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ısica Moderna para iniciados, interessados e aficionados Ivan S. Oliveira Ph.D. Oxford Departamento de Mat´ eria Condensada e F´ ısica Estat´ ıstica Centro Brasileiro de Pesquisas F´ ısicas

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Fısica Modernapara iniciados, interessados e aficionados

Ivan S. Oliveira

Ph.D. Oxford

Departamento de Materia Condensada e Fısica Estatıstica

Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas

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Notas do Autor

Escrever um livro sobre fısica moderna como este exige um bocado deespırito de risco em relacao ao proprio trabalho. Alguns colegas poderaoachar este esforco fatalmente inutil, por considerarem quase impossıvelpara o “pedestre comum” compreender as estranhas ideias da rainhadas ciencias no seculo XX. Discordo frontalmente; nao e preciso serum Villa-Lobos para “arrancar” alguns acordes. A minha motivacaoao abracar tal empreitada e muito simples: tenho certeza que meni-nos e meninas ao final do ensino medio, com um certo esforco, saocapazes de entender os conceitos da fısica do seculo XX somente com amatematica que ja aprenderam. Esta certeza nasceu, em parte, do meubreve convıvio com alguns destes estudantes no chamado Programade Vocacao Cientıfica, iniciado na Fiocruz, e adotado no CBPF aofinal de 1997, e em parte devido a um interesse particular por desafiosdeste tipo. Apos algum tempo trabalhando somente com estudantes demestrado e doutorado, foi uma agradavel surpresa descobrir a curiosi-dade cientıfica, ainda sem vıcios, e o desembaraco de estudantes taojovens. Assistı-los apresentando seminarios ou em frente a um painel,explicando sem cerimonia o que aprenderam para uma audiencia de ci-entistas profissionais, foi uma surpresa que me causou grande estımulo.

Contudo, o texto nao e dirigido somente para alunos do ensinomedio, mas tambem para todos os que se consideram iniciados, in-teressados ou aficionados. Dentre estes incluem-se alunos no inıcio degraduacao em engenharias, quımica, e qualquer pessoa que tenha in-teresse em fısica moderna, e que conheca a matematica do segundograu. Acredito que o texto sera particularmente util para professoresdo segundo grau, e alunos dos cursos em licenciatura. Aqui uma cons-tatacao: o livro nao e um livro texto no sentido usual, mas tambem naoe um livro de divulgacao como outros tantos. Tentei atingir um balancoentre as duas abordagens. A razao e que com pouquıssima matematicapode-se ir muito alem do que se conseguiria sem nenhuma.

A matematica e a linguagem natural da fısica. Qualquer pessoa quedeseje conhecer fısica com alguma profundidade, nao podera ignorar amatematica. A razao e tao simples quanto fascinante: os fenomenosda Natureza obedecem a equacoes matematicas! Um buraco negro euma solucao de um conjunto de equacoes matematicas; um eco de spins

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tambem, ondas eletromagneticas idem. Podemos lancar satelites, ex-trair energia dos nucleos dos atomos, conhecer a idade do Universo, ob-servar as imagens de um cerebro humano em funcionamento, ou aindasonhar com computadores quanticos e computadores biologicos, gracasa compreensao matematica que temos dos fenomenos naturais.

Acredito que a abordagem matematica utilizada neste texto o tornaacessıvel a todos aqueles que tenham interesse pela fısica e seus fasci-nates problemas no seculo XX. O leitor precisara ter nocao do que sejauma funcao e conhecer algumas operacoes algebricas elementares, aonıvel do que se aprende no segundo grau de nossas boas escolas. Al-guns capıtulos sao mais tecnicos do que outros, e podem parecer maisdifıceis. Aqueles que nao se impressionarem com sımbolos, e tiverem umpouco de paciencia, nao encontrarao dificuldades em seguir os argumen-tos. Aqueles outros que possuırem apetite especial para matematica,encontrarao material suplementar em alguns dos paineis inseridos aolongo do texto. Aos que “odeiam” matematica, mas possuem inter-esse por certas areas da fısica, recomendo que simplesmente ignorem asformulas e sigam adiante. O aproveitamento dependera neste caso docapıtulo e da experiencia do leitor em achar o “caminho das pedras”!

O seculo XX foi o seculo da fısica. Avancos espetaculares na com-preensao dos fenomenos naturais (se e que podemos realmente afir-mar que “compreendemos” o que significa o tempo dilatar ou umafuncao de onda colapsar!) desaguaram em tecnologias nunca antessonhadas, e em discussoes filosoficas tao infindaveis quanto interes-santes. Nosso conhecimento sobre a Natureza avanca vertiginosamente,e e impossıvel dizer como ele, e a tecnologia que dele decorre, vao es-tar ao final do seculo XXI! Computadores quanticos realizando tele-porte e calculando com velocidade inimaginavel, gerando codigos crip-tograficos indecifraveis; todas as maravilhas prometidas pela chamadananociencia decorrente da manipulacao de materiais em escala atomica,como circuitos eletronicos moleculares; transporte de energia sem dis-sipacao em supercondutores; novos dados observacionais sobre a ex-pansao do Universo, desafiando modelos cosmologicos; novas teoriassobre os constituintes elementares da materia. Estas sao apenas algu-mas das tendencias mais atuais.

Acredito que nossos cursos, tanto introdutorios quanto intermediarios,devessem “concentrar fogo” sobre essa “nova fısica”, e nao estagnar

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sobre conceitos formulados ha 300 anos que, de certa forma, ficaram“soterrados” no inıcio do seculo XX. A maioria dos nossos jovens soconhece Einstein pela explorada fotografia da careta, e o associam aformula E = mc2. E preciso separar os resultados das suas deducoes.Deduzir a expressao matematica E = mc2 como consequencia logica dealguns postulados simples, e consideravelmente tecnico para um estu-dante em fase inicial. Mas isso nao quer dizer que ele nao possa com-preender o que esta formula significa, e quais sao as suas implicacoes! Omesmo se pode dizer sobre a mecanica quantica, sobre a fısica nuclear,sobre o magnetismo, sobre a supercondutividade, etc. Obviamente naoe preciso que um estudante de medicina seja Ph.D. em fısica para iralem dos botoes dos equipamentos, e entender um pouco dos princıpiosda ressonancia magnetica nuclear, fenomeno fısico que o auxiliara comos seus pacientes!

Resumindo, este livro e um laboratorio. Inevitavelmente muitostopicos importantes ficaram de fora, como em qualquer outro livro comum numero manuseavel de paginas. Ao me convencer de que ele naopoderia ser um livro texto como os usuais, me senti livre para experi-mentar um estilo descontraıdo, que em geral funciona nos meus cursosna pos-graduacao do CBPF. Afinal, para um carioca incorrigıvel comoeu, ficar longe do bom humor e do sarcasmo pode ser sintoma de doencagrave. Espero que esta combinacao pouco ortodoxa seja util para oleitor.

Ivan S. Oliveira

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Agradecimentos

Gostaria de agradecer aos seguintes amigos e companheiros de labuta:Dr. Luis A. C. P. da Mota do Instituto de Fısica da Universidade doEstado do Rio de Janeiro (companheiro infalıvel de muita pizza e muitafısica nos gelidos sabados de Oxford); ao meu querido amigo Dr. Edi-som Moreira Jr., do Departamento de Matematica e Computacao doInstituto de Ciencias da Escola Federal de Engenharia de Itajuba; Dr.Jose Abdalla Helayel Neto, do Departamento de Campos e Partıculasdo Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas, ao ex-aluno, agora amigo ecolaborador, Engenheiro Salvador Barreto Belmonte e ao Dr. AlbertoPassos Guimaraes, amigo e mentor de longa data, do Departamentode Materia Condensada e Fısica Estatıstica do Centro Brasileiro dePesquisas Fısicas. Checou todas as vırgulas, colocou todas as tremas ecorrigiu todas as crases! Ao meu bom amigo alemao, Dr. Stefan Jorda,e ao amigo Dr. Vitor Luiz Bastos de Jesus, a quem pude sugerir algu-mas ideias e de quem aprendi outras tantas. Aos colegas do Instituto deFısica Gleb Wataghin da UNICAMP, Drs. Marcelo Knobel e LeandroR. Tessler, pelo encorajamento e incentivo. Quero tambem agradecera minha esposa, Dra. Rosinda Martins Oliveira, entusiasmada neuro-psicologa. Enquanto muitos autores agradecem as respectivas esposaspela “compreensao”, “paciencia”, “estımulo”, etc., tenho a sorte de tertido o mesmo, e ainda contar com algo mais. Crescemos juntos, e esta-mos ambos familiarizados com as belezas desta estrada, mas tambemcom seus “buracos” e “pedagios”. Foi ela quem primeiro leu o livro efez as primeiras crıticas e sugestoes. E gostou!

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ParaJulio e Maurıcio

meu melhor incentivo

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Ganhadores do Premo Nobel de Fısica1

1901. Wilhelm Konrad Rontgen - pela descoberta dos raios-X.1902. Hendrik Antoon Lorentz e Pieter Zeeman - pelas suas pesquisas

sobre radiacao.1903. Antoine Henri Becquerel e Pierre Curie - pela descoberta da

radioatividade espontanea.1904. John William Strutt (Lord Rayleigh) - pela descoberta do argonio.1905. Philipp Eduard Anton von Lenard - pelos seus trabalhos sobre os

raios catodicos.1906. Joseph John Thompson - pelos seus trabalhos sobre a condutividade

eletrica dos gases.1907. Albert Abraham Michelson - pelos seus trabalhos com instrumentos

opticos de precisao.1908. Gabriel Lippmann - pelos seus trabalhos com cores e fenomenos de

interferencia.1909. Guglielmo Marconi e Carl Ferdinand Braun - pelas suas con-

tribuicoes ao desenvolvimento do telegrafo sem fio.1910. Johannes Diderik van der Waals - pelos seus estudos sobre a equacao

de estados de gases e lıquidos.1911. Wilhelm Wien - pelos seus estudos sobre radiacao de calor.1912. Nils Gustaf Dalen - pela invencao de reguladores automaticos utiliza-

dos na iluminacao de farois.1913. Heike Kamerlingh Onnes - pela liquefacao do helio.1914. Max von Laue - pela descoberta da difracao de raios-X por cristais.1915. William Henry Bragg e William Lawrence Bragg - pelos seus

estudos sobre a estrutura de cristais utilizando difracao de raios-X.1917. Charles Glover Barkla - pela descoberta dos raios-X caracterısticos

dos elementos.1918. Max Plank - pela descoberta do quantum de energia.1919. Johannes Stark - pelos seus trabalhos com o Efeito Doppler.1920. Charles-Edounard Guillaume - pelos seus trabalhos em medidas de

precisao.1921. Albert Einstein - pelos seus trabalhos em fısica teorica, em particular

pela explicacao do efeito fotoeletrico.1922. Niels Bohr - pelas suas investigacoes sobre a estrutura do atomo.1923. Robert Andrews Millikan - pelos seus trabalhos sobre a carga ele-

mentar e sobre o efeito fotoeletrico.1924. Karl Manne Georg Siegbhan - pelas suas pesquisas sobre espectro-

scopia de raio-X.

1Parcialmente compilado de: Fundamentals of Physics, D. Halliday e R. Resnick,3a. Ed., John Wiley & Sons (Nova Iorque, 1988)

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1925. James Frank e Gustav Hertz - pelos seus trabalhos sobre o impactode eletrons em atomos.

1926. Jean Baptiste Perrin - pelos seus trabalhos sobre a estrutura damateria.

1927. Arthur Holly Compton e Charles Thompson Rees Wilson - pelometodo de condensacao de vapor para tornar trajetorias de partıculas visıveis.

1928. Owen Willans Richardson - pelos seus trabalhos sobre o efeito ter-moionico.

1929. Louis-Victor de Broglie - pela descoberta da natureza ondulatoriado eletron.

1930. Chandrasekhara Venkata Raman - pelos seus trabalhos sobre es-palhamento de luz.

1932. Werner Heisenberg - pela criacao da Mecanica Quantica.1933. Erwin Schrodinger e Paul Adrien Maurice Dirac - pelos seus

trabalhos sobre a teoria atomica.1935. James Chadwick - pela descoberta do neutron.1936. Victor Franz Hess e Carl David Anderson - pela descoberta do

positron.1937. Clinton Joseph Davisson e George Paget Thompson - pelos seus

trabalhos sobre a difracao de eletrons por cristais.1938. Enrico Fermi - pela descoberta dos elementos transuranicos.1939. Ernest Orlando Lawrence - pela invencao do acelerador cıclotron.1943. Otto Stern - pela descoberta do momento mangetico do proton.1944. Isidor Isaac Rabi - pelos seus estudos em ressonancia magnetica

nuclear.1945. Wolfgang Pauli - pela descoberta do Princıpio de Exclusao.1946. Percy Williams Bridgeman - pelos seus trabalhos em fısica de alta

pressao.1947. Edward Victor Appleton - pelos seus trabalhos sobre fısica at-

mosferica.1948. Patrik Maynard Stuart Blackett - pelas suas descobertas em fısica

nuclear e radiacao cosmica.1949. Hideki Yukawa - pela previsao teorica da existencia do meson.1950. Cecil Frank Powel - pelo desenvolvimento de metodos fotograficos no

estudo de processos nucleares.1951. John Douglas Cockcroft e Ernest Thomas Sinton Walton - pelos

seus trabalhos sobre a transmutacao de nucleos atomicos utilizando aceleradores departıculas.

1952. Felix Bloch e Edward Mills Purcell - pelos suas descobertas emressonancia magnetica nuclear.

1953. Fritz Zernike - pela invencao de novas tecnicas de microscopia.1954. Max Born - pela interpretacao estatıstica da funcao de onda.1955. Willis Eugene Lamb - pelos seus trabalhos sobre a estrutura fina do

atomo de hidrogenio. Polykarp Kush - pela determinacao precisa do momento

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magnetico do eletron.1956. William Shockley, John Bardeen e Walter Houser Brattain -

pelos seus trabalhos em semicondutores e transistores.1957. Chen Ning Yang e Tsung Dao Lee - pelos seus trabalhos sobre as

leis de paridade em partıculas elementares.1958. Pavel Aleksejevic Cerenkov, Il’ja Michajlovic Frank e Igor’Evegen’

evic Tamm - pela descoberta do efeito Cerenkov.1959. Emilio Gino Segre e Owen Chamberlain - pela descoberta do

antiproton.1960. Donald Arthur Glaser - pela invencao da camara de bolhas.1961. Robert Hofstadter - pelos seus trabalhos sobre espalhamento de

eletrons por nucleos. Rudolf Ludwig Mossbauer - pela descoberta do efeitoMossbauer.

1962. Lev Davidovic Landau - pelos seus trabalhos em materia condensada.1963. Eugene P. Wigner - pelas suas contribuicoes a teoria nuclear e de

partıculas. Maria Geoppert Mayer e J. Hans D. Jensen - pela descoberta daestrutura de camadas nuclear.

1964. Charles H. Townes, Nikolai G. Basov e Alexander M. Pro-chorov - pelos seus trabalhos em eletronica quantica.

1965. Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard P. Feynman -pelos seus trabalhos em eletrodinamica quantica.

1966. Alfred Kastler - pela descoberta e desenvolvimento de metodos opticospara o estudo de ressonancias em atomos.

1967. Hans Albrecht Bethe - pelas suas contribuicoes a teoria das reacoesnucleares.

1968. Luis W. Alvarez - pelos seus trabalhos em partıculas elementares.1969. Murray Gell-Mann - pelos seus trabalhos em partıculas elementares.1970. Hannes Alven - pelos seus trabalhos em magnetohidrodinamica. Louis

Neel - pelas suas descobertas sobre antiferromagnetismo e ferrimagnetismo e suasaplicacoes ao estado solido.

1971. Dennis Gabor - pela descoberta dos princıos da holografia.1972. John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer - pelo

desenvolvimento da teoria da supercondutividade.1973. Leo Esaki - pela descoberta do tunelamento em semicondutores. Ivar

Giaever - pela descoberta do tunelamento em supercondutores. Brian D. Joseph-son - pela descoberta da supercorrente atraves de juncoes em supercondutores.

1974. Antony Hewish - pela descoberta dos pulsares. Martin Ryle - peloseu trabalho em radio-astronomia.

1975. Aege Bohr, Ben Mottelson e James Rainwater - pelos seus tra-balhos sobre a estrutura nuclear.

1976. Burton Richter e Samuel Chao Chung Ting - pelas suas descober-tas de uma partıcula fundamental.

1977. Philip Warren Anderson, Nevill Francis Mott e John Has-brouck Van Vleck - pelas suas investigacoes em materiais magneticos e sistemas

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desordenados.1978. Peter L. Kapitza - pelos seus trabalhos em fısica a baixas temper-

aturas. Arno A. Penzias e Robert Woodrow Wilson - pela descoberta daradiacao de fundo do Universo.

1979. Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam e Steven Weinberg - pelateoria unificada da interacao eletrofraca.

1980. James W. Cronin e Val L. Fitch - pela descoberta de violacoes emprincıpios fundamentais de simetria no decaimento de mesons K.

1981. Nicolaas Bloembergen e Arthur Leonard Schawlow - pelas suascontribuicoes a espectroscopia de laser. Kai M. Siegbahn - pelas suas con-tribuicoes a espectroscopia de eletron.

1982. Kenneth Geddes Wilson - pelos seus estudos sobre fenomenos crıticosna materia.

1983. Subrehmanyan Chandrasekhar - pelos seus estudos sobre a evolucaodas estrelas. William A. Fowler - pelos seus estudos sobre a formacao de elemen-tos quımicos no Universo.

1984. Carlo Rubia e Simon van der Meer - pelas suas contribuicoes adescoberta das partıculas W e Z.

1985. Klaus von Klitzing - pela descoberta do efeito Hall quantico.1986. Ernst Ruska - pela descoberta do microscopio eletronico. Gerd Bin-

nig - pela descoberta da varredura de tunelamento. Heinrich Rohrer - pelainvencao do microscopio eletronico por varredura de tunelamento.

1987. Karl Alex Muller e J. George Bednorz - pela descoberta dossupercondutores de alta temperatura crıtica.

1988. Leon M. Lederman, Melvin Schwartz e Jack Steinberger - pelassuas pesquisas sobre a estrutura dos leptons.

1989. Norman F. Ramsey, Hans G. Dehmelt e Wolfgang Paul - pelodesenvolvimento da tecnica de aprisionamento de ıons.

1990. Jerome I. Friedman, Henry W. Kendall e Richard E. Taylor -pelas suas investigacoes sobre o espalhamento inelastico de eletrons em protons eneutrons.

1991. Pierre-Gilles de Gennes - pelos seus estudos em cristais lıquidos epolımeros.

1992. Georges Charpak - pela invencao de detectores de partıculas.1993. Russell A. Hulse e Joseph H. Taylor Jr. - pela descoberta de um

novo tipo de pulsar.1994. Bertramin N. Brockhouse e Clifford G. Shull - pelas suas con-

tribuicoes ao desenvolvimento de tecnicas de difracao de neutrons.1995. Martin L. Perl e Frederick Reines - pelas suas contribuicoes a fısica

dos leptons.1996. David M. Lee, Douglas D. Osheroff e Robert C. Richardson -

pela descoberta da superfluidez no 3He.1997. Steven Chu, William D. Phillips e Claude Cohen-Tannoudji -

pelos seus trabalhos sobre as interacoes entre radiacao e materia.

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1998. Robert C. Laughlin, Horst L. Stoermer e Daniel C. Tsui - peladescoberta de novas propriedades eletronicas a baixas temperaturas e altos camposmagneticos.

1999. Gerardus ’t Hooft e Martinus J.G. Veltman - pelos seus trabalhosteoricos sobre a estrutura e movimento de partıculas subatomicas.

2000. Zhores Alferov, Herbert Kroemer e Jack Kilby - por suas pesquisasem semicondutores que permitiram o desenvolvimento de computadores ultra-rapidos.

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Lista de Paineis por Capıtulo

Capıtulo 1Painel I - “A Vida e a Obra de Dois Genios” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pg. 5Painel II - “Quantidades Escalares e Vetoriais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Painel III - “Derivada de uma Funcao” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Painel IV - “Integral de uma Funcao” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Painel V - “Numeros Imaginarios, Numeros Complexos e

Funcoes Complexas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Capıtulo 2Painel VI - “A Experiencia de Michelson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Painel VII - “Casamento Conturbado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Capıtulo 3Painel VIII - “Funcoes de Distribuicao de Probabilidades” . . . . . . . . . . . . . . . 148Painel IX - “A Equacao de Schrodinger” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Capıtulo 4Painel X - “ Coordenadas Retangulares vs. Esfericas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Capıtulo 5Painel XI - “Alan Turing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Capıtulo 6Painel XII - “RMN e Computacao Quantica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Capıtulo 7Painel XIII - “O Projeto Manhattan” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Painel XIV - “Espelhos Magneticos e Tokamaks” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394

Capıtulo 8Painel XV - “O Efeito Mossbauer” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420Painel XVI - “Relatividade e Imposturas Intelectuais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

Capıtulo 9Painel XVII - “A Camara de Wilson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Painel XVIII - “Vida e Obra de Cesar Lattes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Painel XIX - “Vida e Obra de Jose Leite Lopes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Painel XX - “O Laboratorio Nacional de Luz Sıncrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Painel XXI - “O Modelo Padrao” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

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Contents

1 A Fısica ate 1905: uma Casa de Gigantes 11.1 A Mecanica Classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 As Leis do Movimento;Newton, Espaco e Tempo Absolutos . . . . . . . . 3

1.1.2 Movimento de Objetos sob a Acao deForcas Mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.3 Gravitacao Universal: da Queda da Maca a Quedada Lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.4 O Movimento dos Planetas . . . . . . . . . . . . . 331.1.5 Massa Inercial vs. Massa Gravitacional . . . . . . 391.1.6 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1.7 Fısica Termica: dos Planetas aos Gases . . . . . . 441.1.8 E Possıvel o Tempo andar para Tras? . . . . . . . 471.1.9 O Relogio Cosmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2 O Eletromagnetismo Classico . . . . . . . . . . . . . . . 521.2.1 Fenomenos Eletricos e Magneticos . . . . . . . . . 521.2.2 Fenomenos Ondulatorios: Difracao e Interferencia 621.2.3 Ondas Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 701.2.4 Afinal, o que e a Luz? . . . . . . . . . . . . . . . 751.2.5 Afinal, Porque o Ceu e Azul? . . . . . . . . . . . 791.2.6 Acabou a Fısica?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2 A Teoria da Relatividade 852.1 Einstein: um Genio Desempregado . . . . . . . . . . . . 862.2 Maxwell nao Concorda com Newton . . . . . . . . . . . . 892.3 Os Postulados da Relatividade:

a Implosao do Velho Templo . . . . . . . . . . . . . . . . 104

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2.4 O Tempo pode ser Esticado! . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.5 O Espaco pode ser Encolhido! . . . . . . . . . . . . . . . 1152.6 E = mc2: Energia que da Gosto! . . . . . . . . . . . . . 1172.7 Viagens no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3 A Mecanica Quantica 1293.1 Havia uma Pedra no Caminho . . . . . . . . . . . . . . . 1293.2 Max Plank: Pacotes de Luz?! . . . . . . . . . . . . . . . 1333.3 Louis de Broglie: Ondas de Materia?! . . . . . . . . . . . 1403.4 Erwin Schrodinger e o Misterio ψ(r, t) . . . . . . . . . . 1443.5 A Dubia Vida de um Pobre Gato . . . . . . . . . . . . . 1593.6 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.7 O Princıpio de Exclusao de Pauli . . . . . . . . . . . . . 1703.8 Einstein: “Deus nao Joga Dados” . . . . . . . . . . . . . 1783.9 Correlacoes Estranhas: Afinal, Deus Joga Dados? . . . . 1823.10 Existe um Mundo la Fora? . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873.11 Teletransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4 Como Construir um Atomo 1974.1 A Estrutura do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.2 Orbitais Quanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.3 A Materia do Universo em uma Tabela . . . . . . . . . . 2174.4 Esticando a Tabela Periodica . . . . . . . . . . . . . . . 2204.5 Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.6 ADN: uma Molecula muito Especial . . . . . . . . . . . . 2284.7 Magnetismo do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.8 Forca Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.9 O Indivisıvel pode ser Dividido! . . . . . . . . . . . . . . 242

5 Dos Atomos aos Computadores 2475.1 Objetos Macroscopicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.2 Periodicidade na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.3 Porque a Lata Difere do Diamante? . . . . . . . . . . . . 2555.4 Autoestados em uma Caixa Periodica . . . . . . . . . . . 2565.5 O Mundo e Quantico! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.6 Metais, Isolantes e Semicondutores . . . . . . . . . . . . 2695.7 Juncoes, Diodos e Transistores . . . . . . . . . . . . . . . 272

xiv

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5.8 O que sao Computadores? . . . . . . . . . . . . . . . . . 2835.9 Bits & Bites: o Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2875.10 A Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915.11 O ADN Computa! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2945.12 Computadores podem Pensar? . . . . . . . . . . . . . . . 297

6 Magnetismo 3076.1 Origem do Magnetismo na Materia . . . . . . . . . . . . 3076.2 Tipos de Ordem Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 3196.3 Magnetismo Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3236.4 Ressonancia Magnetica Nuclear . . . . . . . . . . . . . . 3276.5 O Sistema Girante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.6 Ecos de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.7 Imagens do Corpo Humano;

uso Medico da RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3456.8 A Fauna Quantica: Fotons, Fonons,

Magnons, Plasmons, e outros ‘ons’ . . . . . . . . . . . . 3496.9 Trens que Flutuam! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7 Energia Nuclear 3657.1 Instabilidade Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.2 Alfa, Beta e Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.3 Fissao Nuclear: Xo Satanas! . . . . . . . . . . . . . . . . 3747.4 Energia de Fissao: Quantos Nucleos Fervem uma Piscina?3787.5 Reatores-N & Bombas-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3827.6 Lixo Atomico: um Sub-Produto Indesejavel . . . . . . . 3897.7 Fusao Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3917.8 Como Funciona o Sol? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3967.9 Efeitos Biologicos da Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . 3977.10 Medicina Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

8 Relatividade Geral 4098.1 Einstein Ataca de Novo! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4098.2 O Princıpio da Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 4108.3 Geometria e Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4238.4 Nascimento e Morte das Estrelas:

Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

xv

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8.5 Novos Desafios a Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . 4308.6 O Universo teve um Inıcio?

A Grande Explosao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4388.7 O Universo tera um Fim?

O Grande Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

9 O Sonho da Unificacao 4459.1 As Quatro Damas da Criacao . . . . . . . . . . . . . . . 4469.2 Newton:

Unificacao do Ceu com a Terra . . . . . . . . . . . . . . 4499.3 Maxwell:

Unificacao da Eletricidade com o Magnetismoe com a Otica Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

9.4 Partıculas Elementares:A Ducha Cosmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

9.5 Unificacao Eletrofraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4649.6 E Possıvel Recriar o Universo em um Laboratorio? . . . 4689.7 Gravitacao: outra Pedra no Caminho! . . . . . . . . . . . 4769.8 Teorias de Tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

xvi

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Chapter 1

A Fısica ate 1905: uma Casade Gigantes

1.1 A Mecanica Classica

No inıcio tudo era o caos. Primeiro criou Deus o Ceu e a Terra. A Terra

era vazia e sem forma. O Espırito de Deus pairava sobre as aguas. E

Deus disse:

- Haja Luz!

Notando no entanto que nada acontecera, o desapontado Criador

deu um longo suspiro, e balbuciou distraıdo:

- Haja Paciencia!

Um de seus Arcanjos entao, constrangido com o que ocorrera, cochichou-

Lhe algo nos ouvidos. . .

- Ah, sim. Claro! Haja, antes, Espaco e Tempo!

E depois repetiu animado:

- Haja Luz!

E um aberto sorriso iluminou Sua face.

1

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2

O Livro do Genesis descreve de maneira poetica o momento da

Criacao do Universo. Embora alguns cientistas ainda discutam se houve

realmente um “inıcio”, as evidencias mais recentes apontam para o

fato de que o Universo em que vivemos teve seu nascimento em algum

momento, ha cerca de 15 bilhoes de anos atras. A adulteracao das

primeiras palavras da Bıblia feita acima, serve para enfatizar (de forma

bem humorada) o que intuimos a respeito da estrutura mais basica do

Universo: o espaco e o tempo. E difıcil imaginarmos o espaco e o tempo

como objetos fısicos em sı, que foram criados com os outros objetos do

Universo. O sentimento que temos e de que o espaco e o tempo devem

ter pre-existido a criacao das outras coisas.

No entanto, parece nao ser assim. Como veremos ao longo deste

livro, a Natureza muitas vezes nao corresponde as nossas intuicoes

ingenuas. No primeiro quarto do seculo XX o edifıcio cientıfico cons-

truıdo durante mais de 300 anos por gigantes da Ciencia como Galileu

Galilei, Isaac Newton, e James Clerk Maxwell, viu as suas bases ruırem

diante das ideias revolucionarias de homens como Albert Einstein, Max

Planck, Niels Bohr, Louis de Broglie, Wolfgang Pauli, Werner Heisen-

berg, Erwin Schrodinger, entre outros.

Nos dias de hoje estamos habituados a usar computadores, e ouvir

coisas sobre energia nuclear, bombas atomicas, buracos negros, tomo-

grafia computadorizada, lixo atomico, viagens interestelares, etc. Es-

tas coisas aparecem em jornais, revistas, romances, filmes, poemas,

etc. Fazem parte do nosso dia-a-dia, e ocupam o centro da producao

cientıfica e tecnologica dos paıses industrializados, onde o uso deste co-

nhecimento gera riqueza e desenvolvimento. No entanto, muitas vezes

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES3

nao nos damos conta de que este conhecimento e o produto de uma

revolucao cientıfica (talvez a maior da historia da humanidade), que

ocorreu ha menos de 100 anos atras! As bases desta revolucao sao duas

teorias fısicas espetaculares: a Teoria da Relatividade e a Mecanica

Quantica. E sobre estas duas teorias e suas consequencias de que trata

este livro. Antes, contudo, para melhor apreciarmos a devastacao feita

por estes dois furacoes, e necessario que nos coloquemos na situacao

dos fısicos do inıcio do seculo XX, que tiveram que assistir perplexos

ao desabamento do Templo que habitavam.

1.1.1 As Leis do Movimento;Newton, Espaco e Tempo Absolutos

O que hoje chamamos de Fısica Classica e basicamente o conteudo da

obra de dois homens: o ingles Isaac Newton, e o escoces James Clerk

Maxwell. O primeiro unificou as leis da mecanica, que descrevem o

movimento de objetos sob a acao de forcas que sobre ele atuam. O

segundo unificou as leis que regem os fenomenos eletricos e magneticos,

incluindo a propagacao de ondas eletromagneticas no espaco, como on-

das de radio e a luz. Na fısica, esses dois monumentos teoricos sao

conhecidos como Mecanica Classica e Eletrodinamica Classica.

Nesta secao vamos revisar os fundamentos da mecanica, seus pos-

tulados, e suas leis do movimento: as tres leis de Newton. Na segunda

parte deste capıtulo estudaremos os fenomenos eletromagneticos. Al-

guns conceitos matematicos, como a “derivada” e a “integral” de uma

funcao sao introduzidos nos paineis, por razoes de complementaridade.

Ter conhecimento previo destas tecnicas nao e, contudo, necessario para

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4

acompanhar o texto.

A obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princıpios

Matematicos da Filosofia Natural, publicada em 1687, e um marco na

Historia da Ciencia, que perpetua o nome de Isaac Newton como um

dos maiores, senao o maior genio cientıfico que ja existiu. Nesta obra,

Newton estabelece os fundamentos da mecanica. O espaco e o tempo

absolutos sao conceituados como estruturas estaticas, homogeneas, in-

alteraveis, que nada tem a ver com as outras coisas. Para Newton,

as nocoes vulgares de espaco e tempo que temos decorrem da nossa

experiencia de movimento dentro dessa estrutura absoluta.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES5

PAINEL I

A VIDA E OBRA DE DOIS GENIOS

O ingles Isaac Newton nasceu no dia de Natal de 1642, em uma cidade chamada

Woolsthorpe ao centro-norte da Inglaterra. No mesmo ano morria o italiano Galileu

Galilei. Newton bacharelou-se pela Universidade de Cambridge em 1665, ano que

retornaria para Woolsthorpe, fugindo da Grande Peste que assolava a Europa. Os

dois anos que se seguiram foram, segundo o proprio Newton, os mais ferteis de sua

vida. Durante este perıodo desenvolveu o Calculo Diferencial e Integral (que ele

denominava calculo das fluxoes), fez importantes estudos de otica, e comecou a sua

Teoria da Gravitacao Universal. Tornou-se membro da Royal Society (a academia

de ciencias inglesa) em 1672. Sua obra mais importante, o Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica foi publicada em 1687, com duas edicoes posteriores, em

1713 e 1726. Newton morreu em 1727.

James Clerk Maxwell nasceu em Edinburgo, capital da Escocia, no dia 13 de

junho de 1831, e portanto quase 100 anos apos a morte de Newton. Ainda muito

jovem ja revelava aptidoes especiais para a ciencia. Aos 19 anos produziu alguns

trabalhos originais que foram apresentados a Royal Society de Edinburgo. Em 1847

Maxwell ingressou na Universidade de Edinburgo, terminando sua graduacao em

janeiro de 1854. Seus trabalhos mais importantes sobre Teoria Cinetica dos Gases e

Eletrodinamica foram desenvolvidos durante os anos de 1860 e 1865, perıodo em que

esteve no Kings College, em Londres. Em 1871 tornou-se professor de eletricidade

e magnetismo em Cambridge, onde durante os primeiros anos deu retoques em seu

grande trabalho sobre a eletrodinamica. Em 1879 caiu doente e faleceu no dia 5 de

novembro, com a idade de apenas 49 anos.

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A famosa expressao matematica1

F = ma (1.1)

define a relacao entre a forca resultante F que atua sobre um objeto

de massa m, e a aceleracao a que este adquire sob a acao da forca.

Esta equacao dinamica e o coracao da mecanica classica. Ela descreve

o movimento de qualquer objeto: pode tanto ser uma bola que rola

ladeira abaixo, quanto o movimento de um planeta em torno do Sol.

A equacao 1.1 e a expressao matematica da conhecida Segunda Lei de

Newton. Newton postulou mais duas leis de movimento. Sao elas:

Primeira Lei: Todo corpo permanece em estado de re-

pouso ou de movimento retilıneo uniforme, a menos que

atuem sobre ele forcas externas que alterem este estado;

Terceira Lei: A toda acao existe sempre uma reacao

igual em modulo, e em sentido contrario.

Com essas tres Leis, Newton revolucionou o Mundo!

E importante lembrar que a equacao 1.1 e uma equacao vetorial.

As quantidades F e a nao sao numeros puros: sao vetores, e portanto

possuem modulo, direcao e sentido. Vetores, de uma maneira geral, pos-

suem tres componentes, que correspondem as tres dimensoes do espaco.

No caso da forca F, por exemplo, representamos essas componentes por

Fx, Fy e Fz. Em problemas unidimensionais so havera uma componente

1Adotaremos a notacao em negrito ‘F’, ao inves da mais usual ‘�F ’, para repre-sentar vetores.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES7

e podemos omitir o negrito da notacao vetorial, observando, contudo,

o sentido do movimento.

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PAINEL II

QUANTIDADES ESCALARES E VETORIAIS

Em fısica, numeros servem para quantificar propriedades relacionadas a objetos ou

ao movimento de objetos. Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui

uma massa de 5 kg, associamos a propriedade de massa, o numero 5, vezes o padrao

quilograma. Algumas propriedades, no entanto, nao ficam completamente caracte-

rizadas apenas com um numero. Por exemplo, se alguem disser ‘passou por aqui um

carro a 100 km/h’, nos ocorre a pergunta: ‘em que direcao?’ Neste caso, somente

o numero ‘100 km/h’ nao completa a informacao. Quantidades que ficam caracte-

rizadas apenas por um numero sao chamadas escalares, e quantidades associadas a

direcoes no espaco sao chamadas vetoriais.

Vetores possuem modulo, direcao e sentido. Usamos os vetores unitarios (ou

seja, de modulo 1, tambem chamados de versores) i, j e k, tambem chamados de

vetores de base, para representarmos as 3 direcoes do espaco. Com isso podemos

escrever qualquer vetor como uma combinacao dos vetores de base. Por exemplo,

F = Fxi+ Fyj+ Fzk

representa um vetor F cujas componentes sao Fx, Fy e Fz. Embora nao seja es-

tritamente necessario, os vetores de base sao em geral perpendiculares entre si, ou

seja, formam angulos de 90 graus uns com os outros.

O modulo de um vetor F, representado por |F| ou F , e uma medida da inten-sidade da grandeza fısica que ele representa. O modulo e dado por:

|F| =√F 2

x + F 2y + F 2

z

Por exemplo, o modulo do vetor posicao r = 3i−2j+5k e igual a √9 + 4 + 25 ≈ 6, 2unidades de distancia (por exemplo, o metro). O modulo do vetor velocidade v =

4i+ j − 5k e √16 + 1 + 25 ≈ 6, 5 unidades de velocidade (por exemplo, kilometrospor hora).

A soma de dois vetores e outro vetor cujas componentes sao as somas das

componentes dos vetores originais. Se

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES9

F1 = F1xi+ F1yj+ F1zk

e

F2 = F2xi+ F2yj+ F2zk

entao:

F1 + F2 = (F1x + F2x)i+ (F1y + F2y)j+ (F1z + F2z)k

Por exemplo, se F1 = 3i− 2j+5k, e F2 = i+4j−k, entao, F1+F2 = 4i+2j+4k.

Graficamente, o vetor soma e dado pela diagonal do paralelogramo cujos lados sao

formados pelos vetores originais.

A direcao de um vetor e dada pelo vetor unitario obtido dividindo-se cada

componente do vetor pelo seu modulo. Por exemplo, a direcao de F = 3i− 2j+5k,a qual vamos representar por eF , e igual a:

eF =3i− 2j+ 5k

6, 2= 0, 48i− 0, 32j+ 0, 81k

Note que |eF | = 1, como requer um vetor unitario.

Existem tipos diferentes de produtos entre vetores. Por exemplo, o produto

escalar, cujo resultado e uma quantidade escalar, e o produto vetorial, cujo resultado

e outro vetor, perpendicular aos dois vetores originais. Se F1 e F2 sao dois vetores,

e θ o menor angulo entre eles, seu produto escalar sera dado por:

F1 · F2 = |F1||F2|cosθ

E o modulo do produto vetorial sera dado por:

|F1 × F2| = |F1||F2|senθ

Os produtos escalar e vetorial podem tambem ser expressos em termos das

componentes dos vetores, sendo o primeiro dado por:

F1 · F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z

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e o segundo:

F1 × F2 = (F1yF2z − F1zF2y)i+ (F1zF2x − F1xF2z)j+ (F1xF2y − F1yF2x)k

Essas duas relacoes podem ser obtidas a partir do fato de que os unitarios i, j e k

possuem as propriedades:

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = j · k = k · i = 0

i× j = k; j× k = i; k× i = j

i× i = j× j = k× k = 0

e notando que o produto vetorial troca de sinal sob uma permuta dos vetores:

i× j = −j× i, etc.

A partir do que foi dito acima, fica facil calcular o angulo entre dois vetores;

este sera dado pelo angulo entre os vetores unitarios correspondentes, ou seja:

cosθ = eF1 · eF2

Por exemplo, se eF1 = 0, 48i−0, 32j+0, 81k e eF2 = 0, 24i−0, 94j+0, 24k, o anguloentre F1 e F2 e igual a:

cosθ = 0, 11 + 0, 30 + 0, 19 = 0, 61⇒ θ = 52, 4o

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES11

A aceleracao a e definida como a taxa de variacao da velocidade v,

por intervalo de tempo. A velocidade, por sua vez e definida como a

taxa de variacao da posicao r do objeto por intervalo de tempo. Neste

ponto aparece uma certa dificuldade nessas definicoes. Para exempli-

fica-la, considere uma situacao simples em que um motorista e obrigado

a percorrer uma distancia de 80 km em 1 hora. Obviamente isto pode

ser feito de diversas maneiras. A mais simples consiste em manter uma

velocidade constante, exatamente igual a 80 km/h, e apos 1 hora ele

tera percorrido a distancia desejada. Neste caso, nao ha variacao da

velocidade durante o percurso, e consequentemente a aceleracao sera

igual a zero.

Uma segunda opcao seria acelerar o carro uniformemente ao longo

do percurso. Por exemplo, se a carro iniciar o movimento com uma ve-

locidade de 20 km/h, e o motorista for capaz de manter uma aceleracao

constante de 120 km/h2 (isto e, a cada hora a velocidade aumentar de

120 km/h), apos exatamente 1 hora ele tera percorrido os 80 km.

Nesses casos simples (de aceleracao nula ou uniforme), v e a podem

ser definidos por:

v =r − r0

t− t0=

∆r

∆t(1.2)

a =v − v0

t− t0=

∆v

∆t=

∆t

(∆r

∆t

)≡ ∆2r

(∆t)2(1.3)

onde o sımbolo ∆2r foi introduzido para representar ∆(∆r), ou seja, a

variacao da variacao da posicao do objeto2 r0 e t0 sao respectivamente

2No presente contexto, a expressao mais a direita, ∆2r/∆t2, deve ser vista como

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a posicao e o instante iniciais. No nosso exemplo do carro, |∆r| = 80

km, e ∆t = 1 h. Embora estejamos usando unidades do nosso dia-

a-dia para expressar velocidade e distancia, no sistema internacional

(SI) as unidades de r e v sao respectivamente o metro (m) e o metro

por segundo (m/s). A aceleracao se mede em metro por segundo ao

quadrado (m/s2), e a forca em newtons (N=kg · m · s−2).

Estamos de acordo que estas nao sao as duas unicas maneiras de se

percorrer 80 km em 1 h. De um modo geral, a aceleracao e a velocidade

irao variar de uma forma arbitraria com o tempo ao longo do percurso,

e as definicoes 1.2 e 1.3 nao serao validas, pois consideram os valores de

r e v apenas no inıcio e fim do movimento. Newton se deparou com este

problema, e para resolve-lo teve que inventar uma nova matematica!

Imagine que ao inves de medir a variacao de r e v entre o inıcio

(t0) e o fim (t) do movimento, o intervalo de tempo ∆t seja dividido

em 1000 intervalos menores, cada um com 3,6 segundos. Se para cada

um destes sub-intervalos calcularmos as razoes dadas por 1.2 e 1.3,

teremos uma especie de velocidade e aceleracao “instantaneas”. Para

sermos ainda mais precisos, poderıamos dividir ∆t em 10000 ou em

1000000 de sub-intervalos. Quanto menor for o sub-intervalo, mais as

definicoes 1.2 e 1.3 refletirao os valores instantaneos de v e a. Nada

nos impede de imaginarmos intervalos infinitamente pequenos de r e t.

Em matematica esses intervalos infinitesimais sao representados por dr

e dt. Com isso as definicoes 1.2 e 1.3 se tornam:

ummero sımbolo matematico, e nao uma operacao propriamente dita. Somente paraintervalos de tempo muito pequenos de ∆r e ∆t e que este “sımbolo” se transformaem uma operacao.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES13

v =dr

dt(1.4)

a =dv

dt=d2r

dt2(1.5)

O leitor iniciado em matematica avancada reconhecera imediata-

mente as expressoes acima como as derivadas dos vetores r e v em

relacao a t (dizemos que a velocidade e igual a derivada primeira da

posicao em relacao ao tempo, e que a aceleracao e a sua derivada se-

gunda). O leitor nao iniciado em Calculo Diferencial , nao precisa se

preocupar, pois nao faremos uso desta ferramenta neste livro (algumas

nocoes basicas sao descritas no Painel III). O importante e lembrar que

as definicoes 1.2 e 1.3 estao restritas a situacoes particulares.

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14

PAINEL III

DERIVADA DE UMA FUNCAO

Seja r uma funcao de t: r = r(t). Esta poderia ser, por exemplo, a posicao

de um objeto que se move com o tempo. Como calcular a velocidade do objeto,

tambem como funcao de t? Tomemos dois intervalos de tempo, t e t + ∆t. As

posicoes correspondentes a esses instantes serao, respectivamente, r(t) e r(t+∆t).

Por definicao, a velocidade media neste intervalo sera:

v =r(t+∆t)− r(t)

∆t

A derivada de r em relacao a t e definida como o limite da razao acima quando o

intervalo de tempo ∆t for infinitamente pequeno, ou seja, ∆t → 0 (le-se ‘delta t

tende a zero’). Simbolicamente escrevemos:

v =drdt= lim

∆t→0

r(t+∆t)− r(t)∆t

Suponha por exemplo que a funcao r(t) seja proporcional ao quadrado de t:

r(t) = a0t2, onde a0 e constante. Entao:

r(t+∆t) = a0(t+∆t)2 = a0(t2 +∆t2 + 2t∆t) =

= r(t) + 2a0∆t+ a0(∆t)2

Consequentemente:

r(t+∆t)− r(t) = 2a0t∆t+ a0∆t2

Dividindo esta expressao por ∆t teremos:

r(t+∆t)− r(t)∆t

= 2a0t+ a0∆t

Tomando o limite ∆t→ 0, o segundo termo do lado direito se anula e ficamos com:

lim∆t→0

r(t+∆t)− r(t)∆t

= v(t) = 2a0t

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES15

Este processo pode ser repetido para qualquer funcao, escalar ou vetorial. Pode-

mos, por exemplo, calcular a aceleracao a partir do resultado acima:

a =d2rdt2

= lim∆t→0

v(t+∆t)− v(t)∆t

= 2a0

.

A velocidade instantanea em um tempo t e obtida dividindo-se o intervalo infinite-simal δx por δt.

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16

Outras quantidades importantes da mecanica sao o momento linear

(ou quantidade de movimento) p, definido por

p = mv

onde m e a massa do objeto, e o momento angular L, definido como o

produto vetorial entre r e p, tambem chamado de torque do momento

linear:

L = r × p

onde o sımbolo ‘×’ representa o produto vetorial. Enquanto p e uma

medida da quantidade de movimento de translacao, L e uma medida da

quantidade de movimento de rotacao. Por exemplo, um carro pesando

1 tonelada (1000 kg) se deslocando a 100 km/h (aproximadamente 28

m/s) possui uma quantidade de movimento com modulo igual a p =

28000 kg m/s. Se ao inves do carro fosse um passaro, com apenas 0,5

kg, o modulo da quantidade de movimento seria de 14 kg m/s. Se por

outro lado o nosso carro estivesse descrevendo uma curva circular com

raio de 50 m, ele teria um momento angular cujo modulo seria 1, 4×106

kg m2/s.

A variacao de p esta ligada a aplicacao de forcas externas sobre o

sistema, assim como a variacao de L esta ligada a torques externos.

Portanto, essas quantidades se conservarao (ou seja, nao mudarao com

o tempo) se nao houver forcas e torques atuando sobre o sistema.

Outra variavel dinamica importante e a energia cinetica do objeto,

definida por:

T =1

2mv2 =

p2

2m

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES17

onde v e p sao os modulos dos vetores v e p, respectivamente. T e uma

medida da energia associada ao movimento do objeto, e sua unidade

no SI e o joule (J). Se houver um campo de forcas atuando sobre o

objeto, como por exemplo o campo gravitacional (veja adiante), havera

tambem uma energia potencial, que representamos genericamente por

V .

Ao contrario da energia cinetica, que e zero se o objeto estiver

parado, a energia potencial nao se anula para v = 0. Se, por exem-

plo, segurarmos uma pedra a uma altura h do solo, sabemos que se a

soltarmos ela caira. Antes de ser solta, a pedra possuıa uma energia

potencial igual a V = mgh, onde m e a massa e g a aceleracao da

gravidade. Ao tocar o solo, h = 0 e consequentemente V = 0, mas a

velocidade nesse instante sera maxima, e portanto a energia cinetica

tambem sera maxima. O que ocorreu ao soltarmos a pedra foi uma

transformacao da energia potencial em cinetica. Usando o fato de que

a energia total se conserva, a velocidade do objeto ao chegar ao solo

pode ser calculada simplesmente igualando as duas formas de energia:

ENERGIA CINETICA MAXIMA = ENERGIA POTENCIAL

MAXIMA

mv2max

2= mgh⇒ vmax =

√2gh

Por exemplo, se h = 10 m, e g = 10 m/s2, vmax ≈ 14 m/s, ou aproxi-

madamente 4 km/h.

Note deste resultado que a velocidade maxima independe da massa

da pedra, embora a energia dependa! Ou seja, tanto pode ser uma

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pedra de 50 g quanto uma de 10 kg que a velocidade ao tocar o solo

sera a mesma. Falaremos mais sobre isto adiante.

Em qualquer situacao a energia total do objeto, E, e a soma das

energias cinetica e potencial:

E = T + V

Em uma grande classe de problemas importantes, como o caso da queda

de objetos, a energia total se conserva (note que isso nao quer dizer

que T e V se conservam separadamente, mas apenas sua soma). Tais

sistemas sao chamados de conservativos.

1.1.2 Movimento de Objetos sob a Acao deForcas Mecanicas

Para conhecermos a trajetoria e a velocidade de um objeto temos que

resolver a equacao 1.1. Um exemplo bem conhecido de aplicacao pratica

daquela equacao e o calculo da trajetoria de um projetil disparado de

um canhao. Podemos tambem calcular a velocidade com que gotas

d’agua caem do ceu em um dia de chuva, as posicoes de uma massa

oscilando presa a uma mola, a trajetoria do cometa de Halley, etc.

Qualquer que seja o caso, e preciso conhecermos a natureza da forca

F que comparece em 1.1, e sua forma funcional. Forma funcional e

a expressao matematica que descreve a dependencia da forca com as

variaveis do problema, como a posicao, a velocidade, o tempo, etc. Se

o amigo leitor entender este ponto, ja tera ganho o dia! Matematica-

mente, podemos escrever a forca com qualquer forma. Por exemplo,

podemos inventar uma forca do tipo

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES19

F =a√x

onde x e a posicao do objeto. Podemos inventar o que quisermos:

F = bx2/7,−c/x2, dsen(kx), etc. Formalmente qualquer coisa serve!

F pode tambem depender explicitamente da velocidade e do tempo.

Matematicamente e uma festa! Acontece que para descrevermos os

fenomenos da Natureza temos que encontrar a F correta para cada um

deles. Isso e o que faz a diferenca. Movimentos de planetas, quedas

de objetos, movimentos de partıculas carregadas em campos eletro-

magneticos, etc., obedecem a forcas com formas funcionais especıficas.

Sao leis imutaveis estabelecidas pela Natureza. O trabalho do fısico

e precisamente descobrir quais sao estas leis a partir da observacao do

movimento causado por elas. Matematicamente este trabalho se traduz

em escrever corretamente o lado esquerdo da equacao 1.1, e depois re-

solve-la a fim de encontrar os vetores r(t) e v(t) (o que nem sempre e

possıvel, mesmo conhecendo-se a lei correta!). O leitor pode estar se

perguntando que metodos sao utilizados para se descobrir a forma fun-

cional correta da forca em um dado problema. E o analogo a perguntar

que metodos Chico Buarque utiliza para escrever os seus versos, ou

que metodos Pele utilizava para chegar ate o gol! As vezes e possıvel,

atraves de experimentos, deduzir uma forma funcional para F em uma

dada situacao. Outras vezes se consegue bons resultados por tentativa

e erro, ou seja, “chuta-se”. Obviamente quanto melhor informado es-

tivermos acerca do problema, maiores serao nossas chances de darmos

um bom “chute”. Mas, assim como na musica e no futebol, na fısica

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havera sempre os “Peles”, os “Chico Buarques”, e os outros.

O caso mais trivial de movimento ocorre quando a forca que atua

sobre o objeto e nula, ou seja, F = 0. A equacao 1.1 neste caso se

torna:

ma = 0

Mas na medida em que m �= 0, a unica solucao possıvel para a esta

equacao e:

a = 0

Por simplicidade vamos considerar o movimento em 1 dimensao e

omitir o negrito da notacao vetorial da aceleracao. Nesse caso escreve-

mos:

a = 0

Consequentemente, utilizando a definicao simplificada da aceleracao

obtemos:

∆v

∆t=v − v0

t− t0= 0

Para que a fracao se anule, e suficiente que o seu numerador se anule.

Logo:

v − v0 = 0 ⇒ v = v0

ou seja, a velocidade do objeto neste caso permanece igual a sua ve-

locidade inicial. Isso quer dizer que se o objeto estiver inicialmente

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES21

parado, assim permanecera indefinidamente. Se por outro lado o ob-

jeto estiver se movendo, continuara nesse estado de movimento ad eter-

num. Observe que obtivemos matematicamente aquilo que e enunciado

da primeira lei de Newton! Na literatura secundarista este problema

aparece com o nome - na minha opiniao excessivamente burocratico -

de movimento retilıneo e uniforme, ou MRU.

Podemos levar o calculo adiante e obter a posicao do objeto no

tempo. Basta escrevermos:

v =x− x0

t− t0= v0 ⇒ x = x0 − v0t0 + v0t

Como sabemos, x0 e v0 sao condicoes iniciais arbitrarias. Seus va-

lores sao obtidos em t0, o instante do inıcio do movimento. Em geral

escolhemos t0 = 0, e a equacao acima se torna:

x = x0 + v0t

A proposito, temos aqui uma daquelas situacoes embaracosas que o

leitor atento ja deve ter percebido. O que ocorre com a definicao de v

acima se fizermos t = t0? Em princıpio deverıamos obter a velocidade

em t = t0, que por sua vez e igual a v0, ja que nao ha forcas atuando

no sistema. Mas vemos que para t = t0 o denominador da expressao

para v se anula. Uma fracao com denominador muito pequeno e um

numero muito grande. Por exemplo, 1/0, 01 = 100; 1/0, 001 = 1000; e

1/0, 0000001 = 1000000. Extrapolando, dizemos que se o denominador

da fracao tender para zero, a fracao tendera para infinito (ocasional-

mente o leitor estara lembrado que 1/0 = ∞). Mas, por definicao, em

t = t0, o objeto se encontra exatamente em x = x0, o que tambem

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anula o numerador. Teremos entao o estranho resultado 0/0. Mate-

maticamente o resultado da divisao de zero por zero e indeterminado.

Indeterminado?! Como, se sabemos de inıcio que a velocidade e cons-

tante e igual a v0? Deixo para o leitor o desafio deste paradoxo!

Voltando ao problema, vemos que a posicao do objeto em um ins-

tante t qualquer pode ser obtida calculando-se a area sob a curva em

um grafico de v versus t. O problema foi resolvido. Passado e futuro

estao plenamente determinados! Por exemplo, se x0 = 0, e v0 = 50

km/h, em 5 minutos o objeto estara a uma distancia de 4,2 km da

origem. Ha 100 anos atras (ou seja, t = −100 anos), o objeto estava a

−43800000 km da origem, e assim por diante.

Um segundo exemplo, ligeiramente mais complicado, e o caso de

uma forca constante, igual a F0, atuando sobre o objeto. Teremos

neste caso:

ma = F0 ⇒ a =F0

m

ou seja, a aceleracao tambem e constante e igual a F0/m. Vamos ba-

tizar de a0 essa quantidade. Usando a definicao simplificada de a, e

considerando novamente t0 = 0, obtemos a velocidade (que e numeri-

camente igual a area sob a curva de a versus t):

v = v0 + a0t

A posicao sera novamente dada pela area sob a curva de v versus t, e

pode ser facilmente obtida:

x = x0 + v0t +1

2a0t

2

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES23

O exemplo do motorista que deve percorrer 80 km em 1 h, com v0 = 20

km/h, e a0 = 120 km/h2 , pode agora ser trivialmente verificado da

expressao acima:

x− x0 = 20 +120

2= 80

E o que ocorre no caso geral em que a forca e uma funcao arbitraria

de t? Ainda aqui podemos interpretar v(t) e x(t) geometricamente

como as areas sob as curvas de a versus t e v versus t, respectivamente.

A diferenca esta no fato de que neste caso o calculo da area se torna

mais complicado.

A tecnica matematica para se calcular areas sob curvas com formas

arbitrarias e chamada de integracao, e foi inventada (“pra variar”) por

Newton3

3Esta tecnica faz parte do que chamamos atualmente em matematica de CalculoDiferencial e Integral, ou simplesmente Calculo. O Calculo foi inventado simultane-amente por Newton e pelo matematico alemao Gottfried Wilhelm Leibniz.

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PAINEL IV

INTEGRAL DE UMA FUNCAO

Seja uma funcao arbitraria f(x). E interessante sabermos calcular a area sob

a curva descrita por f . Somente em situacoes muito simples, como no caso de

uma funcao constante, ou linear, e que podemos fazer isso usando as formulas da

Geometria Plana. Em um caso geral, para sabermos a area temos que integrar a

funcao.

A integracao de uma funcao pode ser visualizada como um processo de soma

de areas infinitesimais. O intervalo no qual a area sera calculada e dividido em

N subintervalos, cada um com uma largura infinitesimal ∆x. Cada um desses

subintervalos pode ser considerado como um retangulo de base ∆x e altura f(x), e

portanto possuira uma area igual a

∆S = f(x)∆x

Se somarmos todas as areas dos N intervalos, teremos a area total desejada:

S =∑N

f(x)∆x

A integral de f(x) e definida como o resultado dessa soma quando tomamos o limite

∆x → 0, que representamos por dx. Simbolicamente representamos a integral por∫(uma especie de ‘S’ esticado):

lim∆x→0

∑N

f(x)∆x ≡∫f(x)dx

Matematicamente pode ser demonstrado que a operacao de integracao de uma

funcao e o inverso da operacao de derivacao. Ou seja, se g(x) e a funcao que resulta

da derivacao de f(x),

g(x) =df(x)dx

entao, a funcao f e a integral de g:

f(x) =∫g(x)dx

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES25

Considere, por exemplo, a funcao v(t) = a0t, a velocidade de um objeto que

se move ao longo do eixo x com aceleracao constante, igual a a0. A integral desta

funcao sera: ∫v(t)dt =

∫a0tdt

Mas como a0 nao depende de t, podemos escrever:∫v(t)dt = a0

∫tdt

A funcao a ser integrada e portanto f(t) = t. Como esta funcao e igual a derivada

da funcao g(t) = t2/2, teremos: ∫v(t)dt =

12a0t

2

Reconhecemos este resultado como a posicao de um objeto que se move em MRUA,

com velocidade e posicao iniciais iguais a zero:

x(t) =∫v(t)dt =

12a0t

2

A integral de uma funcao entre os pontos a e b e numericamente igual a soma dasareas dos trapezios, como mostrado na figura.

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Um exemplo de forca extremamente importante em fısica e aquela

em que F e proporcional ao deslocamento do objeto, mas atua em

sentido contrario ao movimento, ou seja:

F = −kx

O tipo de movimento que decorre dessa forca aparece em varios fenomenos

da Natureza, e daı a sua importancia. A solucao formal da equacao 1.1

nesse caso e consideravelmente complexa para ser apresentada aqui,

mas podemos conhecer o resultado mesmo sem realizarmos formalmente

os calculos.

Na expressao acima, k e uma constante positiva chamada de “cons-

tante de forca”, ou “constante elastica”. Sua unidade e o newton por

metro (N/m), e e uma caracterıstica intrınseca do sistema. Por exem-

plo, esse tipo de forca ocorre em uma mola que e deformada se nela

pendurarmos um objeto de massa m (por exemplo, num dinamometro).

k e uma caracterıstica intrınseca da mola, assim como m e uma car-

acterıstica intrınseca do objeto preso a ela. Quanto mais esticamos a

mola, mais difıcil se torna estica-la, porque a forca F aumenta com a de-

formacao x, e portanto tende a restaurar o estado nao deformado. Todo

mundo ja viu as oscilacoes de um objeto preso a uma mola. Se sim-

plesmente pendurarmos o objeto, a mola se deformara e ficara parada.

Mas se alem desse ponto esticarmos a mola e a soltarmos, o objeto

passa a oscilar em torno da posicao de equilıbrio. Esse movimento de

“vai-vem” e descrito pelas funcoes periodicas seno e cosseno:

x(t) = xmaxcos(ω0t)

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES27

ou

x(t) = xmaxsen(ω0t)

onde xmax e a deformacao maxima alcancada pela mola. A quantidade

ω0, chamada de frequencia angular, e uma medida da “rapidez” das

oscilacoes. Ela e dada por:

ω0 =

√k

m

ω0 e medida em radianos por segundo (rad/s). O produto ωt possui

portanto dimensao de angulo, e se mede em radianos. Um ciclo com-

pleto do movimento corresponde a ω0t = 2π rd.

A frequencia do movimento, f0, se relaciona com ω0 atraves de:

f0 =ω0

Portanto a unidade de f0 e o s−1, ou Hertz. Dizer que a frequencia

do movimento e de 10 Hz significa dizer que a cada segundo o sistema

realiza 10 oscilacoes completas.

O inverso da frequencia e o perıodo, τ , que corresponde a um ciclo

completo do movimento:

τ =1

f0

=2π

ω0

A unidade do perıodo e o segundo (s). Se a frequencia e de 10 Hz, o

perıodo e de 0,1 s, sendo este o tempo gasto pelo sistema para completar

1 volta. Suponha por exemplo que k = 2 N/m, e m = 0, 5 kg. Entao,

ω0 =

√2

0, 5= 2

rd

s

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e consequentemente,

f0 =1

2πrd× 2

rd

s= 0, 32 Hz

e o perıodo,

τ = 3, 1 s

Ou seja, a cada segundo o sistema realiza somente 32% de seu ciclo

completo.

E importante enfatizarmos o fato de que ω0, e portanto f0 e τ sao

quantidades intrınsecas ao sistema. Estas quantidades caracterizam o

movimento do objeto, pois nos dizem o perıodo e a frequencia com que

ele oscila. O interessante e que o sistema pode estar parado, e mesmo

assim podemos caracterizar o seu movimento. Isso e possıvel precisa-

mente porque ω0 depende somente de k, uma propriedade intrınseca

da mola, e m, uma propriedade intrınseca do objeto. Chamamos ω0 de

frequencia natural do sistema, ou modo normal de oscilacao.

Todo sistema mecanico possui modos normais de oscilacao (ou seja,

possui frequencias naturais que intrinsecamente determinam como ele

vibrara caso seja posto em movimento). Conhecer os modos normais de

um sistema e de grande importancia, pela seguinte razao: se uma forca

externa variar com o tempo e atuar sobre um sistema mecanico na sua

frequencia natural [por exemplo, uma forca do tipo F (t) = F0sen(ω0t)

atuando sobre um sistema massa-mola com frequencia natural ω0], a

amplitude do movimento crescera tanto que podera haver uma ruptura

no sistema. Esse fenomeno e chamado de ressonancia. Dizemos que

a forca externa esta em ressonancia com o sistema. O caso da ponte

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES29

Tacoma Narrows nos Estados Unidos e um exemplo dramatico de res-

sonancia em sistemas mecanicos. Ela desabou em 1 de julho de 1940,

pouco tempo apos a sua inauguracao devido a acao ressonante do vento

sobre ela4. Da proxima vez que o leitor estiver atravessando uma ponte

em uma regiao onde venta muito (como na ponte Rio-Niteroi no Rio

de Janeiro), procure NAO pensar sobre o fenomeno da ressonancia!

1.1.3 Gravitacao Universal: da Queda da Maca a

Queda da Lua

No inıcio de 1665 eu encontrei o metodo de aproximacao

de series. Em maio do mesmo ano eu encontrei o metodo

das tangentes, e em novembro eu tinha o metodo de fluxoes,

e em janeiro do ano seguinte a teoria das cores, e em maio

iniciei o metodo inverso das fluxoes. No mesmo ano come-

cei a estender a gravitacao a orbita da Lua, e da regra de

Kepler para o perıodo dos planetas, deduzi que a forca que

mantem os planetas em suas orbitas deve ser proporcional

ao inverso do quadrado da distancia. Tudo isso aconte-

ceu durante 1665-1666, os anos da Peste. Eu estava no

primor da minha inventividade para matematica e filosofia,

mais do que estaria em qualquer outra epoca da minha vida.

(The Life of Isaac Newton, Richard Westafall, Cam-

bridge 1993)

O maior feito de Isaac Newton, e talvez a maior conquista intelectual

ja alcancada por um so homem, foi o de ter sido capaz de explicar o4Existe, contudo, alguma controversia sobre a razao do desabamento da ponte.

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movimento de corpos celestes (satelites, planetas, cometas, etc.) com

base na equacao 1.1, e portanto coloca-los na mesma “categoria” dos

fenomenos que ocorrem na superfıcie da Terra, como a simples queda

de uma maca.

Newton postulou que objetos massivos se atraem, sendo a forca de

atracao proporcional ao produto das massas dos objetos envolvidos e

inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre eles. Ou

seja, se m1 e m2 forem as massas de dois objetos separados por uma

distancia r, a forca de atracao de m1 sobre m2 sera:

F = −Gm1m2

r2er (1.6)

onde er e o vetor unitario da direcao que liga os dois objetos, com

sentido5 de m1 para m2. G e a chamada Constante de Gravitacao

Universal, e vale G = 6, 67 × 10−11 m3/s2kg.

Nos deparamos aqui novamente com um grau de generalizacao fan-

tastico, tıpico das grandes teorias fısicas: a expressao da forca em 1.6

vale para quaisquer pares de objetos no Universo6! Reflita um pouco

sobre isso: podemos tanto descrever uma pedra que cai na superfıcie

da Terra, quanto o movimento de um planeta desconhecido em torno

de um sol em uma galaxia jamais vista, usando a mesma equacao 1.6!

Que outra Ciencia possui esse poder de sıntese?! O leitor eventualmente

estara interessado em uma aplicacao curiosa da equacao 1.6, qual seja,

5E obvio que m2 atraira m1 com uma forca de igual modulo. Contudo o seusentido sera dado por um unitario oposto a er.

6De fato, a Gravitacao Universal de Newton foi generalizada na RelatividadeGeral de Einstein, a ser vista no capıtulo oito. No entanto, dentro do mundoclassico, a expressao 1.6 descreve perfeitamente o movimento de objetos celestes.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES31

avaliar a forca de atracao gravitacional entre duas pessoas separadas

por uma distancia de, digamos, 0,5 mm. E frustantemente pequena!

Certamente a gravitacao nao e a forca responsavel pela “atracao” entre

pessoas!

Newton postulou que massas se atraem com forcas radiais, que diminuem com oquadrado da distancia entre os objetos.

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32

A forca dada em 1.6 somente sera apreciavel se pelo menos um dos

objetos tiver dimensoes astronomicas. Por exemplo, seja m1 = 80 kg,

a massa de uma pessoa e m2 a massa da Terra: m2 = M = 5, 98× 1024

kg. Tomemos por r o raio medio da Terra: r = R = 6, 37 × 106 m.

Sustituindo esses valores em 1.6 obtemos para o modulo da forca:

F ≈ 6, 67 × 10−11 × 80 × 5, 98 × 1024

(6, 37 × 106)2≈ 786 N

Como a Terra nao e uma esfera perfeita (certa vez uma das “cobras”

de Luiz Fernando Verıssimo definiu brilhantemente a Terra como um

planeta chato nos polos e nos domingos sem futebol!), esse valor varia

ligeiramente com a posicao da pessoa no planeta. Somente para efeitos

de comparacao, vamos calcular a forca com que o Sol atrai a Terra. A

massa do Sol e igual a 1, 99 × 1030 kg, e a distancia media entre o Sol

e a Terra e de 1, 50 × 1011 m. Substituindo em 1.6 obtemos:

F ≈ 6, 67 × 10−11 × 1, 99 × 1030 × 5, 98 × 1024

(1, 50 × 1011)2≈ 35, 3 × 1021 N

ou seja, a forca do Sol sobre a Terra e cerca de 40 mil quatrilhoes (= 40

quintilhoes) de vezes maior do que aquela da Terra sobre uma pessoa.

Consideremos com mais detalhes o que acontece na superfıcie da

Terra. Tomando R como seu raio medio, podemos escrever 1.6 na

forma:

F =(GM

R2

)m

onde M e a massa da Terra, e m a de qualquer objeto em sua su-

perfıcie. Como forca e igual a massa vezes aceleracao, a quantidade

entre parenteses na expressao acima possui dimensao de aceleracao, e

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES33

e constante, ja que G, M e R sao constantes. Essa quantidade nada

mais e do que a aceleracao da gravidade na superfıcie terrestre, que

denotamos por g. Nesse caso a forca gravitacional e o que chamamos

de peso, P :

P = mg

onde

g = GM

R2

Substituindo valores numericos paraG, M eR encontra-se g = 9, 8m/s2.

Note que no nosso dia-a-dia misturamos os conceitos de massa e

peso como se fossem sinonimos. Massa esta relacionada a quantidade

de materia, e portanto e uma propriedade intrınseca do objeto. O peso,

por outro lado, e uma propriedade extrınseca, pois depende do campo

gravitacional que atua sobre o objeto. Uma pessoa com uma massa de

80 kg pesa na Terra 786 N, mas na Lua, onde a aceleracao da gravidade

e de apenas 1,6 m/s2, seu peso seria igual a 128 N. Em Netuno, onde

g = 11 m/s2 a mesma pessoa pesaria 882 N. Contudo, isto nao significa

que uma pessoa ficara mais magra ao viajar de Netuno para a Lua!

1.1.4 O Movimento dos Planetas

Contam que certa vez o eminente fısico Edmund Halley (aquele do

cometa), intrigado com o problema das orbitas dos planetas, cuja solucao

vinha perseguindo ha anos, foi a Cambridge visitar Isaac Newton.

Chegando la, humildemente expos a sua duvida: supondo que o Sol

atrai um planeta com uma forca proporcional ao inverso do quadrado

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34

da distancia, qual sera a trajetoria do planeta?, a que Newton teria

respondido instantaneamente: Uma elipse. Este problema eu ja resolvi

ha muito tempo atras. Halley teria ficado tao impressionado (e pos-

sivelmente deprimido) que apos verificar a demonstracao de Newton, o

convenceu a escrever o Principia, e ainda teria pago os custos da sua

publicacao!

Como mencionamos na secao anterior, o movimento de qualquer

objeto sob a acao do campo gravitacional e descrito pela expressao

dada em 1.6. Para objetos que se movem proximos a superfıcie da

Terra a forca e dada por mg, onde g e a aceleracao da gravidade.

Algo curioso acontece aqui. Substituindo F = mg na Segunda Lei

de Newton, F = ma, obtemos

mg = ma⇒ a = g = constante

donde se conclui que

v = v0 + gt

e

z = z0 + gt+1

2gt2

onde z e a distancia do objeto ao solo. Antes de irmos adiante o leitor

seria capaz de dizer o que ha de tao extraordinario neste resultado? Nao

parece ser o mesmo ja obtido anteriormente, para o caso de aceleracao

constante? Sim, parece, mas apenas parece, pois anteriormente a ace-

leracao era dada por F0/m, e portanto dependente da massa do objeto.

Ao contrario, as expressoes para v e para z acima nao contem a massa

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES35

do objeto! Isso quer dizer que fixados z0 e v0, desprezados os efeitos

causados pelo atrito com o ar, todos os objetos cairao ao mesmo tempo

e alcancarao o solo com a mesma velocidade final! Uma geladeira, um

caminhao com sacos de cimento, uma bolinha de papel, uma caneta,

uma pena de galinha, ou um navio! Voce acredita nisso? Va em frente

e faca o teste voce mesmo: deixe cair da mesma altura uma bolinha de

papel bem amassada (para minimizar o atrito com o ar) e um tijolo.

Como diz um velho amigo do CBPF, em toda boa teoria nos temos que

“tirar” mais do que “colocar”. Em outras palavras, se a teoria nao te

causa surpresas verificaveis experimentalmente, jogue ela no lixo!

Forcas que so dependem do modulo da distancia entre os objetos

e cuja direcao esta ao longo do raio que os liga, como a dada em 1.6,

sao chamadas de forcas centrais. E importante mencionar que forcas

centrais nem sempre sao atrativas, mas podem tambem ser repulsivas,

como e o caso da forca eletrica entre cargas eletricas com o mesmo sinal

(Secao 1.2). Quando um objeto se encontra sob a acao de uma forca

central, e descreve uma trajetoria circular com velocidade constante,

podemos igualar a expressao 1.6 a chamada forca centrıpeta, dada por:

Fc =mv2

r(1.7)

onde m e a massa, v a velocidade, e r o raio da trajetoria circular.

Igualando 1.6 a 1.7 podemos calcular, por exemplo, a distancia da Terra

ate a Lua. Para isso, obviamente temos que supor a trajetoria da Lua

como sendo circular, e supor ainda que sua velociade seja constante.

Vamos la:

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36

mv2

r= G

Mm

r2⇒ r =

GM

v2

onde agora M e a massa da Terra e m a da Lua (note que m desaparece

da expressao final). Mas, se r e o raio da circunferencia descrita pela

Lua em volta da Terra, a distancia que a Lua percorre em uma revolucao

completa sera igual a 2πr. Como a sua velocidade e constante e igual

a v, o seu perıodo de movimento sera:

τ =2πr

v⇒ v =

2πr

τ

Por outro lado, podemos usar a expressao para g - a aceleracao da

gravidade na Terra - e substituir o produto GM (isso obviamente nao e

estritamente necessario, apenas facilita a substituicao numerica ao final

do calculo):

GM = gR2

Com isso obtemos:

r =

(gR2τ 2

4π2

)1/3

Substituindo os valores numericos: g = 9, 8 m/s2, R = 6, 37 × 106

m e τ ≈ 27 dias, obtemos r ≈ 383 000 km para a distancia Terra-Lua.

Newton foi o primeiro a fazer este calculo (o bicho era mesmo o “cao

chupando manga”!). O valor atual, medido com tecnicas modernas e

de aproximadamente 382 000 km. A tabela abaixo resume algumas das

principais propriedades dos planetas do Sistema Solar.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES37

.

Podemos calcular a distancia Terra-Lua supondo que o movimento da Lua e circulare uniforme.

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(106

)km

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0,61

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997

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0,45

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6,39

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,935

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646,

815,

434,

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met

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l(k

m)

4880

1210

012

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6790

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0000

5188

049

500

3000

mas

sa(T

erra

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0,05

580,

815

1,00

0,10

731

895

,114

,517

,20,

01den

sidad

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gua

=1)

5,60

5,20

5,52

3,95

1,31

0,70

41,

211,

67?

grav

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eno

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or(m

/s2)

3,78

8,60

9,78

3,72

22,9

9,05

7,77

11,0

0,3

Com

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Ed.,

(198

8)

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES39

1.1.5 Massa Inercial vs. Massa Gravitacional

Podemos escrever a segunda lei de Newton da seguinte forma:

a =1

mF

ou seja, a aceleracao que um objeto adquire e diretamente proporcional

a forca a ele aplicada, e inversamente proporcional a sua massa. Para

uma dada forca, quanto maior a massa, menor sera a aceleracao. Nesta

expressao, a massa representa a resistencia do objeto ao movimento

(ou contrariamente, se o objeto estiver se movendo, m representa a sua

resistencia a parar). Esta tendencia dos objetos massivos manterem seu

estado de movimento e chamada de inercia. Por esta razao, a massa

que aparece na segunda lei de Newton e chamada de massa inercial.

Por outro lado, vimos que a forma funcional (ou seja, o lado es-

querdo de 1.1) para a forca de gravitacao proposta por Newton de-

pende explicitamente da massa que, neste caso, e chamada de massa

gravitacional:

F = GMm

R2

Na mecanica classica nao ha nada que diga ou prove que a massa

inercial e a massa gravitacional devam ser iguais. No entanto elas sao

rigorosamente identicas! Este fato, aparentemente trivial, e consider-

ado por Newton como uma “estranha” coincidencia, levou Einstein a

um profundo “insight” a respeito da natureza da interacao gravita-

cional. Com isso ele formulou seu princıpio de equivalencia a partir

do qual desenvolveu a Teoria da Relatividade Geral, que sera tratada

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40

no capıtulo oito. O ilustre fısico brasileiro, professor Mario Schenberg,

costumava ensinar que em fısica nada e tao trivial quanto parece. Esta

e uma grande licao!

1.1.6 Movimento Relativo

Encerra-te com um amigo dentro do maior camarote sob

o conves de um grande navio e leva contigo moscas, bor-

boletas e outros insetos que voam; municia-te tambem de

um grande recipiente cheio de agua e com peixinhos; pegue

tambem um pequeno balde cuja agua vaze gota a gota por um

pequeno orifıcio em outra vasılha colocada abaixo. Quando

o navio estiver parado, observa cuidadosamente como os

pequenos animais que voam vao com a mesma velocidade

em todas as direcoes da cabine; veem-se os peixes nadar

insdistintamente por todos os lados, e as gotas que caem

entram todas no recipeinte colocado abaixo; se jogares al-

guma coisa a teu amigo, nao teras necessidade de atirar

mais forte numa direcao que noutra quando as distancias

sao iguais. Quando tiveres observado cuidadosamente tudo

isso faze o navio navegar com a velocidade que desejares;

desde que o movimento seja uniforme, sem balancar num

sentido ou noutro, nao perceberas a menor mudanca em to-

dos os efeitos que acabamos de apontar; nada permitira que

percebas que o navio esta em marcha ou parado.

[Galileu Galilei, em 1632. Extraıdo de Imposturas Intelectuais, Alan

Sokal e Jean Bricmont, Ed. Record (1999)]

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES41

Quando afirmamos que um objeto se move com velocidade v e sua

posicao em cada instante de tempo e r, esta implıcito que estas quan-

tidades estao sendo medidas a partir de alguma posicao do espaco, em

geral onde se encontra o observador. A partir de sua propria posicao,

um observador estabelece um sistema de coordenadas do qual qualquer

grandeza fısica pode ser medida. O local onde o observador se encontra

e normalmente considerado a posicao r = 0. Como o espaco possui 3

dimensoes, tal sistema de coordenadas deve possuir 3 eixos coordena-

dos, os quais chamamos x, y e z, normalmente perpendiculares entre

si. Qualquer componente de um vetor podera, entao, ser medida inde-

pendentemente de qualquer outra. Por exemplo, se uma forca qualquer

F atua sobre um objeto de massa m, podemos medir a aceleracao que

este adquire ao longo da direcao y, digamos ay, e verificar a relacao

ay = Fy/m.

Acontece que em fısica nao nos satisfazemos somente com o que ve-

mos, mas queremos tambem “bisbilhotar” o que os outros veem. Tec-

nicamente falando, queremos expressar as leis de movimento que ob-

servamos no nosso sistema de coordenadas, em termos das coordenadas

medidas por observadores em outros sistemas. Desta forma podemos

descrever o movimento de objetos do ponto de vista de observadores

diferentes, e saber como as leis da fısica se transformam de um sistema

de coordenadas para o outro. Por exemplo, podemos descrever a tra-

jetoria de uma bomba lancada de um aviao, tanto do ponto de vista de

um observador parado na Terra, quanto do ponto de vista do piloto do

aviao. As trajetorias serao obviamente diferentes, porem o ponto onde

a bomba atinge o solo sera o mesmo para os dois observadores. For-

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malizando um pouco mais, considere um objeto cuja posicao medida a

partir de um sistema de coordenadas A seja r e a partir de um sistema

de coordenadas B seja r′. A posicao de B em relacao a A e dada por

R. E facil ver que estes tres vetores estao relacionados por:

r = r′ + R (1.8)

A expressao acima pode ser entendida como uma “regra” que nos

ensina como transformar coordenadas de um sistema de coordenadas

A para outro B. Se considerassemos apenas uma dimensao, a relacao

acima seria:

x = x′ +X

onde x e a distancia medida de uma determinada origem A, e x′ de

um outra origem B, que dista de A de X. Por exemplo, se o objeto

se encontra a x = 10 metros a direita da origem de A, e a origem

deste sistema dista X = 3 metros tambem a direita da origem de B, a

distancia do objeto a origem B sera obviamente de x′ = 7 metros.

A origem B nao necessariamente precisa estar parada em relacao

a A, mas pode estar se movendo. Alem disso, o proprio objeto pode

tambem se mover em relacao a ambas. Suponha entao que a velocidade

do objeto em relacao a A seja vx, e em relacao a B seja v′x. Suponha

ainda que B se mova em relacao a A com velocidade V . A relacao entre

essas tres velocidades sera dada por:

vx = v′x + V

Ao realizarmos esta soma, devemos levar em consideracao o sentido do

movimento. Por exemplo, suponha que o objeto se mova na direcao e

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES43

sentido positivos de x, com velocidade vx = +5 m/s, medida em relacao

a A. Se B se afasta, na mesma direcao e sentido com velocidade V = +2

m/s, a velocidade do objeto medida de B sera:

v′x = 5 − 2 = 3 m/s

Mas se B se aproxima de A com velocidade V = −2 m/s, teremos

v′x = 5 + 2 = 7 m/s

Devemos ainda notar que se o ponto B se move em relacao ao A

com velocidade V , apos um tempo t, a sua posicao em relacao a A sera

X = V t. Com isso, a relacao entre as coordenadas x e x′ se torna:

x = x′ + V t

Em tres dimensoes teremos uma relacao vetorial tambem para as

velocidades:

v = v′ + V (1.9)

onde v e a velocidade medida no sistema A, v′ aquela medida no sistema

B, e V e a velocidade relativa entre os dois sistemas. E obvio que se o

sistema B estiver parado em relacao a A, teremos V = 0, e ambos os

observadores medirao a mesma velocidade.

Agora, se a velocidade relativa V entre os dois sistemas for cons-

tante, a aceleracao relativa dos referenciais sera nula. Nesta situacao,

se o objeto que se move estiver submetido a uma forca, ambos os ob-

servadores medirao a mesma aceleracao, ou seja,

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a = a′ (1.10)

Multiplicando ambos os lados da igualdade acima pela massa do ob-

jeto (a massa independe do sistema de coordenadas), chegamos a um

importante resultado:

ma = ma′ ⇒ F = F′

onde F e a forca medida de A, e F′ de B. Consequentemente, se V for

constante, a segunda lei de Newton tera exatamente a mesma forma

em ambos os sistemas de coordenadas. Conclui-se entao que todos

os sistemas de referencia que se movem com velocidade constante sao

equivalentes uns aos outros, perante a segunda lei. Estes sistemas sao

chamados de sistemas inerciais. Sistemas de referencia acelerados, ou

seja, que se movem com velocidade nao uniforme, sao chamados de

sistemas nao-inerciais. Transformacoes de coordenadas entre sistemas

inerciais sao chamadas de transformacoes de Galileu. Como veremos

no capıtulo seguinte, quando aplicadas a fenomenos eletromagneticos

as transformacoes de Galileu falham. Isto levou Albert Einstein (consi-

derado o “Newton” do seculo XX) a reformular a mecanica newtoniana.

O resultado desta reformulacao foi a Teoria da Relatividade Restrita.

1.1.7 Fısica Termica: dos Planetas aos Gases

A mecanica classica foi alem da descricao do movimento de planetas e

outros corpos sob a acao de forcas mecanicas. Ela tambem foi capaz

de dar um fundamento microscopico para certos fenomenos termicos.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES45

A termodinamica e uma tradicional area da fısica que estuda feno-

menos termicos. Estes sao fenomenos associados a sistemasmacroscopicos,

onde um grande numero de partıculas como moleculas atomos, aglo-

merados, etc., interagem entre si e com o meio externo trocando massa

e energia. A mudanca da fase lıquida para a fase de vapor da agua e um

exemplo de fenomeno termico. Outro exemplo e o aquecimento de um

fio condutor percorrido por uma corrente eletrica, ou ainda a dilatacao

de uma ponte de concreto em um dia de calor.

A abordagem da termodinamica para tratar fenomenos deste tipo e

baseada em observacoes experimentais. Nao ha nesta ciencia uma des-

cricao destes fenomenos a partir de um modelo microscopico onde os

detalhes das interacoes entre as partıculas que compoem o sistema sao

levadas em conta. Precisamente por este aspecto, alguns fısicos con-

sideram a termodinamica uma ciencia melhor fundamentada do que as

outras areas da fısica, por ela nao estar sujeita a modismos teoricos.

Einstein, por exemplo, tinha a opiniao de que no futuro todas as teo-

rias atuais da fısica provavelmente desapareceriam, com excecao da

termodinamica.

Vamos tomar como exemplo uma conhecida lei da termodinamica,

a lei dos gases perfeitos:

PV = NRT

Esta equacao descreve uma relacao observada experimentalmente en-

tre a pressao P , o volume V e a temperatura T de um gas com N

moleculas. R e a chamada constante universal dos gases, e vale 8,314

J/Mol K. As quantidades P , V , T sao chamadas de variaveis de estado

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do sistema. Termodinamica e isso: relacoes entre variaveis de estado de

um sistema. A relacao acima nos diz, por exemplo, que se quisermos

baixar a pressao de um gas temos que aumentar o seu volume e/ou

diminuir a sua temperatura. Pressao e temperatura neste contexto sao

meramente numeros que se medem com barometros e termometros,

respectivamente. Mas, quais sao os processos fısicos microscopicos que

dao origem a pressao e a temperatura? A termodinamica nao sabe

responder.

E aqui que a mecanica de Newton entra novamente em acao. Con-

siderando um gas como um objeto composto por um numero muito

grande de partıculas (atomos ou moleculas), tipicamente da ordem de

1023 partıculas por centımetro cubico, que se movem aleatoriamente

dentro de um recipiente com volume V , e descrevendo o movimento

de cada uma delas de acordo com as leis de movimento de Newton, a

equacao acima pode ser deduzida matematicamente. Note que inicial-

mente dissemos que PV = NRT era uma relacao entre as variaveis de

estado de um gas, observada experimentalmente; agora estamos dizendo

que esta relacao pode ser deduzida matematicamente aplicando-se as leis

da mecanica ao movimento das moleculas constituintes do gas. O fato

de que o movimento das moleculas deve ser considerado aleatorio e fun-

damental para a derivacao teorica da equacao. Matematicamente isto

significa que o problema deve ser tratado estatisticamente7. Com esta

abordagem, conhecida como teoria cinetica dos gases, pode ser dado um

fundamento microscopico para a equacao dos gases perfeitos. Na teoria

7Em tal tratamento, as posicoes e velocidades de cada molecula ou atomo do gasnao sao conhecidas, mas apenas as probabilidades de que cada uma delas esteja emuma posicao r com momento p.

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cinetica dos gases a pressao do gas surge naturalmente como uma me-

dida da transferencia de momento causada pelos colisoes das moleculas

nas paredes do recipiente. A temperatura, por sua vez, aparece como

uma medida da energia cinetica media das moleculas. A aplicacao bem

sucedida dos seus conceitos ao problema dos gases foi outro importante

triunfo da mecanica classica.

1.1.8 E Possıvel o Tempo andar para Tras?

Uma peculiaridade importante da segunda lei de Newton e a sua in-

variancia sob uma mudanca no sinal do tempo. Considere a definicao

simples de aceleracao:

a =v

t

onde tomamos t0 = 0. Mas, como v = r/t, no denominador da ex-

pressao de a aparecera t2, o tempo ao quadrado. Consequentemente,

se trocarmos t por −t, a aceleracao a ficara invariante, pois (−t)2 = t2.

Isso quer dizer que a segunda lei de Newton nao distingue passado de

futuro! Ou seja, fenomenos “que andam para frente” no tempo, para a

segunda lei, sao identicos aos que “andam para tras”. Esta situacao e

demasiado esquisita, pois todos nos sentimos que o tempo so “anda pra

frente” (como diria o ilustre cientista, professor e fundador do CBPF,

Jose Leite Lopes, do alto dos seus mais de 70 anos de idade: “infe-

lizmente!”). Alguem ja viu uma pessoa nascer velha e morrer jovem?!

Sera que a dinamica classica nao se aplica ao movimento das moleculas

do nosso corpo?

Certamente sabemos hoje que a dinamica das moleculas do nosso

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corpo nao e governada pelas leis da mecanica classica, mas pelamecanica

quantica, que sera tratada no capıtulo tres. Mas um organismo vivo,

como o corpo de uma pessoa, e um sistema muito complexo para servir

de exemplo no presente contexto. Tomemos um caso mais simples,

como o nosso gas perfeito da secao anterior. Inicialmente o gas ocupa

um volume V . Sabemos que se dobrarmos o volume para 2V , imediata-

mente o gas se expandira e passara a ocupar todo o volume. Imagine

que por um instante pudessemos confinar todas as moleculas do gas

em um unico ponto. Ao soltarmo-las elas novamente ocupariam todo o

volume disponıvel. Imaginar o processo reverso, ou seja, as moleculas

espontaneamente se juntarem em um unico ponto do espaco soa insano

(em fısica nao podemos ter medo de lidar com maluquices desse tipo!).

No entanto, se cada molecula se move de acordo com a segunda lei, esta

insanidade pode, em princıpio, acontecer! Podemos dar outros exem-

plos insolitos: todo mundo ja deixou algum dia na vida um copo com

agua cair no chao, e assistiu com horror o copo se quebrar, a agua se

espalhar, e fazer aquela lambanca. Contudo, ate o momento, ninguem

parece ter relatado o oposto, ou seja, a agua e os cacos se juntarem e

voltarem sob a forma de um copo para as maos de um observador es-

tarrecido. No entanto, de acordo com a mecanica classica isto poderia

acontecer!

O que ha de comum nestes processos? E o fato de eles ocorrerem

somente em uma direcao no tempo. O copo cai, quebra, e ponto final.

Ou: o gas se expande, e fica expandido. Nao ha como voltar atras. Na

fısica a funcao associada a essa flecha do tempo e chamada de entropia.

Processos fısicos como a expansao livre do gas ou o copo que se quebra

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES49

resultam sempre em um aumento de entropia.

A entropia mede o grau de ordem de um sistema termodinamico, e

esta associada a nossa informacao (ou ignorancia!) sobre ele. No exem-

plo do gas, no estado em que todas as moleculas se encontram em um

so ponto do espaco, conhecemos todas as suas coordenadas, e portanto

nossa informacao e grande, e a entropia e pequena. No momento em

que o gas se expande, perdemos informacao, pois nao e possıvel acom-

panhar as posicoes e velocidades de 1023 moleculas ao mesmo tempo.

Desse modo a entropia aumenta. Uma vez expandido, para voltar ao

estado de entropia inicial, as moleculas teriam que retornar ao “ponto

de encontro”. De acordo com as leis da mecanica, nao ha nada que

impeca que isso ocorra, mas probabilisticamente podemos dizer que o

fenomeno e impossıvel.

Portanto, a “flecha do tempo” estaria associada a aleatoriedade ine-

rente a sistemas termodinamicos, como e o caso do gas. Deste ponto de

vista a irreversibilidade, e portanto o fluxo unidirecional do tempo, seria

uma mera ilusao causada pela nossa ignorancia (Einstein costumava

dizer que o tempo e uma ilusao)! Em um nıvel fundamental, defendem

alguns fısicos, nao ha distincao entre passado e futuro. O Premio Nobel

de Quımica de 1972, Ilyia Prigogine e um dos cientistas contemporaneos

que discordam desta posicao. Ele escreveu em seu livro recente O fim

das Certezas (Ed. UNESP 1996):

O futuro e dado ou esta em perpetua construcao? E

uma ilusao a crenca em nossa liberdade? E uma verdade

que nos separa do mundo? A questao do tempo esta na

encruzilhada da existencia e do conhecimento. O tempo e a

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dimensao fundamental da existencia, mas esta tambem no

coracao da Fısica...

Prigogine acredita que a irreversibilidade e a flecha do tempo e-

xistem mesmo em um nıvel fundamental, ou seja, nao e uma “ilusao”,

como acreditava Einstein. De fato, ele defende a ideia de que o fluxo

unidirecional do tempo e a chave para a solucao de varios paradoxos

hoje existentes na fısica. O leitor arriscaria uma solucao? A discussao

continua...

A “flecha do tempo” esta associada ao aumento da entropia. Neste exemplo do gasem uma caixa, sabemos que a situacao em C ocorre depois daquela em A porque aentropia em C e maior.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES51

1.1.9 O Relogio Cosmico

O quadro construıdo pela mecancia de Newton descreve o “funciona-

mento” da Natureza de uma maneira as vezes comparavel ao de um

relogio suıco. O espaco e o tempo sao estruturas absolutas e alheias

aos fenomenos fısicos que “dentro” deles se desenrolam, como atores no

palco de um teatro. O entusiasmo com o tremendo sucesso da mecanica

levou a algumas concepcoes extremas, como exemplificado nas palavras

de Pierre Laplace, um importante fısico e matematico frances do seculo

XIX:

Devemos encarar o estado atual do Universo como efeito

de seu estado anterior, e como causa do estado que se seguira.

Uma inteligencia que em determinado instante, pudesse con-

hecer todas as forcas que governam o mundo natural, que

pudesse conhecer todas as posicoes respectivas das entidades

que o compoe e que fosse capaz de analisar todas essas

informacoes, teria como abranger em uma unica formula

os movimentos dos maiores corpos do Universo e de seus

menores atomos. Para essa inteligencia nada seria incerto

e, tanto o passado quanto o futuro, estariam diretamente

presentes a sua observacao.

Obviamente a concepcao que Laplace tinha da Natureza nao deixa

espaco para caracterısticas essencialmente humanas, como livre arbıtrio.

Todos nos sentimos que “somos donos de nossos narizes”. Ou seja,

nossas decisoes nao obedecem a solucoes de equacoes matematicas!

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Sabemos (ou pelo menos pensamos que sabemos) que o futuro e cons-

truıdo por nos mesmos, e nao pre-determinado. Este conflito entre

lıvre arbıtrio e determinismo cientıfico atormenta a humanidade desde

os tempos de Epicuro, um filosofo grego que viveu cerca de 300 anos

antes de Cristo. Suas indagacoes sao espantosamente modernas, como

lembra Prigogine:

Quanto ao destino, que alguns consideram o senhor de

tudo, o sabio ri-se dele. De fato, mais vale ainda aceitar

o mito sobre os deuses do que se sujeitar ao destino dos

fısicos. Pois o mito nos deixa a esperanca de nos conciliar-

mos com os deuses atraves das honras que nos lhes rende-

mos, ao passo que o destino tem um carater de necessidade

inexoravel.

Mas, essa e apenas uma concepcao. A discussao continua, e o leitor

esta convidado a participar...

1.2 O Eletromagnetismo Classico

1.2.1 Fenomenos Eletricos e Magneticos

Todo mundo ja teve o desprazer de enfiar o dedo em uma tomada ou

segurar um fio desencapado. Aquela sensacao “agradavel” de estarmos

sendo virados pelo avesso e causada pelo fluxo de corrente eletrica pelo

nosso corpo. Choques eletricos, lampadas, eletrodomesticos e antenas

de televisao so existem por causa de uma propriedade fundamental

da materia: a carga eletrica. Cargas eletricas podem ser positivas ou

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES53

negativas. O eletron e uma das partıculas constituintes do atomo, e

transporta o menor valor de carga eletrica na Natureza8. Ela vale

e = −1, 6019×10−19 coulombs (C). Portanto a carga eletrica e discreta

(em oposicao a “contınua”, e nao a “exibida”), ou quantizada. O choque

que sentimos ao enfiarmos o dedo na tomada e causado pela corrente

que flui devido a uma diferenca de potencial eletrico mantida entre

os seus terminais. Diferencas de potencial eletrico causam movimento

de cargas, assim como diferencas de potencial gravitacional causam

movimento de massa e diferencas de pressao na atmosfera causam o

movimento do ar (vento).

Uma outra experiencia comum que o leitor provavelmente ja viven-

ciou e a observacao do alinhamento da agulha de uma bussola com o

campo magnetico da Terra. O fenomeno e devido a interacao entre o

material do qual a agulha e feita, e o campo magnetico gerado pela

Terra; campos magneticos interagem com materiais magneticos, assim

como campos eletricos interagem com cargas e campos gravitacionais

interagem com massa.

Uma terceira experiencia que certamente todos ja vivenciaram (geral-

mente realizada aos domingos na casa da mae ou da sogra) consiste em

sentar-se em uma confortavel poltrona e assistir a um bom programa de

televisao (como por exemplo um jogo do Flamengo). O leitor saberia re-

sponder de onde vem as imagens e os sons que o deixa tao irritado? Elas

chegam atraves do espaco, sob a forma de ondas eletromagneticas, emi-

tidas por uma estacao transmissora, detectadas pela antena na nossa

8Na verdade existem partıculas subnucleares, chamadas quarks, cuja carga e umafracao da carga do eletron. No entanto, os quarks nao existem isoladamente comoo eletron. Mais sobre quarks no capıtulo nove.

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casa, e decodificadas pelos circuitos eletronicos que existem dentro do

aparelho de TV, para finalmente se tornarem sons e imagens. Ondas

eletromagneticas interagem com cargas eletricas9.

Todos estes fenomenos, e uma infinidade de outros, sao o objeto de

estudo do segundo tronco da fısica classica: a eletrodinamica classica.

Esta e a parte da fısica que trata de fenomenos eletricos, magneticos,

da geracao e propagacao de ondas eletromagneticas, etc. Aqui uma

pausa: a palavra “magnetismo”, que nao e propriedade da fısica, tem

sido usada indiscriminadamente ao longo do tempo e do espaco nos

mais variados contextos e situacoes. Parece que esta palavra exerce

um fascınio especial sobre algumas pessoas. Na fısica, em particular, o

magnetismo esta entre os fenomenos mais bem estudados e compreen-

didos. Procure entender o que e magnetismo para saber reconhecer o

que e cientıfico.

E preciso nesse ponto introduzir o conceito de campo em fısica.

Ja falamos anteriormente de campo gravitacional. Definir campo nao

e tarefa simples, mas grosso modo podemos afirmar que um campo

e uma regiao do espaco que adquire propriedades especiais, causadas

pela presenca de objetos com massas, cargas e correntes. A presenca

do campo pode ser detectada atraves de objetos que interajam com ele.

Por exemplo, o campo gravitacional interage com a massa dos corpos.

Sabemos que existe o campo porque quando largamos um objeto de

uma certa altura, ele cai.

Campos sao representados por linhas imaginarias que podem ser de-

9Ondas eletromagneticas interagem tambem com momentos magneticos, comoexplicado no capıtulo seis.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES55

senhadas no espaco. As linhas representam a direcao e a intensidade do

campo em cada ponto do espaco. A vantagem desta representacao esta

no fato de que olhando apenas para as linhas de campo, podemos imag-

inar o movimento de um objeto que interaja com ele, sem a necessidade

de nos referir aos detalhes da fonte que gera o campo. Por exemplo,

ao analisarmos a queda de uma pedra na superfıcie da Terra, usamos

apenas o fato de que o campo gravitacional aponta “para baixo”, e seu

valor e de aproximadamente 10 m/s2. Nao ha necessidade de fazermos

referencia a detalhes geograficos ou geologicos do planeta.

Cargas eletricas possuem a interessante propriedade de criar cam-

pos eletricos que podem interagir com outras cargas eletricas. Alem

disso, se uma carga eletrica se move, ela cria adicionalmente um campo

magnetico. Um campo magnetico tem a propriedade de interagir tanto

com cargas quanto com objetos magneticos, como a agulha de uma

bussola. Analogamente, se colocarmos um ıma em movimento ele cria

um campo eletrico a sua volta. “Epa! Esse troco ta confuso!” E isso

mesmo: um campo eletrico e sempre criado por uma carga em repouso,

mas tambem aparece quando existe um campo magnetico variando no

tempo. Por sua vez, um campo magnetico que varia no tempo cria um

campo eletrico, que cria um campo magnetico, que cria um eletrico,

que cria um magnetico...Afinal, como e que voce acha que uma onda

eletromagnetica se propaga?

Representamos o campo eletrico pela letra E - um vetor - e o campo

magnetico pela letra B, tambem um vetor. A unidade de campo eletrico

no SI e o volt por metro (V/m), e a de campo magnetico o tesla (T).

Uma lampada de 200 Watts, por exemplo, gera a 3 m de distancia um

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campo eletrico da ordem de 30 V/m e um campo magnetico da ordem

de 0, 0000001 T.

Existe uma diferenca importante entre a interacao eletrica e a gra-

vitacional: enquanto massas sempre se atraem, cargas podem se atrair

ou se repelir, dependendo dos sinais serem iguais ou opostos. A in-

teracao entre objetos magneticos pode tambem ser atrativa ou repul-

siva, como pode ser observado aproximando-se o polo norte de um ıma

ao polo norte ou sul de outro.

Agora um pouco de formalismo matematico. A forca eletrica que

atua sobre uma carga q devida a um campo eletrico E e dada pelo

produto da carga pelo campo:

F = qE (1.11)

Por exemplo, um campo eletrico de 1 V/m exerce uma forca de 1, 60×10−19 N em um objeto com carga igual a carga do eletron.

Neste ponto, as coisas podem (compreensivelmente) estar ficando

confusas para o leitor. Se nao estao, de duas uma: ou voce ja conhece

tudo o que esta sendo dito, ou nao entendeu nada ate agora! Por exem-

plo, nesta expressao da forca acima, quem gera o campo E? A propria

carga q? Nao. O campo E e considerado como sendo gerado por um

outro conjunto de cargas, mas que se encontram distantes da carga q.

Obviamente sendo q uma carga eletrica, ela gera seu proprio campo.

Contudo, consideramos que este campo sera irrelevante em comparacao

a E que aparece na expressao da forca eletrica. Nessas circunstancias

a carga q e chamada de carga de prova, ou seja, ela e usada para testar

o campo E, sem alterar as suas propriedades. O mesmo ocorre no

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES57

caso gravitacional. Quando escrevemos P = mg, para o peso de um

objeto na superfıcie da Terra, a massa do objeto, m, tambem gera seu

proprio campo gravitacional (nossos corpos sao fontes de campo!). No

entanto, consideramos (implicitamente) que este campo nao altera as

propriedades do campo da Terra.

Suponha, por exemplo, que E seja constante, e aponte ao longo

da direcao x: E = E0i. Teremos entao de 1.11 (omitindo a notacao

vetorial):

ma = mv

t= qE0 ⇒ v =

q

mE0t

Se a partıcula for por exemplo um eletron, q/m = 1, 06× 10−19/9, 11×10−31 = 0, 176 × 1012 C/kg. Se E0 = 1 V/m, partindo do repouso,

apos 1 segundo a velocidade do eletron seria v = 0, 176 × 1012 m/s.

Como veremos no capıtulo seguinte, velocidades desta magnitude sao

proibidas pela teoria da relatividade.

Agora, como calcular o campo E devido a uma carga Q? Para isto

usamos a expressao do campo em um ponto r:

E =1

4πε0

Q

r2er (1.12)

onde ε0 e chamada de permissividade eletrica do vacuo, e vale ε0 =

8, 854 × 10−12 C/Nm2. A direcao de E e dada pelo vetor unitario er,

radial em relacao a carga Q.

Entao, a forca de interacao eletrica entre duas cargas q e Q separadas

por uma distancia r, de acordo com 1.11 e 1.12 sera:

F =1

4πε0

qQ

r2er (1.13)

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Esta expressao e chamada lei de Coulomb. O vetor unitario er esta ao

longo da linha que une as cargas. Note que se as cargas q e Q forem

da mesma ordem de magnitude, o campo eletrico total nao podera ser

aproximado como aquele devido a somente uma das cargas. Nesse caso,

em qualquer posicao r, ele sera simplesmente a soma dos campos de

cada uma delas. Repare a semelhanca entre 1.13 e 1.6. A massa foi

simplesmente trocada pela carga e a constante de proporcionalidade

mudou. Sera isto mera coincidencia?

Para efeitos de ilustracao, vamos comparar os modulos das forcas

eletrica e gravitacional entre dois eletrons. Sabemos que a forca gra-

vitacional (que vamos representar aqui por Fg) nesse caso sera dada

por:

Fg = Gm2

r2

onde m e a massa do eletron. E a forca eletrica:

Fe =1

4πε0

e2

r2

onde e e a carga do eletron. Dividindo uma expressao pela outra obte-

mos:

Fg

Fe=

Gm2

r2

14πε0

e2

r2

=4πε0Gm

2

e2

Substituindo os respectivos valores numericos para as constantes:

Fg

Fe

=4 × 3, 14 × 8, 85 × 10−12 × 6, 67 × 10−11 × (9, 11 × 10−31)2

(1, 60 × 10−19)2≈ 10−34

ou seja, Fg∼= 0, 0000000000000000000000000000000001× Fe.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES59

Passemos agora a forca magnetica. Se uma carga q possui uma

velocidade v em uma regiao do espaco onde exista um campo magnetico

B, ela fica sujeita a uma forca magnetica dada por:

F = qv × B (1.14)

onde “×” representa o produto vetorial entre v e B. O modulo da forca

magnetica e F = qvBsenθ, onde θ e o angulo entre v e B. Vemos por-

tanto que F sera maximo se a direcao da velocidade for perpendicular

a do campo, ou seja, θ = 90o. Se, por outro lado, v for paralela a B, o

modulo da forca serra zero. Neste caso a carga nao “sente” o campo.

Entre θ = 0 e θ = π/2, a fora magnetica varia continuamente entre

seus valores extremos.

A forca magnetica possui a direcao perpendicular ao plano formado

por v e B. Esta peculiaridade da forca magnetica faz com que v mude

sua direcao continuamente. Por exemplo, se a direcao do campo e ao

longo do eixo z, B = B0k, e a direcao inicial da velocidade e ao longo

de y, v = vj, a direcao da forca magnetica sera dada pelo produto

vetorial j× k = i, ou seja estara ao longo do eixo x. Se por outro lado

tivessemos v = vi, terıamos F ao longo de i × k = −j. Note que se v

for paralela ao vetor B, a forca magnetica sera zero, ou seja, a partıcula

nao sentira a presenca do campo! Se por outro lado v for perpendicular

a B a partıcula descrevera uma orbita circular em torno da direcao de

B. Finalmente, se v possuir componentes paralela e perpendicular em

relacao a direcao de B, o movimento no plano perpendicular a B sera

circular e ao longo da direcao do campo a partıcula descrevera uma

linha reta. Ou seja, o seu movimento sera helicoidal.

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Como qualquer outro movimento periodico, o movimento circular

de uma carga eletrica em torno da direcao de B pode ser descrito pelas

funcoes seno e cosseno. Supondo que a direcao do campo seja z, teremos

as seguintes expressoes para as posicoes da carga:

x(t) = acos(ωct)

y(t) = asen(ωct)

z(t) = v‖t

onde v‖ e a componente da velocidade paralela a direcao do campo.

Esta componente se conserva, e se for nula inicialmente, o movimento

da partıcula sera uma circunferencia no plano xy. Nestas expressoes,

ωc e a frequencia angular da partıcula em torno do campo, chamada de

frequencia de cıclotron. Ela e dada por:

ωc =qB0

m

Este problema e o analogo magnetico do sistema massa-mola, men-

cionado na secao anterior. Vimos naquele caso que a frequencia angular

era dada por:

ω =

√k

m

onde k era a constante elastica da mola e m a massa da partıcula. No

presente caso o papel da constante elastica e desempenhado pelo campo

B0, e ao inves de simplesmente a massa, temos a razao carga-massa,

q/m como parametro intrınseco a partıcula. Vamos avaliar ωc para o

caso de um eletron, em um campo magnetico de 1 T.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES61

ωc =1, 60 × 10−19 × 1

9, 11 × 10−31= 0, 176 × 1012 rd/s

que equivale a uma frequencia de:

fc =ωc

2π= 2, 8 × 1010 Hz

Isso quer dizer que a cada segundo o eletron dara cerca de 28 bilhoes

de voltas em torno do campo!

Assim como no caso massa-mola, ωc so envolve parametros intrınsecos

ao sistema, e representa uma frequencia natural, ou “modo normal de

vibracao do sistema”. Podemos tambem aqui esperar que ocorra o

fenomeno de ressonancia, que neste caso tem um nome especial: res-

sonancia de cıclotron. Basta para isso que uma forca eletrica seja apli-

cada ao sistema, e oscile na sua frequencia normal. Mas como a forca

eletrica e dada pelo produto da carga pelo campo eletrico, para induzir-

mos uma ressonancia de cıclotron no sistema, bastaria em princıpio

aplicarmos um campo eletrico igual a

E = E0cos(ωct)

Na ressonancia, a carga em movimento no campo magnetico absorve

energia do campo eletrico, e aumenta a sua propria energia cinetica.

Esta discussao sera importante quando falarmos sobre aceleradores de

partıculas no capıtulo nove.

Voltemos aos campos magneticos. Dissemos que eles sao gerados

por cargas em movimento, ou seja, por correntes eletricas. Os fios

condutores que trazem energia eletrica para nossas casas, por exemplo,

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geram campos magneticos a sua volta. Em um fio condutor existem

incontaveis eletrons que se movem, e o campo magnetico total gerado

pelo fio e a soma dos campos gerados por cada um dos eletrons em

movimento. Se tivermos apenas 1 unico eletron, ou qualquer outra

carga q, movendo-se com uma velocidade v, a expressao para B em

qualquer ponto r do espaco sera igual a:

B =µ0

4πqr× v

r3(1.15)

onde µ0 e a chamada permeabilidade magnetica do vacuo e vale 4π×10−7

Ns2/C2.

Se uma partıcula estiver ao mesmo tempo sujeita a um campo E e

a um campo B, a forca total sobre ela (eletrica + magnetica ) sera:

F = q(E + v × B) (1.16)

Esta e a chamada Forca de Lorentz, e e extremamente importante em

problemas de eletrodinamica.

1.2.2 Fenomenos Ondulatorios: Difracao e Inter-

ferencia

Na proxima secao falaremos sobre a importante propriedade dos cam-

pos eletrico e magnetico que, sob certas condicoes, se destacam de

suas fontes geradoras e se propagam pelo espaco sob a forma de ondas

eletromagneticas. Nesta secao introduziremos alguns conceitos basicos

e gerais a respeito de ondas.

Dentre os mais comuns fenomenos ondulatorios esta o som, que sao

ondas que se propagam atraves do ar, lıquidos ou solidos. O som e uma

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES63

onda mecanica que necessita da presenca de um meio material para se

propagar. Ondas podem ser facilmente observadas, por exemplo, na

superfıcie de um lago quando jogamos uma pedra na agua. Sao aquelas

perturbacoes em forma de cırculo que vao se “abrindo”, e se propagam

pela superfıcie. Ondas tambem podem ser produzidas em uma corda

prendendo-a em uma extremidade e fazendo-a oscilar na outra. A onda

e uma perturbacao que “passa” pelo meio, ou como dizemos, se propaga

atraves dele. O meio (agua, corda, ar, etc.) funciona meramente como

um sustentaculo a sua passagem.

Tomemos como exemplo o caso de uma corda presa em uma extre-

midade e posta a oscilar na outra. Se tirassemos um “instantaneo” da

corda em movimento, verıamos as ondulacoes ao longo de seu compri-

mento. A distancia entre dois pontos equivalentes consecutivos, como

por exemplo dois maximos das ondulacoes e chamado de comprimento

de onda, e representado pela letra grega λ (lambda). Por outro lado,

se fixarmos a atencao em um unico ponto da corda, veremos que ele

“sobe” e “desce”, descrevendo um movimento periodico no tempo, com

perıodo τ . Em outras palavras, uma onda deste tipo e algo que os-

cila tanto espacialmente, quanto temporalmente. Isso significa que a

funcao matematica que descreve as posicoes no espaco por onde se

propaga uma onda, dependera tanto de r quanto de t. Podemos nova-

mente utilizar as funcoes seno e cosseno para representar as oscilacoes

em uma onda, so que agora essas funcoes devem conter duas variaveis:

uma espacial e outra temporal. Se chamarmos de u(x, t) as posicoes

ao longo de uma corda orientada sobre o eixo x, podemos descrever a

onda atraves da expressao:

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u(x, t) = u0cos(

2πx

λ− 2πft

)(1.17)

onde u0 representa a amplitude maxima da oscilacao. O fator 2π re-

presenta um ciclo completo (espacial ou temporal). Em fısica e mais

comum usarmos a quantidade k ≡ 2π/λ, chamada de numero de onda.

k mede o numero de oscilacoes da onda por intervalo de comprimento,

do mesmo modo que ω = 2πf mede o numero de oscilacoes por in-

tervalo de tempo. Estas quantidades relacionam-se entre si atraves da

velocidade da onda, v:

v = λf =ω

k

Assim podemos escrever:

u(x, t) = u0cos(kx− ωt) (1.18)

Se tivermos tratando um problema em 3 dimensoes, x deve ser sub-

stituıdo pelo vetor r, e k por k, chamado vetor de onda, que nos da

a direcao de propagacao da onda. O produto kx sera nesse caso sub-

stituıdo pelo produto escalar k·r:

u(r, t) = u0cos(k · r− ωt) (1.19)

As vezes, a manipulacao matematica de funcoes trigonometricas se

torna incoveniente. Por esta razao e comum representarmos a onda de

uma outra forma, baseado na seguinte relacao entre a funcao exponen-

cial e as funcoes seno e cosseno:

eiθ = cosθ + isenθ

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Esta relacao e muito utilizada na teoria dos numeros complexos (se

voce ainda nao sabe o que sao numeros complexos, de uma olhada no

Painel a seguir). Vemos que a parte real desta relacao e exatamente

a nossa expressao para a onda, com θ = k · r − ωt. Podemos entao

expressar 1.19 na forma alternativa:

u(r, t) = u0ei(k·r−ωt) (1.20)

mantendo em mente que, ao final das operacoes matematicas devemos

tomar somente a parte real da expressao.

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PAINEL V

NUMEROS IMAGINARIOS, NUMEROS COMPLEXOS E FUNCOES

COMPLEXAS

Numeros imaginarios sao definidos como o resultado de raızes quadradas de numeros

negativos. A unidade imaginaria, representada por i, e definida como:

i =√−1

De modo que se tivermos um numero negativo, como por exemplo −b2, onde b ereal, sua raiz quadrada sera:

√−b2 = √−1

√b2 = ib

Note que i× i = i2 = −1. O numero ‘ib’ e dito ser um numero imaginario10.

Um numero complexo, representado por Z, e um numero composto por uma

parte real e uma parte imaginaria:

Z = a+ ib

onde a e b sao reais. Podemos representar numeros complexos graficamente, como

se fossem vetores em duas dimensoes. Sobre o eixo horizontal colocamos a parte

real, e sobre o eixo vertical a parte imaginaria. Os numeros complexos sao entao

representados por pontos neste plano, chamado de plano de Argand-Gauss.

O conjugado de um numero complexo, representado por Z∗, e obtido trocando-

se i por −i:

Z∗ = a− ib

O modulo quadrado de um numero complexo, |Z|2, e obtido multiplicando-se onumero pelo seu conjugado:

|Z|2 = ZZ∗ = (a+ ib)(a− ib) = a2 + b2 ⇒ |Z| =√a2 + b2

10Nao se embatuque por conta desta infeliz terminologia; um numero imaginarioe tao verdadeiro quanto qualquer outro numero!

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES67

Note que o mesmo resultado pode ser obtido aplicando-se o teorema de Pitagoras

no plano de Argand-Gauss.

Se θ e o angulo entre Z e o eixo real, podemos escrever:

a = |Z|cosθ b = |Z|senθ

de modo que Z pode ser escrito como:

Z = |Z|(cosθ + isenθ)

A expressao acima, como demonstrado em textos mais avancados de matematica, e

equivalente a:

Z = |Z|eiθ ⇒ Z∗ = |Z|e−iθ

Analogamente aos vetores, a soma de numeros complexos e feita adicionando-se

as partes reais e imaginarias separadamente. Se Z1 = a1 + ib1 e Z2 = a2 + ib2 sao

dois numeros complexos,

Z = Z1 + Z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)

ou, representando Z1 = |Z1|eiθ1 e Z2 = |Z2|eiθ2 ,

Z = Z1 + Z2 = |Z1|eiθ1 + |Z2|eiθ2

O produto de Z1 e Z2 sera:

Z1Z2 = |Z1||Z2|ei(θ1+θ2)

Estendendo a definicao de numeros complexos, podemos definir variaveis com-

plexas. Estas sao em geral representadas pela letra z, e sao tambem compostas por

uma parte real e outra imaginaria:

z = x+ iy

x e y sao variaveis reais.

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Uma funcao de uma variavel complexa, e chamada de funcao complexa, repre-

sentada por f(z). Assim como z possui uma parte real e outra imaginaria, funcoes

complexas podem em geral tambem ser escritas sob a forma:

f(z) = g(x, y) + ih(x, y)

onde g e h sao funcoes reais. O complexo conjugado de f(z) e obtido trocando-se i

por −i:

f(z)∗ = g(x, y)− ih(x, y)

e o modulo quadrado da funcao e dado pelo produto de f por f∗:

|f(z)|2 = f(z)f(z)∗ = g(x, y)2 + h(x, y)2

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES69

Existem dois efeitos envolvendo fenomenos ondulatorios que sao

uma especie de identidade e CPF das ondas: a difracao e a inter-

ferencia. A difracao ocorre quando uma onda incide sobre um obstaculo

que possui uma abertura com dimensoes da ordem de seu comprimento

de onda. Do outro lado do obstaculo a onda se propagara em direcoes

oblıquas a direcao de incidencia.

A interferencia ocorre quando ondas se superpoem. A onda resul-

tante e obtida somando-se as amplitudes das ondas primarias em cada

ponto do espaco. Dependendo da diferenca de fase entre elas, a ampli-

tude final pode ser maior ou menor do que as amplitudes originais, ou

nula. O fenomeno pode ser observado em uma cuba com agua, ou em

um lago, largando-se duas pedras sobre a agua.

Existe ainda um terceiro efeito importante que ocorre com ondas,

o chamado efeito Doppler, devido ao fısico austrıaco Johann Christian

Doppler, que o propos em 1842. Este efeito ocorre quando a fonte que

produz a onda se move em relacao ao observador (ou o observador em

relacao a fonte). Ele e comumente observado no nosso dia-a-dia com

ondas sonoras. Se, por exemplo, uma sirene de carro de polıcia estiver

ligada, emitindo ondas sonoras em uma determinada frequencia, um

observador que se aproximar da sirene com uma velocidade v ouvira

um som mais agudo do que outro que se afastar com a mesma veloci-

dade. Isso ocorre porque o observador que se aproxima da fonte percebe

uma frequencia mais alta do que o que se afasta. Por exemplo, se a

frequencia do som emitido for de 1 kHz (1000 Hz) para um observador

parado em relacao a fonte, e v ≈ 120 km/h, a frequencia para o obser-

vador que se aproxima sera de 1096 Hz, e para o que se afasta 904 Hz.

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70

Em geral, a velocidade com que o observador se move e pequena em

relacao a velocidade de propagacao da onda11. Neste caso a mudanca

em frequencia pode ser calculada da formula simples:

f ′ ≈ f(

1 ± v

V

)

Na expressao acima, f e a frequencia para o observador parado em

relacao a fonte, v a velocidade do observador, e V a da onda. O sinal

‘+’ se aplica para observadores se aproximando da fonte, e ‘−’ para

observadores se afastando. Por exemplo, a velocidade do som no ar e

cerca de 343 m/s. Se v = 120 km/h = 33 m/s, teremos da expressao

acima:

f ′

f= 1 ± 33

343= 1 ± 0, 096

Entao, se f = 1000 Hz, teremos

f ′ = 1000 ± 96 Hz

1.2.3 Ondas Eletromagneticas

Vimos na secao 1.2.1 que cargas eletricas produzem campos eletricos, e

que em movimento produzem tambem campos magneticos. Nos exem-

plos mencionados os campos eletrico e magnetico foram considerados

estaticos. Esse sera o caso sempre que as cargas que produzem os

campos estiverem paradas ou em movimento uniforme, ou seja, nao

estiverem aceleradas. Um dos resultados mais importantes da teoria

11Por exemplo, a velocidade do som no ar a 0 oC e de 343 m/s, ou cerca de 1235km/h, o que obviamente e muito maior do que a velocidade de um carro.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES71

eletromagnetica de Maxwell foi a previsao de que campos eletricos e

magneticos poderiam se “libertar” de suas fontes, e propagarem-se pelo

espaco sob a forma de ondas eletromagneticas.

Ondas eletromagneticas sao produzidas, por exemplo, em antenas

de radio e televisao fazendo-se oscilar as cargas do metal de que e feita

a antena . Elas atravessam o espaco com uma velocidade proxima a 300

000 km/s. Um dos maiores triunfos da teoria de Maxwell foi ter associ-

ado a velocidade da luz no vacuo, denotada pela letra c, as quantidades

ε0 e µ0, respectivamente, a permissividade eletrica e a permeabilidade

magnetica do vacuo, atraves de:

c =1√µ0ε0

=1√

4π × 10−7 × 8, 85 × 10−12= 299, 9 × 106 m/s

Esta conquista abriu o caminho para a interpretacao da luz como um

fenomeno eletromagnetico.

Assim como qualquer outro tipo de onda, as ondas eletromagneticas

tambem sofrem fenomenos de difracao e interferencia, mas ao contrario

das outras formas de onda, elas nao precisam de um meio especıfico

para se propagar, ou seja, tambem se propagam no vacuo. Se nao fosse

assim, a luz das estrelas nao poderia chegar ate os nossos olhos! Ate

o inıcio do seculo XX, contudo, pensava-se que ondas eletromagneticas

tambem necessitavam de um meio de propagacao. Por isso, os fısicos

da epoca imaginaram que todo o espaco era preenchido por uma subs-

tancia que eles chamaram de eter, no qual as ondas eletromagneticas

se propagavam. No proximo capıtulo veremos como esta hipotese do

eter foi derrubada pela teoria da relatividade.

Ondas eletromagneticas sao oscilacoes espaciais e temporais dos

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campos B e E, que se propagam pelo espaco. Matematicamente es-

tas oscilacoes podem ser representadas da mesma forma que em 1.19

(ou 1.20):

E(r, t) = E0ei(k·r−ωt) (1.21)

B(r, t) = B0ei(k·r−ωt) (1.22)

Nas expressoes acima, E0 e B0 representam as amplitudes maximas dos

campos eletrico e magnetico na onda.

Um fato importante a ser mencionado e que em uma onda eletro-

magnetica que se propaga pelo espaco os campos B e E sao sempre

perpendiculares entre si. Outro comentario e que em geral uma onda

nao tera um so valor de ω, mas uma mistura. Quando so existe um unico

valor de ω, como em 1.21 e 1.22, dizemos que a onda e monocromatica.

Fenomenos de interferencia em ondas eletromagneticas constituem

uma interessante manifestacao do carater vetorial dos campos E e B.

Suponha por exemplo que duas ondas com campos eletricos E1 e E2

se superponham em alguma regiao do espaco (por simplicidade vamos

omitir o campo magnetico). O campo eletrico total em um dado ponto

sera a soma dos campos individuais:

E = E1 + E2

E sabido que a energia da onda e propocional ao quadrado do campo

eletrico total. Logo:

E2 = E ·E = (E1 + E2)2 = E2

1 + E22 + 2E1 · E2

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES73

Suponha, por simplicidade, que as duas ondas possuam a mesma

amplitude: E1 = E2 = E0, e que θ seja o angulo entre os vetores E1 e

E2 no ponto em questao. Entao podemos escrever:

E2 = 2E20(1 + cosθ) ⇒ E =

√2(1 + cosθ)E0

Logo, em um ponto do espaco onde E1 e E2 sao paralelos, θ = 0,

e teremos a amplitude maxima E = 2E0, ao passo que nos pontos

onde E1 e E2 sao antiparalelos (ou seja, possuem mesma direcao e

sentidos opostos), θ = π e a intensidade se anula. Este e o fenomeno

de interferencia entre ondas eletromagneticas.

Se varias ondas com diferentes vetores de onda forem superpostas,

ocorrera interferencia construtiva ou seja, adicao das amplitudes em

certas regioes do espaco, e interferencia destrutiva (subtracao das am-

plitudes) em outras. Se representarmos por ∆x a regiao do espaco

onde ocorre interferencia construtiva (para uma onda que se propaga

ao longo da direcao x), verifica-se que quanto maior a quantidade de

ondas que se superpoem com comprimentos de onda λ (ou numeros

de onda k) diferentes, menor sera ∆x. Isto e facil de visualizar: se

tivermos uma so onda, teremos um unico valor de k, e a onda estara

distribuıda igualmente por todo o espaco. Se tivermos duas ondas se

superpondo, com numeros de onda k1 e k2, havera interferencia, como

dito acima. Se houver varias ondas com muitos valores de k distribuıdos

em um intervalo ∆k, a interferencia sera tal que ocorrera superposicao

construtiva somente em uma regiao ∆x. Quanto maior for ∆k, menor

sera ∆x. Essa interdependencia entre ∆k e ∆x e expressa pela relacao

aproximada:

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∆k∆x ≈ 1

Em fenomenos de interferencia ondulatoria, quanto maior for a dispersao ∆k, menorsera a dispersao ∆x, e vice-versa.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES75

1.2.4 Afinal, o que e a Luz?

A antologica obra de Rock The Dark Side of the Moon (O Lado Es-

curo da Lua) do grupo Pink Floyd traz na capa uma bela pintura

mostrando de modo estilizado a decomposicao da luz branca em com-

ponentes monocromaticas (isto e, de uma unica cor). A luz e composta

por uma mistura de cores, que podem ser visualizadas usando-se um

prisma de vidro como o desenhado na capa do disco. Cada cor esta

associada a um comprimento de onda e a uma frequencia.

Ondas eletromagneticas sao classificadas de acordo com o seu com-

primento de onda, λ = 2π/k, e frequencia f = ω/2π. A luz visıvel, por

exemplo, e composta por ondas eletromagneticas com comprimentos

de onda que vao de λ = 4 × 10−7 m, correspondendo ao violeta, ate

λ = 7 × 10−7 m, correspondendo ao vermelho. No centro do espectro

visıvel estao o verde e o amarelo com λ na faixa de 5, 5×10−7 m. Ondas

de radio operam na faixa de 104 a 108 Hz, com comprimento de onda

da ordem de 104 m. Microondas utilizadas em radares, por outro lado,

possuem f ≈ 1010 Hz e λ ≈ 10−2 m. Radiacao gama possui f na faixa

de 1020 a 1022 Hz, e λ entre 10−14 a 10−12 m. Nos referimos ao conjunto

de valores de f e λ como o espectro eletromagnetico.

Obviamente a descricao fısica das cores feita acima acaba nos nossos

olhos, ou mais especificamente na retina. A percepcao das cores esta

associada a complexos processos fotoquımicos envolvendo as celulas da

visao (cones e bastonetes), sua transmissao atraves dos nervos ate ao

cerebro que, sabe la Deus como, nos causa a sensacao psicologica da

cor.

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A decomposicao da luz em um prisma em suas componentes monocro-

maticas e causada por um fenomeno chamado de refracao. Quando um

feixe luminoso incide sobre uma superfıcie que separa dois meios (por

exemplo, o ar e o prisma), parte da luz e refletida, e parte e refratada,

ou seja, penetra no meio mudando a sua direcao de propagacao. O

grau de desvio da direcao de propagacao depende de uma quantidade

caracterıstica do meio chamada ındice de refracao, n. Se o feixe parte

de um meio cujo ındice de refracao e n, e incide sobre um outro meio

com ındice de refracao n′, formando um angulo θ com uma linha reta

imaginaria perpendicular a superfıcie que os separa (chamada de ‘linha

normal’), o angulo θ′ que o feixe refratado faz com a normal pode ser

obtido da expressao:

nsenθ = n′senθ′

Esta expressao e chamada de lei de Snell. O ındice de refracao do ar,

por exemplo, e n = 1, 00029 (em condicoes normais de temperatura e

pressao) e da agua (a 20 graus) e n = 1, 33. Entao, se um feixe de luz

incide sobre a superfıcie da agua com um angulo de incidencia θ = 30

graus, teremos:

senθ′ =1, 00029

1, 33sen30 = 0, 3760 ⇒ θ′ = 22, 1o

Logo, o desvio do feixe sera ∆θ = 30o − 22, 1o = 7, 9o.

E possıvel demonstrar que a decomposicao da luz ocorre porque o

valor do ındice de refracao depende tanto das propriedades do meio,

quanto da frequencia da onda, ω, segundo a expressao:

n = 1 +C

ω20 − ω2

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES77

onde C e uma constante que depende das caracterısticas do meio, e ω0 e

uma frequencia natural, associada as vibracoes dos atomos e moleculas

que formam o meio. Se ω for muito menor que ω0, n sera constante.

De fato, se ω0 for muito grande, todo o segundo termo da expressao

para n pode ser desprezado, e teremos n ≈ 1. Este e, por exemplo,

o caso para o ındice de refracao do ar atmosferico. Por outro lado,

se ω0 nao for muito grande, a medida que ω cresce e se aproxima de

ω0, o denominador da fracao diminui, fazendo n aumentar. Ou seja, n

aumenta com o crescimento de ω. Assim, aquelas componentes da luz

que tiverem frequencia mais alta, serao mais desviadas. Por exemplo,

como a frequencia do azul e maior do que a do vermelho, o azul sera

mais desviado do que o vermelho se uma onda contendo uma mistura

dessas cores incidir em um meio como um prisma. Note como atraves

de consideracoes muito simples, podemos de fato calcular (cal-cu-lar!)

a sequencia de cores decompostas em um prisma!

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.

Ao incidir em uma superfıcie que separa dois meios com ındices de refracao difer-entes, um feixe de luz e parcialmente refletido e parcialmente refratado.

A luz visıvel e composta por ondas eletromagneticas com comprimentos de ondadiferentes, cada um associado a uma cor.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES79

1.2.5 Afinal, Porque o Ceu e Azul?

A luz do Sol e formada por ondas eletromagneticas cujos campos eletrico

e magnetico podem ser representados por 1.21 e 1.22. Quando a luz

do Sol incide sobre a Terra, ela e desviada de sua direcao original pelos

elementos que compoem a atmosfera terrestre. Dizemos que a radiacao

e espalhada. O fenomeno e semelhante ao de refracao. O grau de

espalhamento depende da frequencia da onda, e como a luz do Sol e

“branca”, ou seja, possui todos os comprimentos de onda, cada com-

ponente sera espalhada de um angulo diferente. A quantidade fısica

que mede o grau de espalhamento e chamada de secao de choque de

espalhamento, e representada pela letra grega σ (sigma). Os fısicos con-

seguem mostrar que σ e proporcional a quarta potencia da frequencia

da onda, ω, ou seja12: σ ∝ ω4. Isso quer dizer que uma componente do

espectro luminoso cuja frequencia e apenas duas vezes maior do que a

de uma outra, sera espalhada 16 vezes mais intensamente. E precisa-

mente o que ocorre com o azul, cuja frequencia e cerca de duas vezes

a do vermelho, e portanto e mais eficientemente espalhada. Em um

dia de sol intenso, se olharmos diretamente para o Sol o veremos com

uma aparencia amarelada, justamente porque a componente azul da

luz e mais espalhada. Se, por outro lado, olharmos para uma regiao

do ceu longe do Sol, o que veremos? justamente o que foi espalhado:

aquele azul maravilhoso! Pela mesma razao o entardecer e avermel-

hado. Quando o Sol se situa proximo a linha do horizonte, vemos a

12“∝” significa “proporcional a”. Esta proporcionalidade e valida em situacoesem que o comprimento de onda da radiacao espalhada e maior do que as dimensoesdo objeto espalhador.

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componente da luz menos espalhada pela atmosfera: o vermelho.

Da proxima vez que o leitor ou a leitora estiver “azarando” na praia

em um daqueles domingos de ceu azul e sol escaldante, tente “jogar”

essa conversa intelectual pra ver se “cola” :

- Aı mina, chega mais. Estas vendo esse ceu maneiro?

Sabias que a luz do Sol nada mais e do que radiacao eletro-

magnetica composta por varios comprimentos de onda, vi-

aja batida a trezentos mil quilometros por segundo, e porque

a secao de choque de espalhamento e proporcional a quarta

potencia da frequencia da onda, o azul e mais espalhado do

que o vermelho? Hein? O que tu achas?

- Ve se te enxerga. . .

O espalhamento da luz por pequenas partıculas gera ainda ou-

tros fenomenos importantes, sendo um dos mais espetaculares, por sua

beleza, o arco-ıris. Todo mundo ja “curtiu” um arco-ıris. Ele e causado

pelo espalhamento da luz do Sol por gotıculas de agua em suspensao

na atmosfera. Ao incidir sobre uma gota a luz e parcialmente refletida

e parcialmente refratada, como discutido na secao anterior. A parte re-

fratada, dentro da gota, e novamente refletida e refratada. O arco-ıris

e formado pelos raios que saem novamente da gota apos terem sido re-

fletidos 1 vez dentro dela. A reflexao interna depende do comprimento

de onda da radiacao incidente, justamente como no caso do prisma, o

que causa uma dispersao das cores.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES81

1.2.6 Acabou a Fısica?!

Neste capıtulo apresentamos de forma resumida o que se conhece por

fısica classica. Uma infinidade de problemas foram compreendidos

a partir da Mecanica e Eletrodinamica Classicas, duas construcoes

teoricas monumentais. Os fenomenos foram separados em duas ca-

tegorias: os mecanicos, envolvendo o movimento de partıculas sob a

acao de forcas externas, e os eletromagneticos, envolvendo campos e

propagacao de ondas eletromagneticas.

O movimento mecanico de qualquer objeto (pedras, bolas, planetas,

carros, avioes, macas. . . ) esta sintetizado na formula:

F = ma

Em particular, o movimento de partıculas carregadas sob a acao de

campos eletromagneticos e descrito pela forca de Lorentz:

F = ma = q(E + v × B)

O lado direito dessa equacao representa a eletrodinamica, enquanto que

o lado esquerdo a mecanica.

O movimento de objetos em campos gravitacionais, como planetas,

e descrito pela Lei da Gravitacao Universal:

F = ma = −GMm

r2er

e assim por diante.

A fısica classica estabeleceu um paradigma, isto e, um modelo a ser

seguido por todas as outras areas do conhecimento. Seu sucesso foi tao

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arrebatador que todas as outras ciencias tentaram se fundamentar sob

bases semelhantes. Isso levou alguns fısicos do final do seculo dezenove

a afirmarem que a fısica tinha chegado ao seu fim! Tudo que havia

para ser feito seria aplicar a mecanica e a eletrodinamica para resolver

problemas especıficos, mas que nada de mais fundamental havia para

ser descoberto. O que aconteceria entao no inıcio do seculo XX iria

provar para estes imprudentes senhores que a Natureza so havia ate

entao revelado o trivial!

Onde saber mais: deu na Ciencia Hoje.

1. Aneis Planetarios, Sylvio Ferraz de Mello, vol. 1, no. 4, p 16.

2. O Campo Magnetico dos Planetas, Osmar Pinto Junior, Walter D. Gonzales,Iara R.C.A. Pinto e Odim Mendes Junior, vol. 14, no. 79, p. 32.

3. Halley a Vista, Francisco Jablonski, vol. 4, no. 20, p. 6.

4. Bem-Vindo Halley!, Oscar T. Matsura, vol. 4, no. 21, p. 32.

5. Na Rota do Halley, Oscar T. Matsura, vol. 4, no. 22, p. 8.

6. Halley: Presenca no Ceu por mais 12 Mil Anos, Jose Antonio de FreitasPacheco, vol. 5, no. 25, p. 16.

7. A Origem da Lua, Oscar T. Matsura, vol. 5, no. 25, p. 26.

8. Plutao, um Planeta Peculiar, Masayoshi Tsuchida, vol. 9, no. 49, p. 14.

9. Principia Mathematica, 300 Anos, Marcio Q. Moreno, vol. 7, no. 41, p. 58.

10. Os Planetas de Upsilon Andromeda, Sylvio Ferraz Mello, vol. 26, no. 151,p. 14.

11. O Enigmatico Anel F de Saturno, Silvia M. Giuliatti Winter, vol. 26, no.151, p. 59.

12. A Busca por Novos Sistemas Planetarios, Oscar Toshiaki Matsuura, vol.24, no. 144, p. 65.

13. Netuno: 150 Anos de Historia e Ciencia, Othon Winter, vol. 21, no. 125,p. 38.

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CAPITULO 1 - A FISICA ATE 1905: UMA CASA DE GIGANTES83

Resumo - Capıtulo Um

Na fısica classica, os fenomenos da Natureza se dividem em duascategorias: os mecanicos e os eletromagneticos. O ingles Isaac Newton eo escoces James Clerk Maxwell foram os principais nomes da fısica ateo inıcio do seculo XX.

A equacao central da mecanica classica e:

F = ma

Com essa equacao Newton conseguiu explicar nao so o movimento deobjetos na superfıcie da Terra, como tambem o movimento de planetas,cometas, etc. A Gravitacao Universal de Newton e descrita pela forca:

F = −GmMr2

er

Maxwell viveu 200 anos depois de Newton, e formalizou as leis que de-screvem os fenomenos eletromagneticos. Esses envolvem cargas eletricas,campos eletricos (E) e campos magneticos (B). Campos eletricos saogerados por cargas eletricas, que em movimento geram tambem camposmagneticos. Cargas eletricas se atraem ou se repelem de acordo com alei de Coulomb:

F =14πε0

qQ

r2

Ondas eletromagneticas sao geradas por cargas eletricas aceleradas.Uma vez criadas, ondas eletromagneticas se desprendem da sua fonte ese propagam pelo espaco com uma velocidade de 300 000 km/s.

Em uma onda eletromagnetica os campos E e B oscilam tanto noespaco quanto no tempo. As oscilacoes temporais sao caracterizadas peloperıodo, τ , ou o seu inverso, a frequencia ω = 2π/τ . De modo analogo, asoscilacoes espaciais sao caracterizadas pelo comprimento de onda, λ, ouseu inverso, o numero de onda k = 2π/λ.

A luz e uma onda eletromagnetica que possui um comprimento deonda tal que a torna visıvel aos nossos olhos. Ate o inıcio do seculo XXpensava-se que a luz se propagava atraves de um meio chamado eter.

As duas “marcas registradas” dos fenomenos ondulatorios sao a in-terferencia e a difracao.

O movimento de cargas em campos eletromagneticos e descrito pelaforca de Lorentz:

F = q(E+ v ×B)