Fisica Total Ensino Médio

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B em-vindo ou bem-vinda! Este é o seu segun- do volume do curso de Física curso de Física curso de Física curso de Física curso de Física! Apresentamos os principais conceitos estudados em Física. A maioria deles aparece em situações que podem ser observadas no seu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no céu... Com isso, buscamos mostrar a você que os fenômenos físicos ocorrem em todo lugar e a todo momento todo lugar e a todo momento todo lugar e a todo momento todo lugar e a todo momento todo lugar e a todo momento, e que os conhecimentos da Física estão acessíveis a todas as pessoas que têm curiosidade em relação a eles, mesmo as pessoas que estejam fora das universidades ou dos laboratórios científicos. Essa maneira de expor idéias - por meio de situações comuns, observando o que ocorre ao nosso redor - facilita a compreensão dos conceitos científicos, muitas vezes abstratos, e ajuda a explicar os mais diversos fenômenos que ocorrem na natureza. Seu livro de Física está dividido em dois volumes. No primeiro, você aprende um pouco mais sobre os fenômenos físicos e de que modo essa ciência estuda tais fenômenos. Observar fenômenos relacionados aos movimentos movimentos movimentos movimentos movimentos, analisa forças forças forças forças forças, verifica que existem diferentes formas de energia energia energia energia energia na natureza, descobre fenômenos que ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetos em líquidos, e muitas outras questões. Nesta parte da Física, a maioria dos fenômenos estudados são macroscópicos macroscópicos macroscópicos macroscópicos macroscópicos, isto é, são visíveis para todos nós. No segundo volume, você aprende mais coisas sobre o calor calor calor calor calor e a temperatu- temperatu- temperatu- temperatu- temperatu- ra ra ra ra ra, sobre o som som som som som, sobre a luz luz luz luz luz e como ela se comporta, e estuda fenômenos relacionados à eletricidade eletricidade eletricidade eletricidade eletricidade. Além disso, vê alguns temas de Física Moderna Física Moderna Física Moderna Física Moderna Física Moderna, como a tão falada Física Nuclear Física Nuclear Física Nuclear Física Nuclear Física Nuclear. Nessa parte, você estuda a interpretação microscópica microscópica microscópica microscópica microscópica dos fenômenos, isto é, interpretação daquilo que não é diretamente observado a olho nu. Os livros estão organizados da seguinte maneira. Cada aula abre com a seção Para começar Para começar Para começar Para começar Para começar. Ali você vai encontar uma introdução ao principal assunto tratado na aula. Apresentamos uma situação, ou uma pergunta, re- lacionada aos conceitos que serão discutidos. A aula, propriamente dita, tem início na seção Fique li- Fique li- Fique li- Fique li- Fique li- gado gado gado gado gado. Aí é bom ficar bem atento, pois serão discutidos e explicados os conceitos novos. Apresentaçªo

Transcript of Fisica Total Ensino Médio

Apresentao

em-vindo ou bem-vinda! Este o seu segundo volume do curso de Fsica Apresentamos os principais conceitos estudados Fsica! em Fsica. A maioria deles aparece em situaes que podem ser observadas no seu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no cu... Com isso, buscamos mostrar a voc que os fenmenos fsicos ocorrem em momento, todo lugar e a todo momento e que os conhecimentos da Fsica esto acessveis a todas as pessoas que tm curiosidade em relao a eles, mesmo as pessoas que estejam fora das universidades ou dos laboratrios cientficos. Essa maneira de expor idias - por meio de situaes comuns, observando o que ocorre ao nosso redor - facilita a compreenso dos conceitos cientficos, muitas vezes abstratos, e ajuda a explicar os mais diversos fenmenos que ocorrem na natureza. Seu livro de Fsica est dividido em dois volumes. No primeiro, voc aprende um pouco mais sobre os fenmenos fsicos e de que modo essa cincia estuda tais fenmenos. Observar fenmenos relacionados aos movimentos movimentos, analisa foras verifica que existem diferentes formas de energia na natureza, foras, descobre fenmenos que ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetos em lquidos, e muitas outras questes. Nesta parte da Fsica, a maioria dos fenmenos estudados so macroscpicos isto , so visveis para todos ns. macroscpicos, No segundo volume, voc aprende mais coisas sobre o calor e a temperatura sobre o som sobre a luz e como ela se comporta, e estuda fenmenos ra, som, relacionados eletricidade Alm disso, v alguns temas de Fsica Moderna eletricidade. Moderna, como a to falada Fsica Nuclear Nessa parte, voc estuda a interpretao Nuclear. microscpica dos fenmenos, isto , interpretao daquilo que no diretamente observado a olho nu. Os livros esto organizados da seguinte maneira. Cada aula abre com a seo Para comear Ali voc vai comear. encontar uma introduo ao principal assunto tratado na aula. Apresentamos uma situao, ou uma pergunta, relacionada aos conceitos que sero discutidos.

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A aula, propriamente dita, tem incio na seo Fique ligado. gado A bom ficar bem atento, pois sero discutidos e explicados os conceitos novos.

Outras duas sees vo aparecer com freqncia:

massa, Com a mo na massa na qual sugerimos atividades ou exerccios para serem feitos no decorrer da aula.

Passo-a-passo em que apresentamos exemplos ou Passo-a-passo, exerccios resolvidos detalhadamente.

No final da aula existem mais duas sees importantes: terminar, Para terminar na qual apresentamos, de forma reduzida, os principais conceitos discutidos.

Finalmente, na seo Mos obra voc vai encontrar obra, alguns exerccios que vo ajudar a fortalecer seus estudos.

Esperamos que, a partir deste estudo, voc, caro aluno ou cara aluna, passe a observar de outra forma a natureza que o[a] cerca, e mais do que isso, saiba que a cincia uma maneira mais organizada de estudar o que acontece na natureza, e que o conhecimento - que vem sendo acumulado durante sculos e milnios - fruto da curiosidade de vrias geraes de homens e de mulheres. Compreendendo melhor a cincia, possvel observar o mundo com outros olhos, com os olhos no apenas de um simples observador, mas de um cidado ou de uma cidad que compreende muitas coisas e que pode participar da construo das transformaes que ocorrem no mundo de hoje e na nossa sociedade!

Desejamos a voc bons estudos!

AUTORIA Alberto Gaspar Cristiano Rodrigues de Mattos - coordenador Ernst W. Hamburger - supervisor Norberto Cardoso Ferreira Roberta Simonetti APOIO Universidade de So Paulo

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O mundo da FsicaA

curiosidade do homem pode ser compreendida de vrias maneiras: alguns dizem que vem de uma necessidade de sobrevivncia, outros dizem que uma forma de prazer ou, ainda, no pensamento religioso, que uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coisa no podemos negar: o homem curioso!l l l l l l

Por que as coisas caem? O Sol uma bola de fogo? A Terra est parada? E a Lua, como ela fica l em cima? Quando comeou o tempo? Como surge o pensamento? Como surgiu a vida? Existe vida depois da morte?

Essas so perguntas que o homem vem se fazendo h muito tempo. Algumas sabemos responder, outras no. Algumas tm mais de uma resposta, a diferena est no mtodo usado para respond-las. Alguns mtodos permitem conhecer o mundo que nos cerca, outros nos levam a iluses sobre este mundo. Observe estes casos:

HORSCOPO:

ESPELHO, ESPELHO MEU... VOC SABIA?

A Lua energiza seu signo apesar de estar em fase com saturno com o qual apresenta tenso Voc deve tenso. aproveitar as vibraes de mercrio que completa hoje seu ciclo ciclo. Assim, curta hoje os seus amigos. Nmero de sorte 23.

Para vermos inteiramente nosso rosto num espelho plano suficiente que ele tenha metade do tamanho (altura) do rosto. Tente observar este fato.

Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados num jornal ou falados pela televiso. Freqentemente encontramos frases que propem, sugerem, ou mesmo ordenam que faamos, ou no faamos, certas coisas: No fume no elevador. Lei Municipal nmero tal.

Essa afirmao tenta nos dizer que se fumarmos no elevador estaremos sujeitos s penas da tal lei. Voltemos aos quadros. O primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situao dos astros em que podemos, ou no, acreditar. Mais ainda, nos fala para curtir os nossos amigos, o que bom, e, indiretamente, prope que joguemos no nmero 23. Dentro do quadro encontramos palavras que parecem cientficas: energizar vibrao energizar, vibrao, tenso, fase. tenso fase O texto usa essa linguagem para tentar nos convencer de que tudo que foi escrito verdade. Mas os horscopos so produtos da Astrologia que no uma cincia. Suas definies no so exatas e variam de astrlogo para astrlogo. Na verdade o que foi dito a opinio de quem fez o horscopo e o astrlogo pode, ou no, acertar as suas previses. No segundo quadro estamos no campo da cincia. Ele procura nos descrever um fato Se uma pessoa, em qualquer lugar do mundo, seguir as instrues e se fato. olhar num espelho que tenha, pelo menos, metade da altura do seu rosto, conseguir ver o rosto por inteiro. No estamos mais diante de uma opinio mas opinio, sim de um fato, que pode ser verificado. Devemos ouvir o que as pessoas tm a dizer, porm devemos ser capazes de julgar o que foi dito. No porque saiu no jornal ou deu na tv que verdade! Por outro lado, devemos ter cuidado, pois julgar no discordar de tudo, o importante fazer perguntas ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suas perguntas, explicaes. A cincia e seus mtodos podem nos ajudar a responder muitas perguntas, a tomar posies e a fazer julgamentos.

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Uma questo de mtodoA cincia uma forma de olhar o mundo, mas no a nica. Muitas pessoas imaginam que as perguntas religiosas esto completamente separadas das perguntas cientficas, mas isso nem sempre verdade. Por exemplo, Isaac Newton, quando criou o conceito de fora queria evidenciar a ao de Deus fora, no mundo: suas perguntas eram religiosas e se confundiam com as cientficas. O mtodo cientfico tem permitido humanidade construir conhecimentos sobre o mundo, propiciando compreender e controlar a natureza em alguns aspectos. O mtodo cientfico busca uma verificao dos fenmenos por meio de observaes e experincias (fatos), ou seja, busca na natureza a resposta para suas perguntas e a confirmao de suas hipteses (opinies baseadas em fatos). Por exemplo, uma pergunta que vem sendo feita desde a Antigidade se refere queda dos corpos um corpo pesado e um leve, soltos ao mesmo tempo corpos: e de uma mesma altura, chegam juntos ao cho? Vrias pessoas deram solues para essa pergunta. Os gregos antigos achavam que o lugar natural das coisas pesadas era o solo, por isso caem, sendo que as de maior peso chegam primeiro. Assim como as coisas leves sobem para o cu, lugar natural do que leve, como o fogo ou os gases quentes. Essa forma de olhar a queda dos corpos se manteve por muitos milnios, quase como uma afirmao sagrada, da qual no se podia duvidar, mas, por volta de 1500, cientistas criaram o mtodo experimental que a base do mtodo cientfico. Um fenmeno que experimental, ocorre em todos os lugares, como o reflexo de um rosto num espelho, chamado de um fenmeno natural. Galileu Galilei, o primeiro a escrever sobre esse mtodo, estudou o fenmeno da queda dos corpos fazendo observaes e medies do fenmeno, ou seja, ele comeou a observar como, quando e em que situao o ocorria. fenmeno ocorria Galileu deixou cair uma bala de canho e uma de mosquete, cem vezes mais leve, do alto da Torre de Pisa, na Itlia.

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Isso permitiu a Galileu chegar seguinte concluso:

1Homem de esprito cientfico e pesquisador, o italiano Galileu Galilei (1564-1642) deu muitas contribuies cincia, principalmente no campo da Astronomia.

Dois corpos abandonados, ao mesmo tempo, de uma mesma altura, chegam juntos (simultaneamente) ao solo, mesmo que tenham pesos diferentes.

Figura 1. Torre de Pisa

primeira vista essa afirmao nos surpreende, porque raramente temos a oportunidade de ver uma formiga e um elefante caindo simultaneamente de uma mesma altura e verificar se eles chegam juntos ao cho! Ento usemos o mtodo cientfico, duvidemos dessa afirmativa!Vamos usar o mtodo experimental para verificar se ela correta!

O mtodo experimentalO que voc vai fazer agora uma experincia simples para observar a queda dos corpos na superfcie da Terra e conhecer um pouco mais sobre o mtodo experimental. Pegue uma folha de papel do seu caderno. Segure a folha sobre a palma da mo esquerda e o caderno sobre a palma da direita, mantendo os dois mesma altura do cho, como mostra a Figura 2. Espere alguns instantes e solte-os ao mesmo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rpido rpido?

Voc deve estar pensando que a resposta bvia: o caderno chega primeiro! Afinal ele mais pesado. Pois bem, voc tem razo, mas somente na primeira parte da sua resposta. Realmente, nessas condies, o caderno cai mais rpido do que a folha de papel. Ou seja, apenas confirmamos o que j se esperava.Figura 2

Faamos outra experincia. Pegue duas folhas iguais de papel. Coloque cada uma na palma de cada mo. Espere alguns instantes e solte-as ao memo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rpido? Provavelmente uma das duas caiu mais rpido do que a outra. E se voc repetir essa experincia diversas vezes, em vrias tentativas, a da direita cair primeiro e em outras a da esquerda cair primeiro. Isso significa que essa experincia no conclusiva. No podemos afirmar, antes de fazer a experincia, qual folha cair mais rpido. Mas como podem dois corpos de mesmo peso no cairem juntos? O que est atrapalhando? Podemos fazer algumas hipteses hipteses. Talvez o ar esteja, de alguma forma, atrapalhando a descida das folhas e de maneira incontrolvel, pois a cada descida as folhas percorrem caminhos diferentes, e chegam em instantes diferentes. Podemos, e devemos testar essa hiptese hiptese: Pegue duas folhas de papel, amasse uma completamente, at formar uma bola e segure-a com a mo direita; com a palma da mo esquerda, segure a outra folha sem amass-la. Espere alguns instantes e solte-as. Faa novamente a pergunta: qual dos dois objetos cai mais rpido rpido? Nessa experincia podemos ver claramente que o ar interfere na queda dos corpos, pois a folha amassada cai rapidamente, e em linha reta, e a outra no. Ser possvel diminuir a influncia do ar sobre o movimento da folha de papel? Pegue seu caderno novamente, sustentando-o sobre a palma da mo direita. E agora coloque a folha sobre o caderno. Espere alguns instantes e solte-os. Qual rpido? dos dois objetos cai mais rpido Se voc repondeu que os dois caem juntos, maravilha! O que fizemos? Ns controlamos a experincia. Impedimos que o ar atrapalhasse a queda da folha de papel e tambm pudemos ver que tanto a folha, cho. quanto o caderno, caem juntos at o cho Com essa experincia foi possvel compreender que:

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Nem sempre, os fenmenos naturais so observados com facilidade. Para estudar as leis da natureza, temos de criar condies adequadas, que possam ser controladas.

Essa foi a grande sacada de Galileu ao criar o mtodo experimental. Nas prximas aulas, voltaremos a estudar o movimento da queda dos corpos na superfcie da Terra. Demos um exemplo do mtodo experimental, que a base do mtodo cientfico, utilizado pela cincia, incluindo a Fsica. Mas, o que mesmo Fsica?

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O que a Fsica?H cerca de 200 anos, no precisaramos nos preocupar com essa pergunta. Os conhecimentos que esto includos no que hoje chamamos Fsica, Qumica, Astronomia (no confunda com Astrologia!), Engenharia etc. estavam todos dentro do que se chamava Filosofia Natural Natural. Mas as informaes sobre as substncias, sobre o movimento dos astros, a construo de mquinas sobre a natureza e os artefatos construdos pelos homens foram crescendo tanto, que foi necessrio o estabelecimento de cincias diferentes.

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O escocs James Watt (17361819) aperfeioou a mquina a vapor. Sua contribuio para a Revoluo Industrial foi decisiva.

Com Galileu Galilei, houve um grande avano na cincia. Com a ajuda do mtodo experimental, desenvolveram-se muitas tcnicas que, cada vez mais, foram sendo aplicadas no dia-a-dia do homem. A inveno da mquina a vapor, em 1769, por James Watt e, mais as descobertas de Ampre e outros com relao eletricidade, fez com que surgissem pessoas interessadas tambm em o que fazer com esses conhecimentos. Pessoas se preocupavam e se dedicavam a aplicar os conhecimentos da cincia e so agora os engenheiros, mais interessados na tecnologia, que abandonaram a Filosofia Natural.

Daquele conjunto de conhecimentos que era a Filosofia Natural restou o estudo da Mecnica, do Calor, da Eletricidade, do Eletromagnetismo, da Luz, etc, que recebeu o nome de Fsica.

As divises da FsicaA Fsica estuda vrios tipos de fenmenos da Natureza. Para facilitar o seu estudo costuma-se dividi-la. At o incio do sculo as principais partes da Fsica eram: a Mecnica a Termodinmica e o Eletromagnetismo Mecnica, Termodinmica, Eletromagnetismo. No sculo XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entre eles: Fsica Atmica e Nuclear Mecnica Quntica Relatividade Os novos Nuclear, Quntica, Relatividade. conceitos introduzidos neste sculo provocaram uma verdadeira revoluo na Fsica. Hoje comum tambm dividir a Fsica em Clssica (antes de 1900) e Moderna (aps 1900). Alguns desses assuntos sero abordados ao longo do nosso curso. O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia, e identifica qual o ramo da Fsica que trata de respond-las.

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PERGUNTASl

QUEM RESPONDE MECNICA

ALGUNS CONCEITOS

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Por que somos jogados para frente do nibus quando ele freia bruscamente? Por que nos dias de chuva mais difcil frear um automvel? Como um navio consegue boiar?

Fora Espao Inrcia Tempo Velocidade Massa Acelerao Energia Densidade Calor Energia trmica Presso Volume Dilatao Temperatura Mudanas de estado Raio de luz Reflexo Refrao Lentes Espelhos

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Como funciona um termmetro? Por que o congelador fica na parte superior da geladeira? O que ocorre com a naftalina, que some do fundo da gaveta? Como vemos os objetos? Como os culos ajudam a melhorar a viso? Como se forma a nossa imagem num espelho? O que a corrente eltrica? Como funciona um chuveiro eltrico? Para que serve um fusvel? O que , de fato, a luz? O que compe todas as coisas? O que so microondas?

TERMODINMICA

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PTICA

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ELETROMAGNETISMO

Carga eltrica Corrente eltrica Campos eltricos Campos magnticos Ondas eletromagnticas tomos Ncleos Ftons Eltrons

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FSICA ATMICA/NUCLEAR

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Aplicaes da FsicaDesde tempos imemoriais homens e mulheres investigam os fenmenos da natureza para poderem viver melhor. Sua curiosidade os fez aprofundar em seus conhecimentos sobre os ciclos do dia e da noite, sobre as fases da Lua, as estaes do ano; sobre como se desenvolvem plantas e animais, para melhorar a agricultura e as criaes, e assim produzir mais alimentos; sobre como produzir e controlar o fogo, e inventar ferramentas que facilitam o trabalho. A construo de casas, represas, pontes; a utilizao da roda, de carros e dos diferentes tipos de mquinas, tudo isso foi sendo incorporado ao conhecimento da humanidade. Nos ltimos sculos, a cincia vem avanando muito rapidamente, assim como a tecnologia, que aplica os conhecimentos cientficos a situaes prticas. Tornou-se possvel fazer mquinas muito pesadas - os avies - voarem, facilitando, depois, a construo de outras - as naves espaciais, que levaram o homem Lua e que nos ajudam a desvendar os mistrios do universo. J se conhece muita coisa sobre o universo e as estrelas mas as pesquisas estrelas, ainda no se esgotaram. Sabemos que o Sol, a estrela mais prxima da Terra, essencial para a existncia da vida em nosso planeta planeta. Praticamente toda energia utilizada na Terra provm do Sol: ele nos fornece calor, luz e calor que so fundamentais para a manuteno da vida. E, hoje, existem equipamentos que permitem aproveitar mais e melhor essa energia. Um ramo importante da Fsica a Fsica Nuclear, que deu origem a reatores nucleares que produzem energia eltrica Com os conhecimentos desse ramo da eltrica. Fsica tambm foi possvel construir bombas nucleares, que so as armas de destruio mais ameaadoras, para a humanidade e para nosso planeta, j construdas. No entanto, graas a esse mesmo conjunto de conhecimentos, foram desenvolvidos equipamentos e tcnicas para a Medicina que salvam muitas vidas, pois permitem saber como esto funcionando os rgos no interior do corpo humano. Exemplo disso so as radiografias (chapas de raios X as X), tomografias e as ultra-sonografias. Os conhecimentos adquiridos no ramo da Fsica Atmica nos permitiram construir lmpadas especiais que produzem o laser - um tipo de luz dotada de certas caractersticas que permitem fazer microcirurgias (como as realizadas nos olhos), abrir cortes e fech-los em cirurgias diversas, dispensando, em algumas situaes, o uso do bisturi. O laser tem tambm muitas aplicaes na indstria, como em dispositivos para cortar metais, em aparelhos de som que fazem as chamadas leituras digitais e em outros equipamentos.

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A inveno dos computadores tambm ocorreu em conseqncia da aplicao de conceitos da Fsica Eletrnica e Microeletrnica. A utilizao de computadores vem revolucionando as indstrias com a automatizao dos processos de produo, como, por exemplo, nas fbricas de automveis, de tecidos e de alimentos. Tambm est presente em bancos e lojas: os cartes magnticos de bancos e de crdito so usados como substitutos do dinheiro. Nossa sociedade est aproveitando cada vez mais os avanos cientficos e tecnolgicos que possibilitam uma melhor qualidade de vida para um nmero cada vez maior de pessoas. O resultado desses avanos aparecem na maior quantidade e na melhor qualidade de alimentos, na melhoria da sade, numa vida mais longa, na maior comunicao entre as pessoas (livros, jornais, rdio, televiso, informtica), entre outras coisas. Na prxima aula, vamos dar o primeiro passo dessa longa caminhada pelo Fsica. mundo da Fsica

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A culpa da barreira!

torcida vibra. Daquela distncia gol na certa, quase um pnalti. O rbitro conta os passos regulamentares. A regra diz: so 10 passos (9,15 metros) para a formao da barreira, mas ela nunca fica na posio correta. Os jogadores avanam, o rbitro ameaa, mostra o carto amarelo para um ou outro jogador, eles se afastam, voltam a avanar e a falta acaba sendo batida assim mesmo. gol?

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Figura 1

Nem sempre e, muitas vezes, a culpa da barreira. Todos concordam, torcida, comentaristas, rbitros, dirigentes, mas parece que nada se pode fazer. Afinal quem garante que a distncia no estava certa? Ser que os passos do juiz so um instrumento de medida confivel ? E se ele for baixinho ou muito alto ou estiver mal-intencionado, querendo prejudicar um dos times? Voc compraria um terreno medido desse jeito? Muitas sugestes j foram feitas - at proibir a formao da barreira -, mas ningum pensaria em dar uma trena ao juiz para que ele, com o auxlio do bandeirinha, medisse a distncia correta. Seria to absurdo como levar um juiz de futebol para medir um terreno. So coisas diferentes que exigem formas diferentes de agir. No futebol, a preciso das medidas no muito necessria e, de certa forma, toda aquela movimentao na cobrana de uma falta tambm faz parte do jogo. Muita gente at acha que se fosse tudo muito certinho o futebol perderia a graa, mas certamente medir um terreno desse jeito no teria graa nenhuma.

Entretanto, durante muito tempo, as medidas de comprimento foram feitas assim, utilizando partes do corpo humano como instrumentos de medida. O dimetro de um dedo, o tamanho de um palmo, p ou brao, o comprimento de um passo foram utilizados como medidas de comprimento durante sculos por todos os povos da Antigidade. comum, at nos dias de hoje ouvir dizer: esta mesa tem 10 palmos ou esta sala tem 30 ps. E, assim, todos os objetos so medidos comparando-os com outros objetos especiais que hoje chamamos de padres padres. medida que o comrcio entre os povos foi se desenvolvendo, surgiu a necessidade de criar padres utilizveis por todos. Pense na dificuldade dos chineses em comercializar sua seda com os europeus se ambos no usassem um padro comum de comprimento? Porm, de nada adiantaria criar padres se no fosse possvel compar-los. Para isso foram criados instrumentos de medida que, com o tempo, foram sendo to aperfeioados que exigiram que se adotassem padres mais precisos. A histria das grandezas fsicas a histria da necessidade de fazer medidas e de todo o progresso que da resultou. Apesar de existir uma quantidade enorme de grandezas, unidades e instrumentos de medida, a Fsica procura operar com o menor nmero possvel para simplificar sua tarefa e tornar mais fcil a troca de informaes entre todos aqueles que com ela trabalham ou dela precisam. o que vamos ver em seguida.

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Grandezas, padres e unidadesNem tudo pode ser medido. Como medir a preguia de uma pessoa ou o amor que ela sente por outra? Seria possvel criar um amormetro? Para os fsicos isso impossvel, preguia e amor no so grandezas fsicas No d fsicas. para dizer que algum tem 300 de preguia e 689,5 de amor. Esses nmeros no significam nada porque no existe um padro para essas grandezas. Grandeza . fsica alguma coisa que pode ser medida, isto , que pode ser representada por um nmero e uma unidade. Veja alguns exemplos: l A distncia da bola barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros metros. l A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas gramas. l O tempo de uma partida de 90 minutos minutos. No primeiro exemplo, a grandeza fsica o comprimento e a unidade a massa, jarda ou o metro. No segundo, a grandeza fsica a massa a unidade o grama, grama um submltiplo da unidade quilograma. No terceiro exemplo, a . grandeza fsica o tempo a unidade o minuto, um mltiplo da unidade tempo, segundo. segundo Nesses exemplos esto trs grandezas fundamentais comprimento, massa fundamentais: e tempo. A partir dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras grandezas que, por isso, chamam-se grandezas derivadas . So exemplos de derivadas. grandezas derivadas a rea de uma superfcie, o volume e a densidade de um corpo, a velocidade e acelerao de um automvel, a fora exercida por um motor e muitas outras. Veja alguns exemplos prticos onde aparecem grandezas (*) derivadas e suas unidades: l Um terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundo. A sua 2 rea (A) : A = 8 m 25 m = 200 m ou 200 metros quadrados, que uma unidade de rea.(*) Essas grandezas foram colocadas aqui apenas para servir de exemplo. Elas sero estudadas mais adiante no curso.

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Uma lata de leo de 900 cm (centmetros cbicos) contm 720 g (gramas) 3 3 de leo. A densidade (d)* desse leo : d = 720 g 900 cm = 0,8 g/cm ou 0,8 gramas por centmetro cbico que uma unidade de densidade. cbico, l Um carro percorre 120 km (quilmetros) em 2 h (horas). A sua velocidade mdia (vm)* : vm = 120 km 2 h = 60 km/h ou 60 quilmetros por hora hora, que uma unidade de velocidade. Todas essas unidades so derivadas. O metro quadrado deriva do metro o metro, metro, grama por centmetro cbico deriva do quilograma e do metro o quilmetro segundo. por hora deriva do metro e do segundol

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At h algum tempo, no havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse reconhecido e adotado em todo mundo ( por isso que no futebol, inventado pelos ingleses, as distncias costumam ser medidas em jardas). A partir de 1948, esse conjunto comeou a ser estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI) Atualmente, s os Estados (SI). Unidos ainda no adotam o SI, mas passaro a utiliz-lo em breve.

O Sistema Internacional de Unidades (SI)O SI estabelece 7 grandezas fsicas fundamentais das quais so derivadas todas as outras. So elas:COMPRIMENTO MASSA TEMPO CORRENTE ELTRICA TEMPERATURA QUANTIDADE DE MATRIA INTENSIDADE LUMINOSA

A Mecnica utiliza as trs primeiras e suas derivadas. Cada unidade fundamental tem um padro alguma coisa que pode ser padro, reproduzida em qualquer lugar. Por exemplo, se algum for verificar se uma rgua tem suas divises corretas deve utilizar o padro adequado. Os padres de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo tm definies segundo, muito complicadas devido s exigncias da Cincia e da Tecnologia modernas. O padro de massa o mais antigo, criado em 1889, e tambm o mais simples (Quadro 1). Cada pas deve ter laboratrios capazes de reproduzir os padres ou cpias devidamente aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa desempenhada pelo Inmetro, Instituto Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial, do Ministrio da Indstria e do Comrcio. No necessrio saber essas definies, entretanto importante saber que existem os padres, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas de express-las (Quadro 2 - ver pgina 19).QUADRO GRANDEZA NOME

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TRS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI SMBOLO DEFINIO

Comprimento

Metro

mkg

Distncia percorrida pela luz, no vcuo, num intervalo de tempo de 1/299792458 s. Massa de um cilindro padro de platina-irdio conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Svres, na Frana. Durao de 9.192.631.770 perodos da radiao de transio de dois nveis do estado fundamental do tomo do csio 133.

Massa

Quilograma

Tempo

Segundo

s

Observaes 1. Note que os smbolos no so abreviaturas, por isso no tm ponto final. 2. As definies sero discutidas mais adiante no curso, por isso, no necessrio decor-las.

QUADRO GRANDEZA

2 - ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SINOME SMBOLO

A U L A m2 3 m m/s m/s2 3 kg/m

rea Volume Velocidade Acelerao Densidade

Metro quadrado Metro cbico Metro por segundo Metro por segundo ao quadrado Quilograma por metro cbico

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Existem inmeras unidades prticas ainda em uso devido ao costume ou s suas aplicaes tecnolgicas. Muitas dessas unidades, principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo e serem substitudas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda so muito usadas e interessante conhec-las (algumas delas se encontram no Quadro 3).QUADRO GRANDEZA

3-

ALGUMAS UNIDADES PRTICAS MAIS USADAS SMBOLO ( S) RELAO COM A UNIDADE CORRESPONDENTE DO SI

NOME (S )

Comprimento

Massa

Tempo

rea

Volume Velocidadev

Milmetro v Centmetro v Quilmetro R Polegada Y P Y Jarda Y Milha Y Grama v Tonelada R Quilate Y Libra Y Arroba Y Minuto R Hora R Dia R Hectare R Alqueire (SP) Y Alqueire (MG, RJ e GO) Y Litro R Quilmetro por hora R Milha por hora Y N YR

mm cm km in ft yd mi g t lb min h d ha l km/h mi/h Y

0,001 m 0,01 m 1.000 m 0,0254 m ou 2,54 cm 0,3048 m ou 30,48 cm 0,9144 m ou 91,44 cm 1.609 m ou 1,609 km 0,001 kg 1.000 kg 0,0002 kg ou 0,2g 0,454 kg ou 454g 14,688 kg 60 s 60 min ou 3.600 s 24 h ou 86.400 s 2 10.000 m 2,42 ha 4,84 ha 0,001 m3 ou 1.000 cm3 (1/3,6) m/s 1,609 km/h 1,852 km/hUnidades no-pertencentes ao SI

voc deve ter notado que algumas unidades tm smbolos diferentes, como a polegada o p e a jarda. Essas unidades foram adaptadas do ingls: polegada inches, da o smbolo in; p feet, por isso seu smbolo ft e a jarda yard, por isso seu smbolo yd. Atualmente comum utilizar o smbolo pol. para indicar a unidade polegada.

Submtiplos do SI

Mltiplos do SI

Algarismos significativosQuando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dvida: com quantos algarismos se escreve uma medida? Tente medir o dimetro do seu lpis. Que resultado voc obteve? 7 mm? 7,1 mm? 7,15 mm?

Essa pergunta tem inmeras respostas e todas podem estar certas respostas, certas!

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Se voc mediu com uma rgua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se voc dispe de um instrumento mais preciso, como um micrmetro ou um paqumetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se voc repetir a medida vrias vezes pode ser que em cada uma ache um valor diferente! Como saber qual o valor correto? Como escrever esse valor? Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma s forma de escrev-lo. O valor de uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele est graduado e, s vezes, do prprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do dimetro do lpis com uma rgua comum ser feita na escala em que ela graduada (centmetros ou milmetros) e dificilmente algum conseguir express-la com mais de dois algarismos. Nesse caso, certamente o segundo algarismo avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso, possvel fazer uma medida com um nmero maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o duvidoso. Todos os algarismos que se obtm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, so algarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um pouco diferente mas, ao escrev-lo, dever utilizar o nmero correto de algarismos significativos. Paqumetro e micrmetro - instrumentos de preciso

Figura 2 - Paqumetro

Figura 3 - Micrmetro

Uma rgua comum no permite medidas muito precisas porque no h como subdividir o espao de 1 mm: a distncia entre os traos muito pequena. O paqumetro e o micrmetro so instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante escala de uma rgua comum e uma escala mvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor diviso da escala fixa. No paqumetro, essa escala corre junto escala fixa, enquanto que no micrmetro ela est gravada numa espcie de cilindro mvel que gira medida que se ajusta ao instrumento para efetuar a medida (veja as Figuras 2 e 3).

Passo a passoSuponha que, ao medir o dimetro desse lpis com um paqumetro, Maristela encontre o valor 7,34 mm e Rosinha 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que elas tm certeza do 7 e do 3, mas o ltimo algarismo incerto. Imagine agora que elas resolvam entrar num acordo e considerar, como melhor medida, um valor que seja igual mdia aritmtica dos seus resultados. Qual ser esse valor? Para achar a mdia aritmtica m basta somar as medidas de cada um e dividir por 2 (que o nmero total de medidas). Assim teremos:

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7, 34mm + 7, 37mm 2 14,71mm m= = 7,355 mm 2m= Ser correto expressar o dimetro do lpis com tantos algarismos? claro que no! Se cada uma s teve certeza de dois algarismos e avaliaram, discordando, mais um no tem sentido dar uma resposta com quatro um, algarismos! Nesse caso, para manter a coerncia e expressar a medida com o nmero correto de algarismos significativos, deve-se desprezar o ltimo algarismo obtido no clculo da mdia aritmtica. comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo que restou. Teremos ento 7,355 mm = 7,36 mm que a melhor forma de expressar a mm, mdia aritmtica das medidas de Maristela e Rosinha: mantm-se os mesmos dois algarismos dos quais tm certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. provvel que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a mdia aritmtica ter um nmero muito maior de parcelas e o seu valor representar melhor o dimetro do lpis.

Talvez no haja um s dia em nossas vidas em que no se conviva com alguma forma de medida. Ao nascer ganham-se os primeiros nmeros: altura e peso (seria melhor, comprimento e massa). A partir de ento, as grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez mais variadas e complexas. Temos que nos familiarizar com novos instrumentos de medida, relgios, balanas, termmetros, medidores de combustvel, de presso, de consumo de gua ou energia eltrica e o que mais o progresso exigir. No entanto, mais importante que tudo isso, entender que toda medida resulta de um esforo do homem para compreender e interpretar a natureza. Fomos ns, seres humanos, que criamos as grandezas, os padres, as unidades e os instrumentos de medida. Portanto, nenhuma medida a expresso da verdade, independentemente do nmero de algarismos significativos que possua. H, certamente, medidas e instrumentos mais confiveis, processos de medio mais adequados a determinados fins. E importante distinguir uns dos outros. A vida tem mais barreiras do que parece e preciso ser capaz de perceber se elas esto distncia correta, se o juiz mediu corretamente os passos regulamentares, se os jogadores no avanaram. Caso contrrio, como dizem os jogadores, fazer um gol fica muito difcil!

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Exerccio 1 Nas palavras a seguir, procure distinguir quais so, ou no, grandezas fsicas: cansao, calor, energia rapidez curiosidade trabalho honestidaenergia, rapidez, curiosidade, trabalho, de, pontualidade, fora, de pontualidade temperatura, fora acelerao e coragem.

Exerccio2 Siga os exemplos e faa as transformaes de unidades pedidas ao lado: Exemplos 5 cm = 5 0,01 m = 0,05 m 0,75 km = 0,75 1.000 m = 750 m 5,8 in = 5,8 0,0254 m = 0,14732 m I Transforme a) 3 cm em m b) 2,5 mm em m c) 0,8 km em m d) 1,2 ft em m e) 4,5 in em m f) 20 yd em m g) 500 mi em m a) b) c) d) e) f) 5m em 0,4 m em 3m em 1,2 m em 150 m em 180.000 m em em em em mm mm cm cm km km kg kg kg g g t t

1 m = 1 000 mm 1 m = 100 cm 1 m = 0,00 1km

II

3,5 g = 3,5 0,001 kg = 0,0035 kg

III

a) 12 g b) 20 t c) 50 lb a) b) c) d)

1 kg = 1.000 g 1 kg = 0,001 t

IV

0,7 kg em 8,2 kg em 300 kg em 630.000 kg em

5 min = 5 60 s = 300 s 1 h 20 min = 1h + 20 min = = (1 3.600 s) + (20 60 s) = = 3.600 + 1.200 = 4.800 s 2,8 l = 2,8 0,001 m3 3 3 4,5 l = 4,5 1.000 cm = 4.500cm

V

a) 1,5 min em s b) 2 h 15 min em s c) 5 h 22 min13 s em s a) 500l b) 69l em em m 3 cm3

VI

Exerccio 3 O dimetro de muitas peas cilndricas (canos, roscas, parafusos etc.) costuma ser dado em polegadas ou fraes de polegadas. Seguindo o exemplo ao lado, faa as tranformaes pedidas. Exemplos I) Transformar 4,5 in em mm: 4,5in=4,5 25,4 mm = 114,3 mm II) Transformar 3/4 in em mm: 3/4 in = 0,75 in = 0,75 25,4 mm = 19,05 mm Transforme em mm a) 3,0 in b) 6,8 in c) 1/4 in d) 5/16 in

Exerccio 4 comum encontrar em nossas estradas uma placa onde est escrito: Velokm. cidade mxima 80 km Voc acha que essa placa est certa?

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Exerccio 5 Trs pessoas, utilizando um paqumetro, medem o dimetro de um cilindro e obtm as seguintes medidas: 38,45 mm, 38,41 mm e 38,42 mm. Qual o valor mdio dessa medida, expresso com o nmero correto de algarismos significativos?

Exerccio 6 Uma estrela est a 400 anos-luz da Terra. Isso significa que a luz dessa estrela demora 400 anos para chegar Terra. Qual a distncia entre essa estrela e a Terra? (Dado: velocidade da luz no vcuo = 3 108 m/s ou 300.000.000 m/s).

Sugestes A distncia da estrela Terra a distncia percorrida pela luz. Como vamos ver na prxima aula, essa distncia pode ser calculada multiplicando-se a velocidade da luz pelo tempo que ela gasta para vir da estrela Terra. O tempo deve ser dado em segundos, logo voc deve transformar anos em segundos. Admita que 1 ano = 365 dias.

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Bola pra frenteN

as aulas anteriores, descrevemos alguns aspectos da Fsica, bem como discutimos algumas unidades utilizadas nessa cincia, principalmente num de seus ramos: a Mecnica. exatamente aqui que iniciaremos o estudo da Fsica propriamente dito. Vamos comear por uma das partes da Mecnica: a Cinemtica. A Cinemtica o estudo dos movimentos. Mas ela no vai muito a fundo. Se estivermos interessados em descrever apenas como um determinado objeto est se movendo, estaremos trabalhando dentro da Cinemtica. nesse campo que vamos estudar a velocidade dos objetos, sua acelerao, fazer previses sobre onde poder ser localizado um objeto que est se movendo com determinadas caractersticas e assim por diante. Porm, se quisermos conhecer as causas, ou seja, por que um objeto est se movendo de uma certa maneira, j estaremos em um outro campo da Mecnica: a Dinmica. Para saber como se movem os objetos e fazer previses a respeito de seu movimento precisamos, inicialmente, localiz-los, isto , saber onde eles esto.

Figura 1

Localizando os objetosEstdio cheio! O goleiro bate o tiro de meta, tentando jogar a bola fora de campo para ganhar tempo. A torcida vaia! Um torcedor tira uma foto do lance e, mais tarde, mostrando a foto, tenta explicar a situao para o filho: A bola estava a 15 m da bandeirinha, do lado esquerdo do nosso goleiro, a 6 m de distncia da lateral esquerda e a 3 m de altura. Aparentemente, a bola estava localizada. A foto ajudou muito! Na realidade, ele deveria dizer que os 15 m foram medidos sobre a lateral esquerda e, no, entrando 15 m pelo campo e, assim por diante. Um fato importante que, para localizarmos um objeto que se movimenta no espao, como o caso da bola, precisamos fornecer trs distncias. Alm disso, necessrio explicar como foram feitas as medidas, e a partir de que ponto. No exemplo, o ponto em questo era uma das bandeirinhas que limitam o campo.

Todavia, os objetos em seu movimento, s vezes podem ser localizados de maneira mais fcil. o caso, por exemplo, das bolas de bilhar que, em geral, andam apenas sobre uma superfcie plana.

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Figura 2

B ILHETE DE SHERLOCK HOLMES PARA SEU ASISTENTE Quando cheguei aqui, percebi que a bola branca tinha sido movida. Ontem eu tinha feito uma marca de giz num dos cantos da tabela, perto de uma das caapas. Eu medi, ento, 80 centmetros sobre a lateral maior da mesa. Depois, medi 67 centmetros at a bola. Eu tinha dado ordens expressas para que nada fosse tocado, pois a bola branca deveria estar com as impresses digitais do criminoso. Eu fechei tudo antes de sair! Hoje, quando cheguei aqui, a situao tinha mudado. As novas medidas eram, na mesma ordem, 68 cm e 79 cm. Algum esteve aqui! A bola no pode ter se deslocado sozinha! Discutiremos depois. Abraos, Sherlock

Lendo o bilhete deixado pelo famoso detetive Sherlock Holmes para seu assistente, que estava chegando ao local do crime, vemos que Holmes procura localizar bem a bola branca. Para tanto, ele utiliza apenas duas distncias, e, alm disso, um ponto a partir do qual efetuou as medidas das distncias. No caso, o ponto era a marca de giz feita perto da caapa.

Existem situaes cuja localizao do ponto que desejamos estudar pode ser feita de maneira ainda mais fcil. A Figura 3 mostra um pisto dentro de um motor de automvel. O pisto se move, dentro de um cilindro, para cima e para baixo. Assim sendo, para localizarmos o ponto P, marcado no cilindro, bastar conhecer apenas uma distncia: por exemplo, sua distncia at a base do pisto 6 cm.Figura 3

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Os objetos mudam de posio - ReferenciaisPara localizar os objetos no espao, no plano e ao longo de uma reta, a Fsica utiliza maneiras especiais. So os sistemas de referncia (ou referenciais). (a) (b) (c)

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Figura 4

No primeiro caso, no campo de futebol, a posio da bola poderia ser dada da seguinte maneira: escolhemos um ponto O - no caso, a base da bandeirinha e trs eixos que podem ser entendidos como trs rguas: OX, OY e OZ. Com o auxlio dessas trs rguas, medimos as distncias: x = 15 m, y = 6 m e z = 3 m. Com esses trs valores podemos localizar a bola de futebol. No segundo caso, na mesa de bilhar, necessitamos da origem, ou seja, do canto marcado com giz e das duas distncias. Aqui, houve uma mudana de posio. Ento teremos duas posies da bola de bilhar: A - primeira posio: x = 80 cm, y = 67 cm B - segunda posio: x = 68 cm, y = 79 cm Finalmente, para o pisto, teremos de indicar que a origem a base do pisto e que a posico do ponto P x = 6 cm. Esses sistemas de referncia servem para localizar os objetos que estamos estudando e tambm para auxiliar na compreenso das mudanas de sua posio. Foi assim que Sherlock descobriu que a bola de bilhar tinha sido movimentada.

Os objetos se movimentamVimos anteriormente que os referenciais podem nos ajudar a saber quando a posio de um objeto varia. A bola de bilhar mudou da primeira posio: que podemos chamar de A (x = 80, y = 67), para a posio que poderamos chamar de B (x = 68 cm, y = 79 cm). Falamos, nesse caso, em deslocamento. Deslocamento apenas uma mudana de posio. Porm, o deslocamento poderia ter sido feito em 1 segundo, em 1 hora ou num tempo qualquer. Mais ainda: a bola poderia ter ido diretamente de A para B ou, ento, ter passado por caminhos os mais variados, com maior ou menor velocidade etc. Quando estivermos interessados em conhecer no somente o deslocamento da bola, mas tambm o percurso que ela fez, como se deslocou ao longo desse percurso, se foi mais ou menos rapidamente, assim por diante, estaremos estudando o movimento da bola. No movimento de um objeto, estudamos, portanto, como ocorreram seus deslocamentos ao longo do tempo e a trajetria (o caminho, o percurso) que ele seguiu.

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3Figura 5

Na mesma marchaVamos iniciar nosso estudo dos movimentos por uma situao bastante simples. A Figura 6 representa um tubo de vidro contendo leo de cozinha. O tubo tapado com uma rolha de borracha. Se, com auxlio de uma seringa e de uma agulha de injeo, colocarmos uma gota de gua dentro do leo, a gota vai descer lentamente, sempre na mesma marcha. Podemos estudar tambm gotas que subam! claro que, nesse caso, gua no serve! Mas, se usarmos lcool, poderemos colocar uma gota espetando a agulha da seringa na rolha de borracha. Ela vai subir, tambm, sempre na mesma marcha, isto , sempre com a mesma velocidade. esse movimento que iremos estudar: o de uma gota de lcool subindo num tubo contendo leo. J vimos que, para o estudo de um movimento, necessitamos de um referencial. O movimento da gota , de certo modo, parecido com o do pisto. A gota vai andar apenas numa direo. Assim, bastar apenas uma rgua para ser usada como referencial. Precisamos tambm saber quando a gota estava em determinada posio. Ento, ser necessrio um relgio ou, melhor ainda, um cronmetro.

Figura 6

Bola pra cima!x (cm)

Vamos supor que a gota de lcool j esteja subindo atravs do leo. Se fotografssemos o tubo e o relgio, de 4 em 4 segundos, ficaramos com um conjunto de fotos semelhante ao representado na Figura 7. Os nmeros que aparecem perto dos relgios representam os instantes em que foram tiradas as fotos. A primeira foto aquela em que o cronmetro estava marcando zero. Depois, temos fotos nos instantes 4, 8 at 32 s. Ns acrescentamos, nesse conjunto de fotos, um eixo que substitui a rgua, e outro no qual so indicados os instantes. Vamos supor que, lendo a posio na rgua em Figura 7 cada foto, obtivssemos a Tabela 1. Ou seja: na primeira foto, a gota estaria na posio x = 18 cm, da rgua. Na segunda foto ela estaria na posio x = 22 cm etc. No instante 32 s, a gota se encontraria na posio x = 50 cm.

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Analisando a Tabela 1 podemos ver, por exemplo, que entre os instantes t1= 4 s e t2 = 20 s, a gota passou da posio x1 = 22 cm para a posio x2 = 38 cm.TABELA

t (s) 0 4 8 12 16 20 24 28 32

1 x (cm) 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Portanto ela se deslocou 38 - 22 = 16 cm Porm, entre 4 s e 20 s, decorreram: 20 - 4 = 16 s Dessa maneira, a gota percorreu 16 cm em 16 s. Como a gota percorreu o trecho sempre com a mesma marcha, sua velocidade foi de 1 cm/s. Essa foi sua velocidade mdia.

Definimos velocidade mdia como sendo:deslocamento tempo x 2 - x1 t 2 - t1

vmdia =

=

As duas diferenas x2- x1 e t2 - t1 , costumam ser representadas por Dx e Dt (D uma letra grega, delta, assim, lemos delta x e delta t). No necessrio usar obrigatoriamente os instantes t1 = 4 s e t2 = 20 s. Poderamos usar t1 = 12 s (nesse caso a posio x1 seria 30 cm - veja na Tabela 1), e t2 = 32 s (nesse caso, a tabela diz que a posio x2 50 cm). Ento: vmdia =50 - 30 32 - 12 = 20 cm 20 s = 1 cm / s

Nesse movimento, como se v, a velocidade da gota no varia. Ela anda sempre em linha reta e na mesma marcha! Em todos os instantes, a velocidade da gota igual sua velocidade mdia. por isso que esse movimento chamado Uniforme. Movimento Retilneo Uniforme No necessitamos ento escrever vmdia bastar escrevermos v (de velocidade). Uma caracterstica do Movimento Retilneo Uniforme esta: a velocidade em qualquer instante, igual velocidade mdia.

Outras gotas, outras velocidadesTABELA

t (s) 0 4 8 12 16 20

2 x (cm) 12 20 28 36 44 52

Se introduzssemos outras gotas dentro do leo, por exemplo uma gota maior, poderamos constatar que a velocidade seria diferente. Se a gota fosse maior, ela subiria com velocidade maior. Poderamos ter, por exemplo, uma situao igual quela representada pelo grfico da Figura 8 e pela Tabela 2.

x (cm)

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3t (s)

Figura 8

Tanto nesse caso, como na situao anterior, todos os pontos do grfico ficam numa reta. Essa outra caracterstica do Movimento Retilneo Uniforme.

No Movimento Retilneo Uniforme, o grfico da posio em funo do tempo uma linha reta. Vamos calcular a velocidade da gota neste caso. Se escolhermos: t 1 = 4 s ento x1 = 20 cm t 2 = 12 s ento x2 = 36 cm A velocidade ser: v = vmdia =Dx Dt

=

x 2 - x1 t 2 - t1

=

36 - 20 12 - 4

=

16 8

= 2 cm / s

Se compararmos os grficos dos dois movimentos, como est na Figura 8, podemos ver que a reta que representa o movimento da gota mais rpida, mais inclinada do que a primeira. Pode-se dizer que: Quanto maior for a velocidade de um objeto, mais inclinada, com relao ao eixo dos tempos, a reta que representa esse movimento.

Desce!Vamos voltar e supor, agora, que a gota seja de gua. Ela vai ser introduzida pela parte superior e descer ao longo do tubo. Se rgua, no mexermos na rgua as posies da gota, em seu movimento, vo diminuir, ou seja, os valores da posio vo decrescer. Poderamos TABELA 3 ter uma tabela como a 3 e t (s) x (cm) um grfico como o da 0 55 Figura 9.30

5 10 15 20 25

45 35 25 15 5

t (s)

Figura 9

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Vamos calcular a velocidade da gota nesse caso. Se escolhermos: t 1 = 5 s ento x1 = 45 cm t 2 =20 s ento x2 = 15 cm A velocidade ser: v = vmdia =Dx Dt

3

=

x 2 - x1 t 2 - t1

=

15 - 45 20 - 5

=

30 15

= - 2 cm / s

Qual o significado dessa velocidade negativa? Ela indica que a gota est se deslocando no sentido oposto orientao da rgua. Trocando em midos: a gota est indo de posies que so representadas por nmeros maiores para posies representadas por nmeros menores. Porm, se tivssemos invertido a rgua antes de colocar a gota, a velocidade seria positiva! Isso porque a gota iria das posies menores para as posies maiores. Esse um fato bastante importante: o sinal da velocidade depende de como colocamos a rgua! A velocidade depende do referencial.

Como localizar a gota em qualquer instanteTABELA

t (s) 8 10 t 6 4 12 2

4 x (cm) 20 24 x 16 12 28 8

Vamos supor que tivssemos uma tabela que descrevesse um movimento uniforme, como os anteriores, mas que os valores estivessem embaralhados (Tabela 4). Mais ainda: no meio deles, colocamos um par de valores desconhecidos: t e x . Vamos ver que, se utilizarmos a definio de velocidade mdia duas vezes, poderemos obter uma funo muito importante. Vamos calcular a velocidade mdia escolhendo: t1 = 8 s ento x1 = 20 cm t2 = 10 s ento x2 = 24 cm

A velocidade ser: v = vmdia =Dx Dt

=

x 2 - x1 24 - 20 4 = = = 2 cm/s t 2 - t1 10 - 8 2

Vamos agora escolher: s entox t1 = 6 s ento x1 = 16 cm entox t2 = t s ento x2 = x cm A velocidade mdia ser:x 2 - x1 x - 16 Dx vmdia = D t = t - t = t - 6 2 1

Porm, sabemos que vmdia= 2 cm/s, como foi visto um pouco atrs.

Ento, ficaremos com:x - 16 t - 6

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=2

ou seja,

x - 16 = 2 (t - 6) x - 16 = 2 t - 12

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ento:

x=2t+4

Esta a chamada funo horria da posio Ela serve para determinarmos posio. a posio do objeto que est se movendo em linha reta com velocidade constante, em qualquer instante. Por exemplo: se fizermos t = 6 s, teremos: x = 2 6 + 4 = 16 cm, que o valor dado na Tabela 4. Podemos fazer o inverso, calcular em que instante o objeto passou, ou vai passar, por determinada posio. Por exemplo: saber, em que instante o objeto vai estar na posio x = 40 cm. Assim, teremos: 40 = 2 t + 4 40 - 4 = 2 t 36 = 2 t 2 t = 36 t = 18 s Por outro lado, para o instante t = 0, teramos x = 4 cm. Esse valor exatamente o 4 que aparece na funo horria. De maneira geral, podemos escrever a funo horria como: x = x0 + v t onde: x a posio no instante t; v a velocidade; x0 a posio no instante t = 0.

Um outro grficoNa Figura 6, tnhamos uma gota que descia pelo tubo com leo numa velocidade constante de 2 cm/s. Qualquer que fosse o instante, a velocidade era a mesma: 2 cm/s. Assim, uma tabela para a velocidade em funo do tempo e o grfico correspondente seriam:v (cm/s) v (cm/s)TABELA

5 2 2 2 2 2 2

t (s) 0 4 8 12 16 20

v (cm/s)

t (s)

t (s)

Figura 10

Figura 11

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Aparentemente, o grfico da Figura 10 no nos d muitas informaes. Todavia, com ele podemos saber quanto a gota se deslocou entre dois instantes. Vamos calcular qual a rea do retngulo que foi desenhado no grfico da velocidade, que est na Figura 11. A altura do retngulo vale 2 cm/s, e sua base (12 s - 4 s), ou seja, 8 s. Como a rea do retngulo o produto da base pela altura, teremos: rea = 2 cm/s 8 s = 16 cm. Por outro lado, consultando a Tabela 2 (Figura 8), veremos que entre os instantes 4 s e 12 s, a gota foi da posio 20 cm para a posio 36 cm e, dessa maneira, andou 16 cm, que foi o valor encontrado para a rea do retngulo. Poderamos pensar que isso foi uma coincidncia. Porm, voc poder calcular a rea de outros retngulos na mesma figura e verificar que a rea vai ser igual ao deslocamento!

Passo a passoTABELA 6 t (s) x (cm) 0 56 1 48 2 40 3 32 4 24 5 16 6 8

Uma pessoa anotou as posies e os tempos para um objeto movendo-se em linha reta e obteve a Tabela 6. Construa o grfico da posio em funo do tempo e o da velocidade em funo do tempo. Admitindo-se que esse objeto se mova sempre dessa maneira, determine o instante em que passa pela posio x = 20 cm e qual a posio nos instantes t = 7,0 s e t = 3,5 s. Usando o grfico da velocidade, determine o deslocamento entre 2 s e 6 s.

x (cm)6

30 16

Os pontos da tabela que do a posio, em funo do tempo, quando colocados num grfico, ficam como o que est na Figura 12.

t (s)

Figura 12

Se escolhermos dois instantes, e suas respectivas posies, podemos calcular a velocidade mdia do objeto. Vamos usar, por exemplo, os valores: t1 = 2 s x1 = 40 cm t2 = 5 s x2 = 16 cm A velocidade mdia ser: v = vmdia =Dx Dt

=

x 2 - x1 t 2 - t1

=

16 - 40 5 - 2

=

- 24

3

= - 8 cm / s

Como a velocidade constante, e igual - 8 cm/s o grfico da velocidade uma reta paralela ao eixo t como mostra a Figura 13. A posio no instante t = 0 vale 56 cm, a funo horria da posio vai ser portanto:Figura 13

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x = 56 - 8 t Com auxlio dessa funo, calculamos o instante que o objeto passa pela posio x = 20 cm: 20 20 - 56 - 36 t = 56 - 8 t =-8t =-8t = 4,5 s

Podemos calcular tambm a posio, x no instante t = 3,5 s x = 56 - 8 3,5 x = 56 - 28 x = 28 cmv (cm/s) 0 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 - 32 5 6 7 t (s)t t

Figura 14

Calculando-se a rea do retngulo no grfico da velocidade entre os instantes t = 2 s e t = 6 s (Figura 14), vemos facilmente que esse valor : -32 cm. Isso pode ser verificado observando que, entre esses dois instantes, o objeto foi da posio 40 cm para a posio 8 cm. Isto , voltou 32 cm.

Passo a passoPedro mora em So Pedro da Aldeia que fica a 200 km de So Joo das Almas onde mora Joo. Exatamente entre as duas cidades, est Meipolis, outra cidade da regio. Um carro est a 40 km de So Pedro e vai para So Joo por uma estrada reta, com velocidade constante de 80 km/h. Depois de quanto tempo vai passar por Meipolis e quando vai chegar em So Joo? Em geral, os problemas sobre movimento retilneo uniforme tm um aspecto semelhante ao descrito acima. Para resolv-lo, necessitamos definir um referencial. referencial Como dissemos anteriormente, qualquer pessoa pode definir o seu sistema de referncia. Suponhamos que Pedro tivesse definido um e Joo, um outro. Veremos que as respostas s questes vo ser as mesmas.

Figura 15

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Pedro pensou assim: Vou medir as distncias a partir de So Pedro. O carro partiu de uma posio situada a 40 km daqui, ento, sua posio inicial x0 ser 40. medida que o tempo passa, os valores da posio vo aumentando. Ento sua velocidade v positiva, e vale 80 km/h. Logo, a funo horria da posio vai ser:

Joo pensou assim: Vou medir as distncias a partir de So Joo. O carro partiu de uma posio situada a 160 km daqui, ento sua posio inicial x0 ser 160. A medida que o tempo passa, os valores da posio vo diminuindo. Ento sua velocidade v negativa, e vale 80 km/h. Logo, a funo horria da posio vai ser:

x Pedro = 40 + 80 tCom essa funo, eu posso calcular em que instante o carro vai passar por Meipolis. Basta que eu faa x Pedro = 100 km, pois Meipolis est a 100 km daqui. Ento:

x Joo = 160 - 80 t

Com essa funo eu posso calcular em que instante o carro vai passar por Meipolis. Basta que eu faa xJoo = 100 km, pois Meipolis est a 100 km daqui. Ento:

100 = 40 + 80 t 100 - 40 = 80 t 60 = 80 t 3 t = h = 45 min 4E vai chegar em So Joo quando x Pedro = 200 km

100 = 160 - 80 t 100 - 160 = - 80 t - 60 = - 80 t 3 t = h = 45 min 4

200 = 40 + 80 t 200 - 40 = 80 t 160 = 80 t t=2h

E, vai chegar em So Joo quando x Joo = 0 km pois eu conto as distncias partir daqui. Ento:

0 = 160 - 80 t - 160 = - 80 t t=2h

Como podemos ver, os resultados obtidos foram idnticos apesar das funes horrias serem diferentes. As funes horrias dependem do referencial que cada pessoa constri. Porm, desde que o raciocnio seja coerente, os resultados para as questes vo ser os mesmos.

Exerccio 1 Um carro anda 160 km em 2 horas. Qual sua velocidade mdia? Qual a distncia que ele percorre em 4 horas? Se essa velocidade for mantida, quanto tempo gastar para percorrer 400 km? Exerccio 2 Um objeto est se movendo numa trajetria retilnea e suas posies com relao ao tempo esto dadas no grfico da figura abaixo. Determine:x (m)

a) b) c) d) e)

Sua posio no instante t = 0 (x0). x Sua velocidade mdia. Sua funo horria. Sua posio no instante t = 10 s. Quando passa pela posio x = 180 m.

120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 t (s)

Exerccio 3 Um objeto move-se em uma trajetria retilnea. O grfico de sua velocidade est na figura abaixo.v (cm/s) 15

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3

a) Qual o valor de sua velocidade? b) Qual seu deslocamento entre os instantes t = 4 s e t = 20 s?

10

5

0

4

8

12 16 20

t (s)

Exerccio 4 Um objeto se move sobre uma trajetria retilnea. As posies ocupadas por esse objeto, com relao ao tempo, esto dadas na tabela. Determine:TABELA T (S)

7X (M )

a) A funo horria da posio. b) A posio no instante t = 12 s. c) O instante no qual a posio vale 80 m.

1 2 3 4 5

10 15 20 25 30

Exerccio 5 Considere um problema semelhante ao do exemplo descrito no texto. Nesse caso, o carro est indo de So Joo para So Pedro, com uma velocidade de 50 km/h. Em que instante vai passar por Meipolis e quando vai chegar em So Pedro?v = 50 km/h

Nesta aula voc aprendeu: que para localizar um ponto precisamos saber uma, duas ou trs distncias do mesmo at um ponto fixo (referencial); que um corpo em movimento, pode ser localizado por meio de uma relao chamada funo horria; como obter a funo horria para um corpo movendo-se com velocidade constante; como descrever esse movimento por meio de grficos e tabelas.

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4

Acelera Brasil!

uponhamos que tenha sido realizado um estudo que avalia dois novos veculos do mercado: o Copa e o Duna. As pesquisas levantaram os seguintes dados:TABELA VECULO COPA

S

1DUNA

Velocidade mxima Velocidade aps 10 segundos

50 m/s (180 km/h) 30 m/s (108 km/h)

50 m/s (180 km/h) 20 m/s (72 km/h)

Levando em conta apenas essas informaes, voc seria capaz de responder: melhor? qual o melhor Para poder responder, preciso analisar as informaes fornecidas. l Quanto velocidade mxima atingida os dois podem andar no mximo a 180 km/h: houve empate e no podemos responder pergunta. l Quanto velocidade do veculo aps 10 segundos so diferentes nos dois casos, mas para afirmar qual o melhor precisamos saber o que indica essa medida, isto , entender o seu significado significado.

Entendendo mais sobre a pesquisaVeja como ela foi realizada: inicialmente os veculos estavam parados; portanto suas velocidades eram nulas (zero). Num dado momento, o juiz deu a largada e os dois partiram numa pista reta reta. O primeiro fato importante que voc deve observar que a velocidade deixa de ser nula aps a largada. Isso quer dizer que houve variao da velocidade velocidade. O segundo fato importante que no mesmo tempo (10 segundos) o Copa atinge 30 m/s e o Duna apenas 20 m/s. A segunda medida relaciona duas grandezas: a variao da velocidade e o variao. tempo gasto para ocorrer essa variao Observe a Tabela 2.TABELA VECULO

2COPA DUNA

Velocidade inicial Velocidade final Variao da velocidade Intervalo de tempo

0 30 m/s 30 m/s 10 s

0 20 m/s 20 m/s 10 s

Veja que a velocidade do Copa variou de 0 a 30 m/s e a velocidade do Duna variou de 0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos! Voc j sabe qual a velocidade de cada veculo aps 10 segundos, mas...

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4

O que ocorre com a velocidade a cada instante?TABELA

3 DUNA t (s) 0 2 4 6 8 20

COPA v (m/s) 0 6 12 18 24 30 t (s) 0 2 4 6 8 10

v (m/s) 0 4 8 12 16 20

A Tabela 3 indica, para alguns instantes, o valor da velocidade marcada pelo velocmetro. Observe que, medida que o tempo passa, a velocidade varia para ambos os veculos. Observe que num mesmo instante, a velocidade do Copa maior do que a do Duna. Pode-se dizer que o Copa melhor, porque arranca mais rpido.

Uma nova grandeza fsicaQuando falamos em arranque, na verdade estamos nos referindo relao entre duas grandezas: variao da velocidade e tempo Essa nova grandeza, que tempo. nos ajudou a decidir qual dos dois o melhor uma grandeza fsica e recebe o nome de acelerao acelerao. Acelerao uma medida da variao da velocidade de um corpo num certo intervalo de tempo. Esse o conceito de acelerao Pode-se tambm definir acelerao com a acelerao. ajuda da Matemtica. Como calcular a acelerao? Pegue, na Tabela 3, o valor da velocidade em dois instantes quaisquer e calcule inicialmente a variao da velocidade (v), isto , a diferena entre as duas e o intervalo de tempo correspondente (t). Por exemplo, para o Copa: t1 = 2s t2 = 8s e e v1 = 6 m/s v2 = 24 m/s

v = v2 - v1 = 24 - 6 = 18 t = t2 - t1 = 8 - 2 = 6

Para calcular a acelerao, basta dividir essa variao pelo intervalo de tempo necessrio para que ela ocorra. Definimos: Acelerao a =Dv Dt

Assim teremos:a = 18 6 = 3(?)

Qual a unidade usada para a grandeza acelerao acelerao?

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Uma unidade para a aceleraoVeja que a grandeza acelerao vem da combinao de duas outras grandezas: velocidade e tempo portanto a sua unidade obtida a partir das tempo, unidades dessas duas grandezas. Observe que a velocidade do Duna varia dois metros por segundo a cada segundo, assim teremos metro por 2 segundo por segundo, abreviando m/s s ou m/s . De forma geral, a unidade da acelerao dada por uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo ao quadrado. 2 Portanto, a acelerao do Copa 3 m/s . Lembre-se uma grandeza fsica Lembre-se: deve sempre vir acompanhada de sua unidade (Aula 2). Nesse caso, se voc calcular a acelerao para dois instantes de tempo valor. quaisquer ir obter sempre o mesmo valor Isso quer dizer que a acelerao no varia. varia Podemos concluir que: Nesse movimento a acelerao constante. Verifique essa afirmao calculando a acelerao para quatro intervalos de tempo diferentes para o Copa e quatro para o Duna.

4

Outra maneira de representar um conjunto de dadosOs dados da Tabela 3 podem ser representados por um grfico, basta marcar os valores de v e t , isto , v1 e t1,v2 e t2,v3 e t3,v4 e t4,v5 e t5 e uni-los com uma reta:v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (m/s)

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

t (s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

Figura 1. Grficos v X t para o Copa ( esquerda) e para o Duna ( direita).Duna

Voc viu como calcular a acelerao a partir dos dados da Tabela 3. Viu que, com esses mesmos dados, foi construdo o grfico da Figura 1. Portanto o grfico e a tabela representam o mesmo conjunto de dados. dos Logo, deve ser possvel obter o valor da acelerao a partir do grfico. Agora, observe o grfico da Figura 2, que mostra a velocidade do Duna em funo do tempo.

v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3

a

v t

v8 t8

v4 t4

(v8, t8)

(v4, t4)

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

Figura 2. Grfico v X t para o Duna.

Tome dois pontos, por exemplo os pontos (v4 e t4) e (v8 e t8). Pela definio, a acelerao obtida dividindo-se a variao da velocidade (representada pela linha pontilhada vertical) pelo intervalo de tempo (representado pela linha pontilhada horizontal). Assim teremos:a = 16 - 8 8 - 4 = 8 4 = 2 m / s2

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Observe o grfico da Figura 3; nele esto representadas as retas que descrevem as velocidades do Copa e do Duna em funo do tempo.Grfico de v x t v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Copa

Duna

t (s)

Figura 3. Grfico de v X t do Copa e do Duna.

Observe que a reta que representa o movimento do Copa mais inclinada, e lembre-se de que ele tem maior acelerao. Portanto, pode-se afirmar que: Num grfico de velocidade em funo do tempo v X t (que se l "v versus t"), quanto maior for a acelerao mais inclinada ser a reta que representa o movimento.

Prevendo resultadosTABELA

4 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4

v (m/s) v0 = 3 v1 = 6 v2 = 9 v3 = 12 v4 = 15

Ser possvel conhecer a velocidade dos veculos em outros instantes, por exemplo, quando t = 9 segundos? A resposta sim! Mas como? Veja: num certo momento, o co-piloto do Copa decidiu anotar os valores da velocidade, porm, o veculo j estava em instante. movimento naquele instante Observe na Tabela 4 os dados que ele anotou.

Voc j conhece duas maneiras de representar um conjunto de dados: atravs de tabelas e de grficos; mas existe outra! Vamos calcular outra vez a acelerao do Copa, agora escolhendo o par (v4, t4) da tabela 4 e um par (v,t) qualquer: t4 = 4s tv - 15 t-4

e e

v4 = 15 m/s v

Podemos escrever:

a=

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Sabemos que a acelerao do Copa 3 m/s , assim:3 = v - 15 t - 4

2

4

ou seja, ento:

v - 15 = 3 (t - 4) v - 15 = 3 t - 12 v=3+3t

Essa funo matemtica fornece o valor da velocidade em funo do tempo. Ela chamada de funo horria da velocidade que descreve o movimento do copa, que recebe o nome de Movimento Retlineo Uniformemente Variado (MRUV). Retilneo, pois o veculo anda em linha reta; variado, pois sua velocidade varia; e uniformemente vem do fato de a acelerao ter sempre o mesmo valor e, portanto, a velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme). Note que, para o instante t = 0s, obtm-se v 0 = 3 m/s; e, se voc observar a Tabela 4, ver que essa a velocidade inicial, isto , no instante em que o co-piloto iniciou as anotaes! De uma maneira geral, podemos escrever para a velocidade v num instante t qualquer: v = v0 + a t onde v0 a velocidade inicial (em t=0) e a a acelerao, que constante. Agora possvel responder qual o valor da velocidade quando t = 9 s! s substituir o tempo na funo horria da velocidade: v9 = 3 + 3 9 = 3 + 27 = 30 m/s

Como saber onde o veculo estar num certo instante?Na aula passada, voc estudou o Movimento Retilneo Uniforme (MRU), caso em que a velocidade no varia, ela constante. Para descrever o MRU voc estudou apenas como varia a posio em funo do tempo. Nesta aula voc est estudando um movimento em que, alm de a posio variar, varia tambm a velocidade. Mas como varia a posio no MRUV claro que ela varia, pois esse fato MRUV? caracteriza um estado de movimento! Voc capaz de se lembrar como foi calculado o deslocamento do carro no MRU? Foi pelo grfico da velocidade em funo do tempo (v X t): a rea da figura formada pelo grfico fornece o deslocamento. Pode-se fazer de forma semelhante para o caso do MRUV. O quadro, no final da aula, indica, passo a passo, como obter a funo horria da posio do MRUV: x = x0 + v0 t +1 2 at 2

onde x 0 a posio inicial, v 0 a velocidade inicial, e a a acelerao. Nesse caso, como ser o grfico da posio em funo do tempo? Voc espera que seja uma reta como no MRU?

Note que essa funo diferente daquela obtida para a velocidade: ela 2 contm uma terceira parcela proporcional ao quadrado do tempo (t ). Isso faz com que o grfico no seja mais uma reta, mas uma curva. Para construir o grfico de posio (x) por tempo (t) a partir da funo til, inicialmente, fazer uma tabela que indique os valores de x e t. Para encontrar as . posies, basta substituir o tempo na funo e calcular o valor de x! Mas preciso tambm conhecer o valor de x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4. No instante inicial, isto , quando comeam a anotar os valores de v , a velocidade era 3 m/s; portanto, v0 = 3 m/s. Suponha que nesse instante o carro passou pelo marco 100 m da pista. Portanto, x0 = 100 m. 2 Lembre-se de que a acelerao do Copa, nesse exemplo a=3 m/s . Substituindo esses valores na funo horria da posio temos: x = 100 + 3 t + 1,5 t2

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Essa funo descreve o movimento do Copa e fornece sua posio x em qualquer instante de tempo t . Como exemplo, vamos calcular a posio no instante t = 2 s. x = 100 + 3 2 + 1,5 2 x = 100 + 6 + 6 = 112 m Prosseguindo dessa maneira, possvel obter os outros valores e montar a Tabela 6:TABELA2

6 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4 t5 = 5

v (m/s) x0 = 100 x1 = 104,5 x2 = 112 x3 = 122,5 x4 = 136 x5 = 152,5

Agora possvel construir o grfico da posio em funo do tempo:v (m)155 150 145 140 135 130 125 120 115 110 105

Figura 4

100

0

1

2

3

4

5

t (s)

Observe que no se obtm mais uma reta: o grfico uma curva, que tem o nome de parbola. possvel tambm representar as posies do veculo por intermdio de um eixo orientado, (lembre-se da Aula 3).Sentido

0

x0 = 100 m t0 = 0 s

x1 = 104,5 m t1 = 1 s

x2 = 112 m t2 = 2 s

x3 = 122,5 m t3 = 3 s

x4 = 136 m t4 = 4 s

162,5 x5 = 152,5 m t5 = 5 s

Figura 5

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4

Observe na Figura 5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam com o tempo: a cada segundo o deslocamento maior do que no instante anterior. Isso indica que a velocidade est aumentando: o movimento variado, nesse caso dizemos que ele acelerado acelerado.

Breeeeeca!TABELA

5 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4 t5 = 5 t6 = 6

v (m/s) v0 = 30 v1 = 25 v2 = 20 v3 = 15 v4 = 10 v5 = 5 v6 = 0

No meio da pista havia um cachorro, havia um cachorro no meio do pista! De repente o piloto do Copa avistou o animal e rapidamente acionou os freios. Sem perder tempo, o seu co-piloto anotou os valores da velocidade: Note que a velocidade agora est diminuindo: nuindo o veculo est freando!

Qual ser agora o valor da acelerao nesse caso? Pegue, por exemplo: t1 = 1 s e v1 = 25 m/s t4 = 4 s e v4 = 10 m/s Calculando a acelerao: a=

v 4 - v1 10 - 25 = t 4 - t1 4-1

ento: a = - 5 m/s

2

Observe que o valor da acelerao negativo! O sinal da acelerao oposto ao da velocidade (que positiva). Isso indica que o movimento desacelerado isto , o carro est freando.Observe o grfico v X t nesse caso: desacelerado, Veja que a reta tem uma inclinao diferente do caso em que o movimento acelerado quando a velocidade cresce. Abaixo esto representados os grficos v X t para os trs casos; quando o movimento acelerado (a > 0); quando desacelerado (a < 0), ambos exemplos de Movimento Retilneo Uniformemente Variado e; no caso especial, quando a acelerao nula (a = 0): nesse caso, a velocidade no varia e temos um exemplo de Movimento Retilneo Uniforme - MRU (Aula 3).v (m/s) 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 t (s)

Figura 6

v

MRUV acelerado a>0

v

MRUV desacelerado a fat grande e pequeno -> fat pequeno. N constante nos dois casos! Mas o que ocorre com a fora de atrito quando o corpo est parado?

Atrito

esttico

e

atrito

dinmico

Se no h algum puxando ou empurrando o armrio, no haver motivo para que o solo impea seu movimento (Figura 6); mas, se comeamos a empurrar o armrio com uma fora pequena, que no suficiente ainda para que ele se mova, (por exemplo, o armrio sendo empurrado por uma pessoa), podemos ver que aparece uma fora de atrito para impedir que o armrio ande, e, medida que mais pessoas vo empurrando, a fora de atrito vai aumentando, at que, finalmente, um nmero suficiente de pessoas consiga empurrar o armrio. Isso significa que a fora de atrito parou de crescer.FR N = FR N

F fat

PA

PA

Figura 6

Podemos fazer um grfico do comportamento da fora de atrito em relao fora que est sendo aplicada no armrio (Figura 7)fatEsttico Dinmico

45

0Figura 7. Grfico fat X F

F

Enquanto a fora de atrito est aumentando, o armrio no se move. Chamamos, nessa situao, o atrito de: atrito esttico esttico.

Quando a fora que est sendo feita sobre o armrio aumenta o suficiente para moviment-lo, a fora de atrito passa a ter seu valor constante, chamamos ento, nessa situao, o atrito de atrito dinmico. Um exemplo muito comum disso acontece quando empurramos um carro: inicialmente comeamos a fazer uma certa fora e vamos aumentando essa fora at que o carro comece a andar; nesse momento, a fora que fazemos para empurrar o carro menor do que no instante anterior em que o carro ainda estava parado. preciso observar que, em cada uma dessas situaes, o coeficiente de atrito diferente apesar de estarmos olhando para o mesmo corpo, ou seja, estando ele parado ou em movimento. Por isso, haver o coeficiente de atrito esttico (e) e o coeficiente de atrito cintico (c ), que sero usados, dependendo se o objeto que est sob a ao da fora de atrito estiver parado ou se movendo.

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Aspectos

positivos

da

fora

de

atrito

Nem sempre a fora de atrito nos atrapalha nas tarefas que temos que cumprir. Ao contrrio, muitas vezes ela nos ajuda. Por exemplo, quando andamos, estamos empurrando o cho para trs e este nos empurra para frente, permitindo que andemos. Imagine se caminhssemos sobre uma superfcie de gelo, ou mesmo por um cho cheio de cera, teramos proFigura 8 blemas para nos deslocar, pois no haveria atrito. Um automvel anda para a frente quando seus pneus empurram o cho para trs e este os empurra para frente. Quando o carro faz uma curva, isso ocorre porque existe o atrito entre o pneu e o cho; se no houvesse esse atrito o carro sairia reto nas curvas. Em vrias indstrias, existem esteiras para transporte de material, desde gros de trigo a limalha de ferro (esta ltima para ser jogada em fornos). Essas esteiras transportam o material porque existe um atrito entre elas e o material. Se no houvesse, o material ficaria escorregando na esteira sem conseguir sair do lugar. Vrios so os exemplos em que o atrito nos ajuda em nosso dia-a-dia. Mas, voltemos ao problema do armrio. Como j fizemos o isolamento isolamento, agora vamos ao segundo passo: construir as equaes dinmicas usando a dinmicas, segunda lei de Newton.

2 passo - equaes dinmicasQual ser a fora mnima que deve ser feita para que o armrio se mova, supondo que o armrio tenha um peso de 200 kg e que o coeficiente de atrito esttico entre o solo e o armrio e seja igual 0,5?

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Sabendo que ele no vai se mover no sentido vertical, por isso, podemos escrever que a soma das foras na vertical igual a zero: P - N = 0 -> N = P Supondo a fora mxima que podemos fazer para que o armrio esteja prestes a se mover, mas que ainda no tenha se movido: F - fat = 0 => F = fat Obteremos, ento, duas equaes dinmicas: N=P e F = fat

Podemos, assim, passar para o terceiro passo que resolve esse sistema de duas equaes e duas incgnitas (F e N):

Soluo

das

equaes

dinmicas

Na primeira equao temos que: N = P = mg = 200 kg 10 m/s = 2.000 N N = 2.000 N

Na segunda equao, precisamos lembrar da relao entre a fora de atrito e a fora normal: F = Fat = m N = 0,5 2.000 = 1.000 N F = 1.000 N

E essa a fora mxima que podemos fazer antes que o armrio se mova. Essa fora equivalente a levantar um peso de 100 kg. Com isso, pudemos prever a fora mnima que devemos fazer para que o armrio esteja prestes a se mover. Mas precisamos de alguma forma diminuir a fora de atrito para empurrar com mais facilidade o armrio. Uma soluo j havia sido dada, que simplesmente diminuir o peso do armrio, com isso diminumos a fora normal e, conseqentemente, a fora de atrito. Mas s vezes isso no suficiente. Precisamos controlar a fora de atrito de outra forma: a nica forma que nos resta, fora controlar o peso do armrio, controlar a fora de atrito pelo coeficiente de atrito (). No coeficiente de atrito, est a informao se o atrito entre duas superfcies grande ou no. Se o atrito entre o cho e o armrio grande, temos que colocar algum material entre o armrio e o cho que diminua o coeficiente de atrito. Vamos supor que o cho de madeira. Uma forma de diminuir o atrito seria colocar um pano entre o armrio e o cho. Alguns mveis poderiam ser rapidamente movimentados com essa soluo, principalmente os de fundo muito spero. Uma outra forma seria colocar cera no cho. Assim como a gua provoca a derrapagem de um carro, por se transformar numa pequena camada entre o pneu e o asfalto, fazendo com que o carro perca o contato com o asfalto, a cera faria o mesmo papel, seria uma pequena camada entre o mvel e o cho de modo que este deslizaria pela madeira. Andar num cho encerado, uma experincia muito comum e pode provocar grandes quedas e escorreges! Essas so solues que podem ser aplicadas em vrias situaes, por exemplo quando queremos pendurar um quadro ou prender uma estante na parede; fazemos um furo e colocamos uma bucha, mas quando posicionamos o parafuso, temos dificuldade para gir-lo at o fim da bucha. Isso pode ser solucionado colocando-se um pouco de leo de cozinha, ou mesmo um lubrificante dentro da bucha, que tem a funo de diminuir o atrito entre o parafuso e a bucha.

l l

Vimos nesta aula: O conceito de fora de atrito ( fat ). sua relao com a fora normal ( N ); que pode ser representada pela equao: Fat = N

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l

l

vimos tambm como resolver situaes em que o atrito atrapalha nosso servio, ou seja, podemos planejar para antecipar as conseqncias do movimento de um corpo em situaes onde haja atrito; e outras situaes em que o atrito nos ajuda a realizar movimentos ou tarefas.

Exerccio 1 Para pensar: nas fbricas de automvel, so pintados carros de vrias cores. O que aconteceria se a lataria do carro fosse muito lisa? A tinta se prenderia na lataria?

Exerccio 2 Na figura abaixo, vemos um plano, que tem uma inclinao segundo o ngulo q com a horizontal. Qual ser a inclinao mxima que o plano pode ter sem que a caixa escorregue ladeira abaixo? Suponha que a massa m da caixa seja igual a 100 kg e que o coeficiente de atrito esttico seja igual a 0,5.

Exerccio 3 Um operrio deseja empurrar uma caixa de 100 kg, sobre uma superfcie de madeira, mas no sabe quanta fora no mnimo ter que fazer para conseguir seu intento. Para descobrir, ele precisa obter o coeficiente de atrito esttico entre o fundo da caixa e a superfcie. Portanto, realiza a seguinte experincia: coloca a caixa sobre um pedao de madeira e, com seu macaco hidrulico, vai inclinando o conjunto como vemos na figura abaixo. Finalmente, ele mede o ngulo em que a caixa comea a deslizar. Faz isso vrias vezes e descobre um valor mdio de 26,50, para o ngulo. Dadas essas informaes, qual o coeficiente de atrito entre a caixa e a madeira?

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Vamos dar uma voltinha?patinadora desliza sobre o gelo, braos estendidos, movimentos leves, msica suave. De repente encolhe os braos junto ao corpo, gira velozmente como um pio, volta a estender os braos e pra por alguns instantes. O pblico, encantado, aplaude. Cristiana, comovida, assiste cena pela televiso. Ento, uma pergunta lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores encolhem os braos e, quando querem parar, voltam a estend-los? Ser que isso tem alguma coisa a ver com a Fsica? claro que sim. Tudo tem a ver com a Fsica. Se ela fizer essa pergunta a um fsico, ele provavelmente lhe dir que a patinadora encolhe os braos para girar mais depressa, devido ao princpio da conservao do momento angular uma angular. forma complicada de explicar uma idia razoavelmente simples. Suponha que um corpo est girando e no h nenhuma ao externa atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de rotao, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuio da massa se afastar do eixo de rotao, ele vai girar mais lentamente.

A

Figura 1a

Observe a Figura 1a. Com os braos encolhidos, a massa da patinadora est mais concentrada junto ao seu eixo de rotao, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braos abertos. Abrindo os braos, ela distribui sua massa de forma a afast-la ao mximo do seu eixo de rotao. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais fcil de parar. Uma demonstrao experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmao.

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11Figura 1b

Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa cadeira giratria, segurando dois halteres com os braos estendidos, posta a girar. Se ela encolher os braos, trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento de rotao aumenta. Se ela voltar a estend-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita qualquer ao externa. Essa compensao entre rapidez de rotao e distribuio de massa explicada pelo tal princpio da conservao do momento angular. angular Mas essas no so as nicas caractersticas interessantes do movimento de rotao. Um pio, por exemplo, s pode permanecer em equilbrio enquanto gira; as bicicletas s podem se manter em equilbrio devido ao movimento de rotao de suas rodas. Veja na Figura 2 que, graas rotao, o pio se mantm em p sozinho, em equilbrio, apoiado apenas numa extremidade do seu eixo. A prpria Terra mantm constante a inclinao do seu eixo graas ao seu movimento de rotao.Figura 2

O movimento de rotao est sempre presente em nosso dia-a-dia. Todos os veculos tm rodas, quase todas as mquinas tm eixos e polias que giram ligadas por correias e engrenagens. Infelizmente, nem todos os aspectos da rotao podero ser estudados neste curso. Muitos exigem uma formulao matemtica muito complicada, mas algumas noes bsicas necessrias sua compreenso sero vistas aqui.

Rotao: um movimento peridicoImagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante esse movimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferncias, continuamente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidas vezes pela mesma posio. Por isso, o movimento de rotao considerado um peridico. movimento peridico O nmero de circunferncias, ou ciclos descritos numa unidade de tempo ciclos, a freqncia desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de um motor descreve 600 ciclos em 1 minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqncia de 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invs de ciclos, costuma-se dizer rotaes. Logo, a freqncia de 600 rpm (rotaes por minuto). Se adotarmos o SI, a unidade de tempo deve ser o segundo Portanto, como essa polia descreve segundo. 600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua freqncia ser:600 ciclos = 10 ciclos / s 60 segundos

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A unidade ciclos/s denominada hertz cujo smbolo Hz. Portanto, a hertz, freqncia dessa polia, no SI, de 10 Hz. fcil ver que 1 Hz = 60 rpm rpm. Se um ponto passa vrias vezes pela mesma posio, h um intervalo de tempo mnimo para que ele passe por duas vezes por essa posio. o intervalo de tempo que ele gasta para descrever apenas uma volta ou um ciclo Esse ciclo. movimento. intervalo de tempo denominado perodo do movimento Qual ser o perodo do movimento de rotao da polia do nosso exemplo? Para responder essa pergunta, vamos, inicialmente, adotar o minuto como unidade de tempo. Se a polia descreve 600 ciclos em 1 minuto, para determinar o seu perodo, preciso calcular o tempo que ela gasta para descrever 1 ciclo ciclo. Uma regra de trs simples resolve o problema: 600 ciclos 1 minuto 1 ciclo x minutos Logo, teremos:1 min 600

x =

que o perodo do movimento da polia, em minutos. Se fizermos o mesmo clculo utilizando o segundo, como unidade de tempo, vamos obter: 1 x = s, 10 que o perodo do movimento da polia, em segundos. Observe que quando a freqncia era 600 rpm, o perodo era 1/600 min, quando a freqncia era 10 Hz, o valor do perodo era 1/10 s. fcil ver que o valor do perodo sempre o inverso do valor da freqncia. Simbolizando a freqncia com f e o perodo com T podemos representar essa relao pela expresso:f = 1 T

ou ainda:

T =

1 f

Sempre que o perodo estiver em segundos a freqncia correspondente ser dada em hertz hertz.

Passo-a-passoQual a freqncia e perodo do movimento dos ponteiros de um relgio? Um relgio geralmente tem trs ponteiros: (a) um, que marca os segundos, (b) um, que marca os minutos e (c) um, que marca as horas. Cada um deles, tem freqncia e perodo diferentes. a) O ponteiro dos segundos d uma volta a cada 60 segundos. Portanto, o seu perodo : T = 60 s Como a freqncia o inverso do perodo, temos: 1 1 f = = Hz T 60

b) O ponteiro dos minutos d uma volta por hora, ou 60 minutos, ou 3.600 segundos. Logo, o seu perodo em segundos, : T = 3.600 s A freqncia :f = 1 1 = Hz T 3.600

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c) Com raciocnio semelhante, voc pode obter para o ponteiro das horas: 1 T = 43.200 s e f = Hz 43.200

Passo-a-passoUm satlite de telecomunicaes fica parado em relao Terra. Qual o perodo e a freqncia desse satlite? Para que o satlite fique parado em relao Terra, preciso que ele acompanhe o movimento de rotao do planeta. Isso significa que, quando a Terra der uma volta em torno do seu eixo, o satlite tambm dever fazer o mesmo (veja a Figura 3). Logo, o perodo do satlite igual ao perodo da Terra. Portanto: T = 1 dia, ou T = 24 h, ou T = 86.400 s A freqncia : f = 1 rotao/dia, ou f =1 1 Hz rotaes/hora, ou f = 24 86.400

Mo

vim

Mo

e

nt

od

a Te

rra

vim

ento

d o S a t li t e

Figura 3

Velocidade angularSuponha que um disco est girando. Num intervalo de tempo Dt seus raios descrevem ou varrem um determinado ngulo Dj (veja a Figura 4). A relao entre esse ngulo e o tempo gasto para descrev-lo a velocidade angular do disco. Matematicamente:w =Figura 4

Dj Dt

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Como no SI os ngulos so medidos em radianos, a unidade de velocidade angular rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo um ngulo de 60, que igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2 segundos, sua velocidade angular ser:p p rad / s w = 3 = 2 6

A rigor, essa a velocidade angular mdia nesse intervalo de tempo. Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotao em que a velocidade angular constante, no haver, aqui, distino entre velocidade angular mdia e velocidade angular instantnea. Ambas sero chamadas simplesmente de velocidade angular angular. Veja como se faz para transformar graus em radianos:

Relaes entre graus e radianos Sabe-se que p rad = 180, logo 1 =p

180

rad .

Ento, para transformar um ngulo em graus para radianos basta multiplicar o seu valor por p . 180 Exemplo: 60 = 60

rad 180 3 Para transformar radianos em graus, s inverter o procedimento multiplicandopor180 p p

p

rad =

p

Exemplo:

3

rad =

p

3

180p

= 60

Se a velocidade angular de um disco for constante, ele descreve ngulos iguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto para dar uma volta completa, que corresponde a um ngulo de 360 ou 2p rad, ser sempre igual. Portanto, o perodo e a freqncia do disco sero, tambm, constantes. Alm disso possvel, nessas condies, relacionar essas trs grandezas. Ao descrever uma volta completa, o disco varre um ngulo Dj igual a 2 p rad. Como o intervalo de tempo Dt para dar uma volta completa igual ao perodo, T, a velocidade angular desse disco ser:w = Dj Dt w =

2p T

Mas f =

1 , portanto, podemos escrever: T w = 2p

1 w = 2 pf T

Movimento Circular UniformeSuponha que um disco gire com velocidade angular constante. Como vimos, a frer da formigu i a et in qncia e o perodo tambm sero constantes. aj Nesse caso, cada ponto desse disco descreve um Movimento C ircular Uniforme (MCU) (MCU). Se voc vir uma formiguinha apavorada agarrada a um disco girando no seu toca-discos, voc estar vendo a coitadinha descrever um movimento circular uniforme. Isso vale tambm, por exemplo, para qualquer ponto de Figura 5 uma polia ligada a um motor que gira com freqncia de rotao constante. Como se pode equacionar o movimento circular uniforme? Que variveis devemos escolher para equacionar o movimento circular uniforme, lembrando que equacionar um movimento estabelecer uma relao matemtica entre duas de suas variveis (posio tempo, velocidade tempo etc.). As mesmas variveis do MRU ou do MRUV? A resposta no Em vez de uma equao da posio em funo do tempo, no. por exemplo, ser mais til uma equao do ngulo descrito em funo do tempo, uma equao angular Isso porque a posio no uma varivel muito angular. conveniente, pois um mvel com MCU passa seguidamente pelo mesmo ponto. Isso no acontece com o ngulo D j que esse mvel descreve ou varre enquanto se movimenta. Os seus valores nunca se repetem. Cada vez que o mvel passa pelo mesmo ponto, o valor do ngulo acrescido de 360 ou 2 p rad. Assim, possvel estabelecer uma relao matemtica entre esse ngulo e o instante em que ele est sendo descrito, porque no existem dois ngulos iguais para instantes diferentes. Essa equao, conhecida como equao ou lei angular do MCU, expressa por: j = j0 + wtha

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Veja a deduo no quadro abaixo:

Tr

Deduo da lei angular de um MCUt

Lembrando a definio de velocidade angularw =t0

Dj Dt

(1)

fcil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t - t0 . Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em (3), obtemos:w = j - j

0

Figura 6

t

j = j0 + w t

onde j o ngulo, ou fase, no instante t e j0 o ngulo ou fase inicial no instante inicial, t0 = 0.

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Sabendo-se o ngulo descrito por um mvel num certo instante e o raio da circunferncia descrita, fcil determinar a posio de um mvel em MCU. Suponha, por exemplo, que a nossa pobre formiguinha, ainda mais apavorada, est presa a uma roda de bicicleta de 0,5 m de raio, que gira com um perodo constante de 2 s. Se acionarmos um cronmetro no instante em que o raio da roda em que est a formiguinha descreve um ngulo nulo, qual ser a posio da coitadinha depois de 4,2 s? Para resolver esse problema, preciso, inicialmente, determinar o ngulo descrito por esse rai