Flexao Comp
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Dimensionamento das sees
de concreto armado
- Flexo Composta Normal-
Jos Luiz Pinheiro Melges
Maio de 2002
Texto desenvolvido a partir de notas de aula elaboradas pelo professor Libnio Miranda
Pinheiro, da Escola de Engenharia de So Carlos-USP.
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Flexo composta Normal - 1
1. INTRODUO
1.1) Atuam, na seo transversal, Momento fletor (M) e fora normal (N)
1.2) Quando a fora normal estiver aplicada fora do centro de gravidade da
seo transversal, com uma excentricidade e, pode-se substitu-la por uma
fora normal centrada, desde que se inclua o momento fletor que ela provoca
na seo transversal (M = N . e), e vice-versa.
1.2) Problemas de dimensionamento: geralmente so indeterminados e a
melhor soluo a que tm o menor consumo de armadura.
1.3) Existem 3 possibilidades:
a) 2 armaduras tracionadas
b) 1 armadura tracionada e a outra comprimida
c) 2 armaduras comprimidas
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Flexo composta Normal - 2
2. DUAS ARMADURAS TRACIONADAS
Nesse caso, a seo pode atingir o Estado Limite ltimo segundo os
domnios: reta a ; Domnio 1 ou Domnio 2a.
(Lembrando: domnio o modo como a seo transversal se deforma quando
atingida a capacidade resistente desta seo)
Observao: no domnio 2a, embora exista uma pequena regio onde o
concreto est comprimido, as duas armaduras ainda esto tracionadas. Pode-
se ainda observar que, quando a deformao no concreto nula, ainda se tem
uma pequena trao na armadura superior.
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Flexo composta Normal - 3
Equaes (lembrando que o concreto no resiste trao):
Foras horizontais = 0 Nd Rs Rs = 0 (I)
Momentos em relao ao centro de gravidade da seo = 0
Nd . e + Rs ( h/2 d) Rs ( d h/2 ) = 0 (II)
Tem-se: Rs = s . As ; Rs = s . As ; d = h d
Portanto:
Nd = s As + s As (I)
Nd . e = ( s As s As ) ( h/2 d) (II)
* Soluo econmica para 2 armaduras tracionadas: s = s = fyd
(ou Md)
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Flexo composta Normal - 4
3. UMA ARMADURA TRACIONADA E A
OUTRA COMPRIMIDA
Nesse caso, a seo pode atingir o Estado Limite ltimo segundo os
domnios: 2b ; 3 ou 4.
Equaes:
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Flexo composta Normal - 5
Foras horizontais = 0 Nd = 0,68 b x fcd + s As - s As (I)
Momentos em relao ao centro de gravidade da seo = 0
Md = 0,68 b x fcd ( h/2 0,4x) + ( s As + s As) ( h/2 d) (II)
* Soluo econmica: Estado Limite ltimo ocorre no limite entre os
domnios 3 e 4:
c = 3,5 o/oo
s = yd s = fyd
Observao: os valores de x e de s (e conseqentemente de s),
podem ser obtidos atravs da equao de compatibilidade:
xd'dx
'
x
ssc
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Flexo composta Normal - 6
4. DUAS ARMADURAS COMPRIMIDAS
Nesse caso, a seo pode atingir o Estado Limite ltimo segundo os
domnios: Domnio 4a , Domnio 5 e reta b.
4.1. Para seo no inteiramente comprimida (d < y < h)
Equaes de Equilbrio:
Foras horizontais = 0 Nd = 0,68 b x fcd + s As + s As (I)
Momentos em relao ao centro de gravidade da seo = 0
Md = 0,68 b x fcd ( h/2 0,4x) + ( s As - s As) ( h/2 d) (II)
Equaes de Compatibilidade: dx'dx
'
x
ssc
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4.2. Para seo inteiramente comprimida
Equaes de Equilbrio:
Foras horizontais = 0 Nd = 0,85 fcd b h + s As + s As (I)
Momentos em relao ao centro de gravidade da seo = 0
Md = ( s As - s As) ( h/2 d) (II)
Equaes de Compatibilidade: dx'dx
'
7
h3x
/2 ssooo
Observaes:
Quando e = 0, adotar ooo
ss /2'
Condio econmica para armadura comprimida: ooo
ss /2'
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Flexo composta Normal - 8
5. BACOS FLEXO COMPOSTA
NORMAL (OU RETA)
Utiliza armadura simtrica: As1 = As2
Menos econmico, porm mais prtico.
bacos fornecem armadura total: As = As1 + As2
Exemplos: bacos para flexo composta apostila do Prof. Libnio
(depois da pgina 3-12):
Entrada de dados:
- Tipo de ao: CA 50A ou CA 50B
- Relao d/h
- Calcular os parmetros
h
e
fhA
M
fhb
N
fA
N
cdc
d
cd
d
cdc
d
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Flexo composta Normal - 9
Sada de dados
- Com os valores de e de , obtm-se um ponto no baco (para cima se
Nd for de compresso ou para baixo se Nd for de trao).
- Verificar qual curva est mais prxima deste ponto (interpolar, se
for o caso)
- Com o valor de , calcula-se a rea de armadura total (As):
yd
cdcs
cdc
yds
f
fAA
fA
fA
Observaes
- bacos - Prof. Libnio:
aborda apenas um tipo de
disposio de armadura:
- bacos Prof. Venturini: aborda outras
formas de disposio de armadura, abrangendo
disposies mais adequadas para pilares
alongados na direo da excentricidade
Para no ter que ficar
desenhando bolinhas
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