FLAMBAGEM TERMOMECÂNICA DE DUTOS SUBMARINOS COM

MÓDULOS DE BÓIAS

Igor Gabriel Teixeira Gómez

Projeto Final de Graduação apresentado ao

Departamento de Engenharia Naval e Oceânica,

Escola de Engenharia, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do diploma de Engenheiro

Naval e Oceânico.

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Rio de Janeiro

Agosto de 2014

ii

FLAMBAGEM TERMOMECÂNICA DE DUTOS SUBMARINOS COM

MÓDULOS DE BÓIAS

Igor Gabriel Teixeira Gómez

PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E

OCEÂNICO.

Aprovado por:

_____________________________________________

Murilo Augusto Vaz, Ph.D.

_____________________________________________

Marcelo Igor Lourenço de Souza, D.Sc.

_____________________________________________

Bruno Reis Antunes, M.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

AGOSTO DE 2014

iii

Gómez, Igor Gabriel Teixeira.

Flambagem Termomecânica de Dutos Submarinos com

Módulos de Bóias/ Igor Gabriel Teixeira Gómez. – Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.

72 p.: il.; 29,7 cm

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Naval e Oceânica, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 38-40.

1. Modos de Flambagem. 2. Formulação Analítica. 3.

Modelagem em Elementos Finitos via ABAQUS. 4. Linguagem

de Programação MAPLE e MATLAB.

I. Augusto Vaz, Murilo. II. Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval

e Oceânica. III. Titulo.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela sabedoria que me deu para poder completar esta obra,

além da saúde e da paz de espírito.

Ao meu orientador Murilo e à Escola Politécnica da UFRJ pelo ensino de

grande valor que me fez enxergar o cultivo do conhecimento em sua forma mais

apropriada para o aprendizado.

Ao Programa de Recursos Humanos da Agência Nacional do Petróleo, Gás e

Biocombustíveis, ANP PRH 35, bela bolsa de estudos concedida no biênio 2010-2012,

ao ex-coordenador, professor Célio Albano e ao atual coordenador do PRH 35,

professor Carlos Magluta pelo incentivo através dos programas de palestras e visitas

da ANP.

Aos pesquisadores Marcos Queija, Bianca Pinheiro e à Sra. Cássia Monteiro

pela atenção e cuidados aos bolsistas, assim como à equipe de alunos do Núcleo de

Estruturas Oceânicas e à Sra. Eliene Barreto que sempre promoveram um excelente

ambiente de estudo e pesquisa.

À minha esposa Heloisa e à minha família, pelo constante incentivo ao estudo

e pela credibilidade que me conferiram.

v

Resumo do Projeto apresentado à POLI/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Engenheiro

FLAMBAGEM TERMOMECÂNICA DE DUTOS SUBMARINOS COM

MÓDULOS DE BÓIAS

Igor Gabriel Teixeira Gómez

Agosto/2014

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

O trabalho em questão procura estudar a flambagem de dutos submarinos com

o objetivo de compreender o fenômeno e buscar soluções para os problemas

relacionados à operação de linhas de escoamento de óleo e gás.

No tocante aos problemas relacionados à flambagem desses dutos por meio de

efeitos térmicos e mecânicos, iremos explorar o uso de módulos de bóias como

ferramenta de controle dos efeitos de deslocamento lateral. Certos parâmetros como

temperatura e pressão na linha de transporte, bem como a natureza do fluido escoado,

lâmina d'água e efeitos friccionais causados pela interação com o leito marinho serão

considerados na formulação analítica do fenômeno, desenvolvida numericamente em

linguagens MAPLE e MATLAB.

Dessa forma, iremos comparar os resultados provenientes dos métodos

elaborados e definir alguns dos aspectos mais relevantes do problema de controle da

flambagem.

Palavras-chave: Flambagem termomecânica, pipeline, força axial efetiva, região de

feed-in, módulos de bóias, interação duto-solo.

vi

Abstract of the Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the Engineering Course

THERMOMECHANICAL BUCKLING IN SUBSEA PIPELINES WITH

BUOYANCY MODULES

Igor Gabriel Teixeira Gómez

August/2014

Advisor: Murilo Augusto Vaz

Course: Naval and Ocean Engineering

This work presents a study concerning the thermo-mechanical buckling of

subsea pipelines in order to understand the phenomenon and seek solutions to

problems related to the operation of pipelines employed in the oil and gas industry.

Concerning the problems related to global buckling of pipelines by thermal and

mechanical effects, we will explore the use of buoyancy modules as a way of

controlling the effects of lateral displacement. Certain parameters such as temperature

and pressure in the flowline, and the nature of the fluid transported, water depth and

frictional effects caused by pipe-soil interaction will be considered in the analytical

formulation of the phenomenon, developed numerically in MAPLE and MATLAB

languages.

We will then compare the results from those methods and define some of the

most relevant aspects to control the global buckling problem.

Keywords: Thermo-mechanical buckling, pipeline, effective axial force, feed-in region,

buoyancy modules, pipe-soil interaction.

vii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO. .............................................................................................................................................. 1

2. FLAMBAGEM LATERAL. ................................................................................................................................. 4

2.1 MODOS DE FLAMBAGEM ......................................................................................................... 4

2.2 FORÇA AXIAL EFETIVA ANCORADA, NA ALÇA DE FLAMBAGEM E REGIÃO DE FEED-IN . 5

2.3 MODELO DE HOBBS ................................................................................................................. 9

2.4 MODELO DE HOBBS COM RESTRIÇÃO DE FEED-IN ........................................................... 11

2.5 LIMITAÇÕES DOS MODELOS DE HOBBS .............................................................................. 12

3. MÉTODOS DE CONTROLE DA FLAMBAGEM. ................................................................................................ 13

3.1 CONCEITO E NECESSIDADE DE CONTROLE ....................................................................... 13

3.2 SNAKE-LAY E SLEEPER ......................................................................................................... 13

3.3 MÓDULOS DE BÓIA ................................................................................................................. 15

4. FORMULAÇÃO ANALÍTICA PARA FLAMBAGEM LATERAL COM MÓDULOS DE BÓIAS. ................................... 16

4.1 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O 3º MODO DE FLAMBAGEM COM BÓIAS ........... 16

4.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DESLOCAMENTO LATERAL ........................................... 17

4.3 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DESLOCAMENTO AXIAL ATRAVÉS DA FORÇA AXIAL

EFETIVA NAS ALÇAS DE FLAMBAGEM .............................................................................................. 20

4.4 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DE DESLOCAMENTO AXIAL NA REGIÃO DE FEED-IN E

CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE GOVERNO............................................................................................. 22

4.5 EQUAÇÕES DE GOVERNO PARA OS DEMAIS MODOS DE FLAMBAGEM ......................... 27

5. RESULTADOS OBTIDOS DO MODELO ANALÍTICO COM BÓIAS. ..................................................................... 28

5.1 INTRODUÇÃO AO MATLAB E MAPLE .................................................................................... 28

5.2 COMPARAÇÃO ENTRE O MODELO DE HOBBS E O MODELO ANALÍTICO COM BÓIAS ... 31

5.3 INFLUÊNCIA DO COMPRIMENTO DE BOIA NA FLAMBAGEM .............................................. 33

5.4 INFLUÊNCIA DA FLUTUABILIDADE DO MÓDULO DE BÓIA ................................................. 34

5.5 VARIAÇÃO DA DEFLEXÃO LATERAL COM A TEMPERATURA ............................................ 35

5.6 INFLUÊNCIA DO ATRITO LATERAL NAS ALÇAS DE FLAMBAGEM ..................................... 36

6. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS. ....................................................................................................... 37

7. BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................ 38

8. ANEXOS ...................................................................................................................................................... 40

8.1 PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO COMPRIMENTO DAS ALÇAS DE FLAMBAGEM E DA

FORÇA AXIAL EFETIVA ........................................................................................................................ 40

8.2 PROGRAMA PARA O CÁLCULO DA DEFLEXÃO LATERAL .................................................. 44

8.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO ANALÍTICO COM MÓDULOS DE BÓIA ........................ 49

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 01. – Duto Submarino (PIPELINE [1]) 1

Figura 02. – Leito marinho na costa brasileira (ZONA COSTEIRA [2]) 2

Figura 03. – Vãos Livres (SEABED IMPERFECTION [3]) 3

Figura 04. – Imperfeições na flambagem lateral (GUAN e NYSTROM [4]) 3

Figura 05. – Modos de flambagem (HOBBS e ROGER [5a]) 5

Figura 06. – Ilustração da Força Axial em cada trecho do duto 8

Figura 07. – Imagem esquemática método de flambagem por Snake-Lay 14

Figura 08. – Esquema do método de flambagem por Sleepers 15

Figura 09. – Esquema de flambagem módulos de bóias (BRUTON [18]) 15

Figura 10. – Esquema do 3º modo de flambagem 17

Figura 11. – Elemento infinitesimal de duto 18

Figura 12. – Interface gráfica – perfil de deslocamento lateral 30

Figura 13. – Interface gráfica – critérios de escoamento 30

ÍNDICE DE TABELAS E GRÁFICOS

Gráfico 2.2.f – Força Axial Ancorada 7

Tabela 2.3.b – Constantes de HOBBS de k1 a k5 9

Tabela 4.2.i – Condições de Continuidade e de Contorno 20

Tabela 5.1.a – Especificações do Duto Submarino 29

Tabela 5.1.b – Condições de Trabalho 29

Gráfico 5.2.a – Modelo de HOBBS vs Analítico com Bóias 31

Gráfico 5.2.b – Temperatura Mínima para Flambagem 32

Gráfico 5.3.a – Influência do Comprimento de Bóia 33

Gráfico 5.3.b – Temperatura Mínima vs Comprimento de Boia 34

Gráfico 5.4.a – Variação da Flutuabilidade 35

Gráfico 5.5.a – Influência da Temperatura nas Alças de Flambagem 36

Gráfico 5.6.a – Influência do Atrito Lateral na Deflexão Lateral 36

1

1. INTRODUÇÃO.

A crescente demanda por inovações ligadas à indústria de óleo e gás tem

promovido o aumento do número de propostas e soluções tecnológicas. Cada vez

mais tem havido a necessidade de buscar soluções mais eficientes e que

proporcionem facilidades na logística de exploração e produção de petróleo e afins em

alto mar.

Os custos de logística de operação de navios de alívio e de unidades de

exploração são os mais altos depois dos custos dos próprios equipamentos utilizados.

Além disso, o processo de alívio de plataformas e Floating Production Storage and

Offloading vessels (FPSOs) não influenciam somente os custos operacionais, mas

também demandam tempo e recursos humanos para fazê-los, além de implicar uma

série de riscos ambientais ligados aos procedimentos.

Um duto submarino é um elemento cilíndrico vazado cuja relação entre a área da

seção transversal e o comprimento (A/L²) é muito pequena, o que remete ao fato das

tensões locais devido à geometria cilíndrica serem ínfimas em relação às tensões

globais referentes aos esforços relacionados à viga-duto. Portanto, a natureza do

problema traz consigo uma facilidade geométrica suficiente para considerá-lo como

uma viga.

Os dutos submarinos são utilizados como meio de transporte para materiais de

natureza fluida ou semifluida, como água, gás, óleo, lama entre outras misturas. Uma

primeira visão é apresentada na Figura 01.

Figura 01. – Duto Submarino (PIPELINE [1]).

2

A solução de transporte de óleo e gás através da utilização de dutos submarinos,

quando viável, mostra-se relativamente mais eficiente e de menor custo do ponto de

vista logístico e operacional, com menos riscos ambientais pelo fato de constituir um

sistema estático de transporte. Em contra partida, a fabricação e instalação desses

dutos ainda tem um alto custo por quilômetro de lançamento e também demandam

procedimentos de manutenção diferenciados, apesar de mais baratos, como

monitoramento da linha de transporte e inspeções internas e externas.

A temperatura mais alta no duto em relação à sua periferia fluida causa um campo

de calor agradável para certas espécies marinhas. Elas, por sua vez, acabam

colonizando locais de passagem do duto. Outras espécies ainda se alimentam dos

resíduos acumulados na superfície. Portanto, existe ainda a questão ambiental

envolvida na operação do duto, que vale ser ressaltada.

Apesar dessas dificuldades, ainda assim o transporte por dutos é muito atraente,

principalmente para campos de exploração que possuem alto nível de produção e um

intenso tráfego de embarcações de apoio e alívio. Entretanto, certos problemas

operacionais na utilização de dutos submarinos devem ser levados em consideração.

O leito marinho na costa brasileira, como em muitos outros lugares, é constituído

pela coleção sequencial geográfica composta pela plataforma continental, seguido

pela região de declive conhecida como talude, e termina na região oceânica, como

pode ser visto na Figura 02.

Figura 02. – Leito marinho na costa brasileira (ZONA COSTEIRA [2]).

3

Além da diferença de profundidades de cada ambiente, o solo marinho

apresenta uma série de imperfeições. Algumas dessas imperfeições, ao longo da vida

útil da tubulação mantêm seu formato original, porém em regiões com certa

configuração de correntezas, há a modificação do leito marinho, causando novas

imperfeições. Esses desníveis produzem um sistema irregular de sustentação ao duto,

ou seja, o duto pode ficar apoiado apenas em certos pontos do seu comprimento, o

que pode ser visto na Figura 03.

Figura 03. – Vãos Livres (SEABED IMPERFECTION [3]).

Uma simulação feita por GUAN e NYSTROM. [4] em elementos finitos para a

comparação entre o deslocamento lateral do duto e sua resistência denotam a

percepção das imperfeições no leito marinho e sua relação com o efeito de flambagem

lateral. As imperfeições podem gerar deformações verticais, podendo ser devido à

flexão da viga duto em razão de seu próprio peso, ou pela flambagem vertical como

forma de alívio para forças de compressão axial, surgidas a partir da expansão axial

térmica do duto e pela pressão interna do sistema.

Figura 04. – Imperfeições na flambagem lateral (GUAN e NYSTROM [4]).

Vista Lateral

Vista Superior

4

A flambagem lateral, que é o nosso foco de estudo, também é uma ocorrência

comum para este cenário. Tanto a pressão interna quanto a temperatura do fluido que

está sendo transportado contribuem para o surgimento de uma força residual axial. A

resistência friccional gerada pela interação do duto com o solo é a responsável pela

força de compressão gerada, restringindo a expansão do duto e causando o acúmulo

de esforços axiais. Essa carga, em menores níveis, provoca a simples deformação

axial do material. Entretanto, se a força residual axial for muito grande, o duto pode

não comportar a magnitude de sua deformação, e, portanto, ocorre a flambagem. Esse

fenômeno é a configuração que o duto assume por meio de uma deflexão lateral

devido ao desequilíbrio causado pela expansão termomecânica. Com isso, os esforços

axiais diminuem, voltando ao equilíbrio em termos de força e de momento.

Os dutos submarinos podem ser utilizados de duas formas; como risers ou como

flowlines. Os risers são trechos suspensos de um duto submarino cuja função é

conduzir os fluidos oriundos dos poços e manifolds até as unidades estacionárias de

produção, estando submetidos a esforços de tração e fadiga, seja devido a seu próprio

peso, como à ação da correnteza, e aos efeitos das ondas e as próprias

movimentações das unidades de produção.

Já os flowlines são elementos que permanecem na posição horizontal junto ao leito

marinho, e que transportam fluidos oriundos dos sistemas offshore. Estão sujeitos à

resistência friccional do solo e gradientes de temperatura e pressão, que podem

resultar em problemas de flambagem. Adicionalmente, consideraremos também que

os pipelines utilizados são de característica rígida, por serem mais baratos em relação

aos flexíveis.

2. FLAMBAGEM LATERAL.

2.1 MODOS DE FLAMBAGEM

A flambagem pode ser local ou global, podendo ainda ser causada por cargas

estáticas ou dinâmicas. Como estamos analisando o efeito da temperatura e da

pressão, iremos considerar uma análise estática do problema. Para o estudo de

flambagem termomecânica de dutos submarinos, iremos considerar os efeitos globais

deste processo. A flambagem vertical, importante para situações onde o duto

encontra-se enterrado, não será tratada neste estudo.

5

Existem, no entanto, certos modos nos quais o duto acomoda-se quando sofre o

fenômeno de flambagem lateral, sendo os quatro primeiros, que ocorrem com mais

frequência, apresentados na figura 05.

Figura 05. – Modos de flambagem (HOBBS e ROGER [5a]).

Esses modos são os que ocorrem na flambagem lateral, cujo comprimento L

denotado corresponde ao comprimento da alça de flambagem principal. Já a alça de

flambagem secundária, presentes nos modos 3 e 4 é aquela de menor deslocamento

e é subsequente à alça principal. Os modos de flambagem ímpares e pares são

aqueles que apresentam condições de simetria e antissimetria, respectivamente.

Os modos em que a flambagem ocorrem na verdade são infinitos, mas os

primeiros 4 modos, que são caracterizados por alças principais (maior deslocamento)

e alças secundárias (menor deslocamento) acontecem com maior frequência, em

especial o 3º modo de flambagem, segundo ANTUNES [6], que será o nosso foco de

estudo.

2.2 FORÇA AXIAL EFETIVA ANCORADA, NA ALÇA DE FLAMBAGEM E

REGIÃO DE FEED-IN

Para compor a força axial efetiva ancorada, consideramos a soma dos esforços

de compressão devido à pressão do óleo e à dilatação linear térmica do material.

Através do estudo feito por ANTUNES [6], podemos escrever as equações 2.2.a e

2.2.b referentes à força axial produzida pela ação da pressão e da temperatura

respectivamente.

N𝑝 = 𝑃𝑖 ∙ 𝐴 ∙ (1 − 2 ∙ 𝜈) (2.2.a)

6

𝑁𝑇 = E ∙ 𝐴 ∙ 𝛼 ∙ Δ𝑇 (2.2.b)

Cujas variáveis são definidas como:

N𝑝 – Força Axial devido a Pressão

𝑁𝑇 – Força Axial devido a Temperatura

E – Módulo de Elasticidade

𝛼 – Coeficiente de Dilatação Linear

𝐴 – Área de Aço da Seção Transversal

Δ𝑇 – Variação de Temperatura

𝜈 – Coeficiente de Poisson

𝑃𝑖 – Pressão Interna

A força axial efetiva ancorada será dada pela soma das componentes devido à

pressão e devido à expansão térmica. Nessas equações, as forças de compressão

recebem sinal positivo, e as de tração recebem sinal negativo.

N0 = N𝑝 + 𝑁𝑇 (2.2.c)

N0 = 𝑃𝑖 ∙ 𝐴 ∙ (1 − 2 ∙ ν) + E ∙ A ∙ α ∙ (Top − Tamb) (2.2.d)

Em que Top é a temperatura de operação do sistema e Tamb é a temperatura

marinha ambiente.

Adicionalmente ao esforço axial na região efetiva ancorada, acrescenta-se um

termo R devido ao esforço residual gerado pelo procedimento de lançamento do duto,

que é de caráter expansivo, e, portanto, aparece com sinal negativo.

N0 = 𝑃𝑖 ∙ 𝐴 ∙ (1 − 2 ∙ ν) + E ∙ A ∙ α ∙ (Top − Tamb) − 𝑅𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (2.2.e)

De acordo com BAI e BAI [10], para o método de lançamento S-Lay, que pode

ser compreendido através do texto apresentado por QUEIROZ [11], existe uma

relação entre o esforço residual devido ao lançamento e a profundidade em que se é

lançado, isto em função do diâmetro do duto.

Assumindo os valores apresentados pelas tabelas 5.1.a e 5.1.b, dentre elas,

diâmetro externo de 12,75 polegadas e profundidade de instalação de 1200 metros,

temos que a tensão residual é de aproximadamente 100 toneladas-força.

7

Desse modo, podemos representar à força axial ancorada 𝑁0, como a soma

gráfica das parcelas NT, NP e R, como mostra o gráfico 2.2.f.

Gráfico 2.2.f – Força Axial Ancorada.

Devido ao baixo percentual de 𝑁𝑃 e R na composição de 𝑁0, iremos desprezar

o valor do esforço residual e considerar o valor de 𝑁𝑃 constante e igual a 20,7MPa.

Sendo 𝑁𝑇 a maior parcela, iremos estudar o comportamento de No em função da

variação de temperatura.

Determinadas as características da força axial ancorada, que é a força axial

total existente no duto, iremos definir a força axial efetiva 𝑁𝑎𝑓 na região de flambagem,

ou seja, a carga axial no comprimento da alça de flambagem. Sendo assim, é possível

determinar a diferença entre 𝑁0 e 𝑁𝑎𝑓. Porém, a diferença entre o esforço axial na alça

de flambagem e no restante do duto não ocorre de maneira abrupta, mas sim através

de uma região de transição de força axial, denominada de região de feed-in,

correspondente ao comprimento do duto que não sofreu flambagem, mas que alimenta

a alça de flambagem, apresentando uma carga axial 𝑁𝑓 dada pela diferença entre 𝑁0 e

𝑁𝑎𝑓, como descrito por HOBBS et al. [5b].

8

Figura 06. – Ilustração da Força Axial em cada trecho do duto.

Desse modo, na figura 6, podemos observar que as retas inclinadas,

correspondentes à força axial efetiva na região de feed-in, decrescem e crescem antes

e depois da região de flambagem, respectivamente, caracterizando a região de

transição entre 𝑁0 e 𝑁𝑎𝑓. Já a reta horizontal, correspondente à força axial efetiva na

alça de flambagem, apresenta a mesma força axial ao longo de todo o seu

comprimento, já que podemos considerar seu nível aproximadamente constante,

conforme explicitado por HOBBS et al. [5b]. É na região de flambagem que, apesar de

apresentar o menor esforço axial, apresenta o maior nível de tensão, ocasionada pela

flambagem e flexão do duto, sendo este um ponto crítico com relação à sua

integridade estrutural.

Por fim, a reta de maior carga axial, correspondente à força axial efetiva

ancorada, apresenta uma inclinação entre os pontos representativos A e B por conta

da perda gradual de temperatura e pressão ao longo do flowline. Apesar da proteção

térmica do duto, existe uma perda de calor através do comprimento do duto, além de

uma perda de pressão por conta da viscosidade do óleo. Portanto, ao representarmos

graficamente 𝑁0, é necessário ilustrar tal inclinação. Contudo, para nossa análise,

consideraremos a temperatura e pressão constantes ao longo do comprimento do

duto.

Pela análise da ilustração, e considerando 𝑁0 constante ao longo do

comprimento do duto, podemos escrever a seguinte equação.

𝑁0 = 𝑁𝑎𝑓 + 𝑁𝑓 (2.2.g)

Ponto de

Ancoragem A

Ponto de

Ancoragem B

Força Axial Efetiva

Ancorada

Força Axial Efetiva na

Região de Feed-In

Força Axial

Efetiva na Alça

de Flambagem

No No

Naf

Referência para Esforço Nulo

9

2.3 MODELO DE HOBBS

Um dos primeiros trabalhos a respeito da flambagem de dutos submarinos é

mostrado em HOBBS e ROGER [5a]. Neste trabalho, são descritos os fatores que

influenciam a flambagem. Dentre eles, podemos citar o peso do revestimento do duto,

a tração de lançamento, a topologia do leito marinho e as diferenças de pressão e

temperatura internas e externas ao duto, devido à passagem do óleo. Por conta

desses diversos fatores, fica extremamente difícil dizer em qual ponto e em que

momento ocorrerá a flambagem.

Para que fosse possível obter uma relação entre as forças axiais presentes nos

dutos submarinos dentro e fora da alça de flambagem, HOBBS et al. [5b]

desenvolveram um modelo analítico.

𝑁𝑎𝑓 = N0 − k3 ∙ μa ∙ ws ∙ L ∙ {[1 + k2 ∙E∙A∙μL

2∙ws∙L5

μa∙(E∙I)2]

1

2− 1}

(2.3.a)

Onde o valor de 𝑁𝑎𝑓 é apresentado na seção 2.2. Nesta expressão, o valor do

comprimento da alça principal L ainda não é conhecido. E é o módulo de Young, A a

área da seção transversal do duto, μa o atrito axial, μL o atrito lateral, ws o peso

submerso do duto por unidade de comprimento e I a inércia da seção transversal.

Já os valores K2 e K3 são constantes descritas por HOBBS et al. [5b], cujos

valores são obtidos analiticamente.

Tabela 2.3.b – Constantes de HOBBS de k1 a k5.

Modo de Flambagem k1 k2 k3 k4 k5

1 80,76 6,391E-05 0,5 2,407E-03 0,0694

2 39,48 1,743E-04 1 5,532E-03 0,1088

3 34,06 1,668E-04 1,294 1,032E-02 0,1434

4 28,20 2,144E-04 1,608 1,047E-02 0,1483

As constantes K1, K4 e K5 estão presentes, respectivamente, nas expressões a

seguir, descritas por HOBBS et al. [5b], sendo elas a força axial efetiva na região de

flambagem 𝑁𝑎𝑓, o deslocamento lateral máximo 𝑌𝑚𝑎𝑥 e o momento fletor máximo

𝑀𝑚𝑎𝑥.

𝑁𝑎𝑓 = 𝑘1 ∙𝐸∙𝐼

𝐿2 (2.3.c)

10

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑘4 ∙ 𝜇𝐿 ∙ 𝑤𝑠 ∙𝐿4

𝐸 ∙ 𝐼

(2.3.d)

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑘5 ∙ 𝜇𝐿 ∙ 𝑤𝑠 ∙ 𝐿2 (2.3.e)

Já em outra expressão, é possível relacionar o valor do comprimento da região

de feed-in 𝐿𝑓 com 𝑁𝑎𝑓 e 𝑁0.

N0 = 𝑁𝑎𝑓 + 𝑄𝑎 ∙ Lf = 𝑁𝑎𝑓 + μa ∙ ws ∙ Lf (2.3.f)

Em que Qa é a força de atrito axial por unidade de comprimento. Por outro lado,

substituindo as equações 2.2.d e 2.3.c em 2.3.a, teremos:

Pi ∙ A ∙ (1 − 2 ∙ ν) + E ∙ A ∙ α ∙ (Top − Tamb)

= 𝑘1 ∙𝐸 ∙ 𝐼

𝐿2+ k3 ∙ μa ∙ ws ∙ L

∙ {[1 + k2 ∙E ∙ A ∙ μL

2 ∙ ws ∙ L5

μa ∙ (E ∙ I)2]

12

− 1}

(2.3.g)

Através da equação 2.3.g, podemos calcular o valor do comprimento da alça

principal de flambagem para os quatro modos propostos por HOBBS e ROGER [5a], e

depois, utilizando a equação 2.3.f determinar o comprimento da região de feed-in,

além de determinar os valores do deslocamento lateral máximo e do momento fletor

máximo através das equações 2.3.d e 2.3.e, respectivamente.

Vale ressaltar que existem certas simplificações no modelo analítico

apresentado. Uma delas seria de que a expansão axial do duto, por meio de

temperatura e pressão, não é impedida por nenhum tipo de ancoragem ou

enterramento do duto, o que na prática acaba ocorrendo.

Outro ponto a considerar é que o valor de 𝐿𝑓 é calculado sem nenhuma

preocupação em relação ao real comprimento disponível do duto para alimentar a alça

de flambagem.

A força axial concentrada situada ao final da região de feed-in devido a

ancoragem, denominada por ANTUNES [6] como 𝑁𝑒, será considerada na seção 2.4

para aperfeiçoar a formulação analítica apresentada nesta seção.

11

2.4 MODELO DE HOBBS COM RESTRIÇÃO DE FEED-IN

Outra formulação apresentada por HOBBS et al. [5b], descreve a situação em

que considera-se, segundo observações de casos estudados, uma expansão axial

restrita. Para transpor esse problema, consideramos a hipótese de um comprimento Di

entre dois pontos de restrição quaisquer, ocasionados por uma ancoragem virtual.

Dessa forma, limitou-se a expansão axial em um comprimento Di, redefine-se o

valor de 𝐿𝑓 para a nova distribuição de esforços axiais entre a alça de flambagem e a

região de feed-in. Segundo ANTUNES [6], este comprimento é denominado (VAS),

que significa “Virtual Anchor Spacing”, ou Di. A equação para a força axial efetiva com

restrição para um duto finito é dada pela expressão 2.4.a, e a equação 2.4.b mostra

suas componentes.

𝑁𝑎𝑓 = N0 − k32 ∙ 𝑘2 ∙

E ∙ A ∙ μL2 ∙ ws

2 ∙ L7

𝐷𝑖 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)2

+𝜇𝑎 ∙ ws ∙ (𝐷𝑖 − 2 ∙ 𝑘3 ∙ 𝐿)2

4 ∙ 𝐷𝑖

(2.4.a)

𝑁𝑎𝑓 = 𝑁0 − 𝑁𝑓 − 𝑁𝑒 (2.4.b)

Analogamente à seção 2.3, iremos combinar as equações 2.4.a, 2.2.d e 2.3.c

para obter a equação 2.4.c, para o cálculo de L para os quatro modos de flambagem,

e utilizar as expressões 2.3.d, 2.3.e e 2.3.f para determinar os valores de 𝑌𝑚𝑎𝑥, 𝑀𝑚𝑎𝑥 e

𝐿𝑓 respectivamente.

Pi ∙ A ∙ (1 − 2 ∙ ν) + E ∙ A ∙ α ∙ (Top − Tamb)

= 𝑘1 ∙𝐸 ∙ 𝐼

𝐿2+ k3

2 ∙ 𝑘2 ∙E ∙ A ∙ μL

2 ∙ ws2 ∙ L7

𝐷𝑖 ∙ (𝐸 ∙ 𝐼)2

+𝜇𝑎 ∙ ws ∙ (𝐷𝑖 − 2 ∙ 𝑘3 ∙ 𝐿)2

4 ∙ 𝐷𝑖

(2.4.c)

O valor de 𝐷𝑖 que consideraremos em todas as nossas análises será de 20

km.

12

Conforme apresentado por ANTUNES [6], o 3º modo de flambagem é o de

maior ocorrência registrada. Entende-se que as condições de temperatura e atrito do

solo marinho contribuem para que esta forma ocorra com maior frequência.

Dessa maneira vale apresentar as comparações, para o 3º modo, entre o

modelo com restrição de feed-in e o modelo analítico que será descrito neste trabalho,

como será visto nas próximas seções.

2.5 LIMITAÇÕES DOS MODELOS DE HOBBS

Iremos destacar agora certas preocupações, apresentadas também por

ANTUNES [6], que devem ser levadas em consideração.

A primeira e mais importante delas está relacionada ao fato do modelo de

HOBBS contemplar exclusivamente o comprimento da alça principal de flambagem.

Entretanto, a alça secundária de flambagem é conceitualmente uma forma de

alívio para o esforço axial na linha, e dependendo de sua amplitude, a força axial

efetiva na alça de flambagem na prática pode ter valores bem diferentes em relação

ao modelo analítico. Rigorosamente, o deslocamento lateral produzido ao longo de

toda a região de flambagem deveria ser considerado no cálculo, mas iremos nos

concentrar naquelas representadas pelos modos de flambagem.

O segundo aspecto tem a ver com a limitação do modelo para pequenos

deslocamentos na linha. Outras considerações são que as equações propostas são

válidas apenas para o regime elástico e os valores dos coeficientes de atrito lateral e

axial são constantes ao longo do processo de flambagem.

Na seção 3 iremos discutir os diferentes modos de controle da flambagem,

existentes no mercado e que estão em uso. Com isso, iremos propor na seção 4 a

utilização do modelo com bóias. Para isso, iremos utilizar as seguintes considerações:

Regime elástico e atritos lateral e axial constantes

Esforço axial efetivo 𝑁𝑎𝑓 constante ao longo da região de flambagem

Duto e solo desprovidos de imperfeições

As equações diferenciais obtidas por ANTUNES [6] são válidas para pequenos

deslocamentos, mas quando integradas, representam o perfil de deslocamento lateral

ao longo de todo o duto.

13

Por essa razão, iremos utilizar o modelo do autor citado, já que o modelo de

HOBBS não se aplica ao uso de módulos de bóias. Com o modelo analítico proposto,

iremos adicionar os comprimentos de bóias por meio do ganho de flutuabilidade.

3. MÉTODOS DE CONTROLE DA FLAMBAGEM.

3.1 CONCEITO E NECESSIDADE DE CONTROLE

O emprego de dutos e cabos submarinos já é bastante consolidado para o

transporte de informações, de energia elétrica, e de fluidos em geral, sobretudo para a

indústria de óleo e gás. Uma das modalidades de dutos submarinos é o flowline,

responsável pelo transporte de óleo e gás. Tais dutos podem se estender por

centenas de quilômetros.

Como já explicitado, a flambagem lateral é um fenômeno que pode ocorrer nos

dutos submarinos. Não se pode estabelecer, a priori, em que ponto a flambagem

lateral pode ocorrer. Dessa forma, a indústria desenvolveu uma série de técnicas de

controle aos fenômenos de flambagem lateral.

Essas técnicas são usualmente classificadas como métodos de iniciação à

flambagem, pois se trata de ferramentas capazes de criar regiões suscetíveis à

ocorrência do fenômeno em locais previamente estabelecidos. Dessa forma, os

esforços axiais presentes no duto são aliviados e a probabilidade de ocorrência de

uma nova flambagem é drasticamente reduzida. Isso é feito para que a flambagem

não ocorra em locais de alto risco ou de maneira descontrolada, podendo ocasionar

danos aos dutos, promovendo sua ruptura.

3.2 SNAKE-LAY E SLEEPER

O método Snake-Lay é realizado através do lançamento do duto em um perfil

composto por comprimentos curvos e retos, dando-lhe a forma sinuosa como pode ser

vista na figura 07, retirada de BRUTON [18].

14

Figura 07. – Imagem esquemática método de flambagem por Snake-Lay.

Basicamente o formato sinuoso do duto denota a formação de uma curvatura

em relação em um determinado ponto. Com isso, a carga crítica no duto é reduzida, o

que facilita a ocorrência da formação da alça de flambagem. O perfil sinuoso formado,

ou seja, o raio de curvatura depende de certos fatores como o tipo de navio em

operação, a lâmina d’água e as condições ambientais no local. Tanto a amplitude

dessas curvas quanto a distância entre elas influenciam na ocorrência da flambagem.

Em geral quanto menor o raio de curvatura, menor a carga crítica, e, portanto, maior a

probabilidade de ocorrência da flambagem. Esse processo é descrito por NYSTROM

et al. [14].

Entretanto, com a diminuição da curvatura, a probabilidade de haver

flambagem em todas as curvas é menor, o que prejudica sua confiabilidade como

técnica de flambagem, pois fica difícil saber em qual curva ocorrerá o fenômeno,

conforme descrito por ANTUNES [6].

Já a técnica de flambagem por sleepers tem como base a introdução de pontos

de imperfeições ao longo do duto, com o objetivo de facilitar a flambagem nesses

locais. Essas imperfeições são criadas através de sleepers, que como o próprio nome

diz, repousam entre o duto e o leito marinho, causando um pequeno deslocamento

vertical.

Esses sleepers são estruturas cilíndricas, dispostos perpendicularmente em

relação ao comprimento do duto, representado por BRUTON [18] (figura 08).

15

Figura 08. – Esquema do método de flambagem por sleepers.

Como a imperfeição gerada se dá na direção vertical, a flambagem deveria ser

facilitada nessa direção. Porém, a configuração do duto imediatamente acima do

sleepers se torna extremamente instável, por conta da perda repentina de atrito com o

solo. Desse modo, o duto defasa ou “escorrega” lateralmente, causando a flambagem.

Basicamente, quanto maior o diâmetro do sleepers, mais facilmente ocorrerá a

flambagem, e menor será a sua carga crítica. Porém seu comprimento também é

importante, uma vez que o deslocamento lateral produzido não pode ser maior do que

o comprimento do próprio sleepers.

3.3 MÓDULOS DE BÓIA

Essa técnica consiste em introduzir módulos de bóia em certas regiões do duto

de modo a reduzir o peso por unidade de comprimento e assim reduzir a resistência

ao deslocamento lateral, que depende do coeficiente de atrito e da reação normal do

solo (igual ao peso molhado), reduzindo-se as cargas axial e lateral efetivas no duto.

Esses módulos de bóias possuem o formato cilíndrico e são todos vazados em

seu centro, de modo a serem introduzidos no momento da instalação do duto, como

pode ser visto na figura 09.

Figura 09. – Esquema de flambagem módulos de bóias (BRUTON [18]).

16

As bóias são projetadas para reduzir o peso de 80% a 90% da região

contemplada. Além do empuxo gerado pelas bóias, a geometria também gera

imperfeições que contribuem para a ocorrência da flambagem.

Em geral, o comprimento da região com bóias varia entre 60 e 200m, e a alça

de flambagem formada é de até 20m. Esse layout reduz o momento gerado pelo ápice

da alça de flambagem. Entretanto, o custo de instalação acaba sendo maior. Fica claro

que o aumento da flutuabilidade depende exclusivamente da eficiência da bóia. Após a

ocorrência da flambagem, esses dutos não podem sofrer novos danos, nem podem

perder flutuabilidade por meio de vazamentos, sendo necessários rigorosos testes de

qualidade, que são explorados por HJELMSTAD e KIEFFER [15].

Este método de flambagem, por conta de suas facilidades de instalação,

apesar do alto custo relacionado aos módulos de bóias, será estudado nesta obra.

4. FORMULAÇÃO ANALÍTICA PARA FLAMBAGEM LATERAL COM

MÓDULOS DE BÓIAS.

4.1 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O 3º MODO DE FLAMBAGEM COM

BÓIAS

Antes de apresentar as equações relacionadas ao modelo analítico de

ANTUNES [6], iremos destacar uma nomenclatura padrão para as equações a serem

utilizadas, baseadas na figura 10. Essa nomenclatura será válida para os demais

modos, além do 3º modo, assumindo condições de contorno diferenciadas para os

modos assimétricos e assumindo também que o comprimento L2 será suprimido nos

casos em que a alça secundária não é formada.

17

Figura 10. – Esquema do 3º modo de flambagem.

Para entendermos cada uma das equações de flambagem obtidas, iremos

dividir em 3 parcelas, a saber, a região com bóia vb(x), a alça principal de flambagem

v1(x), e a alça secundária de flambagem v2(x), de modo a obter as equações de

deslocamento lateral de cada região.

Em seguida, iremos apresentar as equações de deslocamento axial para a

região de flambagem e para a região de feed-in.

Através das condições de continuidade entre cada região, e também das

condições de contorno relativas à natureza de cada modo de flambagem, iremos

resolver as equações diferenciais obtidas e produzir uma única equação para o

esforço axial efetivo nas alças de flambagem.

É Importante ressaltar que se pode completar o estudo com o desenvolvimento

de um modelo em elementos finitos, construído a partir do software ABAQUS [16]. Tal

procedimento foi realizado, porém o modelo não será apresentado nesta versão da

obra.

4.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DESLOCAMENTO LATERAL

Ao tomar um elemento infinitesimal de duto da região da alça principal de

flambagem, podemos destacar as seguintes características.

Y

X

Z

18

Figura 11. – Elemento infinitesimal de duto.

Para a alça principal de flambagem, a carga Q𝐿, resultante da multiplicação de

P𝑠𝑢𝑏 (peso submerso do duto por unidade de comprimento) com μL, tem seu sentido

apontado para o duto porque a alça principal desloca-se contra o efeito do atrito lateral

no solo. Já na alça secundária, em relação à alça principal, a carga lateral terá sentido

contrário, pois a alça forma-se oposta à principal, como pode ser visto na figura 10.

Por fim, a região com bóias terá sua carga lateral multiplicada por um fator de

flutuabilidade, e permanecerá com o mesmo sinal em relação à carga da alça

principal, visto que sua formação detém-se do mesmo lado referenciado.

Fazendo o somatório de forças verticais no diagrama do corpo livre formado na

figura 11, bem como o somatório de momentos no ponto A, teremos:

−𝑑𝑀

𝑑𝑥− 𝑉 + 𝑁𝑎𝑓 ∙

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 0

(4.2.a)

Onde M e V são respectivamente o momento fletor e o esforço cortante.

Segundo BEER et al. [9], a expressão da linha elástica, segundo a teoria de vigas,

para o regime elástico, desprezando o termo quadrático referente à curvatura, é dado

pela seguinte equação 4.2.b.

𝑀(𝑥) = −𝐸 ∙ 𝐼 ∙𝑑2𝑣

𝑑𝑥2(𝑥)

(4.2.b)

19

Das equações 4.2.a e 4.2.b obtemos a equação de governo dada em 4.2.c.

𝑑4𝑣

𝑑𝑥4(𝑥) + 𝜆2 ∙

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²(𝑥) + 𝑤 = 0

(4.2.c)

Onde 𝜆2 = 𝑁𝑎𝑓/𝐸 ∙ 𝐼. Analogamente à região da alça principal, as equações

para a alça secundária e para região com bóias são dadas em 4.2.d e 4.2.e,

respectivamente.

𝑑4𝑣

𝑑𝑥4(𝑥) + 𝜆2 ∙

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2(𝑥) − 𝑤 = 0

(4.2.d)

𝑑4𝑣

𝑑𝑥4(𝑥) + 𝜆2 ∙

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2(𝑥) + 𝑘 ∙ 𝑤 = 0

(4.2.e)

Em que k é o fator de flutuabilidade da bóia. Adotaremos o valor de 0,2, ou

seja, o peso da região contemplada pela boia será reduzido a 20% do peso do duto. A

solução analítica dessas equações diferenciais é dada em 4.2.f, 4.2.g e 4.2.h

respectivamente.

𝑣1 = −𝑐2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2−

𝑐1 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2−

1

2∙

𝑤 ∙ 𝑥2

𝜆2+ 𝑐3 ∙ 𝑥 + 𝑐4

(4.2.f)

𝑣2 = −𝑐6 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2−

𝑐5 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2+

1

2∙

𝑤 ∙ 𝑥2

𝜆2+ 𝑐7 ∙ 𝑥 + 𝑐8

(4.2.g)

𝑣𝑏 = −𝑐10 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2−

𝑐9 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝑥)

𝜆2−

1

2∙

𝑘 ∙ 𝑤 ∙ 𝑥2

𝜆2+ 𝑐11 ∙ 𝑥

+ 𝑐12

(4.2.h)

Analisando a figura 10, podemos chegar à conclusão que as propriedades dos

perfis vb(x) e v1(x) devem ser iguais no ponto em que (x=Lb), já que para um mesmo

ponto, o deslocamento lateral, o ângulo de inclinação do duto, o momento fletor no

local e o esforço cortante deveram ser os mesmos. Para os Perfis v1(x) e v2(x) a

lógica é a mesma.

Adicionalmente, sabemos que o ângulo de inclinação para os modos simétricos

de flambagem no ponto (x=0) deverá ser nulo, bem como o esforço cortante.

20

Para o perfil v2(x) em (x=L2) o deslocamento lateral e o ângulo de inclinação

também serão nulos, já que este ponto simboliza o término da alça de flambagem. A

tabela 4.2.i mostra quais as condições de contorno que devem ser consideradas para

cada modo de flambagem.

Tabela 4.2.i – Condições de Continuidade e de Contorno.

Dessa forma, obtemos 12 equações que servirão para encontrarmos as 12

constantes das equações 4.2.f, 4.2.g e 4.2.h. Tais constantes estão presentes na

seção 8.

4.3 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DESLOCAMENTO AXIAL ATRAVÉS DA

FORÇA AXIAL EFETIVA NAS ALÇAS DE FLAMBAGEM

Em nosso modelo, iremos considerar 𝑁𝑎𝑓 igualmente constante ao longo das

alças de flambagem, entretanto, iremos utilizar a seguinte definição para obtê-la:

𝑁𝑎𝑓 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠ã𝑜

(4.3.a)

21

Assumindo a força compressiva 𝑁𝑎𝑓 como a resultante entre as forças de

compressão e expansão, iremos considerar que a deformação mecânica que ocorre

no duto devido à flambagem, de caráter expansivo, é dada pela subtração entre os

esforços de temperatura e pressão que causam a flambagem e a força residual que

permanece nas alças após a ocorrência do fenômeno, a saber, o próprio 𝑁𝑎𝑓.

𝑁𝑛 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 − 𝑁𝑎𝑓

(4.3.b)

Sendo 𝑁𝑛 a força relacionada à deformação mecânica axial sofrida pelo duto.

Substituindo a equação 2.2.i na equação 4.3.b teremos:

𝑁𝑛 = Pi ∙ Ai ∙ (1 − 2 ∙ ν) + E ∙ A ∙ α ∙ (Top − Tamb) − 𝑁𝑎𝑓

(4.3.c)

A expressão de 𝑁𝑛 pode ser escrita como:

𝑁𝑛 = 𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 휀𝑛

(4.3.d)

Com as equações 4.3.d e 4.3.c temos uma única equação que relaciona o valor

de 𝑁𝑎𝑓, exceto pelo parâmetro de deformação mecânica axial 휀𝑛. Para obtê-lo,

utilizamos o texto introdutório sobre elasticidade de VILLAÇA et al. [17], e obtivemos a

seguinte expressão.

휀𝑛 =𝑑𝑢

𝑑𝑥+

1

2∙

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²

(4.3.e)

Sendo u(x) o deslocamento axial e v(x) o deslocamento lateral. Substituindo a

equação 4.3.e em 4.3.d, e o resultado em 4.3.c, teremos:

𝑑𝑢

𝑑𝑥= (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) − (𝜙2 ∙ 𝜆2 +

1

2∙

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2)

(4.3.f)

𝐸𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝜙1 𝑒 𝜙2 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝜙1 =𝑃𝑖

𝐸∙ (1 − 2 ∙ 𝜐) 𝑒 𝜙2 =

𝐼

𝐴

Integrando a equação (4.3.f) para a alça principal, alça secundária e módulo de

boias em função de (x), teremos:

22

𝑢𝑏(𝑥) = ∫ [(𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) − (𝜙2 ∙ 𝜆2 +1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2)]

𝑥

0

𝑑𝑥

(4.3.g)

𝑢1(𝑥) = ∫ [(𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) − (𝜙2 ∙ 𝜆2 +1

2∙

𝑑2𝑣1

𝑑𝑥2)]

𝑥

𝐿𝑏

𝑑𝑥

(4.3.h)

𝑢2(𝑥) = ∫ [(𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) − (𝜙2 ∙ 𝜆2 +1

2∙

𝑑2𝑣2

𝑑𝑥2)]

𝑥

𝐿1

𝑑𝑥

(4.3.i)

Integrando as equações 4.3.g, 4.3.h e 4.3.i, teremos:

𝑢𝑏(𝑥) = 𝑢𝑏(0) + (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ 𝑥 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 ∙ 𝑥

− ∫1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2

𝑥

0

𝑑𝑥

(4.3.j)

𝑢1(𝑥) = 𝑢1(𝐿𝑏) + (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ (𝑥 − 𝐿𝑏) − 𝜙2 ∙ 𝜆2

∙ (𝑥 − 𝐿𝑏) − ∫1

2∙

𝑑2𝑣1

𝑑𝑥2

𝑥

𝐿𝑏

𝑑𝑥

(4.3.k)

𝑢2(𝑥) = 𝑢2(𝐿1) + (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ (𝑥 − 𝐿1) − 𝜙2 ∙ 𝜆2

∙ (𝑥 − 𝐿1) − ∫1

2∙

𝑑2𝑣2

𝑑𝑥2

𝑥

𝐿1

𝑑𝑥

(4.3.l)

4.4 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DE DESLOCAMENTO AXIAL NA REGIÃO DE

FEED-IN E CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE GOVERNO

Segundo BEER et al. [9], a carga axial por unidade de comprimento 𝑄𝑎 pode

ser dada pela expressão 4.4.a. Vale ressaltar que esta expressão só é válida para a

região de feed-in, visto que não há contribuição do deslocamento lateral no

comportamento deste trecho. Integrando duas vezes 4.4.a, obtemos 4.4.b.

𝑄𝑎 = −𝐸 ∙ 𝐴 ∙𝑑2𝑢𝑓

𝑑𝑥2

(4.4.a)

23

𝑢𝑓(𝑥) = −𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙

𝑥2

2+ 𝑐𝑖 ∙ 𝑥 + 𝑐𝑖𝑖

(4.4.b)

Pelas hipóteses que assumimos, a região de feed-in é o trecho responsável por

alimentar as alças de flambagem, e após ele, o deslocamento axial torna-se nulo,

assim como o valor de 𝑁𝑓, Sendo assim, assumindo que a posição em (x) para o final

da região de feed-in seja dada por 𝐿0, podemos escrever as equações 4.4.c e 4.4.d.

𝑢𝑓(𝐿𝑜) = 0

(4.4.c)

𝑢𝑓′(𝐿𝑜) = 0

(4.4.d)

Aplicando as condições de contorno 4.4.c e 4.4.d em 4.4.b, teremos:

𝑢𝑓(𝑥) = −𝑄𝑎

2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴∙ (𝐿𝑜 − 𝑥)²

(4.4.e)

As condições de continuidade entre cada região também são válidas para as

equações que regem o deslocamento axial. Portanto, podemos escrever as equações

4.4.f, 4.4.g e 4.4.h.

𝑢𝑏(𝐿𝑏) = 𝑢1(𝐿𝑏)

(4.4.f)

𝑢1(𝐿1) = 𝑢2(𝐿1) (4.4.g)

𝑢2(𝐿2) = 𝑢𝑓(𝐿2) (4.4.h)

Adicionalmente, como o ponto (x=0) divide a alça em metades simétricas,

obtemos a equação 4.4.i. Para o ponto (x= L2), a força axial efetiva também deve ter o

mesmo valor nas duas expressões referentes aos trechos adjacentes, o que acaba por

fornecer a equação 4.4.j.

𝑢𝑏(0) = 0

(4.4.i)

𝑢2′(𝐿2) = 𝑢𝑓′(𝐿2)

(4.4.j)

Substituindo a condição 4.4.i em 4.3.j, teremos:

24

𝑢𝑏(𝑥) = (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ 𝑥 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 ∙ 𝑥 − ∫1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2

𝑥

0

𝑑𝑥

(4.4.k)

Fazendo (x= L𝑏) na equação 4.4.k, e, utilizando a condição de continuidade

4.4.f, substituindo-a em 4.3.k, teremos:

𝑢1(𝑥) = (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ (𝑥) − 𝜙2 ∙ 𝜆2 ∙ (𝑥) − (∫1

2∙

𝑑2𝑣1

𝑑𝑥2

𝐿1

𝐿𝑏

𝑑𝑥

+ ∫1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2

𝐿𝑏

0

𝑑𝑥)

(4.4.l)

Fazendo (x= L1) na equação 4.4.l, e, utilizando a condição de continuidade

4.4.g, substituindo-a em 4.3.l, teremos:

𝑢2(𝑥) = (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) ∙ (𝑥) − 𝜙2 ∙ 𝜆2 ∙ (𝑥) − (∫1

2∙

𝑑2𝑣2

𝑑𝑥2

𝑥

𝐿1

𝑑𝑥

+ ∫1

2∙

𝑑2𝑣1

𝑑𝑥2

𝐿1

𝐿𝑏

𝑑𝑥 + ∫1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2

𝐿𝑏

0

𝑑𝑥)

(4.4.m)

Tomando a derivada primeira da equação 4.4.b, teremos:

𝑢𝑓′(𝑥) = −𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝑥 + 𝑐𝑖

(4.4.n)

Tomando a derivada primeira da equação 4.4.m, teremos:

𝑢2′(𝑥) = 𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 −𝑑 ∫

12

∙𝑑2𝑣2𝑑𝑥2

𝑥

𝐿1𝑑𝑥

𝑑𝑥

(4.4.o)

Fazendo (x= L2) em 4.4.n e 4.4.o, e, utilizando a condição de continuidade 4.4.j,

teremos:

𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 −𝑑 ∫

12

∙𝑑2𝑣2𝑑𝑥2

𝐿2

𝐿1𝑑𝑥

𝑑𝑥= −

𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝐿2 + 𝑐𝑖

(4.4.p)

25

Como o momento fletor no ponto (x= L2) é nulo, podemos desprezar o termo

diferencial em L2 da equação 4.4.p, obtendo a expressão 4.4.q.

𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 +𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝐿2 = 𝑐𝑖

(4.4.q)

Utilizando a condição 4.4.c, com o valor de Ci obtido em 4.4.q, substituímos na

expressão 4.4.b para encontrar o valor de Cii.

𝑐𝑖𝑖 = 𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙

𝐿𝑜2

2− (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 +

𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝐿2) ∙ 𝐿𝑜

(4.4.r)

Dessa forma, a equação 4.4.b pode ser apresentada como em 4.4.s.

𝑢𝑓(𝑥) = 𝑄𝑎

2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴∙ (𝐿𝑜2 − 𝑥2)

− (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇 − 𝜙2 ∙ 𝜆2 +𝑄𝑎

𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝐿2) ∙ (𝐿𝑜 − 𝑥)

(4.4.s)

Segundo a condição 4.4.h, podemos igualar as equações 4.4.s e 4.4.m quando

(x= L2), obtendo assim a equação 4.4.t.

(𝛿(𝑇) − 𝜙2 ∙ 𝜆2) ∙ (𝐿2 + 𝐿𝑓) − 1

2∙ 휁 =

𝑄𝑎

2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴∙ 𝐿𝑓

2

(4.4.t)

Em que 휁 = 2 ∙ (∫1

2∙

𝑑2𝑣2

𝑑𝑥2

𝐿2

𝐿1𝑑𝑥 + ∫

1

2∙

𝑑2𝑣1

𝑑𝑥2

𝐿1

𝐿𝑏𝑑𝑥 + ∫

1

2∙

𝑑2𝑣𝑏

𝑑𝑥2

𝐿𝑏

0𝑑𝑥) e

também 𝛿(𝑇) = (𝜙1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇).

Utilizando a equação 2.3.f, isolando o parâmetro 𝐿𝑓 e substituindo em 4.4.t,

teremos:

(𝛿(𝑇) − 𝜙2 ∙ 𝜆2) ∙ (𝐿2 +𝑁0 − 𝑁𝑎𝑓

𝑄𝑎) −

1

2∙ 휁

=𝑄𝑎

2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴∙ (

𝑁0 − 𝑁𝑎𝑓

𝑄𝑎)

2

(4.4.u)

26

Desse modo, iremos isolar o termo (𝛿(𝑇) − 𝜙2 ∙ 𝜆2) e calcular o valor da

força axial efetiva na região de flambagem, obtendo assim uma equação de governo

que pode ser comparada ao modelo de HOBBS.

𝜓𝑡2 + 2 ∙ 𝐿2 ∙ 𝑄𝑎 ∙ 𝜓𝑡 − 휁 ∙ 𝑄𝑎 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴 = 0

(4.4.v)

Onde 𝜓𝑡 = (𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 𝛿(𝑇) − 𝜆2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼)

Resolvendo a equação (4.4.v), obtemos:

𝜓𝑡 = −𝐿2 ∙ 𝑄𝑎 ∙ {1 − [1 +휁 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

𝑄𝑎 ∙ 𝐿22]

1/2

}

(4.4.w)

Com isso, isolando o termo (𝜆2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼), obtemos a expressão 4.4.x.

𝑁𝑎𝑓 = 𝑁0 + 𝐿2 ∙ 𝑄𝑎 ∙ {1 − [1 +휁 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴

𝑄𝑎 ∙ 𝐿22]

1/2

}

(4.4.x)

Deste modo, obtemos uma equação de governo, em que as variáveis

desconhecidas são 𝑁𝑎𝑓, 𝐿2 e 𝐿1, sendo esta última implícita. Entretanto, o parâmetro 휁

é função de 𝑁𝑎𝑓, 𝐿2 e 𝐿1, o que dificulta a busca pela solução.

Como temos três incógnitas, devemos obter outras duas equações para montar

um sistema de equações algébricas e resolvê-lo. Para isso, podemos utilizar as

condições de contorno 4.4.y e 4.4.z.

𝑣2(𝐿1) = 0 (4.4.y)

𝑣2′′(𝐿2) = 0 (4.4.z)

Essas condições são válidas, uma vez que o deslocamento em (x=𝐿1) deve ser

nulo, por ser o limiar entre a alça principal e a alça secundária, e o momento fletor

também deve ser nulo, uma vez que a alça principal e a alça secundária são formadas

opostamente. Substituindo as condições 4.4.y e 4.4.z em 4.2.h e em sua derivada

segunda, teremos:

27

−𝑐6 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆 ∙ 𝐿1)

𝜆2−

𝑐5 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝐿1)

𝜆2+

1

2∙

𝑤 ∙ 𝐿12

𝜆2+ 𝑐7 ∙ 𝐿1 + 𝑐8

= 0

(4.4.a.a)

𝑐6 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜆 ∙ 𝐿2) + 𝑐5 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝐿2) +𝑤

𝜆2= 0

(4.4.a.b)

Dessa forma, resolvemos o problema para o número de variáveis, obtendo um

sistema de equações analíticas e prevendo não somente a força axial efetiva na região

de flambagem e o comprimento da alça principal, mas também o comprimento da alça

secundária, além do perfil de deslocamento lateral ao longo de toda a flambagem.

Precisamos ainda considerar que nosso estudo foi feito através da idealização

de um duto infinito. Sendo assim, iremos construir a partir das últimas expressões

obtidas para a equação de governo, o sistema de equações considerando a restrição

na região de feed-in. Para tal, vamos interpretar a região entre pontos virtuais de

ancoragem como sendo a soma da região de feed-in e da região de flambagem.

𝐷

2= 𝐿𝑓 + 𝐿2

(4.4.a.c)

Através da equação 4.4.a.c, substituindo na equação 4.4.u, teremos:

(𝛿(𝑇) − 𝜙2 ∙ 𝜆2) ∙ (𝐿2 +𝐷

2− 𝐿2) −

1

2∙ 휁

=𝑄𝑎

2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐴∙ (

𝐷

2− 𝐿2)

2

(4.4.a.d)

Isolando (𝛿(𝑇) − 𝜙2 ∙ 𝜆2), teremos:

𝑁𝑎𝑓 = 𝑁0 −𝑄𝑎

4 ∙ 𝐷∙ (𝐷 − 2 ∙ 𝐿2)2 −

𝐸 ∙ 𝐴 ∙ 휁

𝐷

(4.4.a.e)

4.5 EQUAÇÕES DE GOVERNO PARA OS DEMAIS MODOS DE FLAMBAGEM

Ao seguir o mesmo raciocínio desenvolvido nas subseções anteriores,

podemos criar as equações de governo para os demais modos de flambagem, e

assim, completar a solução teórica do problema. Dessa forma, vale suprimir o

desenvolvimento dessas novas equações, uma vez que sua obtenção é análoga ao

procedimento já descrito.

28

Como o 1º modo é equivalente ao 3º modo em termos de simetria da alça de

flambagem no ponto de maior deslocamento lateral, as condições de contorno são as

mesmas para ambos, a menos do comprimento da alça secundária para o 3º modo,

sendo em (x=0) o ponto onde a inclinação e o esforço cortante são nulos.

Já para o 2º e 4º modos, o comportamento do duto em (x=0) será oposto, ou

seja, apresentará deslocamento e momento fletor nulos. Essas condições podem ser

mais bem observadas através da tabela 4.2.i.

5. RESULTADOS OBTIDOS DO MODELO ANALÍTICO COM BÓIAS.

5.1 INTRODUÇÃO AO MATLAB E MAPLE

Para obter a solução da equação de governo descrita na seção 4, utilizamos

dois importantes softwares, sendo eles o MAPLE [12] e o MATLAB [8]. Todas as

equações mostradas foram desenvolvidas em MAPLE [12], Já as rotinas

computacionais para obter os resultados finais foram feitos em MATLAB [8].

O MAPLE [12] é um software de manipulação algébrica que permite

desenvolver equações analiticamente sem perder a generalidade das variáveis.

Ferramenta muito útil para elaboração de extensas soluções, como é o caso das

equações de flambagem.

Já o MATLAB [8] é um recurso computacional com uma linguagem bastante

simples e que permite o usuário desenvolver praticamente qualquer tipo de lógica

funcional. Para a resolução numérica das equações de flambagem, iremos nos ater a

sua capacidade de resolver sistemas de equações algébricas não lineares, além dos

recursos gráficos pertinentes à plotagem das alças de flambagem.

O cenário de trabalho é apresentado pelas tabelas 5.1.a e 5.1.b, e as listagens

dos programas estão apresentados na seção 8, onde o leitor poderá observar através

de uma linguagem computacional simples os procedimentos utilizados.

A Interface gráfica utilizada pode ser vista nas figuras 12 e 13, as quais

apresentam resultados importantes como os valores de momento máximo e tensão

longitudinal máxima, além de testes para verificação estrutural como tensão de Von

Mises e critério de carregamento combinado, seguindo a regulamentação apresentada

pela DNV-OS-F101 [19].

29

Tabela 5.1.a – Especificações do Duto Submarino.

Diâmetro do Duto 12,75 pol

Espessura de Aço 0,938 pol

Espessura de Revestimento 53 mm

Coeficiente de Dilatação Linear 1,17E-05 °𝐶−1

Massa Específica do Aço 7850 kg/m³

Massa Específica do Revestimento 900 kg/m³

Módulo de Elasticidade 207 GPa

Coeficiente de Poisson 0,3

Comprimento do Duto 20 km

Tabela 5.1.b – Condições de Trabalho.

Pressão Interna 20,7 MPa

Lâmina d’água 1200 m

Massa Específica do Óleo 894 kg/m³

Massa Específica da Água do Mar 1025 kg/m³

Atrito Axial (nominal) 0,5

Atrito Lateral (nominal) 0,7

Temperatura Ambiente (na profundidade especificada) 4°C

Temperatura Máxima de Operação 100°C

Gravidade 9,81 m/s²

30

Figura 12. – Interface gráfica – perfil de deslocamento lateral.

Figura 13. – Interface gráfica – critérios de escoamento.

31

5.2 COMPARAÇÃO ENTRE O MODELO DE HOBBS E O MODELO ANALÍTICO

COM BÓIAS

Como uma primeira abordagem, podemos comparar o modelo de HOBBS com

o modelo analítico com bóias (gráfico 5.2.a).

Gráfico 5.2.a – Modelo de HOBBS vs Analítico com Bóias.

O modelo de HOBBS nos dá duas configurações possíveis para o mesmo

conjunto de dados disponível; para uma mesma temperatura, atrito e pressão. A

mudança produzida para se obter modos de flambagem diferentes é a ligeira

modificação no valor da força axial efetiva na alça de flambagem. Isto quer dizer que o

alivio da carga axial determina o modo no qual o duto irá flambar. O 3º modo de

HOBBS foi obtido através da solução das equações do modelo analítico considerando

um comprimento de boia nulo. Já o 1º modo foi obtido a partir dos resultados do 3º

modo alterando apenas o Naf.

Através do gráfico 5.2.a, vemos que o uso de módulos de bóias faz com que

tanto o comprimento da alça de flambagem quanto o deslocamento lateral sejam

maiores em relação ao comportamento dos dutos previstos por HOBBS.

Dessa forma, a utilização de boias em dutos é do ponto de vista teórico, uma

técnica de iniciação à flambagem e, portanto, uma possível ferramenta de controle.

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

De

slo

cam

en

to L

ate

ral (

m)

Comprimento das Alças de Flambagem (m)

Comparação entre o Modelo de Hobbs e o Modelo Analítico com Bóias - 50° C

Hobbs 1 modo Hobbs 3 modoBoia 60 metros Boia de 200 metros

32

Além disso, o tamanho do módulo de boia também influencia o modo de

flambagem; o modelo com 60 metros de boia flamba no 3° modo, já o modelo com 200

metros de bóia apresenta-se no 1° modo.

A temperatura na qual se inicia a flambagem também é um aspecto importante.

No caso do modelo de Hobbs, a temperatura mínima onde ocorre a flambagem

levando em consideração as respostas numéricas mais estáveis do programa

desenvolvido em MATLAB [8] é de 20° C, e no caso do modelo analítico com boias é

de 15° C, cujas deflexões laterais máximas estão em torno de 3 metros. No gráfico

5.2.b, vemos uma comparação entre os modelos para 3 temperaturas diferentes.

Gráfico 5.2.b – Temperatura Mínima para Flambagem.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

De

slo

cam

en

to L

ate

ral (

m)

Comprimento das Alças de Flambagem (m)

Análise da Temperatura Mínima de Flambagem

20° C Hobbs 25° C Hobbs

20º C Boia de 60 m 15° C Boia de 60 m

33

5.3 INFLUÊNCIA DO COMPRIMENTO DE BOIA NA FLAMBAGEM

Podemos investigar a influência do comprimento do módulo de bóia em relação

à magnitude dos deslocamentos laterais devido à flambagem. Para isso, foi fixada a

temperatura de 100º C para comprimentos de bóia de 60 a 200 metros, no gráfico

5.3.a.

Gráfico 5.3.a – Influência do Comprimento de Bóia.

Observa-se que o aumento do módulo de bóia provoca o aumento da alça de

flambagem, mas principalmente o aumento do deslocamento lateral. Com isso, o

tamanho do comprimento de bóia, além do seu simples uso, também é um fator

importante na sua utilização como dispositivo para controle do fenômeno.

No gráfico 5.3.b, podemos ver a variação da temperatura mínima para

flambagem com o tamanho da boia. Fica claro que a diferença entre a boia de 60

metros para a de 200 metros causa uma variação na temperatura mínima de

flambagem de 15° C para 10° C aproximadamente. Para uma mesma temperatura, a

deflexão lateral do duto com a boia de 200 metros é maior do que com 60 metros de

boia.

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140

De

slo

cam

en

to L

ate

ral (

m)

Comprimento das Alças de Flambagem (m)

Influência do Comprimento de Boias - 100°C

60 metros 90 metros 120 metros 200 metros

34

Gráfico 5.3.b – Temperatura Mínima vs Comprimento de Boia.

5.4 INFLUÊNCIA DA FLUTUABILIDADE DO MÓDULO DE BÓIA

Uma das características mais interessantes está na questão da eficiência da

boia, ou seja, no seu potencial de flutuação. Fixando a temperatura em 50ºC, variamos

o percentual de flutuabilidade do módulo, analisando assim seu comportamento

(gráfico 5.4.b).

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 20 40 60 80 100

De

slo

cam

en

to L

ate

ral (

m)

Comprimento das Alças de Flambagem (m)

Influência do Comprimento de Boia na Temperatura Mínima de Flambagem

100 metros a 15° C 60 metros a 15° C 100 metros a 10° C

35

Gráfico 5.4.a – Variação da Flutuabilidade.

A flutuabilidade altera pouco a configuração da alça de flambagem, isto pode

ser devido ao fato de que o acréscimo ou decréscimo da flutuabilidade ter pouca

influência sobre a força de atrito, ou seja, basta que no trecho do duto compreendido

pela bóia haja um peso submerso menor do que o restante do duto para que se facilite

a flambagem. Por esta razão, fixamos uma referência de 20% de flutuabilidade, ou

seja, o peso na região com bóias é minorado em 80%. A flutuabilidade também tem

pouca influência sobre a temperatura mínima de flambagem, visto que a diferença

entre as alças de flambagem para vários valores de k é pequena.

5.5 VARIAÇÃO DA DEFLEXÃO LATERAL COM A TEMPERATURA

Conforme visto no gráfico 2.2.f, a temperatura é responsável pela maior

contribuição na composição da força axial ancorada. Por esse motivo, ela também

está diretamente ligada ao tamanho das alças de flambagem e da deflexão lateral,

como pode ser visto no gráfico 5.5.a, onde é fixado o comprimento de 60 metros de

módulo de boia para valores de temperatura de 20°C, 40°C, 60°C e 80°C.

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80

De

slo

cam

en

to L

ate

ral (

m)

Comprimento das Alças de Flambagem (m)

Variação da Flutuabilidade - 50°C

0.2

0.4

0.6

0.8

36

Gráfico 5.5.a – Influência da Temperatura nas Alças de Flambagem.

5.6 INFLUÊNCIA DO ATRITO LATERAL NAS ALÇAS DE FLAMBAGEM

Ao ocorrer a flambagem, o atrito duto-solo pode restringir a deflexão lateral, isto

é, quanto maior o atrito, menor a deflexão lateral, pois a carga Q𝐿, como apresentado

pela figura 11, é contrária à sua expansão. Esse fenômeno é observado no gráfico

5.6.a.

Gráfico 5.6.a – Influência do Atrito Lateral na Deflexão Lateral.

37

6. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS.

Podemos concluir que o modelo analítico com bóias, desenvolvido em

MATLAB [8], possibilitou não somente a resolução do sistema de equações algébricas

não-lineares dispostas na seção 4, mas também foram de grande importância para a

interpretação dos fenômenos físicos e o estudo da influência de cada parâmetro

citado.

O uso do módulo de bóia resulta em um aumento no comprimento das alças de

flambagem e da deflexão lateral em relação ao modelo analítico de Hobbs. Além

disso, a temperatura mínima para ocorrência de flambagem nos casos em que se

simulou um comprimento de bóia também é menor. Logo, o uso desse dispositivo

antecipa a flambagem, permitindo o seu controle.

Também podemos concluir que o comprimento de feed-in é um parâmetro que

prevê a distância entre o módulo de bóia aplicado e a próxima posição em que a força

axial retorna ao valor de N0. Esta distância indica que um segundo módulo de bóia

pode ser colocado para provocar a flambagem e aliviar a carga axial.

A temperatura foi identificada como o maior responsável pela ocorrência da

flambagem, estando diretamente ligada às geometrias obtidas. O Atrito duto-solo e a

flutuabilidade são parâmetros que também influenciam na configuração dos dutos na

pós-flambagem. O aumento de k, ou seja, a perda de eficiência da bóia, resulta na

diminuição das alças de flambagem. O atrito lateral por sua vez, quando reduzido,

provoca o aumento da deflexão lateral.

É importante ressaltar aqui algumas propostas de trabalhos futuros, que dão

continuidade ao estudo preliminar desenvolvido nesta obra. Os valores de pressão e

temperatura são considerados constantes ao longo de todo comprimento do duto,

porque o objetivo do trabalho era estudar o fenômeno de flambagem isoladamente.

Entretanto, as perdas de temperatura e pressão ao longo do duto devem ser

consideradas em um modelo analítico mais aprimorado, cujo desenvolvimento foi

realizado pelo aluno, porém não implementado computacionalmente.

Outro caminho que deve ser mencionado é o uso de dois ou mais módulos de

bóias para iniciação à flambagem.

38

Analisar a ocorrência dos modos de flambagem talvez seja o caminho mais

interessante para continuar o trabalho. Pode-se comparar a ocorrência dos 4 modos

de flambagem citados estudando em quais condições a iniciação à flambagem é mais

eficiente, ou seja, a força axial efetiva é mais reduzida. O aluno também desenvolveu

as equações para o 2° e 4° modos, implementando computacionalmente os sistemas

algébricos. Contudo, sendo o 1º e 3º modos os mais frequentes na prática, o foco do

trabalho foi definido segundo essa orientação.

Vale ainda mencionar que, apesar da flambagem aliviar a carga axial, é

importante observar que o duto poderá flambar em regime plástico, ou seja, após a

flambagem, o duto pode plastificar devido a um segundo carregamento axial,

provocado pela variação de temperatura ou afins. Como consideramos as equações

apenas no regime elástico, não estamos admitindo que a deformação no duto possa

ser irreversível. Neste caso, o modelo analítico com bóias deveria ser reescrito.

7. BIBLIOGRAFIA.

[1] PIPELINE – UK: PII Pipeline Solution’ CFAS Facilitates Pipeline Flaw Detection –

Subsea World News. Disponível em: <http://subseaworldnews.com/2012/09/25/uk-pii-

pipeline-solutions-cfas-facilitates-pipeline-flaw-detection/>. Acesso em 01 de Ago.

2013, 13h02min.

[2] ZONA COSTEIRA - zonacosteira.bio.ufba.br - Faculdade de Biologia da

Universidade Federal da Bahia. Disponível em: <www.zonacosteira.bio.ufba.br>.

Acesso em: 29 jun. 2013, 14h25min.

[3] SEABED IMPERFECTION - sini.ni.com. Disponível em:

<http://sine.ni.com/cs/app/doc/p/id/cs-10512>. Acesso em 29 de jun. 2013, 14h32min.

[4] GUAN, J., NYSTROM, P. R., Design Loads Uncertainties Study – Thermal Buckling

of Subsea Pipelines. In: Proceedings of the Eighteenth International Offshore and Polar

Engineering Conference. Vancouver, BC, Canadá, 6/Jul. a 11/Jul., 2008.

[5a] HOBBS, E. ROGER, In-Service Buckling of Heated Pipelines. In: Journal of

Transportation Engineering. Volume 110, Artigo 2º, Mar. 1984.

[5b] HOBBS, E. ROGER, LIANG, F., Thermal Buckling of Pipelines Close to Restraints.

In: Eighth International Offshore Mechanics and Arctic Engineering Symposium, pp.

121-127, New York, 1989.

39

[6] ANTUNES, B.R., Utilização de Módulos de Bóias para o Controle da Flambagem

Termomecânica em Dutos Submarinos. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro,

RJ, Brasil, Novembro de 2009.

[7] KERR, A.D., Analysis of Thermal Track Buckling in the Lateral Plane, Acta

Mechanica, v.30, n. 1-2, pp.17-50, 1978.

[8] MATLAB, MATRIX LABORATORY 7.11.0.584. R2010b LN 161051 MATHWORKS

INC. 1984-2010.

[9] BEER, P.F., JOHNSTON, JR. RUSSEL E., Resistência dos Materiais, 3ª ed.

Pearson Education do Brasil, 1996.

[10] BAI, Y., BAI, Q., Subsea Pipelines and Risers, 1 ed. Elsevier, 2005.

[11] QUEIROZ, O.J., Análise de Estabilidade de Dutos Rígidos Submarinos Sujeitos a

Ação de Ondas e Correntes Marinhas. Projeto de Graduação, Escola

Politécnica/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Fevereiro de 2011.

[12] MAPLE, MAPLESOFT 14.00. ID 479326. WATERLOO MAPLE INC. 1981-2007.

[13] MATTOS, B..T., Controle da Flambagem Termomecânica de Dutos Submarinos

por Sleepers. Projeto de Graduação, Escola Politécnica/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ,

Brasil, Novembro de 2011.

[14] NYSTROM, P.R., HANSEN, H.F., GUAN, J., Optimized Solutions to Control

Lateral Buckling of Pipelines with Snaked-Lay: Theoretical and Numerical Results. 26th

International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, OMAE2007-

29256, San Diego, California, USA, 10-15 June 2007.

[15] HJELMSTAD, O.P., KIEFFER, J., Qualification of Permanent Buoyancy Modules

for Lateral Buckling Mitigation. Rio Pipeline Conference & Exposition, IBP1367_07, Rio

de Janeiro, Brasil, 2-4 October 2007.

[16] ABAQUS, Abaqus/CAE 6.11-PR3 SIMULIA. Build ID:2011_04_11-00.59.39

111381. Dassault Systèmes, 2011.

[17] VILLAÇA, F.S., GARCIA, TABORDA F.L., Introdução à Teoria da Elasticidade, 4ª

ed. – Reimpressão. Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas/Escola

Politécnica/UFRJ. Rio de Janeiro, 2006.

40

[18] BRUTON, D., CARR, M., CRAWFORD, M., et al., “The Safe Design of Hot On-

Bottom Pipelines with Lateral Buckling using the Design Guideline Developed by

SAFEBUCK Joint Industry Project”. Deep Offshore Technology Conference, Vitória,

Espírito Santo, Brasil, 8-10 November 2005.

[19] DNV-OS-F101, Submarine Pipeline Systems. Det Norske Veritas. October 2007,

amendments April 2008.

8. ANEXOS

8.1 PROGRAMA PARA O CÁLCULO DO COMPRIMENTO DAS ALÇAS DE

FLAMBAGEM E DA FORÇA AXIAL EFETIVA

% MODO DE FLAMBAGEM SIMÉTRICO

function [F,J] = myfun_mod_sim(x);

% DADOS GERAIS - Geometria do Oleoduto e Revestimento

De = 12.75*0.0254; % 12,75 polegadas de diâmetro externo x 0,0254

metro/polegada es = 0.938*0.0254; % 0,938 polegada de espessura de aço X-65 x 0,0254

metro/polegada Di = De - 2*es; % Diâmetro interno do duto Aaco = pi*(De^2 - Di^2)/4; % Área de aço do duto Ae = pi*(De^2)/4; % Área total da seção transversal do duto Ai = pi*(Di^2)/4; % Área interna da seção transversal do duto I = pi*(De^4 - Di^4)/64;% Momento de Inércia espol = 0.053; % 53 milímetros de espessura - revestimento de

polipropileno Dtotal = De + 2*espol; % Diâmetro total (considerando o revestimento

do duto) Atotal = pi*(Dtotal^2)/4; % Área total da seção transversal do duto

(considerando o revestimento do duto) Apol = Atotal - Ae; % Área de Revestimento de Polipropileno

% DADOS GERAIS - Propriedades do Aço, Revestimento e condições

externas

Roaco = 7850; % Massa específica do Aço X-65 em Kg/m³ Ropol = 900; % Massa específica do Revestimento em Kg/m³ Roagua = 1025; % Massa específica da Água Salgada em Kg/m³ Rooleo = 894; % Massa específica do Óleo em Kg/m³ E = 207*10^9; % Módulo de Elasticidade em N/m² nii = 0.3; % Coeficiente de Poisson alfa = 1.17*10^-5; % Coeficiente de dilatação linear EA = E*Aaco; % Rigidez Axial do Duto EI = E*I; % Rigidez à Flexão do Duto g = 9.81; % gravidade

% ////////// FASE DE OBTENÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA //////////

41

Atrito_axial = 0.5; % Coeficiente de atrito axial --------------------

------ VARIÁVEL Atrito_lateral = 0.7; % Coeficiente de atrito lateral ----------------

------ VARIÁVEL Comprimento_da_Boia = 100; % Comprimento total da Seção com Módulo de

Bóias - VARIÁVEL Temperatura_de_operacao = 10; % Temperatura Máxima de Operação -------

------------------------- VARIÁVEL

% ///////////////////////////////////////////////////////////

% DADOS GERAIS - Cálculo dos carregamentos lateral e axial e peso

submerso

Psub = ((Rooleo*Ai)+(Ropol*Apol)+(Roaco*Aaco)- (Roagua*Atotal))*g; %

Peso submerso efetivo miA = Atrito_axial; miL = Atrito_lateral; QL = Psub*miL; % Força lateral exercida pelo solo Qa = Psub*miA; % Força axial exercida pelo solo w = QL/EI; % (simplificação) k = 0.2; % Adimensional de peso submerso com e sem bóia -----------

ARBITRARIAMENTE CONSTANTE D = 20000; % Comprimento da região de Flambagem mais a Região de Feed-

In Lb = Comprimento_da_Boia/2; % Meia-Seção com Módulo de Bóia

% DADOS GERAIS - Determinação da Força axial efetiva ancorada

Top = Temperatura_de_operacao; Tamb = 4; % Temperatura ambiente a 1200 metros de profundidade -------

---- ARBITRARIAMENTE CONSTANTE Pop = 20.7*10^6; % Pressão Máxima de Operação -----------

ARBITRARIAMENTE CONSTANTE %Pex = 1025*g*1200; % Pressão de Coluna D'água a 1200 metros de

profundidade n = ((Pop*Ai)*(1 - 2*nii)/EA) + (alfa*(Top - Tamb)); % Coeficiente de

Expansão axial -Pex*Ae

% CARACTERIZAÇÃO DAS TRÊS EQUAÇÕES DE FLAMBAGEM

F1 = -w*(k*sin(x(2)*Lb)-

sin(x(2)*Lb)+2*sin(x(2)*x(1)))*sin(x(2)*x(3))/x(2)^2+w*(2*x(2)*x(1)+k*

Lb*x(2)-x(2)*Lb-

cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k+cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)-

2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))-

x(2)*x(3))*cos(x(2)*x(3))/(sin(x(2)*x(3))*x(2)^2)+w/x(2)^2;

F2 = w*(k*sin(x(2)*Lb)-

sin(x(2)*Lb)+2*sin(x(2)*x(1)))*sin(x(2)*x(1))/x(2)^4-

w*(2*x(2)*x(1)+k*Lb*x(2)-x(2)*Lb-

cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k+cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)-

2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))-

x(2)*x(3))*cos(x(2)*x(1))/(sin(x(2)*x(3))*x(2)^4)+(1/2)*w*x(1)^2/x(2)^

2-w*(2*x(1)+Lb*k-Lb)*x(1)/x(2)^2+(1/2)*w*(-

x(2)^2*x(3)^2*sin(x(2)*x(3))+4*x(2)^2*x(1)*x(3)*sin(x(2)*x(3))+2*x(2)^

2*x(3)*k*Lb*sin(x(2)*x(3))-

2*x(2)^2*x(3)*Lb*sin(x(2)*x(3))+4*x(2)*x(1)*cos(x(2)*x(3))+2*cos(x(2)*

x(3))*k*Lb*x(2)-2*cos(x(2)*x(3))*x(2)*Lb-

42

2*k*sin(x(2)*Lb)+2*sin(x(2)*Lb)-4*sin(x(2)*x(1))-

2*x(3)*cos(x(2)*x(3))*x(2))/(x(2)^4*sin(x(2)*x(3)));

F3 = x(2)^2*EI-n*EA-Qa*x(3)*[1-[1-

(1/6)*EA*w^2*(4*k^2*Lb^3*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

6*cos(x(2)*x(3))^2*x(2)*Lb*cos(x(2)*Lb)^2+60*cos(x(2)*x(1))*k*sin(x(2)

*Lb)*cos(x(2)*x(3))^2-

12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*Lb)*x(2)*Lb+6*cos(x(2)*Lb)^2*k^2*x(2)*Lb-

12*cos(x(2)*Lb)^2*k*x(2)*Lb-

30*cos(x(2)*x(3))^2*k*x(2)*Lb+15*cos(x(2)*Lb)*k^2*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2

)*x(3))^2-

30*cos(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2)*x(3))^2+30*k*Lb*x(2)-

12*x(1)^2*k*Lb*x(2)^3+30*k*cos(x(2)*x(3))*cos(x(2)*Lb)^2*sin(x(2)*x(3)

)-

15*k^2*cos(x(2)*x(3))*cos(x(2)*Lb)^2*sin(x(2)*x(3))+48*Lb*sin(x(2)*x(3

))*x(2)*sin(x(2)*x(1))-

60*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*sin(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)-

24*Lb*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*Lb)-

24*x(3)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*Lb)+48*x(1)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*s

in(x(2)*Lb)+12*sin(x(2)*Lb)*x(2)*sin(x(2)*x(1))*x(1)+48*x(3)*sin(x(2)*

x(3))*x(2)*sin(x(2)*x(1))-96*x(1)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*x(1))-

12*x(1)^2*x(2)^3*Lb*cos(x(2)*x(3))^2-

24*x(1)^2*x(3)*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

6*x(3)^2*x(2)^3*Lb*cos(x(2)*x(3))^2+6*k*x(2)*x(3)*cos(x(2)*Lb)^2+12*x(

3)^2*x(2)^3*x(1)*cos(x(2)*x(3))^2-3*k^2*x(2)*x(3)*cos(x(2)*Lb)^2-

12*sin(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(1))*x(2)*x(3)-

6*k*Lb^3*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2+9*k^2*Lb^2*x(2)^3*x(3)-

6*Lb^2*x(3)*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

12*Lb*x(3)^2*k*x(2)^3+12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*x(3)^2*x(2)^2-

6*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*x(3)^2*x(2)^2+9*x(3)^2*x(2)^2*cos(x(2)*x

(3))*sin(x(2)*x(3))+9*Lb^2*x(2)^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))+36*x(1

)^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2+24*cos(x(2)*x(1))*x(1)^2*sin(

x(2)*x(3))*x(2)^2+3*x(2)*x(3)-39*x(2)*Lb-

9*cos(x(2)*x(3))^2*k^2*x(2)*Lb-

24*cos(x(2)*x(1))^2*x(2)*x(1)*cos(x(2)*x(3))^2-

18*x(3)*Lb*k*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2+18*x(3)*Lb*cos(x(2)*

x(3))*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2+15*k^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))-

12*k*Lb*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*x(2)^2*x(3)-

6*k^2*Lb*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*x(2)^2*x(3)+24*x(1)*x(3)*x(2)^3*L

b*cos(x(2)*x(3))^2+6*Lb*x(3)^2*k*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

36*x(1)*x(3)*x(2)^3*Lb-

6*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*Lb-

6*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*x(3)*x(2)^2*Lb+12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2

)*x(1))*x(3)*x(2)^2*Lb+12*x(1)*cos(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*Lb

-6*x(3)*cos(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*Lb-

24*k^2*Lb*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*Lb)-

12*x(1)*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*Lb-

15*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2)*Lb)-

15*cos(x(2)*x(3))*cos(x(2)*Lb)^2*sin(x(2)*x(3))+36*x(2)*x(1)-

12*cos(x(2)*x(1))*x(3)*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*x(1)-

24*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*sin(x(2)*x(3))*x(2)*x(

1)+12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*x

(1)-24*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*x(3)*x(2)^2*x(1)-

12*cos(x(2)*x(3))^2*sin(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(1))*x(2)*x(1)-

12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k*x(3)*x(2)^2*x(1)+12*cos(x(2)*x(3))^2*

sin(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*x(1))*x(2)*x(1)-

12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)*x(

1)+12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*x(3)*x(2)^2*x(1)+6*Lb^2*cos(x(2)*Lb)

*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2+6*k*Lb^3*x(2)^3+60*cos(x(2)*x(1))*sin(x(2)*x(1)

)*cos(x(2)*x(3))^2+9*Lb^2*x(3)*x(2)^3-

60*cos(x(2)*x(3))*cos(x(2)*x(1))^2*sin(x(2)*x(3))-

43

60*cos(x(2)*x(1))*k*sin(x(2)*Lb)+6*cos(x(2)*Lb)^2*x(2)*Lb-

15*cos(x(2)*Lb)*k^2*sin(x(2)*Lb)-36*cos(x(2)*x(3))^2*x(2)*x(1)-

12*x(2)*x(3)*cos(x(2)*x(1))^2+9*k^2*x(2)*Lb-4*k^2*Lb^3*x(2)^3-

2*x(3)^3*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

60*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*x(3))^2+39*cos(x(2)*x(3))^2*x(

2)*Lb+12*x(3)^2*x(2)^3*Lb+30*cos(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*Lb)-

30*k*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))-6*k*x(2)*x(3)-

24*x(3)^2*x(2)^3*x(1)+36*x(1)^2*x(3)*x(2)^3+15*cos(x(2)*x(3))^2*cos(x(

2)*Lb)*sin(x(2)*Lb)+24*cos(x(2)*x(1))^2*x(2)*x(1)+3*k^2*x(2)*x(3)+12*x

(1)^2*x(2)^3*Lb+12*x(1)^3*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2-

3*x(2)*x(3)*cos(x(2)*Lb)^2+2*Lb^3*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2+12*cos(x(2)*

x(3))*sin(x(2)*Lb)*k*x(3)*x(2)^2*Lb+75*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))+6

*k^2*Lb^2*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2-

12*x(1)^3*x(2)^3+60*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*k*sin(x(2)*x(3))*sin

(x(2)*Lb)-60*cos(x(2)*x(1))*sin(x(2)*x(1))-

6*cos(x(2)*x(3))^2*k^2*x(2)*Lb*cos(x(2)*Lb)^2+48*Lb*k*sin(x(2)*x(3))*x

(2)*sin(x(2)*Lb)+5*x(3)^3*x(2)^3+24*x(3)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2

)*Lb)+12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*Lb)*x(2)*Lb*cos(x(2)*x(3))^2+12*cos(x

(2)*Lb)^2*k*x(2)*Lb*cos(x(2)*x(3))^2+12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*

cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*Lb+6*x(3)*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))

*x(2)^2*Lb-48*Lb*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*x(1))-

12*k*sin(x(2)*Lb)*x(2)*sin(x(2)*x(1))*x(1)+36*k*Lb*x(3)*x(2)^3*x(1)+12

*cos(x(2)*x(1))*k*Lb*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*x(1)-2*Lb^3*x(2)^3-

18*k*Lb^2*x(3)*x(2)^3-

12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(1))*cos(x(2)*Lb)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)*Lb

-

6*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k^2*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*Lb+

12*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)*Lb-

48*x(1)*k*sin(x(2)*x(3))*x(2)*sin(x(2)*Lb)+12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*

Lb)*k*x(2)*Lb-

12*cos(x(2)*x(1))*cos(x(2)*Lb)*k*x(2)*Lb*cos(x(2)*x(3))^2-

12*k*Lb^2*cos(x(2)*Lb)*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2+60*sin(x(2)*Lb)*cos(x(2)*

x(1))-

12*cos(x(2)*x(1))*x(1)*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2*Lb+12*x(2)*x(3)*cos(x(2)*

x(3))^2+12*x(1)^2*k*Lb*x(2)^3*cos(x(2)*x(3))^2+12*k*sin(x(2)*Lb)*sin(x

(2)*x(1))*x(2)*x(3)-6*k^2*Lb^2*x(2)^3*x(3)*cos(x(2)*x(3))^2-

24*k*Lb*x(3)*x(2)^3*x(1)*cos(x(2)*x(3))^2+12*k*Lb^2*x(3)*x(2)^3*cos(x(

2)*x(3))^2+6*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*Lb)*k*x(3)^2*x(2)^2-

36*x(1)*Lb*x(2)^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))+9*k^2*Lb^2*cos(x(2)*x(

3))*sin(x(2)*x(3))*x(2)^2-

36*x(1)*x(3)*x(2)^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))+36*x(1)*k*Lb*x(2)^2*

cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3))-

18*k*Lb^2*x(2)^2*cos(x(2)*x(3))*sin(x(2)*x(3)))/(x(2)^7*(-

1+cos(x(2)*x(3))^2)*Qa*x(3)^2)]^.5];

F = [F1 , F2 , F3];

% x0 = [60,0.05,70]; %

options=optimset('Display','iter','MaxIter',1e3,'MaxFunEval',1e9,'TolF

un',1e-5); % [x,fval,exitflag,output,jacobian] =

fsolve(@myfun_mod_sim,x0,options)

44

8.2 PROGRAMA PARA O CÁLCULO DA DEFLEXÃO LATERAL

function Vx_sim()

% obtenção das variáveis de controle

clear all h = gcf; L1 = str2double(get(findobj(h,'Tag','LP'),'String')); L2 = str2double(get(findobj(h,'Tag','LS'),'String')); lambda = str2double(get(findobj(h,'Tag','lambda'),'String')); Boia =

str2double(get(findobj(h,'Tag','Comprimento_da_boia'),'String')); Top =

str2double(get(findobj(h,'Tag','Temperatura_de_operacao'),'String')); k = str2double(get(findobj(h,'Tag','k'),'String')); miA = str2double(get(findobj(h,'Tag','Atrito_axial'),'String')); miL = str2double(get(findobj(h,'Tag','Atrito_lateral'),'String'));

% DADOS GERAIS - Geometria do Oleoduto e Revestimento

De = 12.75*0.0254; % 12,75 polegadas de diâmetro externo x 0,0254

metro/polegada es = 0.938*0.0254; % 0,938 polegada de espessura de aço X-65 x 0,0254

metro/polegada Di = De - 2*es; % Diâmetro interno do duto Aaco = pi*(De^2 - Di^2)/4; % Área de aço do duto Ae = pi*(De^2)/4; % Área total da seção transversal do duto Ai = pi*(Di^2)/4; % Área interna da seção transversal do duto I = pi*(De^4 - Di^4)/64;% Momento de Inércia espol = 0.053; % 53 milímetros de espessura - revestimento de

polipropileno Dtotal = De + 2*espol; % Diâmetro total (considerando o revestimento

do duto) Atotal = pi*(Dtotal^2)/4; % Área total da seção transversal do duto

(considerando o revestimento do duto) Apol = Atotal - Ae; % Área de Revestimento de Polipropileno Roaco = 7850; % Massa específica do Aço X-65 em Kg/m³ Ropol = 900; % Massa específica do Revestimento em Kg/m³ Roagua = 1025; % Massa específica da Água Salgada em Kg/m³ Rooleo = 894; % Massa específica do Óleo em Kg/m³ E = 207*10^9; % Módulo de Elasticidade em N/m² nii = 0.3; % Coeficiente de Poisson alfa = 1.17*10^-5; % Coeficiente de dilatação linear EA = E*Aaco; % Rigidez Axial do Duto EI = E*I; % Rigidez à Flexão do Duto g = 9.81; % gravidade Psub = ((Rooleo*Ai)+(Ropol*Apol)+(Roaco*Aaco) - (Roagua*Atotal))*g; %

Peso submerso efetivo QL = Psub*miL; % Força lateral exercida pelo solo Qa = Psub*miA; % Força axial exercida pelo solo w = QL/EI; % (simplificação) D = 20000; % Comprimento da região de Flambagem mais a Região de Feed-

In Lb = Boia/2; % Meia-Seção com Módulo de Bóia Tamb = 0; % Temperatura ambiente a 1200 metros de profundidade -------

---- ARBITRARIAMENTE CONSTANTE Pop = 20.7*10^6; % Pressão Máxima de Operação -----------

ARBITRARIAMENTE CONSTANTE

45

Pex = 1025*g*1200; % Pressão de Coluna D'água a 1200 metros de

profundidade n = ((Pop*Ai-Pex*Ae)*(1 - 2*nii)/EA) + (alfa*(Top - Tamb)); %

Coeficiente de Expansão axial

x=0; for i=0:150 x=i; if (0<=x)&(x<=L2) if (0<=x)&(x<Lb)&(0<Lb) % VB % vetorV(i+1,1) = -

(1/2)*w*(4*sin(lambda*L1)+2*cos(lambda*x)*k*Lb*lambda-

2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)*k+k*x^2*sin(lambda*L2)*l

ambda^2+2*cos(lambda*x)*cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)*k-

2*cos(lambda*x)*cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)-2*sin(lambda*L2)-

2*sin(lambda*Lb)-

2*lambda^2*L2*k*Lb*sin(lambda*L2)+k*Lb^2*lambda^2*sin(lambda*L2)+lambd

a^2*L2^2*sin(lambda*L2)-

4*L1*lambda*cos(lambda*L2)+2*cos(lambda*L2)*lambda*Lb+2*lambda*L2*cos(

lambda*L2)-

Lb^2*lambda^2*sin(lambda*L2)+2*L1^2*lambda^2*sin(lambda*L2)-

2*sin(lambda*L2)*k-

4*L1*lambda^2*L2*sin(lambda*L2)+2*lambda^2*L2*Lb*sin(lambda*L2)-

2*cos(lambda*L2)*k*Lb*lambda+2*k*sin(lambda*Lb)+4*cos(lambda*x)*lambda

*L1+4*cos(lambda*x)*sin(lambda*L2)*cos(lambda*L1)-

2*cos(lambda*x)*lambda*L2-

2*cos(lambda*x)*lambda*Lb+2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb

)-

4*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*L1))/(sin(lambda*L2)*lambda^

4); end if (Lb<=x)&(x<=L1) % V1 % vetorV(i+1,1) = -

(1/2)*w*(2*sin(lambda*Lb)*sin(lambda*x)*sin(lambda*L2)-

2*sin(lambda*Lb)*sin(lambda*x)*sin(lambda*L2)*k+4*sin(lambda*L1)-

2*Lb*x*sin(lambda*L2)*lambda^2+2*cos(lambda*x)*k*Lb*lambda-

2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)*k+2*Lb*x*sin(lambda*L2)*

lambda^2*k+x^2*sin(lambda*L2)*lambda^2-4*sin(lambda*L2)-

2*sin(lambda*Lb)-

2*lambda^2*L2*k*Lb*sin(lambda*L2)+lambda^2*L2^2*sin(lambda*L2)-

4*L1*lambda*cos(lambda*L2)+2*cos(lambda*L2)*lambda*Lb+2*lambda*L2*cos(

lambda*L2)+2*L1^2*lambda^2*sin(lambda*L2)-

4*L1*lambda^2*L2*sin(lambda*L2)+2*lambda^2*L2*Lb*sin(lambda*L2)-

2*cos(lambda*L2)*k*Lb*lambda+2*k*sin(lambda*Lb)+4*cos(lambda*x)*lambda

*L1+4*cos(lambda*x)*sin(lambda*L2)*cos(lambda*L1)-

2*cos(lambda*x)*lambda*L2-

2*cos(lambda*x)*lambda*Lb+2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb

)-

4*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*L1))/(sin(lambda*L2)*lambda^

4); end if (L1<x)&(x<=L2) % V2 % vetorV(i+1,1) =

(1/2)*w*(4*sin(lambda*x)*sin(lambda*L2)*sin(lambda*L1)-

2*sin(lambda*Lb)*sin(lambda*x)*sin(lambda*L2)+2*sin(lambda*Lb)*sin(lam

bda*x)*sin(lambda*L2)*k-

4*sin(lambda*L1)+2*Lb*x*sin(lambda*L2)*lambda^2-

2*cos(lambda*x)*k*Lb*lambda+2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*

Lb)*k-4*x*sin(lambda*L2)*lambda^2*L1-

2*Lb*x*sin(lambda*L2)*lambda^2*k+x^2*sin(lambda*L2)*lambda^2+2*sin(lam

bda*Lb)+2*lambda^2*L2*k*Lb*sin(lambda*L2)-

46

lambda^2*L2^2*sin(lambda*L2)+4*L1*lambda*cos(lambda*L2)-

2*cos(lambda*L2)*lambda*Lb-

2*lambda*L2*cos(lambda*L2)+4*L1*lambda^2*L2*sin(lambda*L2)-

2*lambda^2*L2*Lb*sin(lambda*L2)+2*cos(lambda*L2)*k*Lb*lambda-

2*k*sin(lambda*Lb)-

4*cos(lambda*x)*lambda*L1+2*cos(lambda*x)*lambda*L2+2*cos(lambda*x)*la

mbda*Lb-

2*cos(lambda*x)*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)+4*cos(lambda*x)*cos(lamb

da*L2)*sin(lambda*L1))/(sin(lambda*L2)*lambda^4); end end if (x>L2) vetorV(i+1,1) = 0; end end

% Força Axial Ancorada/Efetiva + Feed-In + Deslocamento Lateral Máximo

+ % Momento Lateral Máximo

No = n*EA/1000000; set(findobj(h,'Tag','No'),'String',No); Naf = (lambda^2)*EI/1000; set(findobj(h,'Tag','Naf'),'String',Naf); Lf = (No*1000000 - Naf*1000)/(1000*Qa); set(findobj(h,'Tag','Lf'),'String',Lf); YMAX = -(1/2)*w*(2*k*Lb*lambda+4*sin(lambda*L1)+4*lambda*L1-

2*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)*k-2*sin(lambda*L2)-2*sin(lambda*Lb)-

2*lambda^2*L2*k*Lb*sin(lambda*L2)+k*Lb^2*lambda^2*sin(lambda*L2)+lambd

a^2*L2^2*sin(lambda*L2)-

4*L1*lambda*cos(lambda*L2)+2*cos(lambda*L2)*lambda*Lb+2*lambda*L2*cos(

lambda*L2)-

Lb^2*lambda^2*sin(lambda*L2)+2*L1^2*lambda^2*sin(lambda*L2)+4*sin(lamb

da*L2)*cos(lambda*L1)-4*cos(lambda*L2)*sin(lambda*L1)-

2*sin(lambda*L2)*k+2*cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)*k-2*lambda*Lb-

4*L1*lambda^2*L2*sin(lambda*L2)+2*lambda^2*L2*Lb*sin(lambda*L2)-

2*cos(lambda*L2)*k*Lb*lambda+2*cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)-

2*cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)+2*k*sin(lambda*Lb)-

2*lambda*L2)/(sin(lambda*L2)*lambda^4); set(findobj(h,'Tag','ymax'),'String',YMAX); MMAX_no_correction = -

EI*w*(2*sin(lambda*L2)*cos(lambda*L1)+2*lambda*L1+k*Lb*lambda-

lambda*Lb-

cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)*k+cos(lambda*L2)*sin(lambda*Lb)-

2*cos(lambda*L2)*sin(lambda*L1)-

lambda*L2+cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)*k-

cos(lambda*Lb)*sin(lambda*L2)-

sin(lambda*L2)*k)/(sin(lambda*L2)*lambda^2); MMAX = MMAX_no_correction/1000000; set(findobj(h,'Tag','mmax'),'String',MMAX);

% Tensão Longitudinal Máxima (Smax) + Tensão Longitudinal-Axial Máxima

(S1) + Tensão Circunferencial (S2) + Tensão de Von Mises

SMAX = MMAX*De/(2*I); set(findobj(h,'Tag','smax'),'String',SMAX); S1 = (SMAX + (-Naf/(1000*Aaco))); set(findobj(h,'Tag','s1'),'String',S1); S2 = (Pop*Di-Pex*De)/(2*es*1000000); set(findobj(h,'Tag','s2'),'String',S2); S3 = 0;

47

Smises = sqrt(1/2*(((S1-S2)^2)+((S1-S3)^2)+((S2-S3)^2))); set(findobj(h,'Tag','smises'),'String',Smises); SMYS = 448; % MPa SMTS = 531; % MPa FS = 1.15*1.14*1.1*1.07; Seq = SMYS/FS; set(findobj(h,'Tag','seq'),'String',Seq); if Seq>=Smises set(findobj(h,'Tag','teste'),'String','Integridade Estrutural

OK'); end if Smises>Seq set(findobj(h,'Tag','teste'),'String','FALHA ESTRUTURAL!'); end % DNV OS F101

% Cálculo de Epsolon escorrosao = 0.003; c1 = De/(es-escorrosao); if c1<15 Epsolon = 0.5; end if (15<=c1)&(c1<=60) Epsolon = (60-(De/(es-escorrosao)))/90; end if c1>60 Epsolon = 0; end

% Cálculo de Ftemp if Top<50 fytemp = 0; futemp = 0; end if (50<=Top)&(Top<=100) fytemp = (3/5)*Top-30; futemp = (3/5)*Top-30; end if Top>100 fytemp = (2/5)*Top-10; futemp = (2/5)*Top-10; end alpha_U = 0.96; fy = (SMYS-fytemp)*alpha_U; fu = (SMTS-futemp)*alpha_U;

% Cálculo de Pb fu_linha = fu/1.15; if fu_linha>=fy qmim = fy; end if fy>=fu_linha qmim = fu_linha end Pb = (4/3)*(es-escorrosao)*sqrt(3)*qmim/(De-(es-escorrosao)*sqrt(3));

% Cálculo do alpha_P c2 = (Pop-Pex)/(1000000*Pb); if c2<(2/3) alpha_P = 1-Epsolon; end

48

if (2/3)<=c2 alpha_P = 1-3*Epsolon*(1-c2); end

% Cálculo do alpha_C alpha_C = (1-Epsolon)+Epsolon*(fu/fy);

% Cálculo de SP, MP, SSD e MSD SP = fy*pi*(De-(es-escorrosao))*(es-escorrosao); MP = fy*((De-(es-escorrosao))^2)*(es-escorrosao); gama_C = 1.07; gama_F = 1.10; SSD = -Naf*gama_C*gama_F/1000; MSD = MMAX*gama_C*gama_F;

% Cálculo do Critério OS-F101 gama_M = 1.15; gama_SC = 1.14; Crit_OS =

(gama_M*gama_SC*abs(MSD)/alpha_C+gama_M^2*gama_SC^2*SSD^2/(alpha_C^2*S

P^2))^2+alpha_P^2*((Pop/1000000)-(Pex/1000000))^2/(alpha_C^2*Pb^2); set(findobj(h,'Tag','crit_os_num'),'String',Crit_OS); if Crit_OS<=1 set(findobj(h,'Tag','crit_os'),'String','Alça de Flambagem OK'); end if Crit_OS>1 set(findobj(h,'Tag','crit_os'),'String','FALHA ESTRUTURAL!'); end

% Gráfico de Deslocamento Lateral z = [1:1:151] y = vetorV plot(z,y) axis([0 L2 -L2/6 L2/2]);

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8.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO ANALÍTICO COM MÓDULOS DE BÓIA

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