Fisica Para Ciencias Agrarias

download Fisica Para Ciencias Agrarias

of 63

Transcript of Fisica Para Ciencias Agrarias

UNIVERSIDADE DE BRASLIAINSTITUTO DE FSICAFSICA PARA CINCIAS AGRRIAS1- IntroduoA Fsica composta por um conjunto de teorias, coerentes entre si, elaboradas sob o pressuposto de existncia de regularidades objetivas.Em conseqncia, essas teorias so passveis de serem testadas, comparando-se suas explicaes e predies com os fenmenos e dados empricos.Os testes devem ser mltiplos, realizados de maneiras independentes e por diferentes pessoas.A Fsica, contudo, no uma cincia exata e sim precisa. Da, para decidir se diferentes testes concordam entre si, necessrio: - explicitar o grau de incerteza (ou impreciso) dos valores obtidos experimentalmente.- adotar procedimentos compatveis entre si e as mesmas regras no tratamento dos dados.

2- Resultado ExperimentalUm resultado experimental, obtido direta ou indiretamente, aps vrias repeties de um experimento, deve conter a melhor estimativapara a medida de uma grandeza. Ao mesmo tempo deve explicitaraincertezana medida,ou dito de outra forma,deve evidenciaro intervalo de confiabilidade dessamelhorestimativa. Assim,um resultado experimental para uma grandezaXdeve ser escrita como Xm AX, ondeXm representa a Melhor Estimativae AX, sempre positivo, oErro Absoluto ( ou incerteza). Por exemplo, se a massa de um objeto for expressa porm = 316,2 +0,5 g , isto significa que a medida da massa confivel dentro dos limites 316,7 g e 315,7 , mas a melhor estimativa (valor mais provvel) vale 316,2 g .2-1. ErroAbsolutoO intervaloAXrepresenta a regio em torno daMelhorEstimativaonde so encontrados os valores da medida X obtidos aps uma srie de repeties do experimento. Suadeterminaoindependedovalor dagrandezaXe, por isto, chamadodeErro Absoluto.Observe que AX definido como um valor sempre positivo. Em conseqncia, se o resultado experimental de uma grandeza valeX=Xm AX , ento, AX = | X - Xm |22-2. ErroRelativoSe o comprimento de uma grandeza foi determinado como sendo igual a 400 + 2m eo de outra 100 + 2 m, ento, a comparao entre os valores relativos 2/400 e 2/100 dar umaidiamais clara, comparativamentecomoerroabsoluto, sobreosignificadoda incerteza numa ou noutra determinao.Este valor relativo, ER = AX / X , definido como sendo o Erro Relativo.Na forma de percentagem,esta razo deve ser multiplicada por 100. Assim, no exemplo apresentado, ER vale 0,5 % no primeiro caso e 2 % no segundo. A figura 1 abaixo (conforme ref. 1) representa um valor experimental: Intervalo de valores provveis \/| ( |X

)|| | 0 1 2 34 |Melhor estimativa de XFig.1 - Nesta figura, a melhor estimativa de uma determinada grandeza X mostrada em uma escala linear. A medidadeXfoirepetidavriasvezesetodososvaloresencontradosestoespalhadosemumintervalo assinalado pela regio entre parnteses. Este o intervalo de valores provveis, ou seja, se mais uma medida for realizada, ela tem grande probabilidade de se encontrar neste intervalo .2-3. Comparao entre Resultados ExperimentaisQuando comparamos dois resultados experimentais, ou um valor predeterminado comumoutromedido, nossograudecertezasobreaigualdadeentreosdoisvalores depender do grau de superposio entre os intervalos de valores provveis.Devemos, ento, comparar tantoas melhores estimativas como as incertezas aelas associadas, conforme exemplificado na figura 2 (obtida da ref. 1) :3ProvavelmenteTalvez Provavelmente iguais iguais desiguaisMedida 1| | (

x

)| || | ( x|)|| |(

x

) | | 0 1 2 3 0 1 2 3 0 12 3Medida 2 | | (

x

)| || (|x )||| (

x

)| | | 0 1 2 3 0 12 3 012 3Fig.2 - Temos nesta figura a comparao do resultado de duas medidas em trs situaesdistintas.Pode-seconsiderarosvaloresdestasduasmedidascomo provavelmenteiguais,talveziguais,ou comoprovavelmentedesiguais, dependendodograude superposiode suas incertezas, comopode ser observadopelograudesuperposiodosparntesesnaprimeiraesegunda linhas correspondentes a cada caso.Define-se discrepnciacomo sendo a diferena entre duas melhores estimativas. A discrepncia significante se os intervalos de valores provveis no se superpem. Em outras palavras, se XA AXAe XB AXBrepresentam duas medidas da grandeza X, a discrepncia ser dada por | XA melhor estimativa - XB melhor estimativa |e ser significante se esta diferena for maior do que(AXA +AXB ).A figura 3 ( ref. no 1) mostra mais claramente a diferena entre incerteza e discrepncia: Incerteza Ax| ( |X

)| | | 0 1 2 3 4discrepncia

| ||(

X )| | 0 1 2 3 4

Incerteza AxFig.3 - Diferena entre incerteza e discrepnciaA presena de discrepncia entre duas determinaes de uma grandeza coloca a questo de se saber qual a resposta correta, uma vez que o valor exato no conhecido. Na verdade procede-se da seguinte maneira: elimina-se, tanto quanto possvel, as falhas (erros grosseiros);quando possvel, aumenta-se a preciso dos instrumentos de medida e realiza-se um nmero razovel de repeties. Outros pesquisadores repetem o experimento, repetemos clculos eos resultados socomparados. medidaquea precisoaumenta(AXdiminui) ateoriamelhor comprovada. Oresultadoaceito quando vrios experimentalistas esto de acordo.Se existe discrepncia significante entre o valor aceito e o valor obtido em uma medida, conclui-se que esta medida foi inacurada. 4Entretanto, tal concluso no necessariamente correta pois existe a possibilidade de que os experimentalistas que determinaram o valorcorrentementeaceitopodem no ter se apercebido de algum detalhe importante, s reconhecido posteriormente. Estas situaes sobastanteraras, masquandoocorremsodeenormeimportncia. Observequea inacurcia s surge quando duas determinaes diferentes so feitas, enquanto a incerteza (impreciso) ou erro absoluto aparece em uma nica determinao.Nafigura4abaixo, obtidadaref. 1., mostra-seadistinoentreimprecisoe inacurcia. Em(a) amedidafoi maisprecisadoqueem(b), pormmaisinacurada. Diminuindo-sea preciso de uma medida, aumenta-se a probabilidade dela ser acurada, isto , mais provvel ser o acordo entre dois valores (ou entre predio e determinao). No entanto, a validade de uma teoria aumenta quando tanto a preciso como a acuidade com que ela testada aumentam!INACURCIA Valor aceito como verdadeiro /(a) | ( |X

)V || | 0 1 2 3 4IMPRECISOValor aceito como verdadeiro /(b) | (|X V |)| | 0 12 3 4Fig.4 - Nesta figura encontra-se a distino entre impreciso e inacurcia. O "V",localizado na escala, se encontra na posio do valor aceito como verdadeiro, e X, no valor mais provvel de uma determinao experimental. Os parnteses delimitam a incerteza em X. 3. TIPOS DE ERROSEm Fsica, a palavra erro tem um significado bem amplo e no se reduz s falhas cometidas por distraoouinabilidadenarealizaodeumexperimento. Discutimos acima a terminologia empregada em descrever os erros em medidas, mas no mencionamos as causas dos vrios tipos de erros. Daremos a seguir uma idia das possveis fontes dos variados tipos de erros experimentais e veremos que algumas incertezas sempre estaro presentes nas determinaes de uma grandeza. Contudo, vale ressaltar que num trabalho experimental de qualidade, procura-se incessantemente reduzir ao mnimo essas incertezas.53.1 Erros de AcurciaFalhas(ouErrosGrosseiros):Soerros cometidos pordesconhecimento do assunto tratado, inabilidade,distrao etc, e, portanto, desqualificam o experimentalista. Podem surgir atravs de uma leitura errnea da escala utilizada, de um erro aritmtico, da aplicao da teoria onde ela no vlida etc. Exemplos:Senoclculodareadeumretngulodeladosaeb, usamos a expresso A = 2 a b, o fator errneo 2 produz um erro grosseiro. O mesmo acontece se, na montagem de um circuito eltrico, esquece-se de conectar um dos dispositivos do circuito. A prtica e o cuidado na realizao dos experimentos reduzem drasticamente tais falhas. Ao compararmos resultados, temos que ter certeza que esses tipos de erros no esto presentes.Erros Sistemticos:Soassimchamados por levarem, sistematicamente, os resultados paramais ouparamenos. Podemser causados por falhas noaparelhode medida; por calibrao incorreta (por exemplo, uma balana acusa valor diferente de zero mesmonaausnciadequalquer massasobreoseuprato); por aproximaestericas incorretas que muitas vezes representam apenas uma primeira aproximao ao problema e quenumexperimentocomrelativaprecisopodemaparecer comodiscrepncia (por exemplo, ao se calcular o tempo de queda de umcorpo de uma alturah, admitir desprezvel a resistncia do ar pode produzir um erro sistemtico).Taiserrosacimapodemsereliminadostotalmenteoureduzidosaalgumvalor extremamente pequeno. Agora vamos tratar com tipos de erros inerentes ao processo de medio.3.2 Erros de PrecisoErroInstrumental (ouErrode Escala): Na obteno de medidas utilizamos equipamentos, ento, estesdevemsercalibradosapartirdepadresconvenientemente definidos.A construo de uma escala implica a escolha de subdivises, em partes iguais, da unidade padro. No entanto, pode ocorrer que a grandeza a ser medida no corresponda a um nmero inteiro das subdivises existentes no aparelho.Deparamo-nos, destaforma, comoproblema de estimar afraodasubdivisoconsiderada. Ao estimarmos esta frao, introduzimos o Erro Instrumental que indica o grau de preciso 6de um dado instrumento. Assim, quanto mais preciso for um instrumento, menor ser o valor do erro instrumental.O Erro Instrumental representa a limitao do instrumento.Obteno do Erro InstrumentalAestimativadoErroInstrumental,envolvidonamedida deuma grandeza, depende do instrumento utilizado e da habilidade do experimentador. s vezes, a escala to grande que possvel estimar se o valor medido est, nitidamente, aqum ou alm da metade (ou de um quarto) da menor escala. Nesta situao, pode-se considerar como erro instrumental 1/4 (ou 1/8) da menor escala. Emoutras situaes, ao contrrio, as subdivises so to juntas que no possvel distingir o trao de referncia entre duas subdivises sucessivas. Nestecaso, deve-setomar comooerroinstrumental amenor diviso da escala. No entanto, neste curso, sempre que possvel, o ErroInstrumentalser tomado como sendoigual metade da menor diviso da escala do instrumento.Assim se, por exemplo, a menor subdiviso de uma rgua for o centmetro (cm), ento o erro instrumental ser de 0,5cm, ou se em um voltmetro a menor subdiviso for o milivolt (mV), o erro instrumental ser 0,5 mV. Isto se justifica pois1/2 diviso implica umaimprecisototalde+1/2-(-1/2)=1 diviso,que a menorsubdiviso da escalado aparelho.Erro Aleatrio: As condies sob as quais um experimento realizado podem no ser exatamente as mesmas a cada vez que se repete o experimento.Suponhamos que se queira estimar o tempo de queda de um corpo que se encontra a uma altura h. Ao se repetir o processo,se o corpo estiver ligeiramente acima ou abaixo do que na situao anterior, haverumaincertezanaalturah,queproduzirumaincertezanotempode queda. V-se, neste caso, que uma das variveis do experimento no est bem controlada, produzindo flutuaes aleatrias em torno de um valor, chamado de valor mais provvel. Estamargemdeflutuao, decorrentedeprocessos puramentealeatrios, oquese denomina de Erro Aleatrio. Talvez voc possa imaginar algum mecanismo que reduza drasticamente esta incerteza, o que implicarum menor erro aleatrio, mas, seguramente, surgir aleatoriedade se formos alm do grau de preciso deste mecanismo. Assim, o erro aleatrio inerente a todo processo de medida e deve ser convenientemente tratado. No erro de natureza aleatria, existe uma probabilidade igual de se errar para mais ou para menos, e o procedimento natural que se usa para trat-los a anlise estatstica que, para os propsitos desta disciplina, resume-se no seguinte:7 Melhor EstimativaAps cuidadosas repeties dos mesmos procedimentos, obtm-se umcerto nmero de medidas da grandeza que se quer medir. A melhor estimativa da medida desta grandeza ser obtida tomando-se a mdia aritmtica dos valores obtidos. Por exemplo: em um experimento qualquer, efetuamos N medidas de uma grandeza x, obtendo os valores, x1, x2, x3,..., xN . A melhor estimativa do valor x dada porx , ondexxNiiN==1 Clculo do Erro AleatrioO erro aleatrio obtido calculando-se a disperso das diversas medidas, obtidas experimentalmente, com relao ao valor mdio (Melhor Estimativa). Para isto, utiliza-se o conceito estatstico de varincia de uma medida, que dada por:oxiiNx xN2211==( )A idia existente na expresso acima a seguinte: a diferena ( ) x xi para cada um dos N valores de x, d uma medida de quanto o valor de cada medidaxi se afasta do valor mdiox . O efeito acumulativo destas diferenas obtido tomando-se a soma dos quadrados dasdiferenas, isto,( ) x xi 2.Observeque a somade quadrados uma somade termos positivos,logo, apenas o valor absoluto do desvio importante (de fato, fcil mostrar que a soma dos desvios ( ) x xi sempre igual a zero). Em seguida, determina-se a mdia desses desvios quadrticos. Contudo, existem apenas (N - 1) desvios independentes, pois, amdia x representaumvnculoentreosNvalores, isto, se conhecemos a mdiaxe (N - 1) dos valores x1,x2 ... xN, o n-simo pode ser obtido. Assim, (N - 1) o denominador correto. Para servir como medida do desvio na grandeza x, necessrio que a expresso tenha amesma dimensodexe, assim, araiz quadrada tomada, chegando-se expressoparaa EstimativadoDesvio Padro que ser utilizada como sendo oErro Aleatrio da srie de medidas realizadas, ou seja:8oxiiNx xN==( )211OBS.Arepetiodeumexperimentonumnmerolimitadodevezespodeser vista como umaAmostrade umaPopulaoEstatsticaque no caso corresponderia a repetir infinitamente o experimento.A utilizao da mdia aritmtica como a Melhor Estimativa (valor mais provvel) para ovalor de uma grandeza medida edoDesvio Padro, obtido comos desvios quadrticosdaamostra(confiraaequaoacima), comoumaEstimativadoDesvio Padro da Populao1, encontra fundamentao na Teoria Estatstica, desde que esta Amostra obedea certas condies de tamanho e critrio de escolha etc. Neste curso, vamos supor que essas condies estaro sendo satisfeitas.Erro Experimental Absoluto Foi dito anteriormente que ao relatar um resultado experimental, alm da Melhor Estimativa, devemos tambmrelatar a margemde confiabilidade destevalor. Como decidir, em meio a tantos tipos diferentes de erros, qual a margem de confiabilidade? Para responder pergunta acima, devemos levar em considerao a natureza de cada tipo de erro. Como regra geral, parte-se do pressuposto de que o experimentalista fez todos os esforosparaeliminar osvrios tiposdefalhas ouerros sistemticos.Por este motivo errosdeacurcianosorelatados. Assumindo que as falhas (erros grosseiros)e os erros sistemticos foram eliminados, restam os erros instrumentais e aleatrios.Suponhamos que os erros aleatrios sejammuitomaiores que a preciso do equipamento de medida.Neste caso sabe-se que o equipamento capaz de medircom uma preciso maior do que as flutuaes que surgema cada repetio da medida. Obviamente, neste caso, o erro aleatrio o dominante e o valor que deve ser relatado como erro experimental.Agora, suponhamos queasflutuaesnasvriasrepetiesdasmedidassejam menores do que a preciso de cada medida. Neste caso, no se pode determinar a medida com preciso maior do que a preciso do instrumento; logo, o erro no experimento o erro instrumental2.1No caso do clculo do Desvio Padro da Populao e no de sua estimativa, a equao a ser utilizada difere da equao acima pelo fato de o valor N substituir (N-1).2Se no for possvel repetir vrias vezes a medida de uma grandeza, o erro aleatrio ser indeterminado e o erro total ser dado pelo erro instrumental. Neste caso, a melhor estimativa da grandeza ser dada pelo nico 9Entretanto, se os dois tipos de erros foremcomparveis, o valor do Erro Experimental Absoluto ser dado pela adio dos erros envolvidos, ou seja:AX exp= AX ins trumental+AX aleatrio= AX instrumental + o4. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOSComo vimos, grande parte das medidas fsicas envolvem leituras de escalas e, no raro, deparamo-nos com um resultado que no coincide exatamente com uma das linhas dedivisodeescala. Teremos, ento, queestimaroalgarismofinal daleitura. Este algarismo estimado , at certo ponto, incerto. No entanto ele significativo, no sentido de queelenosforneceinformaesteissobreaquantidadequeestsendomedida.Os algarismossignificativosdeumamedidasoaquelesrazoavelmenteconfiveis. Na leitura de uma medida fsica,um e apenas um algarismo estimado ou incerto deve ser retido.Parafacilitar acompreenso do quefoidito acima,vejamosum exemplo:Um observador, medindo um comprimento com uma rgua milimetrada, registra o resultado da medidacomo sendo igual a 3,28cm. Como a rgua milimetrada, o algarismo 8 desta leitura foi estimado.Talvez o resultado da estimativa pudesse ser 7 ou 8 , de qualquer forma ela d uma certa informao sobre o comprimento; logo, til. A leitura feita pelo observador possui trs algarismos significativos. Um fato importante a se destacar o de que a localizao da vrgula nada tem a ver com o nmero de algarismos significativos. O resultado da medida, feita no exemplo acima, poderia ter sido escrita como 32,8mm ou 0,0328m; apesar da vrgula decimal ter sido deslocada, o nmero de algarismos significativos continua a ser trs em cada caso.Apresena de zeros emuma certa medida pode causar dificuldades que, entretanto, podem ser superadas se possuirmos as seguintes informaes:a) Se os zeros se localizam no incio de um nmero ( esquerda no nmero), isto , se esto l apenas para localizar a vrgula, eles no so considerados significativos, como no caso 0,0328m do exemplo anterior, onde existem trs algarismos significativos.b) Seoszerosselocalizam entre dois algarismos significativos,ento eles so sempre significativos: por exemplo se a leitura de um termmetro nos d 30,8oC , o zero significativo e este resultado possui, ento, trs algarismos significativos.valor medido.10c) Se os zeros estiverem no final de um nmero ( direita no nmero), necessrio que se tenha certo cuidado. Se no temos informaes explcitas sobre a leitura feita, no sabemos, a princpio, se um algarismo significativo ou se est l apenas para localizar o ponto decimal. Por exemplo: emumadeterminaodadistnciaentreduascidades obteve-se como resultado 325000 m, mas a acuidade da medida no passou da casa dos quilmetros. Ento, este resultado ser melhor expresso por 3,25 x 105 m, ficando claro que dispomos de apenas trs algarismos significativos. Outro exemplo: medindo-se umdeterminado comprimento comuma rgua milimetrada (que permite ler milmetros com exatido e estimar dcimos de milmetro), um resultado registrado como 20,00 cm totalmente correto, significando que o ltimo zero foi obtido como a melhor estimativa dos dcimos de milmetros. Seria errado representar oresultadopor 20cm, pois esteregistro, assimcomoest, nos informa erroneamente que o instrumento de medida somente nos permite estimar centmetros.A leitura registrada deve sempre expressar o grau de preciso da medida.Segundo uma das regras do trabalho cientfico, devemos registrar medidas guardandoapenasosalgarismossignificativosquandorealizamosclculosenvolvendo grandezas medidas diretamente. Incluir algarismos no significativos adicionais do uma idia falsa da medida e pode confundir as pessoas que venham a usar estes dados, pois eles acreditaro que todos os algarismos so significativos.Na determinao de uma dada grandeza, quanto mais precisas forem as medidas, maioronmerodealgarismossignificativos que aparecem no resultado.Se medirmos umapequenaespessuracomumarguamilimetrada, teremosumaleituracommenos algarismos significativos do que a leitura da mesma espessura medida comum micrmetro. Quando escrevemos umresultado comquatro algarismos significativos estamosinformando, aquemoconsultar,que um quinto algarismo no teria qualquer significado. Por exemplo: uma medida de comprimento feita com uma rgua milimetrada e registrada como 28,356 cm. O algarismo 6 no tem significado algum, pois a tentativa de estimar os centsimos de milmetros em uma rgua milimetrada no tem sentido.Ao serem feitas manipulaes aritmticas com resultados de medidas, preciso ter cuidado para no introduzir, nas respostas, algarismos no significativos.Onmero de algarismos significativos que devemser mantidos depende do nmero de algarismos significativos dos dados experimentais e das operaes aritmticas usadas. As regras comumente utilizadas nestas operaes so as seguintes:111)ADIO e SUBTRAORegra: antes de efetuar a adio ou a subtrao, deve-se arredondar as grandezas para a casa decimal do nmero com menor preciso.Exemplo 1:13,2 cm 13,2+18,86cm -------> 18,9 Resposta: 32,3 cm 0,210 cm0,2_____ ___32,3Exemplo 2:96cm96+ 7,6cm -------> 8 Resposta: 104 cm.0,32 cm 0_____ ___104Observe,neste exemplo,que o resultado, 104 cm, apresenta a casa das unidades como estimada, coerentemente como fatode ovalor 96cmpossuir omesmo grau de confiabilidade. Observe, tambm, que o aumento do nmero de algarismos significativos decorre de clculos e no compromete a preciso com que os resultados foram obtidos.Exemplo 3: 545,36 m 545,4__ 32,5 m -------> 32,5 Resposta: 512,9 m_____ ____512,9Exemplo 4: 1,93 m1,93__ 1,91 m ------->1,91 Resposta: 0,02 m ou _________ 2 x 10-2 m. 0,02Observe, neste exemplo, que o resultado da subtrao deve ser apresentado apenas com um algarismo significativo embora as duas medidas iniciais possussem trs algarismos significativos.12 1)MULTIPLICAO e DIVISORegra: namultiplicao ounadiviso, oresultadodeveapresentar omesmo nmero de algarismos significativos da medida que apresentar omenornmerode algarismos significativos.Exemplo 1:12,387 Nx8,23 mResposta: 102 J ________Obs. : N x m=J101,94501Exemplo 2:157,20 mx39,3 sResposta:4,00 m/s. _____ 4Observe, neste caso, que embora a diviso seja exata, a resposta deve ser dada com trs algarismos significativos, coerentemente com a medida que possui o menornmero de algarismos significativos (39,3 s).Observaes:1) Asregras estabelecidas acimareferem-searesultados demedidas. Existemcertos valores que resultamde contageme, portanto, no esto sujeitos a incertezas. Por exemplo, o nmero de alunos em uma turma ou o nmero de oscilaes de um pndulo. Igualmente, nmeros resultantes de definies, por exemplo, o nmero de metros existentes em um kilmetro, ou a relao entre o volume e o raio de uma esfera podem ser apresentados comabsolutapreciso, isto, podemser considerados comumnmero infinito de algarismos significativos.2) Arredondamentos:Ao se desprezar algarismos no significativos nas operaes aritmticas, as seguintes regras devem ser utilizadas:a) se o primeiro algarismo a ser desprezado for maior do que 5 ou se for um 5 seguido de algarismos diferentes de zero, o resultado deve ser acrescido de uma unidade.Exemplo: 8,35796 torna-se 8,36 se arredondado para trs algarismos significativos; 13torna-se 8,3580 se arredondado para cinco algarismos significativos;torna-se 8,4 se arredondado para dois algarismos significativos;b) se o primeiro algarismo a ser desprezado for menor do que 5, simplesmente despreza-se este e os sucessivos algarismos.Exemplo: 7,3623torna-se 7,362 se arredondado para quatro algarismos significativos;torna-se 7 se arredondado para um algarismo significativo;c) se o primeiro algarismo a ser desprezado for um 5 no seguido por qualquer outro algarismo, ou se for um 5 seguido apenas de zeros, ento, existem diferentes regras na literatura. Neste curso, vamos adotar a seguinte: acrescenta-se-lhe sempre um algarismo.Exemplos: 38,2500 torna-se 38,3 se arredondado para trs algarismos significativos;8,35 torna-se 8,4 se arredondado para dois algarismos significativos;As manipulaes algbricas com resultados de medidas ocorrem quando procuramos obter a Melhor Estimativa ou o Erro Aleatrio,e, principalmente, quando queremos determinar indiretamente alguma grandeza que depende de duas ou mais grandezas ( a densidade um exemplo, pois depende da massa e volume). Os erros em cada uma destas medidas se "propagam" para outras grandezas. Veremos a seguir como o erro se propaga e como determinar onmero de algarismos significativos emuma grandeza determinada por duas ou mais medidas.5. PROPAGAO DE ERROSSempre que trabalhamos com dados experimentais, nos deparamos com situaes onde necessrio que se efetuem clculos envolvendo duas ou mais grandezas s quais j esto associados os seus respectivos erros. Os valores resultantes destes clculos, em geral, so menos precisos do que os valores determinados, se possvel, atravs de umamedida direta da grandeza. Isto porque os erros vo se acumulando na medida emque manipulamos matematicamente as grandezas envolvidas.Os erros em uma quantidade calculada podem ser determinados a partir dos erros em cada uma das quantidades usadas, como veremos a seguir.145.1 SomaConsideremos duas grandezas A e B representadas, respectivamente, por a=aDaeb=bDbSetivermosquecalcular umaquantidadec=a+b, adotaremososeguinte procedimento:c a b a b = + + ( ) ( ) A Aou seja, tomamos como Melhor Estimativa da grandezac, a soma das melhores estimativas de a e b:c a b = +e o erro absoluto associado a c dado pela soma dos erros associados a a e b:5.2 SubtraoO mesmo raciocnio usado acima para a adio pode ser estendido subtrao. Se queremos calcular uma quantidade c=a -b, teremos:c=ab abou seja,c=abe, c=abTalvez voc possa ter estranhado o fato de o erro absoluto asssociado subtrao ser dado pela soma dos erros absolutos individuais. Isto ocorre porque, como j sabemos, os erros vo se acumulando medida que efetuamos clculos envolvendo grandezas que j os contm. Portanto, se tivssemos dito que Ac = Aa - Ab, estaramos afirmando que um erro compensa o outro,o que incorreto5.3 Produto SimplesSuponha que precisamos estimar o erro cometido no clculo de grandezas fsicas dadas por expresses do tipo:c =a . bA A A c a b = +15Sabemos que o resultado deste produto deve ser uma expresso do tipo:c=ccComo o valor da varivel c est compreendido no intervalo ( cmin=cc e cmax=cc ), obteremos uma expresso para Ac calculando:cmax=amax. bmax= aa bb=abbaababcmin=amin. bmin= aa bb=abbaaba badmitindo que aa ebb