ambiente),

com uma quantidade fixa de gás (ar) aprisionado. A pressão P podia ser variada

despejando mais mercúrio no ramo aberto. O resultado foi que, nessas condições, o volume

V era inversamente proporcional a P

PkV = ou kPV =

esta é a lei de Boyle – o volume de uma dada quantidade de gás, a temperatura, varia

inversamente com a pressão.


A constante k, depende da temperatura e da quantidade de gás. No plano (P,V), a

equação acima, representa uma isoterma, é a equação de uma hipérbole

A lei de Boyle foi descoberta independentemente por Mariotte em 1776.


- Determinar a pressão atmosférica e corrigir em função da temperatura por:

[ ]T)(1HPo α−β+= onde α = 18 x 10-5 °C-1 e β = 18,7 x 10-6 °C-1

- Fechar no aparelho um volume inicial de ar à pressão atmosférica

- Marcar a referência na coluna de mercúrio para Po e tomar a altura HN

- Fazer variar o volume para menos de Vo aumentando a pressão

- Calcular a pressão e o volume para cada variação por:

HPP o ∆+= , onde HHH N −=∆ e VVV o ∆−=

- Calcular os produtos PV


Po (cm de Hg)

HN (cm de Hg)

H (cm de Hg)

∆H (cm de Hg)

P (cm de Hg)

VO (cm3)

∆V (cm3)

V (cm3)

PV

- Construir o gráfico P = f(V) e verificar a isoterma


IX – 11 Lei de Charles – primeira lei de Gay-Lussac

Objetivos • Verificar experimentalmente a lei de Charles

• Determinar o coeficiente de dilatação dos gases

Fundamento teórico

Seja Vθ o volume do gás à temperatura θ na escala Celsius e Vo o volume

correspondente a 0 °C, ambos à pressão de 1 atm. Temos então pela definição de β que:

βθ=−

=∆ θ

o

o

o VVV

VV para P = 1 atm

Em 1787, o físico francês Jacques Charles observou que todos os gases têm

aproximadamente o mesmo coeficiente de dilatação volumétrica, 2731

≈β . Isto foi

verificado experimentalmente com maior precisão em 1802 por Joseph Louis Gay-Lussac.

O valor atualmente aceito é 1o C15,273

1 −=β

Substituindo na primeira equação:

)1(VV o βθ+=θ

)15,273(15.273

VV o +θ=θ

com 15,273T +θ= e C015,273T oo ≅=

oooo TT

VV

)T(V)T(V

== para P = Po = constante

que é a lei de Charles: à pressão constante, o volume de um gás é diretamente proporcional

à temperatura absoluta.



- Medir a altura H que vai do índice de Hg até o gargalo do frasco

- Calcular o volume de ar pela fórmula: HrVV 2BALÃOAR π+=

- Medir a temperatura inicial θo

- Aquecer o sistema e a cada 5 °C de variação na temperatura anotar a variação ∆H do

índice de Hg.

- Calcular os acréscimos de volume de ar por: HrV 2AR ∆π=∆

- Calcular o volume total de ar por: ARAR VVV ∆+=

- Calcular a constante k pela lei de Charles: Kelvin

TT

Vk =

- Calcular o volume a 0 °C por: 00 kTV = onde K273T0 =

- Calcular o volume a 100 °C por: 100100 kTV = onde K373T100 =

- Calcular o coeficiente de dilatação do gás por: θ∆

∆=β

oVV onde 0100 TT −=θ∆


Ho (cm)

∆H (cm)

VAR (cm3)

∆VAR (cm3)

VAR (cm3)

θo (°C)

θ (°C)

T (K)

k

- Construir o gráfico V = f(T)


IX – 12 Lei de Gay-Lussac - segunda lei

Objetivo • Determinar o coeficiente de dilatação cúbica

Fundamento teórico

Diz respeito às transformações isocóricas ou isométricas de um gás perfeito, isto é,

aquelas que se processam a volume constante.

Suponha uma dada massa de gás à temperatura T e sob pressão P, contida num

recipiente rígido de volume V.

Aumentando a temperatura da massa gasosa para T’, a pressão também aumentará

passando a P’(devido à maior agitação das moléculas do gás), enquanto que o volume V

permanecerá constante, pois o recipiente é rígido.

Estes fatos são regidos pela segunda lei de Gasy-Lussac, cujo enunciado é: “em

uma transformação isocórica (volume constante), a pressão de uma dada massa de gás é

proporcional à temperatura”

TP γ= ou γ=′′

=TP

TP

a constante depende da massa e da natureza do gás, do volume e das unidades usadas.


- Fazer a leitura da pressão e corrigi-la em função da temperatura:

[ ]T)(1HPA α−β+= onde α = 18 x 10–5 °C-1 β = 18,7 x 10–6 °C-11

- Tomar um referencial Ho

- A cada 5 °C retornar ao valor inicial e marcar os desníveis HN e as temperaturas TN

- Determinar a pressão inicial por: Aoo PHP +=

- Determinar as pressões subseqüentes por: ANN PHP +=

- Determinar o coeficiente de dilatação cúbica por: )TT(P

PP

oNo

oN−

−=γ



Po (cmdeHg)

Ho (cmdeHg)

HN (cmdeHg)

PN (cmdeHg)

T (°C)

T (°C)

T (K)

γ

- Construir o gráfico P = f(T)

FISICA EXPERIMENTAL

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